文档内容
2021年贵州省黔东南州中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，10个小题共40分.）
1．（4分）（2021•黔东南州）2021的相反数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
2．（4分）（2021•黔东南州）下列运算正确的是（ ）
A． + ＝ B．a3•a2＝a6
C．（a3）2＝a6 D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
3．（4分）（2021•黔东南州）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用30°角的三
角板的直角边和含45°角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
4．（4分）（2021•黔东南州）一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了
颜色外无其他差别，从中摸出3个球（ ）
A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球
C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球
5．（4分）（2021•黔东南州）由4个棱长均为1的小正方体组成如图所示的几何体，这个
几何体的表面积为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．6
6．（4分）（2021•黔东南州）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a
的值为（ ）
第1页（共27页）A．2 B．3 C．4 D．5
7．（4分）（2021•黔东南州）如图，抛物线L ：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公
1
共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物
线L ，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（4分）（2021•黔东南州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝8，若以AC为
直径的 O交AB于点D（ ）
⊙
A． B． C． D．5
9．（4分）（2021•黔东南州）已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P
是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形（ ）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
10．（4分）（2021•黔东南州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆
时针旋转60°，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，则B′E的长为（ ）
第2页（共27页）A． B． C． D．
二、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）
11．（3分）（2021•黔东南州）目前我国建成世界上规模最大的社会保障体系，截止2020
年 12 月底，基本医疗保险覆盖超过 13 亿人，1300000000 用科学记数法表示为
．
12．（3分）（2021•黔东南州）分解因式：4ax2﹣4ay2＝ ．
13．（3分）（2021•黔东南州）黔东南州某校今年春季开展体操活动，小聪收集、整理了
成绩突出的甲、乙两队队员（各50名）的身高得到：平均身高（单位：cm） ＝
160， ＝162．方差分别为：S2
甲
＝1.5，S2
乙
＝2.8．现要从甲、乙两队中选出身高比
较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择 ．（填写
“甲队”或“乙队”）
14．（3分）（2021•黔东南州）如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长
线上，则∠DCE的度数为 度．
15．（3分）（2021•黔东南州）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点 A
（2，1）、点B（2，0）（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，则点A的对
应点的坐标为 ．
第3页（共27页）16 ． （ 3 分 ） （ 2021• 黔 东 南 州 ） 不 等 式 组 的 解 集 是
．
17．（3分）（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆
形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，量的弧AB的中心C到AB的距离CD
＝1.6cm，AB＝6.4cm cm．
18．（3分）（2021•黔东南州）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处
忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为 20 cm2，则这个扇形的圆心角的度数是
度． π
19．（3分）（2021•黔东南州）如图，若反比例函数y＝ 的图象经过等边三角形POQ
的顶点P ．
20．（3分）（2021•黔东南州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点
（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x 、x ，其中﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，下列结论：
1 2 1 2
第4页（共27页）①abc＞0；②2a+b＜0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中
正确的有 ．（填写正确的序号）
三、解答题（6个小题，共80分）
21 ． （ 14 分 ） （ 2021• 黔 东 南 州 ） （ 1 ） 计 算 ： 2cos30°﹣ 2﹣ 1﹣
；
（2）先化简： ，然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合
适的数代入求值．
22．（14分）（2021•黔东南州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了“党在我
心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，
绘制成不完整的统计图表．
组别 成绩x（分） 频数
A 75.5≤x＜80.5 6
B 80.5≤x＜85.5 14
C 85.5≤x＜90.5 m
D 90.5≤x＜95.5 n
E 95.5≤x＜100.5 p
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的m＝ ，n＝ ，p＝ ．
（2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图．
（3）已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上的学生有多少人？
（4）现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小丽
和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率．
第5页（共27页）23．（12分）（2021•黔东南州）如图，PA是以AC为直径的 O的切线，切点为A，交
O于点B． ⊙
⊙（1）求证：PB是 O的切线；
⊙
（2）若AB＝6，cos∠PAB＝ ，求PO的长．
24．（12分）（2021•黔东南州）黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进
3件A商品和2件B商品，需要1100元，需要1750元．
（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地
销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元，运往乙地的商品共
260件．
①设运往甲地的A商品为x（件），投资总运费为y（元），请写出y与x的函数关系
式；
②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝
购进商品的费用+运费）
25．（12分）（2021•黔东南州）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
【探究发现】
第6页（共27页）（1）如图①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°．求证：AD+AB＝AC；
【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°．
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
26．（16分）（2021•黔东南州）如图，抛物线 y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B
（3，0）两点（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，请直接
写出点P、Q的坐标；
（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的
点M，若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．
第7页（共27页）2021年贵州省黔东南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，10个小题共40分.）
1．（4分）（2021•黔东南州）2021的相反数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
【解答】解：2021的相反数是﹣2021，
故选：B．
2．（4分）（2021•黔东南州）下列运算正确的是（ ）
A． + ＝ B．a3•a2＝a6
C．（a3）2＝a6 D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
【解答】解：A选项， 和 不是同类二次根式，故该选项错误；
B选项，原式＝a3，故该选项错误；
C选项，原式＝a6，故该选项正确；
D选项，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故该选项错误；
故选：C．
3．（4分）（2021•黔东南州）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用30°角的三
角板的直角边和含45°角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
【解答】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠E＝30°，
第8页（共27页）∴∠AGE＝∠BGF＝45°，
∵∠1＝∠E+∠AGE，
∴∠1＝30°+45°＝75°，
故选：D．
4．（4分）（2021•黔东南州）一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了
颜色外无其他差别，从中摸出3个球（ ）
A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球
C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球
【解答】解：至少有1个球是白球是随机事件，A选项不正确；
至少有1个球是黑球是必然事件，B选项正确；
至少有2个球是白球是随机事件，C选项不正确；
至少有2个球是黑球是随机事件，D选项不正确；
故选：B．
5．（4分）（2021•黔东南州）由4个棱长均为1的小正方体组成如图所示的几何体，这个
几何体的表面积为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．6
【解答】解：正视图中正方形有3个；
左视图中正方形有3个；
俯视图中正方形有8个．
则这个几何体表面正方形的个数是：2×（3+3+3）＝18．
则几何体的表面积为18．
第9页（共27页）故选：A．
6．（4分）（2021•黔东南州）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a
的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝4的一个根是2，
∴23﹣2a+6＝7，
解得a＝5．
故选：D．
7．（4分）（2021•黔东南州）如图，抛物线L ：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公
1
共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物
线L ，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图所示，
过抛物线L 的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
2
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L ：y＝ax8+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，5），2），
1
第10页（共27页）∴OB＝2，OA＝3，
将抛物线L 向下平移两个单位长度得抛物线L ，则AD＝OC＝2，
1 2
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分 ＝S矩形OCDA ＝OA•AD＝1×2＝2．
故选：B．
8．（4分）（2021•黔东南州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝8，若以AC为
直径的 O交AB于点D（ ）
⊙
A． B． C． D．5
【解答】解：∵以AC为直径的 O交AB于点D，
∴∠ADC＝90°，即CD⊥AB． ⊙
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝8，
则由勾股定理得到：AB＝ ＝ ＝10．
∴ AC•BC＝ ，即 ＝ ．
故CD＝ ．
故选：C．
9．（4分）（2021•黔东南州）已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P
第11页（共27页）是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形（ ）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
【解答】解：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，
当y＝0时，x＝4，y＝1；
故A、B两点坐标分别为A（1，B（8，
∵点P是第一象限内的点且△PAB为等腰直角三角形，
①当∠PAB＝90°时，P点坐标为（2；
②当∠PBA＝90°时，P点坐标为（1；
③当∠APB＝90°时，P点坐标为（6；
故选：C．
10．（4分）（2021•黔东南州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆
时针旋转60°，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，则B′E的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：分别延长AD和BE交于点F，
第12页（共27页）由题知，AB＝2，
∴BF＝AB÷cos60°＝2÷ ＝4 ＝2 ，
∴DF＝AF﹣AD＝2 ﹣8，
∴EF＝DF•cos∠F＝（2 ）× ，
由题知，△ABB'是等边三角形，
∴B'E＝BF﹣BB'﹣EF＝4﹣2﹣（7﹣ ）＝ ，
故选：A．
二、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）
11．（3分）（2021•黔东南州）目前我国建成世界上规模最大的社会保障体系，截止2020
年 12 月底，基本医疗保险覆盖超过 13 亿人，1300000000 用科学记数法表示为
1.3×10 9 ．
【解答】解：1300000000＝1.3×106．
故答案为：1.3×102．
12．（3分）（2021•黔东南州）分解因式：4ax2﹣4ay2＝ 4 a （ x ﹣ y ）（ x + y ） ．
【解答】解：4ax2﹣2ay2＝4a（x8﹣y2）
＝4a（x﹣y）（x+y）．
故答案为：4a（x﹣y）（x+y）．
13．（3分）（2021•黔东南州）黔东南州某校今年春季开展体操活动，小聪收集、整理了
成绩突出的甲、乙两队队员（各50名）的身高得到：平均身高（单位：cm） ＝
160， ＝162．方差分别为：S2
甲
＝1.5，S2
乙
＝2.8．现要从甲、乙两队中选出身高比
第13页（共27页）较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择 甲队 ．（填写
“甲队”或“乙队”）
【解答】解：∵S2
甲
＝1.4，S2
乙
＝2.5，
∴S2
甲
＜S2
乙
，
∴甲队身高比较整齐，
故答案为：甲队．
14．（3分）（2021•黔东南州）如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长
线上，则∠DCE的度数为 6 4 度．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADB＝32°，
∴∠CBD＝∠BDC＝32°，
∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝64°，
故答案为：64．
15．（3分）（2021•黔东南州）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点 A
（2，1）、点B（2，0）（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，则点A的对
应点的坐标为 （ 4 ， 2 ）或（﹣ 4 ，﹣ 2 ） ．
【解答】解：如图，观察图象可知，2）或（﹣4．
第14页（共27页）故答案为：（2，2）或（﹣4．
16．（3分）（2021•黔东南州）不等式组 的解集是 ．
【解答】解：解不等式5x+2＞2（x﹣1），得：x＞﹣ ，
解不等式 ，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣ ＜x≤4，
故答案为﹣ ＜x≤4．
17．（3分）（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆
形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，量的弧AB的中心C到AB的距离CD
＝1.6cm，AB＝6.4cm 4 cm．
【解答】解：∵C点是 的中点，
∴CD过圆心，AD＝BD＝ ×6.3＝3.2（cm），
设圆心为O，连接OA，
设 O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣4.6）cm，
在⊙Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.72＝R2，解得R＝4（cm），
所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．
故答案为4．
第15页（共27页）18．（3分）（2021•黔东南州）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处
忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为 20 cm2，则这个扇形的圆心角的度数是 150
度． π
【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆周长为20 cm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的π弧长为20 cm，
π
由题意得： ×20 ×l＝240 ，
解得：l＝24， π π
则 ＝20 ，
解得，n＝150， π
故答案为：150．
19．（3分）（2021•黔东南州）如图，若反比例函数y＝ 的图象经过等边三角形POQ
的顶点P 2 ．
【解答】解：如图，过点P作x轴的垂线于M，
∵△POQ为等边三角形，
∴OP＝OQ，OM＝QM＝ ，
第16页（共27页）∵反比例函数的图象经过点P，
∴设P（a， ）（a＞0），
则OM＝a，OQ＝OP＝2a ，
在Rt△OPM中，
PM＝ ＝ ＝ a，
∴ ＝ a，
∴a＝4（负值舍去），
∴OQ＝2a＝2，
故答案为：3．
20．（3分）（2021•黔东南州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点
（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x 、x ，其中﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，下列结论：
1 2 1 2
①abc＞0；②2a+b＜0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中
正确的有 ②④⑤ ．（填写正确的序号）
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，a、b异号，与y轴的交点在正半轴，
所以abc＜0，故①错误；
第17页（共27页）对称轴在8～1之间，于是有0＜﹣ ，又a＜0，故②正确；
当x＝﹣2时，y＝5a﹣b+c＜0；
当x＝m（1＜m＜7）时，y＝am2+bm+c＜2，所以am3+bm＜2﹣c，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜8，y＝a+b+c＝2，即b＞1；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
三、解答题（6个小题，共80分）
21 ． （ 14 分 ） （ 2021• 黔 东 南 州 ） （ 1 ） 计 算 ： 2cos30°﹣ 2﹣ 1﹣
；
（2）先化简： ，然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合
适的数代入求值．
【解答】解：（1）原式＝ ＝ ；
（2）原式＝
＝x+2，
∵x取2或2时，原式无意义，
∴x只能取1，
当x＝8时，原式＝3．
22．（14分）（2021•黔东南州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了“党在我
心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，
绘制成不完整的统计图表．
组别 成绩x（分） 频数
A 75.5≤x＜80.5 6
B 80.5≤x＜85.5 14
C 85.5≤x＜90.5 m
D 90.5≤x＜95.5 n
E 95.5≤x＜100.5 p
第18页（共27页）请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的m＝ 1 8 ，n＝ 8 ，p＝ 4 ．
（2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图．
（3）已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上的学生有多少人？
（4）现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小丽
和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：14÷28%＝50（人），
∴m＝50×36%＝18，
由题意得：p＝4，
∴n＝50﹣6﹣14﹣18﹣5＝8，
故答案为：18，8，5；
（2）∵p+n+m＝4+8+18＝30，
∴这次调查成绩的中位数落在C组；
补全频数分布直方图如下：
第19页（共27页）（3） ，
即估计竞赛成绩在90分以上的学生有240人；
（4）将“小丽”和“小洁”分别记为：A、B，另两个同学分别记为：C、D
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有2种，
∴恰好抽到小丽和小洁的概率为： ＝ ．
23．（12分）（2021•黔东南州）如图，PA是以AC为直径的 O的切线，切点为A，交
O于点B． ⊙
⊙（1）求证：PB是 O的切线；
⊙
（2）若AB＝6，cos∠PAB＝ ，求PO的长．
【解答】（1）证明：连接OB，
第20页（共27页）∵PA是以AC为直径的 O的切线，切点为A，
∴∠PAO＝90°， ⊙
∵OA＝OB，AB⊥OP，
∴∠POA＝∠POB，
在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
即OB⊥PB，
∴PB是 O的切线；
（2）解⊙：设OP与AB交于点D．
∵AB⊥OP，AB＝6，
∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝90°，
∵ ，
∴PA＝2，
∴PD＝ ＝ ，
第21页（共27页）在Rt△APD和Rt△APO中， ， ，
∴ ，
∴PO＝ ．
24．（12分）（2021•黔东南州）黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进
3件A商品和2件B商品，需要1100元，需要1750元．
（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地
销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元，运往乙地的商品共
260件．
①设运往甲地的A商品为x（件），投资总运费为y（元），请写出y与x的函数关系
式；
②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝
购进商品的费用+运费）
【解答】解：（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，
根据题意，得 ，
解得： ，
答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；
（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，
运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，
则y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，
∴y与x的函数关系式为y＝7x+10040；
②投资总费用w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，
自变量的取值范围是：6≤x≤200，
∵k＝4＞0，
∴y随x增大而增大．
当x＝6时，w取得最小值，w最小 ＝125040（元），
第22页（共27页）∴最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品，最小费用为125040
元．
答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品，最小费用为125040元．
25．（12分）（2021•黔东南州）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
【探究发现】
（1）如图①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°．求证：AD+AB＝AC；
【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°．
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°
∵∠ADC＝∠ABC＝90°
∴∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴AD＝ ， ．
∴AD+AB＝AC，
（2）①AD+AB＝AC，
理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．
第23页（共27页）∵AC平分∠BAD，CE⊥AD于E，
∴CF＝CE
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠EDC+∠ADC＝180°，
∴∠FBC＝∠EDC
在△CED和△CFB中，
，
∴△CFB≌△CED（AAS），
∴FB＝DE，
∴AD+AB＝AD+FB+AF＝AD+DE+AF＝AE+AF，
在四边形AFCE中，由（1）题知：AE+AF＝AC，
∴AD+AB＝AC，
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，
又∵AC＝10
∴CE＝AC ，
∵CF＝CE，AD+AB＝AC，
∴ ＝ ．
26．（16分）（2021•黔东南州）如图，抛物线 y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B
第24页（共27页）（3，0）两点（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，请直接
写出点P、Q的坐标；
（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的
点M，若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．
【解答】解：（1）将点 B（3，0），﹣7）分别代入 y＝ax2﹣2x+c 中，得：
，
∴抛物线得函数关系为y＝x2﹣2x﹣6；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣ ，
故设点P（1，m），
设点Q（x，5），
当以点P、Q、B、C为顶点，
点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B，同样P（Q）向右平移3个单位向上
平移3个单位得到点Q（P），
则1±6＝x且m±3＝0，
解得 或 ，
故点P、Q的坐标分别为（1、（4，2），0）；
第25页（共27页）（3）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝2，解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A（﹣1，5），
又y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣5，
∴抛物线得顶点D得坐标为（1，﹣4），
∵C（3，﹣3），0），﹣3），
∴BD2＝22+42＝20，CD8＝12+72，BC2＝62+35，
∴BD2＝CD2+BC7，
∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝90°，
设点M得坐标（m，0），m2﹣6m﹣3），
根据题意知：∠AMG＝∠BCD＝90°，
∴要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似 ，
①当m＜﹣1时，此时有： ，
解得： ，m ＝﹣5或m ＝0，m ＝﹣1，都不符合m＜﹣1；
2 1 4
②当﹣7＜m≤3时，此时有： ，
解得： ，m ＝﹣1（不符合要求，舍去）或m ＝0，m ＝﹣7（不符合要求，舍
2 8 2
去），
∴M（ ）或M（0，
③当m＞3时，此时有： 或 ，
解得： （不符合要求 ＝6，m ＝﹣6（不符要求，舍去），
2 2
∴点M（6，0）或M（ ，
答：存在点M，使得A、M，点M的坐标为：M（0 ，0）或M（6 ，0）．
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