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思维突破 / 初三 / 暑假
第 1 讲 集合
例题练习题答案
例1 下列各种对象的全体，可以构成集合的是__________．
（1）高一数学课本中的难题；
（2）某班数学成绩比较好的同学；
| |
（3）使 x 2 −3x+2 取得最小值的x的值；
| |
2
（4）使y = x −3x+2 取得最小值的点的坐标．
例2
(1)已知集合S = {a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（ ）
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 等腰三角形
(2) 已知x 2 ∈ {3,9,x}，则所有实数x组成的集合为__________；
(3) b
{ }
{ }
2
现有三个实数的集合，既可以表示为 a, ,1 ，也可以表示为 a ,a+b,0 ，则
a
2019 2019
a +b = __________；
(4) 集合 { (x,y)|x 2 +y 2 ≤ 100,x,y ∈ Z } 的元素个数是__________．
例3 已知集合A = { x|ax 2 +2x+1 = 0,x ∈ R } ，a为实数，
（1）若A是单元素集，求a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．例4 （1）若集合A = { x|x 2 −(a+1)x+a = 0 } ，求集合A中所有元素的和；
{ }
（2）若集合A = x|x 2 −(a+1)x+a = 0 中所有元素之和为1，求a的值；
{ ( ) }
（3）若集合A = x| x 2 −a (x−4)(x−6) = 0 中所有元素之和为10，求a的取值范围．
例5 k 1 k 1
{ } { }
（1）设M = x|x = + ,k ∈ Z ，N = x|x = + ,k ∈ Z ，那么集合 M，N的关系是
2 4 4 2
__________；
{ }
（2）已知集合A = {a,a+d,a+2d}，B = a,aq,aq 2 ，且A = B，则q等于__________．
例6 （1）求集合{a,b}的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出
{1,2,3,4,5,⋯,100}的子集和真子集的个数．并求集合a的所有子集的元素之和的和 (规定空集的元
素和为零)；
（2）已知A = {1,2}，C = {1,2,3,4,5}，且满足A ⊆ B ⊆ C，则集合B的个数有__________个；
（3）设集合S = {1,2,3,⋯,n}，若X ⊆ S ，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元
n n
素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇（偶）数，则称X为S
n
的奇（偶）子集．则S 的所有奇子集的容量之和为__________．
4
例7 （1）已知集合A{x ∈ R| −2 ≤ x ≤ 5}，B = {x ∈ R|m+1 ≤ x ≤ 2m−1}，若B ⊆ A，求实数m的
取值范围；
{ } { }
（2）设集合A = x|x 2 +4x = 0,x ∈ R ，B = x|x 2 +2(a+1)x+a 2 −1 = 0,x ∈ R ，若B ⊆ A，
求实数a的取值范围．
例8 已知，S = {x|x = 14m+36n,m ∈ Z,n ∈ Z}，T = {x|x = 2k,k ∈ Z}，求证：S = T．
例9 （1）已知全集U = {1,2,3,⋯,10}，A = {1,2,3,4,5}，B = {4,5,6,7,8}，C = {3,5,7,9}，求：
( )
A∪B，A∩B，A∩ ∁ B ，∁ A∪B，A∪(B∩C)；
U U
（2）已知全集U = {不大于20的质数}，M，N是U的两个子集，且满足M∩∁ N = {3,5}，
U
( ) ( ) ( )
∁ M ∩N = {7,19}， ∁ M ∩ ∁ N = {2,17}，求M，N；
U U U
（3）已知全集U = R，A = {x| −1 < x ≤ 2,x ∈ R}，B = {x|x > 0,x ∈ R}，C = {x||x| ≤ 1,x ∈ R}
，将下列集合写成区间的形式：∁ A，C∩∁ B，A∪B∩C， (∁ A ) ∪ (∁ B ) ∪ (∁ C ) ．
U U U U U例10 已知非空集合 M，N，定义M−N = {x|x ∈ M,x ∉ N}．
(1)那么M−(M−N) = （ ）．
A： M∪N
B： M∩N
C： M
D： N
(2)求证：①A−(B∪C) = (A−B)∩(A−C)；
②A−(B∩C) = (A−B)∪(A−C)．
例11 （1）某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两
项体育活动的总人数是__________；
（2）对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧．其中58人喜欢看
球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影
又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则既喜欢看球赛又喜欢看电影的有__________
人，只喜欢看电影的有__________人．
例12 集合A，B，C是I = {1,2,3,⋯,n−1,n}的子集，
（1）若n = 9，A∪B = I，求有序集合对(A,B)的个数；
（2）若n = 9，A∪B∪C = I，求有序集合对(A,B,C)的个数；
（3）若n ≥ 15，A∪B = I，A∩B = ∅，求证：A或者B中必有两个不同数的和是完全平方数；
（4）若n = 25，且A的所有子集元素之和不同，则A集合最多有多少个元素？
思维突破 / 初三 / 暑假
第 1 讲 集合自我巩固答案
1 6
{ }
（1）用列举法化简集合M = x| ∈ Z,x ∈ Z = __________；
3−x
（2）B = {x|x ⊆ A}，A = {a,b,c}，列举法写出B，并说明此时A，B之间的关系．
2 （1）已知集合A = { 1,3,√m } ，B = {1,m}，A∪B = A，则m =__________；
2
{ }
（2）已知集合M = x| < 1 ，N = { y|y = √x−1,x ∈ M } ，则∁ M = __________，N =
R
x
__________．
3 1
{ }
{ } { }
2 2
（1）已知集合A = x|3x +px−7 = 0 ，集合B = x|3x −7x+q = 0 ，若A∩B = − ，求
3
A∪B；
（2）设集合A = {x|(x−3)(x−a) = 0,a ∈ R}，B = {x|(x−4)(x−1) = 0}，求A∪B，A∩B．
4 已知集合A = {x|2 ≤ x ≤ 6}，集合B = {x|2a ≤ x ≤ a+3}，若B ⊆ A，求a的取值范围．
5
(1) 1 1
{ }
若x ∈ A，则 ∈ A，就称A是伙伴关系集合，集合M = −1,0, ,2,3 的所有非空子集中具
x 2
有伙伴关系的集合的个数是（ ）
A： 1
B： 3
C： 7
D： 31
(2)给定集合A，若对于任意a,b ∈ A，有a+b ∈ A，且a−b ∈ A，则称集合A为闭集合，给出
如下三个结论：
①集合A = {−4, −2,0,2,4}为闭集合；
②集合A = {n|n = 3k,k ∈ Z}为闭集合；
③若集合A ，A 为闭集合，则A ∪A 为闭集合．
1 2 1 2其中正确结论的序号是_________．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 1 讲 集合
课堂落实答案
1 { 2 }
已知集合A = x|x −2x−3 ≤ 0 ，B = {x|m−2 ≤ x ≤ m+2}，
（1）若A∩B = {x|0 ≤ x ≤ 3}，求实数m的值；
（2）若A ⊆ ∁ RB，求实数m的取值范围．
2 x x−2 2x−a
{ }
当a取何整数值时，集合A = x| + + = 0 表示的是单元素集，请求出集合A？
x−2 x x(x−2)
思维突破 / 初三 / 暑假
第 2 讲 简单逻辑
例题练习题答案
例1 (1)下列命题是真命题的为（ ）
A： 1 1
若 = ，则x = y
x y
B： 2
若x = 1，则x = 1
C： 若x = y，则√x = √y
D： 2 2
若x < y，则x < y
(2)下面有四个命题：
①集合N中最小的数是1；②若−a不属于N，则a属于N；
③若a ∈ ∁ Q，b ∈ ∁ Q，则a+b ∈ ∁ Q；
R R R
2
④x +1 = 2x的解可表示为{1,1}．
其中真命题的个数（ ）
A： 0 个
B： 1 个
C： 2 个
D： 3 个
(3)下列命题是假命题的为（ ）
A： 若A∩B = A，则A ⊆ B
B： 若A∪B = B，则A ⊆ B
C： 若A∩∁ UB = ∅，则A ⊆ B
D： 若A∪∁
U
B = U，则A ⊆ B
例2 (1)下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有__________;互为逆否命题的有__________．
(2) 在“a，b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x 2 +ax+b ≤ 0的解集是非空数
2
集，则a −4b ≥ 0”，给出下列命题：
2 2
①若a −4b ≥ 0，则不等式x +ax+b ≤ 0的解集是非空数集；
2 2
②若a −4b < 0，则不等式x +ax+b ≤ 0的解集是空集；
2 2
③若不等式x +ax+b ≤ 0的解集是空集，则a −4b < 0；2 2
④若不等式x +ax+b ≤ 0的解集是非空数集，则a −4b < 0；
2 2
⑤若a −4b < 0，则不等式x +ax+b ≤ 0的解集是非空数集；
2 2
⑥若不等式x +ax+b ≤ 0的解集是空集，则a −4b ≥ 0；
其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是__________．
（按要求的顺序填写）
(3)下列命题中正确的是__________．
①“若x 2 +y 2 ≠ 0，则 x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m > 0，则x2+x−m = 0有实根”的逆否命题；
1
④“若x−3 是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
2
例3 (1) 2
“x > 1”是“x > x”的（ ）
A： 充分而不必要条件
B： 必要而不充分条件
C： 充要条件
D： 既不充分也不必要条件
(2) { 2 }
若集合A = 1,m ，B = {2,4}，则“A∩B = {4}”是“m = 2”的（ ）
A： 充分而不必要条件
B： 必要而不充分条件
C： 充要条件
D： 既不充分也不必要条件
(3) 若集合A = { x|x 2 −5x+4 < 0 } ，B = {x||x−a| < 1}，则“a ∈ (0,3)”是“B ⊆ A”的（ ）
A： 充分而不必要条件
B： 必要而不充分条件C： 充要条件
D： 既不充分也不必要条件
(4) “x ∈ [3,a]”是不等式2x2−5x−3 ≥ 0成立的一个充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A： (3, +∞)
B： 1
]
(−∞,− ∪(3，+∞)
2
C： 1
( )
−∞, −
2
D： 1
( )
−∞, − ∪(3, +∞)
2
(5)“x ≠ 2或y ≠ 3”是“x+y ≠ 5”的（ ）
A： 充分而不必要条件
B： 必要而不充分条件
C： 充要条件
D： 既不充分也不必要条件
{ } { }
(6)记实数x ，x ，⋯，x 中的最大数为 max x ,x ,⋯,x ，最小数为 min x ,x ,⋯,x ，已
1 2 n 1 2 n 1 2 n
知 △ ABC的三边边长为a，b，c(a ≤ b ≤ c)，定义它的倾斜度
a b c a b c
{ } { }
l = max , , ⋅ min , , ，则“l = 1”是“ △ ABC为等边三角形”的（ ）
b c a b c a
A： 充分而不必要条件
B： 必要而不充分条件
C： 充要条件
D： 既不充分也不必要条件
例4 已知集合M = {x|x < 3或x > 5}，P = {x|(x−a)(x−8) ≤ 0}．（1）求实数a的取值范围，使它成为M∩P = {x|5 < x ≤ 8}的充要条件;
（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P = {x|5 < x ≤ 8}的一个充分但不必要条件;
（3）求实数a的取值范围，使它成为M∩P = {x|5 < x ≤ 8}的一个必要但不充分条件．
例5 (1) 已知命题p：∃x ∈ R，使x 0 = 1，命题q：x 2 −3x+2 < 0的解集是{x|1 < x < 2}，给出下列
0 0
结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧ ¬q”是假命题；③命题“ ¬p∧q”是真命
题；④命题“¬p∧ ¬q”是假命题，其中正确的是（ ）
A： ②③
B： ①②④
C： ①③④
D： ①②③④
(2)已知两个简单命题p和q，“p且q为真命题”是“p或q为真命题”的（ ）
A： 充分而不必要条件
B： 必要而不充分条件
C： 充要条件
D： 既不充分也不必要条件
(3)已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条
件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要
条件而不是充分条件；④
¬p是 ¬s的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要
条件，则正确命题的序号是（ ）
A： ①④⑤
B： ①②④
C： ②③⑤
D： ②④⑤
例6 (1)命题“所有不能被 2 整除的整数都是奇数”的否定是（ ）A： 所有能被2整除的整数都是奇数
B： 所有不能被2整除的整数都不是奇数
C： 存在一个能被2整除的整数是奇数
D： 存在一个不能被2整除的整数不是奇数
(2) 命题“∃x ∈ ∁ Q，x 3 ∈ Q”的否定是（ ）
0 R 0
A： ∃x ∉ ∁ Q，x 3 ∈ Q
0 R 0
B： ∃x ∈ ∁ Q，x 3 ∉ Q
0 R 0
C： ∀x ∉ ∁ Q，x 3 ∈ Q
R 0
D： ∀x ∈ ∁ Q，x 3 ∉ Q
R 0
例7 （1）已知p：方程x 2 +mx+1 = 0有两个不等的负实根，q：方程4x 2 +4(m−1)x+1 = 0无实根，
若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围；
（2）设命题p：|4x−3| ≤ 1，命题q：x 2 −(2a+1)x+a(a+1) ≤ 0，若 ¬p是 ¬q的必要不充分条件，
求实数a的取值范围．
例8 2
{x −x−6 ≤ 0
设命题p：实数x满足x 2 −4ax+3a 2 < 0，其中a > 0，命题q：实数x满足 ．
2
x +2x−8 > 0
（1）若a = 1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若
¬p是 ¬q的充分不必要条件，求实数a
取值范围．
例9 设集合A = {x| −2 ≤ x ≤ a}，集合B = {y|y = 2x+3,x ∈ A}，集合C = { z|z = x 2 ,x ∈ A } ，求使
C ⊆ B的充要条件．
例10 (1) a a a
1 2 3
已知a ，a ，a ，b ，b ，b 均是非零实数，则“ = = ”是“方程
1 2 3 1 2 3
b b b
1 2 3
2 2
a x +a x+a = 0和b x +b x+b = 0的解集相同”的（ ）
1 2 3 1 2 3
A： 充分而不必要条件B： 必要而不充分条件
C： 充要条件
D： 既不充分也不必要条件
(2) a a a
1 2 3
已知a ，a ，a ，b ，b ，b 均是非零实数，则“ = = ”是“不等式
1 2 3 1 2 3
b b b
1 2 3
2 2
a x +a x+a > 0和b x +b x+b > 0的解集相同”的（ ）
1 2 3 1 2 3
A： 充分而不必要条件
B： 必要而不充分条件
C： 充要条件
D： 既不充分也不必要条件
例11 已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点 D、E、F 分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，
R
CF是三角形ABC的三条高的充要条件是S = (EF+FD+DE)，其中S是三角形ABC的面积．
2
思维突破 / 初三 / 暑假
第 2 讲 简单逻辑
自我巩固答案
1
(1)在下列结论中，正确的是（ ）
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“ ¬p”为假的必要不充分条件；
④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．
A： ①②B： ①③
C： ②④
D： ③④
(2)“x ∈ A∩B”是“x ∈ A∪B”的（ ）
A： 充分但不必要条件
B： 必要但不充分条件
C： 充要条件
D： 既不充分又不必要条件
(3) 已知命题 p：∀x ∈ [1,2]，x 2 −a ≥ 0，命题 q：∃x ∈ R，x 2 +2ax +2−a = 0，若“p且
0 0 0
q”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A： a = 1或a ≤ −2
B： a ≤ −2或1 ≤ a ≤ 2
C： a ≥ 1
D： −2 ≤ a ≤ 1
(4)设集合U = {(x,y)|x ∈ R,y ∈ R}，A = {(x,y)|2x−y+m > 0}，B = {(x,y)|x+y−n ≤ 0}，那
么点P(2,3) ∈ A∩ (∁ B ) 的充要条件是（ ）
U
A： m > −1，n < 5
B： m < −1，n < 5
C： m > −1，n > 5
D： m < −1，n > 5
2 x−1
| |
已知p： 1− ≤ 2，q：x 2 −2x+1−m 2 ≤ 0(m > 0)，若 ¬p是 ¬q的必要不充分条件，求实数m
3
的取值范围．
3 （1）设m ∈ Z，关于x的一元二次方程mx 2 −4x+4 = 0①，x 2 −4mx+4m 2 −4m−5 = 0②，试求方程①和②的根都是整数的充要条件；
（2）求关于x的一元二次方程x 2 −(2a−1)x+a 2 −2 = 0至少有一个非负实数根的充要条件．
4 在下列电路图中，闭合开关A是灯泡C亮的什么条件：
如图（1）所示，开关A闭合是灯泡C亮的__________条件；
如图（2）所示，开关A闭合是灯泡C亮的__________条件；
如图（3）所示，开关A闭合是灯泡C亮的__________条件；
如图（4）所示，开关A闭合是灯泡C亮的__________条件．
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第 2 讲 简单逻辑
课堂落实答案
1
(1)下列命题中为真命题的是（ ）
A： 命题“若x > y，则x > |y|”的逆命题
B： 2
命题“x > 1，则x > 1”的否命题
C： 2
命题“若x = 1，则x +x = 2”的否命题
D： 2
命题“若x > 0，则x > 1”的逆否命题(2)设集合A = {x|x−2 > 0}，B = {x|x < 0}，C = {x|x(x−2) > 0}，则“x ∈ A∪B”是“
x ∈ C”的（ ）
A： 充分而不必要条件
B： 必要而不充分条件
C： 充分必要条件
D： 既不充分也不必要条件
2 1
（1）已知命题“∃x ∈ R，2x 2 +(a−1)x+ ≤ 0”是假命题，则实数a的取值范围是_________；
2
（2）①命题“对∀x ∈ R，|x−2|+|x−4| > 3”的否定是_________；②命题“对∀x ∈ R，
|x−2|+|x−4| > 3”的否命题是_________．
3 设命题p：a 2 < a，命题q：对任何x ∈ R都有x 2 +4ax+1 > 0，命题p，q中有且仅有一个成立，则
实数a的取值范围是什么？
思维突破 / 初三 / 暑假
第 3 讲 函数的概念及表示
例题练习题答案
例1 (1)下列选项中，可表示函数y = f(x)的图象是（ ）
A：B：
C：
D：
(2)已知函数y = f(x)，x ∈ [a,b]，那么集合{(x,y)|y = f(x),x ∈ [a,b]}∩{(x,y)|x = 2}中元素的个
数为__________．
例2 （1）下列各组函数中，表示同一函数的有：__________．
√ √3
2 3
①y = x 与y = x ；
2
x −1
②y = 与y = x+1;
x−1
1
0
③y = x 与y = ;
0
x
√
④y = x 2 −1与y = √x−1√x+1；
2 2
⑤f(x) = ax (a ≠ 0)与g(t) = at (a ≠ 0)．
（2）若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，
2
那么函数解析式为y = x ，值域为{1,4}的“同族函数”共有__________个．
例3 求下列函数的定义域：
（1）y = √x−4+√4−x+x 2 ；（2）y = √x(x−1)+√x；
1
（3）y = ；
1
1−
1
1−
|x|−x
1
（4）y = √x+3+ ；
|x|−2
0
(x+1)
（5）y = ；
√|x|−x
（6）f(x) = √x，g(x) = 2x−1，F(x) = f[g(x)]．
例4 （1）若函数y = f(x)的定义域为[−1,1]，则f(2x−1)的定义域为__________；
（2）已知函数y = f(2x+1)的定义域为[1,2]，则函数y = f(x)的定义域为__________；
( )
2
（3）若函数y = f(x)的定义域是(−1,1)，则函数y = f x −1 的定义域为__________；
f(2x)
（4）若函数y = f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x) = 的定义域为__________．
x−1
例5 求下列函数的值域：
（1）y = x 2 +2x−1,x ∈ (−2, +∞)；
（2）y = x 2 −4x+3，x ∈ (−4,3]；
5x−1
（3）y = ，x ∈ [−3, −2)∪(−2,0]；
x+2
x+1
（4）y = ；
2
x +2x+2
（5）y = |x+3|+|x−2|；
（6）y = |x+1|+|2x+1|+|3x+1|；
（7）y = 2x+√1−2x；
√
（8）y = √1+x+√1−x+ 1−x 2 ．
例6 求下列函数的解析式：2
（1）已知f(2x+1) = x +1，求f(x)；
( )
（2）已知f 2√x+1 = 2x+√x，求 f(x)；
1
( )
（3）设函数f(x)满足f(x)+2f = x(x ≠ 0)，求f(x)；
x
1 1
( )
（4）已知f(x)+f = 2− ，求f(x)；
1−x x
x−1
( )
（5）设函数f ：{x|x ≠ 0,1,x ∈ R}→R，且满足f(x)+f = 1+x，求f(x)；
x
（6）设二次函数f(x)满足f(x−2) = f(−x−2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为
2√2，求f(x)解析式．
例7 x+2,x ≤ −1
{
2x, −1 < x < 2
（1）已知f(x) = ．
2
x
,x ≥ 2
2
7
{ [ ( )]}
①求f f f − ；
4
②若f(a) = 3，求a的值．
2
x ,x ≥ 0
{
（2）已知函数f(x) = 2x−1，g(x) = 1 ，求
,x < 0
x
①f(2)，g(2)，f[g(2)]，g[f(2)]；
②g[f(x)]，f[g(x)]的解析式．
例8 （1）已知集合A = B = {(x,y)|x,y ∈ R}，f：A→B是从A到B的映射，f：(x,y)→ ( x+1,y 2 +1 ) ，求
A中的元素(1,2)在B中的象和B中元素(1,2)在A中的原象；
（2）已知A = {a,b,c}，B = {−1,0,1}，映射f：A→B满足f(a)+f(b) = f(c)，求映射f：A→B的个
数；
（3）函数f：{1,2,3}→{1,2,3}满足f[f(x)] = f(x)，求这样的函数的个数．例9 设A = {1,2,3,m}，B = { 4,7,n 4 ,n 2 +3n } ，对应法则f：a→b = pa+q是从A到B的一一映射．已知
m，n为正整数，且1的象是4，7的原象是2，求p，q，m，n的值．
例10 设m，n∈N ∗ ，m ≤ n．集合A = { a ,a ,⋯,a } ，B = { b ,b ,⋯,b } ．
1 2 m 1 2 n
（1）求所有 A 到 B 的映射的个数；
（2）求所有 A 到 B 的单射的个数；
（3）是否存在 A 到 B 上的满射?
例11 1
( )
是否存在单射 f ：R→R，使得对任意 x ∈ R，都有f x 2 −f 2 (x) ≥ ?
4
思维突破 / 初三 / 暑假
第 3 讲 函数的概念及表示
自我巩固答案
1 x 1 1
( ) ( )
（1）已知f(x) = ，则f(1)+f(2)+⋯+f(2001)+f(1)+f +⋯+f 的值为__________；
1+x 2 2001
（2）已知函数f(x)满足：f(a+b) = f(a)⋅f(b)，f(1) = 2，求
2 2 2 2
f (1)+f(2) f (2)+f(4) f (3)+f(6) f (4)+f(8)
+ + + = __________．
f(1) f(3) f(5) f(7)
2 1
( )
（1）已知f(x+1)的定义域为[−2,3)，则f +2 的定义域为__________；
x
( )
2
（2）若函数f x −2 的定义域为[1,3]，则函数f(3x+2)的定义域为__________．
3 求下列函数的值域：
（1）y = x 2 +4x+3，x ∈ [−3,5]；
2
1+x+x
（2）y = ；
2
x（3）y = √1−2x−x；
2
{x −2x+1,(x ≥ 0)
（4）y = ．
2
−x −2x−1,(x < 0)
4 2x−1
（1）已知函数y = 的值域是(−∞,0]∪[3, +∞)，求此函数的定义域；
x−1
2
（2）已知函数y = x +ax+3在区间[−1,1]上的最小值为−3，求实数a的值．
5 25
[ ]
若函数y = x 2 −3x−4的定义域为[0,m]，值域为 − , −4 ，则 m 的取值范围是__________．
4
6 2
1 3 x +1
( )
（1）已知f 1+ = + ，求函数f(x)的解析式；
x x 2
x
1
（2）已知f(x+1)+2f(3−x) = x+ ，求函数f(x)的解析式；
x
2
（3）已知f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x−1) = 2x −4x+4，求函数f(x)的解析式．
7 对于函数f(x)和g(x)，规定f(x)∗g(x) = min {f(x),g(x)}，其中 min {a,b}表示a与b中较小数，已知
2
f(x) = 3−2|x|，g(x) = x −2x，求f(x)∗g(x)的解析式．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 3 讲 函数的概念及表示
课堂落实答案
1 求下列函数的定义域．
√
2
0
（1）函数y = (x−1) + 的定义域为__________；
x+1
（2）函数f(3x+1)的定义域为[−1,2] ，则f(−x+2)的定义域为__________．2 求下列函数的值域．
（1）f(x) = (x−1) 2 +1，x ∈ {−1,0,1,2,3}；
（2）y = 2x−√3−x；
1 1 1
（3）y = +3x−3 + +3．
2 x 2
x x
3 记二次函数f(x) = −x 2 −4mx+1在[−1,3]的最大值为g(m)，写出g(m)的函数表达式，并求出g(m)
的最小值．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 4 讲 函数基本性质
例题练习题答案
例1 如图是定义在区间[−5,6]上的函数y = f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间
上，它是增函数还是减函数?
例2 用函数的单调性定义证明：
（1）函数y = √x在(0, +∞)上是增函数；
1
（2）函数f(x) = x+ 在(1, +∞)上是增函数．
x
例3 求下列函数的单调区间．
（1）y = |x−1|；
（2）y = |1−x|−|x−3|；2
（3）y = −x +2|x|+3；
√
2
（4）y = x +2x−3；
1
（5）y = ；
1−x
3+4x
（6）y = ．
1−2x
例4 （1）若函数f(x) = x 2 −2ax+a 2 在(−∞,1)上单调递减，则a的取值范围是__________;
（2）若函数f(x) = x 2 −2ax+3在(−2,2)上是单调的，则a的取值范围是__________;
（3）若函数f(x) = −x 2 +2ax在区间[1,2]上是减函数，则a的取值范围是__________．
例5 3
( )
( )
2
（1）已知函数y = f(x)在[0, +∞)上是减函数，试确定f 与f a −a+1 的大小关系；
4
( )
2
（2）已知函数y = f(x)在定义域[0, +∞)上是增函数，试确定f(a−4)与f a −a−12 的大小关系；
（3）已知y = f(x)是定义在(−2,2)上的减函数，并且f(m−1)−f(1−2m) > 0，求实数m的取值范
围．
例6 （1）已知f(x)是定义在R上的增函数，设F(x) = f(x)−f(a−x)，用函数单调性的定义证明函数F(x)是
R上的增函数；
2 2
（2）已知函数f(x) = x ，g(x) = x −2x，分别求函数f[g(x)]与函数g[f(x)]的单调区间．
例7 判断下列函数是否具有奇偶性．
3 5
（1）f(x) = x+x +x ；
（2）f(x) = x 2 ，x ∈ [−1,2]；
√
1−x
（3）f(x) = (1+x) ；
1+x
（4）f(x) = |x−2|+|x+2|；
√
2
9−x
（5）f(x) = ；
|x+4|−x2
{x +x+1,x < 0
（6）f(x) = ．
2
−x +x−1,x > 0
例8 2 3
（1）若函数f(x)是偶函数，当x > 0时，f(x) = 1+x+x +x ，则当x < 0时，f(x)的解析式是
__________；
（2）已知y = f(x)是定义在R上的奇函数，当x > 0时，f(x) = √x+1+x 2 +x 3 ，则f(x)在R上的解析
式是__________．
例9 2019 3
（1）已知f(x) = x +ax +bx−8，f(−2) = 10，则f(2) = __________；
1
（2）若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x) = ，则f(x) = __________，g(x) =
2
x +x
__________；
（3）若p(x)的定义域D关于原点对称，是否一定存在偶函数f(x)，奇函数g(x)使得f(x)+g(x) = p(x)对
于∀x ∈ D恒成立，若存在，写出f(x)，g(x)；若不存在，请说明理由．
例10 （1）已知f(x)是奇函数且在(0, +∞)上是减函数，判断f(x)在(−∞,0)上的增减性并加以证明；
( )
2
（2）已知f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数, 它在区间[0,1)上单调递增, 且满足f(1−a)+f 1−a < 0
，求实数a的取值范围．
例11 (1)定义在R上的偶函数f(x)在(0, +∞)上是增函数，若f(a) < f(b)，则一定可得（ ）
A： a < b
B： a > b
C： |a| < |b|
D： 0 ≤ a < b或0 ≤ b < a
(2)已知f(x)是定义在[−2,2]上的偶函数, 且在区间[0,2]上是减函数, 若不等式f(1−m) < f(m)成立,
求实数m的取值范围．
例12 (1) 5
{(x−1) +2019(x−1) = −1
已知 x，y 为实数，且满足 ，则x+y = ________；
5
(y−1) +2019(y−1) = 1(2) 8 8
解方程：(x+4) +8x+16 = x ．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 4 讲 函数基本性质
自我巩固答案
1 (1) 1
2
给出下列四个函数：y = − ；y = −(x+1) ；y = −2x+1；y = −|x−1|，其中在(−∞,0)上
x
为增函数的有（ ）
A： 1 个
B： 2 个
C： 3 个
D： 4 个
(2)若函数y = f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A： 2
y = f (x)是增函数
B： y = |f(x)|是增函数
C： y = −f(x)是减函数
D： 1
y = 是减函数
f(x)
(3)已知f(x)在实数集上是减函数，若a+b ≤ 0，则下列式子正确的是（ ）
A： f(a)+f(b) ≤ −[f(a)+f(b)]
B： f(a)+f(b) ≤ f(−a)+f(−b)
C： f(a)+f(b) ≥ −[f(a)+f(b)]D： f(a)+f(b) ≥ f(−a)+f(−b)
2 如果函数y = f(x)是R上的奇函数又是减函数，那么函数f(f(x))是（ ）
A： 减函数、奇函数
B： 增函数、奇函数
C： 减函数、偶函数
D： 增函数、偶函数
3 函数f(x)，g(x)区间[a,b]上都有意义，且在此区间上f(x)为增函数，f(x) > 0；g(x)为减函数，g(x) < 0
，判断f(x)g(x)在[a,b]上的单调性，并给出证明．
4 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x ≥ 0时，f(x) = 2 x +2x+b（b为常数），则f(−1) = （ ）
A： 3
B： 1
C： −1
D： −3
5 y = f(x)是[−1,1]上的减函数，又是奇函数；
[ ( ) ( )]( )
（1）求证： f x +f x x +x ≤ 0；（提示：可分x +x ≥ 0与x +x ≤ 0证明）
1 2 1 2 1 2 1 2
( )
2
（2）解不等式：f(1−a)+f 1−a < 0．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 4 讲 函数基本性质
课堂落实答案
1 判断下列函数的单调性．1
（1）y = ；
√
−x+2
(x+2)
x+2
√
2
1+x +x−1
（2）f(x) = ．
√
2
1+x +x+1
2 已知函数f(x) = ax 2 +(1−3a)x+1在区间[1, +∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
3 1
( )
已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0, +∞)上为增函数，则满足f(2x−1) < f 的x取值范围是
3
（ ）
A： 1 2
( )
,
3 3
B： 1 2
[ )
,
3 3
C： 1 2
( )
,
2 3
D： 1 2
[ )
,
2 3
思维突破 / 初三 / 暑假
第 5 讲 指数与指数函数
例题练习题答案
例1 化简：
√ √√ √
3 2
b a
（1） (a > 0,b > 0)；
a 6
b
√ √
1 1
（2） a a √a；
2 2
3 4
√m⋅ √m⋅ √m
（3） ；
1
( )5
6
√m ⋅m
4
√
√3
3 2 2
a b ab
（4） ；
√
1 1
b
( )4 3
a b
4 2
a
3 6
（5）√a⋅ √−a；
1√0
5 10 15
（6） (−2) x y ．
例2 1
x−x
x−1 x+1 3
（1）化简 + − ；
2 1 1 1
x +x +1 x +1 x −1
3 3 3 3
√ √ √ √
2 7 2 7
3 3
（2）求值： 1+ + 1− ．
3 3 3 3
例3 a b c d
已知 2 3 = 2 3 = 6，求证：(a−1) (d−1) = (b−1) (c−1).
例4 1 1
−
已知 x +x = 3，求下列各式的值：
2 2
−1
（1）x + x ；3 3
−
x +x +2
2 2
（2） .
2 −2
x +x +3
例5 （1）已知函数 y = (a 2 −3a+3)a x 为指数函数，则a的值为___________；
3−2x
（2）函数 y = a （a > 0且 a ≠ 1）的图象恒过定点___________；
2
x +2x−3
（3）若函数 f(x) = a +m的图象恒过点 (1,10)，则 m = ___________，此时该图象所过的另
外一个定点是_____________.
例6
(1) 曲线 C ，C ，C ，C 分别是指数函数 y = a x ，y = b x ，y = c x ，y = d x 的图象, 则a，b，c，d
1 2 3 4
与1的大小关系是__________；
(2)设a，b满足 0 < a < b < 1，下列不等式中正确的是（ ）
A： a b
a < a
B： a b
b < b
C： a a
a < b
D： b b
b < a(3) 1 1 1
( )b ( )a
设 < < < 1，则（ ）
2 2 2
A： a b a
a < a < b
B： a a b
a < b < a
C： b a a
a < a < b
D： b a a
a < b < a
(4) x
若函数 y = a −(b+1) (a > 0, a ≠ 1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有（ ）
A： a > 1，b > 0
B： 0 < a < 1，b < 0
C： 0 < a < 1，b > 0
D： a > 1，b > 1
例7 解下列不等式：
3x−1
（1）2 −2 > 0；
1 2
2 ( )x +2x−5
2x −3x+1
（2）2 < ．
2
例8 求下列函数的定义域和值域．
1
（1）y = 2 ；
3−x
x
2 +1
（2）y = ；
x
2 −1
x x
（3）y = 4 −2 +1；
√
1 1
( )x ( )x
（4）y = −3 +2．
4 2
例9 √
2
（1）若函数 y = 2 x −2ax−a −1的定义域为R，则实数a的取值范围是_________；（2）已知函数 y = 4 x −3⋅2 x +3，当其值域为 [1,7]时，x的取值范围是___________；
2x x
（3）函数 y = a +2a −1(a > 0, a ≠ 1)在区间 [−1,1]上有最大值14，则 a = _________．
例10 (1)判断下列函数的奇偶性．
x −x
a −a
①f(x) = (a > 0,a ≠ 1)；
2
( )
x
a +1 x
②f(x) = (a > 0,a ≠ 1)．
x
a −1
(2) x
4 1 2 3 2018
( ) ( ) ( ) ( )
已知 f(x) = ，则 f + f +f +⋯+ f 的值为____________．
x 2019 2019 2019 2019
4 +2
例11 x
a −1
（1）已知函数 f(x) = ，判断函数的单调性、奇偶性，并求f(x)的值域，画出函数的图象．
x
a +1
x
−2 +b
（2）已知定义域为R的函数 f(x) = 是奇函数,
x+1
2 +a
①求a，b的值；
②若对任意的 t ∈ R，不等式 f(t 2 −2t)+f (2t 2 −k) < 0恒成立，求k的取值范围．
例12 （1）已知 k ∈ R满足 3 k +4 k > 5 k ，求k的取值范围；
（2）已知a, b, c是三角形的三边长，a k +b k = c k ，求证：k < 0或 k > 1．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 5 讲 指数与指数函数
自我巩固答案
1(1) −(2k+1) −(2k−1) −2k
2 −2 +2 等于（ ）
A： −2k
2
B： −(2k−1)
2
C： −(2k+1)
−2
D： 2
(2) 1 1 1 1 1
( )( )( )( )( )
− − − − −
化简 1+2 1+2 1+2 1+2 1+2 ，结果是（ ）
32 16 8 4 2
A： 1
1
( )−1
−
1−2
32
2
B： 1
( )−1
−
1−2
32
C： 1
−
1−2
32
D： 1
1
( )
−
1−2
32
2
2 √
( )2
2
9− −a
（1）如果 的值为 0，那么 a = __________；
1
( 2 )
a −4a−5
2
x
4 1 2 3 2010
( ) ( ) ( ) ( )
（2）已知 f(x) = ，则 f + f +f +⋯+ f 的值为__________；
x 2011 2011 2011 2011
4 +2
1
（3）若函数 f(x) = a+ 是奇函数，则 a = _________．
x
4 −13 1
( )2x−1
（1）解不等式： > 8；
4
√
1
2x−1
（2）求函数 y = 3 − 的定义域．
9
4 1 1
（1）已知 x ∈ [−3,2]，则 f(x) = − +1的最大值为_______，最小值为________；
x x
4 2
x x−1
（2）函数 y = a 在 [0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数 y = 3a 在 [0,1]上的最大值是
___________．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 5 讲 指数与指数函数
课堂落实答案
1 (√ ) 4 (√ ) 4
3 √6 6 √3
9 9
a a 等于（ ）
A： 16
a
B： 8
a
C： 4
a
D： 2
a
2 2
函数 f(x) = x −bx+c 满足 f(1 + x) = f(1−x)且 f(0) = 3．
（1）求b和c的值；
( ) ( )
x x
（2）比较f b 与 f c 的大小．
3 a
x
函数 f(x) = a (a > 0，且 a ≠ 1)在区间 [1,2]上的最大值比最小值大 ，求a的值．
2思维突破 / 初三 / 暑假
第 6 讲 对数
例题练习题答案
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
1
4 −6
（1）5 = 625；（2）2 = ；
64
1
( )m 1
（3） = 5.73；（4）log 16 = −4；
3
2
（5）lg0.01 = −2；（6）ln10 = n．
例2 求下列各式中x的值．
2
（1）log x = ；（2）log 8 = 6；
64 x
3
1
√
x
（3）lg = x；（4）−ln e = 2．
100
例3 （1）对数式log (5−m)中m的取值范围是_________；
(m−2)
（2）已知log b 3 = 1，则 b =_________．
(3b+2)
例4 求下列各式的值．
3 1
（1）log 2+log −2log ；
6 6 6
4 2
2 3
lg3+ lg9+ lg√27−lg√3
3 5
（2） ；
lg81−lg27
lg√27+lg8−lg√1000
（3） ；
lg1.2( ) ( )
（4）log √2+√3+√5 +log √2−√5+√3 ；
24 24
32
2log 3
（5）2log 2−log +log 8−5 5 ；
3 3 3
9
3 3
（6）(lg2) +(lg5) +3lg2lg5．
例5 求下列各式的值．
（1）log 25×log 4×log 9；
2 3 5
( )( )
（2） log 3+log 3 log 2+log 2 ；
4 8 3 9
log 4 log 4
（3）27 3 +3 27 ；
（4）log 25×log 32；
8 125
1 1
( )lg3 ( )lg5
lg2
（5） + +(100) ；
10 100
1 4
log 25 2log
（6）3 4 ×3 16 ．
2 5
例6 （1）用lg2和lg3表示lg48、lg75；
( )
√3
4 2
x y z
（2）用log x，log y，log z 表示log ；
a a a a
√
3
xyz
（3）已知log 7 = a，log 5 = b，试用 a、b 表示log 28；
14 14 35
（4）已知a = log 3，b = log 5，试用 a、b 表示log 20；
2 3 15
（5）已知log 27 = a，试用a表示log 16．
6 18
例7 (1) 1 1
a b
若2 = 5 = 10，则 + = _________；
a b
(2) 1 2 1
若 + = ，且2 a = 5 b = k，则 k =_________；
a b 2
(3) 1 1 1
设x,y,z ∈ (0, +∞)且3 x = 4 y = 6 Z ，求证： + = ；
x 2y z(4) 1 1 1 1
设正整数a，b，c(a ≤ b ≤ c)和实数x，y，z，ω满足：a x = b y = c z = 30 ω 且 + + = ，
x y z ω
则abc = _________；
(5) 1 1
若正数a，b满足2+log a = 3+log b = log (a+b)，则 + = _________．
2 3 6
a b
例8 1 1
( )α ( )β
（1）已知方程x 2 +xlog 6+log 3 = 0的两个实数根为α，β，则 ⋅ 等于_________；
2 2
4 4
（2）如果方程lg 2 x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3 = 0的两根为x ，x ，那么x x 的值为_________；
1 2 1 2
（3）2 2019 的十进制表示是个m位数，5 2019 的十进制表示是个n位数，则m+n = _________．
例9 解下列方程．
（1）2log
√x
5−3log
25
x = 1；
lg 2 x lgx ( 2 )
（）10 ⋅x = 100，其中 lg x = (lgx)⋅(lgx) ；
( )
x
（3）x+log 2 −31 = 5；
2
lgx 1+lgx 1+lgx 1+lgx
（4）5 −3 = 3 −5 ；
1
( ) ( )
−x −x+1
（5）log 2 −1 log 2 −2 = −2；
2
2
（6）lg(8x)−lg[x]−1 = 0（[x]为不超过x的最大整数）．
例10 （1）已知[x]表示不超过x的最大整数．
①求[lg1]+[lg2]+⋯+[lg100]的值；
1 1 1
[ ] [ ] [ ]
②求[lg2]+[lg3]+⋯+[lg2019]+ lg + lg +⋯+ lg 的值．
2 3 2019
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x 0 1 2 10
（2）函数f(x)满足f 5 = 2xlog 5+31，求f 2 +f 2 +f 2 +⋯+f 2 的值．
2
思维突破 / 初三 / 暑假第 6 讲 对数
自我巩固答案
1 计算（化简）下列各式．
1 1 1
（1）log ×log ×log ；
2 3 5
25 8 9
( )( )
（2） log 5+log 0.2 log 2+log 0.5 ；
2 4 5 25
2 2
log (2−√3) log (2+√3)
（3）2 4 +3 9 ；
2 2
（4）lg 5+2lg2−lg 2．
2 （1）若log 3 = p，log 5 = q，那么lg5 = ______（用p，q表示）；
8 3
b
（2）已知log 9 = a，18 = 5，那么log 45 = ______（用a，b表示）．
18 36
3 1−log a
1 lgb ab
① ；② ；③log √a；④log nb n ；⑤ ；⑥log c⋅log b（a，b，c均为不等于1的
√b a a c
log a lga 1−log b
b ab
正数，且ab ≠ 1，n为正整数），其中与log b相等的有______．
a
4 b
( )2
2
已知lga，lgb是方程x −4x+1 = 0的两个根，求 lg 的值．
a
5 n n−1 n−2
已知a = lg2，b = lg5，求a +a b+a b+⋯+ab+b的值．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 6 讲 对数
课堂落实答案
1 （1）记a = lg2，b = lg3，则lg1.5 = ______；
1 1
（2）2 a = 5 b = m，且 + = 2，则 m =______．
a b2 化简下列各式．
3
√
2
（1）lg +lg70−lg3− lg 3−lg9+1；
7
√ 4 27 [ 1 2 ]
( )log 10
2
（2）log log 4 − ( 3√3 ) −7 log 7 2 ．
3 5 2 3
3
3 1−xy y−xy
（1）已知x = log a，y = log 2a，求证：2 = 3 ；
2a 3a
b a
（2）已知0 < a < 1，b > 0，a = b ，求证：a = b．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 7 讲 对数函数
例题练习题答案
例1
(1)与函数y = x为同一个函数的是（ ）
A： √ 2
y = x
B： 2
x
y =
x
C： log x
y = a a
D： x
y = log a
a
(2) 4 3 1
图中的曲线是y = log x的图象，已知a的值为√2， ， ， ，则相应的曲线C ，C ，C ，
a 1 2 3
3 10 5
C 的a依次为（ ）
4A： 4 1 3
√2， ， ，
3 5 10
B： 4 3 1
√2， ， ，
3 10 5
C： 1 3 4
， ， ，√2
5 10 3
D： 4 1 3
，√2， ，
3 5 10
(3)函数y = log (ax−2a) (a > 0且a ≠ 1) 恒过定点______．
a
例2 求下列函数定义域．
1
( )
2
（1）y = log x −3x+2 ；
2
√
( )
2
（2）y = log 4x −3x ；
0.5
√
2
x −4
（3）y = ；
( )
2
lg x +2x−3
( )
x
（4）y = log 32−4 ．
(2x+1)
例3 比较下列数值的大小．
0.9
（1）log 0.8，log 0.9，1.1 ；
0.7 1.1
( )
（2）log 3，log 2，log log 2 ；
2 3 2 3（3）log 0.1，log 0.6，log 0.3，log 3；
0.2 0.2 0.04 5
1
（4） ，2log 2，2−log 10，log 256；
5 5 125
2lg5
（5）已知0 < b < a < 1，比较log 2，log 2，0的大小；
a b
1 1 1 1
（6）设S = + + + ，则不超过S且与S最为接近的整数是______．
1 1 1 1
log π log π log π log π
2 3 5 7
例4 求下列函数的值域.
1
( )
2
（1）y = log x −4x+7 ；
3
1( 1 )
（2）y = log ；
2
2 x −2x+5
1
√
2
（3）y = log 3−2x−x ；
2
x x
（4）y = log ⋅log ( 2√2 ≤ x ≤ 8 ) ．
2 2
2 4
例5 [ 2 ]
已知函数f(x) = lg mx +2(m+1)x+9m+4 ．
（1）若此函数的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若此函数的值域为R，求实数m的取值范围．
例6 ( 2 )
（1）函数y = lg 12−4x−x 的增区间是______；
1
( )
2
（2）函数f(x) = log −x +x+2 的单调增区间为______；
2
1
（3）函数y = −log (−x)的减区间是______；
2
2
（4）函数f(x) = 2(lnx) −lnx+1的减区间是______；
（5）已知函数f(x) = log ( x 2 −mx+6 ) 在(−∞,2]上单调递减，则m的取值范围是______．
7例7 （1）已知f(x) = log ( 2−a x ) 在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是______；
a
1 1
( )
（2）设x ∈ [2,8]，函数f(x) = log (ax)⋅log a 2 x 的最大值是1，最小值是− ，求a的值；
a a
2 8
2 2 2
（3）已知1 ≤ x ≤ 10，且xy = 100，求(lgx) +(lgy) 的最大值和最小值，并指出取最大值和最小值
时，相应的x和y的值．
例8 判断下列函数的奇偶性．
1−x
（1）y = lg ；
1+x
x
( )
x
（2）y = ln e +1 − ；
2
(√ )
2
（3）y = lg x +1−x ．
例9 求下列函数的反函数．
（1）y = x 3 +1(x ∈ R)；
2x+3
（2）y = (x ≠ 1)；
x−1
x −x
e −e
（3）y = (x ∈ R)；
2
(√ )
（4）y = ln x 2 +1−x (x ∈ R)；
x
e +1
（5）y = (x ∈ (1, +∞))；
x
e −1
x−1
（6）y = lg ．
x+1
例10 已知函数f(x) = log ( a x −1 ) (a > 0且a ≠ 1)．
a
（1）求此函数f(x)的定义域；
（2）讨论f(x)的单调性；
−1
（3）解不等式f(2x) > f (x)．例11 (√ ) (√ )
2 2
（1）解方程lg x +1−x +lg 4x +1−2x −3x = 0；
（2）设 a，b 分别是方程log x+x−3 = 0和2 x +x−3 = 0的根，求a+b及log a+2 b ．
2 2
思维突破 / 初三 / 暑假
第 7 讲 对数函数
自我巩固答案
1 求下列函数的定义域：
1
(√ √ )
2 2
（1）f(x) = ln x −3x+2+ −x −3x+4 ；
x
√|x−2|−1
（2）f(x) = ．
log (x−1)
2
2 求下列函数的值域：
( )2
（1）y = log x −log (4x)；
2 2
1 1
2 2
（2）y = log x−log x +5(2 ≤ x ≤ 4)．
4 4
3
(1) 1
1
( ) 1
若a ∈ 0, ，则a a ，log a，a 之间的大小关系______．
2
2
2
| |
(2)若函数f(x) = log x ，其中0 < a < 1，则下列各式中成立的是（ ）
a
A： 1 1
( ) ( )
f > f(2) > f
3 4B： 1 1
( ) ( )
f > f > f(2)
4 3
C： 1 1
( ) ( )
f(2) > f > f
3 4
D： 1 1
( ) ( )
f > f(2) > f
4 3
4 1 1
( )
2
（1）如果log a +1 ≤ log 2a，求a的取值范围；
2a+ 2a+
2 2
（2）若函数y = −log ( x 2 −ax−a ) 在区间 ( −∞,1−√3 ) 上是增函数，求a的取值范围．
2
5 1 x x
1 ( )( )
若−3 ≤ log x ≤ − ，求函数y = log log 的最大值与最小值及相应的x．
2 2
2 2 4
2
思维突破 / 初三 / 暑假
第 7 讲 对数函数
课堂落实答案
1
(1) 1 ( 1 )0.3
设a = log 3，b = ，c = lnπ，则（ ）
3
2
A： a < b < c
B： a < c < b
C： c < a < b
D： b < a < c
(2)函数y = lg√1−lg(x+2)的定义域为（ ）A： (0,8]
B： (2,8]
C： (−2,8)
D： [8，+∞)
2 1
( )
2
求函数y = log x −6x+17 的值域．
2
3 ( √ )
2
已知f(x) = log x+ x +1 ，其中a > 1．
a
−1
（1）求出f(x)的反函数f (x)；
( )
（2）若实数m满足f −1 (1−m)+f −1 1−m 2 < 0，求 m 的取值范围．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 8 讲 幂函数与函数零点
例题练习题答案
例1 在同一直角坐标系中依次画出下列函数的图象．
3 1 2 1
−2 −3 −
（1）y = x ；（2）y = x ；（3）y = x ；（4）y = x ；（5）y = x ；（6）y = x ．
2 3 3 2例2 √2
( )
（1）已知幂函数y = f(x)的图象过点 2, ，此函数的解析式为_______________；
2
( ) 2
2 m −2m−1
（2）已知函数y = m −m−1 x 是幂函数，则m = _______________；
2
（3）已知函数y = x n −2n−3 (n ∈ Z)的图象与两坐标轴均无公共点，且其图象关于原点对称，则
n = _______________．
例3 比较下列数值的大小．
6 6
（1）0.6 ，0.7 ；
11 11
5 5
（2）(−0.88) ，(−0.89) ；
3 3
1 1 1
（3）2 ，3 ，6 ；
2 3 6
a
（4）a，a a ，a a (0 < a < 1)．
例4 1 1
0
（1）求函数y = x +x −(x−3) 的定义域；
2 3
( ) 2
（2）讨论k的取值范围，求函数y = k 2 +k x k −2k−3 (x > 0)的单调性；1 1
（3）已知(a+1) − < (3−2a) − ，求a的取值范围．
3 3
例5 已知函数f(x)的图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点．
x −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
f(x) −3.52 1.02 2.37 1.56 −0.38 1.23 2.77 3.45 4.89
例6
(1)函数f(x) = lnx+2x−6的零点位于区间（ ）
A： (1,2)
B： (2,3)
C： (3,4)
D： (4,5)
(2) 1
( )x
3
函数f(x) = x − 的零点在区间（ ）
2
A： (−1,0)
B： (0,1)
C： (1,2)
D： (2,3)
例7 1
（1）y = 的图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的图象的解析式为
x
_______________；
1
（2）y = 的图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的图象的解析式为
2x
_______________；（3）y = log 3x的图象向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度后的图象的解析式为
2
_______________；
2x−5 1
（4）y = 的图象向_______________________得到y = 的图象．
2x−6 2x
例8 作出下列函数的图象．
2x−1
（1）y = ；
x+1
2
（2）y = x −2|x|−3；
|x|,|x| > 1
{
（3）y = ．
2−|x|,|x| ≤ 1
例9 以a，b，c依次表示方程2 x +x = 1，2 x +x = 2，3 x +x = 2的解，则a，b，c的大小关系是（ ）
A： c < b < a
B： a < b < c
C： a < c < b
D： c < a < b
| |
例10 （1）函数f(x) = log (2−x) 的单调递增区间为_______________；
2
| |
（2）若关于x的方程 2 x −1 = a有两个解，则a的取值范围为_______________．
例11 2
{
,x ≥ 2
（1）已知函数f(x) = x ，若关于x的方程f(x) = k有两个不同的实根，则实数k的取值
3
(x−1) ,x < 2
范围是_______________；
1
{
,x < 0
x 1
（2）若函数f(x) = ，则不等式|f(x)| ≥ 的解集为_______________；
1 3
( )x
,x ≥ 0
3|lgx|,0 < x < 10
{
（3）设函数f(x) = 1 ，若a，b，c是三个不相等的实数，且f(a) = f(b) = f(c)，则
− x+6,x ≥ 10
2
abc的取值范围是_______________．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 8 讲 幂函数与函数零点
自我巩固答案
1 3 2
已知函数f(x) = ax +bx +cx+d的图象如图所示，则（ ）
A： b ∈ (−∞,0)
B： b ∈ (0,1)
C： b ∈ (1,2)
D： b ∈ (2, +∞)
2 若函数f(x) = x+a与函数g(x) = bx 2 +ax+3有一个相同的零点2，求函数y = √ax+b的定义域．
3 若(m+1) −1 < (3−2m) −1 ，试求实数m的取值范围．
4 2
{
,x ≥ 2
x
已知函数f(x) = ．
3
(x−1) ,x < 2
（1）若方程|f(x)| = a有且只有一个实根，则a的取值范围是________________；（2）若方程|f(x)| = a有两个不同的实根，则a的取值范围是________________；
（3）若方程|f(x)| = a有三个不同的实根，则a的取值范围是________________．
5 ( ) 2
设m ∈ N ，已知函数f(x) = 2m−m 2 x 2m +3m−4 在(0, +∞)上是增函数．
+
（1）求函数f(x)的解析式；
2 2
[f(x)] +λ
（2）设g(x) = （常数λ ≠ 0），试讨论g(x)在(−∞,0)上的单调性，并求g(x)在区间
f(x)
(−∞,0)上的最值．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 8 讲 幂函数与函数零点
课堂落实答案
1 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(−∞,0]上是减函数，且一个零点是2，则使得xf(x) < 0的x的取
值范围是__________________．
2 3
若函数f(x) =
(
mx 2 +4x+m+2
)−
+
(
x 2 −mx+1
)0
的定义域为R，求实数m的取值范围．
4
3 1
( )
已知函数f(x) = x (n = 2k,k ∈ Z)在[0, +∞)上单调递增，解不等式f x 2 −x > f(x+3)．
2
−n +2n+3
思维突破 / 初三 / 暑假
第 9 讲 任意角的三角函数
例题练习题答案
例1
在
( 0∘,360∘)
的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．（1）−150∘；（2）650∘；（3）−950∘15 ′ ；（4）1081∘54 ′ ．
例2 如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
①终边落在射线OM上；
②终边落在直线ON上；
③终边落在阴影区域内（含边界）．
例3 判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）第一象限的角小于第二象限的角；
（2）小于90∘的角一定是锐角；
（3）若α ∈
[ 90∘,180∘]
，则α是第二象限角．
例4 回答下列问题．
（1）如果α是第一象限角，α+90∘是第几象限角？90∘ −α是第几象限角？
α α
（2）如果α是第二象限角， 可能是第几象限角？ 可能是第几象限角？
2 3
例5 完成下面角的角度数与弧度数的转化表，并说明该角是第几象限角．
角度制 0∘ 120∘
π π π π
弧度制
6 4 3 2
象限
角度制 135∘ 150∘ −67∘30 ′弧度制 π 13π 5
−
5
象限
例6 π
{ | }
已知θ ∈ α α = kπ+(−1) k ⋅ ,k ∈ Z ，判断角θ所在的象限．
4
例7
(1) kπ π kπ
{ | } { | }
集合M = x x = + ,k ∈ Z 与集合P = x x = ,k ∈ Z 的关系是（ ）
2 4 4
A： M ⫋ P
B： M ⫌ P
C： M = P
D： M∩P = ∅
(2) π π π π
{ | } { | }
已知集合A = x kπ+ ≤ x ≤ kπ+ ,k ∈ Z ，集合B = x − +2kπ ≤ x ≤ 2kπ+ ,k ∈ Z
6 2 4 4
( )
，则B∩ C A = __________________；
R
(3) 2π
已知扇形半径为5，圆心角为 ，则这个扇形的周长为__________________，面积为
3
__________________；
(4)一个扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为__________________．
例8 完成下面一些特殊角的三角函数表．
π π π π
角α 0
6 4 3 2
sinαcosα
tanα
5π
角α 120∘ 135∘ 150∘ π
3
sinα
cosα
tanα
例9 （1）已知角α的终边经过点P(2a, −a)(a ≠ 0)，求角α的正弦值、余弦值和正切值；
17 14 23
( ) ( ) ( )
（2）判断下面三角函数的符号：sin − π ，cos − π 和tan π ．
3 5 6
例10
(1) sinx |cosx| tanx |cotx|
函数y = + + + 的值域是（ ）
|sinx| cosx |tanx| cotx
A： {−2,4}
B： {−2,0,4}
C： {−2,0,2,4}
D： {−4, −2,0,4}
(2)
求
[ sin1∘]
+
[ sin2∘]
+
[ sin3∘]
+⋯+
[ sin2019∘]
．
例11 （1）设sin2θ < 0，问tanθ是正数还是负数？
（2）设sin2θ > 0，cosθ < 0，问θ的终边位于第几象限？
1
( )sinθ
cosθ
（3）已知 < 1，且2 < 1，问θ是第几象限角？
2例12 解方程：
（1）cosx = 0；
（2）tanx = 1；
1
（3）sinx = − (0 ≤ x < 2π)；
2
1
（4）sinx ≤ ；
2
（5）sinx > cosx．
例13 已知θ为锐角，求证：
π
（1）sinθ+cosθ < ；
2
（2）sinθ < θ < tanθ．
例14
(1) 1
已知cosα = 且tanα < 0，则sinα = __________________；
5
(2) 2 2
已知tanθ = 2，则sin θ+sinθcosθ−2cos θ = __________________；
(3) √3+1 π π
已知sinα+cosα = 且 < α < ，则α = __________________；
2 4 2
(4) sinα+cosα 3sinα−cosα
已知 = 2，那么 = __________________；
sinα−cosα 2sinα+3cosα
(5) sinα 1+cosα
证明 = ．
1−cosα sinα
例15 化简：4 4
1−sin α−cos α
（1） ；
6 6
1−sin α−cos α
√
（2） 1−sin 2 100∘．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 9 讲 任意角的三角函数
自我巩固答案
1 根据条件计算问题．
π π 1 π π π
2 2
（1）cos −sin + tan sin +cos = ______________；
3 4 3 3 6 6
( )
（2）直角坐标系中，终边过点 1, −√3 的所有角组成的集合为______________；
（3）经过12分钟，时钟的分针转过的角度为______________．
2 α
α是第二象限角，则 的终边（ ）
3
A： 不可能在第一象限
B： 不可能在第二象限
C： 不可能在第三象限
D： 不可能在第四象限
3 mπ nπ
{ | } { | }
已知集合A = α α = ,m ∈ Z ，集合B = β β = ,n ∈ Z ，求A∩B．
3 4
4 2(cosα−sinα) cosα sinα
证明： = − ．
1+sinα+cosα 1+sinα 1+cosα5 4 4 4 4
cos α sin α cos β sin β
已知 + = 1，求 + 的值．
2 2 2 2
cos β sin β cos α sin α
思维突破 / 初三 / 暑假
第 9 讲 任意角的三角函数
课堂落实答案
1 分别写出满足以下条件的角的集合．
（1）终边位于y轴非负半轴上的角；
（2）终边位于象限的角平分线上的角；
（3）终边落在阴影区域的角（如图）．
2 已知角α的终边在直线y = −3x上，求α的正弦值、余弦值和正切值．
3 2 2 4
已知sinx+sin x = 1，则cos x+cos x = ____________________．
思维突破 / 初三 / 暑假
第 10 讲 诱导公式与三角函数图象与性质
例题练习题答案
例1 计算：
（1）cos315∘ +sin ( −30∘) +sin225∘ +cos480∘；π 2π 3π 4π
（2）cos +cos +cos +cos ；
5 5 5 5
（3）tan10∘ +tan170∘ +sin1866∘ −sin ( −606∘) ；
√
1−2sin100∘cos280∘
（4） ．
√
cos370∘ − 1−cos 2 170∘
例2 化简：
2
sin (α+π)cos(π+α)
（1） ；
3
tan(−α−π)cos (−α−π)tan(π−α)
sin(nπ+α)
（2） ，其中n ∈ Z．
cos(nπ+α)
例3 3π
( )
sin(π−α)cos(2π−α)tan −α+
2
已知f(α) = ，
3π
( )
tan −α− sin(−π−α)
2
（1）化简f(α)；
3π 1
( )
（2）若cos α− = ，求f(α)的值；
2 5
（3）若α = −1860∘，求f(α)的值．
例4 对于任意的x ∈ R，2f(sinx)+3f(cosx) = sin 2 xcos 2 x，则函数f(x)的解析式是f(x) = ____________．
例5 求下列函数的定义域、值域：
（1）y = 2−sinx；
（2）y = √1−2sinx；
（3）y = lg(sinx)；
（4）y = √cosx−1+√tanx；
（5）y = ln(sinx−tanx)；
（6）y = √sin(cosx)．例6 已知函数f(x) = sinx的定义域是(t,t+π)(t ∈ R)，则此函数（ ）
A： 既有最大值也有最小值
B： 有最大值而没有最小值
C： 有最小值而没有最大值
D： 可能既没有最大值也没有最小值
例7 关于x的方程sin 2 x+4msinx+3−m = 0总有解，则m的取值范围为____________．
例8 判断下列函数的奇偶性．
2
1+sinx−cos x
（1）y = ；
1+sinx
π
( )
3
（2）y = cos +x −x sinx；
2
3
（3）f(x) = xtan2x+x ；
1
（4）f(x) = +2；
tan|x|
（5）y = cos(sinx)；
( √ )
2
（6）y = lg tanx+ 1+tan x ．
例9 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1) = −f(x)且在x ∈ [−3, −2]上是减函数，α，β是锐角三角形的两
个内角满足α < β，则下列不等式正确的是__________．
①f(cosα) > f(cosβ)；
②f(sinα) > f(sinβ)；
③f(sinα) < f(cosβ)；
④f(sinα) > f(cosβ)．
例10 方程lgx = cosx的实数根的个数是__________．
例11 设f(x) = msin ( πx+a ) +ncos ( πx+a ) ，其中m，n，a ，a 都是非零实数，若f(2018) = 1，则
1 2 1 2
f(2019) = __________．例12 3
如果锐角θ满足log sinθ = − ，求log cosθ的值．
(tanθ+cotθ) tanθ
4
例13 7
( )
已知定义在(−∞,4]上的减函数f(x)使得f(m−sinx) ≤ f √1+2m− +cos 2 x 对于一切实数x均成立，
4
求实数m的取值范围．
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第 10 讲 诱导公式与三角函数图象与性质
自我巩固答案
1 π
( )
已知α为锐角，2tan(π−α)−3cos +β +5 = 0，tan(π+α)+6sin(π+β)−1 = 0，则sinα =
2
__________．
2 √2 π
( )
已知sin(π−α)−cos(π+α) = < α < π ，求值：
3 2
（1）sinα−cosα；
3 3
（2）sin (2π−α)+cos (2π−α)．
3 当x > 0时，不等式sinωx > kx的解集是{x|0 < x < 4}，那么不等式sinωx < kx在R上的解集是
__________．
4 （1）比较tan3与tan8的大小；
2sinx+1
（2）求函数y = 的值域．
2sinx−1
5
(1)根据正弦函数的图象得使不等式√2+2sinx ≤ 0，x ∈ R成立的x的取值集合为（ ）A： 3π π
[ ]
− , −
4 4
B： π 3π
[ ]
,
4 4
C： 3π π
[ ]
− +2kπ, − +2kπ
4 4
D： π 3π
[ ]
+2kπ, +2kπ
4 4
(2)下列函数中，不是奇函数的是（ ）
A： y = sinx+tanx
B： y = xtanx−1
C： sinx−tanx
y =
1+cosx
D： 1−tanx
y = lg
1+tanx
6 π
2
已知|x| ≤ ，求函数y = cos x+sinx的最小值．
4
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第 10 讲 诱导公式与三角函数图象与性质
课堂落实答案
1 π √3 5π
( ) ( )
已知cos +x = ，求cos −x 的值．
6 3 62 1
已知函数f(x) = log |sinx|．
2
（1）求其定义域和值域；
（2）判断奇偶性；
（3）判断周期性，若为周期函数，求出它的最小正周期；
（4）写出单调区间．
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第 11 讲 正弦型函数的图象与性质
例题练习题答案
例1
(1) π
( )
要得到函数y = sin 2x− 的图象，只要将函数y = sin2x的图象（ ）
4
A： π
向左平移 个单位
4
B： π
向右平移 个单位
4
C： π
向右平移 个单位
8
D： π
向左平移 个单位
8
(2) π
将函数y = sinx的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到
10
原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）A： π
( )
y = sin 2x−
10
B： π
( )
y = sin 2x−
5
C： 1 π
( )
y = sin x−
2 10
D： 1 π
( )
y = sin x−
2 5
(3) π
( )
要得到y = cos 2x− 的图象，只需将y = sin2x的图象（ ）
4
A： π
向左平移 个单位
8
B： π
向右平移 个单位
8
C： π
向左平移 个单位
4
D： π
向右平移 个单位
4
例2 π π
( ) ( )
在同一直角坐标系中选定一个区间，作出四个函数y = sin2x，y = sin x+ ，y = sin x− ，
6 3
π
( )
y = sin 2x+ 的图象如下，请指出各曲线分别对应哪个函数．
3例3 π
( )
试给出两种方法将函数y = sinx的图象变换为函数y = 2sin 2x+ 的图象．
3
例4 求下列函数的最值，并写出取得最值时的自变量x的集合．
x π
( )
（1）y = 2sin + ；
3 3
π
( )
（2）y = 2sin 3x+ +1；
4
π π π
( ) [ ]
（3）y = 2sin 2x− ，x ∈ − , ；
3 4 4
1 π 3π π
( ) [ ]
（4）y = 2sin x+ ，x ∈ − , ．
2 3 2 2
例5 1 π 3
( )
已知函数f(x) = sin 2x+ + ．
3 3 2
（1）求f(x)的最小正周期及单调区间；
（2）求f(x)的图象的对称轴和对称中心．
例6 （1）函数y = sinωx(ω > 0)在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是
_________________；
（2）函数y = sinωx(ω > 0)在区间[1,2]上有且仅有1个点处取得最小值−1，则ω的取值范围是
_________________．
例7 π π
( )
( ) ( ) | |
设函数f(x) = 2sin x+ ，若对任意x ∈ R，都有f x ≤ f(x) ≤ f x 成立，则 x −x 的最小值
1 2 1 2
2 5
为（ ）
A： 4
B： 2
C： 1D： 1
2
例8 4π
( )
（1）如果函数y = 3sin(2x+φ)的图象关于点 ,0 中心对称，那么|φ|的最小值为
3
_________________；
4π
( )
（2）把函数y = sin x+ 的图象向右平移ϕ个单位，所得到的图象正好关于y轴对称，则ϕ的最
3
小正值是_________________；
π π
[ ]
（3）设函数f(x) = Asin(ωx+φ)（A，ω，φ是常数，A > 0，ω > 0）．若f(x)在区间 , 上具有单
6 2
π 2π π
( ) ( ) ( )
调性，且f = f = −f ，则f(x)的最小正周期为_________________；
2 3 6
π 2π
[ ] [ ]
（4）若函数f(x) = sinωx在区间 0, 上单调递增，在区间 ,π 上单调递减，则ω的取值范围为
3 3
_________________．
例9 π
已知函数f(x) = Asin(ωx+φ)（A > 0，ω > 0，|φ| < ）的图象如图所示．
2
（1）求出f(x)的解析式；
（2）求出x 的值．
0例10 3π
( )
已知函数f(x) = sin(ωx+φ)（ω > 0，0 ≤ φ ≤ π）是R上的偶函数，其图象关于点M ,0 对称，且
4
π
[ ]
在区间 0, 上是单调函数，求ω和φ的值．
2
例11 nπ
已知f(n) = sin ．
6
（1）求f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(102)的值；
（2）求f(1)f(3)f(5)⋯f(101)的值．
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第 11 讲 正弦型函数的图象与性质
自我巩固答案
1 函数f(x) = Asin(ωx+φ)的图象如下图所示．试依图指出：
（1）f(x)的最小正周期；
（2）使f(x) = 0的x的取值集合；
（3）使f(x) < 0的x的取值集合；
（4）f(x)的单调递增区间和递减区间；
（5）求使f(x)取最小值的x的集合；
（6）图象的对称轴和对称中心．2 （1）已知f(x) = sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，求f(x)的解析式，其中φ取使|φ|最小的值；
1 π
（2）将函数cosx横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位得到g(x)，求出g(x)的解析式；
2 12
（3）证明图中即为g(x)的部分图象．
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第 12 讲 阶段自检
期末试卷答案
1 已知集合A = {−1,1}，B = {x|mx = 1}，且A∪B = A，则m的值为（ ）
A： 1
B： −1
C： 1或−1
D： 1或−1或0
2 已知命题p：∃x ∈ R，x−2 > lgx，命题q：∀x ∈ R，x 2 > 0，则（ ）
A： 命题p∨q是假命题
B： 命题p∧q是真命题
C： 命题p∨(¬q)是假命题
D： 命题p∧(¬q)是真命题
3 2
已知y = f(x)是定义在R上的奇函数，当x ≥ 0时，f(x) = x −2x，则在R上，f(x)的解析式为（ ）A： x(x−2)
B： x(|x|−2)
C： |x|(x−2)
D： |x|(|x|−2)
4 2
若log < 1，则a的取值范围为（ ）
a
3
A： 2
( )
0,
3
B： 2
( )
, +∞
3
C： 2
( )
,1
3
D： 2
( )
0, ∪(1, +∞)
3
5 奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，若f(−1) = 0，则不等式f(x) < 0的解集是（ ）
A： (−∞, −1)∪(0,1)
B： (−∞, −1)∪(1, +∞)
C： (−1,0)∪(0,1)
D： (−1,0)∪(1, +∞)
6 给出下列三个等式：f(xy) = f(x)+f(y)，f(x+y) = f(x)f(y)，f(x+y) = f(x)+f(y)，下列函数中不满足
其中任何一个的函数是（ ）
A： x
f(x) = 3
B： f(x) = 3x
C： f(x) = log x
3D： 1
f(x) =
x
7 π
( )
为得到函数y = cos x+ 的图象只需将函数y = sinx的图象（ ）
3
A： π
向左平移 个单位长度
6
B： π
向右平移 个单位长度
6
C： 5π
向左平移 个单位长度
6
D： 5π
向右平移 个单位长度
6
8 π
( )
函数f(x) = 3sin 2x− 图象为C．
3
11π
①图象C关于直线x = 对称；
12
π 5π
( )
②函数f(x)在区间 − , 内是增函数；
12 12
π
③由y = 3sin2x的图象向右平移 个单位长度可得图象C．
3
以上三个论断中正确的个数为（ ）
A： 0
B： 1
C： 2
D： 39 1
已 知 函 数 f(x) = − 的 定 义 域 为 M ， g(x) = ln(1+x) 的 定 义 域 为 N ， 则 M∩N =
√1−x
_________________．
10 1
1
( )
log 5 −log 2
计算log 2+log 1−log + 3 3 +3 3 = _________________．
2 6
27
3
11 设奇函数f(x)的定义域为[−5,5]，若当x ∈ [0,5]时，f(x)的图象如下图，则不等式xf(x) < 0的解集是
_________．
12 1
( )
2
函数f(x) = log 6−x−x 的单调递增区间是_________________．
3
13 x
4 −b
( )
x
设f(x) = lg 10 +1 +ax是偶函数，g(x) = 是奇函数，那么a+b的值是_________________．
x
2
14 π
将函数y = sinx的图象向左平移 个单位，然后横坐标扩大到原来的2倍，则所得函数的图象解析式
3
为_________________．
15 π π π
( ) ( ) ( )
若函数f(x) = sin(ωx+φ)(ω > 0)在 0, 上单调递增，且f +f = 0，f(0) = −1，则ω =
3 6 3
________．
16 函数f(x) = a x +log (x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为_________________．
a17 1(−1 < x ≤ 0)
{
定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 f(x+1) = −f(x) ， 且 f(x) = ， 则 f(3) =
−1(0 < x ≤ 1)
_________________．
18 x 3π 1
( )
在同一平面直角坐标系中，函数y = cos + ，x ∈ [0,2π]，与直线y = 交点个数为
2 2 2
_________________．
19 { | 2 }
已知集合P = {x|a+1 ≤ x ≤ 2a+1}，Q = x x −3x ≤ 0 ．
( )
（1）若a = 3，求 C P ∩Q；
R
（2）若P ⊆ Q，求a的取值范围．
20 π
( )
已知函数f(x) = 2sin 2x− +2．
6
（1）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
π
[ ]
（2）求f(x)在 0, 上的最值及取最值时x的值．
2
21 已知二次函数f(x)满足f(x+2) = f(−x+2)，且f(0) = 3，f(2) = 1．
（1）求函数f(x)的解析式；
( )
（2）若f 2 x 在[0,m]上的最大值为3，最小值为1，求m的值．
22 ax+b 1 2
( )
函数f(x) = 是定义在(−∞, +∞)上的奇函数，且f = ．
2 2 5
x +1
（1）求实数a，b，并确定函数f(x)的解析式；
（2）用定义证明f(x)在(−1,1)上是增函数；
（3）写出f(x)的单调减区间，并判断f(x)有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本
小问不需说明理由）
23 f(x)(x ≥ 0)
{
已知函数f(x) = ax 2 +bx+1（a，b为实数），x ∈ R，F(x) = ．
−f(x)(x < 0)
（1）若f(−1) = 0，并且函数f(x)的值域为[0, +∞)，求函数F(x)的表达式；（2）在（1）的条件下，当x ∈ [−2,2]时，g(x) = f(x)−kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn < 0，m+n > 0，a > 0，且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否恒大于0．
24 已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件：
①对任意的x ∈ [0,1]，总有f(x) ≥ 0；
②f(1) = 1；
( ) ( ) ( )
③若x ≥ 0，x ≥ 0，且x +x ≤ 1，则有f x +x ≥ f x +f x 成立，并且称f(x)为“友谊函
1 2 1 2 1 2 1 2
数”．
请解答下列问题：
（1）若已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值；
x
（2）函数g(x) = 2 −1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？并给出理由；
( ) [ ( )]
（3）已知f(x)为“友谊函数”，假定存在x ∈ [0,1]，使得f x ∈ [0,1]且f f x = x ，求证：
0 0 0 0
( )
f x = x ．
0 0
