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乐山市 2023 年初中学业水平考试
数学
本试题卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页。考生作答时，须将答案答在
答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，
将本试题卷和答题卡一并交回。考生作答时，不能使用任何型号的计算器。
第I卷（选择题 共30分）
注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上。
2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．计算： （ ）
A．a B． C． D．1
2．下面几何体中，是圆柱的为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各点在函数 图象上的是（ ）
A． B． C． D．
4．从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面
通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，
政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如下统计图，如图所示
估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（ ）
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A．100 B．150 C．200 D．400
6．如图2，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若 ，
则 （ ）
A．2 B． C．3 D．4
7．若关于x的一元二次方程 两根为 ，且 ，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形
与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线 经过点 ，且 ，有下列结论：① ；②
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；③ ；④若点 在抛物线上，则 ．其中，正确的结论有（
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图5，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1
的 上两动点，且 ，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时， 面积的最大值是（
）
A．8 B．6 C．4 D．3
第Ⅱ卷（非选择题 共120分）
注意事项：
1．考生使用0.5m黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无
效。
2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚。
3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
4．本部分共16个小题，共120分。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．不等式 的解集是__________．
12．小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，
160．这组数据的众数为__________．
13．如图，点O在直线AB上，OD是 的平分线，若 ，则 的度数为__________．
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14．若m、n满足 ，则 __________．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若 ，则
__________．
16．定义：若x，y满足 且 （t为常数），则称点 为“和谐点”．
（1）若 是“和谐点”，则 __________．
（2）若双曲线 存在“和谐点”，则k的取值范围为__________．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤。
17．（本小题满分9分）
计算：
18．（本小题满分9分）
解二元一次方程组：
19．（本小题满分9分）
如图，已知AB与CD相交于点O， ，求证： ．
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20．（本小题满分10分）
如图9，在 中， ，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作
， ，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．
（1）求证：四边形ECFD是矩形；
（2）若 ，求点C到EF的距离．
21．（本小题满分10分）
为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000
棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了 ，结果提前2天完成任
务．问原计划每天种植梨树多少棵？
22．（本小题满分10分）
为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与经统计，同学
们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”．班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．
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家务类型 洗衣 拖地 煮饭 刷碗
人数（人） 10 12 10 m
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1） __________；
（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为__________；
（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同
学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
23．（本小题满分10分）
如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与x轴交于点B， 与y轴交于
点 ．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数 图象上的一点， ，求点P的坐标．
24．（本小题满分10分）
如图，已知 是 的外接圆， ，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，
AE，且 ．
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（1）求证：直线AE是 是的切线；
（2）若 ， 的半径为3，求AD的长．
25．（本小题满分12分）
在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板 绕点A逆时针旋转 到达 的位置，那么可以得到：
； （ ）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解
决图形旋转的关键故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________；
（2）如图，小王将一个半径为 ，圆心角为 的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转 到达扇形纸板
的位置．
①请在图中作出点O；
②如果 ，则在旋转过程中，点B经过的路径长为__________；
【问题拓展】
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小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置另一个
在孤的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？
如图所示，请你帮助小李解决这个问题．
26．已知 是抛物 （b为常数）上的两点，当 时，总有
（1）求b的值；
（2）将抛物线 平移后得到抛物线 ．
当0测x2时，探究下列问题：
①若抛物线 与抛物线 有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线 的顶点为点E， 外接圆的圆心为
点F如果对抛物线 上的任意一点P，在抛物线 上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长
的取值范围．
乐山市 2023 年初中学业水平考试
数学参考答案及评分标准
第I卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B C B C A B D
第Ⅱ卷（非选择题 共120分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
11． 12．160 13． 14．16 15． 16．（1） （2）
注：16题第（1）空1分，第（2）空2分．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
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骤．
17．解：原式 ， 6分
=1． 9分
注：第一步含有三个式子的计算，答对一个得2分
18．解：
解法一：① ，得 ② 2分
将②+③，得 ，解得 ． 5分
将 代入①，得 8分
9分
解法二：由①，得 ．③ 2分
将③代入②，得 ，解得 ． 5分
将 代入③，得 ． 8分
9分
19．证明： ， 2分
在 和 中，
，
． 7分
． 9分
20．（1） ，
∴四边形ECFD为平行四边形． 2分
又 ，
∴四边形ECFD为矩形． 4分
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（2）过点C作 ，垂足为H，如图所示
在 中， ，
． 6分
． 8分
．
∴点C到EF的距离为 10分
21．解：设原计划每天种植梨树x棵 1分
由题可知： 5分
解得： 8分
经检验： 是原方程的根，且符合题意． 9分
答：原计划每天种植梨树500棵． 10分
22．解：（1）8 2分
（2） ． 5分
（3）列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，女1）
10【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
8分
或树状图：
8分
． 10分
23．解：（1） 点 在反比例函数 的图象上，
． 2分
又 点 都在一次函数 的图象上，
解得 4分
一次函数的解析式为 ． 5分
（2）对于 ，当 时， ．
． 6分
过点A作 轴于点H，过点P作 轴于点D，如图所示．
，
．
11【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，解得 ． 8分
点P的纵坐标为2或 ．
将 或 代入 得 或 ．
∴点 或 10分
24．（1）证明：
． 1分
． 2分
． 3分
．
． 4分
，∴AB是 的直径
∴AE是 是的切线． 5分
（2）作 ，垂足为E，如图所示． 6分
．
在 中，
． 7分
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．
在 中， ． 8分
． 9分
25．解：【问题解决】
（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等 2分
（2）①下图中，点O为所求 4分
② 6分
【问题拓展】
解：<方法一>
连结 ，交AC于M，连结PA，PD， 如图所示
．
由旋转得 ． 7分
在 中，
．
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在 中，
，
，
． 8分
．
．
10分
在 和 中，
，
又 ，
．
又 ， ．
<方法二>
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连结 ，交AC于M后，连结 ，AC交 于D， 交
点P为 的中点，
．
由旋转的性质得：
，
7分
8分
在 中，
．
在 中，
．
．
在 中， 10分
．
．
12分
<方法三>
连结PA， ，PD，PC，交AC于M，交 于N，如图所示
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点P为 的中点，
．
由旋转得 ． 8分
在 为中．
．
9分
在 中，
10分
． 11分
现证明阴影部分为轴对称图形：连结
点P为 的中点，图形的旋转，
．
，
又 ，
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，
在 中， ．
．
又 图形的旋转，∴阴影部分面积被PD等分．
12分
26．解：（1）由题可知： 1分
时，总有 ，
． 2分
3分
注：如果学生由对称性或者取特殊值直接得出 不扣分
（2）①注意到抛物线 最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 过点 时，如图所示，
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此时， ，解得 或 （舍）． 4分
（ii）当抛物线 过点 时，如图所示，
此时， ，
解得 或 （舍） 5分
综上， 6分
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 过点 时，如图所示，
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此时， ，解得 或 （舍）． 7分
（ii）当抛物线 过点 时，如图所示，
此时， ，解得 或0（舍）． 8分
综上 9分
如图，由圆的性质可知，点E、F在线段AB的垂直平分线上．
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令 ，解得
10分
，
设 ，
，
，即 11分
．
，即 12分
，
13分
20
