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第 40 讲 空间几何体的表面积与体积
【基础知识全通关】
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的
面积之和。计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和。棱柱、棱锥、棱台底
面与侧面的形状如下表：
项目
底面 侧面
名称
棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高
棱锥 平面多边形 三角形
面积= ·底·高
棱台 平面多边形 梯形
面积= ·（上底+下底）·高
【点石成金】
求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求
多面体的表面积．
二、圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把
它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．
1．圆柱的表面积
（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为 r，母线
长 ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长 C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长 （也是
高），由此可得S =C =2πr ．
圆柱侧
（2）圆柱的表面： ．
2．圆锥的表面积
（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面
半径为r，母线长为 ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长 C=πr，半径等于圆锥侧面
的母线长为 ，由此可得它的侧面积是 ．
（2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr ．3．圆台的表面积
（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、
下底面半径分别为r＇、r，母线长为 ，那么这个扇环的面积为π(r＇+r) ，即圆台的侧
面积为S =π(r＇+r) ．
圆台侧
（2）圆台的表面积： ．
【点石成金】
求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，
但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．
4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．
三、柱体、锥体、台体的体积
1．柱体的体积公式
棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V =Sh．
棱柱
圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V =Sh=πr2h．
圆柱
综上，柱体的体积公式为V=Sh．
2．锥体的体积公式
棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积 ．
圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积 ；如果底面积半
径是r，用πr2表示S，则 ．
综上，锥体的体积公式为 ．
3．台体的体积公式
棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为 S＇、S，高是h，那么它的体积是．
圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是
．
综上，台体的体积公式为 ．
4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．
四、球的表面积和体积
1．球的表面积
（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．
（2）球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积公式 S =4πR2．
球
即球面面积等于它的大圆面积的四倍．
2．球的体积
设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．
球的体积公式为 ．
五、侧面积与体积的计算
1．多面体的侧面积与体积的计算
在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几
何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形
（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分
的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．
（1）棱锥平行于底的截面的性质：
在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：
对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．
【点石成金】
这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体
的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．
（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与
底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：
S =C （其中C 、 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），
棱柱侧 直截 直截
V =S （其中S 、 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）．
棱柱 直截 直截
2．旋转体的侧面积和体积的计算
（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形
式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的
关键．
（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运
用多面体的有关问题的关键．
【考点研习一点通】
考点01简单几何体的表面积
例1．已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧
面积和表面积．
【点拨】利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式。
【答案】32 cm2 48cm2
【解析】如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE．
∵OE=2 cm，∠OPE=30°，∴ ．
因此 ，
S =S +S =32+16=48（cm2）．
表面积 侧 底
【总结】 求正棱锥的侧面积的关键是求侧面等腰三角形的高（称为斜高），这就需要充分
利用棱锥的高、边心距（底面中心到各边的距离）和斜高所构成的直角三角形来求解．
【变式1-1】如右图，有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面三角形的三边长分别为
．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形
中，全面积最小的是一个四棱柱，则 的取值范围是 ．
【答案】 ．
【解析】底面积为 ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：
拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为 ，24a2+36, 24a2+32
由题意得 ，解得 ．
【总结】
（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个
底面的面积之和．
（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用
侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．
考点02简单几何体的体积
例2.如图，在长方体 中，已知 AD= =1，AB=2，点E是AB的中
点．
求三棱锥 的体积．
【点拨】（1） ；
【答案】
【解析】由长方体性质可得， ⊥平面DEC，
所以 是三棱锥 的高，
∴三棱锥 的体积
．
【总结】求几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用
公式求解．此类题目是新课标高考的热点，应引起重视．
【变式2-1】已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是
全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
【答案】
【解析】如右图所示，在三棱台ABC—A＇B＇C＇中，O＇、O分别为上、下底面的中心，
D、D＇分别是BC、B＇C＇的中点，则DD＇是梯形BCC＇B＇的高，所以 ．
又A＇B＇=20 cm，AB=30 cm，则上、下底面面积之和为
．
由S =S +S ，得 ，
侧 上 下
所以 ，
，
，
所以棱台的高
，
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
．
【总结】 注意构造简单几何体中的特殊三角形与特殊梯形，它们的数量关系往往是连接已
知与未知的桥梁，要注意利用．
考点03球的表面积与体积
例3．求体积为 的正方体的外接球的表面积和体积．
【答案】
【解析】如图所示，显示正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方
体任一面的球的截面，则其截面为圆内一正方形（正方形的各顶点均在圆内，而
不是在圆上）．因此，这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关系，注
意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面即
可．
如图，以正方体的对角面 作球的截面，则球心 为 的中点，设正方体的棱长
为 ，则 ，而【总结】正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内
切球和外接球的有关问题时，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图．
解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征，弄
清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包
含球和其他几何体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面
化的目的．
【变式3-1】如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF（底面正六边形
ABCDEF的中心为球心）．求：正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积．
【点拨】正六棱锥P—ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，求出正六边形的边长，
求出侧面斜高，即可求出正六棱锥的体积、侧面积．
【答案】
【解析】设底面中心为O，AB中点为M，连结PO、OM、PM、AO，
则PO⊥OM，OM⊥AF，PM⊥AF，
∵OA=OP=2，∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
【总结】考查空间想象能力，计算能力，能够得到底面积是大圆，求出斜高，本题即可解
决，强化几何体的研究，是解好立体几何问题的关键．
【考点易错】
1. 在正方体ABCD-A B C D 中，三棱锥A-BC D内切球 的表面积为 ，则正方体外接球
1 1 1 1 1 1
的体积为
A． B．36 C． D．【答案】B
【解析】设正方体的棱长为 ，则 ，
因为三棱锥 内切球的表面积为 ，
所以三棱锥 内切球的半径为1，
设 内切球的球心为 ， 到平面 的距离为 ，
则 ， ， ，
又 ，
，
又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，
正方体外接球的半径为 ，
其体积为 ，故选B．
2.表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是( )
A．12π B．8π
C． D．4π
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为a，因为表面积为24，即6a2＝24，得a ＝ 2，正方体的体对
角线长度为＝2， 所以正方体的外接球半径为r＝＝， 所以球的表面积为S＝4πr2＝12π.
3. 在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转
一周，则形成的旋转体的体积是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OA＝AB·cos 30°＝2×＝，所以旋转体的体积为π·()2·(OC－OB)＝.
4.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA＝
AB＝2，过BD作平面BDE与直线PA平行，交PC于点E.
(1)求证：E为PC的中点；
(2)求三棱锥EPAB的体积．
【解析】(1)证明 如图，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，则O为AC的中点，且平面
PAC∩平面BDE＝OE，
∵PA∥平面BDE，∴PA∥OE，∴E为PC的中点．
(2)解 由(1)知，E为PC的中点，∴V ＝2V .
三棱锥P ABC 三棱锥E ABC
由底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2，得S ＝×22＝，
△ABC
∴V ＝S ·PA＝××2＝.
三棱锥P ABC △ABC
又V ＝V ＋V ，
三棱锥P ABC 三棱锥EABC 三棱锥E PAB
∴V ＝V ＝.
三棱锥E PAB 三棱锥P ABC
【巩固提升】
1.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的
高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的
高与底面正方形的边长的比值为A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设 ，则 ，
由题意得 ，即 ，化简得 ，
解得 (负值舍去).
故选C．
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一
道容易题.
2.已知直三棱柱 的体积为 ，若 分别在 上，且
，则四棱锥 的体积是
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】在棱 上取一点 ，使 ，连接 、 ，
由题意 ， 平面 ，
所以 ，
，
所以 .
故选：B．
【点睛】本题考查了直三棱柱的特征及几何体体积的求解，考查了空间思维能力，属于
基础题.
3．已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积
为16 ，则O到平面ABC的距离为
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】设球 的半径为 ，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .故选：C．
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应
用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在
平面.
4.已知点 在同一个球面上， ，若四面体
体积的最大值为 10，则这个球的表面积是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，可知 ，
则球心 在过 中点 与面 垂直的直线上，
因为 面积为定值，所以高最大时体积最大，
根据球的几何性质可得，当 过球心时体积最大，
因为四面体 的最大体积为10，
所以 ，
可得 ，
在 中， ，
，得 ，
球的表面积为 ，故选B．【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和
体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用
( 为三棱的长)；②可以转化为长方体的外接球； ③特殊几何
体可以直接找出球心和半径；④设球心(在过底面多边形外接圆圆心与底面垂直的直线
上)，利用待定系数法求半径.
5．已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为
， ，则球 的表面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
得 ， 为等边三角形，
由正弦定理可得 ，
，根据球的截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，
属于基础题.
6．若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故选：C．
【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题
关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：(1)三条棱两
两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的
半径；(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下
底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；(3)如果设计几何体有两
个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
7.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是
A． B．
C．3 D．6
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，
且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，
棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，
所以几何体的体积为 .故选：A
【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.
8.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定
时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在
平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，
若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成
角为
A．20° B．40°
C．50° D．90°
【答案】B
【解析】画出截面图如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线； 是点 处的水
平面的截线，依题意可知 ； 是晷针所在直线. 是晷面的截线，依题意依
题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知 、根据线面垂直的定义可得 ..
由于 ，所以 ，
由于 ，
所以 ，也即晷针与点 处的水平面所成角为 .
故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线
面垂直的性质，属于中档题.
9.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】
【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 ，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为 ，
由于 ，故 ，
设内切圆半径为 ，则：
，
解得： ，其体积： .
故答案为： .【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，
明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切
于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方
体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
10.已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底
面半径(单位：cm)是_______．
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，则
，解得 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.
11.已知直四棱柱ABCD–ABC D 的棱长均为2，∠BAD=60°．以 为球心， 为半径的
1 1 1 1
球面与侧面BCC B 的交线长为________．
1 1
【答案】 .
【解析】如图：
取 的中点为 ， 的中点为 ， 的中点为 ，
因为 60°，直四棱柱 的棱长均为2，所以△ 为等边
三角形，所以 ， ，
又四棱柱 为直四棱柱，所以 平面A B C D ，所以
1 1 1 1
，
因为 ，所以 侧面 ，设 为侧面 与球面的交线上的点，则 ，
因为球的半径为 ， ，所以 ，
所以侧面 与球面的交线上的点到 的距离为 ，
因为 ，所以侧面 与球面的交线是扇形 的弧 ，
因为 ，所以 ，
所以根据弧长公式可得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体
几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.
12.如图，在长方体 中，点 分别在棱 上，且 ，
．
(1)证明：点 在平面 内；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
【解析】设 ， ， ，如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴
正方向，建立空间直角坐标系 ．(1)连结 ，则 ， ， ， ， ，
，得 ．
因此 ，即 四点共面，所以点 在平面 内．
(2) 由 已 知 得 ， ， ， ， ，
， ， ．
设 为平面 的法向量，则
即 可取 ．
设 为平面 的法向量，则
同理可取 ．
因为 ，所以二面角 的正弦值为 ．
13.如图，组合体由半个圆锥 和一个三棱锥 构成，其中 是圆锥 底
面圆心， 是圆弧 上一点，满足 是锐角， .
(1)在平面 内过点 作 平面 交 于点 ，并写出作图步骤，但不要求
证明；
(2)在(1)中，若 是 中点，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)答案见解析；(2) .
【解析】(1)①延长 交 的延长线于点 ；②连接 ；③过点 作 交
于点 .
(2)若 是 中点，则 是 中点，又因为 ，所以 ，所以，从而 .
依题意， 两两垂直，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直
角坐标系，
则 ，
从而 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 取 ，得 .
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
