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2016年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．﹣ D．
2．（3分）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示这个数字是
（ ）
A．6.75×103吨 B．67.5×103吨 C．6.75×104吨 D．6.75×105吨
3．（3分）下列等式一定成立的是（ ）
A．a2×a5＝a10 B． C．（﹣a3）4＝a12 D．
4．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（
）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
B．方程x2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根
C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：4
D．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
7．（3分）随着智能手机的普及，抢微信红包成为了春节期间人们最喜欢的活动之一．某中学
第1页（共21页）九年级五班班长对全班50名学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计
图．根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（ ）
A．20、20 B．30、20 C．30、30 D．20、30
8．（3分）如图，A、D是 O上的两个点，BC是直径．若∠D＝32°，则∠OAC＝（ ）
⊙
A．64° B．58° C．72° D．55°
9．（3分）已知x2﹣3x﹣4＝0，则代数式 的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
10．（3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边
BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（ ）
A． B．6 C． D．
11．（3分）若抛物线y＝x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个
单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+5 C．y＝x2﹣1 D．y＝x2+4
12．（3分）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连
第2页（共21页）结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论： FB垂直平
分OC； △EOB≌△CMB； DE＝EF； S△AOE ：S△BCM ＝2：3．其中正确结①论的个数是
（ ）② ③ ④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（3分）分解因式：m2﹣9＝ ．
14．（3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，
2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．
假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为 ．
15．（3分）若函数y＝（m﹣1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限．
16．（3分）设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝ ．
17．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的
半径为 ．
18．（3分）如图，已知点A是双曲线 在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交
另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，
点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线 上运动，则k的值是 ．
三、解答题（每题6分，共12分）
第3页（共21页）19．（6分）计算： ．
20．（6分）先化简，再求值： ，其中a＝3．
四、解答题
21．（8分）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方
形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A B C ；
1 1 1
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位似，且△A B C
2 2 2 2 2 2 2 2 2
与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A 的坐标．
2
22．（8分）如图，埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘
舰船和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海
底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°
的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度（结果保留根号）．
23．（9分）九年级三班学生苏琪为帮助同桌万宇巩固“平面直角坐标系四个象限内及坐标轴
上的点的坐标特点”这一基础知识，在三张完全相同且不透明的卡片正面分别写上了﹣
3，0，2三个数字，背面向上洗匀后随机抽取一张，将卡片上的数字记为a，再从剩下的两
张中随机取出一张，将卡片上的数字记为b，然后叫万宇在平面直角坐标系中找出点M
第4页（共21页）（a，b）的位置．
（1）请你用树状图帮万宇同学进行分析，并写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M在第二象限的概率；
（3）张老师在万宇同学所画的平面直角坐标系中，画了一个半径为3的 O，过点M能作
多少条 O的切线？请直接写出答案． ⊙
24．（9分）⊙“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的
喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车去年6月份销售总额
为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与
去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售
总额增加25%．
（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A
型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车 B型车
进货价格（元/辆） 1100 1400
销售价格（元/辆） 今年的销售价格 2400
25．（9分）如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4 ，
点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE
与CD相交于点F
（1）求证： ；
（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；
（3）设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
26．（11分）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且
第5页（共21页）OA＝1，OB＝3，OC＝4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱
形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的
坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．
第6页（共21页）2016年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．【分析】﹣5的绝对值就是数轴上表示﹣5的点与原点的距离．
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的定义．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于67500有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．
【解答】解：67 500＝6.75×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．【分析】依次根据幂的乘法，算术平方根的运算，幂的乘方，二次根式的化简判断即可．
【解答】解：A、a2×a5＝a7≠a10，所以A错误，
B、 不能化简，所以B错误．
C、（﹣a3）4＝a12，所以C正确，
D、 ＝|a|，所以D错误，
故选：C．
【点评】此题是二次根式的加减法，主要考查了幂的乘法，算术平方根的运算，幂的乘方，
二次根式的化简，熟练运用这些知识点是解本题的关键．
4．【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
第7页（共21页）5．【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【解答】解：由点M（1﹣2m，m﹣1）在第四象限，得
1﹣2m＞0，m﹣1＜0．
解得m＜ ，
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，点的坐标，记住各象限内点的坐标的符
号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三
象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
6．【分析】根据各个选项中的命题，假命题举出反例或者说明错在哪，真命题说明理由即可解
答本题．
【解答】解：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，选项A中的一角不一定是对应
相等两边的夹角，故选项A错误；
∵x2﹣x+2＝0，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×2＝1﹣8＝﹣7＜0，
∴方程x2﹣x+2＝0没有实数根，
故选项B错误；
面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：2，故选项C错误；
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形，这个四边形的对边都等于原来四边形与这
组对边相对的对角线的一半，并且和这条对角线平行，故得到的中点四边形是平行四边形，
故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查命题和定理，解题的关键是明确什么命题是真命题、什么命题的假命题，
对真假命题可以说明理由，真命题说明根据，假命题举出反例或通过论证说明．
7．【分析】根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小
顺序排列，中间那个数或中间两个数的平均数叫中位数．
【解答】解：捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30，
中间两个数分别为30和30，则中位数是30，
故选：C．
【点评】本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握．
8．【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB
第8页（共21页）的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵BC是直径，∠D＝32°，
∴∠B＝∠D＝32°，∠BAC＝90°．
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠B＝32°，
∴∠OAC＝∠BAC﹣∠BAO＝90°﹣32°＝58°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
9．【分析】已知等式变形求出x﹣ ＝3，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：已知等式整理得：x﹣ ＝3，
则原式＝ ＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利
用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，
OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．
【解答】解：连接BC′，
∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，
∴B在对角线AC′上，
∵B′C′＝AB′＝3，
在Rt△AB′C′中，AC′＝ ＝3 ，
∴BC′＝3 ﹣3，
在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝3 ﹣3，
在直角三角形OBC′中，OC′＝ （3 ﹣3）＝6﹣3 ，
∴OD′＝3﹣OC′＝3 ﹣3，
∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′＝6+3 ﹣3+3 ﹣3＝6 ．
故选：A．
第9页（共21页）【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适
中，注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．
11．【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．
【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上
平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，
∵y＝（x﹣1）2+2，
∴原抛物线图象的解析式应变为y＝（x﹣1+1）2+2﹣3＝x2﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移
是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．
12．【分析】 利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；
在△EOB①和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；
②可证明∠CDE＝∠DFE；
③可通过面积转化进行解答．
④【解答】解： ∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB＝OC，①
∵∠COB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC，
∵FO＝FC，
∴FB垂直平分OC，
故 正确；
①∵△BOC为等边三角形，FO＝FC，
②∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB＝∠EOB＝90°，
∴BO≠BM，
∴△EOB与△CMB不全等；
第10页（共21页）故 错误；
②易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°，
③∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°，
∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°，
∴∠CDE＝∠DFE，
∴DE＝EF，
故 正确；
③易知△AOE≌△COF，
④∴S△AOE ＝S△COF ，
∵S△COF ＝2S△CMF ，
∴S△AOE ：S△BCM ＝2S△CMF ：S△BCM ＝ ，
∵∠FCO＝30°，
∴FM＝ ，BM＝ CM，
∴ ＝ ，
∴S△AOE ：S△BCM ＝2：3，
故 正确；
所④以其中正确结论的个数为3个；
故选：B．
【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角
形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实
相当于四个证明题，属于常考题型．
二、填空题（每题3分，共18分）
13．【分析】通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解，a2﹣b2＝
（a+b）（a﹣b）．
第11页（共21页）【解答】解：m2﹣9
＝m2﹣32
＝（m+3）（m﹣3）．
故答案为：（m+3）（m﹣3）．
【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．
14．【分析】根据年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为
169套．设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
100（1+x）2＝169，
故答案为：100（1+x）2＝169．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出形应的
方程．
15．【分析】根据正比例函数定义可得：|m|＝1，且m﹣1≠0，计算出m的值，然后可得解析式，
再根据正比例函数的性质可得答案．
【解答】解：由题意得：|m|＝1，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
函数解析式为y＝﹣2x，
∵k＝﹣2＜0，
∴该函数的图象经过第二、四象限．
故答案为：二、四．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y＝kx（k是常数，
k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），当k＞0时，直线y＝kx
依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次
经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
16．【分析】根据根与系数的关系可知m+n＝﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7＝
0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，
∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝7﹣2＝5，
第12页（共21页）故答案为：5．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把m2+3m+n转化为m2+2m+m+n
的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．
17．【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2 r＝ ，
π
r＝ cm．
故答案为： cm．
【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇
形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18．【分析】根据反比例函数的性质得出OA＝OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过
点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC＝ OA，求
出△OFC∽△AEO，相似比 ，求出面积比 ，求出△OFC的面积，即可得
出答案．
【解答】解：∵双曲线 的图象关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
连接OC，如图所示，
∵△ABC是等边三角形，OA＝OB，
∴OC⊥AB．∠BAC＝60°，
第13页（共21页）∴tan∠OAC＝ ＝ ，
∴OC＝ OA，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF，
∴△OFC∽△AEO，相似比 ，
∴面积比 ，
∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），
∵点A在双曲线 上，
∴S△AEO ＝ ab＝ ，
∴S△OFC ＝ FC•OF＝ ，
∴设点C坐标为（x，y），
∵点C在双曲线 上，
∴k＝xy，
∵点C在第四象限，
∴FC＝x，OF＝﹣y．
∴FC•OF＝x•（﹣y）＝﹣xy＝﹣ ，
故答案为：﹣3 ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，解直角三角形，
相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行 推理和计算是解此题的关键．
三、解答题（每题6分，共12分）
19．【分析】分别利用零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质分别化简
求出答案．
【解答】解：原式＝1﹣3× +1﹣2
＝1﹣ +1﹣2
第14页（共21页）＝﹣ ．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质等
知识，正确化简各数是解题关键．
20．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]÷
＝ •（a﹣2）
＝﹣ ．
当a＝3时，原式＝﹣ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式，
再代入求值．
四、解答题
21．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．
【解答】解：（1）如图所示：△A B C ，即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：△A B C ，即为所求，A 坐标（﹣2，﹣2）．
2 2 2 2
【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．
22．【分析】过C作CD⊥AB于D，交海面于点E，设BD＝x，利用锐角三角函数的定义用x表
示出BD及CD的长，由CE＝CD+DE即可得出结论．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，交海面于点E，设BD＝x，
第15页（共21页）∵∠CBD＝60°，
∴tan∠CBD＝ ＝
∴CD＝ x．
∵AB＝2000，
∴AD＝x+2000，
∵∠CAD＝45°
∴tan∠CAD＝ ＝1，
∴ x＝x+2000，
解得x＝1000 +1000，
∴CD＝ （1000 +1000）＝3000+1000 ，
∴CE＝CD+DE＝3000+1000 +500＝3500+1000 ．
答：黑匣子C点距离海面的深度为（3500+1000 ）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是
解答此题的关键．
23．【分析】（1）画树状图展示所有6种等可能的结果数；
（2）根据第二象限点的坐标特征找出点M在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解；
（3）画出图形得到在 O上的有2个点，在 O外的有2个点，在 O内的有2个点，则利
用切线的定义可得过⊙O上的有2个点分别⊙画一条切线，过 O外⊙的有2个点分别画2条
切线，但其中有2组切⊙线重合，于是可判断过点M能作4条⊙ O的切线．
【解答】解：（1）画树状图为 ⊙
共有6种等可能的结果数，它们是（﹣3，0）、（﹣3，2）、（0，﹣3）、（0，2）、（2，﹣3）、（2，
第16页（共21页）0）；
（2）只有（﹣3，2）在第二象限，
∴点M在第二象限的概率＝ ；
（3）如图，过点M能作4条 O的切线．
⊙
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求
出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概
率．利用切线的定义可解决（3）小题，应用数形结合的思想是解决此类题目的关键．
24．【分析】（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，列出方程即可解决问题．
（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，先求出m
的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．
【解答】解：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，
根据题意得 ，
解之得x＝1600，
经检验，x＝1600是方程的解．
答：今年A型车每辆2000元．
（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，
根据题意得50﹣m≤2m
解之得m≥ ，
∵50﹣m≥0，
∴m≤50，
第17页（共21页）∴16 ≤m≤50
∵y＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m+50000，
∴y随m 的增大而减小，
∴当m＝17时，可以获得最大利润．
答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程等知识，解题的关键是设未知数列出方程解
决问题，注意分式方程必须检验，学会构建一次函数，利用一次函数性质解决实际问题中
的最值问题，属于中考常考题型．
25．【分析】（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，进而得出答案；
（2）首先得出△PCE∽△DCB，进而求出∠ACB＝∠CBD，即可得出AC与BD的位置关系；
（3）首先利用相似三角形的性质表示出BD，PM的长，进而表示出△PBD的面积．
【解答】（1）证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，
∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，
∴△BCE∽△DCP，
∴ ；
（2）解：AC∥BD，
理由：∵∠PCE+∠ECD＝∠BCD+∠ECD＝45°，
∴∠PCE＝∠BCD，
又∵ ＝ ，
∴△PCE∽△DCB，
∴∠CBD＝∠CEP＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AC∥BD；
（3）解：如图所示：作PM⊥BD于M，
∵AC＝4 ，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝4，
第18页（共21页）∵△PCE∽△DCB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BD＝ x，
∵∠PBM＝∠CBD﹣∠CBP＝45°，BP＝BE+PE＝4+x，
∴PM＝sin45°•（4+x）＝ ，
∴△PBD的面积S＝ BD•PM＝ × x× ＝ x2+2x．
【点评】此题主要考查了相似形综合、平行线的判定方法以及相似三角形的判定与性质等
知识，正确表示出PM的长是解题关键．
26．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，
即可确定出所求抛物线解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，
理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC
平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确
定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边
形，不是菱形；
（3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三
角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|＝PA，
当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交
点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM﹣AM|的最大值时M坐标，确定出|PM﹣AM|
的最大值即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），
第19页（共21页）∴ ，
解得：a＝﹣ ，b＝﹣ ，c＝3，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+3；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，
理由为：
∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，
∴BC＝AC＝5，
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP＝AC＝5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴点P的坐标为（5，3），
当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；
（3）设直线PA的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（1，0），P（5，3），
∴ ，
解得：k＝ ，b＝﹣ ，
∴直线PA的解析式为y＝ x﹣ ，
当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，
当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|＝PA，
∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的
交点，
解方程组 ，得 或 ，
∴点M的坐标为（﹣5，﹣ ）或（1，0）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为
第20页（共21页）5．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物
线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是
解本题的关键．．
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