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2013年贵州省黔东南州中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本大题每小题均有ABCD四个备选
答案，其中只有一个是正确的。
1．（4分）（﹣1）2的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a2+a＝a5
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D． + ＝2
3．（4分）如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体．它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）从长为10cm、7cm、5cm、3cm的四条线段中任选三条能够组成三角形的概率是（
）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．140° B．120° C．40° D．50°
6．（4分）某中学九（1）班6个同学在课间体育活动时进行1分钟跳绳比赛，成绩如下：126，
144，134，118，126，152．这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
第1页（共24页）A．126，126 B．130，134 C．126，130 D．118，152
7．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与
直线AB相切，则r的值为（ ）
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0
9．（4分）直线y＝﹣2x+m与直线y＝2x﹣1的交点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＜1 C．﹣1＜m＜1 D．﹣1≤m≤1
10．（4分）如图，直线y＝2x与双曲线y＝ 在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，
将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（ ）
A．（1，0） B．（1，0）或（﹣1，0）
C．（2，0）或（0，﹣2） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为 ．
12．（4分）使根式 有意义的x的取值范围是 ．
13．（4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是 ．
第2页（共24页）14．（4分）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A＝∠C﹣∠B，则∠B＝
度．
15．（4分）若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则m2+n2的值是
．
16．（4分）观察规律：1＝12；1+3＝22；1+3+5＝32；1+3+5+7＝42；…，则1+3+5+…+2013的值
是 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）
17．（10分）（1）计算：sin30°﹣2﹣1+（ ﹣1）0+ ；
（2）先简化，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝ ．
18．（8分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
19．（8分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC
于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．
第3页（共24页）20．（10分）为了解黔东南州某县2013届中考学生的体育考试得分情况，从该县参加体育考
试的4000名学生中随机抽取了100名学生的体育考试成绩作样本分析，得出如下不完整
的频数统计表和频数分布直方图．
成绩分组 组中值 频数
25≤x＜30 27.5 4
30≤x＜35 32.5 m
35≤x＜40 37.5 24
40≤x＜45 a 36
45≤x＜50 47.5 n
50≤x＜55 52.5 4
（1）求a、m、n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若体育得分在40分以上（包括40分）为优秀，请问该县中考体育成绩优秀学生人数约
为多少？
21．（12分）某校九年级举行毕业典礼，需要从九（1）班的2名男生1名女生、九（2）的1名男
生1名女生共5人中选出2名主持人．
（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自不同班级的概率；
第4页（共24页）（3）求2名主持人恰好1男1女的概率．
22．（12分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°．
（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作 O（尺规
作图，保留作图痕迹，不写作法）； ⊙
（2）证明：AC是所作 O的切线；
⊙
（3）若BC＝ ，sinA＝ ，求△AOC的面积．
23．（12分）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价
是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌
文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有
120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．
（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；
（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；
（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可
获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文
具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？
哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？
第5页（共24页）24．（14分）已知抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y ＝x+1的一个
1 2
交点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）及直线y ＝x+1的图象，并根据图
1 2
象，直接写出使得y ≥y 的x的取值范围；
1 2
（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y ＝x+1于点B，点P
2
在抛物线上，当S△PAB ≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．
第6页（共24页）2013 年贵州省黔东南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本大题每小题均有ABCD四个备选
答案，其中只有一个是正确的。
1．（4分）（﹣1）2的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】根据平方的意义即可求解．
【解答】解：（﹣1）2＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了乘方的运算，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a2+a＝a5
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D． + ＝2
【考点】2C：实数的运算；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．
【专题】11：计算题．
【分析】A、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；
D、原式利用立方根的定义化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，本选项正确；
B、本选项不能合并，错误；
C、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，本选项错误；
D、 + ＝2+ ，本选项错误，
故选：A．
【点评】此题考查了积的乘方与幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，以及完全平方公
式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
3．（4分）如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体．它的左视图是（ ）
第7页（共24页）A． B．
C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据左视图是从左面看到的图判定即可．
【解答】解：左面看去得到的正方形第一层是2个正方形，第二层是1个正方形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何体的三视图，从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图
叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，难度适中．
4．（4分）从长为10cm、7cm、5cm、3cm的四条线段中任选三条能够组成三角形的概率是（
）
A． B． C． D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，让能组成三角形的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：共有10、7、5；10、7、3；10、5、3；7、3、5；4种情况，
10、7、3；10、5、3这两种情况不能组成三角形；
所以P（任取三条，能构成三角形）＝ ．
故选：C．
【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．构成三角形的基本要求为两小
边之和大于最大边．
5．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
第8页（共24页）A．140° B．120° C．40° D．50°
【考点】J2：对顶角、邻补角；JA：平行线的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】如图：由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，可得∠1＝∠3；又根据邻补角的定
义，可得∠2+∠3＝180°，所以可以求得∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝40°；
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等以及邻补角互补．
6．（4分）某中学九（1）班6个同学在课间体育活动时进行1分钟跳绳比赛，成绩如下：126，
144，134，118，126，152．这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．126，126 B．130，134 C．126，130 D．118，152
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：118，126，126，134，144，152，
故众数为：126，
中位数为：（126+134）÷2＝130．
故选：C．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，掌握各知识点的定义是解答本题
的关键．
7．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与
直线AB相切，则r的值为（ ）
第9页（共24页）A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不
同表示方法，即可求出r的值．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm；
由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，
∴AB＝5；
又∵AB是 C的切线，
∴CD⊥AB⊙，
∴CD＝r；
∵S△ABC ＝ AC•BC＝ AB•r；
∴r＝2.4cm，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法；斜边上的
高即为圆的半径是本题的突破点
8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】16：压轴题．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判
断b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点的个
第10页（共24页）数判断b2﹣4ac与0的关系．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右边，
∴a，b异号即b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0．
故选：D．
【点评】二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x＝ 判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac＝
0；没有交点，b2﹣4ac＜0．
9．（4分）直线y＝﹣2x+m与直线y＝2x﹣1的交点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＜1 C．﹣1＜m＜1 D．﹣1≤m≤1
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可．
【解答】解：联立 ，
解得 ，
∵交点在第四象限，
∴ ，
解不等式 得，m＞﹣1，
第11页（共24页）
①解不等式 得，m＜1，
所以，m的②取值范围是﹣1＜m＜1．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线相交的问题，解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点
坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
10．（4分）如图，直线y＝2x与双曲线y＝ 在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，
将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（ ）
A．（1，0） B．（1，0）或（﹣1，0）
C．（2，0）或（0，﹣2） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；R7：坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】联立直线与反比例解析式，求出交点A的坐标，将△ABO绕点O旋转90°，得到
△A′B′O，利用图形及A的坐标即可得到点A′的坐标．
【解答】解：联立直线与反比例解析式得： ，
消去y得到：x2＝1，
解得：x＝1或﹣1，
∴y＝2或﹣2，
∴A（1，2），即AB＝2，OB＝1，
根据题意画出相应的图形，如图所示，
可得A′B′＝A′′B′′＝AB＝2，OB′＝OB′′＝OB＝1，
根据图形得：点A′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选：D．
第12页（共24页）【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形变化
﹣旋转，作出相应的图形是解本题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为 （﹣ 2 ， 0 ） ．
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可以直接写出答
案．
【解答】解：点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．（4分）使根式 有意义的x的取值范围是 x ≤ 3 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，3﹣x≥0，
解得x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
13．（4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】由∠BAC＝∠ACD＝90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三
第13页（共24页）角形的对应边成比例，可得： ，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可
求得答案．
【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴ ，
∵在Rt△ACB中∠B＝45°，
∴AB＝AC，
∵在Rt△ACD中，∠D＝30°，
∴CD＝ ＝ AC，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌
握数形结合思想的应用．
14．（4分）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A＝∠C﹣∠B，则∠B＝ 6 0
度．
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】先整理得到∠A+∠C＝2∠B，再利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．
【解答】解：∵∠B﹣∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠A+∠C＝2∠B，
又∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴3∠B＝180°，
∴∠B＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠A+∠C＝2∠B是解题的关键．
15．（4分）若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则m2+n2的值是
6 ．
【考点】AB：根与系数的关系．
第14页（共24页）【专题】16：压轴题．
【分析】根据题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，所以利用根与系数的
关系来求m2+n2的值．
【解答】解：由题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则m+n＝2，mn＝﹣1．
所以，m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝2×2﹣2×（﹣1）＝6．
故答案是：6．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是
一种经常使用的解题方法．
16．（4分）观察规律：1＝12；1+3＝22；1+3+5＝32；1+3+5+7＝42；…，则1+3+5+…+2013的值
是 101404 9 ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据已知数字变化规律，得出连续奇数之和为数字个数的平方，进而得出答案．
【解答】解：∵1＝12；1+3＝22；1+3+5＝32；1+3+5+7＝42；…，
∴1+3+5+…+2013＝（ ）2＝10072＝1014049．
故答案为：1014049．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字的变与不变是解题关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）
17．（10分）（1）计算：sin30°﹣2﹣1+（ ﹣1）0+ ；
（2）先简化，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝ ．
【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊
角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）分别根据负整数指数幂、0指数幂的计算法则及特殊角的三角函数值计算出
各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣ +1+ ﹣1
π
＝ ；
π
第15页（共24页）（2）原式＝ ÷
＝ ×
＝ ，
当x＝ 时，原式＝ ＝ +1．
【点评】本题考查的是分式的混合运算及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此
题的关键．
18．（8分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
【专题】11：计算题．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，
解不等式 得，x＜2，
解不等式①得，x≥﹣2，
在数轴上②表示如下：
所以，不等式组的解集是﹣2≤x＜2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每
个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，
“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
19．（8分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC
于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．
第16页（共24页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LD：矩形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【专题】14：证明题．
【分析】过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，根据题干条件证明出AP
＝MF，PM＝ME，进而证明△APM≌△FME，即可证明出AM＝EF．
【解答】证明：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP⊥AB，垂足为P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，
∴AP＝QM＝DF＝MF，PM＝PB＝ME，
∵在△APM和△FME中，
，
∴△APM≌△FME（SAS），
∴AM＝EF．
【点评】本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的
判定定理以及矩形的性质等知识，此题正确作出辅助线很易解答．
20．（10分）为了解黔东南州某县2013届中考学生的体育考试得分情况，从该县参加体育考
试的4000名学生中随机抽取了100名学生的体育考试成绩作样本分析，得出如下不完整
的频数统计表和频数分布直方图．
成绩分组 组中值 频数
第17页（共24页）25≤x＜30 27.5 4
30≤x＜35 32.5 m
35≤x＜40 37.5 24
40≤x＜45 a 36
45≤x＜50 47.5 n
50≤x＜55 52.5 4
（1）求a、m、n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若体育得分在40分以上（包括40分）为优秀，请问该县中考体育成绩优秀学生人数约
为多少？
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．
【分析】（1）求出组距，然后利用37.5加上组距就是a的值；根据频数分布直方图即可求
得m的值，然后利用总人数100减去其它各组的人数就是n的值；
（2）利用总人数4000乘以优秀的人数所占的比例即可求得优秀的人数．
【解答】解：（1）组距是：37.5﹣32.5＝5，则a＝37.5+5＝42.5；
根据频数分布直方图可得：m＝12，
则n＝100﹣4﹣12﹣24﹣36﹣4＝20；
（2）优秀的人数所占的比例是： ＝0.6，
则该县中考体育成绩优秀学生人数约为：4000×0.6＝2400（人）．
第18页（共24页）【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．（12分）某校九年级举行毕业典礼，需要从九（1）班的2名男生1名女生、九（2）的1名男
生1名女生共5人中选出2名主持人．
（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自不同班级的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由选出的是2名主持人来自不同班级的情况，然后由概率公式即可求得；
（3）由选出的是2名主持人恰好1男1女的情况，然后由概率公式即可求得．
【解答】解：（1）画树状图得：
共有20种等可能的结果，
（2）∵2名主持人来自不同班级的情况有12种，
∴2名主持人来自不同班级的概率为： ＝ ；
（3）∵2名主持人恰好1男1女的情况有12种，
∴2名主持人恰好1男1女的概率为： ＝ ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗
第19页（共24页）漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上
完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（12分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°．
（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作 O（尺规
作图，保留作图痕迹，不写作法）； ⊙
（2）证明：AC是所作 O的切线；
⊙
（3）若BC＝ ，sinA＝ ，求△AOC的面积．
【考点】MD：切线的判定；N3：作图—复杂作图．
【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线FC，进而得出 O；
（2）根据切线的判定定理求出EO＝BO，即可得出答案； ⊙
（3）根据锐角三角函数的关系求出AC，EO的长，即可得出答案．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，
∵FC平分∠ACB，
∴OB＝OE，
∴AC是所作 O的切线；
⊙
（3）解：∵sinA＝ ，∠ABC＝90°，
∴∠A＝30°，
∴∠ACO＝∠OCB＝ ∠ACB＝30°，
∵BC＝ ，
∴AC＝2 ，BO＝tan30°BC＝ × ＝1，
∴△AOC的面积为： ×AC×OE＝ ×2 ×1＝ ．
第20页（共24页）【点评】此题主要考查了复杂作图以及切线的判定和锐角三角函数的关系等知识，正确把
握切线的判定定理是解题关键．
23．（12分）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价
是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌
文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有
120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．
（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；
（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；
（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可
获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文
具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？
哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？
【考点】FH：一次函数的应用．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据函数图象由待定系数法就可以直接求出y与x之间的函数关系式；
（2）设甲品牌进货单价是a元，则乙品牌的进货单价是2a元，根据购进甲品牌文具盒120
个可以求出乙品牌的文具盒的个数，由共需7200元为等量关系建立方程求出其解即可；
（3）设甲品牌进货m个，则乙品牌的进货（﹣m+300）个，根据条件建立不等式组求出其解
即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由函数图象，得
第21页（共24页），
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+300；
（2）∵y＝﹣x+300；
∴当x＝120时，y＝180．
设甲品牌进货单价是a元，则乙品牌的进货单价是2a元，由题意，得
120a+180×2a＝7200，
解得：a＝15，
∴乙品牌的进货单价是30元．
答：甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元，30元；
（3）设甲品牌进货m个，则乙品牌的进货（﹣m+300）个，由题意，得
，
解得：180≤m≤181，
∵m为整数，
∴m＝180，181．
∴共有两种进货方案：
方案1：甲品牌进货180个，则乙品牌的进货120个；
方案2：甲品牌进货181个，则乙品牌的进货119个；
设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W元，由题意，得
W＝4m+9（﹣m+300）＝﹣5m+2700．
∵k＝﹣5＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴m＝180时，W最大 ＝1800元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，列一元一次方程解实际问题
的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，解答时求出第一问的解析式是解答后面
问题的关键．
24．（14分）已知抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y ＝x+1的一个
1 2
第22页（共24页）交点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）及直线y ＝x+1的图象，并根据图
1 2
象，直接写出使得y ≥y 的x的取值范围；
1 2
（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y ＝x+1于点B，点P
2
在抛物线上，当S△PAB ≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析
式；
（2）确定出抛物线与x轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象．由图象可以直观地看
出使得y ≥y 的x的取值范围；
1 2
（3）首先求出点B的坐标及线段AB的长度；设△PAB中，AB边上的高为h，则由S△PAB ≤6
可以求出h的范围，这是一个不等式，解不等式求出x 的取值范围．
P
【解答】解：（1）∵抛物线与直线y ＝x+1的一个交点的横坐标为2，
2
∴交点的纵坐标为2+1＝3，即交点坐标为（2，3）．
设抛物线的解析式为y ＝a（x﹣1）2+4，把交点坐标（2，3）代入得：
1
3＝a（2﹣1）2+4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为：y ＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．
1
（2）令y ＝0，即﹣x2+2x+3＝0，解得x ＝3，x ＝﹣1，
1 1 2
∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．
在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如图：
第23页（共24页）根据图象，可知使得y ≥y 的x的取值范围为﹣1≤x≤2．
1 2
（3）由（2）可知，点A坐标为（3，0）．
令x＝3，则y ＝x+1＝3+1＝4，∴B（3，4），即AB＝4．
2
设△PAB中，AB边上的高为h，则h＝|x ﹣x |＝|x ﹣3|，
P A P
S△PAB ＝ AB•h＝ ×4×|x
P
﹣3|＝2|x
P
﹣3|．
已知S△PAB ≤6，2|x
P
﹣3|≤6，化简得：|x
P
﹣3|≤3，
去掉绝对值符号，将不等式化为不等式组：﹣3≤x ﹣3≤3，
P
解此不等式组，得：0≤x ≤6，
P
∴当S△PAB ≤6时，点P的横坐标x的取值范围为0≤x
P
≤6且x≠3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、三角形
的面积、解不等式（组）等知识点．题目难度不大，失分点在于第（3）问，点P在线段AB的
左右两侧均有取值范围，注意不要遗漏．
第24页（共24页）
