文档内容
2021年贵州省黔东南州中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，10个小题共40分.）
1．2021的相反数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． + ＝ B．a3•a2＝ 6
C．（a3）2＝a6 D．a2﹣b2＝α（a﹣b）2
3．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用 30°角的三角板的直角边和含45°角的
三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
4．一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸
出3个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球
C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球
5．由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．6
6．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，抛物线L ：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于
1点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L ，则图
2
中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的 O交AB于
点D，则CD的长为（ ） ⊙
A． B． C． D．5
9．已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若
△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点
B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长
为（ ）A． B． C． D．
二、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）
11．目前我国建成世界上规模最大的社会保障体系，截止 2020年12月底，基本医疗保险
覆盖超过13亿人，覆盖94.6%以上的人口．在这里，1300000000用科学记数法表示为
．
12．分解因式：4ax2﹣4ay2＝ ．
13．黔东南州某校金今年春季开展体操活动，小聪收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队
员（各50名）的身高得到：平均身高（单位：cm）分别为： ＝160， ＝162．方
差分别为：S2
甲
＝1.5，S2
乙
＝2.8．现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加
上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择 ．（填写“甲队”或“乙队”）
14．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则
∠DCE的度数为 度．
15．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O
（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐
标为 ．
16．不等式组 的解集是 ．
17．小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离
CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm．
18．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底
面圆周长为20 cm，侧面积为240 cm2，则这个扇形的圆心角的度数是 度．
π π
19如图，若反比例函数y＝ 的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为
．
20如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐
标分别为x 、x ，其中﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③
1 2 1 2
4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有
．（填写正确的序号）三、解答题（6个小题，共80分）
21（1）计算：2cos30°﹣2﹣1﹣ ；
（2）先化简： ，然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合
适的数代入求值．
22为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分
为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成
不完整的统计图表．
组别 成绩x（分） 频数
A 75.5≤x＜80.5 6
B 80.5≤x＜85.5 14
C 85.5≤x＜90.5 m
D 90.5≤x＜95.5 n
E 95.5≤x＜100.5 p
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的m＝ ，n＝ ，p＝ ．
（2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图．
（3）已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上的学生有多少人？
（4）现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小丽
和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率．23如图，PA是以AC为直径的 O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交 O于点B．
（1）求证：PB是 O的切线⊙； ⊙
⊙
（2）若AB＝6，cos∠PAB＝ ，求PO的长．
24黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需
要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．
（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地
销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、
乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共
260件．
①设运往甲地的A商品为x（件），投资总运费为y（元），请写出y与x的函数关系
式；
②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝
购进商品的费用+运费）
25在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
【探究发现】（1）如图①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°．求证：AD+AB＝AC；
【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°．
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
26如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C
（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边
的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的
点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．2021的相反数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数．求一个数的相反数的方法就是在这个数的
前边添加“﹣”．
【解答】解：2021的相反数是﹣2021，
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A． + ＝ B．a3•a2＝ 6
C．（a3）2＝a6 D．a2﹣b2＝α（a﹣b）2
【分析】根据合并同类二次根式判断A，根据同底数幂的乘法判断B，根据幂的乘方判
断C，根据平方差公式判断D．
【解答】解：A选项， 和 不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；
B选项，原式＝a5，故该选项错误；
C选项，原式＝a6，故该选项正确；
D选项，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故该选项错误；
故选：C．
3．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用 30°角的三角板的直角边和含45°角的
三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
【分析】由三角板的特征可得∠B＝45°，∠E＝30°，∠EFD＝90°，利用三角形的外角
的性质及对顶角的性质可求解∠AGE的度数，再利用三角形外角的性质可求解∠1的度
数．【解答】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B＝45°，∠E＝30°，∠EFD＝
90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝45°，
∵∠1＝∠E+∠AGE，
∴∠1＝30°+45°＝75°，
故选：D．
4．一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸
出3个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球
C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答．
【解答】解：至少有1个球是白球是随机事件，A选项不正确；
至少有1个球是黑球是必然事件，B选项正确；
至少有2个球是白球是随机事件，C选项不正确；
至少有2个球是黑球是随机事件，D选项不正确；
故选：B．
5．由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．6
【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数
的和的2倍．
【解答】解：正视图中正方形有3个；左视图中正方形有3个；
俯视图中正方形有3个．
则这个几何体中正方形的个数是：2×（3+3+3）＝18个．
则几何体的表面积为18cm2．
故选：A．
6．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，将x＝2代入方程即可
求得a的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，
∴22﹣2a+6＝0，
解得a＝5．
故选：D．
7．如图，抛物线L ：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于
1
点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L ，则图
2
中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对
称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：如图所示，过抛物线L 的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
2
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L ：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B
1
（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
将抛物线L 向下平移两个单位长度得抛物线L ，则AD＝OC＝2，
1 2
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分 ＝S矩形OCDA ＝OA•AD＝1×2＝2．
故选：B．
8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的 O交AB于
点D，则CD的长为（ ） ⊙
A． B． C． D．5
【分析】由圆周角定理得到CD⊥AB，所以利用勾股定理首先求得AB的长度；然后利
用等面积法来求CD的长度即可．
【解答】解：∵以AC为直径的 O交AB于点D，
∴∠ADC＝90°，即CD⊥AB． ⊙
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则由勾股定理得到：AB＝ ＝ ＝10．
∴ AC•BC＝ AB•CD，即 ＝ ．
故CD＝ ．
故选：C．
9．已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若
△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
【分析】先根据一次函数解析式求出A、B两点的坐标，然后根据已知条件，进行分类
讨论分别求出点P的坐标．
【解答】解：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝1；
故A、B两点坐标分别为A（1，0），B（0，1），
∵点P是第一象限内的点且△PAB为等腰直角三角形，
①当∠PAB＝90°时，P点坐标为（2，1）；
②当∠PBA＝90°时，P点坐标为（1，2）；
③当∠APB＝90°时，P点坐标为（1，1）；
故选：C．10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点
B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长
为（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别延长 AD 和 BE 交于点 F，利用特殊角三角函数求出 EF 的长，根据
△ABB'是等边三角形，求出B'E＝BF﹣BB'﹣EF即可．
【解答】解：分别延长AD和BE交于点F，
由题知，AB＝2，∠ABF＝60°，
∴BF＝AB÷cos60°＝2÷ ＝4，AF＝BF•cos60°＝4× ＝2 ，∠F＝90°﹣∠ABF＝
30°，
∴DF＝AF﹣AD＝2 ﹣2，
∴EF＝DF•cos∠F＝（2 ）× ＝3﹣ ，
由题知，△ABB'是等边三角形，
∴B'E＝BF﹣BB'﹣EF＝4﹣2﹣（3﹣ ）＝ ﹣1，
故选：A．二．填空题（共8小题）
11．目前我国建成世界上规模最大的社会保障体系，截止 2020年12月底，基本医疗保险
覆盖超过13亿人，覆盖94.6%以上的人口．在这里，1300000000用科学记数法表示为
1.3×10 9 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：1300000000＝1.3×109．
故答案为：1.3×109．
12．分解因式：4ax2﹣4ay2＝ 4 a （ x ﹣ y ）（ x + y ） ．
【分析】首先提取公因式4a，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：4ax2﹣4ay2＝4a（x2﹣y2）
＝4a（x﹣y）（x+y）．
故答案为：4a（x﹣y）（x+y）．
13．黔东南州某校金今年春季开展体操活动，小聪收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队
员（各50名）的身高得到：平均身高（单位：cm）分别为： ＝160， ＝162．方
差分别为：S2
甲
＝1.5，S2
乙
＝2.8．现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加
上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择 甲队 ．（填写“甲队”或“乙
队”）
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S2
甲
＝1.5，S2
乙
＝2.8，
∴S2
甲
＜S2
乙
，
∴甲队身高比较整齐，
故答案为：甲队．14．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则
∠DCE的度数为 6 4 度．
【分析】根据菱形的性质可得BC＝CD，AD∥BC，得到∠CBD＝∠BDC＝∠ADB，利
用外角性质可得．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADB＝32°，
∴∠CBD＝∠BDC＝32°，
∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝64°，
故答案为：64．
15．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O
（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐
标为 （ 4 ， 2 ）或（﹣ 4 ，﹣ 2 ） ．
【分析】根据位似变换的定义，作出图形，可得结论．
【解答】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
16．不等式组 的解集是 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．【解答】解：解不等式5x+2＞3（x﹣1），得：x＞﹣ ，
解不等式 ，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣ ＜x≤4，
故答案为﹣ ＜x≤4．
17．小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明
求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离
CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 4 cm．
【分析】先根据垂径定理的推论得到CD过圆心，AD＝BD＝3.2cm，设圆心为O，连接
OA，如图，设 O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，利用勾股定理得到（R﹣
1.6）2+3.22＝R2⊙，然后解方程即可．
【解答】解：∵C点 的中点，CD⊥AB，
∴CD过圆心，AD＝BD＝ AB＝ ×6.4＝3.2（cm），
设圆心为O，连接OA，如图，
设 O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，
在⊙Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），
所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．
故答案为4．
18．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底
面圆周长为20 cm，侧面积为240 cm2，则这个扇形的圆心角的度数是 15 0 度．
π π【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆周长为20 cm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的π弧长为20 cm，
π
由题意得： ×20 ×l＝240 ，
π π
解得：l＝24，
则 ＝20 ，
π
解得，n＝150，即扇形的圆心角为150°，
故答案为：150．
19如图，若反比例函数y＝ 的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为
．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】如图，过点P作x轴的垂线于M，设P（a， ），则OM＝a，PM＝ ，根
据等边三角形三线合一的性质得：OQ＝OP＝2a，在Rt△OPM中，根据勾股定理求得PM＝ a，从而得到方程 ＝ a，解得a＝1，所以△POQ的边长为OQ＝2a＝2．
【解答】解：如图，过点P作x轴的垂线于M，
∵△POQ为等边三角形，
∴OP＝OQ，OM＝QM＝ OQ，
设P（a， ），
则OM＝a，OQ＝OP＝2a，PM＝ ，
在Rt△OPM中，
PM＝ ＝ ＝ a，
∴ ＝ a，
∴a＝1（负值舍去），
∴OQ＝2a＝2，
故答案为：2．
20如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐
标分别为x 、x ，其中﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③
1 2 1 2
4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有
．（填写正确的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的
交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】②④⑤．
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时
系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与
y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜﹣ ＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣b+c＜0，故③错误；
当x＝m（1＜m＜2）时，y＝am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2﹣c，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＝2，所以﹣2b＜﹣2，即b＞1，故
⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
21（1）计算：2cos30°﹣2﹣1﹣ ；
（2）先化简： ，然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合
适的数代入求值．
【考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数
值．
【专题】计算题；分式；运算能力．【答案】（1） ；
（2）x+2，3．
【分析】（1）根据实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行
计算即可；
（2）根据分式的化简求值即可得结果．
【解答】解：（1）原式＝ ＝ ；
（2）原式＝
＝x+2，
∵x取0或2时，原式无意义，
∴x只能取1，
当x＝1时，原式＝3．
22为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分
为整数，王老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成
不完整的统计图表．
组别 成绩x（分） 频数
A 75.5≤x＜80.5 6
B 80.5≤x＜85.5 14
C 85.5≤x＜90.5 m
D 90.5≤x＜95.5 n
E 95.5≤x＜100.5 p
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的m＝ ，n＝ ，p＝ ．
（2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图．
（3）已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上的学生有多少人？
（4）现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小丽
和小洁是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率．【考点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布
直方图；加权平均数；中位数；列表法与树状图法．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）18，8，4；
（2）C组，图形见解析；
（3）240人；
（4）18，8，4；
【分析】（1）由B组的人数和所占百分比求出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由中位数的定义求出中位数落在C组，再由（1）的结果补全频数分布直方图即可；
（3）由该校参赛人数乘以竞赛成绩在90分以上的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有2种，再
由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：14÷28%＝50（人），
∴m＝50×36%＝18，
由题意得：p＝4，
∴n＝50﹣6﹣14﹣18﹣4＝8，
故答案为：18，8，4；
（2）∵p+n+m＝4+8+18＝30，
∴这次调查成绩的中位数落在C组；
补全频数分布直方图如下：（3） ，
即估计竞赛成绩在90分以上的学生有240人；
（4）将“小丽”和“小洁”分别记为：A、B，另两个同学分别记为：C、D
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有2种，
∴恰好抽到小丽和小洁的概率为： ＝ ．
23如图，PA是以AC为直径的 O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交 O于点B．
（1）求证：PB是 O的切线⊙； ⊙
⊙
（2）若AB＝6，cos∠PAB＝ ，求PO的长．
【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形．
【专题】证明题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解析；（2） ．
【分析】（1）连接 OB，证明△PAO≌△PBO（SAS），由全等三角形的性质得出
∠PBO＝∠PAO＝90°，则可得出结论；
（2）设OP与AB交于点D．求出PA＝5，由勾股定理求出PD＝4，由锐角三角函数的
定义可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵PA是以AC为直径的 O的切线，切点为A，
∴∠PAO＝90°， ⊙
∵OA＝OB，AB⊥OP，
∴∠POA＝∠POB，
在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
即OB⊥PB，
∴PB是 O的切线；
（2）解⊙：设OP与AB交于点D．∵AB⊥OP，AB＝6，
∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝90°，
∵ ，
∴PA＝5，
∴PD＝ ＝ ，
在Rt△APD和Rt△APO中， ， ，
∴ ，
∴PO＝ ．
24黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需
要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．
（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地
销售．已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、
乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共
260件．
①设运往甲地的A商品为x（件），投资总运费为y（元），请写出y与x的函数关系
式；
②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝
购进商品的费用+运费）
【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；（2）①y与x
的函数关系式为y＝4x+125040；②调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60
件B商品到乙地总费用最小，最小费用为125040元．
【分析】（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据购进3件A
商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方
程组求解即可；（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，运往甲
地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，根据投资总费用＝购进
商品的费用+运费列出函数关系式即可；②由自变量的取值范围是：0≤x≤200，根据
函数的性质判断最佳运输方案并求出最低费用．
【解答】解：（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，
根据题意，得 ，
解得： ，
答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；
（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，
运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，
则y＝200×200+250×300+20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+125040，
∴y与x的函数关系式为y＝4x+125040；
②在y＝4x+125040中，
自变量的取值范围是：0≤x≤200，
∵k＝4＞0，
∴y随x增大而增大．
当x＝0时，y取得最小值，y最小 ＝125040（元），
∴最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地，
最小费用为125040元．
答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最
小费用为125040元．
25在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
【探究发现】
（1）如图①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°．求证：AD+AB＝AC；
【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°．
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．【考点】四边形综合题．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）见解答过程；（2）①AD+AB＝AC，②25 ．
【分析】（1）由题意可得∠ACD＝∠ACB＝30°，从而有AD＝ ， ．则
AD+AB＝AC；
（2）①过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．证△CFB≌△CED，得FB＝DE，
则AD+AB＝AD+FB+AF＝AD+DE+AF＝AE+AF，由（1）知：AE+AF＝AC，代入即可；
②将四边形ABCD的面积转化为S△ACD +S△ABC ，结合①的结论可解决问题．
【解答】解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°
∵∠ADC＝∠ABC＝90°
∴∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴AD＝ ， ．
∴AD+AB＝AC，
（2）①AD+AB＝AC，
理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．∵AC平分∠BAD，CE⊥AD于E，CF⊥AB，
∴CF＝CE
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠EDC+∠ADC＝180°，
∴∠FBC＝∠EDC
在△CED和△CFB中，
，
∴△CFB≌△CED（AAS），
∴FB＝DE，
∴AD+AB＝AD+FB+AF＝AD+DE+AF＝AE+AF，
在四边形AFCE中，由（1）题知：AE+AF＝AC，
∴AD+AB＝AC，
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，
又∵AC＝10
∴CE＝AC ，
∵CF＝CE，AD+AB＝AC，
∴ ＝ ．
26如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边
的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的
点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；多边形与平行四边形；图形的相似；数据分析观念．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或
（1，3）、（﹣2，0）；（3）点M的坐标为：（0，0）或（ ，0）或（6，0）或（
，0）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形时，点C向右平移3
个单位向上平移3个单位得到点B，同样P（Q）向右平移3个单位向上平移3个单位得
到点Q（P），即可求解；
（3）要使以 A、M、G 为顶点得三角形与△BCD 相似，需要满足条件：
，进而求解．
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2x+c中，得：，解得 ，
∴抛物线得函数关系为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣ ＝1，
故设点P（1，m），
设点Q（x，0），
当以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形时，
点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B，同样P（Q）向右平移3个单位向上
平移3个单位得到点Q（P），
则1±3＝x且m±3＝0，
解得 或 ，
故点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；
（3）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A（﹣1，0），
又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线得顶点D得坐标为（1，﹣4），
∵C（0，﹣3）、B（3，0）、D（1，﹣4），
∴BD2+22+42＝20，CD2＝12+12，BC2＝32+32，
∴BD2＝CD2+BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝90°，
设点M得坐标（m，0），则点G得坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
根据题意知：∠AMG＝∠BCD＝90°，
∴ 要 使 以 A 、 M 、 G 为 顶 点 得 三 角 形 与 △ BCD 相 似 ， 需 要 满 足 条 件 ：
，
①当m＜﹣1时，此时有： ，解得： ，m ＝﹣1或m ＝0，m ＝﹣1，都不符合m＜﹣1，所以m＜﹣1时无解；
2 1 2
②当﹣1＜m≤3时，此时有： ，
解得： ，m ＝﹣1（不符合要求，舍去）或m ＝0，m ＝﹣1（不符合要求，舍
2 1 2
去），
∴M（ ）或M（0，0），
③当m＞3时，此时有： 或 ，
解得： （不符合要求，舍去）或 m ＝6，m ＝﹣1（不符要求，舍
1 2
去），
∴点M（6，0）或M（ ，0），
答：存在点 M，使得A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，点M的坐标为：M
（0，0）或M（ ，0）或M（6，0）或M（ ，0）．
