文档内容
能力提高 / 初二 / 暑假
第 1 讲 勾股定理
例题练习题答案
例1 【答案】17
【解析】解：∵S = 5，
1
∴BC2
= 5，
∵S = 12，
2
∴AC2
= 12，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
BC2 +AC2 = AB2 ，
即5 +12 = AB2 ，
∴S = AB2 = 17．
3
练1.1 【答案】144
【解析】由题可知，在直角三角形中，
斜边的平方= 169，一直角边的平方= 25，
根据勾股定理，
另一直角边平方= 169 −25 = 144，
即字母B所代表的正方形的面积是144．
例2 【答案】C
【解析】解：当2和3都是直角边时，则x2
=4+9=13；
当3是斜边时，则x2 = 9 −4 = 5．
故选：C．
练2.1 【答案】100
【解析】解：∵直角三角形的三边长为6、8、x，且x为斜边，
∴由勾股定理，得：x2 = 62 +82 = 100，
∴以x为边的正方形的面积为100，
故答案为100．
练2.2 【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC中，
1/71
由勾股定理得：AC2 +BC2 = AB2 ，
又∵AC2
=
144，BC2
= 25，
∴AB2 = 25 +144 = 169，
∴AB = 13．
故选：C．
例3 【答案】B
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，
∵△DAB的面积为10，DA=5，
1
∴ DA•BC=10，
2
∴BC=4，
−−−−−−−−−−
∴CD = DB2 −BC2 = √ − 2 − 5 − − −− 1 − 6 = 3．
√
故选B．
练3.1 【答案】A
练3.2 【答案】（1）10；
（2） 7；
（3） 1．
例4
(1【) 答案】∵在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，BC = 15，AC = 20，
∴AB2 = AC2 +BC2 ，
解得AB = 25．
答：AB的长是25；
【解析】根据勾股定理可求得AB的长；
1 1
(2【) 答案】 AC ⋅BC = ×20 ×15 = 150．
2 2
答：△ABC的面积是150；
【解析】根据三角形的面积公式计算即可求解；
(3【) 答案】∵CD是边AB上的高，
1 1
∴ AC ⋅BC = AB ⋅CD，
2 2
解得：CD = 12．
答：CD的长是12．
【解析】根据三角形的面积相等即可求得CD的长．
2/71
例5 【答案】B
【解析】该题考查的是勾股定理的逆定理．
∵一个三角形三边的长度之比为5 : 12 : 13，
∴设最短的一边为5x，则其余两边为12x，13x，
∵(5x) 2 +(12x) 2 = (13x) 2 ，
∴这个三角形是直角三角形．
故选B．
练5.1 【答案】C
【解析】①一个内角等于另外两个内角之和⇒有一内角是90°，所以是直角三角形，正确；
②三个内角之比为3：4：5⇒三个角是45°，60°，75°，所以这个不是直角三角形，错误；
③三边长分别为9，40，41，可构成直角三角形，正确；
④三边之比为8：15：17，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，正确．
故选：C．
练5.2 【答案】A
【解析】∵62 +82 = 102 ，
∴△ABC是直角三角形．
1
∴△ABC的面积为： ×6 ×8 = 24．
2
故选：A．
例6 【答案】D
【解析】由题意可知，在A组中，152 +82 = 172 = 289，
在B组中，92 +122 = 152 = 225，
在C组中，72 +242 = 252 = 625，
而在D组中，32 +52 ≠ 72 ，
故选：D．
练6.1 【答案】D
【解析】A．62 +82 = 102 ，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
B．72 +242 = 252 ，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
C．122 +92 = 152 ，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
D．52 +22 ≠ 72 ，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．
故选：D．
练6.2 【答案】D
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能力提高 / 初二 / 暑假
第 1 讲 勾股定理
自我巩固答案
1 【答案】144
【解析】由题可知，在直角三角形中，
斜边的平方= 169，一直角边的平方= 25，
根据勾股定理，
另一直角边平方= 169 −25 = 144，
即字母B所代表的正方形的面积是144．
2 【答案】A
【解析】设直角三角形的斜边长为x，
2
∵三边的平方和为1800cm ，
2 2
∴x =900cm ，解得x=30cm．
故选：A．
3 【答案】A
【解析】解；由一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，
利用勾股定理得，斜边长 2= 122 +52 = 169，
斜边长即为13 .
故选：A．
4 【答案】C
【解析】解：∵AB = AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD = CD，
∵AB = 5，AD = 3，
−−−−−−−−−−
∴BD = √AB2 −AD2 = 4，
∴BC = 2BD = 8，
故选：C．
5 【答案】D
6 【答案】B
7 【答案】C
4/71
8 【答案】D
【解析】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角
三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32 +42 =52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三
角形；
故选：D．
9 【答案】A
【解析】A、因为82 +162 ≠ 172 ，所以不是直角三角形；
B、因为a2 −b2 = c2 即c2 +b2 = a2 ，所以是直角三角形；
C、因为a2 = (b+c)(b−c)，即a2 +c2 = b2 ，所以是直角三角形；
D、因为52 +122 = 132 ，所以是直角三角形．
故选：A．
10 【答案】解：（1）∵CD⊥AB，
∴△BCD和△ACD都是直角三角形，
∴CD2 = BC2 −DB2 = 152 −92 = 144
得CD=12．
则AD2 = AC2 −CD2 = 202 −122 = 256
得AD = 16 .
（2）△ABC为直角三角形
理由：∵AD = 16，BD = 9，
∴AB = AD+BD = 16 +9 = 25，
又AC2 +BC2 = 202 +152 = 625 = 252 = AB2
∴△ABC为直角三角形．
【解析】（1）应用勾股定理，求出CD，AD的值各是多少即可．
（2）判断出AC2 +BC2 = AB2 ，即可判断出ΔABC为直角三角形．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 1 讲 勾股定理
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课堂落实答案
1 【答案】64
【解析】由题意得，c2 = 100，b2 = 36，
从而可得a2 = c2 −b2 = 64，
即字母A所表示的正方形的面积为：64．
故答案为：64．
2 【答案】A
【解析】；由一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，
−−−−−−−
利用勾股定理得斜边长为√122 +52 = 13．
故选：A．
3 【答案】A
4 【答案】B
【解析】常见的勾股数有：
3，4，5，
6，8，10，
5，12，13，
8，15，17，
∵42 +52 ≠ 62 ，
∴4，5，6不能构成直角三角形，
∴有（1）（2）（3）三组．
5 【答案】150cm 2
【解析】∵一个三角形三边的长度之比为3：4：5，且周长为60cm，
∴三角形三边为15cm，20cm，25cm，且三角形为直角三角形，
∴三角形的面积为： ，
2
故答案为：150cm ．
能力提高 / 初二 / 暑假
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第 1 讲 勾股定理
精选精练
1 【答案】A
【解析】∵Rt△ABC中，BC为斜边，
2 2 2
∴AB +AC =BC ，
2 2 2 2 2
∴AB +AC +BC =2BC =2×2 =8．
2 【答案】12，24
【解析】解：如图所示，
在Rt△ABD中，∵BD=10，AD=8，∴AB2 =BD2 AD2 =36．
即在Rt△ABC中，AC2 +BC2 =AB2 =36，
∴S +S =36，
1 2
又S ：S =1：2，
2 1
解之得：S =24，S =12．
1 2
故答案为：12，24．
3 【答案】54cm2
【解析】解：设两直角边分别是3xcm、4xcm，
2 2
根据勾股定理得：（3x）+（4x）=225，
解得：x=±3（负值舍去），
则3x=9，4x=12．
1
故这个三角形的面积是 ×9×12=54cm2．
2
故答案为：54cm2．
4 【答案】解：根据题意，得：
AC = 30海里，AB = 40海里，BC = 50海里；
∵302 +402 =502
，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC = 90∘ ，
∴180∘ −90∘ −55∘ = 35∘ ，
∴乙船的航行方向为南偏东35°．
2
1 1 1
5 【答案】 ∵S +S = S ，S = π AC = πAC2 ，
1 2 3 1
2 (2 ) 8
7/71
1 1
S = πBC2 ，S = πAB2 ，
2 3
8 8
1 1 1
∴ πAC2 + πBC2 = πAB2 ，
8 8 8
即AC2 +BC2 = AB2 ，
∴∠ACB = 90∘ ．
6 【答案】解：（1）∵ ∠A = 90∘ ，AB = 9，AC = 12
−−−−−−−−−−
∴ BC = AB2 +AC2 = 15
√
（2）∵ BC = 15，BD = 8，CD = 17
∴ BC2 +BD2 = CD2
∴△
BCD是直角三角形
1
∴ S △BCD =
2
×15 ×8 = 60．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 2 讲 实数（一）
例题练习题答案
例1 【答案】1
1
14
3
5
5
4
例2
9
(1【) 答案】−
10
6
(2【) 答案】−
5
例3 【答案】解：设每块正方形的地砖边长为xm，由题意得
−−−−
10.8 3
x = 解得x =
√ 120 10
3
答：正方形的地砖边长为 m.
10
例4 【答案】6
–
√6
练4.1 【答案】D
8/71
– –
【解析】√4 = 2，2的算术平方根为：√2．
故选：D．
–
练4.2 【答案】√7
−−
√11
例5 【答案】（1）±13
−−
（2）±√47
（3）±0.5
10
（4）±
7
例6 【答案】B
练6.1 【答案】C
例7 【答案】C
【解析】由题意得，x+1 +x−3 = 0 ，
解得：x = 1 ．
故选：C．
练7.1 【答案】解：由题意得：2a−2 +a−4 = 0
解得：a = 2
2
∴这个正数为：(2 −4) = 4
能力提高 / 初二 / 暑假
第 2 讲 实数（一）
自我巩固答案
1 【答案】A
1
2 【答案】 （1）9；（2） ；（3）0.8
13
3 【答案】C
−− 2 −−−
4 【答案】 （1）√15 ；（2） ；（3）√0.6
3
5 【答案】C
6 【答案】C
7 【答案】D
8 【答案】B
9/71
9 【答案】D
【解析】解：由题意得a+3 +2a−6 = 0，
解得：a = 1，
则这个正数为：(a+3)2 = 16．
故选：D．
10 【答案】C
能力提高 / 初二 / 暑假
第 2 讲 实数（一）
课堂落实答案
1 【答案】A
−−
2 【答案】√10
3 【答案】C
−− 2
【解析】∵−(−13)=13，(±√13) = 13
−−
∴13的平方根是±√13．
−−
故答案为：±√13．
4 【答案】D
【解析】A：−0.02是0.0004的平方根，错误；
B：任何一个非负数的平方根都不大于这个数，错误，比如0.3是0.09的平方根，而0.3＞
0.09；
C：若x2 = a，则a的平方根是x或-x，错误；
D：平方根等于本身的数为零，正确，
故选D.
5 【答案】C
能力提高 / 初二 / 暑假
第 2 讲 实数（一）
10/71
精选精练
−−
1 【答案】2，3，√17
2 【答案】±2;±5
3 【答案】∵2a+1+3a+4=0 ∴a=-1,x=1
4 【答案】0
5 【答案】C
6 【答案】∵(b+4) 2 +|3a−b−5| = 0，
b+4 = 0
∴ ，
{3a−b−5 = 0
1
a =
解得⎧ 3 ，
⎨b = −4
⎩
−−−−−−−−−−−−−−−
2
−−−−−−− 1 7
∴±√13a2 −b = ± 13 × −(−4)=± ，
(3) 3
√
7
即13a2 −b的平方根是± ．
3
能力提高 / 初二 / 暑假
第 3 讲 实数（二）
例题练习题答案
例1
10
(1【) 答案】−
3
–
(2【) 答案】√3 5
−−
(3【) 答案】−√3 11
(4【) 答案】2
–
(5【) 答案】√3 4
练1.1
(1【) 答案】±8、4
(2【) 答案】−8
(3【) 答案】7
11/71
(4【) 答案】−2
2
练1.2 【答案】 ①100 ②−1 ③ ④a
3
1 π 3
例2 【答案】 正数{5 ，8， ，0.7， }；
2 2 4
2 ⋅ ⋅
负数{−2.5，−2，− ，−1.121121112…，−0.05}；
3
整数{ 0，8，−2}；
1 2 3 ⋅ ⋅
有理数{−2.5，5 ，0，8，−2，0.7，− ， ，−0.05}；
2 3 4
π
无理数{ ，−1.121121112…}
2
练2.1 【答案】C
–
√3
【解析】
是无理数，故A错误；
2
–
−√4 = −2，是有理数，故B错误；
0.33是分数，故C正确；
1
是分数，是有理数，故D错误．
7
例3 【答案】B
练3.1 【答案】①④
练3.2 【答案】①②③④
例4
(1【) 答案】> > >
(2【) 答案】> > >
例5
(1【) 答案】5
6
(2【) 答案】4
5
练5.1
(1【) 答案】−4
−3
(2【) 答案】1
2
12/71
能力提高 / 初二 / 暑假
第 3 讲 实数（二）
自我巩固答案
1 【答案】A
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】D
5 【答案】C
6 【答案】D
–
7 【答案】−√5
【解析】解：∵OC=2，BC=1，
−−−−−− –
∴OB=√22 +12 =√5，
–
∴OD=OB=√5，
∵点D在原点的左侧，
–
∴点D表示的数是-√5．
–
故答案为：-√5．
8 【答案】9
−− −− −−
【解析】∵√16 < √24 < √25，
−−
∴4 < √24 < 5，
∴a = 4，b = 5，
∴a+b = 9，
故答案为：9．
9 【答案】C
10 【答案】A
能力提高 / 初二 / 暑假
第 3 讲 实数（二）
13/71
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】0.3
【解析】∵ 0.33 = 0.027，
∴ 0.027的立方根为0.3．
3 【答案】B
4 【答案】C
−−−−−−−−−−
−−
【解析】 解：OB= OC2 +CB2 =√10，
√
−−
OA=OB=√10，
−−
A点表示的数是-√10．
故选：C．
5 【答案】C
能力提高 / 初二 / 暑假
第 3 讲 实数（二）
精选精练
1 【答案】5
−−−−−−− −−−
【解析】根据题意得：√3 1000 ÷8 = √3 125 = 5，
则小木块的棱长是5cm，
故答案为：5
2 【答案】C
–
3 【答案】整数{−2，−|−3|，0，−√4}；
1
负分数{− ，−0.3}；
3
–
无理数{π ，√5，1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）}．
4 【答案】D
【解析】①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；
②无理数不一定是开方开不尽的数，例如π ，错误；
③负数有立方根，错误；
−−
④16的平方根是±4，用式子表示是±√16 = ±4，错误；
⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确，
14/71
则其中错误的是3个，
故选：D．
5 【答案】A
−−−−−−
–
【解析】解：∵√12 + 22 =√5，
–
∴a=√51，
故选：A．
6 【答案】B
−−
【解析】∵3 < √13 < 4，
−−
∴a = 3，b = √13 −3，
−−
∴a−b = 3 −(√13 −3)
−−
= 6 −√13，
故选：B．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 4 讲 二次根式的概念和性质
例题练习题答案
例1 ( 1 ) 【答案】 ×
( 2 ) 【答案】 √
( 3 ) 【答案】 ×
( 4 ) 【答案】 ×
( 5 ) 【答案】 ×
( 6 ) 【答案】 √
( 7 ) 【答案】 ×
( 8 ) 【答案】 √
例2 【答案】3
【解析】由题意可知：n −2 = 0，m+1 = 0，
∴m = −1，n = 2，
∴m+2n = −1 +4 = 3，
故答案为：3
15/71
5
练2.1 【答案】
2
例3 【答案】C
【解析】由题意得：a ⩾ 0,−a ⩾ 0,
∴a ⩾ 0,a ⩽ 0,即a = 0，故选择C选项
练3.1 【答案】A
1 1
例4 【答案】
(1) ；(2)
；(3)π−3；(4)a2
5 2
– –
例5 【答案】（1）3√2 （2）8√5
– –
练5.1 【答案】（1）4√2 （2）6√2
– – −− –
例6 【答案】 5√2 √6 2√21 √5
（1） （2） （3） （4）
9 3 7 5
能力提高 / 初二 / 暑假
第 4 讲 二次根式的概念和性质
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】C
4 【答案】−1
【解析】由题意可得：x−2 ≥ 0，
则x ≥ 2，故1 −x < 0，
−−−−−−−
故(√ − x −− − −− 2) 2 − (1 −x) 2 = x−2 −(x−1) = −1.
√
故答案为：−1．
5 【答案】2
6 【答案】B
3
7 【答案】−
4
8 【答案】B
– –
【解析】解：A．√8 = 2√2，不符合题意；
–
B．√5是最简二次根式；
–
C．√4 = 2，不符合题意；
−− –
1 √3
D． = ，不符合题意．
√ 3 3
16/71
9 【答案】D
10
−− –
(1【) 答案】√45 = 3√5，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．
−− –
1 √3
(2【) 答案】
= ，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
√ 3 3
–
√5
(3【) 答案】
，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二
2
次根式．
−− –
(4【) 答案】 −−− 1 √2
√0.5 = = ，在二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式．
√ 2 2
−−− −− –
4 9 3√5
(5【) 答案】
1 = = ，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
√ 5 √ 5 5
能力提高 / 初二 / 暑假
第 4 讲 二次根式的概念和性质
课堂落实答案
1 【答案】①③④
2 【答案】D
3 【答案】A
4 【答案】B
–
3√2
5 【答案】
2
−−− −− −−−−− −−−− –
1 9 9 ×2 √9 ×2 3√2
【解析】
解： 4 = = = −−−− = ．
√ 2 √ 2 √2 ×2 √2 ×2 2
能力提高 / 初二 / 暑假
第 4 讲 二次根式的概念和性质
精选精练
1 【答案】C
−−
【解析】①a可能小于0，所以√a不一定是二次根式；
17/71
−−−−
②b < −1时，b+1 < 0，此时 √b+1不是二次根式；
−−
③a2 ⩾ 0，所以 √a2 是二次根式；
−−−−−
④a2 +3 > 0，所以√a2 +3是二次根式，
−−−−−
⑤|x| < 1时，x2 −1 < 0，此时√x2 −1不是二次根式；
−−−−−−−
−−−−−−−−− −−−−−−−−−
⑥√x2 +2x+1 = (x+1) 2 ，(x+1) 2 ⩾ 0，所以√x2 +2x+1是二次根
√
式；
故选C
2 【答案】B
−−−−
3 【答案】因为|3x−3|和√y −4互为相反数，
3x−3 = 0
则 ，
{y −4 = 0
x = 1
解得 ，
{y = 4
则4x+3y=16，即4x+3y的平方根为±4．
– −−−−
4 【答案】由题意得：a−√2 = 0， √b−2 = 0，c = 0
–
∴a = √2，b = 2，c = 0
5 【答案】D
−−
3|b|√2a
6 【答案】 –
（1）20√3 （2）
2a
能力提高 / 初二 / 暑假
第 5 讲 二次根式的运算
例题练习题答案
−−
例1 【答案】（1）√10；
（2）−0.18；
–
（3）√7；
–
（4）5√2．
练1.1 【答案】B
–
例2 【答案】 √5 4
（1）− ；（2）−
5 3
练2.1 【答案】C
例3 【答案】B
18/71
例4 【答案】1，1
−−−− −−−−−
【解析】∵最简二次根式 3b √−1a+2与 √4b−a是同类二次根式，
∴3b−1 = 2，a+2 = 4b−a
解得，a = 1，b = 1，
故答案为：1，1．
练4.1 【答案】C
−− – −−−−−
【解析】解：∵√75 = 5√3与最简二次根式√m+1是同类二次根式，
∴m+1 = 3，
解得：m = 2．
例5
−−−− –
= √4 ×3+√3
(1【) 答案】
– –
= 2√3+√3
–
= 3√3
–
(2【) 答案】 –
√2
= 2√2+
4
–
9√2
=
4
– –
(3【) 答案】=4√5−3√5
–
= √5
– –
= 5√3−2√3
(4【) 答案】
–
= 3√3
练5.1
– –
=3√2+4√2
(1【) 答案】
–
=7√2
– – –
(2【) 答案】=7√2−2√2=5√2
例6
– – – –
(1【) 答案】= 5√2+4√2−6√3+3√3
– – – –
= (5√2+4√2)+(−6√3+3√3)
– –
= 9√2−3√3
– – –
= 4√3−2√3+12√3
(2【) 答案】
–
= 14√3
练6.1
19/71
–
(1【) 答案】 – – √3
= 2√3−√3+
3
–
4√3
=
3
–
(2【) 答案】 – – √5
= 6√5−3√5+
5
–
16√5
=
5
能力提高 / 初二 / 暑假
第 5 讲 二次根式的运算
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
3 【答案】C
4 【答案】C
5 【答案】1
6 【答案】由题意得，3x−10 = 2，2x+y −5=x−3y +11
解得x = 4，y = 3，则x+y=7
7 【答案】D
– –
8 【答案】（1）−√5；（2）5√7．
– – – –
9 【答案】（1）原式=3√3−5√3+√3=−√3；
– – – –
（2）原式=(5√2−2√2)+√2=4√2．
–
【解析】 – √3 1 –
（1）解：原式= 3√3−15 × + ×4√3
3 4
– – –
= 3√3−5√3+√3
–
= −√3；
– – –
（2）解：原式= (5√2−2√2)+√2
–
= 4√2
– – –
10 【答案】原式 = 3√5−√3+2√3+2
– –
= 3√5+√3+2
能力提高 / 初二 / 暑假
20/71
第 5 讲 二次根式的运算
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】B
3 【答案】1
【解析】根据题意得，1 +a = 4a−2，
移项合并，得3a = 3，
系数化为1，得a = 1．
故答案为：1．
4 【答案】A
−−
【解析】 −− 2
√24 +9
√ 3
– –
= 2√6+3√6
–
= 5√6
故选A
–
5 【答案】 – –
√2
（1）原式= 3√2−2√2+
4
5 –
= √2
4
– –
（2）原式= 3√3−2√3
–
= √3
能力提高 / 初二 / 暑假
第 5 讲 二次根式的运算
精选精练
1 【答案】B
【解析】解：∵ab > 0，a+b < 0，
∴a < 0，b < 0
−− −−
a √a
① = ，被开方数应≥ 0，a，b不能做被开方数，(故①错误)，
√ b √b
−− −− −−−−−−
21/71
−− −− −− −− −−−−−−
a b a b a b –
② ⋅ = 1， ⋅ = × = √1 = 1，(故②正确)，
√ b √a √ b √a √ b a
−− −− −−
−− a −− a −− √ab −− −b
③√ab ÷ = −b，√ab ÷ = √ab ÷ = √ab ×
−−
= −b，
√ b √ b −b √ab
(故③正确)．
故选：B．
2 【答案】C
【解析】解：A、被开方数不同不是同类二次根式，故A错误；
−−− –
B、 √3a2 = √3|a|，被开方数不同不是同类二次根式，故B错误；
C、被开方数相同是同类二次根式，故C正确；
−−
D、 √a4 = a2 ，所以不是同类二次根式，故D错误；
故选：C．
3 【答案】D
4 【答案】A
–
【解析】A、原式= 2√2，所以A选项的计算错误；
−−−−− –
B、原式= √60 ÷5 = 2√3，所以B选项的计算正确；
−− −− −−
C、原式= 5√a +3√a = 8√a，所以C选项的计算正确；
−−−−− –
D、原式= √14 ×7 = 7√2，所以D选项的计算正确．
故选：A．
2 – –
5 【答案】 （1） （2）2√2+8√3
3
– – –
6 【答案】（1）2√3 （2）√2+3√3
能力提高 / 初二 / 暑假
第 6 讲 位置与坐标
例题练习题答案
例1 【答案】A
练1.1 【答案】嘿，我真聪明！
【解析】由“家”知：坐标的第一个数表示列，第二个数表示行。所以：
(3,3)→“嘿”；
(5,5)→“，”；
(2,7)→“我”；
22/71
(2,2)→“真”；
(1,8)→“聪”；
(8,7)→“明”；
(8,8)→“！”．
练1.2 【答案】MATHS
例2 【答案】B（2,30°）
C（3,240°）
D（4,300°）
E（6,270°）
例3 【答案】（1）(−3,4)，(3,8)，(9,−4)，(−6,−8)
（2）如图所示．
练3.1 【答案】（1）A
（2）B
（3）−5，0；
0，−3；
5，−2；
3，2；
0，2；
−3，4．
例4 【答案】C
【解析】由图可知，笑脸盖住的点在第四象限，
A、(5,2)在第一象限，故本选项不符合题意；
B、(−4,−6)在第三象限，故本选项不符合题意；
C、(3,−4)在第四象限，故本选项符合题意；
D、(−2,3)在第二象限，故本选项不符合题意．
23/71
故选：C．
练4.1 【答案】B
练4.2 【答案】C
例5
(1【) 答案】解：∵点P (2a−6,a)在x轴上，
∴a = 0，
∴点P的坐标为(−6,0)．
(2【) 答案】B
练5.1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】解：∵P (m+3,2m+4)在y轴上，
∴m+3 = 0 ，
解得m = −3 ，2m+4 = −2 ，
∴点P的坐标是(0,−2) ．
练5.2 【答案】B
例6 【答案】（1）12
（2）(−7,4)
（3）(2,1)；
(2,−1)；
(−2,1)；
(−2,−1)．
练6.1 【答案】C
【解析】∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标等于0，
又∵点P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标是±2，
故点P的坐标为(2,0)或(−2,0)．
故选：C．
练6.2
(1【) 答案】2
24/71
(2【) 答案】(1,−3)
(3【) 答案】D
能力提高 / 初二 / 暑假
第 6 讲 位置与坐标
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】A
3 【答案】D
4 【答案】B
5 【答案】C
【解析】A、(−3,−2)在第三象限，故本选项错误；
B、(−2,5)在第二象限，故本选项错误；
C、(1,−4)在第四象限，故本选项正确；
D、(2,2)在第一象限，故本选项错误．
故选：C．
6 【答案】D
7 【答案】C
8 【答案】B
【解析】∵点P的横坐标是−3，
∴设点P的坐标是(−3,a)，
∵点P到x轴的距离为5，
∴ |a| = 5，
∴ a = ±5，
∴点P的坐标是(−3,5)．
故选B
9 【答案】解：∵点P到x轴距离为5，到y轴的距离为8，且点P在第二象限，
∴点P的横坐标是−8，纵坐标是5，
∴点P的坐标是(−8,5)．
25/71
10 【答案】(4,2)，(4,−2)，(−4,2)，(−4,−2)．
【解析】解：∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为2或−2，
∵点P到y轴的距离为4，
∴点P的横坐标为4或−4，
∴点P的坐标为(4,2)，(4,−2)，(−4,2)，(−4,−2)．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 6 讲 位置与坐标
课堂落实答案
1 【答案】APPLE
【解析】有序数对(1,1)，(2,3)，(2,3)，(5,2)，(5,1)对应的字母分别为A，P，P，L，E，所
以这个英文单词是APPLE．
2 【答案】A
【解析】点坐标为（2，-3）在第四象限，且横坐标为2，纵坐标为-3，所以选A
3 【答案】B
【解析】由点P (a−4,a)在y轴上，得：a−4 = 0，
解得：a = 4，
∴P的坐标为(0,4)．
4 【答案】A
5 【答案】D
能力提高 / 初二 / 暑假
第 6 讲 位置与坐标
精选精练
1 【答案】 (9,3)；(2,2)
2 【答案】（八，5）或（五，6）
26/71
3 【答案】2
4 【答案】C
【解析】当1 −t > 0,t < 1时， t+2可能大于0，也可能小于0，所以此时点P可能在第一象限
或第四象限；
当1 −t < 0,t > 1时， t+2大于0，所以此时点P在第二象限，故选C选项.
5 【答案】 (−3,4)
6 【答案】D
【解析】∵点P(3a−2,8 −2a)到两坐标轴的距离相等，
∴ |3a−2| = |8 −2a|，
∴ 3a−2 = 8 −2a或3a−2 = −(8 −2a)，
解得a = 2或a = −6．
故选：D．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】C
4 【答案】A
5 【答案】B
6 【答案】D
7 【答案】C
8 【答案】D
9 【答案】B
10 【答案】C
3
11 【答案】
7
12 【答案】−π
13 【答案】x ≥ −1
27/71
7
14 【答案】M
− ,0
( 2 )
12
15 【答案】
5
–
16 【答案】−2√2
17 【答案】2
【解析】利用勾股定理列方程求解即可
18 【答案】5
19 【答案】1）−1；
–
2）4√3−3．
20 【答案】1）−3；
–
2√6
2） ．
15
– –
21 【答案】1）2√2−3√3；
2）1．
22 【答案】1）∵∠C = 90∘ ，ED⊥AB，
∴AB2 = BC2 +AC2 ，
∵D是AC的中点，
∴AD = DC，
∴AB2 = BC2 +4CD2 ，
∴AB2 = BD2 +3CD2 = BD2 +3(BD2 −BC2 )，
∴AB2 +3BC2 = 4BD2 ．
2）BD2 = ED2 +BE2 = BC2 +CD2 = AD2 +BC2 ，
ED2 +BE2 = AD2 +BC2 = ED2 +AE2 +BC2 ，
BE2 = AE2 +BC2 ，BE2 −AE2 = BC2
23 【答案】（1）3.5．提示，利用割补法，△ABC的面积为8 −1 −1.5−2 = 3.5．
−− – −−
（2）如图：提示，√13 = 22 +32 ，2√2 = 22 +22 ，√17 = 42 +12 ，
利用割补法，△ABC的面积为12a2 −2a2 −3a2 −2a2 = 5a2 ．
28/71
−−−−
24 【答案】√2010 −1
–
25 【答案】2 +2√5
能力提高 / 初二 / 暑假
第 8 讲 函数初步
例题练习题答案
例1 【答案】D
练1.1 【答案】B
例2
(1【) 答案】①②④⑥⑧
(2【) 答案】A
练2.1 【答案】B
例3 【答案】解：（1）全体实数（2）x ≠ 1 （3）x ≥ 1且x ≠ 2（4）全体实数
练3.1 【答案】解：(1)x ≠ 2 (2)x ≥ −2 (3) 全体实数(4)x ≠ −3
例4 【答案】解：（1）∵等腰三角形的周长为10cm，腰长为xcm，底边长为ycm，
∴2x+y＝10，
∴y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）；
（2）当y＝3时，3＝10﹣2x，
解得：x＝3.5．
练4.1 【答案】h = 20 −5t
0 ≤ t ≤ 4
29/71
【解析】
原长20cm，每小时燃烧5cm.所以h = 20 −5t
原长20cm，最多燃烧4小时.所以0 ≤ t ≤ 4
例5 【答案】C
练5.1 【答案】C
例6 【答案】A
【解析】解：小丽在便利店时间为15 −10 = 5（分钟），故选项A错误，
公园离小丽家的距离为2 000米，故选项B正确，
小丽从家到达公园共用时间20分钟，故选项C正确，
小丽从家到便利店的平均速度为：2 000 ÷20 = 100米/分钟，故选项D正确．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 8 讲 函数初步
自我巩固答案
1 【答案】D
【解析】解：（1）三角形面积与它的底边（高为定值），对于底边的每一个取值，面积都有唯一
确定的值，故（1）正确；
（2）x-y=3中的x与y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故（2）正确；
（3）圆的面积与圆的半径，对于半径的每一个取值，面积都有唯一确定的值，故（3）正
确；
（4）y=|x|中的x与y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故（4）正确；
故选：D．
2 【答案】A
3 【答案】D
【解析】解：根据函数的定义可知，只有D不能表示函数关系．
故选：D．
4 【答案】A
5 【答案】A
6 【答案】B
1
【解析】 解：x = 2时，y = ×2 +1 = 1 +1 = 2．
2
30/71
故选：B．
7 【答案】解：（1）∵长方形周长为18，设其中一边长为x，另一边长为y，
∴2(x+y) = 18，
则y = 9 −x；
（2）由题意可得：9 −x > 0，x > 0
解得：0 < x < 9．
8 【答案】A
【解析】解：①离家至轻轨站，y由0缓慢增加；
②在轻轨站等一会，y不变；
③搭乘轻轨去奥体中心，y快速增加；
④观看比赛，y不变；
⑤乘车回家，y快速减小．
结合选项可判断A选项的函数图象符合小华的行程．
故选：A．
9 【答案】D
【解析】A、依题意得小强从家到公共汽车步行了2公里，故选项正确；
B、依题意得小强在公共汽车站等小明用了10分钟，故选项正确；
1
C、公交车的速度为15 ÷ = 30公里/小时，故选项正确．
2
D、小强和小明一起乘公共汽车，时间为30分钟，故选项错误；
故选：D．
10 【答案】4
【解析】解：由图可知，甲、乙收割机每天共收割350 −200 = 150亩，共同收割600亩，
所以，乙参与收割的天数是600 ÷150 = 4天．
故答案为：4．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 8 讲 函数初步
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】A
31/71
3 【答案】1
1
【解析】 ∵y = x2 −1，
2
1
∴当x＝－2时，y = ×4 −1 = 2 −1 = 1．
2
4 【答案】3
5 【答案】C
能力提高 / 初二 / 暑假
第 8 讲 函数初步
精选精练
1 【答案】C
【解析】解：A，B，D的图都是y有不唯一的值，故A，B，D不是函数，
C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C符合题意．
2 【答案】C
3 【答案】C
【解析】解：由题意得，x+1≥0且2x1≠0，
1
解得x≥1且x≠ ．
2
故选：C．
4 【答案】A
5
(1【) 答案】10
(2【) 答案】1
(3【) 答案】3
【解析】若A与B相遇，那么图象有交点，由此根据图象即可确定B出发后多少小时与A相遇
(4【) 答案】∵B 开 始 的 速 度 为 7.5÷0.5 = 15 （ 千 米 / 时 ） ， A 的 速 度 为
25
(22.5−10)÷3 = （千米/时），
6
并且出发时和A相距10千米，
25 12
10 ÷ 15 − = （小时），
( 6 ) 13
32/71
12
∴ 小时后与A相遇，
13
12 180
相遇点离B的出发点 ×15 = 千米；在图中表示C点如图．
13 13
(5【) 答案】设A行走的路程S与时间t的函数关系式为S = kt+b
则有
解得 ， ，
25
∴A行走的路程S与时间t的函数关系式为S = t+10．
6
6 【答案】B
【解析】由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米，故①正确；
由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，相遇时两车之间的距离为0，相遇后两车
之间的距离开始增大直到快车到达甲地，之后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知相
遇后快车又经过3个小时到达甲地，此段路程慢车需要行驶4个小时，因此慢车和快车的速
度之比为3：4，故②错误；
∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，
∴(3x+4x)×4 = 560，x = 20，
∴快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h．
由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为4 ×60 = 240km，故④错误；
当 慢 车 行 驶 了 7 小 时 后 ， 快 车 已 到 达 甲 地 ， 此 时 两 车 之 间 的 距 离 为
240 −3 ×60 = 60km，故③正确．
故选：B．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 9 讲 一次函数
例题练习题答案
33/71
例1 【答案】±12
【解析】解：∵关于x的函数y = (m+3)x|m|−3 +2n −6是正比例函数，
2n −6 = 0
∴ ⎧ ⎪|m|−3 = 1，解得n = 3，m = ±4．
⎨
m+3 ≠ 0
⎩⎪
∴ mn = ±12．
故答案为：±12．
2
练1.1 【答案】
3
练1.2 【答案】D
例2
(1【) 答案】<
(2【) 答案】B
练2.1 【答案】D
【解析】解：根据题意，知：y随x的增大而减小，
1
则k < 0，即1 −2m < 0，m > ．
2
故选：D．
练2.2 【答案】C
例3
(1【) 答案】当m2 −4=0且m−2 ≠ 0时，y是x的正比例函数，
解得m = −2；
(2【) 答案】当m−2 ≠ 0时，即m ≠ 2时，y是x的一次函数．
练3.1 【答案】解：（1）由|m|−2 = 1得，m = ±3，
∵m−3 ≠ 0，
∴m ≠ 3，
所以，m = −3时是一次函数；
（2）由|m|−2 = 1得，m = ±3，
∵m−3 ≠ 0，n −2 = 0，
∴m ≠ 3，n = 2，
所以，m = −3，n = 2时是正比例函数．
练3.2 【答案】B
34/71
【解析】解：①x+y=0，y=x符合一次函数的定义，②y=x2 符合一次函数的定义，③y+3=3（x
3
5）符合一次函数的定义，④y=2x2 +1 不符合一次函数的定义，⑤y= +2 不符合一次函
x
−−
数的定义，⑥y=√x2不符合一次函数的定义，
故选：B．
例4 【答案】C
练4.1 【答案】B
【解析】∵一次函数y = 2x−3的k = 2 > 0，b = −3 < 0，
∴一次函数y = 2x−3经过第一、三、四象限，
即一次函数y = 2x−3不经过第二象限．
故选：B．
例5 【答案】A
1
【解析】 ∵P (−1,y )，P (−2,y )是函数y = x的图象上的两点，且y随x的增大而增大
1 1 2
3
∴x = −1，x = −2
1 2
∴x > x
1 2
∴y > y ．
1 2
故选：A．
练5.1 【答案】B
练5.2
(1【) 答案】B
【解析】解:∵ k2 +2k+4 = (k+1) 2 +3 > 0
∴ −(k2 +2k+4) < 0
∴该函数是y随着x的增大而减少
∵ −7 > −8
∴ m < n
故选B
(2【) 答案】B
例6 【答案】B
练6.1 【答案】C
例7 【答案】C
练7.1 【答案】B
35/71
能力提高 / 初二 / 暑假
第 9 讲 一次函数
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】由题意知：
|a|−3 = 0 ，且a+3 ≠ 0
∴a = 3
2 【答案】B
3 【答案】A
【解析】解：∵正比例函数y = (1 −4m)x的图象y随x的增大而减小，
∴ 1 −4m < 0，
1
解得：m > ，
4
故选：A．
4 【答案】D
1
【解析】 ∵y = − x，
2
1
∴k = − < 0，
2
∴y随x的增大而减小，
∴当 x < x 时，y > y ，
1 2 1 2
故选：D．
5 【答案】B
【解析】∵正比例函数y = kx(k ≠ 0)函数值y随x的增大而增大，
∴ k > 0，
∴ y = kx−k的图象经过第一、三、四象限。
6 【答案】D
7 【答案】解：由函数是一次函数可得，
m+1 ≠ 0，解得 m ≠ −1，
所以，m ≠ −1时，y是x的一次函数；
函数为正比例函数时，
36/71
m+1 ≠ 0且m2 −1 = 0，
解得 m = 1，
所以，当m = 1时，y是x的正比例函数．
8 【答案】B
9 【答案】A
10
(1【) 答案】∵y随x的增大而增大
∴a+8 > 0，解得：a > −8
∴当a > −8时，y随x的增大而增大
b为任意实数
(2【) 答案】∵一次函数y = (a+8)x+(6 −b)的图象过第一、二、四象限，
a+8 < 0
∴ ，
{6 −b > 0
解得：a < −8且b < 6．
∴当a < −8且b < 6时，一次函数y = (a+8)x+(6 −b)的图象过第一、二、
四象限；
(3【) 答案】∵一次函数y＝(a+8)x+(6 −b)的图象与y轴的交点在x轴上方，
∴6 −b > 0，a+8 ≠ 0，
解得：b < 6，a ≠ −8．
∴当b < 6且a ≠ −8时，一次函数y＝(a+8)x+(6 −b)的图象与y轴的交点在x
轴上方；
(4【) 答案】∵一次函数y＝(a+8)x+(6 −b)的图象过原点，
∴a+8 ≠ 0，6 −b = 0，
解得：a ≠ −8，b = 6．
∴当a ≠ −8且b = 6时，一次函数y＝(a+8)x+(6 −b)的图象过原点．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 9 讲 一次函数
课堂落实答案
37/71
1 【答案】B
【解析】解：∵ y = (k−1)x+b+2是正比例函数，
∴ k−1 ≠ 0，b+2 = 0．
解得；k ≠ 1，b = −2．
故选：B．
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】C
5 【答案】D
能力提高 / 初二 / 暑假
第 9 讲 一次函数
精选精练
1 【答案】−1
2 【答案】﹣2
【解析】∵若正比例函数y=kx的图象在第二、四象限，
∴k＜0，
∴符合要求的k的值是﹣2，
3 【答案】0或−2
4 【答案】B
【解析】∵一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
∴－3k＞0，－b＜0，
∴函数y＝－3kx－b的图象经过第一、三、四象限，且倾斜度大，故A选项错误．
5 【答案】A
6
(1【) 答案】（1）∵函数图象经过原点，
∴2m+1＝0，
1
解得：m = − ．
2
38/71
(2【) 答案】∵这个函数是一次函数，且y随x的增大而增大，
∴5m−2 > 0，
2
解得：m > ，
5
2
∴m的取值范围为m > ．
5
(3【) 答案】∵这个函数是一次函数，且图象不经过第一象限，
5m−2 < 0
∴ ，
{2m+1 ≤ 0
1
解得：m ≤ − ，
2
1
∴m的取值范围为m ≤ − ．
2
能力提高 / 初二 / 暑假
第 10 讲 二元一次方程组（一）
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】2
(2【) 答案】−1
练1.1 【答案】2；−1
例2 【答案】A
练2.1 【答案】A
练2.2 【答案】A
例3 【答案】D
练3.1 【答案】B
例4 【答案】B
x = −1 −1 +a = 0
【解析】
将 代入方程组得：
{y = 1 {−b+1 = 1
a = 1
解得： ，
{b = 0
故选B
练4.1 【答案】C
39/71
例5 【答案】（1）解：
①代入②得2(y +1)+y = 8，解得y = 2．
把y = 2代入①，得x = 2 +1 = 3．
x = 3，
故原方程组的解为
{y = 2．
x = 6y +4，①
（2）解：方程组整理得
{x−3y = 2，③
把①代入③，得6y +4 −3y = 2．
2
解得：y = − ．
3
2
把y = − 代入①，得x = 0．
3
x = 0，
则方程组的解为⎧ 2
⎨ y = − ．
⎩ 3
（3）解：由②得y = −4x+7，③
把③代入①，得3x−2(−4x+7) = 8，
解得：x = 2．
把x = 2代入③，得y = −1
x = 2，
则方程组的解为
{y = −1．
（4）由①得y = 2x−5，③
将③代入②，得x+2x−5 = 1，
解得x = 2．
把x = 2代入③，解得y = −1．
x = 2，
所以此方程组的解为
{y = −1．
练5.1 【答案】（1）解：将②代入①，得2x+3x+1 = 6，
解得x = 1．
将x = 1代入②，得y = 4．
x = 1，
∴方程组的解为
{y = 4．
（2）解：将①代入②，得3(y +3)−8y = 14，
解得y = −1．
将y = −1代入①，得x = 2．
x = 2，
所以方程组的解为
{y = −1．
练5.2 【答案】（1）解：由②得x = −3y +7，③
把③代入①，得3(−3y +7)−2y = 1，
40/71
20
解得y = ．
11
20 17
把y = 代入③，得x = ．
11 11
x = 17
11
则方程组的解为
{y = 20
11
（2）解：由①得y = 2x+3，③
把③代入②，得4x+5(2x+3) = 1，
解得x = −1．
把x = −1代入③，得y = 1．
x = −1
则方程组的解为
{ y = 1
能力提高 / 初二 / 暑假
第 10 讲 二元一次方程组（一）
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】A
3 【答案】B
x = 5
【解析】 解：把 代入ax+ay = 12中，
{y = −1
∴ 5a−a = 12，
a = 3，
故选：B．
4 【答案】C
5 【答案】C
x = 2
【解析】
将 带入各个选项可知只有C选项满足，故选C．
{y = −1
6 【答案】C
x = 2 mx+y = 3 2m−1 = 3
【解析】
将 代入方程组 得：
{y = −1 {x−(n −3)y = 10 {2 +(n −3) = 10
m = 2
解得： ，
{n = 11
∴ m+n = 13，
故选C
41/71
x = 5 ax+4 = 14 5a+4 = 14①
7 【答案】
将 代入 ，得 ，
{y = 5 {−2+by = −22 {−2 +5b = −22 ②
由① +②得5a+5b+2 = −8，
故a+b = −2．
8 【答案】A
9 【答案】A
x+y = 6 ①
【解析】
{ ，
3x−y = 2 ②
由②，得：y = 3x−2③，
将③代入①，得：4x−2 = 6，
解得：x = 2，
将x = 2代入③中得：y = 4
x = 2
所以方程组的解为 ，
{y = 4
故选：A．
x = −3， m = 4， x = 5；
10 【答案】
（1） （2） （3）
{y = −1； { n = 2； { y = 0.
能力提高 / 初二 / 暑假
第 10 讲 二元一次方程组（一）
课堂落实答案
1 【答案】2
2 【答案】5
3 【答案】①
4 【答案】C
x = 2 2x+(m−1)y = 2
【解析】
∵ 是方程组 的解，
{y = 1 { nx+y = 1
4 +(m−1) = 2
∴ ，
{ 2n +1 = 1
m = −1
解得： ，
{ n = 0
则(m+n) 2018 = 1．
故选：C．
5 【答案】C
42/71
y = 1 −x①
【解析】
，
{x−2y = 4②
把①代入②得，x−2(1 −x) = 4，
去括号得，x−2 +2x = 4．
故选：C．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 10 讲 二元一次方程组（一）
精选精练
1 【答案】−3
【解析】∵(a−3)x+y|a|−2 = 1是关于x、y的二元一次方程，
∴a−3 ≠ 0，|a|−2 = 1．
解得：a = −3．
故答案为：−3．
2 【答案】B
3 【答案】−1
4 【答案】B
【解析】∵x与y的值相等，
∴3x+7x = 10，解得x = y = 1，
把x = y = 1代入2ax+(a−1)y = 5，得2a+a−1 = 5解得a = 2．
故选：B．
x
5 【答案】 将①代入②得：2x−16 − −2 = −1，
9
去分母得：18x−144 −x−18 = −9，
移项合并得：17x = 153，即x = 9，
将x = 9代入①得：y = 3，
x = 9，
则方程组的解为
{y = 3．
6 【答案】把②变形，得2x+6y +y = 6，
2(x+3y)+y = 6，③
把①代入③，得4 +y = 6，
解得y = 2．
43/71
把y = 2代入①，得x+6 = 2，
解得x = −4．
x = −4,
所以原方程组的解为
{y = 2．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 11 讲 二元一次方程组（二）
例题练习题答案
例1 【答案】（1）解：② −①，得x = 1．
把x = 1代入①，得7 ×1 −4y = 4，
3
解得y = ．
4
x = 1，
所以，原方程组的解是⎧ 3
⎨ y = ．
⎩ 4
（2）解：① +②，得4x = 12，
解得：x = 3．
将x = 3代入①，得3 +2y = 1，
解得y = −1．
x = 3，
所以，原方程组的解是
{y = −1．
练1.1 【答案】（1）解：① −②，得6m = 12，
解得m = 2．
把m = 2代入①，得：2 ×2 +3n = 6，
2
解得n = ．
3
m = 2，
所以，原方程组的解是
n = 2．
{
3
6x−5y = 3， ①
（2）
{6x+y = −15．②
②−①，得6y = −18，
解得y = −3．
把y = −3代入②，得x = −2．
x = −2，
则方程组的解为
{y = −3．
44/71
2x+y = 5①
例2 【答案】
解：（1） ，
{4x+3y = 7②
① ×3得6x+3y = 15③，
③ −②得2x = 8④，
解④得x = 4，
将x = 4代入①中得y = −3，
x = 4
所以这个方程组的解是 ；
{y = −3
2x−y = 1①
（2） ，
{3x+2y = 5②
① ×2得4x−2y = 2③，
③ +②得7x = 7④，
解④得x = 1，
将x = 1代入①中得y = 1，
x = 1
所以这个方程组的解是 ．
{y = 1
练2.1 【答案】（1）解：① ×3，得21x−6y = 39，③
② ×7，得21x−35y = −77，④
③ −④，得29y = 116，
解得y = 4．
把y = 4代入①，得7x−2 ×4 = 13，
解得x = 3．
x = 3，
所以，原方程组的解为
{y = 4．
（2）解：① ×4，得16x−12y = −28，③
② ×3，得15x+12y = 90，④
③ +④，得31x = 62，
解得x = 2．
把x = 2代入①，得4 ×2 −3y = −7，
解得y = 5．
x = 2，
所以，原方程组的解为
{y = 5．
例3 【答案】B
练3.1 【答案】A
例4 【答案】解：设49座客车x辆，37座客车y辆．
根据题意可列出方程组，
45/71
x+y = 10， ①
{49x+37y = 466．②
① ×37，得37x+37y = 370，③
② −③，得12x = 96，
解得x = 8．
把x = 8代入①，得8 +y = 10．
解得y = 2．
x = 8，
所以，原方程组的解为
{y = 2．
答：49座客车和37座客车的数量分别为8辆和2辆．
练4.1 【答案】解：设大和尚有x人，小和尚有y人．
根据题意可列出方程组，
x+y = 100，
3x+ 1y = 100．
{
3
x = 25，
解得，
{y = 75．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
例5 【答案】解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元
x−y = 50
{（1 +10%）x−（1 −20%）y = 100
x = 200
解得：
{ y = 150
答：去年的总收入为200万元，总支出为150万元。
练5.1 【答案】解：设农场去年大豆产量为x吨，小麦产量为y吨，据题意可得：
x+y = 200，
{(1 +5%)x+(1 +15%)y = 225．
x = 50，
解方程组，得
{y = 150．
∴今年大豆产量为50 ×(1 +5%) = 52.5（吨），
今年小麦产量为150 ×(1 +15%) = 172.5（吨）；
答：农场今年大豆产量为52.5吨，小麦产量为172.5吨．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 11 讲 二元一次方程组（二）
46/71
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
1
3 【答案】 x = ，
⎧ ⎪ 4
（1）⎪
15
⎨y
= − ．
⎩⎪ ⎪ 4
x = 3，
（2）
{y = 7．
3x+4y = 11，①
4 【答案】
解：（1）
{5x−y = 3， ②
①+②×4得：23x = 23，即x = 1，
把x = 1代入①得：y = 2，
x = 1，
则方程组的解为
{y = 2．
3x+2y = 3， ①
（2）
{ 5x−6y = −23，②
① ×3 +②得：14x = −14，即x = −1，
把x = −1代入①得：y = 3，
x = −1，
则方程组的解为
{ y = 3．
3x−2y = 7，①
5 【答案】
（1）解：
{2x+3y = 9，②
① ×3 +② ×2，得13x = 39．
解得x = 3．
把x = 3代入①，得3 ×3 −2y = 7，
解得y = 1．
x = 3,
则方程组的解为
{y = 1．
2x−5y = −3,①
（2）
{5x−2y = −18,②
① ×5 −② ×2得：y = −1，
把y = −1代入①得：x = −4，
x = −4,
则方程组的解为
{y = −1．
6 【答案】C
7 【答案】C
8 【答案】B
9 【答案】解：设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，
47/71
y = 2x−20
根据题意，得 ，
{28x+24y = 2560
x = 40
解得 ．
{y = 60
答：订购了A型粽子40千克，B型粽子60千克．
【解析】
10 【答案】解：设去年的总收入、总支出分别为x万元、y万元．
x−y = 300,
依题意得：
{(1 +20%)x−(1 −10%)y = 420．
x = 500,
解得
{y = 200．
答：设去年的总收入、总支出分别为500万元、200万元．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 11 讲 二元一次方程组（二）
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】C
4x+3y = 6①
【解析】
，
{ 2x+y = 4②
①-②×2，得
y = −2，
把y = −2代入②，得
2x−2 = 4，
解得x = 3，
x = 3
∴原方程组的解是 ．
{y = −2
故选：C．
3 【答案】解：① ×2 −②，得7y = 35，
解得y = 5．
把y = 5代入①，得2x+5 ×5 = 25，
解得x = 0．
x = 0,
所以方程组的解是
{y = 5．
48/71
4 【答案】C
2x−5y = 1
【解析】
解：根据题意，得方程组 ．
{3y −x = 1
5 【答案】C
【解析】根据甲、乙两条绳共长17 m，得方程x+y = 17，
1 1
根据甲绳减去 ，乙绳增加1 m，两条绳长相等，得方程x− x = y +1，
5 5
x+y = 17
列方程组为 ．
x− 1x = y +1
{
5
能力提高 / 初二 / 暑假
第 11 讲 二元一次方程组（二）
精选精练
1 【答案】（1）解：①+②，得2x = 2，
解得x = 1．
将x = 1代入①得：1 +y = 2，
解得y = 1．
x = 1,
∴方程组的解为
{y = 1．
3x+2y = 48,③
（2）解：整理得：
{2x−5y = 70,④
③ ×2 −④ ×3，得19y = −114，
解得y = −6．
将y = −6代入③得：3x−12 = 48，
解得x = 20．
x = 20，
∴方程组的解为
{y = −6．
2x+3y = 9，③
（3）解：整理得：
{3x−2y = −4，④
③ ×2+④ ×3，得13x = 6，
6
解得x = ．
13
6 6
将x = 代入③，得2 × +3y = 9，
13 13
35
解得y = ．
13
49/71
x = 6 ，
13
∴方程组的解为
{y = 35 ．
13
x+2y = 8， ①
2 【答案】
解：（1）方程组整理得：
{5x−2y = 4，②
①+②，得6x = 12，
解得x = 2，
把x = 2代入①，得y = 3，
x = 2，
则方程组的解为
{y = 3．
m+n = 2，
（2）由（1）得：
{m−n = 3．
m = 2.5，
解得：
{n = −0.5．
3 【答案】D
x+ y = 3.2
【解析】
解:设爸爸的身高为x米,儿子的身高为y米,由题意得: 1 1 ,故选:D.
(1− )x = (1− )y
{
3 7
根据题意可得两个等量关系:①爸爸的身高+儿子的身高= 3.2米;②父亲在水中的身高
1 1
1− x =儿子在水中的身高 1− y,根据等量关系可列出方程组. 此题主要考
( 3) ( 7)
查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是弄清题意,找出题目中的等量关系,解决此题
的关键是知道父亲和儿子没在水中的身高是相等的.
4 【答案】解：设平均做一只普通医用口罩需要x秒，做一个只KN95口罩需要y秒，
5x+5y = 200
依题意，得： ，
{4x+8y = 300
x = 5
解得： ．
{y = 35
答：平均做一只普通医用口罩需要5秒，做一个只KN95口罩需要35秒．
【解析】
5 【答案】【解答】
解：设树上有x只鸟，树下有y只鸟．
y −1 = 1(x+y),
由题意得 3
{x−1 = y +1．
x = 7,
解得
{y = 5．
答：树上有7只鸟，树下有5只鸟．
6 【答案】解：设取甲种酒精溶液xkg，乙种酒精溶液ykg．
3 x+ 4y = 50 × 3 ，
10 5 5
根据题意，得：
{ 7 x+ 1y = 50 × 2．
10 5 5
50/71
x = 20，
解得
{y = 30．
答：取甲种酒精溶液20kg，乙种酒精溶液30kg．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 12 讲 二元一次方程与一次函数
例题练习题答案
例1 【答案】C
【解析】A、当x = −5时，y = −2x+3 = 13，点(−5,13)在函数图象上；
B、当x = 0.5时，y = −2x+3 = 2，点(0.5,2)在函数图象上；
C、当x = 3时，y = −2x+3 = −3，点(3,0)不在函数图象上；
D、当x = 1时，y = −2x+3 = 1，点(1,1)在函数图象上；
故选：C．
练1.1 【答案】D
1 1
【解析】 A、将(3,1)代入解析式y = x−1得， ×3 −1 ≠ 1，故本选项错误；
3 3
1 1
B、将(−3,1)代入解析式y = x−1得， ×(−3)−1 ≠ 1，故本选项错误；
3 3
1 1
C、将(−3,0)代入解析式y = x−1得， ×(−3)−1 ≠ 0，故本选项错误；
3 3
1 1
D、将(3,0)代入解析式y = x−1得， ×3 −1 = 0，故本选项正确；
3 3
故选：D．
例2 【答案】解：∵函数y = −2x−4的图象过(a,0)，(−1,b)，
∴−2a−4 = 0，2 −4 = b；
∴a的值为−2，b的值为−2．
练2.1 【答案】C
【解析】将(1,0)代入函数y = kx+2中，k+2 = 0得k = −2．
例3 【答案】当x = 0时，y = −2x+4 = 4，
当y = 0时，0 = −2x+4，x = 2．
所以A（2,0），B（0,4）．
练3.1 【答案】5
【解析】先令x=0，y=0分别求出点A、B的坐标，再根据坐标特征求得AB点的距离．
解：根据题意，令y=0，解得x=﹣3，即点A的坐标为（﹣3，0），
51/71
令x=0，解得y=﹣4，即点B的坐标为（0，﹣4），
2 2 2
∴在直角三角形AOB中，AB =3 +4 =25，
∴AB=5
练3.2 【答案】C
3
例4 【答案】
（1） ,0 ，(0,−3)；
(2 )
（2）(3,3)，(−2,−7)；
（3）(3,3)，(1,−1)．
练4.1 【答案】（1）(−4,0)，(0,−4)；
（2）(3,−7)，(1,−5)；
（3）(−2,−2)．
练4.2 【答案】(2,−3)
【解析】 y = 1x−4
方程组 2 ，
{y = −3x+3
x = 2
解得 ，
{y = −3
所以交点坐标为(2,−3)．
故答案为：(2,−3)．
例5 【答案】把(0,0)代入y = kx−3k+6得−3k+6 = 0，
解得k = 2．
所以一次函数为y = 2x；
故答案为2，y = 2x．
例6 【答案】 b = 2 k = 2
根据题意得 解得
{k+b = 4 { b = 2
所以一次函数解析式为y = 2x+2．
练6.1 【答案】解：把A(1,3)、B(0,−2)代入y = kx+b，
k+b = 3， k = 5，
得 ，解得
{b = −2， {b = −2．
所以此函数解析式为y = 5x−2．
例7 【答案】解：（1）把x = 1代入y = x+1，得出y = 2，
函数y = x+1和y = ax+3的图象交于点P(1,2)，
即x = 1，y = 2同时满足两个一次函数的解析式．
x−y = −1， x = 1，
所以关于x，y的方程组 的解是
{ax−y = −3 {y = 2．
x = 1，
故答案为
{y = 2．
52/71
（2）把P(1,2)代入y = ax+3，
得2 = a+3，解得a = −1．
故答案为−1；
（3）∵函数y = x+1与x轴的交点为(−1,0)，
y = −x+3与x轴的交点为(3,0)，
∴这两个交点之间的距离为3 −(−1) = 4，
∵
P(1,2)，
∴ 函 数 y = x+1和 y = ax+3的 图 象 与 x 轴 围 成 的 几 何 图 形 的 面 积 为 ：
1
×4 ×2 = 4．
2
能力提高 / 初二 / 暑假
第 12 讲 二元一次方程与一次函数
自我巩固答案
1 【答案】A
【解析】解：A、当x = 1时，y = −1，故(1,−1)在直线y = 2x−3上；
B、当x = 0时，y = −3，故(0,−2)不在直线y = 2x−3上；
C、当x = 2时，y = 1，故(2,−1)不在直线y = 2x−3上；
D、当x = −1时，y = −5，故(−1,6)不在直线y = 2x−3上．
故选：A．
2 【答案】−3
5
【解析】 将M(3,m)代入y = − x+2中，
3
m = −5 +2 = −3．
3 【答案】A
【解析】把点A(2,4)代入y = kx−2中，
得2k−2 = 4，解得k = 3；
所以，y = 3x−2，
四个选项中，只有A符合y = 3 ×0 −2 = −2．
故选：A．
4 【答案】(0,3)
53/71
【解析】当x = 0时，y = −2x+3 = 3，
∴一次函数y = −2x+3的图象与y轴的交点坐标是(0,3)．
故答案为：(0,3)．
5
(1【) 答案】解：令y = 0代入y = −2x+2，
∴x = 1，
∴一次函数与x轴的交点坐标为(1,0)
故答案为(1,0)
(2【) 答案】解：①函数y = −x+3与坐标轴的两个交点的坐标分别为(3,0)，(0,3)
②如图：
1 9
③此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积= ×3 ×3 = ．
2 2
6
(1【) 答案】因为点A(2，0)在函数y = kx+3的图象上，
所以2k+3 = 0，
3
解得k = − ，
2
3
∴函数解析式为y = − x+3．
2
【解析】将点代入，运用待定系数法求解即可．
3
(2【) 答案】 在y = − x+3中，令y = 0，
2
3
即− x+3 = 0，
2
得x = 2，
令x = 0，得y = 3，
所以，函数图象与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0)和(0，3)
1
函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为 ×2 ×3 = 3．
2
【解析】求出与x轴及y轴的交点坐标，然后根据面积公式求解即可．
7
54/71
(1【) 答案】(3,0)
(0,3)
(2【) 答案】交点坐标(1,2)
8 【答案】B
【解析】设经过两点（0，3）和（﹣2，0）的直线解析式为y=kx+b，
b = 3 k = 3
则 ，解得 2 ，∴y= 3 x+3；
{−2k+b = 0 { b = 3 2
3
A、当x=4时，y= ×4+3=9≠6，点不在直线上；
2
3
B、当x=﹣4时，y= ×（﹣4）+3=﹣3，点在直线上；
2
3
C、当x=6时，y= ×6+3=12≠9，点不在直线上；
2
3
D、当x=﹣6时，y= ×（﹣6）+3=﹣6≠6，点不在直线上；
2
故选：B．
9 【答案】D
【解析】∵B点在正比例函数y=2x的图象上，横坐标为1，
∴y=2×1=2，
∴B（1，2），
设一次函数解析式为：y=kx+b，
∵一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y=2x的图象相交于点B（1，2），
b = 3
∴可得出方程组 ，
{k+b = 2
b = 3
解得 ，
{k = −1
则这个一次函数的解析式为y=﹣x+3，
故选：D．
10
(1【) 答案】解：当y = −3x+3 = 0时，x＝1，∴D(1,0)．
(2【) 答案】解：设直线l 的解析式为y = kx+b(k ≠ 0)，
2
3
把A(4,0)、B 3,− 代入表达式y = kx+b，
( 2)
4k+b = 0， k = 3 ，
得 解得： 2
{ 3k+b = − 3 ， {b = −6．
2
3
∴直线l 的解析表达式为y = x−6．
2
2
55/71
y = −3x+3,
(3【) 答案】
解：依题意得⎧ 3
y = x−6,
⎨
⎩ 2
x = 2，
解得
{y = −3，
∴C (2,−3)．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 12 讲 二元一次方程与一次函数
课堂落实答案
1 【答案】不在
2 【答案】1
3 【答案】A(2,0)、B(0,−4)．
4 【答案】(1,−3)
5 【答案】B
能力提高 / 初二 / 暑假
第 12 讲 二元一次方程与一次函数
精选精练
1 【答案】C
【解析】∴一次函数的解析式为y = −5x−3．
A、∵当x = 0时，y = −3 ≠ −2，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵当x = 1时，y = −5 −3 = −8 ≠ 8，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵当x = −3时，y = 15 −3 = 12，∴此点在函数图象上，故本选项正确；
D、∵当x = −1时，y = 5 −3 = 2 ≠ 1，∴此点不在函数图象上，故本选项错误．
故选：C．
2 【答案】解：（1）将点(−1,4)代入解析式中求得k = 1，故函数表达式为y = −x+3
（2）将点(9,−6)代入解析式中−6 = −9 +3，显然成立，故在此函数图象上．
3
56/71
(1【) 答案】列表：
x 0 4
1
y = − x+2 2 0
2
描点，连线：
1
(2【) 答案】 在一次函数y = − x+2中，
2
令y = 0，则x = 4；令x = 0，则y = 2，
∴
A(4,0)，B(0,2)．
(3【) 答案】由A(4,0)，B(0,2)，可得AO = 4，BO = 2，
1
∴△AOB的面积= ⋅AO⋅BO = 4．
2
4 【答案】D
2k+b = 0，
5 【答案】
由已知条件，得
{b = 2，
k = −1,
解得
{ b = 2．
∴一次函数解析式为y = −x+2，
∵一次函数y = −x+2过点C (m,3)，
∴3 = −m+2，
∴m = −1．
【解析】将两个已知点A(2,0)，B(0,2)分别代入y = kx+b，分别求出k、b的解析式，再将
未知点C (m,3)代入一次函数解析式，求出m的值．
6 【答案】因为一次函数的增减性与k的符号有关，所以此题应分为两种情况进行讨论：
x = −1 x = 3
（1）当k > 0时，y随着x的增大而增大，因此把 ， 代入解析式得：
{ y = 2 {y = 4
−k+b = 2
，
{ 3k+b = 4
k = 1
2
解方程组得： ，
{b = 5
2
57/71
1 5
∴解析式为y = x+ ；
2 2
（2）当k < 0时，y随着x的增大而减小，
x = −1 x = 3
因此把 ，与 ，
{ y = 4 {y = 2
−k+b = 4
代入解析式得 ，
{ 3k+b = 2
k = −1
2
解方程组得： ，
{ b = 7
2
1 7
所以解析式为y = − x+ ．
2 2
【解析】根据一次函数是单调函数，因为知道函数定义域为−1 ≤ x ≤ 3时，值域为2 ≤ y ≤ 4，
进行分类讨论k大于0还是小于0，列出二元一次方程组求出k和b的值．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 13 讲 数据的分析
例题练习题答案
例1 【答案】D
【解析】∵8名学生的平均成绩是78
∴(80 +82 +79 +69 +74 +78 +x+81)÷8 = 78
解得：x = 81
则x的值为81
故选：D．
练1.1 【答案】68
【解析】∵5名学生的平均成绩为80分，
∴80 ×5 −(82 +85 +90 +75) = 68（分）；
故答案为：68
例2 【答案】由题意得,
6 ×87+4×90
甲应聘者的加权平均数是 =88.2.
6+4
6 ×91+4×82
乙应聘者的加权平均数是 =87.4.
6+4
∵88.2>87.4,
∴ 甲应聘者被录取.
练2.1 【答案】B
58/71
【解析】小桐这学期的体育成绩
＝（95×20％＋90×30％＋86×50％）
＝89（分）．
例3 【答案】B
【解析】由图将最高温度从大到小排列为：30，28，26，25，24，24，23，居于最中间的数是
25，即为中位数．
练3.1 【答案】B
例4 【答案】D
练4.1 【答案】D
练4.2 【答案】C
例5 【答案】10
【解析】这组数据的极差是：9 −(−1) = 10；
故答案为：10．
练5.1 【答案】C
【解析】根据题意：x−(−1) = 7或5 −x = 7，
∴x = 6或x = −2．
故选：C．
练5.2
(1【) 答案】12 ∘C
6
∘C
北京
(2【) 答案】D
例6 【答案】<
【解析】解：根据方差发现身高更整齐的街舞团是甲，得出S2 < S2 ；
故答案为：<．
练6.1 【答案】乙
【解析】∵ S2 = 7.5，S2 = 1.5，S2 = 3.1，
甲 乙 丙
∴ S2 > S2 > S2 ，
甲 丙 乙
∴该月份白菜价格最稳定的是乙市场．
5
例7 【答案】
2
2
59/71
能力提高 / 初二 / 暑假
第 13 讲 数据的分析
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】88.5
4 【答案】A
5 【答案】B
6 【答案】A
【解析】由表格可知，节水量为0.4m3 的家庭数最多，为4个，则众数为：0.4；
这组数据的平均数为：
1
×(0.2+0.25+0.25+0.3+0.3+0.4+0.4+0.4+0.4+0.5) = 0.34，
10
故选：A．
7
(1【) 答案】解：初中部的平均数为：
1
(75 +80 +85 +85 +100) = 85（分），
5
初中部的众数为85（分）；
高中部的中位数为80（分），填入表中对应位置即为所求．
(2【) 答案】初中部成绩好些．
因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．
8 【答案】A
【解析】极差为：9 −(−1) = 10；
7出现了2次，出现的次数最多，则众数为7；
故选A．
9 【答案】B
60/71
【解析】解：由图可得，共有25人参加比赛，
成绩为8分的人数最多，众数为8，
成绩最高为10分，最低为5分，故极差为105=5，
∵共25人参加比赛，
∴第13名同学的成绩为中位数，
即中位数为：8，
故正确的为：②④．
故选：B．
10 【答案】D
能力提高 / 初二 / 暑假
第 13 讲 数据的分析
精选精练
1 【答案】A
【解析】设数学成绩为x，
则（88+95+x）÷3=92，
解得x=93；
91+80+78 79+83+90
2 【答案】 （1）x¯= =83，x¯= =84，所以，乙小组的成绩高；
3 3
（2）甲的成绩：91×40%+80×30%+78×30%=83.8，乙的成
绩：79×40%+83×30%+90×30%=83.5，所以，甲的成绩高.
3 【答案】C
【解析】解：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，
处于中间位置的数是3，
∴中位数是3，
平均数为（1+2+3+4+x）÷5，
∴3=（1+2+3+4+x）÷5，
解得x=5；符合排列顺序；
（2）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，
中位数是3，
此时平均数是（1+2+3+4+x）÷5=3，
61/71
解得x=5，不符合排列顺序；
（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，
中位数，x，
平均数（1+2+3+4+x）÷5=x，
解得x=2.5，符合排列顺序；
（4）将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，
中位数是2，
平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，
解得x=0，不符合排列顺序；
（5）将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，
中位数是2，
平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，
解得x=0，符合排列顺序；
∴x的值为0、2.5或5．
故选：C．
4 【答案】9
5 【答案】4
【解析】解：当x为最小值时，2 −x = 6，
解得：x = −4，
∵x > 0，
∴不合题意，舍去；
当x为最大值时，
x−(−2) = 6，
解得：x = 4．
故答案为：4．
6 【答案】D
能力提高 / 初二 / 暑假
第 14 讲 平行线的证明
例题练习题答案
62/71
例1 【答案】解：n2 +3n +1的值不一定是质数．
理由：∵ n为正整数时，
∴当n = 1时，原式= 12 +3 ×1 +1 = 5，是质数；
当n = 2时，原式= 22 +3 ×2 +1 = 11，是质数；
当n = 3时，原式= 32 +3 ×3 +1 = 19，是质数；
当n = 4时，原式= 42 +3 ×4 +1 = 29，是质数；
当n = 5时，原式= 52 +3 ×5 +1 = 41，是质数；
当n = 6时，原式= 62 +3 ×6 +1 = 55，不是质数；
∴当n为正整数时，n2 +3n +1的值不一定是质数．
练1.1 【答案】解：当n = 40时，n2 +n +41 = n(n +1)+41 = 40 ×41 +41 = 41 ×4，1
n2 +n +41不是质数；
当n = 41时，n2 +n +41 = n(n +1)+41 = 41 ×42 +41 = 41 ×4，3
n2 +n +41不是质数．
∴当n为自然数时，n2 +n +41的值不一定是质数．
例2
(1【) 答案】C
(2【) 答案】解：①同号两数的和一定不是负数是命题,
改写为：如果两个数是同号,那么这两个数的和一定不是负数.
条件：两个数是同号,
结论：这两个数的和一定不是负数.
②若x = 2,则1 −5x = 0是命题,
改写为：如果x = 2,那么1 −5x = 0.
条件：x = 2,结论：1 −5x = 0.
③延长线段AB至C,使B是AC的中点不是命题;
④互为倒数的两个数的积为1是命题,
改写为：如果两个数互为倒数,那么这两个数的积为1.
条件：两个数互为倒数,结论：这两个数的积为1.
练2.1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】解：①如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于零
②如果两条直线被第三条直线所截形成的内错角相等，那么这两条直线平行
63/71
③如果角是钝角，那么这些角都小于180°
例3 【答案】（1）BA∥CG
（2）∠3；内错角相等，两直线平行
（3）EG∥BC；同位角相等，两直线平行
练3.1 【答案】①③④⑤
【解析】①∵∠1=∠2，
∴a∥b，故此选项正确；
②∠3=∠6无法得出a∥b，故此选项错误；
③∵∠4+∠7=180°，
∴a∥b，故此选项正确；
④∵∠5+∠3=180°，
∴∠2+∠5=180°，
∴a∥b，故此选项正确．
练3.2 【答案】∠BED = 40∘ （答案不唯一）
例4 【答案】角平分线的定义
已知
∠ADC
180°
等式的性质
同旁内角互补，两直线平行
练4.1 【答案】已知；
对顶角相等；
∠D；
内错角相等，两直线平行．
例5 【答案】（1）∠BCG；180∘ ；
（2）∠3；两直线平行，内错角相等；
（3）EF∥BC；两直线平行，同位角相等．
练5.1 【答案】70∘
练5.2 【答案】C
例6 【答案】AB∥CD
两直线平行，同旁内角互补
已知
64/71
C
两直线平行，内错角相等
等角的补角相等
练6.1 【答案】已知
两直线平行，同旁内角互补
两直线平行，同旁内角互补
同角的补角相等
能力提高 / 初二 / 暑假
第 14 讲 平行线的证明
课堂落实答案
1 【答案】解：当n = 1时，代数式n2 −3n +7 = 12 −3 ×1 +7 = ，5 5是质数；
当n = 2时，代数式n2 −3n +7 = 22 −3 ×2 +7 = ，5 5是质数；
当n = 3时，代数式n2 −3n +7 = 32 −3 ×3 +7 = ，7 7是质数；
当n = 4时，代数式n2 −3n +7 = 42 −3 ×4 +7 = 1，1 11是质数；
当n = 5时，代数式n2 −3n +7 = 52 −3 ×5 +7 = 1，7 17是质数；
而对于所有自然数，式子的值不一定是质数
如当n = 6时，n2 −3n +7 = 25，25不是质数．
故当n = 1，2，3，4，5时，代数式n2 −3n +7的值都是质数，对于所有的自然数n，
代数式n2 −3n +7的值不一定是质数．
2 【答案】两条直线被第三条直线所截
同位角相等
3 【答案】C
4 【答案】对顶角相等；
已知；
等量代换；
同旁内角互补，两直线平行
5 【答案】C
能力提高 / 初二 / 暑假
65/71
第 14 讲 平行线的证明
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】B
【解析】（1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误，是假命题；
（2）不相等的两个角不是同位角，错误，是假命题；
（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，正确，是真
命题；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；说法错误，是假命
题；
点到直线的距离指的是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而不是垂线段，；
（5）过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，故错误，是假命题，
真命题只有一个，
故选：B．
3 【答案】D
4 【答案】D
5 【答案】D
6 【答案】C
7 【答案】内错角相等，两直线平行；
CD；
EF；
平行于同一条直线的两条直线平行．
8 【答案】D
【解析】解：∵将一块含有30∘ 角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1 = 48∘ ，
∴ ∠2 = ∠3 = 180∘ −48∘ −30∘ = 102∘ ．
故选：D．
9 【答案】C
66/71
10 【答案】∠EBD；两直线平行，内错角相等；已知；∠EBD；角平分线的定义；等量代换．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 14 讲 平行线的证明
精选精练
1 【答案】解：所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差，
依题意知：当n为正整数时，第n个式子可以表示为2n −1 = n2 −(n −1)2 ，
因为等式右边= n2 −(n2 −2n +1) = n2 −n2 +2n −1 = 2n −1 =左边，
所以所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差，
对于偶数，则不一定能表示成两个自然数的平方差，如10就不能写成两个自然数的平方
差．
2 【答案】解：∵ a，b，c不在同一平面内，a//b，b//c，
∴
a与c不一定平行，
故a//c是假命题．
3 【答案】平行
【解析】如图，a ⊥a ，a //a ，a ⊥a ，a //a ，…，
1 2 2 3 3 4 4 5
∴ a 1 ⊥a 2 ，a 1 ⊥a 3 ，a 1 //a 4 ，a 1 //a 5 ，
依此类推，a ⊥a ，a ⊥a ，a //a ，a //a ，
1 6 1 7 1 8 1 9
∴ 2017 ÷4 = 504⋯1，
∴ a 1 //a 2017 ．
4 【答案】证明：∵ ∠ABC = ∠BCD，∠ABC +∠CDG = 180∘ ，
∴ ∠BCD+∠CDG = 180∘ ，
∴ BC//DG．
5 【答案】47∘
67/71
6
(1【) 答案】∠1=∠2
【解析】根据平行线的性质易得∠1=∠3，∠2=∠3，则∠1=∠2；
(2【) 答案】∠1+∠2=180°
【解析】根据平行线的性质易得∠1=∠3，∠2+∠3=180°，所以∠1+∠2=180°；
(3【) 答案】相等或互补；
【解析】由（1）和（2）的结论进行回答；
(4【) 答案】设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x-60°，
当x = 3x−60∘ ，解得x=30°，则这两个角的度数分别为30∘ ，30°；
当x+3x-60°=180°，解得x = 60∘ ，则这两个角的度数分别为60°，120°．
【解析】设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x−60∘
，根据（3）的结论进行讨
论：x=3x-60°或x+3x−60∘ = 180∘ ，然后分别解方程求出x，则可得到对应两
个角的度数．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】D
4 【答案】A
5 【答案】B
6 【答案】A
7 【答案】B
8 【答案】A
9 【答案】A
10 【答案】A
11 【答案】3
68/71
12 【答案】5；3
13 【答案】a > b
14 【答案】(−1,0)或(7,0)
x = −5
15 【答案】
{y = −8
16 【答案】5
−− –
【解析】解：√28 = 2√7，
由题意得：3a−8 = 7，
解得：a = 5．
17 【答案】−1
–
18 【答案】3√3
4
19 【答案】−
3
– –
4√2+5√3
–
4 +√6
14
3
59
20 【答案】 x =
⎧ ⎪ 13
⎪
43
⎨y
=
⎩⎪ ⎪ 13
24
x =
⎧ ⎪ 23
⎪
37
⎨y
=
⎩⎪ ⎪ 23
a−2b+1 = 0
21 【答案】
，
{3a−2b−5 = 0
a = 3
解得 ，所以ab = 32 = 9
{b = 2
22 【答案】①轮船，2，4；②4，80；③20；40
23 【答案】（1）(−3,2)，(2,5)，(3,−1)
（2）见图
（3）16.5
69/71
1 1
【解析】S = S −S −S −S = 6 ×6 − ×3 ×5 −
ΔABC GFCH ΔABG ΔAFC ΔHBC
2 2
1
×1 ×6 − ×3 ×6 = 16.5
2
．
24
(1【) 答案】∵一次函数y = x+1的图象与x轴交于点A，∴A(−1,0)，
一次函数y = −2x+2的图象与x轴交于点B，∴B(1,0)，
y = x+1 x = 1 1 4
由 ，解得 3 ，∴P , ．
{y = −2x+2 {y = 4 (3 3)
3
(2【) 答案】由题可知Q(0,1)，∴四边形PQOB的面积
1 4 1 5
= S △PAB −S △AQO =
2
×2 ×
3
−
2
×1 ×1 =
6
．
25 【答案】解：∵A(−3,3)，
∴点A关于y轴对称的点C (3,3)，
连接BC交y轴于P，则PA +PB最小，
设直线BC的解析式为：y = kx+b，
70/71
−k+b = −1
∴ ，
{3k+b = 3
k = 1
解得： ，
{b = 0
∴直线BC的解析式为：y = x，
∴点P的坐标(0,0)．
−−− −−−−−−−−−−−
26 【答案】 −− 5 − 53 (53 −5)+5
（1）5 = =
√24 √24 √ 52 −1
−−−−−−−−−−−−
5(52 −1)+5 −−−−− 5 −
= = 5 + ．
√ 52 −1 √ 24
−−−−−− −−−−−−−−−
n n
（2）n = n + ．
√ n2 −1 √ n2 −1
证明如下：
−−−−−− −−−−−−−−−−−
−−− n −−− n3 (n3 −n)+n
n = =
√ n2 −1 √ n2 −1 √ n2 −1
−−−−−−−−−−−−
n(n2 −1)+n −−−−−− n −−−
= = n + ．
√ n2 −1 √ n2 −1
71/71
