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2018年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
2．（3分）如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）方程组 ＝ ＝x+y﹣4的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A．EG＝4GC B．EG＝3GC C．EG＝ GC D．EG＝2GC
5．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．调查全国中学生心理健康现状
B．调查一片试验田里某种大麦的穗长情况
C．调查冷饮市场上冰淇淋的质量情况
第1页（共25页）D．调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况
6．（3分）估计 +1的值，应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．（3分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．
它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不
知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在
墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝
10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
8．（3分）已知实数a、b满足a+b＝2，ab＝ ，则a﹣b＝（ ）
A．1 B．﹣ C．±1 D．±
9．（3分）如图，曲线C 是双曲线C ：y＝ （x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是
2 1
曲线C 上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积等于（ ）
2
A． B．6 C．3 D．12
10．（3分）二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y＝x（1≤x≤2）的图象有且仅有一
个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＝3±2 B．﹣1≤a＜2
第2页（共25页）C．a＝3 或﹣ ≤a＜2 D．a＝3﹣2 或﹣1≤a＜﹣
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
11．（3分）计算：|﹣3|＝ ．
12．（3分）化简 + 的结果是
13．（3分）如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对
称点，则点C表示的数为 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连结CE，则∠BCE的
度数是 度．
15．（3分）如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕
点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1， ），则在旋转过程中线
段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
16．（3分）已知直线l ：y＝（k﹣1）x+k+1和直线l ：y＝kx+k+2，其中k为不小于2的自然数．
1 2
（1）当k＝2时，直线l 、l 与x轴围成的三角形的面积S ＝ ；
1 2 2
（2）当k＝2、3、4，……，2018时，设直线l 、l 与x轴围成的三角形的面积分别为S ，S ，
1 2 2 3
S ，……，S ，则S +S +S +……+S ＝ ．
4 2018 2 3 4 2018
三、简答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分
17．（9分）计算：4cos45°+（ ﹣2018）0﹣
π
第3页（共25页）18．（9分）解不等式组：
19．（9分）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC＝BD．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分
20．（10分）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m是方程
x2+x﹣2＝0的根
21．（10分）某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进
行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
（1）收集数据
从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：
甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65
乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
（2）整理描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
人数
班级
甲班 1 3 3 2 1
乙班 2 1 m 2 n
在表中：m＝ ，n＝ ．
（3）分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
① 班级 平均数 中位数 众数
甲班 72 x 75
乙班 72 70 y
在表中：x＝ ，y＝ ．
若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生
②
第4页（共25页）中身体素质为优秀的学生有 人．
现从甲班指定的2名学生（1男1女），乙班指定的3名学生（2男1女）中分别抽取1名
③学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1
女的概率．
22．（10分）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如
图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的
函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统
关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多
少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分
23．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x ，0）、B（x ，0）两点，且|x ﹣x |＝6，求
1 2 1 2
m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2
﹣n2+8n的值．
24．（10分）如图，P是 O外的一点，PA、PB是 O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点
F，延长BO交 O⊙于点C，交PA的延长交于⊙点Q，连结AC．
（1）求证：AC⊙∥PO；
（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若 O的半径为3，CQ＝2，求 的值．
⊙
第5页（共25页）六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分
25．（12分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于
点P，设AC＝kBD，CD＝kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：
（1）如图1，若k＝1，则∠APE的度数为 ；
（2）如图2，若k＝ ，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出
∠APE的度数．
（3）如图3，若k＝ ，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说
明理由．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点
C（0，﹣ ），OA＝1，OB＝4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足
tan∠OAD＝ ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从
点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q
也停止运动，设运动时间为t秒．
在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t
①的值；若不存在，请说明理由．
在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？
第6页（共25页）
②若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
第7页（共25页）2018年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求
1．【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣2的相反数是2．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3．【分析】先把原方程组化为 ，进而利用代入消元法得到方程组的解为 ．
【解答】解：由题可得， ，
消去x，可得
2（4﹣ y）＝3y，
解得y＝2，
把y＝2代入2x＝3y，可得
x＝3，
∴方程组的解为 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，用代入法解二元一次方程组的一般步骤：从
方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数
的代数式表示出来．将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元
一次方程．解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
第8页（共25页）4．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥FG∥BC，DB＝4FB，
∴ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例
定理解答是解题的关键．
5．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得
到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A、了解全国中学生心理健康现状调查范围广，适合抽样调查，故A错误；
B、了解一片试验田里某种大麦的穗长情况调查范围广，适合抽样调查，故B错误；
C、了解冷饮市场上冰淇淋的质量情况调查范围广，适合抽样调查，故C错误；
D、调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况，适合全面调查，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考
查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意
义或价值不大．
6．【分析】根据 ≈2.236，可得答案．
【解答】解：∵ ≈2.236，
∴ +1≈3.236，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用 ≈2.236是解题关键．
7．【分析】设 O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）
2，解方程⊙即可；
【解答】解：设 O的半径为r．
在Rt△ADO中，⊙AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴ O的直径为26寸，
故⊙选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决
第9页（共25页）问题，属于中考常考题型．
8．【分析】利用完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵a+b＝2，ab＝ ，
∴（a+b）2＝4＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝ ，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，
∴a﹣b＝±1，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．
9．【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用
反比例函数比例系数k的性质解答问题．
【解答】解：如图，将C 及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C ，直线l与y
2 3
轴重合．
双曲线C ，的解析式为y＝﹣
3
过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA＝PO
∴B为OA中点．
∴S△PAB ＝S△POB
由反比例函数比例系数k的性质，S△POB ＝3
∴△POA的面积是6
故选：B．
【点评】本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系
数k的几何意义．
10．【分析】根据二次函数的图象性质即可求出答案．
第10页（共25页）【解答】解：由题意可知：方程x2+（a﹣2）x+3＝x在1≤x≤2上只有一个解，
即x2+（a﹣3）x+3＝0在1≤x≤2上只有一个解，
当△＝0时，
即（a﹣3）2﹣12＝0
a＝3±2
当a＝3+2 时，
此时x＝﹣ ，不满足题意，
当a＝3﹣2 时，
此时x＝ ，满足题意，
当△＞0时，
令y＝x2+（a﹣3）x+3，
令x＝1，y＝a+1，
令x＝2，y＝2a+1
（a+1）（2a+1）≤0
解得：﹣1≤a≤ ，
当a＝﹣1时，此时x＝1或3，满足题意；
当a＝﹣ 时，此时x＝2或x＝ ，不满足题意，
综上所述，a＝3﹣2 或﹣1≤a＜ ，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是将问题转化为x2+（a﹣3）x+3＝0在
1≤x≤2上只有一个解，根据二次函数的性质即可求出答案，本题属于中等题型．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
11．【分析】根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．
【解答】解：|﹣3|＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键．
12．【分析】直接利用分式加减运算法则计算得出答案．
【解答】解： +
第11页（共25页）＝ ﹣
＝
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
13．【分析】先根据已知条件可以确定线段AB的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设
设点C所表示的数为x，列出方程即可解决．
【解答】解：设点C所表示的数为x，
∵数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和4，点B关于点A的对称点是点C，
∴AB＝4﹣（﹣1），AC＝﹣1﹣x，
根据题意AB＝AC，
∴4﹣（﹣1）＝﹣1﹣x，
解得x＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，熟练掌握对称性质是解本
题的关键．
14．【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE＝∠ACB＝45°；等腰△CAE中，根据三角形内角
和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝∠BCA＝45°；
△ACE中，AC＝AE，则：
∠ACE＝∠AEC＝ （180°﹣∠CAE）＝67.5°；
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝22.5°．
故答案为22.5．
【点评】此题主要考查的是正方形、等腰三角形的性质及三角形内角和定理．
15．【分析】过O′作O′M⊥OA于M，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影
部分的面积S＝S扇形OAO′+S△O′AC′ ﹣S△OAC ﹣S扇形CAC′ ＝S扇形OAO′ ﹣S扇形CAC′ ，分别求
出即可．
第12页（共25页）【解答】解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°，
∵点O′的坐标是（1， ），
∴O′M＝ ，OM＝1，
∵AO＝2，
∴AM＝2﹣1＝1，
∴tan∠O′AM＝ ＝ ，
∴∠O′AM＝60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC ＝S△O′AC′ ，
∴阴影部分的面积S＝S扇形OAO′+S△O′AC′ ﹣S△OAC ﹣S扇形CAC′ ＝S扇形OAO′ ﹣S扇形CAC′ ＝
﹣ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形，旋转的性质、扇形的面积计算等知识点，能把求不规则
图形的面积转化成求出规则图形的面积是解此题的关键．
16．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出两直线与x轴的交点坐标，进而可得出
两点间的距离，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点坐标．
（1）代入k＝2，可得出d的值，利用三角形的面积公式可求出S 的值；
2
（2）分别代入k＝2、3、4、…、2018求出S 、S 、S 、…、S 值，将其相加即可得出结论．
2 3 4 2018
【解答】解：当y＝0时，有（k﹣1）x+k+1＝0，
解得：x＝﹣1﹣ ，
∴直线l 与x轴的交点坐标为（﹣1﹣ ，0），
1
第13页（共25页）同理，可得出：直线l 与x轴的交点坐标为（﹣1﹣ ，0），
2
∴两直线与x轴交点间的距离d＝﹣1﹣ ﹣（﹣1﹣ ）＝ ﹣ ．
联立直线l 、l 成方程组，得：
1 2
，解得： ，
∴直线l 、l 的交点坐标为（﹣1，2）．
1 2
（1）当k＝2时，d＝ ﹣ ＝1，
∴S ＝ ×2d＝1．
2
故答案为：1．
（2）当k＝3时，S ＝ ﹣ ；当k＝4时，S ＝ ﹣ ；…；S ＝ ﹣ ，
3 4 2018
∴S +S +S +……+S ＝ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，
2 3 4 2018
＝ ﹣ ，
＝2﹣ ，
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次
函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键．
三、简答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分
17．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可求
出值．
【解答】解：原式＝4× +1﹣2 ＝1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键
18．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
第14页（共25页）【解答】解： ，
∵解不等式 得：x＞0，
解不等式 ①得：x＜6，
∴不等式②组的解集为0＜x＜6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解
此题的关键．
19．【分析】由∠3＝∠4可以得出∠ABD＝∠ABC，再利用ASA就可以得出△ADB≌△ACB，
就可以得出结论．
【解答】证明：∵∠ABD+∠3＝180°∠ABC+∠4＝180°，且∠3＝∠4，
∴∠ABD＝∠ABC
在△ADB和△ACB中，
，
∴△ADB≌△ACB（ASA），
∴BD＝BC．
【点评】本题考查了等角的补角相等的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解
答时证明三角形全等是关键．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分
20．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式及单项式的除法化简原式，再由方程的解的定
义得出m2+m＝2，代入计算可得．
【解答】解：原式＝4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）
＝4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2
＝2m2+2m﹣2
＝2（m2+m﹣1），
∵m是方程x2+x﹣2＝0的根，
∴m2+m﹣2＝0，即m2+m＝2，
则原式＝2×（2﹣1）＝2．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式、
整式的混合运算顺序和运算法则、方程的解的定义．
第15页（共25页）21．【分析】（2）由收集的数据即可得；
（3） 根据众数和中位数的定义求解可得；
用总①人数乘以乙班样本中优秀人数所占比例可得；
②列表得出所有等可能结果，利用概率公式求解可得．
③【解答】解：（2）由收集的数据得知m＝3、n＝2，
故答案为：3、2；
（3） 甲班成绩为：50、60、65、65、75、75、75、80、85、90，
①
∴甲班成绩的中位数x＝ ＝75，
乙班成绩70分出现次数最多，所以的众数y＝70，
故答案为：75、70；
估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有50× ＝20人；
②
列表如下：
③ 男 女
男 男、男 女、男
男 男、男 女、男
女 男、女 女、女
由表可知，共有6种等可能结果，其中抽到的2名同学是1男1女的有3种结果，
所以抽到的2名同学是1男1女的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了众数、中位数以及概率公式的应用，掌握众数、中位数以及用样本估计
总体是解题的关键．
22．【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值y＝10即可．
【解答】解：（1）设线段AB解析式为y＝k x+b（k≠0）
1
∵线段AB过点（0，10），（2，14）
代入得
第16页（共25页）解得
∴AB解析式为：y＝2x+10（0≤x＜5）
∵B在线段AB上当x＝5时，y＝20
∴B坐标为（5，20）
∴线段BC的解析式为：y＝20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：y＝ （k ≠0）
2
∵C（10，20）
∴k2＝200
∴双曲线CD解析式为：y＝ （10≤x≤24）
∴y关于x的函数解析式为：
y＝
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20℃
（3）把y＝10代入y＝ 中，解得，x＝20
∴20﹣10＝10
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点评】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关
系式．解答时应注意临界点的应用．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分
23．【分析】（1）直接利用△＝b2﹣4ac，进而利用偶次方的性质得出答案；
（2）首先解方程，进而由|x ﹣x |＝6，求出答案；
1 2
（3）利用（2）中所求得出m的值，进而利用二次函数对称轴得出答案．
【解答】（1）证明：由题意可得：
△＝（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）
＝1+25m2﹣10m+20m
＝25m2+10m+1
第17页（共25页）＝（5m+1）2≥0，
故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0，
（x﹣5）（mx+1）＝0，
解得：x ＝﹣ ，x ＝5，
1 2
由|x ﹣x |＝6，
1 2
得|﹣ ﹣5|＝6，
解得：m＝1或m＝﹣ ；
（3）解：由（2）得，当m＞0时，m＝1，
此时抛物线为y＝x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x＝2，
由题已知，P，Q关于x＝2对称，
∴ ＝2，即2a＝4﹣n，
∴4a2﹣n2+8n＝（4﹣n）2﹣n2+8n＝16．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，正确得出方程的根是解题
关键．
24．【分析】（1）根据切线长定理得出PA＝PB，且PO平分∠BPA，利用等腰三角形三线合一
的性质得出PO⊥AB．根据圆周角定理得出AC⊥AB，进而得到AC∥PO；
（2）连结OA、DF．先用勾股定理计算出AQ＝4，再计算出PA＝PB＝6，利用切线长定理可
得到F点为AB的中点，易得DF为△BAP的中位线，则DF＝ PA＝3，DF∥PA，利用
DF∥AQ得到△DFE∽△QEA，所以 ＝ ＝ ，设AE＝4t，FE＝3t，则AF＝AE+FE＝
7t，于是BE＝BF+FE＝AF+FE＝7t+3t＝10t，最后计算 ．
【解答】（1）证明：∵PA、PB是 O的两条切线，A、B是切点，
∴PA＝PB，且PO平分∠BPA， ⊙
第18页（共25页）∴PO⊥AB．
∵BC是直径，
∴∠CAB＝90°，
∴AC⊥AB，
∴AC∥PO；
（2）解：连结OA、DF，如图，
∵PA、PB是 O的两条切线，A、B是切点，
∴∠OAQ＝∠⊙PBQ＝90°．
在Rt△OAQ中，OA＝OC＝3，∴OQ＝5．
由QA2+OA2＝OQ2，得QA＝4．
在Rt△PBQ中，PA＝PB，QB＝OQ+OB＝8，
由QB2+PB2＝PQ2，得82+PB2＝（PB+4）2，
解得PB＝6，
∴PA＝PB＝6，
∵OP⊥AB，
∴BF＝AF＝ AB．
又∵D为PB的中点，
∴DF∥AP，DF＝ PA＝3，
∴△DFE∽△QEA，
∴ ＝ ＝ ，
设AE＝4t，FE＝3t，则AF＝AE+FE＝7t，
∴BE＝BF+FE＝AF+FE＝7t+3t＝10t，
∴ ＝ ＝ ．
第19页（共25页）【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外
端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分
25．【分析】（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD＝AF，BF＝AD，进而判断出
△FAE≌△ACD，得出EF＝AD＝BF，再判断出∠EFB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出四边形 ADBF是平行四边形，得出 BD＝AF，BF＝AD，进而判断出
△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB＝90°，即可得出结论；
（3）先判断出四边形 ADBF是平行四边形，得出 BD＝AF，BF＝AD，进而判断出
△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB＝90°，即可得出结论；
【解答】解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，
∴∠FBE＝∠APE，∠FAC＝∠C＝90°，
四边形ADBF是平行四边形，
∴BD＝AF，BF＝AD，
∵AC＝BD，CD＝AE，
∴AF＝AC，
∵∠FAC＝∠C＝90°，
∴△FAE≌△ACD，
∴EF＝AD＝BF，∠FEA＝∠ADC，
∵∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠FEA+∠CAD＝90°＝∠EHD，
∵AD∥BF，
∴∠EFB＝90°，
∵EF＝BF，
∴∠FBE＝45°，
∴∠APE＝45°，
故答案为：45°．
第20页（共25页）（2）（1）中结论不成立，理由如下：
如图2，
过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，
∴∠FBE＝∠APE，∠FAC＝∠C＝90°，
四边形ADBF是平行四边形，
∴BD＝AF，BF＝AD，
∵AC＝ BD，CD＝ AE，
∴ ，
∵BD＝AF，
∴ ，
∵∠FAC＝∠C＝90°，
∴△FAE∽△ACD，
∴ ＝ ，∠FEA＝∠ADC，
∵∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠FEA+∠CAD＝90°＝∠EMD，∵AD∥BF，
∴∠EFB＝90°，
在Rt△EFB中，tan∠FBE＝ ，
∴∠FBE＝30°，
∴∠APE＝30°，
（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，
∴∠APE＝∠ADH，∠HEC＝∠C＝90°，四边形EBDH是平行四边形，
∴BE＝DH，EH＝BD，
∵AC＝ BD，CD＝ AE，
∴ ，
∵∠HEA＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△HEA，
第21页（共25页）∴ ，∠ADC＝∠HAE，
∵∠CAD+∠ADC＝90°，
∴∠HAE+∠CAD＝90°，
∴∠HAD＝90°，
在Rt△DAH中，tan∠ADH＝ ＝ ，
∴∠ADH＝30°，
∴∠APE＝30°．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．
26．【分析】（1）应用待定系数法求解析式
（2） 分别用t表示△ADC、△PQA各边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t值；
分别①用t表示△APQ与△CAQ的面积之和，讨论最大值．
②
第22页（共25页）【解答】解：（1）∵OA＝1，OB＝4
∴A（1，0），B（﹣4，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣1）
∵点C（0，﹣ ）在抛物线上
∴﹣
解得a＝
∴抛物线的解析式为y＝
（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似．
理由： 在Rt△AOC中，OA＝1，OC＝
①
则tan∠ACO＝
∵tan∠OAD＝
∴∠OAD＝∠ACO
∵直线l的解析式为y＝
∴D（0，﹣ ）
∵点C（0，﹣ ）
∴CD＝
由AC2＝OC2+OA2，得AC＝
在△AQP中，AP＝AB﹣PB＝5﹣2t，AQ＝t
由∠PAQ＝∠ACD，要使△ADC与△PQA相似
只需 或
第23页（共25页）则有 或
解得t ＝ ，t ＝
1 2
∵t ＜2.5，t ＜2.5
1 2
∴存在t＝ 或t＝ ，使得△ADC与△PQA相似
存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大
②理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N
在△APF中，PF＝AP•sin∠PAF＝
在△AOD中，由AD2＝OD2+OA2，得AD＝
在△ADC中，由S△ADC ＝
∴CN＝
∴S△AQP +S△AQC ＝
＝﹣
∴当t＝ 时，△APQ与△CAQ的面积之和最大．
方法二：由题意可得Q点的坐标为（ ，﹣ t），
∴S△AQP +S△AQC ＝ （5﹣2t）× t+ （ ﹣ ）（ t﹣1+1）＝﹣ t2+ t．
可得当t＝ 时，△APQ与△CAQ的面积之和最大．
第24页（共25页）【点评】本题为代数、几何综合题，考查待定系数法、相似三角形判定、二次函数最值，应用
了分类讨论和数形结合思想．
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日期：2020/2/21 11:39:52；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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