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专题14 振动与波、光学计算题
目录
01.题型综述................................................................错误: 引用源未找到
02.解题攻略................................................................错误: 引用源未找到
题组01 机械振动的方程、对称性及能量.............................................................................................1
题组02 机械波的形成、多解以及叠加...................................................................................................6
题组03 光的折射与全反射.....................................................................................................................13
03.高考练场..............................................................................25
高考对于本部分内容要求考生熟练掌握简谐运动各物理量的特点和规律、机械波的传播规律和特点。能
根据振动和波动图像分析质点的振动和波动特点。考察方式多以波的多解以及干涉为载体。光作为一种特
殊的波在高考中每年都会涉及，要去考生能利用光的折射和全反射规律解决光的传播问题。会分析几何光
学与物理光学的综合问题。
题组01 机械振动的方程、对称性及能量
【提分秘籍】
1．简谐运动的规律
规律
x＝Asin(ωt＋φ)
图像
反映同一质点在各个时刻的位移
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x 的大小成正比，方向相反
运动特征
靠近平衡位置时，a、F、x 都减小，v 增大；远离平衡位置时，a、
F、x 都增大，v 减小
能量特征
振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统
热点题型·计算题攻略
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的机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化
周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其
变化周期为
对称性特征
关于平衡位置O 对称的两点，加速度的大小、速度的大小、相对平
衡位置的位移大小相等；动能、势能相等
2.单摆
(1)单摆周期公式T＝2π
①g 为当地重力加速度，在地球上不同位置g 的取值不同，不同星球表面g 值也不相同。
②单摆处于超重或失重状态时等效重力加速度g0＝g±a。在近地轨道上运动的卫星加速度a＝g，为完全失
重，等效重力加速度g0＝0。
(2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F 与位移x 的方
向相反。(如图所示)
①当摆球在最高点时，F 向＝＝0，FT＝mgcos θ。
②当摆球在最低点时，F 向＝，F 向最大，FT＝mg＋m。
【典例剖析】
【例1-1】（2025 高三上·河南·期中）如图所示，一列简谐横波沿
轴传播，实线为
时刻的波形图，虚
线为
时刻的波形图。
时刻，质点
正沿
轴负方向运动，从
时刻开始到
时刻这
段时间内，质点
共两次经过平衡位置，且
时刻和
时刻质点
在同一位置，求：
(1)试确定质点
的平衡位置坐标及该列波的传播速度；
(2)写出质点
的振动方程。
【例1-2】．（2025 高三上·安徽马鞍山·期中）如图所示，两个完全相同的轻弹簧竖直固定在水平地面上，
2
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两弹簧均处于原长状态，弹簧的劲度系数k=150N/m。质量为ma=2kg 的小球a 从弹簧A 上端开始，以某一
初速度竖直向上运动，质量为mb=1.5ma的小球b 从弹簧B 上端开始静止下落。已知两小球下落到最低点时
两弹簧的压缩量相同，两小球均与弹簧不栓接，重力加速度g=10m/s2，不考虑空气阻力。
(1)求小球a 相对于出发点上升的最大高度h；
(2)已知小球a 与弹簧接触过程中，从最低点上升到加速度为0 时所用最短时间t=0.18s，求小球a 运动的周
期T。
【例1-3】．（2025 高三上·安徽·开学考试）如图所示，半径很大的光滑球面固定在水平桌面上，小球甲从
球面上的A 点由静止释放，在球面上
之间来回运动，已知
远小于球面的半径，当甲从A 点释放时，
同时在球面上的最低点
以某一初速度竖直上抛小球乙，经过时间小球乙恰好第一次下落至
点且与甲
球相碰，此时小球甲第5 次通过
点。已知重力加速度为
，不计空气阻力，两小球均可视为质点。求：
(1)小球乙的初速度
；
(2)光滑球面的半径
。（保留
）
题组02 机械波的形成、多解以及叠加
【提分秘籍】
形成条件
(1)波源；(2)传播介质，如空气、水等
传播特点
(1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置
附近做简谐运动，并不随波迁移
(2)介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同
(3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零
(4)一个周期内，波向前传播一个波长
波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的
3
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位移
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位
移
波长、波速和频率
(周期)的关系
(1)v＝λf；(2)v＝
波的叠加
(1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件
为Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)，振动减弱的条件为Δx＝(2n＋1)(n＝
0,1,2，…)
(2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1＋A2
波的多解问题
由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题
【典例剖析】
【例2-1】（2024·四川泸州·一模）图甲是一列简谐横波在
时刻的波形图，此时波恰好传到
处，
P 是平衡位置
的质点，Q 是平衡位置
的质点。已知
时，Q 质点第一次处于波谷状态，
求：
(1)波在介质中的传播速度；
(2)在乙图中画出Q 质点的振动图像（画一个完整周期的图像）；
(3)从
时刻开始到Q 质点经历的路程
时，求此时刻P 质点的位移大小。
【例2-2】（2025 高三上·江西·阶段练习）如图所示，一列横波沿x 轴方向传播，实线表示某时刻的波形图，
虚线表示
后的波形图，则该波在介质中传播的速度可能是多少？
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【例2-3】．（2025·全国·模拟预测）如图所示，坐标轴
轴上的
点和
点有两个相同的波源，
两波源同时向平面内产生振幅为
、频率为
的简谐横波，起振方向垂直纸面向上，
为矩形，当
从
沿
轴向上移动时，线段
上（包含
、
两点）两列波的加强点的数量随着
、
两点纵坐
标的变化而变化。当
时，
上恰好有5 个加强点（
、
点恰好为加强点）。
(1)求简谐横波的波速。
(2)求
上只有1 个加强点时
的取值范围。
【变式演练】
【变式2-1】（2025·四川成都·模拟预测）一简谐波的波源位于坐标原点，波源振动后
时第一次形成
如图所示的波形图。
(1)求该波的波长和传播速度大小
(2)在给出的坐标图上画出波在
时刻的波形图；
(3)求从
至
处的质点的运动路程。
【变式2-2】．（2025 高三上·江苏南通·期中）某波源S 发出一列简谐横波，波源S 的振动图像如图所示。
在波的传播方向上有A、B 两点，它们到S 的距离分别为45m 和55m。A、B 两点开始振动的时间间隔为
0.5s。求：
(1)这列波的波长λ；
(2)当B 点处于平衡位置时，A 点离开平衡位置的位移是多少？
【变式2-3】．（2025 高三上·江苏·阶段练习）一列简谐横波在介质中沿x 轴传播，O 和A 是介质中平衡位
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置分别为
和
处的两个质点，且两质点的振动情况始终相同，已知周期为
。
(1)求简谐波的波长；
(2)若O 和A 是相邻的两个质点，求波速。
【变式2-4】．（2025 高三上·广西·阶段练习）如图所示，一列简谐横波沿x 轴传播，实线为
时刻的波
形图，虚线为
时刻的波形图
时刻，质点P 正沿y 轴负方向运动，从
时刻开始到
时刻这段时间内，质点P 共两次经过平衡位置，且
时刻和
时刻质点P 在同一位置，求：
(1)试确定该列波传播的方向及传播速度大小；
(2)试确定质点P 的平衡位置坐标及从
时刻质点P 第一次到达到平衡位置需要的时间。
题组03 光的折射与全反射
【提分秘籍】
1．常用的三个公式：＝n，n＝，sin C＝。
2．折射率的理解
(1)折射率与介质和光的频率有关，与入射角的大小无关。
(2)光密介质指折射率较大的介质，而不是指密度大的介质。
(3)同一种介质中，频率越高的光折射率越大，传播速度越小。
3．求解光的折射和全反射问题的思路
(1)根据题意画出正确的光路图，特别注意全反射的临界光线。
(2)利用几何关系确定光路中的边、角关系。
(3)利用折射定律等公式求解。
(4)注意折射现象中光路的可逆性。
【典例剖析】
【例3-1】（2025·云南·模拟预测）如图甲是天然水晶制成的水晶球。如图乙是半径为R 的水晶球的一个截
面圆，AB 是截面圆的直径，某种单色细光束从C 点平行直径AB 射入水晶球，恰好从B 点射出水晶球，已
知CB 与直径AB 的夹角为θ，光在真空中的传播速度为c。求：
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(1)水晶球对此单色细光束的折射率；
(2)细光束在水晶球中的传播时间。
【例3-2】（2025 高三上·山东泰安·期中）如图为某长方体透明材料截面图，长为
，宽为
，一束单色光
斜射到上表面
点，反射光线和折射光线恰好垂直，折射光线经长方体侧面反射后射到下表面，所用时间
为
，光在真空中的传播速度为。求：
(1)单色光在透明材料上表面的入射角
；
(2)通过计算判断光能否从透明材料侧面射出。
【例3-3】（2025 高三上·江苏盐城·阶段练习）在2024 年巴黎奥运会中，中国游泳队取得了辉煌的成绩。
如图所示，游泳比赛的泳池（假设足够大）水深h = 2 m，在泳池底部中央有一标记物A，已知水的折射率
为
，角度很小时θ = sinθ = tanθ。求：
(1)若运动员在水面上A 正上方向下看，看起来A 在水下多深处？
(2)运动员在水面上能看到标记物的最大面积。
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【例3-4】一次“科技发明”活动中，小录同学制作了一种简易的测定某种液体介质折射率的仪器，如图
所示，地面上放置一不透光的圆柱形容器，容器直径为
，高为h，容器底部边缘处有一发光装置K，距
离容器右边
处固定一竖直光屏，光屏上的O 点与容器等高。将事先测好折射率的液体注满容器，然后在
光屏上光斑的下边缘刻上记号，标上该液体的折射率及对应刻度，再测某种待测液体的折射率时，直接读
数就行。在测量某种待测液体时，光屏上的光斑下边缘离地面高度为d。
(1)求该液体的折射率n；
(2)若容器中换装折射率更大的液体，这时光屏上对应的读数值会不会在O 点的下方？请说明理由。
【例3-5】如图甲所示，一同学在岸上不慎将手表甩落在正前方水深为2m 的泳池中，手表掉落在池底A 位
置，该同学趴在泳池岸边，眼睛在边缘O 处刚好看不到手表。O 点正下方池底为B 位置，池岸与水面的高
度差可忽略不计。已知真空中光速为c，光在泳池水中的传播速度为
，
。
(1)求手表到B 点的距离（结果保留一位小数）；
(2)在第（1）问基础上，若该同学蹲在O 点时沿图乙所示光路看到手表，
，请估算其蹲在O 点
时眼睛到泳池岸边的高度。
【变式演练】
【变式3-1】如图所示，一块足够大的平面镜与一块横截面为半圆形的玻璃砖平行放置，玻璃砖圆心为
O，半径为R，圆心O 点正下方P 点可向平面镜发出单色细光束，P 点到B 点的距离为R。调整光束方向，
可使得光线经平面镜反射后进入玻璃砖，恰好从沿垂直于玻璃砖直径AB 的方向射出，且射出点为OA 中点
D。已知玻璃砖对该光的折射率为
。求：
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(1)光线进入玻璃砖时的入射角；
(2)平面镜与玻璃砖直径AB 之间的距离。
【变式3-2】如图所示，直角棱镜ABC 置于空气中，
，AB 边长为4a．一束单色光从AB 边中点F
处以入射角
射入，光线垂直于BC 射出。已知真空中光速为c，求：
(1)棱镜的折射率n；
(2)单色光通过棱镜的时间t。
【变式3-3】如图，一新款景观灯的灯柱主体是一个由透明材质做成的边长为
的正方体
，
其底面
不透光。将一单色点光源置于此正方体的底面中心
点处时正方体的上表面
刚好全
部有光透出。不考虑光在正方体灯柱内部的反射。
(1)求该种透明材质对此单色光的折射率
；
(2)若将此点光源安装在正方体中心
点处，求此正方体外表面有光透出的总面积。
【变式3-4】如图所示是一光导纤维（可简化为一长直玻璃丝）的示意图，玻璃丝长为L，折射率为n（
），AB 代表端面，为使光能从玻璃丝的AB 端面传播到另一端面，求光在端面AB 上的入射角θ 应
满足的条件。
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【变式3-5】某同学用大头针、三角板、量角器等器材测半圆形玻璃砖的折射率。开始玻璃砖的位置如图
中实线所示，使大头针
与圆心
在同一直线上，该直线垂直于玻璃砖的直径边，然后使玻璃砖绕圆
心
缓慢转动，同时在玻璃砖的直径边一侧观察
、
的像，且
的像挡住
的像。如此观察，当玻璃砖
转到图中虚线位置时，上述现象恰好消失。此时只需测量出哪些物理量，即可计算出玻璃砖的折射率，请
用你测量的量表示出折射率。
【变式3-6】光线从空气射入
圆形玻璃砖表面的M 点后，最后在玻璃砖内表面E 点恰好发生全反射。已
知
圆形玻璃砖的半径为R，折射率为
，入射角
；光在空气中的传播速度为c；求：
(1)折射角r；
(2)光从M 点传播到E 点所经历的时间。
1．（2023·全国·高考真题）分别沿x 轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q 的振动方向相同,振幅均为
5cm，波长均为8m，波速均为4m/s。
时刻，P 波刚好传播到坐标原点,该处的质点将自平衡位置向下
振动；Q 波刚好传到
处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
（1）在答题卡给出的坐标图上分别画出P、Q 两列波在
时刻的波形图（P 波用虚线，Q 波用实线）；
（2）求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
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2．（2021·海南·高考真题）一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0 ~
4s 内的振动图像如图（a）所示，已知波的传播速度为0.5m/s。
（1）求这列横波的波长；
（2）求波源在4s 内通过的路程；
（3）在图（b）中画出t = 4s 时刻的波形图。
3．（2021·全国·高考真题）均匀介质中质点A、B 的平衡位置位于x 轴上，坐标分别为0 和xB=16cm。某简
谐横波沿x 轴正方向传播，波速为v=20cm/s，波长大于20cm，振幅为A=1cm，且传播时无衰减。t=0 时刻
A、B 偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔△t=0.6s 两者偏离平衡位置的位
移大小相等、方向相同。已知在t1时刻（t1>0），质点A 位于波峰。求
（1）从t1时刻开始，质点B 最少要经过多长时间位于波峰；
（2）t1时刻质点B 偏离平衡位置的位移。
4．（2020·全国·高考真题）一振动片以频率f 做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触
动水面上a、b 两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c 是水面上的一点，a、b、c 间的距
离均为l，如图所示。已知除c 点外，在ac 连线上还有其他振幅极大的点，其中距c 最近的点到c 的距离为
。求：
（i）波的波长；
（ii）波的传播速度。
5．（2024·山东·高考真题）某光学组件横截面如图所示，半圆形玻璃砖圆心为O 点，半径为R；直角三棱
镜FG 边的延长线过O 点，EG 边平行于AB 边且长度等于R，∠FEG=30°。横截面所在平面内，单色光线
以θ 角入射到EF 边发生折射，折射光线垂直EG 边射出。已知玻璃砖和三棱镜对该单色光的折射率均为
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1.5。
（1）求sinθ；
（2）以θ 角入射的单色光线，若第一次到达半圆弧AMB 可以发生全反射，求光线在EF 上入射点D（图中
未标出）到E 点距离的范围。
6．（2024·宁夏四川·高考真题）一玻璃柱的折射率
，其横截面为四分之一圆，圆的半径为R，如图
所示。截面所在平面内，一束与AB 边平行的光线从圆弧入射。入射光线与AB 边的距离由小变大，距离为
h 时，光线进入柱体后射到BC 边恰好发生全反射。求此时h 与R 的比值。
7．（2023·山东·高考真题）一种反射式光纤位移传感器可以实现微小位移测量，其部分原理简化如图所示。
两光纤可等效为圆柱状玻璃丝M、N，相距为d，直径均为
，折射率为n（
）。M、N 下端横截面
平齐且与被测物体表面平行。激光在M 内多次全反射后从下端面射向被测物体，经被测物体表面镜面反射
至N 下端面，N 下端面被照亮的面积与玻璃丝下端面到被测物体距离有关。
（1）从M 下端面出射的光与竖直方向的最大偏角为
，求
的正弦值；
（2）被测物体自上而下微小移动，使N 下端面从刚能接收反射激光到恰好全部被照亮，求玻璃丝下端面
到被测物体距离b 的相应范围（只考虑在被测物体表面反射一次的光线）。
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8．（2023·全国·高考真题）如图，一折射率为
的棱镜的横截面为等腰直角三角形
，
，
BC 边所在底面上镀有一层反射膜。一细光束沿垂直于BC 方向经AB 边上的M 点射入棱镜，若这束光被
BC 边反射后恰好射向顶点A，求M 点到A 点的距离。
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