文档内容
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
例题练习题答案
例1 (1)【答案】D
6cm 8cm
(2)【答案】 或
练1.1 【答案】解：由题可知
b+c > a a+c > b a+b > c
， ， ．
= −(a−b−c)+(b−c −a)+(a+b−c)
原式
= −a+b+c +b−c −a+a+b−c
= −a+3b−c
例2 【答案】2
练2.1 【答案】
5cm2
；
10cm2
∵ AD BC
【解析】 为三角形 边上的中线，
∴ ΔADC = ΔABD = 5cm2 ΔABC = 2×ΔABD
的面积 的面积 ， 的面积 的面积
= 10cm2
．
练2.2 【答案】B
例3 【答案】
80∘
【解析】∵在△ABC中， ∠C = 40∘ ，
∠A+∠B = 140∘
∴ ①，
∠A−∠B = 20∘
∵ ②，
2∠A = 160∘ ∠A = 80∘
∴①+②得， ，解得 ．
80∘
故答案为： ．
练3.1 【答案】
70∘
例4 【答案】解：∵ ∠ADE = ∠B+∠F ，
∠F = ∠ADE −∠B = 50∘ −35∘ = 15∘
∴ ，
∠CED = ∠ACF +∠F = 115∘ +15∘ = 130∘
∴ ．
练4.1 【答案】131
例5 (1)【答案】46(2)【答案】68
练5.1 (1)【答案】D
(2)【答案】256
例6 (1)【答案】D
(2)【答案】360
【解析】提示，利用三角形内角和即可．
练6.1 【答案】10°
练6.2 【答案】C
例7 (1)【答案】180°
(2)【答案】100°
练7.1 (1)【答案】B
(2)【答案】80°
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
自我巩固答案
1 【答案】D
【解析】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是12cm．
故选：D．
2 【答案】D
3 【答案】4
4 【答案】D
5 【答案】C
6 【答案】B
7 【答案】C【解析】解：∵∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-∠A-∠1-∠2=180°-80°-15°-40°=45°，
∵∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-45°=135°．
故选：C．
8 【答案】
105∘
9 【答案】解：
∠BEF = ∠A+∠C =65∘
（1） ；
∠DFE = ∠B+∠BEF =110∘
（2） ．
10 【答案】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠BAD=30°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，
∴∠B=50°，
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-30°-50°=100°．
【解析】根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，得出∠BAD=30°，再利用CE是△ABC的高，
∠BCE=40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
课堂落实答案
1 【答案】C
【解析】A、∵ 1+1 = 2 ，无法构成三角形，故此选项错误；
B、∵ 2+2 < 5 ，无法构成三角形，故此选项错误；
C、∵ 3+3 > 5 ， 3 = 3 ，故组成等腰三角形，此选项正确；
D、∵3，4，5没有相等的边，不是等腰三角形，故此选项错误．
故选：C．
2 【答案】B
2+x > 13
【解析】 解:由题意可得, { , 解得, 11 < x < 15 , 所以, x 为 12 、 13 、 14 ; 故选 B . 根据
x < 13+2
三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边,两边差小于第三边;解答即可; 本题考查了三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边,两边差小于第三边;牢记三角形的三边关系
定理是解答的关键.
3 【答案】延长BO交AC于E，
∠A = 50∘ ∠ABO = 20∘
∵ ， ，
∠1 = 50∘ +20∘ = 70∘
∴ ，
∠ACO = 30∘
∵ ，
∠BOC = ∠1+∠ACO = 70∘ +30∘ = 100∘
∴
【解析】延长BO交AC于E，根据三角形内角与外角的性质可得 ∠1 = ∠A+∠ABO ，
∠BOC = ∠ACO +∠1
，再代入相应数值进行计算即可．
4 【答案】A
5 【答案】B
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
精选精练
1 【答案】（1）c=4或6;(2)等腰三角形
2 【答案】30°
【解析】∵CE平分∠ACD，
1 1
∴∠ACE= ×∠ACD= ×100°=50°，
2 2
∵FG∥CE，
∴∠AFG=∠ACE=50°，
在△AFG中，
外角∠BAC=∠AFG+∠AGF=50°+20°=70°，
又∵∠ACB=180°﹣∠ACD=180°﹣100°=80°，
∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣70°﹣80°=30°．
故答案为：30°．3 【答案】证明：在△ABP中：AP+BP>AB.
同理：BP+PC>BC，AP+PC>AC.
以上三式分别相加得到：
2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC，
1
即PA+PB+PC> (AB+BC+AC).
2
4 【答案】解：∵∠B=40°，∠E=30°，
∴∠ECD=∠B+∠E=70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD=2∠ECD=140°，
∴∠BAC=∠ACD-∠B=140°-40°=100°．
5 【答案】答案见解析
【解析】解：由折叠得，∠A=∠A'=30°，
∵∠1=20°，
∴∠AEA'=160°，
∴四边形AEA'D中，∠ADA'=360°﹣30°﹣30°﹣160°=140°，
∴∠2=180°﹣140°=40°．
6 【答案】解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180-∠B-∠C，
∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=70°，
∵AE是角平分线，
1
∴∠BAE= ∠BAC=35°，
2
∴∠AED=35°+50°=85°，
∵AD是高，
∴∠ADE=90°，
∴∠EAD=90°-85°=5°．
【解析】根据三角形的内角和定理得出∠BAC，再根据角平分线的定义∠BAE，根据外角的性质得
出∠AED，由AD是高，得出∠EAD的度数．能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
例题练习题答案
例1 (1)【答案】B
(2)【答案】C
练1.1 【答案】C
例2 (1)【答案】D
(2)【答案】C
(3)【答案】C
例3 【答案】B
练3.1 【答案】
64∘
∠A = 52∘
【解析】∵ ，
∠ABC +∠ACB = 128∘
∴ ，
∵BD和CE是△ABC的两条角平分线，
1 1
∠1 = ∠ABC ∠2 = ∠ACB
∴ ， ，
2 2
1
∠1+∠2 = (∠ABC +∠ACB) = 64∘
∴ .
2
练3.2 【答案】解： ∵ ∠ABC = 40∘ ， ∠A = 60∘ ，
∴ ∠ACB = 180∘ −40∘ −60∘ = 80∘
，
∵ ∠B ∠C BE CD F
、 的平分线 ， 相交于点 ，
1 1
∴ ∠BFD = ∠FBC +∠FCB = ∠ABC + ∠ACB = 20∘ +40∘ = 60∘
．
2 2
例4 (1)【答案】结论： ∠A 2 = 34∘ ．
BA CA ∠A BC ∠A CM
理由如下：因为 2、 2平分 1 和 1 （已知），
∠A BC ∠1 ∠A CM ∠2
所以 1 =2 ， 1 =2 （角平分线的意义）．
∠A CM ∠A BC ∠A ∠2 = ∠1+∠A
因为 1 = 1 + 1， 2，（三角形的一个外角等于与它
1
∠A = ∠A
不相邻的两个内角的和），所以 2 1，
2
∠A = 68∘ ∠A = 34∘
因为 1 ，所以 2 ，故答案为：34°.
【解析】利用角平分线的定义和三角形外角的性质即可求解；
(2)【答案】∠A =17°．
3
【解析】根据（1）的解法即可直接求解.
∠A
练4.1 【答案】∠D = ∠E =
2
练4.2 【答案】
90∘
【解析】解：∵BP是 ΔABC 中 ∠ABC 的平分线，CP是 ∠ACB 的外角的平分线，
∠ABP = 20∘ ∠ACP = 50∘
∵ ， ，
∠ABC = 2∠ABP = 40∘ ∠ACM = 2∠ACP = 100∘
∴ ， ，
∠A = ∠ACM −∠ABC = 60∘
∴ ，
∠ACB = 180∘ −∠ACM = 80∘
，
∠BCP = ∠ACB+∠ACP = 130∘
∴ ，
∠PBC = 20∘
∵ ，
∠P = 180∘ −∠PBC −∠BCP = 30∘
∴ ，
∠A+∠P = 90∘
∴ ．
90∘
故答案为： ．
例5 【答案】B
练5.1 【答案】180
练5.2 【答案】A
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】A
5 【答案】C
6 【答案】A【解析】解：∵∠BFC=115°，
∴∠BCF+∠CBF=180°-115°=65°．
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠BCF+∠CBF）=130°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=180°-130°=50°．
故选：A．
7 【答案】B
∠A = 60∘
【解析】∵ ，
∠ABC +∠ACB = 120∘
∴ ，
∵ ∠ABC 和 ∠ACB 的角平分线交于点E，
∠PBE = ∠EBC ∠QCE = ∠BCE
∴ ， ，
∠CBE +∠BCE = 60∘
∴ ，
∵PQ∥BC，
∠PEB = ∠CBE ∠QEC = ∠BCE
∴ ， ，
∠PEB+∠QEC = 60∘
∴ ，
故选：B．
8 【答案】C
9 【答案】解：（1）∵∠ABC=42°，∠A=60°，
∴∠ACB=78°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，
1 1
∴∠FBC= ∠ABC=21°，∠FCB= ∠ACB=39°，
2 2
∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=120°；
1
（2）∠BFC=90°+ A，
2
理由是：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点F，
1 1
∴∠FBC= ∠ABC，∠FCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠FBC+∠FCB= （∠ABC+∠ACB），
2在△FBC中，∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）
1
=180°- （∠ABC+∠ACB）
2
1
=180°- （180°-∠A）
2
1
=90°+ ∠A．
2
1 1
【解析】（1）根据角平分线的定义可得∠FBC= ∠ABC，∠FCB= ∠ACB，再根据三角形内角和
2 2
定理求出即可；
1 1
（2）根据角平分线的定义可得∠FBC= ∠ABC，∠FCB= ∠ACB，然后表示出
2 2
∠FBC+∠FCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证．
10 【答案】根据三角形的外角性质， ∠EAB = ∠ABC +∠C ， ∠ABF = ∠BAC +∠C ，
∵AD、BD分别是 ∠EAB ， ∠ABF 的平分线，
∴
1 1
∠DAB+∠DBA = (∠ABC +∠C +∠BAC +∠C) = (∠ABC +∠BAC)+
2 2
∠C = 90∘
∵ ，
∠ABC +∠BAC = 180∘ −90∘ = 90∘
∴ ，
1
∠DAB+∠DBA = ×90∘ +90∘ = 135∘
∴ ，
2
在△ABD中， ∠D = 180∘ −135∘ = 45∘ ．
∠EAB ∠ABF
【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出 和 ，再根据
∠DAB+∠DBA
角平分线的定义表示出 ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可
得解．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】A
3 【答案】15
156∘
【解析】∵多边形的每一个内角都等于 ，
180∘ −156∘ = 24∘
∴多边形的每一个外角都等于 ，
n = 360∘ ÷24∘ = 15
∴边数 ．故答案为：十五．
4 【答案】C
∠A = 80∘
【解析】∵ ，
∠ABC +∠ACB = 180∘ −∠A = 100∘
∴ ，
∵BO、CO分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的角平分线，
1 1
∠OBC = ∠ABC ∠OCB = ∠ACB
∴ ， ，
2 2
∠OBC +∠OCB = 50∘
∴ ，
∠BOC = 180∘ −(∠OBC +∠OCB) = 130∘
∴ ，
故选：C．
5 【答案】B
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
精选精练
1 【答案】B
2 【答案】B
3 【答案】B
1
4 【答案】① ∠BG 1 C = 90∘ + ∠A ，
2
2
∠BG C = 60∘ + ∠A
② 2 ，
3
180∘ n−1
③∠BG
n−1
C= + ∠A
n n
5 【答案】提示：（1）延长BA、CD相交于G，则 ∠G = α+β −180∘ ,
1 α+β
∠F = ∠G = −90∘
；
2 2
(2）延长AB、DC相交于G， ∠G = 180∘ −α−β
1 α+β
∠F = ∠G = 90∘ −
；
2 2(3）不一定，当 α+β = 180∘ 时，此时AB平行CD，不存在∠F．
1
6 【答案】（1） 55 ；（2） 55 ；（3） 56 ；（4） ∠P = 90∘ − ∠A
2
∠ABC = 50∘ ∠A = 70∘
【解析】解：（1）∵ ， ，
∠ACB = 180∘ −50∘ −70∘ = 60∘
∴ ，
∠B ∠C P
∵ ， 的外角的平分线交于点 ，
1 1
∠PBC = (180∘ −50∘) = 65∘ ∠PCB = (180∘ −60∘) = 60∘
∴ ， ，
2 2
PBC ∠P = 180∘ −65∘ −60∘ = 55∘
在△ 中， ；
∠ABC = 48∘ ∠A = 70∘
（2）∵ ， ，
∠ACB = 180∘ −48∘ −70∘ = 62∘
∴ ，
∠B ∠C P
∵ ， 的外角的平分线交于点 ，
1 1
∠PBC = (180∘ −48∘) = 66∘ ∠PCB = (180∘ −62∘) = 59∘
∴ ， ，
2 2
PBC ∠P = 180∘ −66∘ −59∘ = 55∘
在△ 中， ；
∠B ∠C P
（3）∵ ， 的外角的平分线交于点 ，
1 1
∠PBC +∠PCB = (∠A+∠ACB)+ (∠A+∠ABC)
∴ ，
2 2
1
= (∠A+∠ACB+∠ABC +∠A)
，
2
1
= (180∘ +∠A)
，
2
1
= 90∘ + ∠A
，
2
PBC
在△ 中，
1 1
∠P = 180∘ −(∠PBC +∠PCB) = 180∘ −(90∘ + ∠A) = 90∘ − ∠A
；
2 2
∠A = 68∘
∵ ，
∠P = 90∘ −34 = 56∘
∴ ；
1
∠P = 90∘ − ∠
（4） A．
2
180∘ ∠ACB
（1）（2）根据三角形的内角和等于 求出 ，再根据邻补角的定义和角平分线
∠PBC ∠PCB
的定义求出 和 ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出
1
∠PBC +∠PCB ∠P = 90∘ − ∠A
，再利用三角形的内角和定理列式整理可得 ；
2（4）根据计算结果写出即可．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形
例题练习题答案
例1 【答案】证明：∵ CE = BF ，
CE +EF = BF +EF
∴ ，
CF = BE
∴ ，
在△ABE与△DCF中，
⎧AE = DF
⎨AB = DC
，
⎩
BE = CF
△ ABE △ DCF (SSS)
∴ ≌ ，
∠AEF = ∠DFE
∴ ，
AE // DF
∴ ．
练1.1 【答案】证明：连接OE，如图所示：
根据题意，在△AOE和△COE中，
⎧AO = CO
⎨EO = EO
，
⎩
AE = CE
△ AOE △ COE(SSS)
∴ ≌ ，
∠A = ∠C
∴ ．
例2 【答案】证明：∵ ∠BAD = ∠CAE ，
∠BAD+∠DAE = ∠CAE +∠DAE
∴ ，
∠BAE = ∠CAD
∴ ，
在△AEB和△ADC中，
⎧⎪ AB = AC ( 已知 )
⎨∠BAE = ∠CAD ( )
已证
⎩⎪
AE = AD( )
已知△ AEB △ ADC (SAS)
∴ ≌ ．
练2.1 【答案】证明： ∵ DE⊥AC ， BF⊥AC ，
∴ ∠DEC = ∠BFA = 90∘
，
∵ AE = CF
又 ，
∴ AE +EF = CF +EF
，
AF = CE
即 ，
△ AFB △ CED
在 与 中，
⎧⎪ BF = DE
⎨∠BFA = ∠DEC
，
⎩⎪
AF = CE
∴△ AFB △ CED(SAS)
≌ ，
∴ ∠A = ∠C
，
∴ AB // CD
．
例3 【答案】证明：∵在△AOD和△BOE中，
∠AOD = ∠BOE ∠A = ∠B
， ，
∠BEO = ∠2
∴ ，
∠1 = ∠2
又∵ ，
∠1 = ∠BEO
∴ ，
∠1+∠AED = ∠BEO +∠AED
∴ ，
∠AEC = ∠BED
即 ，
在△AEC和△BED中，
⎧⎪ ∠A = ∠B
⎨ AE = BE
，
⎩⎪
∠AEC = ∠BED
△ AEC △ BED(ASA)
∴ ≌ ．
练3.1 【答案】证明：∵ ∠BAE = ∠BCE = ∠ACD = 90∘ ，
∠B+∠CEA = 180∘
∴ ，
∠DCE +∠ECA = ∠ECA+∠ACB
，
∠DCE = ∠ACB
∴ ，
∠DEC +∠CEA = 180∘
又∵ ，
∠B = ∠DEC
∴ ，
在△ABC和△DEC中，
⎧∠ACB = ∠DCE
⎨BC = EC
，
⎩
∠ABC = ∠DEC△ ABC △ DEC (ASA)
∴ ≌ ．
例4 【答案】证明：∵ AD // BC ，
∠A = ∠C
∴ ，
AE = CF
∵ ，
AE +EF = CF +EF
∴ ，
AF = CE
即 ，
∵在△ADF和△CBE中，
⎧⎪ ∠D = ∠B
⎨∠A = ∠C
，
⎩⎪
AF = CE
△ ADF △ CBE(AAS)
∴ ≌ ，
AD = BC
∴ ．
练4.1 【答案】证明：∵ AB // CD ，
∠B = ∠FED
∴ ，
△ ABF △ DEF
在 和 中，
⎧⎪ ∠FBA = ∠FED
⎨ BF = EF
，
⎩⎪
∠AFB = ∠DFE
△ ABF △ DEF (ASA)
∴ ≌ ，
AF = DF
∴ ．
练4.2 【答案】证明：∵ AB // DF ，
∠B = ∠CPD ∠A = ∠FDE
∴ ， ，
∠E = ∠CPD
∵ ，
∠E = ∠B
∴ ，
△ ABC △ DEF
在 和 中，
⎧∠B = ∠E
⎨AB = DE
，
⎩
∠BAC = ∠EDF
△ ABC △ DEF (ASA)
∴ ≌ ，
BC = EF
∴ ．
例5 【答案】B
【解析】A、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；
B、正确，符合判定AAS或ASA；
C、错误，全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行；
D、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；故选：B．
练5.1 【答案】B
例6 【答案】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∠DEC = ∠BFA = 90∘
∴ ，
AE = CF
∵ ，
AE +EF = CF +EF AF = CE
∴ ，即 ，
Rt △ ABF Rt △ CDE
在 和 中，
AB = CD
{
AF = CE
Rt △ ABF Rt △ CDE(HL)
∴ ≌ ．
练6.1 【答案】C
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形
自我巩固答案
1 【答案】证明：在△ABC和△CDA中，
⎧⎪ AB = CD
⎨AC = CA
，
⎩⎪
BC = DA
∴△ABC≌△CDA（SSS）．
2 【答案】证明：在 △ ADB 和 △ DAC 中，
⎧⎪ AB = DC
⎨BD = CA，
⎩⎪
AD = DA
∴△ ADB △ DAC (SSS)
≌ ，
∴ ∠1 = ∠2
．
3 (1)【答案】证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∠DCB+∠D = ∠DCB+∠AEC = 90∘
∴ ．
∴
∠D = ∠AEC．
∠DBC = ∠ECA = 90∘ BC = CA
又∵ ，且 ，
∴在△DBC和△ECA中，⎧⎪ ∠CDB = ∠AEC
⎨∠DBC = ∠ECA
，
⎩⎪
BC = CA
△ DBC △ ECA(AAS)
∴ ≌ ，
∴
AE = CD．
【解析】证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB
中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即
可利用角角边进行解答．
△ DBC △ ECA
(2)【答案】解：由（1）中证明的 ≌ 可得：
BD = CE
∴ ，
∵AE是BC边上的中线，
1 1
BD = EC = BC = AC
∴ ，
2 2
AC = 12cm
∵ ，
BD = 6cm
∴ ．
4 【答案】证明：∵ AB // DE ，
∠A = ∠D
∴ ，
AF = CD
∵ ，
AF +FC = CD+FC
∴ ，
AC = DF
即 ，
在△ABC和△DEF中，
⎧AB = DE
（已知）
⎨∠A = ∠D
（已证 ，）
⎩
AC = DF
（已证）
△ ABC △ DEF (SAS)
∴ ≌
5 【答案】证明：∵ DC // AB ，
∠DCE = ∠BAF
∴ ,
AE = CF
∵ ，
AE +EF = CF +EF
∴ ,
AF = CE
∴ ，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∠DEC = 90∘ = ∠BFA
∴ ，
△ DEC △ BFA
在 和 中，
⎧∠DEC = ∠BFA
⎨EC = FA ，
⎩
∠DCE = ∠BAF△ DEC △ BFA(ASA)
∴ ≌ ，
DE = BF
∴ ．
6 【答案】解：∵ ∠1 = ∠2 ， ∠3 = ∠4 ，
∠1+∠3 = ∠2+∠4
∴ ，
∠ABC = ∠DCB
∴ ，
在△ABC和△DCB中，
⎧⎪ ∠ABC = ∠DCB
⎨ BC = CB
，
⎩⎪
∠4 = ∠3
△ ABC △ DCB(ASA)
∴ ≌ ，
AB = CD
∴ ．
7 【答案】A
∠A = 50∘ ∠B = 60∘
【解析】解：∵ ， ，
∠C = 70∘
∴ ，
∠E = 70∘ ∠M = 60∘
∵ ， ，
∠B = ∠M ∠C = ∠E
∴ ， ，
在△ABC和△NME中，
⎧⎪ ∠B = ∠M
⎨ ∠C = ∠E
，
⎩⎪
AC = EN
△ ABC △ NME(AAS)
∴ ≌ ，
故选：A．
8 【答案】证明：∵ ∠BAC = ∠BOC ，
∴设BD与AC交于点F，则
∠AFD−∠BAC = ∠AFD−∠BOC
，
∠B = ∠C
∴ ；
∠BAC = ∠DAE
∵ ，
∠CAD+∠BAC = ∠CAD+∠DAE
∴ ，
∠BAD = ∠CAE
∴ ，
△ BAD △ CAE
在 和 中，
⎧∠B = ∠C
⎨AB = AC
，
⎩
∠BAD = ∠CAE
△ BAD △ CAE(ASA)
∴ ≌ ，
BD = CE
∴ ．9 【答案】证明：（1）∵BE⊥CD，
∠BEC = ∠DEA = 90∘
∴ ，
Rt △ BEC Rt △ DEA
在 与 中，
BC = DA
{
，
BE = DE
Rt △ BEC Rt △ DEA(HL)
∴ ≌ ；
Rt △ BEC Rt △ DEA
（2）由（1）知， ≌ ，
∠B = ∠D
∴ ，
∠D+∠DAE = 90∘ ∠DAE = ∠BAF
∵ ， ，
∴ ∠BAF +∠B = 90∘ ，即DF⊥BC．
10 (1)【答案】证明：在 Rt △ ABE 与 Rt △ CBF 中，
AE = CF
{
，
AB = BC
Rt △ ABE Rt △ CBF (HL)
∴ ≌ ．
AB = BC ∠ABC = 90∘
(2)【答案】解：∵ ， ，
∠ACB = ∠CAB = 45∘
∴ ，
Rt △ ABE Rt △ CBF ∠CAE = 25∘
∵ ≌ ， ，
∠BCF = ∠BAE = 20∘
∴ ，
∠ACF = ∠BCF +∠BCA = 65∘
∴ ，
∠ACF 65∘
即 的度数为 ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形
课堂落实答案
1 【答案】18
【解析】解：在△BAD和△CAD中，
⎧AB = AC
⎨BD = CD
，
⎩
AD = AD
△ BAD △ CAD(SSS)
∴ ≌ ，
∠BAD = ∠CAD
∴ ，∠BAC = 36∘
∵ ，
1
∠BAD = ∠BAC = 18∘
∴ ．
2
2 【答案】证明：在△OAB与△OCD中，
⎧OA = OC
⎨∠AOB = ∠COD
，
⎩
OB = OD
△ OAB △ OCD(SAS)
∴ ≌ ．
3 【答案】C
【解析】解：在△ABD和△BAC中，
⎧∠DAB = ∠CBA
⎨AB = BA
，
⎩
∠DBA = ∠CAB
△ ABD △ BAC (ASA)
∴ ≌ ，
因此C正确．
4 【答案】3
【解析】解：△ABE和△ACD中，
⎧⎪ ∠1 = ∠2
⎨ ∠A = ∠A ，
⎩⎪
BE = CD
△ ABE △ ACD(AAS)
∴ ≌ ，
AD = AE = 2 AC = AB = 5
∴ ， ，
CE = BD = AB−AD = 3
∴ ，
故答案为3．
5 【答案】证明：∵ AB⊥BE ，
∠B = 90∘
∴ ．
DE⊥BE
∵ ，
∠E = 90∘
∴ ．
BF = CE
∵ ，
BF +CF = CE +CF
∴ ，
CB = EF
即： ．
AC = DF
在Rt△ABC和Rt△DEF中 { ，
BC = EF
Rt △ ABC Rt △ DEF (HL)
∴ ≌ ，
∠ACB = ∠DFE
∴ ，
GF = CG
∴ ．
【解析】能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形
精选精练
1 【答案】D
【解析】解：∵D为BC的中点，
BD = CD
∴ ，
在△ABD和△ACD中，
⎧AB = AC
⎨AD = AD
⎩
BD = CD
△ ABD △ ACD(SSS)
∴ ≌ ，可知（1）正确；
∠B = ∠C
∴ ，可知（3）正确；
∠BAD = ∠CAD
，可知（4）正确；
∠ADB = ∠ADC
，
∠ADB+∠ADC = 180∘
又∵ ，
∠ADB = ∠ADC = 90∘ AD⊥BC
∴ ，即 ，可知（2）正确，
故正确的有4个，选D．
2 【答案】解：（1）证明：∵ ∠1 = ∠2 ，
∠1+∠MAC = ∠2+∠NAC
∴ ，
∠BAC = ∠DAE
∴ ，
ABC ADE
在△ 和△ 中，
⎧AB = AD
⎨∠BAC = ∠DAE，
⎩
AC = AE
ABC ADE SAS
∴△ ≌△ （ ）；
∠MFD ∠NFC
（2）图中与∠1、∠2相等的角有 和 ．
【解析】（1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠MAC=∠2+∠NAC，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，∴△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）图中与∠1、∠2相等的角有∠MFD和∠NFC．
3 【答案】（1）证明：∵ AD // BC ，
∠ADB = ∠EBC
∴ ，
∵CE⊥BD， ∠A = 90∘ ，
∠A = ∠CEB
∴ ，
在△ABD和△ECB中，
⎧∠BAD = ∠CEB
⎨∠ADB = ∠EBC
，
⎩
BD = CB
△ ABD △ ECB(AAS)
∴ ≌ ；
∠DBC = 50∘ BC = BD
（2）解：∵ ， ，
1
∠EDC = (180∘ −50∘) = 65∘
∴ ，
2
又∵CE⊥BD，
∠CED = 90∘
∴ ，
∠DCE = 90∘ −∠EDC = 90∘ −65∘ = 25∘
∴ ．
4 【答案】证明：∵DB⊥AB，
∠ABC +∠CBD = 90∘
∴ ，
∠C = 90∘
∵ ，
∠A+∠ABC = 90∘
∴ ，
∠A = ∠CBD
∴ ，
在△ABC和△BDE中，
⎧∠ACB = ∠BED
⎨∠CAB = ∠EBD
，
⎩
AB = BD
△ ABC △ BDE(AAS)
∴ ≌ ，
BC = DE AC = BE
∴ ， ，
BC = CE +EB
∵ ，
DE = CE +AC
∴ ．
5 【答案】证明：∵ AB // CD 、 EC // BF ，∠A = ∠D ∠AHB = DGC
∴ ， ，
在△AHB和△DGC中，
⎧⎪ ∠A = ∠D
⎨∠AHB = ∠DGC
，
⎩⎪
AB = DC
△ AHB △ DGC (AAS)
∴ ≌ ，
AH = DG
∴ ，
AH −GH = DG−GH
∴ ,
AG = DH
∴ ．
6 (1)【答案】证明：∵ AD 平分 ∠CAB ， ∠C = 90∘ ， DE⊥AB ，
∠CAD = ∠EAD ∠C = 90∘ = ∠DEA
∴ ， ，
△ ACD △ AED
在 和 中，
⎧∠ACD = ∠AED
⎨∠CAD = ∠EAD
，
⎩
AD = AD
△ ACD △ AED(AAS)
∴ ≌ ．
△ ACD △ AED
(2)【答案】解：由（1）得： ≌ ，
AE = AC = 5 CD = ED
∴ ， ，
C = AC +AB+BC
∴ △ABC
= AC +(AE +EB)+(BD+DC)
= AC +AC +EB+BD+DE
= AC +AC +C
△DEB
= 5+5+8 = 18
．
△ ABC
即 的周长为18．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 全等三角形综合
例题练习题答案
例1 【答案】A
【解析】解：∵∠C=∠D=90°，AB=AE，
∴当AC=AD时，可根据“HL”判断△ABC≌△AED；当BC=ED时，可根据“HL”判断△ABC≌△AED；
当∠B=∠C时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当∠1=∠2时，则∠BAC=∠EAD，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED．
故选：A．
练1.1 【答案】D
例2 【答案】B
练2.1 【答案】D
【解析】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
OP = OP
{
，
OM = ON
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故选：D．
例3 【答案】B
练3.1 【答案】B
例4 【答案】D
∵ ∠B = 42∘ AD⊥BC
【解析】 ， ，
∴ ∠BAD = 48∘
，
∵ ED = EF AD⊥BC EF⊥AB
， ， ，
∴ ∠BAE = ∠DAE = 24∘
，
∴ ∠AEC = ∠B+∠BAE = 66∘
．
练4.1 【答案】证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∠ODB = ∠OEC = 90∘
∴ ．
在△DBO和△ECO中，
⎧⎪ ∠ODB = ∠OEC
⎨∠DOB = ∠EOC
，
⎩⎪
OB = OC
∴△DBO≌△ECO（AAS）．
OD = OE
∴ ．
∵OD⊥AB，OE⊥AC， OD = OE ，
∴AO平分 ∠BAC．
例5 【答案】C
练5.1 【答案】B【解析】解：∵∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠DEC，
在△ABE和△ECD中，
⎧⎪ ∠B = ∠C
⎨∠EAB = ∠DEC
，
⎩⎪
EA = DE
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴EC=AB=5m，
∵BC=13m，
∴BE=8m，
∴小华走的时间是8÷1=8（s），
故选：B．
例6 【答案】8
∠ACB = 90∘
【解析】解：∵ ，
∠BCE +∠ACD = 90∘
∴ ，
又∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∠E = ∠ADC = 90∘
∴ ，
∠BCE +∠CBE = 90∘
∴ ，
∠CBE = ∠ACD
∴ ，
△ CBE △ ACD
在 和 中，
⎧⎪ ∠E = ∠ADC
⎨∠CBE = ∠ACD
，
⎩⎪
BC = CA
△ CBE △ ACD(AAS)
∴ ≌ ，
BE = CD CE = AD = 25
∴ ， ，
DE = 17
∵ ，
CD = CE −DE = AD−DE = 25−17 = 8
∴ ，
BE = CD = 8
∴ ；
故答案为：8．
练6.1 【答案】6
∠BAC = 90∘
【解析】解：∵ ，∠BAD+∠CAE = 90∘
∴ ，
∵BD⊥AE，
∠ABD+∠BAD = 90∘
∴ ，
∠ABD = ∠CAE
∴ ，
在△ABD和△CAE中，
⎧∠ABD = ∠CAE
⎨∠ADB = ∠CEA
，
⎩
AB = AC
△ ABD △ CAE(AAS)
∴ ≌ ，
BD = AE AD = CE
∴ ， ，
AE = AD+DE = CE +DE = 2+4 = 6cm
∵ ，
BD = 6cm
∴ ．
故答案为：6．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 全等三角形综合
自我巩固答案
1 (1)【答案】 ∠A = ∠D
BC = EF
(2)【答案】
2 【答案】C
【解析】A、已知 AB = DE ，再加上条件 BC = EC ， ∠B = ∠E 可利用SAS证明
△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知 AB = DE ，再加上条件 BC = EC ， AC = DC 可利用SSS证明
△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知 AB = DE ，再加上条件 BC = DC ， ∠A = ∠D 不能证明△ABC≌△DEC，故此
选项符合题意；
D、已知 AB = DE ，再加上条件 ∠B = ∠E ， ∠A = ∠D 可利用ASA证明
△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：C．
3 【答案】B【解析】∵AB⊥BC，DE⊥BC，
∠ABC = ∠EDC = 90∘
∴ ，
在△ABC和△EDC中，
⎧⎪ ∠ABC = ∠EDC
⎨CB = CD
，
⎩⎪
∠ACB = ∠ECD
∴△ABC≌△EDC(ASA)．
故选：B．
4 【答案】C
【解析】过E作 EF⊥BC 于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC， DE = 3 ，
∴ EF = DE = 3
，
1 1
∴△ BCE S = ×BC ×EF = ×8×3 = 12
的面积 ．
2 2
5 【答案】C
【解析】该题考查的是三角形面积问题．
过点O，作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，作OF⊥BC于F，
∵点O是△ABC内角平分线的交点，
OD = OE = OF
∴ ，
1 1 1
S = AB⋅OD S = AC ⋅OE S = BC ⋅OF
∴ ΔAOB 2 ， ΔCAO 2 ， ΔCOB 2 ，
S : S : S = AB : BC : AC = 10 : 15 : 20 = 2 : 3 : 4
ΔAOB ΔCOB ΔCAO ．
故选C．
6 【答案】证明：∵BD⊥AM，CE⊥AN，
∠CDF = ∠BEF = 90∘
∴ ，
△ CDF △ BEF
在 和 中，
⎧∠CDF = ∠BEF
⎨∠CFD = ∠BFE
⎩
CD = BE
△ CDF △ BEF (AAS)
∴ ≌
DF = EF
∴ ，
∴点F在 ∠A 的平分线上．7 (1)【答案】证明：∵DE⊥AB，
∠DEB = 90∘
∴ ，
∠C = ∠DEB = 90∘
∴ ，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
FD = BD
{
，
FC = BE
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)
，
CD = DE
∴ ，
∴AD平分 ∠BAC ；
(2)【答案】解：∵AD平分 ∠BAC ， ∠CAB = 40∘ ，
∠CAD = ∠BAD = 20∘
∴ ，
∠ADC = 90∘ −20∘ = 70∘
∴ ，
在 △ ABD 中 ， 由 三 角 形 的 外 角 性 质 得
∠B = ∠ADC −∠BAD = 70∘ −20∘ = 50∘
，
∠BDE = 90∘ −50∘ = 40∘
∴ ，
∵Rt△CDF≌Rt△EDB，
∠FDC = ∠BDE = 40∘
∴ ．
8 【答案】A
∠B = ∠E = 90∘
【解析】∵ ，
∠A+∠1 = 90∘ ∠D+∠2 = 90∘
∴ ， ，
∵AC⊥CD，
∠1+∠2 = 90∘
∴ ，
∴ ∠A = ∠2 ，故B正确；
∴ ∠A+∠D = 90∘ ，故D正确；
在△ABC和△CED中，
⎧⎪ ∠A = ∠2
⎨∠B = ∠E
，
⎩⎪
AC = CD
∴△ABC≌△ CED(AAS) ，故C正确；
AB = CE DE = BC
∴ ， ，
∴ BE = AB+DE ，故A错误．
故选：A．
9 【答案】解：∵ ∠CMD = 90∘ ，∠CMA+∠DMB = 90
∴ °，
∠CAM = 90∘
又∵
∠CMA+∠ACM = 90∘
∴ ，
∠ACM = ∠BMD
∴ ，
在△ACM和△BMD中，
⎧∠ACM = ∠BMD
⎨∠A = ∠B
⎩
CM = MD
△ ACM △ BMD(AAS)
∴ ≌ ，
AC = BM = 3
∴ ，
∴他到达点M时，运动时间为 3÷1 = 3s ．
答：这个人运动了3s．
【解析】∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA＋∠DMB＝90度，
又∵∠CAM＝90°
∴∠CMA＋∠ACM＝90°，
∴∠ACM＝∠DMB，
又∵CM＝MD，
∴Rt△ACM≌Rt△BMD，
∴AC＝BM＝3，
∴他到达点M时，运动时间为3÷1＝3（s）．
故：这人运动了3s．
10 【答案】（1）证明：∵ AM⊥MN ， BN⊥MN ，
∴ ∠AMC = ∠CNB = 90∘
，
∴ ∠MAC +∠ACM = 90∘
，
∵ ∠ACB = 90∘
，
∠NCB+∠ACM = 90∘
∴ ，
∴ ∠MAC = ∠NCB
，
△ AMC △ CNB
在 和 中，
⎧∠AMC = ∠CNB
⎨∠MAC = ∠NCB
⎩
AC = CB
△ AMC △ CNB(AAS)
∴ ≌ ，
AM = CN MC = NB
∴ ，∵ MN = NC +CM
，
∴ MN = AM +BN
；
MN = BN −AM
（2）解：结论为 ，理由如下：
∵ AM⊥MN BN⊥MN
， ，
∴ ∠AMC = ∠CNB = 90∘
，
∠NCB+∠ACM = 90∘
，
∠ACM +∠CAM = 90∘
，
∴ ∠MAC = ∠NCB
，
△ AMC △ CNB
在 和 中，
⎧∠AMC = ∠CNB
⎨∠MAC = ∠NCB
⎩
AC = CB
△ AMC △ CNB(AAS)
∴ ≌ ，
AM = CN MC = NB
∴ ， ，
∵ MN = CM −CN
，
∴MN = BN −AM
．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 全等三角形综合
课堂落实答案
1 【答案】A
【解析】小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，
他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．
2 【答案】C
【解析】解：∵AD是△ABC的高，
∴△ADB和△ADC均是直角三角形，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
AB = AC
{
∵ ，
AD = AD
∴Rt△ABD≌Rt△ ACD(HL) ，
故选：C．
3 【答案】A4 【答案】D
5 【答案】 55
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 全等三角形综合
精选精练
1 【答案】D
2 【答案】SSS
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】A
【解析】解：∵AE⊥AB且 AE = AB ，EF⊥FH，BG⊥FH，
∠EAB = ∠EFA = ∠BGA = 90∘
∴ ，
∠EAF +∠BAG = 90∘ ∠ABG+∠BAG = 90∘
∵ ， ，
∠EAF = ∠ABG
∴ ，
在△EFA和△AGB中，
⎧∠EFA = ∠AGB
⎨∠EAF = ∠ABG
⎩
EA = AB
△ EFA △ AGB(AAS)
∴ ≌ ，
AF = BG AG = EF
∴ ， ；
△ BGC △ CHD GC = DH CH = BG
同理证得 ≌ ，可得 ， ．
FH = FA+AG+GC +CH = 3+6+4+3 = 16
故 ，
1
S = ×(6+4)×16−3×4−6×3 = 50
∴ ．
2
故选：A．
6 (1)【答案】证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD＋∠CAE=90°，
∵∠BAD＋∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中
⎧∠ABD = ∠CAE
⎨∠BDA = ∠AEC
，
⎩
AB = CA
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
(2)【答案】解：成立，证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA＋∠BAD=∠BAD＋∠CAE=180°－α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
⎧∠ABD = ∠CAE
⎨∠BDA = ∠AEC
，
⎩
AB = CA
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 5 讲 轴对称
例题练习题答案
例1 【答案】D
【解析】解：点P（-2，3）关于y轴的对称点是：（2，3），在第一象限．
故选：D．
练1.1 【答案】 −2 ， 3
1
例2 【答案】（1）如图所示：△ABC的面积： ×3×5 = 7.5 ；
2
（2）如图所示：（3）A （1，5），B （1，0），C （4，3）．
1 1 1
例3 【答案】B
例4 【答案】解：∵ AB = AC ， ∠A = 40∘ ，
∠ABC = ∠ACB = 70∘
∴ ，
∵AB的垂直平分线l交AC于点D，
∠ABD = ∠A = 40∘
∴ ，
∠CBD = 30∘
∴ ．
练4.1 【答案】∵ ∠B = 90∘ ， ∠BAE = 10∘ ，
∠BEA = 80∘
∴ ．
∵ED是AC的垂直平分线，
AE = EC
∴ ，
∠C = ∠EAC
∴ ．
∠BEA = ∠C +∠EAC
∵ ，
∠C = 40∘
∴ ．
∠BEA = 80∘ AE = CE
【解析】根据直角三角形的性质求得 ；根据线段垂直平分线的性质得 ，
∠C = ∠EAC
则 ，再根据三角形的外角的性质即可求解．
例5 【答案】C
【解析】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相
等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
练5.1 【答案】见解析
【解析】证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中
AD = AD
{
，
DE = DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD是线段EF的垂直平分线。
例6 【答案】连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得 BD = CD ，
∵D为 ∠BAC 平分线上的点，DE⊥AB，DF⊥AC
DE = DF
∴ ，
DE = DF
在Rt△BDE和Rt△CDF中， { ，
BD = CD
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
BE = CF
∴ ．
【解析】连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得 BD = CD ，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得
BE = CF
．
例7 【答案】6
∵ m AB
【解析】 解： 直线 垂直平分 ，
∴ B C m
、 关于直线 对称，
∴ PA+PC = PA+PB
，
m AB D
设直线 交 于 ，
∴ P D PA+PC AB
当 和 重合时， 的值最小，最小值等于 的长，
故答案为6．练7.1 【答案】 7
【解析】∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
连接AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∴△ABP周长的最小值是4+3=7．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 5 讲 轴对称
自我巩固答案
1 【答案】A
【解析】∵点A的坐标为（ −2 ， 3 ），点B的坐标为（ −2 ， −3 ），
∴点A和点B的位置关系是关于x轴对称．
故选：A．
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】B
【解析】当以点B为原点时，
A −1 −1 C 1 −1
（ ， ）， （ ， ），
则点A和点C关于y轴对称，
符合条件，故选：B．
5 【答案】A
6 【答案】A
∵ DE⊥AC CE = AE AB = 12cm BC = 10cm
【解析】 ，垂足为E， ， ， ，
∴ CD = AD
，
∴ BC +BD+CD = BC +AB = 10+12 = 22cm
．
7 【答案】D
8 【答案】C
9 【答案】B
10 【答案】解：（1）△ A 1 B 1 C 1如图所示；
（2）点P如图所示．
【解析】（1）从三角形各顶点向DE引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接；
B
（2）根据两点之间线段最短，连接 1C即可．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 5 讲 轴对称
课堂落实答案
1 【答案】D
P(−2,1) x (−2,−1)
【解析】点 关于 轴对称的点的坐标为 ．
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】
45∘5 【答案】7
能力提高 / 初二 / 秋季
第 5 讲 轴对称
精选精练
1 【答案】 (−3,−2)
2 【答案】A
3 【答案】解：（1）如图，△DEF即为△ABC关于直线a的对称图形；
（2）3.5．
4 【答案】∵点M是点P关于AO的对称点，
∴AO垂直平分MP，
EP = EM
∴ ．
PF = FN
同理 ．
MN = ME +EF +FN
∵ ，
MN = EP +EF +PF
∴ ，
∵△PEF的周长为15，
MN = EP +EF +PF = 15
∴ ．
5 【答案】B
6 【答案】如图，
①分别作点P关于OM，ON的对称点
P′
、
P′′
；
②连接
P′
、
P′′
，分别交OM，ON于点A、点B，则点A、点B即为所求．能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 等腰三角形综合
例题练习题答案
例1 (1)【答案】
15∘
；
20∘
(2)【答案】 ；
1
(3)【答案】∠BAD = 2∠EDC(
或
∠EDC = ∠BAD)
；
2
(4)【答案】仍成立，理由如下：
AD = AE
∵ ，
∠ADE = ∠AED
∴ ，
∴
∠BAD+∠B = ∠ADC = ∠ADE +∠EDC = ∠AED+∠EDC = (∠E
AB = AC
又∵ ，
∠B = ∠C
∴ ，
∠BAD = 2∠EDC
∴ ，
1
∠EDC = ∠BAD
即 ．
2
练1.1 【答案】10
【解析】∵CE平分 ∠ACB 且CE⊥BD，
CD = BC
∴ （等腰三角形三线合一），
∠DAB=∠DBA
又 ，
AD = BD
∴ ，
AC = 18 BD = 8
∵ ， ，BC = AC −AD
∴
= AC −BD
= 18−8
= 10
．
例2 【答案】解： ∵ DE//BC ， ∠AED = 80∘ ，
∴ ∠ACB = ∠AED = 80∘ ∠BCD = ∠EDC
，
∵ CD ∠ACB
平分 ，
1
∴ ∠BCD = ∠ACB = 40∘
，
2
∴ ∠EDC = 40∘
．
练2.1 【答案】解：∵ BP 是 ∠ABC 的角平分线，
∠ABP = ∠PBD
∴ ，
PD AB
又∵ ∥ ，
∠ABP = ∠BPD
∴ ，
∠PBD = ∠BPD
∴ ，
BD = PD
∴ ．
CE = PE
同理 ，
PDE = PD+DE +PE
∴△ 的周长
= BD+DE +EC
= BC
= 5(cm)
，
PDE 5cm
即△ 的周长是 ．
【解析】由BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，易证得△PBD与△PCE
是等腰三角形，继而可求得△PDE的周长．
例3 【答案】
15∘
3
练3.1 【答案】30；
2
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，
即∠DBE=30°，又DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵等边△ABC的周长为9，∴AC=3，且∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，即∠CDE=∠E，1 3
∴CD=CE= AC= ．
2 2
3
故答案为：30；
2
练3.2 【答案】2
例4 【答案】B
练4.1 【答案】（1）∵ AB = AC ，
∴ ΔABC
是等腰三角形，
∠B = ∠C
∴ ，
∠BAC = 120∘
∵ ，
1
∴ ∠B = ∠C = ×(180∘ −120∘) = 30∘
.
2
AD⊥AC AE⊥AB
（2）∵ ， ，
∴ ∠BAE = ∠DAC = 90∘
，
∴ ∠AED = ∠ADE = 90∘ −30∘ = 60∘
，
∴ ∠AED = ∠ADE = ∠DAE = 60∘
，
∴ ΔADE
是等边三角形．
练4.2 【答案】证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B=60°，
又∵AB∥DC，
∴∠A=∠C=60°，∠B=∠D=60°，
∴△OCD是等边三角形．
【解析】根据OA=OB，得∠A=∠B=60°；根据AB∥DC，得出对应角相等，从而求得∠C=∠D=60°，
根据等边三角形的判定就可证得结论．
例5 (1)【答案】解：① ∵ ΔABC 是等边三角形，
∴ ∠B = 60∘
，
∵ DE//AB
，
∴ ∠EDC = ∠B = 60∘
，
∵ EF⊥DE
，
∴ ∠DEF = 90∘
，
∴ ∠F = 90∘ −∠EDC = 30∘
；
∵ ∠ACB = 60∘ ∠EDC = 60∘
② ， ，
∴ ΔEDC
是等边三角形．
∴ ED = DC = 2
，
∵ ∠DEF = 90∘ ∠F = 30∘
， ，∴ DF = 2DE = 4
．
∵ AB = AC ∠BAC = 120∘
(2)【答案】证明： ，
∴ ∠B = ∠C = 30∘
∵ D BC
是 中点
∴ AD⊥BC AD ∠BAC
且 平分
∴ ∠BAD = 60∘ ∠ADB = 90∘
，
1
∴ AD = AB
2
∵ DE⊥AB
又
∴ ∠DEA = 90∘
∴ ∠ADE = 90∘ −∠BAD = 90∘ −60∘ = 30∘
1
∴ AE = AD
2
1
∴ AE = AB
4
练5.1 【答案】D
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 等腰三角形综合
自我巩固答案
1 【答案】解：连接AD，过点D作 DE⊥AB 于E、 DF⊥AC 于F
由“三线合一”可得AD平分 ∠BAC
由角平分线的性质可得点D到AB、AC的距离相等
2 【答案】A
3 【答案】A
【解析】∵AC=CD=BD=BE，∠A=60°，
∴∠A=∠CDA=60°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=60°，
∴∠B=30°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，
1
∴∠BDE=∠BED= （180°-30°）=75°，
2
∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-60°-75°=45°．
4 【答案】证明：（1） ∵ BA⊥AM ， MN⊥AC ，
∴ ∠BAM = ∠ANM = 90∘
，
∴ ∠PAQ+∠MAN = ∠MAN +∠AMN = 90∘
，
∴ ∠PAQ = ∠AMN
，
∵ PQ⊥AB MN⊥AC
， ，
∴ ∠PQA = ∠ANM = 90∘
，
⎧⎪ ∠PAQ = ∠AMN
∴ ΔPQA ΔANM ⎨AQ = MN
在 与 中， ，
⎩⎪
∠AQP = ∠ANM
∴ ΔPQA ΔANM(ASA)
≌ ，
∴ AP = AM
，
∴ ΔAPM
是等腰三角形；
ΔPQA ≅ΔANM
（2）由（1）知， ，
∴ AN = PQ AM = AP
， ，
∴ ∠AMB = ∠APM
，
∵ ∠APM = ∠BPC ∠BPC +∠PBC = 90∘ ∠AMB+∠ABM = 90∘
， ， ，
∴ ∠ABM = ∠PBC
，
∵ PQ⊥AB PC⊥BC
， ，
∴ PQ = PC
（角平分线的性质），
∴ PC = AN
．
5 【答案】C
6 【答案】∵BF、CF分别平分 ∠ABC 、 ∠ACB 的外角，
∠DBF = ∠CBF ∠FCE = ∠FCG
∴ ， ，
∵DE∥BC，
∠DFB = ∠CBF ∠EFC = ∠FCG
∴ ， ，
∠DBF = ∠DFB ∠FCE = ∠EFC
∴ ， ，
BD = FD EF = CE
∴ ， ，
BD−CE = FD−EF = DE
∴ ，EF = DF −DE = BD−DE = 8−3 = 5
∴ ，
EC = 5
∴ ．
7 【答案】C
8 【答案】D
【解析】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据等边三角形三线合一性质，故正确．
所以都正确．
故选：D．
9 【答案】证明：（1） ∵ ΔABC 为等边三角形，
∴ ∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60∘
，
∵ DE//BC
，
∴ ∠AED = ∠ABC = 60∘ ∠ADE = ∠ACB = 60∘
， ，
∴ ∠A = ∠AED = ∠ADE
，
∴ ΔADE
是等边三角形；
∵ ΔADE
（2） 是等边三角形
∴ ED = AE
，
∵ BD ∠ABC
平分 ，
∴ ∠EBD = ∠CBD
，
∵ DE//BC
，
∴ ∠CBD = ∠EDB
，
∴ ∠EDB = ∠EBD
∴ EB = ED
，
∴ AE = EB
．
10 【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，∠BAC＝120°，
∵AB⊥AE，
∴∠BAE＝90°
∴∠DAE＝30°＝∠C，
∴AE＝EC；
（2）∵∠C＝30°，DE⊥AC，
∴EC＝2DE＝AE＝4，∵AB⊥AE，∠B＝30°，
∴BE＝2AE＝8，
∴BC＝BE+EC＝12．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 等腰三角形综合
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】B
3 【答案】A
△ ABC ∠B = 60∘ AB = AC
【解析】解：在 中，∵ ， ，
∠B = ∠C = 60∘
∴ ，
∠A = 180∘ −60∘ −60∘ = 60∘
∴ ，
△ ABC
∴ 为等边三角形，
BC = 3 △ ABC 3BC = 9
∵ ，∴ 的周长为： ，
故选：A．
4 【答案】D
5 【答案】A
∠A ∠B ∠ACB = 1 2 3
【解析】解：∵ ： ： ： ： ，
∠A = x∘ ∠B = 2x∘ ∠ACB = 3x∘
∴设 ，则 ， ，
x+2x+3x = 180
根据三角形的内角和定理得到： ，
x = 30
解得： ．
∠A = 30∘ ∠B = 60∘ ∠ACB = 90∘
则 ，则 ， ．
△ ABC
∴ 是直角三角形．
1
∴BC= AB=2．
2
△ BCD ∠BCD = 90∘ −∠B = 30∘
在直角 中， ，
1
∴BD= BC=1
2
能力提高 / 初二 / 秋季第 6 讲 等腰三角形综合
精选精练
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】C
【解析】∵AD∥BC， ∠B = 30∘ ，
∠EAD = ∠B = 30∘
∴ ．
又∵AD是 ∠EAC 的平分线，
∠EAC = 2∠EAD = 60∘
∴ ．
∠EAC = ∠B+∠C
∵ ，
∠C = ∠EAC −∠B = 30∘
∴ ．
故选：C．
4 【答案】6
5 (1)【答案】∵ △ ABC 是等边三角形，
BC = AB = 9cm
∴ ，
P 2cm/s ts
∵点 的速度为 ，时间为 ，
CP = 2t
∴ ，
PB = BC −CP = (9−2t)cm
则 ；
Q 5cm/s ts
∵点 的速度为 ，时间为 ，
BQ = 5t
∴ ；
△ PBQ
(2)【答案】若 为等边三角形，
BQ = BP 9−2t = 5t
则有 ，即 ，
9
t =
解得 ，
7
9
t = s △ PBQ
所以当 时， 为等边三角形；
7
ts Q P
(3)【答案】设 时， 与 第一次相遇，
5t−2t = 18
根据题意得： ，
t = 6
解得 ，
6s
则 时，两点第一次相遇．
t = 6s P 2×6 = 12cm
当 时， 走过得路程为 ，
9 < 12 < 18 P AB
而 ，即此时 在 边上，AB
则两点在 上第一次相遇．
6 【答案】2
能力提高 / 初二 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】A
2 【答案】D
【解析】∵三角形的两条边长分别为6cm和10cm，
∴第三边长的取值范围是：4＜x＜16，
∴它的第三边长不可能为：17cm．
3 【答案】D
4 【答案】A
5 【答案】C
【解析】∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∠BDO = ∠CEO = 90∘
∴ ，
在△BOD和△COE中，
⎧⎪ ∠BDO = ∠CEO
⎨∠BOD = ∠COE
，
⎩⎪
OB = OC
∴△BOD≌△ COE(AAS) ，
进一步得△ADO≌△AEO，△ABO≌△ACO，△ABE≌△ACD共4对．
故选：C．
6 【答案】A
【解析】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
S S S
由图可知， △ABC= △ABD+ △ACD，
1 1
∴ ×4×2+ ×AC×2=7，
2 2解得AC=3．
故选：A．
7 【答案】A
a+c > b a−b+c > 0 a−b < c a−b−c < 0
【解析】根据三角形三边关系, ,所以 ； ，所以 .
=a−b+c −(−a+b+c)
原式
=a−b+c +a−b−c
=2a−2b
8 【答案】C
9 【答案】A
【解析】∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF
∴AF＝BD＝CE
又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）
∴DF＝ED＝EF
∴△DEF是一个等边三角形．
10 【答案】C
11 【答案】22
4cm 9cm
【解析】解：①当腰是 ，底边是 时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
4cm 9cm = 4+9+9 = 22cm
②当底边是 ，腰长是 时，能构成三角形，则其周长 ．
12 【答案】七
【解析】设多边形为n边形，由题意，得
（n﹣2）•180°=900，
解得n=7
13 【答案】BD=BE或AD=CE或BA=BC（任写一种）
14 【答案】6
15 【答案】
20∘
【解析】解：∵CE是 ∠ACD 的角平分线，
1
∠ECD = ∠ACD
∴ ，
2
∠ACD = ∠A+∠ABC
又∵ ，1 1
∠ECD = ∠A+ ∠ABC
∴ ，
2 2
1
∠ECD = ∠E + ∠ABC
又∵ ，
2
1 1 1
∠A+ ∠ABC = ∠E + ∠ABC
∴ ，
2 2 2
1
∠E = ∠A = 40∘
∴ ；
2
1
∠F = ∠E = 20∘
同理： ，
2
∠BFC = 20∘
即： ．
16 【答案】6
【解析】解：连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC
∴PB=PC，
当B、E、P三点共线时，EP+PC=EP+BP=CE，
∵等边△ABC中，E是AB边的中点，
∴AD=CE=6，
∴EP+BP的最小值为6，
故答案为：6
17 【答案】32°
∵ ΔABC ∠BAC = 106∘
【解析】 中， ，
∴ ∠B+∠C = 180 ∘−∠BAC = 180 ∘−106∘ = 74∘
，
∵ EF MN AB AC
、 分别是 、 的中垂线，
∴ ∠B = ∠BAE ∠C = ∠CAN
， ，
∠B+∠C = ∠BAE +∠CAN = 74∘
即 ，
∴ ∠EAN = ∠BAC −(∠BAE +∠CAN) = 106 ∘−74∘ = 32∘
．
18 【答案】2
19 【答案】解：∵AD是△ABC的高， ∠C = 70∘ ，
∠DAC = 20∘
∴ ，
∵BE平分 ∠ABC 交AD于 E ，∠ABE = ∠EBD
∴ ，
∠BED = 64∘
∵ ，
∠ABE +∠BAE = 64∘
∴ ，
∠EBD+64∘ = 90∘
∴ ，
∠EBD = 26∘
∴ ，
∠BAE = 38∘
∴ ，
∠BAC = ∠BAE +∠CAD = 38∘ +20∘ = 58∘
∴ ．
【解析】∵AD是△ABC的高，∠C=70°，
∴∠DAC=20°，
∵BE平分∠ABC交AD于E，
∴∠ABE=∠EBD，
∵∠BED=64°，
∴∠ABE+∠BAE=64°，
∴∠EBD+64°=90°，
∴∠EBD=26°，
∴∠BAE=38°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAD=38°+20°=58°．
20 【答案】证明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACB=∠DCE，
在△BCA和△ECD中，
⎧⎪ CB = CE
⎨∠ACB = ∠DCE
，
⎩⎪
CA = CD
∴△ABC≌△DEC，
∴∠A=∠D．
【解析】证明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中， ，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴∠A=∠D．
21 【答案】解： ∵ AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D ，
∴ AD = BD
，∵ ΔDBC 25cm BC = 10cm
的周长是 ， ，
∴ BC +CD+BD = BC +CD+AD = BC +AC = 25cm
，
∴ AC = 15cm
．
∴ ΔABC = AB+AC +BC = 15+15+10 = 40cm
的周长 ．
22 【答案】解：(1)△DEF如图所示，D(2,-3)，E(3,-1)，F(-2,2）
1
(2)S 四边形ABED=
2
(2+6)×1=4．
23 【答案】证明：
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠ADB=90°，∠BAC=60°，AB=AC
∵EC⊥BC，
∴∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中
AB = AC
{
BD = CE
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）
∴AD=AE，∠CAE=∠BAD=60°，
∴△ADE是等边三角形．
24 【答案】（1）证明： ∵ BE⊥AC ，
∴ ∠A+∠ABE = 90∘
，
∵ ∠ABC = 90∘
，
∴ ∠DBE +∠ABE = 90∘
，
∴ ∠A = ∠DBE
，
⎧⎪ ∠BAC = ∠DBE
ABC BDE ⎨AB = BD
在△ 和△ 中， ，
⎩⎪
∠ABC = ∠BDE = 90∘
ABC BDE(ASA)
∴△ ≌△ ；AB = DE +CD
（2）解： ，
ABC BDE
理由：由（1）证得，△ ≌△ ，
∴ AB = BD BC = DE
， ，
∵ BD = CD+BC
，
∴ AB = CD+DE
．
25 (1)【答案】20，20；
∵ DE = DA
【解析】 ，
∴ ∠E = ∠DAC
，
∵ ΔABC
是等边三角形，
∴ ∠BAC = ∠ACD = 60∘
，
∴ ∠BAD+∠DAC = ∠E +∠EDC = 60∘
，
∴ ∠BAD = 60∘ −∠DAC = 20∘
，
∠EDC = 60∘ −∠E = 60∘ −∠DAC = 20∘
∠BAD = ∠EDC
(2)【答案】 ；
∵ DE = DA
理由： ，
∴ ∠E = ∠DAC
，
∵ ΔABC
是等边三角形，
∴ ∠BAC = ∠ACD = 60∘
，
∠BAD+∠DAC = ∠E +∠EDC = 60∘
即 ，
∴ ∠BAD = ∠EDC
；
(3)【答案】①补全图形如图2；
DM = DE ∠EDC = ∠MDC
②想法1：由轴对称可得， ， ，
∵ DE = DA
，
∴ DM = DA
，
∠BAD = ∠EDC
由（2）可得， ，
∴ ∠MDC = ∠BAD
，
∵ ΔABD ∠BAD+∠ADB = 180∘ −∠B = 120∘
中， ，
∴ ∠MDC +∠ADB = 120∘
，
∴ ∠ADM = 180∘ −120∘ = 60∘
，
∴ ΔADN
是等边三角形，
∴ AD = AM
；CM
想法2：连接 ，
DM = DE ∠EDC = ∠MDC
由轴对称可得， ， ，
∵ DE = DA
，
∴ DM = DA
，
∠BAD = ∠EDC
由（2）可得， ，
∴ ∠MDC = ∠BAD
，
∵ ΔABD ∠BAD+∠ADB = 180∘ −∠B = 120∘
中， ，
∴ ∠MDC +∠ADB = 120∘
，
∴ ∠ADM = 180∘ −120∘ = 60∘
，
∴ ΔADM ∠DAM = (180∘ −60∘)÷2 = 60∘
中， ，
∵ ∠BAC = 60∘
又 ，
∴ ∠BAD = ∠CAM
，
∠DCE = ∠DCM = 120∘
由轴对称可得， ，
∵ ∠ACB = 60∘
又 ，
∴ ∠ACM = 120∘ −60∘ = 60∘
，
∴ ∠B = ∠ACM
，
ΔABD ΔACM
在 和 中，
⎧⎪ ∠BAD = ∠CAM
⎨AB = AC
，
⎩⎪
∠B = ∠ACM
∴ ΔABD ≅ΔACM(ASA)
，
∴ AD = AM
．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 幂运算
例题练习题答案例1 【答案】10
练1.1 【答案】C
练1.2 【答案】 6
ax+y = ax ⋅ay = 2×3 = 6
【解析】 ．
例2 【答案】 25
练2.1 【答案】 8
练2.2 【答案】 9
例3 【答案】
b2
492n = (72) 2n = (72n) 2 = b2
【解析】 ．
练3.1 【答案】 −72
a3x+2y= (ax)3 ⋅(ay)2 = (−2)3 ×32 = −72
【解析】
1 3 1
练3.2 【答案】 23m+10n= (2m)3 ⋅(25) 2n = (2m)3 ⋅(32n)2= ( ) ×22=
解：
2 2
例4 (1)【答案】 ab
(2)【答案】C
练4.1 【答案】4
1 2005
【解析】 = ( ) ×(−4)2005 ×(−4)
原式
4
1 2005
= (−4× ) ×(−4)
4
= (−1)×(−4)
= 4
练4.2 【答案】B
例5 【答案】D
练5.1 【答案】B
1
例6 【答案】
4
am 2 1
【解析】am−n = = =
．
an 8 4
练6.1 【答案】 −8
例7 【答案】C
练7.1 【答案】9
(2021m)2 62
【解析】20212m−n = = = 9
．
2021n 4
能力提高 / 初二 / 秋季第 8 讲 幂运算
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】A
3 【答案】D
−(−3a2b3) 4 = −34a8b12 = −81a8b12
【解析】解： ．
4 【答案】B
5 【答案】64
6 【答案】解： a2m+n= (am)2 ⋅an = 22 ×8 = 32 ．
7 【答案】解：
(0.5)2012 ×(−2)2013
= [0.5×(−2)]2012 ×(−2)
= −2
4 2017 5 2018
8 【答案】 = ( ) ×( ) ×(−1)
原式
5 4
4 2017 5 2017 5
= ( ) ×( ) × ×(−1)
5 4 4
4 5 2017 5
= ( × ) ×(− )
5 4 4
5
= 1×(− )
4
5
= −
4
9 【答案】C
【解析】根据同底数幂的除法的性质的逆用和幂的乘方的性质计算即可．
xm = 6 xn = 3
解：∵ ， ，
x2m−n = (xm)2 ÷xn = 62 ÷3 = 12
∴
(2m)4 34 81
10 【答案】 24m−2n = = =
解： ．
(2n)2 52 25
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 幂运算课堂落实答案
1 【答案】15
4x+y = 4x ⋅4y = 5×3 = 15
【解析】 ．
2 【答案】
−8a6
(2a2) 3 = 23 ⋅a2×3 = 8a6
【解析】 ．
3 【答案】1000
4 【答案】B
5 【答案】A
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 幂运算
精选精练
1 【答案】 3
2 【答案】 −32
1 12 8 11
3 【答案】 (3 ) ×( ) ×(−2)3
解：
8 25
25 25 11 8 11
= ×( ) ×( ) ×(−8)
8 8 25
25
= ×(−8)
8
= −25
4 【答案】解:原式 = 32a ⋅33b = 32a+3b = 33 = 27
4
5 【答案】 ；72．
27
(ax)2 22 4
【解析】a2x−3y= = = a3x+2y= (ax)3 ⋅(ay)2 = 23 ⋅32 = 72
； ．
(ay)3 33 27
6 【答案】解：（1） (xy)2n = (xnyn)2 = (5×4)2 = 400 ；
1 11 1 11
( ) ⋅a11n= ( ) ⋅(am+n) 11 ÷(am)11
（2）
9 9
1 11 36 11
= ( ) ⋅( ) = 1
．
9 4
能力提高 / 初二 / 秋季第 9 讲 整式乘法
例题练习题答案
例1 (1)【答案】
15x5
−8xy3
(2)【答案】
36x4
(3)【答案】
−72a5
(4)【答案】
练1.1 【答案】D
练1.2 【答案】D
例2 【答案】D
−(2a+b−c) = −2a−b+c
【解析】解：A、 ，故本选项错误；
−2(2a+b−3c) = −4a−2b+6c
B、 ，故本选项错误；
−(a−b+c) = −a+b−c
C、 ，故本选项错误；
−(a−b−c) = −a+b+c
D、 ，故本选项正确；
故选：D．
1 1
练2.1 (1)【答案】 x2 −xy + x
2 2
12mn2 −2m2n6
(2)【答案】
练2.2 (1)【答案】
6x3 +2x2y2
−6x3 +2x2y2 +6x
(2)【答案】
2x3y −6x3y3
(3)【答案】
10a5 −15a4 +20a3
(4)【答案】
例3 (1)【答案】 6x2 +x−2
6x2 −7x+2
(2)【答案】
2x2 −5x−3
(3)【答案】
−6x2+7x−2
(4)【答案】
练3.1 (1)【答案】 2a2 +a−15
3x2 −7x−6
(2)【答案】3x2m +5xmyn −2y2n
(3)【答案】
7b2
(4)【答案】
例4 【答案】C
x2 +x−2
【解析】等号左边展开为 ，
x2 +x−2 = x2 +mx+n
∴ ，
m = 1 n = −2
对比系数得： ， ，
m+n = −1
∴ ，答案为C.
练4.1 【答案】B
练4.2 【答案】A
∵ (x+m)(x+3) = x2 +3x+mx+3m = x2 +(3+m)x+3m
【解析】 ，
∵ x
又 乘积中不含 的一次项，
∴ 3+m = 0
，
m = −3
解得 ．
例5 【答案】B
练5.1 【答案】B
(a4b) 2 ÷a2 = a8b2 ÷a2 = a6b2
【解析】解: ,故选B.
例6 【答案】B
练6.1 【答案】C
练6.2 【答案】解：原式 = −3x2y +2x−y ．
例7 【答案】解：原式 = x2 −3x+2+x2 +3x
= 2x2 +2
1 1 20
x = = 2× +2 =
当 时,原式 ．
3 9 9
练7.1 【答案】解：原式 = 3x3 −6x2 −x+2−3x3 +6x2 +36x
= 35x+2
1 1
x = = 35× +2 = 7
当 时,原式
7 7
练7.2 【答案】解： (a2b−2ab2 −b3) ÷b−(a+b)(a−b)
= a2 −2ab−b2 −a2 +b2
= −2ab
1
a = b = −1 = 1
当 ， 时，原式 ．
2
能力提高 / 初二 / 秋季第 9 讲 整式乘法
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
3 【答案】C
2 9
4 (1)【答案】 m3n2 − m2n3
7 4
−x3y2 +6x2y3 −2xy2
(2)【答案】
12mn2 −2m2n6
(3)【答案】
2x2 +2xy +2x
(4)【答案】
7
5 (1)【答案】m2n2 + mn3
2
2x4y3 +3x5y4
(2)【答案】
6x2 +x−15
(3)【答案】
3x3 −17x2 +10x
(4)【答案】
6 (1)【答案】 4m2 −2mn−3
1
(2)【答案】2m2 − mn+n−1
5
7 【答案】D
8 【答案】C
9 【答案】A
10 【答案】解： x(x−1)+2x(x+1)−(3x−1)(2x−5)
= x2 −x+2x2 +2x−6x2 +17x−5
= −3x2 +18x−5
x = 2 = −12+36−5 = 19
当 时，原式 ．
能力提高 / 初二 / 秋季第 9 讲 整式乘法
课堂落实答案
1 【答案】
−x3y3
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】
−2a2 +3ab−6b2
5 【答案】解：原式 = ab−2b−a2 +a2 +ab−a−b
= 2ab−a−3b
a = 0.5 b = −1
当 ， 时,
= 2×0.5×(−1)−0.5−3×(−1) = 1.5
原式
能力提高 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法
精选精练
1 【答案】A
2 【答案】C
3 【答案】D
(2x2 +ax−1)(x−b)+3
【解析】
= 2x3 +(a−2b)x2 −(ab+1)x+b+3
2x3 −ax2 −5x+5 = (2x2 +ax−1)(x−b)+3
∵ ,
a−2b = −a−(ab+1) = −5b+3 = 5
∴ , , ，
a = 2 b = 2
解得： ， ，
a+b = 4
∴ ．
4 【答案】 1
3
4
5 【答案】解: (x2 +mx+n)(x2 −3x+2)
= x4 +(m−3)x3 +(−3m+n+2)x2 +(2m−3n)x+2n
x3 x
∵不含 项和 项，m−3 = 02m−3n = 0
, ,
m = 3n = 2
, ,
1 3
mnnm ÷ m2n
2 5
5
= mn−2nm−1
6
5 10
= ×30 ×22 =
6 3
6 【答案】解：原式 = (x2 +5xy −xy −5y2 −x2 +4y2) ÷y
= (4xy −y2) ÷y
= 4x−y
6−4x+y = 0
∵ ，
−4x+y = −6
∴ ，
= −(−4x+y) = 6
∴原式 ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式
例题练习题答案
例1 【答案】 a2 −49
练1.1 【答案】 3x2 +3x−21
(2x+5)(2x−5)−(x+1)(x−4)
【解析】
= 4x2 −25−(x2 −4x+x−4)
= 4x2 −25−x2 +4x−x+4
= 3x2 +3x−21
练1.2 【答案】 ±4
(x−ay)(x+ay) = x2 −a2y2 = x2 −16y2
【解析】
a2 = 16 a = ±4
故 ，即 ．
例2 【答案】B
练2.1 【答案】C
【解析】A、两项相同，故不能用平方差公式计算；
B、有一项相同，另一项互为相反数．符合平方差公式的特征，故能用平方差公式计算；
C、两项都互为相反数，故不能用平方差公式计算；
D、两项都不相同，故不能用平方差公式计算．故选：B．
练2.2 【答案】D
例3 (1)【答案】1
1
(2)【答案】
2020
练3.1 (1)【答案】 −1
(2)【答案】B
例4 【答案】4
例5 【答案】D
练5.1 (1)【答案】原式 = 16m2 +40mn+25n2
= 25−10a+a2
(2)【答案】原式
= x2 +10xy +25y2
(3)【答案】原式
例6 【答案】 x2 +2xy +y2 −z2
练6.1 【答案】 a2 −2ac +c2 −b2
4 4 1
练6.2 【答案】x2 − xz + z2 − y2
3 9 9
例7 (1)【答案】1
(2)【答案】C
练7.1 (1)【答案】100
(2)【答案】A
3
例8 (1)【答案】
2
(2)【答案】7
练8.1 (1)【答案】13
38
(2)【答案】
例9 【答案】 1
练9.1 【答案】4或-4
能力提高 / 初二 / 秋季第 10 讲 乘法公式
自我巩固答案
1 (1)【答案】 9x2 −4
4a2 −b2
(2)【答案】
2 【答案】C
3 【答案】1
4 【答案】解：原式= [a2 −(3b)2]+a2 −4b2 = 2a2 −13b2
38
5 【答案】
2
6 【答案】B
7 【答案】原式 = [2a+(3−b)][2a−(3−b)]
= 4a2 −(3−b)2
= 4a2 −(9−6b+b2)
= 4a2 −9+6b−b2
8 【答案】B
9 【答案】58
10 【答案】27
1 1 2
【解析】 m− = 5 (m− ) = 25
由 得 ，
m m
1
m2 −2+ = 25
，
m2
1
m2 + = 27
．
m2
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式
课堂落实答案
1 【答案】 9a2 −1
2 【答案】D
3 【答案】64y2 −16y +m
【解析】∵ 是完全平方式，
y2 −16y +m = (y −8)2 = y2 −16y +64
∴ ，
m = 64
则 ．
4 【答案】B
5 【答案】23．
1 1 2
【解析】a2 + = (a+ ) −2 = 52 −2 = 23
．
a2 a
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式
精选精练
1 【答案】 ±4
∵ (2a+2b+1)(2a+2b−1)
【解析】
= [(2a+2b)+1][(2a+2b)−1] = 63
，
(2a+2b)2 −1 = 63
即 ，
(2a+2b)2 = 64
则 ，
∴ 2a+2b = ±8
，
∴ a+b = ±4
2 【答案】D
1
3 【答案】 ×(616 −1)
5
4 【答案】21
2x2 −2xy +y2 +4x+25
【解析】
= x2 −2xy +y2 +x2 +4x+4+21
= (x−y)2 +(x+2)2 +21
，
(x−y)2 ≥ 0 (x+2)2 ≥ 0
∵ ， ，
(x−y)2 +(x+2)2 +21 ≥ 21
∴ ，
2x2 −2xy +y2 +4x+25
∴多项式 的最小值为21，
故答案为：21．
1
5 【答案】
2
6 (1)【答案】 x2 −4x+9 的三种不同形式的配方分别为：x2 −4x+9 = (x−2)2 +5
x2 −4x+9 = (x−3)2 +2x
2 2 5
x2 −4x+9 = ( x−3) + x2
3 9
a2 +ab+b2 = (a+b)2 −ab
(2)【答案】 ；
1 2 3
a2 +ab+b2 = (a+ b) + b2
或 ；
2 4
a2 +ab+b2 = (a−b)2 +3ab
或 ；
1 2 3
a2 +ab+b2 = ( a+b) + a2
或 ；
2 4
a2 +b2 +c2 −ab−3b−2c +4 = 0
(3)【答案】
1 3
a2 −ab+ b2 + (b2 −4b+4) +c2 −2c +1 = 0
4 4
1 2 3
(a− b) (b−2)2 +(c −1)2 = 0
+
2 4
1 3
a− b = 0 (b−2) = 0 c −1 = 0
∴ ， ，
2 4
a = 1 b = 2 c = 1
∴ ， ， ，
a+b+c = 4
则 ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 提公因式法及平方差公式
例题练习题答案
例1 (1)【答案】D
(2)【答案】B
练1.1 (1)【答案】B
(2)【答案】B
例2 (1)【答案】 x2 (x−4y)
(2)【答案】A
练2.1 (1)【答案】 m(m+1)(a−2)
(2)【答案】B练2.2 (1)【答案】A
3(a−b)(x+2y)
(2)【答案】
例3 (1)【答案】 (x+1) （ x−2)
(4a−3)(a+1)
(2)【答案】
练3.1 (1)【答案】 (x−1)(x−3)
x(x−3)−x+3 = x(x−3)−(x−3) = (x−1)(x−3)
【解析】
(a−2)(2a+1)
(2)【答案】
(2a+1)a−4a−2 = (2a+1)a−2(2a+1) = (a−2)(2a+1)
【解析】
练3.2 (1)【答案】 (x−1)(x+2)
(x+2)x−x−2 = (x+2)x−(x+2) = (x−1)(x+2)
【解析】
(x+1)(x−2)
(2)【答案】
x2 −2x+(x−2) = x(x−2)+(x−2) = (x+1)(x−2)
【解析】
例4 (1)【答案】A
(2)【答案】C
练4.1 (1)【答案】6
(2)【答案】25
例5 (1)【答案】 (a+2b)(a−2b)
(4+a)(4−a)
(2)【答案】
6(x+2)(x−2)
(3)【答案】
(4b2x2 +9c2y2)(2bx+3cy)(2bx−3cy)
(4)【答案】
练5.1 (1)【答案】 −3(x+2)(x−2)
(4+9x)(4−9x)
(2)【答案】
2(x+2)(x−2)
(3)【答案】
(4a2 +9b2)(2a+3b)(2a−3b)
(4)【答案】
例6 (1)【答案】B2(3a+2)(2−a)
(2)【答案】
−b(2a+3b)
(3)【答案】
(m−n)(a+b)(a−b)
(4)【答案】
练6.1 (1)【答案】 8y(2x+y)
5(a+b)(a−b)
(2)【答案】
(a+b)(a−b)(x+y)(x−y)
(3)【答案】
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 提公因式法及平方差公式
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】D
5 【答案】B
6 【答案】A
7 【答案】 (m+3b)(m−3b)
8 【答案】B
9 【答案】 3(x+y)(x−y)
10 【答案】 (a−b)(m+n)(m−n)
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 提公因式法及平方差公式
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】A3 【答案】 −6
4 【答案】 (m+5b)(m−5b)
5 【答案】 −(7x+5y)(x+y)
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 提公因式法及平方差公式
精选精练
1 【答案】C
2 【答案】解：（1）提公因式，2；
(x+1)2013
（2）2012， ；
1+x+x(x+1)+x(x+1)2 +…+x(x+1)n
（3）
= (1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2 +…+x(x+1)n−1]
= (1+x)2 [1+x+x(x+1)+x(x+1)2 +…+x(x+1)n−2]
= (1+x)n+1
．
3 【答案】D
4 【答案】原式
1 1 1 1 1 1 1
= (1+ )(1− )(1+ )(1− )(1+ )(1− )⋯(1+ )
2 2 3 3 4 4 n
3 1 4 2 5 3 n+1 n−1
= × × × × × ×⋯× ×
2 2 3 3 4 4 n n
n+1
=
．
2n
5 【答案】解：
9(m+n)2 −16(m−n)2
= [3(m+n)+4(m−n)][3(m+n)−4(m−n)]
= (7m−n)(−m+7n)
；
6 【答案】解：∵ (x+y)2 = 5 ， (x−y)2 = 41 ，
(x+y)2 +(x−y)2 = 46
∴ ，
x2 +2xy +y2 +x2 −2xy +y2 = 46
则 ，
2(x2 +y2) = 46
，
x2 +y2 = 23
故 ，
(x+y)2 −(x−y)2 = −36
，
x2 +2xy +y2 −x2 +2xy −y2 = −36
则 ，4xy = −36
故 ，
xy = −9
则 ，
4xy = −36
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 完全平方公式及配方
例题练习题答案
例1 (1)【答案】B
(2)【答案】C
(x−2y)2
(3)【答案】
(4)【答案】D
练1.1 (1)【答案】C
(x−3y)2
(2)【答案】
(x+3a)2
(3)【答案】
(2+3x−3y)2 =
(4)【答案】
例2 (1)【答案】
2(a+2)2
x(m−2)2
(2)【答案】
2(4x−y +4)2
(3)【答案】
2y(x−y +1)2
(4)【答案】
练2.1 (1)【答案】
2(m−2)2
x(x−3)2
(2)【答案】
1
(3)【答案】 (x+2y −2)2
2
3
(4)【答案】 x(x+2y −2)2
2
例3 (1)【答案】
(x+2)2(x−2)2(x+y)2(x−y)2
(2)【答案】
(2m+n)2(2m−n)2
(3)【答案】
练3.1 (1)【答案】
(x+3)2(x−3)2
(a+b)2(a−b)2
(2)【答案】
(x+3y)2(x−3y)2
(3)【答案】
例4 (1)【答案】 16
(2)【答案】D
练4.1 (1)【答案】9
x2 −6x+m
【解析】∵多项式 是一个完全平方式，
−6 2
m = ( ) = 9
∴ ．
2
(2)【答案】D
例5 (1)【答案】 ±12
−5
(2)【答案】7或
练5.1 (1)【答案】21或 −27
(2)【答案】27
例6 (1)【答案】∵ (x+y)2 −2x−2y +1 = [(x+y)−1]2 = 0 ，
(x+y)−1 = 0
∴ ．
x+y = 1
即 ．
x2 +y2 +4x−6y +13 = (x+2)2 +(y −3)2 = 0
(2)【答案】由 ，
x+2 = 0 y −3 = 0
可以得出 ， ，
x = −2 y = 3
即 ， ．
xy = (−2)3 = −8
所以 ．
练6.1 (1)【答案】1
(2)【答案】9
例7 【答案】D
= (x−2)(x+9)
【解析】解：原式 ．D
故选： ．
练7.1 (1)【答案】 (x+4)(x−9)
(x−4y)(x+y)
(2)【答案】
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 完全平方公式及配方
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】B
2
3 【答案】（ x−9y ）
4 【答案】
4(2a+2b+1)2
5 【答案】
xy(a−2)2
6 【答案】
4(2m+n)2(2m−n)2
7 【答案】D
8 【答案】A
9 【答案】 3 或 −13 ．
16y2 +(m+5)y +1
【解析】 是完全平方式，
16y2 +(m+5)y +1 =(4y)2 +(m+5)y +1
m+5 = ±8
所以
m = 3 m = −13
或 ．
10 【答案】（1）原式 = (k−1)(k+6) ；
= (c −1)(c −4)
（2）原式 ；
= (x+3)(x+4)
（3）原式 ；
= (x−3)(x+2)
（4）原式 ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 完全平方公式及配方课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】
4(a+b−2)2
3 【答案】D
4 【答案】C
5 【答案】A
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 完全平方公式及配方
精选精练
1 【答案】D
2 【答案】将 x+y , x−y 分别看做一个整体；
(x+y)2 +4(x−y)2 −4(x2 −y2)
= (x+y)2 −4(x+y)(x−y)+4(x−y)2
= [x+y −2(x−y)]2
= (−x+3y)2
3 【答案】解：（1）设 M = x+y ，
= M (M −4)+4 = M2 −4M +4 = (M −2)2
则原式 ，
M = x+y = (x+y −2)2
将 代入还原可得原式 ；
= (a−1)(a−4)(a−2)(a−3)+1
（2）原式
= (a2 −5a+4)(a2 −5a+6) +1
N = a2 −5a+4
令 ，
∵a为正整数，
N = (a−1)(a−4) = a2 −5a+4
∴ 也是整数，
= N (N +2)+1
则原式
= N2 +2N +1
= (N +1)2
，
∵N为整数，
= (N +1)2
∴原式 即为整数的平方
4 【答案】 ±6x2 +mx+9 = (ax+b)2
【解析】已知等式整理得： ，
m = ±2×3×1
可得 ，
m = ±6
则 ．
5 【答案】解:原式 = (x2 +x−2)(x2 +x−12)+a = (x2 +x)2 −14(x2 +x)+a+24 ,
a+24 = 49
由结合为完全平方式,得到 ,
a = 25
解得: .
【解析】【分析】原式第一项结合后，利用多项式乘以多项式法则计算，整理后利用完全平方公式
结构特征确定出a的值即可．
2 2 2 2 2
【解答】解：原式=（x +x﹣2）（x +x﹣12）+a=（x +x） ﹣14（x +x）+a+24，
由结合为完全平方式，得到a+24=49，
解得：a=25．
6 【答案】（1） (2x−1)(3x−2) ；
(3x+1)(x−3)
（2） ；
(3x−5)(4x+3)
（3） ；
(2x+3)(3x−4)
（4） ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 分式计算
例题练习题答案
a+2 1 1 1
例1 【答案】（1）原式 = ⋅ = = ；
a−2 a(a+2) a(a−2) a2 −2a
a−1 (a+2)(a−2) a+2 a+2
= ⋅ = =
（2）原式 ．
(a−2)2 (a+1)(a−1) (a−2)(a+1) a2 −a−2
(x+1)(x−1) 1
练1.1 【答案】 = ⋅
原式
(x−1)2 x+1
1
=
x−1
(x+2)(x−2) x(x+2)
练1.2 【答案】 = ÷
原式
(x−2)2 −(x−2)
x+2 −(x−2)
= ⋅
x−2 x(x+2)
1
= −
x
y3 a4
例2 【答案】 −
（1） ；（2） ．
27x6 9b6c2a8
练2.1 【答案】
b12
−27x6
8y6z3
9a2c −27c3
例3 【答案】 = 4a2b2c2 ÷ ⋅
解：原式
b3 b3
b3 −27c3
= 4a2b2c2 ⋅ ⋅
9a2c b3
= −12b2c4
．
【解析】先进行乘方运算，再进行乘除运算．
b2 3b 8a
练3.1 【答案】 = ⋅(− )⋅
解：（1）原式
4a2x2 ax b3
6
= −
；
a2x3
a2 4b 2b2
= ⋅ ⋅
（2）原式
b2 3ac 3a
8b
=
．
9c
例4 (1)【答案】最简公分母是
a2b4c3
．
c c4 a2 a4b3
= − =−
， ；
a2b4 a2b4c3 bc3 a2b4c3
2(x+2)(x−2)
(2)【答案】最简公分母是 ．
1 1 2
= =
，
x2 −4 (x+2)(x−2) 2(x+2)(x−2)
x −x −x2 −2x
= =
．
4−2x 2(x−2) 2(x+2)(x−2)
x2 +3x+2 x2
练4.1 【答案】
，
3x2 +6x 3x2 +6x
2x 4x 4x
练4.2 【答案】 = = ，
x2 −9 2(x+3)(x−3) 2x2 −18
x x(x−3) x2 −3x
= =
．
2x+6 2(x+3)(x−3) 2x2 −18
3x
例5 【答案】（1）2；（2） ．
x−1
5
练5.1 【答案】（1） ；（2）3．
a+2
a 1 2a−(a+5b) 1
例6 【答案】 = − = =
（1）原式 ；
(a+5b)(a−5b) 2(a−5b) 2(a+5b)(a−5b) 2(a+5b)
(a+b)(a−b) 2b2 a2 −b2 +2b2 a2 +b2
= + = =
（2）原式 ．
a+b a+b a+b a+b
4x x
练6.1 【答案】原式 = −
(x+2)(x−2) x−2
4x x(x+2)
= −
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
4x−x2 −2x
=
(x+2)(x−2)x(2−x)
=
(x+2)(x−2)
x
=−
．
x+2
(a+1)(a−1) a2
练6.2 【答案】 = −
解：原式
a−1 a−1
a2 −1 a2
= −
a−1 a−1
a2 −1−a2
=
a−1
1
= −
a−1
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 分式计算
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】C
2(a+b) 9a2b
3 【答案】 ⋅
原式=
3ab (a+b)(a−b)
6a
= ．
a−b
a2 25b2 a
4 【答案】 ⋅ ⋅
原式=
b2 4a4 5b
5
=
4ab
5 【答案】最简公分母是 2x(x+1)(x−1) ．
x x2(x−1) x3 −x2
= =
，
2x+2 2x x+1)(x−1) 2x3 −2x
（
1 2(x−1) 2x−2
= =
，
x2 +x 2x x+1)(x−1) 2x3 −2x
（
1 2x 2x
= =
．
x2 −1 2x x+1)(x−1) 2x3 −2x
（
6 【答案】B
1 1 b a a+b
【解析】 + = + =
A、 ，故A错误；
2a 2b 2ab 2ab 2ab
1 1 1 1
+ = − = 0
B、 ，故B正确；
a−b b−a a−b a−b
c c +1 −1 1
− = = −
C、 ，故C错误；
a a a a
b b bc ab bc +ab
+ = + =
D、 ，故D错误．
a c ac ac ac
7 【答案】Ba2 1−2a
【解析】 −
解：
a−1 1−a
a2 1−2a
= +
a−1 a−1
(a−1)2
=
a−1
= a−1
故选：B．
8 【答案】A
9 【答案】D
a 4 a2 4 (a+2)(a−2) a+2
【解析】 − = − = =
，
a−2 a2 −2a a(a−2) a(a−2) a(a−2) a
故答案为：D．
10 【答案】（ 1 ） 原 式
a 1 3a a−4b
= − = − =
(a−4b)(a+4b) 3(a+4b) 3(a−4b)(a+4b) 3(a−4b)(a+4b) 3
2(a+2) 2 a
= +1 = +1 =
（2）原式 ．
(a+2)(a−2) a−2 a−2
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 分式计算
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】C
3 【答案】 a+1
a2 −1
【解析】 = a+1
原式= ．
a−1
a+1
故答案为： ．
4 【答案】最简公分母是
6(a+b)2(a−b)
．
1 2(a−b) 2a−2b
= =
，
3(a+b)2 6(a+b)2(a−b) 6a3 −6ab2 +6a2b−6b3
a+b 3(a+b)2 3a2 +6ab+3b2
= =
．
2a2 −2b2 6(a+b)2(a−b) 6a3 −6ab2 +6a2b−6b3
2x x+3y 1
5 【答案】原式 = − =
2(x−3y)(x+3y) 2(x−3y)(x+3y) 2(x+3y)
能力提高 / 初二 / 秋季第 13 讲 分式计算
精选精练
x
1 【答案】（1）原式 =
6y
xy
= −x(x−y)⋅ = −x2y
（2）原式
x−y
(m−3)2
m−2 m−3
2 【答案】 = ⋅ = −
解：（1）原式 ；
(m+2)(m−2) −(m−3) m+2
x(x+2)2
x−1 x+2
= ⋅ =
（2）原式 ．
(x+1)(x−1) x(x+2) x+1
3 【答案】最简公分母是
12a(x+2)2
．
y 3y(x+2) 3xy +6y
= =
，
4a(x+2) 12a(x+2)2 12ax2 +48ax+48a
x x 2ax
= =
．
6(x2 +4x+4) 6(x+2)2 12ax2 +48ax+48a
2a2 +3−a2 −4 a2 −1
4 【答案】 = = = a−1
（1）原式 ；
a+1 a+1
a2 +b2 +2ab (a+b)2 a+b
= = =
（2）原式 ．
a2 −b2 (a+b)(a−b) a−b
1 6 x+1
5 【答案】原式 = − −
x−5 (x+5)(x−5) 2(x+5)
2(x+5)−12−(x+1)(x−5)
=
2(x+5)(x−5)
2x+10−12−(x2 −4x−5)
=
2(x+5)(x−5)
−x2 +6x+3
=
2(x+5)(x−5)
(a−1)2 a(a+1)
6 【答案】 = ⋅ = 1−a
原式
a (1−a)(1+a)
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 分式的化简求值及分式方程
例题练习题答案
x+2+x2 −4 x−2
例1 【答案】 = ( )⋅
解：原式
x−2 (x+2)2
(x+2)(x−1) x−1
= =
．
(x+2)2 x+2−2
x = −1 = = −2
当 时，原式 ．
1
4 x+2
【解析】(1+ )÷
x−2 x2 −4
x−2+4 (x+2)(x−2)
= ×
x−2 x+2
＝x＋2．
当x＝3时，原式＝3＋2＝5．
1
练1.1 【答案】−
2
例2 【答案】D
例3 【答案】B
练3.1 【答案】2
6
【解析】将方程 = 2 去分母得： 2x = 6 ，
x
x = 3
解得： ，
x = 3
经检验 是分式方程的解，
ax 2 3a
x = 3 − = 1 −1 = 1
把 代入 得： ，
a+1 x−1 a+1
2a+2 = 3a
去分母整理得： ，
a = 2
解得： ，
a = 2
经检验， 是分式方程的解，
故答案为：2．
例4 【答案】D
(x−7)
【解析】最简公分母为 ，去分母，得
x−8+1 = 8(x−7)
，
x = 7 x−7 = 0
解得 ，代入 ．
∴此方程无解．
故选：D．
练4.1 【答案】解：方程两边同乘 (x−1) ，
x+3 = 3x−3
得： ，
x = 3
解得 ．
x = 3
经检验 是原方程的解．
1−x = −(x−1) (x−1)
【解析】本题考查解分式方程的能力，因为 ，所以最简公分母为 ．
例5 【答案】解：（1）去分母得： 2x−(x−2) = 0 ，
x = −2
解得： ，
x = −2
经检验 是分式方程的解．(x−2)2 −16 = x2 −4
（2）去分母得： ，
x = −2
解得： ，
x = −2
经检验 是增根，分式方程无解．
1 1
练5.1 【答案】解：（1）原方程可变形为： − = 1 ，
x−3 2(x−3)
2−1 = 2x−6
去分母，得
x = 3.5
解得
x = 3.5
经检验， 是原方式方程的解．
x = 3.5
所以原分式方程的解为： ；
5(x−1)+3(x+1) = 6
（2）去分母，得 ，
5x−5+3x+3 = 6
去括号，得 ，
8x = 8
整理，得 ，
x = 1
所以，
x = 1 x2 −1 = 0
当 时， ，
x = 1
所以 不是原方程的解．
所以原方程无解．
例6 (1)【答案】B
(2)【答案】设自行车速度为x千米/小时，则汽车速度为 2.5x 千米/小时．
20 45 20
− =
由题意可列方程为 ．
x 60 2.5x
解这个方程，得x=16．
x = 16
经检验， 符合题意．
2.5x = 40
故 ．
答：自行车速度为16千米/小时，汽车速度为40千米/小时．
【解析】关键描述语为：“甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两
45
− =
班师生同时到达”；等量关系为：甲班师生行驶的时间 乙班师生行驶的时
60
间．
练6.1 【答案】解：设船在静水中的速度是 x 千米/时，则水流速度是 (x−2) 千米/时，船在逆水时速度是
[x−(x−2)] [x+(x−2)]
千米/时，船在顺水时速度是 千米/时．
32 32
= +12
依题意，得 ，
x−(x−2) x+(x−2)
4
= 1
整理，得 ，
x−1
x = 5
解这个分式方程，得： ，x = 5 x−2 = 3
经检验， 是所列方程的解，且符合题意 ，
答：水流速度是每小时3千米，船在静水中的速度是每小时5千米．
例7 【答案】A
练7.1 【答案】设甲施工队单独完成此工程需要x天，则乙施工队单独完成此工程需要2x天，
7 10
+ = 1
根据题意得， ，
x 2x
x = 12
解得： ，
x = 12
经检验， 是原方程的解，且符合实际问题的意义，
2x = 24
，
答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需12天、24天．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 分式的化简求值及分式方程
课堂落实答案
2(x+2) x+5 x+2
1 【答案】 = [ + ]⋅
解：原式
(x+2)2 (x+2)2 x(x+3)
3x+9 x+2
= ⋅
(x+2)2 x(x+3)
3(x+3) x+2
= ⋅
(x+2)2 x(x+3)
3
=
，
x(x+2)
3
x = −1 = = −3
当 时，原式 ．
−1
2 【答案】D
3 【答案】A
a−2 1
【解析】解：将 x = 4 代入分式方程可得： = ，
4 4−3
a−2
= 1
化简得： ，
4
a = 6
解得： ．
故选：A．
4 【答案】解：去分母得： x−4+3 = 2(x+1) ，
x = −3
整理解得： ，
x = −3
经检验， 为分式方程的解．
5 【答案】C1600 1080
【解析】解：设 B 型机器每小时加工 x 套运动服，可得： = +2 ，
x+20 x
C
故选： ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 分式的化简求值及分式方程
自我巩固答案
x(x+1)−x x2 −1+1
1 【答案】 = ÷
原式 ，
x+1 x2 −1
x2 (x+1)(x−1)
= ⋅
，
x+1 x2
= x−1
．
x ≠ 0 −1
∵ ， ，1，
x = 2 = 1
∴取 ，原式 ．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
2 【答案】B
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】解：去分母得： 2x+3(x−2) = 3x+2 ，
x = 4
解得： ，
x = 4
经检验 是分式方程的解．
6 【答案】解：去分母得： y −3−2+y = −1 ，
2y = 4
移项合并得： ，
y = 2
解得： ，
y = 2
经检验， 是分式方程的解．
7 【答案】解：去分母得： 2x−2+2x = x+1 ，
x = 1
解得： ，
x = 1
经检验， 是增根，分式方程无解．
8 【答案】C
25 35
【解析】根据题意，得 = ．
x x+20
故选：C．
9 【答案】解：设江水的流速为 x 千米 / 小时，1
120 × +20 = 80
千米．
2
120 80
=
依题意， ，
24+x 24−x
x = 4.8
解方程得 ，
x = 4.8
经检验： 是方程的解，
x = 4.8
所以， ，
/
答：江水的流速为4.8千米 小时
10 【答案】解：设甲工程队每天铺设 x 米，则乙工程队每天铺设 (x−10) 米，
350 250
=
依题意，得： ，
x x−10
x = 35
解得： ，
x = 35
经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意，
∴ x−10 = 25
．
答：甲工程队每天铺设35米管道，乙工程队每天铺设25米管道．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 分式的化简求值及分式方程
精选精练
a−3 (a−3)2
1 【答案】 = ÷
解：（1）原式
a−2 (a−2)(a+2)
a−3 (a−2)(a+2)
= ×
a−2 (a−3)2
a+2
=
．
a−3
a+2 2
a = 0 = −
当 时， ．
a−3 3
（2）1
【解析】（1）见答案；
m2 +4m+4 m+2
÷
（2）
m m2
(m+2)2 m2
= ×
m m+2
= m2 +2m
，
m2 +2m = 1
因为 ，
m2 +4m+4 m+2
÷
所以 的值为1，
m m2
故答案为：1．2 【答案】B
3x+6 ≥ 0
①
3 【答案】 {
解： ，
4−2x > 0
②
x ≥ −2
由①得： ；
x < 2
由②得： ，
−2 ≤ x < 2
所以原不等式组的解集为： ．
2x+1 3
= 4x+2 = 9−3x
方程 去分母得： ，
3−x 2
x = 1
解得 ．
x = 1
经检验， 是分式方程的解，
−2 ≤ 1 < 2
因为 ，
故方程的解是不等式组的解．
4
4 【答案】解：（1） y − = 0 ；
y
x−1 x+2
− = 0
（2）原方程化为： ，
x+2 x−1
x−1 1
y = y − = 0
设 ，则原方程化为： ，
x+2 y
y y2 −1 = 0 y = ±1
方程两边同时乘以 得： ，解得： ，
1
y = ±1 y − = 0
经检验： 都是方程 的解．
y
x−1
y = 1 = 1
当 时， ，该方程无解；
x+2
x−1 1
y = −1 = −1 x = −
当 时， ，解得： ．
x+2 2
1
x = −
经检验： 是原分式方程的解，
2
1
∴ x = −
原分式方程的解为 ．
2
5 【答案】解：设每个农民每小时收割 x 公顷小麦，则收割机每小时收割 150x 公顷，
10− 2 ×(150x+100x)
10
5
=
根据题意，得： ，
100x 150x
1
x =
解得： ，
30
1
x =
经检验， 是这个分式方程的解，
30
150x = 5
所以
答：这台收割机每小时收割5公顷小麦．
6 【答案】解：设小伙伴人数是 x 人，
350 350 −35
×0.7 =
由题意得， ，
x−2 x
x = 9
解得， ．
x = 9
经检验， 是原方程的根．
答：小伙伴人数是9人．【解析】设小伙伴人数是x人，
350 350 −35
×0.7 =
由题意得， ，
x−2 x
解得，x=9．
经检验，x=9是原方程的根
故：小伙伴人数是9人．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】C
【解析】A、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项
错误；
B、∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本
选项错误；
C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出
△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错
误．
4 【答案】A
5 【答案】B
6 【答案】C
7 【答案】A
【解析】同时改变了两个符号，分式的值不变，故本选项正确；
只改变了其中一个符号，故本选项错误；
只改变了分子的符号，故本选项错误；
改变了三个符号，故本选项错误．
故选：A．
8 【答案】B9 【答案】A
10 【答案】B
2y2
11 【答案】
3x2
12 【答案】 (x−3)(x−5)
13 【答案】
(a−b)(a+b)2
14 【答案】230°
15 【答案】 1.5
16 【答案】 −3
1
17 【答案】 ab
2
18 【答案】 −1
6x−3
19 【答案】（1） −1 ；（2） − ．
x2 −x−6
20 【答案】解：（1）原式 = x2 +4xy +4y2 −x2 +2xy = 6xy +4y2 ，
2
x = y = 5
当 ， 时，
3
2
= 6× ×5+4×52 = 20+100 = 120
原式 ；
3
a2 −4 5 2(a−2) (a+3)(a−3)
−
（ 2 ） 原 式 =( )• = •
a−2 a−2 a−3 a−2
2(a−2)
=2(a+3)=2a+6．
a−3
21 【答案】解：（1） x = −7 ；
x = 2
（2） 为增根，原方程无解．
22 【答案】解：设甲每小时走x千米，则乙每小时走 (x−0.5) 千米．
20 18
= x = 5
由题意可得 ，解得 ．
x x−0.5
4.5
故甲每小时走5千米，乙每小时走 千米．
【解析】该题考查分式方程的应用．
x x+0.5
设乙的速度为 ，则甲的速度为
18+2 18
=
根据题意可得：
x+0.5 x
x = 4.5
解方程得： ，
x = 4.5
经检验 是原方程的解，
4.5+0.5 = 5
∴
23 【答案】证明：（1）∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
⎧⎪ ∠A = ∠B
在△AEC和△BED中， ⎨ AE = BE ，
⎩⎪
∠AEC = ∠BED
∴△AEC≌△BED(ASA)．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE．
在△EDC中，
∵EC=ED，∠1=40°，
∴∠C=∠EDC=70°，
∴∠BDE=∠C=70°．
【解析】（1）∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝40°，
∴∠C＝∠EDC＝70°，
∴∠BDE＝∠C＝70°．
24 【答案】（1）解： AC⊥DE ；理由如下：
∵ ΔABC ΔADE
和 是等边三角形，
∴ ∠BAC = ∠DAE = 60∘
，∵ AD BC
为 边上的中线，
1
∴ BD = CD ∠BAD = ∠DAC = ∠BAC = 30∘
， ，
2
∴ ∠CAE = 60∘ −30∘ = 30∘
，
∴ ∠DAC = ∠CAE
，
∴ AC DE
垂直平分 ，
AC⊥DE
即 ；
BC = 2CE
（2）解： ；理由如下：
∵ AC DE
垂直平分 ，
∴ CD = CE
，
∵ BD = CD
，
∴ BC = 2CE
．
25 【答案】（1）证明:∵DC‖AB，
∴∠CDB=∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC，
又∵AD=BC，
∴AD=DC；
（2）△DEF为等边三角形，
证明:∵BC=DC(已证)，CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠BDE=60°，
∴△DEF为等边三角形．
【解析】（1）∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
又∵AD＝BC，∴AD＝DC；
（2）△DEF为等边三角形，
∵BC＝DC（已证），CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB＝90°，
∴EF＝DF＝BF．
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠BDE＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
26 【答案】72°，90°，108°，132°，126°
【解析】①原三角形是锐角三角形，最大角是72°
∠ABC=∠ACB=72°，∠A=36°，AD=BD=BC；
②原三角形是直角三角形，最大角是90°
∠ABC=90°，∠A=36°，AD=CD=BD；
③原三角形是钝角三角形，最大角是108°
④原三角形是钝角三角形，最大角是126°
∠ABC=126°，∠C=36°，AD=BD=BC；
⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°
∠C=132°，∠ABC=36°，AD=BD，CD=CB．
27 【答案】 (x2 +3)(x−1)(x+1)
