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四川省乐山市 2021 年中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1. 如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作 ，支出5元记作（ ）．
A. 5元 B. 元 C. 元 D. 7元
2. 在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健
康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）．
类型 健康 亚健康 不健康
数据（人） 32 7 1
A. 32 B. 7 C. D.
3. 某种商品 千克的售价为 元，那么这种商品8千克的售价为（ ）
A. （元） B. （元） C. （元） D. （元）
4. 如图，已知直线 、 、 两两相交，且 ．若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知直线 与坐标轴分别交于 、 两点，那么过原点 且将 的面积平分
的直线 的解析式为（ ）A. B. C. D.
6. 如图是由4个相同的小正方体成的物体，将它在水平面内顺时针旋转 后，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
7. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，
如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方
形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图．则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（ ）A. 3 B. C. 2 D.
8. 如图，已知点 是菱形 的对角线 延长线上一点，过点 分别作 、 延长线的垂线，
垂足分别为点 、 ．若 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
9. 如图，已知 ， ， ， 与 、 均相切，点 是线段 与抛物线
的交点，则 的值为（ ）A. 4 B. C. D. 5
10. 如图，直线 与反比例函数 的图象相交于A、 两点，线段 的中点为点 ，过点
作 轴的垂线，垂足为点 ．直线 过原点 和点 ．若直线 上存在点 ，满足
，则 的值为（ ）
A. B. 3或 C. 或 D. 3
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11. 计算： __________．
12. 因式分解： ________．
13. 如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳？________
（填“甲”或“乙”）14. 如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点 处测得石碑顶 点的仰角为 ，她朝
石碑前行5米到达点 处，又测得石顶 点的仰角为 ，那么石碑的高度 的长 ________米．（结
果保留根号）
15. 在 中， ．有一个锐角为 ， ．若点 在直线 上（不与点 、 重
的
合），且 ，则 长为________．
16. 如图，已知点 ，点 为直线 上的一动点，点 ， ， 于点 ，
连接 ．若直线 与 正半轴所夹的锐角为 ，那么当 的值最大时， 的值为________．三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．
17. 当 取何正整数时，代数式 与 的值的差大于1
18. 如图，已知 ， ， 与 相交于点 ，求证： ．
19. 已知 ，求 、 的值．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
（2）二次函数 的部分图象如图所示，求一元二次方程 的解．
21. 某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000
名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．
的
（1）求这组数据 平均数和众数；
（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都到出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计
周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？
的
（3）捐款最多 两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两
人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．
22. 如图，直线 分别交 轴， 轴于 、 两点，交反比例函数 的图象于 、 两点．若
，且 的面积为4
（1）求 的值；（2）当点 的横坐标为 时，求 的面积．
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生
兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标 随时间 （分
钟）变化的函数图象如图所示，当 和 时，图象是线段；当 时，图象是
反比例函数的一部分．
（1）求点 对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合
题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
24. 如图，已知点 是以 为直径的圆上一点， 是 延长线上一点，过点 作 的垂线交 的
延长线于点 ，连结 ，且 ．（1）求证： 是 的切线；
的
（2）若 ， ，求 半径．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25. 在等腰 中， ，点 是 边上一点（不与点 、 重合），连结 ．
（1）如图1，若 ，点 关于直线 的对称点为点 ，结 ， ，则 ________；
（2）若 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连结 ．
①在图2中补全图形；
的
②探究 与 数量关系，并证明；
（3）如图3，若 ，且 ，试探究 、 、 之间满足的数量关系，并证
明．
26. 已知二次函数 的图象开口向上，且经过点 ， ．
（1）求 的值（用含 的代数式表示）；
（2）若二次函数 在 时， 的最大值为1，求 的值；
（3）将线段 向右平移2个单位得到线段 ．若线段 与抛物线 仅有一
个交点，求 的取值范围．
