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2011 年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．（2分）25的算术平方根是（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．
2．（2分）如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（
）
A．72° B．108° C．144° D．216°
3．（2分）已知函数 ，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x＞2 C． D． 且x≠2
4．（2分）如图，∠1与∠2互补，∠3＝135°，则∠4的度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
5．（2分）小明的父亲饭后出去散步，从家中出发走20分钟到一个离家900米的报亭看报10
分钟后，用15分钟返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离y（米）与离家的时间x
（分）之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
第1页（共21页）6．（2分）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也
相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（ ）
A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g
7．（2分）已知 O的半径OA＝10cm，弦AB＝16cm，P为弦AB上的一个动点，则OP的最短
距离为（ ⊙ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
8．（2分）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a+b C．﹣b D．b
9．（2分）如果圆锥的底面周长为20 ，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的全
面积为（ ） π
A．100 B．200 C．300 D．400
10．（2分）π如图是一些大小相同的π小正方体组成的几何体π的主视图和俯视图，则π组成这个几
何体的小正方体最多块数是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
11．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，AC＝10，将BC向BA方向翻折过去，
使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（ ）
A． B． C． D．
12．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
第2页（共21页）abc＞0， b2﹣4ac＜0， a﹣b+c＞0， 4a﹣2b+c＜0，其中正确结论的个数是
①（ ） ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填写在题中横线上．
13．（3分）某样本数据是2，2，x，3，3，6，如果这个样本的众数是2，则x的值是 ．
14．（3分）已知反比例函数 的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 ．
15．（3分）矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝4cm，∠AOB＝60°，则矩形的面积为
cm2．
16．（3分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两实根的平方和等于11，则k的值为
．
17．（3分）如图，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端
点在圆周上，则该梯形周长的最大值是 ．
18．（3分）如图，是用三角形摆成的图案，摆第一层图需要1个三角形，摆第二层图需要3个
三角形，摆第三层图需要7个三角形，摆第四层图需要13个三角形，摆第五层图需要
个三角形，…，摆第n层图需要 个三角形．
三、（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
19．（5分）计算：（ ﹣3.14）0﹣ +（sin30°）﹣1+|﹣2|．
π
20．（5分）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（5分）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC，
第3页（共21页）猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．
四、（本大题共2个小题，每小题6分，共12分）
22．（6分）求不等式组 的整数解．
23．（6分）甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同
的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，
8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？
（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．
五、（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
24．（7分）如图，已知函数 的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，m），
B（n，2）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将一次函数y＝kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这
个新图象与函数 的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标．
25．（7分）如图，一艘船以每小时60海里的速度自A向正北方向航行，船在A处时，灯塔S在
船的北偏东30°，航行1小时后到B处，此时灯塔S在船的北偏东75°，（运算结果保留根
号）
第4页（共21页）（1）求船在B处时与灯塔S的距离；
（2）若船从B处继续向正北方向航行，问经过多长时间船与灯塔S的距离最近．
六、（本大题共2个小题，其中第26小题7分，第27小题10分，共17分）
26．（7分）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求证：PA＝PB+PC；
（3）设PA，BC交于点M，若AB＝4，PC＝2，求CM的长度．
27．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为 ，且 ．
（1）若该函数的图象经过点（﹣1，﹣1）．
求使y＜0成立的x的取值范围．
①若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标．
（②2）经过A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分
别为M ，N ，设△MAM ，△AM N ，△ANN 的面积分别为S ，S ，S ，是否存在m，使得对
1 1 1 1 1 1 1 2 3
任意实数p≠0都有S 2＝mS S 成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
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第5页（共21页）2011 年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（5）2＝25，
∴25的算术平方根是5．
故选：A．
【点评】本题考查的是算术平方根的概念，即如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么
这个正数x叫做a的算术平方根．
2．【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变
性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、
D都正确，不能与其自身重合的是B．
故选：B．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初
始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做
旋转角．
3．【分析】要使函数有意义，则根式里被开方数不小于0，分母不为0，列出不等式解出答案．
【解答】解：要使函数有意义，
则 ，
解得x≥ 且x≠2，
故选：D．
【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般
从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
第6页（共21页）4．【分析】因为∠1与∠2互补，所以a∥b，又因为∠3＝∠5，所以∠4与∠5互补，则∠4的度
数可求．
【解答】解：∵∠1与∠2互补，
∴a∥b，
∵∠3＝∠5，
∴∠5＝135°，
∵a∥b，
∴∠4与∠5互补，
∴∠4＝180°﹣135°＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁
内角是正确答题的关键．
5．【分析】从小明散步的时间段看，分为0﹣20分钟散步，20﹣30分钟看报，30﹣45分钟返回
家，按时间段把函数图象分为三段．
【解答】解：依题意，0﹣20分钟散步，离家路程增加到900米，
20﹣30分钟看报，离家路程不变，
30﹣45分钟返回家，离家路程减少为0米．
故选：D．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，
理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
6．【分析】根据图可得：3块巧克力的重＝2个果冻的重；1块巧克力的重+1个果冻的重＝50
克，由此可设出未知数，列出方程组．
【解答】解：设每块巧克力的重x克，每个果冻的重y克，由题意得：
，
解得： ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的相等关
第7页（共21页）系，列出方程组．
7．【分析】根据直线外一点到直线上任一点的线段长中垂线段最短得到当OP为垂线段时，
即OP⊥AB，OP的长最短，再根据垂径定理得到AP＝BP＝ AB＝ ×16＝8，然后根据勾
股定理计算出OP即可．
【解答】解：当OP为垂线段时，即OP⊥AB，OP的长最短，如图，
∴AP＝BP＝ AB＝ ×16＝8，
而OA＝10，
在Rt△OAP中，
OP＝ ＝ ＝6（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了垂
线段最短以及勾股定理．
8．【分析】根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，以及a+b＞0，即可化简求值．
【解答】解：根据数轴上a，b的值得出a，b的符号，a＜0，b＞0，a+b＞0，
∴ ＝﹣a+a+b＝b，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简以及实数与数轴等知识，根据数轴得出a，b的符
号是解决问题的关键．
9．【分析】圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可求得圆锥的母
线长，进而利用圆锥的侧面积＝ 底面周长×母线长可求得该圆锥的侧面积．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，则 ＝20 ，
π
解得R＝30，
第8页（共21页）圆锥的侧面积＝ ×20 ×30＝300 ，
π π
底面半径为：20 ÷2 ＝10，
所以底面积为：π102 π＝100 ．
总面积为：300 π+100 ＝40π0
故选：D． π π π
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用；用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等
于圆锥的底面周长．
10．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，再根
据主视图与俯视图得出答案．
【解答】解：根据几何体的主视图和俯视图，可以得出从主视图看最少有6个，从俯视图看，
最左边正方形前后可以有三列，分别有三个，
故最多有3×3+3＝12个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三视图的概念．根据从俯视图看，最左边正方形前后可以有三列，
分别有三个从而得出答案是解决问题的关键．
11．【分析】作ED⊥BC于D，可得含30°的Rt△CED及含45°的直角三角形BED，设所求的
EC为x，则CD＝0.5x，BD＝ED＝ x，根据BC＝5列式求值即可．
【解答】解：作ED⊥BC于D，由折叠的性质可知∠DBE＝∠ABE＝45°，
设所求的EC为x，则CD＝ x，BD＝ED＝ x，
∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，AC＝10，
∴BC＝AC×cosC＝5，
∵CD+BD＝5，
∴CE＝5 ﹣5，
故选：B．
第9页（共21页）【点评】考查翻折变换问题；构造出含30°及含45°的直角三角形是解决本题的突破点．
12．【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根
据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的
取值范围，根据图象和x＝2的函数值即可确定4a+2b+c的取值范围，根据x＝1的函数值
可以确定b＜a+c是否成立．
【解答】解：∵抛物线开口朝下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝1＝﹣ ，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故 错误；
根据图象知道①抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故 错误；
根据图象知道当x＝②﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
故 错误；
∵③抛物线开口向下，x＝﹣1时抛物线与Y轴相交，
∴x＜1时的抛物线位于x轴下方，即y＜0，
∴当x＝﹣2时，y＝a（﹣2）2+（﹣2）b+c＝4a﹣2b+c＜0，
故 正确．
故④选：A．
【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的
关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填写在题中横线上．
13．【分析】根据众数的定义，确定出数据中出现次数最多的数即为x．
第10页（共21页）【解答】解：∵2，2，x，3，3，6中，众数是2，
于是可知x＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了众数的定义：一组数据中，出现次数最多的数叫该组数据的众数，众数
可以有多个．
14．【分析】根据反比例函数的图象位于一、三象限，2m+1＞0，解不等式即可得结果．
【解答】解：由于反比例函数 的图象位于第一、三象限，
则2m+1＞0，
解得：m＞ ．
故答案为：m＞﹣ ．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，k＞0时，函数图象位于一三象限；k＜0时，函数位
于二四象限．
15．【分析】根据矩形的性质得出AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，∠ABC＝90°，推出OA＝OB，
得到等边三角形ABO，求出AC，由勾股定理求出BC，计算即可．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AC＝2OA＝2AB＝8，
由勾股定理得：BC＝ ＝4 ，
矩形的面积是BC•AB＝4 ×4＝16 ．
故答案为：16 ．
【点评】本题主要考查对矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理
解和掌握，能求出AC、BC的长是解此题的关键．
第11页（共21页）16．【分析】由题意设方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0两根为x ，x ，得x +x ＝﹣（2k+1），x •x ＝k2
1 2 1 2 1 2
﹣2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值．
【解答】解：设方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0两根为x ，x
1 2
得x +x ＝﹣（2k+1），x •x ＝k2﹣2，
1 2 1 2
△＝（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝4k+9≥0，
∴k≥﹣ ，
∵x 2+x 2＝11，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝11，
1 2 1 2
∴（2k+1）2﹣2（k2﹣2）＝11，
解得k＝1或﹣3；
∵k≥﹣ ，
故答案为：1．
【点评】此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根
的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
17．【分析】根据圆心为O，则OA＝OB＝OC＝OD＝2，设腰长为x，设上底长是2b，利用勾股
定理得出，则x2﹣（2﹣b）2＝R2﹣b2＝CP2，再利用二次函数最值求出即可．
【解答】解：圆心为O，连接OD，OC，过O作OE⊥CD，过C作CP⊥OB，
∴E为DC的中点，DE＝CE＝ CD＝b，
∵等腰梯形ABCD，
∴DC∥AB，OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴∠CEO＝∠EOP＝∠OPC＝90°，
∴四边形EOPC为矩形，
∴EC＝OP，
则OA＝OB＝OC＝OD＝2，设腰长为x，
第12页（共21页）设上底长是2b，过C作直径的垂线，垂足是P，
则CP2＝OC2﹣OP2＝CB2﹣PB2，
即x2﹣（2﹣b）2＝22﹣b2，
整理得b＝2﹣ ，
所以y＝4+2x+2b＝4+2x+4﹣ ＝﹣ +2x+8，
∴该梯形周长的最大值是： ＝ ＝10．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值以及等腰梯形的性质和解直角三角形，根据题意
得出x2﹣（2﹣b）2＝R2﹣b2＝CP2 从而利用二次函数最值求法求出是解决问题的关键．
18．【分析】观察可得，第1层三角形的个数为1，第2层三角形的个数为3，比第1层多2个；
第3层三角形的个数为7，比第2层多4个；…可得，每一层比上一层多的个数依次为2，
4，6，…据此作答．
【解答】解：观察可得，第1层三角形的个数为1，第2层三角形的个数为22﹣2+1＝3，
第3层三角形的个数为32﹣3+1＝7，
第四层图需要42﹣4+1＝13个三角形
摆第五层图需要52﹣5+1＝21．
那么摆第n层图需要n2﹣n+1个三角形．
故答案为：21；n2﹣n+1．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中
的规律，并应用规律解决问题．
三、（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
19．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、立方根化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计
算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解： ，
＝1﹣2+ +2，
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
第13页（共21页）类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
20．【分析】先通分，然后进行四则运算，最后将x＝ 代入即可得出答案．
【解答】解：原式＝ × ＝ × ＝
将x＝ 代入原式＝ ＝2 ．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值
计算．
21．【分析】根据CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC，求证△ADO≌△ECO，然后求证四
边形ADCE是平行四边形，即可得出结论．
【解答】解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：相等且平行．
理由：∵CE∥AB，
∴∠DAO＝∠ECO，
∵在△ADO和△ECO中
∴△ADO≌△ECO（ASA），
∴AD＝CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CD AE．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关
键是求证△ADO≌△ECO，然后可得证四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论．
四、（本大题共2个小题，每小题6分，共12分）
22．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的
x的整数值即可．
第14页（共21页）【解答】解： ，由 得，x≤2，由 得，x＞﹣3，
① ②
故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，x的整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2．
故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：
同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
23．【分析】（1）因为此题需要三步完成，所以采用树状图法最简单，所以先画树状图，然后根
据树状图求得所有等可能的结果与取出的3个小球的标号全是奇数的情况，然后利用概
率公式即可求得答案；
（2）根据（1）中的树状图求得这些线段能构成三角形的情况，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图得：
∴一共有12种等可能的结果，
取出的3个小球的标号全是奇数的有2种情况，
∴取出的3个小球的标号全是奇数的概率是： ＝ ．
（2）∵这些线段能构成三角形的有2、4、3，7、4、8，7、4、9，7、5、3，7、5、8，7、5、9共6种情
况，
∴这些线段能构成三角形的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合于两步及两步以上完成的事件．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
五、（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
24．【分析】（1）将点A（1，m），B（n，2）代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，然后将其
代入一次函数解析式，即用待定系数法求一次函数解析式；
第15页（共21页）（2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图象的解析式，然后根据根的判别式求得a值．
最后将a值代入其中，求得M的坐标即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，m），B（n，2）在反比例函数的图象上，
∴ ，
解得， ；
∴一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，6），B（3，2）两点．
∴ ，
解得， ，
∴一次函数的解析式是y＝﹣2x+8；
（2）一次函数y＝kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象的解析式
是：y＝﹣2（x+a）+8．
根据题意，得 ，
∴x2+（a﹣4）x+3＝0；
∴这个新图象与函数 的图象只有一个交点，
∴△＝（a﹣4）2﹣12＝0，
解得，a＝4±2 ；
当a＝4﹣2 时，
①解方程组，得
，
∴M（ ，2 ）；
当a＝4+2 时，
②解方程组，得
第16页（共21页）∴M（﹣ ，﹣2 ）．
∵M点在第一象限，故x＞0，
x＝﹣ 不符合题意，舍去，
综上所述，a＝4﹣2 ，M（ ，2 ）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题．用待定系数法确定函数的解析
式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．
25．【分析】（1）过点B作BC⊥AS，垂足为C，构造两个直角三角形，即可求出CS＝BC的值，
再求出BS的值；
（2）根据（1）中计算，求出BE的长，再根据船的航速，利用时间＝路程÷速度即可求出船从
B处继续向正北方向航行与灯塔S的距离最近的时间．
【解答】解：（1）过点B作BC⊥AS，垂足为C．
∵AB＝60海里，∠A＝30°，∠DBS＝75°，
∴∠ABS＝105°，
∴∠ABC＝60°，
∠CBS＝45°，
∴CS＝BC＝ AB＝30，
BS＝ ＝30 海里；
（2）过点S作ES⊥AB，垂足为E．
则船与灯塔S的最近距离为ES，
∵AC＝AB•cos30°＝60× ＝30 ，SC＝30，
∴AS＝30 +30，
ES＝15（ +1），
∴AE＝45+15 ，BE＝AE﹣AB＝15 ﹣15，
∴船的航行时间为 ＝ 小时．
第17页（共21页）【点评】此题考查了解直角三角形﹣﹣﹣方向角问题，构造出两个直角三角形，利用三角
函数是解题的关键．
六、（本大题共2个小题，其中第26小题7分，第27小题10分，共17分）
26．【分析】（1）由圆周角定理得∠BPC与∠BAC互补；
（2）在PA上截取PD＝PC，可证明△ACD≌△BCP，则AD＝PB，从而得出PA＝PB+PC；
（3）容易得到△CDM∽△ACM，所以CM：AM＝DM：MC＝DC：AC＝2：4＝1：2，设DM＝
x，则 CM＝2x，BM＝4﹣2x，PM＝2﹣x，AM＝4x，AD＝AM﹣DM＝4x﹣x＝3x，
△BPM∽△ACM，所以BP：AC＝PM：CM，即3x：4＝（2﹣x）：2x，解此分式方程求出x．
【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，
∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，
∴四边形ABPC是圆的内接四边形
∴∠BPC+∠BAC＝180°，
∴∠BPC＝120°，
（2）证明：连结CD．在PA上截取PD＝PC，
∵AB＝AC＝BC，
∴∠APB＝∠APC＝60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，CP＝CD，
∴∠PCD﹣∠DCM＝∠ACB﹣∠DCM，即∠ACD＝∠BCP，
在△ACD和△BCP中，
，
∴△ACD≌△BCP，
∴AD＝PB，
第18页（共21页）∵PA＝AD+DP，DP＝PC，
∴PA＝PB+PC；
（3）解：∵△PCD和△ABC都为等边三角形，
∴∠MDC＝∠ACM＝60°，CD＝PC，
又∵∠DMC＝∠CMA，
∴△CDM∽△ACM，AB＝4，PC＝2，
∴CM：AM＝DM：MC＝DC：AC＝PC：AC＝2：4＝1：2，
设DM＝x，则CM＝2x，BM＝4﹣2x，PM＝2﹣x，AM＝4x，AD＝AM﹣DM＝4x﹣x＝3x
∵∠BMP＝∠CMA，∠PBM＝∠CAM，
∴△BPM∽△ACM，
∴BP：AC＝PM：CM，即3x：4＝（2﹣x）：2x，
解得x＝ （舍去负号），
则x＝ ，
∴CM＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理以
及等边三角形的性质，是一个综合题，难度较大．
27．【分析】（1）根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为 ，且 ，以及函
数的图象经过点（﹣1，﹣1），得出关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值．
画出图象，即可得出使y＜0成立的x的取值范围；
①根据圆与直线相切得出OQ＝FO，再解一元二次方程即可得出；
（②2）分别过M，N作直线l：y＝﹣1的垂线，垂足分别是M
1
和N
1
．分别表示出△MAM
1
，
△AM N ，△ANN 的面积S ，S ，S 再条件S 2＝mS S 成立进而求出m的值．
1 1 1 1 2 3 2 1 3
第19页（共21页）【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为 ，且 ，
又∵函数的图象经过点（﹣1，﹣1），
代入二次函数解析式得：
，
解得： ，
y＝﹣ x2﹣ ，
利用函数图象可知使y＜0成立的x的取值范围是：全体实数；
①若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，
②假设与x轴切点为Q，与y轴切点为F，
∴OQ＝FO，
∴﹣x＝﹣ x2﹣ ，
整理得：x2﹣2x+1＝0，
解得：x ＝x ＝1，
1 2
∴QO＝FO＝1，
∴圆心的坐标为：（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）；
（2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为 ，且 ．
∴该二次函数的解析式为：y＝ x2+ ，
∵过点A的直线与函数y＝ x2+ 的图象交于M（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2
∴过点A的直线对应的函数为y＝kx+p，
S ＝ |x |•|y |，
1 1 1
第20页（共21页）S ＝ |x ﹣x |•|p|，
2 1 2
S ＝ |x ||y |，
3 2 2
把y＝kx+p代入y＝ x2+ 得，x2﹣2pkx﹣p2＝0，
∴x +x ＝2pk，x x ＝﹣p2，
1 2 1 2
∴S S ＝ |x x y y |＝ p2|（kx +p）（kx +p）|＝ p4（k2+1），
1 3 1 2 1 2 2 2
S 2＝ （x ﹣x ）2p2＝p4（k2+1）．
2 2 1
∴4S S ＝S 2，故存在m＝4，使得对任意实数p≠0成立．
1 3 2
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及圆的切线性质和三角形面积求法，二次
函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是
难点同学们应重点掌握．
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