文档内容
乐山市 2024 年初中学业水平考试
数学
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在
答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束
后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．
2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1. 不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
移项可得一元一次不等式的解集．
【详解】解： ，
解得， ，
故选：A．
2. 下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）
A. 带盖玉柱形器 B. 白衣彩陶钵
C. 镂空人面覆盆陶器 D. 青铜大方鼎
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
得出各个选项中的几何体的俯视图即可．
【详解】解：A．俯视图是圆形，因此选项A不符合题意；
B．俯视图不是四边形，因此选项B不符合题意；
C．俯视图不是四边形，因此选项C不符合题意；
D．俯视图是正方形，因此选项D符合题意；
故选：D．
3. 年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破 亿元，居全省地级市第一．将 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定 的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为 ，其中 ， 的值为整数位数少1．
【详解】解： 大于1，用科学记数法表示为 ，其中 ， ，
∴ 用科学记数法表示为 ，
故选：C．
4. 下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】边数为n的多边形的内角和 ，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形的内
角和，即可得到．
【详解】解：三角形的内角和等于
四边形的内角和等于
五边形的内角和等于
六边形的内角和等于
所以三角形的内角和最小
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，能熟记边数为n的多边形的内角和 是解此题的关
键．
5. 为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级 800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查
结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）
公 交 自 行 步 私 家 其
交通方式
车 车 行 车 它
人 数
30 5 15 8 2
（人）
A. 100 B. 200 C. 300 D. 400
【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用学校总人数乘样本中乘坐公交车上学的人数的比例，即可得
出答案．
【详解】解：估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为：
（人），
故选：D．
6. 下列条件中，不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、 ，
四边形 是∵平行四边形，故此选项不合题意；
∴B、 ，
四边∵ 形 是平行四边形，故此选项不合题意；
∴C、 ，
四边∵ 形 是平行四边形，故此选项不合题意；
∴D、 ，不能得出四边形 是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
∵
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．
7. 已知 ，化简 的结果为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据 化简二次根式，然后再根据 去绝对值即可．
【详解】解： ，
，
∵ ，
∴
，
∴
，
故选：B．
∴8. 若关于x的一元二次方程 两根为 、 ，且 ，则p的值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程 根与系数的关系：若方程的两实数根为 ，
则 ．
根据一元二次方程 根与系数的关系得到 ，然后通
分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可．
【详解】解： ，
，
而 ，
，
，
故选：A．
9. 已知二次函数 ，当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小
值，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是
解题的关键．
由 ，可知图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当
时， ，即 关于对称轴对称的点坐标为 ，由当 时，函数取得最大值；当 时，
函数取得最小值，可得 ，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵ ，∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时， ，
∴ 关于对称轴对称的点坐标为 ，
∵当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，
∴ ，
解得， ，
故选：C．
10. 如图，在菱形 中， ， ，点P是 边上一个动点，在 延长线上找一
点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接 交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运
动路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解
题的关键是掌握以上点M的运动路径．
过点C作 交 于点H，根据 ，四边形 是菱形， ，算出
，得出 ， 垂直平分 ，再证明 ，得出 ，证明 垂直平
分 ，点M在 上运动，根据解直角三角形 ．即可求解．
【详解】解：过点C作 交 于点H，
∵ ，四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∵点P和点Q关于点C对称，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴点M 上运动，
当点P与点B重合时，点M位于点 ，
此时，∵ ，四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ ．
故点M的运动路径长为 ．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题共120分）
注意事项：
1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷
上无效．
2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚．
3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
4．本部分共16个小题，共120分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11. 计算： ______.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则计算得出答案．
【详解】 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，正确把握运算法则是解题关键．
12. 一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．
那么这5辆车的速度的中位数是______．【答案】66
【解析】
【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数．
先将数据从小到大重新排列，根据中位数的概念求解可得．
【详解】解：将这组数据重新排列为57，58，66，69，71，
所以这组数据的中位数为66．
故答案为：66．
13. 如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若 ，那么 ______．
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】本题考查了直线平行的性质：两直线平行同位角相等．也考查了平角的定义．
根据两直线平行同位角相等得到 ，再根据平角的定义得到 ，从而可计算
出 ．
【详解】解：如图，
，
，
而 ，
，
故答案为： ．
14. 已知 ， ，则 ______．【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
根据 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
故答案为： ．
15. 如图，在梯形 中， ，对角线 和 交于点 O，若 ，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似
三角形的判定与性质是解题的关键．
设 的距离为 ，则 ，即 ，证明 ，则
，计算求解即可．
【详解】解：设 的距离为 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于 1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数 图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；
① ；② ；③ ．
（2）若一次函数 图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______．
【答案】 . ③ . 或
【解析】
① ②
【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．熟练掌握新定义，一次函数，反比例函数，二次函数图
象上的点到坐标轴距特点，是解决问题的关键．
（1）① 中，取 ，不存 “近轴点”；
② ，由对称性，取 ，不存在“近轴点”；
③ ，取 时， ，得到 是 的“近轴点”；
（2） 图象恒过点 ，当直线过 时， ，得到 ；当直
线过 时， ，得到 ．
【详解】（1）① 中，
时， ，
不存在“近轴点”；
② ，
由对称性，当 时， ，
不存在“近轴点”；
③ ，
时， ，
∴ 是 的“近轴点”；
∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③
故答案为：③；（2） 中，
时， ，
∴图象恒过点 ，
当直线过 时， ，
∴ ，
∴ ；
当直线过 时， ，
∴ ，
∴ ；
∴m的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演
算步骤．
17. 计算： ．【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，算术平方根．熟练掌握绝对值，零指数幂，算术平方根是解题的
关键．
先分别计算绝对值，零指数幂，算术平方根，然后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
18. 解方程组：
【答案】详见解析
【解析】
【分析】用加减消元法把二元一次方程转化成一元一次方程．
【详解】解： ＋ ，得 ．
解得 ． ① ②
把 代入 ，得 ．
②
原方程组的解是 ．
19. 知：如图， 平分 ， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用 证明 ，即可证明 ．
【详解】解： 平分 ，
，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握 、 、 、 等全等三角形的判定方法是解题的关键．
20. 先化简，再求值： ，其中 ．小乐同学的计算过程如下：
解 ：
…①
…②
…③
…④
…⑤
当 时 ， 原
式 ．
（1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
【答案】（1）③ （2） ，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底；
（2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可．
【小问1详解】
解： 第③步分子相减时，去括号变号不彻底，
∵
应为： ；
【小问2详解】
解：当 时，原式
21. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了
部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状
图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
【答案】（1）240，35
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 ，再从中选出符
合事件 或 的结果数目 ，然后利用概率公式计算事件 或事件 的概率．也考音了统计图．
（1）根据：该项所占的百分比 该项人数÷总人数．两图给出了“跷脚牛肉”的数据，代入即可算出抽
取的游客总人数，然后再算出“钵钵鸡”的人数；
（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“甜皮鸭”的人数，再补全条形图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”“钵钵鸡和跷脚
牛肉”的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：本次抽取的游客总人数为 (人)，
，
故答案为：240，35；
【小问2详解】“甜皮鸭”对应的人数为 (人)，
补全图形如下：
【小问3详解】
假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”，
画树状图如图所示，
共有12种等可能 结果数，其中抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”题目的结果数为2，
∴抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是 ．
22. 如图，已知点 、 在反比例函数 的图象上，过点 的一次函数
的图象与 轴交于点 ．
（1）求 、 的值和一次函数的表达式；
（2）连结 ，求点 到线段 的距离．
【答案】（1） ， ，
（2）点 到线段 的距离为
【解析】
【分析】（1）根据点 、 在反比例函数 图象上，代入即可求得 、 的值；根据一
次函数 过点 ， ，代入求得 ， ，即可得到表达式；
（2）连结 ，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ，可推出
轴， 、 、 的长度，然后利用勾股定理计算出 的长度，最后根据，计算得 的长度，即为点 到线段 的距离．
【小问1详解】
点 、 在反比例函数 图象上
，
又 一次函数 过点 ，
解得：
一次函数表达式为： ；
【小问2详解】
如图，连结 ，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点
，
轴，
点 ， ，
点 ， ，
在 中，
又
即
∴ ，即点C到线段AB的距离为 ．
【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计
算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．
23. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是
使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1尺，将它往前推进10
尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索 的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置 释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地
方 ，两次位置的高度差 ．根据上述条件能否求出秋千绳索 的长度？如果能，请用含α、β
和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）秋千绳索的长度为 尺
（2）能，
【解析】
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图，过点 作 ，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知， ，
， ，得出 ．在 中，由勾股定理解得 ，即可求解；
（2）由题可知， ， ．在 中，得出
，同理， ．再根据 ，列等式即可求出 ．
【小问1详解】
解：如图，过点 作 ，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．由题可知， ， ， ，
∴ ．
在 中，由勾股定理得：
∴ ．
解得 ．
答：秋千绳索的长度为 尺．
【小问2详解】
能．
由题可知， ， ．
在 中， ，
同理， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
24. 如图， 是 的外接圆， 为直径，过点C作 的切线 交 延长线于点D，点E为
上一点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 垂直平分 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图1，连结 ．则 ，即 ．由 为直径，可得
，即 ．则 ．由 ，可得 ．由 ，可得 ．则 ．进而可证 ．
（2）如图 2，连结 ．由 垂直平分 ，可得 ．则 为等边三角形．
， ． 由 ， 可 得 ． 由 ， 可 得
． ．证明 为等边三角形．则 ，
． ． 则 ． ． ．
． ，根据 ，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：如图1，连结 ．
图1
∵ 为 的切线，
∴ ，即 ．
又∵ 为直径，
∴ ，即 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【小问2详解】
解：如图2，连结 ．
图2
∵ 垂直平分 ，
∴ ．又∵ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判
定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握切线的性
质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定
与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线
（a为常数且 ）与y轴交于点A．（1）若 ，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段 （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线 交于M、N两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完
美点”，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关
键．
（1）把 代入后再将抛物线化成顶点式为 ，即可求顶点坐标；
（2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围；
（3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围．
【小问1详解】
解：当 时，抛物线 ．
∴顶点坐标 ．
【小问2详解】
令 ，则 ，
∴ ，
∵线段 上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵ ，
∴当“完美点”个数为4个时，分别为 ， ， ， ；
当“完美点”个数为5个时，分别为 ， ， ， ， ．
∴ ．∴a的取值范围是 ．
小问3详解】
根据 ，
得抛物线的顶点坐标为 ，过点 ， ， ．
∵抛物线与直线 交于M、N两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美
点”，
显然，“完美点” ， ， 符合题意．
下面讨论抛物线经过 ， 的两种情况：
①当抛物线经过 时，解得 此时， ， ， ．
如图所示，满足题意的“完美点”有 ， ， ， ，共4个．
②当抛物线经过 时，解得 此时， ， ， ．
如图所示，满足题意的“完美点”有 ， ， ， ， ， ，共6个．
∴a的取值范围是 ．
26. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在 中， ， ，点D、E在边 上，且 ， ，
，求 的长．
解：如图2，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连结 ．
由旋转的特征得 ， ， ， ．∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
在 和 中，
， ， ，
∴___①___．
∴ ．
又∵ ，
∴ 中，___②___．
∵ ， ，
∴ ___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以
不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形 中，点E、F分别在边 上，满足 的周长等于正方形 的
周长的一半，连结 ，分别与对角线 交于M、N两点．探究 的数量关系并
证明．
【拓展应用】
如图 4，在矩形 中，点 E、F 分别在边 上，且 ．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在 中， ， ， ，点D、E在边 上，且 ．设
， ，求y与x的函数关系式．
【答案】【问题解决】① ；② ；③ 5；【知识迁移】
，见解析；【拓展应用】 ；【问题再探】
【解析】
【分析】（1）【问题解决】根据题中思路解答即可；
（2）【知识迁移】如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．过点 作 交边
于点 ，连结 ．由旋转的特征得 ．结合题意得
．证明 ，得出 ．根据正方形性质得
出 ．结合 ，得出 ．证明
，得出 ．证明 ．得出 ．在
中，根据勾股定理即可求解；
（3）【拓展应用】如图所示，延长 交 延长线于 点，交 延长线于 点，将 绕着点
顺时针旋转 ，得到 ，连接 ．则 ．则
， ，根据 ，证明 ，得出
，过点H作 交 于点O，过点H作 交 于点M，则四边形 为
矩形．得出 ，证明 是等腰直角三角形，得出
， ，在 中，根据勾股定理即可证明；
（4）【问题再探】如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连结 ．过点 作，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为 ．过点 作 ，过点 作
交 于点 、 交于点 ．由旋转的特征得
．根据 ，得出
，证明 ，得出 ，根据勾股定理算出 ，根据
，表示出 ，证明 ，根据相似三角形的性质表示出
， ，同理可得 ． ，证
明四边形 为矩形．得出 ， ，在
中，根据勾股定理即可求解；
【详解】解：（1）【问题解决】解：如图2，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连结
．
由旋转的特征得 ， ， ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
在 和 中， ， ， ，
∴① ．
∴ ．
又∵ ，
∴在 中，② ．
∵ ， ，
∴ ③．
（2）【知识迁移】 ．
证明：如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．过点 作 交边 于点 ，连结 ．
由旋转的特征得 ．
由题意得 ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ．
∴ ．
又∵ 为正方形 的对角线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ．
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
（3）【拓展应用】 ．
证明：如图所示，延长 交 延长线于 点，交 延长线于 点，将 绕着点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ．
则 ．
则 ， ，
，
，
在 和 中
，
，
∴ ，
过点H作 交 于点O，过点H作 交 于点M，则四边形 为矩形．
∴ ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在 中， ， ，
∴ ，
即 ，
又∴ ，
∴ ，即 ，
（4）【问题再探】如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连结 ．过点 作
，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为 ．过点 作 ，过点 作
交 于点 、 交于点 ．
由旋转的特征得 ．
，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，即 ，
，
同理可得 ．，
，
，
又∵ ，
∴四边形 为矩形．
，
，
在 中， ．
，
解得 ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、
勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运
用旋转变换作图，掌握以上知识点是解题的关键．
