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2012年贵州省黔东南州中考数学试卷
一、选择题
1．（1分）计算﹣1﹣2等于（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
2．（1分）七（1）班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，
10，6，9，6则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（1分）下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D． ＝9
4．（1分）如图，若AB是 O的直径，CD是 O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为
（ ） ⊙ ⊙
A．35° B．45° C．55° D．75°
5．（1分）抛物线y＝x2﹣4x+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为
（ ）
A．（4，﹣1） B．（0，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，﹣1）
6．（1分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的
长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（ ） C．（ ） D．（ ）
7．（1分）如图，点A是反比例函数 （x＜0）的图象上的一点，过点A作 ▱ABCD，使点B、
C在x轴上，点D在y轴上，则 ▱ABCD的面积为（ ）
第1页（共25页）A．1 B．3 C．6 D．12
8．（1分）如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，
△ABF的面积是24，则FC等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（1分）如图，是直线y＝x﹣3的图象，点P（2，m）在该直线的上方，则m的取值范围是（
）
A．m＞﹣3 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜3
10．（1分）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P
顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
二、填空题
11．（3分）计算cos60°＝ ．
12．（3分）分解因式：x3﹣4x＝ ．
第2页（共25页）13．（3分）二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是 ．
14．（3分）设函数y＝x﹣3与 的图象的两个交点的横坐标为a，b，则 ＝ ．
15．（3分）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成 个正三角形．
16．（3分）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第
（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那
么第（n）个图有 个相同的小正方形．
三、解答题
17．（6分）计算： ﹣| |
18．（6分）解方程组 ．
19．（12分）现在“校园手机”越来越受到社会的关注，为此某校九（1）班随机调查了本校若
第3页（共25页）干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图．
（1）求这次调查的家长人数，并补全图 ；
（2）求图 中表示家长“赞成”的圆心①角的度数；
（3）从这次②接受调查的家长来看，若该校的家长为2500名，则有多少名家长持反对态度？
20．（9分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相
同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出
一个小球，记下数字为y．
（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+5的图象上的概率．
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy＞6则小明胜，若x、y满足xy＜
6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．
21．（9分）如图， O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作 O的切线交AC的延长
⊙ 第4页（共25页） ⊙线于点D．
（1）求证：△ABC∽△BDC．
（2）若AC＝8，BC＝6，求△BDC的面积．
22．（9分）如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B
处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此
时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处．
（1）求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离．
（2）若货轮以45海里/时的速度在A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度
由C处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救
货轮？（结果保留根号）
23．（9分）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿
第5页（共25页）时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自
推出不同的优惠方案．甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分
按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收
费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？
24．（12分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的
横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；
若不存在，说明理由．
第6页（共25页）2012 年贵州省黔东南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（1分）计算﹣1﹣2等于（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【考点】1A：有理数的减法．
【专题】11：计算题．
【分析】根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可
得解．
【解答】解：﹣1﹣2＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．这是需
要熟记的内容．
2．（1分）七（1）班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，
10，6，9，6则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】W4：中位数．
【专题】17：推理填空题．
【分析】将该组数据按从小到大依次排列，找到位于中间位置的两个数，求出其平均数即
为正确答案．
【解答】解：将该组数据按从小到大依次排列为6，6，7，9，10，12，
位于中间位置的数为7，9，
其平均数为 ＝ ＝8，
故中位数为8．
故选：C．
【点评】本题中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最
中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
3．（1分）下列等式一定成立的是（ ）
第7页（共25页）A． B． C． D． ＝9
【考点】79：二次根式的混合运算．
【分析】利用算术平方根的定义 （a≥0）表示a的是a的非负的平方根，以及平方根的定
义即可判断．
【解答】解：A、 ﹣ ＝3﹣2＝1，故选项错误；
B、正确；
C、 ＝3，故选项错误；
D、﹣ ＝﹣9，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根的定义，正确理解 （a≥0）表示a的是a的非负的平方根是关
键．
4．（1分）如图，若AB是 O的直径，CD是 O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为
（ ） ⊙ ⊙
A．35° B．45° C．55° D．75°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB＝90°，由直角三角形
的性质，求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得
∠BCD的度数．
【解答】解：连接AD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝35°，
∴∠BCD＝∠A＝35°．
故选：A．
第8页（共25页）【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的
作法，注意直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定
理的应用．
5．（1分）抛物线y＝x2﹣4x+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为
（ ）
A．（4，﹣1） B．（0，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，﹣1）
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【专题】2B：探究型．
【分析】先把抛物线的解析式化为顶点式的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答即
可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3可化为：y＝（x﹣2）2﹣1，
∴其顶点坐标为（2，﹣1），
∴向右平移2个单位得到新抛物线的解析式，所得抛物线的顶点坐标是（4，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题
的关键．
6．（1分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的
长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（ ） C．（ ） D．（ ）
【考点】29：实数与数轴；KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．
【专题】31：数形结合．
【分析】在RT△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出
点M的坐标．
第9页（共25页）【解答】解：由题意得，AC＝ ＝ ＝ ，
故可得AM＝ ，BM＝AM﹣AB＝ ﹣3，
又∵点B的坐标为（2，0），
∴点M的坐标为（ ﹣1，0）．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理及坐标轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度
是解答本题的关键，难度一般．
7．（1分）如图，点A是反比例函数 （x＜0）的图象上的一点，过点A作 ▱ABCD，使点B、
C在x轴上，点D在y轴上，则 ▱ABCD的面积为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；L5：平行四边形的性质．
【专题】31：数形结合．
【分析】过点A作AE⊥OB于点E，则可得 ▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积，继而结
合反比例函数的k的几何意义即可得出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥OB于点E，
因为矩形ADOE的面积等于AD×AE，平行四边形ABCD的面积等于：AD×AE，
所以 ▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积，
根据反比例函数的k的几何意义可得：矩形ADOC的面积为6，即可得平行四边形ABCD
的面积为6．
故选：C．
【点评】此题考查了反比例函数的k的几何意义及平行四边形的性质，根据题意得出
第10页（共25页）▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积是解答本题的关键．
8．（1分）如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，
△ABF的面积是24，则FC等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】由四边形ABCD是矩形与AB＝6，△ABF的面积是24，易求得BF的长，然后由勾
股定理，求得AF的长，根据折叠的性质，即可求得AD，BC的长，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC，
∵AB＝6，
∴S△ABF ＝ AB•BF＝ ×6×BF＝24，
∴BF＝8，
∴AF＝ ＝ ＝10，
由折叠的性质：AD＝AF＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣8＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及折叠的性质．此题难度
适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
9．（1分）如图，是直线y＝x﹣3的图象，点P（2，m）在该直线的上方，则m的取值范围是（
）
第11页（共25页）A．m＞﹣3 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜3
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】16：压轴题；2B：探究型．
【分析】把x＝2代入直线的解析式求出y的值，再根据点P（2，m）在该直线的上方即可得
出m的取值范围．
【解答】解：当x＝2时，y＝2﹣3＝﹣1，
∵点P（2，m）在该直线的上方，
∴m＞﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意求出当x＝2时y的值是解
答此题的关键．
10．（1分）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P
顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，又四边形ABCD为
正方形，可得出∠A为直角，进而得到一对角相等，由旋转可得∠DPE为直角，根据平角
的定义得到一对角互余，在直角三角形ADP中，根据两锐角互余得到一对角互余，根据等
角的余角相等可得出一对角相等，再由PD＝PE，利用AAS可得出三角形ADP与三角形
PEF全等，根据确定三角形的对应边相等可得出AD＝PF，AP＝EF，再由正方形的边长相
等得到AD＝AB，由AP+PB＝PB+BF，得到AP＝BF，等量代换可得出EF＝BF，即三角形
BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度
数．
【解答】解：过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
第12页（共25页）∴AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
由旋转可得：PD＝PE，∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠EPF＝90°，
∴∠ADP＝∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵ ，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP＝EF，AD＝PF，
又∵AD＝AB，
∴PF＝AB，即AP+PB＝PB+BF，
∴AP＝BF，
∴BF＝EF，又∠F＝90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF＝45°，又∠CBF＝90°，
则∠CBE＝45°．
故选：C．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰直角
三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．
二、填空题
11．（3分）计算cos60°＝ ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
第13页（共25页）【分析】根据记忆的内容，cos60°＝ 即可得出答案．
【解答】解：cos60°＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这
是需要我们熟练记忆的内容．
12．（3分）分解因式：x3﹣4x＝ x （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】44：因式分解．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二
次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
13．（3分）二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是 ± 6 ．
【考点】4E：完全平方式．
【专题】1：常规题型．
【分析】先根据两平方项项确定出这两个数是x和3，再根据完全平方公式求解即可．
【解答】解：∵x2﹣kx+9＝x2﹣kx+32，
∴﹣kx＝±2×x×3，
解得k＝±6．
故答案为：±6．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成
了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数．
14．（3分）设函数y＝x﹣3与 的图象的两个交点的横坐标为a，b，则 ＝ ﹣ ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】11：计算题．
第14页（共25页）【分析】将函数y＝x﹣3与 组成方程组，得到关于x的二元一次方程，利用根与系数的
关系即可得到ab的值与（a+b）的值．
【解答】解：将y＝x﹣3与 组成方程组得，
，
﹣ 得，x﹣3＝ ，
① ②
整理得，x2﹣3x﹣2＝0，
则a+b＝3，ab＝﹣2，
故 ＝ ＝﹣ ．
故答案为﹣ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道方程组的解就是函数图象的
交点坐标是解题的关键．
15．（3分）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成 4 个正三角形．
【考点】KK：等边三角形的性质．
【专题】16：压轴题；2B：探究型．
【分析】先在平面内摆出一个正三角形，然后再在空间又可以搭出三个等边三角形．
【解答】解：用6根火柴棒搭成正四面体，四个面都是正三角形．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，解答此题时要注意题中是求空间图形而不是平
面图形．
16．（3分）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第
第15页（共25页）（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那
么第（n）个图有 n （ n + 1 ） 个相同的小正方形．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【专题】2A：规律型．
【分析】观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根
据此规律解答即可．
【解答】解：第（1）个图有2个相同的小正方形，2＝1×2，
第（2）个图有6个相同的小正方形，6＝2×3，
第（3）个图有12个相同的小正方形，12＝3×4，
第（4）个图有20个相同的小正方形，20＝4×5，
…，
按此规律，第（n）个图有n（n+1）个相同的小正方形．
故答案为：n（n+1）．
【点评】本题是对图形变化规律的考查，发现正方形的个数是两个连续整数的乘积是解题
的关键，此类题目对同学们的能力要求较高，在平时的学习中要不断积累．
三、解答题
17．（6分）计算： ﹣| |
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【专题】11：计算题．
【分析】根据负整数指数幂、二次根式的化简、零指数幂及绝对值的知识，分别得出各部分
的最简值，继而合并可得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2﹣2 +1﹣（2﹣ ）＝﹣1﹣2 ﹣2+ ＝﹣3﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算、零指数幂及负整数指数幂的知识，属于基础题，掌握各部
分的运算法则是解答本题的关键．
第16页（共25页）18．（6分）解方程组 ．
【考点】9C：解三元一次方程组．
【专题】11：计算题．
【分析】利用加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行
解答．
【解答】解：
+ 得，3x+5y＝11 ，
③×①2+ 得，3x+3y＝④9 ，
③﹣ ②得2y＝2，y＝1，⑤
④将y＝⑤1代入 得，3x＝6，
x＝2， ⑤
将x＝2，y＝1代入 得，z＝6﹣2×2﹣3×1＝﹣1，
①
∴方程组的解为 ．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．
方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的
方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二
元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和
把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观
察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，得到由另外两个未知数
组成的二元一次方程组．
19．（12分）现在“校园手机”越来越受到社会的关注，为此某校九（1）班随机调查了本校若
干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图．
第17页（共25页）（1）求这次调查的家长人数，并补全图 ；
（2）求图 中表示家长“赞成”的圆心①角的度数；
（3）从这次②接受调查的家长来看，若该校的家长为2500名，则有多少名家长持反对态度？
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）根据条形统计图，无所谓的家长有120人，根据扇形统计图，无所谓的家长占
20%，
据此即可求出家长总人数，减掉赞成和无所谓的家长人数，即为反对的人数；从而可补全
直方图；
（2）根据赞成人数和（1）中求出的家长总人数，算出表示“赞成”家长的百分比，即可得
到表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）由样本知，持“反对”态度的家长人数有420人，可以求出反对态度所占样本的百分
比，又知若该校的家长为2500名，进而求出该区家长中持“反对”态度的家长人数．
【解答】解：（1）∵由条形统计图，无所谓的家长有120人，根据扇形统计图，无所谓的家长
第18页（共25页）占20%，
∴家长总人数为120÷20%＝600人；
反对的人数为600﹣60﹣120＝420人．如图所示：
（2）表示“赞成”所占圆心角的度数为： ×360°＝36°；
（3）由样本知，持“反对”态度的家长人数有420人，占被调查人数的 ＝ ，
故该区家长中持“反对”态度的家长人数约有2500× ＝1750人．
【点评】此题考查了扇形统计图和条形统计图以及用样本估计总体的知识，是一道综合题，
读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地
表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（9分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相
同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出
一个小球，记下数字为y．
（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+5的图象上的概率．
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy＞6则小明胜，若x、y满足xy＜
6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（x，y）
在函数y＝﹣x+5的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案；
（2）根据（1）求得小明胜与小红胜的概率，比较概率大小，即可确定游戏是否公平，只要概
第19页（共25页）率等则公平，否则不公平．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，在函数y＝﹣x+5的图象上的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，
1），
∴点（x，y）在函数y＝﹣x+5的图象上的概率为： ＝ ；
（2）∵x、y满足xy＞6有：（2，4），（3，4），（4，2），（4，3）共4种情况，x、y满足xy＜6有（1，
2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1）共6种情况，
∴P（小明胜）＝ ＝ ，P（小红胜）＝ ＝ ，
∴P（小明胜）≠P（小红胜），
∴不公平；
公平的游戏规则为：若x、y满足xy≥6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概
率相等就公平，否则就不公平．
21．（9分）如图， O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作 O的切线交AC的延长
线于点D． ⊙ ⊙
（1）求证：△ABC∽△BDC．
（2）若AC＝8，BC＝6，求△BDC的面积．
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
第20页（共25页）【分析】（1）由AB是 O的直径，可得∠ACB＝∠BCD＝90°，又由BD是 O的切线，根
据同角的余角相等，可⊙得∠A＝∠CBD，利用有两角对应相等的三角形相⊙似，即可证得
△ABC∽△BDC；
（2）由AC＝8，BC＝6，可求得△ABC的面积，又由△ABC∽△BDC，根据相似三角形的面
积比等于相似比的平方，即可求得△BDC的面积．
【解答】（1）证明：∵BD是 O的切线，
∴AB⊥BD， ⊙
∴∠ABD＝90°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝∠BCD＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，∠CBD+∠D＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△ABC∽△BDC；
（2）解：∵△ABC∽△BDC，
∴ ，
∵AC＝8，BC＝6，
∴S△ABC ＝ AC•BC＝ ×8×6＝24，
∴S△BDC ＝S△ABC ÷ ＝24÷（ ）2＝ ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质以及直角三角形
的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（9分）如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B
处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此
时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处．
（1）求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离．
（2）若货轮以45海里/时的速度在A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度
由C处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救
货轮？（结果保留根号）
第21页（共25页）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】（1）由条件可知△ABC为斜三角形，所以作AC上的高，转化为两个直角三角形求
解．
（2）求得海盗船到达D处的时间，用BD的长度除以求得的时间即可得到结论．
【解答】解：（1）作CD⊥AB于点D，
在直角三角形ADC中，∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD．
在直角三角形CDB中，∵∠CBD＝30°，∴ ＝tan30°，∴BD＝ CD．
∵AD+BD＝CD+ CD＝200，
∴CD＝100（ ﹣1）；
（2）∵海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，
∴海盗到达D处用的时间为100（ ﹣1）÷50＝2（ ﹣1），
∴警舰的速度应为[200﹣100（ ﹣1）]÷2（ ﹣1）＝50 海里/时．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形来
求解．
23．（9分）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿
时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自
推出不同的优惠方案．甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分
按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收
费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．
【专题】16：压轴题．
【分析】当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的；当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜，当
第22页（共25页）x＞35时，两个宾馆的收费可以表示成人数x的函数，比较两个函数值的大小即可．
【解答】解：设总人数是x，
当x≤35时，选择两个宾馆是一样的；
当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜；
当x＞45时，甲宾馆的收费是：y甲 ＝35×120+0.9×120×（x﹣35），即y甲 ＝108x+420；
y乙 ＝45×120+0.8×120（x﹣45）＝96x+1080，
当y甲 ＝y乙 时，108x+420＝96x+1080，解得：x＝55；
当y甲 ＞y乙 时，即108x+420＞96x+1080，解得：x＞55；
当y甲 ＜y乙 时，即108x+420＜96x+1080，解得：x＜55；
总之，当x≤35或x＝55时，选择两个宾馆是一样的；
当35＜x＜55时，选择甲宾馆比较便宜；
当x＞55时，选乙宾馆比较便宜．
【点评】此题的关键是用代数式列出在甲、乙两宾馆的费用，用了分类讨论的方法，是解决
此类问题常用的方法．
24．（12分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的
横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；
若不存在，说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解
析式．
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线
第23页（共25页）的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．
（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC ＝S△MNC +S△MNB ＝ MN
（OD+DB）＝ MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于
S△BNC 、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）＝3，a＝﹣1；
∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：
，
解得 ；
故直线BC的解析式：y＝﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图；
∵S△BNC ＝S△MNC +S△MNB ＝ MN（OD+DB）＝ MN•OB，
∴S△BNC ＝ （﹣m2+3m）•3＝﹣ （m﹣ ）2+ （0＜m＜3）；
∴当m＝ 时，△BNC的面积最大，最大值为 ．
【点评】该二次函数题较为简单，考查的知识点有：函数解析式的确定、函数图象交点坐标
第24页（共25页）的求法、二次函数性质的应用以及图形面积的解法．（3）的解法较多，也可通过图形的面
积差等方法来列函数关系式，可根据自己的习惯来选择熟练的解法．
第25页（共25页）
