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2015年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2a＝6a B．a2+a3＝a5 C．a6÷a2＝a4 D．（a2）3＝a5
3．（3分）某市在一次扶贫助残活动中，共捐款5280000元，将5280000用科学记数法表示为（
）
A．5.28×106 B．5.28×107 C．52.8×106 D．0.528×107
4．（3分）下列四个图形中是正方体的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）一个多边形的外角和是内角和的 ，这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l 、l 与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已
1 2
知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．（3分）老师想知道学生每天上学路上要花多少时间，于是让大家将每天来校的单程时间写
第1页（共21页）在纸上用于统计．下面是全班30名学生单程所花时间（单位：分）与对应人数（单位：人）
的统计表，则关于这30名学生单程所花时间的数据，下列结论正确的是（ ）
单程所花时间 5 10 15 20 25 30 35 45
人数 3 3 6 12 2 2 1 1
A．众数是12 B．平均数是18 C．极差是45 D．中位数是20
8．（3分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．（x﹣1）2＝0 B．x2+2x﹣19＝0 C．x2+4＝0 D．x2+x+l＝0
9．（3分）关于一次函数y＝2x﹣1的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限
B．图象经过第一、三、四象限
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象经过第二、三、四象限
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是
垂足，连接CD．若BD＝1，则AC的长是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
11．（3分）如图， O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为（ ）
⊙
A．30° B．35° C．40° D．45°
12．（3分）如图，A、B是双曲线y＝ 上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为
C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
第2页（共21页）A． B． C．3 D．4
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将正确答案直接填在答题卡相应位置
上．
13．（3分）在函数y＝x+1中，自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）计算：2 ＝ ．
15．（3分）点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标是 ．
16．（3分）已知 O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是 cm．
17．（3分）将二次函⊙数y＝x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次
函数的表达式为 ．
18．（3分）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：
△EBF≌△DFC； 四边形AEFD为平行四边形； 当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边
①形AEFD是正方形．②其中正确的结论是 ．（③请写出正确结论的序号）．
三、解答题：本大题共6个小题，共46分．请把解答过程写在答题卡上相应的位置．
19．（6分）计算：（1﹣ ）0× ﹣（ ）﹣1+|﹣2|．
π
20．（6分）计算： ．
21．（8分）如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．
（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称；
（2）请在方格网中标出所有使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的D点．
第3页（共21页）22．（8分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A
码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的
北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离
（结果都保留根号）．
23．（9分）某校组织了一次初三科技小制作比赛，有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛
作品．C班提供的参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制
在下列图 和图 两幅尚不完整的统计图中．
① ②
（1）B班参赛作品有多少件？
（2）请你将图 的统计图补充完整；
（3）通过计算②说明，哪个班的获奖率高？
（4）将写有A、B、C、D四个字母的完全相同的卡片放入箱中，从中一次随机抽出两张卡片，
求抽到A、B两班的概率．
第4页（共21页）24．（9分）某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔
和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品．若购买2支钢笔和3
本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．
（1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？
（2）工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，
则工会最多可以购买多少支钢笔？
四、解答题：本大题共2个小题，共20分．请把解答过程写在答题卡上相应的位置．
25．（9分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P
处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；
（3）若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．
26．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣ ），且与x轴交于A、B
两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．
（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；
（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；
（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使
∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共21页）2015年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：﹣2的倒数是 ，
故选：C．
【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、同类项和同底数幂的除法计算即可．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，错误；
B、a2与a3不能合并，错误；
C、a6÷a2＝a4，正确；
D、（a2）3＝a6，错误；
故选：C．
【点评】此题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、同类项和同底数幂的除法，关键是根据法则
进行计算．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：5280000＝5.28×106，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：A、不是正方体的平面展开图；
B、是正方体的平面展开图；
C、不是正方体的平面展开图；
D、不是正方体的平面展开图．
故选：B．
第6页（共21页）【点评】此题主要考查了正方体展开图，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键．
5．【分析】根据多边形的外角和为360°及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形
的边数．
【解答】解：∵一个多边形的外角和是内角和的 ，且外角和为360°，
∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）•180°＝900°，
解得：n＝7，
则这个多边形的边数是7，
故选：C．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本
题的关键．
6．【分析】由AD∥BE∥CF可得 ＝ ，代入可求得EF．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ ＝ ，
∵AB＝1，BC＝3，DE＝2，
∴ ＝ ，
解得EF＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比
例是解题的关键．
7．【分析】分别利用极差的计算方法、加权平均数的计算方法、中位数的定义及众数的定义分
别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：数据20出现了12次，最多，
故众数为20，A错误；
平均数： ＝18.5（分钟），B，错误；
极差：45﹣5＝40分钟，C错误；
∵排序后位于中间两数均为20，
∴中位数为：20分钟，正确．
故选：D．
第7页（共21页）【点评】本题考查了极差、加权平均数、中位数及众数的定义，解题的关键是了解这些统计
量的计算方法，难度不大．
8．【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．
【解答】解：A、△＝0，方程有两个相等的实数根；
B、△＝4+76＝80＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△＝﹣16＜0，方程没有实数根；
D、△＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞
0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有
实数根．
9．【分析】根据一次函数图象的性质解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣1的k＝2＞0，
∴函数图象经过第一、三象限，
∵b＝﹣1＜0，
∴函数图象与y轴负半轴相交，
∴一次函数y＝2x﹣1的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理
解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．
k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b
＜0时，直线与y轴负半轴相交．
10．【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质求出AD＝CD，推出∠ACD＝∠A＝30°，
求出∠DCB，即可求出BD、BC，根据含30°角的直角三角形性质求出AC即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△DBC中，∠B＝90°，∠DCB＝30°，BD＝1，
第8页（共21页）∴CD＝2BD＝2，
由勾股定理得：BC＝ ＝ ，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝ ，
∴AC＝2BC＝2 ，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角
三角形性质的应用，解此题的关键是求出BC的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角
等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
11．【分析】先根据OA＝OC，∠ACO＝45°可得出∠OAC＝45°，故可得出∠AOC的度数，再由
圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵OA＝OC，∠ACO＝45°，
∴∠OAC＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠B＝ ∠AOC＝45°．
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
12．【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线，即
CD＝ BE，设A（x， ），则B（2x， ），故CD＝ ，AD＝ ﹣ ，再由△ADO的面积
为1求出k的值即可得出结论．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，
∵D为OB的中点，
∴CD是△OBE的中位线，即CD＝ BE．
第9页（共21页）设A（x， ），则B（2x， ），CD＝ ，AD＝ ﹣ ，
∵△ADO的面积为1，
∴ AD•OC＝1， （ ﹣ ）•x＝1，解得k＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数y＝ 图象中任取一
点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不
变是解答此题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将正确答案直接填在答题卡相应位置
上．
13．【分析】根据整式有意义的条件解答．
【解答】解：函数y＝x+1中，自变量x的取值范围是全体实数．
故答案为：全体实数．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
14．【分析】把 化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算可求得结果．
【解答】解：
2 ﹣
＝2 ﹣3
＝（2﹣3）
＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
第10页（共21页）【点评】本题主要考查二次根式的化简和计算，能利用二次根式的性质进行化简是解题的
关键．
15．【分析】此题考查平面直角坐标系与对称的结合．
【解答】解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n），所以点P（3，2）关于y轴对称
的点的坐标为（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】考查平面直角坐标系点的对称性质．
16．【分析】首先求出∠AOB＝ ×360°，进而证明△OAB为等边三角形，问题即可解决．
【解答】解：如图，
∵ O的内接正六边形ABCDEF的周长长为12cm，
∴⊙边长为2cm，
∵∠AOB＝ ×360°＝60°，且OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
即该圆的半径为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正多边形和圆，以正多边形外接圆、正多边形的性质等几何知识点为
考查的核心构造而成；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是关键．
17．【分析】利用平移规律：左加右减，确定出平移后二次函数解析式即可．
【解答】解：平移后二次函数解析式为：y＝（x+2）2＝x2+4x+4，
故答案为：y＝x2+4x+4
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移规律是解本题的关键．
18．【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对
边相等，∠ABE＝∠CBF＝60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF
与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF＝AC，再由三角形ADC为等边
三角形得到三边相等，等量代换得到EF＝AD，AE＝DF，利用对边相等的四边形为平行四
第11页（共21页）边形得到AEFD为平行四边形，若AB＝AC，∠BAC＝120°，只能得到AEFD为菱形，不能
为正方形，即可得到正确的选项．
【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF＝AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD＝DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF＝AB＝AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，选项 正确；
∴∠FEA＝∠ADF， ②
∴∠FEA+∠AEB＝∠ADF+∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
．
∴△FEB≌△CDF（SAS），选项 正确；
若AB＝AC，∠BAC＝120°，则有A①E＝AD，∠EAD＝120°，此时AEFD为菱形，选项 错误，
故答案为： ． ③
【点评】此题①考②查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以
及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
三、解答题：本大题共6个小题，共46分．请把解答过程写在答题卡上相应的位置．
19．【分析】分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及绝对值的性质分
别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝1×3﹣7+2
第12页（共21页）＝3﹣7+2
＝﹣2．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟记0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法
则及绝对值的性质是解答此题的关键．
20．【分析】将每个分式的分子、分母分解因式后将除法变为乘法后约分即可．
【解答】解： ＝ • ＝ ．
【点评】本题考查了分式的乘除法，解题的关键是能够对分式的分子、分母进行因式分解，
难度不大．
21．【分析】（1）根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形，
（2）根据平行四边形的判定，画出使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的点
即可．
【解答】解：（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称的图形如下：
（2）根据题意画图如下：
第13页（共21页）【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，用到的知识点是旋转、中心对称、平行四边形的判定，
关键是掌握中心对称的作法，作平行四边形时注意画出所有符合要求的图形．
22．【分析】过P作PM⊥AB于M，求出∠PBM＝45°，∠PAM＝30°，求出PM，即可求出BM、
BP．
【解答】解：如图：
过P作PM⊥AB于M，
则∠PMB＝∠PMA＝90°，
∵∠PBM＝90°﹣45°＝45°，∠PAM＝90°﹣60°＝30°，AP＝20海里，
∴PM＝ AP＝10海里，AM＝cos30°AP＝10 海里，
∴∠BPM＝∠PBM＝45°，
∴PM＝BM＝10海里，
∴AB＝AM+BM＝（10+10 ）海里，
∴BP＝ ＝10 海里，
即小船到B码头的距离是10 海里，A、B两个码头间的距离是（10+10 ）海里．
第14页（共21页）【点评】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形性质的应用，能正确解直角三
角形是解此题的关键，难度适中．
23．【分析】（1）直接利用扇形统计图中百分数，进而求出B班参赛作品数量；
（2）利用C班提供的参赛作品的获奖率为50%，结合C班参赛数量得出获奖数量；
（3）分别求出各班的获奖百分率，进而求出答案；
（4）利用树状统计图得出所有符合题意的答案进而求出其概率．
【解答】解：（1）由题意可得：100×（1﹣35%﹣20%﹣20%）＝25（件），
答：B班参赛作品有25件；
（2）∵C班提供的参赛作品的获奖率为50%，
∴C班的参赛作品的获奖数量为：100×20%×50%＝10（件），
如图所示：
；
（3）A班的获奖率为： ×100%＝40%，
B班的获奖率为： ×100%＝44%，
C班的获奖率为：50%；
D班的获奖率为： ×100%＝40%，
第15页（共21页）故C班的获奖率高；
（4）如图所示：
，
故一共有12种情况，符合题意的有2种情况，
则从中一次随机抽出两张卡片，求抽到A、B两班的概率为： ＝ ．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的应用，根据题意
利用树状图得出所有情况是解题关键．
24．【分析】（1）首先用未知数设出买一支钢笔和一本笔记本所需的费用，然后根据关键语
“购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元”，列方
程组求出未知数的值，即可得解．
（2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，根据总费用不超过1100元，列出不
等式解答即可．
【解答】解：（1）设一支钢笔需x元，一本笔记本需y元，由题意得
解得：
答：一支钢笔需16元，一本笔记本需10元；
（2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，由题意得
16x+10（80﹣x）≤1100
解得：x≤50
答：工会最多可以购买50支钢笔．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，
找出等量关系，列出方程组和不等式．
四、解答题：本大题共2个小题，共20分．请把解答过程写在答题卡上相应的位置．
25．【分析】（1）由折叠的性质得到BE＝PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE＝EB
＝PE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到∠APB
为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四
第16页（共21页）边形即可得证；
（2）根据三角形AEP为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻
补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由 AP＝EB，利用
AAS即可得证；
（3）过P作PM⊥CD，在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的长，利用面积法求
出BQ的长，根据BP＝2BQ求出BP的长，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP
的长，根据AF﹣AP求出PF的长，由PM与AD平行，得到三角形PMF与三角形ADF相
似，由相似得比例求出PM的长，再由FC＝AE＝3，求出三角形CPF面积即可．
【解答】（1）证明：由折叠得到BE＝PE，EC⊥PB，
∵E为AB的中点，
∴AE＝EB＝PE，
∴AP⊥BP，
∴AF∥EC，
∵AE∥FC，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）∵△AEP为等边三角形，
∴∠BAP＝∠AEP＝60°，AP＝AE＝EP＝EB，
∵∠PEC＝∠BEC，
∴∠PEC＝∠BEC＝60°，
∵∠BAP+∠ABP＝90°，∠ABP+∠BEQ＝90°，
∴∠BAP＝∠BEQ，
在△ABP和△EBC中，
，
∴△ABP≌△EBC（AAS），
∵△EBC≌△EPC，
∴△ABP≌△EPC；
（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，
在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝4，
第17页（共21页）根据勾股定理得：EC＝ ＝5，
∵S△EBC ＝ EB•BC＝ EC•BQ，
∴BQ＝ ＝ ，
由折叠得：BP＝2BQ＝ ，
在Rt△ABP中，AB＝6，BP＝ ，
根据勾股定理得：AP＝ ＝ ，
∵四边形AECF为平行四边形，
∴AF＝EC＝5，FC＝AE＝3，
∴PF＝5﹣ ＝ ，
∵PM∥AD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：PM＝ ，
则S△PFC ＝ FC•PM＝ ×3× ＝ ．
【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，折叠的性质，
三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，等边三角形的性质，勾
股定理，三角形的面积求法，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性
质是解本题的关键．
第18页（共21页）26．【分析】（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得
函数解析式；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得射线AC、AM，根据角越小角的对边越小，可得PA
在在射线AC与AM之间，根据解方程组，可得E点的横坐标，根据E、C点的横坐标，可得
答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得 ＝ ，根据解方程组，可得P点坐标．
【解答】解：（1）由A、B点的函数值相等，得
A、B关于对称轴对称．
A（4﹣0），对称轴是x＝1，得
B（﹣2，0）．
将A、B、D点的坐标代入解析式，得
，
解得 ，
抛物线所对应的二次函数的表达式y＝ x2﹣x﹣4；
（2）如图1作C点关于原点的对称点M，
OC＝OM＝OA＝4，
∠OAC＝∠MAO＝45°，
AP在射线AC与AM之间，∠PAO＜45°，
第19页（共21页）直线AM的解析式为y＝﹣x+4，
联立AM于抛物线，得 ，
解得x＝﹣4或x＝4，
∵E点的横坐标是﹣4，C点的横坐标是0，
P点的横坐标的取值范围是﹣4≤m≤0；
（3）存在P点，使∠QPO＝∠BCO，如图2，
，
设P（m， m2﹣m﹣4），当点P在第二象限时，
由∠QPO＝∠BCO，∠PQO＝CBO＝90°．
∴△PQO∽△COB，
∴ ＝ 即 ＝ ，
化简，得m2﹣m﹣8＝0．
解得m＝ ，m＝ （不符合题意，舍），
m2﹣m﹣4＝ （ ）2﹣ ﹣4＝ ，
P点坐标为（ ， ）．
当点P在第三象限时，同理可得点P为（m， m）
代入y＝ x2﹣x﹣4，得 m＝ m2﹣m﹣4，解得m＝ ，
第20页（共21页）∵m＜0
∴P（ ， ），
∴满足条件的点为P（ ， ），或P（ ， ）．
【点评】本题考察了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用了角与对边的
关系：角越小角的对边越小得出PA在在射线AC与AM之间是解题关键，利用了相似三角
形的判定与性质．
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