文档内容
2015年贵州省黔西南州中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）（2015•黔西南州）下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C．π D．﹣1
2．（4分）（2015•黔西南州）分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＜1 D．一切实数
3．（4分）（2015•黔西南州）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则
菱形的边长AB等于（ ）
A．10 B． C．6 D．5
4．（4分）（2015•黔西南州）已知一组数据：﹣3，6，2，﹣1，0，4，则这组数据的中位数是
（ ）
A．1 B． C．0 D．2
5．（4分）（2015•黔西南州）已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则S
△ABC
：S
△A'B'C′
为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
6．（4分）（2015•黔西南州）如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∠P=50°，则∠AOB等于（ ）
A．150° B．130° C．155° D．135°
7．（4分）（2015•黔西南州）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比
宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ）
第1页（共21页）A．x（x﹣11）=180 B．2x+2（x﹣11）=180C．x（x+11）=180 D．2x+2（x+11）=180
8．（4分）（2015•黔西南州）下面几个几何体，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）（2015•黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C
沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，
其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPO的面积y
（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）（2015•黔西南州）在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点
M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移
此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），
如图3，当m= 时，n的值为（ ）
A．4﹣2 B．2 ﹣4 C． D．
﹣
第2页（共21页）二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）（2015•黔西南州）a2•a3= ．
12．（3分）（2015•黔西南州）42500000用科学记数法表示为 ．
13．（3分）（2015•黔西南州）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加
一个条件： ，可使它成为菱形．
14．（3分）（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B=
．
15．（3分）（2015•黔西南州）分解因式：4x2+8x+4= ．
16．（3分）（2015•黔西南州）如图，点A是反比例函数y= 图象上的一个动点，过点A作
AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k= ．
17．（3分）（2015•黔西南州）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是
．
18．（3分）（2015•黔西南州）已知x= ，则x2+x+1= ．
19．（3分）（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，
已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为 ．
第3页（共21页）20．（3分）（2015•黔西南州）已知A 2=3×2=6，A 3=5×4×3=60，A 2=5×4×3×2=120，
3 5 5
A 3=6×5×4×3=360，依此规律A 4= ．
6 7
三、（本题共12分）
21．（12分）（2015•黔西南州）（1）计算：（ ﹣2014）0+|﹣tan45°|﹣（ ）﹣1+
（2）解方程： =3．
四、（本题共12分）
22．（12分）（2015•黔西南州）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
第4页（共21页）五、（本题共14分）
23．（14分）（2015•黔西南州）为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳
绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若
干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），
将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．
（1）这次调查中，一共调查了 名学生；
（2）请补全两幅统计图；
（3）若有3名喜欢跳绳的学生，1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动，欲从中选出
2人担任组长（不分正副），求一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率．
六、（本题共14分）
24．（14分）（2015•黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用
水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨
按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；
（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？
第5页（共21页）七、阅读材料题（本题共12分）
25．（12分）（2015•黔西南州）求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或 ② ．
解①得x＞ ；解②得x＜﹣3．
∴不等式的解集为x＞ 或x＜﹣3．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．
（2）求不等式 ≥0的解集．
八、（本题共16分）
26．（16分）（2015•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此
平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=﹣x2+2x+3经过点A、
C、A′三点．
（1）求A、A′、C三点的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面
积是多少？并写出此时M的坐标．
第6页（共21页）第7页（共21页）2015 年贵州省黔西南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）（2015•黔西南州）下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C．π D．﹣1
考点：无理数．
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分析：根据无理数的三种形式求解．
解答：解： =2，
则无理数为π．
故选C．
点评：本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽
的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
2．（4分）（2015•黔西南州）分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x＜1 D．一切实数
考点：分式有意义的条件．
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分析：分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
解答：
解：由分式 有意义，得
x﹣1≠0．
解得x≠1，
故选：B．
点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义⇔
分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
3．（4分）（2015•黔西南州）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则
菱形的边长AB等于（ ）
A．10 B． C．6 D．5
考点：菱形的性质．
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分析：根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得
解．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
第8页（共21页）∴OA= AC，OB= BD，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
∴AB= =5，
即菱形ABCD的边长是5．
故选：D．
点评：本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解
题的关键．
4．（4分）（2015•黔西南州）已知一组数据：﹣3，6，2，﹣1，0，4，则这组数据的中位数是
（ ）
A．1 B． C．0 D．2
考点：中位数．
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分析：先把数据按从小到大排列：﹣3，﹣1，0，2，4，6，然后根据中位数的定义求出中间两个
数0和2的平均数即可．
解答：解：把数据按从小到大排列：﹣3，﹣1，0，2，4，6，
共有6个数，最中间的两个数为0和2，它们的平均数为（0+2）÷2=1，
即这组数据的中位数是1．
故选A．
点评：本题考查了中位数的定义：把一组数据按从小到大（或从大到小）排列，最中间那个数
（或最中间两个数的平均数）叫这组数据的中位数．
5．（4分）（2015•黔西南州）已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则S ：S 为（ ）
△ABC △A'B'C′
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
考点：相似三角形的性质．
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分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．
解答：
解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，
∴ =（ ）2= ，
故选C．
点评：本题考查了相似三角形的性质的应用，能运用相似三角形的性质进行计算是解此题的
关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
6．（4分）（2015•黔西南州）如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∠P=50°，则∠AOB等于（ ）
A．150° B．130° C．155° D．135°
第9页（共21页）考点：切线的性质．
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分析：由PA与PB为圆的两条切线，利用切线性质得到PA与OA垂直，PB与OB垂直，在四
边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数．
解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=50°，
∴∠AOB=130°．
故选B．
点评：此题考查了切线的性质，以及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的
关键．
7．（4分）（2015•黔西南州）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比
宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣11）=180 B．2x+2（x﹣11）=180C．x（x+11）=180 D．2x+2（x+11）=180
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
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专题：增长率问题．
分析：根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可．
解答：解：设宽为x米，则长为（x+11）米，
根据题意得：x（x+11）=180，
故选C．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程．
8．（4分）（2015•黔西南州）下面几个几何体，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
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分析：分别判断A，B，C，D的主视图，即可解答．
解答：解：A、主视图为正方形，故错误；
B、主视图为圆，正确；
C、主视图为三角形，故错误；
D、主视图为长方形，故错误；
故选：B．
点评：本题考查了几何体的三视图，解决本题的关键是得出各个几何体的主视图．
9．（4分）（2015•黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C
沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，
其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPO的面积y
（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（ ）
第10页（共21页）A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象．
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专题：压轴题；动点型．
分析：解决本题的关键是正确确定y与x之间的函数解析式．
解答：解：∵运动时间x（s），则CP=x，CO=2x；
∴S = CP•CO= x•2x=x2．
△CPO
∴则△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数关系式是：y=x2（0≤x≤3），
故选：C．
点评：解决本题的关键是读懂图意，确定函数关系式．
10．（4分）（2015•黔西南州）在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点
M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移
此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），
如图3，当m= 时，n的值为（ ）
A．4﹣2 B．2 ﹣4 C． D．
﹣
考点：相似三角形的判定与性质；实数与数轴；等边三角形的性质；平移的性质．
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分析：先根据已知条件得出△PDE的边长，再根据对称的性质可得出PF⊥DE，DF=EF，锐角
三角函数的定义求出PF的长，由m= 求出MF的长，再根据相似三角形的判定定理
判断出△PFM∽△PON，利用相似三角形的性质即可得出结论．
解答：解：∵AB=3，△PDE是等边三角形，
∴PD=PE=DE=1，
以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
∵△PDE关于y轴对称，
∴PF⊥DE，DF=EF，DE∥x轴，
∴PF= ，
∴△PFM∽△PON，
∵m= ，
∴FM= ﹣ ，
第11页（共21页）∴ = ，即 = ，
解得：ON=4﹣2 ．
故选A．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，能根据题意得出FM的
长是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）（2015•黔西南州）a2•a3= a 5 ．
考点：同底数幂的乘法．
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分析：根据同底数幂的乘法，即可解答．
解答：解：a2•a3=a5，
故答案为：a5．
点评：主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．同底数幂的乘法法则，
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an=am+n．
12．（3分）（2015•黔西南州）42500000用科学记数法表示为 4.25×1 0 7 ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
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分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：42500000=4.25×107．
故答案为：4.25×107．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）（2015•黔西南州）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加
一个条件： AB=BC 或 AC⊥BD 等 ，可使它成为菱形．
考点：菱形的判定．
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专题：开放型．
分析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进而得出答案．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=BC或AC⊥BD等．
点评：本题考查了菱形的判定，正确把握菱形的判定方法是解题关键．
14．（3分）（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B=
40° ．
第12页（共21页）考点：圆周角定理．
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专题：计算题．
分析：直接根据圆周角定理求解．
解答：解：∵∠AOC=80°，
∴∠B= ∠AOC=40°．
故答案为40°．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半．
15．（3分）（2015•黔西南州）分解因式：4x2+8x+4= 4 （ x+ 1 ） 2 ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
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专题：计算题．
分析：原式提取4，再利用完全平方公式分解即可．
解答：解：原式=4（x2+2x+1）
=4（x+1）2．
故答案为：4（x+1）2．
点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关
键．
16．（3分）（2015•黔西南州）如图，点A是反比例函数y= 图象上的一个动点，过点A作
AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k= ﹣ 4 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
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分析：
由于点A是反比例函数y= 上一点，矩形ABOC的面积S=|k|=4，则k的值即可求出．
解答：解：由题意得：S矩形ABOC =|k|=4，又双曲线位于第二、四象限，则k=﹣4，
故答案为：﹣4．
点评：
本题主要考查了反比例函数y= 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴
第13页（共21页）垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
17．（3分）（2015•黔西南州）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是
24π ．
考点：圆锥的计算．
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分析：首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧
面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．
解答：解：底面周长是：2×3π=6π，
则侧面积是： ×6π×5=15π，
底面积是：π×32=9π，
则全面积是：15π+9π=24π．
故答案为：24π．
点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决
本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
18．（3分）（2015•黔西南州）已知x= ，则x2+x+1= 2 ．
考点：二次根式的化简求值．
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分析：先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．
解答：
解：∵x= ，
∴x2+x+1
=（x+ ）2﹣ +1
=（ + ）2+
= +
=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了完全平方公式和二次根式的化简求值的应用，能正确代入是解此题的关
键，难度适中．
19．（3分）（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，
已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为 ．
考点：垂径定理；勾股定理．
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分析：
连接OC，由垂径定理得出CE= CD=2，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，由勾股定理得出
CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．
第14页（共21页）解答：解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE= CD=2，∠OEC=90°，
设OC=OA=x，则OE=x﹣1，
根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，
即22+（x﹣1）2=x2，
解得：x= ；
故答案为： ．
点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解
决问题的关键．
20．（3分）（2015•黔西南州）已知A 2=3×2=6，A 3=5×4×3=60，A 2=5×4×3×2=120，
3 5 5
A 3=6×5×4×3=360，依此规律A 4= 84 0 ．
6 7
考点：规律型：数字的变化类．
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分析：对于A（b b＜a）来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是a，依次少1，最小因数是b．
a
依此计算即可．
解答：解：根据规律可得：
A 4=7×6×5×4=840；
7
故答案为：840．
点评：本题考查了规律型﹣数字的变化，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首
先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．注意找到A b（b＜a）中的最
a
大因数，最小因数．
三、（本题共12分）
21．（12分）（2015•黔西南州）（1）计算：（ ﹣2014）0+|﹣tan45°|﹣（ ）﹣1+
（2）解方程： =3．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．
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分析：（1）利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简求
出即可；
（2）直接利用去分母进而化简解方程，再进行检验求出即可．
解答：解：（1）原式=1+1﹣2+2 ，
= ；
（2） =3
去分母得：2x﹣1=3（x﹣1），
则﹣x=﹣2，
第15页（共21页）解得：x=2，
检验：把x=2代入（x﹣1）≠0，
∴x=2是原分式方程的解．
点评：此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、解
分式方程等知识，正确化简各数是解题关键．
四、（本题共12分）
22．（12分）（2015•黔西南州）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
考点：切线的判定．
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专题：几何综合题．
分析：（1）连接OC，作OD⊥PB于D点．证明OD=OC即可．根据角的平分线性质易证；
（2）设PO交⊙O于F，连接CF．根据勾股定理得PO=5，则PE=8．证明△PCF∽△PEC，
得CF：CE=PC：PE=1：2．根据勾股定理求解CE．
解答：（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD=OC．
∴直线PB与⊙O相切；
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
则x2+（2x）2=62，
解得x= ．
则EC=2x= ．
第16页（共21页）点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的性质．注意：当不知道直线与圆是否有公共点而
要证明直线是圆的切线时，可通过证明圆心到直线的距离等于圆的半径，来解决问题．
五、（本题共14分）
23．（14分）（2015•黔西南州）为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳
绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若
干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），
将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．
（1）这次调查中，一共调查了 20 0 名学生；
（2）请补全两幅统计图；
（3）若有3名喜欢跳绳的学生，1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动，欲从中选出
2人担任组长（不分正副），求一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率．
考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
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分析：（1）由题意得：这次调查中，一共调查的学生数为：40÷20%=200（名）；
（2）根据题意可求得B占的百分比为：1﹣20%﹣30%﹣15%=35%，C的人数为：
200×30%=60（名）；则可补全统计图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一人是喜欢跳
绳、一人是喜欢足球的学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）根据题意得：这次调查中，一共调查的学生数为：40÷20%=200（名）；
故答案为：200；
（2）B占的百分比为：1﹣20%﹣30%﹣15%=35%，
C的人数为：200×30%=60（名）；
如图：
第17页（共21页）（3）分别用A，B，C表示3名喜欢跳绳的学生，D表示1名喜欢足球的学生；
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的有6种情况，
∴一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率为： = ．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点
为：概率=所求情况数与总情况数之比．
六、（本题共14分）
24．（14分）（2015•黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用
水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨
按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；
（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？
考点：一次函数的应用．
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分析：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元，根据题意列出方程组，求
解此方程组即可；
（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的
取值范围；
（3）根据小英家的用水量判断其再哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可．
解答：解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元．
根据题意得 ，
解得： ．
答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．
（2）∵当0≤x≤12时，y=x；
当x＞12时，y=12+（x﹣12）×2.5=2.5x﹣18，
∴所求函数关系式为：y= ．
第18页（共21页）（3）∵x=26＞12，
∴把x=26代入y=2.5x﹣18，得：y=2.5×26﹣18=47（元）．
答：小英家三月份应交水费47元．
点评：本题考查了一次函数的应用，题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是在求一次
函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围．
七、阅读材料题（本题共12分）
25．（12分）（2015•黔西南州）求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或 ② ．
解①得x＞ ；解②得x＜﹣3．
∴不等式的解集为x＞ 或x＜﹣3．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．
（2）求不等式 ≥0的解集．
考点：解一元一次不等式组．
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专题：阅读型．
分析：（1）、（2）根据题意得出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
解答：
解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得① 或② ，
解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x＜ ；
（2）根据“同号两数相乘，积为正”可得① ，② ，
解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2，
故不等式组的解集为：x≥3或x＜﹣2．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
八、（本题共16分）
26．（16分）（2015•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此
平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=﹣x2+2x+3经过点A、
C、A′三点．
（1）求A、A′、C三点的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面
积是多少？并写出此时M的坐标．
第19页（共21页）考点：二次函数综合题．
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分析：（1）利用抛物线与x轴的交点问题可求出C（﹣1，0），A（′ 3，0）；计算自变量为0时的
函数值可得到A（0，3）；
（2）先由平行四边形的性质得AB∥OC，AB=OC，易得B（1，3），根据勾股定理和三角
形面积公式得到OB= ，S
△AOB
= ，再根据旋转的性质得∠ACO=∠OC′D，
OC′=OC=1，接着证明△C′OD∽△BOA，利用相似三角形的性质得 =（ ）2，
则可计算出S ；
△C′OD
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜
3，作MN∥y轴交直线AA′于N，求出直线AA′的解析式为y=﹣x+3，则N（m，﹣m+3），
于是可计算出MN=﹣m2+3m，再利用S =S +S 和三角形面积公式得到
△AMA′ △ANM △MNA′
S =﹣ m2+ m，然后根据二次函数的最值问题求出△AMA′的面积最大值，同时
△AMA′
刻确定此时M点的坐标．
解答：解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x =3，x =﹣1，则C（﹣1，0），A′（3，0）；
1 2
当x=0时，y=3，则A（0，3）；
（2）∵四边形ABOC为平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC，
而C（﹣1，0），A（0，3），
∴B（1，3）
∴OB= = ，S = ×3×1= ，
△AOB
又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′，
∴∠ACO=∠OC′D，OC′=OC=1，
又∵∠ACO=∠ABO，
∴∠ABO=∠OC′D．
又∵∠C′OD=∠AOB，
∴△C′OD∽△BOA，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
∴S = × = ；
△C′OD
（3）设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，
作MN∥y轴交直线AA′于N，易得直线AA′的解析式为y=﹣x+3，则N（m，﹣m+3），
∵MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，
∴S =S +S
△AMA′ △ANM △MNA′
第20页（共21页）= MN•3
= （﹣m2+3m）
=﹣ m2+ m
=﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m= 时，S '的值最大，最大值为 ，此时M点坐标为（ ）．
△AMA
点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点和二
次函数的最值问题；会运用旋转的性质和平行四边形的性质；会利用相似三角形的性
质计算三角形的面积．
第21页（共21页）
