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能力强化 / 初二 / 秋季
第 8 讲 手拉手模型
例题练习题答案
例1 【答案】解：（1）∵△ABC和△BDE是等边三角形
BD = BE ∠ABC = ∠EBD BC = AB
∴ ， ，
∠CBD = ∠ABE
∴
在△CBD和△ABE中，
⎧BD = BE
⎨∠CBD = ∠ABE
⎩ ，
BC = BA
∴△CBD≌△ABE(SAS)，
∠BDC = ∠AEB = 120∘
∴ ，
∠ADC = ∠BDC −∠BDE = 60∘
∴ ；
DC = AE
（2）由（1）得 ，
DA −DB = DA −DE = AE = DC
∴ ．
练1.1 【答案】解：（1）∵△CAD、△CBE都是等边三角形，
∠A = ∠CDA = 60∘ AC = CD CE = CB
∴ ， ， ，
∠ACD = ∠ECB = 60∘
，
∠ACD+∠DCB = ∠ECB +∠DCB
∴ ，
∠ACB = ∠ECD
即 ，
在△ACB和△DCE中
⎧AC = DC
⎨∠ACB = ∠DCE
⎩ ，
CB = CE
∴△ACB≌△DCE，
∠CDE = ∠A = ∠CDA = 60∘
∴ ，
∠EDB = 180∘ −60∘ −60∘ = 60∘
∴ ，
（2）∵△ACB≌△DCE，
DE = AB
∴ ，
AB = AD+BD AD = CD
∵ ， ．
DE = AB = AD+DB = CD+DB
∴ ．例2 【答案】①②④⑤
【解析】∵△ABC与△BDE为等边三角形，
AB = BC BD = BE ∠ABC = ∠DBE = 60∘
∴ ， ， ，
∠ABE = ∠CBD ∠CBE = 60∘
∴ ， ，
在△ABE和△CBD中，
⎧AB = CB
⎨∠ABE = ∠CBD
⎩
BE = BD
△ ABE △ CBD(SAS)
∴ ≌ ，
AE = CD
∴ （可知①正确），
∠BDC = ∠AEB
，
在△BGD和△BFE中，
⎧∠DBG = ∠EBF = 60∘
⎨∠BDG = ∠BEF
⎩
BD = BE
△ BGD △ BFE(AAS)
∴ ≌ ，
BG = BF ∠BFG = ∠BGF = 60∘
∴ ， ，故②正确，
∴△BFG是等边三角形，故⑤正确．
△ ABE △ CBD
另一方面，∵ ≌ ，
∠AHC = ∠EAB +∠BDC = ∠BCD+∠BDC = ∠ABC = 60∘
∴ ，故④正
确．
∵△BFG是等边三角形，
∠BGF = ∠BFG = 60∘
∴ ，
∠BGF = ∠GBD FG // AD
∴ ，可得 ．
∴若③正确，FG⊥BH，则BH⊥AD，仅当 AB = BD 时成立，故③错误．
综上，答案为①②④⑤．
例3 【答案】证明：（1）可证△AEC≌△ABF（SAS），
∠ACE = ∠AFB
∴ ，
∠ACE +∠FMC = ∠AFB +∠CAF
∵ ，
∠FMC = ∠CAF = 90∘
∴ ，
∴EC⊥BF
证明：（2）∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
AD = CD GD = ED
∴ ， ，
∠CDG = 90∘ +∠ADG ∠ADE = 90∘ +∠ADG
∵ ， ，∠CDG = ∠ADE
∴ ，
⎧AD = CD
在△ADE和△CDG中，⎩ ⎨∠ADE = ∠CDG ，
DE = GD
∴△ADE≌△CDG（SAS），
AE = CG
∴
练3.1 【答案】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
⎧AC = BC
⎨∠ACD = ∠BCE
∵⎩ ，
CD = CE
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，
（2）AE⊥BE,
∵△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC＝∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
即AE⊥BE．
例4 【答案】A
练4.1 【答案】BD=AD+CD
例5 (1)【答案】解：①如图所示：
∠ADC +∠CDE = 180∘
② ．
CM AE BE AE = BE +2CM
(2)【答案】解：线段 ， 和 之间的数量关系是 ，理由如下：
∵ CD C 90∘ CE
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ CD = CE ∠DCE = 90∘
， ．∴ ∠CDE = ∠CED = 45∘
．
∵ ∠ADC = 135∘
又 ，
∴ ∠ADC +∠CDE = 180∘
，
∴ A D E
、 、 三点在同一条直线上．
∴ AE = AD+DE
．
∵ ∠ACB = 90∘
又 ，
∴ ∠ACB −∠DCB = ∠DCE −∠DCB
，
∠ACD = ∠BCE
即 ．
ΔACD ΔBCE
在 和 中，
⎧⎪ AC = BC
⎨∠ACD = ∠BCE
⎩⎪
CD = CE
∴ ΔACD ≅ΔBCE
．
∴ AD = BE
．
∵ CD = CE ∠DCE = 90∘ CM⊥DE
， ， ．
∴ DE = 2CM
．
∴ AE = BE +2CM
．
练5.1 【答案】证明：过点A作AF⊥AD交BE于F．
∵∠ADE=45°，
∴△ADF为等腰直角三角形．
∴AD=AF．
∵AE⊥DE，
∴AE=EF．
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC—∠CAF=∠DAF—∠CAF即∠BAF=∠CAD．
⎧AB = AC
在△BAF和△CAD中，⎩ ⎨∠BAF = ∠CAD ，
AF = AD
∴△BAF≌△CAD．
∴BF=CD．∵BE=BF+EF，
∴BE=CD+AE．
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第 8 讲 手拉手模型
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】解：已知△ABC、△DCE为正三角形，故 ∠DCE = ∠BCA = 60∘ ，
∠DCB = 60∘
∴ ，
∠DPC = ∠DAC +∠BCA ∠BCA = 60∘
又因为 ， ，
∠DPC > 60∘ = ∠DCB
∴ ，
故DP不等于DC，即不等于DE，选项C错误．
以下证明选项A、B、D正确：
∵△ABC、△DCE为正三角形，
∠ACB = ∠DCE = 60∘ AC = BC DC = EC
∴ ， ， ，
∠ACB +∠BCD = ∠DCE +∠BCD
∴ ，
∠ACD = ∠BCE
∴ ，
在△ACD和△BCE中，
⎧AC = BC
⎨∠ACD = ∠BCE
⎩
CD = CE
△ ACD △ BCE(SAS)
∴ ≌ ，
∠CAD = ∠CBE
∴ ，
∠AOB = ∠CAD+∠CEB = ∠CBE +∠CEB
∴ ，
∠CBE +∠CEB = ∠ACB = 60∘
∵ ，
∴ ∠AOB = 60∘ ，故D正确；
△ ACD △ BCE
∵ ≌ ，
∠DAC = ∠EBC
∴ ，
在△ACP和△BCQ中，
⎧∠PAC = ∠QBC
⎨AC = BC
⎩
∠ACP = ∠BCQ△ ACP △ BCQ(ASA)
∴ ≌ ，
∴ AP = BQ ，故B正确； CP = CQ ，
∠PCQ = 60∘
又∵ ，
∠QPC = 60∘ = ∠ACB
∴ ，
∴ PQ // AE ，故A正确．
综上，答案为C．
2 【答案】A
∵ ΔABC ΔCDE
【解析】解： 和 都是等边三角形，
∴ AC = BC CE = CD ∠BAC = 60∘ ∠ACB = ∠ECD = 60∘
， ， ， ，
∴ ∠ACB −∠ECB = ∠ECD−∠ECB
，
∴ ∠ACE = ∠BCD
，
ΔACE ΔBCD
在 和 中，
⎧⎪ AC = BC
⎨∠ACE = ∠BCD
，
⎩⎪
CE = CD
∴ ΔACE ≅ΔBCD(SAS)
，
∴ ∠CAE = ∠CBD
，
∵ ∠EBD = 65∘
，
∴ 65∘ −∠EBC = 60∘ −∠BAE
，
∴ 65∘ −(60∘ −∠ABE) = 60∘ −∠BAE
，
∴ ∠ABE +∠BAE = 55∘
，
∴ ∠AEB = 180∘ −(∠ABE +∠BAE) = 125∘
．
C
故选： ．
3 【答案】C
【解析】∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△DCB，①正确
由①得∠AEC＝∠CBD，
∴△BCN≌△ECM，
∴CM＝CN，②正确
假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN为等边三角形，∠CDB＝60°，
又∵∠ACD＝∠CDB＋∠DBC＝60°，
∴假设不成立，③错误；∵∠DBC＋∠CDB＝60°∠DAE＋∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，
∴∠DAE＝∠DBC，④正确，
∴正确答案①②④
4 【答案】D
5 【答案】D
∵ ΔABC AD BE BC AC
【解析】解： 中， ， 分别为 、 边上的高，
∴ AD⊥BC ΔABF ΔACF
，而 和 有一条公共边，
∴ S : S = BD : CD
ΔABF ΔAFC ，
∴
③正确；
∵ ∠ABC = 45∘
，
∴ AD = BD ∠DAC ∠FBD ∠ACD
， 和 都是 的余角，
∠ADB = ∠ADC = 90∘
而 ，
∴ ΔBDF ≅ΔADC
，
∴ FD = CD
，
∴ ∠FCD = ∠CFD = 45∘
，
∴
①正确；
AE = EC BE⊥AC AB = BC
若 ， ，可得 ，与题意不符合，
故②错误．
BF = 2EC BF = AC
若 ，根据①得 ，
∴ AC = 2EC
，
E AC
即 为 的中点，
∴ BE AC
为线段 的垂直平分线，
∴ AF = CF BA = BC
， ，
∴ AB = BD+CD = AD+CD = AF +DF +CD = CF +DF +CD
，
ΔFDC AB
即 周长等于 的长，
∴
④正确．
D
故选： ．
∵△ OCD
6 【答案】解： 是等边三角形，
∴ OC = CD
，
△ ABC
而 是等边三角形，
∴ BC = AC
，
∵ ∠ACB = ∠OCD = 60∘
，∴ ∠BCO = ∠ACD
，
△ BOC △ ADC
在 与 中，
⎧⎪ OC = DC
⎨∠BCO = ∠ACD
，
⎩⎪
BC = AC
∴△ BOC △ ADC (SAS)
≌ ，
∴ ∠BOC = ∠ADC
，
∠BOC = α = 150∘ ∠ODC = 60∘
而 ， ，
∴ ∠ADO = 150∘ −60∘ = 90∘
，
∴△ ADO
是直角三角形．
7 【答案】证明：∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∠DAB = 90∘ = ∠EAC
∴ ，
∠DAB +∠BAC = ∠EAC +∠BAC
∴ ，
∠DAC = ∠EAB
即 ，
在△DAC和△BAE中，
⎧⎪ AD = AB
⎨∠DAC = ∠BAE
⎩⎪
AC = AE
△ DAC △ BAE(SAS)
∴ ≌ ，
CD = BE
∴ ．
8 【答案】解： CE = BD 且CE⊥BD，理由如下：
∠BAC = ∠DAE = 90∘ ∠BAD = ∠BAC +∠CAD
∵ ， ，
∠CAE = ∠CAD+∠DAE
，
∠BAD = ∠CAE
∴ ．
在△BAD和△CAE中，
⎧⎪ BA = CA
⎨∠BAD = ∠CAE
，
⎩⎪
AD = AE
△ BAD △ CAE(SAS)
∴ ≌ ，
BD = CE ∠ABD = ∠ACE
∴ ， ．
∠ABC +∠ACB = 90∘ ∠ABC = ∠ABD+∠DBC
∵ ， ，
∠ACE +∠DBC +∠ACB = 90∘
∴ ，
∠BDC = 90∘
∴ ，
∴BD⊥CE．
【解析】BD=CE，BD⊥CE；理由：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE．
9 【答案】3，1
【解析】 解：如图，作等边三角形△BCM，连接DM．
∵△ACD，△BCM都是等边三角形，
∴CD＝CA，CM＝CB＝BM＝2， ∠DCA ＝ ∠MCB ＝ 60∘ ，
∠DCM ∠ACB
∴ ＝ ，
△ DCM △ ACB(SAS)
∴ ≌ ，
∴DM＝AB＝1，BM −DM ≤ BD ≤ BM +DM
∵ ，
1 ≤ BD ≤ 3
∴ ，
∴BD的最大值为3，最小值为1．
AD
10 (1)【答案】证明:连接 ,
∵ AB = AC ∠BAC = 90∘ D BC
, , 为 的中点,
∴ AD ⊥ BC BD = AD
, .
∴ ∠B = ∠DAC = 45∘
BE = AF
又 ,
∴△ BDE ≅△ ADF (SAS)
.
∴ ED = FD∠BDE = ∠ADF
, .
∴ ∠EDF = ∠EDA +∠ADF = ∠EDA +∠BDE = ∠BDA = 90∘
.
∴△ DEF
为等腰直角三角形.
△ DEF
(2)【答案】解: 为等腰直角三角形.
E F ABCA
证明:若 , 分别是 , 延长线上的点,
如图所示:
AD
连接 ,
∵ AB = AC
,
∴△ ABC
为等腰三角形,
∵ ∠BAC = 90∘ D BC
, 为 的中点,
∴ AD = BDAD ⊥ BC
, (三线合一),
∴ ∠DAC = ∠ABD = 45∘
.∴ ∠DAF = ∠DBE = 135∘
.
AF = BE
又 ,
∴△ DAF ≅△ DBE(SAS)
.
∴ FD = ED∠FDA = ∠EDB
, .
∴ ∠EDF = ∠EDB +∠FDB = ∠FDA +∠FDB = ∠ADB = 90∘
.
∴△ DEF
仍为等腰直角三角形.
能力强化 / 初二 / 秋季
第 8 讲 手拉手模型
课堂落实答案
1 【答案】C
∠B = 45∘ AB = AC
【解析】解：∵ ， ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
AD = CD = BD AD⊥BC ∠CAD = 45∘
∴ ， ， ，
∠CAD = ∠B
∴ ，
∵∠MDN是直角，
∠ADF +∠ADE = 90∘
∴ ，
∠BDE +∠ADE = ∠ADB = 90∘
∵ ，
∠ADF = ∠BDE
∴ ，
⎧∠CAD = ∠B
在△BDE和△ADF中，⎩ ⎨AD = BD ，
∠ADF = ∠BDE
△ BDE △ ADF (ASA)
∴ ≌ ，
故③正确；
DE = DF BE = AF
∴ 、 ，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故①正确；
AE = AB −BE CF = AC −AF
∵ ， ，
AE = CF
∴ ，故②正确；
BE +CF = AF +AE
∵
BE +CF > EF
∴ ，
故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
∵△ ACB △ DCE
2 【答案】解： 和 均为等边三角形，
∴ CA = CB = AB CD = CE = DE ∠ACB = ∠DCE = 60∘
， ， ，
∴ ∠ACB −∠DCB = ∠DCE −∠DCB ∠ACD = ∠BCE
，即 ，
△ CDA △ CEB
在 和 中，
⎧⎪ CA = CB
⎨∠ACD = ∠BCE
，
⎩⎪
CD = CE
∴△ CDA △ CEB(SAS)
≌ ，
∵ ∠CDE = 60∘
，
∴ ∠ADC = 120∘
，
∵△ CDA △ CEB
≌ ，
∴ ∠CEB = ∠ADC = 120∘
，
∴ ∠AEB = 120∘ −60∘ = 60∘
．
3 【答案】证明：△CEF为等边三角形，证明如下：
∵△ACM和△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=CN，∠MCA=∠NCB=60°，
∴∠ACN=∠MCB=120°，
在△ACN和△MCB中，
⎧⎪ AC = CM
⎨∠ACN = ∠MCB
，
⎩⎪
CN = CB
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴∠ENC=∠FBC，
∵△ACM和△CBN是等边三角形，
∴∠MCA=∠NCB=60°，
∴∠ECF=180°-60°-60°=60°，
在△CEN和△CFB中，
⎧⎪ ∠ENC = ∠FBC
⎨CN = CB
，
⎩⎪
∠ECN = ∠FCB∴△CEN≌△CFB（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF为等边三角形．
【解析】由等边三角形的性质可得AC=CM，BC=CN，再利用角的和差可得到∠ACN=∠MCB，可证
明△ACN≌△MCB，可得∠ENC=∠FBC，由条件可得∠ECF=60°，可证明△CEN≌△CFB，可
得CE=CF，可知△CEF为等边三角形．
4 【答案】1.5
【解析】解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF=60°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，
∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
1
∴CD= BC，
2
∴CD=CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中，
⎧⎪ CF = CE
⎨∠DCF = ∠GCE
，
⎩⎪
CD = CG
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF=EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
1 1 1
此时∵∠CAD= ×60°=30°，AG= AC= ×6=3，
2 2 2
1 1
∴EG= AG= ×3=1.5，
2 2
∴DF=1.5．
故答案为：1.5．5 【答案】B
【解析】解：连接BD，如图所示．
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC， BD = CD = AD ， ∠ABD = 45∘ ，
∠C = 45∘
∴ ，
∠ABD = ∠C
∴ ，
又∵DE丄DF，
∠FDC +∠BDF = 90∘ = ∠EDB +∠BDF
∴ ，
∠FDC = ∠EDB
∴ ，
在△EDB与△FDC中，
⎧⎪ ∠EBD = ∠C
⎨BD = CD
⎩⎪
∠EDB = ∠FDC
△ EDB △ FDC (ASA)
∴ ≌ ，
S = S
∴ △EDB △FDC，
1
S = S = S = 9
∴ 四边形BFDE △BDC 2 △ABC ，
1
AB2 = 18
∴ ，
2
∴ AB = 6 ，故选：B．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 8 讲 手拉手模型
精选精练
∠ACB = 90∘ ∠A = 30∘
1 【答案】解：（1）∵ ， ，
1
∠CBA = 60∘ BC = AB
∴ ， ，
2
∵点D是AB的中点，
BC = BD
∴ ，BC = BD
故答案为： ；
BF +BP = BD
（2） ，
∠ACB = 90∘ ∠A = 30∘
理由：∵ ， ，
1
∠CBA = 60∘ BC = AB
∴ ， ，
2
∵点D是AB的中点，
BC = BD
∴ ，
△ DBC
∴ 是等边三角形，
∠CDB = 60∘ DC = DB
∴ ， ，
∵线段DP绕点D逆时针旋转
60∘
，得到线段DF，
∠PDF = 60∘ DP = DF
∴ ， ，
∠CDB −∠PDB = ∠PDF −∠PDB
∴ ，
∠CDP = ∠BDF
∴ ，
⎧⎪ DC = DB
△ DCP △ DBF ⎨ ∠CDP = ∠BDF
在 和 中， ，
⎩⎪
DP = DF
△ DCP △ DBF (SAS)
∴ ≌ ，
CP = BF
∴ ，
CP +BP = BC
∵ ，
BF +BP = BC
∴ ，
BC = BD
∵ ，
BF +BP = BD
∴ ；
BF = BD+BP
（3） ，
理由：如图③，
∠ACB = 90∘ ∠A = 30∘
∵ ， ，
1
∴ ∠CBA = 60∘ ， BC = AB，
2
∵点D是AB的中点，
BC = BD
∴ ，
△ DBC
∴ 是等边三角形，
∠CDB = 60∘ DC = DB
∴ ， ，∵线段DP绕点D逆时针旋转
60∘
，得到线段DF，
∠PDF = 60∘ DP = DF
∴ ， ，
∠CDB +∠PDB = ∠PDF +∠PDB
∴ ，
∠CDP = ∠BDF
∴ ，
⎧⎪ DC = DB
△ DCP △ DBF ⎨ ∠CDP = ∠BDF
在 和 中， ，
⎩⎪
DP = DF
△ DCP △ DBF (SAS)
∴ ≌ ，
CP = BF
∴ ，
CP = BC +BP
∵ ，
BF = BC +BP
∴ ，
BC = BD
∵ ，
BF = BD+BP
∴ ．
2 【答案】解：数量关系为： BE = EC ，位置关系是：BE⊥EC．
证明如下：
∵△AED是直角三角形， ∠AED = 90∘ ，且有一个锐角是 45∘ ，
∠EAD = ∠EDA = 45∘
∴ ，
AE = DE
∴ ，
∠BAC = 90∘
∵ ，
∠EAB = ∠EAD+∠BAC = 45∘ +90∘ = 135∘
∴ ，
∠EDC = ∠ADC −∠EDA = 180∘ −45∘ = 135∘
，
∠EAB = ∠EDC
∴ ，
∵D是AC的中点，
1
AD = CD = AC
∴ ，
2
AC = 2AB
∵ ，
AB = AD = DC
∴ ，
∵在△EAB和△EDC中
⎧⎪ AE = DE
⎨∠EAB = ∠EDC
，
⎩⎪
AB = DC
∴△EAB≌△EDC（SAS），
EB = EC ∠AEB = ∠DEC
∴ ，且 ，
∠BEC = ∠DEC +∠BED = ∠AEB +∠BED = 90∘
∴ ，
∴BE⊥EC．BE = EC BE⊥EC
【解析】数量关系为： ，位置关系是： ．
∵ ΔAED ∠AED = 90∘ 45∘
是直角三角形， ，且有一个锐角是 ，
∴ ∠EAD = ∠EDA = 45∘
，
∴ AE = DE
，
∵ ∠BAC = 90∘
，
∴ ∠EAB = ∠EAD+∠BAC = 45 ∘ +90∘ = 135∘
，
∠EDC = ∠ADC −∠EDA = 180 ∘ −45∘ = 135∘
，
∴ ∠EAB = ∠EDC
，
∵ D AC
是 的中点，
1
∴ AD = CD = AC
，
2
∵ AC = 2AB
，
∴ AB = AD = DC
，
∵ ΔEAB ΔEDC
在 和 中
⎧⎪ AE = DE
⎨∠EAB = ∠EDC
，
⎩⎪
AB = DC
∴ ΔEAB ≅ΔEDC(SAS)
，
∴ EB = EC ∠AEB = ∠DEC
，且 ，
∴ ∠BEC = ∠DEC +∠BED = ∠AEB +∠BED = 90∘
，
∴ BE⊥EC
．
3 【答案】A
CB = CADB = DA
4 (1)【答案】解：（1）∵ ，
∴CD垂直平分线段AB，
∴CD⊥AB．
AC = BC
(2)【答案】（2）①证明：∵ ，
∠CBA = ∠CAB
∴ ，
∠ACB = 90∘
又∵ ，
∠CBA = ∠CAB = 45∘
∴ ，∠CAD = ∠CBD = 15∘
又∵ ，
∠DBA = ∠DAB = 30∘
∴ ，
∠BDE = 30∘ +30∘ = 60∘ BD = AD
∴ ， ，
在△ADC和△BDC中，
⎧⎪ BC = AC
⎨∠CBD = ∠CAD
，
⎩⎪
BD = AD
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∠ACD = ∠BCD = 45∘
∴ ，
∠CDE = 60∘
∴ ，
∠CDE = ∠BDE = 60∘
∵ ，
∴DE平分∠BDC；
ME = BD
②解：结论： ，
理由：连接MC，
DC = DM∠CDE = 60∘
∵ ，
∴△MCD为等边三角形，
CM = CD
∴ ，
EC = CA∠EMC = 120∘
∵ ，
∠E = ∠CAE = 15∘
∴
∠ECM = ∠BCD = 45∘
∴
在△BDC和△EMC中，
⎧⎪ DC = CM
⎨∠ECM = ∠BCD
，
⎩⎪
CE = BC
∴△BDC≌△EMC（SAS），
ME = BD
∴ ．
EN = EC ∠ENC = 7.5∘ 82.5∘
③当 时， 或 ；
EN = CN ∠ENC = 150∘
当 时， ；
CE = CN ∠CNE = 15∘
当 时， ，
所以∠CNE的度数为
7.5∘
、
15∘
、
82.5∘
、
150∘
．5 【答案】D
能力强化 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法与乘法公式
例题练习题答案
例1 (1)【答案】24
= 2x ⋅23 = 3 ×8 = 24
【解析】原式
(2)【答案】125
= (2n)3 = 53 = 125
【解析】原式
1 5
(3)【答案】 = (− ) ×(16)5
原式
8
1 5
= (− ×16)
8
= (−2)5
= −32
练1.1 (1)【答案】C
a3b2
(2)【答案】
= (2m)3(25n) 2 = a3b2
【解析】原式
2015 2016
2 3
(3)【答案】 = ( ) ×( ) ×(−1)
原式
3 2
2 2015 3 2015 3
= ( ) ×( ) × ×(−1)
3 2 2
2 3 2015 3
= ( × ) × ×(−1)
3 2 2
3
= −
2
x5
例2 【答案】
3
(x2) ÷x = x6 ÷x = x5
【解析】解： ．
= −6a3b2 +10a3b3
例3 (1)【答案】原式
= (2x2 −4xy −xy +2y2)−4(x2 +2xy −xy −2y2)
(2)【答案】原式
= 2x2 −4xy −xy +2y2 −4x2 −8xy +4xy +8y2= −2x2 −9xy +10y2
= (a2b)[a2b4 +8a3b3 +3a2]
练3.1 (1)【答案】原式
= a4b5 +8a5b4 +3a4b
= x2 +2xy −x−2xy −4y2+2y +4y2
(2)【答案】原式
= x2 −x+2y
例4 【答案】B
练4.1 【答案】C
= −3x2y +2x−y
练4.2 【答案】解：原式 ．
1
例5 【答案】原式 = (3 −1)(3 +1)(32 +1)(34 +1)(38 +1)×
2
1
= (32 −1)(32 +1)(34 +1)(38 +1)×
2
1
= (34 −1)(34 +1)(38 +1)×
2
1
= (38 −1)(38 +1)×
2
316 −1
=
2
= (2 −1)(2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)⋯(21024 +1)
练5.1 (1)【答案】原式
= (22 −1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)⋯(21024 +1)
= (24 −1)(24 +1)(28 +1)⋯(21024 +1)
= (28 −1)(28 +1)⋯(21024 +1)
= 22048 −1
232 −1
(2)【答案】
231
1 1 1 1
【解析】 = (1 + )×(1 + )×(1 + )×⋯×(1 + )
原式
2 22 24 216
1 1 1 1
= 2(1 − )(1 + )×(1 + )×(1 + )×⋯
2 2 22 24
1
×(1 + )
216
1
= 2 ×(1 − )
232
232 −1
=
231
例6 (1)【答案】①原式
= 1982 −2 ×198 ×202 +2022
= (198 −202)2
= 16= [(a−c)+b][(a−c)−b]
②原式
= (a−c)2 −b2
= a2 −2ac+c2 −b2
1 2
(2)【答案】 = (60 − )
原式
6
1 1
= 3600 −2 ×60 × +
6 36
1
= 3580
36
= 1682 −2 ×168 ×618 +6182
练6.1 (1)【答案】①原式
= (618 −168)2
= 202500
1 1 1 1
= [(x− z)− y][(x− z)+ y]
②原式
2 3 2 3
1 2 1 2
= (x− z) −( y)
2 3
1 1
= x2 −xz + z2 − y2
4 9
1 1 2
(2)【答案】 = 202 +2 ×20 × +( )
①原式
4 4
1
= 410
16
= 1002 −2 ×100 ×3 +32
②原式
= 9409
例7 (1)【答案】16
x2 −8x+k
【解析】∵多项式 是一个完全平方式，
−8 2
k = ( ) = 16
∴ ．
2
(2)【答案】D
练7.1 (1)【答案】9
x2 −6x+m
【解析】∵多项式 是一个完全平方式，
2
−6
m = ( ) = 9
∴ ．
2
(2)【答案】D
例8 (1)【答案】根 据 完 全 平 方 公 式 ，
(x+y)2 −2x−2y +1 = (x+y)2 −(2x+2y)+1
，可得：(x+y −1)2 = 0
，
x+y −1 = 0 x+y = 1
故 ，即 ．
x2 +y2 +4x−6y +13 = (x+2)2 +(y −3)2 = 0
(2)【答案】 ，
x+2 = 0 y −3 = 0 x = −2 y = 3
则 ， ，即 ， ，
xy = (−2)3 = −8
所以 ．
练8.1 (1)【答案】1
【解析】根 据 完 全 平 方 公 式 ，
(x−y)2 +2x−2y +1 = (x−y)2 +(2x−2y)+1
，可得：
(x−y +1)2 = 0
，
x−y +1 = 0 y −x = 1
故 ，即 ．
a2 −8b+b2 +2a+17 = 0
(2)【答案】∵
(a+1)2 +(b−4)2 = 0
∴
a+1 = 0 b−4 = 0
则 ， ．
a = −1 b = 4
∴ ， ．
a−b = −1 −4 = −5
∴ ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法与乘法公式
自我巩固答案
1 【答案】B
4 2017 5 2018
2 【答案】 = ( ) ×( ) ×(−1)
原式
5 4
4 2017 5 2017 5
= ( ) ×( ) × ×(−1)
5 4 4
4 5 2017 5
= ( × ) ×(− )
5 4 4
5
= 1 ×(− )
4
5
= −
4
27 16
3 【答案】 = − x2y2z +3xy3z3 +12xyz − y2z3
原式
4 3x3 +1
4 (1)【答案】
(x+1)(x2 −x+1)
【解析】
= x3 −x2 +x+x2 −x+1
= x3 +1
8x3 +y3
(2)【答案】
(2x+y)(4x2 −2xy +y2)
【解析】
= 8x3 −4x2y +2xy2 +4x2y −2xy2 +y3
= 8x3 +y3
5 【答案】C
6 【答案】B
= [2a+(3 −b)][2a−(3 −b)]
7 【答案】原式
= (2a)2 −(3 −b)2
= 4a2 −(9 −6b+b2)
= 4a2 −9 +6b−b2
= (800 −798)2= 22= 4
8 (1)【答案】原式
= (200 −3)2
(2)【答案】原式
= 2002 −2 ×200 ×3 +32
= 38809
= 10052 −(1005 −1)(1005 +1)
(3)【答案】原式
= 10052 −(10052 −1)
= 10052 −10052 +1
= 1
4x2 −(k−3)x+9
9 【答案】∵二次三项式 是完全平方式，
k−3 = ±2 ×2 ×3 = ±12
∴ ，
k = 15 k = −9
解得 或 ，
−9
故答案应该为15或 ．
x2 −4x+9
10 (1)【答案】 的三种不同形式的配方分别为：
x2 −4x+9 = (x−2)2 +5
x2 −4x+9 = (x−3)2 +2x
2 2 5
x2 −4x+9 = ( x−3) + x2
3 9a2 +ab+b2 = (a+b)2 −ab
(2)【答案】 ；
1 2 3
a2 +ab+b2 = (a+ b) + b2
或 ；
2 4
a2 +ab+b2 = (a−b)2 +3ab
或 ；
1 2 3
a2 +ab+b2 = ( a+b) + a2
或 ；
2 4
a2 +b2 +c2 −ab−3b−2c+4 = 0
(3)【答案】
1 3
a2 −ab+ b2 + (b2 −4b+4)+c2 −2c+1 = 0
4 4
1 2 3
(a− b) (b−2)2 +(c−1)2 = 0
+
2 4
1 3
a− b = 0 (b−2) = 0 c−1 = 0
∴ ， ，
2 4
a = 1 b = 2 c = 1
∴ ， ， ，
a+b+c = 4
则 ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法与乘法公式
课堂落实答案
1 【答案】18
a2x+y = (ax)2 ⋅ay
【解析】
= 32 ×2
= 18
= −(2x2 −xy +6xy −3y2)
2 (1)【答案】原式
= −(2x2 +5xy −3y2)
= −2x2 −5xy +3y2
x3 +3x2 +2x+x2 +3x+2
(2)【答案】原式=
x3 +4x2 +5x+2
=
3 【答案】D
= (2 −1)(2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)+1
【解析】解：原式
= (22 −1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)+1
= (24 −1)(24 +1)(28 +1)+1= (28 −1)(28 +1)+1
= 216 −1 +1
= 216
，
故选：D．
= (x2 +4x+4)+(2 +x−2x−x2)−3
4 【答案】 原式
= x2 +4x+4 +2 +x−2x−x2 −3
= 3x+3
±8
5 【答案】
x2 +mx+16
【解析】解：∵ 是一个完全平方式，
x2 +mx+16 = (x±4)2 = x2 ±8x+16
∴ ，
m = ±8
∴ ．
±8
故答案应该为 ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法与乘法公式
精选精练
9a ⋅27b = 32a ⋅33b = 32a+3b = 33 = 27
1 【答案】解： ．
= (2x2 +x−2x−1)−2(x2 +2x−5x−10)
2 【答案】解：原式
= (2x2 +x−2x−1)−(2x2 +4x−10x−20)
= 2x2 +x−2x−1 −2x2 −4x+10x+20
= 5x+19
1 −x5 1 −xn+1
3 (1)【答案】 ;
【解析】根据题意得：
(1 −x)(1 +x+x2 +x3 +x4) = 1 −x5
；
(1 −x)(1 +x+x2 +⋯+xn) = 1 −xn+1
；
1 −x5 1 −xn+1
故答案为： ； ．
a2 −b2 a3 −b3 a4 −b4
(2)【答案】① ；② ；③ ．
【解析】通过以上规律可以得到：
(a−b)(a+b) = a2 −b2
①
(a−b)(a2 +ab+b2) = a3 −b3
②(a−b)(a3 +a2b+ab2 +b3) = a4 −b4
③
1 +2 +22 +⋯+22015 +22016 +22017
(3)【答案】
= −(1 −2)(1 +2 +22 +⋯+22015 +22016 +22017)
= 22018 −1
【解析】利用得出的规律计算即可得到结果．
1 1 1 1
4 【答案】 = (1 − )(1 + )(1 − )(1 + )
原 式
2 2 3 3
1 1 1 1 1 1
(1 − )(1 + )⋯(1 − )(1 + )(1 − )(1 + )
4 4 9 9 10 10
1 3 2 4 3 5 8 10 9 11
= × × × × × ×⋯× × × ×
2 2 3 3 4 4 9 9 10 10
11
=
20
= (56.78−46.78)2
5 (1)【答案】原式
= 102
= 100
2
1
(2)【答案】 = (40 + )
原式
4
1 1
= 1600 +2 ×40 × +
4 16
1
= 1620
16
m+2
6 (1)【答案】 ．
≥
(2)【答案】
9n2 −6n +1 = (3n −1)2 ≥ 0
【解析】
9n2 −6n +1 ≥ 0
∴无论n取何值， ，
≥
故答案为 ．
10m2 +4n2 +4 = 12mn +4m
(3)【答案】 ，
10m2 +4n2 +4 −12mn −4m = 0
已知等式整理得： ，
(3m−2n)2 +(m−2)2 = 0
，
m = 2 n = 3
∴ ， ．
∵m，n是△ABC的两条边，
1 < k < 5
∴ ．
∵k为奇数，
k = 3
∴ ．能力强化 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式进阶
例题练习题答案
例1 (1)【答案】①20；②4；③0；④12；⑤272．
= (x+y)2 −2xy
【解析】解：①原式
= (−6)2 −2 ×8
= 36 −16
= 20
= (x+y)2 −4xy
②原式
= (−6)2 −4 ×8
= 36 −32
= 4
= xy +2x+2y +4
③原式
= xy +2(x+y)+4
= 8 −12 +4
= 0
= (x+y)2 −3xy
④原式
= (−6)2 −3 ×8
= 36 −24
= 12
2
= (x2 +y2) −2x2y2
⑤原式
= 202 −2 ×82
= 272
；
1
(2)【答案】 ∵ +a = 3
解： ，
a
1 2
∴ ( +a) = 32
，
a
1
∴ +a2 = 9 −2 = 7
．
a2
练1.1 (1)【答案】解： ∵ a+2b = 5 ， ab = 6 ，∴ a2 +4b2 = (a+2b)2 −4ab = 52 −4 ×6 = 1
．
1
(2)【答案】解： a2 +b2 = 1 ， a−b = ，
2
∴ (a−b)2 = a2 +b2 −2ab
，
1
∴ ab = − [(a−b)2 −(a2 +b2)]
2
1 1 3
= − ×( −1) =
，
2 4 8
3 2 9
∴ a2b2 = (ab)2 = ( ) =
；
8 64
1 3 7
∵ (a+b)2 = (a−b)2 +4ab = +4 × =
，
4 8 4
49
2
∴ (a+b)4 = [(a+b)2] =
．
16
(3)【答案】解：①2、2．
②23．
∵ a2 −3a+1 = 0
③ ，
1
a a−3 + = 0
两边同时除以 得： ，
a
1
a+ = 3
移项得： ，
a
1 1 2
∴ a2 + = (a+ ) −2 = 7
．
a2 a
例2 (1)【答案】解：①
∵ (a−b)2 = 1
，
∴ a2 −2ab+b2 = 1
．
∵ a2 +b2 = 13
，
∴ 13 −2ab = 1
．
∴ ab = 6
．
∵ a2 +b2 = 13 ab = 6
② ， ，
∴ a2 +2ab+b2 = 13 +12 (a+b)2 = 25
，即 ．
∴ a+b = ±5
．
∵ a+b = 3 ab = −2
(2)【答案】解：① ， ，
∴ a2 +b2 = (a+b)2 −2ab = 32 −2 ×(−2) = 13
；
∵ a+b = 3 ab = −2
② ， ，
−−−−−− −−−−−−−−−−−
∴ a−b = ±√(a−b)2 = ± √ a2 +b2 −2ab
−−−−−−−−−−−
−−
= ±√13 −2 ×(−2) = ±√17
．
∵ a+b = 2 ab = 1
练2.1 (1)【答案】解：① ， ，∴ (a−b)2 = (a+b)2 −4ab = 4 −4 = 0
，
a−b = 0
则 ，
∵ a+b = 2 ab = 1 a−b = 0
② ， ，
∴ a2 −b2 +4b = 4
．
∵ a+2b = 3 ab = −2
(2)【答案】解： ， ，
∴ (a−2b)2 = (a+2b)2 −8ab = 9 −8 ×(−2) = 25
，
∴ a−2b = ±5
．
= (a2 −2ab−b2)−(a2 −2ab+b2)
例3 (1)【答案】解：原式
= a2 −2ab−b2 −a2 +2ab−b2
= −2b2
，
1
a = −4 b = −
将 ， 代入得：
3
2
= −
原式 ．
9
= x2 +4xy +4y2 −(x+y)(2x−y)
(2)【答案】原式
= x2 +4xy +4y2 −(2x2 −xy +2xy −y2)
= −x2 +3xy +5y2
x = −2 y = 3
将 ， 代入得：
= 23
原式
(2x+3)(2x−3)−4x(x−1)+(x−2)2
练3.1 (1)【答案】
= 4x2 −9 −4x2 +4x+x2 −4x+4
= x2 −5
，
x = −2 = 4 −5 = −1
当 时，原式 ；
【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可；
(2x+1)(1 −2x)−2(x+2)(x−4)+(2x−1)2
(2)【答案】
= 1 −4x2 −2(x2 −4x+2x−8)+4x2 −4x+1
= 1 −4x2 −2x2 +8x−4x+16 +4x2 −4x+1
= −2x2 +18
，
–
x = −√3 = −6 +18 = 12
当 时，原式 ．
【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
x−2y = 5 5x−3y = 11
例4 (1)【答案】解：由题意可知： ， ，
x = 1 y = −2
解得： ， ，= x2 −4y2 −x+2xy
原式
= 1 −16 −1 −4
= −20
= 4a2 +4ab+b2 −2(2a2 +ab−2ab−b2)
(2)【答案】解：原式
= 4a2 +4ab+b2 −4a2 −2ab+4ab+2b2
= 6ab+3b2
，
∵ a4 = 4b = 16 ab < 0
，且 ，
∴ a = −2 b = 2
， ，
= −24 +12 = −12
则原式 ．
= 4 −a2 +a2 −5ab+3a5b3 ÷a4b2
练4.1 (1)【答案】解：原式
= 4 −5ab+3ab
= 4 −2ab
，
1 2
∵ |a+1|+(b− ) = 0
，
2
1
∴ a+1 = 0 b− = 0
， ，
2
1
∴ a = −1 b =
， ，
2
1
a = −1 b =
当 ， 时，
2
1
= 4 −2 ×(−1)× = 4 +1 = 5
原式 ．
2
(2)【答案】解 ： 原 式
= (x2 +6xy +9y2 −x2 +6xy −9y2 −x2 +9y2 −9y2)÷(2x)
1
= (−x2 +12xy)÷(2x) = − x+6y
，
2
x2 −4x+y2 +2y +5 = 0 (x−2)2 +(y +1)2 = 0
由 ，得到 ，
x = 2 y = −1
解得： ， ，
= −1 −6 = −7
则原式 ．
例5 (1)【答案】D
a2 −2a = 5
【解析】解：由题意可知： ，
= a2 −4a+4 +2a+2
原式
= a2 −2a+6
= 5 +6
= 11
D
故选： ．∵ y2 −2xy −1 = 0
(2)【答案】解： ，
∴ y2 −2xy = 1
，
(x−2y)2 −(x−y)(x+y)−3y2
= x2 −4xy +4y2 −x2 +y2 −3y2
= 2y2 −4xy
= 2(y2 −2xy)
= 2 ×1
= 2
．
= x2 −6x+9 +2x2 +10x−28 −x2 +4
练5.1 (1)【答案】解：原式
= 2x2 +4x−15
，
x2 +2x−3 = 0 x2 +2x = 3
由 ，得 ，
= 2(x2 +2x)−15 = 6 −15 = −9
原式 ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式进阶
自我巩固答案
1 【答案】C
∵ a+b = 3
【解析】解： ，
∴ (a+b)2 = a2 +b2 +2ab = 9
，
∴ 7 −3ab+2ab = 9
，
ab = −2
解得： ，
C
故选： ．
2 【答案】D
∵ p+q = 5 pq = 4
【解析】解： ， ，
∴ 2p2 +2q2 = 2(p2 +q2) = 2(p+q)2 −4pq
= 2 ×25 −4 ×4 = 50 −16 = 34
．
D
故选： ．
3 【答案】C
∵ a+b = 3 ab = 2
【解析】解： ， ，∴ (a−b)2 = (a+b)2 −4ab = 9 −8 = 1
，
a−b = ±1
则 ，
C
故选： ．
x+y = 4
4 【答案】解：①把 两边平方得：
(x+y)2 = x2 +y2 +2xy = 16
，
xy = 2 x2 +y2 = 12
把 代入得： ；
2
x4 +y4 = (x2 +y2) −2x2y2 = 144 −8 = 136
② ．
1
5 【答案】解：原式 = m2 −n2 −2m2 +n2 = −m2 ，当 m = −2 ， n = − 时，原式
2
= −4
．
= 2xy −y2 +4x2 +4xy +y2 −4x2
6 【答案】解：原式
= 6xy
，
– –
x = √2+1 y = √2−1
当 ， 时，
– –
= 6(√2+1)(√2−1)
原式
= 6 ×(2 −1)
= 6
．
= (x2 +y2 −x2 +2xy −y2 +2xy −2y2)÷(−2y)
7 【答案】解：原式
= (4xy −2y2)÷(−2y)
= −2x+y
，
|2x−1|+(y +3)2 = 0
由于 ，
1
∴ x = y = −3
， ，
2
∴ = −1 +(−3)
原式
= −4
．
= x2 −6xy +9y2 −9y2 +4x2 −3x2 +10xy
8 【答案】解：原式
= 2x2 +4xy
，
∵ |x−2y|+(x+2)2 = 0
，
x−2y = 0
∴{
，
x+2 = 0
x = −2 y = −1
解得 ， ，
= 2 ×(−2)2 +4 ×(−2)×(−1)
则原式
= 8 +8
= 16
．
9 【答案】A∵ 3x2 −5x+1 = 0
【解析】解： ，
∴ 3x2 −5x = −1
，
∴ 5x(3x−2)−(3x+1)(3x−1)
= 15x2 −10x−9x2 +1
= 6x2 −10x+1
= 2(3x2 −5x)+1
= 2 ×(−1)+1
= −1
．
A
故选： ．
(x−1)2 −x(x−3)+(x+2)(x−2)
10 【答案】解：
= x2 −2x+1 −x2 +3x+x2 −4
= x2 +x−3
，
∵ x2 +x−5 = 0
，
∴ x2 +x = 5
，
∴ = 5 −3 = 2
原式 ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式进阶
课堂落实答案
1 【答案】A
a+b = 5 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 = 25
【解析】解：将 两边平方得： ，
ab = 12 a2 +24 +b2 = 25
将 代入得： ，
a2 +b2 = 1
则 ．
A
故选： ．
2 【答案】2
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 = 9
【解析】解： ①，
(a−b)2 = a2 −2ab+b2 = 1
②，
− 4ab = 8
① ②得： ，
ab = 2
，
故答案为：23 【答案】A
= a2 −7a+12 −a2 −2a = −9a+12
【解析】解：原式 ，
1
a = = −3 +12 = 9
当 时，原式 ，
3
A
故选： ．
4 【答案】C
= x2 −6x+9 +6x+2x2 −7 = 3x2 +2
【解析】解：原式 ，
∵ 2x−1 = 3 x = 2
，即 ，
∴ = 12 +2 = 14
原式 ．
C
故选： ．
5 【答案】A
∵ x2 −4x−1 = 0
【解析】解： ，
x2 −4x = 1
即 ，
∴ = 2x2 −6x−x2 +2x−1 +3
原式
= x2 −4x+2 = 1 +2 = 3
，
A
故选： ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式进阶
精选精练
1 【答案】2
(a−2017)(a−2018) = −(a−2017)(a−2018)
【解析】解：
(a−2017 +2018 −a)2 −[(a−2017)2 +(2018 −a)2]
= −
2
12 −5
= − = 2
．
2
故答案是：2．
a2 +b2 = (a+b)2 −2ab
2 【答案】解：（1）
5 5 13
= 32 −2 × = 9 − =
；
4 2 2
13 5
(a−b)2 = a2 +b2 −2ab = −2 × = 4
（2） ；
2 4
∵ a+b = 3
（3） ，∴ b−3 = −a
，
∴ b2 −6b+9 = a2
，
∴ 2 −2b2 +6b = 2 −b2 −b2 +6b−9 +9
= 2 −b2 −(b2 −6b+9)+9
13 9
= 2 −b2 −a2 +9 = 11 − =
．
2 2
−1
3 【答案】
∣a b ∣
【解析】 ∵∣ ∣ = ad −bc
解： ，
∣c d∣
∴ = (x+1)(2x−3)−2x(x−1) = x−3
原式 ，
∵ x = 2
，
∴ = 2 −3 = −1
原式 ．
4 【答案】解：原式
= (x2 −4xy +4y2 +x2 −y2 −2x2 +8xy −6y2)÷y
= (4xy −3y2)÷y = 4x−3y
，
∵ |x−3|+y2 +4y +4 = 0
，
|x−3|+(y +2)2 = 0
即 ，
∴ x = 3 y = −2
， ，
= 12 +6 = 18
则原式 ．
5 【答案】7
1
【解析】 ∵ x− = 3
解： ，
x
∴ x2 −1 = 3x x2 = 1 +3x
， ，
∴ x3 −x2 −7x+5
= x(1 +3x)−(1 +3x)−7x+5
= x+3x2 −1 −3x−7x+5
= 3x2 −9x+4
=3(1 +3x)−9x+4
= 3 +9x−9x+4
=7
．
故答案是7．
(2a+1)(1 −2a)−(3 −2a)2 +9a2
6 【答案】解：（1）
= 1 −4a2 −(9 −12a+4a2)+9a2
= a2 −8 +12a = 14a−7
，a2 −2a−1 = 0
整理得： ，
1
∴a− = 2
，
a
1 1 2
∴a2 + = (a− ) +2 = 4 +2 = 6
；
a2 a
a2 5a4 +a2 +5
（2） 的倒数为 ，
5a4 +a2 +5 a2
5a4 +a2 +5 5
∵ = 5a2 + +1
a2 a2
1
= 5(a2 + )+1 = 5 ×6 +1 = 31
，
a2
a2 1
∴ =
．
5a4 +a2 +5 31
能力强化 / 初二 / 秋季
第 11 讲 因式分解进阶
例题练习题答案
m(m+1)(a−2)
例1 (1)【答案】
(2)【答案】B
(x−1)(x−3)
练1.1 (1)【答案】
x(x−3)−x+3 = x(x−3)−(x−3) = (x−1)(x−3)
【解析】
(a−2)(2a+1)
(2)【答案】
(2a+1)a−4a−2 = (2a+1)a−2(2a+1) = (a−2)(2a+1)
【解析】
(a+2b)(a−2b)
例2 (1)【答案】
a2 −4b2 = (a+2b)(a−2b)
【解析】
(4 +a2)(2 +a)(2 −a)
(2)【答案】
2
= 42 −(a2) = (4 +a2)(4 −a2)= (4 +a2)(2 +a)(2 −a)
【解析】原式
(3)【答案】B
2(3a+2)(2 −a)
(4)【答案】
2(a+2)2 −8a2 = 2[(a+2)2 −4a2] = 2(a+2 +2a)(a+2 −2a)
【解析】
= 2(3a+2)(2 −a)2(x+2)(x−2)
练2.1 (1)【答案】
(4 +9x2)(2 +3x)(2 −3x)
(2)【答案】
= (4 +9x2)(4 −9x2) = (4 +9x2)(2 +3x)(2 −3x)
【解析】原式
8y(2x+y)
(3)【答案】
(2x+3y)2 −(2x−y)2
【解析】
(2x+3y+2x−y)(2x+3y −2x+y)
=
(4x+2y)4y
=
8y(2x+y)
=
(x−y)(a+b)(a−b)
(4)【答案】
a2 (x−y)−b2(x−y) = (x−y)(a2 −b2) = (x−y)(a+b)(a−b)
【解析】
2(m−2)2
例3 (1)【答案】
(2)【答案】D
(2m−n)2(2m+n)2
(3)【答案】
2(4x+4 −y)2
(4)【答案】
32(x+1)2 −16(x+1)y +2y2 = 2[16(x+1)2 −8(x+1)y +y2]
【解析】
= 2(4x+4 −y)2
2y(x+1 −y)2
(5)【答案】
2(x+1)2y −4(x+1)y2 +2y3 = 2y[(x+1)2 −2(x+1)y +y2]
【解析】
= 2y(x+1 −y)2
a(a−1)2
练3.1 (1)【答案】
(3x−3y +2)2
(2)【答案】
x2(x−3)2
(3)【答案】
x4 −6x3 +9x2 = x2 (x2 −6x+9) = x2(x−3)2
【解析】
1
(4)【答案】 (x+2y −2)2
2
1 1
【解析】 x2 +2x(y −1)+2(y −1)2 = [x2 +4x(y −1)+4(y −1)2]
2 2
1
= (x+2y −2)2
2
3
(5)【答案】 x(x+2y −2)2
23 3
x3 +6x2 (y −1)+6x(y −1)2 = x[x2 +4x(y −1)+4(y −1)2]
【解析】
2 2
3
= x(x+2y −2)2
2
例4 【答案】A
练4.1 【答案】B
(m+x)(m−y)
例5 【答案】
(b−c+1)(b−c−1)
练5.1 【答案】
例6 【答案】D
= (x−2)(x+9)
【解析】解：原式 ．
D
故选： ．
(x+4)(x−9)
练6.1 (1)【答案】
(x−4y)(x+y)
(2)【答案】
(2x−1)(3x−2)
例7 【答案】（1） ；
(3x+1)(x−3)
（2） ；
(3x−5)(4x+3)
（3） ；
(2x+3)(3x−4)
（4） ．
练7.1 【答案】C
(x−y)2 −2(x−y)−8
【解析】解： ，
= (x−y −4)(x−y +2)
．
C
故选： ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 11 讲 因式分解进阶
自我巩固答案
1 【答案】A
2 【答案】D
3 【答案】A
4 【答案】C
= (2x−3y)(9a2 −4b2)= (2x−3y)(3a−2b)(3a+2b)
【解析】原式 ，故选C．5 【答案】C
= (2x+y)(2x−y)+2(2x−y)= (2x+y +2)(2x−y)
【解析】原式 ，故选C．
6 【答案】A
7 【答案】B
= (k−1)(k+6)
8 【答案】（1）原式 ；
= (c−1)(c−4)
（2）原式 ；
= (x+3)(x+4)
（3）原式 ；
= (x−3)(x+2)
（4）原式 ．
(x+1)(3x+4)
9 【答案】
2x(x−2)(x−1)
10 【答案】
2x3 −6x2 +4x = 2x(x2 −3x+2)
【解析】
= 2x(x−2)(x−1)
能力强化 / 初二 / 秋季
第 11 讲 因式分解进阶
课堂落实答案
1 【答案】B
(a+b−1)(a+b−3)
2 【答案】
3 【答案】D
4 【答案】B
(x−2)(x−8)
5 【答案】
(3x−1)(x−1)
能力强化 / 初二 / 秋季
第 11 讲 因式分解进阶
精选精练
1 ( 1 ) 【答案】 ×( 2 ) 【答案】 ×
( 3 ) 【答案】 √
( 4 ) 【答案】 ×
( 5 ) 【答案】 √
a2b−ab2 +a2c−ac2 +b2c+bc2 −3abc
2 【答案】解:（1）
= a2b−ab2 −abc+a2c−ac2 −abc+b2c+bc2 −abc
= ab(a−b−c)+ac(a−c−b)+bc(b+c−a)
= (a−b−c)(ab+ac−bc)
a(b2 −c2)+b(c2 −a2)+c(a2 −b2)
（2）
= a(b+c)(b−c)−bc(b−c)−a2 (b−c)
= (b−c)(ab+ac−bc−a2)
= (b−c)[a(b−a)−c(b−a)]
= (b−c)(b−a)(a−c)
4m(x−y)−5m(y −x)
3 【答案】解：（1）
= (x−y)(4m+5m)
= 9m(x−y)
17a(x−y)2 +34ax(y −x)
（2）
= 17a(x−y)(x−y −2x)
= −17a(x−y)(x+y)
(x−y)4 −(y −x)2
（3）
= [(x−y)2 +y −x][(x−y)2 −y +x]
= (x−y)(x−y −1)(x−y)(x−y −1)
= (x−y)2(x−y −1)2
2ax−10ay +5by −bx
4 【答案】解：（1）
= 2a(x−5y)+b(5y −x)
= (x−5y)(2a−b)
6k2 −6mn +9km−4kn
（2）
= (6k2 +9km)−(4kn +6mn)
= 3k(2k+3m)−2n(2k+3m)
= (2k+3m)(3k−2n)
(2x−3y +1)(x+5y −2)
5 【答案】
2x2 +7xy −15y2 −3x+11y −2
【解析】= (x+5y)(2x−3y)+(x+5y)−2(2x−3y)−2
= (2x−3y)(x+5y −2)+(x+5y −2)
= (2x−3y +1)(x+5y −2)
6 【答案】21
x2 +ax+b b a
【解析】分解因式 ，甲看错了 ，但 是正确的，
(x+2)(x+4) = x2 +6x+8
他分解结果为 ，
a = 6
∴ ，
a (x+1)(x+9) = x2 +10x+9
同理：乙看错了 ，分解结果为 ，
b = 9 2a+b = 12 +9 = 21
∴ ， ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 12 讲 分式计算
例题练习题答案
(x+1)(x−1) 1 1
例1 【答案】 = ⋅ =
解：（1）原式
(x−1)2 x+1 x−1
x2 −4 2 −x
= ⋅
（2）原式
x2 −4x+4 x2 +2x
(x−2)(x+2) 2 −x
= ⋅
(x−2)2 x(x+2)
1
= −
x
a2 c4 a ac3
练1.1 【答案】 = × × = −
解：（1）原式
−b a2b2 bc b4
16 −m2 2m+8 m−2
= ⋅ ⋅
（2）原式
16 +8m+m2 m−4 m+2
(4 +m)(4 −m) 2(m+4) m−2
= ⋅ ⋅
(m+4)2 m−4 m+2
m−2
= −2 ⋅
m+2
2m−4
= −
m+2
12ab(x+2)
例2 【答案】解：（1）最简公分母是 ．
x 3bx 3bx
= =
，
4a(x+2) 12ab(x+2) 12abx+24ab
y 2ay 2ay
= =
；
6b(x+2) 12ab(x+2) 12abx+24ab
(a+3)(a−3)
（2）最简公分母是 ，a −a(a+3) −a2 −3a
= =
，
3 −a (a+3)(a−3) a2 −9
a−1 a−1 a−1
= =
．
a2 −9 (a+3)(a−3) a2 −9
a−1 1 −a 1 1
练2.1 【答案】
解：将 ， 分别化简可得： 和 ．
(a+1)2 −4 2 −4a+2a2 a+3 2(1 −a)
2(a+3)(1 −a)
最简公分母是 ，
a−1 1 2(1 −a) 2 −2a
= = =
，
(a+1)2 −4 a+3 2(a+3)(1 −a) −2a2 −4a+6
1 −a 1 a+3 a+3
= = =
．
2 −4a+2a2 2(1 −a) 2(a+3)(1 −a) −2a2 −4a+6
m+n −2m
例3 【答案】 =
（1）原式
m−n
n −m
=
m−n
= −1
；
x(x+9) (x+3)(x−3)
= +
（2）原式
x(x+3) (x+3)2
x+9 x−3
= +
x+3 x+3
x+9 +x−3
=
x+3
2x+6
=
x+3
= 2
．
a2 −(a+1)(a−1)
练3.1 【答案】 =
（1）原式
a−1
a2 −(a+1)(a−1)
=
a−1
1
=
；
a−1
2n(2n −m)+m(2n +m)+4mn
=
（2）原式
4n2 −m2
4n2 +m2 +4mn
=
4n2 −m2
(2n +m)2
=
(2n +m)(2n −m)
2n +m
=
．
2n −mx+1 2x 2 1 1
例4 【答案】 ⋅( ) −( − )
x x+1 x−1 x+1
4x 2
= −
x+1 (x+1)(x−1)
4x(x−1)−2
=
(x+1)(x−1)
4x2 −4x−2
=
x2 −1
xy3 −4x2
练4.1 【答案】
8y4
a−3 (a−3)2
例5 (1)【答案】 = ÷
解：原式
a−2 (a−2)(a+2)
a−3 (a−2)(a+2)
= ×
a−2 (a−3)2
a+2
=
．
a−3
a+2 2
a = 0 = −
当 时， ．
a−3 3
(2)【答案】1
m2 +4m+4 m+2
【解析】 ÷
解：
m m2
(m+2)2 m2
= ×
m m+2
= m2 +2m
，
m2 +2m = 1
因为 ，
m2 +4m+4 m+2
÷
所以 的值为1，
m m2
故答案为：1
1 1
练5.1 【答案】解：∵ − = 3
x y
x ≠ 0 y ≠ 0
∴ ， ，
xy ≠ 0
∴ ，
2x+3xy −2y
∴
x−xy −y
2x+3xy−2y
xy
＝
x−xy−y
xy
2 − 2 +3
y x
＝
1 − 1 −1
y x
−2(1 − 1)+3
x y
＝
−(1 − 1)−1
x y−2 ×3 +3
＝
−3 −1
3
＝
4
能力强化 / 初二 / 秋季
第 12 讲 分式计算
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】C
3 【答案】B
1 1 a+b
【解析】 + =
A、 ，A选项错误；
a b ab
a+3 a+3 1
= =
B、 ,B选项正确；
a2 +6a+9 (a+3)2 a+3
a2 +b2
C、 的分子、分母中不含公因式，不能化简，C选项错误；
a+b
a−3 1
=
D、 ，D选项错误．
(a+3)(a−3) a+3
故选：B．
1
4 【答案】（1）原式 = − ；
2y2
(x+6y)2 x+6y
= =
（2）原式 ．
(x+6y)(x−6y) x−6y
2(a+b) 9a2b
5 【答案】 ⋅
原式=
3ab (a+b)(a−b)
6a
= ．
a−b
x bx y ay
6 【答案】 = =
（1） ， ；
ac abc bc abc
2x 4x x x(x−3)
= =
（2） ， ．
x2 −9 2(x+3)(x−3) 2x+6 2(x+3)(x−3)
a2 8a6 a
7 【答案】 = ÷(− )⋅
（1）原式
b2 27b3 12b
a2 27b3 a
= ⋅(− )⋅
b2 8a6 12b
9
= −
；
32a3
a(1 −a) a−1 a+1
= ÷ ⋅
（2）原式
(a+1)(a−1) a (a−1)2a a a+1
= − ⋅ ⋅
a+1 a−1 (a−1)2
a2
= −
．
(a−1)3
2 x+5 x+2
8 【答案】 =( + )×
x+2 x2 +4x+4 x2 +3x
x+5 +2x+4 x+2
=( )×
x2 +4x+4 x(x+3)
3(x+3) x+2
= ×
(x+2)2 x(x+3)
3
=
x2 +2x
2x−1 x2 −1 x−1 x 1
9 【答案】( −1)÷ = ⋅ =
，
x x x (x+1)(x−1) x+1
1 1
x = 2018
把 代入 得 ．
x+1 2019
a(a−3b) a−b+a+b
10 【答案】 = ÷
原式
(a+b)(a−b) (a+b)(a−b)
a(a−3b) 2a
= ÷
(a+b)(a−b) (a+b)(a−b)
a(a−3b) (a+b)(a−b)
= ⋅
(a+b)(a−b) 2a
a−3b
=
，
2
a−3b−4 = 0
∵ ，
a−3b = 4
∴ ,
4
= = 2
∴原式 ．
2
能力强化 / 初二 / 秋季
第 12 讲 分式计算
课堂落实答案
1 【答案】C
x6
【解析】 A、 = x4 ，故A选项错误；
x2
x+y
B、 ≠ 0 ，故B选项错误；
x−y
x+y 1
C、 = ，故C选项正确；
x(x+y) x
2xy ⋅y y
D、 = ，故D选项错误；
4xy ⋅x 2x故选：C．
2 【答案】A
x 1
3 【答案】 −
原式=
(x+3y)(x−3y) 2(x−3y)
2x−(x+3y)
=
2(x+3y)(x−3y)
1
=
2(x+3y)
(x+2)(x−3)2 (x−3)2
4 【答案】 = =
原式 ，
(x+2)(x−2) x−2
(x−3)2 1
x = 4
将 代入 得 ．
x−2 2
1 1
5 【答案】∵ − = 5 ，
x y
xy ≠ 0
∴ ，
1 1
− = 5 xy y −x = 5xy
将 两边同时乘以 ，得 ．
x y
−x+xy +y (y −x)+xy 5xy +xy 6xy
= = = =−2
∴ ．
2x+7xy −2y −2(y −x)+7xy −10xy +7xy −3xy
能力强化 / 初二 / 秋季
第 12 讲 分式计算
精选精练
1 【答案】最简公分母是
12a(x+2)2
．
y 3y(x+2) 3xy +6y
= =
，
4a(x+2) 12a(x+2)2 12ax2 +48ax+48a
x x 2ax
= =
．
6(x2 +4x+4) 6(x+2)2 12ax2 +48ax+48a
x(x−1)−(x+3)(x−1)−2x
2 【答案】 =
原式
(x+3)(x−1)
x2 −x−(x2 +2x−3)−2x
=
(x+3)(x−1)
3 −5x
=
(x+3)(x−1)
x−1
3 【答案】
4 【答案】A
x
= 3
【解析】∵ ，
yx = 3y
∴ ，
x2 +xy (3y)2 +3y ⋅y 9y2 +3y2 12y2
= = = = 12
．
y2 y2 y2 y2
(a+3)(a−3) a(a+3) a(1 −a)
5 【答案】 ⋅ −
原式=
(a+3)2 a−2 (a+1)(a−1)
a(a−3) a
= +
a−2 a+1
∵分式的分母不能为0，除式不能为0，
a−2
a2+6a+9 ≠ 0 a2+3a ≠ 0 a2 −1 ≠ 0 ≠ 0
∴ ， ， ， ，
a2 +3a
a ≠ −3 a ≠ 0 a ≠ ±1 a ≠ 2
解得 且 且 且 ，
∴从0，1，2，3中可以选择3，
a(a−3) a 3
a = 3 +
将 代入 中，得到 ．
a−2 a+1 4
1 1 1 1 1 1
6 【答案】 abc ≠ 0 + = 3 + = 4 + = 5
由已知等式得： ，且 ， ， ，
a b b c a c
1 1 1
+ + = 6
由此可得 ，
a b c
abc 1 1
= =
所以 ．
ab+bc+ac 1 + 1 + 1 6
a b c
能力强化 / 初二 / 秋季
第 13 讲 分式方程及应用题
例题练习题答案
2x = 3x−6
例1 【答案】（1）解：去分母得： ，
x = 6
解得： ，
x = 6
经检验 是分式方程的解．
(x−3)
（2）方程的两边同乘 ，
2 −x+4(x−3) = −1
得： ，
x = 3
解得： ，
x = 3 (x−3) = 0
检验：把 代入 ，
x = 3
即 不是原分式方程的解.
则原方程无解．
(x2 −1)
（3）解：方程的两边同乘 ，
x(x+1)−2 = x2 −1
得： ，x = 1
解得： ，
x = 1 (x2 −1) = 0
检验：把 代入 ，
x = 1
即 不是原分式方程的解.
则原方程无解．
(x+3)2
（4）解：方程的两边同乘 ，
3x = x(x+3)−(x+3)2
得： ，
3
x = −
解得： ，
2
3
x = −
经检验 是分式方程的解．
2
(x−2)
练1.1 【答案】解：（1）方程两边同乘以 ，
x−3 +(x−2) = −3
得： ，
x = 1
解得 ，
x = 1 x−2 ≠ 0
检验： 时， ，
∴ x = 1
是原分式方程的解．
(x−1)(x+2)
（2）方程两边同乘以 ，
3 = x(x+2)−x(x−1)
得： ，
x = 1
解得 ，
x = 1 (x−1)(x+2) = 0
检验： 时， ，
x = 1
即 不是原分式方程的解.
则原方程无解．
x /
例2 (1)【答案】解：设江水的流速为 千米 时，
120 90
=
依题意，得： ，
x+35 35 −x
x = 5
解得： ，
x = 5
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
/
答：江水的流速为5千米 时．
x /
(2)【答案】解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是 千米 分钟，则汽车行驶在高速公路上
1.8x /
的平均速度是 千米 分钟，
81 81
+36 =
由题意，得 ．
1.8x x
x = 1
解得 ．
x = 1
经检验， 是所列方程的根，且符合题意．
1.8x = 1.8 /
所以 （千米 分钟）．
1.8 /
答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是 千米 分钟．练2.1 (1)【答案】B
x (x−2)
(2)【答案】解：设船在静水中的速度是 千米/时，则水流速度是 千米/时，船在逆水时
[x−(x−2)] [x+(x−2)]
速度是 千米/时，船在顺水时速度是 千米/时．
32 32
= +12
依题意，得 ，
x−(x−2) x+(x−2)
4
= 1
整理，得 ，
x−1
x = 5
解这个分式方程，得： ，
x = 5 x−2 = 3
经检验， 是所列方程的解，且符合题意 ，
答：水流速度是每小时3千米，船在静水中的速度是每小时5千米．
x / (x+8) /
练2.2 【答案】解：设客车行驶的速度是 千米 小时，则轿车行驶的速度是 千米 小时，
55 10 55
× =
依题意得： ．
x 11 x+8
x = 80
解得 ．
x = 80
经检验， 是原方程的根，且符合题意．
55 55 5
= =
所以 ．
x+8 88 8
5
答：这辆轿车从香港人工岛出发到珠海洪湾需要 小时
8
例3 (1)【答案】①设原来每天加工x个帐篷，则现在每天加工1.5x个帐篷，
300 1500 −300 1500
+ = −4
由题意得： ，
x 1.5x x
x = 100
解得： ，
x = 100
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
1.5x = 150
则 ．
∴现在每天加工150个帐篷；
300 1500 −300
+ = 11
②加工这些帐篷实际共用的天数为： 天．
100 150
x (x+3)
(2)【答案】解：设乙每小时做的零件数量为 个，甲每小时做的零件数量是 个，由题意
得
96 84
=
，
x+3 x
x = 21
解得 ，
x = 21
经检验 是原分式方程的解，
x+3 = 24
则 ．
24 21
答：甲每小时做 个零件，乙每小时做 个零件．
练3.1 (1)【答案】解：①设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：1 1 10
( + )×15 + = 1
．
x 3x x
x = 30
解得： ．
x = 30
经检验 是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
② 该 工 程 由 甲 、 乙 队 合 作 完 成 ， 所 需 时 间 为 ：
1 1
1 ÷( + ) = 22.5
（天），
30 30 ×3
22.5×(6500 +3500) = 225000
则该工程施工费用是： （元）．
答：该工程的费用为225000元．
x
【解析】①设这项工程的规定时间是 天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独
需要10天完成，可得出方程解答即可；
②先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
x 2x
(2)【答案】解：设甲独做需要 小时完成此项工程，则乙独做需要 小时完成此项工程，
1 1 1
4( + )+6 × = 1
由题意得， ，
x 2x 2x
x = 9
解得： ，
x = 9
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
2x = 18
则 ．
答：甲独做需要9小时完成此项工程，则乙独做需要18小时完成此项工程．
x 2x
【解析】设甲独做需要 小时完成此项工程，则乙独做需要 小时完成此项工程，根据题意可
= 1
得，甲与乙4小时的任务+乙6小时完成的任务 ，据此列方程求解．
x (x−10)
例4 (1)【答案】解：设第一批衬衫每件进价为 元，则第二批每件进价为 元．
4500 1 2100
× =
由题意： ，
x 2 x−10
x = 150
解得： ，
x = 150
经检验 是原方程的解，且符合题意，
4500 2100
= 30 = 15
件， 件，
150 150 −10
答：两次分别购进这种衬衫30件和15件．
x (x−10)
【解析】设第一批衬衫每件进价为 元，则第二批每件进价为 元．根据第二批该款
式的衬衫，进货量是第一次的一半，列出方程即可解决问题．
(2)【答案】解：①解：设第一次购进衬衫x件．
8000 17600
+4 =
根据题意得： ，
x 2xx = 200
解得： ．
x = 200
经检验： 是原方程的解，
答：该服装店第一次购进衬衫200件；
② 服 装 店 这 笔 生 意 盈 利
= 58 ×(200 +400)−(17600 +8000) = 9200 > 0
（元） ，
答：该服装店这笔生意是盈利，盈利9200元．
【解析】①根据题目中的“第二次每件进价比第一次多4元”可得出相等关系，设两次购进件
数，就可以表示单价，列方程解方程即可；
②用两次的卖价之和-两次的进价之和，差是正数表示盈利．
练4.1 (1)【答案】解：①设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：
1635 ×0.8−x
= 9%
x
x = 1200
解得：
x = 1200
经检验： 是原方程的解
答：这款空调每台的进价为1200元．
100 ×1200 ×9% = 10800
②商场销售这款空调机100台的盈利为： （元）．
答：盈利为10800元．
A x B (x+0.7)
(2)【答案】解：①设每台 种设备 万元，则每台 种设备 万元
3 7.2
=
根据题意得：
x x+0.7
x = 0.5
解得：
x = 0.5
经检验， 是原方程的解
∴ x+0.7 = 1.2
A B
答：每台 种设备0.5万元，每台 种设备1.2万元．
A m B (20 −m)
②设购买 种设备 台，则购买 种设备 台
0.5m+1.2(20 −m) ≤ 15
根据题意得：
90
m ≥
解得：
7
∵ m
为整数
∴ m ≥ 13
A
答： 种设备至少要购买13台．
能力强化 / 初二 / 秋季第 13 讲 分式方程及应用题
自我巩固答案
1 【答案】D
a
x = 5 −3 = 0
【解析】将 代入分式方程得： ，
3
a = 9
解得： ．
故选：D．
4 −(x+2) = 0
2 【答案】解：去分母得
x = 2
解得： ，
x = 2 x2 −4 = 0
经检验：把 代入 ，
x = 2
∴ 不是方程的解，
∴原方程无解．
2x = x−1 +1
3 【答案】解：（1）去分母得： ，
x = 0
解得：
x = 0
经检验 是分式方程的解．
2(3x−1)+3x = 1
（2）去分母得： ，
6x−2 +3x = 1
整理得：
1
x =
解得： ，
3
1
x =
经检验 是增根，分式方程无解．
3
4 【答案】D
【解析】设 乙 的 速 度 为 x 千 米 / 小 时 ， 则 甲 的 速 度 是 2.5x 千 米 / 时 ， 由 题 意 得
10 5 10 50
− = −
，
2.5x 60 x 60
故选：D．
5 【答案】B
【解析】设甲种雪糕的价格为x元，则
40
甲种雪糕的根数： ；
x
30
乙种雪糕的根数： ．
1.5x
40 30
− = 20
可得方程： ．
x 1.5x
故选：B．
x /
6 【答案】解：设江水的流速为 千米 小时，
1
120 × +20 = 80
千米．
2120 80
=
依题意， ，
24 +x 24 −x
x = 4.8
解方程得 ，
x = 4.8
经检验： 是方程的解，
x = 4.8
所以， ，
/
答：江水的流速为4.8千米 小时
7 【答案】（1）设二号施工队单独施工需要x天，
40 −14 40 −5 −14
+ = 1
根据题意得： ，
40 x
x = 60
解得： ，
x = 60
经检验， 是原分式方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要60天．
1 1
1 ÷( + ) = 24
（2）根据题意得： （天）．
40 60
答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天．
8 【答案】解：选择甲工程队，理由如下：
x
设甲队单独完成工程需 天
1 1
×9 + ×5 = 1
由题意，得：
12 x
x = 20
解得：
x = 20
经检验得： 是方程的解
1 1 1
∵ − =
12 20 30
1
∴ 1 ÷ = 30
乙单独完成工程需要的时间为： （天）
30
∵ 20 < 30
∴
从缩短工期角度考虑，应该选择甲队
9 【答案】解：设棒棒糖的原单价是x元，
270 480
×2 +20 =
根据题意，得： ，
x 0.8x
x = 3
解得： ，
x = 3
经检验： 是原方程的根．
答：棒棒糖的原单价是3元．
【解析】设棒棒糖的原单价是x元，根据题干提供的条件得到关于x的分式方程，解分式方程即可求
出x的值．
能力强化 / 初二 / 秋季第 13 讲 分式方程及应用题
课堂落实答案
1
1 【答案】
6
1 2k 1 2k
【解析】 x = 1 = =
将 代入 得， ，
x+2 x 1 +2 1
1
k =
解得， ．
6
1
故答案为：
6
2(3 −x)+(x+3)(x+2) = (x+3)(x−3)
2 【答案】解：去分母得 ，
x = −7
解得： ，
x = −7 (x+3)(3 −x) ≠ 0
检验：把 代入 ，
x = −7
∴原方程的解是 ．
3 【答案】D
【解析】设乙每小时走x千米，则甲每小时走 (x+1) 千米，
10 20 10
−
由题意得 = ．
x 60 x+1
故选：D．
4 【答案】C
【解析】设原计划每天制作x套，实际平均每天制作 (x+12) 套，
500 500
− = 4
由题意得， ．
x x+12
故选：C．
5 【答案】B
【解析】设原价每瓶x元，
420 420
− = 20
．
x−0.5 x
故选：B．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 13 讲 分式方程及应用题
精选精练
1 【答案】解：方程两边同乘
x(x−2)
得
2(x+1)(x−2)−x(x+2) = x2 −2
，
1
x = −
解得 ，
21
x = − x(x−2) ≠ 0
检验： 代入 ，
2
1
x = −
∴原方程的解为 ．
2
1.5x
2 【答案】解：（1）①若小慧设普通列车的平均速度为x公里/小时，则该动车的平均速度为 公
里/小时，
120 120 1
= +
根据题意得： ．
x 1.5x 3
1
故答案为：普通列车的平均速度； ．
3
1
(y + )
②若小聪设该动车所需时间为y小时，则普通列车所需时间为 小时，
3
120 120
= 1.5×
根据题意得： ．
y y + 1
3
1
y +
故答案为：该动车所需时间; ．
3
（2）选择小慧的设法．
设普通列车的平均速度为x公里/小时，则该动车的平均速度为 1.5x 公里/小时，
120 120 1
= +
根据题意得： ，
x 1.5x 3
x = 120
解得： ，
x = 120
经检验， 是原方程的解，
1.5x = 180
∴ ．
答：该动车的平均速度为180公里/小时．
x /
3 【答案】解：设列车乙行驶平均速度为 千米 小时．
1320 1320
− = 1.5
由题意： ，
x 4x
3
x = 220
解得： ，
x = 220
经检验： 是分式方程的解．
1320
= 4.5
小时，
4 ×220
3
答：列车甲从北京到上海运行的时间是4.5小时．
4 【答案】解：（1）根据题意及所列的方程可知被墨水污染的部分为：甲、乙两队合作5天．
故答案是：合作5天；
x
（2）设规定的工期为 天，
1 1 x−5
5 ×( + )+ = 1
根据题意列出方程： ，
x x+6 x+6
x = 30
解得： ．
x = 30
经检验： 是原分式方程的解．
B
根据题意： 方案不符合题意，其余两种施工方案需要的工程款为：
2 ×30 = 60
（A） （万元）；
2 ×5 +1.5×30 = 55
（C） （万元）．
C
综上所述， 方案是既按期完工又节省工程款的方案．
【解析】（1）根据题意及所列的方程可知被墨水污染的部分为：甲、乙两队合作5天．
x
（2）设规定的工期为 天，
1 1 x−5
5 ×( + )+ = 1
根据题意列出方程： ，
x x+6 x+6
x = 30
解得： ．
x = 30
经检验： 是原分式方程的解．
这三种施工方案需要的工程款为：
2 ×30 = 60
（A） （万元）；
1.5×(30 +6) = 54
（B） （万元）；
2 ×5 +1.5×30 = 55
（C） （万元）．
C
综上所述， 方案是最佳方案：即由甲乙两队合作5天，剩下的由乙队单独做．
x
5 【答案】解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要 天，
30 1 1
+( + )×36 = 1
由题意得： ，
120 120 x
x = 80
解得： ，
x = 80
经检验 是原方程的解．
答：乙工程队单独做需要80天完成．
a y
（2）因为甲工程队做其中一部分用了 天，乙工程队做另一部分用了 天，
a y
+ = 1
依题意得： ，解得：
120 80
2
y = 80 − a
，
3
∵ y ≤ 52
，
2
∴ 80 − a ≤ 52
，
3
a ≥ 42
解得： ，
答：甲工程队至少应做42天．
x
【解析】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要 天，
30 1 1
+( + )×36 = 1
由题意得： ，
120 120 x
x = 80
解得： ，
x = 80
经检验 是原方程的解．
故：乙工程队单独做需要80天完成．a y
（2）因为甲工程队做其中一部分用了 天，乙工程队做另一部分用了 天，
a y
+ = 1
依题意得： ，解得：
120 80
2
y = 80 − a
，
3
∵ y ⩽ 52
，
2
∴ 80 − a ⩽ 52
，
3
a ⩾ 42
解得： ，
故：甲工程队至少应做42天．
x
6 【答案】解：设小伙伴人数是 人，
350 350 −35
×0.7 =
由题意得， ，
x−2 x
x = 9
解得， ．
x = 9
经检验， 是原方程的根．
答：小伙伴人数是9人．
【解析】设小伙伴人数是x人，
350 350 −35
×0.7 =
由题意得， ，
x−2 x
解得，x=9．
经检验，x=9是原方程的根
故：小伙伴人数是9人．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 14 讲 含参的分式方程
例题练习题答案
例1 (1)【答案】B
(2)【答案】B
练1.1 (1)【答案】D
3 1
(2)【答案】 = x = 3
解：解分式方程 ，得 ，
2x x−1
x = 3
经检验 是分式方程的跟，
2 m 2 m 6
x = 3 = = m =
将 代入 ，得 ，解得 ，
x+4 x 7 3 7
26 2 6 48
m2 −2m ( ) −2 × = −
∴ ＝ ．
7 7 49
例2 (1)【答案】A
1 0
(2)【答案】 或
练2.1 (1)【答案】C
1
(2)【答案】 −
2
−4 6
例3 【答案】 或
3x+1 2
练3.1 【答案】 a = 3 − = 1
（1）当 时，原方程为 ，
x−1 1 −x
(x−1) 3x+1 +2 = x−1
方程两边同时乘以 得： ，
x = −2
解这个整式方程得： ，
x = −2 x−1 = −2 −1 = −3 ≠ 0
检验：将 代入 ，
x = −2
∴ 是原方程的解；
(x−1)
（2）方程两边同时乘以 ，
ax+1 +2 = x−1
得 ，
x−1 = 0
若原方程有增根，则 ，
x = 1
解得： ，
x = 1 a+1 +2 = 0
将 代入整式方程得： ，
a = −3
解得： ．
m+3x−6 = x−1
例4 【答案】解：去分母得： ，
x−2 = 0 x = 2
由分式方程无解，得到 ，即 ，
x = 2 m = 1
把 代入方程得： ．
练4.1 【答案】D
3 −2x+mx−2 = 3 −x
例5 【答案】解：（1）去分母得： ，
(m−1)x = 2
解得 ，
3 −2x mx−2
− = −1
∵ 无解，
x−3 3 −x
m−1 = 0 x−3 = 0
∴ 或 ，
m = 1 x = 3
∴ 或 ，
5
x = 3 (m−1)x = 2 m =
把 代入 得 ，
3
5
m = 1
∴ 或 ．
3
2(x+2)+mx = 3(x−2)
（2）去分母得： ，(1 −m)x = 10
解得 ，
2 mx 3
+ =
∵ 无解，
x−2 x2 −4 x+2
1 −m = 0 x2 −4 = 0
∴ 或 ，
m = 1 x = ±2
∴ 或 ，
x = ±2 (1 −m)x = 10 m = −4 6
把 代入 得 或 ，
m = −4 6 1
∴ 或 或 ．
1 a 2
练5.1 【答案】 − =
解：方程
x−2 3 −x x2 −5x+6
(x−2)(x−3) x−3 +a(x−2) = 2
两边乘 得到，
(a+1)x = 5 +2a
整理得
a+1 = 0 (a+1)x = 5 +2a a = −1
若 时， 无解，即
5 +2a
a+1 ≠ 0 a ≠ −1 x =
若 时，即 ，
a+1
5 +2a
x =
由题意 是原分式方程的增根，
a+1
5 +2a
=2
当 时，无解
a+1
5 +2a
= 3 a = 2
当 时，解得
a+1
a = −1
综上所述， 或2时，原分式方程无解
例6 【答案】解：（1）这个方程无解
x−2 −2
理由：当m＝ −1 时，方程变为 − = 1
x x+1
x2 −x−2 +2x =x2 +x −2 = 0
去分母得， ，即
∴当m＝ −1 时，这个方程无解
（2）将原式化为整式方程得
2(m+1)x m−1
＝
∵这个分式方程有实数解
m ≠ −1
∴
∵当x＝0或 −1 时，这个分式方程无实数解
1
m ≠ 1 m ≠ −
∴ 且
3
1
∴m的取值范围是 m ≠ ±1 且 m ≠ −
3
【解析】（1）这个方程有解，
x−2 −2
理由：当m＝ −1 时，方程变为 − = 1 ，
x x+1
x2 −x−2 +2x x2 +x
去分母得， ＝ ，
∴当m＝ −1 时，请这个方程无解；m+x−1 3m+1
− = 1
（2） ，
x x+1
2(m+1)x m−1
化为整式方程得， ＝ ，
∵这个分式方程有实数解，
m ≠ −1
∴ ，
∵当x＝0或 −1 时，这个分式方程无实数解，
1
∴m＝1或 − ，
3
1
∴m的取值范围是 m ≠ ±1 或 − ．
3
(x+3)(x−3)
练6.1 【答案】解：方程两边同乘 ，
2(x+3)+ax = 3(x−3)
得 ，
(a−1)x = −15
化简得 ，
(x+3)(x−3) = 0 a−1 = 0
若分式方程无解，得到 或者 ，
x = 3 x = −3 a = 1
即 或 或 ，
x = 3 a = −4
把 代入方程得： ，
x = −3 a = 6
把 代入方程得： ，
2 ax 3
+ =
∵方程 有解，
x−3 x2 −9 x+3
a a ≠ 1 a ≠ −4 a ≠ 6
∴ 的取值范围是 且 且 ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 14 讲 含参的分式方程
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】A
5 【答案】B
6 【答案】C
2x+m
【解析】 = 3 2x+m = 3x−6
方程 ，去分母得： ，
x−2
x = m+6
解得： ，x = m+6 > 0 x ≠ 2 m > −6 m ≠ −4
①令 ，且 ，即 ，且 时，方程的解是正数，本
选项错误；
x = m+6 < 0 m < −6
②令 ，即 ，方程的解是负数，本选项正确；
x−2 = 0 x = 2 4 +m = 0 m = −4
③令 ，即 ，代入整式方程得： ，即 ，本选项正
确；
故正确的个数有2个．
故选：C．
7 【答案】A
(x−1)(x+2) x(x+2)−(x−1)(x+2) = m
8 【答案】解：方程两边同乘 得： ，
x+2 = m
解得： ，
x = 1 x = −2
当 或 时，分式方程无解，
m = 3 0
∴ 或 ．
1(2x+7) ≥ 3 x ≥ 1
9 【答案】 { 3 {
解 得 ，
x−a < 0 x < a
1(2x+7) ≥ 3
{ 3
∵不等式组 无解，
x−a < 0
a ≤ 1
∴ ，
x a−2 5 −a
− = −1 x =
解方程 得 ，
x−3 3 −x 2
5 −a
x = a ≤ 1
∵ 为整数， ，
2
a = −3 −1
∴ 或1或 ，
a = −1 a = −1
∵ 时，原分式方程无解，故将 舍去，
a −2
∴所有满足条件的 的值之和是 ．
k+1
10 【答案】 x−1 +2x = k x =
解：去分母得 ，即 ，
3
x ≠ 0 x ≠ 1
由分式方程有解，得到 且 ，
k ≠ −1 k ≠ 2
解得 且 ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 14 讲 含参的分式方程
课堂落实答案
1 【答案】D2 【答案】A
3 【答案】D
【解析】
3
4 【答案】
3
5 【答案】 或 3
2
能力强化 / 初二 / 秋季
第 14 讲 含参的分式方程
精选精练
x+m 3m
1 【答案】 − = 3
解：原方程可变形为： ，
x−2 2(x−2)
2x+2m−3m 6x−12
去分母，得 ＝ ，
整理，得4x＝ 12 −m
12 −m
x =
解得，
4
∵方程的解为正实数，
12 −m 12 −m
x = > 0 x = ≠ 2
∴ 且
4 4
m < 12 m ≠ 4
解得： 且 ．
【解析】用含m的代数式表示出分式方程的解，由于分式方程的解为正实数，得关于m的不等式，
求解即可．
3x+3 −x+1 = x+kx
2 【答案】解：去分母得： ，
3x(x−1) = 0
由分式方程有增根，得到 ，
x = 0 x = 1
解得： 或 ，
x = 0 4 = 0
把 代入整式方程得： ，矛盾，舍去；
x = 1 k = 5
把 代入整式方程得： ．
x = 1 k = 5
∴增根为 ， ．
3 【答案】C
【解析】分式方程去分母得：m（x＋1）－x＝0，即（m－1）x＝－m，
当m－1＝0，即m＝1时，方程无解；
m
x =
当m－1≠0，即m≠1时，解得： ；
1 −m
当m＝2时，方程的解为x＝－2，x＝0是分式方程的增根，所以x≠0，故m≠0．
4 【答案】D
1
5 【答案】
(x−3)(2 −x) = m(x−2)
【解析】方程去分母得：
x = 3 −m
解得： ，
∴ x = 2
当 时分母为0，方程无解，
3 −m = 2
即 ，
∴ m = 1
时方程无解．
6 【答案】小明未考虑分式的分母不为0的情况
（1）解关于x的分式方程得 (2m−1)x = 3 ，
∵方程有解，且解为负数
3
x = < 0 x ≠ −2
∴ 且
2m−1
⎧2m−1 < 0
⎨ 3
∴⎩
≠ −2
2m−1
1 1
m < m ≠ −
∴ 且
2 4
5
n = n =
（2） 1或
3
【解析】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；
3
x =
（1）解关于x的分式方程得， ，
2m−1
∵方程有解，且解为负数，
∴ ，
1 1
m < m ≠ −
解得： 且 ；
2 4
（2）分式方程去分母得：3－2x＋nx－2＝－x＋3，即（n－1）x＝2，
由分式方程无解，得到x－3＝0，即x＝3，
5
n =
代入整式方程得： ；
3
当n－1＝0时，整式方程无解，此时n＝1，
5
n =
综上，n＝1或 ．
3
能力强化 / 初二 / 秋季第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】B
4 【答案】A
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】A
【解析】同时改变了两个符号，分式的值不变，故本选项正确；
只改变了其中一个符号，故本选项错误；
只改变了分子的符号，故本选项错误；
改变了三个符号，故本选项错误．
故选：A．
8 【答案】B
9 【答案】A
10 【答案】D
CF
【解析】解：①连接 ．
∵ ABC
△ 为等腰直角三角形，
∴ ∠FCB = ∠A = 45∘ CF = AF = FB
， ，
∵ AD = CE
，
∴ ADF CEF
△ ≌△ ，
∴ EF = DF ∠CFE = ∠AFD
， ，
∵ ∠AFD+∠CFD = 90∘
∴ ∠CFE +∠CFD = ∠EFD = 90∘
，
∴ EDF
△ 是等腰直角三角形，
故本选项正确；
1
DF⊥AC DF DF = AC = 4
②当 时， 最小，此时 ，
2故本选项正确；
∵ ADF CEF
③ △ ≌△ ，
∴ S = S
△CEF △ADF，
∴ S = S +S = S +S = S
四边形CDFE △DCF △CEF △DCF △ADF △ACF
1
= S
2 △ABC
故本选项正确；
CED DEF
④当△ 面积最大时，由③知，此时△ 的面积最小，此时，
S = S −S = S −S = 16 −8 = 8
△CED 四边形CEFD △DEF △AFC △DEF ，
故本选项正确；
综上所述正确的有①②③④．
D
故选： ．
2y2
11 【答案】
3x2
(x−3)(x−5)
12 【答案】
(a−b)(a+b)2
13 【答案】
1.5
14 【答案】
−3
15 【答案】
1
16 【答案】 ab
2
−1
17 【答案】
6x−3
18 【答案】 −1 −
（1） ；（2） ．
x2 −x−6
2x−y
19 (1)【答案】
化简结果为 ，值为5；
2
2 2
(2)【答案】
化简结果为 ，值为 ．
x2 +2x 15
x = −4 x = −1
20 【答案】解：（1） ；（2）
【解析】（1）去分母得：1－x－x－3＝－x＋2，
解得：x＝－4，
经检验x＝－4是分式方程的解；
（2）方程去分母得：2x－6－3x－9＝14x，
解得：x＝－1，
经检验x＝－1是分式方程的解．
21 【答案】解：设甲每小时走x千米，则乙每小时走 (x−0.5) 千米．
20 18
= x = 5
由题意可得 ，解得 ．
x x−0.54.5
故甲每小时走5千米，乙每小时走 千米．
【解析】该题考查分式方程的应用．
x x+0.5
设乙的速度为 ，则甲的速度为
18 +2 18
=
根据题意可得：
x+0.5 x
x = 4.5
解方程得： ，
x = 4.5
经检验 是原方程的解，
4.5+0.5 = 5
∴
22 【答案】解：延长CD交AB于点E，如图所示：
∵∠DCB=∠B，
BE = EC
∴ ．
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠CAD=∠EAD，∠ADC=∠ADE=90∘
，
AD = AD
又∵ ，
∴△ADC≌△ADE，
CD = DE AE = AC
∴ ， ．
AB = AE +BE = AC +2CD = 26
故 ．
23 【答案】证明：（1）∵△ABC，△APE是等边三角形，
∴AE＝AP，AC＝AB，∠EAC＝∠PAB＝60°，
在△EAC与△PAB中，
⎧⎪ AE = AP
⎨∠EAC = ∠PAB
∵ ，
⎩⎪
AC = AB
∴△EAC≌△PAB（SAS），
∴BP＝CE；
（2）∵△EAC≌△PAB，
∴∠AEM＝∠APB．
在EM上截取EN＝PM，连接AN．
在△AEN与△APM中，⎧⎪ AE = AP
⎨∠AEM = ∠APB
∵
⎩⎪
EN = PM
∴△AEN≌△APM（SAS），
∴AN＝AM；∠EAN＝∠PAM．
则∠PAM+∠PAN＝∠EAN+∠PAN＝60°，
即△ANM为等边三角形，得：MN＝AM．
所以EM﹣PM＝EM﹣EN＝MN＝AM．
24 【答案】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，
⎧⎪ ∠CAE = ∠BCG
在△AEC和△CGB中， ⎨ AC = BC ，
⎩⎪
∠ACE = ∠CBG
∴△AEC≌△CGB(ASA)，
∴AE=CG．
（2）BE=CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
⎧⎪ ∠BEC = ∠CMA
在△BCE和△CAM中， ⎨∠ACM = ∠CBE ，
⎩⎪
BC = CA
∴△BCE≌△CAM(AAS)，
∴BE=CM．
(a+2b+3c)(a−2b+c)
25 【答案】
(x2 +3x+3)(x2 −3x+3)
26 (1)【答案】解：设点M，N运动x秒后，M，N两点重合，
x×1 +10 = 2x
，x = 10
解得： ．
(2)【答案】解：设点M，N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM = t×1 = t AN = AB −BN = 10 −2t
， ，
∵三角形△AMN是等边三角形，
t = 10 −2t
∴ ，
10
t =
解得 ，
3
10
∴点M，N运动 秒后，可得到等边三角形△AMN．
3
(3)【答案】解：当点M，N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M，N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
AN = AM
∴ ，
∠AMN = ∠ANM
∴ ，
∠AMC = ∠ANB
∴ ，
AB = BC = AC
∵ ，
∴△ACB是等边三角形，
∠C = ∠B
∴ ，
在△ACM和△ABN中，
⎧⎪ ∠C = ∠B
⎨∠AMC = ∠ANB
∵ ，
⎩⎪
AC = AB
△ ACM △ ABN (AAS)
∴ ≌ ，CM = BN
∴ ，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
CM = y −10 NB = 30 −2y CM = NB
∴ ， ， ，
y −10 = 30 −2y
，
40
y =
解得： ．故假设成立．
3
∴当点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M，N运动
40
的时间为 秒．
3
