文档内容
2024 年中考第一次模拟考试（山东济南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．图1所示的正五棱柱，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两条纵向的虚线．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲
中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科
学记数法表示成元，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于等于10的数表示成 的形式（a大于或等于1且
小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可求解．
【详解】解：972亿 ，
故选：C．
3．如图，直线 ，点 在直线 上，点 在直线 上，连接 ，过点 作 ，交直线 于点
．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角
相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出 ，结合已知条件
即可求出 的度数．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的减法、完全平方公式、同底数幂的除法、负整数指数幂以及幂的乘方的运算法则
逐一分析即可．【详解】解：∵ ，
∴选项A不符合题意；
∵ ，
∴选项B不符合题意；
∵ ，
∴选项C符合题意；
∵ ，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的减法、完全平方公式 、同底数幂的除法 、
负整数指数幂 以及幂的乘方 ，掌握以上法则是解题的关键．
5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕
某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
故选：B．
6．三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张
小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将上部三张图片分别记作 、 、 ，下部三张图片记作 、 、 ，列表得出所有等可能结果，
从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将上部三张图片分别记作 、 、 ，下部三张图片记作 、 、 ，
列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中这两张小图片恰好合成一张完整图片的有3种结果，
所以这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率 所求
情况数与总情况数之比．
7．若点 都在反比例函数 （k为常数）的图象上，则 的大
小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的特征．由 可知，此函数图象在第一、三象限，根据
反比例函数的性质即可判定．
【详解】解：∵ ，
∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∴ 在第三象限内， 在第一象限内，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
8．《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色
为负），如图1表示的是 的计算过程，则图2表示的过程是在计算（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的加减运算．
由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算．
【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，
∴图中表示的计算过程为 ．
故选：A．
9．如图，在 中， ， ，点 为 边上一动点 不与点 、 重合 ， 垂
直 交 于点 ，垂足为点 ，连接 并延长交 于点 ，下面结论正确的个数是（ ）
①若 是 边上的中线，则 ；②若 平分 ，则 ；③若 ，则
；④ 的最小值为 ．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出 ，根据三角形面积公式求出 ，得 ，据此判断
符合题意；过点 作 交 于点 ，根据题意推出 是 的中位线，则 ，根
据直角三角形的性质及平行线的性质推出 ， ， ，根据相
似三角形的性质即可判断 不符合题意；
当 时，设 ，则 ， ，过点 作 交 的延长线于点 ，
结合题意及直角三角形的性质利用 推出 ，根据全等三角形的性质得到
，根据 ，判断 ，进而推出 ，根据相似三角形的
性质即可判断 不符合题意；根据当 最短时，点 为 的中点，求解即可判断 符合题意；
【详解】解： 是 边上的中线，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，，
故 正确，符合题意；
如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
故 正确，符合题意；
当 时，设 ，则 ，
，
过点 作 交 的延长线于点 ，，
，
垂直 ，
，
，
又 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
故 正确，符合题意；
，
点 在以 为直径的圆上，
当 最短时，点 为 的中点，
，
，
的最小值为 ，
故 错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相
似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
10．直线 和抛物线 （a，b是常数，且 ）在同一平面直角坐标系中，直线
经过点 ．下列结论：
①抛物线 的对称轴是直线
②抛物线 与x轴一定有两个交点
③关于x的方程 有两个根 ，
④若 ，当 或 时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】①可得 ，从而可求 ，即可求解；②可得 ，由 ，可得
，即可求解；③可判断抛物线也过 ，从而可得方程 的一个根为 ，
可求抛物线 的对称轴为直线 ，从而可得抛物线 与 轴的
另一个交点为 ，即可求解；④当 ，当 时， ，即可求解．
【详解】解：① 直线 经过点 ，
，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
故①正确；
② ，
由①得 ，，
，
，
抛物线 与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当 时，
，
抛物线也过 ，
由 得
方程 ，
方程的一个根为 ，
抛物线 ，
，
抛物线 的对称轴为直线 ，
与 轴的一个交点为 ，
，
解得： ，
抛物线 与 轴的另一个交点为 ，
关于x的方程 有两个根 ， ，
故③正确；
④当 ，当 时， ，
故④错误；
故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，
掌握解法是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解．先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可．
【详解】解： ，
，
．
故答案为： ．
12．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸
出1个球，是白球的概率为 ．则布袋里红球有 个.
【答案】1
【分析】设布袋里红球有x个，根据白球的概率列方程求解可得．
【详解】解：设布袋里红球有x个，
由题意得： ，解得： ，
经检验 是原方程的解．
∴布袋里红球有1个，
故答案为：1．
【点睛】本题考查根据概率求球的个数，认真读懂题意是关键．
13．关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不为0，以及方程有两个实数根，判别式大于等于0，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
14．如图，在半径为 ，圆心角等于 的扇形 内部作一个正方形 ，使点 在 上，点
在 上，点 在 上，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接 ，由勾股定理可计算得正方形 的边长为 ，则正方形 的面积为 ，等腰直角
三角形 的面积为 ，扇形 的面积为 ，所以阴影部分的面积为 ．
【详解】解：连接 ，则 ,
∵ ,
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
中，
,∴ ，解得
∴
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查扇形面积的计算，勾股定理，正方形的性质；构造直角三角形运用勾股定理是解题的关
键．
15．如图，在菱形 中，边长为 ， ，E，F分别是边 上的点，且 ，
若将 沿着 折叠，使得点B恰好落在 边上的点 处， ，折痕为 ，则 的长为
．
【答案】2
【分析】过点 作 ，交 的延长线于点G，先求出 ，再证明 ，设
，则 ， ，在 中，由勾股定理得 ，
解方程求出 ，则 ．
【详解】解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点G，则 ，∵ ，
∴ ，
由折叠的性质得， ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了折叠的性质、菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠
的性质、菱形的性质是解题的关键．
16．如图，点 的坐标为 ，点 从原点 出发，以每秒 个单位的速度沿 轴向上移动，同时过点
的直线 也随之上下平移，且直线 与直线 平行，如果点 关于直线 的对称点落在坐标轴上，如果
点 的移动时间为 秒，那么 的值为【答案】 或 /3或2
【分析】过点 作 直线 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，与直线 相交于点 ，则点 、 为点
在坐标轴上的对称点，过点 作 轴于点 ，设直线 的解析式为 ，由直线 与直线
平行可得 ，即可证明 与 均为等腰直角三角形，进而可求出点 、 的坐标，
根据中点坐标公式可求出 和 的中点坐标，代入 可求出 值，即可得点 坐标，即可求解．
【详解】如图，过点 作 直线 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，与直线 相交于点 ，则点 、
为点 在坐标轴上的对称点．
直线 与直线 平行，
设直线 解析式为 ，
过点 作 轴于点 ，则 ， ，
直线 的解析式为 ，
，
，
与 均为等腰直角三角形，
， ，
， ， ， ．， ， ， ，
线段 中点坐标为 ， ．
直线 过点 ， ，
，
解得： ，
点 坐标为 ， ，
．
， ， ， ，
线段 中点坐标为 ， ．
直线 过点 ， ，
，
解得： ，
点 坐标为 ， ，
．
点 关于 的对称点，当 时，落在 轴上，当 时，落在 轴上．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换．注意在 轴、 轴上均有点 的对称点，不要漏解；其
次注意点 、 坐标以及线段中点坐标的求法．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算： ．
【答案】3
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算．先化简各式，再进行加减运算即可．掌握相关
运算法则，正确的计算是解题的关键．
【详解】解：原式
．18．解不等式组： 在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解．
【答案】 ；数轴见解析；正整数解为：1，2，3，4，5
【分析】先分别求出一元一次不等式的解集，再将其解集在数轴上表示出来，取其正整数即可求解．
【详解】解： ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式组的解集为 ，
其解集在数轴上表示如下：
，
∴该不等式组的正整数解为：1，2，3，4，5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并在数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式的解法及解集在
数轴上表示的方法是解题的关键．
19．如图，平行四边形 中， 的平分线交 于E， 的平分线交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解．
(2)13
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，
（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得 ， ．即可得到 ，
．即可求证结论．
（2）过点A作 ，垂足为H，利用 ， 可计算出 的长度，结合（1）即可求出 长度．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形．
∴ ， ， ．
∴ ， ．
∵ 是 的平分线， 是 的平分线．
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）过点A作 ，垂足为H，如图：
由（1）知 ，且 ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
20．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度 ，
遮阳棚前端自然下垂边的长度 ，遮阳棚固定点A距离地面高度 ，遮阳棚与墙面的夹角 ．
(1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面 的距离；
(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角 ，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长（结果精
确到 ）．（参考数据： ）
【答案】(1)遮阳棚前端B到墙面 的距离约为
(2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长约为
【分析】（1）作 于E，在 中，根据 列式计算即可；
（2）作 于E， 于H，延长 交 于K，则 ，可得四边形 ，四边形
是矩形，解直角三角形 求出 ，可得 ，然后 中，解直角三
角形求出 ，进而可得 的长．
【详解】（1）解：如图3，作 于E，
在 中， ，即 ，
∴ ，
答：遮阳棚前端B到墙面 的距离约为 ；
（2）解：如图3，作 于E， 于H，延长 交 于K，则 ，
∴四边形 ，四边形 是矩形，由（1）得 ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，
熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网
约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元）：
滴滴司机：4 5 9 10 4 5 5 5 4 9
美团司机：4 5 7 8 6 7 6 5 6 6
整理数据：画出统计表和统计图，如图所示：
“滴滴”网约车司机收入频数分布表：
月收入 4千元 5千元 9千元 10千元
人数（个） 3 4 2 1
根据以上信息，分析数据如表：平均月收入/千元 中位数 众数 方差
“滴
6 b 5 6.2
滴”
“美
a. 6 6 1.2
团”
(1)请求出a的值；
(2)b＝ ；m＝ ；圆心角n＝ °；
(3)林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数，众数，方
差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？
【答案】(1)6
(2)5，40，72
(3)选“美团”，见解析
【分析】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是掌握相关定义与有关的计算公式．
（1）根据加权平均数的计算公式可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用 乘平均月收入7千元
所占比例可得圆心角n的度数；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【详解】（1）解：“美团”的平均月收入 ，
故答案为:6；
（2）“滴滴”网约车司机收入的中位数 ，
“美团”网约车公司司机月收入中，“6千元”对应的百分比为 ，
圆心角n的度数为： ．
故答案为：5，40，72；
（3）选“美团”，理由如下：
因为平均数一样，“美团”的中位数、众数大于“滴滴”的，且“美团”的方差小，更稳定．
22．如图， 是 的直径， 是 上的两点，且 ， 交 于点 ，点 在 的延
长线上， ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ．
①求 的长；
②求 的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)①5；② ．
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形．
（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）①利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求出 ， ，在
中，利用余弦的定义进行计算即可；②在 中，利用余弦的定义求出 ，即可得到答案．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
．
为 的直径，
，
，
．
，
，
是圆的半径，
是 的切线；（2）解：①由（1）得： ，
是 的直径，
，
，
，
，
在 中， ，
；
②在 中， ，
在 中， ，
，
的半径为 ．
23．某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：
甲水
乙水笔
笔
每支进价（元） a
每支利润（元） 2 3
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超
过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
(3)文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水
笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1∶2，则该文具店至多可以购进这三种水
笔共多少支．
【答案】(1)甲、乙两种水笔每支进价分别为5元、10元
(2)购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元(3)169支
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意
找出等量关系，列出方程，函数关系式，以及不等式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据“花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等”列出方程求解即可；
（2）设利润为w元，甲种水笔购进x支，根据题意找出等量关系，列出一次函数表达式，根据一次函数的
增减性，即可解答；
（3）设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔 支，一共购进n支水笔，列出方程化简，得 ，
根据 ，推出 ，再结合m、n均为正整数，得出当 时，n取得最大值，此时
，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得， ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴ ，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，
，
∵ ，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
∴ ，
解得 ，
∵x为整数，
∴当 时，w取得最大值，此时 ， ，
答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元；
（3）解：设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔 支，一共购进n支水笔，，
化简，得
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵m、n均为正整数，
∴当 时，n取得最大值，此时 ，
即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支．
24．阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作
出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步
骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角 的顶点与原点O重合，角的一边 与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数 的图象，图象与已知角的另一边 交于点P；
③以P为圆心、以 为半径作弧，交函数 的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接 ，得到 ．则 ．
思考问题：
(1)设 ， ，求直线 的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线 上；(2)证明： ．
(3)如图2，若直线 与反比例函数 交于点C，D为反比例函数 第一象限上的一
个动点，使得 ．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)见解析
(3) 或
【分析】（1）由 轴， 轴， ， ，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐
标代入解析式即可判断点Q是否在直线 上；
（2）连接 ，交 于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论；
（3）先求出点 ，可得 ，然后分两种情况讨论：当D点在 下方时，当D点在 上方
时，即可求解．
【详解】（1）解：设直线 的函数表达式为 ，
由题意得： ，
∴四边形 为矩形，
∵ ， ，
∴ ， ，
把点 代入 得： ，
∴直线 的函数表达式为 ，
∵ 的坐标 满足 ，
∴点Q在直线 上；
（2）解：连接 ，交 于点S，由题意得四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，即 ．
（3）解：∵直线 与反比例函数 交于点C，
∴ ，解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
当D点在 下方时，如图，以C为圆心， 为半径画弧，交反比例函数 于点E，作
轴，作 轴，连接 并延长交反比例与点F，作 ，连接 ， 与 交于点H，
， ， ，
作 于I，则 ， ， ，，
则 ， ，
即 ，
同理，当D点在 上方时，有 ．
【点睛】此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三
角形外角的性质等，综合性较强．
25．如图1，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与y轴的交点坐标为 ，图象的
顶点为M．矩形 的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为 ．
(1)求c的值及顶点M的坐标，
(2)如图2，将矩形 沿x轴正方向平移t个单位 得到对应的矩形 ．已知边 ，
分别与函数 的图象交于点P，Q，连接 ，过点P作 于点G．①当 时，求 的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得 的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1) ，顶点M的坐标是
(2)①1；②存在， 或
【分析】（1）把 代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先判断当 时， ， 的坐标分别是 ， ，再求出 ， 时点Q的纵坐标与点P
的纵坐标，进而求解；
②先求出 ，易得P，Q的坐标分别是 ， ，然后分点G在点Q的上方与
点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）∵二次函数 的图象与y轴的交点坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴顶点M的坐标是 ．
（2）①∵A在x轴上，B的坐标为 ，
∴点A的坐标是 ．
当 时， ， 的坐标分别是 ， ．
当 时， ，即点Q的纵坐标是2，
当 时， ，即点P的纵坐标是1．
∵ ，
∴点G的纵坐标是1，∴ ．
②存在．理由如下：
∵ 的面积为1， ，
∴ ．
根据题意，得P，Q的坐标分别是 ， ．
如图1，当点G在点Q的上方时， ，
此时 （在 的范围内），
如图2，当点G在点Q的下方时， ，
此时 （在 的范围内）．
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次
函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
26．用四根一样长的木棍搭成菱形 ， 是线段 上的动点（点 不与点 和点 重合），在射线
上取一点 ，连接 ， ，使 ．
操作探究一(1)如图1，调整菱形 ，使 ，当点 在菱形 外时，在射线 上取一点 ，使
，连接 ，则 ，
操作探究二
(2)如图2，调整菱形 ，使 ，当点 在菱形 外时，在射线 上取一点 ，使
，连接 ，探索 与 的数量关系，并说明理由；
拓展迁移
(3)在菱形 中， ， ．若点 在直线 上，点 在射线 上，且当
时，请直接写出 的长．
【答案】(1) ，
(2) ，理由见解析
(3) 的长度为 或
【分析】（1）证明 得到 ， ，从而得到
，推出 为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到
答案；
（2）证明 得到 ， ，从而得到 ，作
交 于 ，则 ， ，根据含 角的性质及勾股定理得出 ，从
而得到 ；
（3）当 时，点 和点 重合，再分两种情况：当点 在线段 的延长线时，过点
作 于点 ；当点 在 的延长线上时，过点 作 交 的延长线于点 ；利用等腰
直角三角形的性质以及锐角三角形函数进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解： 四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，，
，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
理由如下：
四边形 是菱形， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，，
如图，作 交 于 ，则 ， ，
在 中， ， ，
，
，
；
（3）解：当 时，点 和点 重合，
如图，当点 在线段 的延长线时，过点 作 于点 ，
设 ，
， ，
为等腰直角三角形，
，
四边形 是菱形，， ， ，
， ，
由菱形的对称性及 可得 ，在 中， ， ，
，
，
，
，
；
如图，当点 在 的延长线上时，过点 作 交 的延长线于点 ，
设 ，同①可得： ， ，
，
，
，
综上所述， 的长度为 或 ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形
的性质、锐角三角函数、含 角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助
线是解此题的关键．
