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专题 25 与圆有关的计算的核心知识点精讲
1.掌握弧长和扇形面积计算公式；
2.会利用弧长和扇形面积计算公式进弧长和扇形面积的计算
考点1：圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在 中进行： ；
B C
C
O O
O
A E D B
A
B A
D
（2 ）正四边形
同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 中进行， .
考点2：扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式： ；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即 ；
（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第
三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，
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即 ；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
考点3：扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
D
A D1
=
母线长
底面圆周长
B C1
（2）圆柱的体积： C
B1
2、圆锥侧面展开图
（1） =
O
（2）圆锥的体积：
R
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ） C
A r B
【题型1：正多边形和圆的有关计算】
【典例1】（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用
圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，
则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值
为3.1416．如图， O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 O的面积，可
π
⊙ ⊙
得 的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
π π
A． B．2 C．3 D．2
【答案】C
【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，
过A作AM⊥OB于M，
在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AM＝ OA＝ ，
∴S△AOB ＝ OB•AM＝ ＝ ，
∴正十二边形的面积为12× ＝3，
∴3＝12× ，
∴ ＝3，
π
∴ 的近似值为3，
π
故选：C．
π
【变式1-1】（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（
）
A．60° B．90° C．180° D．360°
【答案】B
【解答】解：由于正六边形的中心角为 ＝60°，
所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为 60°或60°的整数倍，即可以为60°，
120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，
故选：B．
【变式1-2】（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于 O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（
）
⊙
A．60° B．54° C．48° D．36°
【答案】D
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝ ＝108°，∠COD＝ ＝72°，
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，
故选：D．
【变式1-3】（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面
图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点 P，Q，M均为正六边
形的顶点．若点P，Q的坐标分别为 ，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A．（3 ，﹣2） B．（3 ，2） C．（2，﹣3 ） D．（﹣2，﹣3 ）
【答案】A
【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为 ，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，
∴AB＝BC＝2 ，OQ＝3，
∴OA＝OB＝ ，
∴OC＝3 ，
∵DQ＝DB＝2OD，
∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，
∴M（3 ，﹣2），
故选：A．
【变式1-4】（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，点P在 上，点Q是 的中点，则
∠CPQ的度数为（ ）
⊙
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．30° B．45° C．36° D．60°
【答案】B
【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF，Q是 的中点，
∴∠COD＝∠DOE＝ ＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝ ∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，
∴∠CPQ＝ ∠COQ＝45°，
故选：B．
【题型2：弧长和扇形面积的有关计算】
【典例2】（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如
图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角
形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A． B．3 C．2 D．2 ﹣
【答案】B
π π π π
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴ ＝ ＝ ，
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∵ 的长＝ ＝ ，
∴该“莱洛三角形”的周长是3 ．
π
故选：B．
π
【变式2-1】（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝ ，将△ABC绕点A逆时针旋转
2 ，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时α， 的长是（ ）
α
A． B． C． D．
【答案】B
π π π π
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB＝ AB′．
∴∠AB′D＝30°，
∴ ＝30°，
∵AC＝4，
α
∴AD＝AC•cos30°＝4× ＝2 ，
∴ ，
∴ 的长度l＝ ＝ ．
故选：B．
π
【变式2-2】（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在
的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
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A． m B． m C． m D．（ +2）m
【答案】C
【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD＝2m，AD＝2 m，∠ADC＝90°，
∴tan∠DCA＝ ＝ ＝ ，AC＝ ＝4（m），
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，
∴改建后门洞的圆弧长是： ＝ （m），
故选：C．
【变式2-3】（2023•锦州）如图，点A，B，C在 O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若 O的半径为
3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．2
π π π π
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC＝40°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，
∴扇形AOC的面积为 ，
故选：D．
【题型3：有圆有关的阴影面积的计算】
【典例3】（2023•广元）如图，半径为 5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是 上一点，CD⊥OA，
CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接OC，如图所示，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
∵CD＝CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，
∴S阴影 ＝S△DCE +S半弓形BCE
＝S△OCE +S半弓形BCE
＝S扇形COB
＝
＝ ，
故选：B．
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式3-1】（2023•雅安）如图，某小区要绿化一扇形 OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区
域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：S阴影 ＝S扇形AOB ﹣S扇形COD ＝ ＝ （m2）．
故选：B．
【变式3-2】（2023•鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，
以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．5 B．5 ﹣4 C．5 ﹣2 D．10 ﹣2
【答案】C
π π π π
【解答】解：连接OD．
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴BC＝ AB＝4 ，
【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴OC＝OD＝OB＝2 ，
∴∠DOB＝2∠C＝60°，
∴S阴 ＝S△ACB ﹣S△COD ﹣S扇形ODB ＝ ×4×4 ﹣ ﹣
＝8 ﹣3 ﹣2
＝5 ﹣2 ． π
故选：C．
π
【变式3-3】（2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知
扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（ ）
A． 米2 B． 米2 C． 米2 D． 米2
【答案】C
【解答】解：连结BC，AO，如图所示，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是 O的直径，
∵ O的直径为1米，
⊙
⊙
∴AO＝BO＝ （米），
∴AB＝ ＝ （米），
∴扇形部件的面积＝ ×（ ）2＝ （米2），
故选：C．
π
【题型4：圆锥的有关计算】
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【典例4】（2023•东营）如果圆锥侧面展开图的面积是 15 ，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（
）
π
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2 R，圆锥的侧面展开图的面积＝ ×2 R×5＝15 ，
∴R＝3．
π π π
故选：A．
【变式4-1】（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【答案】C
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2 ×1＝2 ，
设圆心角的度数是n度．
π π
则 ＝2 ，
解得：n＝120．
π
故选：C．
【变式4-2】（2022•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面
圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4 m2
B．圆柱的侧面积为10π m2
C．圆锥的母线AB长为2.25m
π
D．圆锥的侧面积为5 m2
【答案】C
π
【解答】解：∵底面圆半径DE＝2m，
∴圆柱的底面积为4 m2，所以A选项不符合题意；
∵圆柱的高CD＝2.5m，
π
∴圆柱的侧面积＝2 ×2×2.5＝10 （m2），所以B选项不符合题意；
∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，
π π
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∴圆锥的母线长AB＝ ＝2.5（m），所以C选项符合题意；
∴圆锥的侧面积＝ ×2 ×2×2.5＝5 （m2），所以D选项不符合题意．
故选：C．
π π
【变式4-3】（2022•赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母
线长为（ ）
A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
【答案】D
【解答】解：设母线的长为R，
由题意得， R＝2 ×12，
解得R＝24，
π π
∴母线的长为24cm，
故选：D．
一．选择题（共10小题）
1．如图，五边形ABCDE是 O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（ ）
⊙
A．72° B．60° C．48° D．36°
【答案】A
【解答】解：∵五边形ABCDE是 O的内接正五边形，
⊙
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为 ＝72°，
故选：A．
2．如图，正六边形ABCDEF内接于 O， O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为
⊙ ⊙
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（ ）
A．2， B． ， C．2 ， D．2 ，
【答案】D
π
【解答】解：如图所示，连接OC、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM＝60°，
∴OM＝OBsin∠OBM＝4× ＝2 ，
的长＝ ＝ ；
故选：D．
3．如图， O的半径为1，点A、B、C都在 O上，∠B＝45°，则 的长为（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
【答案】C
π π π π
【解答】解：∵∠B＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵ O的半径为1，
⊙
∴ 的长＝ ＝ ＝ ，
故选：C．
π
4．如图，AB 是半圆 O 的直径，C、D 是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则 的长为
（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接OC．
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，
OB＝OC＝BC＝1，
∴ 的长为 ＝ ，
故选：A．
5．如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，
以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】B
π π π π
【解答】解：依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝ ×3＝2 ．
故选：B．
π
6．若扇形的半径是12cm弧长是20 cm，则扇形的面积为（ ）
A．120 cm2 B．240 cm2 C．360 cm2 D．60 cm2
π
【答案】A
π π π π
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【解答】解：该扇形的面积为： （cm2）．
故选：A．
7．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧
BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
π
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝3，
∴∠ABC＝30°．
∴AB＝2AC＝6．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC ＝S△AB′C′ ，AB＝AB′．
∴S阴影 ＝S扇形ABB′+S△AB′C′ ﹣S△ABC
＝
＝ ．
故选：C．
8．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画 ，E为四边形内部一点，且
BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
π
【解答】解：如图，作EF⊥AB于点F，
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∵BE⊥CE，∠BCE＝30°，
∴BE＝ BC＝2，∠CBE＝60°，
∴CE＝ BE＝2 ，∠EBF＝30°，
∴EF＝ BE＝1，
∴S阴影 ＝S扇形ABC ﹣S△BCE ﹣S△ABE
＝ ﹣ ×2× ﹣ ×1
＝4 ﹣2 ﹣2．
故选：C．
π
9．如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（ ）
A．180° B．216° C．240° D．270°
【答案】B
【解答】解：∵圆锥的母线长为5cm，高是4cm，
∴圆锥底面圆的半径为： ＝3（cm），
∴2 ×3＝ ，
解得n＝216°．
π
故选：B．
10．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
π π π π
【解答】解：圆锥的侧面积＝ ×2 ×4×5＝20 ，
故选：C．
π π
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二．填空题（共8小题）
11．AB是 O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P不与点A，B重合）且BP∥OA，AP
与OB交于点C，则∠OCP的度数为 90 ° ．
⊙
【答案】90°．
【解答】解：∵AB是 O的内接正六边形一边，
⊙
∴∠AOB＝ ＝60°，
∴ ＝30°，
∵BP∥OA，
∴∠OAC＝∠P＝30°，
∴∠OCP＝∠AOB+∠OAC＝60°+30°＝90°．
故答案为：90°．
12．已知正六边形的内切圆半径为 ，则它的周长为 1 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为a，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝a，
∴OG＝OA•sin60°＝a× ＝ ，解得a＝2，
∴它的周长＝6a＝12．
故答案为：12．
13．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧 ，点O是这段弧所在圆的圆心，半径
OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路 的长度为 4 0 m．
π
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，这段弯路 的长度为 ，
故答案为：40 ．
14．已知扇形的圆心角为120°，面积为27 cm2，则该扇形所在圆的半径为 9 cm ．
π
【答案】见试题解答内容
π
【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，面积为27 cm2，
π
∴由S＝ 得：r＝ ＝ ＝9cm，
故答案为：9cm．
15．圆锥的侧面积是10 cm2，底面半径是2cm，则圆锥的母线长为 5 cm．
【答案】见试题解答内容
π
【解答】解：底面半径是2cm，则扇形的弧长是4 ．
π
设母线长是l，则 ×4 l＝10 ，
解得：l＝5．
π π
故答案为：5．
16．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 4
cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝ ＝4 ，
∴圆锥的底面圆的周长为4 ，
π
∴圆锥的底面圆的半径为2，
π
∴这个纸帽的高＝ ＝4 （cm）．
故答案为4 ．
17．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是
6 ．
π
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆
的面积＝扇形ABB′的面积，
则阴影部分的面积是： ＝6 ，
故答案为：6 ．
π
18．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为 13 2 °．
π
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，
∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，
故答案为：132．
一．选择题（共7小题）
1．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，
让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直
角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（4，4） C． D．
【答案】C
【解答】解：连接OB，OA，如图所示：
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∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，
∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x轴，AM＝BM，
∵AB＝4，
∴AM＝BM＝2，
∴OM＝ ，
∴点B的坐标为：（2 ，2），
故选：C．
2．如图，正五边形ABCDE内接于 O，点F在弧AE上．若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为（ ）
⊙
A．38° B．42° C．49° D．58°
【答案】C
【解答】解：如图，连接OE，OD，CE，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∵∠CDF＝95°，
∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，
∴∠FCE＝13°，
∵正五边形ABCDE内接于 O，
∴∠EOD＝360°÷5＝72°，
⊙
∴∠ECD＝ ＝36°，
∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，
故选：C．
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3．如图，在 O中，点C在优弧 上，将 沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若 O的半径为5，AB
＝4 ，则⊙ 的长是（ ） ⊙
A． B． C． D．4
【答案】A
π
【解答】解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，
由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝ ＝ ．
又OB＝5，
∴OD＝ ＝ ＝ ，
∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，
∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．
∵CF⊥AB，
∴AF＝DF＝ ＝ ，
又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝ ，
∴四边形ODFE为正方形．
∴ ，
∴CE＝ ＝ ＝2 ，
∴CF＝CE+EF＝3 ＝BF，
故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，
∴ 所对的圆心角为90°，
∴ ＝ ＝ ．
故选：A．
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4．如图，将直径为4的半圆形分别沿CD，EF折叠使得直径两端点A，B的对应点都与圆心O重合，则图
中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接AC，OC，OE，BE，
由题意得：CD垂直平分OA，
∴AC＝OC，
∵OC＝OA，
∴△OAC是等边三角形，
同理△BOE是等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOE＝60°，
∴∠COE＝60°，
∴弓形AMC、弓形ONC、弓形OPE的面积相等，
∵圆的直径是4，
∴OA＝2，
∴扇形OAC的面积＝ ＝ ，△OAC的面积＝ OA2＝ ，
∴扇形OCE的面积＝扇形OAC的面积＝ ，
∴弓形AMC的面积＝扇形OAC的面积﹣△OAC的面积＝ ﹣ ，
∴阴影的面积＝扇形OCE的面积﹣弓形AMC的面积×2＝ ﹣2×（ ﹣ ）＝2 ﹣ ．
故选：A．
5．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA， 上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC
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对称， 的长为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
π
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接BD、OD，交BC与E，
由题意可知，BD＝BO，
∵OD＝OB，
∴OD＝OB＝DB，
∴∠BOD＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝30°，
∵ 的长为 ，
π
∴ ，
∴r＝6，
∴OB＝6，
∴OE＝ ＝3，BE＝ OB＝3 ，
∴CE＝ OE＝ ，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOD +S△COE ﹣S△BOE ＝ + ﹣ ＝6 ﹣3 ．
故选：A．
π
6．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，
过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA，
∵∠ABO＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝8，
∵AD∥BO，
∴∠OAD＝∠AOB＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，
∴S阴影 ＝S扇形AOB ＝ ＝ ．
故选：B．
π
7．如图，一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是（ ）
A．24 B．40 C．48 D．
【答案】A
π π π
【解答】解：根据题意，这个圆锥的侧面积＝ ×8 ×6＝24 ．
故选：A．
π π
二．填空题（共5小题）
8．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取弧AB，弧AD的中点
M，N，连结MC，NC，则图中阴影部分的周长为 （ 4 ） cm．
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【答案】（4 ）．
【解答】解：解法一：如图，取AD的中点O，连接NO，设CN交AD于点E，
∵N是弧AD的中点，
∴NO⊥AD，
∵CD⊥AD，
∴NO∥CD，
∴△NOE∽△CDE，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴OE＝ OD＝ ，
在Rt△NOE中，NE＝ ＝ ＝ ，
∴CM＝CN＝3NE＝2 ，
∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点
∴弧AB，弧AD的长度和为2× ＝2 ，
∴图中阴影部分的周长为（4 ）cm．π
解法二：作NH⊥BC于点H，
则CH＝2，NH＝6，
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在Rt△NHC中，NC＝ ＝ ＝2 ，
∴CM＝CN＝2 ，
∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点
∴弧AB，弧AD的长度和为2× ＝2 ，
∴图中阴影部分的周长为（4 ）cm．π
故答案为：（4 ）．
9．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，曲线CC C C C …是由多段120°的圆心角所对的弧组成的，其
1 2 3 4
中 的圆心为A，半径为AC； 的圆心为B，半径为BC ； 的圆心为C，半径为CC ；
1 2
的圆心为A，半径为AC …… ， ， ， ，…的圆心依次按点A，B，C循环，
3
则 的长是 ．（结果保留 ）
π
【答案】 ．
【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴AC＝AC ＝1，∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，；
1
∴BC ＝BC ＝AB+AC ＝2，CC ＝CC ＝BC +AB＝3，∠CAC ＝∠C BC ＝C CC ＝120°，
2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 3
∴ 的半径为1； 的半径为2； 的半径为3；所对的圆心角为120°，
∴ 的半径为n，所对的圆心角为120°，
∴所在圆的半径为2023，所对的圆心角为120°，
∴ 的长为 ．
故答案为： ．
10．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2， ，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形
AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：cos∠BAE＝ ，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∴圆锥的侧面展开图的弧长为： ＝ ，
π
∴圆锥的底面半径为 ÷2 ＝ ．
11．如图，从一块半径为20的圆形纸片上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形ABC围
π π
成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是 ．
【答案】 ．
【解答】解：连接BC，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为 O的直径，即BC＝20，
∴AB＝1⊙0 ，
设该圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2 r＝ ，
π
解得r＝ ，
即该圆锥的底面圆的半径为 m．
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故答案为： ．
12．如图，AB是圆锥底面的直径，AB＝6cm，母线PB＝9cm，点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出
发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 cm ．
【答案】 cm．
【解答】解：由题意知，底面圆的直径AB＝6cm，
故底面周长等于6 cm，
π
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得6 ＝ ，
解得n＝120°，
π
所以展开图中∠APD＝120°÷2＝60°，
因为半径PA＝PB，∠APB＝60°，
故三角形PAB为等边三角形，
又∵D为PB的中点，
所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA＝9cm，PD＝ cm，
根据勾股定理求得AD＝ （cm），
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所以蚂蚁爬行的最短距离为 cm．
故答案为： cm．
1．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于 O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB
＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
⊙
A． ﹣20 B． ﹣20 C．20 D．20
【答案】D
π π π
【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，
在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，
∴BD2＝AB2+AD2＝41，
S阴影部分 ＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD ﹣S以BD为直径的圆
＝ ×（ ）2+ ×（ ）2+4×5﹣ ×（ ）2
π π π
＝ +20﹣
＝20，
故选：D．
2．（2023•广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，以点A为圆心，AC为半
径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（
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）
A． ﹣2 B．2 ﹣2 C．2 ﹣4 D．4 ﹣4
【答案】C
π π π π
【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形CAE +S扇形CBF ﹣S△ABC
＝ ×2﹣
＝2 ﹣4．
故选：C．
π
3．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为 1 8 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：360°÷20°＝18．
故这个正多边形的边数为18．
故答案为：18．
4．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中 3个正五边形的位置．
要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 1 0 ．
【答案】10．
【解答】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为： ×180°×（5﹣2）＝108°，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，
∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．
故答案为：10．
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5．（2023•宿迁）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线
长是 6 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设圆锥的母线长为x cm，
根据题意得 ＝2 •2，
解得x＝6，
π
即圆锥的母线长为6cm．
故答案为6．
6．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的
圆心角 为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 2 cm．
θ
【答案】2．
【解答】解：由题意得：母线l＝6， ＝120°，
θ
2 r＝ ，
∴r＝2（cm）．
π
故答案为：2．
7．（2022•广元）如图，将 O沿弦AB折叠， 恰经过圆心O，若AB＝2 ，则阴影部分的面积为
⊙
．
【答案】 ．
【解答】解：如图，过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交 O于点D，连结AO，AD，
⊙
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根据垂径定理得：AC＝BC＝ AB＝ ，
∵将 O沿弦AB折叠， 恰经过圆心O，
⊙
∴OC＝CD＝ r，
∴OC＝ OA，
∴∠OAC＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，
∴（ ）2+（ r）2＝r2，
解得：r＝2，
∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，
∴△ACD≌△BCO（SAS），
∴阴影部分的面积＝S扇形ADO ＝ × ×22＝ ．
π
故答案为： ．
8．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点
D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm．
π
【答案】 ．
π
【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：连接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD＝ AB＝ ×6＝3（cm），
∴ 的长＝ ＝ （cm）．
π
故答案为： ．
π
9．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为 ，现将它剪拼成一个“房
子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点
A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 5 ．若点A，N，M在
同一直线上，AB∥PN，DE＝ EF，则题字区域的面积为 ．
【答案】5； ．
【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，
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∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，
又NK⊥QL，
∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，
∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，
在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
解得：r＝5；
连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，过点O作OU⊥AM于点U.连接
OA．
由△OUN∽△NPM，可得 ＝ ＝ ，
∴OU＝ ．MN＝2 ，
∴NU＝ ，
∴AU＝ ＝ ，
∴AN＝AU﹣NU＝2 ，
∴AN＝MN，
∵AB∥PN，
∴AB⊥OT，
∴AS＝SB，
∴NS∥BM，
∴NS∥MP，
∴M，P，B共线，
又NB＝NA，
∴∠ABM＝90°，
∵MN＝NB，NP⊥MP，
∴MP＝PB＝2，
∴NS＝ MB＝2，
∵KH+HN＝2+4＝6，
∴ON＝6﹣5＝1，
∴OS＝3，
∵ ，
设EF＝ST＝a，则 ，
【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即 ，
整理得 5a2+12a﹣32＝0，
即（a+4）（5a﹣8）＝0，
解得： 或a＝﹣4，
∴题字区域的面积为 ．
故答案为： ．
【35淘宝店铺：向阳百分百】
