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乐山市 2023 年初中学业水平考试
数学
本试题卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页。考生作答时，须将答案答在
答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，
将本试题卷和答题卡一并交回。考生作答时，不能使用任何型号的计算器。
第I卷（选择题 共30分）
注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上。
2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1. 计算： （ ）
A. a B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据合并同类项法则进行计算即可．
【详解】解： ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算．
2. 下面几何体中，是圆柱的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆柱体的特征进行判断即可．
【详解】解：A.是正方体，不符合题意；
B.是圆柱，符合题意；
C.是圆锥，不符合题意；
D.是球体，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．
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3. 下列各点在函数 图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式 ，进行计算
即可得到答案．
【详解】解： 一次函数图象上的点都在函数图象上，
函数图象上的点都满足函数解析式 ，
A.当 时， ，故本选项错误，不符合题意；
B.当 时， ，故本选项错误，不符合题意；
C.当 时， ，故本选项错误，不符合题意；
D.当 时， ，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，
是解题的关键．
4. 从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全
面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，看小数点
移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，
n是负整数．
【详解】解：
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故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．
解题关键是正确确定a的值以及n的值．
5. 乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活
动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如下统计图，如
图所示估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（ ）
A. 100 B. 150 C. 200 D. 400
【答案】C
【解析】
【分析】用初一年级总人数500名乘以随机抽取的50名同学中愿意去“沫若故居”的学生人数占的比值了可
求解．
【详解】解： ，
故选：C．
【点睛】本题考查条形统计图，用样本估计总体一，熟练掌握用样本频数估计总体频数是解题的关键．
6. 如图，菱形 的对角线 与 相交于点O，E为边 的中点，连结 ．若
，则 （ ）
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A. 2 B. C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先由菱形的性质得 ， ， ，再由勾股定
理求出 ，然后由直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
【详解】解：∵菱形 ，
∴ ， ， ，
∴由勾股定理，得 ，
∵E为边 的中点，
∴
故选：B．
【点睛】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是
解题的关键．
7. 若关于x 一的元二次方程 两根为 ，且 ，则m的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系
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求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 两根为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
8. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角
形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为 25，小正方形面积为 1，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，由赵爽弦图的特征可得 ，则 ，在
中，利用勾股定理求出 ，最后按照正弦函数的定义计算求解即可．
【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1，
∴大正方形的边长 ，小正方形的边长 ，
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∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 （负值舍去）
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理、弦图及正弦函数的计算，明确相关性质及定理是解题的关键．
9. 如图，抛物线 经过点 ，且 ，有下列结论：① ；②
；③ ；④若点 在抛物线上，则 ．其中，正确的结论有
（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
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【分析】抛物线 经过点 ，且 ，，可以得到 ，
，从而可以得到b的正负情况，从而可以判断①；继而可得出 ，则 ，即可
判断②；由图象可知，当 时， ，即 ，所以有 ，从而可得出 ，
即可判断③；利用 ，再根据 ，所以 ，从而可得
，即可判断④．
【详解】解 ：∵抛物线 的图象开口向上，
∴ ，
∵抛物线 经过点 ，且 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴
∴ ，故②正确；
由图象可知，当 时， ，即 ，
∴
∵ ， ，
∴ ，故③正确；
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∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∵抛物线 的图象开口向上，
∴ ，故④错误．
∴正确的有①②③共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握根据二次函数图象性质是解题
的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径
为1的 上两动点，且 ，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时， 面积的最大
值是（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出 ，确定 ，再由题意得出当 的延长
线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接 ，利用勾股定理求解即可．
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【详解】解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的底边 为定值，
∴使得 底边上的高最大时，面积最大，
点P为 的中点，当 的延长线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接
，
∵ ， 的半径为1，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最
大值是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共120分）
注意事项：
1．考生使用0.5m黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上
无效。
2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚。
3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
4．本部分共16个小题，共120分。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11. 不等式 的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接移项即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．
12. 小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，
160．这组数据的众数为__________．
【答案】160
【解析】
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数值求解即可．
【详解】解：这组数据中出现次数最多的是160，出现了三次，
∴这组数据的众数为160，
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故答案为：160．
【点睛】题目注意考查求一组数据的众数，理解众数的定义是解题关键．
13. 如图，点 O 在直线 上， 是 的平分线，若 ，则 的度数为
__________．
【答案】 ##20度
【解析】
【分析】根据邻补角得出 ，再由角平分线求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键．
14. 若m、n满足 ，则 __________．
【答案】16
【解析】
【分析】先将已知 变形为 ，再将 变形为 ，然后整体代入即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：16．
【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的
关键．
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15. 如图，在平行四边形 中，E是线段 上一点，连结 交于点F．若 ，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】四边形 是平行四边形，则 ，可证明 ，得到
，由 进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ．
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故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明 是解题的
关键．
16. 定义：若x，y满足 且 （t为常数），则称点 为“和谐点”．
（1）若 是“和谐点”，则 __________．
（2）若双曲线 存在“和谐点”，则k的取值范围为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到 ，整理得到 ，解得
（不合题意，舍去），即可得到答案；
（2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到
，由 得到 ，则 ，由 进一步得到
，且 ，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围．
是
【详解】解：（1）若 “和谐点”，则 ，
则 ，
∴ ，
即 ，解得 （不合题意，舍去），
∴ ，
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故答案为：
（2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，且 ，
对抛物线 来说，
∵ ，
∴开口向下，
当 时， ，
当 时， ，
∵对称轴为 ， ，
∴当 时，k取最大值为4，
∴k的取值范围为 ，
故答案为：
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【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握反比例函
数和二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤。
17. 计算：
【答案】1
【解析】
【分析】先化简绝对值及算术平方根，计算零次幂的运算，然后进行加减法即可．
【详解】解：
=1．
【点睛】题目注意考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18. 解二元一次方程组：
【答案】
【解析】
【分析】采用加减消元法即可求解．
【详解】解：① ，得 ②，
将②+③，得 ，
解得 ．
将 代入①，
得 ，
∴方程组的解为： ．
【点睛】本题主要考查了运用加减消元法解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．
19. 如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】要证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD，根据AC//DB可得∠A=∠B，∠C=∠D，又知AO=BO，
则可得到△AOC≌△BOD，从而求得结论．
【详解】（方法一）
∵AC//DB，
∴∠A=∠B，∠C=∠D．
在△AOC与△BOD中
∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
（方法二）∵AC//DB，
∴∠A=∠B．
在△AOC与△BOD中，
∵ ，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
20. 如图，在 中， ，点D为 边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作
， ，分别交 、 于点E、F，连接 ．
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（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求点C到 的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质证明 ，再利用四边形内角和为 ，证明
，即可由矩形判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求出 ，再根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴
设点C到 的距离为h，
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∵
∴
∴
答：点C到 的距离为 ．
【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段
长是解题的关键．
21. 为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨
树 棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了 ，结果提前
2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
【答案】原计划每天种植梨树500棵
【解析】
【分析】根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天种植梨树x棵
由题可知：
解得：
经检验： 是原方程的根，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
【点睛】题目注意考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题关键．
22. 为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与经统计，
同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”．班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图
所示．
家务类型 洗衣 拖地 煮饭 刷碗
人数（人） 10 12 10 m
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根据上面图表信息，回答下列问题：
（1） __________；
（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为__________；
（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的
同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
【答案】（1）8 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用做饭的人数除以做饭点的百分比 ，得抽取的总人数，再减去“洗衣”、“拖地”、
“刷碗”的人数即可求得到m值；
（2）用 乘以“拖地”人数所占的百分比，即可求解；
（3）画树状图或列表分析出所有可能的结果数和有男生的结果 数，再用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解： ，
故荅案为：8；
【小问2详解】
解： ，
故荅案为：108°；
【小问3详解】
解：方法一：画树状图如下：
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由图可知所有可能的结果共的12种，有男生的结果 有10种，所以所选同学中有男生的概率为 ．
方法二：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，女1）
由表可知所有可能的结果共的12种，有男生的结果 有10种，所以所选同学中有男生的概率为 ．
【点睛】本题考查统计表，扇形统计图，用画树状图或列表的方法求概率．熟练掌握从统计图表中获取有
用信息和用画树状图或列表的方法求概率是解题的关键．
23. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与x轴交于点B， 与y
轴交于点 ．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
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（2）已知P为反比例函数 图象上 的一点， ，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C
的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出 ， ，过点A作 轴于点H，过点P作 轴于点D，如图所示，根
据 可得 ，求出 ，则点P的纵坐标为2或 ，由此即
可得到答案．
【小问1详解】
解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
，
，
又 点 ， 都在一次函数 的图象上，
，
解得 ，
一次函数的解析式为 ．
【小问2详解】
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解：对于 ，当 时， ，
∴ ，
，
∵ ，
过点A作 轴于点H，过点P作 轴于点D，如图所示．
，
．
，
解得 ．
点P的纵坐标为2或 ．
将 代入 得 ，
将 代入 得 ，
∴点 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
24. 如图，已知 是 的外接圆， ，D是圆上一点，E是 延长线上一点，连结
，且 ．
（1）求证：直线 是 是的切线；
（2）若 ， 的半径为3，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由 ，可知 是 的直径，由 ，可得 ，由
， ，可得 ， ，则 ，由
，可得 ，即 ，进而结论得证；
（2）作 ，垂足为E，如图所示，由题意知， 是等腰三角形，则 ，由题意知，
， ，可求 ， ，
，由勾股定理得 ，根据 ，计算
求解即可．
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ 是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是半径，
∴直线 是 是的切线；
【小问2详解】
解：作 ，垂足为E，如图所示，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
由题意知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定， 的圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的
判定与性质，正弦，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25. 在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第 页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板 绕点 逆时针旋转 到达 的位置，那么可以得到： ，
， ； ， ， （ ）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们
解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
【问题解决】
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________；
的
（2）如图，小王将一个半径为 ，圆心角为 扇形纸板 绕点 逆时针旋转 到达扇形纸
板 的位置．
①请在图中作出点 ；
②如果 ，则在旋转过程中，点 经过的路径长为__________；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，
另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积
是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．
【答案】问题解决（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①见解析② ；问题
拓展：
【解析】
【分析】问题解决（1）根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①分别作 和 的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O；②根据弧长公式求解即可；
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
问题拓展，连接 ，交 于 ，连接 ， ， ，由旋转得 ， ，
在 和 中求出 和 的长，可以求出 ，再证明
，即可求出最后结果．
【详解】解：【问题解决】
（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等
（2）①下图中，点O为所求
②连接 ， ，
扇形纸板 绕点 逆时针旋转 到达扇形纸板 的位置，
， ,
，
设 ，
，
，
在旋转过程中，点 经过的路径长为以点 为圆心，圆心角为 ， 为半径的所对应的弧长，
点 经过的路径长 ；
27【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【问题拓展】解：连接 ，交 于 ，连接 ， ， 如
图所示
．
由旋转得 ， ．
在 中，
．
在 中，
，
，
．
．
．
28【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
在 和 中，
，
又 ， ，
．
又 ，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式，解直角三角形，三角形全等的性质与判定，解题的关键是抓
住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，正确作出辅助线构造出直角三角形．
26. 已知 是抛物 （b为常数）上的两点，当 时，总有
（1）求b的值；
（2）将抛物线 平移后得到抛物线 ．
探究下列问题：
①若抛物线 与抛物线 有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线 的顶点为点E， 外接圆的圆心为
点F，如果对抛物线 上的任意一点P，在抛物线 上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求
长的取值范围．
29【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】（1）0 （2）① ②
【解析】
【分析】（1）根据 ，且 时，总有 ，变形后即可得到
结论；
（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：由题可知：
时，总有 ，
．
则 ，
∴ ，
∴ 总成立，且 ，
；
【小问2详解】
①注意到抛物线 最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 过点 时，如图所示，
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此时， ，解得 或 （舍）．
（ii）当抛物线 过点 时，如图所示，
此时， ，
解得 或 （舍），
综上， ，
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 过点 时，如图所示，
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此时， ，解得 或 （舍）．
（ii）当抛物线 过点 时，如图所示，
此时， ，解得 或0（舍）．
综上 ，
如图，由圆的性质可知，点E、F在线段 的垂直平分线上．
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令 ，解得 ，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
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，即 ，
．
，即 ，
，
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结合和分类讨论是
解题的关键．
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