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思维突破 / 初二 / 寒假
第 1 讲 圆
例题练习题答案
例1 如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC = 5，CD = 8，则AE = ______．
例2 ⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为√10，如果过点P作弦，那么长度为整数值的弦的条数为
（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
例3 如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD = 45∘，DF⊥AB于
点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF = x，DE = y，下列图象中，能表示y与x的函数
关系式的图象大致是（ ）
A：
B：C：
D：
例4 1
已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC = BC，AC = OB．
2
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD = 45∘，OC = 2，求弦CD的长．
例5 已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．
（1）求证：直线AC是圆O的切线；
（2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．
例6 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的
平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF = FD；
（3）若EF = 4，DE = 3，求AD的长．例7 已知，如图，在△ABC中，AB = AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点
的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
CE 1
（2）当BC = 4， = 时，求⊙O的半径．
AC 3
例8 已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D，过点D作AC
的垂线，交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线ED是⊙O的切线；
EO
（2）连接EO，交AD于点F，若5AC = 3AB，求 的值．
FO
例9 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的
延长线于点E，连接BC交AD于点F．
（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若AB = 10，AD = 8，求CF的长．
1 如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A = 30∘，∠ABD = 2∠BDC
．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点O作OF∥AD，分别交BD、CD于点E、F．若OB = 2，求OE和CF的长．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 1 讲 圆
自我巩固答案
1 ⌢ ⌢
如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,EC = CB.则下列结论中不一定正确的是（ ）
A： BA⊥DA
B： OC//AE
C： ∠COE = 2∠CAED： OD⊥AC
2 如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA = 8，AB = 12，∠A = ∠B = 60∘，则BC的长为
（ ）
A： 19
B： 16
C： 18
D： 20
3 ⌢
如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交
CB、CA的延长线E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EF = 8，EC = 6，求⊙O的半径．
4 如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD得延长线于
点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；OD 2
（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB = 9， = ，求BF的长．
OB 3
思维突破 / 初二 / 寒假
第 1 讲 圆
课堂落实答案
1 如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的
切线交AD的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE = 3，⊙O的半径为5，求BF的长．
2 已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与⊙O的交点为D，DE⊥AC，与AC的
延长线交于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
AC 4 DF
（2）若OE交AD于F， = ，求 的值．
AB 5 AF思维突破 / 初二 / 寒假
第 2 讲 四点共圆
例题练习题答案
例1 如图，AD、BE、CF是锐角△ABC的高，H为垂心．证明：
（1）C、D、E、H共圆；
（2）A、E、D、B共圆．
例2 如图，在四边形ABCD中，AHG是∠BAD的平分线，DHE是∠ADC的平分线，CFE是∠DCB的平分
线，BFG是∠ABC的平分线．
求证：E、F、G、H共圆．
例3 已知：△ABC中，AB = AC，AD是高，P为AC上任一点，PC的中垂线RQ交AD于R，求证：A、
P、R、B共圆．
例4 如图，已知：D、E、F分别是△ABC三边上的点，通过A、E、F与通过C、D、E的圆如果还相交于
另一点G．求证：B、D、G、F四点共圆．例5 如图，在⊙O中，M为弧AB的中点，弦MC、MD与AB相交于F、E．
求证：C、D、E、F四点共圆．
例6 (1)已知，如图，OC为∠DOB的平分线，且∠CAD = ∠CBO，求证：AC = BC．
(2)如图，已知直线AB分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B，以AB为斜边向外作等腰直角三角
形，顶点为M，求直线OM的解析式．
例7 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB > CD，K、M分别是腰AD、BC上的点，∠DAM = ∠CBK，求证：
∠DMA = ∠CKB．
例8 如图，在凸五边形ABCDE中，∠ABC = ∠ADE，
∠AEC = ∠ADB，求证：∠BAC = ∠DAE例9 设AB是圆的直径，弦CD⊥AB，弦AE与BC交于F，DE与AB交于G，求证：FG⊥AB．
例10 如图，在Rt△ABC中，AB = 3，AC = 4，∠BAC = 90∘，AD⊥BC于点D，O为AC边中点，连接BO
OF
交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E，求 的值．
OE
例11 如图，A为⊙O外一点，AB、AC切⊙O于B、C，AQ交⊙O于P、Q，M为PQ中点．求证：
（1）A、B、O、M四点共圆；
（2）B、C、O、M四点共圆．
1 任意给定一个三角形ABC，令M为BC上的中点，令H为BC上的垂足．角BAC的平分线与BC交于点
D．过B、C分别向角平分线AD作垂线，垂足分别为P、Q．
求证：H、P、M、Q四点共圆．思维突破 / 初二 / 寒假
第 2 讲 四点共圆
自我巩固答案
1 如图，A为⊙O外一点，AB、AC切⊙O于B、C，AQ交⊙O于P、Q，过B作BR∥AQ交⊙O于R，连
结CR交AQ于M，求证：A、B、C、M四点共圆．
2 如图，AD、BE是锐角△ABC的高，H为垂心，求证：DH平分∠FDE．
3 如图，设四边形ABCD的两组对边AB、DC及AD、BC的交点分别为E、F．若∠E、∠F的平分线互
相垂直，求证：A、B、C、D四点共圆．4 已知AB为⊙O的直径，P为AB上一点，C、D为圆上两点，且∠CPA = ∠DPB，求证：C、D、P、
O四点共圆．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 2 讲 四点共圆
课堂落实答案
1 如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：B、E、F、C四点共圆．
2 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，FB与DB是⊙O的割线，求证：E、C、D、F共圆．
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第 3 讲 圆幂定理
例题练习题答案
例1 如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线：
（1）若PC = 2，PA = 3，AB = 5，求CD的长；
（2）若PA = 5，AB = 1，CD = 13，求PC的长．例2 证明切割线定理．
如图：已知PC为⊙O的切线，PAB为⊙O的割线，求证：PA⋅PB = PC2 ．
例3 已知PAB是⊙O的割线，PC切⊙O于C，且AB = 6，PC = 4，求PA的长．
例4 已知⊙A与⊙B相交于M、N两点，P是MN延长线上的任一点，PC切⊙A于C点，PD切⊙B于D
点，求证：PC = PD．
例5 如图，AB、CD是⊙O的弦，P是它们的交点，PO = 5，AP = 4，PB = 6，PC = 3，求PD以及⊙O
的半径．
例6 如图，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E，AB = 12，
AO = 15，AD = 8，求两圆的半径．例7 如图，PA、PB分别为两个大小同心圆的切线，且PB交大圆于C，求证：PB2−PA2 = CB2 ．
例8 如图，已知A、B、C、D共圆，C、D、E、F共圆，求证：A、B、F、E共圆．
例9 如图，PQ为两圆的公共弦，M为PQ上一点，AB、CD分别是两圆的弦且它们相交于M．
求证：A、C、B、D四点共圆．
1 点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，过点A作PB的平行线，交⊙O于
点C，连接PC，交⊙O于另一点E；连接AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE⋅AC = CE⋅KB．
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第 3 讲 圆幂定理
自我巩固答案
1 已知AB、CD为⊙O的弦，它们相交于P点，且PA = 2PB，PC = 3PD，AB = 9，求CD的长．
2 如图，⊙O和⊙O′ 相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′ 于Q、M，交AB的延长线于N．求证：
PN2 = NM⋅NQ．3 如图，已知AB为圆的一条弦，CB与圆相切于B，割线CDF交AB于E，且EB = 5，BC = 9，CD = 6
，DE = 2，求AE和EF的长．
4 如图，圆内两弦AB、CD的延长线相交于圆外一点E，过E作EF∥AD交直线BC于点F，过F作FG与圆
相切于点G，求证：EF = FG．
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第 3 讲 圆幂定理
课堂落实答案
1 如图，PAB、PCD是圆的两条割线，已知PA = 4⋰，AB = 3，BD = 6，且PC = CD，求PC、AC的
长．
2 如图，两圆相交于A、B两点，P是弦AB的中点，过P的直线分别与两圆交于C、D和E、F，已知
PC = 9，PE = 3，AB = 12，求CF的长．3 如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是⊙O的割线．若PA = 4，PC = 8，弦BC的弦心距
OD = 1，求⊙O的半径．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 4 讲 圆综合
例题练习题答案
例1 如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF = BF；
（2）若AD = 2，⊙O的半径为3，求BC的长．
例2 如图，已知圆的内接四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD，BD交CA于点F，过A作圆的切线，交
CB延长线于点E．
求证：（1）AE∥BD；（2）AD2 = DF⋅AE．例3 如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O，与x轴相交于点A(5,0)，过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点
B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC = 3，求点B的坐标；
（2）若AC = a，D是OB的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这
k
四点在同一圆上，记这个圆的圆心为E，函数y = 的图象经过点E，求k的值（用含a的代数式表
x
示）．
例4 如图，由⊙O外一点P引⊙O的切线PA、PB，过P引割线PCD交⊙O于C、D．OP与AB交于E．求
证：∠CEO+∠CDO = 180∘．
例5 已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将弧AC折叠后与AB相
交于点D，如果AD = 3DB，那么AC的长为（ ）
A： 2√14
B： 2√7
C： 4√2
D： 6
| |
例6 定义：对于数轴上的任意两点A，B分别表示数x ，x ，用 x −x 表示他们之间的距离；对于平面
1 2 1 2
直角坐标系中的任意两点A ( x ,y ) ，B ( x ,y ) ，我们把 | x −x | + | y −y | 叫做A，B两点之间的直
1 1 2 2 1 2 1 2角距离，记作d(A,B)．
（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为(−1,3)，则d(O,P) = __________；
（2）已知C是直线上y = x+2的一个动点，
①若D(1,0)，求点C与点D的直角距离的最小值；
②若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C与点E的直角距离的最小
值．
1 先阅读材料，再解答问题：
小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等.如
图，点A、B、C、D均为⊙O上的点，则有∠C = ∠D．小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在
直线AB同侧，则有∠D > ∠E．
请你参考小明得出的结论，解答下列问题：
(1)如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为
(3,0)．
①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；
②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB = ∠ADB，则点D的坐标为________；
(2)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,m)，点B的坐标为(0,n)，其中m > n > 0．
点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，点P的坐标为________．
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第 4 讲 圆综合自我巩固答案
1 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为
y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 如图，在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为直径的⊙C与
AB交于点D，DE与⊙C相切交x轴于点E，且OA = 12√3cm，∠OAB = 30∘．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）过点B作BG⊥EC于F，交x轴于点G，求BD的长及点F的坐标；
（3）设点P从点A开始沿A → B → G的方向以4cm/s的速度匀速向点G移动，点Q同时从点A开始
沿AG匀速向点G移动，若存在某个时刻使得四边形CBPQ为平行四边形，求点Q的移动速度．思维突破 / 初二 / 寒假
第 4 讲 圆综合
课堂落实答案
1 初三（1）班的同学们在解题过程中，发现了几种利用尺规作一个角的半角的方法．题目：在
△ABC中，∠ACB = 80∘，求作：∠ADB = 40∘．
方法一：如图1，延长AC至D，使得CD = CB，连结DB，可得∠ADB = 40∘；
方法二：如图2，作∠CAB的平分线和△ABC的外角∠CBE的平分线，两线相交于点D，可得
∠ADB = 40∘．
仿照他们的作法，利用尺规作图解决下列问题，要求保留作图痕迹．
（1）请在图1和图2中分别作出∠APB = 20∘；
（2）当∠ACB = 60∘时，在图3中作出∠APB = 30∘，且使点P在直线l上．
2 如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90∘，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O
于点E，EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：AE = CE；
（2）若CD = CF = 2cm，求⊙O的直径；
CF BC
（3）若 = n（n > 0），求 ．
CD AC
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第 5 讲 三角形的五心
例题练习题答案
例1 证明三角形三条中线交于一点（即重心），且重心分中线比为1:2．
例2 （1）证明三角形三条高所在的直线交于一点．
（2）写出右图中的六组共圆．
例3 在△ABC中，点I、O、H分别是△ABC的内心、外心和垂心．
（1）若∠A = 42∘，求∠BIC、∠BOC、∠BHC；
（2）若∠A = 60∘，求∠BIC、∠BOC、∠BHC．
例4 若△ABC的内心为I，三个旁心分别为I 、I 、I ，求证：I为△I I I 的垂心．
a b c a b c
例5 如图，AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高线，H是△ABC的垂心．
求证：H是△DEF的内心．例6 如图，H 是 △ABC内一点，AH 、 BH 、 CH 延 长 后 分 别 交 对 边 于 D 、 E 、 F ， 若
AH⋅HD = BH⋅HE = CH⋅HF．求证：H是△ABC的垂心．
例7 过等腰△ABC底边BC上的一点P引PM∥CA交AB于点M，引PN∥AB交AC于N．作点P关于MN的对
称点Q．求证：M、N分别是△BPQ、△CPQ的外心．
例8 如图，已知△ABC，∠A = 60∘，O是△ABC的外心，BD、CE分别是AC、AB边上的高，且交于H．
求证：（1）B、O、H、C四点共圆；
（2）OH平分BD、CE形成的交角．
例9 设直线XY的同一侧有两点A、B，另一侧有一点C，从A、B、C各向XY引垂线，垂足分别为D、E、
F，且CF = AD+BE．求证：XY过△ABC的重心．1 如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，△AEF的两条高相交于M，AC = 10，EF = 8，求
AM的长．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 5 讲 三角形的五心
自我巩固答案
1 △ABC中，AC = 6，BC = 8，∠C = 90∘，I是三角形的内心，求AI的长．
2 △ABC中，AB为最长边，在AB上取点M、N，使得AN = AC，BM = BC，I为△ABC的内心，求证：
∠MIN = 180∘ −∠C．
3 Rt△ABC的面积为120，且∠BAC = 90∘，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于
F，求△AFE的面积．
4 如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，AB = BC = CD，AC与BD相交于P，求证：O是
△BCP的垂心．思维突破 / 初二 / 寒假
第 5 讲 三角形的五心
课堂落实答案
1 如图，四边形ABCD中，∠B = 60∘，∠DCB = 80∘，∠D = 100∘，若P、Q两点分别为△ABC及
△ACD的内心，求∠PAQ的大小．
2 如图，锐角三角形ABC中，∠BAC = 60∘，I为内心，O为外心，求证：∠IBO = ∠ICO．
3 如图，在△ABC中，已知BC = 10，AC > AB，且中线BE⊥CF，重心G到BC的距离为3，求△ABC的
面积．
思维突破 / 初二 / 寒假第 6 讲 操作问题
例题练习题答案
例1 请根据已知条件作图：
（1）已知线段a，求作线段b，使得b = 3a；
（2）已知线段a，求作线段a的中点M；
（3）已知∠A，求作∠B，使得∠B = 2∠A；
（4）已知∠A是锐角，求作∠A的余角∠B；
例2 已知直线AB和直线外点C，求作点C关于直线AB的对称点D．
例3 分别按已知条件作三角形：
（1）已知三边；
（2）已知两边及其夹角；
（3）已知两角及其中一角的对边；
（4）已知两角及其夹边；
（5）已知斜边和一直角边．例4 求作一个点P，使得点P到已知角两边的距离等于已知边a．
例5 ab
已知长度互不相等的线段a，b，c，求作线段d，使得d = ．
c
例6 将已知线段a三等分．
例7 小明利用等距平行线解决了二等分线段问题．作法：
（1）在f上任取一点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧交d于点D，交e于点E；（2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AB于点M；
∴点M即为线段AB的二等分点．
解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）
（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB的三等分点；
（2）点P是∠AOB内部一点，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，请找出一个满足下列条件的
点P．（可以利用图1中的等距平行线）
①在图3中作出点P，使得PM = PN；②在图3中作出点P，使得PM = 2PN．
例8 阅读并回答问题：数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如
下：
作法：①在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD = OE．
1
②分别以D，E为圆心，以大于 DE为半径作弧，
2
两弧在∠AOB内交于点C．
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：
作法： ①利用三角板上的刻度，在OA，OB上分别截取OM，
ON，使OM = ON．
②分别过以M，N为OM，ON的垂线，交于点P．
③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线．
小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．根据以上情境，解决
下列问题：（1）小聪的作法正确吗？请说明理由；
（2）请你帮小颖设计用刻度尺作∠AOB平分线的方法．（要求：不与小聪方法相同，请画出图
形，并写出画图的方法，不必证明）．
例9 直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：
请你用上面图示的方法，解答下列问题：
（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形．
（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．
1 小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l //l //l ，l 与l 之间的距离是1，l 与l 之间的距离是2，
1 2 3 1 2 2 3
试画出一个等腰直角三角形ABC，使三个顶点分别在直线l 、l 、l 上，并求出所画等腰直角三角
1 2 3
形ABC的面积．
小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的
性质尝试利用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l 上任取一点
1
A，作AD⊥l 于点D，作∠DAH = 90∘，在AH上截取AE = AD，过点E作EB⊥AE交l 于点B，连接
2 3
AB，作∠BAC = 90∘，交直线l 于点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC．
2
请你回答：图2中等腰直角三角形ABC的面积等于___________．
参考小雨同学的方法，解决下面问题：
如图3，直线l //l //l ，l 与l 之间的距离是2，l 与l 之间的距离是1，试画出一个等边三角形
1 2 3 1 2 2 3ABC，使三个顶点分别在直线l 、l 、l 上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕
1 2 3
迹）
思维突破 / 初二 / 寒假
第 6 讲 操作问题
自我巩固答案
1 已知∠A和∠B，求作∠C = ∠A+∠B．
2 已知等腰三角形的底边和底角，求作这个等腰三角形．
3 问题：如果存在一组平行线a∥b∥c，请你猜想是否可以作等边三角形ABC使其三个顶点分别在a，
b，c上．小明同学的解答如下：如图1所示，过点A作AM⊥b于M，作∠MAN = 60∘，且AN = AM
，过点N作CN⊥AN交直线c于点C，在直线b上取点B使BM = CN，则△ABC为所求．
（1）请你参考小明的作法，在图2中作一个等腰直角三角形DEF使其三个顶点分别在a，b，c上，
点D为直角顶点；
（2）若直线a，b之间的距离为1，b，c之间的距离为2，则在图2中，
S = ____________________，在图1中，AC = __________________．
ΔDEF思维突破 / 初二 / 寒假
第 6 讲 操作问题
课堂落实答案
1 a+b
已知线段a、b，求作线段x = ．
2
2 已知等腰三角形的腰和底边上的高，求作这个三角形．
3 已知一个三角形的两条边和第三条边上的高，求作这个三角形．
思维突破 / 初二 / 寒假
第 7 讲 阶段自检
期末试卷答案
1 如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD = 40∘，则∠DCF等于（ ）A： 80∘
B： 50∘
C： 40∘
D： 20∘
2 锐角ΔABC中，O是外心，∠OBC = 20∘，∠OCA = 30∘，则∠OAB的度数为（ ）
A： 50∘
B： 10∘
C： 40∘
D： 100∘
3 如图，点A、B、P在⊙O上，且AB不是直径，点P为动点，（∠P ≠ 60∘）要使 △ ABP为等腰三
角形，则所有符合条件的点P有（ ）
A： 4个
B： 3个
C： 2个D： 1个
4 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD = 2√2，BD = √3，则AB的长为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
5 如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB = AC，AD交BD于点E，AE=2, ED=4,则AB的长为（ ）
A： 3
B： 2√2
C： 2+√3
D： 2√3
6 如图，四边形ABCD中，∠ADB = ∠ACB = 15∘，∠BAC = 78∘，则∠ADC的度数为（ ）A： 93∘
B： 78∘
C： 63∘
D： 无法确定
7 如图，已知 △ ABC为锐角三角形，⊙O经过点B, C,且与边AB，AC分别相交于点D，E，若⊙O
的半径与 △ ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过 △ ABC的（ ）
A： 内心
B： 垂心
C： 重心
D： 外心
8 如图，点C为⊙O的直径AB上一动点，AB=2，过点C作DE⊥AB 交⊙O于点D、E，连结AD，
AE，当点C在AB上运动时，设AC的长为x， △ ADE的面积为y，下列图像中，能表示y与x的函数
关系的图像大致是（ ）
A：
B.B：
. D.
9 如图，P为⊙O外一点，PB = BC = 6 ，PA = 4 ，则AD=_______.
10 ⊙O的两条弦AB、CD相交于M，若MA=2,MB=9,MC:MD = 1:2 ，则弦CD长为_______.
11 已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B，C，且PB=BC，如果⊙O
半径为7，PA=2，则PC=_______.
12 如图， △ OAB中，P是旁心，已知∠O = 80∘，则∠P的度数为_______．
13 在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB = c，一条直角边BC = a．
已知线段a，c如图．
小芸的作法如下：
①取AB = c，作AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OB长为半径画圆；
③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；
④连接BC，AC．
则Rt△ABC即为所求．
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是_____．14 如图，⊙O 和⊙O 相交于C、E，CB是⊙O 的直径，过B作⊙O 的切线交CE的延长线于A，
1 2 1 2
AFD是割线，交⊙O 于F、D，BC=FD=2，AC = √7 ，则AF的长为_____．
2
15 如图，AB是⊙O的直径，且AB=20，C、D在圆上，且BC=CD=6，则AD的长为______.
16 如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16m，拱高CD=4cm，那么拱形的半径为_____m.
17 尺规作图：已知定圆O和定点P，求作切点（请简述过程并保留作图痕迹）.
18 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为2080cm2 ，P为正方形内一点，且∠OPB = 45∘，
PA:PB = 7:9．(1)求证：A、B、O、P四点共圆；
(2)求PB的长.
19 如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线，交OE的延长线
于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P．
(1)求证：PC是⊙O的切线．
(2)若AB = 4，AP:PC = 1:2，求CF的长．
20 如图，已知⊙O是ΔABC的外接圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E点，过B作⊙O的切线交CD延
长线于F点，AE=3，DE=1，BF = √3.
(1) 求证：CD2 = DE⋅DA
(2)求CF的长
