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思维突破 / 初三 / 秋季
第 1 讲 平面向量（一）
例题练习题答案
例1 (1)判断下列物理量是否是向量：拉力、速度、体积、温度、时间、路程．
(2) →
| |
等边三角形ABC中，长度等于 AB 的向量有_________．
(3)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段．
①写出图中的各组共线向量；
②写出图中的各组同向向量；
③写出图中的各组反向向量；
④写出图中的各组模相等的向量．
例2 → → →
已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：2EF = AB +DC．
例3(1) → → →
1( )
在 △ ABC 中 ， 设 D 是 BC 边 上 的 中 点 ， 求 证 ： ① AD = AB +AC ； ②
2
→ → → →
3AB +2BC+CA = 2AD．
(2) → → → →
在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，在下列表达式中：①OA +AD；②OA +BC；③
→ →
→ → → → →
1( ) CD −CB
BA +BC ；④AB −AO；⑤ ，与OD相等的向量有________．
2 2
(3) → → → → → → →
已知正六边形ABCDEF，在下列表达式：①BC+CD +EC；②2BC+DC；③FE +ED；④
→ → →
2ED −FA中，与AC相等的向量有__________．
例4 → → → → → →
已知向量 i 、 j 不共线，实数λ、μ满足等式3λ i +(10−μ) j = 2λ j +(4μ+4) i ，则λ = ________，
μ = __________．
例5 (1) → → → → → →
→ →
设e 和e 为两不共线的向量，且a = λ e +μ e 与b = λ e +μ e 平行，则λ 、λ 、μ 、μ
1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2
之间的关系为__________．(2) → → → → → → → → → → →
设e
1
、e
2
是两不共线的向量，若AB = e
1
+ e
2
，BC = 2e
1
+8e
2
，CD = 3e
1
−3e
2
，试证A、B
、D三点共线．
(3) → → → → → → → → → → →
设e
1
、e
2
是两不共线的向量，若AB = μ
1
e
1
+λ
1
e
2
，AC = μ
2
e
1
+λ
2
e
2
，AD = μ
3
e
1
+λ
3
e
2
，且
B、C、D三点共线，那么μ 、μ 、μ 、λ 、λ 、λ 之间的关系为_________．
1 2 3 1 2 3
例6 → →
→ →
如图，在 △ ABC中，AB = a，AC = b，D是AC的中点，E是BD上靠近B的三等分点，F是CE的中
→ → →
→ →
点，则用a、b表示：BE = _______；CE = ________；DF = _______．
例7 (1) → → →
→ → →
→ → →
已知向量AB = a和AC = b，设D为直线BC上的一点，设向量AD可以用a和b表示为λa +μb
→
→
→
，则λ和μ的关系为__________，从而AD可以用a、b和实数λ表示为_________．
(2) → → →
→ → BD λ → →
已知向量AB = a和AC = b，设D为直线BC上的一点，满足 = ，则向量AD可以用a和b
CD μ
表示为________．
例8 BL CM AN
如图，若L、M、N分别是 △ ABC的边BC、CA、AB上的点，且 = l， = m， = n，当
BC CA AB
→ → →
→
AL +BM +CN = 0时，求证：l = m = n．例9 AG BG
在 △ ABC中，AD为BC边上的中线且AE = 2EC，BE与AD相交于点G，求 及 的值．
GD GE
例10 在 △ ABC中任取一点O，用S 、S 、S 分别表示 △ BOC、 △ COA、 △ AOB的面积．求证：
A B C
→ → →
→
S ⋅OA +S ⋅OB +S ⋅OC = 0．
A B C
例11 (1)在 △ ABC 中 ， 已 知 G 是 重 心 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， 且
→ → →
→
√3aGA +bGB +√3cGC = 0，求∠B的值．
(2) → → →
已知I是 △ ABC内心，AC = 2，BC = 3，AB = 4，若AI = xAB +yAC，求x+y的值．
思维突破 / 初三 / 秋季
第 1 讲 平面向量（一）
自我巩固答案
1 (1) → → →
设P是 △ ABC所在平面内的一点，BC+BA = 2BP，则（ ）
A： → →
→
PA +PB = 0
B： → →
→
PC+PA = 0C： → →
→
PB +PC = 0
D： → → →
→
PA +PB +PC = 0
(2) → → → →
→ → | | | |
若AB = 3a，CD = −5a，且 AD = BC ，则四边形ABCD的形状是____________．
(3) → → → →
→ → →
→ →
已知e ≠ 0，λ ∈ R，a = e +λe ，b = 2e ，则a与b共线的条件是（ ）
1 1 2 1
A： λ = 0
B： →
→
e = 0
2
C： → →
e //e
1 2
D： → →
e //e 或λ = 0
1 2
2 → → → → →
1
在 △ ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD = 2DB，CD = CA+λCB，求λ的值．
3
3 →
在梯形ABCD中，AD平行于BC，点O是对角线的交点，|AD| = 4，|BC| = 6，|AB| = 2．设与BC同向
→ → → → → → → →
的单位向量为a ，与BA同向的单位向量为b ，试用a 和b 表示AC、CD、OA．
0 0 0 0
4 → →
1 → → → →
在 △ ABC中，BD = DC，AE = 2EC，BE与AD相交于点G，记AB = a，AC = b，试用a和b表
2
→
示AG．思维突破 / 初三 / 秋季
第 1 讲 平面向量（一）
课堂落实答案
1 判断下列各命题的真假：
→ →
①向量AB的长度与向量BA的长度相等；
→ →
→ →
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同；
③两个有公共起点并且相等的向量，其终点必相同；
→ →
④向量AB和向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一直线上；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题有________．
2 → → → → → → →
1 1 1 →
设M、N、P是 △ ABC三边上的点，它们使BM = BC，CN = CA，AP = AB，若AB = a ，
3 3 3
→ → → →
→ →
→
AC = b，试用a、b将MN、NP、PM表示出来．
3 1 1
在平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM = AB，点N在BC上，且BN = BC，求证：
2 3
M、N、D三点共线．
思维突破 / 初三 / 秋季
第 2 讲 平面向量（二）
例题练习题答案例1 (1) → →
→
已知向量 i = (1,0)， j = (0,1)，对坐标平面的任一向量a，以下结论正确的为（ ）
A： →
存在唯一的一对实数x、y，使得a = (x,y)
B： →
( ) ( )
若x 、x 、y 、y ∈ R，a = x ,y ≠ x ,y ，则x ≠ y 且x ≠ y
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
C： → → → →
若x、y ∈ R，a = (x,y)，且a ≠ 0，则a的始点是原点O
D： → → → →
若x、y ∈ R，a ≠ 0且a的终点坐标是(x,y)，则a = (x,y)
(2) → → → → → → → → →
已知a = (3,4)，b = (4,4)，λ = 2，求a + b，a − b，λa，2a +3b的坐标．
(3) →
已知A(2,3)、B(8,9)，求AB的坐标及其三等分点的坐标．
例2 → → → →
已知向量集合M = {a|a = (1,2)+λ(3,4),λ ∈ R}，N = {a|a = (−2,2)+μ(4,5),μ ∈ R}，描出M
、N中元素在直角坐标系xOy中的图象，并写出M∩N = __________．
例3 (1) → →
→ →
已知a = (−2,4)，b = (3, −6)，则a和b的关系是（ ）
A： 共线且方向相同
B： 相反向量
C： 共线且方向相反
D： 不共线
(2) → → →
已知O是坐标原点，OA = (k,12)，OB = (4,5)，OC = (10,k)，当k为何值时，A、B、C三点共
线．
例4(1) → → → → → → → → π → →
已知 |a| = 4， | b | = 5，当a // b，a⊥b，a与b的夹角为 时，分别求a与b的数量积．
6
(2) → → → → → → →
( ) | |
已知向量a = (−1,2)，b = (3,2)，求a ⋅ a − b ， 3a −4b 的值．
例5 (1) →
→
已知向量a = (3,5)，b = (−2,2)，求夹角的余弦值．
(2) → π → → →
( )
设向量a = (−2sinα,2cosα) ≤ α ≤π ，b = (−2,0)，求a与b的夹角．
2
(3) → → → → → → → →
| | | |
已知a与b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在一个θ使 a + b = √3 a − b 成
立？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，请说明理由．
例6 (1) → → → → π → → → →
已知 |a| = | b | = 5，向量a与b的夹角为 ，求 | a + b | ， | a − b | 的值．
3
(2) → → → → π → → → →
已知 |a| = 3， | b | = 2，a与b的夹角为 ，m为何值时两向量3a +5b和ma −3b互相垂
3
直．
例7 (1) → →
在△ABC中，∠BAC = 120∘，AB = 2，AC = 1，D是边BC上一点，DC = 2BD，求AD ⋅BC．
(2) → →
在△ABC中，AB = 2，AC = 1，D是边BC上一点，∠BAC = 120∘，∠DAC = 90∘，求AD ⋅BC
．
例8 已知点A(2,1)，B(3,2)，D(−1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．例9 (1)在矩形ABCD中，AB = 2，AD = 1，线段DC上的动点P与CB延长线上的动点Q满足条件
→ → → →
| | | |
DP = BQ ，则PA ⋅PQ的最小值为___________．
(2) 已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC = 90∘，AD = 2，BC = 1，P是腰DC上的动点，则
→ →
| |
PA +3PB 的最小值为___________．
(3) → → →
( )
已知P为边长为2的等边△ABC内一点，则PA ⋅ PB +PC 的最小值为___________．
例10 (1) → → → → → →
△ABC的三边长是2，3，4，其外心为O，则OA ⋅AB +OB ⋅BC+OC ⋅CA = ___________．
(2)已知等腰△ABC满足AB = AC，线段BC上的点P ，P ，P 满足BC = 2P C = 4P C = 8P C，则
1 2 3 1 2 3
→ → → → → →
P A⋅P C，P A⋅P C，P A⋅P C的大小关系为___________．
1 1 2 2 3 3
思维突破 / 初三 / 秋季
第 2 讲 平面向量（二）
自我巩固答案
1 已知平面上三点的坐标分别为A(−2,1)、B(−1,3)、C(3,4)，求点D的坐标，使得这四个点构成平行
四边形的四个顶点．
2 → → → →
在△ABC中，AB = 2，AC = 3，D是边BC上一点，CD = DB，求AD ⋅BC的值．
3 直角坐标平面内，点A、B的坐标分别是A(3,4)、B(−5,12)，O是原点，C是∠AOB的平分线上的一
点，OC = √65，求C点的坐标．4 → → →
在直角坐标中，已知OP = (2,1)，OA = (1,7)，OB = (5,1)，Z是直线OP上的一动点．
→ → →
（1）求使ZA ⋅ZB取最小值时的OZ；
（2）对（1）中的点Z，求cos∠AZB．
思维突破 / 初三 / 秋季
第 2 讲 平面向量（二）
课堂落实答案
1 → → → → → →
| | | | | |
已知OA = (1, −3)， OA = OB ，OA ⋅OB = 0，则 AB = ______________．
2 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD = 120∘，点E、F分别在边BC，DC上，BC = 3BE，DC = λDF
→ →
．若AE ⋅AF = 1，则λ的值为______________．
3 → → → → → → → → → →
设向量OA = (3,1)，OB = (−1,2)，OC⊥OB，BC//OA，求OD +OA = OC时OD的坐标．
思维突破 / 初三 / 秋季
第 3 讲 三角恒等变换（一）
例题练习题答案
例1 计算以下各式的值．
(1) sin15∘、cos15∘、tan15∘；(2) sin7∘ +cos15∘sin8∘
；
cos7∘ −sin15∘sin8∘
(3) 2cos10∘ −sin20∘
；
cos20∘
(4) 1+tan15∘
；
1−tan15∘
(5) tan23∘ +tan37∘ +√3tan23∘tan37∘；
(6) ( 1+tan1∘)( 1+tan2∘)
⋯
( 1+tan44∘)( 1+tan45∘)
．
例2 (1) 3 5
已知sinα = ，sinβ = ，α、β均为锐角，则sin(α+β) = _________．
5 13
(2) 4 5
已知sinα = ，cosβ = ，且0 < α <π ，0 < β <π ，则cos(α+β) = _________．
5 13
(3) 5 3
已知sinα = ，cos(α+β) = ，α、β均为锐角，则cosβ = _________．
13 5
(4) 12 4
已知sinα = ，sin(α+β) = ，α、β均为锐角，则sinβ = _________．
13 5
(5) √2 √2 π
已知cos(α−β) = − ，sin(α+β) = ，且0 < α <π ，0 < β < ，则cos2α = _________．
3 3 2
(6) √2 √2 π π π
已知cos(2α−β) = − ，sin(α−2β) = ，且 < α < ，0 < β < ，则cos(α+β) =
3 3 4 2 4
_________．
例3 如图是由三个正方形拼接而成的长方形，则α+β+γ = _________．例4 (1) 4 3
已知sinx+siny = ，cosx+cosy = ，则cos(x−y) = _________；
5 5
(2) √2
若sinx+siny = ，则cosx+cosy的取值范围为_________．
2
例5 化简：
（1）sinx+cosx；
（2）√3sinx+cosx；
π π
( ) ( )
（3）sin x+ +√3cos x+ ；
4 4
π
( )
（4）sin x+ +sinx．
3
例6 (1)求f(x) = sinx+cosx的值域、对称轴、对称中心、最小正周期；
(2) π π 2 π
( ) ( )
若√3sin x+ +cos x+ = ，且− < x < 0，求sinx+cosx和sinx−cosx的值．
12 12 3 2
例7 求下列函数的值域：
(1) √2 π √6 π
( ) ( )
f(x) = sin −x + cos −x ；
4 4 4 4
(2)f(x) = sinx+cosx+sinxcosx+2．
例8 π 4m−6
已知0 ≤ x ≤ ，求使√3sinx+cosx = 有意义的m的取值范围．
2 4−m
思维突破 / 初三 / 秋季第 3 讲 三角恒等变换（一）
自我巩固答案
1 (1) √3−tan45∘
计算： = _________；
1+√3tan45∘
(2) √2 √3
已知sinx+siny = ，cosx+cosy = ，则cos(x−y) = _________．
2 2
2 β 1 α 2 π π α+β
( ) ( )
已知cos α− = − ，sin −β = ，且 < α <π ，0 < β < ，求cos 的值．
2 9 2 3 2 2 2
3 π π
( ) ( )
已知α，β ∈ 0, ，且sinβ = 2cos(α+β)⋅sinα α+β ≠ ，求tanβ的最大值．
2 2
4 已知0 < α < β < γ < 2π ，且sinα+sinβ+sinγ = 0，cosα+cosβ+cosγ = 0．
(1)求β−α的值；
(2) 2 2 2
求证：cos α+cos β+cos γ为定值．
思维突破 / 初三 / 秋季
第 3 讲 三角恒等变换（一）
课堂落实答案
1 (1) sin4∘ +cos7∘sin3∘
化简 = ___________；
cos4∘ −sin7∘sin3∘(2) 5 12
已知sinx+siny = ，cosx+cosy = ，则cos(x−y) = ___________．
13 13
2 2 π 3 3π
( ) ( )
已知sinα = ，α ∈ ,π ，cosβ = − ，β ∈ π , ，求cos(α−β)的值．
3 2 5 2
3 π π
( ) ( )
求f(x) = √3sin x+ +3cos x+ 的值域、对称轴、对称中心和单调区间．
6 6
4 2 2
已知x +y = 1，求4x+3y的最大值与最小值．
思维突破 / 初三 / 秋季
第 4 讲 三角恒等变换（二）
例题练习题答案
例1 化简或求值：
(1) 1 π
2
−cos ；
2 8
(2) 1−tan 2 75∘
；
1+tan 2 75∘
(3)√1+sin2θ；
(4)√2+2cosθ；
(5)√1−cosθ；
√
(6) 1+sin2θ π
( ( ))
θ ∈ 0, ；
1+cos2θ 2(7) 2sinα−sin2α
；
2sinα+sin2α
(8)sin50∘( 1+√3tan10∘)
；
(9) α α
( )
(1+sinα+cosα) sin −cos
2 2
(0 < α <π ) ．
√2+2cosα
例2 (1) 化简：sin6∘sin84∘sin78∘sin66∘sin42∘；
(2) 求值：sin10∘sin50∘sin70∘．
例3 (1) π 3 sin2α
( )
已知cos +α = ，求 的值；
4 5 π
( )
sin −α
4
(2) θ
2
2cos −sinθ−1
2
已知tan2θ = −2√2，π < 2θ < 2π ，求 的值；
π
( )
√2sin θ+
4
(3) 3 5π θ θ θ
已知|cosθ| = ，且 < θ < 3π ，求sin ，cos ，tan 的值；
5 2 2 2 2
(4) 2
已知函数f(x) = 2cos2x+sin x−4cosx，求函数f(x)的最值．
例4 求证：
(1) 3
sin3α = 3sinα−4sin α；
(2) 3
cos3α = 4cos α−3cosα．例5 证明：
(1) 1
sinθsin ( 60∘ +θ ) sin ( 60∘ −θ ) = sin3θ；
4
(2) 1
cosθcos ( 60∘ +θ ) cos ( 60∘ −θ ) = cos3θ；
4
(3) tanθtan ( 60∘ +θ ) tan ( 60∘ −θ ) = tan3θ．
例6 1 1 π π 1
( ) ( )
2
已知函数f(x) = sin2xsinφ+cos xcosφ− sin +φ (0 < φ <π ) ，其图象过点 , ．
2 2 2 6 2
(1)求φ的值；
(2) 1
将函数y = f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数y = g(x)的图
2
π
[ ]
象，求函数g(x)在 0, 上的最大值和最小值．
4
例7 π
( )
已知函数f(x) = 4cosxsin x+ −1．
6
（1）求f(x)的最小正周期；
π π
[ ]
（2）求f(x)在区间 − , 上的最值．
6 4
例8 x π x π
( ) ( )
已知函数f(x) = 2√3sin + cos + −sin(x+π ) ．
2 4 2 4
(1)求f(x)的最小正周期；
(2) π
若将f(x)的图象向右平移 个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)在[0,π ] 上的最值．
6例9 π √3
( )
已知f(x) = cosxsin x+ −√3cos 2 x+ ，x ∈ R．
3 4
(1)求f(x)的最小正周期；
(2) π π
[ ]
求f(x)在 − , 上的最值．
4 4
思维突破 / 初三 / 秋季
第 4 讲 三角恒等变换（二）
自我巩固答案
1 (1) 3
若sinθ = ，则sin2θ = ___________，cos2θ = ___________；
4
√
(2) 1+sin2θ π
( ( ))
化简 θ ∈ − ,0 = ___________．
1+cos2θ 2
2 π 4 sin2α
( )
已知cos +α = ，求 的值．
4 5 π
( )
sin −α
4
3 π
( )
已知f(x) = −√2sin 2x+ +6sinxcosx−2cos 2 x+1，x ∈ R．
4
(1)求f(x)的最小正周期；
(2) π
[ ]
求f(x)在 0, 的最值．
2思维突破 / 初三 / 秋季
第 4 讲 三角恒等变换（二）
课堂落实答案
√
1 1−sin2θ π
( ( ) )
化简 θ ∈ ,π = ___________．
1−cos2θ 2
2 π √2 sin2α
( )
已知cos +α = ，求 的值．
4 3 π
( )
sin −α
4
3 π
[ ]
已知f(x) = 2cos 2 x+2sinxcosx，且x ∈ 0, ，求f(x)的最小正周期、值域、对称中心和单调区
2
间．
思维突破 / 初三 / 秋季
第 5 讲 解三角形
例题练习题答案
例1 （1）在 △ ABC中，已知a = √2，A = 45∘，B = 60∘，则b = ___________；
（2）在 △ ABC中，已知a = 8，B = 60∘，C = 75∘，则b = ___________；
（3）在 △ ABC中，已知a = 15，b = 10，A = 60∘，则cosB = ___________；
（4）在 △ ABC中，已知a = 3，c = 3√3，A = 30∘，则C = __________；b = ___________．
例2 (1)在 △ ABC中，有等式：
①asinA = bsinB；
②asinB = bsinA；③acosB = bcosA；
a b+c
④ = ，
sinA sinB+sinC
其中恒成立的式子有：___________；
(2) a+b+c
已知 △ ABC的三边长分别为a，b，c，外接圆的半径为2，则 =
sinA+sinB+sinC
___________．
例3 （1）在 △ ABC中，若bcosA = acosB，则 △ ABC为___________三角形；
A
（2）在 △ ABC中，若sinBsinC = cos 2 ，则 △ ABC为___________三角形；
2
2 2
a b
（3）在 △ ABC中，若 = ，则 △ ABC为___________三角形．
tanA tanB
例4 （1）在 △ ABC中，a = 1，b = 2，c = √7，则最大内角为__________；
（2）在 △ ABC中，a = 3，A = 60∘，c = 2，则b = __________．
例5 （1）a，b，c是 △ ABC的三边，且B = 120∘，则a 2 +ac+c 2 −b 2 的值为__________；
( )
（2）a，b，c是 △ ABC的三边，且 a 2 +c 2 −b 2 tanB = √3ac，则∠B为__________．
例6 a+c b
在 △ ABC中，a，b，c分别为三个内角所对的边，若 = ，则∠C的大小为__________．
b−a c−a
例7 1 1 1
若以 ， ， 为三条高构造三角形，则这样的三角形（ ）
13 11 5
A： 一定是锐角三角形
B： 一定是钝角三角形
C： 一定是直角三角形
D： 不存在例8 3 5
设 △ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA = ，cosB = ，b = 3，求边c的长．
5 13
例9 在 △ ABC中，AD为角A的平分线，且AB = 6，AC = 5，AD = 4，求边BC的长度．
例10 三角形三条边为连续正整数，且最大角为最小角的两倍，求三边长．
例11 证明：（斯特瓦尔特定理） △ ABC的边BC上任取一点D，若BD = u，CD = v，AD = t，则
2 2
b u+c v
2
t = −uv．
a
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第 5 讲 解三角形
自我巩固答案
1 在 △ ABC中，已知a = 5√2，c = 10，A = 30∘，则角B的值是（ ）
A： 15∘
B： 60∘
C： 105∘
D： 105∘或15∘
2 在 △ ABC中，如果(a+b+c)(b+c−a) = 3bc，则角A等于（ ）
A： 30∘
B： 60∘
C： 120∘
D： 150∘3 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶仰角为60∘，从甲楼顶望乙楼底俯角为30∘，则甲乙两楼
的高分别是：___________．
4 海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A，上午11时测得一轮船在A站的北偏东60∘
的B处，俯角是30∘，11时10分，该船位于A站的北偏西60∘的C处，俯角为60∘，
（1）求该船的速度；
（2）若船的速度与方向不变，则该船何时能到达A站的正西方向，此时船离A站的水平距离是多
少？
（3）若船的速度与方向不变，何时它到A站的距离最近？
5 已知a，b，c分别为 △ ABC三个内角的A，B，C对边，acosC+√3asinC−b−c = 0，
（1）求A；
（2）若a = 2， △ ABC的面积为√3，求b，c．
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第 5 讲 解三角形
课堂落实答案
1 在 △ ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C = 2B，求证c 2 −b 2 = ab．
证明：C = 2B,sinC = sin2B = 2sinBcosB,c = 2bcosB．
2 π B 2√5
在 △ ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a = 2，C = ，cos = ，求 △ ABC的
4 2 5
面积．
思维突破 / 初三 / 秋季
第 6 讲 三角函数综合例题练习题答案
例1 (1) π
( )
函数y = 3sin 2x+ 的图象的两条相邻对称轴之间的距离是（ ）
4
A： 2π
B： π
C： π
2
D： π
4
(2) π
( )
将函数f(x) = sin 2x+ 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小
6
正值是（ ）
A： π
3
B： 3π
4
C： 2π
3
D： 5π
12
(3) π
( )
将函数y = sin 2x+ 的图象向左平移m(m > 0)个单位长度，得到函数y = f(x)的图象在区间
6
π 5π
[ ]
− , 上单调递减，则m的最小正值为（ ）
12 12A： π
12
B： π
6
C： π
4
D： π
3
例2 (1) π
( )
已知函数f(x) = sin ωx+ 的最小正周期为4π ，则（ ）
6
A： 函数f(x)的图象关于原点对称
B： π
函数f(x)的图象关于直线x = 对称
3
C： π
函数f(x)图象上的所有点向右平移 个单位长度后，所得的图象关于原点对称
3
D： 函数f(x)在区间(0,π ) 上单调递增
(2) π √3
( ) ( )
′ ′
将函数y = sin 2x+ 图象上的点M θ, 向右平移t(t > 0)个单位长度得到点M ．若M 位
6 2
于函数y = sin2x的图象上，则（ ）
A： π π
θ = ，t的最小值为
12 12
B： π π
θ = ，t的最小值为
12 6
C： π π
θ = ，t的最小值为
6 6D： π π
θ = ，t的最小值为
6 12
(3)如果函数f(x) = sinωx+√3cosωx的两个相邻零点间的距离为2，那么f(1)+f(2)+⋯+f(9)的值
为（ ）
A： 1
B： −1
C： √3
D： −√3
例3 π
( )
已知函数f(x) = 2sinxcosx+sin −2x ．
2
（1）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
π
[ ]
（2）求函数f(x)在区间 0, 上的最大值和最小值．
2
例4 (1) π π π π π
( ) ( ) ( ) ( )
已知函数f(x) = sin ωx+ (ω > 0)，f = f ，且f(x)在区间 , 上有最小值，
3 6 3 6 3
无最大值，则ω = _________；
(2)设ω为正实数，若存在正实数a，b(π ≤ a < b ≤ 2π ) ，使sinωa+sinωb = 2，则ω的取值范围
为_________；
(3) kx kx
4 4
设函数f(x) = sin +cos ，其中k是一个正整数．若对任意实数a，均有
10 10
{f(x)|a < x < a+1} = {f(x)|x ∈ R}，则k的最小值为_________．
例5 (1) π √3
在 △ ABC中，a = 2，B = ， △ ABC的面积等于 ，则c等于（ ）
3 2
A： √3
3B： 1
C： √3
D： 2
(2)在 △ ABC中，已知∠B = 45∘，AC = √2BC，则∠C = __________．
(3) 在 △ ABC中，若AB = 2，AC = 3，∠A = 60∘，则BC = __________；若AD⊥BC，则AD =
__________．
(4) π
在 △ ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c = 3，C = ，sinB = 2sinA，则a =
3
__________．
例6 a b √3
在 △ ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cosB+ cosA = ．
c c 2cosC
（1）求∠C的大小；
（2）求sinB−√3sinA的最小值．
例7 在 △ ABC中，若(2a−c)cosB = bcosC，sin 2 A = sin 2 B+sin 2 C−λsinBsinC(λ ∈ R)．
（1）求角B的大小；
（2）若λ = √3，试判断 △ ABC的形状；
（3）若 △ ABC为钝角三角形，求实数λ的取值范围．
例8 (1) sinAcotC+cosA
设 △ ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则 的取值范围是
sinBcotC+cosB
________．
(2) 3 tanA
设 △ ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB−bcosA = c，则 的值
5 tanB
是________．
(3)在 △ ABC中，已知sinA = 10sinBsinC，cosA = 10cosBcosC，则tanA的值为________．(4)圆内接凸四边形四条边长依次为1，2，3，4，则此圆半径为________．
(5) △ ABC的内角A，B，C满足tanA，tanB，tanC均为整数，则由tanA，tanB，tanC组成的集合为
________．
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第 6 讲 三角函数综合
自我巩固答案
1 (1) π π
( )
已知tanα，tanβ是方程x 2 +3√3x+4 = 0的两根，若α,β ∈ − , ，则α+β = （ ）
2 2
A： π
3
B： π 2π
或−
3 3
C： π 2π
− 或
3 3
D： 2π
−
3
(2)函数y = √sinxcosx的单调减区间是（ ）
A： π π
[ ]
kπ − ,kπ + (k ∈ Z)
4 4
B： π 3π
[ ]
kπ + ,kπ + (k ∈ Z)
4 4C： π π
[ ]
2kπ + ,2kπ + (k ∈ Z)
4 2
D： π π
[ ]
kπ + ,kπ + (k ∈ Z)
4 2
(3) π
将函数y = f(x)sinx的图象向右平移 个单位长度后，再作关于x轴的对称变换，得到函数
4
2
y = 1−2sin x的图象，则f(x)可以是（ ）
A： −2cosx
B： 2cosx
C： −2sinx
D： 2sinx
2 π π
( ) ( )
′ ′
将函数f(x) = sin 2x− 的图象上的点P ,t 向左平移s(s > 0)个单位长度得到点P ，若点P 位
3 4
于函数y = sin2x的图象上，则t = ________，s的最小值为________．
3 π π
[ ]
设函数f(x) = Asin(ωx+φ)（A,ω,φ是常数，A > 0,ω > 0）．若f(x)在区间 , 上具有单调性，
6 2
π 3π π
( ) ( ) ( )
且f = f = −f ，则f(x)的最小正周期为________．
2 2 6
4 1 13 π
已知cosα = ，cos(α−β) = ，且0 < β < α < ．
7 14 2
（1）求tan2α的值；
（2）求β．
5 π √2
在 △ ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，其中B = ，若cosA = ，a = 2，求
3 2
△ ABC的面积．思维突破 / 初三 / 秋季
第 6 讲 三角函数综合
课堂落实答案
1 π
下列四个函数中，最小正周期为π ，且图象关于直线x = 对称的是（ ）
3
A： π
( )
y = sin 2x−
3
B： π
( )
y = sin 2x−
6
C： π
( )
y = sin 2x+
6
D： x π
( )
y = sin +
2 6
2 π
( )
将函数f(x) = sin 2x− 的图象向左平移φ(φ > 0)个单位长度后，所得到的图象对应的函数为奇函
3
数，则φ的最小值为__________．
3 π 4√3 π
( ) ( )
已知sin α+ +sinα = − ，α ∈ − ,0 ，则cosα = __________．
3 5 2
4 1
在 △ ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且acosC+ c = b．
2
（1）求角A的大小；
π
（2）若a = 1，C = ，求 △ ABC的面积．
4思维突破 / 初三 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 在 △ ABC中，A:B:C = 3:2:1，则a:b:c = （ ）
A： 2:1:√3
B： 2:√3:1
C： 2:1:1
D： √3:1:1
2 √3
已知tanA+tanB+√3 = √3tanAtanB，且sinBcosB = ，则 △ ABC是（ ）
4
A： 正三角形
B： 直角三角形
C： 正三角形或直角三角形
D： 直角三角形或等腰三角形
√
3
1 √3 2tan13∘ 1−cos50∘
设a = cos6∘ − sin6∘，b = ，c = ，则它们的大小关系为（ ）
2 2 1−tan 2 13∘ 2
A： c > b > a
B： c > a > b
C： b > c > a
D： a > b > c
4 4 4
函数f(x) = sin x−cos x的最小正周期（ ）
A： 2πB： π
C： π
2
D： π
4
5 1 1
已知sinα+cosβ = ，sinβ−cosα = ，则sin(α−β) = ______________．
3 2
6 →
与向量d = (12,5)平行的单位向量为______________．
7 π √5 √10
( )
设α，β ∈ 0, ，sinα = ，sinβ = ，则α+β = ______________．
2 5 10
8 已知A、B为锐角，且满足tanA⋅tanB = tanA+tanB+1，则cos(A+B) = ______________．
9 b a tanC tanC
在锐角 △ ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若 + = 6cosC，则 + 的值是
a b tanA tanB
______________．
10 π
已知0 < b < 1，0 < α < ，x = (sinα) log b sinα ，y = (cosα) log b cosα ，z = (sinα) log b cosα ，则x、y、z
4
的大小关系是______________．
11 在区间[0,π ] 中，方程cos7x = cos5x解的个数为______________．
12 π
( )
已知α ∈ ,π ，tanα = −2．
2
(1) π
( )
求tan α+ 的值；
4
(2)求sin2α+cos2α的值．13 → → →
已知向量OA = (3, −4)，OB = (6, −3)，OC = (5−m, −3−m)．
(1)若点A、B、C不能构成三角形，求实数m的条件；
(2)若 △ ABC为直角三角形，求实数m的值．
14 2√5
在 △ ABC中，∠B = 45∘，AC = √10，cosC = ．
5
(1)求BC的长；
(2)若点D是AB的中点，求中线CD的长度．
15 → → → → → →
在 △ ABC中，已知AB ⋅AC+2BA ⋅BC = 3CA⋅CB，求sinC的最大值．
16 已知D为 △ ABC的边BC上的一点，BD:DC = 1:2，AB:AD:AC = 3:k:1，求k的取值范围．
思维突破 / 初三 / 秋季
第 8 讲 空间几何体
例题练习题答案
例1 下列说法中正确的是（ ）
A： 由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B： 棱锥的高线可能在几何体之外
C： 仅有一组对面平行的六面体是棱台
D： 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
例2 回答下列问题：
(1)圆柱、圆锥分别可以由矩形、直角三角形旋转得到，那么圆台可以由什么图形旋转得到？(2)矩形、直角三角形、直角梯形绕某边所在直线旋转一定能得到圆柱、圆锥、圆台吗？
(3)有两个面互相平行，且每个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？
(4)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗？
(5)一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼接成吗？
例3 设A表示平行六面体，B表示直平行六面体，C表示长方体，D表示正四棱柱，E表示正方体，则
A，B，C，D，E的关系是（ ）
A： A ⫋ B ⫋ C ⫋ D ⫋ E
B： A ⫋ B ⫋ D ⫋ C ⫋ E
C： E ⫋ D ⫋ C ⫋ B ⫋ A
D： E ⫋ C ⫋ D ⫋ B ⫋ A
例4 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A： 一个圆台和两个圆锥
B： 两个圆台和一个圆柱
C： 一个圆台和两个圆柱
D： 一个圆柱和两个圆锥
例5 (1)一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为_______________，体积
为_______________；
(2)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为_______________；
(3)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为8和18，侧棱长为13，则这个棱台的侧面积为
_______________；
(4)一个圆锥的底面直径和高都与同一个球的直径相等，则圆锥与球的体积之比是
_______________；(5)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个
正方体的各个顶点，则这三个球的体积之比为_______________．
例6 某平面截一个半径为5的球体，若横截圆面的面积为16π ，则球心与截面圆心连线的长度为
_______________．
例7 (1) 长方体ABCD−A ′ B ′ C ′ D ′ 的长宽高分别为AB = 3，BC = 2，AA ′ = 1，则沿长方体表面从A到
′
C 的最短距离为多少？
(2) 1
如图，在圆锥SO中，其母线长为2，底面半径为 ，一只虫子从底面圆周上一点A出发沿圆锥
2
表面爬行一周后又回到了A点，则这只虫子所爬过的最短路程是多少？
例8 以下均是简单几何体的三视图，说出他们分别是什么几何体．
例9 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中最大的面的面积是_______________．例10 一个体积为12√3的正三棱柱（每个侧面都是矩形，且底面是三角形的三棱柱）的三视图如图所
示，则这个三棱柱的左视图的面积为_______________．
例11 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是______________．
例12 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中最大的面的面积是______________．
例13 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是______________．思维突破 / 初三 / 秋季
第 8 讲 空间几何体
自我巩固答案
1 (1)两条相交直线的平行投影可能是（ ）
A： 两条相交直线
B： 一条直线
C： 一条折线
D： 两条相交直线或一条直线
(2)若三个球的表面积之比为1:2:3，则其体积之比为（ ）
A： 1:2:3
B： 1:√2:√3
C： 1:2√2:2√3
D： 1:2√2:3√3
(3)下列说法错误的是（ ）
A： 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼接而成
B： 一个圆台可以由两个圆台拼接而成
C： 一个圆锥可以由两个圆锥拼接而成D： 一个四棱台可以由两个四棱台拼接而成
2 如图，在四边形ABCD中，∠DAB = 90∘，∠ADC = 135∘，AB = 5，CD = 2√2，AD = 2，四边形
ABCD绕AD旋转一周所成几何体是从简单几何体经过怎样的操作形成的？它的表面积及体积为多
少？
3 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是________________．
4 平面内，有若干个大小相同的圆，则一个圆最多可同时与6个圆相切，问立体空间里有若干个大小
相同的球体，一个球体最多可同时与多少个球体相切？
思维突破 / 初三 / 秋季
第 8 讲 空间几何体
课堂落实答案
1 在正方体ABCD−A B C D 中，E、F分别是AA 、D C 的中点，G是正方形BCC B 的中心，则空
1 1 1 1 1 1 1 1 1
间四边形AGFE在该正方体面上的正投影不可能是（ ）A：
B：
C：
D：
2 某简单几何体的三视图如下图所示，则其体积为________________．
3 如图，圆柱OO ′ 的底面直径和高都为3，一只蚂蚁从A点出发，绕圆柱表面2圈后到达B点，则这只
蚂蚁所爬过的最短路径是多少？
思维突破 / 初三 / 秋季第 9 讲 点线面的位置关系
例题练习题答案
例1 判断正误．
( 1 ) 三点确定一个平面（即给定三点，有且只有一个平面经过这三个点）；
( 2 ) 一条直线和直线外一点确定一个平面；
( 3 ) 矩形确定一个平面；
( 4 ) 四边形确定一个平面；
( 5 ) 两条相交直线确定一个平面；
( 6 ) 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；
( 7 ) 两条平行直线确定一个平面；
( 8 ) 三条两两平行的直线确定一个平面．
例2 若P是正方体ABCD−A B C D 上底面对角线AC上一点，则B，D，P三点可以确定平面（ ）
1 1 1 1
A： 1个
B： 2个
C： 无数个
D： 1个或无数个
例3 已知点A，直线l，平面α，①A ∈ l，l ⊄ α ⇒ A ∉ α；②A ∈ l，l ∈ α ⇒ A ∈ α；③A ∉ l，
l ⊂ α ⇒ A ∉ α；④A ∈ l，A ∉ α ⇒ l ⊄ α，以上说法正确，且符号使用正确的有
__________________．
例4 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）
A： 13部分
B： 19部分
C： 21部分
D： 27部分
例5 已知ABCD是空间四边形（即A，B，C，D四点不共面），E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD
上的点，且EH交FG于点K，求证：B，D，K三点共线．例6 在三棱锥A−BCD中，作平面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，
RP，DC的延长线交于点K，求证：M，N，K三点共线．
例7 正方体ABCD−A ′ B ′ C ′ D ′ 中，E、F、G、H、K、L分别是BC、CC ′ 、C ′ D ′ 、A ′ D ′ 、AA ′ 、AB的
中点，求证：这六点共面．
例8 判断正误．
( 1 ) 垂直于同一条直线的两条直线平行；
( 2 ) 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行；
( 3 ) 平面外一点A和平面内一点B所决定的直线与平面内不经过点B的直线互为异面直线；
( 4 ) 若直线l ，l ，l 两两共面，且三条直线不在同一个平面上，那么，这三条直线要么互相平
1 2 3
行，要么交于一点．
例9 如图，已知不共面的直线a，b，c相交于O点，M，P是直线a上的两点，N、Q分别是直线b、c上
的点，求证：直线MN和直线PQ是异面直线．例10 已知ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形EHGF是
平行四边形．
例11 ′ ′ ′ ′
如图，四棱柱ABCD−A B C D 是长方体（即各侧面和底面都是矩形的四棱柱），在其各棱所在
的直线中，若AA ′ :AD:AB = 1:1:√3，E、F、G、H分别是棱CC ′ 、C ′ D ′ 、BB ′ 、AB的中点，求EF
与GH之间的夹角的度数、FH与EG之间的夹角的度数．
例12 已知ABCD是空间四边形，AD = BC = 2，E、F分别是AB、CD的中点，EF = √3，求直线AD和直
线BC的夹角的度数．
例13 判断正误．
( 1 ) 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α；
( 2 ) 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任何一条直线平行；
( 3 ) 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任何一条直线都没有公共点；
( 4 ) 已知a，b是直线，α是平面．若a//α，a//b，则b//α；
( 5 ) 平行于同一条直线的两条直线必互相平行；
( 6 ) 平行于同一个平面的两条直线必互相平行；
( 7 ) 平行于同一条直线的两个平面必互相平行；
( 8 ) 平行于同一个平面的两个平面必互相平行．思维突破 / 初三 / 秋季
第 9 讲 点线面的位置关系
自我巩固答案
1 在四棱锥P−ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和8条棱的中点中取3个点，使他们和点P在同一平
面上，不同的取法有__________________种．
2 已知E、F、G、H是正方体ABCD−A B C D 的棱AB、BC、CC 、C D 的中点，求证：EF、
1 1 1 1 1 1 1
HG、DC三线共点．
3 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；
③AC与BM成60∘角；④DM与BN是异面直线，以上四个命题中，正确命题的序号是
__________________．
4 正方体ABCD−A ′ B ′ C ′ D ′ 的棱长为3，E在棱DD ′ 上，F在棱CC ′ 上，且D ′ E = CF = 1．
(1) 求异面直线BF与C ′ E之间的夹角的余弦值；
(2) 求异面直线A ′ F与BE之间的夹角的余弦值．
5 5个圆最多把平面分成几部分？5个球面最多把空间分成几部分？
思维突破 / 初三 / 秋季第 9 讲 点线面的位置关系
课堂落实答案
1 以下说法正确的有________________．
①梯形可以确定一个平面；
②圆心和圆上两点可以确定一个平面；
③已知a，b，c，d是四条直线，若a//b，b//c，c//d，那么a//d；
④两条直线没有公共点，则他们是异面直线；
⑤若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂ α，b ⊂ β，则a，b是异面直线；
⑥已知a，b，c，d是四条直线，且a//c，b//d，若a与b的夹角是60∘，则c与d的夹角也必定为60∘
．
2 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有________________对．
3 在棱长为2的正方体ABCD−A B C D 中，O为底面ABCD的中心，E，F分别是CC ，AD的中点，
1 1 1 1 1
则异面直线OE和FD 所成的角的余弦值等于________________．
1
思维突破 / 初三 / 秋季
第 10 讲 空间中的平行关系
例题练习题答案
例1 如图，在正方体ABCD−A B C D 中，E为DD 的中点，求证：B D//平面A C E．
1 1 1 1 1 1 1 1例2 1
如图，在四棱锥P−ABCD中，∠ABC = ∠BCD = 90∘，DC = AB，E为PB的中点，求证：EC//
2
平面APD．
例3 已知三棱锥A−BCD，P，Q分别是 △ ABC和 △ BCD的重心，求证：PQ//平面ACD．
例4 如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：
AF//平面PCE．
例5 如图所示，正方体ABCD−A B C D 中，棱长为a，M、N分别为AB 和A C 上的点，A N = AM
1 1 1 1 1 1 1 1
．(1)求证：MN//平面BB C C；
1 1
(2)求MN的最小值．
例6 已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若EH//FG，求证：
EH//BD．
例7 如图，正方体ABCD−A B C D 中，M、N、E、F分别是A B 、A D 、B C 、C D 的中点，求
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
证：平面AMN//平面EFDB．
例8 如图，A为 △ BCD所在平面外一点，M、N、G分别为 △ ABC、 △ ACD、 △ ABD的重心．(1)求证：平面MNG//平面BCD；
(2)求S :S ．
△MNG △BCD
例9 已知正三棱柱ABC−A B C ，D是AC的中点，求证：B C//平面A BD．
1 1 1 1 1
例10 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P−ABCD中，点E在PD上，且PE:ED = 2:1，F为棱PC的中
点，求证：BF//平面AEC．
例11 四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是梯形，AD⊥CD，AB//CD，CD = 2AB = 2AD．
(1) EM
在直线EC上是否存在一点M，使得BM//平面ADE？若存在，求 的值；若不存在，请说明
MC
理由；(2) EN
在直线EB上是否存在一点N，使得CN//平面ADE？若存在，求 的值；若不存在，请说明
NB
理由．
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第 10 讲 空间中的平行关系
自我巩固答案
1 设α，β是两个平面，则在下列条件中，可判定α//β的有__________________．
①a，b是平面α内的直线，且a//α，b//β；
②α内存在不共线的三点到平面β的距离相等；
③平面α，β都垂直于另一个平面γ；
④a，b是两条异面直线，且均与平面α，β平行．
2 在平行六面体ABCD−A ′ B ′ C ′ D ′ 中，O是底面对角线AC与BD的交点，求证：直线OC ′ //平面
′ ′
AB D ．
3 在三棱柱ABC−A ′ B ′ C ′ 中，M、N分别是棱A ′ B ′ 、AB的中点，求证：平面AMC ′ //平面NB ′ C．
4 图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，EF//AB，EG//AC，FG//BC，AB = 2EF，点M
是线段AD的中点，求证：GM//平面ABFE．5 在正方体ABCD−A ′ B ′ C ′ D ′ 中，E是棱DD ′ 的中点．
(1) 求直线BE和B ′ C ′ 夹角的余弦值；
(2) 在C ′ D ′ 上是否存在一点F，使B ′ F//平面A ′ BE，若存在，请证明你的结论．
6 四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PB上的一点，且2PE = EB，平面α经过点P
AM CN
且平行于平面AEC，设M、N分别是α与直线AD、CD的交点，求 及 的值．
MD ND
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第 10 讲 空间中的平行关系
课堂落实答案
1 过平行六面体ABCD−A B C D 任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB D 平行的直线共有（
1 1 1 1 1 1
）
A： 4条
B： 6条C： 8条
D： 12条
2 如图，四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB = 3CD，平面PAB∩平面PCD = m．
(1)求证：CD//m；
(2) PQ
直线PB上是否存在一点Q满足CQ//平面PAD，若存在，求出 的值，若不存在，说明理
QB
由；
(3)设直线AC，BD相交于点O，四棱锥P−ABCD的体积为16，求三棱锥P−OCD的体积．
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第 11 讲 空间中的垂直关系（一）
例题练习题答案
例1 三条直线两两垂直，则下列四个命题中正确的是__________________．
①这三条直线必共点；
②其中必有两条直线不同在任一平面内；
③三条直线不可能在同一平面内；
④其中必有两条直线在同一平面内．例2 如图所示，在正方形OABC中，E、F分别是AB、BC中点，D是EF中点，现沿着OE、OF及EF把这
个正方形折成一个几何体（如图所示），使A、B、C三点重合于G点，则下面结论正确的有
__________________．
①OG⊥平面EFG；② OD⊥平面EFG；
③ GF⊥平面OEF；④ GD⊥平面OEF．
例3 在直三棱柱ABC−A B C 中，AB = AC = AA ，D为BC中点，∠BAC = 90∘，
1 1 1 1
（1）求证：AD⊥平面BB C C；
1 1
（2）求证：A B⊥平面AB C．
1 1
例4 在三棱锥V−ABC中，VB = VC，AB = CA，求证：VA⊥BC．
例5 如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA = 45∘，求
证：MN⊥平面PCD．例6 在正方体（即各个面都是正方形的棱柱）ABCD−A B C D 中，
1 1 1 1
（1）求证：B D⊥平面D AC；
1 1
（2）求直线A B与平面A B CD所成角的大小；
1 1 1
（3）分别求直线A B 、AC 与平面D AC所成角的正弦值．
1 1 1 1
例7 判断正误．
（1）如果平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于β； （ ）
（2）设直线l是平面α的斜线，平面α⊥平面β，那么α∩β恰是l在β上的射影； （ ）
（3）垂直于同一直线的两个平面互相平行； （ ）
（4）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β = l，则l⊥γ； （ ）
（5）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直； （ ）
（6）如果平面α垂直于平面β，则α的任意一条直线垂直于平面β； （ ）
（7）如果平面α垂直于平面β，则α的任意一条直线垂直于平面β内的无数条直线． （ ）
例8 已知在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，且∠ABC = 90∘，AC = 2BC，求二面角B−PA−C的度
数．例9 在三棱锥V−ABC中，VA = VB = AC = BC = 2，AB = 2√3，VC = 1，求二面角V−AB−C的度
数．
例10 已知AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的一点．求证：平面
PAC⊥平面PBC．
例11 如图，四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD = AB，∠BAD = 60∘，E、F分别是棱
AP、AD的中点．求证：
（1）EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．
例12 在棱锥V−ABC中，D是底边AB上的一点，VA = VB，DA = DB，平面VCD⊥平面VAB．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若△VCD和△ABC是正三角形，VD = 3，求三棱锥V−ABC的体积．思维突破 / 初三 / 秋季
第 11 讲 空间中的垂直关系（一）
自我巩固答案
1 如图，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A点作直线PA垂直于平面ABC．点M、N分别在棱PB、PC
上，且AM⊥PB，AN⊥PC．
（1）求证：直线BC⊥平面PAC；
（2）求证：直线BP⊥平面AMN．
2 如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE = 90∘，AF//DE，
DE = DA = 2AF = 2．
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）求证：AC//平面BEF；
（3）求四面体BDEF的体积．
3 在四棱台ABCD−A ′ B ′ C ′ D ′ 中，DD ′ ⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB = 2AD，
AD = A ′ B ′ ，∠BAD = 60∘．
（1）证明：AA ′ ⊥BD；′ ′
（2）证明：CC //平面A BD．
4 在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥平面
ABCD，E为PC的中点．
（1）求证：平面EBD⊥平面PBC；
（2）求二面角B−ED−C的大小．
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第 11 讲 空间中的垂直关系（一）
课堂落实答案1 在四棱柱P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC = 60∘，PA = AB = BC
，E是PC的中点．
（1）证明：CD⊥AE；
（2）证明：直线PD⊥平面ABE．
2 在四棱柱P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC⊥CD，∠ABC = 60∘，PA = AB = BC
，E是PC的中点．
（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（2）直线PD和平面ABE是否垂直，为什么？
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第 12 讲 空间中的垂直关系（二）
例题练习题答案
例1 证明三垂线定理及其逆定理．
例2 设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则以下命题正确的是_______________．①l⊥α，α⊥β，则l∥β；
② l∥α，α∥β，则l∥β；
③l⊥α，α∥β，则l⊥β；
④ l∥α，α⊥β，则l⊥β．
例3 已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC．
例4 如图，设直线l是平面α的一条斜线，l ′ 是l在α内的射影，直线n ⊂ α．用⟨a,b⟩表示直线a，b的夹
角．求证：
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
′ ′
（1）cos⟨l,n⟩ = cos l,l ⋅cos l ,n ；
（2）n⊥l ⇔ n⊥l ′ ．
例5 在三棱锥P−ABC中，作PO⊥平面ABC，垂足为O．
（1）求证：点O是△ABC的外心当且仅当三条侧棱（即PA、PB、PC）两两相等；
（2）求证：点O是△ABC的垂心当且仅当三对对棱（即PA与BC、PB与AC、PC与AB）互相垂直．
例6 如图，α、β是平面，α∩β = AB，PC⊥α，PD⊥β，C、D是垂足．求证：
（1）AB⊥CD；
（2）∠P与二面角α−AB−β满足什么关系？
例7 如下左图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AD，∠ABC = 60∘，E是BC的中点．将△ABE沿AE
折起，如下右图，使二面角B−AE−C成直二面角，连接BC，BD．F是CD的中点，P是棱BC的中点．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）求证：平面PEF⊥平面AECD；
（3）判断DE是否垂直于平面ABC，并说明理由．
例8 如图，在直四棱柱ABCD−A B C D 中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB = 4，
1 1 1 1
BC = CD = 2，AA = 2，E，E 分别是棱AD，AA 中点．
1 1 1
（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE ∥平面FCC ；
1 1
（2）证明：平面D AC⊥平面BB C C．
1 1 1
例9 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD = 60∘．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若PA = AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（3）若平面PBC与平面PDC垂直，AB = 2，求PA的长．
例10 如图，正方形ABCD与四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB = √2，
CE = EF = 1．（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求证：CF⊥平面BDE；
（3）求二面角A−BE−D的大小．
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第 12 讲 空间中的垂直关系（二）
自我巩固答案
1 已知三棱锥S−ABC，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA = 3，求直线
AB与平面SBC所成角的正弦值．
2 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF//AC，AB = √2，CE = CF = 1，求
证：CF⊥平面BDE．
3 已知三棱锥P−ABC中，∠ACB = 90∘，BC = 4，AB = 20，D为AB的中点，且△PDB是等边三角
形，PA⊥PC．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角D−AP−C的正弦值；
（3）若M为PB中点，求三棱锥M−BCD的体积．
4 如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，∠DAB = 60∘，FC⊥平面ABCD，
AE⊥BD，CB = CD = CF．
（1）求证：BD⊥平面AED；
（2）求二面角F−BD−C的余弦值．
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第 12 讲 空间中的垂直关系（二）
课堂落实答案
1 在三棱柱ABC−A B C 中，四边形AA C C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA C C，AB = 3
1 1 1 1 1 1 1
，BC = 5．
（1）求证：AA ⊥平面ABC；
1
（2）求二面角A −BC −B 的余弦值；
1 1 1
BD
（3）证明：在线段BC 上存在点D，使得AD⊥A B，并求 的值．
1 1
BC
1思维突破 / 初三 / 秋季
第 13 讲 空间向量
例题练习题答案
例1 如图，在空间四面体S−ABC中，P、N分别为边SA、BC的中点，化简下列各表达式，并在图中标
出化简结果的向量：
→ → →
（1）AS −BS +BC；
→ → →
1( )
（2）SA + AB +AC ；
2
→ → →
1( )
（3） SC +AC −BC．
2
例2 (1) →
在正方体ABCD−A B C D 中，下列各式中运算的结果为向量AC 的有__________________．
1 1 1 1 1
→ → → → → → → →
( )
① AB +BC +CC ；②D C +AA +A D ；③CA−CC ；
1 1 1 1 1 1 1
→ → → → → → → → →
④AB +AD ；⑤AB −CD +BC+DC ；⑥DB −DB +AC．
1 1 1
(2) → → →
1( )
空间四边形ABCD中，连接AC，BD，设G是CD中点，则AB + BD +BC = （ ）
2A： →
AG
B： →
CG
C： →
BC
D： →
1
BC
2
(3)有下列命题：
→ → → → → →
→ →
①当λ ∈ R，且a +a +⋯+a = 0时，λa +λa +⋯+λa = 0；
1 2 n 1 2 n
→ → →
②当λ ，λ ，⋯，λ ∈ R且λ +λ +⋯+λ = 0时，λ a +λ a +⋯+λ a = 0；
1 2 n 1 2 n 1 2 n
→ → →
③当λ ，λ ，⋯，λ ∈ R且λ +λ +⋯+λ = 0，a ，a ，⋯，a 是n个向量，且
1 2 n 1 2 n 1 2 n
→ → → → → →
→ →
a +a +⋯+a = 0时，λ a +λ a +⋯+λ a = 0．
1 2 n 1 1 2 2 n n
其中真命题有_______________个．
例3 已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P满足下列关系：
→ → → → → → → →
（1）OA +2OB = 6OP −3OC；（2）OP +OC = 4OA −OB．试判断点P是否与点A，B，C共面．
例4 (1) → → → → →
→ → → → → → → →
( ) ( )
已知向量a和c不共线，向量b ≠ 0，且 a ⋅ b ⋅ c = b ⋅ c ⋅ a，d = a + c，则
→ →
⟨ ⟩
d, b = ___________．
(2) → → → → → → → → → →
⟨ ⟩
已知a +3b与7a −5b垂直，且a −4b与7a −2b垂直，则 a, b = __________．
例5(1)如图，在正三棱柱ABC−A B C （即底面是正三角形且侧棱垂直于底面的棱柱）中，
1 1 1
AB = √2BB ，则直线AB 与BC 之间的夹角为_______________．
1 1 1
(2) 如图，在平行六面体ABCD−A B C D 中，AB = 4，AD = 3，AA = 5，∠BAD = 90∘，
1 1 1 1 1
∠BAA = ∠DAA = 60∘．则AC 与底面的夹角为_______________．
1 1 1
例6 (1) →
→ →
{ }
设 a, b, c 是空间的一个基底，则下面可作为空间基底的向量组是_______________．
→ → → →
{ }
① a + b, a, b ；
→ →
→ → → →
{ }
② a + b + c, a + b, a ；
→ →
→ → → →
{ }
③ a + b, b + c, c + a ；
→ → → → → → →
{ }
④ a + b,3a + b + c, c +2a ．
(2) →
→ →
→
→ →
平行六面体OABC−O ′ A ′ B ′ C ′ 中，设OA = a，OC = b，OO ′ = c，D为线段BC ′ 的中点，E
→
→ →
′ ′ { }
为线段O B 的中点，请用 a, b, c 表示下列向量：→ → →
→ →
′ ′ ′
OB ，BA ，CA ，OE，ED．
(3)已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA = AD = 1，求
→ →
MN、DC的坐标．
例7 → → →
→ → → → → → → →
已知三个向量a，b，c不共面，并且p = a + b − c，q = 2a −3b −5c，
→
→ → → → → →
r = −7a +18b +22c，问向量p，q，r是否共面？
例8 →
求向量a = (2, −3,5)在(1,1,0)向量方向上的投影线段的长度．
例9 (1)已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4, −3,7)，C(0,5,1)，则BC边上中线长为
_______________；
(2) → →
→ → → →
已知a = (1,1,x)，b = (1,2,1)，c = (1,1,1)，如果 (c −2a)⊥b，则x = _______________；
(3) →
→ →
已知a = (−2,1,3)，b = (−1,4, −2)，c = (−1, −10,λ)共面，则实数λ = _______________．
例10 √3 1
( )
如图所示，在空间直角坐标系中BC = 2，原点O是BC的中点，点A的坐标是 , ,0 ，点D在平
2 2
面yOz上，且∠BDC = 90∘，∠DCB = 30∘．
→
（1）求向量OD的坐标；
→ →
（2）设向量AD和BC的夹角为θ，求cosθ的值．思维突破 / 初三 / 秋季
第 13 讲 空间向量
自我巩固答案
1 (1) → →
→ → → →
已知a = (2, −1,3)，b = (−1,4, −2)，c = (7,5,λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于
_________________．
(2) MG
已知空间四边形OABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且 = 2，
GN
→ → → → → → → →
现用基向量OA，OB，OC表示OG，设OG = xOA +yOB +zOC，则x = _________________，
y = _________________，z = _________________．
2 → → → → → → → → → → →
已知非零向量e ，e 不共线，如果AB = e + e ，AC = 2e +8e ，AD = 3e −3e ．求证：A、
1 2 1 2 1 2 1 2
B、C、D四点共面．
3 已知点O是平行六面体ABCD−A B C D 体对角线的交点（即B ′ D和BD ′ 的交点）．点P是空间中
1 1 1 1
→ → → → → → → → →
任意一点．求证：PA +PB +PC+PD +PA +PB +PC +PD = 8PO．
1 1 1 14 已知正四面体（即每个面都是正三角形的四面体）ABCD的棱长为√2，E，F，G分别是棱AB，
→ →
BD，DC的中点，则GE ⋅GF = _________________．
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第 13 讲 空间向量
课堂落实答案
1 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且
→ → → →
PM:MC = 2:1，N为PD的中点，则满足MN = xAB +yAD +zAP的实数x = _______，y = _______，
z = _______．
2 → → → →
已知向量a = (1,2,3)，b = ( x,x 2 +y−2,y ) ，并且a、b同向，求x、y的值．
3 → →
⟨ ⟩
在正方体ABCD−A B C D 中，M、N分别为棱AA 和BB 的中点，则sin CM,D N = _______．
1 1 1 1 1 1 1
思维突破 / 初三 / 秋季
第 14 讲 空间向量的应用
例题练习题答案
例1 已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,2,3)，
（1）试求出平面ABC的单位法向量；
（2）求x系数为1时面ABC的方程．
例2 (1) → →
设a，b分别是直线l ，l 的方向向量，判断直线l ，l 是平行或垂直．
1 2 1 2→ →
→ →
a = (2, −1, −2)，b = (6, −3, −6)；a = (1,2, −2)，b = (−2,3,2)；
→ →
→ →
a = (3, −4,2)，b = (2, −3, −4)；a = (0, −1,0)，b = (0,π ,0) ．
(2) → →
设u，v分别是平面α，β的法向量，判断α，β是平行或垂直．
→ → → →
u = (−2,2,5)，v = (6, −4,4)；u = (1,2, −2)，v = (−2, −4,4)；
→ → → →
u = (2, −3,5)，v = (−3,1, −4)；u = (0,1,2)，v = (0, −2, −4)．
(3) → →
设a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，判断l，α是平行或垂直．
→ → → →
a = (−2,2,5)，n = (6, −4,4)；a = (1,2, −2)，n = (−2, −4,4)；
→ → → →
a = (2, −3,5)，n = (−3,1, −4)；a = (0,1,2)，n = (0, −2, −4)．
例3 （1）已知直线l ，l 的方向向量分别是(1,0,1)，(−1, −1,0)，求直线l ，l 的夹角；
1 2 1 2
（2）已知直线l的方向向量是(1,2,2)，平面α的法向量是(2, −1,1)，求l与α夹角的余弦值；
( ) ( )
（3）已知平面α，β的法向量是 −1,2,√2 ， 0,√2,1 ，求α与β的夹角的余弦值．
例4 如图，线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB = 7，AC = BD = 24，CD = 25，求线
段BD与平面α所成的角．
例5 1
如图，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA = AB = PD．
2
（1）求直线AP与直线PQ夹角的余弦值；
（2）求直线AP与平面BPQ夹角的余弦值；
（3）求二面角Q−BP−C的余弦值．例6 四棱锥P−ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC = 60∘
的菱形，M是PB的中点．
（1）求PA与底面ABCD所成角的大小；
（2）求证：PA⊥平面CDM；
（3）求二面角D−MC−B的余弦值．
例7 在正方体ABCD−A ′ B ′ C ′ D ′ 中，E是BC的中点，F在线段AA ′ 上，A ′ F:FA = 2:1 ．
′ ′ ′ ′ ′
（1）求平面B EF与底面A B C D 夹角的余弦值；
（2）求直线EF与B ′ C ′ 夹角的余弦值；
′
（3）求二面角B−EF−B 的余弦值．
例8 →
（1）已知平面α过点A(−3,2,1)，法向量为 n = (1,1,1)，则点P(2, −2,2)到平面α的距离为
__________________；
（2）已知平面α上的点均满足方程2x−y+2z−7 = 0，则点P(1, −2,2)到平面α的距离为
__________________；→
（3）已知直线l过点A(−3,2,1)，方向向量为 a = (1,1,1)，则点P(2, −2,0)到直线l的距离为
__________________．
例9 （1）在棱长为2的正方体ABCD−A B C D 中，M是AA 的中点，N是BC的中点，则N到平面
1 1 1 1 1
MB D 的距离为__________________；
1 1
（2）在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，PA⊥面ABCD，且PA = 1，则P到对角线BD的距离为
__________________；
→ → →
（ 3 ） 已 知 OA = (1,2,3) ， OB = (2,1,2) ， OP = (1,1,2) ， P 点 到 直 线 AB 的 距 离 为
→ →
__________________；设点Q在直线OP上运动，则当QA ⋅QB取得最小值时，点Q的坐标为
__________________．
例10 如图，已知三棱锥O−ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA = 1，OB = OC = 2，E是OC的
中点．
（1）求异面直线BE与AC所成的角的余弦值；
（2）求二面角E−AB−C的余弦值；
（3）求O点到面ABC的距离．
例11 在 △ ABC中，已知a = 5√2，c = 10，A = 30∘，则角B的值是（ ）
A： 15∘
B： 60∘
C： 105∘
D： 105∘或15∘思维突破 / 初三 / 秋季
第 14 讲 空间向量的应用
自我巩固答案
1 如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB = BC = 2，点E是AC中点；异面直线AD与
√10
BE所成角为θ，且cosθ = ，求四面体D-ABC的体积．
10
2 正三棱柱ABC−A B C 的各棱长都是a，P是A B上的点．
1 1 1 1
A P
1
（1）试确定 的值，使得PC⊥AB；
PB
A P
1 2
（2）若 = ，求二面角P−AB−C的大小；
PB 3
（3）在（2）的条件下，求C 到平面PAC的距离．
1
3 如图，在正方体OABC−O ′ A ′ B ′ C ′ 中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE = BF．（1）求证：A ′ F⊥C ′ E；
′ ′ ′
（2）当三棱锥B −BEF的体积取得最大值时，求二面角A −B F−E的正切值．
4 在三棱柱ABC−A B C 中，∠BCA = 90∘，AC = BC = 2，A 在底面ABC上的射影恰为AC的中点
1 1 1 1
D，又知BA ⊥AC ．
1 1
（1）求证：AC ⊥平面A BC；
1 1
（2）求CC 到平面A AB的距离；
1 1
（3）求二面角A−A B−C的大小．
1
思维突破 / 初三 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（ ）A： 圆锥
B： 三棱锥
C： 三棱柱
D： 三棱台
2 设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥n，
则n//α；②若α//β，β//γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m//α，n//α，则m//n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α//β
，其中正确命题的序号是（ ）
A： ①②
B： ②
C： ③④
D： ④
3 三棱锥P−ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为 △ ABC的（ ）
A： 内心
B： 外心
C： 垂心
D： 重心
4 → → → → →
已知OA = (1,2,3)，OB = (2,1,2)，OP = (1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA ⋅QB取得最小值
时，点Q的坐标值为（ ）
A： 1 3 1
( )
, ,
2 4 3B： 1 2 3
( )
, ,
2 3 4
C： 3 3
( )
, ,3
2 2
D： 4 4 8
( )
, ,
3 3 3
5 → → → → → → → → → →
{ } { }
已知 a, b, c 是一组空间基底，则①a ≠ 0；② a − b, c + a,3b −3a 也是一组空间基底；
→ →
→ → → →
③若x⋅ a +y⋅ b +z⋅ c = 0，则x = y = z = 0；④若m⋅ a = m⋅ b = m⋅ c = 0，则m = 0，以上说
法中正确的是（ ）
A： ①③
B： ②③
C： ①④
D： ③④
6 设O是正三棱锥P−ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分
1 1 1
别交于Q、R，则和式 + + （ ）
PQ PR PS
A： 有最大值而无最小值
B： 有最小值而无最大值
C： 既有最大值又有最小值，两者不等
D： 是一个与面QPS无关的常数
7 已知A、B、C、D四点不共面，且它们到平面α的距离都相等，这样的平面α共有多少个（ ）
A： 3
B： 6
C： 7D： 8
8 一个四面体的六条棱中，有三个棱长为1，有三个棱长为√2，这样的四面体的个数为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 6
9 设l，m为两条直线，α为平面，且l⊥α，则下列命题中：①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；
③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α,其中真命题的序号是______________．
10 → → → → → →
( )
已知向量a = (x,1, −1)，b = (1, −2,1)，c = (1,1,1)，如果a⊥ b + c ，则x =
→ → →
______________，如果a，b，c共面，则x = ______________．
11 ′ ′
经过圆锥OO 的轴OO 的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为______________，表面
积为______________．
12 在长方体ABCD−A ′ B ′ C ′ D ′ 中，底面ABCD是边长为2的正方形，高为4，则点A ′ 到平面AB ′ D ′ 的
距离为______________．
13 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当点D到平面ABC的距离最大时，直线BD和平面ABC所成角的
大小为______________．
14 PA、PB、PC是从点P引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60∘，则直线PC与平面APB所成角
的余弦值是______________．
15 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为______________．16 将立方体切成四面体，至少需要切成______________个．
17 在正三棱柱ABC−A B C 中，D是底边AC的中点．
1 1 1
(1)求证：直线AB //平面BC D；
1 1
(2)若AB = √2，BB = 1，求直线AB 与直线BC 夹角的余弦值．
1 1 1
18 如图，在四棱柱P−ABCD中，PD⊥面ABCD，PD = DC = BC = 1，AB = 2，AB//CD，
∠BCD = 90∘．
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
19 如图，在矩形ABCD中，AB = 2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD．(1)求证：DP⊥平面EPC；
(2) FP
在线段EP上是否存在点F使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出 的值．
AP
20 如图，∠ACB = 45∘，BC = 3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿
AD将 △ ABD折起，使∠BDC = 90∘（如下右图所示）．
(1)当BD的长为多少时，三棱锥A−BCD的体积最大；
(2)当三棱锥A−BCD的体积最大时，设点E、M分别为棱BC、AC的中点，试在棱CD上确定一点
N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．
21 三角形的面积可以由其三个边长唯一确定，试问四面体的体积是否由四个面的面积唯一确定？请
说明理由．
