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热点题型·计算题攻略
专题 15 力学综合题
目录
01.题型综述................................................................错误: 引用源未找到
02.解题攻略................................................................错误: 引用源未找到
题组01 匀变速直线运动规律的应用.....................................................................................................1
题组02 牛顿运动定律的综合应用.........................................................................................................6
题组03 应用动能定理求解多过程问题...............................................................................................17
题组04 机械能守恒定律的综合应用...................................................................................................24
题组05 动量观点与能量观点的综合应用...........................................................................................28
03.高考练场 ..............................................................................42
高考力学计算题思维含量大，但解决问题是有章可循的。
(1)仔细审题，明确题意。审题时要慢、要仔细，尤其要注意一些重要的关键字眼。
(2)计算题一般有二到三问，难度是层层递进的，从感觉最熟悉、最有把握的子过程或图像的物理意义切入，
对研究对象进行受力或运动情况分析，列方程，进而结合题述向前或向后分析其他过程，逐渐扩大“战
场”，步步为营，可化难为易。
(3)可把复杂的问题分解为一个个具体的小问题，充分利用各种手段，把物理情境分析清楚，建立物理模型，
各个击破。
(4)遇到难以突破的，可尝试从不同角度分析。比如某些变力问题，从动力学角度不好突破，可以尝试从能
量转换角度、动量角度等进行分析。
题组 01 匀变速直线运动规律的应用
【提分秘籍】
求解匀变速直线运动问题的一般思路
①准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段的运动示意图，直观呈现物体的运动过程．
②明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量以及中间量．
③合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程，同时列出物体各阶段间的关联方程．(2)追及、相遇或避免碰撞等问题的解题思路
画出运动过程示意图；找出时间关系、速度关系、位移关系并列出方程.
【典例剖析】
【例1-1】（2025·广西·模拟预测）有一列动车从静止状态开始做匀变速直线运动。此时，有一位同学安全
站立在第一节车厢前端的站台前进行观察，当第一节车厢通过这位同学时，历时3s，接下来剩余的车厢通
过这位同学，又历时12s，在此过程中，忽略车厢之间的距离，且车厢的长度是相等的。求：
(1)这列火车共有多少节车厢？
(2)过程中第5节至第9节连续5节车厢经过该同学需要多长时间？
【例1-2】（2025高三上·山东临沂·期中）某无人机 时刻从地面由静止开始竖直向上先做匀加速直线运
动，一段时间后再做匀减速直线运动，当 时速度减为零到达最高点。下表记录了不同时刻无人机
的速度大小，求
时刻 （s） 0 2 4 6 8 10
速度 （m/s） 0 4.0 8.0 12.0 12.5 2.5
(1)无人机运动过程中的最大速度 ；
(2)无人机到达最高点时离地的高度 。
【例1-3】（2025高三·河北石家庄·期中）图甲所示为一种自动感应门，其门框上沿的正中央安装有传感器，
传感器可以预先设定一个水平感应距离，当人或物体与传感器的水平距离小于或等于水平感应距离时，中
间的两扇门分别向左右平移。当人或物体与传感器的距离大于水平感应距离时，门将自动关闭。图乙为该
感应门的俯视图，O点为传感器位置，以O点为圆心的虚线圆半径是传感器的水平感应距离，已知每扇门
的宽度为d，运动过程中的最大速度为 ，门开启时先做匀加速运动而后立即以大小相等的加速度做匀减
速运动，当每扇门完全开启时的速度刚好为零，移动的最大距离为d，不计门及门框的厚度。
（1）求门从开启到单扇门位移为d的时间 ；
（2）若人以 的速度沿图乙中虚线AO走向感应门，人到达门框时左右门分别向左向右移动的距离不小
于 ，那么设定的传感器水平感应距离R至少应为多少？
【变式演练】
【变式1-1】．（2025高三上·云南昆明·阶段练习）一质点做匀加速直线运动，若在某段时间内，质点速度
增加10m/s，位移为20m；紧接着质点速度再增加10m/s的时间内，质点的位移为40m。求该质点的加速
度大小。
【变式1-2】．（2025高三上·山东东营·开学考试）如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距 ，某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时
，从2号锥筒运动到3号锥筒用时 。求该同学
(1)滑行的加速度大小；
(2)到达3号锥筒时的速度大小。
(3)最终停在哪两个锥筒之间。
【变式1-3】．纯电动汽车，它是完全由可充电电池提供动力的汽车，已有200年左右的悠久历史，由于
电池价格高、寿命短、充电时间长等原因，一直没有进入真正的民用领域。近年来由于新材料新技术的发
明改进，使得这种新能源车越来越受到大众的喜爱。如图所示是一辆电动汽车制动做匀减速直线运动时连
续经过的三点A、B、C。已知 ，AB段平均速度是 ，BC段平均速度是 ，求电动汽车
在A点的瞬时速率。
题组 02 牛顿运动定律的综合应用
【提分秘籍】
1.动力学基本问题的解题步骤
(1)明确研究对象：根据问题的需要和解题的方便，选择某个物体或某系统作为研究对象。
(2)受力分析：画好受力示意图，选择适当的处理方法求出合力或合力的表达式。
①合成法：合成法适用于受力个数较少(2个)的情况。
②正交分解法：正交分解法适用于各种情况，尤其是物体的受力个数较多(3个或3个以上)时。
(3)运动情况分析：画出运动示意图，明确物体的运动性质和运动过程，求出或设出物体的加速度。
(4)根据牛顿第二定律和运动学规律列式求解。
2．处理多过程动力学问题的“二分析一关键”
(1)“二分析”
①分析研究对象在每个过程的受力情况，并画出受力分析图；
②分析研究对象在每个阶段的运动特点。
(2)“一关键”
前一个过程的结束时刻和状态就是后一个过程的开始时刻和状态，明确两个过程的交接点速度不变往往是
解题的关键。
3.分析“板—块”模型的四点注意
(1)从速度、位移、时间等角度，寻找滑块与滑板之间的联系．
(2)滑块与滑板共速是摩擦力发生突变的临界条件．(3)滑块与滑板存在相对滑动的临界条件
①运动学条件：若两物体速度不等，则会发生相对滑动．
②力学条件：一般情况下，假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出一起运动的加速度，再用隔离法算
出滑块“所需要”的摩擦力F，比较F 与最大静摩擦力F 的关系，若F>F ，则发生相对滑动．
f f fm f fm
(4)滑块不从滑板上掉下来的临界条件是滑块到达滑板末端时，两者共速．
4.传送带的摩擦力分析
(1)关注两个时刻
①初始时刻：物体相对于传送带的速度或滑动方向决定了该时刻的摩擦力方向。
②物体与传送带速度相等的时刻：摩擦力的大小、方向或性质(滑动摩擦力或静摩擦力)可能会发生突变。
(2)注意过程分解
①摩擦力突变点是加速度突变点，也是物体运动规律的突变点，列方程时要注意不同过程中物理量莫混淆。
②摩擦力突变点对应的状态是前一过程的末状态，也是后一过程的初状态，这是两个过程的连接点。
(3)物体在倾斜传送上运动，物体与传送带速度相同后需比较tanθ与μ的大小关系：μ>tanθ，速度相等后一
起匀速；μ<tanθ，速度相等后物体的加速度向下，根据v与a的方向关系即可判定运动情况。
【典例剖析】
【例2-1】（2024·福建宁德·三模）如图甲所示，一质量为m=2kg的小物块从倾角α=37°的斜面上的A点由
静止开始滑下，最后停在水平面上的C点。已知小物块与斜面和水平面间的动摩擦因数相同，斜面与水平
面在B点处平滑连接，小物块滑过斜面与水平面连接处时无机械能损失。从滑块滑上水平面BC开始计时，
其运动的速度图像如图乙所示。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2。
(1)求物块与水平面间的动摩擦因数；
(2)求A、B两点间的距离。
【例2-2】传送带广泛应用于生产生活的多种场景。如图所示，足够长的传送带与长度 的滑板在同
一水平面紧密衔接，滑板右端装有厚度不计的挡板，滑板质量 。可视为质点的包裹从传送带左
端无初速度释放，一段时间后冲上滑板。已知包裹的质量 ，包裹与传送带的动摩擦因数 ，
包裹与滑板的动摩擦因数 ，滑板与台面的动摩擦因数 ，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，
不计包裹经过衔接处的机械能损失，重力加速度大小取 。(1)当传送带以速度 顺时针匀速运动时，求包裹与传送带因摩擦产生的热量及包裹相对于滑板滑
动的距离；
(2)为保证包裹不与滑板右端的挡板相撞，求传送带的最大速度。
【例2-3】（2025高三上·安徽·期中）如图所示，质量M = 1 kg、足够长的木板A静止在水平地面上，地面
与木板A之间的动摩擦因数μ = 0.2，在A的左端放置一质量m = 1 kg的铁块B（可视为质点），B与A间
1
的动摩擦因数μ = 0.6，现用一水平恒力F作用在B上，初始时木板A右端距O点（l = 9 m，当木板A右
2
端到达O点时撤去外力F。重力加速度取g = 10 m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。
(1)要保持A、B一起做匀加速运动，求力F的取值范围；
(2)若F = 10 N，求整个过程中铁块相对木板滑行的距离；
(3)若F = 12 N，求从初始到A、B都相对地面静止过程，整个系统产生的热量。
【变式演练】
【变式2-1】如图，倾角 的足够长光滑斜面固定，长 ，质量 的长木板下端靠着插
销置于斜面上，下端上表面放有一质量 的物块（视为质点），不可伸长的伸直细线一端连接物块，
一端栓在固定挡板上。零时刻拔去插销，0.9s末将细线剪断。已知物块与木板间的动摩擦因数 ，最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度 。
(1)求0.2s末细线对物块的拉力大小。
(2)求0.9s末长木板的速度大小。
(3)在木板下滑的过程中，系统产生的热量是多少。
【变式2-2】．（2025高三上·陕西咸阳·阶段练习）利用倾斜传送带可将货物向上运送，如图所示，传送带
与水平面夹角为θ，传送带沿顺时针匀速运行的速度为3 m/s，货物与传送带间的动摩擦因数为0.75，重力
加速度g取10 m/s2，不计货物的大小，tan37° = 0.75。
(1)要使货物由静止释放在传送带上后能随传送带向上运动，则θ应满足什么条件？
(2)当θ = 24°时，将货物由静止释放在传送带底端，货物运动到传送带顶端时恰好与传送带共速，则传送带的长度为多少（取sin24° = 0.4，cos24° = 0.9）
【变式2-3】．（2025高三上·四川雅安·阶段练习）如图所示，静止的粗糙传送带与水平面夹角为 ，
平行于传送带的轻绳一端连接质量为 的小物体A，另一端跨过光滑定滑轮连接质量为 的小
物体B，在外力的作用下，小物体A静止于传送带的顶端。 时，撤去外力，传送带以速度 顺
时针匀速转动； 时，小物体A到达传送带的底端。已知小物体A与传送带间的动摩擦因数为 ，
小物体B始终未与定滑轮相撞，重力加速度大小为g取 ，sin37°取 ，cos37°取 。求：
(1) 时，轻绳内张力T；
(2)传送带顶端到底端的长度L。
【变式2-4】．如图所示，长为 的传送带水平放置，并保持 的速度顺时针匀速转动，其右端与一
倾角 的斜面平滑相连，B为其最左端，斜面的长度 。一小滑块（可视为质点）在斜面顶点
处由静止释放，从A点进入传送带，在传送带上运动一段时间后恰好不从传送带左端滑落。已知滑块与斜
面间的动摩擦因数 ，滑块与传送带间的动摩擦因数 ， ， ，重力加
速度 ，忽略滑块经过A点时的能量损失。求：
（1）滑块由静止释放至第一次经过A点所用的时间t；
（2）传送带 段的长度 。
题组 03 应用动能定理求解多过程问题
【提分秘籍】
运用动能定理需注意的问题
(1)应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无需深究物体运动过程中状态变化的细节，只需考虑整个过
程的功及过程初末的动能．
(2)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待求出总功，计算时要把各力的功连同正负号一同代入公式.
【典例剖析】
【例3-1】如图所示为摩托车特技表演轨道示意图， 段为水平平台， 段为一壕沟， 段为位于竖
直平面内的圆弧轨道。运动员骑摩托车在 段加速后从B点水平飞出，越过壕沟后从C点沿切线进入圆
弧轨道 ，圆弧轨道的半径 与竖直方向的夹角为53°。若B、C两点的竖直高度差为 ，圆弧
轨道 的半径 ，运动员和摩托车总质量为 且可视为质点，通过圆弧轨道最低点D时
对轨道的压力大小为 ，取重力加速度 ， ， ，不计空气阻力。求：
(1)B、C两点间的水平距离；
(2)从C到D的过程中，运动员和摩托车克服摩擦力做的功。
【例3-2】（2025高三上·广东汕头·期中）如图所示，一小圆环A套在一条均匀直杆B上，A的质量为m，
B的质量为2m，它们之间的滑动摩擦力f = 0.5mg（g为所处区域的重力加速度），开始时A处于B的下端，
B竖直放置，在A的下方与A相距为h处，存在一个“相互作用”区域C，区域C的高度为d，固定在地面
上方的空中（如图划有虚线的部分），当A进入区域C时，A就受到一个方向竖直向上、大小F = 3mg的
恒力作用，区域C对直杆B不产生作用力，让A和B一起由静止开始下落，已知A首次进入区域C内运动
直到离开过程始终没有脱离直杆且直杆也没有碰到地面，不计空气阻力。
(1)若A从区域C下方离开“相互作用”区，求A离开区域C时的速度v的大小，并求高度d与h之间满足
的关系；
(2)若高度d分别取两个不同值 和 ，试求这两种不同情况下，直杆B的长度l分别应满足的条件。
【例3-3】（2025高三上·安徽·阶段练习）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角θ = 37°的直轨道AB，
半径R = 1 m、圆心角为2θ的圆弧BCD，半径为R、圆心角为θ的圆弧DE组成，轨道间平滑连接。质量
为m = 0.5 kg的物块从轨道AB上距B高度为h处静止释放，经圆弧轨道BCD滑上轨道DE。物块与轨道AB间的动摩擦因数μ = 0.5，圆弧轨道均光滑，物块可视为质点，取重力加速度g = 10 m/s2，sin37° = 0.6，
cos37° = 0.8。求：
(1)若h = 0.3 m，物块第一次通过C点时对轨道的压力大小；
(2)h为多少时物块刚好可以沿轨道运动到E点。
【变式演练】
【变式3-1】（2025高三上·福建泉州·期中）如图所示，水平轨道BC的右端与高度 固定光滑斜面
轨道AB在B点平滑连接，左端与一倾角为 的光滑斜面轨道CE在C点平滑连接，E处固定一劲度
系数 的轻质弹簧。一质量为 的滑块从A点由静止释放，经BC后滑上CE并压缩弹簧，
第一次可将弹簧压缩至D点。已知BC长为 ，滑块与BC的动摩擦因数 ，CD长为 ，
g取 ，弹簧的弹性势能满足公式 ，其中k为劲度系数，x为形变量。求：
(1)滑块第一次经过B点时的速率；
(2)滑块运动到的D点的加速度大小；
(3)滑块最终停在距B点多远的位置。
【变式3-2】．（2025高三上·宁夏银川·期中）如图，将一轻质弹簧水平放置在光滑水平面上，一端固定在
A点，另一端与质量为 的小球P接触但不拴连。若用外力缓慢推动P到某一位置时，撤去外力，P
被弹出运动一段时间后从B点水平飞出，恰好从固定在竖直面内的粗糙圆弧轨道上的C点以 的速
度沿切线进入圆弧轨道，并恰能经过圆弧轨道的最高点D。已知圆弧轨道的半径 ，O、C两点的连
线与竖直方向的夹角 。小球P视为质点，重力加速度g取 ， ， ，不
计空气阻力。求：(1)撤去外力时弹簧的弹性势能以及B、C两点的水平距离x；
(2)小球从C点运动到D点的过程中，轨道阻力做的功 。
【变式3-3】．（2025·四川成都·模拟预测）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角 的直轨道 ，
半径 、圆心角为 的圆弧 ，半径为 ，圆心角为 的圆弧 组成，轨道末端的 点为圆弧的
最高点，轨道间平滑连接。质量 的物块 从轨道 上高度 处以初速度 下滑，经圆弧轨
道 滑上轨道 。物块 与轨道 间的动摩擦因数 ，其余轨道光滑。（不计空气阻力，物块
视为质点， ， ， ）
(1)若初速度 ，求物块 第一次通过 点时速度大小 ；
(2)若初速度 ，求物块 在轨道 上运动的总路程 ；
(3)若物块 沿轨道 从 点滑出， 应满足什么条件？
题组 04 机械能守恒定律的综合应用
【提分秘籍】
一 机械能守恒定律的三种表达形式及注意问题
1．守恒观点
(1)表达式：E ＋E ＝E ＋E 或E＝E.
k1 p1 k2 p2 1 2
(2)注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔE＝－ΔE.
k p
(2)注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面．
3．转移观点
(1)表达式：ΔE ＝ΔE
A增 B减．(2)注意问题：A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而 B部分机械能的减
少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能．
二 应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)选取研究对象
(2)分析研究对象在运动过程中的受力情况，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒．
(3)选取零势能面，确定研究对象在初、末状态的机械能．
(4)根据机械能守恒定律列出方程．
(5)解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明．
【典例剖析】
【例4-1】（2025高三上·江苏南通·阶段练习）轻质弹簧一端固定在地面上，另一端连接物体A，一轻绳跨
过定滑轮分别与A、B两物体相连接。手托着B，轻绳恰好伸直且无张力，由静止释放B后，A、B在竖直
方向运动，A、B均不会与滑轮和地面相碰。已知A、B质量分别为m、2m，弹簧劲度系数为k，原长为 ，
始终处于弹性限度内，重力加速度为g，不计阻力。求：
(1)刚释放B时弹簧的长度L；
(2)A运动中的最大速度v；
(3)B运动到最低点时的加速度大小a。
【变式演练】
【变式4-1】如图所示是为了检验某种防护罩承受冲击力的装置，M是半径为R＝1.0 m的固定在竖直平面
内的光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平．N为待检验的固定曲面，该曲面在竖直面内的截面为半径r＝ m
的圆弧，圆弧下端切线水平且圆心恰好位于M轨道的上端点．M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可
发射速度不同的质量为m＝0.01 kg的小钢珠．假设某次发射的钢珠沿轨道恰好能经过M的上端点，水平飞
出后落到曲面N的某一点上，取g＝10 m/s2.问：(1)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能E 多大？
p
(2)钢珠落到圆弧N上时的动能E 多大？(结果保留两位有效数字)
k
【变式4-2】如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是
半径为r＝0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看做重合的点．现有一可视为质点的小球
从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放．(g取10 m/s2)
(1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少多高？
(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h.
题组 05 动量观点与能量观点的综合应用
【提分秘籍】
1．动量守恒定律
表达式：mv ＋mv ＝mv′＋mv′；或p＝p′(系统相互作用前总动量p等于相互作用后总动量p′)；或Δp＝
1 1 2 2 1 1 2 2
0(系统总动量的增量为零)；或Δp ＝－Δp(相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量的增量大小相等、
1 2
方向相反)．
2．力学规律的选用原则
多个物体组成的系统：优先考虑两个守恒定律，若涉及碰撞、爆炸、反冲等问题时，应选用动量守恒定律，
然后再根据能量关系分析解决．
3.动量和能量综合问题的主要情境模型为：碰撞、滑块在滑板上滑动和爆炸．
(1)碰撞过程满足动量守恒并遵循碰撞后系统动能不增加、碰撞前后的运动情况要合理的原则．
(2)滑块放置在光滑水平地面的滑板上滑动时，滑块和滑板组成的系统满足动量守恒，滑块和滑板之间因摩
擦生热，故系统机械能减少，一般利用功能关系(即摩擦产生的热量等于系统动能的减少量)列方程求解.
【典例剖析】
【例5-1】（2024·安徽·模拟预测）如图所示，质量为3m、半径为R的四分之一光滑圆弧体b静止在光滑
的水平面上，圆弧面的最低点与水平面上的A点对齐，且与水平面相切，轻质弹簧的右端与静止的质量为
3m的物块c相连，左端与水平面上的B点对齐，AB部分长为R，弹簧处于原长，水平面仅A、B部分粗糙。
现将质量为m、可视为质点的物块a从圆弧面的最高点由静止释放，物块a与弹簧作用，第二次滑过AB段
后，恰好不再能滑上圆弧面。已知弹簧的形变在弹性限度内，重力加速度大小为g，不计空气阻力，求：(1)物块a从释放运动到圆弧面最低点时，圆弧体运动的距离为多少；
(2)物块a第一次运动到A点时速度多大；
(3)物块a与水平面AB部分间的动摩擦因数。
【例5-2】．（2025高三上·天津河西·阶段练习）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有
粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点。物块静止于小车最
左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置，
静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿小车上的轨道运动。已知细线
长L=1.25m。小球质量m=0.20kg。物块、小车质量均为M=0.30kg。小车上的水平轨道长s=1.0m。圆弧轨
道半径R=0.15m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取 。
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前，所受拉力的大小；
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围。
【例5-3】．（2025高三上·甘肃白银·阶段练习）在高度为h的光滑水平平台左侧竖直面内固定一光滑 圆
弧轨道，轨道与平台相切于最低点。平台右侧是一下挖深度为d的光滑水平槽，在水平槽上放置一个厚度
为d的长木板，长木板质量 ，长木板左端放置一个质量为m的小物块（可视为质点），如图。一质
量为 的小球从光滑 圆弧轨道最高点由静止释放，小球运动到平台后与长木板上的小物块发生弹性碰撞，
碰撞后小物块获得水平向右的速度 ，小球反弹后被立即拿走。当小物块在长木板上滑动到长木板最右端
时，小物块与长木板恰好达到共速，长木板右端到达平台边缘后立即被锁定，小物块水平飞出。已知重力
加速度为g，小物块与长木板间的动摩擦因数为 ，空气阻力不计。求：(1)光滑 圆弧轨道的半径R；
(2)长木板的长度；
(3)小物块落地点到平台边缘的水平距离。
【例5-4】（2025高三上·重庆北碚·阶段练习）如图所示，表面光滑的水平轨道左端与长L = 1.25 m的水平
传送带平滑相接，传送带以v = 1 m/s的恒定速率逆时针匀速运动。水平轨道右侧的竖直墙上固定一轻弹
0
簧，现用质量m = 0.1 kg的小物块（可视为质点）将弹簧向右压缩到某一位置（弹簧处于弹性限度范围
内），由静止开始释放小物块，小物块到达水平传送带左端B点后，立即沿切线进入固定的竖直光滑半圆
轨道最高点，并恰好沿半径R = 0.4 m的半圆轨道做圆周运动，最后经圆周最低点C，滑上质量为M = 0.9
kg的长木板上，若物块与传送带间动摩擦因数μ = 0.8，物块与木板间动摩擦因数μ = 0.25，g取10
1 2
m/s2。求：
(1)小物块到达B点时速度v 的大小；
B
(2)小物块刚滑上水平传送带A点时的动能E；
k
(3)若木板和地面之间动摩擦因数μ < 0.025，要使小物块恰好不会从长木板上掉下，则木板长度s与木板和
3
地面之间动摩擦因数μ 应满足什么关系（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。
3
【变式演练】
【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）如图所示，光滑曲面末端水平，固定于水平面上。曲面右侧紧靠一足
够长的木板C，木板上表面粗糙，与曲面末端等高，下表面光滑，木板右侧有一竖直墙壁 P。物块A置于
曲面距末端高h = 0.2 m处，物块B置于木板左端。已知物块A、B均可视为质点，质量均为6 kg，长木板
C的质量为2 kg，B、C间的动摩擦因数μ = 0.1，取g = 10 m/s2。物块A由静止释放，与B发生弹性碰撞
（不考虑物块A的后续运动），之后C与B第一次共速时恰好与墙壁P发生碰撞，碰后C被原速率弹回，
所有碰撞时间均极短。求：
(1)物块A、B碰后瞬间，B的速度大小；
(2)木板C初始位置右端与墙壁P的距离；
(3)木板C从与墙壁P第4次碰撞前瞬间到木板C与物块B第5次共速瞬间的时间间隔；
(4)从木板C开始运动到停止运动的总路程。【变式5-2】．（2025高三上·四川成都·阶段练习）如图所示为某一游戏装置的示意图。装置由水平传送带、
竖直光滑圆轨道、水平轨道组成，水平直轨道BC、EF相接于C、E两点，C与E前后略错开，可视为质
点的物块能从C点进入圆轨道内侧运动，轨道各部分平滑连接。已知传送带以v=6m/s的速度顺时针匀速
转动，AB两端距离L=5m，EF长L=1.8m，OM为水平地面，F点位于O点正上方H＝1.25m处。将质量
1 2
m＝0.2 kg物块从传送带左端A点静止释放，物块滑上竖直圆轨道后能经过最高点D并从E点进入水平轨
道EF，并从F点离开。物块与传送带AB、水平轨道EF之间的动摩擦因数均为μ＝0.25，BC部分光滑，
重力加速度g=10m/s2。求：
(1)物块从A点运动至B点的时间；
(2)物块在水平地面上的落点与O点的水平距离；
(3)圆轨道半径R需满足的条件。
(4)物块在AB段运动时，传送带对物块的作用力冲量大小。
【变式5-3】．（2025高三上·广东广州·阶段练习）如图所示，轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右侧有一
质量 、半径 的四分之一光滑圆弧轨道 （厚度不计）静置于水平地面上。圆弧轨
道底端 与水平面上的 点平滑相接， 为圆弧轨道圆心。用质量为 的物块把弹簧的右端压缩
到 点由静止释放（物块与弹簧不拴接），此时弹簧的弹性势能为 。已知B点左侧地面粗糙，物
块与地面之间的动摩擦因数为 ， 、 之间的距离为 ， 点右侧地面光滑， 取 。
(1)求释放后，物块在圆弧轨道能上升的最大高度 ；
(2)若该物块质量变为 ，物块到达 点时以 速度冲向圆弧轨道，求滑块在D点竖直速度
；
(3)在第（2）问基础上，当物块离开轨道 点时施加一垂直向里的瞬时冲量 ，同时锁定轨道让
其瞬间停下，求物块运动到最高点到 点的距离。（提示：立体空间问题）
【变式5-4】．（2025高三上·山东·阶段练习）如图所示，足够长的光滑水平面上有一个固定的光滑斜面，
斜面末端与水平面平滑连接。m = m = 3m = 3 kg，B的右端固定一个自由伸长的轻弹簧，B、C分开一定
B C A
的距离静止于水平面。从距离地面高0.8 m处静止释放A物块。此后A、B分开后（A脱离弹簧），B、C碰撞并粘在一起。已知弹簧一直在弹性限度之内，重力加速度g = 10 m/s2。求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)物块A全过程损失的机械能。
【变式5-5】．（2025高三上·陕西汉中·阶段练习）如图，质量 的轨道静止在光滑水平面上，轨道
水平部分上表面粗糙、竖直半圆形部分的表面光滑、半径 ，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的
最高点。初始时质量 的小物块静置在轨道最左端，与轨道水平部分间的动摩擦因数为 ，最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取 。
(1)若轨道固定，物块沿轨道运动到Q点时速度为3m/s，求此时物块对轨道的压力大小；
(2)若轨道不固定，给物块施加方向水平向右、大小为8N的推力F，当物块到达P点时立即撤去F，物块恰
能到达轨道上与圆心O点等高处，求物块最终速度v的大小。
1．（2024·广西·高考真题）如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距 ，
某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时 ，从2号锥筒运动到
3号锥筒用时 。求该同学
（1）滑行的加速度大小；
（2）最远能经过几号锥筒。
2．（2024·宁夏四川·高考真题）为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从 时由静止开
始做匀加速运动，加速度大小 ，在 时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止
鸣笛， 时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速 ，求：
（1）救护车匀速运动时的速度大小；（2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。
3．（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于轨
道最低点的小球A施加水平向左的瞬时冲量I，A沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B正碰
并粘在一起。已知I = 1.8 Ns，A、B的质量分别为m = 0.3 kg、m = 0.1 kg，轨道半径和绳长均为R = 0.5
A B
m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
∙
(1)与B碰前瞬间A的速度大小；
(2)A、B碰后瞬间轻绳的拉力大小。
4．（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度 的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右
端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离
时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的
质量相等。它们之间的动摩擦因数 ，重力加速度大小 。求
（1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；
（2）平台距地面的高度。
5．（2024·江苏·高考真题）如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为μ，倾角为θ，斜面长为L。一个质量为m
的物块(可视为质点）在电动机作用下，从斜面底端 A点由静止加速至 B点时达到最大速度v，之后做匀
速运动至C点，关闭电动机，物块恰好到达最高点D。重力加速度为g，不计电动机消耗的电热。求：
（1）CD段长x；
（2）BC段电动机的输出功率P；
（3）全过程存储的机械能E 和电动机消耗的总电能 E 的比值。
1 2
6．（2024·广东·高考真题）汽车的安全带和安全气囊是有效保护乘客的装置。（1）安全带能通过感应车的加速度自动锁定，其原理的简化模型如图甲所示。在水平路面上刹车的过程
中，敏感球由于惯性沿底座斜面上滑直到与车达到共同的加速度a，同时顶起敏感臂，使之处于水平状态，
并卡住卷轴外齿轮，锁定安全带。此时敏感臂对敏感球的压力大小为F ，敏感球的质量为m，重力加速度
N
为g。忽略敏感球受到的摩擦力。求斜面倾角的正切值 。
（2）如图乙所示，在安全气囊的性能测试中，可视为质点的头锤从离气囊表面高度为H处做自由落体运
动。与正下方的气囊发生碰撞。以头锤到气囊表面为计时起点，气囊对头锤竖直方向作用力F随时间t的
变化规律，可近似用图丙所示的图像描述。已知头锤质量 ，重力加速度大小取
。求：
①碰撞过程中F的冲量大小和方向；
②碰撞结束后头锤上升的最大高度。
7．（2024·贵州·高考真题）如图，半径为 的四分之一光滑圆轨道固定在竖直平面内，其末端与水
平地面 相切于P点， 的长度 。一长为 的水平传送带以恒定速率 逆时针转
动，其右端与地面在M点无缝对接。物块a从圆轨道顶端由静止释放，沿轨道下滑至P点，再向左做直线
运动至M点与静止的物块b发生弹性正碰，碰撞时间极短。碰撞后b向左运动到达传送带的左端N时，瞬
间给b一水平向右的冲量I，其大小为 。以后每隔 给b一相同的瞬时冲量I，直到b离开传送
带。已知a的质量为 的质量为 ，它们均可视为质点。a、b与地面及传送带间的动摩擦
因数均为 ，取重力加速度大小 。求：
(1)a运动到圆轨道底端时轨道对它的支持力大小；
(2)b从M运动到N的时间；
(3)b从N运动到M的过程中与传送带摩擦产生的热量。
8．（2024·重庆·高考真题）如图所示，M、N两个钉子固定于相距a的两点，M的正下方有不可伸长的轻
质细绳，一端固定在M上，另一端连接位于M正下方放置于水平地面质量为m的小木块B，绳长与M到
地面的距离均为10a，质量为2m的小木块A，沿水平方向于B发生弹性碰撞，碰撞时间极短，A与地面间
摩擦因数为 ，重力加速为g，忽略空气阻力和钉子直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时的机械能损失。(1)若碰后，B在竖直面内做圆周运动，且能经过圆周运动最高点，求B碰后瞬间速度的最小值；
(2)若改变A碰前瞬间的速度，碰后A运动到P点停止，B在竖直面圆周运动旋转2圈，经过M正下方时细
绳子断开，B也来到P点，求B碰后瞬间的速度大小；
(3)若拉力达到12mg细绳会断，上下移动N的位置，保持N在M正上方，B碰后瞬间的速度与（2）问中的
相同，使B旋转n圈。经过M正下的时细绳断开，求MN之间距离的范围，及在n的所有取值中，B落在
地面时水平位移的最小值和最大值。
9．（2024·浙江·高考真题）一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的
光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接。长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定凹槽
EFGH侧壁EF放置，平板上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从A端弹射，经过轨道BCD后滑
上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定。已知R=0.5 m，d=4.4 m，L=1.8 m，M=m=0.1 kg，平
板与滑块间的动摩擦因数μ=0.6、与凹槽水平底面FG间的动摩擦因数为μ。滑块视为质点，不计空气阻
1 2
力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度 。
（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时，求滑块离开弹簧时速度v 的大小；
0
（2）若μ=0，滑块恰好过C点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
2
（3）若μ=0.1，滑块能到达H点，求其离开弹簧时的最大速度v 。
2 m
10．（2024·海南·高考真题）某游乐项目装置简化如图，A为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，半径
，滑梯顶点a与滑梯末端b的高度 ，静止在光滑水平面上的滑板B，紧靠滑梯的末端，并与
其水平相切，滑板质量 ，一质量为 的游客，从a点由静止开始下滑，在b点滑上滑板，
当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行 停下。游
客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦系数均为 ，忽略空气阻力，重力加速度 ，
求：
（1）游客滑到b点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度L11．（2024·甘肃·高考真题）如图，质量为2kg的小球A（视为质点）在细绳 和OP作用下处于平衡状
态，细绳 ，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6kg的木板B静止在光滑水平面上，质量
为2kg的物块C静止在B的左端。剪断细绳 ，小球A开始运动。（重力加速度g取 ）
（1）求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力。
（2）A在最低点时，细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞（时间极短）、碰后A竖直下落，C水平
向右运动。求碰后C的速度大小。
（3）A、C碰后，C相对B滑行4m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。
12．（2024·山东·高考真题）如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面
粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置
在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部
分的半径 ，重力加速度大小 。
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物
块在Q点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应
关系如图乙所示。
（i）求μ和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力 ，当小物块到P点时撤去
F，小物块从Q点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。
13．（2024·湖北·高考真题）如图所示，水平传送带以5m/s的速度顺时针匀速转动，传送带左右两端的距
离为 。传送带右端的正上方有一悬点O，用长为 、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.2kg的小球，
小球与传送带上表面平齐但不接触。在O点右侧的P点固定一钉子，P点与O点等高。将质量为0.1kg的
小物块无初速轻放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块的速度大小为 、方向水平向左。小球碰后绕O点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕P点向上运
动。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小 。
（1）求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小；
（2）求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能；
（3）若小球运动到P点正上方，绳子不松弛，求P点到O点的最小距离。
14．（2024·安徽·高考真题）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光
滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用
不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，
小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长 。
小球质量 。物块、小车质量均为 。小车上的水平轨道长 。圆弧轨道半径
。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取 。
（1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
（2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
（3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数 的取值
范围。
15．（2024·辽宁·高考真题）如图，高度 的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量
。A、B间夹一压缩量 的轻弹簧，弹簧与A、B不栓接。同时由静止释放A、B，
弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程 ；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距
离 后停止。A、B均视为质点，取重力加速度 。求：
（1）脱离弹簧时A、B的速度大小 和 ；
（2）物块与桌面间的动摩擦因数μ；
（3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能 。16．（2024·湖南·高考真题）如图，半径为R的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为m 和m 的小球A和
A B
B（m >m ）。初始时小球A以初速度v 沿圆环切线方向运动，与静止的小球B发生碰撞。不计小球与圆环
A B 0
之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。
（1）若小球A与B碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小；
（2）若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量
比 。
（3）若小球A与B之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e倍
（0<e<1） ，求第1次碰撞到第2n+1次碰撞之间小球B通过的路程。
17．（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角 的直轨道 ，半径
的圆弧轨道 ，长度 、倾角为 的直轨道 ，半径为R、圆心角为 的圆弧管道 组成，
轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量 滑块b，其上表面与轨道末端F
所在的水平面平齐。质量 的小物块a从轨道 上高度为h静止释放，经圆弧轨道 滑上轨道
，轨道 由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数 ，向下运动时动摩擦因数
，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为 ，小物块a
运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，
， ）
（1）若 ，求小物块
①第一次经过C点的向心加速度大小；
②在 上经过的总路程；
③在 上向上运动时间 和向下运动时间 之比。（2）若 ，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
