文档内容
能力强化 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
例题练习题答案
例1 (1)【答案】D
6cm 8cm
(2)【答案】 或
练1.1 【答案】解：由题可知
b+c > a a+c > b a+b > c
， ， ．
= −(a−b−c)+(b−c −a)+(a+b−c)
原式
= −a+b+c +b−c −a+a+b−c
= −a+3b−c
例2 【答案】解：∵ ∠ADE = ∠B+∠F ，
∠F = ∠ADE −∠B = 50∘ −35∘ = 15∘
∴ ，
∠CED = ∠ACF +∠F = 115∘ +15∘ = 130∘
∴ ．
练2.1 【答案】131
例3 (1)【答案】46
(2)【答案】68
练3.1 (1)【答案】D
(2)【答案】256
例4 (1)【答案】D
(2)【答案】360
【解析】提示，利用三角形内角和即可．
练4.1 【答案】B
练4.2 【答案】C
例5 (1)【答案】180°
(2)【答案】100°练5.1 (1)【答案】B
(2)【答案】80°
例6 【答案】 40
∵ AD ∠B = 72∘
【解析】解： 是高， ，
∴ ∠BAD = 18∘
，
∴ ∠BAE = 18∘ +16∘ = 34∘
，
∵ AE
是角平分线，
∴ ∠BAC = 68∘
，
∴ ∠C = 180∘ −72∘ −68∘ = 40∘
．
练6.1 【答案】74
∠A = 40∘ ∠B = 72∘
【解析】∵ ， ，
∠ACB = 68∘
∴ ，
∵CE平分 ∠ACB ，CD⊥AB于D，
∠BCE = 34∘ ∠BCD = 90−72 = 18∘
∴ ， ，
∵DF⊥CE，
∠CDF = 90∘ −(34∘ −18∘) = 74∘
∴ ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
自我巩固答案
1 【答案】D
【解析】①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是12cm．
故选：D．
2 【答案】D
3 【答案】4
4 【答案】B
5 【答案】C6 【答案】C
【解析】解：∵∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-∠A-∠1-∠2=180°-80°-15°-40°=45°，
∵∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-45°=135°．
故选：C．
7 【答案】B
8 【答案】50°
∵ AD ∠B = 70∘
【解析】 是高， ，
∴ ∠BAD = 20∘
，
∴ ∠BAE = 20∘ +10∘ = 30∘
，
∵ AE
是角平分线，
∴ ∠BAC = 60∘
，
∴ ∠C = 180∘ −70∘ −60∘ = 50∘
．
9 【答案】
105∘
10 【答案】解：（1）在△DBC中，
∠DBC +∠DCB+∠D = 180∘
∵ ，
∠D 90∘
而 ＝ ，
∠DBC +∠DCB 90∘
∴ ＝ ；
故答案为：90°；
（2）在△ABC中，
∠ABC +∠ACB+∠A = 180∘
∵ ，
∠ABD+∠DBC +∠DCB+∠ACD+∠BAC =180∘
即 ，
∠DBC +∠DCB = 90∘
而 ，
∠ABD+∠ACD = 90∘−∠BAC
∴ ，
∠ABD+∠BAC =90∘ −∠ACD =70∘
∴ ．
MN // DE
又∵ ，
∠ABD = ∠BAN
∴ ．
∠BAN +∠BAC +∠CAM =180∘
而 ，
∠ABD+∠BAC +∠CAM =180∘
∴ ，
∴ ∠CAM = 180∘ −(∠ABD+∠BAC) = 110∘
．能力强化 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
课堂落实答案
1 【答案】C
【解析】A、∵ 1+1 = 2 ，无法构成三角形，故此选项错误；
B、∵ 2+2 < 5 ，无法构成三角形，故此选项错误；
C、∵ 3+3 > 5 ， 3 = 3 ，故组成等腰三角形，此选项正确；
D、∵3，4，5没有相等的边，不是等腰三角形，故此选项错误．
故选：C．
2 【答案】B
2+x > 13
【解析】 解:由题意可得, { , 解得, 11 < x < 15 , 所以, x 为 12 、 13 、 14 ; 故选 B . 根据
x < 13+2
三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边,两边差小于第三边;解答即可; 本题考查了
三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边,两边差小于第三边;牢记三角形的三边关系
定理是解答的关键.
3 【答案】B
4 【答案】A
5 【答案】C
能力强化 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
精选精练
1 【答案】B
【解析】解：∵三角形的三边a、b、c的长都是整数，且 a ≤ b < c ，如果b＝5，
∴a＝1，2，3，4，5，
当a＝1，b＝5时，根据三角形的三边关系，得 4 < c < 6 ，再根据已知条件，知不存在；
当a＝2，b＝5时，则c＝6；当a＝3，b＝5时，则c＝6，7；
当a＝4，b＝5时，则c＝6，7，8；
当a＝5，b＝5时，则c＝6，7，8，9．
故选：B．
2 【答案】30°
【解析】∵CE平分∠ACD，
1 1
∴∠ACE= ×∠ACD= ×100°=50°，
2 2
∵FG∥CE，
∴∠AFG=∠ACE=50°，
在△AFG中，
外角∠BAC=∠AFG+∠AGF=50°+20°=70°，
又∵∠ACB=180°﹣∠ACD=180°﹣100°=80°，
∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣70°﹣80°=30°．
故答案为：30°．
3 【答案】C
4 【答案】解：（１） ∠A+∠B+∠C +∠D+∠E = 180∘ .
（２）无变化．
∠BAC +∠CAD+∠DAE = 180∘
根据平角的定义，得出 ．
∠BAC = ∠C +∠E ∠EAD = ∠B+∠D
∵ ， ，
∠CAD+∠B+∠C +∠D+∠E = ∠BAC+∠CAD+∠DAE = 180∘
∴ ．
（３）无变化．
∠ACB = ∠CAD+∠D ∠ECD = ∠B+∠E
∵ ， ，
∠CAD+∠B+∠ACE +∠D+∠E = ∠ACB+∠ACE +∠ECD = 180∘
∴ ．
5 (1)【答案】 ∠FDC +∠ECD = 180∘ +∠A
∵ ∠FDC = ∠A+∠ACD ∠ECD = ∠A+∠ADC
【解析】 ， ，
∴ ∠FDC +∠ECD = ∠A+∠ACD+∠A+∠ADC = 180∘ +∠A
；
1
(2)【答案】∠P = 90∘ + ∠A
2
∵ DP CP ∠ADC ∠ACD
【解析】 、 分别平分 和 ，
1 1
∴ ∠PDC = ∠ADC ∠PCD = ∠ACD
， ，
2 2
∴ ∠P = 180∘ −∠PDC −∠PCD
1 1
= 180∘ − ∠ADC − ∠ACD
2 21
= 180∘ − (∠ADC +∠ACD)
2
1
= 180∘ − (180∘ −∠A)
2
1
= 90∘ + ∠A
；
2
∵ DP CP ∠ADC ∠BCD
(3)【答案】解： 、 分别平分 和 ，
1 1
∴ ∠PDC = ∠ADC ∠PCD = ∠BCD
， ，
2 2
∴ ∠P = 180∘ −∠PDC −∠PCD
1 1
= 180∘ − ∠ADC − ∠BCD
2 2
1
= 180∘ − (∠ADC +∠BCD)
2
1
= 180∘ − (360∘ −∠A−∠B)
2
1
= (∠A+∠B)
．
2
6 【答案】（1）360°；（2）180°；（3）210°.
能力强化 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
例题练习题答案
例1 (1)【答案】C
∠A = 60∘
【解析】∵ ，
∠ABC +∠ACB = 180∘ −∠A = 120∘
∴ ，
∵BO、CO分别是△ABC的 ∠ABC 、 ∠ACB 的平分线，
1 1
∠OBC = ∠ABC ∠OCB = ∠ACB
∴ ， ，
2 2
1
∠OBC +∠OCB = (∠ABC +∠ACB) = 60∘
∴ ，
2
∠BOC = 180∘ −(∠OBC +∠OCB)= 180∘ −60∘ = 120∘
∴ ，
∠DOE = 120∘
∴ ．
1
(2)【答案】① ∠BG 1 C = 90∘ + ∠A ，
2
2
∠BG C = 60∘ + ∠A
② 2 ，
3
180∘ n−1
③∠BG
n−1
C= + ∠A
n n
练1.1 (1)【答案】125【解析】解：（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°，
∵OB、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°，
2
∴∠O=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=125°；
故答案为：125°．
1
(2)【答案】∠BOC=120°+ α
3
【解析】如图2，在△OBC中，
∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
1
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
3
1
=180°﹣ （180°﹣∠A）
3
1
=120°+ ∠A
3
1
=120°+ α．
3
例2 (1)【答案】理由如下：因为BA 、CA 平分∠A BC和∠A CM（已知），
2 2 1 1
所以∠A BC=2∠1，∠A CM=2∠2（角平分线的意义）．
1 1
因为∠A CM=∠A BC+∠A ，∠2=∠1+∠A ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的
1 1 1 2
1
两个内角的和），所以∠A = ∠A ，
2 2 1
因为∠A =68°，所以∠A =34°，
1 2
故答案为：34°.
(2)【答案】∠A =17°．
3
θ
(3)【答案】∠A
n
=
2n−1
练2.1(1)【答案】∵OP、CP分别是 ∠AOE 和 ∠ACE 的角平分线，
∠ACE = 2∠PCE ∠AOE = 2∠POE
∴ ， ，
1
∠PCE −∠POE = (∠ACE −∠AOE)
∴ ，
2
∠A = ∠ACE −∠AOE ∠P = ∠PCE −∠POE
∵ ， ，
∠A = 2∠P
∴ ．
∠OAC = 45∘
∵
∠P = 22.5∘
∴
1 1
(2)【答案】∵ ∠POC = ∠AOC ， ∠PCE = ∠ACE ，
n n
∠P +∠POC = ∠PCE
且 ，
1 1
∴ ∠P = ∠PCE −∠POC = ∠ACE − ∠AOC
n n
1 1 45
= (∠ACE −∠AOC) = ∠A = ( )∘
n n n
例3 【答案】180
练3.1 (1)【答案】A
(2)【答案】120
60
例4 (1)【答案】∵ ∠DBC = ∠A+∠ACB ， ∠BCE = ∠A+∠ABC ，
∠DBC +∠BCE = 180∘ +∠A = 220∘
∴ ，
∵BP、CP分别是△ABC的外角 ∠CBD 、 ∠BCE 的角平分线，
1
∠CBP +∠BCP = (∠DBC +∠BCE) = 110∘
∴ ，
2
∠BPC = 180∘ −110∘ = 70∘
∴ ，
∵BQ、CQ分别是 ∠PBC 、 ∠PCB 的角平分线，
1 1
∠QBC = ∠PBC ∠QCB = ∠PCB
∴ ， ，
2 2∠QBC +∠QCB = 55∘
∴ ，
∠BQC = 180∘ −55∘ = 125∘
∴ ；
∠DBC ∠BCE
【解析】根据三角形的外角性质分别表示出 与 ，再根据角平分线的性质可求得
∠CBP +∠BCP
，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得
1 1
∠QBC = ∠PBC ∠QCB = ∠PCB ∠QBC +∠QCB
出 ， ，求出 的度数，
2 2
根据三角形内角和定理求出即可；
(2)【答案】∵BM∥CN，
∠MBC +∠NCB = 180∘
∴ ，
∵BM、CN分别是 ∠PBD 、 ∠PCE 的角平分线， ∠BAC =α ，
3
(∠DBC +∠BCE) = 180∘
∴ ，
4
3
(180∘ +α ) = 180∘
即 ，
4
α = 60∘
解得 ；
∠MBC +∠NCB = 180∘
【解析】根据平行线的性质得到 ，依此求解即可；
α = 120∘
(3)【答案】∵
3
∴ ∠MBC +∠NCB = (∠DBC +∠BCE)
4
3
= (180∘ +α ) = 225∘
4
∠BOC = 225∘ −180∘ = 45∘
∴
∠MBC +∠NCB
【解析】根据题意得到 ，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得
∠BOC
到 的度数；
练4.1 (1)【答案】证明： ∵ ∠FBC +∠ECB = 180∘ +∠A ，
1 1 1
∴ ∠FBC + ∠ECB = 90∘ + ∠A
，
2 2 2
1 1
∵ ∠P + ∠FBC + ∠ECB = 180∘
，
2 2
1
∴ ∠P = 90∘ − ∠A
．
2
120
(2)【答案】60， 180 −
2n−1
∠A BC +∠A CB
【解析】提示：计算出 n n 的和．
例5 【答案】解：设 ∠BAC = 2α ， ∠BDC = 2β
∵ AE DE ∠BAC ∠BDC
， 分别平分 和 ，
1 1
∴ ∠BAE = ∠EAC = ∠BAC = α ∠EDB = ∠EDC = ∠BDC = β
， ，
2 2
∵ ∠BFE = ∠B+∠BAE ∠BFE = ∠E +∠BDE
，∴ ∠B+∠BAE = ∠E +∠BDE
．
∴ ∠B+α = ∠E +β
即 ①
∴ ∠C +β = ∠E +α
同理： ②
∴ ∠B+α+∠C +β = ∠E +β +∠E +α
①式与②式相加得
∴ ∠B+∠C = 2∠E
整理得
∠B+∠C
∴ ∠E = =48∘
2
练5.1 【答案】C
能力强化 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
自我巩固答案
1 【答案】C
∠A = 80∘
【解析】∵ ，
∠ABC +∠ACB = 180∘ −∠A = 100∘
∴ ，
∵BO、CO分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的角平分线，
1 1
∠OBC = ∠ABC ∠OCB = ∠ACB
∴ ， ，
2 2
∠OBC +∠OCB = 50∘
∴ ，
∠BOC = 180∘ −(∠OBC +∠OCB) = 130∘
∴ ，
故选：C．
2 【答案】B
∠A = 60∘
【解析】∵ ，
∠ABC +∠ACB = 120∘
∴ ，
∵ ∠ABC 和 ∠ACB 的角平分线交于点E，
∠PBE = ∠EBC ∠QCE = ∠BCE
∴ ， ，
∠CBE +∠BCE = 60∘
∴ ，
∵PQ∥BC，
∠PEB = ∠CBE ∠QEC = ∠BCE
∴ ， ，
∠PEB+∠QEC = 60∘
∴ ，
故选：B．3 【答案】D
【解析】 ， 则有
三角形内角和180度则有 则 故
选D。
4 【答案】B
5 【答案】A
6 【答案】C
7 【答案】C
∵ AD ∠EAC
【解析】解： 平分 ，
∴ ∠EAC = 2∠EAD
，
∵ ∠EAC = ∠ABC +∠ACB ∠ABC = ∠ACB
， ，
∴ ∠EAD = ∠ABC
，
∴ AD//BC ∴
， ①正确；
∵ AD//BC
，
∴ ∠ADB = ∠DBC
，
∵ BD ∠ABC ∠ABC = ∠ACB
平分 ， ，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 2∠DBC
，
∴ ∠ACB = 2∠ADB ∴
， ②正确；
∵ AD ∠EAC CD ∠ACF
平分 ， 平分 ，
1 1
∴ ∠DAC = ∠EAC ∠DCA = ∠ACF
， ，
2 2
∵ ∠EAC = ∠ACB+∠ACB
，
∠ACF = ∠ABC +∠BAC ∠ABC +∠ACB+∠BAC = 180∘
， ，
∴ ∠ADC = 180∘ −(∠DAC +∠ACD)
1
= 180∘ − (∠EAC +∠ACF)
2
1
= 180∘ − (∠ABC +∠ACB+∠ABC +∠BAC)
2
1
= 180∘ − (180∘ −∠ABC)
2
1
= 90∘ − ∠ABC ∴
， ③正确；
2
∵ BD ∠ABC
平分∴ ∠ABD = ∠DBC
1
∠ADC = 90∘ − ∠ABC
2
∴ ∠ADB ≠ ∠CDB
所以④错误；
∵ ∠ACF = 2∠DCF ∠ACF = ∠BAC +∠ABC ∠ABC = 2∠DBC
， ， ，
∠DCF = ∠DBC +∠BDC
，
∴ ∠BAC = 2∠BDC ∴
， ⑤正确；
即正确的有4个，
C
故选： ．
∠D=∠CBA−∠BAD =
8 【答案】
1 1 1
∠NBA− ∠BAO = ∠O = 35∘
2 2 2
9 【答案】解：（1）如图所示：
x
∠BDC = 90∘ +
（2） ．
2
180∘
理由如下：由三角形内角和为 得：
∠ABC +∠ACB = 180∘ −∠A
，
∠ABC ∠ACB D
∵ 和 的角平分线的交点是 ，
1
∠DBC +∠DCB= (∠ABC +∠ACB)
∴
2
1
= (180∘ −∠A)
，
2
△ BCD
在 中，
∠BDC =180∘ −(∠DBC +∠DCB)
1
=180∘ − (180∘ −∠A)
2
1
= 90∘ + ∠A
，
2
∠BAC = x
∵ ，
x
∠BDC = 90∘ +
∴ ；
2
x
90∘ + +x = 180∘
（3）由题意得， ，
2
x = 60∘
解得 ．
【解析】（1）用量角器作出两个角的角平分线即可；
∠ABC +∠ACB
（2）根据三角形的内角和定理表示出 ，再根据角平分线的定义表示出
∠DBC +∠DCB
，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解；180∘
（3）根据互为补角的两个角的和等于 列出方程求解即可．
10 【答案】C
∵ ∠AFC ΔABF ΔCDF
【解析】解： 是 与 的外角，
∴ ∠B+∠BAD = ∠D+∠DCB
．
∵ AE CE ∠BAD ∠DCB
、 分别平分 、 ，
1 1
∴ ∠BAE = ∠EAD = ∠BAD ∠DCE = ∠BCE = ∠BCD
， ．
2 2
∵ ∠AHC ΔABH ΔCEH
是 与 的外角，
1 1
∴ ∠E + ∠DAB = ∠D+ ∠DCB
①，
2 2
1 1
∠E + ∠DCB = ∠B+ ∠BAD
同理可得， ②，
2 2
+ 2∠E = ∠B+∠D
① ②得， ，
∵ ∠B = 25∘ ∠D = 35∘
， ，
1
∴ ∠E = (25∘ +35∘) = 30∘
．
2
30∘
故答案为： ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
课堂落实答案
1 【答案】
110∘
∠A = 40∘
【解析】∵ ，
∠ABC +∠ACB = 140∘
∴ ，
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分 ∠ABC ，CO平分 ∠ACB ，
1
∠OBC +∠OCB = ×(∠ABC +∠ACB) = 70∘
∴ ，
2
∠BOC = 180∘ −70∘ = 110∘
∴ ，
110∘
故答案为： ．
2 【答案】 40
3 【答案】B4 【答案】D
5 【答案】60
能力强化 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
精选精练
1 【答案】A
2 (1)【答案】∵ ∠BAC = 100∘ ，∴ ∠ABC +∠ACB = 80∘ ，
∵点O是 ∠ABC 与 ∠ACB 的角平分线的交点，
∠OBC +∠OCB = 40∘
∴ ，
∠BOC = 140∘
∴ ；
∠ABC+∠ACB=80∘ OB OC ∠ABC ∠ACB
(2)【答案】∵ ， 和 分别是 和 的三等分线，
160∘
∠OBC+∠OCB=
∴ ，
3
160∘ 380∘
∠BOC = 180∘ − =
∴ ；
3 3
(3)【答案】∵点O是 ∠ABC 与 ∠ACB 的n等分线的交点，
80∘
∠OBC +∠OCB =
∴ ，
n
80∘
∠BOC = 180∘ −
∴ ．
n
∠BOC = 170∘
当 时，是八等分线的交线所成的角．
3 【答案】C
4 (1)【答案】
30∘
1
(2)【答案】 α
2
1 n
(3)【答案】( ) ⋅α
2
5 【答案】解：（1）∵ ∠A 1＝ 70∘ ，
∠A BC +∠A CB 180∘ −70∘ 110∘
∴ 1 1 ＝ ＝ ，
BA CA ∠A BC ∠A CB
∵ 2、 2分别是 1 和 1 的角平分线，
1
∠A BC +∠A CB = ×110∘ 55∘
∴ 2 2 ＝ ，
2∠A 180∘ −55∘ 125∘
∴ 2＝ ＝ ．
A BC ∠A BC +∠A CB 180∘ −α
（2）在△ 1 中， 1 1 ＝ ，
1 1
∠A BC = ∠A BC ∠A CB = ∠A CB
∵ n 1 ， n 1 ，
n n
1 1
∠A BC +∠A CB = (∠A BC +∠A CB) = (180∘ −α )
∴ n n 1 1 ，
n n
1
∠A 180∘ −(∠A BC +∠A CB) 180∘ − (180∘ −α )
∴ n＝ n n ＝ ；
n
2(∠MBA +∠NCA )+(n−2)∠A 180∘n
（3） n n n＝ ．
理由：如图②，∵BM、CN分别是△ A 1 BC 的两个外角的角平分线，
1 1
∠MBE = ∠A BE = (180∘ −∠A BC)
∴ 1 1 ，
2 2
1 1
∠NCF = ∠A CF = (180∘ −∠A CB)
1 1 ，
2 2
∠MBA +∠NCA 360∘ −(∠MBE +∠NCF)−(∠A BC +∠A CB)
∴ n n＝ n n
1 1
360∘ − (180∘ −∠A BC)− (180∘ −∠A CB)−(180∘ −∠A )
＝ 1 1 n
2 2
1
= (∠A BC +∠A CB)+∠A
1 1 n
2
1
= (180∘ −∠A )+∠A
1 n
2
1
∠A 180∘ − (180∘ −∠A )
由（2）可得， n＝ 1 ，
n
∠A n∠A −180∘n+180∘
∴ 1＝ n ，
1
∠MBA +∠NCAn = (180∘ −n∠A +180∘n−180∘)+∠A
∴ n n n
2
n−2
90∘n− ∠A
＝ n
2
2(∠MBA +∠NCA )+(n−2)∠A 180∘n
∴ n n n＝ ．
∠A BC +∠A CB
【解析】（1）根据三角形内角和定理，即可得到 1 1 的度数，再根据角平分线的
∠A BC +∠A CB
定义，即可得到 2 2 的度数，最后根据三角形内角和定理计算即可；
∠A BC +∠A CB BA
（2）根据三角形内角和定理，即可得到 1 1 的度数，再根据 n、
CA n分别是 ∠A 1 BC 和 ∠A 1 CB 的n等分线，即可得到 ∠A n BC +∠A n CB 的度数，最
后根据三角形内角和定理进行计算即可；
1
∠MBA +∠NCAn = (180∘ −∠A )+∠A ∠A
（ 3 ） 根 据 n 1 n ， 以 及 1 ＝
2
n−2
n∠A −180∘n+180∘ ∠MBA +∠NCA 90∘n− ∠A
n ，即可得到 n n＝ n，进
2
2(∠MBA +∠NCA )+(n−2)∠A 180∘n
而变形得出 n n n＝ ．
6 【答案】（1）证明：在△AOB中， ∠A+∠B+∠AOB ＝ 180∘ ，在△COD中， ∠C +∠D+∠COD ＝ 180∘ ，
∠AOB ∠COD
∵ ＝ ，
∠A+∠B ∠C +∠D
∴ ＝ ；
（2）∵AP、CP分别平分 ∠BAD．∠BCD
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
∴ ＝ ， ＝
∠P +∠3 = ∠2+∠B
①
{
由（1）的结论得： ，
∠P +∠1 = ∠4+∠D
②
2∠P +∠1+∠3 ∠2+∠4+∠B+∠D
①+②，得 ＝
1
∠P = (∠B+∠D) 26∘
∴ ＝ ．
2
（3）如图3，
∵AP平分 ∠BAD 的外角 ∠FAD ，CP平分 ∠BCD 的外角 ∠BCE ，
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
∴ ＝ ， ＝ ，
∠PAD 180∘ −∠2 ∠PCD 180∘ −∠3
∴ ＝ ， ＝ ，
∠P +(180∘ −∠2) ∠D+(180∘ −∠3) ∠P +∠1 ∠B+∠4
∵ ＝ ， ＝ ，
2∠P ∠B+∠D
∴ ＝ ，
1 1
∠P = (∠B+∠D) = ×(36∘ +16∘) 26∘
∴ ＝ ；
2 2
2 1
∠P = α + β
（4） ；
3 3
2 1
∠P = α + β
故答案为： ．
3 3
【解析】 （1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）（3）由AP平分 ∠BAD 的外角 ∠FAD ，CP平分 ∠BCD 的外角 ∠BCE ，推出
∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠PAD 180∘ −∠2 ∠PCD 180∘ −∠3
＝ ， ＝ ，推出 ＝ ， ＝ ，由
∠P +(180∘ −∠1) ∠D+(180∘ −∠3) ∠P +∠1 ∠B+∠4 2∠P
＝ ， ＝ ，推出 ＝
∠B+∠D
，即可解决问题．
（4）列出方程组即可解决问题．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形进阶例题练习题答案
例1 (1)【答案】B
∠1 = ∠2
(2)【答案】证明：∵ ，
∠1+∠CAD = ∠2+∠CAD
∴ ，
∠EAD = ∠CAB
∴ ，
△ ADE △ ABC
在 和 中，
⎧⎪ ∠D = ∠B
⎨ AD = AB
，
⎩⎪
∠EAD = ∠CAB
△ ADE △ ABC (ASA)
∴ ≌ ，
AC = AE
∴ ．
例2 【答案】证明：在△ABE和△ACD中，
⎧∠A = ∠A
⎨AB = AC
，
⎩
∠B = ∠C
△ ABE △ ACD(ASA)
∴ ≌ ，
AE = AD
∴ ，
AC = AB
又∵ ，
AC −AE = AB−AD CE = BD
∴ ，即 ，
在△DOB和△EOC中，
⎧∠B = ∠C
⎨∠DOB = ∠EOC
，
⎩
BD = CE
△ DOB △ EOC (AAS)
∴ ≌ ，
OB = OC
∴ ．
练2.1 【答案】证明： ∵ AB 边上的高 CE 与 AC 边上的高 BD 相交于点 F ，
∴ ∠AEC = ∠ADB = 90∘
，
在△AEC和△ADB中，
⎧⎪ ∠EAC = ∠DAB
⎨∠AEC = ∠ADB = 90∘ ，
⎩⎪
AC = AB
∴△ AEC △ DB(AAS)
≌ ，
∴ AE = AD
，
Rt △ AEF Rt △ ADF
在 与 中，
AF = AF
{
，
AE = AD∴Rt △ AEF Rt △ ADF (HL)
≌ ，
∴ ∠EAF = ∠DAF
，
AF ∠BAC
即 平分 ．
【解析】∵AB边上的高CE与AC边上的高BD相交于点F，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
在△AEC与△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（AAS），
∴AE＝AD，
在Rt△AEF与Rt△ADF中，
，
∴Rt△AEF≌△Rt△ADF（HL），
∴∠EAF＝∠DAF，
即AF平分∠BAC．
例3 【答案】（1）解： DE = BF ，且 DE // BF ，证明如下：
DE AC BF AC
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∠DEC = ∠BFA = 90∘
∴ ，
DE // BF
∴ ，
AE = CF
∵ ，
AE +EF = CF +EF AF = CE
∴ ，即 ．
Rt △ ABF Rt △ CDE
在 和 中，
AB = CD
{
，
AF = CE
Rt △ ABF Rt △ CDE(HL)
∴ ≌ ，
BF = DE
∴ ；
△ DEM △ BFM
（2）证明：由（1）可得：在 和 中，
⎧⎪ ∠DEM = ∠BFM
⎨∠DME = ∠BMF
，
⎩⎪
DE = BF
△ DEM △ BFM (AAS)
∴ ≌ ，
MD = MB
∴ ．【解析】（1）根据DE⊥AC，BF⊥AC可以证明DE∥BF；再求证Rt△ABF≌Rt△CDE可得BF=DE，即
可解题；
（2）根据（1）中结论可证△DEM≌△BFM，即可解题．
练3.1 【答案】证明：∵ AC⊥BC 于点C， AD⊥BD 于点D，
∠ACB = 90∘ = ∠ADB
∴ ，
Rt △ ABC Rt △ ABD
在 和 中，
AB = AB
{
AC = AD
Rt △ ABC Rt △ ABD(HL)
∴ ≌ ，
BC = BD ∠CBA = ∠DBA
∴ ， ，
在△CBE和△DBE中，
⎧CB = DB
⎨∠CBE = ∠DBE
⎩
BE = BE
△ CBE △ DBE(SAS)
∴ ≌ ．
例4 【答案】证明：连接 CD ，如图所示：
∵ AC = BC ∠ACB = 90∘
， ，
∴ ∠A = ∠B = 45∘
，
△ ADC △ BED
在 和 中，
⎧⎪ AD = BE
⎨∠A = ∠B ，
⎩⎪
AC = BD
∴△ ADC △ BED(SAS)
≌ ，
∴ DC = ED ∠DCA = ∠EDB
， ，
∴ ∠ECD = ∠CED
，
∠DCA+∠ECD = ∠EDB+∠FED = 90∘
，
∴ ∠FED = ∠ECD
，
∴ ∠FED = ∠CED
．
练4.1 【答案】证明：∵点E是AC的中点， AC = 2AB ，
AE = EC = AB
∴ ，
∵AD是 ∠BAC 的平分线∠BAD = ∠EAD
∴ ，
△ BAD △ EAD
在 和 中，
⎧AB = AE
⎨∠BAD = ∠EAD
⎩
AD = AD
△ BAD △ EAD(SAS)
∴ ≌ ，
∠AED = 90∘
∴ ，
∠CED = 90∘ = ∠AED
∴ ，
△ CED △ EAD
在 和 中，
⎧CE = AE
⎨∠CED = ∠AED
⎩
ED = ED
△ CED △ EAD(SAS)
∴ ≌ ，
∠CDE = ∠ADE
∴ ，
AF // BC
又∵ ，
∠CDE = ∠AFE
∴ ，
∠ADE = ∠AFE AF = DA
∴ ，得 ．
例5 【答案】8
∠ACB = 90∘
【解析】解：∵ ，
∠BCE +∠ACD = 90∘
∴ ，
又∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∠E = ∠ADC = 90∘
∴ ，
∠BCE +∠CBE = 90∘
∴ ，
∠CBE = ∠ACD
∴ ，
△ CBE △ ACD
在 和 中，
⎧⎪ ∠E = ∠ADC
⎨∠CBE = ∠ACD
，
⎩⎪
BC = CA
△ CBE △ ACD(AAS)
∴ ≌ ，
BE = CD CE = AD = 25
∴ ， ，
DE = 17
∵ ，
CD = CE −DE = AD−DE = 25−17 = 8
∴ ，
BE = CD = 8
∴ ；
故答案为：8．
练5.1 【答案】6∠BAC = 90∘
【解析】解：∵ ，
∠BAD+∠CAE = 90∘
∴ ，
∵BD⊥AE，
∠ABD+∠BAD = 90∘
∴ ，
∠ABD = ∠CAE
∴ ，
在△ABD和△CAE中，
⎧∠ABD = ∠CAE
⎨∠ADB = ∠CEA
，
⎩
AB = AC
△ ABD △ CAE(AAS)
∴ ≌ ，
BD = AE AD = CE
∴ ， ，
AE = AD+DE = CE +DE = 2+4 = 6cm
∵ ，
BD = 6cm
∴ ．
故答案为：6．
例6 (1)【答案】 (10−2t)
(2)【答案】解：∵四边形ABCD是长方形，
∠B = ∠C = 90∘
∴ ，
AB = CD
又∵ ，
BP = CP SAS △ ABP △ DCP
∴若 ，则依据 判定可证明 ≌ ，
1
BP = CP = BC = 5cm
此时 ，
2
∵点P从点B出发，以 2cm /秒的速度沿BC向点C运动，运动时间为t秒，
2t = 5 t = 2.5
∴ ，解得 ，
t = 2.5 △ ABP △ DCP
即当 时， ≌ ；
(3)【答案】解：存在，求解过程如下：
BP = CQ AB = PC △ ABP △ PCQ
①当 ， 时， ≌ ，
∵ AB = 6cm
，
∴ PC = 6cm
，
∴ BP = 10−6 = 4cm 2t = 4
，可得 ，
t = 2
解得： ，
CQ = BP = 4cm 2v = 4
∴ ，可得 ，
v = 2
解得 ；
BA = CQ PB = PC △ ABP △ QCP
②当 ， 时， ≌ ，t = 2.5 CQ = AB = 6cm
由（2）知 ， ，
2.5v = 6 v = 2.4
可得 ，解得 ．
综上所述：当 v = 2 或 2.4 时，△ABP与△PCQ全等．
练6.1 【答案】解：PB的长不发生变化．
过点E作EN⊥OM于N，如图所示：
∵ OM⊥OA ，EN⊥OM， △ ABE 是等腰直角三角形
∠AOB = 90∘ = ∠BNE ∠ABO = 90∘ −∠EBN = ∠BEN AB = BE
∴ ， ， ，
△ AOB △ BNE
在 和 中，
⎧∠AOB = ∠BNE
⎨∠ABO = ∠BEN
⎩
AB = BE
△ AOB △ BNE(AAS)
∴ ≌ ，
OB = EN 4 = AO = BN
∴ ， ；
△ OBF
另一方面，∵ 是等腰直角三角形，
∠FBP = 90∘ = ∠ENP BF = OB = EN
∴ ， ，
△ FBP △ ENP
在 和 中，
⎧∠FBP = ∠ENP
⎨∠FPB = ∠EPN
⎩
FB = EN
△ FBP △ ENP (AAS)
∴ ≌ ，
BP = NP
∴ ，
1 1
PB = BN = OA = 2
∴ 为定值，故其长度不发生变化．
2 2
能力强化 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形进阶
自我巩固答案1 【答案】D
2 【答案】证明：∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∠ABD = ∠BCE = 90∘
∴ ，
在△ABD与△BCE中，
⎧AB = BC
⎨∠ABD = ∠BCE
，
⎩
BD = CE
△ ABD △ BCE(SAS)
∴ ≌ ，
∠A = ∠CBE
∴ ；
∠CBE +∠ABE = ∠ABD = 90∘
又∵ ，
∠A+∠ABE = 90∘
∴ ，
∴AD⊥BE．
∠ABD = ∠BCE = 90∘
【解析】根据垂直的定义得到 ，根据全等三角形的性质得到
∠A = ∠CBE
，根据余角的性质即可得到结论．
3 【答案】①③④
【解析】在△CAF和△BAE中，
⎧⎪ AC = AB
⎨∠A = ∠A
∵ ，
⎩⎪
AF = AE
∴△CAF≌△BAE(SAS)，即△ABE≌△ACF，∴①正确；
BD = DE
∵根据已知不能推出 ，∴②错误；
AC = AB AE = AF
∵ ， ，
CE = BF
∴ ，
在△CED和△BFD中，
⎧⎪ ∠C = ∠B
∵ ⎨∠CDE = ∠BDF ，
⎩⎪
CE = BF
∴△CED≌△BFD(AAS)，∴③正确；
连接AD，如图所示：
∵△CED≌△BFD，DE = DF
∴ ，
在△EAD和△FAD中，
⎧⎪ AE = AF
⎨AD = AD
∵ ，
⎩⎪
DE = DF
∴△EAD≌△FAD(SSS)，
∴ ∠EAD = ∠FAD ，即D在 ∠BAC 的角平分线上，∴④正确；
故答案为：①③④．
4 【答案】证明：在 △ BCM 与 △ BDM 中，
⎧⎪ BC = BD
⎨MC = MD
，
⎩⎪
MB = MB
∴△ BCM △ BDM (SSS)
≌ ，
∴ ∠CBA = ∠DBA
，
△ ACB △ ADB
在 与 中
⎧⎪ BC = BD
⎨∠CBA = ∠DBA，
⎩⎪
AB = AB
∴△ ACB △ ADB(SAS)
≌ ，
∴ AC = AD
．
【解析】∵BC＝BD，MC＝MD
∴点B、M在AC的长直平分线上，
∴直线BM垂直平分CD，
∵点A在直线BM上，
∴AC＝AD．
5 【答案】证明：过C作 CF⊥AC 交AD延长线于点F，如图所示：
∠BAC = 90∘ AD⊥BM
∵ ， ，
∠ABM +∠BAE = 90∘
∴ ，
∠BAE +∠DAC = 90∘
，
∠ABM = ∠DAC
∴ ，
AB = AC CF⊥AC
又∵ ， ，∴在△ABM和△CAF中，
⎧∠ABM = ∠CAF
⎨AB = CA
，
⎩
∠BAM = ∠ACF
△ ABM △ CAF (ASA)
∴ ≌ ，
∠AMB = ∠F AM = CF
∴ ， ，
AM = CM
∵ ，
CF = CM
∴ ，
∵在等腰直角三角形ABC中， AB = AC ，
∠ACB = 45∘
∴ ，
CF⊥AC
∵ ，
∠MCF = 90∘
∴ ，
∠FCD = ∠MCD = 45∘
∴ ，
在△FCD和△MCD中，
⎧CF = CM
⎨∠FCD = ∠MCD
⎩
CD = CD
△ FCD △ MCD(SAS)
∴ ≌ ，
∠F = ∠DMC
∴ ，
∠AMB = ∠DMC
∴ ．
6 【答案】C
【解析】解：∵△ABO≌△ADO，
∠AOB = ∠AOD AB = AD BO = OD
∴ ， ，
∠AOB+∠AOD = 180∘
由 可得：
∠AOB = ∠AOD = 90∘
，
故AC⊥BD，①正确；
在△ABC和△ADC中，
⎧⎪ AB = AD
⎨∠BAC = ∠DAC
⎩⎪
AC = AC
∴△ABC≌△ADC(SAS)，故③正确；
CB = CD
∴ ，故②正确；
AD = DC AB = AD = DC = BC
若 ，则可知 ，题目中不含此条件，故④不正确；
综上可知正确的结论为①②③，
故选：C．7 【答案】解：∵ ∠BAC = 90∘ ，
∠BAD+∠CAE = 90∘
∴ ，
∵BD⊥m，
∠BDA = 90∘
∴ ，
∠DBA+∠BAD = 90∘
∴ ，
∠DBA = ∠CAE
∴ ，
在△ABD和△CAE中，
⎧⎪ ∠BDA = ∠AEC
⎨∠DBA = ∠EAC
，
⎩⎪
AB = CA
△ DBA △ EAC (AAS)
∴ ≌ ，
DB = AE AD = CE
∴ ， ，
BD = 4 CE = 6
∵ ， ，
DE = DA+AE = CE +BD = 10
∴ ，
即DE的长为10．
8 【答案】A
【解析】解：∵AE⊥AB且 AE = AB ，EF⊥FH，BG⊥FH，
∠EAB = ∠EFA = ∠BGA = 90∘
∴ ，
∠EAF +∠BAG = 90∘ ∠ABG+∠BAG = 90∘
∵ ， ，
∠EAF = ∠ABG
∴ ，
在△EFA和△AGB中，
⎧∠EFA = ∠AGB
⎨∠EAF = ∠ABG
⎩
EA = AB
△ EFA △ AGB(AAS)
∴ ≌ ，
AF = BG AG = EF
∴ ， ；
△ BGC △ CHD GC = DH CH = BG
同理证得 ≌ ，可得 ， ．
FH = FA+AG+GC +CH = 3+6+4+3 = 16
故 ，
1
S = ×(6+4)×16−3×4−6×3 = 50
∴ ．
2
故选：A．
9 【答案】解：∵ ∠CMD = 90∘ ，
∠CMA+∠DMB = 90
∴ °，
∠CAM = 90∘
又∵
∠CMA+∠ACM = 90∘
∴ ，∠ACM = ∠BMD
∴ ，
在△ACM和△BMD中，
⎧∠ACM = ∠BMD
⎨∠A = ∠B
⎩
CM = MD
△ ACM △ BMD(AAS)
∴ ≌ ，
AC = BM = 3
∴ ，
∴他到达点M时，运动时间为 3÷1 = 3s ．
答：这个人运动了3s．
【解析】∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA＋∠DMB＝90度，
又∵∠CAM＝90°
∴∠CMA＋∠ACM＝90°，
∴∠ACM＝∠DMB，
又∵CM＝MD，
∴Rt△ACM≌Rt△BMD，
∴AC＝BM＝3，
∴他到达点M时，运动时间为3÷1＝3（s）．
故：这人运动了3s．
10 【答案】（1）证明：∵ AM⊥MN ， BN⊥MN ，
∴ ∠AMC = ∠CNB = 90∘
，
∴ ∠MAC +∠ACM = 90∘
，
∵ ∠ACB = 90∘
，
∠NCB+∠ACM = 90∘
∴ ，
∴ ∠MAC = ∠NCB
，
△ AMC △ CNB
在 和 中，
⎧∠AMC = ∠CNB
⎨∠MAC = ∠NCB
⎩
AC = CB
△ AMC △ CNB(AAS)
∴ ≌ ，
AM = CN MC = NB
∴ ，
∵ MN = NC +CM
，
∴ MN = AM +BN
；
MN = BN −AM
（2）解：结论为 ，理由如下：∵ AM⊥MN BN⊥MN
， ，
∴ ∠AMC = ∠CNB = 90∘
，
∠NCB+∠ACM = 90∘
，
∠ACM +∠CAM = 90∘
，
∴ ∠MAC = ∠NCB
，
△ AMC △ CNB
在 和 中，
⎧∠AMC = ∠CNB
⎨∠MAC = ∠NCB
⎩
AC = CB
△ AMC △ CNB(AAS)
∴ ≌ ，
AM = CN MC = NB
∴ ， ，
∵ MN = CM −CN
，
∴MN = BN −AM
．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形进阶
课堂落实答案
1 【答案】A
△ AMK △ BKN
【解析】解：在 和 中，
⎧⎪ AM = BK
⎨∠A = ∠B
，
⎩⎪
AK = BN
△ AMK △ BKN (SAS)
∴ ≌ ，
∠AMK = ∠BKN
∴ ，
∠A = ∠B = 50∘
∵ ，
∠AMK +∠AKM = 130∘
∴ ，
∠BKN +∠AKM = 130∘
∴ ，
∠MKN = 50∘
∴ ，
故选：A．
2 【答案】等边
3 【答案】证明：在 △ ABE 和 △ CDF 中，⎧⎪ AB = CD
⎨BE = DF
，
⎩⎪
AE = CF
△ ABE △ CDF (SSS)
∴ ≌ ，
∠AEB = ∠CFD
∴ ，
180∘ −∠AEB = 180∘ −∠CFD
∴ ，
∠AEO = ∠CFO
即 ，
△ AOE △ COF
在 和 中，
⎧⎪ ∠AEO = ∠CFO
⎨∠AOE = ∠COF
，
⎩⎪
AE = CF
△ AOE △ COF (AAS)
∴ ≌ ，
EO = FO
∴ ．
4 【答案】在 △ ABD 和 △ ACD 中，
⎧⎪ AB = AC
⎨BD = CD，
⎩⎪
AD = AD
△ ABD △ ACD(SSS)
∴ ≌ ，
∠BAD = ∠CAD
∴ ，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∠E = 90∘ = ∠F
∴ ,
△ ADE △ ADF
在 和 中，
⎧∠E = ∠F
⎨∠EAD = ∠FAD，
⎩
AD = AD
△ ADE △ ADF (AAS)
∴ ≌ ，
DE = DF
∴ ．
5 【答案】3或6
【解析】解：点P为AC中点或点P与点C重合时，△ABC和△PQA全等，理由如下：
∵ ∠C = 90∘ ，AQ⊥AC，
∠C = ∠QAP = 90∘
∴ ，
AP = 3 = BC
①当 时，
Rt △ ACB Rt △ QAP
在 和 中，
AB = PQ
{
，
CB = AP
Rt △ ACB Rt △ QAP (HL)
∴ ≌ ；
AP = 6 = AC
②当 时，Rt △ ACB Rt △ PAQ
在 和 中，
AB = PQ
{
，
AC = AP
Rt △ ACB Rt △ PAQ(HL)
∴ ≌ ，
AC = 6 BC = 3
∵ ， ，
1
AP = AC = 3 AP = AC = 6
∴ 或 ，
2
故答案为：3或6．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形进阶
精选精练
1 【答案】D
【解析】∵AD是△ABC的中线，
BD = CD ∠CDE = ∠BDF DE = DF
∴ ，又 ， ，
△ BDF △ CDE
∴ ≌ ，故④正确；
△ BDF △ CDE CE = BF
由 ≌ ，可知 ，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
△ BDF △ CDE ∠FBD = ∠ECD
由 ≌ ，可知 ，
BF // CE
∴ ，故③正确．
故选：D．
2 【答案】证明：∵AD⊥BC，
Rt △ BDF Rt △ ADC
∴在 和 中，
BF = AC
{
DF = DC
Rt △ BDF Rt △ ADC (HL)
∴ ≌ ，
∠C =∠BFD
∴ ，
∵AD⊥BC，
∠DBF +∠BFD =90∘
∴ ，
∠C +∠DBF =90∘
∴ ，∠C +∠DBF +∠BEC =180∘
∵ ，
∴ ∠BEC =90∘ ，即BE⊥AC．
【解析】由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出
结论．
3 (1)【答案】解：（1） DE = DF ．理由如下：
∠CAB+∠C +∠CDB+∠ABD = 360∘
∵ ，
∠CAB = 60∘ ∠CDB = 120∘
， ，
∠C +∠ABD = 360∘ −60∘ −120∘ = 180∘
∴ ．
∠DBF +∠ABD = 180∘
又∵ ，
∠C = ∠DBF
∴ ．
△ CDE △ BDF
在 和 中，
⎧⎪ CD = BD
⎨∠DCE = ∠DBF
⎩⎪
CE = BF
△ CDE △ BDF (SAS)
∴ ≌ ．
DE = DF
∴ ．
(2)【答案】解：（2）猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG．理由如下：
连接AD，如图所示：
在△ABD和△ACD中，
⎧⎪ AB = AC
⎨BD = CD
，
⎩⎪
AD = AD
∴△ABD≌△ACD（SSS），
1 1
∠BDA = ∠CDA = ∠CDB = ×120∘ = 60∘
∴ ，
2 2
又∵∠EDG=60°，
∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG．
由（1）可得：△CDE≌△BDF，
∴∠CDE=∠BDF．
∴∠BDG+∠BDF=60°，即∠FDG=60°．∴∠EDG=∠FDG．
在△DEG和△DFG中，
⎧⎪ ED = FD
⎨∠EDG = ∠FDG
，
⎩⎪
DG = DG
∴△DEG≌△DFG（SAS），
∴EG=FG．
又∵CE=BF，FG=BF+BG，
∴CE+BG=EG．
4 【答案】（1）证明：作EF⊥AD于F，如图所示：
则有：∠DFE=∠AFE=90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠EDF，CE=CF，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴BE=EF，
∴AE是∠DAB的平分线；
（2）解：AD=AB+CD，证明如下：
在△DEC和△DEF中，
⎧⎪ ∠EDC = ∠EDF
⎨ ∠C = ∠DFE ，
⎩⎪
DE = DE
∴△DEC≌△DEF（AAS），
∴CD=FD，
在△AEB和△AEF中，
⎧∠BAE = ∠FAE
⎨∠ABE = ∠AFE
⎩
AE = AE
∴△AEB≌△AEF(AAS)，
∴AB=AF．∵AD=AF+DF，
∴AD=AB+CD．
5 【答案】解：（1）延长EG交CD于点H，如图所示：
则△DHG≌△FEG．证明如下：
∠BEF 90∘
∵ = ，
∴EF⊥BC，
而CD⊥BC，
∴EF∥CD，
∠EFD ∠GDC
∴ = ，
∵点G为DF的中点，
∴DG=FG，
在△DHG和△FEG中，
⎧∠GDH = ∠GFE
⎪
⎨DG = FG ，
⎩⎪
∠DGH = ∠FGE
△ DHG △ FEG(ASA)
∴ ≌ ；
（2） EG =CG，EG⊥CG．证明如下：
由（1）中所得△DHG≌△FEG知：
EF=DH，EG=HG，
∵BE=EF，
∴BE=DH，
∵CB=CD，
∴ CD−DH = CB−BE ，即CH=CE，
∴△CHE为等腰直角三角形，
∵EG=GH，
∴CG⊥EH，CG=EG=GH，
即EG=CG，EG⊥CG．6 (1)【答案】（1）解：BD、CE、DE的数量关系为：DE=BD+CE，理由如下：
∵ BD⊥ 直线l， CE⊥ 直线l，
∠BDA = ∠CEA = 90∘
∴ ，
∠BAC = 90∘
∵ ，
∠BAD+∠CAE = 90∘
∴ ，
∠BAD+∠ABD = 90∘
∵ ，
∠CAE = ∠ABD
∴ ，
⎧⎪ ∠ABD = ∠CAE
在△ADB和△CEA中， ⎨∠BDA = ∠AEC ，
⎩⎪
AB = CA
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
AE = BD AD = CE
∴ ， ，
DE = AE +AD = BD+CE
∴ ；
(2)【答案】（2）解：结论DE=BD+CE成立，理由如下：
∠BDA = ∠BAC =α
∵ ，
∠DBA+∠BAD = ∠BAD+∠CAE = 180∘ −α
∴ ，
∠CAE = ∠ABD
∴ ，
⎧⎪ ∠ABD = ∠CAE
在△ADB和△CEA中， ⎨∠BDA = ∠AEC ，
⎩⎪
AB = CA
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
AE = BD AD = CE
∴ ， ，
DE = AE +AD = BD+CE
∴ ．
(3)【答案】答：点P运动6s或10s时，△PFA与△QAG全等．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 4 讲 等腰三角形综合
例题练习题答案
例1 (1)【答案】
15∘
；
20∘
(2)【答案】 ；1
(3)【答案】∠BAD = 2∠EDC(
或
∠EDC = ∠BAD)
；
2
(4)【答案】仍成立，理由如下：
AD = AE
∵ ，
∠ADE = ∠AED
∴ ，
∴
∠BAD+∠B = ∠ADC = ∠ADE +∠EDC = ∠AED+∠EDC = (∠E
AB = AC
又∵ ，
∠B = ∠C
∴ ，
∠BAD = 2∠EDC
∴ ，
1
∠EDC = ∠BAD
即 ．
2
练1.1 【答案】10
【解析】∵CE平分 ∠ACB 且CE⊥BD，
CD = BC
∴ （等腰三角形三线合一），
∠DAB=∠DBA
又 ，
AD = BD
∴ ，
AC = 18 BD = 8
∵ ， ，
BC = AC −AD
∴
= AC −BD
= 18−8
= 10
．
例2 【答案】证明:连接 BD ,
∵ △ABC D AC
在等边 ,且 是 的中点,
1 1
∴ ∠DBC = ∠ABC = ×60∘ = 30∘ ∠ACB = 60∘
, ,
2 2
∵ CE = CD
,
∴ ∠CDE = ∠E
,
∵ ∠ACB = ∠CDE +∠E
,
∴ ∠E = 30∘
,
∴ ∠DBC = ∠E = 30∘
,
∴ BD = ED △BDE
, 为等腰三角形,
∵ DM⊥BC
又 ,∴ M BE
是 的中点.
M BE △BDE△
【解析】要证 是 的中点,根据题意可知,证明 为等腰三角形,利用等腰三角形的高和
中线向重合即可得证.
练2.1 【答案】C
ED BC M AD BC N
【解析】延长 交 于 ，延长 交 于 ，
∵ AB = AC AD ∠BAC
， 平分 ，
∴ AN⊥BC BN = CN
， ，
∵ ∠EBC = ∠E = 60∘
，
∴ ΔBEM
为等边三角形，
∵ BE = 6cm DE = 2cm
， ，
∴ DM = 4cm
，
∵ ΔBEM
为等边三角形，
∴ ∠EMB = 60∘
，
∵ AN⊥BC
，
∴ ∠DNM = 90∘
，
∴ ∠NDM = 30∘
，
∴ NM = 2cm
，
∴ BN = 4cm
，
∴ BC = 2BN = 8cm
．
练2.2 【答案】D
∵ ΔABC ∠C = 60∘ AD BC
【解析】解： 在 中， ， 是 边上的高，
∴ ∠DAC = 90∘ −∠C = 90∘ −60∘ = 30∘
，
∵ ∠AFB = 90∘ EF = 2
， ，∴ AE = 2EF = 4
，
∵ E AD
点 为 的中点，
∴ DE = AE = 4
，
∵ ∠C = 60∘ ∠BFC = 180∘ −90∘ = 90∘
， ，
∴ ∠EBD = 30∘
，
∴ BE = 2DE = 8
，
∴ BF = BE +EF = 8+2 = 10
，
D
故选： ．
例3 (1)【答案】证明：∵ △ ABC 是等边三角形，
AB = AC ∠BAC = ∠C = 60∘
∴ ， ，
△ ABE △ CAD
在 与 中，
⎧⎪ AB = AC
⎨∠BAC = ∠C = 60∘
，
⎩⎪
AE = CD
△ ABE △ CAD
∴ ≌ （SAS）；
△ ABE △ CAD
(2)【答案】由（1）知 ≌ ，
∠ABE = ∠CAD
∴ ，
∠BPQ = ∠ABE +∠BAP = ∠CAD+∠BAP
∴ ，
∠BPQ = ∠BAC = 60∘
∴ ，
∠PBQ = 90∘ −∠BPQ = 30∘
∴ ．
例4 【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，
∠BAC = ∠ABC = 60∘ AB = AC = BC
∴ ， ，
∠EAF = ∠EBD = 120∘
∴ ．
BE = CD
∵ ，
BE +AB = CD+BC AE = BD
∴ ，即 ，
在△AEF和△BDE中，
⎧⎪ AF = BE
⎨∠EAF = ∠EBD
⎩⎪
AE = BD
∴△AEF≌△BDE（SAS），
EF = DE
∴ ．
同理可得△AEF≌△CFD，
EF = FD
∴ ，EF = ED = FD
∴ ，
∴△DEF为等边三角形．
【解析】证明△AEF≌△CFD≌△BDE即可．
练4.1 【答案】 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC， ∠ABC ＝ ∠ACB ＝ ∠CAB ＝ 60∘ ，
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，
∠DAB ∠ACF ∠CBE 90∘
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∠FAC ∠BCE ∠DBA 30∘
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∠D ∠E ∠F 180∘ −90∘ −30∘ 60∘
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴DF＝DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
【解析】由△ABC是等边三角形和DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求出 ∠FAC ＝ ∠BCE ＝
∠DBA ＝ 30∘ ，推出 ∠D ＝ ∠E ＝ ∠F ＝ 60∘ ，推出DF＝DE＝EF，即可得出△DEF等边三角
形．
例5 【答案】证明：连接AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
AB = AC ∠C = ∠B = 45∘ ∠CAB = 90∘
∴ ， ， ．
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC， ∠C = ∠DAE = ∠CAD = 45∘ ．
CD = AD
∴ ．
∵DE⊥DF，
∠CDF +∠ADF = ∠ADE +∠ADF
∴ ．
∠CDF = ∠ADE
∴ ．
在△CDF和△ADE中，
⎧∠C = ∠DAE
⎨CD = AD
，
⎩
∠CDF = ∠ADE
∴△CDF≌△ADE（ASA）．
DF = DE
∴ ．DEF
∴△ 为等腰直角三角形．
练5.1 【答案】（1）证明：∵△ ADE 是等腰直角三角形， F 是 AE 中点，
DF AE DF = AF = EF
∴ ⊥ ， ，
∠ABC = 90∘
又∵ ，
∠DCF ∠AMF ∠MAC
， 都与 互余，
∠DCF = ∠AMF
∴ ，
DFC AFM
在△ 和△ 中，
DFC AFM (AAS)
△ ≌△ ，
CF = MF
∴ ，
∠FMC = ∠FCM
∴ ；
AD MC
（2） ⊥ ，
∠MFC = 90∘ FD = FA = FE FM = FC
理由：由（1）知， ， ， ，
∠FDE = ∠FMC = 45∘
∴ ，
DE CM
∴ ∥ ，
AD MC
∴ ⊥ ．
【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定
得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；
（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理
由平行线的判定得出答案．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 4 讲 等腰三角形综合
自我巩固答案
1 【答案】D
∵ RtΔABC ∠ACB = 90∘ ∠A = 52∘
【解析】解： 在 中， ， ，
∴ ∠B = 38∘
，∵ BC = BD
，
1
∴ ∠BCD = ∠BDC = (180∘ −38∘) = 71∘
，
2
∴ ∠ACD = 90∘ −71∘ = 19∘
，
∴ ∠ADC = 180∘ −∠A−∠ACD = 180∘ −52∘ −19∘ = 109∘
，
D
故选： ．
2 【答案】C
ΔABC AB = AC ∠BAC = 100∘
【解析】解：在 中， ， ，
∴ ∠ACB = (180∘ −100∘)÷2 = 40∘
，
∵ CE ∠BCA
平分 ，
∴ ∠BCE = 20∘
，
∵ AD BC
是 边上的中线，
∴ ∠ADC = 90∘
，
∴ ∠CFA = 90∘ +20∘ = 110∘
．
C
故选： ．
3 【答案】A
4 【答案】C
∵ ΔABC ∠ABC = 60∘
【解析】解： 是等边三角形， ，
∠ABD = 12∘
而 ，
∴ ∠DBC = 60∘ +12∘ = 72∘
．
∵ CB = CD
，
∴ ∠BCD = 180∘ −72∘ −72∘ = 36∘
，
∴ ∠DCA = 60∘ −36∘ = 24∘
，
∵ CD = CB = CA
，
1
∴ ∠DAC = ×(180∘ −24∘) = 78∘
，
2
∴ ∠BAD = 78∘ −60∘ = 18∘
．
C
故选： ．
5 【答案】D
BD
【解析】解：连接 ，
∵ ΔABC ∠C = 90∘ ∠A = 30∘
在 中， ， ，
∴ ∠ABC = 60∘
．
∵ AB AC D AB E
的垂直平分线交 于 ，交 于 ，
∴ AD = BD DE⊥AB
， ，∴ ∠ABD = ∠A = 30∘
，
∴ ∠DBC = 30∘
，
∵ CD = 2
，
∴ BD = 2CD = 4
，
∴ AD = 4
．
D
故选： ．
6 【答案】B
【解析】解：等边△ABC中，有
⎧⎪ AB = BC
⎨∠ABC = ∠C = 60°
∵
⎩⎪
BD = CE
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°．
故选：B．
7 【答案】解： ∵ ΔABC 为等边三角形，
∴ AB = CA ∠BAE = ∠ACD = 60∘
， ；
∵ AE = CD
又 ，
ΔABE ΔCAD
在 和 中，
⎧⎪ AB = CA
⎨∠BAE = ∠ACD
⎩⎪
AE = CD
∴ ΔABE ≅ΔCAD
；
∴ BE = AD ∠CAD = ∠ABE
， ；
∴ ∠BPQ = ∠ABE +∠BAD = ∠BAD+∠CAD = ∠BAE = 60∘
；
∵ BQ⊥AD
，
∴ ∠AQB = 90∘ ∠PBQ = 90∘ −60∘ = 30∘
，则 ；
∵ PQ = 3
，
∴ RtΔBPQ BP = 2PQ = 6
在 中， ；
∵ PE = 1
又 ，
∴ AD = BE = BP +PE = 7
．8 【答案】解：（1） ∵ ΔABC 是正三角形，
∴ ∠A = ∠B = ∠C
，
∵ MP⊥AB MN⊥BC PN⊥AC
， ， ，
∴ ∠MPB = ∠NMC = ∠PNA = 90∘
，
∴ ∠PMB = ∠MNC = ∠APN
，
∴ ∠NPM = ∠PMN = ∠MNP
，
∴ ΔPMN
是等边三角形；
ΔPBM ≅ΔMCN ≅ΔNAP
（2）根据题意 ，
∴ PA = BM = CN PB = MC = AN
， ，
∴ BM +PB = AB = 12cm
，
∵ ΔABC
是正三角形，
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60∘
，
∴ 2PB = BM
，
∴ 2PB+PB = 12cm
，
∴ PB = 4cm
，
∴ MC = 4cm
．
9 【答案】证明： ∵ ΔABC 是等边三角形，
∴ ∠EAF = ∠FBD = ∠DCE = 120∘
．
∵ AB = BC = CA AE = BF = CD
， ，
∴ AB+BF = BC +CD = CA+AE
．
AF = BD = CE
即 ．
∵ AE = BF = CD
又 ，
∴ ΔAEF ≅ΔBFD ≅ΔDCE
．
∴ EF = FD = DE
．
ΔDEF
即 是等边三角形．
10 【答案】（1）证明：∵x，y满足等式 |x−a|+(x−y)2 = 0(a > 0) ，
x = y = a AM = CN = a
∴ ，即 ，
∵Rt△ABC中， ∠BAC = 90∘ ， ∠B = 45∘ ，
AB = AC
∴ ，
BM = AN
∴ ．
OE⊥AC OF⊥AB
（2）解：作 ， ，∠OFM = ∠ONE = ∠FOE = 90∘
∴ ，
∵点O是BC的中点，
1 1
OE = OF = AB = AC AF = BF AE = CE
∴ ， ， ，
2 2
OF = OE AF = CE
∴ ， ，
AF −AM = CE −CN
∴ ，
MF = NE
∴ ，
⎧⎪ OF = OE
∴在△OFM和△OEN中 ⎨∠OFM = ∠OEN ，
⎩⎪
FM = EN
△ OFM △ OEN (SAS)
∴ ，
OM = ON ∠MOF = ∠NOE
∴ ， ，
∠FOM +∠MOE = 90∘
∵ ，
∠MOE +∠NOE = ∠MON = 90∘
∴ ，
∴△OMN是等腰直角三角形．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 4 讲 等腰三角形综合
课堂落实答案
1 【答案】A
∵ CD ∠ACB AE⊥CD
【解析】解： 平分 ， ，
∴ AC = CE
．
∵ ∠B = ∠BAE
又 ，
∴ AE = BE
．
1 1 1
∴ AD = AE = BE = (BC −AC)
．
2 2 2
∵ BC = 5 AC = 3
， ，1
∴ AD = (5−3) = 1
．
2
A
故选： ．
2 【答案】C
∵ D BC AD⊥BC
【解析】解： 为 的中点， ，
∴ AD BC
是 的线段垂直平分线，
∵ E AD
是 上一点，
∴ EB = EC
，
∴ ∠EBD = ∠ECD
，
∵ ∠ABC = 60∘ ∠ECD = 40∘
又 ， ，
∴ ∠ABE = 60∘ −40∘ = 20∘
，
C
故选： ．
3 【答案】B
∵ ΔABC
【解析】解： 是等边三角形，
∴ AB = AC ∠C = 60∘
， ，
∵ DE⊥BC
，
∴ ∠DEC = 90∘
，
∴ ∠CDE = 30∘
，
∴ CD = 2CE = 6
，
∵ D AC
点 是 的中点，
∴ AC = 2CD = 12
，
∴ AB = AC = 12
，
B
故选： ．
4 【答案】B
5 【答案】C
【解析】
能力强化 / 初二 / 秋季
第 4 讲 等腰三角形综合
精选精练
1 【答案】 18∘ ≤ α < 22.5∘∵ OE = EF
【解析】解： ，
∴ ∠EOF = ∠EFO = α
，
∴ ∠GEF = ∠EOF +∠EFO = 2α
，
∠GFH = 3α ∠HGB = 4α
同理可得 ， ，
∵
最多能添加这样的钢管4根，
∴ 4α < 90∘ 5α ≥ 90∘
， ，
∴ 18∘ ≤ α < 22.5∘
，
18∘ ≤ α < 22.5∘
故答案为 ．
2 【答案】A
∵ A B A
【解析】解： △ 1 1 2是等边三角形，
∴ A B = A B
1 1 2 1，
∵ ∠MON = 30∘
，
∴ OA = A B = 1
1 1 1 ，
∴ A B = 1
2 1 ，
∵ A B A A B A
△ 2 2 3、△ 3 3 4是等边三角形，
∴ A B //A B //A B B A //B A
1 1 2 2 3 3， 1 2 2 3，
∴ A B = 2B A B A = 2B A
2 2 1 2， 3 3 2 3，
∴ A B = 4B A = 4
3 3 1 2 ，
A B = 8B A = 8
4 4 1 2 ，
A B = 16B A = 16
5 5 1 2 ，
A B A 26 = 64
以此类推：△ 7 7 8的边长为 ，
A
故选： ．
3 (1)【答案】解：由题意， t×1+12 = 2t ，
t = 12
解得： ，
∴ t = 12 M N
当 时， ， 两点重合，
C
此时两点在点 处重合；
M N BC MN
(2)【答案】结论：当点 、 在 边上运动时，可以得到以 为底边的等腰三角形．
M N C
理由：由（1）知12秒时 、 两点重合，恰好在 处，ΔAMN
如图，假设 是等腰三角形，
∴ AN = AM
，
∴ ∠AMN = ∠ANM
，
∴ ∠AMC = ∠ANB
，
∵ ΔACB
是等边三角形，
∴ ∠C = ∠B
，
ΔACM ΔABN
在 和 中，
⎧⎪ ∠C = ∠B
⎨∠AMC = ∠ANB
，
⎩⎪
AC = AB
∴ ΔACM ≅ΔABN(AAS)
，
∴ CM = BN
，
M N BC M N y ΔAMN
设当点 、 在 边上运动时， 、 运动的时间 秒时， 是等腰三角
形，
∴ CM = y −12 NB = 36−2y
， ，
∵ CM = NB
，
∴ y −12 = 36−2y
，
y = 16
解得： ．故假设成立．
∴ M N BC AM = AN
当点 、 在 边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时， ．
4 (1)【答案】解：根据题意，△ABC为等边三角形，
∠B = 60∘
∴ ．
DQ⊥AB
又∵ ，∠B+∠BQD = ∠BQD+∠PQR = 90∘
∴ ，
∠PQR = 60∘
∴ ．
同理，得
∠PRQ = 60∘
，
∴△PQR是等边三角形．
2.4
(2)【答案】
∠DQB = 30∘ BD = 1.3 cm
【解析】解：∵ ， ，
BQ = 2.6 cm
∴ ，
CQ = 4−2.6 = 1.4CM
，
∠QRC = 30∘
，
CR = 2.8 cm
∴ ，
AR = 4−2.8 = 1.2 cm
，
∠AER = 30∘
，
AE = 2AR = 2.4 cm
．
△ BDQ △ RQC △ ADR
(3)【答案】解：易证 ≌ ≌ ，
DB = AR
∴ ，
RQ⊥BC ∠A = 60∘
∵ ， ，
2AR = AD
∴ ，
3DB = AB
∴ ，
1 4
DB = ×4 = (cm)
∴ ．
3 3
【解析】
5 (1)【答案】证明：∵ AD⊥CE ， BE⊥CE ，
∠ADC = ∠CEB = 90∘
∴ ．
∠ACD+∠ECB = 90∘ ∠CAD+∠ACD = 90∘
∵ ， ，
∠CAD = ∠BCE
∴ （同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中⎧⎪ ∠ADC = ∠CEB
⎨∠CAD = ∠BCE
，
⎩⎪
AC = BC
△ ADC △ CEB(AAS)
∴ ≌ ．
AD⊥CE BE⊥CE
(2)【答案】证明：∵ ， ，
∠ADC = ∠CEB = 90∘
∴ ．
∠ACD+∠ECB = 90∘ ∠CAD+∠ACD = 90∘
∵ ， ，
∠CAD = ∠BCE
∴ （同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中，
⎧⎪ ∠ADC = ∠CEB
⎨∠CAD = ∠BCE
，
⎩⎪
AC = BC
△ ADC △ CEB(AAS)
∴ ≌ ，
DC = BE AD = CE
∴ ， ．
ED = CD−CE
又∵ ，
ED = BE −AD
∴ ．
ED = AD+BE
(3)【答案】 ．
AD⊥CE BE⊥CE
证明：∵ ， ，
∠ADC = ∠CEB = 90∘
∴ ．
∠ACD+∠ECB = 90∘ ∠CAD+∠ACD = 90∘
∵ ， ，
∠CAD = ∠BCE
∴ （同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中
⎧⎪ ∠ADC = ∠CEB
⎨∠CAD = ∠BCE，
⎩⎪
AC = BC
△ ADC △ CEB(AAS)
∴ ≌ ．
DC = BE AD = CE
∴ ， ．
ED = CE +DC
又∵ ，
ED = AD+BE
∴ ．
【解析】
6 【答案】解：（1）如图①，连接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，∴AD=BD=DC，
在△AED和△CFD中，
⎧⎪ AE = CF
⎨∠EAD = ∠DAC
，
⎩⎪
AD = DC
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．
（2）若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，
理由：∵∠BAC=90° AB=AC，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
在△AED和△CFD中，
⎧⎪ AE = CF
⎨∠EAD = ∠C
，
⎩⎪
AD = CD
∴△AED≌△CFD（SAS）；
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF-∠ADF=90°，
∴∠ADE-∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．
【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=DC，进而证明△AED≌△CFD，利用全等三
角形的性质得出DE=DF，∠ADE=∠CDF进而得出△DEF为等腰直角三角形；（2）若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论依然成立，首先利用已知
得出AD=BD=DC，进而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 5 讲 角平分线全等模型与将军饮马模型
例题练习题答案
例1 【答案】提示：过C作AD的垂线交AD延长线于F，
易得△EAC≌△FAC（AAS），可得AE=AF，
易得△BCE≌△DCF（AAS），可得BE=DF，
AE = AD+DF = AD+BE
∴ ．
练1.1 【答案】提示：（1）过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90°，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在△ABO和△AEO中，易证△ABO≌△AEO（AAS），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
1
∴∠AOC=∠AOE+∠COE= ×180°=90°，
2∴OA⊥OC；
（3）∵△ABO≌△AEO（AAS），
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∴AC=AE+CE=AB+CD．
【解析】
例2 【答案】解：如图，在AC上截取 AG = AE ，连接FG．
⎧AE = AG
在△EAF和△GAF中， ⎨∠EAF = ∠GAF ，
⎩
AF = AF
△ EAF △ GAF (SAS)
∴ ≌ ，
∠EFA = ∠GFA
∴ ．
1 1
∠FAC = ∠BAC ∠FCA = ∠BCA
又由题意可知， ， ，
2 2
1
∠FAC +∠FCA = (∠BAC +∠ACB)
∴
2
1
= ×(180∘ −∠B)=60∘
，
2
∠AFC = 180∘ −(∠FAC +∠FCA) = 120∘
∴ ，
∠EFA = ∠DFC = 180∘ −∠AFC= 180∘ −120∘= 60∘
∴ ，
∠GFA = ∠EFA = 60∘ ∠GFC = ∠AFC −∠GFA = 60∘ = ∠DFC
∴ ， ，
⎧∠DFC = ∠GFC
在△DCF和△GCF中， ⎨CF = CF ，
⎩
∠DCF = ∠GCF
△ DCF △ GCF (ASA)
∴ ≌ ，
CD = CG
∴ ，
AC = AG+CG = AE +CD= 3+2 = 5
∴ ．
练2.1 【答案】证明：在边 AC 上截取 AP = AB ，连接PD．
∵ AD 是△ABC的角平分线，∠BAD = ∠PAD
∴ ，
⎧AB = AP
在△ABD和△APD中， ⎨∠BAD = ∠PAD ，
⎩
AD = AD
△ ABD △ APD(SAS)
∴ ≌ ，
∠APD = ∠B PD = BD
∴ ， ，
∠APD = ∠PDC +∠C ∠B = 2∠C
∵ ， ，
∠PDC = ∠C
∴ ，
∴ PD = PC
，
AB+BD = AP +PD = AP +PC = AC
∴ ．
练2.2 【答案】证明：在 AB 上取一点 E ，使 AE = AC ，连接 PE ．
⎧AC = AE
在△APC和△APE中， ⎨∠CAP = ∠EAP ，
⎩
AP = AP
∴△APC≌△APE(SAS)，
PE = PC
∴ ．
AB−AC = AB−AE= BE ≥ PB−PE = PB−PC
∴
P A
当且仅当点 与点 重合时，等号成立．
例3 【答案】如图，延长BE交AC于F
则△ABE≌△AFE，
1
∴BE= BF，AB=AF，∠AFB=∠ABF，
2
∠ABC=∠FBC+∠ABF=∠C+2∠CBF=3∠C，
∴∠CBF=∠C,
∴BF=CF
∴BF=CF=AC-AF=AC-AB=2BE
1
BE = (AC −AB)
∴
2练3.1 【答案】 CD = 2BE ；见解析
CD = 2BE
【解析】 ，理由为：
BE CA F
延长 交 延长线于 ，
∵ CD ∠ACB
平分 ，
∴ ∠FCE = ∠BCE
，
ΔCEF ΔCEB
在 和 中，
⎧⎪ ∠FCE = ∠BCE
⎨CE = CE ，
⎩⎪
∠CEF = ∠CEB = 90∘
∴ ΔCEF ≅ΔCEB(ASA)
，
∴ FE = BE
，
∵ ∠DAC = ∠CEF = 90∘
，
∴ ∠ACD+∠F = ∠ABF +∠F = 90∘
，
∴ ∠ACD = ∠ABF
，
ΔACD ΔABF
在 和 中，
⎧⎪ ∠ACD = ∠ABF
⎨AC = AB ，
⎩⎪
∠CAD = ∠BAF = 90∘
∴ ΔACD ≅ΔABF(ASA)
，
∴ CD = BF
，
∴ CD = 2BE
．
例4 【答案】解： ∵ DE//BC ， ∠AED = 80∘ ，
∴ ∠ACB = ∠AED = 80∘ ∠BCD = ∠EDC
，
∵ CD ∠ACB
平分 ，
1
∴ ∠BCD = ∠ACB = 40∘
，
2∴ ∠EDC = 40∘
．
练4.1 【答案】解：∵ BP 是 ∠ABC 的角平分线，
∠ABP = ∠PBD
∴ ，
PD AB
又∵ ∥ ，
∠ABP = ∠BPD
∴ ，
∠PBD = ∠BPD
∴ ，
BD = PD
∴ ．
CE = PE
同理 ，
PDE = PD+DE +PE
∴△ 的周长
= BD+DE +EC
= BC
= 5(cm)
，
PDE 5cm
即△ 的周长是 ．
【解析】由BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，易证得△PBD与△PCE
是等腰三角形，继而可求得△PDE的周长．
例5 【答案】7
练5.1 【答案】D
AB = AC BC = 5 S = 15
【解析】∵ ， ， ΔABC ，
AD⊥BC于点D，
AD = 6
∴ ，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴AD的长度 = PB+PD 的最小值，
PB+PD
即 的最小值为6，
故选：D．
练5.2 【答案】B
【解析】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；
点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
⎧⎪ ∠ADB = ∠CEB
⎨∠ABD = ∠CBE
∵ ，
⎩⎪
AB = CB
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=5，
即BF+EF=5，
故选：B．
例6 【答案】80°
【解析】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为
△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×50°=100°，
∴∠MAN=80°
故答案为：80°．练6.1 【答案】C
【解析】解：分别作点P关于OA，OB的对称点 P 1， P 2，连 P 1， P 2，交OA于M，交OB于N，
OP = OP = OP ∠P OA = ∠POA ∠POB = ∠P OB
则 1 2， 1 ， 2 ，
MP = P 1 M ， PN = P 2 N ，则△PMN的周长的最小值 = P 1 P 2
∠P OP = 2∠AOB = 60∘
∴ 1 2 ，
△ OP P
∴ 1 2是等边三角形，
∠MPN = ∠OPM +∠OPN = ∠OP M +∠OP N = 120∘
∴ 1 2
△PMN的周长 = P 1 P 2，
P P = OP = OP = OP = 8
∴ 1 2 1 2 ，
∴①④正确．
练6.2 【答案】如图，作点A关于甲岸的对称点C，作点B关于乙岸的对称点D，连接CD分别交甲乙两岸于
点P，Q，连接AP，BQ，则最短路程为AP→PQ→QB→BA．
能力强化 / 初二 / 秋季第 5 讲 角平分线全等模型与将军饮马模型
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】B
【解析】作MN⊥AD于N，
∠B = ∠C = 90∘
∵ ，
∴AB∥CD，
∠DAB = 180∘ −∠ADC = 70∘
∴ ，
∵DM平分 ∠ADC ，MN⊥AD，MC⊥CD，
MN = MC
∴ ，
∵M是BC的中点，
MC = MB
∴ ，
∴ MN = MB ，又MN⊥AD，MB⊥AB，
1
∠MAB = ∠DAB = 35∘
∴ ，
2
故选：B．
3 【答案】C
AE F EF = BE
【解析】解：①在 取点 ，使 ，
∵ AB = AD+2BE = AF +EF +BE EF = BE
， ，
∴ AB = AD+2BE = AF +2BE
，
∴ AD = AF
，
∴ AB+AD = AF +EF +BE +AD = 2AF +2EF = 2(AF +EF) = 2AE
1
∴ AE = (AB+AD)
，故①正确；
2AB F BE = EF CF
②在 上取点 ，使 ，连接 ，
△ ACD △ ACF ∵ AD = AF ∠DAC = ∠FAC AC = AC
在 与 中， ， ， ，
∴△ ACD △ ACF
≌ （SAS），
∴ ∠ADC = ∠AFC
，
∵ CE BF
垂直平分 ，
∴ CF = CB
，
∴ ∠CFB = ∠B
，
∵ ∠AFC +∠CFB = 180∘
又 ，
∴ ∠ADC +∠B = 180∘
，
∴ ∠DAB+∠DCB = 360 −(∠ADC +∠B) = 180∘
，故②正确；
△ ACD △ ACF
③由②知， ≌ ，
∴ CD = CF
，
∵ CF = CB
又 ，
∴ CD = CB
，故③正确；
△ CEF △ CEB
④易证 ≌ ，
S −S = S −S = S
所以 △ACE △BCE △ACE △FCE △ACF，
∵△ ACD △ ACF
又 ≌ ，
∴ S = S
△ACF △ADC，
∴ S −S = S
△ACE △BCE △ADC，故④错误；
即正确的有3个．
4 【答案】证明：在 AC 边上取点 F ，使 AE = AF ，连接 OF ，
⎧AE = AF
在△AOE和△AOF中， ⎨∠EAO = ∠FAO ，
⎩
AO = AO
△ AOE △ AOF (SAS)
∴ ≌ ，
∠AOE = ∠AOF
∴ ，
∠ABC = 60∘
∵ ，
∠BAC +∠ACB = 120∘
∴ ，
AD CE ∠BAC ∠ACB
又∵ 、 分别平分 、 ，
1
∠AOC = 180∘ − (∠BAC +∠BCA) = 120∘
∴ ，
2∠AOE = ∠COD = 60∘
∴ ，
∠AOF = ∠AOE ∠COF = ∠AOC −∠AOF
又∵ ， ，
∠COD = ∠COF = 60∘
∴
∠DCO = ∠FCO CO = CO
又∵ ， ，
△ COD △ COF (ASA)
∴ ≌ ，
CD = CF
∴ ，
AC = AF +CF = AE +CD
∴ ．
5 【答案】解：如图，延长CD交AB于点E．
∵AD平分 ∠BAC ，
∠1 ∠2
∴ ＝ ．
∵CD⊥AD，
∠ADE ∠ADC 90∘
∴ ＝ ＝ ．
∵在△ADE与△ADC中，
⎧⎪ ∠1 = ∠2
⎨AD = AD
，
⎩⎪
∠ADE = ∠ADC
∴△ADE≌△ ADC (ASA) ．
∴AE＝AC＝10，DE＝DC．
∠DCB ∠B
∵ ＝ ，
∴BE＝CE＝2DC．
∴AB＝ AE +BE ＝ 10+2DC ＝25．
∴DC＝ 7.5 ．
【解析】如图，延长CD交AB于点E，构建全等三角形：△ADE≌△ ADC (ASA) ．由全等三角形的
对应边相等推知AE＝AC＝10，DE＝DC；根据BE＝CE，AB＝25，得出AB＝
AE +BE ＝ 10+2DC ＝25，即可求得DC＝ 7.5 ．
6 【答案】D
7 【答案】C
【解析】∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB．
又∵∠B，∠C的平分线相交于点O，
∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO．∴DB=DO，EC=EO，
又∵BD+EC=5，DO+EO=DE，
∴DE=5．
故选：C．
8 【答案】C
【解析】如图所示，作点E关于AD的对称点G．因为AD是等边△ABC的BC边上的中线，则AD是BC
的垂直平分线，则AG＝AE＝2，则G是AB中点．所以EF＋FC＝GF＋FC，即当G、F、C三
点共线时，EF＋CF的值最小等于CG．因为△ABC是等边三角形，G是AB中点，所以CG平
分∠ACB，所以 ．
9 (1)【答案】解：∵MN垂直平分AB．
MB = MA
∴ ，
又∵△MBC的周长是14cm，
BM +BC +CM = AM +CM +BC = AC +BC = 14cm
∴ ，
AB = AC = 8
又∵ cm，
BC = 14−8 = 6cm
∴ ．
【解析】根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；
(2)【答案】解：如图：
当点P与点M重合时， PB+CP 的值最小，最小值是8cm．
【解析】根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系、以及 PB+PC 与AC的关系．
10 【答案】D
能力强化 / 初二 / 秋季
第 5 讲 角平分线全等模型与将军饮马模型
课堂落实答案1 【答案】A
2 【答案】A
【解析】解：延长BD与AC交于点E，
∠A = ∠ABD
∵ ，
BE = AE
∴ ，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分 ∠ACB ，
∠BCD = ∠ECD
∴ ，
∠EBC = ∠BEC
∴ ，
∴△BEC为等腰三角形，
BC = CE
∴ ，
∵BE⊥CD，
2BD = BE
∴ ，
AC = 5 BC = 3
∵ ， ，
CE = 3
∴ ，
AE = AC −EC = 5−3 = 2
∴ ，
BE = 2
∴ ，
BD = 1
∴ ．
故选：A．
3 【答案】B
4 【答案】C
【解析】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
1 1
S = BC ⋅AD = ×4×AD = 16 AD = 8
∴ △ABC 2 2 ，解得 ，
∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为 CM +MD 的最小值，
1
∴△CDM的周长最短 = (CM +MD)+CD = AD+ BC
2
1
= 8+ ×4 = 8+2 = 10
．
2
故选：C．
5 【答案】A
【解析】作P关于OA，OB的对称点P ，P ．连接OP ，OP ．则当M，N是P P 与OA，OB的交
1 2 1 2 1 2
点时，△PMN的周长最短，连接P O、P O，
1 2
∵PP 关于OA对称，
1
∴∠P OP＝2∠MOP，OP ＝OP，P M＝PM，∠OP M＝∠OPM＝50°
1 1 1 1
同理，∠P OP＝2∠NOP，OP＝OP ，
2 2
∴∠P OP ＝∠P OP＋∠P OP＝2（∠MOP＋∠NOP）＝2∠AOB，OP ＝OP ＝OP，
1 2 1 2 1 2
∴△P OP 是等腰三角形．
1 2
∴∠OP N＝∠OP M＝50°，
2 1
∴∠P OP ＝180°－2×50°＝80°，
1 2
∴∠AOB＝40°．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 5 讲 角平分线全等模型与将军饮马模型
精选精练
1 【答案】A
P PK⊥AB K
【解析】解：过点 作 ，垂足为点 ，∵ PK⊥AB PD⊥BC ∠ABP = ∠CBP
， ， ，
∴ PK = PD
，
Rt △ BPK Rt △ BPD
在 和 中，
BP = BP
{
，
PK = PD
∴ Rt △ BPK Rt △ BPD(HL)
≌ ，
∴ BK = BD
，
∵ ∠APC +∠ABC = 180∘ ∠ABC +∠KPD = 180∘
，且 ，
∴ ∠KPD = ∠APC
，
∴ ∠APK = ∠CPD
，
△ PAK △ PCD
在 和 中，
⎧⎪ ∠AKP = ∠PDC
⎨PK = PD
，
⎩⎪
∠APK = ∠CPD
∴△ PAK △ PCD
≌ （ASA），
∴ AK = CD PA = PC
， ，故①正确，
∴ BK −AB = BC −BD
，
∴ BD−AB = BC −BD
，
∴ AB+BC = 2BD
，故②正确，
∵ Rt △ BPK Rt △ BPD △ PAK △ PCD
≌ ， ≌ ，
∴ S = S S = S
△BPK △BPD， △APK △PDC，
∴ S = S = 2S
四边形ABCP 四边形KBDP △PBD．故③正确．
A
故选： ．
2 【答案】解：（1）过 D 作 DE⊥AB ，交 AB 于点 E ，如图 1 所示，∵
AD
为
∠BAC
的平分线，
DC⊥AC，DE⊥AB，
DC = DE ∠AED = ∠ACD = 90∘
∴ ，
∠CAD = ∠EAD AD = AD
又∵ ， ，
△ ACD △ AED(AAS)
∴ ≌ ，
AC = AE
∴ ，
∠ACB = 2∠B ∠AED = ∠B+∠EDB
∵ ， ，
∠B = ∠EDB
∴ ，
BE = DE = DC
∴ ，
AB = BE +AE = CD+AC
∴ ；
AB = CD+AC
（2） ；
AB = CD−AC
（3） ，
证明：在 AF 上截取 AG = AC ，连接DG，
AD ∠FAC
∵ 为 的平分线，
∠GAD = ∠CAD
∴ ，
在△AGD和△ACD中，
⎧⎪ AG = AC
⎨∠GAD = ∠CAD
，
⎩⎪
AD = AD
△ AGD △ ACD(SAS)
∴ ≌ ，
CD = GD ∠AGD = ∠ACD
∴ ， ，
∠ACB = ∠FGD
∴ ，
∠ACB = 2∠B ∠FGD = ∠B+∠GDB
又∵ ， ，
∠B = ∠GDB
∴ ，
BG = DG = DC
∴ ，
AB = BG−AG = CD−AC
∴ ．
3 【答案】解：（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF=BE+CF．
理由如下：如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BE=OE，OF=CF，
∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰三角形；
如图1，∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
又∠B、∠C的平分线交于O点，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，
∴OE=BE，OF=CF，
∴EF=OE+OF=BE+CF．
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，
∴EF=BE+CF=2BE=2CF；
（2）有2个等腰三角形，分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；第（1）问中的关系
EF=BE+CF仍成立．
理由：如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形；∵BE=OE，CF=OF，
∴EF=EO+FO=BE+CF；
（3）有2个等腰三角形：△EBO，△OCF，EF与BE，CF的关系为：EF=BE-CF，
理由如下：如图3，∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCD，
又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACD的角平分线，
∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCD，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE，
∠FCO=∠FOC，
∴CF=FO，
又∵EO=EF+FO，
∴EF=BE-CF．
【解析】（1）根据EF∥BC，∠B、∠C的平分线交于O点，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上题目中给出的AB=AC，共5个等腰三角形；根据等
腰三角形的性质，即可得出EF与BE、CF间有怎样的关系；
（2）根据EF∥BC 和∠B、∠C的平分线交于O点，还可以证明出△OBE和△OCF是等腰三角
形；利用几个等腰三角形的性质，即可得出EF与BE，CF的关系；
（3）EO∥BC和OB，OC分别是∠ABC与∠ACL的角平分线，还可以证明出△BEO和△CFO
是等腰三角形，利用几个等腰三角形的性质以及线段的和差关系，即可得出EF与BE，CF
的关系．
60
4 【答案】
13
【解析】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN=ME，
∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．
∵∠ACB=90°，BC=12，AC=5，AB=13，
1 1
∴ AB×CE= BC×AC，
2 2
即13CE=12×5
60
∴CE= ．
13
60
即CM+MN的最小值为 ．
13
60
故答案为 ．
13
5 【答案】2α
【解析】解：过P作关于OB的对称点 P′ ，作 P′C ⊥OA于C，交OB于D，此时 PD = P′D ，根据
PD+DC = P′C
点到直线的距离最短可知 最短，
∵∠PDB=∠P′DB，∠CDO=∠P′DB，
∴∠CDO=∠PDB，
∵P′C⊥OA，∠AOB=α，
∴∠CDO=90°—α，
∠PDC = 180∘ −2×(90∘ −α) = 2α
∴ ．
2α
故答案为： ．
6 【答案】D
【解析】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB
于P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠1 = ∠O+∠OPM，∴∠OPM= ∠1 − ∠O=∠1 − 30°，
∵∠OPM= ∠OPM′，∠OPM′ = ∠QPN，
∴∠QPN= ∠PQO+30°
∵∠3 = ∠O+∠2=30°+∠2，∠NQN′ = ∠QPN+∠2 = ∠130°+∠2，∠NQN′ = 2∠3，
− =
∴∠1 30°+∠2 2（30°+∠2），
− =
∴∠1 ∠2 90°．
故选：D．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 6 讲 倍长中线与截长补短
例题练习题答案
例1 【答案】①②③
练1.1 【答案】C
【解析】①②④正确
例2 【答案】A
例3 【答案】证明：延长 FD 到 G ，使得 DG = FD ，连接 BG 、 EG ．
△ CFD △ BGD
在 和 中：
⎧BD = DC
⎨∠BDG = ∠CDF
⎩
DG = DF
∴△CFD≌△BGD（SAS）
BG = FC
∴
∘
∵ ∠EDF = 90 DG = DF
，
EG = EF
∴
在△BEG中， BE +BG > GEBE +CF > EF
∴
练3.1 【答案】证明：如图，延长AD到点G，使得 AD = DG ，连接BG．
∵AD是BC边上的中线
DC = DB
∴
⎧⎪ AD = GD
在△ADC和△GDB中， ⎨∠ADC = ∠GDB
⎩⎪
DC = DB
∴△ADC≌△GDB(SAS)
∠CAD = ∠G AC = GB
∴ ，
BE=AC
又∵ ，
BE = BG ∠BED = ∠G = ∠CAD
∴ ，
∠BED=∠AEF
又∵
∠CAD = ∠AEF ∠FAE = ∠AEF
∴ ，即
AF = EF
∴ ．
例4 【答案】证明：延长AM到F，使 MF = AM ，交CD于点N，连接BF．
BM = EM ∠BMF = ∠AME MF = AM
∵ ， ，
∴△BMF≌△EMA（SAS）
BF = AE ∠AEB = ∠EBF
∴ ，
∴BF∥AE， ∠ABF +∠BAE = 180∘
∠BAC = ∠DAE = 90∘
又∵ ，
∠CAD+∠BAE = 180∘
∴
∠ABF = ∠CAD
∴BF = AE AD = AE
∵ ， ，
BF = AD
∴
⎧⎪ AB = CA
在△ABF和△CAD中， ⎨∠ABF = ∠CAD
⎩⎪
BF = AD
∴△ABF≌△CAD（SAS），
∠BAF = ∠ACD
∴
∠BAC = 90∘
∵
∠BAF +∠CAN = 90∘ ∠ACD+∠CAN = 90∘
∴ ，
∴ ∠ANC = 90∘ ，即AM⊥CD得证．
AM DC H AM⊥CD ∠AHD = 90∘
【解析】如图所示，设 交 于 ，要证明 ，实际上就是证明 ，而
BM = ME AM F BF AD N
条件 不好运用，我们可以倍长中线 到 ，连接 交 于点 ，交
CD O
于点 ．
ΔAMEΔFMB
容易证明
AE = FB ∠EAF = ∠F AE // FB ∠ANF = 90∘
则 ， ，从而 ，
∠CAD+∠DAB = 90∘ ∠DAB+∠ABN = 90∘ ∠CAD = ∠ABN
而 ， ，故
ΔCADΔABF ∠D = ∠F
从而 ，故
∠D+∠DON = ∠FOH +∠F = 90∘
而
∠AHD = 90∘ AM⊥CD
故 ，亦即 ．
练4.1 【答案】证明：延长AE到M，使 EM = AE ，连接DM．
AE = ME ∠AEC = ∠MED EC = ED
∵ ， ，
∴△AEC≌△MED（SAS）
∠ACE = ∠MDE AC = DM
∴ ，DC = AC
∵ ，
∠ADC = ∠DAC
∴
∠ADB = ∠DAC +∠ACE ∠ADM = ∠ADC +∠MDE
∵ ，
∠ADB = ∠ADM
∴ ．
BD = AC AC = DM
又∵ ，
BD = DM
∴
⎧⎪ AD = AD
在△ADB和△ADM中， ⎨∠ADB = ∠ADM
⎩⎪
DB = DM
∴△ADB≌△ADM（SAS）
∠BAD = ∠MAD AD ∠BAE
∴ ，即 平分 ．
例5 【答案】证明：方法一：在AC上截取 AE = AB ，连接DE．
∵∠BAC的平分线AD交BC边于点D，∴ ∠BAD = ∠CAD = ∠EAD ，
⎧AB = AE
在△ABD与△AED中， ⎨∠BAD = ∠EAD，
⎩
AD = AD
∴△ABD≌△AED(SAS)，
BD = DE ∠B = ∠AED
∴ ， ，
AB = AE AB+BD = AC AE +CE = AC
又∵ ， ， ，
BD = CE = DE
∴ ，
∠C = ∠EDC
∴ ，
∠B = ∠AED = 2∠C
∴ ．
方法二：延长AB至点F，使得 AF = AC ，连接DF，∵∠BAC的平分线AD交BC边于点D，∴ ∠BAD = ∠FAD = ∠CAD ，
⎧AF = AC
在△AFD与△ACD中， ⎨∠FAD = ∠CAD ，
⎩
AD = AD
∴△AFD≌△ACD(SAS)，
∠C = ∠F AF = AC AB+BF = AF AB+BD = AC
∴ ，又∵ ， ， ，
BF = BD
∴ ，
∠ABC = 2∠F = 2∠C
∴ ．
练5.1 【答案】A
例6 【答案】证明：延长 DE 到 F ，使 EF = BC ，连接 AF 、 AC ．
∠ABC +∠AED = 180∘ ∠AEF +∠AED = 180∘
∵ ，
∠ABC = ∠AEF
∴
⎧AB = AE
ΔABC ΔAEF ⎨∠ABC = ∠AEF
在 和 中，
⎩
BC = EF
∴ ΔABC ≌ ΔAEF （SAS），
AC = AF
∴
BC +DE = CD EF = BC DE +EF = DF
又∵ ， ，
CD = DF
∴
AD = AD AC = AF
又∵ ，
∴ ΔADC ≌ ΔADF （SSS）
∠ADC = ∠ADF
∴
AD ∠CDE
∴ 平分 ．
练6.1 【答案】证明：如图，延长CB到G，使 BG = DF ，连接AG．
∠ABC +∠ADC = 180∘ ∠ABC +∠ABG = 180∘
∵ ，
∠ADC = ∠ABG
∴⎧⎪ AB = AD
在△ABG和△ADF中， ⎨∠ABG = ∠ADF
⎩⎪
BG = DF
∴△ABG≌△ADF（SAS）
AG = AF ∠BAG = ∠DAF
∴ ，
BE +BG = GE BE +DF = EF BG = DF
∵ ， ，
GE = FE
∴
⎧⎪ AG = AF
在△AEG和△AEF中， ⎨GE = FE
⎩⎪
EA = EA
∴△AGE≌△AFE（SSS）
∠EAG = ∠EAF ∠EAB+∠BAG = ∠EAF
∴ ，即
∠BAG = ∠DAF
又∵
∠EAB+∠DAF = ∠EAF
∴
1
∠EAF = ∠BAD
∴ ．
2
例7 【答案】解：BE、CD和BC满足 BE +CD = BC ．
在BC上取点G使得 CG = CD ，连接OG．
1
∠BOC = 180∘ − (∠ABC +∠ACB)
∵
2
1
= 180∘ − ×(180∘ −60∘) = 120∘
2
∠BOE = ∠COD = 60∘
∴ ，
⎧CD = CG
△ COD △ COG ⎨∠DCO = ∠GCO
在 和 中， ，
⎩
CO = CO
∴△COD≌△COG（SAS），
∠COG = ∠COD = 60∘
∴ ，
∠BOG = 120∘ −60∘ = 60∘ = ∠BOE
∴ ，
⎧∠BOG = ∠BOE
△ BOE △ BOG ⎨BO = BO
在 和 中， ，
⎩
∠EBO = ∠GBO
∴ △ BOE ≌ △ BOG （ASA），
BE = BG
∴ ，BE +CD = BG+CG = BC
∴ ．
练7.1 【答案】证明：在 BC 上截取 BF = AB ，连接 DF ．
∵BD是 ∠ABC 的平分线，
∠1 = ∠2
∴ ．
⎧⎪ AB = FB
在△ABD与△FBD中， ⎨∠1 = ∠2 ，
⎩⎪
BD = BD
∴△ABD≌△FBD（SAS），
AD = FD ∠ADB = ∠FDB
∴ ， ，
DE = AD
又∵ ，
FD = ED
∴ ，
∠A = 100∘ ∠ABC = 40∘
∵ ， ，
∠ACB = 40∘
∴ ，
1 1
∠2= ∠ABC = ×40∘ = 20∘
又∵
2 2
∠EDC = ∠2+∠ACB = 60∘ = ∠ADB = ∠FDB
∴ ，
∠FDC = 180∘ −(∠ADB+∠FDB) = 60∘ = ∠EDC
∴ ，
⎧⎪ FD = ED
在△FDC和△EDC中， ⎨∠FDC = ∠EDC ，
⎩⎪
DC = DC
∴△FDC≌△EDC（SAS），
CF = CE
∴ ，
BC = BF +CF = AB+CE BC = AB+CE
∴ ，即 ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 6 讲 倍长中线与截长补短
自我巩固答案
1 【答案】B
【解析】延长AD至E，使DE=AD=5，连接CE．在△ABD和△ECD中， ，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB．
在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+CE，
即5+5﹣7＜AC＜5+5+7，
3＜AC＜17，
故AC的长可能是：10．
2 【答案】B
3 【答案】B
4 【答案】C
FD G DG = DF BG EG
【解析】解：延长 至点 ，使得 ，连接 ， ，
∵ △ CDF △ BDG
在 和 中，
⎧⎪ CD = BD
⎨∠CDF = ∠BDG
，
⎩⎪
DF = DG
∴△ CDF △ BDG
≌ （SAS），
∴ BG = CF = 3
，
在△BGE中， 5−3 < EG < 3+5 ，
2 < EG < 8
即
DE⊥DF DG = DF
∵ ， ，
EF = EG
∴ （垂直平分线性质）2 < EF < 8
∴
∴选C
5 【答案】证明：延长 AD 至点 G ，使得 AD = DG ，连接 BG ．
BD = CD ∠BDG = ∠CDA DG = DA
∵ ， ， ，
∴△BDG≌△CDA（SAS），
BG = AC ∠G = ∠CAD
∴ ， ，
∴AC∥BG， ∠BAC +∠ABG = 180∘ ，
又∵△ABE和△ACF都是等腰直角三角形
∠BAE = ∠CAF = 90∘ AB = AE AC = AF
∴ ， ， ，
∠BAC +∠EAF = 360∘ −90∘ −90∘ = 180∘
∴ ，
∠ABG = ∠EAF BG = AF
∴ ， ，
⎧⎪ AB = AE
在△ABG和△AEF中， ⎨∠ABG = ∠EAF ，
⎩⎪
BG = AF
∴△ABG≌△EAF（SAS），
AG = EF
∴ ，
AG = 2AD
∵ ，
EF = 2AD
∴ ．
6 【答案】A
7 【答案】D
8 【答案】B
9 【答案】解：延长BD至E，使 CD = DE ，连接AE．
BD+CD = AB BE = BD+DE BE = AB
∵ ， ，∴ ，
又∵ ∠ABD = 60∘ ，∴△ABE是等边三角形，∠E = 60∘ AE = AB = AC
∴ ， ，
⎧AE = AC
在△AED和△ACD中， ⎨ED = CD
⎩
AD = AD
∴△AED≌△ACD(SSS)，
∠ACD = ∠E = 60∘
∴ ．
10 【答案】（1）证明：连接CB．
∵ AO = OB ，CO⊥AB，
AC = BC ∠A = ∠CBA
∴ ， ，
AC = BE
∵ ，
BC = BE ∠BCE = ∠E
∴ ， ，
∠A = ∠CBA = ∠BCE +∠E = 2∠E
∴ ；
（2）①证明：在CE上截取 CH = CA ，连接FH，
∵CF是△ACE的角平分线
⎧⎪ AC = HC
∴在△ACF与△HCF中， ⎨∠ACF = ∠HCF ，
⎩⎪
CF = CF
∴△ACF≌△HCF(SAS)，
AF = HF ∠A = ∠CHF
∴ ， ，
∠A = 2∠E ∠CHF = ∠HFE +∠E
又∵ ， ，
∠E = ∠HFE HE = HF = AF
∴ ， ，
CE = CH +HE
又∵
AC +AF = CE
∴ ；
CE = AC +AF
②解：由①可得 ，
OB = OA AC = BE
又∵ ， ，
CE = AC +AF = BE +AO +OF
∴
= EF −FB+OB+OF
= EF +OF +OF
= EF +2OF
．
【解析】（1）连接CB，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质解答即可；（2）①在CE上截取 CH = CA ，连接FH，利用全等三角形的判定和性质解答即可；
②根据全等三角形的性质进行解答即可．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 6 讲 倍长中线与截长补短
课堂落实答案
1 【答案】D
【解析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．
在△ABD和△ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，
∴△ABD≌△ECD（SAS）．
∴AB=CE．
在△ACE中，根据三角形的三边关系，得
AE﹣AC＜CE＜AE+AC，
即9＜CE＜19．
则9＜AB＜19．
故选D．
2 【答案】A
AE M EM = AE DM
【解析】证明：延长 到 ，使 ，连结 ，如图所示：
∵ E DC
是 的中点，
∴ DE = CE
，⎧⎪ EM = AE
△ DEM △ CEA ⎨∠DEM = ∠CEA
在 和 中， ，
⎩⎪
DE = CE
∴△ DEM △ CEA
≌ （SAS），
∴ ∠C = ∠MDE DM = AC
， ，
BD = DC = AC
又 ，
∴ DM = BD ∠ADC = ∠CAD
， ，
∠ADB = ∠C +∠CAD ∠ADM = ∠MDE +∠ADC
又 ， ，
∴ ∠ADM = ∠ADB
，
⎧⎪ AD = AD
△ ADB △ ADM ⎨∠ADB = ∠ADM
在 和 中， ，
⎩⎪
BD = DM
∴△ ADB △ ADM
≌ （SAS），
∴ ∠BAD = ∠DAE
．
3 【答案】C
4 【答案】C
5 【答案】解：（1）在CD上取点E，使 DE = BD ，连接AE．
∵AD⊥BC，∴ ∠ADB = ∠ADE = 90∘ ，
⎧AD = AD
在△ABD和△AED中， ⎨∠ADB = ∠ADE ，
⎩
DB = DE
∴△ABD≌△AED（SAS）
AB = AE ∠B = ∠AED
∴ ， ，
∠B = 2∠C ∠AED = ∠C +∠CAE
又∵ ， ，
∠C = ∠CAE AE = CE
∴ ， ，
CD = CE +DE = AE +BD = AB+BD
∴ ．
（2）在AC上取点G使 AB = AG ，连接DG．⎧AB = AG
在△ABD和△AGD中， ⎨∠BAD = ∠GAD ，
⎩
AD = AD
∴△ABD≌△AGD（SAS），
BD = DG ∠B = ∠AGD
∴ ， ，
∠B = 2∠C ∠AGD = ∠C +∠GDC
又∵ ， ，
∠C = ∠GDC CG = DG
∴ ， ，
AC = AG+CG = AB+DG = AB+BD
∴ ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 6 讲 倍长中线与截长补短
精选精练
1 【答案】D
【解析】A、B、C选项无法得到相应结论，现在对D进行证明；
ED G DG = DE BG FG
证明：延长 到点 ，使得 ，连接 ， ，
∵△ ACE △ CBF
和 均为等腰直角三角形，
∴ ∠ECA = 45∘ ∠FCB = 45∘
， ，
∵ ∠ECA+∠ECF +∠FCB = 180∘
，
∴ ∠ECF = 90∘
，
∵ D AB
为线段 的中点，
∴ AD = BD
，
⎧⎪ ED = GD
∵ △ EDA △ GDB ⎨∠EDA = ∠GDB
在 和 中 ，
⎩⎪
DA = DB
∴△ EDA △ GDB
≌ （SAS），
∴ EA = GB ∠A = ∠GBD = 45∘
， ，
∵△ ACE △ BCF
与 是等腰直角三角形，∴ CF = FB AE = EC ∠A = ∠ECA = ∠FCB = ∠FBC = 45∘
， ， ，
∴ CF = FB EC = BG ∠ECF = 90∘
， ， ，
⎧⎪ EC = BG
∵ △ ECF △ GBF ⎨∠ECF = ∠GBF
在 和 中 ，
⎩⎪
CF = BF
∴△ ECF △ GBF
≌ （SAS），
∴ EF = GF ∠EFC = ∠GFB
， ，
∵ ∠CFB = ∠CFG+∠GFB = 90∘
，
∴ ∠EFG = ∠EFC +∠CFG = 90∘
，
⎧⎪ EF = GF
∵ △ EFD △ GFD ⎨FD = FD
在 和 中 ，
⎩⎪
ED = GD
∴△ EFD △ GFD
≌ ，
∴ ∠EDF = ∠GDF = 90∘ ∠EFD = ∠GFD = 45∘
， ，
∴ ED = DF
，
∴△ DEF
为等腰直角三角形．
2 【答案】证明：延长AD至点F，使得 DF = AD ，连接EF．
延长AE至G，使得 EG = AE ，连接DG．
⎧⎪ AD = DF
在 △ ABD 和 △ DEF 中， ⎨∠ADB = ∠FDE
⎩⎪
DB = DE
∴ △ ABD ≌ △ FED （SAS），
AB = EF
∴ ，
△ AEF EF +AE > AF
在 中， ，
AB+AE > 2AD
即 ．
同理可得， △ AEC ≌ △ GED （SAS），
AC = DG
∴ ，
△ ADG DG+AD > AG
在 中， ，
AC +AD > 2AE
即 ．
AB+AE +AC +AD > 2AD+2AE
∴ ，
AB+AC > AD+AE
∴ ．3 【答案】解：（1）∵AD是△ABC的中线，∴ BD = CD ，
⎧⎪ BD = CD
在△QDB和△ADC中， ⎨∠BDQ = ∠CDA ，
⎩⎪
DQ = DA
∴△QDB≌△ADC（SAS），
BQ = CA = 5
∴ ，
在△ABQ中， AB−BQ < AQ < AB+BQ ，
4 < AQ = 2AD < 14
∴ ，
2 < AD < 7
∴ ，
2 < AD < 7
故答案为： ；
（2） AC ∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC（SAS），
∠BQD = ∠CAD
∴ ，
∴AC∥BQ；
（3） EF = 2AD ，AD⊥EF．
理由：如图2，延长AD到Q使得 DQ = AD ，连接BQ；延长DA交EF于P．
由（1）知，△QDB≌△ADC（SAS），
BQ = AC
∴ ，
AC = AF BQ = AF
∵ ，∴ ，
由（2）知，AC∥BQ，
∠BAC +∠ABQ = 180∘
∴ ，
∠BAE = ∠FAC = 90∘
∵ ，
∠BAC +∠EAF = 180∘
∴ ，
∠ABQ = ∠EAF
∴ ，
⎧⎪ AB = EA
在△ABQ和△EAF中， ⎨∠ABQ = ∠EAF ，
⎩⎪
BQ = AF∴△ABQ≌△EAF（SAS），
AQ = EF ∠BAQ = ∠AEF
∴ ， ，
∠BAE = 90∘
∵ ，
∠BAQ+∠EAP = 90∘
∴ ，
∠AEF +∠EAP = 90∘
∴ ，
∴ ∠APE = 90∘ ，AD⊥EF，
AD = DQ
∵ ，
AQ = EF = 2AD
∴ ，
即 EF = 2AD ，AD⊥EF．
4 【答案】C
5 【答案】证明：延长 DE 、 CB 交于 F ．
AD // BC
∵ ，
∠F = ∠ADE = ∠EDC
∴ ，
∠DCE = ∠FCE EC = EC
又∵ ，
∴ ΔDEC ≅ΔFEC （AAS），
CD = CF DE = FE
∴ ， ，
⎧⎪ ∠ADE = ∠F
ΔDEA ΔFEB ⎨∠AED = ∠BEF
在 和 中， ，
⎩⎪
DE = FE
∴ ΔDEA ≅ΔFEB （AAS），
AD = BF
∴ ，
CD = CF = BF +BC = AD+BC
∴ ．
6 【答案】解：（1）EF=BE+DF，理由如下：
如图1，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG．在△ABE和△ADG中，
⎧⎪ BE = DG
⎨∠B = ∠ADG
，
⎩⎪
AB = AD
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
1
∵∠EAF= ∠BAD，
2
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
⎧⎪ AE = AG
⎨∠EAF = ∠GAF
，
⎩⎪
AF = AF
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为 EF=BE+DF；
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图2，
在△ABE和△ADG中，⎧⎪ BE = DG
⎨∠B = ∠ADG
，
⎩⎪
AB = AD
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
1
∵∠EAF= ∠BAD，
2
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
⎧⎪ AE = AG
⎨∠EAF = ∠GAF ，
⎩⎪
AF = AF
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】A
2 【答案】D
【解析】∵三角形的两条边长分别为6cm和10cm，
∴第三边长的取值范围是：4＜x＜16，
∴它的第三边长不可能为：17cm．
3 【答案】D
4 【答案】A
5 【答案】C
【解析】∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∠BDO = ∠CEO = 90∘
∴ ，
在△BOD和△COE中，⎧⎪ ∠BDO = ∠CEO
⎨∠BOD = ∠COE
，
⎩⎪
OB = OC
∴△BOD≌△ COE(AAS) ，
进一步得△ADO≌△AEO，△ABO≌△ACO，△ABE≌△ACD共4对．
故选：C．
6 【答案】A
【解析】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
S S S
由图可知， △ABC= △ABD+ △ACD，
1 1
∴ ×4×2+ ×AC×2=7，
2 2
解得AC=3．
故选：A．
7 【答案】A
a+c > b a−b+c > 0 a−b < c a−b−c < 0
【解析】根据三角形三边关系, ,所以 ； ，所以 .
=a−b+c −(−a+b+c)
原式
=a−b+c +a−b−c
=2a−2b
8 【答案】B
9 【答案】C
10 【答案】A
【解析】∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣52°=128°，
又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D ，
1
1 1
∴∠ABD =∠CBD = ∠ABC，∠ACD =∠BCD = ∠ACB，
1 1 2 1 1 2
1 1
∴∠CBD +∠BCD = （∠ABC+∠ACB）= ×128°=64°，
1 1 2 2
1
∴∠BD C=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）=180°﹣64°=116°，
1 2
3
同理∠BD C=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）=180°﹣96°=84°，
2 4
31
依此类推，∠BD C=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．
5 32
故选A．11 【答案】22
4cm 9cm
【解析】解：①当腰是 ，底边是 时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
4cm 9cm = 4+9+9 = 22cm
②当底边是 ，腰长是 时，能构成三角形，则其周长 ．
12 【答案】七
【解析】设多边形为n边形，由题意，得
（n﹣2）•180°=900，
解得n=7
13 【答案】BD=BE或AD=CE或BA=BC（任写一种）
14 【答案】
20∘
【解析】解：∵CE是 ∠ACD 的角平分线，
1
∠ECD = ∠ACD
∴ ，
2
∠ACD = ∠A+∠ABC
又∵ ，
1 1
∠ECD = ∠A+ ∠ABC
∴ ，
2 2
1
∠ECD = ∠E + ∠ABC
又∵ ，
2
1 1 1
∠A+ ∠ABC = ∠E + ∠ABC
∴ ，
2 2 2
1
∠E = ∠A = 40∘
∴ ；
2
1
∠F = ∠E = 20∘
同理： ，
2
∠BFC = 20∘
即： ．
15 【答案】
14∘
16 【答案】6
【解析】解：连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC
∴PB=PC，
当B、E、P三点共线时，EP+PC=EP+BP=CE，
∵等边△ABC中，E是AB边的中点，
∴AD=CE=6，
∴EP+BP的最小值为6，
故答案为：617 【答案】32°
∵ ΔABC ∠BAC = 106∘
【解析】 中， ，
∴ ∠B+∠C = 180 ∘−∠BAC = 180 ∘−106∘ = 74∘
，
∵ EF MN AB AC
、 分别是 、 的中垂线，
∴ ∠B = ∠BAE ∠C = ∠CAN
， ，
∠B+∠C = ∠BAE +∠CAN = 74∘
即 ，
∴ ∠EAN = ∠BAC −(∠BAE +∠CAN) = 106 ∘−74∘ = 32∘
．
18 【答案】
108∘
或
72∘
AB = AC
【解析】解：∵ ，
∠B = ∠C = 36∘
∴ ，
AD = AE ∠ADE = ∠AED = 36∘
①当 时， ，
∠AED > ∠C
∵ ，
∴此时不符合；
1
DA = DE ∠DAE = ∠DEA = ×(180∘ −36∘) = 72∘
②当 时，即 ，
2
∠BAC = 180∘ −36∘ −36∘ = 108∘
∵ ，
∠BAD = 108∘ −72∘ = 36∘
∴ ；
∠BDA = 180∘ −36∘ −36∘ = 108∘
∴ ；
EA = ED ∠ADE = ∠DAE = 36∘
③当 时， ，
∠BAD = 108∘ −36∘ = 72∘
∴ ，
∠BDA = 180∘ −72∘ −36∘ = 72∘
∴ ；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是
108∘
或
72∘
．
19 【答案】解：∵AD是△ABC的高， ∠C = 70∘ ，
∠DAC = 20∘
∴ ，
∵BE平分 ∠ABC 交AD于 E ，
∠ABE = ∠EBD
∴ ，
∠BED = 64∘
∵ ，
∠ABE +∠BAE = 64∘
∴ ，
∠EBD+64∘ = 90∘
∴ ，∠EBD = 26∘
∴ ，
∠BAE = 38∘
∴ ，
∠BAC = ∠BAE +∠CAD = 38∘ +20∘ = 58∘
∴ ．
【解析】∵AD是△ABC的高，∠C=70°，
∴∠DAC=20°，
∵BE平分∠ABC交AD于E，
∴∠ABE=∠EBD，
∵∠BED=64°，
∴∠ABE+∠BAE=64°，
∴∠EBD+64°=90°，
∴∠EBD=26°，
∴∠BAE=38°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAD=38°+20°=58°．
20 【答案】解：∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠DCE，
⎧⎪ ∠BAC = ∠DCE
在△ABC和△CDE中， ⎨ AB = CD ，
⎩⎪
∠B = ∠D
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE．
【解析】∵AB∥EC，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE．
21 【答案】解：(1)△DEF如图所示，D(2,-3)，E(3,-1)，F(-2,2）1
(2)S 四边形ABED=
2
(2+6)×1=4．
22 【答案】证明：
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠ADB=90°，∠BAC=60°，AB=AC
∵EC⊥BC，
∴∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中
AB = AC
{
BD = CE
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）
∴AD=AE，∠CAE=∠BAD=60°，
∴△ADE是等边三角形．
23 【答案】延长 FD 到 G 使DG = DF，连接 BG ， EG ．
ΔCFD≅ΔBGD
则 ，
BG = FC ΔEFG EF = EG
∴ ，易证 为等腰三角形即 ．
BE +BG > GE BE +CF > EF
∴ 即 ．24 【答案】解：（1） ∠ACB = 2∠ABC ，
∠ACB = 2∠ABC
故答案为: ，
1
(2)想法
AD ∠BAC
∵ 是 的平分线，
∠BAC = ∠CAB
∴ ，
AF = AC +CF CD = CF
∵ ，且 ，
AF = AC +CD
∴ ，
AB = AC +CD
又∵ ，
AB = AF
∴ ，
AD = AD
又∵ ，
ABD AFD
∴△ ≌△ ，
∠B = ∠F
∴ ，
CD = CF
∵ ，
∠F = ∠CDF
∴ ，
∠ACB = ∠F +∠CDF
又∵ ，
∠ACB = 2∠F
∴ ，
∠ACB = 2∠B
∴ ，
2
想法
AD ∠BAC
∵ 是 的平分线，
∠BAC = ∠CAB
∴ ，
AC = AE AD = AD
又∵ ， ，AED ACD
∴△ ≌△ ，
ED = CD ∠C = ∠AED
∴ ， ，
AB = AC +CD AB = AE +BE AE = AC
又∵ ， ， ，
CD = BE
∴ ，
DE = BE
∴ ，
∠B = ∠EDB
∴ ，
∠AED = ∠B+∠EDB
又∵ ，
∠AED = 2∠B
∴ ，
∠C = ∠AED
又∵ ，
∠C = 2∠
∴ B．
∠ACB = 2∠ABC
【解析】（1） ，
（2）想法1
∵ AD ∠BAC
是 的平分线，
∴ ∠BAC = ∠CAB
，
∵ AF = AC +CF CD = CF
，且 ，
∴ AF = AC +CD
，
∵ AB = AC +CD
又 ，
∴ AB = AF
，
∵ AD = AD
又 ，
∴ ΔABD ≅ΔAFD
，
∴ ∠B = ∠F
，
∵ CD = CF
，
∴ ∠F = ∠CDF
，
∵ ∠ACB = ∠F +∠CDF
又 ，
∴ ∠ACB = 2∠F
，
∴ ∠ACB = 2∠B
；想法2
∵ AD ∠BAC
是 的平分线，
∴ ∠BAC = ∠CAB
，
∵ AC = AE AD = AD
又 ， ，
∴ ΔAED ≅ΔACD
，
∴ ED = CD ∠C = ∠AED
， ，
∵ AB = AC +CD AB = AE +BE AE = AC
又 ， ， ，
∴ CD = BE
，
∴ DE = BE
，
∴ ∠B = ∠EDB
，
∵ ∠AED = ∠B+∠EDB
又 ，
∴ ∠AED = 2∠B
，
∵ ∠C = ∠AED
又 ，
∴ ∠C = 2∠B
．
25 【答案】（1）证明：∵△ABC、△ADE为等边三角形
AB = AC ∠BAC = ∠DAE = 60∘
∴ ，
∠DAB = ∠CAE AB = AC AD = AE
∴ ，且 ，
∴△ADB≌△AEC(SAS)
BD = CE
∴
C CG//BP EF G
（2）如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∠ADB = 90∘ ∠ADE = 60∘
∵ ，∠BDG = 30∘
∴
CG//BP
∵
∠G = ∠BDG = 30∘
∴ ，
∵△ADB≌△AEC
BD = CE ∠ADB = ∠AEC = 90∘
∴ ，
∠GEC = ∠AEC −∠AED = 30∘
∴
∠G = ∠GEC = 30∘
∴
GC = CE
∴ ，
CG = BD ∠BDG = ∠G ∠BFD = ∠GFC
∴ ，且 ，
∴△BFD≌△CFG(AAS)
BF = FC
∴
F BC
∴点 是 中点
