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2018年贵州省黔东南州、黔南州、黔西南州中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分)
1．（4分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．
2．（4分）如图的几何体是由四个大小相同的正方体组成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）据统计，近十年中国累积节能1570000万吨标准煤，1570000这个数用科学记数法
表示为（ ）
A．0.157×107 B．1.57×106 C．1.57×107 D．1.57×108
4．（4分）如图，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC＝（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
5．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣2a2＝a2 B．﹣（2a）2＝﹣2a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．﹣2（a﹣1）＝﹣2a+1
7．（4分）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的
是（ ）
第1页（共29页）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
8．（4分）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工
30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（ ）
A． ＝2 B． ＝2
C． ＝2 D． ＝2
9．（4分）下列等式正确的是（ ）
A． ＝2 B． ＝3 C． ＝4 D． ＝5
10．（4分）如图，在 ▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则 ▱ABCD的周长
为（ ）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
二、填空题（每小题3分，共30分)
11．（3分）若∠ ＝35°，则∠ 的补角为 度．
α α
12．（3分）不等式组 的解集是 ．
13．（3分）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是 分．
14．（3分）若100个产品中有98个正品，2个次品，从中随机抽取一个，抽到次品的概率是
第2页（共29页）．
15．（3分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，
表格反映的是各组平时成绩的平均数 （单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且
状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 ．
甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s2 1 1.2 0.9 1.8
16．（3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形
的周长是 ．
17．（3分）已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2 ，则这个菱形的面积是 ．
18．（3分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格
所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 ．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
19．（3分）根据下列各式的规律，在横线处填空：
， ， ＝ ， …， + ﹣
＝
20．（3分）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC＝
45°，BD＝6，CD＝4，则△ABC的面积为 ．
三、解答题（本题共12分)
21．（12分）（1）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（ ）﹣1﹣（2018﹣ ）0
（2）先化简（1﹣ ）• ，再在1、2、3中选取一个适当的数代入求值．
第3页（共29页）四、(本题共12分)
22．（12分）如图，CE是 O的直径，BC切 O于点C，连接OB，作ED∥OB交 O于点D，
BD的延长线与CE的⊙延长线交于点A．⊙ ⊙
（1）求证：AB是 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为1，tan∠DEO＝ ，求AE的长．
⊙
五、(本题共14分)
23．（14分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多
便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了 m人
（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计
图．
（1）根据图中信息求出m＝ ，n＝ ；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新
生事物？
（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网
第4页（共29页）购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的
新生事物不一样的概率．
六、（本题共14分）
24．（14分）某种蔬菜的销售单价y 与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y 与销售月份
1 2
x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）
（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益＝售价﹣成
本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．
（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的
销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？
第5页（共29页）七、阅读材料题(本题共12分)
25．（12分）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的
方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少
个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是
6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个：图3中黑点个数是6×3＝18个；……；所以容
易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 ．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
第6页（共29页）八、(本题共16分)
26．（16分）如图1，已知矩形AOCB，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速
度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与
点P同时结束运动．
（1）点P到达终点O的运动时间是 s，此时点Q的运动距离是 cm；
（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为 cm；
（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；
（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度
建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y＝ 过点D，问k的值是否
会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．
第7页（共29页）2018 年贵州省黔东南州、黔南州、黔西南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分)
1．（4分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．
【考点】2A：实数大小比较．
【专题】1：常规题型．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反
而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1＜0＜ ，
所以最大的数是 ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实
数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（4分）如图的几何体是由四个大小相同的正方体组成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为：2，1，并且下面一行的正方形靠左，
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．（4分）据统计，近十年中国累积节能1570000万吨标准煤，1570000这个数用科学记数法
表示为（ ）
第8页（共29页）A．0.157×107 B．1.57×106 C．1.57×107 D．1.57×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【专题】511：实数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1570000＝1.57×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）如图，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC＝（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】根据平行线的性质：两条直线平行，内错角相等及角平分线的性质，三角形内角和定
理解答．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠B＝30°，
再根据角平分线的概念，得：∠BDE＝∠ADB＝30°，
再根据两条直线平行，内错角相等得：∠DEC＝∠ADE＝60°，
故选：B．
【点评】考查了平行线的性质、角平分线的概念，要熟练掌握．
5．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【专题】1：常规题型．
第9页（共29页）【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图
重合．
6．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣2a2＝a2 B．﹣（2a）2＝﹣2a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．﹣2（a﹣1）＝﹣2a+1
【考点】44：整式的加减；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．
【专题】11：计算题．
【分析】利用合并同类项对A进行判断；利用积的乘方对B进行判断；利用完全平方公式对C
进行判断；利用取括号法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝a2，所以A选项正确；
B、原式＝﹣4a2，所以B选项错误；
C、原式＝a2+2ab+b2，所以C选项错误；
D、原式＝﹣2a+2，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘：（am）n＝amn
（m，n是正整数）；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：（ab）n＝
anbn（n是正整数）．也考查了整式的加减．
7．（4分）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的
是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
第10页（共29页）【考点】KB：全等三角形的判定．
【专题】1：常规题型．
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须
有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．（4分）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工
30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（ ）
A． ＝2 B． ＝2
C． ＝2 D． ＝2
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【专题】1：常规题型．
【分析】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所
用时间＝2，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程： ﹣ ＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列
出方程．
9．（4分）下列等式正确的是（ ）
A． ＝2 B． ＝3 C． ＝4 D． ＝5
第11页（共29页）【考点】22：算术平方根．
【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】根据算术平方根的定义逐一计算即可得．
【解答】解：A、 ＝ ＝2，此选项正确；
B、 ＝ ＝3 ，此选项错误；
C、 ＝42＝16，此选项错误；
D、 ＝25 ，此选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．
10．（4分）如图，在 ▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则 ▱ABCD的周长
为（ ）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】555：多边形与平行四边形．
【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC＝9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来
求平行四边形的周长．
【解答】解：∵AC＝4cm，若△ADC的周长为13cm，
∴AD+DC＝13﹣4＝9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴平行四边形的周长为2（AB+BC）＝18cm．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质．此题利用了“平行四边形的对边相等”的性质．
二、填空题（每小题3分，共30分)
11．（3分）若∠ ＝35°，则∠ 的补角为 14 5 度．
第12页（共29页）
α α【考点】IL：余角和补角．
【分析】根据两个角的和等于180°，则这两个角互补计算即可．
【解答】解：180°﹣35°＝145°，
则∠ 的补角为145°，
故答α案为：145．
【点评】本题考查的是余角和补角，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于
180°，则这两个角互补．
12．（3分）不等式组 的解集是 x ＜ 3 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【专题】11：计算题．
【分析】首先把两个不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的
大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一个式子表示出来．
【解答】解：由（1）x＜4，由（2）x＜3，所以x＜3．
【点评】本题考查不等式组的解法，一定要把每个不等式的解集正确解出来．
13．（3分）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是 10 0 分．
【考点】14：相反数；15：绝对值；17：倒数；24：立方根．
【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】根据相反数的定义、倒数、绝对值性质及立方根的定义逐一判断即可得．
【解答】解： 2的相反数是﹣2，此题正确；
倒数等于它①本身的数是1和﹣1，此题正确；
②﹣1的绝对值是1，此题正确；
③8的立方根是2，此题正确；
④则洪涛同学的得分是4×25＝100，
故答案为：100．
【点评】本题主要考查立方根、绝对值、相反数及倒数，解题的关键是掌握相反数的定义、倒数、
第13页（共29页）绝对值性质及立方根的定义．
14．（3分）若100个产品中有98个正品，2个次品，从中随机抽取一个，抽到次品的概率是
．
【考点】X4：概率公式．
【专题】1：常规题型；543：概率及其应用．
【分析】本题只要用次品的个数除以总的产品的个数即可得出次品的概率．
【解答】解：∵100个产品中有2个次品，
∴从中随机抽取一个，抽到次品的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率的公式，用满足条件的个数除以总个数可得出概率的值．
15．（3分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，
表格反映的是各组平时成
绩的平均数 （单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么
应选的组是 丙 ．
甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s2 1 1.2 0.9 1.8
【考点】W1：算术平均数；W7：方差．
【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可
决定选丙组去参赛．
【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故答案为：丙．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组
数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度
越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均
数的意义．
第14页（共29页）16．（3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形
的周长是 1 3 ．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系．
【专题】11：计算题；32：分类讨论．
【分析】求出方程的解，有两种情况：x＝2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x＝4时，看
看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x ＝2，x ＝4，
1 2
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边
的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．
17．（3分）已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2 ，则这个菱形的面积是 2
．
【考点】L8：菱形的性质．
【专题】556：矩形 菱形 正方形；55E：解直角三角形及其应用．
【分析】根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即
可求出该菱形的面积．
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝ ，
∴OA＝ ＝1，
∴AC＝2OA＝2，
∴S菱形ABCD ＝ AC•BD＝ ×2×2 ＝2 ．
故答案为：2 ．
第15页（共29页）【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对
角线的长是解题的关键．
18．（3分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格
所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 （ 3 ， 0 ） ．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】53：函数及其图象．
【分析】根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x＝ ＝1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
19．（3分）根据下列各式的规律，在横线处填空：
， ， ＝ ， …， + ﹣
＝
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【专题】2A：规律型．
【分析】根据给定等式的变化，可找出变化规律“ + ﹣ ＝ （n为正整
数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：∵ + ﹣1＝ ， + ﹣ ＝ ， + ﹣ ＝ ， + ﹣ ＝ ，…，
第16页（共29页）∴ + ﹣ ＝ （n为正整数）．
∵2018＝2×1009，
∴ + ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式的变化，找出变化规律“ + ﹣
＝ （n为正整数）”是解题的关键．
20．（3分）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC＝
45°，BD＝6，CD＝4，则△ABC的面积为 6 0 ．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．
【专题】552：三角形．
【分析】首先证明△AEF≌△BEC，推出AF＝BC＝10，设DF＝x．由△ADC∽△BDF，推出
＝ ，构建方程求出x即可解决问题；
【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BEC＝∠BDF＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴AE＝EB，
∵∠EAF+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，
∴∠EAF＝∠CBE，
∴△AEF≌△BEC，
∴AF＝BC＝10，设DF＝x．
∵△ADC∽△BDF，
第17页（共29页）∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
整理得x2+10x﹣24＝0，
解得x＝2或﹣12（舍弃），
∴AD＝AF+DF＝12，
∴S△ABC ＝ •BC•AD＝ ×10×12＝60．
故答案为60．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三
角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共12分)
21．（12分）（1）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（ ）﹣1﹣（2018﹣ ）0
（2）先化简（1﹣ ）• ，再在1、2、3中选取一个适当的数代入求值．
【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角
的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，再从1、2、3中选取一个使得原分式有意
义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）|﹣2|﹣2cos60°+（ ）﹣1﹣（2018﹣ ）0
＝2﹣2× +6﹣1
＝2﹣1+6﹣1
＝6；
（2）（1﹣ ）•
第18页（共29页）＝
＝
＝ ，
当x＝2时，原式＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，
解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
四、(本题共12分)
22．（12分）如图，CE是 O的直径，BC切 O于点C，连接OB，作ED∥OB交 O于点D，
BD的延长线与CE的⊙延长线交于点A．⊙ ⊙
（1）求证：AB是 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为1，tan∠DEO＝ ，求AE的长．
⊙
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；MH：切割
线定理；T7：解直角三角形．
【专题】1：常规题型．
【分析】（1）连接OD，由ED∥OB，得到∠1＝∠4，∠2＝∠3，通过△DOB≌△COB，得到
∠ODB＝∠OCB，而由BC切 O于点C得出∠OCB＝90°，那么∠ODB＝90°，问题得证；
（2）根据三角函数tan∠DEO＝⊙tan∠2＝
2
，求得BC＝ ，得到BD＝BC＝ ，设AE＝x，由切割线定理得到AD＝ ，再根据平
行线分线段成比例得到比例式即可求得结果．
【解答】解：（1）连接OD，如图．
第19页（共29页）∵ED∥OB，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∵OD＝OE，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2．
在△DOB与△COB中，
，
∴△DOB≌△COB，
∴∠ODB＝∠OCB，
∵BC切 O于点C，
∴∠OCB⊙＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴AB是 O的切线；
⊙
（2）∵∠DEO＝∠2，
∴tan∠DEO＝tan∠2＝ ＝ ，
∵ O的半径为1，OC＝1，
∴⊙BC＝ ，
由（1）证得△DOB≌△COB，
∴BD＝BC＝ ．
设AE＝x，由切割线定理得：AD2＝AE•AC＝x（x+2），
∴AD＝ ，
∵DE∥BO，
∴ ＝
∴ ＝ ，
解得x ＝2，x ＝0（舍去），
1 2
第20页（共29页）即AE的长为2．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，掌握
各定理是解题的关键．
五、(本题共14分)
23．（14分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多
便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了 m人
（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计
图．
（1）根据图中信息求出m＝ 10 0 ，n＝ 3 5 ；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新
生事物？
（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网
购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的
新生事物不一样的概率．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
【专题】1：常规题型；54：统计与概率．
第21页（共29页）【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百
分比n的值；
（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补
全两个图形；
（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根
据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数m＝10÷10%＝100人，
∴支付宝的人数所占百分比n%＝ ×100%＝35%，即n＝35，
故答案为：100、35；
（2）网购人数为100×15%＝15人，微信对应的百分比为 ×100%＝40%，
补全图形如下：
（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%＝800人；
（4）列表如下：
第22页（共29页）共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，
所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．
列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成
的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数
与总情况数之比．
六、（本题共14分）
24．（14分）某种蔬菜的销售单价y 与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y 与销售月份
1 2
x之间的关系如图2所示（图1的
图象是线段，图2的图象是抛物线）
（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益＝售价﹣成
本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．
（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的
销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？
【考点】HE：二次函数的应用．
【专题】535：二次函数图象及其性质；536：二次函数的应用．
【分析】（1）找出当x＝6时，y 、y 的值，二者做差即可得出结论；
1 2
第23页（共29页）（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y 、y 关于x的函数关系式，二者做差
1 2
后利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）求出当x＝4时，y ﹣y 的值，设4月份的销售量为t千克，则5月份的销售量为（t+20000）
1 2
千克，根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得
出结论．
【解答】解：（1）当x＝6时，y ＝3，y ＝1，
1 2
∵y ﹣y ＝3﹣1＝2，
1 2
∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．
（2）设y ＝mx+n，y ＝a（x﹣6）2+1．
1 2
将（3，5）、（6，3）代入y ＝mx+n，
1
，解得： ，
∴y ＝﹣ x+7；
1
将（3，4）代入y ＝a（x﹣6）2+1，
2
4＝a（3﹣6）2+1，解得：a＝ ，
∴y ＝ （x﹣6）2+1＝ x2﹣4x+13．
2
∴y ﹣y ＝﹣ x+7﹣（ x2﹣4x+13）＝﹣ x2+ x﹣6＝﹣ （x﹣5）2+ ．
1 2
∵﹣ ＜0，
∴当x＝5时，y ﹣y 取最大值，最大值为 ，
1 2
即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．
（3）当x＝4时，y ﹣y ＝﹣ x2+ x﹣6＝2．
1 2
设4月份的销售量为t千克，则5月份的销售量为（t+20000）千克，
根据题意得：2t+ （t+20000）＝220000，
解得：t＝40000，
∴t+20000＝60000．
第24页（共29页）答：4月份的销售量为40000千克，5月份的销售量为60000千克．
【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方
程的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出当x＝6时y ﹣y 的值；（2）根据点的坐
1 2
标，利用待定系数法求出y 、y 关于x的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元一
1 2
次方程．
七、阅读材料题(本题共12分)
25．（12分）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的
方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少
个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是
6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个：图3中黑点个数是6×3＝18个；……；所以容
易求出图10、图n中黑点的个数分别是 6 0 个 、 6 n 个 ．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有 6 1 个圆圈；第n个点阵中有 （ 3 n 2 ﹣ 3 n + 1 ） 个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【专题】2A：规律型．
【分析】根据规律求得图10中黑点个数是6×10＝60个；图n中黑点个数是6n个；
（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，
第25页（共29页）第2个图中3为一块，分为6块，余1；
按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1＝
3n2﹣3n+1，
（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．
【解答】解：图10中黑点个数是6×10＝60个；图n中黑点个数是6n个，
故答案为：60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1＝7个，
第3个点阵中有：3×6+1＝19个，
第4个点阵中有：4×9+1＝37个，
第5个点阵中有：5×12+1＝61个，
…
第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1＝3n2﹣3n+1，
故答案为：61，3n2﹣3n+1；
（2）3n2﹣3n+1＝271，
n2﹣n﹣90＝0，
（n﹣10）（n+9）＝0，
n ＝10，n ＝﹣9（舍），
1 2
∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
【点评】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图
形中圆圈的个数恰当地分块是关键．
八、(本题共16分)
26．（16分）如图1，已知矩形AOCB，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速
度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与
点P同时结束运动．
（1）点P到达终点O的运动时间是 s，此时点Q的运动距离是 cm；
第26页（共29页）（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为 6 cm；
（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；
（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度
建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y＝ 过点D，问k的值是否
会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【专题】15：综合题．
【分析】（1）先求出OA，进而求出时间，即可得出结论；
（2）构造出直角三角形，再求出PE，QE，利用勾股定理即可得出结论；
（3）同（2）的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出结论；
（4）先求出直线AC解析式，再求出点P，Q坐标，进而求出直线PQ解析式，联立两解析式即
可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，
∴OA＝BC＝16，
∵动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，
∴t＝ ，此时，点Q的运动距离是 ×2＝ cm，
故答案为 ， ；
（2）如图1，由运动知，AP＝3×2＝6cm，CQ＝2×2＝4cm，
过点P作PE⊥BC于E，过点Q作QF⊥OA于F，
∴四边形APEB是矩形，
∴PE＝AB＝6，BE＝6，
∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，
第27页（共29页）根据勾股定理得，PQ＝6 ，
故答案为6 ；
（3）设运动时间为t秒时，
由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，
同（2）的方法得，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，
∵点P和点Q之间的距离是10cm，
∴62+（16﹣5t）2＝100，
∴t＝ 或t＝ ；
（4）k的值是不会变化，
理由：∵四边形AOCB是矩形，
∴OC＝AB＝6，OA＝16，
∴C（6，0），A（0，16），
∴直线AC的解析式为y＝﹣ x+16 ，
①
设运动时间为t，
∴AP＝3t，CQ＝2t，
∴OP＝16﹣3t，
∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），
∴PQ解析式为y＝ x+16﹣3t ，
②
联立 得，﹣ x+16＝ x+16﹣3t，
①②
∴ x+ x＝3t，
∴5tx﹣16x+16x＝18t，
∴x＝ ，
∴y＝ ，
∴D（ ， ）
第28页（共29页）∴k＝ × ＝ 是定值．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了勾股定理，待定系数法，构造出直角三角形是
解本题的关键．
第29页（共29页）
