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思维突破 / 初二 / 暑假
第 1 讲 中点问题
例题练习题答案
例1 如图，在四边形ABCD中，已知AB、CD所在的直线垂直，且AB = CD = 2，E、F分别为AD、BC
的中点，求EF的长．
例2 如图，M、N是四边形ABCD的对角线BD的三等分点，CM、CN的延长线分别交AB、AD于点E、
F，且E、F恰为AB、AD的中点，求证：四边形ABCD是平行四边形．
例3 如图，已知在△ABC中，AB > AC，AD⊥BC于点D，E、F、G分别是AB、BC、AC的中点，求证：
∠BFE = ∠EGD．
例4 1
如图，在△ABC中，∠B = 2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点，求证：DM = AB．
2例5 如图，在△ABC中，AD是中线，AE = EF，求证：AC = BF．
例6 已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A、B重合），分别过点A、B向直线CP作垂线，垂足分别
为E、F，Q为边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是______________，QE与QF的数量关系是
______________；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
例7 如图，在平行四边形ABCD中，∠ACD = 60∘，P是平行四边形外一点，△ABP是等边三角形，求
证：AC平分PD．
例8 如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、
CG．
（1）证明：EG = CG且EG⊥CG；
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？例9 在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP = ∠ACP，过点P作PF⊥AC于
点F，PE⊥AB于点E．
（1）如图1，当AB = AC时，判断DE与DF的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当AB ≠ AC，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．
例10 在△ABC中，AB = AC，分别以AB和AC为斜边，在△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中
点，连接MD和ME．
（1）如图1所示，若AB = AC，则MD和ME的数量关系是_____________；
（2）如图2所示，若AB ≠ AC，其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出
证明过程；
（3）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中
• •
点，连接MD和ME，请在图3中补全图形，判断△MED的形状并证明．1 如图，在△ABC中，AC > AB，D点在AC上，AB = CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延
长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC = 60∘，连接GD，判断△AGD的形状并证明．
思维突破 / 初二 / 暑假
第 1 讲 中点问题
自我巩固答案
1 如图，在□ABCD中，BE//AC，DE交AC的延长线于点F，求证：DF = FE．
2 如图，在△ABC中，已知BD = CE，M、N分别为BE、CD的中点，过MN的线段与AB、AC分别交
于点G、H，求证：△AGH是等腰三角形．3 如图，正方形ABCD中，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF = CE，连接DF，交
BE的延长线于点G，连接CG，求证：BE = 2CG．
4 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，FE//AB，证明：F是BC的中点．
思维突破 / 初二 / 暑假
第 1 讲 中点问题
课堂落实答案
1 如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE为∠BAC的角平分线，BE⊥AE，AB = 10，AC = 14，求DE
的长．
2 如图，在等腰△ABC中，AB = AC，CD是中线，延长AB到E，使得BE = AB，连接CE，求证：
CE = 2CD．3 如图，∠MON = 90∘，在△ABC中，∠BAC = 90∘，AB = 2，AC = 1，AB在∠MON上滑动，求OC
的最大值．
思维突破 / 初二 / 暑假
第 1 讲 中点问题
课堂落实答案
1 如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE为∠BAC的角平分线，BE⊥AE，AB = 10，AC = 14，求DE
的长．
2 如图，在等腰△ABC中，AB = AC，CD是中线，延长AB到E，使得BE = AB，连接CE，求证：
CE = 2CD．3 如图，∠MON = 90∘，在△ABC中，∠BAC = 90∘，AB = 2，AC = 1，AB在∠MON上滑动，求OC
的最大值．
思维突破 / 初二 / 暑假
第 2 讲 几何变换（一）
例题练习题答案
例1 (1)在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为A(−1, −1)，B(1,2)，平移线段AB，得
到线段A′B′，已知A′的坐标为(3, −1)，则点B′的坐标为___________；
(2)如图， △ DEF是由 △ ABC通过平移得到的，且点B、E、C、F在同一条直线上，若BF = 14
，EC=6，则BE的长度是____________；
(3)如图，面积为6cm 2 的 △ ABC纸片沿BC方向平移至 △ DEF的位置，平移的距离是BC长的2
倍，则 △ ABC纸片扫过的面积为____________．
例2 如图，把菱形ABCD沿着BD的方向平移到菱形A′B′C′D′的位置．
（1）求证：重叠部分的四边形B′EDF是菱形；（2）若BD = 6，∠ABC = 60∘，且重叠部分的四边形B′EDF面积是菱形ABCD面积的一半，求此
菱形移动的距离．
例3 如图，线段AB = CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC = 60∘，CE是由AB平移所得，则AC+BD与
AB的大小关系是（ ）
A： AC+BD > AB
B： AC+BD = AB
C： AC+BD ≥ AB
D： 无法确定
例4 如图，已知△ABC．
（1）请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两
• • • •
对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
•
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明：AB+AC > AD+AE．
例5 (1) 如图，△ABC中，∠BAC = 90∘，AB = 3，AC = 4，点D是BC的中点，将 △ ABD沿AD翻折得
到 △ AED，连接CE，则线段CE的长等于（ ）A： 2
B： 5
4
C： 5
3
D： 7
5
(2) 如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边A D 过点C，EF为折痕，若∠B = 60∘，当
1 1
BE
A E⊥AB时， 的值等于（ ）
1
AE
A： √3
6
B： √3−1
6
C： √3+1
8
D： √3−1
2例6
(1)如图，矩形纸片ABCD中，AB = 5，BC = 10，CD上有一点E，EC = 2，AD上有一点P，
PA = 6，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于点Q，则线段
PQ的长是（ ）
A： 4
B： 4.5
C： 1
4
5
D： 1
4
6
(2)如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形
AD
ABCD内部，将AF延长交边BC于点G，若BG长度为CG长度的4倍，则 为（ ）
AB
A： 1
2
B： √2
2C： √5
2
D： √3−1
2
例7 如图，在△ABC中，AB > AC，P为∠BAC平分线AD上一点，连接PB、PC，求证：AB−AC >
PB−PC．
例8 凸四边形ABCD的对角线AC、BD垂直相交于点O，且OA > OC，OB > OD，求证：
BC+AD > AB+CD．
例9 △ ABC是等边三角形，P为平面内一个动点，BP = BA，若0∘ < ∠PBC < 180∘，且∠PBC的平分
线上一点D满足DB = DA．
（1）当BP和BA重合时（如图1），∠BPD = ________°；
（2）当BP在∠ABC内部时（如图2），求∠BPD．
例10 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE = 90∘，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系
为______________________________；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE = 120∘，则线段AB、BD、DE、AE
的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．1 如图，Rt △ ABC纸片中，∠C = 90∘，AC = 6，BC = 8，点D在边BC上，以AD为折痕，△ABD折
叠得到 △ AB ′ D，AB ′ 与边BC交于点E．若 △ DEB ′ 为直角三角形，求BD的长．
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第 2 讲 几何变换（一）
自我巩固答案
1 如图，线段AB与线段CD交于点O，AB = CD = 1且∠BOD = 60∘，则AC+BD（ ）
A： > 1
B： ≥ 1C： < 1
D： ≤ 1
2 如图，在六边形ABCDEF中，AB//ED，AF//CD，BC//FE，AB = ED，AF = CD，BC = FE，且对
角线FD⊥BD，FD = 24cm，BD = 18cm，则六边形ABCDEF的面积为__________．
3 如图，点E、M、N分别为正方形ABCD的CD、AD、BC边上的点，且MN⊥BE，证明：
（1）MN = BE；（2）BN+ME ≥ √2BE．
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第 2 讲 几何变换（一）
课堂落实答案
1 下列关于平移的说法，错误的是（ ）
A： 平移前后的对应线段平行且相等
B： 平移前后的对应线段共线
C： 平移前后的对应角相等
D： 平移前后的图形全等
2 如图，梯形ABCD中，AB//CD，∠A和∠B均为锐角，且AD > BC，则∠A和∠B的大小关系是
（ ）A： ∠A > ∠B
B： ∠A = ∠B
C： ∠A < ∠B
D： 无法确定
3 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘，AC = 4，将△ABC沿CB向右平移2个单位得到△DEF，则四边形
ABED的面积等于_________．
4 如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD = 2，BC = 3，AC = 4，则BD = _________．
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第 3 讲 几何变换（二）
例题练习题答案
例1 (1)下列图形中，中心对称图形有（ ）A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
(2)下列汉字或者字母既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A： 大
B： 由
C： H
D： Z
例2 如图，把 △ ABC绕点C顺时针旋转35°，得到 △ A ′ B ′ C，A ′ B ′ 交AC于点D，若∠A ′ DC = 90∘，
则∠A度数为（ ）
A： 45∘
B： 55∘
C： 65∘
D： 75∘
例3 （1）已知点A(2a+2,3−3b)与点B(2b−4,3a+6)关于原点对称，求a与b的值；
（2）已知点A(m−n,2−m)与点B(3n, −2n−m)关于坐标原点对称，求点P(m,n)绕原点顺时针旋转
90°后的对应点的坐标．例4 如图，在 △ ABC中，AB = AC， △ ABC与 △ DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
(1)线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由；
(2) 如果 △ ABC的面积为5cm 2 ，求四边形ABDE的面积；
(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
例5 如图，△ABC中，AB = AC = 1，∠BAC = 45∘，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE = CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
例6 如图，P为正△ABC内一点，∠APB = 110∘，∠APC = 125∘，求证：以AP、BP、CP为边可以构成
三角形，并确定所构成的三角形各内角的度数．
例7 如图，P为等边 △ ABC内一点，且PA = 4，PB = 3，PC = 5，求：（1）∠BPA；（2） △ ABC的
面积．例8 如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB = 90∘，M、N为斜边AB上两点，∠MCN = 45∘，求证：
2 2 2
AM +BN = MN ．
例9 如图，P为正△ABC内一点，∠APB = 112∘，若以AP、BP、CP的长度为边的三角形是等腰三角
形，求∠BPC的所有可能度数．
例10 阅读下面材料：
何小旭遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB = 2，
AC = 4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．
何小旭是这样思考的：利用旋转变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转
中心，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A ′ BC，连接AA ′ ，当点A落在A ′ C上时，此题可解（如
图2）．(1)请你回答：AP的最大值是_________；
(2)参考何小旭同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC的边AB = 4，P为
△ ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是____________．（结果可以不化简）
1 在△ABC中，AB = AC，∠BAC = α（0∘ < α < 60∘），将线段BC绕点B逆时针旋转60∘得到线段
BD．
(1)如图1，直接写出∠ABD的大小；（用含α的式子表示）
(2) 如图2，∠BCE = 150∘，∠ABE = 60∘，判断△ABE的形状并加以证明；
(3)在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC = 45∘，求α的值．
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第 3 讲 几何变换（二）
自我巩固答案
1 若点A(n,2)与点B(−3,m)关于原点对称，则n−m = （ ）
A： −1
B： −5
C： 1
D： 5
2 如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P ′ BA，则∠PBP ′ 的度数是（ ）A： 45∘
B： 60∘
C： 90∘
D： 120∘
3 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB C D ，边B C 与CD交于点
1 1 1 1 1
O，则四边形AB OD的面积是（ ）
1
A： 3
4
B： 7
16
C： √2−1
2
D： √2−1
4 如图，△ABC是等边三角形，∠BDC = 120∘，求证：AD = BD+CD．5 如图，△ABC中，∠BAC = 120∘，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋
转60°后到△ECD的位置，若AB = 3，AC = 2，求∠BAD的度数和AD的长．
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第 3 讲 几何变换（二）
课堂落实答案
1 (1)下列关于旋转的说法不正确的是（ ）
A： 旋转中心在旋转的过程中保持不动
B： 旋转中心可以是图形上的一点，也可以是图形外的一点
C： 旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定
D： 旋转由旋转中心所决定
(2) 如图，△ABC绕点O顺时针旋转后得到△A ′ B ′ C ′ ，则下列说法中错误的是（ ）A： OA = OB
B： ′
OC = OC
C： ∠AOA ′ = ∠BOB ′
D： ∠AOB = ∠A ′ OB ′
(3) ′
点P(−3,1)关于原点的对称点P 的坐标是___________．
2 如图，D为等边 △ ABC边BC上一点， △ ABD绕点A旋转到 △ ACE，则∠DAE = ___________∘．
3 如图， △ OBD中，OD = BD， △ OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到 △ OAC，此时B、D、
C三点刚好在一条直线上，且点D是BC的中点．
（1）求∠COD度数；
（2）求证：四边形ODAC是菱形．思维突破 / 初二 / 暑假
第 4 讲 四边形综合（一）
例题练习题答案
例1 如图，△ABC中，∠C = 90∘，CM⊥AB于点M，AN平分∠BAC交CM于点D，交BC于点N，过D作
DE//AB交BC于点E，求证：CN = BE．
例2 如图，△ABC中，∠C = 90∘，CM⊥AB于点M，AN平分∠BAC交CM于点D，交BC于N，E是BC上
一点，且CN = BE，求证：DE//AB．
例3 如图，在正△ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AP = CQ，今量得A点与线段PQ的中
点M之间的距离是19cm，则P点到C点的距离等于______cm．
例4 如图，△ABC中，D、F是AB边上两点，且AD = BF，作DE//BC，FG//BC，分别交AC于点E、G，
求证：DE+FG = BC．例5 如图，在平行四边形ABCD中，DC边的延长线上有一点E，且CE = DC，连接AE，分别交BC、BD
于点F、G，连接AC交BD于点O，连接OF，试证明：AB = 2OF．
例6 如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且 △ ACE是等
边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED = 2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
例7 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD⊥DC，∠C = 60∘，AD = 4，BC = 6，求AB的长．
例8 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠BAC = 90∘，∠CED = 45∘，
∠DCE = 30∘，DE = √2，BE = 2√2，求CD的长和四边形ABCD的面积．例9 1
如图，在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE = BC，连接DE、CF．
2
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB = 4，AD = 6，∠B = 60∘，求DE的长．
例10 已知：如图，在□ABCD中，∠BAD，∠ADC的角平分线AE、DF分别与线段BC相交于点E、F，AE
与DF相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD = 10，AB = 6，AE = 4，求DF的长．
1 如图，分别以△ABC的边AB、AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点，求
证：MA⊥BC．
思维突破 / 初二 / 暑假第 4 讲 四边形综合（一）
自我巩固答案
1 如图，在Rt △ ABC中，∠C = 90∘，M是AB的中点，AM = AN，MN//AC，求证：MN = AC．
2 如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，E是AD上的点，BE = CE，∠BEC = 90∘，M是BC的
中点，求证： △ ADM是等腰直角三角形．
3 如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE = ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD
，垂足分别为点F、G，求证：PF+PG = AB．
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第 4 讲 四边形综合（一）
自我巩固答案
1 如图，在Rt △ ABC中，∠C = 90∘，M是AB的中点，AM = AN，MN//AC，求证：MN = AC．2 如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，E是AD上的点，BE = CE，∠BEC = 90∘，M是BC的
中点，求证： △ ADM是等腰直角三角形．
3 如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE = ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD
，垂足分别为点F、G，求证：PF+PG = AB．
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第 4 讲 四边形综合（一）
课堂落实答案
1 如图，四边形ABCD为正方形，BD//CF，四边形BDFE为菱形，求∠EBC．2 如图，以□ABCD的两邻边BC、CD向内作等边 △ BCP、 △ CDQ，求证： △ APQ为等边三角
形．
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第 5 讲 四边形综合（二）
例题练习题答案
例1 如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若
GF的长为13cm，求线段AF的长．
例2 如图，矩形ABCD中，AB = 20，BC = 10，若在AC、AB上各取一点M、N，使得BM+MN的值最
小，求这个最小值．例3 如图，矩形ABCD中，AB = √3，BC = 3，AE⊥BD于点E，求EC的长．
例4 如图1，在 △ AOB中，∠OAB = 90∘，∠AOB = 30∘，OB = 8，以OB为边，在 △ OAB外作等边
△ OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于点E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
例5 如图，梯形ABCD中，CD//AB， △ ABD为等腰直角三角形，AC = AB，AC与BD相交于E点，
1
CF⊥AB于F点，交BD于G点，下列结论：①CF = AB；②BE = BC；③BC = √2CD；④CE = 2BF
2
，其中正确结论的个数为________．
例6 1
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC = 80∘，AB = AD = BC，CH⊥AB于点H，连接
2
DH，求∠CHD的度数．
例7 已知：如图，过正方形ABCD的顶点B作直线BE平行于对角线AC，使得AE = AC（E、C均在AB的
同侧），求证：∠CAE = 2∠BAE．例8 如图，正方形ABCD中，P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接
AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．
（1）若AE = 2，求EF的长；
（2）求证：PF = EP+EB．
例9 如图，正方形ABCD中有一点P，使得PA = 1，PB = 2，PC = 3．
（1）求∠APB的度数；
（2）求正方形的边长．
例10 如图，正六边形ABCDEF内有一点P，且PA = 2√13，PB = 4，PC = 2．
（1）求∠BPC的度数；
（2）求正六边形ABCDEF的边长．1 如图， △ ABC中，AD⊥BC于点D，∠CAB = 45∘，BD = 3，CD = 2，求 △ ABC的面积．
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第 5 讲 四边形综合（二）
自我巩固答案
1 如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为
MN，求线段AM的长．
2 如图，四边形ABCD是直角梯形，AB = BC = 2AD，且PA = 1，PB = 2，PC = 3，求梯形ABCD的
面积．
思维突破 / 初二 / 暑假第 5 讲 四边形综合（二）
课堂落实答案
1 如图，矩形纸片ABCD中，AD = 6，AB = 8，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交
DC于点F，求DF的长．
2 如图，以Rt △ BCA的斜边BC为一边在 △ BCA的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接
AO，如果AB = 4，AO = 6√2，求AC的长．
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第 6 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 下列关于旋转的说法不正确的是（ ）
A： 旋转中心在旋转的过程中保持不动
B： 旋转中心可以是图形上的一点，也可以是图形外的一点
C： 旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定
D： 旋转由旋转中心所决定
2 如图所示， △ ABC是直角三角形，∠ACB = 90∘，AC = 4，BC = 2，点D是AB边的中点，连接
CD，则CD的长为（ ）A： √5
B： 2
C： √3
D： 4√3
3
3 如图，在 △ ABC中，∠CAB = 65∘，将ABC在平面内绕点A旋转到 △ AB ′ C ′ 的位置，使CC ′ //AB
，则旋转角的度数为（ ）
A： 35∘
B： 40∘
C： 50∘
D： 65∘
4 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点， △ ABD的周长为16cm，则
△ DOE的周长为（ ）cm．A： 6
B： 8
C： 10
D： 12
5 若AD是 △ ABC的中线，且AB = 6，AC = 3，则AD不可能取如下哪个值（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
6 如图，已知EF是梯形ABCD的中位线，若AB = 8，BC = 6，CD = 4，∠B的平分线交EF于点G，则
FG的长为（ ）
A： 2
B： 2.5
C： 3
D： 3.5
7 如图，M是 △ ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB = 10，BC = 15，
MN = 3，则 △ ABC的周长是（ ）
A： 41B： 40
C： 39
D： 38
8 将点M(−4,0)绕着原点逆时针旋转45∘后得到点N，则点N的坐标是______________．
9 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45∘后得到正方形AB C D ，边B C 与CD交于点
1 1 1 1 1
O，则四边形AB OD的面积是______________．
1
10 如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在边CD上，点E在边CB的延长线上，且AE⊥AF，
AF = 20，则BE的长为______________．
11 如图，已知EF是梯形ABCD的中位线， △ DEF的面积为4，则梯形ABCD的面积为
______________．
12 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直
线折叠，使A落在MN上，落点记为A ′ ，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边上的中点，
则A ′ N = ______________；若M、N分别是AD、BC边上距DC最近的n等分点（n ≥ 2，且n为整
数），则A ′ N = ______________．（用含有n的式子表示）13 在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF = BE，连接AF、BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF = 3，BF = 4，DF = 5，求证：AF平分∠DAB．
14 如图，在 △ ABC中，AB = AC， △ ABC与 △ DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由；
（2）如果 △ ABC的面积为5cm 2 ，求四边形ABDE的面积；
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
15 如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA = PE，PE交CD
于点F．
（1）证明：PC = PE；
（2）求∠CPE的度数．16 如图1，在 △ ABC中，∠A = 36∘，AB = AC，∠ABC的平分线BE交AC于点E．
（1）求证：AE = BC；
（2）如图2，过点E作EF//BC交AB于点F，将AEF绕点A逆时针旋转角α ( 0∘ < α < 144∘) 得到
△ AE ′ F ′ ，连接CE ′ ，BF ′ ，求证：CE ′ = BF ′ ；
′
（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE //AB？若存在，求出相应的旋转角α，若不存在，请说明
理由．
17 如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上， △ BEG是等腰直角三角形，且
∠BEG = 90∘，点F是DG的中点，连接EF与CF．
（1）求证：EF = CF，EF⊥CF；
（2）如图2，若等腰直角三角形BEG绕点B按顺时针旋转45∘，其它条件不变，请判断 △ CEF的
形状，并证明你的结论．
18 (1)如图，P为 △ ABC中一点，满足∠PAC = ∠PBC，过点P作BC、AC边的垂线，垂足分别为
M、N，D为AB边中点，连接DN、DM，求证：DN = DM．(2) 如图，点P是正方形ABCD内一点，PA = 1，PD = √10，∠APB = 135∘ ，则PB的长为
______________．
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第 7 讲 一元二次方程
例题练习题答案
例1 2
（1）若x = −1是方程ax +bx+3 = 0的一个根，求a−b的值；
（2）若 (√2+1 ) x 2 + (√2−m ) x−2√2 = 0有一个根是1，求m的值．
例2 利用配方法解下列方程：
2
（1）x +6x+5 = 0；
2
（2）2x +4x = 0．
例3 利用公式法解下列方程：
2
（1）x −4x−7 = 0；
（2）2x 2 −2√2x+1 = 0；
2
（3）x −8x+1 = 0；
2
（4）x −x+1 = 0．
例4 利用因式分解法解下列方程：
2
（1）6x−x = 0；
（2）x(x−2)+x = 2；
2
（3）111x −11x−122 = 0；2 2
（4）x −6x+9 = 4x −20x+25．
例5 选择恰当的方法解下列方程：
2
x+2 x −3
（1） − = 2；
3 2
（2）x 2 −2√3x+1 = 0．
例6 选择恰当的方法解下列方程：
2
（1）(3x−5) −4|3x−5|+3 = 0；
(
2
)2 (
2
)
（2） x +3x −2 x +3x −8 = 0．
例7 1
( )
2
求证：方程x −(2k+1)x+4 k− = 0总有实根．
2
例8 若a、b为实数，证明：方程(x−a)(x−b) = 1有两个不同的实数根．
例9 关于x的方程ax 2 +(2a−1)x+a−5 = 0有两个不同的实根，求实数a的取值范围．
例10 2 2
已知a、b为整数，x −ax+3−b = 0有两个不相等的实数根；x +(6−a)x+7−b = 0有两个相等
2
的实数根；x +(4−a)x+5−b = 0没有实数根，求a、b的值．
1 ( 2 ) 2 ( 2 )
解关于x的方程 m −1 x + m −4m−3 x−3m = 0．
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第 7 讲 一元二次方程
自我巩固答案
1 解方程：
2
（1）0.5x +x = 8；
（2）2x 2 +√3(2x+1)−x−1 = 0；1 1 1
2
（3） x + x+ = 0；
4 2 4
（4）y(10+3y) = −3；
（5）(3x−5)(3x+5)+6x = −26；
（6）(x+3)(x−1) = 5；
（7）√3x 2 = 6x−√3；
4 2
（8）x +3x −4 = 0．
2 (
2
)2 (
2
)
解方程： x +x+1 +2 x +x+1 −15 = 0．
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第 7 讲 一元二次方程
课堂落实答案
1 解下列方程：
2
（1）2(x+2) −8 = 0；
2
（2）4x +12x+9 = 0；
2
（3）x −2x−4 = 0．
2 ( )2 ( )
2 2
解方程： x +x − x +x −2 = 0．
3 2
若m为实数，证明：一元二次方程x +2mx+m−4 = 0有两个不相等的实数根．
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第 7 讲 一元二次方程
课堂落实答案1 解下列方程：
2
（1）2(x+2) −8 = 0；
2
（2）4x +12x+9 = 0；
2
（3）x −2x−4 = 0．
2 ( )2 ( )
2 2
解方程： x +x − x +x −2 = 0．
3 2
若m为实数，证明：一元二次方程x +2mx+m−4 = 0有两个不相等的实数根．
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第 8 讲 根与系数的关系（一）
例题练习题答案
例1 求下列方程的两根之和与两根之积：
2
（1）x −4x+2 = 0；
2
（2）4x −20x+1 = 0；
2
（3）−2x −5x+1 = 0．
例2 2
（1）已知方程3x −(k−1)x+2 = 0的一个根是1，则另一个根是________；
2
（2）已知方程x +bx+c = 0的两个根为3和5，则b = ________，c = ________；
2
（3）已知方程2x +3bx+4c = 0的两个根为4和9，则b = ________，c = ________．
例3 2
已知一元二次方程x −3x+1 = 0的两根为α、β，求：
2 2
（1）α +β ；
（2）|α−β|；
3 3
（3）α +β ．
例4 已知一元二次方程x 2 +9x+6 = 0的两根为a、b，求：1 1
（1） + ；
a b
1 1
( )( )
（2） a− b− ．
b a
例5 −1+√5 −1−√5
（1）求作一个一元二次方程，使它的两根分别是 和 ；
2 2
2
（2）求作一个一元二次方程，使它的根分别是方程x −5x+2 = 0的两根的2倍．
例6 n
2
已知关于x的一元二次方程x +mx+n = 0有非零实根，其中一根是另一根的2倍，求 的值．
2
m
例7 若a、b是方程x 2 −6x−3 = 0的两根，求作一个以a 2 、b 2 为根的一元二次方程．
例8 已知关于x的一元二次方程x 2 −2(a−2)x+a 2 −5 = 0有两个实根，其两根之积等于两根之和的2
倍，求a的值．
例9 4
t −1
2 ( )( )
已知关于x的方程2x −2tx+t = 0的两个实数根x 、x 满足 x −1 x −1 = 2，求 的值．
1 2 1 2
t−1
例10 2 2 2 2
已知α、β是方程x +2(k+3)x+k +3 = 0的两实数根，求(α−1) +(β−1) 的最小值．
1 有一个一元二次方程ax 2 +bx+c = 0，甲看错了a，得到两个根分别为4和8，乙得到了正确结果为
6c+b
2个相等的实数根，求 的值．
a
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第 8 讲 根与系数的关系（一）
自我巩固答案1 2
已知关于x的方程4x −(m−1)x+(m−7) = 0．
（1）当两根互为相反数时，求m的取值；
（2）当有一根为0时，求m的取值．
2 2 3
（1）求作一个一元二次方程，它的两根分别是 和 ；
3 2
2
（2）求作一个一元二次方程，使它的根分别是方程3x −4x+1 = 0的两根的倒数．
3 2
若关于x的一元二次方程2x +5x+k = 0的一根是另一根的4倍，求k的值．
4 2
是否存在实数a，使得x 、x 是方程4ax −4ax+a+4 = 0的两个实根，且36x x +x +x = 14？
1 2 1 2 1 2
5 2 ( 2 )( 2 )
若a、b是关于x的一元二次方程x +2014x+1 = 0的两个根，求 1+2008a+a 1+2008b+b 的
值．
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第 8 讲 根与系数的关系（一）
课堂落实答案
1 2
已知α、β是方程x −x−1 = 0的两个实数根，计算下列各式的值：
1 1
（1） + = __________；
α β
2 2
（2）α +αβ+β = _________；
3 3
（3）α +β = _________．
2 （1）以1和−2为两根的一个一元二次方程是________________；
2
（2）一个一元二次方程，它的根分别是方程2x −7x+1 = 0的两根的平方，该方程为
___________________．3 1 1
一元二次方程3x 2 −(8+m)x−10 = 0的两个根分别为x 、x ，且 + = −1，求m．
1 2
x x
1 2
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第 9 讲 根与系数的关系（二）
例题练习题答案
例1 2
设方程x −101x+k−2 = 0的一个根的3倍少7为另一个根，求k的值．
例2 2
设方程2x −(a−1)x+a+3 = 0的两根之差为1，求a的值．
例3 2 3
已知α、β是方程x −2x−4 = 0的两个实数根，求α +8β+6的值．
√ √
例4 α β
2
已知方程x +4x+1 = 0的两根是α、β，求 + 的值．
β α
例5 2 2 3 3
已知m = m+1，n = n+1(m ≠ n)，求m +n 的值．
例6 ab+4a+1
设实数a、b满足：19a 2 +99a+1 = 0，b 2 +99b+19 = 0，且ab ≠ 1，求 的值．
b
例7 2
当m取何值时，方程x −(m+1)x+m = 0的两根满足：
（1）都为正根；
（2）两根异号，且负根的绝对值大于正根的绝对值．
例8 (1) 2
当m取何值时，方程x −(2m+1)x+2m = 0的两根满足：
①两根都大于−1；
②一根大于−1，一根小于−1．
(2) 2
当m取何值时，方程x −(2m+1)x+2m−1 = 0的两根满足：
①两根都大于−1；②一根大于−1，一根小于−1．
例9 若关于x的方程(m−1)x 2 +2(m+1)x−m = 0的根都是正数，求m的取值范围．
例10 是否存在k，使得关于x的一元二次方程x 2 +(k+1)x+2k−1 = 0的两个根均为非负数？
1 ( 2 ) 2
关于x的一元二次方程 15+k −8k x −2(13−3k)x+8 = 0的两根都是非负数，求整数k的取值范
围．
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第 9 讲 根与系数的关系（二）
自我巩固答案
1 q p
2
若质数p、q是方程x −13x+m = 0的根，求 + 的值．
p q
2 2 2
设x 1 、x 2 是方程2x −4mx+2m +3m−2 = 0的两个实根，当m为何值时，x 2 +x 2有最小值？
1 2
3 a
2 2
已知ab ≠ 1，且3a +65673124a+5 = 0，5b +65673124b+3 = 0，求 的值．
b
4 56
2 2
设α、β是方程x −7x+8 = 0的两根，求 −β 的值．
α
5 2 2
已知关于x的一元二次方程x −2x−a −a = 0(a > 0)，若对于a = 1，2，3，4，⋯，2014，相应的
1 1 1 1
一元二次方程的两根分别为α ,β ，α ,β ，⋯，α ,β ，求 + + + +⋯+
1 1 2 2 2014 2014
α β α β
1 1 2 2
1 1
+ 的值．
α β
2014 2014思维突破 / 初二 / 暑假
第 9 讲 根与系数的关系（二）
课堂落实答案
1 2
已知方程x +ax+20 = 0的两根之差是8，求a的值．
2 2
关于x的方程x −(m+2)x+m−5 = 0有两个正根，求m的取值范围．
3 2
方程x −11x+30+a = 0有两个大于5的实数根，求a的取值范围．
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第 10 讲 整数根问题
例题练习题答案
例1 已知关于x的方程mx 2 −(m+2)x+2 = 0(m ≠ 0)．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
例2 已知关于x的方程mx 2 −(4m+1)x+3m+3 = 0．
（1）求证：方程有实数根；
（2）m为何整数时，此方程的根都为整数．
例3 已知关于x的一元二次方程mx 2 −(2m+n)x+m+n = 0．
（1）求证：方程有实数根1；
（2）若m+n = 2，m为正整数，且方程有两个不相等的整数根，求m、n．
例4 已知关于x的方程(a−1)x 2 +2x−a−1 = 0的根都是整数，求整数a的值．
例5 2
已知关于x的方程x +(a−6)x+a = 0的两根都是整数，求a的值．例6 已知关于x的方程x 2 −(m+1)x+5 = 0的两根都是整数，求m的值．
例7 已知关于x的方程x 2 −(12−m)x+m−1 = 0的两根都是正整数，求m的值．
例8 已知关于x的一元二次方程x 2 +2x+2k−4 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
例9 已知关于x的方程x 2 −(m+2)x+m−4 = 0有两个整数根，求正整数m的值．
1 2 2 ( 2 ) 2
已知关于x的方程a x − 3a −8a x+2a −13a+15 = 0(a ≥ 0)至少有一个整数根，求非负整数a的
值．
思维突破 / 初二 / 暑假
第 10 讲 整数根问题
自我巩固答案
1 2
已知方程x −2013x+a = 0有两个质数根，求a的值．
2 已知方程x 2 +mx−m+1 = 0有两个不相等的正整数根，求m的值．
3 2
若关于x的方程rx −(2r+7)x+(r+7) = 0的根都是正整数，求整数r的值．
思维突破 / 初二 / 暑假
第 10 讲 整数根问题
课堂落实答案
1 2
已知方程kx +(k+1)x+k−1 = 0有两个不同的整数根，求k的值．2 已知方程x 2 −(4k+3)x+3k 2 +6k = 0的根都是整数，求整数k的值．
3 ( 2 ) 2
已知方程 a −1 x −2(5a+1)x+24 = 0有两个不相等的负整数根，求整数a的值．
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第 11 讲 概率初步
例题练习题答案
例1 下列事件中，必然事件是（ ）
A： 掷一枚硬币，正面朝上
B： a是实数，|a| ≥ 0
C： 某运动员跳高的最好成绩是20.1米
D： 从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品
例2 下列说法正确的是（ ）
A： 1
在一次抽奖活动中，“中奖的概率是 ”表示抽奖100次就一定会中奖
100
B： 随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上
C： 同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6
D： 1
在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是
13
例3 下表表示某签筒中各种签的数量．已知每支签被抽中的机会均相等，自此筒中抽出一支签，则抽
中红签的概率是（ ）A： 1
3
B： 1
2
C： 3
5
D： 2
3
例4 一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白
球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是_________．
例5 同时掷两个质地均匀的骰子，先用列表法将所有的情况列举出来，然后计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同；
（2）两个骰子的点数和是9；
（3）至少有一个骰子的点数为2．
例6 有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两
把锁，任意取出一把钥匙去打开任意的一把锁，打开锁的概率是多少？
例7 1 1
甲、乙两人做出拳游戏，甲出石头的概率为 ，出剪子、布的概率都是 ；乙出石头、剪子的概率
2 4
1 1
都为 ，出布的概率为 ，求：
4 2
（1）平局的概率；
（2）甲赢的概率；
（3）乙赢的概率．
例8 老张与小李比赛下棋，两人水平相当，两人约定赛7局，先赢4局者胜，现在已经比了3局，老张胜
了2局，小李胜了1局，请问：老张获得最后胜利的概率有多少？
例9 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，列表或画树状图，求抽到的都是合格品的概率；
（2）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次
重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.9，则可以推算出x的值大约
是多少？
例10 在一个不透明的口袋里装有若干个质地相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了
摸球实验，他们将30个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并
记下颜色，再把它放回袋中，多次重复摸球．下表是多次活动汇总后统计的数据：
摸球的次数S 150 200 500 900 1000 1200
摸到白球的频数n 51 64 156 275 303 361
摸到白球的频率 0.34 0.32 0.312 0.306 0303 0.301
（1）请估计：当次数S很大时，摸到白球的频率将会接近________；假如你去摸一次，你摸到红球
的概率是________；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中红球有多少只？
1 假设抛掷硬币出现正面和出现反面的概率相同，那连续抛10次硬币，不连续出现两次正面朝上的
概率是多少？
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第 11 讲 概率初步
自我巩固答案
1 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖箱中有200张抽奖卡，其中有一等奖5张，二等奖10张，三等
奖25张，其余抽奖卡无奖，某顾客购物后参加抽奖活动，他从抽奖箱中随机抽取一张，则中奖的
概率为_________．
2 从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出
的两件产品中恰有一件次品的概率．3 某军事演习中，两部队同时发射一枚炮弹打击空中一无人驾驶机，已知第一支部队的炮弹击中无
3 7
人驾驶机的概率为 ，第二支部队的炮弹击中无人驾驶机的概率为 ，求飞机被击落的概率．
10 10
4 一个不透明口袋中装有红球6个，黄球9个，绿球3个，这些球除颜色外没有任何区别，从中任意摸
出一个球，求：
（1）计算摸到的是绿球的概率；
1
（2）如果要使摸到绿球的概率为 ，需要在这个口袋中再放入多少个绿球？
4
思维突破 / 初二 / 暑假
第 11 讲 概率初步
课堂落实答案
1 某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是（ ）
A： 买1张这种彩票一定不会中奖
B： 买100张这种彩票一定会中奖
C： 买1张这种彩票可能会中奖
D： 买100张这种彩票一定有99张彩票不会中奖
2 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其它完全相同．小明通过多次摸
球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15％左右，则布袋中红色球可能有（ ）
A： 4个
B： 6个
C： 34个
D： 36个3 如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm、4cm、6cm，它们将圆盘分为三部分，飞镖
可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是_____________．
4 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球然后
放回，再随机地摸出一个小球．求下列事件的概率：
（1）两次取的小球的标号相同；
（2）两次取的小球的标号和为4．
5 从写有数字1、2、3、4、5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片的数字作为十位数字，第二
张卡片的数字作为个位数字，组成一个两位数．这个两位数能被3整除的概率是多少？
思维突破 / 初二 / 暑假
第 12 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 小丁去看某场电影，只剩下六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2
号，若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（ ）
A： 1
6
B： 1
3
C： 1
2
D： 2
32 已知关于x的一元二次方程(1+a)x |a−1| +x+1 = 0，则a的取值为（ ）
A： 3
B： −1或3
C： −1
D： 任意实数
3 1
关于x的一元二次方程 x 2 −ax−1 = 0的根的情况为（ ）
4
A： 有两不相等实根
B： 无实数根
C： 有两相等实根
D： 不能确定
4 已知x ，x 为关于x的一元二次方程x 2 +3x+1 = 0的两根，则x 2 +x 2 的值为（ ）
1 2 1 2
A： 5
B： 7
C： 9
D： 3
5 已知关于x的一元二次方程x 2 −(2m+1)x+(m+1) 2 = 0有两不相等实根，则m的取值范围为（ ）
A： 3
m < −
4
B： 3
m > −
4
C： 3
m ≥ −
4D： 3
m ≤ −
4
6 已知关于x的一元二次方程x 2 −(m+1)x−7 = 0的两根均为整数，则m的值为（ ）
A： −7或5
B： 5
C： −7
D： 无法确定
√ √
7 x x
1 2
已知x ，x 为关于x的一元二次方程x 2 +5x+2 = 0的两根，则 + 的值为（ ）
1 2
x x
2 1
A： √2
√5
B： 5√2
−
2
C： 5√2
2
D： 2√2
5
8 一个袋子里面有4个黑球，2个白球，要求一次性从中取出3个球，则3个球都是黑球的概率为
______．
9 已知关于x的一元二次方程2x 2 −(m+1)x−3 = 0的一个根为1，则m = ______________，方程的另一
个根为______________．
10 已知关于x的一元二次方程x 2 +(2k+1)x+k 2 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
______________．11 若关于x的一元二次方程(m+1)x 2 −2x+1 = 0有实数根，则m的取值范围为______________．
12 已知关于x的一元二次方程x 2 −(2m+1)x+m 2 = 0没有实数根，则关于y的方程y 2 +5y+m+6 = 0
的解的情况是______________．
13 在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，随机地摸出一个小球记下标号
后放回，再随机地摸出一个小球记下标号，求两次摸出小球的标号之和等于4的概率．
14 解方程：
2
（1）x +x−1 = 0；
2
（2）2x −5x−3 = 0；
2
（3）14x +3x−2 = 0；
2
（4）x +5x+7 = 0．
15 已知关于x的方程x 2 −2(n−1)x+n 2 −2n = 0．
（1）求证：这个方程有两个不等实数根；
（2）设方程的两根x 、x ，若−2 ≤ x ≤ x ≤ 4，求n的取值范围．
1 2 1 2
16 关于x的一元二次方程 ( t 2 −1 ) x 2 −(2t−1)x+1 = 0的两根的倒数之和大于0，求t的取值范围．
17 (1) 2
已 知 x 、 x 是 方 程 ax +bx+c = 0(a ≠ 0) 的 两 根 ， 则
1 2
( 3 3 ) ( 2 2 ) ( )
a x +x +b x +x +c x +x = ______________．
1 2 1 2 1 2
(2) 2 5 2
已知x 、x 是方程x −x−5 = 0的两根，则x +41x = ______________．
1 2 1 2
