文档内容
2020年贵州省黔东南州中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，10个小题，共40分）
1．（4分）﹣2020的倒数是（ ）
A．﹣2020 B．﹣ C．2020 D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．x3+x4＝x7
C．x3•x2＝x6 D．（﹣3x）2＝9x2
3．（4分）实数2 介于（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
4．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
5．（4分）如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠1＝
25°，则∠2等于（ ）
A．25° B．30° C．50° D．60°
6．（4分）桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，
则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
A．12个 B．8个 C．14个 D．13个
7．（4分）如图， O的直径CD＝20，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则
AB的长为（ ⊙ ） ⊙
第1页（共27页）A．8 B．12 C．16 D．2
8．（4分）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则
该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
9．（4分）如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，
AC交反比例函数y＝ 的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中
点．以C为圆心，2为半径作圆弧 ，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧 、 ，则图
中阴影部分的面积为（ ）
A． ﹣1 B． ﹣2 C． ﹣3 D．4﹣
二．填空π 题：（每小题3分，π10个小题，共30分）π π
11．（3分）cos60°＝ ．
12．（3分）2020年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大威胁．
截止6月份，全球确诊人数约3200000人，其中3200000用科学记数法表示为 ．
13．（3分）在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝ ．
第2页（共27页）14．（3分）不等式组 的解集为 ．
15．（3分）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所
得直线的解析式为 ．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣
3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是 ．
17．（3分）以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的
平面直角坐▱标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
18．（3分）某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，
则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是 ．
19．（3分）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离
OE为 ．
20．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过
点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝ ．
第3页（共27页）三、解答题：（6个小题，共80分）
21．（14分）（1）计算：（ ）﹣2﹣| ﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣ ）0；
π
（2）先化简，再求值：（ ﹣a+1）÷ ，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的
数代入求值．
22．（12分）某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为
优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A
等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽
取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
等级 频数（人数） 频率
A a 20%
B 16 40%
C b m
D 4 10%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．
（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法
求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
第4页（共27页）23．（12分）如图，AB是 O的直径，点C是 O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线
PQ，使得∠ACQ＝∠⊙ABC． ⊙
（1）求证：直线PQ是 O的切线．
⊙
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交 O于点E，若 O的半径为2，sin∠DAC＝ ，求图中
⊙ ⊙
阴影部分的面积．
24．（14分）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60
元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品
的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应
关系如表：
销售单价x（元/件） 11 19
日销售量y（件） 18 2
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为
第5页（共27页）多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
25．（14分）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求
△ACD的面积及AD的长．
26．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y
轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D
为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说
明理由．
第6页（共27页）第7页（共27页）2020年贵州省黔东南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，10个小题，共40分）
1．（4分）﹣2020的倒数是（ ）
A．﹣2020 B．﹣ C．2020 D．
【分析】根据倒数的概念解答．
【解答】解：﹣2020的倒数是﹣ ，
故选：B．
【点评】本题考查的是求一个数的倒数，掌握求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之
一是解题的关键．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．x3+x4＝x7
C．x3•x2＝x6 D．（﹣3x）2＝9x2
【分析】直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法
则分别计算得出答案．
【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
B、x3+x4，不是同类项，无法合并，故此选项错误；
C、x3•x2＝x5，故此选项错误；
D、（﹣3x）2＝9x2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方
运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（4分）实数2 介于（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】首先化简2 ＝ ，再估算 ，由此即可判定选项．
【解答】解：∵2 ＝ ，且6＜ ＜7，
∴6＜2 ＜7．
故选：C．
第8页（共27页）【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的
数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基
础题型．
5．（4分）如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠1＝
25°，则∠2等于（ ）
A．25° B．30° C．50° D．60°
【分析】由折叠的性质可得出∠ACB′的度数，由矩形的性质可得出AD∥BC，再利用“两
直线平行，内错角相等”可求出∠2的度数．
【解答】解：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质以及矩形的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是
解题的关键．
6．（4分）桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，
则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
第9页（共27页）A．12个 B．8个 C．14个 D．13个
【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．
【解答】解：底层正方体最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以组成这个几何
体的小正方体的个数最多有13个．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，
左视图拆违章”找到所需最多正方体的个数．
7．（4分）如图， O的直径CD＝20，AB是 O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则
AB的长为（ ⊙ ） ⊙
A．8 B．12 C．16 D．2
【分析】连接OA，先根据 O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5求出OD及OM的长，再根据
勾股定理可求出AM的长⊙，进而得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵ O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5，
∴⊙OC＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝ ＝ ＝8，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
第10页（共27页）【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的
关键．
8．（4分）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则
该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况： 当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三
角形； 当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出①菱形ABCD的周长．
【解答②】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
①当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
②∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形
的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．
9．（4分）如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，
AC交反比例函数y＝ 的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
第11页（共27页）A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系
数k的几何意义得到S△APC ＝S△AOC ＝3，S△BPC ＝S△BOC ＝1，然后利用S△PAB ＝S△APC ﹣
S△APB 进行计算．
【解答】解：如图，连接OA、OB、PC．
∵AC⊥y轴，
∴S△APC ＝S△AOC ＝ ×|6|＝3，S△BPC ＝S△BOC ＝ ×|2|＝1，
∴S△PAB ＝S△APC ﹣S△BPC ＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数y＝ （k≠0）系数k的几何意义：即图象上的点与原点所
连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝ |k|．也考查
了三角形的面积．
10．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中
点．以C为圆心，2为半径作圆弧 ，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧 、 ，则图
中阴影部分的面积为（ ）
第12页（共27页）A． ﹣1 B． ﹣2 C． ﹣3 D．4﹣
【分π析】根据题意和图形，π可知阴影部分的面积是π以2为半径的四分之一个圆π的面积减去
以1为半径的半圆的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之
一个圆的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
阴影部分的面积是： • ×22﹣ ﹣2（1×1﹣ • ×12）＝ ﹣2，
π π π
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，利用数形结合的思想解答．
二．填空题：（每小题3分，10个小题，共30分）
11．（3分）cos60°＝ ．
【分析】根据记忆的内容，cos60°＝ 即可得出答案．
【解答】解：cos60°＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这
是需要我们熟练记忆的内容．
12．（3分）2020年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大威胁．
截止6月份，全球确诊人数约3200000人，其中3200000用科学记数法表示为 3.2×1 0 6
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3200000＝3.2×106．
故答案为：3.2×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝ x （ y + 2 ）（ y ﹣ 2 ） ．
第13页（共27页）【分析】本题可先提公因式x，再运用平方差公式分解因式即可求解．
【解答】解：xy2﹣4x
＝x（y2﹣4）
＝x（y+2）（y﹣2）．
故答案为：x（y+2）（y﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，平方差公式分解因式的方法，正解运用公式法分解因式
是关键
14．（3分）不等式组 的解集为 2 ＜ x ≤ 6 ．
【分析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”
可确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，
解不等式 x﹣1≤4﹣ x，得：x≤6，
则不等式组的解集为2＜x≤6，
故答案为：2＜x≤6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（3分）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所
得直线的解析式为 y ＝ 2 x + 3 ．
【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，
再向上平移2个单位长度，得到y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
【点评】此题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣
3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是 ﹣ 3 ＜ x ＜ 1 ．
第14页（共27页）【分析】根据物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴
的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝
﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另
一个交点．
17．（3分）以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的
平面直角坐▱标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 （ 2 ，﹣ 1 ） ．
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据 ABCD对角线的交点O为原点和点A
的坐标，即可得到点C的坐标． ▱
【解答】解：∵ ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为▱（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用
平行四边形的性质解答．
18．（3分）某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，
第15页（共27页）则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好
是甲、乙、丙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1种结果，
∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（3分）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离
OE为 ．
【分析】在等腰△ACD中，顶角∠A＝30°，易求得∠ACD＝75°；根据等边对等角，可得：
∠OCA＝∠A＝30°，由此可得，∠OCD＝45°；即△COE是等腰直角三角形，则OE＝ ．
【解答】解：∵AC＝AD，∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∵AO＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠OCD＝45°，即△OCE是等腰直角三角形，
在等腰Rt△OCE中，OC＝2；
第16页（共27页）因此OE＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识
的应用．
20．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过
点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝ ．
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的
定义得到DE＝ CD＝ AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝ CD＝ AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴ ＝ ＝ ，
第17页（共27页）∵CD＝2，
∴PQ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关
键．
三、解答题：（6个小题，共80分）
21．（14分）（1）计算：（ ）﹣2﹣| ﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣ ）0；
π
（2）先化简，再求值：（ ﹣a+1）÷ ，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的
数代入求值．
【分析】（1）先算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再算加减法即
可求解；
（2）先通分，把除法转化成乘法，再把分式的分子与分母因式分解，然后约分，最后代入一
个合适的数即可．
【解答】解：（1）（ ）﹣2﹣| ﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣ ）0
π
＝4+ ﹣3+2×1﹣1
＝4+ ﹣3+2﹣1
＝2+ ；
（2）（ ﹣a+1）÷
＝ ×
＝ ×
＝﹣a﹣1，
要使原式有意义，只能a＝3，
则当a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
【点评】此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是分式的减法、除法，关键是利用分式
第18页（共27页）的有关运算法则对要求的式子进行化简．同时考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三
角函数值，零指数幂的计算．
22．（12分）某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为
优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A
等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽
取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
等级 频数（人数） 频率
A a 20%
B 16 40%
C b m
D 4 10%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的a＝ 8 ，b＝ 1 2 ，m＝ 30% ．
（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．
（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法
求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）根据题意列式计算即可得到结论；
（2）用D等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣
20%﹣40%﹣10%＝30%；
故答案为：8，12，30%；
（2）本次调查共抽取了4÷10%＝40名学生；
补全条形图如图所示；
（3）将男生分别标记为A，B，女生标记为a，b，
第19页（共27页）A B a b
A （A，B） （A，a） （A，b）
B （B，A） （B，a） （B，b）
a （a，A） （a，B） （a，b）
b （b，A） （b，B） （b，a）
∵共有12种等可能的结果，恰为一男一女的有8种，
∴抽得恰好为“一男一女”的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是能够正确的列表，用到的知识点
为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（12分）如图，AB是 O的直径，点C是 O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线
PQ，使得∠ACQ＝∠⊙ABC． ⊙
（1）求证：直线PQ是 O的切线．
⊙
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交 O于点E，若 O的半径为2，sin∠DAC＝ ，求图中
⊙ ⊙
阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的
性质及已知条件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论．
（2）由sin∠DAC＝ ，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD的 度数，进而判定△AEO为等
边三角形，则∠AOE的度数可得；利用S阴影 ＝S扇形 ﹣S△AEO ，可求得答案．
第20页（共27页）【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO．
∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，
∴直线PQ是 O的切线．
（2）连接OE⊙，
∵sin∠DAC＝ ，AD⊥PQ，
∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°．
又∵OA＝OE，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠AOE＝60°．
∴S阴影 ＝S扇形 ﹣S△AEO
＝S扇形 ﹣ OA•OE•sin60°
＝ ×22﹣ ×2×2×
＝ ﹣ ．
∴图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及扇形
和三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
24．（14分）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60
第21页（共27页）元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品
的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应
关系如表：
销售单价x（元/件） 11 19
日销售量y（件） 18 2
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为
多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得关于a、b的二元一
次方程组，求解即可．
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k x+b ，用待定系数法求解即可．
1 1
（3）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函
数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：
，
解得： ．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k x+b ，将（11，18），（19，2）代入得：
1 1
，解得： ．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．
（3）由题意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10）
＝﹣2x2+60x﹣400
＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．
∴当x＝15时，w取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
第22页（共27页）【点评】本题考查了二元一次方程组和二次函数在实际问题中的应用及待定系数法求一次
函数的解析式等知识点，理清题中的数量关系并明确相关函数的性质是解题的关键．
25．（14分）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求
△ACD的面积及AD的长．
【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据 SAS 可证明
△ACE≌△BCD；
（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角
函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的
长．
【解答】解：（1）全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△ACE≌△BCD（ SAS）；
（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，
第23页（共27页）∴BD＝AE，
∵△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
∴AE＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝ ；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，
∵B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF＝ ，
∴AF＝AC×sin∠ACF＝1× ＝ ，
∴S△ACD ＝ ＝ ＝ ，
第24页（共27页）∴CF＝AC×cos∠ACF＝1× ＝ ，
FD＝CD﹣CF＝2﹣ ，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝ ＝3，
∴AD＝ ．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟
练掌握相关性质是解题的关键．
26．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y
轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D
为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说
明理由．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可
得出结论；
（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解
即可；
（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结
论．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
第25页（共27页）∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AC＝ ，
设点E（0，m），则AE＝ ，CE＝|m+3|，
∵△ACE是等腰三角形，
∴ 当AC＝AE时， ＝ ，
①
∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），
∴E（0，3），
当AC＝CE时， ＝|m+3|，
②∴m＝﹣3± ，
∴E（0，﹣3+ ）或（0，﹣3﹣ ），
当AE＝CE时， ＝|m+3|，
③
∴m＝﹣ ，
∴E（0，﹣ ），
即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+ ）、（0，﹣3﹣ ）、（0，﹣ ）；
（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），
∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在
抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，
∴点Q的纵坐标为4，
设Q（t，4），
第26页（共27页）将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，
∴t＝1+2 或t＝1﹣2 ，
∴Q（1+2 ，4）或（1﹣2 ，4），
分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），
∴FB＝PG＝3﹣1＝2，
∴点P的横坐标为（1+2 ）﹣2＝﹣1+2 或（1﹣2 ）﹣2＝﹣1﹣2 ，
即P（﹣1+2 ，0）、Q（1+2 ，4）或P（﹣1﹣2 ，0）、Q（1﹣2 ，4）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平移的性质，
用方程的思想解决问题是解本题的关键．
第27页（共27页）
