文档内容
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能力强化 / 初一 / 春季
第 1 讲 整式的乘除进阶
例题练习题答案
例1
(1)【答案】 3 2 3 3
原式 = −6a b +10a b
(2)【答案】 ( 2 2 ) ( 2 2 )
原式 = 2x −4xy−xy+2y −4 x +2xy−xy−2y
2 2 2 2
= 2x −4xy−xy+2y −4x −8xy+4xy+8y
2 2
= −2x −9xy+10y
(3)【答案】 2
原式 = 4xy z．
(4)【答案】 2
原式 = −2x +3x+1．
练1.1
(1)【答案】 ( 2 )[ 2 4 3 3 2 ]
原式 = a b a b +8a b +3a
4 5 5 4 4
= a b +8a b +3a b
(2)【答案】 2 2 2
原式 = x +2xy−x−2xy−4y +2y+4y
2
= x −x+2y
(3)【答案】 7
2
原式 = x−3y+ xy ．
4
(4)【答案】 4 2
原式 = 2x −5x +3．
例2 【答案】−2018
( )
【解析】 2
x −mx+1 (x−2018)
3 2
= x −(2018+m)x +(2018m+1)x−2018，
由题意可得：2018+m = 0．
所以m = −2018．
1/145-
练2.1 【答案】B
例3 【答案】 解：由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x 2 −13x+6
∴(2x−a)(3x−2)
2
=6x −4x−3ax+2a
2
=6x −(3a+4)x+2a
∴3a+4 = 13或2a = 6
∴a = 3
2
∴(2x+a)(3x−2) = 6x +5x−6
练3.1 【答案】 4 3 2
解：根据题意得：A+B = 5x −4x +3x ，
∵B = 2x，
4 3 2
∴A = 5x −4x +3x −2x，
( )
4 3 2
则A÷B = 5x −4x +3x −2x ÷2x．
5 3
3 2
= x −2x + x−1
2 2
例4
(1)【答案】解:①(−3x+y)(−3x−y)
2 2
= (−3x) −y
2 2
= 9x −y
②(a−b−3)(a−b+3)
2
= (a−b) −9
2 2
= a +b −2ab−9
2 2 2
③(−3a+b) = 9a −6ab+b
2 2
④(a−2b+c) = [(a−2b)+c]
2 2
=(a−2b) +2(a−2b)c+c
2 2 2
=a −4ab+4b +2ac−4bc+c
(2)【答案】 2
解：①边长为(a−b)的正方形的面积可以直接由正方形面积公式表示为(a−b) ；
又可以用边长为a的正方形的面积，减去2个长为a，宽为b的长方形面积，加上边长为
b的正方形的面积，
2/145-
2 2
结果用含a，b的式子表示为a −2ab+b ；
②已知大正方形的边长为a+b+c，
2 2 2 2
利用图形的面积关系可得：(a+b+c) = a +b +c +2ab+2bc+2ac．
练4.1
(1)【答案】 1 1 1 1
( )( ) ( )2
2 2 2 2 4 2
① 3a+ b b −3a = b −9a = b −9a
4 4 4 16
②(2a−3b−1)(2a+3b+1)
=[2a−(3b+1)](2a+3b+1)
2 2
=4a −(3b+1)
2 2
= 4a −9b −6b−1
2
③(−3m−4n)
2 2
=9m +24mn+16n
2
④(3a+b+2c)
2
=[3a+(b+2c)]
2 2
=9a +2×3a(b+2c)+(b+2c)
2 2 2
=9a +6ab+12ac+b +4bc+4c
(2)【答案】解：①小正方形的边长是x−y；
2 2
②(x+y) −(x−y) = 4xy
3/145-
例5 【答案】 ( 2 )( 4 )( 8 ) ( 1024 )
原式 = (2−1)(2+1) 2 +1 2 +1 2 +1 ⋯ 2 +1
( )( )( )( ) ( )
2 2 4 8 1024
= 2 −1 2 +1 2 +1 2 +1 ⋯ 2 +1
( )( )( ) ( )
4 4 8 1024
= 2 −1 2 +1 2 +1 ⋯ 2 +1
( )( ) ( )
8 8 1024
= 2 −1 2 +1 ⋯ 2 +1
2048
= 2 −1
练5.1
(1)【答案】 1
( )( )( )
2 4 8
原式 = (3−1)(3+1) 3 +1 3 +1 3 +1 ×
2
1
( )( )( )( )
2 2 4 8
= 3 −1 3 +1 3 +1 3 +1 ×
2
1
( )( )( )
4 4 8
= 3 −1 3 +1 3 +1 ×
2
1
( )( )
8 8
= 3 −1 3 +1 ×
2
16
3 −1
=
2
(2)【答案】 32
2 −1
31
2
例6
(1)【答案】16
【解析】 2
∵多项式x −8x+k是一个完全平方式，
−8
( )2
∴k = = 16．
2
(2)【答案】D
练6.1
(1)【答案】9
4/145-
【解析】 2
∵多项式x −6x+m是一个完全平方式，
−6
( )2
∴m = = 9．
2
(2)【答案】D
例7
(1)【答案】 2 2
解：根据完全平方公式，(x+y) −2x−2y+1 = (x+y) −2(x+y)+1，
2
可得：(x+y−1) = 0，
故x+y−1 = 0，即x+y = 1．
(2)【答案】 2 2 2 2
解：x +y +4x−6y+13 = (x+2) +(y−3) = 0，
则x+2 = 0，y−3 = 0，即x = −2，y = 3，
y 3
所以x = (−2) = −8．
(3)【答案】解：a2+b2+c2−ab−3b−2c+4
b 1
[ ]2
= (a− )2+3 ( b)−1 +(c−1) 2 = 0,
2 2
b 1
则a− = 0, b−1 = 0,c−1 = 0,即a = 1,b = 2,c = 1,
2 2
a+b+c = 4.
练7.1
(1)【答案】C
(2)【答案】C
能力强化 / 初一 / 春季
第 1 讲 整式的乘除进阶
自我巩固答案
1
5/145-
(1)【答案】 3
x +1
( )
【解析】 2
(x+1) x −x+1
3 2 2
= x −x +x+x −x+1
3
= x +1
(2)【答案】 3 3
8x +y
( )
【解析】 2 2
(2x+y) 4x −2xy+y
3 2 2 2 2 3
= 8x −4x y+2xy +4x y−2xy +y
3 3
= 8x +y
2
(1)【答案】 2
原式 = −3−2mn+4m ．
(2)【答案】 1
2
原式 = 2m − mn+n−1．
5
3 【答案】 27 16
2 2 3 3 2 3
原式 = − x y z+3xy z +12xyz− y z
4 3
4 【答案】A
【解析】 ∵ (x+m)(x+3) = x 2 +3x+mx+3m = x 2 +(3+m)x+3m，
又 ∵ 乘积中不含x的一次项，
∴ 3+m = 0，
解得m = −3．
故选A
5 【答案】原式 = [2a+(3−b)][2a−(3−b)]
2 2
= (2a) −(3−b)
( )
2 2
= 4a − 9−6b+b
2 2
= 4a −9+6b−b
6 【答案】B
( )
【解析】 2 2 2 2 2 2 2 2
(x+3y) −(3x+y) = x +6xy+9y − 9x +6xy+y = −8x +8y
7 【答案】C
6/145-
8 【答案】C
9 【答案】 2
∵二次三项式4x −(k−3)x+9是完全平方式，
∴k−3 = ±2×2×3 = ±12，
解得k = 15或k = −9，
故答案应该为15或−9．
10 【答案】D
能力强化 / 初一 / 春季
第 1 讲 整式的乘除进阶
课堂落实答案
1
(1)【答案】 2 2
原式 = −(2x −xy+6xy−3y )
2 2
= −(2x +5xy−3y )
2 2
= −2x −5xy+3y
(2)【答案】 3 2 2
原式=x +3x +2x+x +3x+2
3 2
=x +4x +5x+2
2 【答案】D
3 【答案】原式
=
(
x
2
+4x+4
)
+
(
2+x−2x−x
2 )
−3
2 2
= x +4x+4+2+x−2x−x −3
= 3x+3
4 【答案】D
( )( )( )
【解析】 2 4 8
解：原式 = (2−1)(2+1) 2 +1 2 +1 2 +1 +1
( )( )( )( )
2 2 4 8
= 2 −1 2 +1 2 +1 2 +1 +1
( )( )( )
4 4 8
= 2 −1 2 +1 2 +1 +1
( )( )
8 8
= 2 −1 2 +1 +1
7/145-
16
= 2 −1+1
16
= 2 ，
故选：D．
5 【答案】±22
能力强化 / 初一 / 春季
第 1 讲 整式的乘除进阶
精选精练
1 【答案】 ( 2 ) ( 2 )
解：原式 = 2x +x−2x−1 −2 x +2x−5x−10
( ) ( )
2 2
= 2x +x−2x−1 − 2x +4x−10x−20
2 2
= 2x +x−2x−1−2x −4x+10x+20
= 5x+19
2 【答案】 4 3 2
解：原式 = x +(m−3)x +(n−3m+2)x +(2m−3n)x+2n，
由题意可得：m−3 = 0，2m−3n = 0．
所以m = 3，n = 2．
1 3 5 5 10
n m 2 n−2 m−1 0 2
所以 m n ÷ m n = m n = ×3 ×2 = ．
2 5 6 6 3
3
(1)【答案】 5 n+1
1−x ;1−x
【解析】根据题意得：
( )
2 3 4 5
(1−x) 1+x+x +x +x = 1−x ；
( )
2 n n+1
(1−x) 1+x+x +⋯+x = 1−x ；
5 n+1
故答案为：1−x ；1−x ．
(2)【答案】 2 2 3 3 4 4
①a −b ；②a −b ；③a −b ．
【解析】通过以上规律可以得到：
2 2
①(a−b)(a+b) = a −b
8/145-
( )
2 2 3 3
②(a−b) a +ab+b = a −b
( )
3 2 2 3 4 4
③(a−b) a +a b+ab +b = a −b
(3)【答案】 2 2015 2016 2017
1+2+2 +⋯+2 +2 +2
( )
2 2015 2016 2017
= −(1−2) 1+2+2 +⋯+2 +2 +2
2018
= 2 −1
【解析】利用得出的规律计算即可得到结果．
4 【答案】 1 1 1 1 1 1 1 1
( )( )( )( )( )( ) ( )( )
原 式 = 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ ⋯ 1− 1+
2 2 3 3 4 4 9 9
1 1
( )( )
1− 1+
10 10
1 3 2 4 3 5 8 10 9 11
= × × × × × ×⋯× × × ×
2 2 3 3 4 4 9 9 10 10
11
=
20
5
(1)【答案】 2
原式 = (56.78−46.78)
2
= 10
= 100
(2)【答案】 1
( )2
原式 = 40+
4
1 1
= 1600+2×40× +
4 16
1
= 1620
16
6
(1)【答案】m+2．
(2)【答案】 ≥
9/145-
【解析】 2 2
9n −6n+1 = (3n−1) ≥ 0
2
∴无论n取何值，9n −6n+1 ≥ 0，
故答案为 ≥ ．
(3)【答案】 2 2
10m +4n +4 = 12mn+4m，
2 2
已知等式整理得：10m +4n +4−12mn−4m = 0，
2 2
(3m−2n) +(m−2) = 0，
∴m = 2，n = 3．
∵m，n是△ABC的两条边，
∴1 < k < 5．
∵k为奇数，
∴k = 3．
能力强化 / 初一 / 春季
第 2 讲 整式的乘除高阶
例题练习题答案
例1 【答案】（1）20；（2）4；（3）12；（4）272．
练1.1 【答案】 解：（1） ∵ (a−b) 2 = 1，
∴ a 2 −2ab+b 2 = 1．
∵ a 2 +b 2 = 13，
∴ 13−2ab = 1．
∴ ab = 6．
（2） ∵ a 2 +b 2 = 13，ab = 6，
∴ a 2 +2ab+b 2 = 13+12，即(a+b) 2 = 25．
∴ a+b = ±5．
练1.2
(1)【答案】 2 2 2
a +4b = (a+2b) −4ab = 1
10/145-
(2)【答案】 2 2 2
a +b = (a+b) −2ab = 33
2
4 4 2 2 2 2
a +b = (a +b ) −2a b = 801
例2 【答案】解：（1）2、2．
（2）23．
（3） ∵ a 2 −3a+1 = 0，
1
两边同除a得：a−3+ = 0，
a
1
移项得：a+ = 3，
a
1 1
2
∴ a 2 + = (a+ ) −2 = 7．
2 a
a
练2.1
(1)【答案】 1
解： ∵ −a = 3，
a
1
2
∴ ( −a) = 3 2 ，
a
1
∴ +a 2 = 9+2 = 11．
2
a
(2)【答案】 1
解： ∵ +x = 2,
x
1 1
( )2
∴ +x2 = +x −2 = 2,
2 x
x
1 1
( )2
∴ x− = +x 2 −2 = 0
x 2
x
1
∴ x− = 0.
x
例3
11/145-
(1)【答案】1，5，10，10，5，1
【解析】解：按照图中规律，第六行的数字为：1，5，10，10，5，1.
(2)【答案】 5 5 4 3 2 2 3 4 5
(a+b) = a +5a b+10a b +10a b +5ab +b
(3)【答案】
5 5 4 3 2 2 3 4 5
(a−b) = a +5a (−b)+10a (−b) +10a (−b) +5a(−b) +(−b)
5 4 3 2 2 3 4 5
= a −5a b+10a b −10a b +5ab −b ．
练3.1
(1)【答案】4、6
(2)【答案】 3 2 2 3 4
4a b+6a b +4ab 、2
(3)【答案】 9 9 8
由(x+1) = a x +a x +…+a x+a ，
9 8 1 0
9
令x = 1，则a +a +a +…+a = 2 ；
0 1 2 9
(4)【答案】解：令x = −1，则a −a +a −a +... +a −a = 0
0 1 2 3 8 9
则a +a +... +a = a +a +... +a
0 2 8 1 3 9
9
∵a +a +a +a +... +a +a = 2 ，
0 1 2 3 8 9
8
∴a +a +... +a = 2 ．
0 2 8
例4 【答案】 2
解：(2x+3)(2x−3)−4x(x−1)+(x−2)
2 2 2
= 4x −9−4x +4x+x −4x+4
2
= x −5，
当x = −2时，原式 = 4−5 = −1．
练4.1 【答案】 ( 2 2 ) ( 2 2 )
解：原式 = a −2ab−b − a −2ab+b
2 2 2 2
= a −2ab−b −a +2ab−b
2
= −2b ，
1
将a = −4，b = − 代入得：
3
12/145-
2
原式 = − ．
9
例5 【答案】 2 2
解：∵x −4x+y +2y+5 = 0
2 2
∴(x−2) +(y+1) = 0
∴x = 2，y = −1
[ ]
2 2 2
(x+3y) −(x−3y) −(3y+x)(x−3y)−9y ÷(2x)
[ ( ) ( ) ]
2 2 2 2 2 2 2
= x +6xy+9y − x −6xy+9y − 3xy−9y +x −3xy −9y ÷(2x)
( )
2
= −x +12xy ÷(2x)
1
= − x+6y
2
当x = 2，y = −1时，
原式=−1−6 = −7 ．
练5.1 【答案】 2 2 2 2
解：原式 = 4a +4ab+b −2(2a +ab−2ab−b )
2 2 2 2
= 4a +4ab+b −4a −2ab+4ab+2b
2
= 6ab+3b ，
∵ a 4 = 4 b = 16，且ab < 0，
∴ a = −2，b = 2，
则原式 = −24+12 = −12．
例6
(1)【答案】D
(2)【答案】 解： ∵ y 2 −2xy−1 = 0，
∴ y 2 −2xy = 1，
2 2
(x−2y) −(x−y)(x+y)−3y
2 2 2 2 2
= x −4xy+4y −x +y −3y
2
= 2y −4xy
2
= 2(y −2xy)
= 2×1
= 2．
13/145-
练6.1 【答案】 2 2 2
解：原式 = x −6x+9+2x +10x−28−x +4
2
= 2x +4x−15，
2 2
由x +2x−3 = 0，得到x +2x = 3，
2
则原式 = 2(x +2x)−15 = 6−15 = −9．
练6.2 【答案】4
能力强化 / 初一 / 春季
第 2 讲 整式的乘除高阶
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】解： ∵ a+b = 3，ab = 2，
∴ (a−b) 2 = (a+b) 2 −4ab = 9−8 = 1，
则a−b = ±1，
故选：C．
2 【答案】A
3 【答案】C
【解析】解： ∵ a+b = 3，
∴ (a+b) 2 = a 2 +b 2 +2ab = 9，
∴ 7−3ab+2ab = 9，
解得：ab = −2，
故选：C．
4 【答案】C
【解析】 1
解：∵a− = 2，
a
1 1
( )2
2
∴ a− = 4，即a + −2 = 4，
a 2
a
14/145-
1
2
∴a + = 6，
2
a
( 1 ) 1
2
2 4
∴ a + = 36，即a + +2 = 36，
2 4
a a
1
4
∴a + = 34
4
a
故选C.
5 【答案】解：①把x+y = 4两边平方得：
2 2 2
(x+y) = x +y +2xy = 16，
2 2
把xy = 2代入得：x +y = 12；
2
4 4 2 2 2 2
②x +y = (x +y ) −2x y = 144−8 = 136．
6 【答案】B
7 【答案】 1
2 2 2 2 2
解：原式 = m −n −2m +n = −m ，当m = −2，n = − 时，原式 = −4．
2
8 【答案】 2 2 2 2 2
解：原式 = x −6xy+9y −9y +4x −3x +10xy
2
= 2x +4xy，
∵ |x−2y| +(x+2) 2 = 0，
x−2y = 0
{
∴ ，
x+2 = 0
解得x = −2，y = −1，
2
则原式 = 2×(−2) +4×(−2)×(−1)
= 8+8
= 16．
9 【答案】A
【解析】 解： ∵ 3x 2 −5x+1 = 0，
∴ 3x 2 −5x = −1，
∴ 5x(3x−2)−(3x+1)(3x−1)
2 2
= 15x −10x−9x +1
15/145-
2
= 6x −10x+1
2
= 2(3x −5x)+1
= 2×(−1)+1
= −1．
故选：A．
10 【答案】 2
解：(x−1) −x(x−3)+(x+2)(x−2)
2 2 2
= x −2x+1−x +3x+x −4
2
= x +x−3，
∵ x 2 +x−5 = 0，
∴ x 2 +x = 5，
∴ 原式 = 5−3 = 2．
能力强化 / 初一 / 春季
第 2 讲 整式的乘除高阶
课堂落实答案
1 【答案】B
【解析】 2 2 2
将a+b = 5两边平方得：(a+b) = a +2ab+b = 25，
2 2
将ab = 4代入得：a +8+b = 25，
2 2
则a +b = 17．
2 【答案】47
3 【答案】A
【解析】 2 2
解：原式 = a −7a+12−a −2a = −9a+12，
1
当a = 时，原式 = −3+12 = 9，
3
故选：A．
4 【答案】A
【解析】 解： ∵ x 2 −4x−1 = 0，
16/145-
2
即x −4x = 1，
∴ 原式 = 2x 2 −6x−x 2 +2x−1+3
2
= x −4x+2 = 1+2 = 3，
故选：A．
5 【答案】由题意可知：x = 1，y = −2，
原式 = 5(x+2y)−(x−2xy)
= 5x+10y−x+2xy
= 4x+10y+2xy
= 4−20+2×1×(−2)
= −16−4
= −20
能力强化 / 初一 / 春季
第 2 讲 整式的乘除高阶
精选精练
1 【答案】 解：（2015−a) 2 +(2013−a) 2
2
= [(2015−a)−(2013−a)] +2(2015−a)(2013−a)
2
= 2 +2×2014 = 4032.
2 【答案】 1 1
( )2
2
解：a + = a+ −2 = 2，
2 a
a
1 ( 1 )
2
4 2
a + = a + −2 = 2，
4 2
a a
1
∵a+ = 2，
a
2
∴a +1 = 2a，
2
∴(a−1) = 0，
∴a = 1，
17/145-
1
2014
∴a + = 1+1 = 2．
2014
a
3 【答案】解：原式
2 2 2 2 2 2
= (x −4xy+4y +x −y −2x +8xy−6y )÷y
2
= (4xy−3y )÷y = 4x−3y，
∵ |x−3| +y 2 +4y+4 = 0，
2
即|x−3| +(y+2) = 0，
∴ x = 3，y = −2，
则原式 = 12+6 = 18．
4 【答案】 2 2
解：（1）(2a+1)(1−2a)−(3−2a) +9a
2 2 2
= 1−4a −(9−12a+4a )+9a
2
= a −8+12a = 14a−7，
2
整理得：a −2a−1 = 0，
1
∴ a− = 2，
a
1 1
2
∴ a 2 + = (a− ) +2 = 4+2 = 6；
2 a
a
2 4 2
a 5a +a +5
（2） 的倒数为 ，
4 2 2
5a +a +5 a
4 2
5a +a +5 5
∵ = 5a 2 + +1
2 2
a a
1
2
= 5(a + )+1 = 5×6+1 = 31，
2
a
2
a 1
∴ = ．
4 2 31
5a +a +5
5 【答案】 解： ∵ x 2 −2015x+1 = 0,
∴ x 2 −2014x = x−1,x 2 +1 = 2015x,
18/145-
2015 2015 1
∴ x 2 −2014x+ = x−1+ = x+ −1
2 2015x x
x +1
∵ 2015x = x 2 +1 > 0,
1
( )
∴ x 2 −2015x+1 ÷x = x+ −2015 = 0
x
1
∴ x+ = 2015,
x
2015 1
∴ x 2 -2014x+ = x+ −1 = 2014.
2 x
x +1
6 【答案】7
能力强化 / 初一 / 春季
第 3 讲 相交线平行线高阶
例题练习题答案
例1 【答案】C
练1.1 【答案】C
【解析】 2×(2−1)
∵平面内不同的两点确定1条直线，可表示为： = 1；
2
3×(3−1)
平面内不同的三点最多确定3条直线，可表示为： = 3；
2
4×(4−1)
平面内不同的四点最多确定6条直线，可表示为： = 6；以此类推，可得：
2
n(n−1) n(n−1)
平面内不同的n点最多可确定 (n ≥ 2)条直线．由已知可得： = 15．
2 2
解得n = −5（舍去）或n = 6．
故选：C．
例2
19/145-
(1)【答案】C
(2)【答案】B
【解析】邻补角有：∠AOC与∠AOD，∠AOD与∠BOD，∠BOD与∠BOC，∠BOE与∠AOE，
∠BOC与∠AOC，∠COE与∠DOE．所以共6对．
练2.1 【答案】A
例3 【答案】B
练3.1 【答案】3
例4 【答案】32；16；16
练4.1 【答案】4；2；4
【解析】内错角：∠1和∠4，∠2和∠5，∠6和∠1，∠5和∠7；
同位角：∠1和∠7，∠5和∠6；
同旁内角：∠1和∠5，∠3和∠4，∠3和∠2，∠4和∠2．
例5 【答案】已知
两直线平行，内错角相等
已知
等式的性质
∠GEB；等量代换
BF；内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
练5.1 【答案】角平分线定义
∠1 = ∠2
两直线平行，同位角相等
∠3
内错角相等，两直线平行
例6 【答案】CD⊥AB，理由如下：
∵∠1=∠ACB，
∴DE//BC，
∴∠2=∠DCB．
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠DCB，
∴CD//FH．
20/145-
∵FH⊥AB，
∴∠FHB=∠CDH=90°，
∴CD⊥AB．
【解析】根据同位角相等，两直线平行可得DE//BC ，再根据两直线平行，内错角相等可得
∠2 = ∠4，然后求出∠3 = ∠4，再根据同位角相等，两直线平行判断出CD//FH ，然后
求解即可．
练6.1 【答案】解：∠AED = ∠C．理由如下：
∵ ∠1+∠4 = 180∘，∠1+∠2 = 180∘
∴ ∠2 = ∠4
∴ AB//EF（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠3 = ∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠3 = ∠B
∴ ∠B = ∠ADE
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等）
能力强化 / 初一 / 春季
第 3 讲 相交线平行线高阶
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】D
4 【答案】C
【解析】解：与∠1互为同旁内角的是：∠CAB、∠2、∠EAB、共3个，
故选：C．
5 【答案】（1）交点个数：1、3、6；对顶角个数：2、6、12
n(n−1)
（2） ；n(n−1)
2
6 【答案】（1）6
21/145-
（2）12
（3）n(n−1)
【解析】三条直线相交，单个角组成的对顶角有3对，两个角合在一起看成一个角组成的对顶角有3
对，两种情况加在一起即可；
四条直线相交，单个角组成的对顶角有4对，两个角合在一起看成一个角组成的对顶角有4
对，三个角和在一起看成一个角组成的对顶角有4对，三种情况加在一起即可；
n条直线相交，单个角组成的对顶角有n对，两个角和在一起看成一个角组成的对顶角有n
对，…(n−1)个角合在一起看成一个角组成的对顶角有n对，(n−1)种情况加在一起即可．
7 【答案】B
8 【答案】对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；
AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】∵∠1 = ∠2（已知）
∠2 = ∠DGF （对顶角相等）
∴∠1 = ∠DGF（ 等量代换 ）
∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠C = 180∘ （两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠3 = ∠4（已知）
∴∠4+∠C = 180∘
∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A = ∠F （两直线平行，内错角相等）；
故答案为：对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角
互补；AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
9 【答案】证明：∵∠1+∠3 = 180∘，（已知）
∴BG//EF ，（同旁内角互补，两直线平行）
∵∠1 = ∠2，（已知）
∴AE//BC，（同位角相等，两直线平行）
∴∠EAC = ∠ACB，（两直线平行，内错角相等）
∵∠EAB = ∠BCD，（已知）
∴∠EAB−∠EAC = ∠BCD−∠ACB，（等式的性质）
即∠BAC = ∠ACD，
∴BG//CD，（内错角相等，两直线平行）
22/145-
∴EF//CD．（平行于同一直线的两直线平行）
10 【答案】BD∥CE．
理由：∵∠1=∠2
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）
∴∠D=∠DBE（两直线平行，内错角相等）
∵∠D=∠3
∴∠3=∠DBE（等量代换）
∴BD∥CE（内错角相等，两直线平行）
能力强化 / 初一 / 春季
第 3 讲 相交线平行线高阶
课堂落实答案
1 【答案】解：由图可知：
（1）与∠A是同位角的有∠1和∠3；
（2）与∠4是内错角的有∠1和∠3；
（3）与∠B是同旁内角的有∠1，∠A，∠BDE，∠BDF和∠C．
2 【答案】B
【解析】解：图中的对顶角有：∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC共2对．
故选：B．
3 【答案】16
【解析】分成基本图形计数．取两条平行线和剩下的任意一条线，有两组同旁内角（共2种）；两
条平行线只取其中一条，再取剩下两条线，有六组同旁内角（共2种）．
4 【答案】解：因为EF∥AD，
所以∠1=∠3，
因为∠1=∠2，
所以∠2=∠3，
所以AB∥DG，
所以∠BAC+∠AGD=180°，
因为∠AGD=108°，
所以∠BAC=72°．
23/145-
【解析】依据平行线的性质，即可得到∠1=∠3，结合∠1=∠2，即可得出∠2=∠3，进而得到
AB∥DG，依据平行线的性质，即可得到∠BAC的度数．
5 【答案】内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换．
【解析】因为∠A = ∠C（已知），
所以AB∥DC（内错角相等两直线平行），
所以∠ABD=∠CDB（两直线平行内错角相等），
因为BE平分∠ABD（已知），
1
所以∠1 = ∠ABD（角平分线的定义），
2
1
同理∠2 = ∠BDC．
2
所以∠1=∠2（等量代换）．
能力强化 / 初一 / 春季
第 3 讲 相交线平行线高阶
精选精练
1 【答案】解：一条直线把一个平面分成2部分，
两条直线可以把一个平面分成4部分，
三条直线可以把一个平面分成7部分，
四条直线可以把一个平面分成11部分，
…，
设a = 2，a = 4，a = 7，a = 11，…，
1 2 3 4
则a −a = 2，
2 1
a −a = 3，
3 2
a −a = 4，
4 3
a −a = 5，
5 4
…，
a −a = n，
n n−1
24/145-
n(n+1)
所以，a = 2+2+3+4+5+…+n = 1+1+2+3+4+5+…+n = +1，
n
2
n(n+1)
故，n条直线可以把一个平面分成 +1部分．
2
2 【答案】D
3 【答案】（3）12 （4）4050156 （5）n(n−1)
4 【答案】同位角共2对；
内错角共4对；
同旁内角共7对．
5 【答案】两直线平行，内错角相等；∠2 = ∠4；∠EFD；∠BEF；角平分线定义；∠BEF
6
(1)【答案】证明：∵BC∥OA，
∴∠C+∠COA = 180∘，∠BAO+∠ABC = 180∘，
∵∠C = ∠BAO = 100∘，
∴∠COA = ∠ABC = 80∘，
∴∠COA+∠OAB = 180∘，
∴OC∥AB．
【解析】只要证明∠COA+∠OAB = 180∘即可；
(2)【答案】Ⅰ）５°
Ⅱ）设∠EOF = x，则∠BOC = 6x，∠BOF = 3x，∠BOE = ∠AOB = 4x，
∵∠AOB+∠BOC+∠OCB = 180∘，
∴4x+6x+100∘ = 180∘，
∴x = 8∘，
∴∠ABO = ∠BOC = 6x = 48∘．
【解析】Ⅰ）∵∠AOB = ∠EOB = 30∘，∠AOC = 80∘，
∴∠COE = 80∘ −60∘ = 20∘，∠COB = 80∘ −30∘ = 50∘，
25/145-
∵CF平分∠COB，
1
∴∠COF = ∠COB = 25∘，
2
∴∠EOF = 25∘ −20∘ = 5∘．
能力强化 / 初一 / 春季
第 4 讲 平行线模型
例题练习题答案
例1 【答案】C
【解析】解：如图，过E作EF∥AB，
则AB∥EF∥CD，
∴∠1 = ∠3，∠2 = ∠4，
∵∠3+∠4 = 60∘，
∴∠1+∠2 = 60∘，
∵∠1 = 20∘，
∴∠2 = 40∘，
故选：C．
练1.1 【答案】B
例2 【答案】B
练2.1 【答案】C
例3 【答案】解：（1）∠2 = ∠1+∠3．
理由：过点E作EF//AB，
26/145-
∵ AB//CD，
∴ AB//CD//EF，
∴ ∠BEF = ∠1，∠CEF = ∠3，
∴ ∠2 = ∠BEF+∠CEF = ∠1+∠3 ；
（2）∠2+∠4 = ∠1+∠3+∠5．
理由：分别过点E，G，M，作EF//AB，GH//AB，MN//AB，
∵ AB//CD，
∴ AB//CD//EF//GH//MN，
∴ ∠1 = ∠BEF，∠FEG = ∠EGH，∠HGM = ∠GMN，∠CMN = ∠5，
∴ ∠2+∠4 = ∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN
= ∠1+∠EGH+∠MGH+∠5
= ∠1+∠3+∠5
（3）∠2+∠4+∠6 = ∠1+∠3+∠5+∠7．
理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF//AB，GH//AB，MN//AB，KL//AB，PQ//AB，
27/145-
∵ AB//CD，
∴ AB//CD//EF//GH//MN//KL//PQ，
∴ ∠1 = ∠BEF ， ∠FEG = ∠EGH ， ∠HGM = ∠GMN ， ∠KMN = ∠LKM ，
∠LKP = ∠KPQ，∠QPC = ∠7，
∴ ∠2+∠4+∠6 = ∠1+∠3+∠5+∠7．
结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．
练3.1 【答案】A
【解析】解：过E作EM∥AB，过F作FH∥AB，过G作GN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥GN∥CD∥FH，
∴∠B=∠BEM，∠FEM=∠HFE，∠HFG=∠FGN，∠D=∠NGD，
∴∠B+∠EFH+∠HFG+∠D=∠BEM+∠MEF+∠FGN+∠NGD，
∴∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠FGD，
故选：A．
例4 【答案】60∘
练4.1 【答案】C
例5 【答案】（1）180；360；540；720；
以图2为例：
过A 作A P//A M
2 2 1
∵ A N//A M
3 1
∴ A N//A P
3 2
∴ ∠1+∠A = 180∘；∠2+∠A = 180∘
1 3
∴ 三个角和为360∘
（2）180(n−1)．
练5.1 【答案】解：（1）∵AB∥CD，
28/145-
∴∠A+∠C = 180 ∘
（2）如图（2），过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE = 180 ∘ ，∠C+∠CPE = 180 ∘ ，
∴∠A+∠APC+∠C = 180 ∘ +180 ∘ = 360 ∘ ；
（3）如图（3），过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥CD∥FH，
∴∠A+∠AEG = 180 ∘ ，∠GEF+∠HFE = 180 ∘ ，∠HFC+∠C = 180 ∘ ，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C = 180 ∘ ×3 = 540 ∘ ．
例6 【答案】解：过C作CF//DE．
∵ CF//DE（作图）
AB//DE（已知）
∴ AB//DE//CF（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴ ∠BCF = ∠B = 80∘（两直线平行，内错角相等）
∠DCF+∠D = 180∘（两直线平行，同旁内角互补）
又 ∵ ∠D = 140∘（已知）
∴ ∠DCF = 40∘（等量代换）
又 ∵ ∠BCD = ∠BCF−∠DCF（角的和差定义）
∴ ∠BCD = 80∘ −40∘（等量代换）
即∠BCD = 40∘．
练6.1 【答案】（1）若∠E = 60∘，则∠F = 90∘；
（2）分别过点E，F作EM//AB，FN//AB
∴EM//AB//FN
∴∠B = ∠BEM = 30∘，∠MEF = ∠EFN
29/145-
又∵AB//CD，AB//FN
∴CD//FN
∴∠D+∠DFN = 180∘
又∵∠D = 120∘
∴∠DFN = 60∘
∴∠BEF = ∠MEF+30∘，∠EFD = ∠EFN+60∘
∴∠EFD = ∠MEF +60∘
∴∠EFD = ∠BEF+30∘
能力强化 / 初一 / 春季
第 4 讲 平行线模型
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE = ∠BEF，∠D = ∠FED ，
∴∠BED = ∠B+∠D = 23∘ +42∘ = 65∘ ．
故选：C．
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】解：如图2，过点P作直线c平行于直线a，
30/145-
∵ a//c（已知）
∴ ∠1 = ∠3
又 ∵ a//b（已知）
∴ c//b （平行于同一条直线的两条直线平行）
∴ ∠2 = ∠4，
∴ ∠1+∠2 = ∠3+∠4（等式性质）
而∠3+∠4 = ∠APB = 100∘ （已知）
∴ ∠1+∠2 = 100∘ （等量代换）
∵ ∠1 = 55∘
∴ ∠2 = 100∘ −55∘ = 45∘
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】D
8 【答案】B
9 【答案】C
10 【答案】解：（1）如图①，过点E作EF∥AB，
∵ AB//CD
∴AB∥CD∥EF
∴ ∠A = ∠AEF，∠C = ∠CEF
∴ ∠A+∠C = ∠AEC
（2）如图②，过点E作EF//AB
∵ AB//EF
∴ ∠A+∠AEF = 180∘①
∵ AB//CD
31/145-
∴ CD//EF
∴ ∠C+∠CEF = 180∘②
∴ ①+②得∠A+∠AEF+∠C+∠CEF = 360∘
∵ ∠AEF+∠CEF = ∠AEC
∴ ∠A+∠E+∠C = 360∘
（3）如图③，分别过点E、点F、点G作EH//AB//FM//GN
∵ EH//AB//FM//GN
∴ ∠A+∠AEH = 180∘①
∠HEF+∠NGF = ∠EFG = 28∘ ②
∠NGC+∠C = 180∘ ③
①+②+③得
∠A+∠AEH+∠HEF+∠NGF+∠NGC+∠C
=∠A+∠AEF+∠FGC+∠C
= 180∘ +28∘ +180∘ = 388∘
∴∠A+∠E+∠G+∠C=388∘
能力强化 / 初一 / 春季
第 4 讲 平行线模型
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】解：（1）当点M在线段EF左边时，∠EMF = ∠AEM+∠MFC．
证明：过点M作MP//AB．
∵ AB//CD，
∴ MP//CD．
32/145-
∴ ∠4 = ∠3．
∵ MP//AB，
∴ ∠1 = ∠2．
∵ ∠EMF = ∠2+∠3，
∴ ∠EMF = ∠1+∠4．
∴ ∠EMF = ∠AEM+∠MFC；
当点M在线段EF右边时，∠AEM+∠EMF+∠MFC = 360∘．
证明：过点M作MQ//AB．
∵ AB//CD，
∴ MQ//CD．
∴ ∠CFM+∠1 = 180∘；
∵ MQ//AB，
∴ ∠AEM+∠2 = 180∘．
∴ ∠CFM+∠1+∠AEM+∠2 = 360∘．
∵ ∠EMF = ∠1+∠2，
∴ ∠AEM+∠EMF+∠MFC = 360∘；
（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF−∠AEM−∠NFC = 180∘；
如图2第二个图：∠EMN−∠MNF+∠AEM+∠NFC = 180∘．
【解析】 （1）∠EMF = ∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC = 360 ∘ ．
过点M作MP//AB．
∵ AB//CD，
∴ MP//CD．
∴ ∠4 = ∠3．
33/145-
∵ MP//AB，
∴ ∠1 = ∠2．
∵ ∠EMF = ∠2+∠3，
∴ ∠EMF = ∠1+∠4．
∴ ∠EMF = ∠AEM+∠MFC；
过点M作MQ//AB．
∵ AB//CD，
∴ MQ//CD．
∴ ∠CFM+∠1 = 180 ∘ ；
∵ MQ//AB，
∴ ∠AEM+∠2 = 180 ∘ ．
∴ ∠CFM+∠1+∠AEM+∠2 = 360 ∘ ．
∵ ∠EMF = ∠1+∠2，
∴ ∠AEM+∠EMF+∠MFC = 360 ∘ ；
∘
（2）如图2第一个图：C = 180 ；
如图2第二个图：∠EMN−∠MNF+∠AEM+∠NFC = 180 ∘ ．
4 【答案】D
5 【答案】12∘
能力强化 / 初一 / 春季
第 4 讲 平行线模型
34/145-
精选精练
1 【答案】证明：如图，作EM∥AB，FN∥AB，则AB∥EM∥FN∥CD
∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠EFN=∠FEM
∵∠1 = ∠2
∴∠DFE=∠AEF
2 【答案】 （2）如图2所示，猜想：∠EGF = 90∘；
证明：由结论（1）得∠EGF = ∠BEG+∠GFD，
∵ EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴ ∠BEF = 2∠BEG，∠EFD = 2∠GFD，
∵ BE//CF，
∴ ∠BEF+∠EFD = 180∘，
∴ 2∠BEG+2∠GFD = 180∘，
∴ ∠BEG+∠GFD = 90∘，
∵ ∠EGF = ∠BEG+∠GFD，
∴ ∠EGF = 90∘；
（3）证明：如图3，过点G 作G H//AB，
1 1
35/145-
∵ AB//CD， ∴ G H//CD，
1
由结论（1）可得∠G = ∠1+∠3，∠EG F = ∠BEG +∠G FD，
2 1 1 1
∴ ∠3 = ∠G FD，
2
∵ FG 平分∠EFD，
2
∴ ∠4 = ∠G FD，
2
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠G = ∠2+∠4，
2
∵ ∠EG F = ∠BEG +∠G FD，
1 1 1
∴ ∠EG F+∠G = ∠2+∠4+∠BEG +∠G FD
1 2 1 1
= ∠BEF+∠EFD，
∵ AB//CD，
∴ ∠BEF+∠EFD = 180∘，
∴ ∠EG F+∠G = 180∘．
1 2
3 【答案】 （1） ∵EB//FC ，∴∠B+∠C = 180∘；
（2） 如图，过点A作AG//EB ，已知FC//EB ，∴AG//CF ，则∠BAG = ∠B ，
∠CAG = ∠C，
∴∠BAG+∠CAG = ∠B+∠C，即∠A = ∠B+∠C；
（3） 如图，过点A作AG//EB ，已知FC//EB ，∴AG//CF，
则∠B+∠BAG = 180∘，∠C+∠CAG = 180∘，
∴∠B+∠BAG+∠C+∠CAG = 180∘ +180∘，
即∠A+∠B+∠C = 360∘；
36/145-
（4） 如图，过点A作AG//EB ，已知FC//EB ，∴AG//CF ，则∠GAC = ∠C ，
∠GAB = ∠B，
又∵∠GAC = ∠BAC+∠GAB，∴∠C = ∠A+∠B；
（5） 如图，过点A作AG//CF ，已知FC//EB ，∴AG//BE ，则∠BAG = ∠B ，
∠CAG = ∠C，
又∵∠BAG = ∠BAC+∠CAG，∴∠B = ∠A+∠C
4 【答案】 （1）如图1，过B作BM//AD，则∠DAB+∠ABM = 180∘，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE = 360∘，
∴∠MBC+∠BCE = 180∘，∴BM//CE，∴BM//AD//CE；
（2）如图2，过B作BM//AD，过F作FN//AD，
∵已证AD//CE，
∴BM//FN//AD//CE，
∴∠FAH = ∠AFN，∠FCG = ∠CFN，∠BAH = ∠ABM，∠MBC = ∠GCB，
∴∠ABC = ∠ABM+∠CBM = ∠BAH+∠BCG，
∠AFC = ∠AFN+∠CFN = ∠FAH+∠FCG，
∵∠BCF = ∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，
1
∴∠FCG = 2∠BCG，∠AFN = ∠BAH，
2
1
∴∠AFC = 2∠BCG+ ∠BAH，
2
∴2∠ABC−∠AFC = 2(∠BCG+∠BAH)−
37/145-
1 3
(2∠BCG+ ∠BAH) = ∠BAH = 90∘
2 2
∴∠BAH = 60∘；
（3）②正确
证明：如图3，由（1）（2）证明可知∠APQ = ∠HAP+∠GQP，
∵QR平分∠PQG， PN平分∠APQ，PM//QR，
1 1
∴∠NPQ = ∠APQ，∠MPQ = ∠RQP = ∠PQG，
2 2
∴∠NPM = ∠NPQ−∠MPQ
1 1 1
= ∠APQ− ∠PQG = ∠HAP ，
2 2 2
∵点P是AB上一点，
∴∠HAP = ∠BAH = 60∘，
1
∴∠NPM = ∠BAH = 30∘，即②正确；
2
3
∴∠APQ+∠NPM = ∠BAH+∠PQG
2
= 90∘ +∠PQG ，值随∠PQG的变化而变化，即①不正确．
5 【答案】B
6 【答案】B
【解析】∵CD∥EF，
∴∠C+∠CEF=180°，
∴∠CEF=180°﹣y，
∵AB∥CD，
∴x=z+∠CEF，
∴x=z+180°﹣y，
38/145-
∴x+y﹣z=180°，
故选：B．
能力强化 / 初一 / 春季
第 5 讲 变量之间的关系
例题练习题答案
例1
(1)【答案】金额和数量，单价；
(2)【答案】r，S，π ．
练1.1
(1)【答案】B
(2)【答案】2，数量，销售额．
例2 【答案】C
【解析】 解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A正确；
∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，
∴选项B正确；
∵342×5＝1710(m)，
∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，
∴选项C错误；
∵324−318＝6(m/s），330−324＝6(m/s），336−330＝6(m/s），342−336＝6(m
/s），348−342＝6(m/s），
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，
∴选项D正确．
故选：C．
练2.1 【答案】（1）汽车行驶时间t，油箱剩余油量Q；
（2）Q = −6t+100；
（3）70升；
39/145-
（4）8；
（5）16.6．
例3 【答案】C
练3.1
(1)【答案】 1
y = ×6×(9−x) = −3x+27．
2
(2)【答案】
x(cm) 4 5 6 7
y(cm 2 ) 15 12 9 6
(3)【答案】 2
由表格看出当x每增加1cm时，y减少3cm ．
练3.2 【答案】解：解：（1）第一行一个白球，一个黑球，
第二行2个白球，3个黑球，
第三行3个白球，5个黑球，
所以可得第n行白球有n个，黑球有2n-1个．
由上而下第8行，白球有 8个，黑球有15个，
故答案为：8，15；
（2）若第n行白球与黑球的总数记作y，则y与n的关系式为y=n+2n-1=3n-1（n为正整
数），
故答案为：y=3n-1；
（3）把n=2016代入y=3n-1，得y=6047
所以第2016行白球和黑球的总数为6047个．
【解析】由图中数据，第一行一个白球，一个黑球，第二行2个白球，3个黑球，第三行3个白球，5
个黑球，
可得，第n行，白球有n个，黑球有2n-1个；白球和黑球的总和即n+2n-1=3n-1，其中n必
须是正整数．
例4 【答案】D
【解析】解： ∵ 乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，
∴ 排除C，
∵ 乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，
∴ 排除A，
40/145-
∵ 乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，
∴ 排除B，
∴ D正确．
故选：D．
练4.1 【答案】A
例5
(1)【答案】3，7；
(2)【答案】6时港口的水深为5m；
(3)【答案】0~3时和9~12时，水深在增加．
练5.1
(1)【答案】自变量是行驶时间t，因变量是摩托车离出发地的距离S；
(2)【答案】摩托车共行驶了240千米；
(3)【答案】摩托车在行驶过程中休息了0.5个小时；
(4)【答案】摩托车在整个行驶过程中，行驶的总时间是4.5小时，行驶的总路程是240千米，故平
160
均速度为240÷4.5 = （千米/小时）；
3
(5)【答案】摩托车以40千米/小时行驶了1.5小时，然后休息了0.5小时，再以60千米/小时行驶了
1小时到达目的地，最后以80千米/小时的速度返回．
练5.2
(1)【答案】8，4，6；
(2)【答案】∵AB = 6cm，CD = 4cm，
∴EF = 2cm，
2
∴图形的面积可以看作是两个长方形面积之和6×8+6×2 = 60cm ；
(3)【答案】 当点P到C时， △ ABP的面积为24 ( cm 2 ) ，
∴m = 24，
∵BC+CD+DE+EF+AF = 34(cm)，
41/145-
1
∴n = 34× = 17(s)；
2
(4)【答案】当点P在线段BC运动时，0 ≤ t ≤ 4，
1
S = ×6×2t = 6t，
2
当点P在线段DE运动时，6 ≤ t ≤ 9，
1
S = ×6×(2t−4) = 6t−12．
2
例6
(1)【答案】30，1.7；
(2)【答案】小明离家2.5小时后离开书城，继续坐公交车到和平公园；
(3)【答案】小明的妈妈驾车的平均速度为30÷(3.5−2.5) = 30km/h．
练6.1
(1)【答案】l ；
1
(2)【答案】小凡，10；
(3)【答案】小光，10；
(4)【答案】34；
(5)【答案】 60−30
小凡的平均速度为：5÷ = 10km/h，
60
50−10
小光的平均速度为：5÷ = 7.5km/h．
60
能力强化 / 初一 / 春季
第 5 讲 变量之间的关系
自我巩固答案
42/145-
1 【答案】C
【解析】解：一个底面直径是10厘米，高为36厘米的圆柱体锻压成底面直径为20厘米的圆柱体，
在这个过程中不改变的是圆柱的体积，圆柱的侧面积变化，底面积变化，高变化，
故选：C．
2 【答案】自变量是圆锥的高，因变量是圆锥的体积．
3
(1)【答案】t = −6h+20；
(2)【答案】t = −6×6+20 = −16∘C；
(3)【答案】15.5 = −6h+20，h = 0.75km，此山顶与地面的高度为0.75km．
4 【答案】 6
10
y =
n
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量；
故答案为每月的乘车人数x，每月的利润y；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以
上时，该公交车才不会亏损；
故答案为2000；
（3）由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利
润为3000元；
（4）由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月利润为5000元时，每月乘车人
数为4500人，
故答案为4500．
【解析】（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案；
（2）直接利用表中数据分析得出答案；
（3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
进而得出答案；
（4）由（3）得出当利润为5000元时乘客人数，即可得出答案．
43/145-
8 【答案】C
9 【答案】C
10
(1)【答案】20；
(2)【答案】3800；
(3)【答案】 2800
小明休息前爬山的平均速度是 = 70米/分，
40
3800−2800 1000
休息后爬山的平均速度是 = = 25米/分．
100−60 40
能力强化 / 初一 / 春季
第 5 讲 变量之间的关系
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】冰层厚度；所能承受的压力．
4 【答案】 y
x =
2
5 【答案】C
能力强化 / 初一 / 春季
第 5 讲 变量之间的关系
精选精练
1 【答案】8，年份，分枝数．
2 【答案】50
3
44/145-
(1)【答案】上表反映了时间与速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量；
(2)【答案】如果用T表示时间，V表示速度，那么V随着T的增大而增大；
(3)【答案】当T每增加1秒，V的变化情况不相同，在第9秒时，V的增加最大；
(4)【答案】 120×1000
120千米/小时为 ≈ 33.3m/s，
3600
33.3−28.9 = 4.4，
28.9−24.2 = 4.7＞4.4，
∴估计大约还有1秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限．
4
(1)【答案】由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为50L，行驶100km时，油箱剩余油量为：
50−10×0.8 = 42(L)，
故答案是：50；42；
(2)【答案】由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶10km，油量减少0.8L，据此可得w与s
的关系式为w = 50−0.08s；
故答案是：w = 50−0.08s；
(3)【答案】令w = 26，得s = 300．
答：A，B两地之间的距离为300km．
5 【答案】89
7
6
(1)【答案】由图象可知，小亮出发10分钟后到达图书馆；
(2)【答案】 1200−800 400 80
小亮查完资料后步行的速度是 = = 米/分；
55−40 15 3
(3)【答案】小亮10:00离开图书馆，35分钟后回到家，所以小亮10：35回到家．
能力强化 / 初一 / 春季
45/145-
第 6 讲 三角形的角与边
例题练习题答案
例1 【答案】解：设∠A = 2x，则∠C = ∠ABC = 3x，
由三角形内角和定理可得，∠A+∠C+∠ABC = 8x = 180∘，
解得x = 22.5∘，
∴∠C = 3x = 67.5∘，
又∵BD是边AC上的高，
∴∠DBC = 90∘ −∠C = 22.5∘．
练1.1 【答案】105∘
例2 【答案】解：
（1）∠BEF = ∠A+∠C = 65∘；
（2）∠DFE = ∠B+∠BEF = 110∘．
练2.1
(1)【答案】360∘
(2)【答案】D
例3 【答案】解：∵∠1 = ∠2，
∴∠4 = ∠1+∠2 = 2∠1，
又∵∠3 = ∠4，
∴∠3 = 2∠1，
∴∠BAC = 180∘ −∠1−2∠1 = 66∘，
∴∠1 = 38∘，
∴∠DAC = 66∘ −∠1 = 28∘．
【解析】根据三角形的外角的性质得到∠4 = ∠1+∠2 ，根据三角形内角和定理计算即可．
练3.1 【答案】36∘
例4
(1)【答案】证明：∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠A+∠AOD = 90∘，∠C+∠COE = 90∘．
又∵∠AOD = ∠COE，
46/145-
∴∠A = ∠C．
同理可得，∠A+∠AOD = ∠A+∠B = 90∘
∴∠AOD = ∠B．
(2)【答案】55∘
练4.1
(1)【答案】解：设线段AD与线段CE的交点为O．
∵CE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠A+∠AOE = 90∘，∠C+∠COD = 90∘．
又∵∠AOE = ∠COD，
∴∠C = ∠A = 30∘．
(2)【答案】A
例5
(1)【答案】D
【解析】解：根据三角形的三边关系，得
A、4+3＜8，不能组成三角形；
B、5+5＜11，不能组成三角形；
C、6+5＜12，不能组成三角形；
D、4+6＞8，能组成三角形．
故选：D．
(2)【答案】B
(3)【答案】15或18
练5.1
(1)【答案】D
(2)【答案】D
(3)【答案】6cm或8cm
例6 【答案】−a+b+c
【解析】∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
47/145-
∴必须满足两边之和大于第三边，则a−b−c < 0，b−c−a < 0，c+a−b > 0
即：
|a−b−c|+|b−c−a|−|a+c−b|
= −a+b+c−b+c+a−a−c+b
= −a+b+c
练6.1 【答案】A
【解析】解：|a+b+c|−|a−b−c|−|a−b+c|−|a+b−c|
=(a+b+c)−(b+c−a)−(a−b+c)−(a+b−c)
=a+b+c−b−c+a−a+b−c−a−b+c
=0
故选A
能力强化 / 初一 / 春季
第 6 讲 三角形的角与边
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】B
【解析】A、三角形的三个外角中最多有1个锐角，故本选项错误；
B、三角形的三个外角中至少有2个钝角，故本选项正确；
C、不一定，例如等边三角形，故本选项错误；
D、不一定，例如钝角三角形，故本选项错误．
故选：B．
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】 解：设∠B = x，则∠A = 2x+70∘．
∵∠C = 20∘，
由三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠C = 3x+90∘ = 180∘，
解得x = 30∘，
∴∠A = 130∘，∠B = 30∘．
48/145-
6 【答案】 解:（1）∵∠A = 28∘，∠BFC = 92∘，
∠BFC = ∠FEB+∠B
= ∠A+∠C+∠B = ∠A+2∠B，
∠BFC−∠A
∴∠B = = 32∘；
2
（2）∠BDC = ∠A+∠B = 60∘．
7 【答案】B
【解析】解：A、3+2 < 6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、4+5 > 6，能组成三角形，故此选项正确；
C、4+2 = 6，不能组成三角形，故此选项错误；
D、5+3 < 9，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
8 【答案】C
9 【答案】C
10 【答案】解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a−b−c < 0，b−c−a < 0，a+b−c > 0
∴|a−b−c|−2|b−c−a|+|a+b−c|
= −(a−b−c)+2(b−c−a)+(a+b−c)
= −a+b+c+2b−2c−2a+a+b−c
= −2a+4b−2c．
能力强化 / 初一 / 春季
第 6 讲 三角形的角与边
课堂落实答案
1 【答案】A
【解析】解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°．
故选：A．
2 【答案】C
3 【答案】 解：∵∠ADE = 50∘，∠B = 35∘，
49/145-
∴∠F = ∠ADE−∠B = 15∘．
又∵∠ACF = 115∘，
∴∠CED = ∠ACF+∠F = 130∘．
4 【答案】C
5 【答案】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a−b+c > 0，c−a−b < 0，a+b+c > 0
∴原式 = a−b+c+a+b−c−a−b−c = a−b−c．
能力强化 / 初一 / 春季
第 6 讲 三角形的角与边
精选精练
1 【答案】B
【解析】∵CE平分∠ACD，
∴∠1 = ∠ECF，
∵FG//CE，
∴∠F = ∠ECF = ∠1，
∵∠FCD = ∠3+∠BAC，∠BAC = ∠2+∠F，
∴∠FCD = ∠3+∠2+∠F，
∴∠1+∠ECF = ∠3+∠2+∠F，
∴∠2+∠3 = ∠1，
又∵∠1 = 70∘，∠2 = 30∘，
∴∠3 = 70∘ −30∘ = 40∘，
故选：B．
2 【答案】①③④
3 【答案】解：（1）∠BAC = ∠DEF．
理由：在△ACE中，∠DEF = ∠3+∠CAE，
∵∠1 = ∠3，
∴∠DEF = ∠1+∠CAE = ∠BAC；
（2）在△BCF中，∠DFE = ∠2+∠BCF
50/145-
∵∠2 = ∠3，
∴∠DFE = ∠3+∠BCF = ∠ACB，
∵∠BAC = 70∘，∠DFE = ∠ACB = 50∘，
∴在△ABC中，∠ABC = 180∘ −∠BAC−∠ACB = 60∘．
4 【答案】A
【解析】解：能构成三角形的只有2、3、4这一种情况．故选A．
5 【答案】B
【解析】解：设三角形第三边的长为a，
∵三角形的两边长分别为2cm和7cm，
∴7−2 < a < 7+2，即5 < a < 9，
∵周长为偶数，
∴a = 7cm，
∴这个三角形是等腰三角形，
故选：B．
6
(1)【答案】 2x+6
解：设底边长为x，则腰长为 ，
3
2x+6
由题意得，x+2× =18，
3
解得x = 6，
∴这个三角形的各边长分别为6，6，6；
(2)【答案】解： ∵ a，b，c为△ABC的三边长，
∴a−b+c > 0，c−a−b < 0，a+b+c > 0.
∴|a−b+c|−2|c−a−b|+3|a+b+c|
= (a−b+c)+2(c−a−b)+3(a+b+c)
= a−b+c+2c−2a−2b+3a+3b+3c
= 2a+6c．
能力强化 / 初一 / 春季
51/145-
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】A
2 【答案】C
【解析】设第三边的长为xcm，根据三角形的三边关系得：
7−4 < x < 7+4 ，
即3 < x < 11，
故选：C．
3 【答案】B
4 【答案】B
【解析】 解：∵AB//CD，
∴∠B=∠1，
∵∠1=∠D+∠E，
∴∠D=∠B﹣∠E=75°﹣27°=48°，
故选：B ．
5 【答案】B
6 【答案】D
【解析】过点E作EG//AB，过点F作FH//CD，
∵ AB//CD，
∴ AB//CD//EG//FH，
∴ ∠1 = ∠AEG，
∴ ∠GEF = ∠2−∠1，
∵ EG//FH，
∴ ∠EFH = 180 ∘ −∠GEF = 180 ∘ −(∠2−∠1) = 180 ∘ −∠2+∠1，
∴ ∠CFH = ∠3−∠EFH = ∠3−(180 ∘ −∠2+∠1) = ∠3+∠2−∠1−180 ∘ ，
∵ FH//CD，
52/145-
∴ ∠4 = ∠3+∠2−∠1−180 ∘ ，
故选：D．
7 【答案】B
【解析】解：如图，
∵∠1 = 64∘，∠2 = 64∘，
∴∠1 = ∠2，
∴AB//CD，
∴∠3+∠5 = 180∘，
∵∠3 = 110∘，
∴∠5 = 70∘，
∴∠4 = ∠5 = 70∘．
8 【答案】C
【解析】当点R运动到PQ上时， △ MNR 的面积y达到最大，且保持一段时间不变；
到Q点以后，面积y 开始减小；
故当x = 9时，点R应运动到Q处．
故选：C．
9 【答案】C
【解析】一个底面直径是10厘米，高为36厘米的圆柱体锻压成底面直径为20厘米的圆柱体，在这
个过程中不改变的是圆柱的体积，圆柱的侧面积变化，底面积变化，高变化，
故选：C
10 【答案】D
【解析】∵PA、PB、AB能构成三角形，
∴PA−PB < AB < PA+PB，即4m < AB < 28m．
53/145-
故选：D．
11 【答案】4
12 【答案】4
13 【答案】110°
【解析】如图，∵长方形纸片ABCD沿EF对折，
∴∠2 = ∠3，
∵∠2+∠3+∠1 = 180∘，
1
∴∠2 = × ( 180∘ −40∘) = 70∘,
2
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠2 = 180∘，
∴∠AEF = 180∘ −70∘ = 110∘．
故答案为110°．
14 【答案】±6
15 【答案】270∘
【解析】如图，
连接AB，
∵ EF//MN，
∴ ∠FAB+∠ABN = 180∘，
∵ ∠C = 90∘，
∴ ∠CAB+∠CBA = 180∘ −90∘ = 90∘，
即∠1+∠2 = 180∘ +90∘ = 270∘．
54/145-
16 【答案】240
17 【答案】16或17.
18 【答案】依题意得第n个“山”字的棋子个数为5n+2个．
【解析】由题目得，第1个“山”字中的棋子个数是7；第2个“山”字中的棋子个数是12；第3个
“山”字中的棋子个数是17；第4个“山”字中的棋子个数是22；进一步发现规律：第n
个“山”字中的棋子个数是5n+2．
19 【答案】 3 ( 2 )2
解：（1）2x y⋅(−2xy)+ −2x y
4 2 4 2
＝−4x y +4x y
＝0；
( ) ( )
3 3 4 2
（2）3b b−2a − 9ab +12a b ÷(3ab)
2 3 2 3
＝3b −6a b−3b −4a b
3
＝−10a b；
2
（3）(2x−3y) −(y+3x)(x−3y)
2 2 2 2
＝4x −12xy+9y −xy+3y −3x +9xy
2 2
＝x −4xy+12y ；
2
（4）2017×2019−2018
2
＝(2018−1)(2018+1)−2018
2 2
＝2018 −1−2018
＝−1；
（5）(5m+6n+p)(5m−6n+p)
＝[(5m+p)+6n][(5m+p)−6n]
2 2
＝(5m+p) −36n
2 2 2
＝25m +10mp+p −36n ．
20 【答案】 ( 2 )
解：(x−2) x +ax+b
3 2 2
＝x +ax +bx−2x −2ax−2b
3 2
＝x +(a−2)x +(b−2a)x−2b ，
( )
∵(x−2) x 2 +ax+b 的积中不含x的二次项和一次项，
∴a−2＝0且b−2a＝0，
55/145-
解得：a＝2、b＝4，
(2a+b+1)(2a−b−1)−(a+2b)(−2b+a)+2b
( )
2 2 2 2
＝(2a) −(b+1) − a −4b +2b
2 2 2 2
＝4a −b −2b−1−a +4b +2b
2 2
＝3a +3b −1，
当a＝2、b＝4时，
2 2
原式＝3×2 +3×4 −1
＝12+48−1
＝59．
【解析】原式利用多项式乘多项式法则计算，由积中不含x的二次项和一次项，求出a与b的值，再
根据整式的混合运算顺序和法则化简待求整式，把a、b的值代入计算可得．
21
(1)【答案】BF//DE，理由如下：
∵∠AGF = ∠ABC，
∴GF//BC，
∴∠1 = ∠3，
∵∠1+∠2 = 180∘，
∴∠3+∠2 = 180∘，
∴BF//DE；
【解析】由于∠AGF = ∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1 = ∠3，由∠1+∠2 = 180∘ 得出
∠3+∠2 = 180∘判断出BF∥DE；
(2)【答案】∵BF//DE，BF⊥AC，
∴DE⊥AC，
∵∠1+∠2 = 180∘，∠2 = 150∘，
∴∠1 = 30∘，
∴∠AFG = 90∘ −30∘ = 60∘．
【解析】由BF//DE，BF⊥AC得到DE⊥AC，由∠2 = 150∘得出∠1 = 30∘，得出∠AFG的度数
22 【答案】（1）y = 3x+22；
（2）55；
56/145-
（3）不可能．
23
(1)【答案】过点E作EM∥CD，
过点F作FN∥AB．
则∠ECD = ∠CEM，∠ABF = ∠BFN．
∵∠BFE = ∠FEC，∠ABF = ∠DCE
∴∠EFN = ∠FEM
∴EM∥FN
∴AB//CD
(2)【答案】如图，过点B作CD的平行线
∵CD//EF
∴MN∥EF
∴∠1 = ∠BMG，∠2 = ∠CBN
∵∠1+∠2 = ∠ABC
∴∠BMG = ∠ABN
∴AB//GF
24 【答案】 解：因为在△ABC中，∠ABC = ∠C，∠A = 36∘，
180∘ −36∘
由三角形内角和为180 0 ，可得∠ABC = ∠C = = 72∘，
2
因为线段BD为△ABC的角平分线，
57/145-
72∘
所以∠ABD = ∠DBC = = 36∘，
2
在 △ ABD 中 ， 由 三 角 形 内 角 和 为 180∘ ， 可 得
∠ADB = 180∘ −∠A−∠ABD = 180∘ −36∘ −36∘ = 108∘，
因为线段BE为△ABC的高线，
所以∠BEC = 90∘，
在 △ BEC 中 ， 由 三 角 形 内 角 和 为 180∘ ， 可 得
∠EBC = 180∘ −∠C−∠BEC = 180∘ −72∘ −90∘ = 18∘，
所以∠DBE = ∠DBC−∠EBC = 36∘ −18∘ = 18∘．
25
(1)【答案】证明：∵H在直线EF上，
∴∠1+∠5 = 180∘，
∵∠1+∠2 = 180∘，
∴∠2 = ∠5，
∴DH//EC ；
【解析】根据平行线的判定证明即可；
(2)【答案】延长DH交FC于点G，
由（1）可得DH//EC，∴∠C = ∠6，
∵∠3 = ∠C，∴∠3 = ∠6，∴DE//BC ，
∴∠EFC = ∠4 = 32∘．
【解析】延长DH交FC于点G，利用平行线的性质解答即可．
26 【答案】解：（1）上述结论不成立．
过点P作PE∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，
又∵AB∥CD，∴PE∥CD，
∴∠D+∠EPD=180°，
∴∠B+∠BPE+∠D+∠EPD=360°，
58/145-
即∠B+∠BPD+∠D=360°．
（2）∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD，
连接QP并延长至E，
∵∠BPE是△BPQ的一个外角，
∴∠BPE=∠BQP+∠B．
同理:∠EPD=∠DQP+∠PDQ．
∴∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ．
即:∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD．
（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
能力强化 / 初一 / 春季
第 8 讲 角度计算模型1
例题练习题答案
例1 【答案】B
练1.1
(1)【答案】65
(2)【答案】 ( 230)
65； 180−
n
2
例2
(1)【答案】D
(2)【答案】360
【解析】提示，利用三角形内角和即可．
练2.1
59/145-
(1)【答案】10°
(2)【答案】D
例3
(1)【答案】连结AO并延长，利用三角形的外角等于不相邻的二个内角和即可证明．
(2)【答案】D
【解析】连结，BC，利用八字形把∠D和∠E
之和转化到△ABC之中，可得
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E = 180∘．
练3.1 【答案】540
【解析】把∠A，∠D，∠G三个角看成燕尾型，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
的和即可转化为5边形内角和．
例4 【答案】解: ∵ DE//BC,
∴ ∠C = ∠ADE,∠AED = ∠ABC,∠EDB = ∠CBD,
又 ∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠CBD = ∠ABD = ∠EDB,
设∠CBD = α,则∠AED = 2α.
∵ ∠A+∠AED+∠ADE = 180 ∘ ,∠ADE+∠EDB+∠BDC = 180 ∘ ,
∴ ∠A+∠AED = ∠EDB+∠BDC,即50 ∘ +2α = α+75 ∘ ,
∘
解得:α = 25 .
又 ∵ ∠BED+∠AED = 180 ∘ ,
∴ ∠BED = 180 ∘ −∠AED = 180 ∘ −25 ∘ ×2 = 130 ∘ .
练4.1 【答案】A
例5
(1)【答案】 解: ∵ ∠B = 30 ∘ ,∠C = 70 ∘ ,
∴ ∠BAC = 180 ∘ −30 ∘ −70 ∘ = 80 ∘ ,
∵ AE平分∠BAC,
∴ ∠BAE = ∠CAE = 80 ∘ ÷2 = 40 ∘ ,
60/145-
∵ ∠AED = ∠B+∠BAE = 30 ∘ +40 ∘ = 70 ∘ ,
∴ ∠DAE = 90 ∘ −70 ∘ = 20 ∘ .
(2)【答案】 β−α
根据第（1）问的结果，猜想∠DAE与α,β间的等量关系为：∠DAE = ,
2
证明： ∵ ∠B = α,∠C = β,
∴ ∠BAC = 180 ∘ −α−β，
∵ AE平分∠BAC，
( )
∴ ∠BAE = ∠CAE = 180 ∘ −α−β ÷2
α+β
∘
= 90 −
2
α+β
( )
∵ ∠AED = ∠B+∠BAE = α+ 90 ∘ −
2
α−β
∘
= 90 +
2
α−β β−α
( )
∴ ∠DAE = 90 ∘ − 90 ∘ + = .
2 2
练5.1
(1)【答案】解：（1）∵∠B=40°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=60°
∵AE平分∠BAC，
1
∴∠CAE= ∠BAC=30°
2
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=80°，
∴∠CAD=90°−∠C=10°，
∴∠EAD=∠CAE−∠CAD=30°−10°=20°；
(2)【答案】（2）①∵三角形的内角和等于180°，
61/145-
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−x−y，
∵AE平分∠BAC，
1 1
∴∠CAE= ∠BAC= （180°−x−y），
2 2
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°−y，
1 1 1
∴∠EAD=∠CAE−∠CAD= （180°−x−y）−（90°−y）= y− x；
2 2 2
②过A作AD⊥BC于D，
∵三角形的内角和等于180°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C，
∵AE平分∠BAC，
1 1
∴∠CAE= ∠BAC= (180∘ −x−y)，
2 2
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°−y，
1 1 1
∴∠EAD=∠CAE−∠CAD= (180∘ −x−y)−(90∘ −y)= y− x
2 2 2
∵AD⊥BC，FM⊥BC，
∴AD//FM，
∴∠EFM=∠EAD，
1 1
∴∠EFM= y− x．
2 2
62/145-
能力强化 / 初一 / 春季
第 8 讲 角度计算模型1
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】C
5 【答案】C
【解析】解：∵∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，
∵AD平分∠BAC，
1 1
∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°，
2 2
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD=40°．
故选：C．
6 【答案】证明：∵CD⊥AB，AE⊥BC
∴∠B+∠C = 180∘ −∠BDC = 90∘,
∠B+∠A = 180∘ −∠BEC = 90∘
∠AOD+∠A = 180∘ −∠ADC = 90∘
∴∠B+∠C = ∠B+∠A，
∠AOD+∠A = ∠B+∠A
∴∠A = ∠C，∠AOD = ∠B
7 【答案】（1）证明：∵DF∥AC
∴ ∠FDA = ∠DAC
又∵AD平分∠BAC
∴ ∠BAD = ∠DAC
∴ ∠FDA = ∠DAE = ∠FAD
63/145-
∴ AF = FD,即△AFD为等腰三角形
（2）过D作DH⊥AB于H，
则在直角三角形DHF中，
∵∠BAC = 30∘，且由（1）知△AFD为等腰三角形
∴∠DFH = 2∠BAD
1
= 2× ×30∘ = 30∘
2
1
∴DH = DF
2
∴由角平分线的性质，
1
DE = DH = DF = 5cm．
2
8 【答案】B
【解析】 1 1
解：由题意可得∠DAE = ∠BAC−∠CAE = ∠BAC− ( 90∘ −∠C ) ，
2 2
在 △ ABC中，∠BAC+∠B+∠C = 180∘，
1
∴∠DAE = ∠BAC−∠CAE
2
1
= ∠BAC−90∘ +180∘ −∠BAC−∠B
2
1
= 90∘ − ∠BAC−∠B
2
又∵∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，
1 1
∴∠DAE = ∠B = 90∘ − ⋅2∠B−∠B，
2 2
64/145-
1
即90∘ −2∠B = ∠B，
2
解得∠B=36°．
∴∠BAC=2∠B=72°，
∴∠ACB=180°-36°-72°=72°．
故选：B．
9 【答案】解：在△ABC中，
∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=35°．
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴在△ABD中，∠BAD=90°-∠B=25°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．
【解析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=70°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=35°，
再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=25°，所以∠DAE=∠BAE-
∠BAD=10°．
10 【答案】解：（1）在△DBC中，
∵∠DBC+∠DCB+∠D = 180∘，
而∠D＝90∘，
∴∠DBC+∠DCB＝90∘；
故答案为：90°；
（2）在△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A = 180∘，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC = 180∘，
而∠DBC+∠DCB = 90∘，
∴∠ABD+∠ACD = 90∘ −∠BAC，
∴∠ABD+∠BAC = 90∘ −∠ACD = 70∘．
又∵MN//DE，
∴∠ABD = ∠BAN．
而∠BAN+∠BAC+∠CAM = 180∘，
65/145-
∴∠ABD+∠BAC+∠CAM = 180∘，
∴ ∠CAM = 180∘ −(∠ABD+∠BAC) = 110∘．
能力强化 / 初一 / 春季
第 8 讲 角度计算模型1
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】B
3 【答案】A
【解析】∵ΔABC中，∠C = 50∘，
∴∠A+∠B = 180∘ −∠C = 130∘，
∵∠A+∠B+∠1+∠2 = 360∘，
∴∠1+∠2 = 360∘ −130∘ = 230∘．
4 【答案】30∘，100∘，80∘
【解析】 解：∵∠1与150∘的角互补，
∴∠1 = 180∘ −150∘ = 30∘；
又∵150∘ = 50∘ +∠2，∠3 = 50∘ +∠1(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和)，
∴∠2 = 100∘，∠3 = 80∘．
所以∠1 = 30∘，∠2 = 100∘，∠3 = 80∘．
5 【答案】B
【解析】∵AB∥CD
∴∠EFB=∠C=75°（两直线平行，同位角相等）
又∵∠A=35°
∴∠E=∠EFB-∠A=75°-35°=40°（三角形外角定理）
故选B.
能力强化 / 初一 / 春季
66/145-
第 8 讲 角度计算模型1
精选精练
1
(1)【答案】D
【解析】∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为360∘ ÷20∘ = 18，
则一共走了18×10 = 180米．
故答案为：180
(2)【答案】B
【解析】 设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得：（n−2）180∘ = 2340∘，解得n = 15
，
∵一个多边形截去一个角后所形成的新的多边形是15边形（截线不经过顶点），
∴原多边形的边数是：14．
(3)【答案】230∘
【解析】∠1+∠2 = 360∘ −∠AED+∠ADE
= 360∘ − ( 180∘ −∠A ) =230∘．
2 【答案】B
【解析】 ∵ 四边形的内角和为360∘，直角三角形中两个锐角和为90∘，
∴ ∠1+∠2 = 360∘ −(∠A+∠B) = 360∘ −90∘ = 270∘．
故选：B．
3 【答案】C
4 【答案】（1）平行，
1 1
∠ABC+∠AME = 180∘， ∠ABC+ ∠AME = 90∘，
2 2
∴∠ABD+∠AMF = 90∘
又∠AFM+∠AMF = 90∘，
∴∠AFM = ∠ABD，(同位角相等，两直线平行即可)．
67/145-
∴ BD//MF
（2）垂直，
延长MF交BD于点H，
根据8字型，∠ABC = ∠AME，
∴∠ABD = ∠AMF，
∵∠ABD+∠ADB = 90∘，
∴∠AMF+∠ADB = 90∘．
∴ BD⊥MF.
（3）垂直，
延长BD交MF于点H，
根据8字型，∠ABC = ∠CME，
∴∠ABD = ∠AMF，
∵∠AMF+∠F = 90∘，
∴∠ABD+∠F = 90∘．倒角即可．
∴ BD⊥MF.
5 【答案】（1）∵CM⊥AM，∠DCM = α，
∴∠CDM = ∠ADB = ∠B = 90 ∘ −α，
( )
∴∠BAD = 180 ∘ −2∠ABD = 180 ∘ −2 90 ∘ −α = 2α
（2）证明：延长AM到F使MF = AM，连接CF，则有AC = CF
68/145-
∵AD平分∠CAB
∴∠CAF = ∠BAF = ∠F
∴CF//AB
∴∠FCD = ∠ABD = ∠ADB = ∠CDF
∴DF = CF
∵AD+DF = 2MA
∴AB+AC = 2MA
6 【答案】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC = 90∘，
在△ADC中，
∠DAC = 180∘ −∠ADC−∠C = 20∘，
在△ABC中，
∠BAC = 180∘ −∠ABC−∠C = 50∘，
∵AE和BF分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠EAC = 25∘，∠FBC = 30∘，
∴∠AFO = ∠C+∠FBC = 100∘，
∠AOF = 180∘ −100∘ −25∘ = 55∘．
【解析】解：∵AD 是ΔABC 的高
∴∠ADC = 90∘ ，
∴在ΔADC 中，∠DAC = 180∘ −∠ADC−∠C
= 180∘ −90∘ −70∘
= 20∘
在ΔABC 中，∵∠ABC = 60∘ ，∠C = 70∘ ，
69/145-
∴∠BAC = 180∘ −∠ABC−∠C = 50∘ ，
∵AE 是角平分线
1
∴∠EAC = ∠BAC = 25∘ ，
2
∵BF 是∠ABC 的平分线，∠ABC = 60∘ ，
1
∴∠FBC = ∠ABC = 30∘,
2
又∵∠C = 70∘ ，
∴∠AFO = 100∘
∴∠AOF = 180∘ −100∘ −25∘ = 55∘
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 角度计算模型2
例题练习题答案
例1
(1)【答案】C
【解析】 ∵∠A = 60∘，
∴∠ABC+∠ACB = 180∘ −∠A = 120∘，
∵BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线，
1 1
∴∠OBC = ∠ABC，∠OCB = ∠ACB，
2 2
1
∴∠OBC+∠OCB = (∠ABC+∠ACB) = 60∘，
2
∴∠BOC = 180∘ −(∠OBC+∠OCB) = 180∘ −60∘ = 120∘，
∴∠DOE = 120∘．
(2)【答案】 1
①∠BG C = 90∘ + ∠A，
1
2
70/145-
2
②∠BG C = 60∘ + ∠A，
2
3
180∘ n−1
③∠BG C = + ∠A
n−1
n n
练1.1
(1)【答案】125
【解析】解：（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°，
∵OB、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°，
2
∴∠O=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=125°；
故答案为：125°．
(2)【答案】 1
∠BOC=120°+ α
3
【解析】如图2，在△OBC中，
∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
1
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
3
1
=180°﹣ （180°﹣∠A）
3
1
=120°+ ∠A
3
1
=120°+ α．
3
例2
71/145-
(1)【答案】理由如下：因为BA 、CA 平分∠A BC和∠A CM（已知），
2 2 1 1
所以∠A BC=2∠1，∠A CM=2∠2（角平分线的意义）．
1 1
因为∠A CM=∠A BC+∠A ，∠2=∠1+∠A ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的
1 1 1 2
1
两个内角的和），所以∠A = ∠A ，
2 1
2
因为∠A =68°，所以∠A =34°，
1 2
故答案为：34°.
(2)【答案】∠A =17°．
3
(3)【答案】 θ
∠A =
n
n−1
2
练2.1
(1)【答案】∵OP、CP分别是∠AOE和∠ACE的角平分线，
∴∠ACE = 2∠PCE，∠AOE = 2∠POE，
1
∴∠PCE−∠POE = (∠ACE−∠AOE)，
2
∵∠A = ∠ACE−∠AOE，∠P = ∠PCE−∠POE，
∴∠A = 2∠P．
∵∠OAC = 45∘
∴∠P = 22.5∘
72/145-
(2)【答案】 1 1
∵∠POC = ∠AOC，∠PCE = ∠ACE，
n n
且∠P+∠POC = ∠PCE，
1 1
∴ ∠P = ∠PCE−∠POC = ∠ACE− ∠AOC
n n
1 1 45
= (∠ACE−∠AOC) = ∠A = ( )∘
n n n
例3 【答案】180
练3.1
(1)【答案】A
(2)【答案】120
60
例4
(1)【答案】∵∠DBC = ∠A+∠ACB，∠BCE = ∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE = 180∘ +∠A = 220∘，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
1
∴∠CBP+∠BCP = (∠DBC+∠BCE) = 110∘，
2
∴∠BPC = 180∘ −110∘ = 70∘，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
1 1
∴∠QBC = ∠PBC，∠QCB = ∠PCB，
2 2
∴∠QBC+∠QCB = 55∘，
∴∠BQC = 180∘ −55∘ = 125∘；
73/145-
【解析】根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得
∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出
1 1
∠QBC = ∠PBC，∠QCB = ∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内
2 2
角和定理求出即可；
(2)【答案】∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB = 180∘，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC =α ，
3
∴ (∠DBC+∠BCE) = 180∘，
4
3
即 ( 180∘ +α ) = 180∘，
4
解得α = 60∘ ；
【解析】 根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB = 180∘，依此求解即可；
(3)【答案】 ∵α = 120∘
3
∴ ∠MBC+∠NCB = (∠DBC+∠BCE)
4
3
= ( 180∘ +α ) = 225∘
4
∴∠BOC = 225∘ −180∘ = 45∘
【解析】根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到
∠BOC的度数；
练4.1
(1)【答案】 证明： ∵ ∠FBC+∠ECB = 180∘ +∠A ，
1 1 1
∴ ∠FBC+ ∠ECB = 90∘ + ∠A ，
2 2 2
1 1
∵ ∠P+ ∠FBC+ ∠ECB = 180∘ ，
2 2
74/145-
1
∴ ∠P = 90∘ − ∠A．
2
(2)【答案】 120
60，180−
n−1
2
【解析】提示：计算出∠A BC+∠A CB的和．
n n
例5 【答案】解：（1）∠A＝2∠P，理由如下：
∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
1 1
∴∠PBC = ∠ABC，∠PCD = ∠ACD，
2 2
∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠PCD＝∠PBC+∠P，
1 1 1
∴ ∠ACD = ∠ABC+ ∠A，
2 2 2
1 1
∴ ∠ABC+ ∠A＝∠PBC+∠P，
2 2
∴∠A＝2∠P；
（2）∠A＝n∠P，理由如下：
∵点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，
1 1
∴∠PBC = ∠ABC，∠PCD = ∠ACD．
n n
∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠PCD＝∠PBC+∠P，
1 1 1
∴ ∠ACD = ∠ABC+ ∠A，
n n n
1 1
∴ ∠ABC+ ∠A＝∠PBC+∠P，
n n
∴∠A＝n∠P；
（3）∵∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分线交于点P，
75/145-
1 35∘ 1 25∘
∴由（1）的结论知，∠BPC = ∠A = ，∠CPD = ∠E = ，
2 2 2 2
∴∠BPD＝∠BPC+∠DPC＝30∘，
故答案为：30∘．
【解析】（1）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出
∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度
数，即可求出结果；
（2）根据已知条件以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度
数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可
求出结果；
（3）根据（1）的结论即可得到结果．
练5.1 【答案】C
【解析】过P 作P E//AB，
1 1
∵ AB//CD，
∴ ∠BAO = ∠D，∠DCO = ∠B，P E//AB//CD，
1
1 1
∴ ∠AP E = ∠BAO，∠CP E = ∠DCO，
1 1
2 2
1
∴ ∠P = ∠AP E+∠CP E = (∠B+∠D)；
1 1 1
2
1
同理可得：P = (∠B+∠D)，
2
4
1
∠P = (∠B+∠D)，
3
8
1
∠P = (∠B+∠D)，
4
16
…
1
故∠P = (∠B+∠D)．
n
n
2
故选：C．
76/145-
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 角度计算模型2
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】 ∵∠A = 80∘，
∴∠ABC+∠ACB = 180∘ −∠A = 100∘，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
1 1
∴∠OBC = ∠ABC，∠OCB = ∠ACB，
2 2
∴∠OBC+∠OCB = 50∘，
∴∠BOC = 180∘ −(∠OBC+∠OCB) = 130∘，
故选：C．
2 【答案】B
【解析】 ∵∠A = 60∘，
∴∠ABC+∠ACB = 120∘，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，
∴∠PBE = ∠EBC，∠QCE = ∠BCE，
∴∠CBE+∠BCE = 60∘，
∵PQ∥BC，
∴∠PEB = ∠CBE，∠QEC = ∠BCE，
∴∠PEB+∠QEC = 60∘，
故选：B．
77/145-
3 【答案】D
【解析】 ， 则有
三角形内角和180度则有 则 故
选D。
4 【答案】B
5 【答案】A
6 【答案】C
【解析】∠F = 180 ∘ −(∠CBF+∠BCF)
1
= 180 ∘ − (180°−∠ABC+180°−∠ACB)
4
1
= 180 ∘ − (360 ∘ −180 ∘ +∠A)
4
1
= 180 ∘ − (∠A+180 ∘ )
4
=120°，故选C.
7 【答案】C
【解析】解： ∵ ∠AFC是ΔABF与ΔCDF的外角，
∴ ∠B+∠BAD = ∠D+∠DCB．
∵ AE、CE分别平分∠BAD、∠DCB，
1 1
∴ ∠BAE = ∠EAD = ∠BAD，∠DCE = ∠BCE = ∠BCD．
2 2
∵ ∠AHC是ΔABH与ΔCEH的外角，
1 1
∴ ∠E+ ∠DAB = ∠D+ ∠DCB①，
2 2
1 1
同理可得，∠E+ ∠DCB = ∠B+ ∠BAD②，
2 2
78/145-
①+②得，2∠E = ∠B+∠D，
∵ ∠B = 25 ∘ ，∠D = 35 ∘ ，
1
∴ ∠E = (25 ∘ +35 ∘ ) = 30 ∘ ．
2
∘
故答案为：30 ．
8 【答案】C
【解析】解： ∵ AD平分∠EAC，
∴ ∠EAC = 2∠EAD，
∵ ∠EAC = ∠ABC+∠ACB，∠ABC = ∠ACB，
∴ ∠EAD = ∠ABC，
∴ AD//BC， ∴ ①正确；
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC，
∵ BD平分∠ABC，∠ABC = ∠ACB，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 2∠DBC，
∴ ∠ACB = 2∠ADB， ∴ ②正确；
∵ AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
1 1
∴ ∠DAC = ∠EAC，∠DCA = ∠ACF，
2 2
∵ ∠EAC = ∠ACB+∠ACB，
∠ACF = ∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC = 180 ∘ ，
∴ ∠ADC = 180 ∘ −(∠DAC+∠ACD)
1
= 180 ∘ − (∠EAC+∠ACF)
2
1
= 180 ∘ − (∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC)
2
79/145-
1
= 180 ∘ − (180 ∘ +∠ABC)
2
1
= 90 ∘ − ∠ABC， ∴ ③正确；
2
∵ BD平分∠ABC
∴ ∠ABD = ∠DBC
1
∵∠ADB = ∠DBC，∠ADC = 90∘ − ∠ABC
2
∴ ∠ADB ≠ ∠CDB 所以④错误；
∵ ∠ACF = 2∠DCF ， ∠ACF = ∠BAC+∠ABC ， ∠ABC = 2∠DBC ，
∠DCF = ∠DBC+∠BDC，
∴ ∠BAC = 2∠BDC， ∴ ⑤正确；
即正确的有4个，
故选：C．
9 【答案】∠D=∠CBA−∠BAD =
1 1 1
∠NBA− ∠BAO = ∠O = 35∘
2 2 2
10 【答案】解：（1）如图所示：
x
（2）∠BDC = 90∘ + ．
2
理由如下：由三角形内角和为180∘得：
∠ABC+∠ACB = 180∘ −∠A，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线的交点是D，
1
∴∠DBC+∠DCB = (∠ABC+∠ACB)
2
80/145-
1
= (180 ∘ −∠A) ，
2
在 △ BCD中，
∠BDC = 180 ∘ −(∠DBC+∠DCB)
1
=180 ∘ − (180 ∘ −∠A)
2
1
= 90 ∘ + ∠A ，
2
∵∠BAC = x，
x
∴∠BDC = 90∘ + ；
2
x
（3）由题意得，90∘ + +x = 180∘，
2
解得x = 60∘．
【解析】（1）用量角器作出两个角的角平分线即可；
（2）根据三角形的内角和定理表示出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义表示出
∠DBC+∠DCB，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）根据互为补角的两个角的和等于180∘列出方程求解即可．
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 角度计算模型2
课堂落实答案
1 【答案】110∘
【解析】∵∠A = 40∘，
∴∠ABC+∠ACB = 140∘，
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
81/145-
1
∴∠OBC+∠OCB = ×(∠ABC+∠ACB) = 70∘，
2
∴∠BOC = 180∘ −70∘ = 110∘，
故答案为：110∘．
2 【答案】40°
【解析】解：如图所示，
∵ ∠A = 100 ∘ ，
∴ ∠ABC+∠ACB = 180 ∘ −∠A = 80 ∘ ，
∴ ∠DBC+∠ECB = 180 ∘ −∠ABC+180 ∘ −∠ACB = 360 ∘ −(∠ABC+∠ACB) = 360 ∘ −
，
∵ BM、CM分别平分∠DBC和∠ECB，
1 1
∴ ∠MBC+∠MCB = (∠DBC+∠ECB) = ×280 ∘ = 140 ∘ ，
2 2
∴ ∠M = 180 ∘ −(∠MBC+∠MCB) = 180 ∘ −140 ∘ = 40 ∘ ，
故答案为：40°．
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】60
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 角度计算模型2
精选精练
1 【答案】A
2
82/145-
(1)【答案】 ∵∠BAC = 100∘，
∴∠ABC+∠ACB = 80∘，
∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB = 40∘，
∴∠BOC = 140∘．
【解析】根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得
∠OBC+∠OCB的度数，从而不难∠BOC的大小．
(2)【答案】 ∵∠ABC+∠ACB=80∘ ， OB 和 OC 分 别 是 ∠ABC 和 ∠ACB 的 三 等 分 线 ， ∴
80
∘
∠OBC+∠OCB= .
3
80 460
∘ ∘
∴∠BOC = 180 ∘ − = .
3 3
【解析】根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据三等分线的定义可求得
∠OBC+∠OCB的度数，从而不难∠BOC的大小．
(3)【答案】∵点O是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
80∘
∴∠OBC+∠OCB = ，
n
80∘
∴∠BOC = 180∘ − ．
n
80∘
当∠BOC = 170∘时，180∘ − =170∘，n = 8，
n
∴是八等分线的交线所成的角．
【解析】根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据n等分线的定义可求得
∠OBC+∠OCB的度数，从而不难探求∠BOC的大小与n的关系．
3 【答案】C
4
(1)【答案】 ∘
30
【解析】解： ∵ P B、P C分别平分∠ABC和∠ACD，
1 1
83/145-
∴ ∠ACD = 2∠P CD，∠ABC = 2∠P BC，
1 1
而∠P CD = ∠P +∠P BC，∠ACD = ∠ABC+∠A，
1 1 1
∴ ∠A = 2∠P ，
1
1
∴ ∠P = ∠A，
1
2
（1） ∵ ∠ABC = 80 ∘ ，∠ACB = 40 ∘ ，
∴ ∠A = 60 ∘ ，
∴ ∠P = 30 ∘ ；
1
(2)【答案】1
α
2
【解析】（2） ∵ ∠A = α，
1
∴ ∠P 的度数为 α；
1
2
(3)【答案】 1
( )n
⋅α
2
【解析】（3）同理可得∠P = 2∠P ，
1 2
即∠A = 2 2∠P ，
2
∴ ∠A = 2 n∠P ，
n
α
∴ ∠P = ．
n
n
2
5 【答案】 （1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180∘，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180∘，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
84/145-
∠P+∠3 = ∠2+∠B①
{
由（1）的结论得： ，
∠P+∠1 = ∠4+∠D②
①+②，得2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠B+∠D
1
∴∠P = (∠B+∠D)＝26∘．
2
（3）如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180∘ −∠2，∠PCD＝180∘ −∠3，
∵∠P+ ( 180∘ −∠2 ) ＝∠D+ ( 180∘ −∠3 ) ，∠P+∠1＝∠B+∠4，
∴2∠P＝∠B+∠D，
1 1
∴∠P = (∠B+∠D) = × ( 36∘ +16∘) ＝26∘；
2 2
2 1
（4）∠P = α + β ；
3 3
2 1
故答案为：∠P = α + β ．
3 3
【解析】 （1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1＝
∠2 ， ∠3 ＝ ∠4 ， 推 出 ∠PAD ＝ 180∘ −∠2 ， ∠PCD ＝ 180∘ −∠3 ， 由
∠P+ ( 180∘ −∠1 ) ＝ ∠D+ ( 180∘ −∠3 ) ， ∠P+∠1 ＝ ∠B+∠4 ， 推 出 2∠P ＝
∠B+∠D，即可解决问题．
（4）列出方程组即可解决问题．
6 【答案】解：（1）∵∠A ＝70∘，
1
∴∠A BC+∠A CB＝180∘ −70∘＝110∘，
1 1
∵BA 、CA 分别是∠A BC和∠A CB的角平分线，
2 2 1 1
85/145-
1
∴∠A BC+∠A CB = ×110∘＝55∘，
2 2
2
∴∠A ＝180∘ −55∘＝125∘．
2
（2）在△A BC中，∠A BC+∠A CB＝180∘ −α ，
1 1 1
1 1
∵∠A BC = ∠A BC，∠A CB = ∠A CB，
n 1 n 1
n n
1 1
∴∠A BC+∠A CB = ( ∠A BC+∠A CB ) = ( 180∘ −α ) ，
n n 1 1
n n
1
∴∠A ＝180∘ − ( ∠A BC+∠A CB ) ＝180∘ − ( 180∘ −α ) ；
n n n
n
( )
（3）2 ∠MBA +∠NCA +(n−2)∠A ＝180∘n．
n n n
理由：如图②，∵BM、CN分别是△A BC的两个外角的角平分线，
1
1 1
( )
∴∠MBE = ∠A BE = 180∘ −∠A BC ，
1 1
2 2
1 1
( )
∠NCF = ∠A CF = 180∘ −∠A CB ，
1 1
2 2
∴∠MBA +∠NCA ＝360∘ −(∠MBE+∠NCF)− ( ∠A BC+∠A CB )
n n n n
1 1
( ) ( ) ( )
＝360∘ − 180∘ −∠A BC − 180∘ −∠A CB − 180∘ −∠A
1 1 n
2 2
1
( )
= ∠A BC+∠A CB +∠A
1 1 n
2
1
( )
= 180∘ −∠A +∠A
1 n
2
1
( )
由（2）可得，∠A ＝180∘ − 180∘ −∠A ，
n 1
n
∴∠A ＝n∠A −180∘n+180∘，
1 n
1
( )
∴∠MBA +∠NCAn = 180∘ −n∠A +180∘n−180∘ +∠A
n n n
2
86/145-
n−2
＝90∘n− ∠A
n
2
( )
∴2 ∠MBA +∠NCA +(n−2)∠A ＝180∘n．
n n n
【解析】（1）根据三角形内角和定理，即可得到∠A BC+∠A CB的度数，再根据角平分线的定
1 1
义，即可得到∠A BC+∠A CB的度数，最后根据三角形内角和定理计算即可；
2 2
（2）根据三角形内角和定理，即可得到∠A BC+∠A CB的度数，再根据BA 、CA 分别
1 1 n n
是∠A BC和∠A CB的n等分线，即可得到∠A BC+∠A CB的度数，最后根据三角形内角
1 1 n n
和定理进行计算即可；
1
（ 3 ） 根 据 ∠MBA +∠NCAn = ( 180∘ −∠A ) +∠A ， 以 及 ∠A ＝
n 1 n 1
2
n−2
n∠A −180∘n+180∘，即可得到∠MBA +∠NCA ＝90∘n− ∠A ，进而变形得出
n n n n
2
( )
2 ∠MBA +∠NCA +(n−2)∠A ＝180∘n．
n n n
能力强化 / 初一 / 春季
第 10 讲 全等三角形（一）
例题练习题答案
例1 【答案】D
练1.1 【答案】C
例2
(1)【答案】B
(2)【答案】D
练2.1
87/145-
(1)【答案】D
(2)【答案】40，110，80，30
例3 【答案】 解：∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE，
即BD＝DE+CE．
练3.1 【答案】 解：（1）∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，
∴∠ABD+∠CBE＝132°，
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°，
即∠CBE的度数为66°；
（2）∵△ABC≌△DBE，
∴DE＝AC＝AD+DC＝5，BE＝BC＝4，
∴△CDP与△BEP的周长和＝DC+DP+PC+BP+PE+BE＝DC+DE+BC+BE＝2.5+5+4+4
＝15.5．
例4 【答案】CD;ΔABD、ΔACD；已知；AD = AD、公共边；已证；ΔABD ≅ ΔACD、SSS．
练4.1 【答案】（1）∵BE = CF，
∴BE+EC = EC+CF，
即BC = EF，
在△ABC和△DEF中，
AB = DE
{
AC = DF，
BC = EF
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B = ∠DEF，
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．
88/145-
例5 【答案】证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+CF，即AC=DF．
AB = DE
{
在△ABC和△DEF中， ∠A = ∠D，
AC = DF
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【解析】由AF=DC可得出AC=DF，结合AB=DE、∠A=∠D即可证出△ABC≌△DEF（SAS）．
练5.1 【答案】证明：如图，∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠BDE．
在△ABC与△EDB中，
AB = DE（已知）
{
∠ABC = ∠BDE（已证）
BC = BD（已知）
∴△ABC≌△EDB（SAS）
例6 【答案】∵AB∥CD
∴∠B = ∠C
∵BF = CE
∴BE = CF
在△ABE和△DCF中
∠B = ∠C
{
BE = CF
∠AEB = ∠DFC
∴△ABE≌△DCF
练6.1 【答案】∵DC⊥CA，EA⊥CA，
∴∠C = ∠A = 90∘，
∴在△BCD与△EAB中
∠C = ∠A
{
CD = AB ，
∠D = ∠EBA
∴△BCD≌△EAB（ASA）．
例7 【答案】 证明：在 △ ABE和 △ ACD中，
89/145-
∠B = ∠C
{
∠A = ∠A
AE = AD
∴ △ ABE≌ △ ACD（AAS）
练7.1 【答案】证明：∵DE∥AB
∴∠EDA = ∠CAB（两直线平行，内错角相等）
在△ABC和△DAE中，
∠CAB = ∠EDA(已证)
{
∠C = ∠E(已知)
AB = DA(已知)
∴△ABC≌△DAE（AAS）．
能力强化 / 初一 / 春季
第 10 讲 全等三角形（一）
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】A、全等三角形指完全重合的两个三角形，正确，不合题意；
B、全等三角形对应边上的中线相等，正确，不合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，错误，符合题意；
D、两个全等三角形的周长和面积都相等，正确，不合题意；
故选：C．
2 【答案】C
【解析】解：∵ △ ABC≌ △ AEF，
∴AC = AF，∠EAF = ∠BAC，EF = BC，
故①正确；故③正确；
∴∠FAC = ∠EAB ≠ ∠FAB，故②错误；④正确；
综上所述，结论正确的是①③④共3个．
故选：C．
3 【答案】A
90/145-
【解析】解：∵在△AOD中，∠O = 50°，∠D = 35°，
∴∠OAD = 180°−50°−35° = 95°，
∵在△AOD与△BOC中，OA = OB，OD = OC，∠O = ∠O，
∴△AOD≌△BOC，
故∠OBC = ∠OAD = 95°，
在四边形OBEA中，∠AEB = 360°−∠OBC−∠OAD−∠O，
= 360°−95°−95°−50°，
= 120°，
又∵∠AEB+∠AEC = 180°，
∴∠AEC = 180°−120° = 60°．
故选：A．
4 【答案】B
5 【答案】A
6 【答案】B
【解析】∵AC = DB，AO = DO，
∴OB = OC，
又∠AOB = ∠DOC，
∴△AOB≌△DOC，
∴AB = CD = 100m．
故选：B．
7 【答案】C
8 【答案】证明：∵DA⊥AB，EA⊥AC，
∴∠DAB = ∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC = ∠CAE+∠BAC，
即：∠DAC = ∠BAE
∵在 △ ADC和 △ ABE中，
91/145-
AD = AB
{
∠DAC = ∠BAE
AC = AE
∴ △ ADC ≌△ ABE(SAS)．
9 【答案】在△ABC与△ADE中
∵ ∠B = ∠D
BC = DE
∠C = ∠E
∴△ABC≌△ADE ．
10 【答案】证明：在△ACB和△ECD中
∠ACB = ∠ECD
{
∠B = ∠D
AC = EC
∴ △ACB≌△ECD(AAS)
能力强化 / 初一 / 春季
第 10 讲 全等三角形（一）
课堂落实答案
1 【答案】B
【解析】A、圆里面的正方形与已知图形不能重合，错；
B、与已知图形能完全重合，正确；
C、中间是长方形，与已知图形不重合，错；
D、中间是长方形，与已知图形不重合，错．
故选：B．
2 【答案】75°
【解析】 先根据已知条件求出∠EAC，根据全等得出∠E＝∠C＝30°，然后利用三角形的外角的性
质即可得出答案．
3 【答案】A
【解析】由题意可得，要用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，需要AB=FE，
92/145-
若添加①AE=FB，则可得AE+BE=FB+BE，即AB=FE，
故①可以；
若添加AB=FE，则可直接证明两三角形的全等，故②可以．
若添加AE=BE，或BF=BE，均不能得出AB=FE，不可以利用SSS进行全等的证明，故③④
不可以．
4 【答案】B
【解析】∵点C是BE的中点，
∴BC = CE，
∵AB//CD，
∴∠B = ∠DCE，
A、根据SAS证△ABC≌△DCE，故本选项错误；
B、∵∠ACB = ∠E，CB = CE，∠B = ∠DCE，
∴△ABC≌△DCE(ASA)，故本选项正确；
C、根据AAS证三角形全等，故本选项错误；
D、根据条件不能证△ABC和△DCE全等，故本选项错误．
故选：B．
5
(1)【答案】∠BAD = ∠CDA
(2)【答案】解：∵∠BAD = ∠CAE
∴∠BAD+∠DAE = ∠CAE+∠DAE
即∠BAE = ∠CAD
在ΔAEB与ΔADC中
AB = AC（已知）
{
∠BAE = ∠CAD（已证）
AE = AD（已知）
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
能力强化 / 初一 / 春季
第 10 讲 全等三角形（一）
93/145-
精选精练
1 【答案】C
2 【答案】解：（1）CE与DF平行；
∵△ACE≌△FDB
∴∠ACE = ∠D
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行）
（2）CD = AD−AC = AD−FD = 5
（3）∵∠A = ∠F = 53∘
∠ACE = 180∘ −∠F−∠E = 101∘
3 【答案】证明: ∵ BD = CE,
∴ BD+DE = CE+DE,
∴ BE = CD,
在 △ ABE和 △ ACD中,
AB = AC（已知）
{
BE = CD（已证）
AE = AD（已知）
∴△ABE≌△ACD（SSS）．
4 【答案】证明：∵MD⊥AB
∴∠MDE = ∠C
∵ME//BC
∴∠B = ∠MED
在△ABC与△MED中
∠B = ∠MED（已证）
{
CB = DE（已知）
∠C = ∠MDE（已证）
∴△ABC≌ △MED（ASA）
5 【答案】证明：∵E是AB的中点
∴AE＝BE
∵AD//BC，
∴∠DAE＝∠EBF，∠ADE＝∠EFB
在△ADE和△BFE中
94/145-
∠DAE＝∠FBE
{
∠ADE＝∠BFE
AE = BE
∴△ADE≌△BFE(AAS)
6 【答案】证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEF＝∠BFE＝90°．
∵AE＝CF，AE+EF＝CF+EF．即AF＝CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB = CD
{
，
AF = CE
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF＝DE．
在△BFG和△DEG中，
∠BFG = ∠DEG
{
∵ ∠BGF = ∠DGE，
BF = DE
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴BG＝DG，
∴EF平分BD；
（2）结论依然成立．
理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA＝∠DEC＝90°
∵AE＝CF
∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB = CD
{
，
AF = CE
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴DE＝BF
在△BFG和△DEG中，
95/145-
∠BFG = ∠DEG
{
∵ ∠BGF = ∠DGE，
BF = DE
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴BG＝DG．
∴EF平分BD
能力强化 / 初一 / 春季
第 11 讲 全等三角形（二）
例题练习题答案
例1
(1)【答案】B
(2)【答案】①③④
【解析】已知∠1 = ∠2，AC = AD，由∠1 = ∠2可知∠BAC = ∠EAD，
加①AB = AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C = ∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B = ∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC = ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．
其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④；
故答案为①③④．
练1.1
(1)【答案】B
(2)【答案】∠ADB = ∠CBD，ASA；
∠A = ∠C，AAS；
AB = CD，SAS．
例2 【答案】B
96/145-
【解析】 AB = CD（已知）
{
∵在△ABD和△CDB中， AD = CB（已知） ，
BD = BD（已知）
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB = ∠CBD，∠ABD = ∠CDB，∠A = ∠C
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴A、C、D选项正确．
故选：B．
练2.1 【答案】证明：∵∠1=∠2
∴∠1+∠DAC = ∠2+∠DAC
即∠BAC = ∠DAE
在△ABC和△ADE中
∠B = ∠D
{
AB = AD
∠BAC = ∠DAE
∴△ABC≌△ADE
∴AC = AE
例3 【答案】证明：∵H是高MQ和NR的交点，
• • • • • • • • • • • • • • • •
∴ ∠PQM = ∠HQN = ∠PRN = 90∘，
∴ ∠P+∠PMQ = 90∘，∠P+∠HNQ = 90∘，
∴ ∠HNQ = ∠PMQ，
在△HQN和△PQM中，
∠HQN = ∠PQM
{
NQ = MQ ，
∠HNQ = ∠PMQ
∴△HQN≌△PQM（ASA），
∴HN = PM．
练3.1 【答案】结论：AG = AD．
理由：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠AFC = ∠BFC = ∠BEC = ∠BEA = 90∘
97/145-
∴∠BAC+∠ACF = 90∘，∠BAC+∠ABE = 90∘，∠G+∠GAF = 90∘，
∴∠ABE = ∠ACF．
在△ABD和△GCA中，
BD = AC
{
∠ABE = ∠ACF，
AB = CG
∴△ABD≌△GCA(SAS)，
∴AD = GA．
【解析】先由条件可以得出∠ABE = ∠ACF，就可以得出△ABD≌△GCA，就有AD = GA．
例4 【答案】①②③
练4.1 【答案】 证明：（1）∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠EAB，
在△ACD和△ABE中，
AD = AE
{
∠DAC = ∠EAB，
AC = AB
∴△ACD≌△ABE（SAS）；
（2）∵△ACD≌△ABE，
∴∠D＝∠E，
在△ADM和△AEN中，
∠DAM = ∠EAN
{
AD = AE ，
∠D = ∠E
∴△ADM≌△AEN（ASA），
∴AM＝AN．
例5 【答案】 证明：∵DF∥AC，
98/145-
∴∠HDB＝∠A＝30°，∠AGD＝∠GDH＝90°，
∴∠ADG＝60°．
∵∠B＝60°，AD＝DB，
∴△ADG≌△DBH，
∴AG＝DH．
又∵GM⊥AB，HN⊥AB，
∴∠GMA＝∠HND＝90°，
∵∠HDB＝∠A，
∴Rt△AMG≌Rt△DNH，
∴AM＝DN．
练5.1 【答案】证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEF＝∠BFE＝90°．
∵AE＝CF，AE+EF＝CF+EF．即AF＝CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB = CD
{
，
AF = CE
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF＝DE．
在△BFG和△DEG中，
∠BFG = ∠DEG
{
∵ ∠BGF = ∠DGE，
BF = DE
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴BG＝DG，
∴EF平分BD；
（2）结论依然成立．
理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA＝∠DEC＝90°
∵AE＝CF
∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
99/145-
AB = CD
{
，
AF = CE
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴DE＝BF
在△BFG和△DEG中，
∠BFG = ∠DEG
{
∵ ∠BGF = ∠DGE，
BF = DE
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴BG＝DG．
∴EF平分BD
例6 【答案】1 < AD < 4
【解析】倍长AD到E，连接BE则△BDE≌△CDA．
∴BE = AC = 5，
BE−AB < AE = 2AD < BE+AB，
即2 < 2AD < 8，∴1 < AD < 4．
练6.1 【答案】A
能力强化 / 初一 / 春季
第 11 讲 全等三角形（二）
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】D
【解析】解： ∵ AB//CD
∴ ∠CDF = ∠E
∵ CF = BF，∠DFC = ∠EFB
∴ ΔCDF ≅ ΔBEF(AAS)．
故选：D．
3 【答案】B
100/145-
4 【答案】C
5 【答案】B
6 【答案】证明：∵∠BAE = ∠CAD，
∴∠BAE+∠EAD = ∠CAD+∠EAD，
即∠BAD = ∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB = AC
{
∠BAD = ∠CAE，
AD = AE
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
7 【答案】解：∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC = ∠DAE−∠DAC，
∴∠1 = ∠CAE，
在△ADB和AEC中，
AB = AC
{
∠1 = ∠CAE，
AD = AE
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD = ∠2 = 30∘，
∵∠3 = ∠1+∠ABD，
∴∠3 = 25∘ +30∘ = 55∘．
8 【答案】∵DE∥AB，FG∥AC，
∴∠B = ∠DEC，∠FGB = ∠DCE，
∵BE = GC，
∴BG = EC
∴△FBG≌△DEC（ASA），
∴DE = FB．
9 【答案】B
【解析】延长AD至E，使DE=AD=5，连接CE．
101/145-
AD = DE
{
在△ABD和△ECD中， ∠ADB = ∠EDC，
BD = DC
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB．
在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+CE，
即5+5﹣7＜AC＜5+5+7，
3＜AC＜17，
故AC的长可能是：10．
10 【答案】证明：在 △ ABE和 △ CDF中，
AB = CD
{
BE = DF，
AE = CF
∴ △ ABE≌ △ CDF(SSS)，
∴∠AEB = ∠CFD，
∴180∘ −∠AEB = 180∘ −∠CFD，
即∠AEO = ∠CFO，
在 △ AOE和 △ COF中，
∠AEO = ∠CFO
{
∠AOE = ∠COF，
AE = CF
∴ △ AOE≌ △ COF(AAS)，
∴EO = FO．
能力强化 / 初一 / 春季
102/145-
第 11 讲 全等三角形（二）
课堂落实答案
1 【答案】OC = OD
【解析】OC = OD，
理由是：在△AOC和△BOD中，
OA = OB
{
∠AOC = ∠BOD，
OC = OD
∴△AOC≌△BOD(SAS)．
故答案为：OC = OD．
2 【答案】A
【解析】小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，
他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．
3 【答案】A
【解析】解：在 △ AMK和 △ BKN中，
AM = BK
{
∠A = ∠B，
AK = BN
∴ △ AMK≌ △ BKN(SAS)，
∴∠AMK = ∠BKN，
∵∠A = ∠B = 50∘，
∴∠AMK+∠AKM = 130∘，
∴∠BKN+∠AKM = 130∘，
∴∠MKN = 50∘，
故选：A．
4 【答案】证明：∵AD = BC，EA = EC，
∴BE = DE
∵∠E为公共角
△AEB≌△CED（SAS），
∴∠A = ∠C．
103/145-
5 【答案】（1）在△ABE和△CDF中，
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，
即BE=DF，
又∵AB=CD，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠B=∠D，
又∵∠AOB=∠COD，
∠BAO=180°-∠B-∠AOB，∠DCO=180-∠D-∠COD，
∴∠BAO=∠DCO，
∵AB=CD，
∴△ABO≌△CDO，
∴AO=CO，BO=DO，
故AC与BD互相平分．
能力强化 / 初一 / 春季
第 11 讲 全等三角形（二）
精选精练
1 【答案】C
【解析】在△ABD和△CDB中，
AB = CD
{
AD = BC，
BD = DB
∴△ABD≌△CDB(SSS)，
同理可得△ABC≌△CDA，
∵AB = CD，AD = BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD，
104/145-
在△AOB和△COD中，
AO = CO
{
∠AOB = ∠COD，
BO = DO
∴△AOB≌△COD(SAS)，
同理可得△BOC≌△DOA，
由平行四边形的性质可得AD∥BC，
∴∠EAO = ∠FCO，∠AEO = ∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
∠EAO = ∠FCO
{
∠AEO = ∠CFO，
OA = OC
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
同理可得△DOE≌△BOF，
所以共有六组．
故选：C．
2 【答案】 证明：∵∠BAE = ∠BCE = 90∘，
∴∠B+∠6 = 180∘，
∵∠6+∠7 = 180∘，
∴∠7 = ∠B，
又∵∠BCE = ∠ACD = 90∘，
∴∠BCE−∠4 = ∠ACD−∠4，
即∠3 = ∠5，
在△ABC和△DEC中，
∠B = ∠7
{
∠3 = ∠5，
AC = CD
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
3 【答案】(1)证明：∵CF⊥AE，BD⊥BC，
∴∠DBC = ∠AFC = 90 ∘ ，
105/145-
∴∠CEA+∠BCD = ∠BCD+∠D = 90 ∘ ，
∴∠CEA = ∠D，
在△ACE和△CBD中
∠CEA = ∠CDB
{
∠ACE = ∠CBD
AC = BC
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴AE = CD；
(2)解：∵AC = BC = 12cm，AE是BC边的中线，
1
∴CE = BC = 6cm，
2
∵△ACE≌△CBD，
∴BD = CE = 6cm．
【解析】（1） ∵ CF⊥AE，BD⊥BC，
∴ ∠DBC = ∠ACB = 90 ∘ ，
∴ ∠CEA+∠BCD = ∠BCD+∠D = 90 ∘ ，
∴ ∠CEA = ∠D，
在ΔACE和ΔCBD中
∠CEA = ∠CDB
{
∠ACE = ∠CBD
AC = BC
∴ ΔACE ≅ ΔCBD(AAS)，
∴ AE = CD；
（2） ∵ AC = BC = 12cm，AE是BC边的中线，
1
∴ CE = BC = 6cm，
2
∵ ΔACE ≅ ΔCBD，
∴ BD = CE = 6cm．
4 【答案】10
5 【答案】60°
106/145-
6 【答案】解：（1）图①中有3对全等三角形，它们是△AFB≌△CED，△DEG≌△BFG，
△AGB≌△CGD．
（2）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB = CD
{
AF = CE
∴Rt △ ABF≌Rt △ CDE(HL)，
∴ED=BF．
由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，
∴∠EDG=∠FBG，
在△DEG和△BFG中，
∠EDG = FBG
{
∠EGD = ∠FGB
ED = FB
∴ △ DEG≌ △ BFG(AAS)，
∴EG=FG，DG=BG，
所以BD与EF互相平分于G；
（3）第（2）题中的结论成立，
理由：∵AE=CF，
∴AE−EF = CF−EF，即AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB = CD
{
AF = CE
∴Rt △ ABF≌Rt △ CDE(HL)，
∴BF=DE．
∵∠BFG=∠DEG=90°，
107/145-
∴BF∥ED，
∴∠FBG=∠EDG，
∵∠FGB和∠EGD是对顶角，
∴∠FGB=∠EGD
∴△BFG≌△DEG，
∴FG=EG，BG=DG，
∴BD与EF互相平分于G；
即第（2）题中的结论仍然成立．
能力强化 / 初一 / 春季
第 12 讲 轴对称初步（北师7强春）
例题练习题答案
例1 【答案】D
【解析】∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴△ABC和△ADE全等，
∴△ABC和△ADE周长相等，△ABC和△ADE面积相等，且∠BAC = ∠DAE，
∴∠DAC = ∠BAE，
连接CE，BD，则根据轴对称的性质，可得直线MN平分CE或BD，故D选项错误．
例2 【答案】22
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC=4cm，
而△ABD的周长为14cm，即AB+BD+AD=14cm，
∴AB+BD+DC=14cm，
∴AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，
108/145-
即△ABC的周长为22cm．
练2.1 【答案】12
例3 【答案】B
【解析】∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=25°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°-60°-25°×2=70°，
∵BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，
∴BF=CF，
∴∠FCB=25°，
∴∠ACF=70°-25°=45°．
练3.1 【答案】A
例4 【答案】A
练4.1 【答案】9
【解析】如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，
∴DE=AD=2，
1 1
∴△BDC的面积= BC•DE= ×9×2=9．
2 2
故答案为：9．
例5 【答案】D
【解析】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB
∴PA=PB
∴△OPA≌△OPB
∴∠APO=∠BPO，OA=OB
∴A、B、C项正确
设PO与AB相交于E
∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE
∴△AOE≌△BOE
109/145-
∴∠AEO=∠BEO=90°
∴OP垂直AB
而不能得到AB平分OP
故D不成立
故选：D．
例6 【答案】D
【解析】如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF = DH，
DE = DG
{
在Rt△DEF和Rt△DGH中， ，
DF = DH
∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)，
∴S = S ，设面积为S，
△EDF △GDH
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S = S ，
△ADF △ADH
即38+S = 50−S，
解得S = 6．
故选：D．
练6.1 【答案】解：过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，
∴∠PME=∠PNF=90°，
∵∠AOB=90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴∠MPN=90°．
10/145-
∵∠EPF=90°，
∴∠MPN=∠EPF，
∴∠MPN-∠NPE=∠EPF-∠NPE，
∴∠MPE=∠NPF．
∵OP平分∠AOB，
∴PM=PN．
在△MPE和△NPF中，
∠MPE = ∠NPF
{
PM = PN ，
∠PME = ∠PNF
∴△MPE≌△NPF（ASA），
∴PE=PF．
【解析】过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，就可以得出PM=PN，四边形PMON是矩形，就可
以得出∠MPN=90°，可以求出∠MPE=∠NPF，证△MPE≌△NPF就可以得出结论．
例7 【答案】如图所示：点P即为所求．
例8 【答案】解：如图，点P为所作．
【解析】先作出∠AOB的平分线和CD的中垂线，两线的交点即为所作的点P．
11/145-
能力强化 / 初一 / 春季
第 12 讲 轴对称初步（北师7强春）
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】A
3 【答案】B
4 【答案】D
【解析】 ，∴ ，故选D．
5 【答案】D
【解析】△ABD的周长为 ，故选D．
6 【答案】B
7 【答案】D
8 【答案】D
9 【答案】D
10 【答案】如图，AB垂直平分线与m的交点，就是所求的点P．
能力强化 / 初一 / 春季
第 12 讲 轴对称初步（北师7强春）
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】A
12/145-
4 【答案】19cm
5 【答案】解：（1）画出角平分线；
（2）作出垂直平分线．
交点P即满足条件．
【解析】画出两条公路夹角的平分线和张、李两村之间线段的垂直平分线，交点即是所求．
能力强化 / 初一 / 春季
第 12 讲 轴对称初步（北师7强春）
精选精练
1 【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2 【答案】C
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=90°-50°=40°，
∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，
∵∠CA'D是△A'BD的外角，
∴∠A′DB=∠CA'D-∠B=50°-40°=10°．
故选：C．
3 【答案】A
【解析】过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴AP⊥BP，PN⊥BC，
13/145-
∴PM = PE = 2，PE = PN = 2，
∴MN = 2+2 = 4；
故选：A．
4 【答案】4
【解析】由图可得，关于直线OE成轴对称的三角形共有△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和
△BCE，△OCA和△ODB，共4对．
故答案为：4．
5
(1)【答案】如图：
．
【解析】到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上，所以应作出任意两条线段的
垂直平分线，它们的交点即为所求；
(2)【答案】连接点P和各顶点，延长AP到D交BC于D，
∵PA = PB，
∴∠PAB = ∠PBA，
同理∠PAC = ∠PCA，
∵∠BAP+∠PAC = ∠BAC = 56∘，
∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA = 112∘，
∵∠BPD = ∠PAB+∠PBA，
∠CPD = ∠PAC+∠PCA，
∴∠BPC = ∠BPD+∠CPD
=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA
=112°．
故答案为：112．
14/145-
【解析】连接点P和各顶点，以及AC．根据线段的垂直平分线的性质和三角形的内角和定理求
解．
6 【答案】D
能力强化 / 初一 / 春季
第 13 讲 轴对称经典模型（北师7强春）
例题练习题答案
例1
(1)【答案】C
【解析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
∴第三边边长在2到13之间，
∵是等腰三角形，
∴第三边边长可以是5或7，故选C
(2)【答案】B
【解析】解：|m−2|+√n−4 = 0得：m = 2，n = 4
∵m、n恰好为等腰三角形两边长，
∴△ABC三边长为4，4，2或者4，2，2
∵4，2，2不能组成三角形，所以舍去
∴周长为10，故选B
(3)【答案】30°，30°
【解析】∵120∘只能为等腰三角形顶角，
180∘-120∘
∴另两角为 =30∘
2
(4)【答案】65∘，65∘或50∘，80∘
【解析】 180∘-50∘
当50∘为顶角时，另两角都为 =65∘
2
当50∘为底角时，顶角为180∘-50∘ ×2=80∘
15/145-
∴另两角为50∘，80∘
练1.1
(1)【答案】11cm或7.5cm
(2)【答案】2cm
例2 【答案】证明：∵AB = AC，
∴∠B = ∠C．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB = ∠OEC = 90∘．
∵O是底边BC上的中点，
∴OB = OC，
在ΔOBD与ΔOCE中，
∠ODB = ∠OEC
{
∠B = ∠C
OB = OC
∴ΔOBD ≅ ΔOCE(AAS)．
∴BD = CE．
∵AB = AC，
∴AB−BD = AC−CE．
即AD = AE．
【解析】要证明AD = AE，只要证明BD = CE即可，那么也就是证明三角形BOD和三角形COE全
等．可通过角角边进行证明．
练2.1 【答案】C
例3
(1)【答案】A
(2)【答案】A
练3.1 【答案】55∘
【解析】∵AB = AC，
∴∠B=∠C，
∵FD⊥BC于D,DE⊥AB于E，
16/145-
∴∠BED = ∠FDC = 90∘，
∵∠AFD = 145∘，
∴∠EDB = ∠CFD = 180∘ −145∘ = 35∘，
∴∠EDF = 90∘ −∠EDB = 90∘ −35∘ = 55∘.
例4 【答案】15°
练4.1 【答案】 3
30；
2
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，
即∠DBE=30°，又DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵等边△ABC的周长为9，∴AC=3，且∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，即∠CDE=∠E，
1 3
∴CD=CE= AC= ．
2 2
3
故答案为：30；
2
例5 【答案】15
练5.1 【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=60°
∵AM=BN，AB=AB
∴△AMB≌△BNA
∴∠NAB=∠MBA=60°-∠MBC=35°
∴∠AOB=180°-2×35°=110°
∵∠MON=∠AOB
∴∠MON=110°
例6 【答案】（1）∵△CAD、△CBE都是等边三角形，
17/145-
∴∠A = ∠CDA = 60∘，AC = CD，CE = CB，∠ACD = ∠ECB = 60∘，
∴∠ACD+∠DCB = ∠ECB+∠DCB，
即∠ACB = ∠ECD，
∵AC = CD，CE = CB，
∴△ACB≌△DCE，
∴∠CDE = ∠A = ∠CDA = 60∘，
∴∠EDB = 180∘ −60∘ −60∘ = 60∘，
即∠EDB = 60∘．
（2）∵△ACB≌△DCE，
∴DE = AB，
∵AB = AD+BD，AD = CD．
∴ ．
练6.1 【答案】55∘
【解析】解:∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC = ∠DAE−∠DAC，
∴∠1 = ∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
AB = AC
{
∠BAD = ∠EAC
AD = AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠2 = ∠ABD = 30∘，
∵∠1 = 25∘，
∴∠3 = ∠1+∠ABD = 25∘ +30∘ = 55∘，
故答案为:55∘．
能力强化 / 初一 / 春季
第 13 讲 轴对称经典模型（北师7强春）
18/145-
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】C
5 【答案】100
【解析】 解：∵等边△ABC
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝BC
∵∠ABE：∠CBE＝1：2
2
∴∠CBE＝ ∠ABC＝40°
3
又∵AD＝CE
∴△ADC≌△CEB（SAS）
∴∠ACD＝∠CBE＝40°
∴∠BDP＝∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°+40°＝100°．
故答案为100°．
6 【答案】C
7 【答案】B
8 【答案】B
9 【答案】A
【解析】解： ∵ ΔABC和ΔCDE都是等边三角形，
∴ AC = BC，CE = CD，∠BAC = 60 ∘ ，∠ACB = ∠ECD = 60 ∘ ，
∴ ∠ACB−∠ECB = ∠ECD−∠ECB，
∴ ∠ACE = ∠BCD，
在ΔACE和ΔBCD中，
AC = BC
{
∠ACE = ∠BCD，
CE = CD
∴ ΔACE ≅ ΔBCD(SAS)，
∴ ∠CAE = ∠CBD，
∵ ∠EBD = 65 ∘ ，
19/145-
∴ 65 ∘ −∠EBC = 60 ∘ −∠BAE，
∴ 65 ∘ −(60 ∘ −∠ABE) = 60 ∘ −∠BAE，
∴ ∠ABE+∠BAE = 55 ∘ ，
∴ ∠AEB = 180 ∘ −(∠ABE+∠BAE) = 125 ∘ ．
故选：A．
10 【答案】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，
∴AE = AD，AD为∠BAC的角平分线，
即∠CAD = ∠BAD = 30∘，
∴∠BAE = ∠BAD = 30∘，
在△ABE和△ABD中，
AE = AD
{
∠BAE = ∠BAD，
AB = AB
∴ △ ABE≌ △ ABD(SAS)，
∴BE = BD．
【解析】根据等边三角形三线合一的性质可得AD为∠BAC的角平分线，根据等边三角形各内角为
60∘即可求得∠BAE = ∠BAD = 30∘，进而证明 △ ABE≌ △ ABD，得BE = BD．
能力强化 / 初一 / 春季
第 13 讲 轴对称经典模型（北师7强春）
课堂落实答案
1 【答案】25cm或29cm
2 【答案】 3，120∘
3 【答案】62°，56°或59°，59°
4 【答案】连接AP．
120/145-
∵在等腰三角形ABC中，AB = AC，P为BC的中点，
∴∠BAP = ∠CAP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD = PE．
5 【答案】6
【解析】解： ∵ ΔABC与ΔBDE为等边三角形，
∴ AB = BC，BD = BE，∠ABC = ∠DBE = 60 ∘ ，
∴ ∠ABE = ∠CBD，
在ΔABE和ΔCBD中，
AB = BC
{
∠ABE = ∠CBD，
BD = BE
∴ ΔABE ≅ ΔCBD(SAS)，
∴ S = S ，AE = CD，∠BDC = ∠AEB，
ΔABE ΔCBD
在ΔBGD和ΔBFE中，
∠BDC = ∠AEB
{
BD = BE
，
∠DBG = ∠FBE = 60 ∘
∴ ΔBGD ≅ ΔBFE(ASA)，
∴ BG = BF，∠BFG = ∠BGF = 60 ∘ ，
过B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N，
∵ S = S ，AE = CD，
ΔABE ΔCBD
121/145-
1 1
∴ ×AE×BM = ×CD×BN，
2 2
∴ BM = BN，
∴ BH平分∠AHD，
∴ ①②③正确；
∵ ΔABE ≅ ΔCBD，
∴ ∠EAB = ∠BCD，
∵ ∠CBA = 60 ∘ ，
∴ ∠AHC = ∠CDB+∠EAB = ∠CDB+∠BCD = ∠CBA = 60 ∘ ，
∴ ④正确；
∵ BF = BG，∠FBG = 60 ∘ ，
∴ ΔBFG是等边三角形，
∴ ⑤正确；
∴ ∠GFB = ∠CBA = 60 ∘ ，
∴ FG//AD，
∴ ⑥正确；
故答案为：6
能力强化 / 初一 / 春季
第 13 讲 轴对称经典模型（北师7强春）
精选精练
1 【答案】50°或130°
【解析】分顶角为锐角和钝角两种情况考虑。
2 【答案】20
3 【答案】解：∵BP = PQ = QC = AP = AQ，
∴∠PAQ = ∠APQ = ∠AQP = 60∘，∠B = ∠BAP，∠C = ∠CAQ．
又∵∠BAP+∠ABP = ∠APQ，∠C+∠CAQ = ∠AQP，
∴∠ABC = ∠BAP = ∠CAQ = ∠ACQ = 30∘．
122/145-
4 【答案】 ∘
45
【解析】解: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB = AD,∠BAD = 90 ∘ .
∵ 等边三角形ADE,
∴ AD = AE,∠DAE = ∠AED = 60 ∘ .
∠BAE = ∠BAD+∠DAE = 90 ∘ +60 ∘ = 150 ∘ ,
AB = AE,
∠AEB = ∠ABE = (180 ∘ −∠BAE)÷2 = 15 ∘ ,
∠BED = ∠DAE−∠AEB = 60 ∘ −15 ∘ = 45 ∘ ,
∘
故答案为:45 .
根据正方形的性质,可得AB与AD的关系,∠BAD的度数,根据等边三角形的性质,可得AE与AD
的关系,∠AED的度数,根据等腰三角形的性质,可得∠AEB与∠ABE的关系,根据三角形的内
角和,可得∠AEB的度数,根据角的和差,可得答案.
本题考查了正方形的性质,先求出∠BAE的度数,再求出∠AEB,最后求出答案.
5 【答案】15°
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，CB⊥BD，
∴∠ABD=150°，
∵CB=BD，AB=BC，
∴AB=BD，
1
∴∠BAD=∠BDA= ×（180°-150°）=15°，
2
故答案为15°．
6 【答案】D
【解析】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
BC = AC
{
∴在△BCD和△ACE中 ∠ACE = ∠BCD，
CD = CE
123/145-
∴△BCD≌△ACE（SAS），
故A成立，
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°，
∠CAE = ∠CBD
{
在△BGC和△AFC中 AC = BC ，
∠ACB = ∠ACD = 60°
∴△BGC≌△AFC，
故B成立，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠CEA，
∠CDB = ∠CEA
{
在△DCG和△ECF中 CE = CD ，
∠ACD = ∠DCE = 60°
∴△DCG≌△ECF，
故C成立，
故选：D．
能力强化 / 初一 / 春季
第 14 讲 几何模型
例题练习题答案
例1 【答案】证明：方法一：在AC上截取AE = AB，连接DE．
∵∠BAC的平分线AD交BC边于点D，∴∠BAD = ∠CAD = ∠EAD，
124/145-
AB = AE
{
在△ABD与△AED中， ∠BAD = ∠EAD，
AD = AD
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴BD = DE，∠B = ∠AED，
又∵AB = AE，AB+BD = AC，AE+CE = AC，
∴BD = CE = DE，
∴∠C = ∠EDC，
∴∠B = ∠AED = 2∠C．
方法二：延长AB至点F，使得AF = AC，连接DF，
∵∠BAC的平分线AD交BC边于点D，∴∠BAD = ∠FAD = ∠CAD，
AF = AC
{
在△AFD与△ACD中， ∠FAD = ∠CAD，
AD = AD
∴△AFD≌△ACD(SAS)，
∴∠C = ∠F，又∵AF = AC，AB+BF = AF，AB+BD = AC，
∴BF = BD，
∴∠ABC = 2∠F = 2∠C．
练1.1 【答案】35∘
例2 【答案】证明：延长FD至点G，使得DG = BE
∵∠ABC+∠ADC = 180∘
∴∠ABC = ∠ADG
∵AB = AD，DG = BE
∴△ABE≌△ADG
∴AE = AG，∠BAE = ∠DAG
125/145-
∵BE+DF = EF
∴EF = FG
∴△AEF≌△AGF
1 1
∴∠EAF = ∠FAG = ∠EAG = ∠BAD
2 2
练2.1 【答案】证明：延长DE到F，使EF = BC，连接AF、AC．
∵∠ABC+∠AED = 180∘，∠AEF+∠AED = 180∘
∴∠ABC = ∠AEF
AB = AE
{
在ΔABC和ΔAEF中， ∠ABC = ∠AEF
BC = EF
∴ΔABC≌ΔAEF（SAS），
∴AC = AF
又∵BC+DE = CD，EF = BC，DE+EF = DF
∴CD = DF
又∵AD = AD，AC = AF
∴ΔADC≌ΔADF（SSS）
∴∠ADC = ∠ADF
∴AD平分∠CDE．
例3 【答案】∠A = 60∘，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
1
∴∠BOC = 180∘ − ( 180∘ −60∘) = 120∘，
2
∴∠BOE = ∠COD = 60∘，
在BC上取BF = BE，连接OF，
则△BOE≌△BOF，
∴∠BOF = ∠BOE = 60∘，
∴∠COF = 60∘，
126/145-
∴△COF≌△COD，
∴CD = CF．
∴BE+CD = BF+CF = BC．
练3.1 【答案】证明：在BC上截取BF = AB，连接DF．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠1 = ∠2．
AB = FB
{
在△ABD与△FBD中， ∠1 = ∠2，
BD = BD
∴△ABD≌△FBD(SAS)，
∴AD = FD，∠ADB = ∠FDB，
又∵DE = AD，∴FD = ED，
∵∠A = 100∘，∠ABC = 40∘，∴∠ACB = 40∘，
1 1
又∵∠2= ∠ABC = ×40∘ = 20∘
2 2
∴∠EDC = ∠2+∠ACB = 60∘ = ∠ADB = ∠FDB，
∴∠FDC = 180∘ −(∠ADB+∠FDB) = 60∘ = ∠EDC，
FD = ED
{
在△FDC和△EDC中， ∠FDC = ∠EDC，
DC = DC
∴△FDC≌△EDC(SAS)，
∴CF = CE，
∴BC = BF+CF = AB+CE，即BC = AB+CE．
例4 【答案】7
练4.1 【答案】D
例5 【答案】如图所示，分别过点P作关于草地和河岸的对称点P ，P ，连接P P 与河岸和草地交于点
1 2 1 2
A、B，则牧马人最短的放牧路线为PA → AB → BP．
127/145-
练5.1 【答案】原理：两点之间线段最短
例6 【答案】如图所示，过A点作河边的垂线，并截取AC等于河的宽度，连接BC交另一条河边于点Q，
过Q向河对岸作垂线交河岸于点P，则PQ就是所要修桥的位置．
练6.1 【答案】如图所示，过A点作直线
m∥l，在直线m上截取AD = PQ，过点B作关于直线l的对称点C，连接CD交l于点Q，此时
AP+PQ+QB的值最小．这是由于BQ = CQ，AP = DQ，AD = PQ，
∴AP+PQ+BQ = AD+DQ+QC，当点D、Q、C共线时AD+DQ+QC最短．
能力强化 / 初一 / 春季
第 14 讲 几何模型
128/145-
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】证明：在DC上取点E，使DE = BD，
∵DE = BD，AD⊥BC，
∴△ABD≌△AED，∠B = ∠AED = 2∠C；
∵∠AED = ∠C+∠EAC，
∴∠C = ∠EAC，
∴AE = CE = AB，
∴CD = CE+DE = AB+BD
3 【答案】A
4 【答案】B
5 【答案】
能力强化 / 初一 / 春季
第 14 讲 几何模型
自我巩固答案
1 【答案】A
【解析】在AC上取点E，使得AE = AB，连接DE
∵ AD平分角A
∴ ∠BAD = ∠EAD
∵ AD = AD，AB = AE
∴ ΔABD ≅ ΔAED(SAS)
129/145-
∴ BD = DE，∠B = ∠AED
又 ∵ AC = AB+BD
∴ EC = BD = DE
∴ ΔEDC是等腰三角形
∴ ∠C = ∠EDC
∴ ∠AED = ∠C+∠EDC = 2∠C
∴ ∠B = 2∠C．
故选：A．
2 【答案】D
3 【答案】证明：在AC上截取AE = AB，连接DE．
∵∠BAC的平分线AD交BC边于点D，
∴∠BAD＝∠DAC，
AB = AE
{
在ΔABD与ΔAED中， ∠BAD = ∠DAC，
AD = AD
∴ΔABD ≅ ΔAED（SAS），
∴BD=DE，∠B＝∠AED，
∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，
∴CE = DE = BD，
∴AC = AE+EC = AB+BD．
4 【答案】证明：如图，在AB上截取AF = AD，连接EF，
130/145-
∵AE平分∠PAB，
∴∠DAE = ∠FAE，
在△DAE和△FAE中，
AD = AF
{
∵ ∠DAE = ∠FAE，
AE = AE
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴∠AFE = ∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠C = 180∘，
∵∠AFE+∠EFB = 180∘，
∴∠EFB = ∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF = ∠EBC，
在△BEF和△BEC中，
∠EFB = ∠C
{
∵ ∠EBF = ∠EBC，
BE = BE
∴△BEF≌△BEC（AAS），
∴BC = BF，
∴AD+BC = AF+BF = AB．
5 【答案】证明：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，
131/145-
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC = ∠EAC，CF = CE，
∠CFA = ∠CEA
{
在△CAF和△CAE中， ∠FAC = ∠EAC，
AC = AC
∴△CAF≌△CAE（AAS），
∴AF = AE，
∵∠B+∠ADC = 180∘，∠FDC+∠ADC = 180∘，∴∠B = ∠FDC，
∠FDC = ∠B
{
在△CDF和△CBE中， ∠CFD = ∠CEB，
CF = CE
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴BE = DF，故AE = AF = AD+DF = AD+BE．
6 【答案】 证明：（1）连接CB，由AO＝OB，CO⊥AB，
∴CA＝CB，
∴∠A＝∠CBA，
∵AC＝BE，
∴BE＝CB，
∴∠E＝∠BCE，
∴∠A＝∠CBA＝∠BCE+∠E＝2∠E；
（2）在CE上截取CH＝CA，连接FH，
∵∠ACF＝∠ECF，CF＝CF，
在△FCA与△FCH中，
CA = CH
{
∠ACF = ∠ECF，
CF = CF
∴△FCA≌△FCH，
∴AF＝HF，∠A＝∠CHF＝∠HFE+∠E＝2∠E，
∴∠HFE＝∠E，
∴AF＝HE，
即CE＝CH+HE＝CA+AF；
132/145-
7 【答案】C
【解析】如图所示，作点E关于AD的对称点G．因为AD是等边△ABC的BC边上的中线，则AD是BC
的垂直平分线，则AG＝AE＝2，则G是AB中点．所以EF＋FC＝GF＋FC，即当G、F、C三
点共线时，EF＋CF的值最小等于CG．因为△ABC是等边三角形，G是AB中点，所以CG平
分∠ACB，所以 ．
8 【答案】C
【解析】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
1 1
∴S = BC⋅AD = ×4×AD = 16，解得AD = 8，
△ABC
2 2
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
1
∴△CDM的周长最短 = (CM+MD)+CD = AD+ BC
2
1
= 8+ ×4 = 8+2 = 10．
2
故选：C．
9 【答案】C
10 【答案】D
能力强化 / 初一 / 春季
第 14 讲 几何模型
精选精练
1 【答案】70∘
133/145-
2 【答案】C
3 【答案】解：（1）EF=BE+DF，理由如下：
如图1，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG．
在△ABE和△ADG中，
BE = DG
{
∠B = ∠ADG，
AB = AD
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
1
∵∠EAF= ∠BAD，
2
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
AE = AG
{
∠EAF = ∠GAF，
AF = AF
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为 EF=BE+DF；
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图2，
134/145-
在△ABE和△ADG中，
BE = DG
{
∠B = ∠ADG，
AB = AD
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
1
∵∠EAF= ∠BAD，
2
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
AE = AG
{
∠EAF = ∠GAF，
AF = AF
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF．
4 【答案】60
13
【解析】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
135/145-
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN=ME，
∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．
∵∠ACB=90°，BC=12，AC=5，AB=13，
1 1
∴ AB×CE= BC×AC，
2 2
即13CE=12×5
60
∴CE= ．
13
60
即CM+MN的最小值为 ．
13
60
故答案为 ．
13
5 【答案】2α
【解析】 解：过P作关于OB的对称点P ′ ，作P ′ C⊥OA于C，交OB于D，此时PD = P ′ D，根据点到
′
直线的距离最短可知PD+DC = P C最短，
∵∠PDB=∠P′DB，∠CDO=∠P′DB，
∴∠CDO=∠PDB，
∵P′C⊥OA，∠AOB=α，
∴∠CDO=90°—α，
∴∠PDC = 180∘ −2×(90∘ −α) = 2α．
136/145-
故答案为：2α．
6 【答案】D
能力强化 / 初一 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】B
4 【答案】C
5 【答案】B
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA = DB，
∴∠DAB = ∠B = 32∘，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC = ∠DAB = 32∘，
∴∠C = 180∘ −32∘ −32∘ −32∘ = 84∘，
故选：B．
6 【答案】C
【解析】∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB．
又∵∠B，∠C的平分线相交于点O，
∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO．
∴DB=DO，EC=EO，
又∵BD+EC=5，DO+EO=DE，
∴DE=5．
故选：C．
7 【答案】B
8 【答案】C
137/145-
【解析】读图可得，在x = 40时，速度为0，故（1）（4）正确；
AB段，y的值相等，故速度不变，故（2）正确；
x = 30时，y = 80，即在第30分钟时，汽车的速度是80千米/时；故（3）错误；
故选：C．
9 【答案】C
【解析】过点E作EF//l ，
1
∵ l //l ，EF//l ，
1 2 1
∴ EF//l //l ，
1 2
∴ ∠1 = ∠AEF = 30∘，∠FEC+∠3 = 180∘，
∴ ∠2+∠3 = ∠AEF+∠FEC+∠3 = 30∘ +180∘ = 210∘，
故选：C．
10 【答案】C
11 【答案】17
12 【答案】①②④
【解析】3中的伞把不对称，只有①②④中的图形成轴对称
13 【答案】68∘
【解析】∵长方形的对边AD∥BC，
∴∠2 = ∠1 = 56∘，
由翻折的性质和平角的定义可得∠3 = 180∘ −2∠2 = 180∘ −2×56∘ = 68∘，
∵AD∥BC，
∴∠EGF = ∠3 = 68∘．
故答案为：68∘．
14 【答案】19
138/145-
【解析】∵DE是AC的垂直平分线
∴AD = CD，AC = 2AE = 6cm
又∵ △ ABD 的周长 = AB+BD+AD = 13cm
∴AB+BD+CD = 13cm
即AB+BC = 13cm
∴ △ ABC 的周长 = AB+BC+AC = 13+6 = 19cm
故答案为19．
15 【答案】30
【解析】解：作DE⊥AB 于E，
由基本尺规作图可知，AD是 △ ABC 的角平分线，
∵∠C = 90∘，DE⊥AB，
∴DE = DC = 4，
1
∴ △ ABD的面积= ×AB×DE = 30，
2
故答案为：30．
16 【答案】y＝6x
17 【答案】8
18 【答案】 α
2017
2
【解析】解： ∵ A B是∠ABC的平分线，A C是∠ACD的平分线，
1 1
1 1
∴ ∠A BC = ∠ABC，∠A CD = ∠ACD，
1 1
2 2
又 ∵ ∠ACD = ∠A+∠ABC，∠A CD = ∠A BC+∠A ，
1 1 1
1 1
∴ (∠A+∠ABC) = ∠ABC+∠A ，
1
2 2
1
∴ ∠A = ∠A，
1
2
139/145-
1 1 1 1
同理可得∠A = ∠A = × ∠A = ∠A，
2 1
2 2 2 4
1
由此可得一下规律：∠A = ∠A，
n
n
2
α
当∠A = α时，∠A = ，
2017
2017
2
α
故答案为： ．
2017
2
19
(1)【答案】根据图象知道：
点A到点B是匀速运动、点E到点F是匀加速运动、点G到点H匀减速运动；
【解析】根据图象可以确定从点A到点B、点E到点F、点G到点H分别表明汽车的运动状态；
(2)【答案】根据图象知道：
汽车在点A的速度是30千米每小时，在点C的速度为0千米每小时；
【解析】根据图象可以直接得到汽车在点A和点C的速度；
(3)【答案】如图所示：
．
【解析】结合已知条件利用图象可以画出从28分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图．
20 【答案】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
1 1
∴∠DBF = ∠ABC，∠ECB = ∠ACB，
2 2
∵∠ABC = ∠ACB，
∴∠DBF = ∠ECB，
∵∠DBF = ∠F，
∴∠ECB = ∠F，
140/145-
∴EC//DF．
【解析】 1 1
根据BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，得出∠DBF = ∠ABC，∠ECB = ∠ACB，
2 2
∠DBF = ∠ECB，再根据∠DBF = ∠F，得出∠ECB = ∠F，即可证出EC∥DF．
21 【答案】证明：∵∠ECB+∠DCA＝90∘ ，
∠DCA+∠D＝90∘ ，
∴∠ECB＝∠D ，
在 △ ECB 和 △ CDA 中，
∠ECB = ∠D
{
∠EBC = ∠A = 90∘，
CE = CD
∴ △ ECB≌ △ CDA（AAS） ，
∴BC＝AD， BE＝AC ，
∴AD+AB＝AB+BC＝AC＝BE ．
22 【答案】解：（1）∵ △ ABC
是等边三角形，
∴∠B＝60∘ ，
∵DE//AB ，
∴∠EDC＝∠B＝60∘ ，
∵EF⊥DE ，
∴∠DEF＝90∘ ，
∴∠F＝90∘﹣∠EDC＝30∘ ；
（2）∵∠ACB＝60∘ ，∠EDC＝60∘ ，
141/145-
∴ △ EDC 是等边三角形．
∴ED＝DC＝3，
∵∠DEF＝90∘ ，∠F＝30∘ ，
∴DF＝2DE＝6 ．
23 【答案】EG=6
【解析】解：如图，连接AE、AG
∵D为AB中点，ED⊥AB，
∴EB=EA，
∴△ABE为等腰三角形，
又∵∠B=∠EAB=30°，
∴∠BAE=30°，
∴∠AEG=60°，
同理可证：∠AGE=60°，
∴△AEG为等边三角形，
∴AE=EG=AG，
又∵AE=BE，AG=GC，
∴BE=EG=GC，
又BE+EG+GC=BC=18（cm），
∴EG=6（cm）．
24 【答案】180∘
25 【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD
即∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠E．
∵∠DAE=90°，
142/145-
∴∠E+∠ADE=90°．
∴∠ADB+∠ADE=90°．
即∠BDE=90°．
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
【解析】要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由
∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直
关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直
角三角形提供．
26 【答案】
解：（1）如图①，∵∠ACB＝∠DCE＝α ，
∴∠ACD＝∠BCE ，在△ACD和△BCE 中，
CA = CB
{
∠ACD = ∠BCE，
CD = CE
∴ △ ACD≌ △ BCE（SAS），∴BE＝AD ；
（2）如图①，∵ △ ACD≌ △ BCE，∴∠CAD＝∠CBE ，
∵ △ ABC中，∠BAC+∠ABC＝180∘﹣α ，
∴∠BAM+∠ABM＝180∘﹣α ，
∴ △ ABM 中，∠AMB＝180∘﹣（180∘﹣α）＝α ；
（3） △ CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图②，由（1）可得，BE＝AD ，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，∴AP＝BQ ，
∵ △ ACD≌ △ BCE，∴∠CAP＝∠CBQ ，
在 △ ACP和 △ BCQ中，
CA = CB
{
∠CAP = ∠CBQ，
AP = BQ
∴ △ ACP≌ △ BCQ（SAS） ，
∴CP＝CQ ，且∠ACP＝∠BCQ ，
又∵∠ACP+∠PCB＝90∘，
143/145-
∴∠BCQ+∠PCB＝90∘，
∴∠PCQ＝90∘，
∴ △ CPQ为等腰直角三角形．
27 【答案】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x+12＝2x，
解得：x＝12；
∴点M、N运动12秒后，M、N两点重合．
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
144/145-
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
AC = AB
{
∵ ∠C = ∠B ，
∠AMC = ∠ANB
∴△ACM≌△ABN，
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时
间为16秒．
145/145
