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专题18 机械振动
目录
题型一 简谐运动的基本特征及应用.............................................................................................1
类型1 简谐运动基本物理量的分析......................................................................................1
类型2 简谐运动的周期性与对称性......................................................................................4
类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析..........................................................................6
题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用.......................................................................11
题型三 单摆及其周期公式...........................................................................................................17
类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用........................................................................17
类型2 单摆的振动图像及运动学特征................................................................................22
题型四 受迫振动和共振...............................................................................................................26
类型1 受迫振动概念及规律的理解应用............................................................................26
类型2 共振曲线的应用........................................................................................................28
类型3 “驱动摆”的分析.......................................................................................................30
题型一 简谐运动的基本特征及应用
对简谐运动的理解
受力特点 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增
运动特点
大，v减小
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能
能量
守恒
做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，
周期性 变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化
周期为
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝
OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
对称性 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即t ＝t
PO OP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即t ＝t
OP PO
(4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速
度、加速度大小相等，方向相反
类型1 简谐运动基本物理量的分析
【例1】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）如图所示，一水平轻质弹簧左端固定在竖
直墙上，右端连接一物体，物体静止在光滑水平地面上的O点，现向左推物体，使物体到
达A点后由静止释放，在弹力作用下物体向右运动，在物体整个运动过程中，弹簧始终处
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司于弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
B．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
C．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
【答案】D
【详解】AB．物体做简谐运动，O点是平衡位置，所以物体从O点向左运动到A点的过程
中，物体做减速运动，弹簧的弹性势能一直增大，故A、B错误；
CD．物体从A点运动到O点时，物体做加速运动，经过O点继续向右时，物体做减速运
动，所以弹簧的弹性势能先减小后增大，故C错误，D正确。
故选D。
【例2】．（2023春·北京大兴·高三统考期中）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，
在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10cm。小球经过O点开始计时并向右运动，经
过0.5s首次到达B点，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧振子的振幅是10cm
B．当振子运动到B时，位移大小是10cm
C．弹簧振子的周期是1s
D．振子由O运动到B的过程中速度减小
【答案】D
【详解】A．弹簧振子的振幅是OB的距离，即5cm，故A错误；
B．当振子运动到B时，位移大小是5cm，故B错误；
C．小球经过O点开始计时并向右运动，经过0.5s首次到达B点，则
所以弹簧振子的周期是2s，故C错误；
D．振子由O运动到B的过程中位移增大，速度减小，故D正确；
故选D。
【例3】（2023春·江西南昌·高三南昌二中校考开学考试）对于下面甲、乙、丙、丁四种
情况，可认为是简谐运动的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①甲：倾角为 的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略不
计
②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提
起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动
③丙：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（ ）之间来回运动
④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动
A．只有① B．只有①② C．只有①②③ D．都可以
【答案】C
【详解】甲图小球沿斜面方向受到的合力时弹力与重力的分力，当小球在平衡位置上方时，
合力方向沿斜面向下，当在平衡位置下方时合力沿斜面向上，弹力与重力的分力的合力与
位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，小球做简谐振动；乙图木筷在水中
受浮力和重力作用，当木筷在平衡位置上方时，合力向下，当木筷在平衡位置下方时，合
力向上，重力和浮力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，木筷
做简谐振动；丙图小球离开最低点受到重力沿切线方向的分力与位移成正比，方向与小球
位移方向相反，为小球提供回复力，小球在最低点附近左右振动属于简谐振动；丙图斜面
光滑，重力沿斜面的分力提供小球做机械振动的回复力，但该力大小不变，不与位移成正
比，故小球的运动为机械振动，不是简谐振动，则可知①②③为简谐振动。
故选C。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确
的是（ ）
A．若位移为负值，则加速度一定为负值
B．小球通过平衡位置时，速度为零，位移最大
C．小球每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同
D．小球每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同
【答案】D
【详解】A．小球受的力指向平衡位置，小球的位移为负值时，受到的力为正值，小球的
加速度为正值，A错误；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．当小球通过平衡位置时，位移为零，速度最大，B错误；
C．小球每次通过平衡位置时，速度大小相等，方向不一定相同，但位移相同，C错误；
D．小球每次通过同一位置时，位移相同，速度大小相等，但速度方向可能相同，也可能
不同，D正确。
故选D。
类型2 简谐运动的周期性与对称性
【例2】（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）弹簧振子以O点为平衡
位置做简谐振动。从O点起振开始计时，振子第一次到达M点用了0.3秒，又经过0.2秒
第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是（ ）
A． 秒 B． 秒 C．1.4秒 D．1.6秒
【答案】AC
【详解】由题意，共有以下两种情况：
①如图所示
假设振子从O点向x正方向起振，P点为正向最大位移处，M位于O、P之间，则振子从O
运动到M所用时间为
根据简谐运动的对称性可知，振子从M到P和P到M的时间相同，均为
设简谐运动的周期为T，则
解得
易知振子第二次通过M点再经过一个周期T刚好第四次通过M点，而第三次通过M点之
后需要再经过2t才能再次（即第四次）通过M点，因此振子第三次通过M点还要经过的
时间为
②如图所示
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司假设振子从O点向x正方向起振，Q点为负向最大位移处，M位于O、Q之间，则振子从
M运动到O所用时间为
根据简谐运动的对称性可知，振子从M到Q和Q到M的时间相同，均为
所以
解得
易知振子第二次通过M点再经过一个周期T刚好第四次通过M点，而第三次通过M点之
后需要再经过2t才能再次（即第四次）通过M点，因此振子第三次通过M点还要经过的
时间为
故选AC。
【例2】（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）如图所示，弹簧振子在振动过程
中，振子从a到b历时0.2s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间
为0.4s，则该振子的振动频率为（ ）
A．1Hz B．1.25Hz C．2Hz D．2.5Hz
【答案】B
【详解】由于振子在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的，所以O到b
点的时间为0.1s；而从b再回到a的最短时间为0.4s，则从b再回到b的最短时间为0.2s，
所以从b到最大位移处的最短时间为0.1s，因此振子的振动周期为T=0.8s，由 ，得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选B。
【例3】．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）一质点做简谐运动，先后以
相同的速度依次通过A、 两点，历时1s；质点通过 点后再经过1s又第二次通过 点。
在这 内质点通过的总路程为12 ，则质点的振动周期和振幅分别是（ ）
A．3s， B．4s， C．4s， D．2s，
【答案】B
【详解】质点运动的过程如图：
其中红色实线为由A到 ，绿色实线为第二次经过 ，红色、绿色虚线为补出的对称运动，
从图像中可以观察到
红色实线 绿色实线 振幅
则振幅为 。
红色部分与绿色部分的运动时间之和为一个周期，故周期为4s。
故选B。
类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析
【例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）如图所示，倾角为
的光滑斜面固定在水平地面上，一根劲度系数为k的轻弹簧上端固定于斜面顶端挡板上，
另一端与质量为m的小球连接，静止于O点，现把小球从弹簧原长处A点静止释放，小球
做简谐运动，弹簧的弹性势能为 ，重力加速度为g，下列说法正确的是
（ ）
A．振幅为 B．小球的最大加速度为g
C．小球的最大速度为 D．弹簧的最大弹性势能为
【答案】D
【详解】A．设平衡位置时弹簧的伸长量为 ， 则
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司振幅为 。A错误；
B．A点处小球的加速度最大
B错误；
C．平衡位置处速度最大，从A点到平衡位置由动能定理
解得小球的最大速度
C错误；
D．由对称性，小球在最低点，弹簧伸长量为
弹簧的最大弹性势能为
D正确。
故选D。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一根不计质量的弹簧竖直悬吊质量为M
的铁块，在其下方吸引了一质量为m的磁铁，且 。已知弹簧的劲度系数为k，磁铁
对铁块的最大吸引力等于3mg，铁块和磁铁共同沿竖直方向作简谐运动，不计磁铁对其它
物体的作用并忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．铁块处于平衡位置时弹簧的伸长量等于
B．铁块振幅的最大值是
C．弹簧弹性势能最大时，弹力的大小等于16mg
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．铁块运动的最大速度为
【答案】D
【详解】A．由胡克定律得铁块处于平衡位置时
可得
A错误；
B．铁块振幅的最大值在最低点有
解得
B错误；
C．弹簧弹性势能最大时，铁块和磁铁位于最低点，弹力的大小为
C错误；
D．由机械能守恒定律得
解得
D正确。
故选D。
【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）如图所示，长直杆固定放置且与水
平面夹角 ，杆上O点以上部分粗糙，O点以下部分（含O点）光滑。轻弹簧穿过长
杆，下端与挡板相连，弹簧原长时上端恰好在O点，质量为m的带孔小球穿过长杆，与弹
簧上端连接。现将小球拉到图示a位置由静止释放，一段时间后观察到小球做简谐振动时
弹簧上端的最低位置始终在b点，O点与a、b间距均为l。则下列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．整个运动过程小球克服摩擦力做功为mgl
B．弹簧的劲度系数
C．若增加小球质量，最终物体做简谐振动的周期不变
D．若增加小球质量，仍从a位置静止释放，则小球最终运动的最低点仍在b点
【答案】AB
【详解】A．O点与a、b间均为l，所以小球在a、b两点的弹性势能相等，小球从a点由
静止开始运动到最后到达b点的过程中由动能定理可知
解得
A正确；
B．小球做简谐振动时弹簧上端的最低位置始终在b点，即小球在O点和b点间做简谐运
动，平衡位置在O点和b点中点，此时小球受力平衡，有
解得
B正确；
C．弹簧小球的振动周期公式为 ，则若增加小球质量，最终物体做简谐振动的周
期将会变化，C错误；
D．若增加小球质量，仍从a位置静止释放，设小球最终运动的最低点为c，由于小球最后
是在O与最低点c两点间做简谐振动，在c点与O点的加速度大小相等，小球在c点有
小球在O点有
联立解得
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以增大小球的质量，弹簧在最低点的形变量也会增大，则最低点位置发生了改变，D错
误。
故选AB。
【例4】．（2023秋·山东威海·高三统考期末）如图所示，倾角为 的光滑斜面固定在水平
地面上，斜面顶端有一固定挡板，与一轻弹簧相连。弹簧下端连接一质量为m的小球，小
球沿斜面方向做振幅为A的简谐运动。当小球运动到最高点时，弹簧正好处于原长，重力
加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的最大弹性势能为
B．小球的最大动能一定小于
C．弹簧的弹性势能和小球的动能之和保持不变
D．小球在最低点时弹簧的弹力大小为
【答案】ABD
【详解】A．当小球运动到最高点时，弹簧正好处于原长，小球在最低点时弹簧弹性势能
最大，小球减少的重力势能转化为弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能
故A正确；
B．在平衡位置动能最大，由最高点到平衡位置，重力势能减小 ，动能和弹性势
能增加，所以物体的最大动能小于 ，故B正确；
C．在运动的过程中，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的
动能、重力势能之和不变，故C错误；
D．小球做简谐运动的平衡位置处
当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，可知
所以在最低点时，形变量为2A．弹力大小为 ，故D正确。
故选ABD。
题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
1．由图像可获取的信息
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
0
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质
点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方
向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2．简谐运动的对称性(如图)
(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
(2)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移
等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
【例1】如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：
(1)振动的振幅；
(2)振动的频率；
(3)在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时质点的振动方向；
(4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内质点的运动情况。
(7)振动质点离开平衡位置的最大距离；
(8)写出此振动质点的运动表达式；
(9)振动质点在0～0.6 s的时间内通过的路程；
(10)振动质点在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时的振动方向；
(11)振动质点在0.6～0.8 s这段时间内速度和加速度是怎样变化的？
(12)振动质点在0.4～0.8 s这段时间内的动能变化是多少？
【答案】 见解析
【解析】 (1)振幅为最大位移的绝对值，从图像可知振幅
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A＝5 cm。
(2)从图像可知周期T＝0.8 s，则振动的频率
f＝＝ Hz＝1.25 Hz。
(3)由各时刻的位移变化过程可判断t＝0.1 s、0.7 s时，质点的振动方向沿x轴正方向；t＝
0.3 s、0.5 s时，质点的振动方向沿x轴负方向。
(4)质点在0.4 s通过平衡位置时，首次具有负方向的速度最大值。
(5)质点在0.2 s时处于正向最大位移处时，首次加速度具有负方向的最大值。
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内，从图像上可以看出，质点沿负方向的位移不断减小，说明
质点正沿着正方向由负向最大位移处向着平衡位置运动，所以质点做加速度减小的加速运
动。
(7)由振动图像可以看出，质点振动的振幅为5 cm，即为质点离开平衡位置的最大距离。
(8)由此质点的振动图像可知 A＝5 cm，T＝0.8 s，φ＝0，所以x＝Asin(ωt＋φ)＝Asin＝
5sincm＝5sin(2.5πt)cm。
(9)由振动图像可以看出，质点振动的周期为T＝0.8 s，0.6 s＝3×，振动质点是从平衡位置
开始振动的，故在0～0.6 s的时间内质点通过的路程为s＝3×A＝3×5 cm＝15 cm。
(10)在t＝0.1 s时，振动质点处在位移为正值的某一位置上，但若从t＝0.1 s起取一段极短
的时间间隔Δt(Δt→0)的话，从图像中可以看出振动质点的正方向的位移将会越来越大，由
此可以判断得出质点在t＝0.1 s时的振动方向是沿题中所设的正方向。同理可以判断得出
质点在t＝0.3 s、0.5 s、0.7 s时的振动方向分别是沿题中所设的负方向、负方向和正方向。
(11)由振动图像可以看出，在0.6～0.8 s这段时间内，振动质点从最大位移处向平衡位置运
动，故其速度是越来越大的；而质点所受的回复力是指向平衡位置的，并且逐渐减小的，
故其加速度的方向指向平衡位置且越来越小。
(12)由图像可看出，在0.4～0.8 s这段时间内质点从平衡位置经过半个周期又回到了平衡位
置，尽管初、末两个时刻的速度方向相反，但大小是相等的，故这段时间内质点的动能变
化为零。
【例2】（2023春·河北张家口·高三张北县第一中学校联考期中）如图甲所示，轻质弹簧
下端固定在水平地面上，上端拴接一轻质薄板。t=0时刻，一物块从其正上方某处由静止下
落，与薄板碰撞后二者粘在一起并在以后的运动中不再分离，物块的位置随时间变化的图
像（x-t）如图乙所示，其中t=0.2s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气
阻力不计，则（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．t=0.4s时物块的加速度大于重力加速度
B．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘在一起后振动的周期增大
C．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘在一起后振动的振幅增大
D．t=0.2s后物块坐标位置随时间变化关系为
【答案】ACD
【详解】A．根据简谐运动的对称性可知，最高点的加速度和最低点的加速度大小相等，
即
由简谐运动的加速度满足a与x成正比，设A点处偏离平衡位置的位移大小为x ，C点处
A
偏离平衡位置的位移大小为x ，有
C
所以
到A点时，物块只受重力
所以
故A正确；
B．弹簧振子的周期只与振动系统本身有关，与物块起始下落的高度无关，故物块与薄板
粘在一起振动周期不变，故B错误；
C．若增大物块自由下落的高度，根据能量守恒，则物块与薄板粘在一起后振动的振幅增
大，故C正确；
D．由图乙可知
T=0.6s
则
振幅为0.2m，0.2s后物块位置随时间变化关系式为
当t=0.4s时
x=0.5m
代入上式得
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故D正确。
故选ACD。
【例3】（2023春·天津北辰·高二校考阶段练习）一弹簧振子A的位移 随时间 变化的关
系式为 ，位移 的单位为m，时间 的单位为s，则（ ）
A．弹簧振子的振幅为0.2m
B．弹簧振子的周期为1.25s
C．在t=0.2s时，振子的运动速度为0
D．若另一弹簧振子B的位移 随时间变化的关系式为 ，则B的振幅
和周期分别是A的振幅和周期的2倍
【答案】C
【详解】AB．根据
可知弹簧振子A的振幅为 ，周期为
则AB错误；
C．在 时，振子的位移为
可知此时振子处于最大位移位置，振子的运动速度为0，故C正确；
D．若另一弹簧振子B的位移 随时间变化的关系式为 ，则B的振幅
为 ，周期为
则B的振幅是A的振幅的2倍，B的周期等于A的周期，故D错误。
故选C。
【例4】．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）如图，弹簧振子的平衡位置
为O点，在B、C两点之间做简谐运动， B、C相距20cm。小球经过B点时开始计时，经
过1.5s第二次到达C点。下列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．小球振动的周期为3s B．小球振动的振幅为20cm
C．5s末小球的位移为0 D．小球的位移—时间关系为
【答案】D
【详解】A．小球经过B点时开始计时，经过1.5s第二次到达C点，则有
解得小球振动的周期为
故A错误；
B．根据题意有
可得小球振动的振幅为
故B错误；
C．小球经过B点时开始计时，由于周期为 ，可知5s末小球的位移为 ，故C错误；
D．小球经过B点时开始计时，小球的位移—时间关系为
故D正确。
故选D。
【例5】．（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考期中）某弹簧振子在水平方向上
做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，振动图像如图所示，下列
说法不正确的是（ ）
A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同
B．简谐运动的角频率ω＝ rad/s
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．第3s末振子的位移大小为 A
D．从第3s末到第5s末，振子的速度方向发生变化
【答案】D
【详解】A．由题图知，振子在第1s未与第3s末的位移相同，即振子经过同一位置，故弹
簧的长度相同，A正确；
B．由题图知，振子振动的周期T＝8s，则角频率
B正确；
C．位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，第3s末振子的位移大小为
C正确；
D．x-t图像的切线斜率表示速度，可知，从第3s末到第5s末，振子的速度方向并没有发生
变化，一直沿负方向，D错误。
本题选择不正确的。
故选D。
【例6】．（2023春·广东湛江·高三统考阶段练习）如图甲所示，将滑块连接在弹簧上并
放置于气垫导轨上，将滑块拉到某一位置后由静止释放，位移传感器记录下滑块位置随时
间的变化图像如图乙所示，则下列关于该滑块的说法正确的是（ ）
A．完成一次全振动的时间为5s
B．在一个周期内运动路程为32cm
C．在第1s末和第3s末时的速度相同
D．第3s内滑块的动能转化为弹簧的弹性势能
【答案】B
【详解】A．由图乙可知，滑块完成一次全振动的时间为4s，故A错误；
B．滑块在一个周期内运动的路程为4倍振幅，为32cm，故B正确；
C．滑块在第1s末和第3s末时的速度大小相等、方向相反，故C错误；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．由图乙可知，滑块在第3s内由负向位移最大处回到平衡位置，弹簧的弹性势能转化为
滑块的动能，故D错误。
故选B。
题型三 单摆及其周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F ＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回
回
复力F 与位移x的方向相反。
回
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，
F ＝F －mgcos θ。
向 T
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F ＝＝0，F ＝mgcos θ。
向 T
②当摆球在最低点时，F ＝m，F 最大，F ＝mg＋m。
向 向 T
2．周期公式T＝2π的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用
【例1】（2023·天津·高三专题练习）图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量
的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的 图像，其中F的最大值
，已知摆球质量 ，重力加速度取 ， 取 ，不计摆线质量
及空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．单摆周期为
B．单摆摆长为
C．F的最小值
D．若仅将摆球质量变为 ，单摆周期不变
【答案】CD
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】A．由图可知，单摆周期为 ，选项A错误；
B．根据
可得
单摆摆长为0.64m，选项B错误；
C．摆到最低点时
可得
则F最小值
选项C正确；
D．单摆周期与摆球的质量无关，若仅将摆球质量变为 ，单摆周期不变，选项D正确。
故选CD。
【例2】（2023·上海虹口·统考二模）摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能E 随时间t
k
的变化关系如图所示，则该单摆（ ）
A．摆长为
B．摆长为
C．摆球向心加速度的最大值为
D．摆球向心加速度的最大值为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】C
【详解】AB．由图可知，单摆的周期 ，根据单摆周期公式
解得
故AB错误；
CB．摆球到最低点的动能
向心加速度的最大值为
解得
故C正确，D错误；
故选C。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）单摆是我们研究简谐运动中常用的模型。已知某单摆
的摆长为L，摆球质量为m，当地重力加速度为g。将此摆球在所在的竖直平面内向拉离平
衡位置一个小角度 ，自由释放。
（1）在 很小时， （其中x为小球的位移），由此写出单摆回复力与位移的关系
式，并说明为何单摆可视为简谐运动；
（2）简谐运动的周期公式 （其中k是回复力与位移的比例系数，m为系统的质
量），结合（1）推导出单摆的周期公式；
（3）当摆球运动到最低点时，求细线拉力的大小。
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】（1） ，说明见解析；（2） ；（3）
【详解】（1）在 很小时
由几何关系可得，单摆的回复力为
负号表示回复力方向与位移方向相反，由于小球质量m、摆长L、重力加速度g都为定值，
令
则
故单摆在摆角很小的情况下的运动为简谐运动；
（2）由（1）的分析可知
单摆在摆角很小的情况下为简谐运动，故单摆的周期公式为
（3）设摆球在最低点时的速度为 ，由动能定理可得
设在最低点时细线的拉力为 ，根据牛顿第二定律可得
联立解得
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器
接在摆球与O点之间。 时刻在A点释放摆球，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，
其中B点为运动中的最低位置。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线。已
知摆长为 ，A、B之间的最大摆角为 （取 ， ）。求：
（1）当地的重力加速度大小；
（2）摆球在A点时回复力的大小；
（3）摆球运动过程中的最大动能。
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】（1） ；（2） ；（3）0.0032J
【详解】（1）摆球在一个周期内两次经过最低点，对应两次细线拉力达到最大值，由图乙
可知单摆的周期为
解得当地的重力加速度大小为
（2）摆球在A点时，细线拉力大小为
解得
摆球在A点时回复力的大小为
（3）设摆球在B点时速度为v，根据牛顿第二定律有
摆球运动过程中的最大动能为
类型2 单摆的振动图像及运动学特征
【例1】（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）一单摆振动过程中离开平衡
位置的位移随时间变化的规律如图所示，取向右为正方向。则下列说法正确的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．第1s末和第5s末摆球位于同一位置
B．0~1s的时间内，摆球的回复力逐渐减小
C． 时，摆球的位移为 m
D． 时，摆球的速度方向与加速度方向相反
【答案】C
【详解】A．第1s末位移为正值，第5s末位移为负值，所以这两个时刻摆球位置不同，故
A错误；
B．0~1s的时间内位移变大，即离平衡位置越来越远，所以摆球的回复力逐渐增大，故B
错误；
C．由图可得
所以当 时，解得
故C正确；
D． 时摆球处在平衡位置右侧且位移大小变小，所以此时速度方向和加速度方向都向
左，故D错误。
故选C。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）单摆在 两点之间做简谐运动， 点为平衡位置，
如图甲所示，单摆的振动图像如图乙所示（向右为正方向），取重力加速度大小
，下列说法正确的是（ ）
A．单摆的振幅为 B．单摆的摆动频率为
C． 时，摆球在 点 D．单摆的摆长为
【答案】BC
【详解】A．由图乙可知单摆的振幅为4cm，故A错误；
B．单摆的摆动频率为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故B正确；
C．由单摆的周期性可知， 时和 摆球的运动状态相同，可知摆球在 点，故C
正确；
D．由单摆的周期公式
代入数据解得
故D错误。
故选BC。
【例3】（2023春·辽宁鞍山·高三统考期中）甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图
所示，由此可知甲，乙两单摆（ ）
A．摆长之比为 B．振动频率之比为2:3
C．在t=1.0s时刻，加速度均不为零 D．在t=1.8s时刻，振动方向相反
【答案】C
【详解】A．由图像可知，甲、乙单摆振动周期之比为2:1，根据单摆的周期公式
可知，甲、乙单摆摆长之比为4:1，故A错误；
B．根据周期与频率的关系
所以振动频率之比为1:2，故B错误；
C．在t=1.0s时刻，沿振动方向的加速度均为零，但还有向心加速度，因此加速度不为零，
故C正确；
D．根据振动图像可知，在t=1.8s时刻，甲、乙两单摆均沿x轴正向振动，故D错误。
故选C。
【例4】（2023春·湖北武汉·高三统考阶段练习）如图所示是一座水平固定放置的弧形槽，
其底面是矩形平面，上表面ABCD是半径 的光滑圆弧面，直边 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司圆弧边AB和CD平行且等长为0.5m，B、C是弧面最低点且切线水平。现有一个可看作质
点的小球，以沿AD方向的初速度v从A点开始沿弧面运动，恰好能运动到C点。重力加
速度 ，则v的大小约为（ ）
A．0.5m/s B．1.0m/s C．1.5m/s D．2.0m/s
【答案】B
【详解】小球在竖直面内做减速圆周运动，小球从A到C竖直面内的圆心角
小球在竖直面内的运动可看做单摆运动，小球从A到C的时间
小球从A点运动到C点，在水平方向上可看做匀速运动；，则
解得
故选B。
【例5】（2023·全国·高三专题练习）两个摆长不同的单摆1、2同轴水平悬挂，两单摆摆
动平面相互平行，振动图像如图甲所示。 时把单摆1的摆球向左、单摆2的摆球向右
拉至摆角相同处，如图乙所示。求：
（1）两单摆摆长之比 ；
（2）同时释放两摆球，两摆球同时摆到最右端所经历的时间。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）根据单摆周期公式
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司可得
由题图甲可知
则有
（2）由题图甲可知，单摆1到达最右端所经历的时间为
单摆2到达最右端所经历的时间为
结合
可得同时释放两摆球，两摆球同时摆到最右端所经历的时间为
题型四 受迫振动和共振
1．简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
振动
简谐运动 受迫振动 共振
项目
受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
由系统本身性质决 由驱动力的周期或频
振动周期或频率 定，即固有周期T 或 率决定，即T＝T 或 T ＝T 或f ＝f
0 驱 驱 0 驱 0
固有频率f f＝f
0 驱
振动物体的机械能不 由产生驱动力的物体 振动物体获得的能量
振动能量
变 提供 最大
弹簧振子或单摆 机械工作时底座发生 共振筛、声音的共鸣
常见例子
(θ≤5°) 的振动 等
2.对共振的理解
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)共振曲线：如图所示，f与f 越接近，振幅A越大；当f＝f 时，振幅A最大。
0 0
(2)做受迫振动的系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
类型1 受迫振动概念及规律的理解应用
【例1】 (2022·天津河西区期末质量调查)如图甲所示，一个有固定转动轴的竖
直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个 T形支架在竖直方向振动，T
形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做
简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动，小球
振动稳定时，下列说法正确的是( )
A．小球振动的固有频率是4 Hz
B．小球做受迫振动时周期一定是4 s
C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
【答案】 C
【解析】 小球振动的固有周期T＝4 s，则其固有频率为f＝＝0.25 Hz，A错误；
小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于
固有周期4 s，B错误；圆盘转动周期在4 s附近时，驱动力周期等于振动系统
的固有周期，小球产生共振现象，振幅显著增大，C正确，D错误。
【例2】(2022·云南省保山市智源中学高二月考)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子
上安一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图
所示．筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s．在某电压下，电动偏心轮转速是36
r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么
要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．提高输入电压 B．降低输入电压
C．减小筛子质量 D．减小筛子质量
【答案】A
【解析】共振筛的工作原理是，当电动偏心轮的转动周期跟筛子的固有周期相
等时，就会发生共振．在题给条件下，筛子振动的固有周期T ＝ s＝1.5 s，电
固
动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T ＝ s＝1.67 s．要使筛子振
驱
幅增大，就得使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使
偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有
周期增大．正确选项为A
【例3】(多选)(2021·浙江1月选考·15)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技
术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示
则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
【答案】 AD
【解析】 根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果
效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能
不同，A正确； 当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最
大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击结束后，树干
做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，所以粗细不同的树干频率不同，C错误；
树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的
振动频率相同，D正确．
类型2 共振曲线的应用
【例1】（2023·全国·模拟预测）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司动力频率f的关系图线）如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．此单摆的固有周期约为2 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率减小
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
E．此单摆的振幅是8 cm
【答案】ABC
【详解】A．由共振曲线知，此单摆的固有频率为0.5Hz，固有周期为2s，A正确；
B．由单摆的周期公式 ，可得此单摆的摆长约为1m，B正确；
CD．若摆长增大，则单摆的固有周期增大，固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动，C
正确，D错误；
E．此单摆做受迫振动，只有共振时的振幅最大，为8cm，E错误。
故选ABC。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）同一地点，甲、乙单摆在驱动力作用下振动，其振
幅A随驱动力频率f变化的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．若驱动力的频率为f，乙单摆振动的频率大于f
0 0
B．若驱动力的频率为f，乙单摆振动的频率等于f
0 0
C．若驱动力的频率为3f，甲、乙单摆振动的振幅相同
0
D．若驱动力的频率为3f，甲、乙单摆振动的频率均为3f
0 0
【答案】BD
【详解】ABD．当物体做受迫振动时，物体振动的频率等于驱动力的频率，故A错误，
BD正确；
C．受迫振动物体的固有频率与驱动力频率越接近，振幅越大，由图可知，甲的固有频率
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司是f，乙的固有频率是2f，若驱动力的频率为3f，甲单摆振动的振幅小于乙单摆振动的振
0 0 0
幅，故C错误。
故选BD。
【例3】（2022·高三课时练习）正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω 匀速转动时，机器
0
的振动并不强烈；切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强
烈的振动；此后，飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱。在机器停下来之后，若重
新启动机器使飞轮转动的角速度从0较慢地增大到ω，在这一过程中（ ）
0
A．机器不一定会发生强烈振动
B．机器一定会发生强烈振动
C．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度为ω
0
D．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度肯定小于ω
0
【答案】BD
【详解】AB．飞轮以角速度ω 转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的
0
振动，说明此过程机器的固有频率与驱动频率相等达到了共振，当飞轮转动的角速度从0
较缓慢地增大到ω，在这一过程中，一定会出现机器的固有频率与驱动频率相等即达到共
0
振的现象，机器一定还会发生强烈的振动，故A错误，B正确；
CD．由已知当机器的飞轮以角速度ω 匀速转动时，其振动不强烈，则机器若发生强烈振
0
动，强烈振动时飞轮的角速度肯定小于ω，故C错误，D正确。
0
故选BD。
类型3 “驱动摆”的分析
【例1】（2022·高三课时练习）如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆
长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，
使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，
则（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．a、b、c单摆的固有周期关系为T=T
