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2020年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分） 的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中
随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四
个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”
和“优”的总人数估计为（ ）
A．1100 B．1000 C．900 D．110
3．（3分）如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB
＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．（3分）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表
示的数是（ ）
A．4 B．﹣4或10 C．﹣10 D．4或﹣10
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作
OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（ ）
第1页（共24页）A．9+2 B．9+ C．7+2 D．8
6．（3分）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是（
）
A．x≤﹣2 B．x≤﹣4 C．x≥﹣2 D．x≥﹣4
7．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1），如果将它们沿
方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）已知3m＝4，32m﹣4n＝2．若9n＝x，则x的值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
9．（3分）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按
逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（ ）
第2页（共24页）A． B． C． D．
π
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y＝ 交于A、B两点，P是以点
C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最
大值为2，则k的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣2 D．﹣
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）用“＞”或“＜”符号填空：﹣7 ﹣9．
12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，
40．则这组数据的中位数是 ．
13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶
梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂
直高度BD＝ m．（结果保留根号）
14．（3分）已知y≠0，且x2﹣3xy﹣4y2＝0．则 的值是 ．
15．（3分）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE
第3页（共24页）交AC于点F．则 ＝ ．
16．（3分）我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：
（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是 ；
（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方．则实
数a的范围是 ．
三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．
17．（9分）计算：|﹣2|﹣2cos60°+（ ﹣2020）0．
π
18．（9分）解二元一次方程组：
19．（9分）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．
求DF的长度．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）已知y＝ ，且x≠y，求（ ）÷ 的值．
21．（10分）如图，已知点A（﹣2，﹣2）在双曲线y＝ 上，过点A的直线与双曲线的另一支交
于点B（1，a）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，连结AC，过点C作CD⊥AB于点D．求线段CD的长．
第4页（共24页）22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然
而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．
如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 万人，扇形统计图中40﹣59
岁感染人数对应圆心角的度数为 °；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上
的概率；
（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、2.75%、3.5%、10%、20%，
求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐
第5页（共24页）山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型 每车限载人数（人） 租金（元/辆）
商务车 6 300
轿车 4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为
多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前
往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
24．（10分）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是 上一点，DE⊥AB于点E，交
AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．
（1）求证：点D平分 ；
（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：
DH是 O的切线．
⊙
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25．（12分）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C
重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是 ；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论
是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE
之间的关系．
第6页（共24页）26．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，
抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD＝ ，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结
①FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
连结PB，求 PC+PB的最小值．
②
第7页（共24页）2020年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．【分析】根据“倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数”解答即可．
【解答】解：根据倒数的定义，可知 的倒数是2．
故选：D．
【点评】本题考查了倒数．解题的关键是掌握倒数的定义，明确分子分母交换位置是求一
个数的倒数的关键．
2．【分析】样本中，“优”和“良”占调查人数的 ，因此估计总体2000人的
是“优”和“良”的人数．
【解答】解：2000× ＝1100（人），
故选：A．
【点评】本题考查条形统计图的意义和制作方法，样本估计总体是统计中常用的方法．
3．【分析】根据平角的定义得到∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，由角平分线的定
义可得 ，由GE⊥EF可得∠GEF＝90°，可得∠CEG
＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，由∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG可得结果．
【解答】解：∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，
∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣
40°﹣90°＝50°，
∵射线EB平分∠CEF，
∴ ，
∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线定义，补角的相关知识，熟练掌握角平分线的性质是解答
第8页（共24页）此题的关键．
4．【分析】根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即
可．
【解答】解：点A表示的数是﹣3，左移7个单位，得﹣3﹣7＝﹣10，
点A表示的数是﹣3，右移7个单位，得﹣3+7＝4．
所以点B表示的数是4或﹣10．
故选：D．
【点评】此题主要考查了数轴的特征和运用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴
上的点右移加，左移减．
5．【分析】先利用菱形的性质得AD＝AB＝4，AB∥CD，∠ADB＝∠CDB＝30°，AO⊥BD，利用
含30度的直角三角形三边的关系得到AO＝2，OD＝2 ，然后计算出OE、DE的长，最后
计算四边形AOED的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝4，AB∥CD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵O是对角线BD的中点，
∴AO⊥BD，
在Rt△AOD中，AO＝ AD＝2，
OD＝ OA＝2 ，
∵OE⊥CD，
∴∠DEO＝90°，
在Rt△DOE中，OE＝ OD＝ ，
DE＝ OE＝3，
∴四边形AOED的周长＝4+2+ +3＝9+ ．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
6．【分析】根据待定系数法求得直线的解析式，然后求得函数y＝2时的自变量的值，根据图
象即可求得．
第9页（共24页）【解答】解：∵直线y＝kx+b与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，1），
∴ ，解得
∴直线为y＝﹣ +1，
当y＝2时，2＝﹣ +1，解得x＝﹣2，
由图象可知：不等式kx+b≤2的解集是x≥﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式的关系：
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范
围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐
标所构成的集合．
7．【分析】先根据拼剪前后的面积不变，求出拼成正方形的边长，再依此裁剪可得．
【解答】解：由题意，选项D阴影部分面积为6，A，B，C的阴影部分的面积为5，
如果能拼成正方形，选项D的正方形的边长为 ，选项A，B，C的正方形的边长为 ，
观察图象可知，选项A，B，C阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得图1的5个图形，
可以拼成图2的边长为 的正方形，
故选：D．
【点评】本题考查图形的拼剪，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数
形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
8．【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可求出n的值，再根据算术平方根
的定义即可求出x 的值．
【解答】解：∵3m＝4，32m﹣4n＝（3m）2÷（3n）4＝2．
∴42÷（3n）4＝2，
第10页（共24页）∴（3n）4＝42÷2＝8，
又∵9n＝32n＝x，
∴（3n）4＝（32n）2＝x2，
∴x2＝8，
∴x＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是
解答本题的关键．
9．【分析】解直角三角形得到AB＝ BC＝ ，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可
得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝ BC＝ ，AC＝2BC＝2，
∴ ﹣ ﹣ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面
积公式是解决问题的关键．
10．【分析】确定OQ是△ABP的中位线，OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP
﹣PC＝4﹣1＝3，则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，即可求解．
【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ＝ BP最大，
而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，
则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，
设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，
解得：m2＝ ，
∴k＝m（﹣m）＝﹣ ，
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，确定OQ是△ABP的中位线是
本题解题的关键．
第11页（共24页）二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值
大的反而小，即可解答．
【解答】解：∵|﹣7|＝7，|﹣9|＝9，7＜9，
∴﹣7＞﹣9，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了有理数大小比较，解题的关键是掌握有理数大小比较法则：正数都大
于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
12．【分析】把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，
由此即可确定这组数据中位数．
【解答】解：把这组数据从小到大排序后为37，37，38，39，40，40，40，
其中第四个数据为39，
所以这组数据的中位数为39．
故答案为39．
【点评】本题考查了中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和
偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则
找中间两位数的平均数．
13．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到BC＝AC＝4，根据三角函数
的定义即可得到结论．
【解答】解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴BC＝AC＝4，
在Rt△BDC中，sin∠BCD＝ ，
∴sin60°＝ ＝ ，
∴BD＝2 （m），
故答案为：2 ．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC＝BC，需要熟练掌握三角形
函数定义，此题难度不大．
14．【分析】将已知等式的左边利用十字相乘法分解因式，可得x与y的关系，从而可得结论．
第12页（共24页）【解答】解：∵x2﹣3xy﹣4y2＝0，即（x﹣4y）（x+y）＝0，
可得x＝4y或x＝﹣y，
∴ 或 ，
即 的值是4或﹣1；
故答案为：4或﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握利用十字相乘法因式分解是解本题的关键．
15．【分析】连接CE，解直角三角形，用AD表示AB，根据直角三角形的性质，用AD表示CE，
再证明CE∥AB得△ABF∽△CEF，由相似三角形的性质得 ，进而得 便可．
【解答】解：连接CE，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，E是AD的中点，
∴AC＝ AD，CE＝ AD＝AE，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°
∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，
∴AB＝ AC＝ AD，∠BAC＝∠ACE，
∴AB∥CE，
∴△ABF∽△CEF，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关
第13页（共24页）键是证明三角形相似．
16．【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数，解决问题即可．
（2）由题意，构建不等式即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意∵﹣1＜[x]≤2，
∴0≤x＜3，
故答案为0≤x＜3．
（2）由题意：当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下
方，
当﹣1≤x＜0时，则有[x]＝﹣1时，1+2a+3＜﹣1+3，解得a＜﹣1，
当0≤x＜1时，则有[x]＝0，y ＝x2﹣2a[x]+3＝x2+3，而y ＝[x]+3＝3，y1≥y2，此时y 的图
1 2 1
象不可能在y 的图象下．
2
当1≤x＜2时，4﹣2a+3≤1+3，解得a≥ ，
故答案为a＜﹣1或a≥ ．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解题意，学会用转化的思
想思考问题．
三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．
17．【分析】直接利用绝对值的性质和零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答
案．
【解答】解：原式＝
＝2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】方程组利用加减消元法与代入消元法求出解即可．
【解答】解： ，
法1： ﹣ ×3，得 2x＝3，
② ①
解得：x＝ ，
把x＝ 代入 ，得 y＝﹣1，
①
第14页（共24页）∴原方程组的解为 ；
法2：由 得：2x+3（2x+y）＝9，
把 代入②上式，
①
解得：x＝ ，
把x＝ 代入 ，得 y＝﹣1，
①
∴原方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
19．【分析】由矩形的性质可得出DC的长及∠ADC＝∠C＝90°，利用勾股定理可求出DE的
长，由垂直的定义可得出∠AFD＝∠C，利用同角的余角相等可得出∠EDC＝∠DAF，进
而可得出△EDC∽△DAF，再利用相似三角形的性质可求出DF的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°．
∵CE＝1，
∴DE＝ ＝ ．
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF+∠DAF＝90°．
又∵∠ADF+∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠DAF，
∴△EDC∽△DAF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴FD＝ ，即DF的长度为 ．
第15页（共24页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用“两角对
应相等，两个三角形相似”证出△EDC∽△DAF是解题的关键．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．【分析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ，
∵ ，
∴原式＝
解法2：同解法1，得原式＝ ，
∵ ，
∴xy＝2，
∴原式＝ ＝1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．
21．【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用面积法： ，即可求解．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，﹣2）代入 ，得k＝4，
第16页（共24页）即 ，
将B（1，a）代入 ，得a＝4，
即B（1，4），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
将A（﹣2，﹣2）、B（1，4）代入y＝mx+n，得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝2x+2；
（2）∵A（﹣2，﹣2）、B（1，4），
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和三角形的面积公式，当有两个函
数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
22．【分析】（1）由60﹣79岁的人数及其所占百分比可得总人数，再用360°乘以40﹣59岁感
染人数所占比例即可得；
（2）先求出20﹣39岁人数，再补全折线图；
（3）利用频率估计概率即可得；
（4）利用加权平均数的定义求解可得．
【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9÷45%＝20（万人），
扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为360°× ＝72°，
故答案为：20，72；
（2）20﹣39岁人数为20×10%＝2（万人），
补全的折线统计图如图2所示；
第17页（共24页）（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为： ＝0.675；
（ 4 ） 该 国 新 冠 肺 炎 感 染 病 例 的 平 均 死 亡 率 为 ：
．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据折线统计图和扇形统计图得出解题所
需数据及加权平均数的定义、利用频率估计概率．
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23．【分析】（1）设租用一辆轿车的租金为x元，根据“单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需
付租金1320元”列方程解答即可；
（2）分三种情况讨论： 只租用商务车； 只租用轿车； 混和租用两种车．分别求出每
种情况所需租金，再比①较大小即可解答．② ③
【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x元，
由题意得：300×2+3x＝1320，
解得 x＝240，
答：租用一辆轿车的租金为240元；
（2） 若只租用商务车，
①
∵ ，
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为300×6＝1800（元）；
第18页（共24页）若只租用轿车，
②
∵ ，
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为240×9＝2160（元）；
若混和租用两种车，设租用商务车m辆，租用轿车n辆，租金为W元．
③
由题意，得 ，
由6m+4n＝34，得 4n＝﹣6m+34，
∴W＝300m+60（﹣6m+34）＝﹣60m+2040，
∵﹣6m+34＝4n≥0，
∴ ，
∴1≤m≤5，且m为整数，
∵W随m的增大而减小，
∴当m＝5时，W有最小值1740，此时n＝1．
综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，关键是正确理解题
意，找出题目中的等量关系，列出方程．
24．【分析】（1）如图1，连接AD、BC，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的
性质得到DF＝AF，于是得到∠ABD＝∠DBC，得到 ＝ ，于是得到结论；
（2）如图2所示，连接OD、AD，根据直角三角形的性质得到 ，推出△OAD
是等边三角形，得到AD＝AO＝AH，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）如图1，连接AD、BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ABD，
又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，
∴DF＝AF，
∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，
又∵∠DAC＝∠DBC，
第19页（共24页）∴∠ABD＝∠DBC，
∴ ＝ ，
∴即点D平分 ；
（2）如图2所示，连接OD、AD，
∵点E是线段OA的中点，
∴ ，
∴∠AOD＝60°，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝AO＝AH，
∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，
∴DH是 O的切线．
⊙
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助
线是解题的关键．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25．【分析】（1）由“AAS”可证△AEO≌△CFO，可得OE＝OF；
（2）由题意补全图形，由“AAS”可证△AOE≌△COG，可得OE＝OG，由直角三角形的性
质可得OG＝OE＝OF；
（3）延长EO交FC的延长线于点H，由全等三角形的性质可得AE＝CH，OE＝OH，由直
角三角形的性质可得HF＝ EH＝OE，可得结论．
第20页（共24页）【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
又∵∠AEO＝∠CFO，∠AOE＝∠COF＝90°，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
故答案为：OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，
结论仍然成立，
理由如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOE＝∠COG，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OE＝OG，
∵∠GFE＝90°，
∴OE＝OF；
（3）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE＝CF+AE，
证明如下：如图，延长EO交FC的延长线于点H，
第21页（共24页）由（2）可知△AOE≌△COH，
∴AE＝CH，OE＝OH，
又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，
∴HF＝ EH＝OE，
∴OE＝CF+CH＝CF+AE．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角
三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26．【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），可得对称轴为直线x＝2，由锐角三
角函数可求点C坐标，代入解析式可求解析式；
（2） 先求出直线BC解析式，设P（2，t），可得点E（5﹣ t，t），点 ，
①
可求EF的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；
根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，过点P作PG⊥AC于G，可得
②
PG＝ PC，可得 ，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，即BH是
PC+PB的最小值，由三角形面积公式可求解．
【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴D（2，0），
又∵ ＝ ，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4，
即C（2，4），
代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），
第22页（共24页）解得 ，
∴二次函数的解析式为 ＝﹣ x2+ + ；
（2） 设P（2，t），其中0＜t＜4，
设直线①BC的解析式为 y＝kx+b，
∴ ，
解得
即直线BC的解析式为 ，
令y＝t，得： ，
∴点E（5﹣ t，t），
把 代入 ，得 ，
即 ，
∴ ，
∴△BCF的面积＝ ×EF×BD＝ （t﹣ ）＝ ，
∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为 ；
如图，连接AC，根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，
②
第23页（共24页）∴ ，
过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中， ，
∴ ，
过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，
∴线段BH的长就是 的最小值，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ 的最小值为 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，三角形面
积公式，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关
键．
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