文档内容
思维突破 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次函数（一）
例题练习题答案
例1 判断下列哪些函数是二次函数，说明原因，并指出二次函数的a、b、c．
3x
①y = kx+b；②y = ；
x+4
③y = 4(x+1)2−8x；④y = (x+11)2−x2 ；
√5
⑤y = (x−3)(x+6)；⑥y = ax2+x．
2
例2 通过观察y = x2 的函数图象，判断下列说法是否正确，并说明理由：
(1)对于每个自变量x，有两个函数值和它对应；
(2)对于任意实数x，都有y > 0；
(3)若x 、x 互为相反数，则当x = x 和x = x 时，函数的值相等；
1 2 1 2
(4)对于任意一个函数值y，都有两个自变量x和它对应．
例3 求出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标：
①y = x2 ；②y = 2(x−1)2 ；
③y = 3(x+2)2−1；④y = −2x2+6x+4．
例4 ①二次函数y = 2x2+3x+2的开口________，对称轴是___________，顶点坐标为_________；
②二次函数y = 3x2−2x−3的开口________，对称轴是___________，顶点坐标为_________；
③二次函数y = −3x2+4x−5的开口________，对称轴是__________，顶点坐标为_________；
④二次函数y = −4x2−3x−5的开口________，对称轴是__________，顶点坐标为_________．
例5 已知抛物线y = x2+mx+n的顶点坐标是(−1, −3)，求m和n的值．
例6 二次函数y = ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A： 4ac−b2
< 0
4a
B： a > 0
C： c > 0
D： b
− < 0
2a
例7 已知抛物线y = ax2+bx+c（a ≠ 0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是
（ ）
A： b2−4ac < 0
B： b < 0
C： c < 0
D： a+b+c > 0
例8 a
二次函数y = ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y = 与正比例函数y = (b+c)x在同一坐标
x
系中的大致图象可能是（ ）
A：B：
C：
D：
例9 已知抛物线f(x) = −x2+2x+2．
(1)该抛物线的对称轴是_________，顶点坐标是________；
( ) ( ) ( ) ( )
(2)若该抛物线上两点A x ,y ，B x ,y 的横坐标满足x > x > 1，试比较f x 与f x 的大
1 1 2 2 1 2 1 2
小．
例10 向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且满足y = ax2+bx+c(a ≠ 0)．若此炮弹在第7秒与
第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A： 第8秒
B： 第10秒
C： 第12秒
D： 第15秒
例11 (1) 已知抛物线y = 2x2−4x−6上两点A ( x ,y ) ，B ( x ,y ) 的横坐标满足：1 < x < 2，x < −2
1 1 2 2 1 2
，试比较y 与y 的大小；
1 2
(2) 已知抛物线y = −2x2−4x−6上两点A ( x ,y ) ，B ( x ,y ) 的横坐标满足：1 < x < 2，
1 1 2 2 1
x < −2，试比较y 与y 的大小；
2 1 2
(3) 已知抛物线y = ax2−2ax−3(a > 0)上两点A ( 3,y ) ，B ( −2,y ) ，试比较y 与y 的大小；
1 2 1 2
(4) 已知抛物线y = ax2−2ax−3(a ≠ 0)上两点A ( 3,y ) ，B ( −2,y ) ，试比较y 与y 的大小．
1 2 1 2例12 如图，已知二次函数y = ax2+bx+c的图象，抛物线的对称轴为x = 1，试确定3b−2c的符号．
1 已知二次函数y = ax2+bx+c的一段图象如图所示，试确定a，b，c的正负，并且求出a+b+c的
范围．
思维突破 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次函数（一）
自我巩固答案
1 写出下列二次函数的开口方向，对称轴以及顶点坐标，最值（最大值或最小值）．
①y = 2x2+6x−5；②y = −3x2+4x−4；③y = −4x2−6x+7；④y = 2x2−5x+7．
2 函数y = ax+b与y = ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A： Ａ
B： ＢC： Ｃ
D： Ｄ
3 已知y = ax2+bx+c图象如下图所示，则下列说法中，正确的有_____________．
①ab > 0；②a−b+c < 0；③2a+b > 0；④b−a > 0．
4 已知二次函数：y = f(x) = −2x2+4x+5．
(1)求二次函数的开口方向，顶点坐标以及对称轴；
(2) 3 3 ( ) ( )
如果x = 1+ √2，x = 1− √2，利用图象性质比较f x ，f x 的大小．
1 2 1 2
思维突破 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次函数（一）
课堂落实答案
1 1
对于抛物线y = − (x−5)2+3，下列说法正确的是（ ）
3
A： 开口向下，顶点坐标(5,3)
B： 开口向上，顶点坐标(5,3)
C： 开口向下，顶点坐标(−5,3)
D： 开口向上，顶点坐标(−5,3)
2 在同一直角坐标系中，函数y = mx+m和y = −mx2+2x+2（m ≠ 0）的图象可能是（ ）A：
B：
C：
D：
3 写出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，最值（说明最大值或最小值）．
①y = 4x2−8x+7；②y = −2x2−9x；③y = −3x2−3；④y = 5x2+4x−1．
思维突破 / 初二 / 春季
第 2 讲 二次函数（二）
例题练习题答案
例1 求解下列二次函数的解析式：
(1) 已知二次函数y = ax2+4x−1，其图象过点(−1, −8)；
(2) 已知二次函数y = ax2+bx−3的图象经过点A(2, −3)，B(−1,0)；
(3) 已知二次函数y = ax2+bx+c的图象经过点A(2, −2)，B(−1, −8)，C(0, −4)；(4)已知二次函数的图象经过点A(1,4)，B(−1,6)，C(3,26)．
例2 求解下列二次函数的解析式：
(1) 已知二次函数y = 2(x−h)2+k，其图象的顶点为(2,3)；
(2) 已知二次函数y = a(x−3)2+4，其图象过点(4,6)；
(3)已知二次函数的顶点为(−1, −2)，且图象过点(−2,1)；
(4) 7
( )
已知二次函数的对称轴为x = −2，且过点(−4,5)和 −3, ．
2
例3 求解下列二次函数的解析式：
(1) 已知二次函数y = x2+bx+c与x轴的两个交点的坐标为(1,0)和(3,0)；
(2)已知二次函数与x轴交于两点(−2,0)和(3,0)，且经过点(2,4)；
(3) 1
已知一元二次方程ax2+bx+c = 0的两根为x = ，x = −2，且二次函数y = ax2+bx+c的
1 2
2
1
( )
图象经过点 1, ．
2
例4 求解下列二次函数的解析式：
(1)已知二次函数的图象经过点A(3, −2)和B(1,0)，且对称轴是直线x = 3；
(2)已知二次函数当x = 4时有最小值−3，且它的图象与x轴两个交点之间的距离为6；
(3)已知一个二次函数图象经过(−1,10)、(2,7)和(1,4)三点．
例5 求解下列抛物线平移后的解析式：
(1) 将抛物线y = x2 ，向左平移一个单位，向上平移一个单位；
(2) 将抛物线y = (x−1)2 ，向右平移一个单位，向下平移一个单位；
(3) 将抛物线y = 3(x+2)2−5，向右平移三个单位，向上平移两个单位；(4)将抛物线向左平移两个单位，向下平移三个单位，得到的二次函数解析式为
y = −2(x+1)2−1，求原抛物线的解析式．
例6 将抛物线y = x2+x−2先关于x轴作对称变换，得到的抛物线再关于y轴作对称变换，求最终得到的
抛物线解析式．
例7 (1) 思考：y = x2−1与y = | x2−1 | 的图象与性质；
(2) 思考：y = x2+4|x|+3与y = x2−4|x|+3的图象与性质．
例8 (1) 已知二次函数y = x2+bx+c的图象如下图所示，其解析式为____________；
(2) 1 1
( )
已知二次函数的图象经过原点及点 − , − ，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，
2 4
则该二次函数的解析式为__________________；
(3)已知经过原点的二次函数在x = 3时，取到最小值−3，则其解析式为______________；
(4) 已知二次函数y = ax2+bx+c的顶点是(1,16)，且与x轴交于A、B两点，已知AB = 8，其解析
式为____________；
(5) 已知二次函数y = x2+bx+c的图象经过点 ( 3+√3,2 ) 和 ( 3−√3,2 ) ，其解析式为
___________．
例9 平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2−4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点
C，点A的坐标为(1,0)，OB = OC，抛物线的顶点为D，求此抛物线的解析式，并写出D的坐标．
例10 1
如图，已知二次函数y = − x2+bx+c的图象经过A(2,0)、B(0, −6)两点．
2(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
1 已知二次函数y = ax2+4ax+4a−1的图象是c ．
1
(1)求c 关于R(1,0)成中心对称的图象c 的函数解析式；
1 2
(2)在（1）的条件下，设抛物线c 、c 与y轴的交点分别为A，B，当AB = 18时，求a的值．
1 2
思维突破 / 初二 / 春季
第 2 讲 二次函数（二）
自我巩固答案
1 求下列抛物线解析式：
①已知抛物线过点(2,0)，(−1,0)，(1,4)；
②已知抛物线过点(−1,0)，(3,0)，(0, −3)．
2 已知二次函数y = x2+kx−12的图象向右平移4个单位后，经过原点，求k的值．
3 抛物线y = x2+ax+b的顶点为A(5,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与y轴交于B，求△AOB的面积．
4 如图，已知抛物线与x轴交于A(−1,0)，E(3,0)两点，与y轴交于点B(0,3)．(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积．
思维突破 / 初二 / 春季
第 2 讲 二次函数（二）
课堂落实答案
1 求下列二次函数的解析式：
(1)已知二次函数经过A(0,1)，B(1,7)，C(2,17)三点；
(2)已知二次函数经过A(3,0)，B(5,0)两点，且最大值为4；
(3) 已知二次函数经过y = ax2+bx−1与x轴交于两点(1,0)，(−4,0)．
2 将抛物线y = ax2−5x+c向上平移3个单位，向左平移2个单位，平移后得到的抛物线顶点坐标为
1 11
( )
, ，求a，c的值．
2 4
思维突破 / 初二 / 春季
第 3 讲 二次函数（三）
例题练习题答案
例1 已知二次函数y = 3x2+x−10，求它与坐标轴的交点．
例2 (1) 二次函数y = x2−mx+3的图象与x轴交于点(1,0)，则该二次函数与x轴的另一个交点是
____________；(2) 已知抛物线y = ax2+2ax+a2+2与x轴的一个交点为(−3,0)，则关于x的一元二次方程
ax2+2ax+a2+2 = 0的解为_______________．
例3 (1) 已知二次函数y = x2+3x−b与x轴有两个不同交点，求b的取值范围；
(2) 已知函数y = kx2+4x+4与x轴有唯一交点，求k的取值；
(3) 已知抛物线y = (k−1)x2−2x−1，是否存在k值，使得无论x取何值，y ≥ 0．若存在，求出k的
取值范围，若不存在，请说明理由．
例4 设二次函数y = ax2+bx+c，当x = −2时取得最大值为10，并且它的图象在x轴上截得的线段长为
4，求a，b，c的值．
例5 已知抛物线y = −x2+bx+c与y轴交于A，与x轴交于B、C，且BC = 4，S = 6，求抛物线解
△ABC
析式．
例6 判断抛物线y = x2+2x−3与下列直线的交点个数，并求出所有交点坐标：
①直线x = 0；②直线y = 0；③直线y = x+3；
④直线y = 4x−4；⑤直线y = −6x−37．
例7 判断下列抛物线与直线有几个交点，并求出所有交点坐标：
①抛物线y = −x2+8x−1，直线y = 2x+4；
②抛物线y = −x2+12x−21，直线y = 2x+4；
③抛物线y = −x2+14x−34，直线y = 2x+4．
例8 (1) 已知抛物线y = x2−x+k与直线y = x+6有交点，求k的取值范围；
(2) 已知抛物线y = x2+3x−b与直线y = bx−3只有一个公共点，求b的取值．
例9 已知P(−3,m)和Q(1,m)是抛物线y = 2x2+bx+1上的两点．
(1)求b的值；
(2) 判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1 = 0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，
请说明理由；(3) 将抛物线y = 2x2+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交
点，求k的最小值．
例10 二次函数y = x2−mx+m的图象与x轴交于A ( x
1
,0 ) ，B ( x
2
,0 ) 且x
2
+x
2
= 3，求m．
1 2
1 当b为何值时，抛物线y = x2−2x+4在直线y = x+b上截得的弦长等于2√2．
思维突破 / 初二 / 春季
第 3 讲 二次函数（三）
自我巩固答案
1 已知函数y = ax2−6x+9．
(1)若函数与x轴有两个不同的交点，求a的取值范围；
(2)若函数与x轴有且只有一个交点，求a的取值；
(3)若函数与x轴没有交点，求a的取值范围．
2 已知二次函数y = 3x2+3x−13与直线y = −8x+7，求它们交点的坐标．
3 已知将抛物线y = 2x2 进行平移，使得新的抛物线在x轴上截得的线段长为1，在y轴上的截距为4，
求平移后得到的抛物线的解析式．
4 函数y = ( k2−1 ) x2+2kx+1与函数y = −x有一个公共点，求k的取值．
思维突破 / 初二 / 春季
第 3 讲 二次函数（三）
课堂落实答案
1 ①已知二次函数y = 4x2−5x+1，求它与坐标轴的交点；
②已知二次函数y = 4x2−7x−15，求它与坐标轴的交点．2 已知二次函数y = 6x2+14x+1与直线y = x−1，求它们交点的坐标．
3 已知二次函数y = x2−2ax+a−2．
(1)求证该二次函数与x轴有两个不同的交点；
(2)当a取何值时，该二次函数在x轴上截得的线段长最短，最短线段长为多少？
思维突破 / 初二 / 春季
第 4 讲 二次函数（四）
例题练习题答案
例1 求解下列不等式：
①x2+3x+2 > 0；②x2+2x+1 > 0；
③x2+2x+1 ≥ 0；④x2+2x+2 > 0；
⑤2x2+3x−2 > 0；⑥x2+3x+1 > 0；
⑦−4x2−5x+6 > 0；⑧−2x2+3x−2 > 0；
⑨−3x2−4x+1 > 0；⑩−2x2+5x−3 < 0．
例2 解不等式：2 ≤ x2+5x+8 < 3．
例3 不画图解下列一元二次不等式：
①(x−2)(x−3) > 0；②(x−1)(x+2) < 0；
③−x2+3x−2 ≥ 0；④−x2+5x+2 ≤ 0．
例4 解下列不等式：
x+1 x x+2 x−10
① < 0；② ≤ 0；③ > 1；④ ≥ 3．
x+5 9−x 5−x x−4
例5 求不等式x−1 < (x−1)2 < 3x+7的整数解的个数．
例6 解不等式：5|x|+24 < x2 ．
例7 解关于x的不等式：x2+(m−1)x−m ≥ 0．例8 关于x的不等式x2+(p−2)x+2p+1 > 0对任意的实数x均成立，求实数p的取值范围．
1 关于x的不等式mx2−(2m+1)x+3m+1 < 0对于任意实数x均成立，求实数m的取值范围．
思维突破 / 初二 / 春季
第 4 讲 二次函数（四）
自我巩固答案
1 解下列不等式：
①4x2−4x > 15；②14−x2 ≥ x；③4x2−x−6 < 0；
2 3x−1
④(2x−1)2−(3x+2)2 > 9；⑤− x2−2x < x+1；⑥ ≥ 0．
3 2x−3
2 关于x的不等式x2+mx+n ≤ 0的解集是−2 ≤ x ≤ 3，求m，n．
3 关于x的方程x2+2(m−1)x+3m2 = 11有两个不相等的实根，求m的取值范围．
思维突破 / 初二 / 春季
第 4 讲 二次函数（四）
课堂落实答案
1 解下列不等式：
x+1
①2x2+8x+3 > 0；②(x+3)(x−6) ≤ −8；③ ≥ 2；④9x2+28 > 84(x−2)．
x−5
2 解不等式：12 ≤ 3x2+5x+13 < 2x2+27．
思维突破 / 初二 / 春季
第 5 讲 二次函数（五）例题练习题答案
例1 已知抛物线y = 3x2−18x+13的图象经过 ( 17,y ) 、 ( 21,y ) ，比较y 和y 的大小．
1 2 1 2
例2 ①求二次函数y = x2−2x+5在3 ≤ x ≤ 6时的最大值和最小值；
②求二次函数y = −x2−5x+2在1 ≤ x ≤ 3时的最大值和最小值；
③求二次函数y = 2x2−8x−7在0 ≤ x ≤ 6时的最大值和最小值．
例3 ①已知二次函数y = x2−6x在m ≤ x ≤ 5时的最大值和最小值分别是0和−9，求m可能的取值；
②已知二次函数y = x2−6x在m ≤ x ≤ 5时的最大值和最小值分别是−5和−9，求m的取值范围．
例4 已知二次函数y = x2−2bx在0 ≤ x ≤ 5时的最小值是−5，求b的值．
例5 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现，当每套机械设备的月租
金为270元时，恰好全部租出，在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少
租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）10元，设每套设备的月租
金为x元，租赁公司出租该型号设备的月收益（收益 = 租金收入−支出费用）为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当月租金分别为300元和360元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时出租多少套机械设
备？
(3)当租金为多少时，租赁公司出租该型号设备月收益最大？最大月收益是多少？
例6 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在
5 49
距O点 米的B处发现球在自己的正上方达到最高点M，距地面约 米高，球落地后又一次弹起．
2 24
已知，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的
一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(3)求足球第一次落地后弹起抛物线的解析式．
例7 用长度为20米的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边
长为2x米．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属
框围成的图形的最大面积（矩形包括四条边）．
例8 y = x2+(1−a)x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1 ≤ x ≤ 3时，y在x = 1时取得最大值，
则实数a的取值范围是（ ）
A： a ≤ −5
B： a ≥ 5
C： a = 3
D： a ≥ 3
例9 如图，Rt △ ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B
2 5
两点的坐标分别为(−3,0)、(0,4)，抛物线y = x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x = 上．
3 2
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否
在该抛物线上，并说明理由；
(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设
点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐
标．1 已知二次函数y = x2+2x+c．
(1)当c = −3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；
(2)当−2 < x < 1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．
思维突破 / 初二 / 春季
第 5 讲 二次函数（五）
自我巩固答案
1 已知二次函数与x轴交于点(−1,0)，(3,0)，与y轴交于点(0,3)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当−2 ≤ x ≤ m时，二次函数的最大值和最小值分别是4和−5，求m的取值范围．
2 某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金
500万元添置机器设备进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现，年
销售单价定为100元时，年销售量为20万件，销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销
售单价为x元，年获利（年获利 = 年销售额−生产成本−投资）为z万元．
(1)试写出z与x之间的函数关系式；
(2)销售单价定为多少元时年获利最大？相应的年销售量为多少万件？年获利为多少万元？
3 1
如图，抛物线y = −x2+bx+c与直线y = x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为
2
7
( )
3, ．点P是y轴右侧抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
2(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明
理由．
思维突破 / 初二 / 春季
第 5 讲 二次函数（五）
课堂落实答案
1 求二次函数y = 3x2+12x−4在−3 ≤ x ≤ 1时的最大值和最小值．
2 已知二次函数y = −x2−px+4在−3 ≤ x ≤ 1时有最大值8，求p的值．
3 某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利
33万元．该生产线投入后，从第1年到第x年的维修、保养费累计为y（万元），且y = ax2+bx，若
第一年的维修、保养费为2万元，第二年的维修、保养费为4万元．
(1)求y的解析式；
(2)投产后，这个企业计划在五年内收回投资，这个计划能实现吗？
(3)投产后，这个企业在第几年累计创利达到最大值，最大值为多少？
思维突破 / 初二 / 春季
第 6 讲 二次函数（六）
例题练习题答案
例1 3
已知二次函数y = (t+1)x2+2(t+2)x+ ，在x = 0和x = 2时的函数值相等．
2
(1)求二次函数的解析式；
(2)若一次函数y = kx+6与二次函数的图象都经过点A(−3,m)，求m和k的值；(3)设二次函数的图象与x轴交于点B ， C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B ， C间
的部分（含点B和点C）向左平移n(n > 0)个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的
直线y = kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n
的取值范围．
例2 已知抛物线y = kx2+2kx−3k交x轴于A、B两点（A在左侧），交y轴于C点，且二次函数有最大值
4．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求出坐标，不存在，请说明理
由；
(3)在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△QBC是等腰三角形？若存在，求出坐标，不存在，请说
明理由．
例3 已知抛物线与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若M是抛物线上的一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求点M的坐标．
例4 平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2−4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点
C，点A的坐标为(1,0)，OB = OC，抛物线的顶点为D．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB = ∠ACB，求点P的坐标；
(3)若此抛物线的对称轴上的点M满足∠AMD = ∠ACB，求点M的坐标．
例5 已知二次函数对称轴为x = 2，与x轴交于A、B两点（A在左侧），AB = 6，与y轴交于C(0,5)．过
点A，斜率为1的直线l与抛物线另一个交点为P．
(1)求二次函数的解析式及点P的坐标；
(2)若点Q为抛物线上，AP段之间的动点，求△APQ面积最大时，点Q的坐标，并计算出最大面
积；
(3)若l的斜率变为2，求△APQ面积最大时，点Q的坐标．1 正方形边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂
直．
(1)证明：Rt △ ABM ∽ Rt △ MCN；
(2)设BM = x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系；并求出面积的最大值；
(3)当x为何值时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求出AM的长．
思维突破 / 初二 / 春季
第 6 讲 二次函数（六）
自我巩固答案
1 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y = x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左
侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0, −3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2) 连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形
POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最
大面积．
2 如图，已知A(2,0)，C ( 1,3√3 ) ，将△AOC绕AC中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线
y = ax2−2√3x经过点A，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式，并说明点B是否在抛物线上；
(2)若点P是线段OA上一点，且∠APD = ∠OAB，求点P的坐标；
(3)若点M是x轴上一点，以M，A，D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，
写出M的坐标．
思维突破 / 初二 / 春季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 二次函数y = ax2+bx+c (a ≠ 0)与一次函数y = ax+c在同一坐标系中的图象为（ ）
A：
B：
C：D：
2 不论m取任何实数，抛物线y = a(x+m)2−m(a ≠ 0)的顶点都（ ）
A： 在x轴上
B： 在y轴上
C： 在直线y = −x上
D： 在直线y = x上
3 下列说法正确的个数为（ ）
①形如y = ax2+bx+c的函数称为二次函数；
②不论a是正数还是负数，抛物线y = ax2 的顶点都是坐标原点；
③抛物线y = x2 −x+1，当x > 0时，y随x的增大而增大；
④在抛物线y = 2x2 ，y = −x2 ，y = x2 中，抛物线y = 2x2 开口最大，抛物线y = −x2 开口最小．
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
4 将抛物线y = ax2+bx+c沿x轴翻折后，所得到的抛物线解析式为（ ）
A： y = −ax2+bx+c
B： y = −ax2−bx+c
C： y = −ax2−bx−c
D： y = −ax2+bx−c
5 一次函数 y = 2x+1与二次函数y = x2−4x+3的图象交点个数（ ）
A： 只有一个
B： 有两个C： 一个或两个
D： 无交点
6 Rt △ ABC三个顶点都在抛物线y = 2x2 上，并且斜边平行于x轴，则斜边上的高为（ ）
A： 1
2
B： √2
2
C： 1
D： √2
7 3
二次函数y = −3x2+6x+1在−1 ≤ x ≤ 时，最大值和最小值是（ ）
2
A： 4，−8
B： 13
4，
4
C： 13
，−8
4
D： 4，0
8 若m，n（m < n）是关于x的方程1−(x−a)(x−b) = 0的两个根，且a < b，则a，b，m，n的大小
关系是（ ）
A： m < a < b < n
B： a < m < n < b
C： a < m < b < n
D： m < a < n < b
9 如图是二次函数 y = ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点A(−3,0)，对称轴为x = −1．
下列四个结论：①b2 > 4ac；②2a+b = 0；③a−b+c = 0；④5a < b，正确的是_________．10 二次函数y = ax2+4x+a的最大值是3，则a = ________．
11 若二次函数y = x2−mx+3的图象与x轴只有一个交点，则m = _______．
12 已知抛物线y = ax2+bx+c（a ≠ 0）的对称轴是x = 1，且经过点(3, −1)，则a−b+c =
__________．
13 已知直线y = 5x+k与抛物线y = x2+3x+5交点的横坐标为1，则k = ______，交点坐标为
________．
14 1 1
( )
关于x的一元二次方程 m− x2+(m−1)x+m = 有两个不相等的实根，则实数m的取值范围为
2 2
___________．
15 计算题：
1 5
( ) ( )
①已知二次函数y = ax2+bx+c过点 1, ， −2, − ，(3,5)，求二次函数的解析式．
3 3
②已知二次函数y = ax2+bx+c过(−3,0)，(1,0)两点，与y轴的交点为(0,4)，求二次函数的解析
式．
16 解二次不等式：
①解关于x的不等式：2x2−9x+3 ≤ 0；
②解关于x的不等式：−x2+2x−5 < 0．
17 1 8
小胡在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y = − x2+ x，其中y(m)是
5 5
球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m，如图所示．(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴；
(2)请求出球飞行的最大水平距离；
(3)若小胡再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满
足怎样的抛物线，求出其解析式．
18 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发
现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数关系式（其中x ≥ 50）；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w（元）与售价x（元/箱）之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？
19 抛物线经过A(4,0)，B(1,0)，C(0, −4)三点，抛物线的顶点为D．
(1)求出抛物线的解析式及D的坐标；
(2)求△DCA的面积；
(3)在抛物线上找一点P，使得△PCA面积和△BCA面积一样．（不包括B点）
20 已知P(−3,m)和Q(1,m)是抛物线y = 2x2+bx+1上的两点．(1)求b的值；
(2) 试判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1 = 0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没
有，请说明理由；
(3) 将抛物线y = 2x2+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交
点，求k的最小值．
21 已知二次函数y = x2+mx+2，当0 ≤ x ≤ 1时，y的最小值为1，请结合图象的性质，求出m的值．
思维突破 / 初二 / 春季
第 8 讲 锐角三角形
例题练习题答案
例1 在直角△ABC中，已知∠C = 90∘，a = 6，b = 8，分别求∠A、∠B的三个三角函数值．
例2 2
已知在直角△ABC中，∠C = 90∘，sinA = ，BC = 10，求AB、AC．
5
例3 (1) 5
在Rt △ ABC中，∠C为直角，已知cosA = ，求sinA、tanA的值；
13
(2) 1
在Rt △ ABC中，∠C为直角，已知sinA = ，求cosA、tanA的值．
3
例4 4
在Rt △ ABC中，∠C = 90∘，sinA = ，则cosB的值等于（ ）
5
A： 3
5
B： 4
5
C： 3
4D： √5
5
例5 已知α为锐角，计算下列问题：
(1)若sinα = 3cosα，求sinα，cosα；
(2) 1
若sin2α−cos2α = ，求tan2α的值；
2
(3) 5
若sinα+cosα = ，求sinα⋅cosα，sinα的值．
4
例6 计算：
①4cot30∘ −2sin60∘ +2cos60∘；
②cos230∘ +sin245∘ −tan245∘；
③sin260∘ +cos230∘；
④sin260∘ +cos260∘；
⑤2sin30∘ +2cos60∘ +4tan45∘；
2sin30∘
⑥ ．
2cos30∘ −1
例7 在△ABC中，∠C为直角，已知AB = 2√3，BC = 3，求∠B和AC．
例8 (1) 2
已知cos ( 180∘ −α ) = ，求sinα；
3
(2) 1
已知sinα = ，求cos ( 180∘ −α ) ．
2
例9 计算：
①4cos150∘ −√2sin135∘ +2cot60∘；
1
②tan60∘ ⋅cos150∘ + ．
tan120∘
例10 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C = 90∘，延长CB到点D，使AB = BD，连接AD．(1) 利用右图计算tan22.5∘；
(2)试自己画图计算\tan 15{}^\circ ．
1 一个三角形的边长分别为a、a、b，另一个三角形的边长分别为b、b、a，其中a>b，若两个三角
形的最小内角相等，试求\frac{a}{b}的值．解决了这个问题后，你是否知道了18{}^\circ 的三角函
数值呢？72{}^\circ 的三角函数值呢？
思维突破 / 初二 / 春季
第 8 讲 锐角三角形
自我巩固答案
1 计算：
①\sin 60{}^\circ +{{\cos }^{2}}45{}^\circ +\frac{\tan 30{}^\circ }{\tan 60{}^\circ }；
② {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-1}}-2\cos 30{}^\circ +\sqrt{27}+{{\left( 2-\text{
}\!\!\pi\!\!\text{ } \right)}^{0}}．
2 已知90{}^\circ <\alpha <180{}^\circ ，\sin \alpha =\frac{1}{4}，求\cos \alpha ，\tan
\alpha 的值．
3 在\text{Rt}\vartriangle ABC中，∠C为直角，解下列问题：
(1)已知b=8，\angle A=30{}^\circ ，求a，c；
(2)已知\cos A=\frac{8}{17}，b=20，求\tan A，a．
4 当45{}^\circ <\alpha <90{}^\circ 时，\sin \alpha ，\cos \alpha ，\tan \alpha 的大小关系是
（ ）
A： \sin \alpha <\cos \alpha <\tan \alpha
B： \cos \alpha <\sin \alpha <\tan \alpha
C： \tan \alpha <\sin \alpha <\cos \alphaD： \tan \alpha <\cos \alpha <\sin \alpha
5 已知\tan \alpha =2，求值：
(1)\frac{3\sin \alpha -2\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }；
(2)\frac{2}{3}{{\sin }^{2}}\alpha +\frac{1}{4}{{\cos }^{2}}\alpha ．
思维突破 / 初二 / 春季
第 8 讲 锐角三角形
课堂落实答案
1 计算：
①{{\sin }^{2}}45{}^\circ -{{\cos }^{2}}30{}^\circ \div \left( \tan 60{}^\circ -\frac{1}{\tan
60{}^\circ } \right)；
②\frac{\sin 60{}^\circ -\sin 30{}^\circ }{\cos 30{}^\circ +\cos 60{}^\circ }；
③{{\sin }^{2}}45{}^\circ +{{\cos }^{2}}45{}^\circ ；
④{{\left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-3 \right)}^{0}}+\sqrt{18}-2\sin 45{}^\circ -{{\left( \frac{1}
{8} \right)}^{-1}}．
2 在Rt△ABC中，∠C为直角，解下列问题：
(1)已知a=5，\angle B=60{}^\circ ，求b；
(2)已知a=5\sqrt{2}，b=5\sqrt{6}，求∠A．
3 已知\alpha 为锐角，若\tan \alpha =3，求3\sin \alpha +\cos \alpha 的值．
思维突破 / 初二 / 春季
第 9 讲 解三角形
例题练习题答案
例1 解下列直角三角形：(1)在\text{Rt}\vartriangle ABC中，\angle C=90{}^\circ ，\angle A=30{}^\circ ，BC=5，
求AB，AC；
(2)在\text{Rt}\vartriangle ABC中，\angle C=90{}^\circ ，AC=2，BC=1，求\tan B，\sin
A；
(3)已知在直角三角形ABC中，\angle C=90{}^\circ ，\sin A=\frac{2}{5}，BC=20，求AB，
AC．
例2 如图，已知△ABC中，\angle A=45{}^\circ ，\angle B=30{}^\circ ．
(1)若AC=2，求AB和BC的长；
(2)若AB=1+\sqrt{3}，求AC和BC的长．
例3 如图，已知△ABC，\angle A=135{}^\circ ，\angle B=30{}^\circ ．
(1)若AC=2，求AB和BC的长；
(2)AB=\sqrt{3}-1，求AC和BC的长．
例4 已知：如图，在\text{Rt}\vartriangle ABC中，\angle C=90{}^\circ ，AC=\sqrt{3}，点D为BC
边上一点，且BD=2AD，\angle ADC=60{}^\circ ，求\vartriangle ABC的周长．
例5 如图，已知在测点C处，测得一铁塔顶端A的仰角\angle ACE=\alpha ，BD=a，仪器的高度
CD=b，求铁塔的高AB．例6 如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从A点测得D点的俯角\alpha 为35°，测得C点的俯角\beta
为43°，求这两个建筑物的高度．
例7 如图，已知C、D两点与物体AB的底端B点在一直线上，并且CD=a，仪器C{C}'，D{D}'的高都是
b，在{C}'，{D}'两点测得物体的顶点A的仰角分别是\alpha ，\beta ，求物体AB的高．
例8 如图所示，甲乙两座高楼，站在乙楼顶点C处测得甲楼顶部点A的仰角为30{}^\circ ，测得甲楼底
部点B处的俯角为45{}^\circ ，若甲楼高为50米，求甲乙两楼间的距离BD及乙楼的高度CD．
例9 小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20米，摩天轮匀速旋转1周需要12
分钟，小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5米）开始观光．
(1)2分钟后，小明离地面的高度是多少？
(2)摩天轮启动多少时间后，小明离地面的高度将首次达到8.5米？
(3)小明将有多长时间连续保持在离地面30.5米以上的空中？（参考数据：\sin 37{}^\circ
\approx 0.6，\tan 37{}^\circ \approx 0.75）
例10 已知：在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上的一点，点E在线段DF的延长线
上，点M在线段DF上，且\angle BAE=\angle BDF，\angle ABE=\angle DBM．(1)如图1，当\angle ABC=45{}^\circ 时，线段DM与AE之间的数量关系是_________；
(2)如图2，当\angle ABC=60{}^\circ 时，线段DM与AE之间的数量关系是_________；
(3)①当\angle ABC=\alpha \left( 0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ \right)时，线段DM与AE之
间的数量关系是_________；
②在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=2\sqrt{7}，求\sin
\angle ACP的值．
例11 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线
上，且\angle CBF=\frac{1}{2}\angle CAB．
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若AB=5，\sin \angle CBF=\frac{\sqrt{5}}{5}，求BC和BF的长．
思维突破 / 初二 / 春季
第 9 讲 解三角形
自我巩固答案
1 如图，等腰直角三角形ABC中，\angle C=90{}^\circ ，且\angle CBD=30{}^\circ ．(1)求\frac{DC}{AD}的值；
(2)利用上图，计算\sin 15{}^\circ ，\cos 15{}^\circ ，\tan 15{}^\circ ．
2 如图，△ABC中，\angle C=90{}^\circ ，\sin B=\frac{3}{5}，D是BC上一点，\angle
ADC=45{}^\circ ，DC=6，求\tan \angle BAD．
3 如图所示，城管幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑
滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上．（参考数据：\sqrt{2}\approx
1.414，\sqrt{3}\approx 1.732，\sqrt{6}\approx 2.449，以上结果均保留到小数点后两位）
(1)改善后滑滑板会加长多少米？
(2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样
改造是否可行？请说明理由．
思维突破 / 初二 / 春季
第 9 讲 解三角形
课堂落实答案
1 在Rt△ABC中，\angle C=90{}^\circ ，\angle B=35{}^\circ ，AB=7，则BC的长为（ ）
A： 7sin35°
B： \frac{7}{\text{cos}35{}^\circ }
C： 7cos35°
D： 7tan35°2 在Rt△ABC中，\angle C=90{}^\circ ，\tan B=\sqrt{2}，AB=6，求AC，BC及\sin A，\cos A，
\tan A．
3 据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因．某校数学课外小组的几个同学
想尝试用自己所学的知识检测车速，高速公路某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超
过80千米），如图，他们将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处．这时，一辆轿车由乙向甲
匀速直线驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得\angle APO=59{}^\circ ，
\angle BPO=45{}^\circ ．试计算AB并判断此车是否超速？（精确到0.001）（参考数据：\sin
59{}^\circ \approx 0.8572，\cos 59{}^\circ \approx 0.5150，\tan 59{}^\circ \approx
1.6643）
思维突破 / 初二 / 春季
第 10 讲 相似三角形进阶（一）
例题练习题答案
例1 (1)如图所示，已知□ABCD中，M为AB上靠近A的三等分点，N为AB的中点，DM、DN分别交
AC于P、Q两点，则AP:PQ:QC=______________；
(2)如图，△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的一点，BE交AD于O，且\frac{AE}
{AC}=\frac{1}{n}，试计算\frac{AO}{AD}．
例2 如图，AB\parallel CD，AC、BD交于点E，EF\parallel CD交BC于F，求证：(1)\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}；
(2)\frac{1}{{{S}_{\vartriangle ABC}}}+\frac{1}{{{S}_{\vartriangle DBC}}}=\frac{1}
{{{S}_{\vartriangle EBC}}}．
例3 如图，平行四边形ABCD中，E为CD上一点，AE交BD于点O，AE的延长线交BC延长线于点F，证
明：O{{A}^{2}}=OE\cdot OF．
例4 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，\angle ADE=\angle ABC=90{}^\circ ．
(1)证明：△ABD∽△ACE；
(2)设BD=4，求CE的长．
例5 如图，在△ABC中，\angle ABC=60{}^\circ ，点P是△ABC内一点，使得\angle APB=\angle
BPC=\angle CPA，PA=6，PC=8，求PB的长．
例6 如图，△ABC中，\angle ACB=90{}^\circ ，CD⊥AB于D，M是CD上的点，DH⊥BM于H，DH
的延长线交AC的延长线于E．求证：(1)△AED∽△CBM；
(2)AE\cdot CM=AC\cdot CD．
例7 如图，正方形DEFG的顶点分别在△ABC的三边上．
(1)如果BC=100，高AH=80，求线段DG；
(2)如果△ADG、△DBE、△GFC面积分别为1、1、3，求线段DG．
例8 如图，⊙O经过⊙P的圆心P，与⊙P相交于A、B两点，AC是⊙O的弦，CB的延长线交⊙P于D，
CP交AB于E，CP的延长线交AD于M．求证：
(1)AP\cdot AC=AE\cdot CP；
(2)CM⊥AD．
例9 如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F，Q．
记△AEF的面积为{{S}_{1}}，四边形EFQP的面积为{{S}_{2}}，四边形PQCB的面积为{{S}_{3}}．(1)若{{S}_{1}}+{{S}_{3}}={{S}_{2}}，则\frac{PE}{AE}=_________；
(2)若{{S}_{1}}+{{S}_{2}}={{S}_{3}}，则\frac{PE}{AE}=_________．
例10 如图，□ABCD中，CE⊥AB，交AB延长线于E，CF⊥AD，交AD延长线于F，求证：
A{{C}^{2}}=AB\cdot AE+AD\cdot AF．
思维突破 / 初二 / 春季
第 10 讲 相似三角形进阶（一）
自我巩固答案
1 已知△ABC，AB=18，AC=12，点D，E，F分别在BC，CA，AB上，且四边形DEAF是菱形，求此
菱形的边长．
2 如图，ABCD是正方形，A、E、F、G在同一条直线上，并且AE=5，EF=3，求FG．
3 如图，直角梯形ABCD中，BC\parallel AD，\angle BAD=90{}^\circ ，AC\bot BD，已知
\frac{BC}{AD}=k，求\frac{AC}{BD}的值．
4 如图，在△ABC中，D，E为AB，AC边上的点，已知\angle ADE=\angle ACB，证明：\angle
DBE=\angle DCE．思维突破 / 初二 / 春季
第 10 讲 相似三角形进阶（一）
课堂落实答案
1 如图，正方形EFGH内接于△ABC，如果AC=3，BC=4，AB=5，则EF=________．
2 如图，在△ABC中，DE\parallel BC，DF\parallel AC，求证：\frac{AD}{DB}=\frac{AE}
{DF}=\frac{FC}{BF}．
3 如图，△ABC中，三内角平分线交于点O，过点O作OA的垂线分别交AB，AC于点M，N，求证：
(1)B{{O}^{2}}=BM\cdot BC；
(2)O{{M}^{2}}=BM\cdot CN．
思维突破 / 初二 / 春季第 11 讲 相似三角形进阶（二）
例题练习题答案
例1 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，M为DE中点，AM与BE交于点N，AD与
BE相交于点F，求证：
(1)△ADM∽△BCE；
(2)AM⊥BE．
例2 如图，△ABC中，\angle ACB=90{}^\circ ，CD⊥AB于D，AF平分\angle CAB，交CD于E，交
BC于F，求证：\frac{C{{E}^{2}}}{D{{E}^{2}}}=\frac{AB}{AD}．
例3 △ABC中，AD是角平分线，AD的中垂线交BC延长线于F，求证：F{{D}^{2}}=FB\cdot FC．
例4 (1)在矩形ABCD中，由8个边长均为1的正方形组成的“L型”模板如图1放置，则BC边的长度为
_________；
(2)如图2，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分
别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE的长为_________．例5 已知在梯形ABCD中，AD\parallel BC，AD0）的图象上存在两个不同的“梦之
点”A\left( {{x}_{1}},{{x}_{1}} \right)，B\left( {{x}_{2}},{{x}_{2}} \right)，且满足-2<{{x}_{1}}
<2，\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2，令t={{b}^{2}}-2b+\frac{157}{48}，试求出t的取值
范围．
例2 对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这
个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的
不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两
个不变值，其不变长度q等于1．(1)分别判断函数y=x+1，y=\frac{2}{x}，y={{x}^{2}}-2有没有不变值？如果有，直接写出其不
变长度；
(2)函数y=2{{x}^{2}}-bx．
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1\le b\le 3，求其不变长度q的取值范围；
(3)记函数y={{x}^{2}}-2x\left( x\ge m \right)的图象为{{G}_{1}}，将{{G}_{1}}沿x=m翻折后得到
的函数图象记为{{G}_{2}}，函数G的图象由{{G}_{1}}和{{G}_{2}}两部分组成，若其不变长度q满
足0\le q\le 3，则m的取值范围为多少？
例3 我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
(1)①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有____________；
②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB\ne CD，则该四边形_______“十字形”．
（填“是”或“不是”）
(2)如图1，A，B，C，D是半径为1的\odot O上按逆时针方向排列的四个动点，线段AC与BD交
于点E，\angle ADB-\angle CDB=\angle ABD-\angle CBD，当6\le
A{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}\le 7时，求OE的取值范围；
(3)如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a{{x}^{2}}+bx+c（a，b，c为常数，a>0，
c<0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为
\left( 0,-ac \right)，记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB、△COD、△AOD、△BOC的面
积分别为{{S}_{1}}，{{S}_{2}}，{{S}_{3}}，{{S}_{4}}．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析
式；
①\sqrt{s}=\sqrt{{{s}_{1}}}+\sqrt{{{s}_{2}}}；②\sqrt{s}=\sqrt{{{s}_{3}}}+\sqrt{{{s}_{4}}}；
③“十字形”ABCD的周长为12\sqrt{10}．
例4 给出如下定义：对于\odot O的弦MN和\odot O外一点P（M，O，N三点不共线，且点P，O在
直线MN的异侧），当\angle MPN+\angle MON=180{}^\circ 时，则称点P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图．在平面直角坐标系xOy中，\odot O
的半径为1．
(1)如图2，M\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right)，N\left( \frac{\sqrt{2}}{2},-
\frac{\sqrt{2}}{2} \right)．在A\left( 1,0 \right)，B\left( 1,1 \right)，C\left( \sqrt{2},0
\right)三点中，是线段MN关于点O的关联点的是_________________________；
(2)如图3，M\left( 0,1 \right)，N\left( \frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2} \right)，点D是线段MN
关于点O的关联点．
①\angle MDN的大小为___________________°；
②在第一象限内有一点E\left( \sqrt{3}m,m \right)，点E是线段MN关于点O的关联点，判断
\vartriangle MNE的形状，并直接写出点E的坐标；
③点F在直线y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2上，当\angle MFN\ge \angle MDN时，求点F的横坐
标{{x}_{F}}的取值范围．
1 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)，点Q的坐标为\left(
{{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)，且{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}，{{y}_{1}}\ne {{y}_{2}}，若P，Q为某个矩形的
两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点
P，Q的“相关矩形”示意图．
(1)已知点A的坐标为\left( 1,0 \right)，
①若点B的坐标为\left( 3,1 \right)，求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
(2)\odot O的半径为\sqrt{2}，点M的坐标为\left( m,3 \right)，若在\odot O上存在一点N，使
得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．思维突破 / 初二 / 春季
第 14 讲 新定义问题
自我巩固答案
1 在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为10，则称此点为“合适点”．例如，点
\left( 1,9 \right)，\left( -2020,2030 \right)\cdots 都是“合适点”．
(1)求函数y=2x+1的图象上的“合适点”的坐标；
(2)求二次函数y={{x}^{2}}-5x-2的图象上的两个“合适点”A，B之间线段的长；
(3)若二次函数y=a{{x}^{2}}+4x+c的图象上有且只有一个“合适点”，其坐标为\left( 4,6
\right)，求二次函数y=a{{x}^{2}}+4x+c的表达式；
(4)我们将抛物线y=2{{\left( x-n \right)}^{2}}-3在x轴下方的图象记为{{G}_{1}}，在x轴及x轴上
方图象记为{{G}_{2}}，现将{{G}_{1}}沿x轴向上翻折得到{{G}_{3}}，图象{{G}_{2}}和图象
{{G}_{3}}两部分组成的记为G，当图象G上恰有两个“合适点”时，直接写出n的取值范围．
2 阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形!
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角
形”是真命题还是假命题？
(2)在\text{Rt}△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且c>b>a，如果\text{Rt}△ABC是奇异三角
形，求a:b:c；
(3)如图，AB是\odot O的直径，C是\odot O上一点（不与点A，B重合），D是半圆
\overset\frown{ADB}的中点，C，D在直径AB的两侧，若在\odot O内存在点E，使
AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求\angle AOC的度数．
思维突破 / 初二 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 已知\alpha 是一个锐角，且\cos \left( 90{}^\circ -\alpha \right)=0.5，则\alpha 的度数是
（ ）
A： 30°
B： 45°
C： 60°
D： 90°
2 把Rt△ABC的各边都扩大为原来的3倍，得到Rt△A'B'C'，那么锐角\angle A和\angle A'满足
（ ）
A： \cos A=3\cos A'
B： \sin A=\sin A'
C： 3\tan A=\tan A'
D： 以上都不对
3 在Rt△ABC中，\angle C=90{}^\circ ，\angle A=25{}^\circ ，AB=25，则AC的长为（ ）
A： 25\cdot \sin 25{}^\circ
B： \frac{25}{\sin 25{}^\circ }
C： 25\cdot \cos 25{}^\circD： 25\cdot \tan 25{}^\circ
4 已知\cos \alpha <\frac{1}{2}，那么锐角\alpha 的取值范围是（ ）
A： 0{}^\circ <\alpha <30{}^\circ
B： 0{}^\circ <\alpha <60{}^\circ
C： 30{}^\circ <\alpha <90{}^\circ
D： 60{}^\circ <\alpha <90{}^\circ
5 如图，已知\angle A=\angle B，A{{A}_{1}}，P{{P}_{1}}，B{{B}_{1}}均垂直于A{{B}_{1}}，且
A{{A}_{1}}=17，P{{P}_{1}}=16，B{{B}_{1}}=20，{{A}_{1}}{{B}_{1}}=12，则AP+BP为（ ）
A： 12
B： 13
C： 14
D： 15
6 在锐角△ABC中，已知\sin A+\sin \left( B+C \right)=1，则\angle A为（ ）
A： 15°
B： 30°
C： 45°
D： 60°
7 已知在正三角形ABC中，有一点P，使得AP=3，BP=4，CP=5，则\angle APB为（ ）
A： 90°
B： 120°
C： 135°
D： 150°8 已知二次函数y=a{{x}^{2}}-2ax+c，点A\left( -2,m \right)，B\left( 2,n \right)在此抛物线上，则
m，n的大小关系（ ）
A： 不能确定
B： mn
D： m=n
9 已知\angle A是锐角△ABC的一个内角，若\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}，则\angle A=_________．
10 计算：\sin 30{}^\circ +\frac{\tan 60{}^\circ }{\cos 45{}^\circ +\tan 45{}^\circ
}=___________．
11 一个等腰三角形的三边长分别为5，5，6，那么它的顶角的正弦值为__________．
12 如图，已知正方形DEFG内接于边长为1的正三角形ABC，则正方形的边长是________．
13 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，那么\cos \angle BAC=________．
14 计算：{{\cos }^{2}}1{}^\circ +{{\cos }^{2}}2{}^\circ +\cdots +{{\cos }^{2}}89{}^\circ
=________．
15 计算题：
(1)在\text{Rt}\vartriangle ABC中，\angle C=90{}^\circ ，已知c=\frac{2\sqrt{3}}{3}，
b=1，求\angle A，\angle B和a；
(2)在△ABC中，已知a=1，\angle B=105{}^\circ ，\angle C=30{}^\circ ，求b．
16 定义：在平面直角坐标系xOy中，如果将点P绕点T\left( 0,t \right)（t>0），旋转180{}^\circ 得
到点Q，那么称线段QP为“拓展带”，点Q为点P的“拓展点”．(1)如果t>1，当点M\left( 2,1 \right)的“拓展点”N在函数y=-\frac{4}{x}的图象上时，求t的
值；
(2)当t=1时，点Q为点P\left( 2,0 \right)的“拓展点”，如果抛物线y={{\left( x-m
\right)}^{2}}-1与“拓展带”PQ有交点，求m的取值范围．
17 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，\tan B=\cos \angle DAC．
(1)求证：AC=BD；
(2)若\sin C=\frac{12}{13}，BC=12，求AD的长．
18 在\vartriangle ABC中，BA=BC，\angle BAC=\alpha ，M是AC的中点，P是线段BM上的动
点，将线段PA绕点P顺时针旋转2\alpha 得到线段PQ．
(1)若\alpha =60{}^\circ 且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请
补全图形，并写出\angle CDB的度数；
(2)在图2中，点P不与点B\ \unicode{0xFF0C}\ \ M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点
D，猜想\angle CDB的大小（用含\alpha 的代数式表示），并加以证明；
(3)对于适当大小的\alpha ，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使
得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出\alpha 的范围．
19 已知：△ABC中，AB=4\sqrt{5}，\tan B=\frac{1}{2}，\sin C=\frac{4}{5}，求BC的长．20 函数图象上的任意一点P\left( x,y \right)，y-x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐
标差”的最大值称为该函数的“特征值”．二次函数y=-{{x}^{2}}+bx+c（bc\ne 0）交x轴于点
A，交y轴于点B，点A与点B的“坐标差”相等，若此二次函数的“特征值”为-1，当m\le x\le
m+3时，此函数的最大值为-2m，求m．
