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2013年贵州省毕节地区中考数学试卷
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题的四个选项中，中只有一个选
项正确．）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．
2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）2013年毕节市参加初中毕业学业（升学）统一考试的学生人数约为107000人，将
107000用科学记数法表示为（ ）
A．10.7×104 B．1.07×105 C．107×103 D．0.107×106
4．（3分）实数 （相邻两个1之间依次多一
个0），其中无理数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）估计 的值在（ ）之间．
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3 B．a3÷a＝a3 C．a+a＝2a D．（a3）2＝a5
7．（3分）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．20或16 C．20 D．12
8．（3分）在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
线段， 角， 等边三角形， 圆， 平行四边形， 矩形．
①A． ② ③ B． ④ ⑤ C． ⑥ D．
9．（3③分）④数⑥据4，7，4，8，①6③，6⑥，9，4的众数和中④位⑤数⑥是（ ） ①④⑥
A．6，9 B．4，8 C．6，8 D．4，6
第1页（共26页）10．（3分）分式方程 的解是（ ）
A．x＝﹣3 B． C．x＝3 D．无解
11．（3分）如图，已知AB∥CD，∠EBA＝45°，∠E+∠D的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．45°
12．（3分）如图在 O中，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足为C，且OC＝3，则 O的半径（ ）
⊙ ⊙
A．5 B．10 C．8 D．6
13．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数 的图象在同一直角坐标系下
的大致图象如图所示，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＞0，b＜0
14．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的
图象解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣3
15．（3分）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心作 O交
BC于点M、N， O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则 O的半径和∠MND的度⊙数分
别为（ ） ⊙ ⊙
第2页（共26页）A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
16．（5分）二元一次方程组 的解是 ．
17．（5分）正八边形的一个内角的度数是 度．
18．（5分）已知 O 与 O 的半径分别是a，b，且a、b满足 ，圆心距O O ＝
1 2 1 2
5，则两圆的⊙位置关⊙系是 ．
19．（5分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是 cm（2 结果
保留 ）
π
20．（5分）一次函数y＝kx+1的图象经过（1，2），则反比例函数 的图象经过点（2，
）．
三、解答及证明（本大题共7个小题，各题的分值见题号，共80分）
21．（8分）计算： ．
22．（10分）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每
一份内标有数 字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停
止后，指针所在区域的数字之和为偶数 时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落
在分界线上，则需要重新转动转盘．
（1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
第3页（共26页）23．（8分）先化简，再求值． ，其中m＝3．
24．（12分）解不等式组． 把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不
等式组的非负整数解．
25．（12分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连
接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得
到；
（3）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．
第4页（共26页）26．（14分）如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC
方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．
（精确到0.1米， ≈1.732）
27．（16分）如图，抛物线y＝ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点
第5页（共26页）C（0，1）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果
保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、
P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共26页）2013 年贵州省毕节地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题的四个选项中，中只有一个选
项正确．）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．
【考点】14：相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解．
【解答】解：﹣2的相反数为2，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【专题】1：常规题型．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：几何体的主视图是：
故选：A．
第7页（共26页）【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）2013年毕节市参加初中毕业学业（升学）统一考试的学生人数约为107000人，将
107000用科学记数法表示为（ ）
A．10.7×104 B．1.07×105 C．107×103 D．0.107×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将107000用科学记数法表示为1.07×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）实数 （相邻两个1之间依次多一
个0），其中无理数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】26：无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：无理数有：﹣ ，0.1010010001…．共有2个．
故选：B． π
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
5．（3分）估计 的值在（ ）之间．
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
【考点】2B：估算无理数的大小．
【分析】11介于9与16之间，即9＜11＜16，则利用不等式的性质可以求得 介于3与4
第8页（共26页）之间．
【解答】解：∵9＜11＜16，
∴3＜ ＜4，即 的值在3与4之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根式的计算和估算无理数的大小，解题需掌握二次根式的基本运
算技能，灵活应用．“夹比法”是估算的一般方法，也是常用方法．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3 B．a3÷a＝a3 C．a+a＝2a D．（a3）2＝a5
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除
法．
【分析】结合各选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方等
运算，然后选出正确选项即可．
【解答】解：A、a3•a3＝a6，原式计算错误，故本选项错误；
B、a3÷a＝a3﹣1＝a2，原式计算错误，故本选项错误；
C、a+a＝2a，原式计算正确，故本选项正确；
D、（a3）2＝a6，原式计算错误，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，属于基础题，掌
握各运算法则是解题的关键．
7．（3分）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．20或16 C．20 D．12
【考点】K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．
【分析】因为已知长度为4和8两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类
讨论．
【解答】解： 当4为底时，其它两边都为8，
4、8、8可以构①成三角形，
周长为20；
当4为腰时，
②其它两边为4和8，
∵4+4＝8，
∴不能构成三角形，故舍去，
第9页（共26页）∴答案只有20．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题
目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，
这点非常重要，也是解题的关键．
8．（3分）在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
线段， 角， 等边三角形， 圆， 平行四边形， 矩形．
①A． ② ③ B． ④ ⑤ C． ⑥ D．
【考③点④】P⑥3：轴对称图形；①R③5：⑥中心对称图形．④⑤⑥ ①④⑥
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解： 是轴对称图形，也是中心对称图形；
是轴对称图①形，不是中心对称图形；
②是轴对称图形，不是中心对称图形；
③是轴对称图形，也是中心对称图形；
④不是轴对称图形，是中心对称图形；
⑤是轴对称图形，也是中心对称图形；
⑥综上可得既是轴对称图形又是中心对称图形的有： ．
故选：D． ①④⑥
【点评】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
9．（3分）数据4，7，4，8，6，6，9，4的众数和中位数是（ ）
A．6，9 B．4，8 C．6，8 D．4，6
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：数据4出现3次，次数最多，所以众数是4；
数据按从小到大排列：4，4，4，6，6，7，8，9，中位数是（6+6）÷2＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据
奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数
个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不
第10页（共26页）止一个．
10．（3分）分式方程 的解是（ ）
A．x＝﹣3 B． C．x＝3 D．无解
【考点】B3：解分式方程．
【专题】11：计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x﹣3＝2x，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
11．（3分）如图，已知AB∥CD，∠EBA＝45°，∠E+∠D的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．45°
【考点】JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质．
【分析】根据平行线的性质可得∠CFE＝45°，再根据三角形内角与外角的关系可得
∠E+∠D＝∠CFE．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠EBA＝45°，
∴∠CFE＝45°，
∴∠E+∠D＝∠CFE＝45°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角
形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
第11页（共26页）12．（3分）如图在 O中，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足为C，且OC＝3，则 O的半径（ ）
⊙ ⊙
A．5 B．10 C．8 D．6
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
【专题】2B：探究型．
【分析】连接OB，先根据垂径定理求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出
OB的长度．
【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB，AB＝8，
∴BC＝ AB＝ ×8＝4，
在Rt△OBC中，OB＝ ＝ ＝5．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的
关键．
13．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数 的图象在同一直角坐标系下
的大致图象如图所示，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＞0，b＜0
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
第12页（共26页）【分析】本题需先判断出一次函数y＝kx+b与反比例函数 的图象在哪个象
限内，再判断出k、b的大小即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0
又∵反比例函数 的图象经过二、四象限，
∴k＜0．
综上所述，k＜0，b＜0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意图象在哪个
象限内，是解题的关键．
14．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的
图象解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣3
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【专题】16：压轴题．
【分析】由二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据
平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，
上加下减．
【解答】解：∵二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴所得图象的函数解析式是：y＝（x﹣1）2+3．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则
是解答此题的关键．
15．（3分）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心作 O交
BC于点M、N， O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则 O的半径和∠MND的度⊙数分
别为（ ） ⊙ ⊙
第13页（共26页）A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
【考点】KW：等腰直角三角形；MC：切线的性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】首先连接AO，由切线的性质，易得OD⊥AB，即可得OD是△ABC的中位线，继而
求得OD的长；根据圆周角定理即可求出∠MND的度数．
【解答】解：连接OA，
∵AB与 O相切，
∴OD⊥⊙AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，
∴OD＝ AC＝2；
∵∠DOB＝45°，
∴∠MND＝ ∠DOB＝22.5°，
故选：A．
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理、切线长定理以及等腰直角三角形性质．此题
难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
16．（5分）二元一次方程组 的解是 ．
第14页（共26页）【考点】98：解二元一次方程组．
【专题】11：计算题．
【分析】根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可．
【解答】解： ，
+ 得，4x＝12，
①解得②x＝3，
把x＝3代入 得，3+2y＝1，
解得y＝﹣1，①
所以，方程组的解是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，
当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
17．（5分）正八边形的一个内角的度数是 13 5 度．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180（° n≥3且n为正整数）求出内角和，然后
再计算一个内角的度数．
【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，
每一个内角的度数为： ×1080°＝135°．
故答案为：135．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180
（n≥3）且n为整数）．
18．（5分）已知 O 与 O 的半径分别是a，b，且a、b满足 ，圆心距O O ＝
1 2 1 2
5，则两圆的⊙位置关⊙系是 外切 ．
【考点】16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根；MJ：圆与圆的位置关
系．
【分析】首先根据 求得a、b的值，然后根据半径与圆心距的关系求解即可．
【解答】解：∵ ，
∴a﹣2＝0，3﹣b＝0
第15页（共26页）解得：a＝2，b＝3
∵圆心距O O ＝5，
1 2
∴2+3＝5
∴两圆外切，
故答案为：外切．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆
半径R，r的数量关系间的联系．
19．（5分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是 1 0 cm（2 结果
保留 ） π
【考点π】MP：圆锥的计算．
【专题】16：压轴题．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2 ×2×5÷2＝10 （cm2）．
故答案为：10 ． π π
【点评】本题考π查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆
锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
20．（5分）一次函数y＝kx+1的图象经过（1，2），则反比例函数 的图象经过点（2，
）．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】16：压轴题．
【分析】把点（1，2）代入一次函数解析式求得k的值．然后利用反比例函数图象上点的坐
标特征来填空．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+1的图象经过（1，2），
∴2＝k+1，
解得，k＝1．
则反比例函数解析式为y＝ ，
∴当x＝2时，y＝ ．
故答案是： ．
第16页（共26页）【点评】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法求得一
次函数解析式是解题的关键．
三、解答及证明（本大题共7个小题，各题的分值见题号，共80分）
21．（8分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【分析】分别进行零指数幂、去括号、负整数指数幂、二次根式的化简、绝对值等运算，然后
按照实数的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝1+5+2﹣3﹣2
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、去括号、负整数指数幂、二次根式的化
简、绝对值等知识，属于基础题．
22．（10分）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每
一份内标有数 字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停
止后，指针所在区域的数字之和为偶数 时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落
在分界线上，则需要重新转动转盘．
（1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
【考点】X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和
为偶数情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）分别求得甲、乙两人获胜的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对甲、乙双方是否公
平．
【解答】解：（1）画树状图得：
第17页（共26页）∵共有6种等可能的结果，两数之和为偶数的有2种情况；
∴甲获胜的概率为： ＝ ；
（2）不公平．
理由：∵数字之和为奇数的有4种情况，
∴P（乙获胜）＝ ＝ ，
∴P（甲）≠P（乙），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概
率相等就公平，否则就不公平．
23．（8分）先化简，再求值． ，其中m＝3．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m＝2代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝ ÷ +
＝ • +
＝ + ，
当m＝3时，原式＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
24．（12分）解不等式组． 把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不
等式组的非负整数解．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式
组的整数解．
【分析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可，
再找出解集范围内的非负整数即可．
第18页（共26页）【解答】解： ，
由 得：x≥﹣1，
由①得：x＜3，
不②等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
在数轴上表示为： ．
不等式组的非负整数解为2，1，0．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，解决此类问题的关键在于正确解得不等式
组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据
得到的条件进而求得不等式组的整数解．
25．（12分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连
接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 9 0 度得到；
（3）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；R2：旋转的性质．
【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据正方形的性质得AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，然后利用“SAS”易证得
△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF＝∠DAE，则∠BAF+∠BAE＝90°，即∠FAE＝90°，根据
旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；
（3）先利用勾股定理可计算出AE＝10，再根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按
顺时针方向旋转90 度得到AE＝AF，∠EAF＝90°，然后根据直角三角形的面积公式计算
即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
第19页（共26页）∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF＝∠DAE，
而∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠FAE＝90°，
∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；
故答案为A、90；
（3）解：∵BC＝8，
∴AD＝8，
在Rt△ADE中，DE＝6，AD＝8，
∴AE＝ ＝10，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴△AEF的面积＝ AE2＝ ×100＝50（平方单位）．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对
应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾
第20页（共26页）股定理．
26．（14分）如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC
方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．
（精确到0.1米， ≈1.732）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】12：应用题．
【分析】设EC＝x，则在Rt△BCE中，BC＝ EC＝ x；在Rt△BCD中，CD＝ BC＝
3x；
在Rt△ACD中，AC＝AB+BC＝73.2+ x，CD＝3x，利用关系式AC＝CD列方程求出x；
塔高DE＝CD﹣EC＝2x可以求出．
【解答】解：设EC＝x（米），
在Rt△BCE中，∠EBC＝30°，∴BC＝ ＝ x；
在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，∴CD＝BC•tan60°＝ x• ＝3x；
在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，
∴AC＝CD，
即：73.2+ x＝3x，
解得：x＝12.2（3+ ）．
塔高DE＝CD﹣EC＝3x﹣x＝2x＝2×12.2（3+ ）＝24.4（3+ ）≈115.5（米）．
答：塔高DE约为115.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角
函数的知识表示出相关线段的长度，难度一般．
27．（16分）如图，抛物线y＝ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点
C（0，1）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
第21页（共26页）（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果
保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、
P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y＝
0，由解析式得到；
（2）关键是求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度；
（3）本问为存在型问题．可以先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出
则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论．
【解答】方法一：
解：（1）∵点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y＝ax2+b上，
∴ ，解得：a＝﹣1，b＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+1，
抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A（1，0）关于y轴对称，∴B（﹣1，0）．
（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y＝kx+b，可得：
，解得k＝﹣1，b＝1，∴y＝﹣x+1．
∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为y＝﹣x+n，
∵点B（﹣1，0）在直线BD上，∴0＝1+n，得n＝﹣1，
∴直线BD的解析式为：y＝﹣x﹣1．
第22页（共26页）将y＝﹣x﹣1代入抛物线的解析式，得：﹣x﹣1＝﹣x2+1，解得：x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
∵B点横坐标为﹣1，则D点横坐标为2，
D点纵坐标为y＝﹣2﹣1＝﹣3，∴D点坐标为（2，﹣3）．
如答图 所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝3，AN＝1，BN＝3，
在Rt△①BDN中，BN＝DN＝3，由勾股定理得：BD＝ ；
在Rt△ADN中，DN＝3，AN＝1，由勾股定理得：AD＝ ；
又OA＝OB＝OC＝1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC＝BC＝ ；
∴四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD＝ + + + ＝ + ．
（3）假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形：
（I）若△EPB∽△BDC，如答图 所示，
②
则有 ，即 ，∴PE＝3BE．
设OE＝m（m＞0），则E（﹣m，0），BE＝1﹣m，PE＝3BE＝3﹣3m，
∴点P的坐标为（﹣m，3﹣3m）．
∵点P在抛物线y＝﹣x2+1上，
∴3﹣3m＝﹣（﹣m）2+1，解得m＝1或m＝2，
当m＝1时，点E与点B重合，故舍去；当m＝2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不
符合题意，故舍去．
因此，此种情况不存在；
（II）若△EBP∽△BDC，如答图 所示，
③
则有 ，即 ，∴BE＝3PE．
设OE＝m（m＞0），则E（m，0），BE＝1+m，PE＝ BE＝ （1+m）＝ + m，
∴点P的坐标为（m， + m）．
∵点P在抛物线y＝﹣x2+1上，
∴ + m＝﹣（m）2+1，解得m＝﹣1或m＝ ，
∵m＞0，故m＝﹣1舍去，∴m＝ ，
第23页（共26页）点P的纵坐标为： + m＝ + × ＝ ，
∴点P的坐标为（ ， ）．
综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为（ ， ）．
方法二：
（1）略．
（2）∵A（1，0），C（0，1），∴l ：y＝﹣x+1，
AC
∵BD∥CA，∴K ＝K ＝﹣1，
BD AC
∴l ：y＝﹣x﹣1，
BD
∴ ，
∴x ＝2，x ＝﹣1（舍），
1 2
∴D（2，﹣3），
∴AC＝ ＝ ，
CB＝ ＝ ，
BD＝ ＝3 ，
DA＝ ＝ ，
∴四边形ABCD的周长为：5 + ．
（3）∵C（0，1），B（﹣1，0），
∴K ＝ ＝1，
BC
∵K ＝﹣1，∴K ×K ＝﹣1，
BD BC BD
∴BD⊥BC，
若△EPB∽△BDC，则 或 ，
设点P（t，﹣t2+1），E（t，0），B（﹣1，0），
①
第24页（共26页）PE＝P ＝﹣t2+1，BE＝E ﹣B ＝t+1，
Y X X
∵BD＝3 ，CB＝ ， ，
∴ ，
∴t＝﹣2（此时点P位于x轴下方，故舍去）
∵ ，
②
∴ ，
∴t＝ ，
∴P（ ， ）．
第25页（共26页）【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、
待定系数法、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点．第（2）问的解题要点是
求出点D的坐标，第（3）问的解题要点是分类讨论．
第26页（共26页）
