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思维突破 / 初一 / 秋季
第 1 讲 实数
例题练习题答案
例1 求下列各数的平方根：
32
（1）0.0025；（2）121； （3） ； （4）0.0289．
例2 求下列各数的立方根：
8
−
（1）343；（2）2.744； （3） ； （4）1331．
3375
例3 判断下列说法是否正确：
( 1 ) 一个数的算术平方根，就是它非负的那个平方根；
–
√9
( 2 ) 的算术平方根是3；
−−−−
x √3 −x3
( 3 ) 对于任意实数 ， 一定没有意义；
−−−−
x √−x2
( 4 ) 对于任意实数 ， 一定没有意义；
−−−−−
√(−3)2 = −3
( 5 ) ；
5 25
( 6 )
是 的一个平方根；
6 36
( 7 ) 0的平方根和算术平方根都是0；
(−4)2 −4
( 8 ) 的平方根是 ；
±4
( 9 ) 是64的立方根；
( 10 ) 所有数都只有一个立方根；
√3 −− a = √3 b a = b
( 11 ) 若 ，则 ；
( 12 ) 一个数的某个平方根恰好与它的立方根相等，这个数一定是0．
例4 （1）81的平方根是__________；
（2）81的算术平方根是__________；
−−
√81
（3） 的平方根是_____________；
−−
√81
（4） 的算术平方根是____________；
（5）81的算术平方根的平方根是____________；
（6）81的算术平方根的算术平方根是___________；（7）平方根等于本身的数有___________；
（8）立方根等于本身的数有___________；
（9）算术平方根等于本身的数有_________．
5a−1 3b+2 2b−12 a−2b
例5 的平方根分别是 和 ，求 的平方根．
−−
例6 已知 2a−1 的平方根是 ±3 ， 3a+b−1 的立方根是 −2 ，c是 √57 的整数部分，求
2a−b−c
的平方根．
−−−−−−−
√b−2014+|b−2013| = b b−20132
例7 已知： ，求 的算术平方根．
例8 试判断下列哪些是无理数：
1 – –
√2 −π √3+1
3.14， ， ， ，3.01001000100001…， ．
π
例9 判断下列说法是否正确：
−−
√a
( 1 ) 形如 的数都是无理数；
−−
√a
( 2 ) 无理数一定能写成 的形式；
( 3 ) 有理数与数轴上的点一一对应；
( 4 ) 实数中，只有0的绝对值和相反数相等．
例10 比较下列各数的大小：
−−−−−
−3 √3 (−4)3
（1） 和 ；
–
−3.5 −2√3
（2） 和 ；
−−− −−−−
√200 √3 3000
（3） 和 ；
– −−
3√2 √3 60
（4）4， 和 ．
–
√2
1 证明： 是无理数．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 1 讲 实数
自我巩固答案2 – −−−
˙˙
1 3.33333⋯ √3 0.423 −√256 −π
在3.14， ， ， ， ， ， 中，无理数有（ ）个．
5
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
2 下面说法中，正确的是（ ）
① 一个数的平方根就是它的算术平方根；
−−
√a < √b a < b
② 如果 ，那么 ；
③ 两个有理数进行四则混和运算，不可能得到无理数；
−−
√a
④ 无理数都可以写成 的形式．
A： ①④
B： ②③
C： ②③④
D： ①②③④
3 计算下列各数的算术平方根，其中正确的是（ ）
−−− −−−
−− 25 5 −−−−− ⋅ ⋅
√
√49 = 7 √ = √0.0169 = 0.0013 1.7 = 1.3
① ；② ；③ ；④ ．
81 9
A： ①②
B： ①②③
C： ①②④
D： ①②③④
4 计算下列各数的立方根，其中正确的是（ ）
−−−−−
−−− −−−−−− 125 5 −−−−−
√3 216 = 6 √3 −0.064 = −0.8 √3 − = − √3 35937 = 33
① ；② ；③ ；④ ．
729 9
A： ①②
B： ①②③C： ①③④
D： ①②③④
– – 2
5 √2 √3 1
， ， 的大小关系是（ ）
5
– – 2
A： √2 < √3 < 1
5
2 – –
B： 1 < √2 < √3
5
– 2 –
C： √2 < 1 < √3
5
– 2 –
D： √3 < 1 < √2
5
2a+3 5 −4b 2b−1 a+3b
6 的平方根分别是 和 ，则 的平方根为（ ）
±2
A：
B： 3
±3
C：
D： 9
– – – –
|1 −√2|+|√2−√3|+|2 −√3| =
7 化简 （ ）
−1
A：
–
2√3−3
B：
1
C：
–
3 −2√3
D：
8 一个正数扩大到原来的9倍，则它的算术平方根扩大到原来的___________．
9 比较下面各组数的大小：
−−
√65
（1） _____8；
– –
4√2 3√3
（2） ____ ；
−− –
√70 −1 √6+4
（3） ____ ；
−−
√3 26
（4） _____3．
−−−−−−− −−−−−−−−
√a−b−2 √2a−b−3 a+b =
10 已知 与 互为相反数，则 _______．思维突破 / 初一 / 秋季
第 1 讲 实数
课堂落实答案
1 判断：
( 1 ) 只有正数才有平方根； （ ）
−2
( 2 ) 是4的平方根； （ ）
–
√5
( 3 ) 5的平方根是 ； （ ）
–
±√3
( 4 ) 都是3的平方根； （ ）
(−2)2 −2
( 5 ) 的平方根是 ； （ ）
–
√9 ±3
( 6 ) 的平方根是 ． （ ）
2 7的平方根是_______________．
−−
√16
3 的算术平方根是_________________．
4 27的立方根是__________．
−− 2 –
5 π 4.02002000200⋯ √25 − −√2+1
在 ， ， ， ， ，11中，无理数有________个．
3
–
6 π ， √7 ，3.14这三个数从小到大的排列顺序为_______________．
−−−−− −−−−−
7 √3 (−2)3 √(−3)2 −1
， ， 这三个数从小到大的排列顺序为_______________．
−−−−−− −−−−
−−−−−
8 √3 −1000 +√(−20)2 +√|−4|3 =
__________．
−−−−−−− −−−−−−−
−−
9 已知
√a−b+6
与
√a+b−8
互为相反数，则
√a +b2 =
_________．
−−−−− −−−−−
10 已知
√x−1+√1 −x+1 = y
，则
x+y =
_________．
2a−3 2b−9 5 −b 4a−b
11 的平方根分别是 和 ，求 的平方根．思维突破 / 初一 / 秋季
第 2 讲 平面直角坐标系
例题练习题答案
例1 (1)如图所示，在平面直角坐标系中，A点坐标为________，
B点坐标为________，C点坐标为________，
D点坐标为________；
E(7,−4) F (−10,−9) G(−8,7)
(2)请在图上标出 、 和 的位置．
例2 （1）直角坐标系中，点 A(−2,−5) 到x轴的距离为_________，到y轴的距离为_________；
（2）点 P (x,y) 在第二象限，且点P到x轴、y轴的距离分别为3、7，则点P的坐标为_________；
（3）若点P的纵坐标为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为_________．
例3 (1)点 M (x−1,x+1) 在第三象限，则x的取值范围是__________．
A(5a−7,−6a−2) B(−a2,a+1)
(2)如果点 在第二、四象限的角平分线上，那么点 在
（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
(3)在平面直角坐标系中，点 P (3 ,−4) 到x轴的距离为（ ）A： 3
−3
B：
C： 4
−4
D：
(4)若点 P (a,b) 到x轴的距离是2，到 y 轴的距离是3，则这样的点P有（ ）
A： 1个
B： 4个
C： 3个
D： 2个
A(0,−1) B(0,−4) C x ABC 9
例4 在平面直角坐标系中，点 ，点 ，已知点 在 轴上，若△ 的面积为 ，
C
求点 的坐标．
x y (0 1)
例5 (1)如图，一个质点在第一象限及 轴、 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到 ， ，然后
(0,0) (0,1) (1,1) (1,0)
接着按图中箭头所示方向运动，即 → → → →……，且每秒移动一个单
位长度，那么第35秒时质点所在位置的坐标是___________；
(2)一个机器人从平面直角坐标系原点出发，按下列程序运动：第一次先沿x轴正方向前进3步，
再沿y轴正方向前进3步到达 A 1 (3,3) 点；第二次运动是由 A 1点先沿x轴的负方向前进2步，
再沿y轴负方向前进2步到达 A 2 (1,1) 点；第三次运动是由 A 2点先沿x轴正方向前进3步，再
沿y轴正方向前进3步到达 A 3点；第四次运动是由 A 3点先沿x轴的负方向前进2步，再沿y轴
A
负方向前进2步到达 4点；……，以后的运动按上述程序交替进行．己知该机器人每秒走1
步，且每步的距离为1个单位长度．
A k =
①若第30秒时它到达点 k，则 _________；
A A
②该机器人到达点 99时，一共运动了_____秒， 99的坐标是_________．例6 （1）线段CD是由线段AB平移得到的，若点 A(−1,4) 平移后的对应点为 C (4,7) ，则点
B(−4,−1) 的对应点D的坐标为___________；
1
（2）已知直线l平行于x轴，点A、点B在直线l上，线段AB的长为2，且点 B( ,−2) ，则点A的
2
坐标为___________．
例7 点 A(2,3) 关于x轴的对称点 A 1的坐标为__________；
点A关于y轴的对称点 A 2的坐标为___________；
点A关于原点的对称点 A 3的坐标为___________．
A(−1,5) B(−1,0) C (−4,3)
例8 如图，平面直角坐标系中， ， ， ．
△ ABC
（1）求出 的面积；
（2）在图中作出 △ ABC 关于y轴的对称图形 △ A 1 B 1 C 1；
A B C
（3）写出点 1， 1， 1的坐标．
例9 (1)在平面直角坐标系中，已知点 M (2,−5) ，若点A关于x轴的对称点为M，点B关于y轴的对称
点为M，点C关于原点的对称点为M，点D关于一、三象限角平分线的对称点为M，点E关于
二、四象限角平分线的对称点为M，点F关于直线 x = 4 的对称点为M，点G关于直线
y = −3 的 对 称 点 为 M ， 则 点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 的 坐 标 分 别 为
_____________________________________；
(2)已知点 P (a,b) ，它关于二、四象限的角平分线的对称点是Q，点Q关于坐标原点的对称点是
R，点R关于y轴的对称点是M，点M关于直线 y = −2 的对称点是 N (−3,2) ，则点P的坐标
为________．
例10 在平面直角坐标系中，△ ABO 的顶点A、B、O的坐标分别为 (1,0) 、 (0,1) 、 (0,0) ．电子蛙从
P 1 (1,1) 出发，依次以A、B、O为对称中心跳跃，即第一步跳到 P 1关于A的对称点 P 2，第二步跳到 P 2关于B的对称点 P 3，第三步跳到 P 3关于O的对称点 P 4，依此类推．试写出点 P 2、 P 7、
P
100的坐标．
A(1,6) B(2,4) C (3,1) D(5,3)
1 如图是一个城市的街道图，五个人分别住在坐标为 、 、 、 、
E(6,5)
的地方，他们准备到街道的某处会面，使得五人所行路程之和最短，试指出这个会面地
点的坐标．（只能沿着街道走）
思维突破 / 初一 / 秋季
第 2 讲 平面直角坐标系
自我巩固答案
1 点 P 在第四象限，到y轴的距离为6，到x轴的距离为3，那么点 P 的坐标是（ ）
(−6,3)
A：
(6,−3)
B：
(−3,6)
C：
(3,−6)
D：
(−1,−1) (−1,2) (3,−1)
2 一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是 、 、 ，则第
四个顶点的坐标是（ ）
(2,2)
A：
(3,3)
B：
(3,2)
C：(2,3)
D：
A(−5,−4) B(−5,4)
3 过 和 两点的直线一定（ ）
A： 垂直于x轴
B： 与x轴相交但不平行于y轴
C： 平行于x轴
D： 与x轴、y轴都不平行
B(2,a−5) a =
4 已知点 在一三象限的角平分线上，则 _________．
5 若已知点 P (x,y) ，且 xy > 0 ，则点 P 在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第一、三象限
D： 第二、四象限
P(x,−x+ 3)
6 在平面直角坐标系中,点 一定不在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
7 下列说法正确的有（ ）个．
ab = 0 P (a,b) (1,−a2)
①若 ，则点 表示原点；②点 在第四象限；
③已知点 A(2,3) 与点 B(2,−3) ，则直线AB平行于x轴；④坐标轴上的点不属于任何象限．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 48 点 P (3,−5) 关于x轴的对称点为Q，Q关于原点的对称点为H，则点H的坐标为（ ）
(−3,5)
A：
(5,3)
B：
(5,−3)
C：
(−3,−5)
D：
A(2,3) B(a,b) (2a−1,b+2) a−b =
9 已知点 和点 的中点为 ，则 （ ）
7
A：
3
−2
B：
C： 0
D： 1
10 将坐标系先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，单位长度不变，得到新的坐标系，
在新的坐标系下点A的坐标为 (−1,2) ，在旧的坐标系下，点A的坐标为____________．
11 设平面直角坐标系的轴以1作为长度单位，△PQR的顶点坐标为 P (0,3) 、 Q(4,0) 、 R(k,5) ，
其中 0 < k < 4 ，若该三角形的面积为8，则k的值为____________．
3mx+2y = 3,
12 若关于x，y的方程组 { 的解为坐标的点 (x,y) 在第二象限，求m的取值范围．
x−3my = 9
13 某校数学小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第K棵树种植在 P k (x k ,y k ) ，
⎧ k−1 k−2
⎪
⎪x = x +1 −5([ ]−[ ])
⎪
k k−1 5 5
x = 1 y = 1 k ≥ 2 ⎨
其中 1 ， 1 ，当 时， ⎪ k−1 k−2 ，
⎩⎪
⎪y = y +[ ]−[ ]
k k−1 5 5
[a] 表示非负实数a的整数部分，例如 [2.6] = 2 ， [0.2] = 0 ，按此方案，求第2009棵树种植点的
坐标．
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第 2 讲 平面直角坐标系课堂落实答案
1 请判断正误
(a,b) (b,a)
( 1 ) 与 表示相同的有序数对． （ ）
2 请判断正误
( 1 ) 点 (3,0) 与x轴的距离为3． （ ）
3 请判断正误
(2,−2) (−3,3)
( 1 ) 点 与点 均位于二、四象限角平分线上． （ ）
4 请判断正误
( 1 ) 点 (3,−2) 与点 (−3,−2) 关于x轴对称． （ ）
5 请判断正误
(2,−1) (4,3) (6,2)
( 1 ) 点 与点 关于点 对称． （ ）
a M (3a−9,2a−10) a2 +1 =
6 若 为整数，且点 在第四象限，则 __________．
7 如图，坐标系中每个正方形小格的边长为1，则图中△ABC的面积为__________．
8 如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一
次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于点C的对称点处……如此下去．
（1）写出点M、N的坐标：____________________；
（2）求经过第2015次跳动之后，棋子落点的坐标为________________．
△ ABC A(3,3) B(1,1) C (4,1)
9 已知 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
△ ABC △ A′B′C′ △ A′B′C′
（1）将 向右平移3个单位到 ，作出 ；
△ A′B′C′ A′ 90∘ △ A′B′′C′′ △ A′B′′C′′ B′′
（2）将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，作出 并写出 与
C′′
的坐标．
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第 3 讲 绝对值与零点分段法
例题练习题答案
例1 化简下列各式：
|2x−3|(x ≤ 0)
（1） ；
|x−1|−|x−2|(1 < x < 2)
（2） ；（3） ；
（4） ．
a+b < 0 |a+b−1|−|3 −a−b|
例2 已知 ，化简： ．
例3 (1)若 ，且 ，化简 ____________；
(2)已知 ，那么 ____________；
(3)已知a、b是有理数，且 ， ．用数轴上的点来表示a、b，下列
正确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
|x| = 5 |y| = 1 ||x−y|−|x+y|| =
例4 已知 ， ，则 _______________．
例5 已知a、b、c的大小关系如图所示，求 的值．
例6 用零点分段法化简下列各式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
例7 计算下列式子的最小值：
（1） ； （2） ．
例8 计算下列式子的最小值：
2|x−1|+|x−3| |x|+|2x−1|+|3x−2|
（1） ； （2） ．
例9 计算下列式子的最大值和最小值：
|x−4|−|x+7| |2x−1|−|9 −2x|
（1） ； （2） ．
(|x+1|+|x−2|)(|y −2|+|y +1|)(|z −3|+|z +1|) = 36
例10 已知 ，x+2y +3z
求 的最大值和最小值．
|x−1|+2|x−2|+3|x−3|+⋅⋅⋅+10|x−10|
1 求 的最小值是多少？
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第 3 讲 绝对值与零点分段法
自我巩固答案
∣ 1∣ 4
1 ∣− ∣ = b =
如果∣ b ∣ 9 ，那么 （ ）
4
A： ±
9
9
B： ±
4
4
C： −
9
9
D： −
4
x+|x| = 0 x
2 若 ，那么 为（ ）
A： 正数
B： 负数
C： 非正数
D： 非负数
3 如果点A、B在数轴上对应的数分别是m、n，且A在原点左侧，B在原点右侧，则A、B两点的距离
为（ ）
m+n
A：
m−n
B：
n −m
C：
−m−n
D：|−3x|
4 x < 0
已知 ，化简 ，其结果为（ ）
|x−3|−|x|
−x
A：
B： x
−3x
C：
3 −2x
3x
D：
3 −2x
|x−1|−|x+1|
5 的最大值为（ ）
A： 2
−2
B：
C： 1
D： 没有最大值
|x−1|+|x−2|
6 取最小值时（ ）
x = 1
A：
x = 2
B：
1 < x < 2
C：
1 ≤ x ≤ 2
D：
7 数a、b在数轴上对应的点如图所示，化简 |a+b|+|b−a|+|b|−a−|a| ，其结果为（ ）
3b−2a
A：
−b
B：
b−2a
C：
−2a−b
D：1
8 |x−2|−3|2x+3|(− < x < 2)
化简： ．
3
|x−1|−|3x+2|
9 化简： ．
10 计算下列各式的最小值．
∣ 3∣ ∣ 1∣
|x+6|+|x−3|+∣x− ∣ +∣x+ ∣
（1） ∣ 2∣ ∣ 2∣；
|2x+1|+|5 −x|+|8 +4x|
（2） ．
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第 3 讲 绝对值与零点分段法
课堂落实答案
1 请判断正误
( 1 ) 如果一个数的绝对值等于它自己的相反数，那么这个数是负数． （ ）
2 请判断正误
( 1 ) 负数没有绝对值． （ ）
3 请判断正误
( 1 ) 绝对值最小的数是0． （ ）
4 请判断正误
( 1 ) 如果数a的绝对值比数b的绝对值大，那么数a一定比数b大． （ ）
5 已知a、b、c的大小关系如图所示，可将式子 |a−b|+|c−b| 化简为__________．
−1 < x < 1 2|x+1|−3|x−1|
6 当 时，可将式子 化简为__________．
|x−4|+|x+6|
7 的最小值为__________．|x−1|−|x+3|
8 的最大值为__________．
|2x−5|−|7 −2x|
9 计算式子 的最小值与最大值．
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第 4 讲 含参方程
例题练习题答案
例1 解关于x的方程：
19x = a ax = 19
（1） ； （2） ；
ax = a
（3） ．
例2 解关于x的方程：
ax−1 = bx+2 4x−a = bx+2
（1） ； （2） ．
例3 已知关于x的方程 2(x−a) = 5 +a 与 3x−2a+1 = 5(x+a)−1 的解相同，求a的值．
5 8
例4 已知关于x的方程 x−a = x+142 的解为正整数，求正整数a的最小值．
2 5
x 2a(x−1) = (5 −a)x+3 a
例5 已知关于 的方程 无解，求 的值．
例6 已知关于x的方程 (m−1)x = (m−1)(m+2) 有无数多解，求 m 的值．
x+y = a+5,
例7 解关于x、y的方程组： { ．
2x−y = 3 −2a
x+2y = 8,
例8 解关于x、y的方程组 { ．
ax+4y = 12
2x+3y = b,
例9 已知关于x、y的方程组 { ，问：
ax+6y = 12
（1）a、b为何值时，方程组只有一组解；
（2）a、b为何值时，方程组无解；
（3）a、b为何值时，方程组有无穷多组解？⎧⎪ kx+y +z = 1,
1
当k为何值时，方程组 ⎨x+ky +z = k, ．
⎩⎪
x+y +kz = k2
（1）有无穷多个解？
（2）无解？说明理由．
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第 4 讲 含参方程
自我巩固答案
ax+4y = 8,
1 已知a是正整数，方程组 { 的解满足 x > 0 ， y < 0 ，则a的值是（ ）
3x+2y = 6
A： 4
B： 5
C： 6
D： 4、5、6之外的其它正整数
2 已知方程 2(x−a) = 5 +a 与 3x−2a = 4(x+a)−1 的解相同，则a的值为（ ）
1
A： −
5
1
B：
5
7
C：
9
2
D：
3
3 已知关于x的方程 a(2 −x) = a+2x 的解为正数，则a的取值范围为（ ）
a > 0
A：
a > −2
B：
−2 < a < 0
C：
a < −2 a > 0
D： 或4 已知关于x的方程 a2x−b+4 = 4x−a 的解为任意实数，则 ab 的值为（ ）
A： 12
−4
B：
−4
C： 或12
−12
D：
x+5y = a,
5 已知关于x、y的方程组 { ，则下列说法正确的是（ ）
bx+6y = 12
a = 10,
A： {
时方程组无解
b = 1.2
a = 20,
B： {
时方程组有无数解
b = 2.4
a = 2,
C： {
时方程组只有一组解
b = 3
a = 10,
D： {
时方程组无解
b = 1.3
6 解下列关于x的方程：
5(x−2) = a
（1） ；
ax+5 = (b−1)x−7
（2） ；
ax+4 = 5b−2x
（3） ．
2ka x−bx
7 若a、b为定值，关于x的一元一次方程 − = 2 ，无论k取何值，它的解总是
3 6
x = 1 ，求a、b的值．
8 解下列关于x、y的方程组：
3x−2y = 5m, mx−6y = n,
{ {
（1） ； （2） ．
2x−3y = 5n x+3y = 10
思维突破 / 初一 / 秋季
第 4 讲 含参方程
课堂落实答案1 解关于x的方程：
5x = a
（1） ；
ax = a+1
（2） ；
ax = 2a
（3） ．
2 解关于x的方程：
ax+3 = bx−1 ax−3 = 3x+b
（1） ； （2） ．
x 9x−17 = kx k
3 若关于 的方程 的解为正整数，则整数 的值为___________．
4 已知关于x的方程 a(2x+1) = 1 −3x 无解，则a的值为_________．
5 当k满足_________时，关于x的方程 3(x+1) = 5 −kx 有正数解．
2
6 已知关于x的方程 (x−a) = 5 +a 与 3x−2a+2 = 5(x+a)−1 的解相同，求方程的
3
解．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 5 讲 含参不等式（组）
例题练习题答案
例1 若
(m−3)xm2−8
+3 ≥ 5m 是关于x的一元一次不等式，则 m = ______，不等式的非负整数解
为_________．
a 7
例2 关于x的不等式 3(x− ) > 6a 与 (x−a)+4 > 0 的解集相同，求a的值．
7 15
例3 已知关于x的不等式 3a−2x > 0 的最大整数解为 −5 ，求a的取值范围．
例4 解下列关于x的不等式：
ax > 1 ax < a
（1） ； （2） ．
例5 解关于x的不等式： 2mx+5 < 4x−1 ．1
例6 已知关于x的不等式 (3a−2)x+2 < 3 的解集是 x > − ，求a的值．
4
(b−a)x > −2a−b x < −2 (7a+8b)x < a−23b
例7 已知不等式 的解集为 ，求不等式 的解
集．
x ≤ 5,
例8 解关于x的不等式组： { ．
3(x−a) < a+3
⎧ x+4 x
例9 > +1,
关于x的不等式组⎩ ⎨ 3 2 的解集为 x < 2 ，求a的取值范围．
x+a < 0
9x−a ≥ 0
例10 x { 1 2 3 a b
如果关于 的不等式组 的整数解仅为 ， ， ，试求 ， 的取值范围．
8x−b < 0
2a+3x > 0
1 已知关于x的不等式组 { 恰有3个整数解，求a的取值范围．
3a−2x ≥ 0
思维突破 / 初一 / 秋季
第 5 讲 含参不等式（组）
自我巩固答案
3(x+1) < a x < 1 a
1 若不等式 的解集是 ，则 的值为（ ）
A： 3
B： 6
C： 0
−3
D：
x > a,
2 关于x的不等式组 { 的解集为 x > 1 ，则a的取值范围是（ ）
x > 1
a > 1
A：
a < 1
B：a ⩾ 1
C：
a ⩽ 1
D：
1
3 已知a为常数，若 (a−1)x−(2a+3) > 0 的解集为 x < ，则 a 的值为（ ）
3
−2
A：
−1
B：
−6
C：
D： 6
ax > −1,
4 若关于x的不等式组 { 有解，求a的取值范围为（ ）
x+1 > 0
a > 1
A：
a < 1
B：
a ≠ 0
C：
D： a可以取任意实数
5 若 4m+3 、 2m−1 、 19 −m 是三角形的三边长度，则m的范围是（ ）
17
A： < m < 5
7
17
B： −23 < m <
7
0 < m < 19
C：
D： m可以取任意实数
6 解关于x的不等式（组）：
2x+7 ≤ 11,
ax > x+b {
（1） ； （2） ．
x−2a < 0
x+2 x−3
7 已知关于x的不等式 > 1 + (m ≠ 0) ．
m m2
（1）解此不等式；
（2）若不等式的解集为 x > 3 ，求m的取值范围；
（3）若 x = 3 属于不等式的解集，求m的取值范围．思维突破 / 初一 / 秋季
第 5 讲 含参不等式（组）
课堂落实答案
1 解下列含参一元一次不等式（组）：
⎧3(x+1) < 5x−a,
2x−4 > 3a ⎨ 1 3
（1） ； （2）⎩ ．
x−1 ≤ 7 − x
2 2
2 解关于x的不等式： ax−1 > x+1 ．
3 若
(m−2)xm2−3
+2 ≥ 3m 是关于x的一元一次不等式，则 m = ______，不等式的解集为
____________．
4 已知a为常数，若 (a−1)x−(a+1)(a−1) ≥ 0 的解集为 x ≤ −2 ，求a的值．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 6 讲 整式的乘法
例题练习题答案
例1 计算：
(−2a2)⋅(4b2)
（1） ；
(2a2)×(−3ab2)
（2） ；
2b2(a+ab+5)
（3） ；
1
(−3a2)⋅(a3 +ab− b2)
（4） ；
3
(2a2 −b3)(4a2 +3b3)
（5） ；
(a−ab+b)(a2 +ab)
（6） ．
例2 (1)若
am+n ⋅(3a3mbn+1) = 3a8b3
，则
m =
__________，
n =
___________．
(2x+a)(4 +bx) = −10x2 −7x+12 a = b =
(2)若 ，则 _________， ___________．1
例3 (3a+2b)(2a−3b)−(a−2b)(2a−b) a = −1.5 b =
先化简，再求值： ，其中 ， ．
4
am = 4 an = 2 ap = 16 3m+2n = 2p
例4 已知 ， ， ，求证： ．
例5 若 (x2 +px+q)(x2 −2x−3) 展开后不含 x2 ， x3 项，求p、q的值．
(x+2)5 = ax5 +bx4 +cx3 +dx2 +ex+f 16b+4d +f =
例6 若 ，则 _________．
例7 有些大数值问题可以用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后
面的问题．
若 x = 123456789 ×123456786 ， y = 123456788 ×123456787 ，试比较x、y的大小．
123456788 = a x = (a+1)(a−2) = a2 −a−2
解 ： 设 ， 那 么 ，
y = a(a−1) = a2 −a
x−y = (a2 −a−2)−(a2 −a) = −2 < 0
∵
x < y
∴
看完后，你学会这种方法了吗？再亲自试一试吧，你可以的！
1.345×0.345×2.69−1.3453 −1.345×0.3452
计算： ．
例8 计算：
1 2 4
( x5 +2x7 − x4)÷(− x3)
（1） ；
4 3 7
2 4
(− a4b3 +5a2b+ a5b2)÷3ab
（2） ．
3 9
例9 计算下列式子的商式和余式：
(4x2 +3x−1)÷(x+1)
（1） ；
(10x3 +5x2 −15)÷(2x+3)
（2） ．
例10 计算下列式子的商式和余式：
(x4 −6x2 −3x+2)÷(x2 +3x+2)
（1） ；
(2x3 +5x2 −2)÷(x2 +2x−1)
（2） ．
x2 +3x−1 = 0 x4 +2x3 +13x+2009
1 若 ，试求 的值．思维突破 / 初一 / 秋季
第 6 讲 整式的乘法
自我巩固答案
(x+a)(x2 −x+b) x2 x 2a−b
1 已知 展开后不含 项和 项，则 的值为（ ）
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
2x+5y −4 = 0 4x ⋅32y
2 若 ，则 的值为（ ）
A： 1
B： 4
C： 16
D： 64
x = −1 3x2 (2x2 −x+1)−x(3x3 −4x2 +2x)
3 当 时， 的值为（ ）
A： 3
B： 4
−1
C：
−5
D：
1
4 a = 3 b = − (a+b)(a−b)+(a+b)2 −2a2
已知 ， ，求 的值为（ ）
3
A： 2
B： 3
−4
C：−2
D：
5 设多项式A是个三项式，B是个四项式，则 A ×B 的结果的多项式的项数一定是（ ）
A： 多于7项
B： 不多于7项
C： 多于12项
D： 不多于12项
6 计算：
−3a⋅4b2 x2y ⋅(−6yz3)
（1） ； （2） ；
−2a(3ab+8b2) (5xy +7z)⋅(−5yz2)
（3） ； （4） ；
(5x3 +2x)(−x2 +x)+1 (2x2 +4x−1)(x−5)+2x3 −7x2
（5） ； （6） ．
7 计算下列各式的商式和余式：
(x3 +2x2 −5x+2)÷(x−1)
（ 1 ） ； （ 2 ）
(x4 +3x3 +5x2 +5x+3)÷(x2 +x+1)
．
8 若 a3 = 2 ， b5 = 3 ，则a、b的大小关系是a______b（填“ > ”或“ < ”）．
5 3
a15 = (a3) = 25 = 32 b15 = (b5) = 33 = 27
解：∵ ， ，
32 > 27 a15 > b15 a > b
∵ ，∴ ，∴ ．
依照上述方法解答下列问题：
已知 x7 = 2 ， y9 = 3 ，试比较x与y的大小．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 6 讲 整式的乘法
课堂落实答案
1 以下计算正确的是（ ）
3a2 ⋅4ab = 7a3b
A：
(2ab3)⋅(−4ab) = −2a2b4
B：(xy)3 ⋅(−x2y) = −x3y3
C：
−3a2b(−3ab) = 9a3b2
D：
3x⋅(xn +5) = 3xn+1 −8 x =
2 若 ，则 （ ）
8
A： −
15
15
B： −
8
8
C：
15
15
D：
8
(−a)2(−a)5 =
3 （1） ____________；
7 4
(−a4) +(−a7) =
（2） ____________．
4 化简下列整式：
(x−6)(x−3)−(x+2)(3x+2) (y +2)(y −2)−(y −1)(y +5)
（1） ； （2） ．
1
5 (x+1)2 +x(x−2) x = −
先化简，再求值： ，其中 ．
2
(x3 −6x−4)÷(x+2)
6 计算 的商式和余式．
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第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 9的平方根是（ ）
A： 3
±3
B：
–
±√3
C：
D： 81−−−−
2 使
√3
b+2 有意义的b的取值范围（ ）
b ≥ −2
A：
b ≥ 0
B：
b ≠ 0
C：
D： 任意实数
|x−1|+|x+1| = 2
3 方程 的解有（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 无数个
4 下列对关于x的不等式 ax ≥ b 的说法中，正确的有（ ）
a = 0 b ≠ 0
①若 且 ，则不等式无解；
a = 0 b = 0
②若 且 ，则不等式有无数个解；
b
a < 0 x ≤
③若 ，则不等式解集为 ；
a
b
a ≥ 0 x ≥
④若 ，则不等式解集为 ．
a
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5 关于x的不等式 x−5 < a ，一共有8个正整数解，则a的值可能是（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 56 若关于x的一元一次方程 (a+2b)x2 +ax+b = 0 有唯一解，则x等于（ ）
1
A：
2
1
B： −
2
b
C：
a
b
D： −
a
−−−−−−−
7 若 √2015 −x 有意义，则x的范围是__________．
(2a+1,3b−2) (4 −3a,4b−1)
8 若点 在第二象限，则点 在第____________象限．
−−−−−−−
9 已知实数a满足 √a−2015 +∣ ∣2 −a2∣ ∣ = a2 ，则a的值为__________．
– −− −−−
3+√2 √32 √3 220
10 试将6， ， ， 的从小到大排列__________．
|x−12|+|x+13|
11 代数式 的最小值为__________．
12 若关于x的方程 (2a+b)x = a−5 有无穷多解，则 a+b = __________．
x < 4,
13 关于x的不等式组 { 恰有四个整数解，则a的取值范围为__________．
x ≥ a
14 计算：
(3a−2b)(−a+b)
（1） ；
(−3a)2 (−ab2 +2abc)
（2） .
x 2x−3 = kx+6 k
15 已知关于 的方程 的解为整数，试求整数 所有可能的取值．
−−−− −−−−
16 已知
√2 −a +√a−2 = c−5
，求
c+2a
的平方根．
17 如图所示，平面直角坐标系中，每一个小方格代表一个单位长度．（1） A 点坐标为________，B点坐标为________，C点坐标为________；
D(5,−6) E(−7,−3)
（2）在图中标出 、 ；
△ ABC
（3）求 的面积．
18 化简下列各式：
2|2 −x|−|4 −x|(2 ≤ x 4) 3|x+1|−|x+2|
（1） ＜ ； （2） ．
– – – −−−
19 设 [x] 表示不大于x的最大整数，如 [π ]=3 ，试计算 [√1]+[√2]+[√3]+...+[√100] .
20 解下列关于x的方程或不等式：
(a−1)x+5 = 2x−4 (a+2)x−5 > x+4
（1） ；（2） ．
x−a−1 x−a2 −1
21 x + +x = a2 +a+3
解关于 的方程： ．
a2 a
a x+b y = c , x = 3,
22 若 关 于 x 、 y 的 方 程 组 { 1 1 1 的 解 是 { ， 求 方 程 组
a x+b y = c y = 4
2 2 2
3a x+2b y = 5c ,
{ 1 1 1
的解．
3a x+2b y = 5c
2 2 2
思维突破 / 初一 / 秋季
第 8 讲 乘法公式（一）
例题练习题答案例1 计算：
(x−2)(x+2) (4y +3)(4y −3)
（1） ； （2） ；
1 1
(4x2 − )( +4x2) (3x2 −8)(3x2 +8)
（3） ； （4） ；
2 2
(x2 +yz)(x2 −yz) (5n2 −3m)(6m+10n2)
（5） ； （6） ．
例2 用简便方法计算：
1003 ×997 2014 ×2016 −20152
（1） ； （2） ．
(a−1)(a+1)(a2 +1)(a4 +1)⋯⋯(a64 +1)
例3 (1)化简： ；
(7 +1)×(72 +1)×(74 +1)×(78 +1)×(716 +1)×(732 +1)
(2)计算： ．
1 1 1 1
例4 (1 − )×(1 − )×⋯×(1 − )×(1 − )
计算： ．
22 32 92 102
例5 若两个数a、b满足 a > b > 0 ，且a、b都是整数，它们的平方差为29，求a、b的值．
例6 计算：
(x+2)2 (−3 +2a)2
（1） ； （2） ；
(2a−5b)2 (3a+b)2
（3） ； （4） ；
(−2x−3y)2 (ab+cd)2
（5） ； （6） ．
例7 计算：
(x+1)(x−1)(x2 +1) (4 −y)(y +4)(y2 +16)
（1） ； （2） ；
(2x−3y)2 +(3x+2y)2 (3x+4y)2 +(3y −4x)2 −(5x−y)2
（3） ； （4） ；
(a+b−c)(a−b+c) (a+b+c−d)(a+b−c+d)
（5） ； （6） ．
x2 −2x−3 (x−m)2 +k m+k =
例8 若把代数式 化为 的形式，其中m，k为常数，则 ______．
2(x+y)(x−y)+[(x+y)2 −xy]+[(x−y)2 +xy]
例9 有这样一道题，计算： 的值，其
x = 2006 y = 2007 y = 2007 y = 2070
中 ， ；某同学把“ ”错抄成“ ”但他的计算结果是正
确的，请回答这是怎么回事？试说明理由．
a+b = 4 ab = 1 a2 +b2
例10 （1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 a+b = 9 ， a2 +b2 = 53 ，求ab和 (a−b)2 的值．
a+b+c = 0 a2 +b2 +c2 = 1
1 已知 ， ，求下列式子的值：ab+bc+ca
（1） ；
a2b2 +b2c2 +c2a2
（2） ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 8 讲 乘法公式（一）
自我巩固答案
a+b = 4 a−b = 3 a2 −b2
1 已知 ， ，则 的值是（ ）．
A： 4
B： 3
C： 12
D： 1
2 下列计算正确的是（ ）
(−x−y)2 = −x2 −2xy −y2
A：
(4x+1)2 = 16x2 +8x+1
B：
(2x−3)2 = 4x2 +12x−9
C：
(a+2b)2 = a2 +2ab+4b2
D：
(a−1)2 +(b+2)2 = 0 ab =
3 已知 ，则 （ ）．
A： 2
B： 3
−2
C：
−3
D：
a2 +8a+b2 +16 = 0 a−b =
4 已知 ，则 （ ）
−4
A：B： 4
−8
C：
D： 8
x2 −4x−7 (x+m)2 −k m−k
5 若把 化成 的形式，则 的值为（ ）．
A： 13
B： 9
−9
C：
−13
D：
6 计算：
4x2 −9y2 (3x+4y)2
（1） ； （2） ；
(a−2b)2 −(2a−b)2 (ab+cd)2 +(ac−bd)2
（3） ； （4） ；
(x2 −x+5)(x2 +x−5) (m2 −n)(m4 +n2)(−m2 −n)
（5） ； （6） ；
(a−b+c)2 +(a+b−c)2 (a+2b+3c)2 −(a−2b+3c)2
（7） ； （8） ．
x+y = 1 xy = −1 x4 +y4
7 （2分）已知 ， ，求 的值．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 8 讲 乘法公式（一）
课堂落实答案
1 计算题
(x−3y)(−x−3y) (2x+1)2
（1） ； （2） ；
2
(5m+6n2) (x−y)(x+y)(x2 +y2)(x4 +y4)
（3） ； （4） ；
(3a−b+2c)(3a+b−2c) (2x−y −3z)2
（5） ； （6） ．
x2 −y2 = 30 x−y = −5 x+y
2 若 ，且 ，则 的值为（ ）
A： 5B： 6
−6
C：
−5
D：
3 若 x2 −7xy +M 是完全平方式，则M是（ ）
7
A：
y2
2
49
B：
y2
2
49
C：
y2
4
49y2
D：
a+b = 5 ab = 2
4 若 ， ，计算：
a2 +b2 a4 +b4
（1） ； （2） ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 9 讲 乘法公式（二）
例题练习题答案
(x+1)(x2 −x+1) (2 +y)(4 −2y +y2)
例1 计算：（1） ； （2） ；
(3a−1)(9a2 +3a+1) (−2x−1)(4x2 −2x+1)
（3） ； （4） ．
(x2 +2xy +4y2) = x3 −8y3
例2 （1）（________） ；
(2x+2y) 8x3 +27y3
（2） （________）= ；
27x3 +64y3
（3）（3x+________）（________-12xy+________）= ．
例3 计算：
(a−b)(a+b)(a4 +a2b2 +b4)
（1） ；
(−3x−2)(−9x2 +6x−4)+(x−2)(x2 +2x+4)
（2） ．
例4 计 算 ：
a2 a2 a2
(a+2b)2(a2 −2ab+4b2) 2 −( +ab+4b2)( −ab+4b2)( −4b2)
．
4 4 4例5 计算：
(x+2)3 (3 +2b)3
（1） ； （2） ．
例6 计算：
(−3 +2a)3 (2a−1)3
（1） ； （2） ；
(x2 −x) 3 (2ab−3b)3
（3） ； （4） ．
例7 小马学习了不少乘法公式，他发现若将乘法公式逆用，是可以解决很多问题的．例如已知
a+b = 4 a2 −b2 = 8 a−b
， ，求 的值．
a2 −b2 = (a+b)(a−b)
小马是这样思考的：逆用平方差公式可得 ，由条件可知
a−b = 2
．
仿照小马的思路，解决下面问题：
a+b = 3 a3 +b3 = 12 a2 +b2
若 ， ，求 的值．
例8 小马又学习了几个乘法公式，他想挑战更高难度的计算．一天，小马遇到这样的一道题目：已知
a+b = 5 ab = 3 a5 +b5
， ，求 ．小马是这样思考的：
a2 +b2 = (a+b)2 −2ab = 19
由条件可得， ，
a3 +b3 = (a+b)(a2 −ab+b2) = 80
，
a5 +b5 = (a2 +b2)(a3 +b3)−a2b2(a+b) = 1475
．
a2 +b2 a3 +b3 a5 +b5
小马就这样利用较低次的 和 ，通过代数式变形得到了 的值．
请利用小马的思路和计算结果继续完成下列问题：
a4 +b4 a7 +b7
（1） ； （2） ．
例9 填空：
1 3
(x−3y +____)2 = x2 +____ + z2 −6xy − yz +____
（1） ；
16 2
(a+b−c)2 = ____________________________________
（2） ；
（ 3 ）
1 y3
(x+ y +2z)(__________________________________) = x3 + +8z3
；
2 8
−3xyz（ 4 ）
(a+b+____)(a2 +b2 +4c2 +_________________) = a3 +b3 −8c3 +6abc
．
a+b+c = 5 a2 +b2 +c2 = 10 a3 +b3 +c3 −3abc
例10 已知 ， ，求 的值．
a+b+c+d = 0 a3 +b3 +c3 +d3 = 3(abc+bcd +cda+dab)
1 已知 ，求证： ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 9 讲 乘法公式（二）
自我巩固答案
1 下列计算结果中，正确的一项是（ ）．
(x+2)(x2 −2x+4) = x3 +4
A：
(2a−1)(4a2 +2a+1) = 8a3 +1
B：
(2m−3n)3 = 8m3 −36m2n +72mn2 −27n3
C：
(x+1)3 +(x−1)3 = 2x3 +6x
D：
1
2
1 1
1 2 1
杨辉三角形的前5行如右图所示： ，其特点为每一行最外面两个
1 3 3 1
1 4 6 4 1
数字均为1，中间的任意数字为上一行正对的两个数字之和．该三角形每一行的数字实际上是
(a+b)n−1
的展开式按照字母a（或b）的降幂排序后，每一项对应的系数．例如第3行的数字为
1、2、1，由完全平方公式可得 (a+b)3−1 = a2 +2ab+b2 ，按照字母a的降幂排序后，每一
项的系数为1、2、1．
(a+b)6
根据题意，可以判断 的结果为（ ）．
a6 +3a4b2 +3a2b4 +b6
A：
a6 +4a5b+6a3b3 +4ab5 +b6
B：
a6 +5a5b+10a4b2 +20a3b3 +10a2b4 +5ab5 +b6
C：a6 +6a5b+15a4b2 +20a3b3 +15a2b4 +6ab5 +b6
D：
3 计算：
(3 +2y)(9 −6y +4y2)
（1）
1 1 5
(5a− b2)(25a2 + b4 + ab2)
（2） ；
2 4 2
(4 +3y)3
（3）
3
(6a2 −5b)
（4） ．
4 计算：
2
(a+1)(a3 +a2 +a+1)−(a2 +a+1)
（1）
(a−c)[(a−b)2 +(a−b)(c−b)+(c−b)2]−(a−b)3 −(b−c)3
（2） （提示：
a−c = a−b+b−c
）
a3 −b3 = 100 a−b = 5
5 已知 ， ，试求下列式子的值：
ab a2 +b2 a4 +b4
（1） ；（2） ；（3） ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 9 讲 乘法公式（二）
课堂落实答案
1 计算题
(2 −y)(4 +2y +y2) (3a+1)(9a2 −3a+1)
（1） ； （2） ；
(2a+1)3 (2b−3)3
（3） ； （4） ；
3
(a2 −1) (a+b+2c)(a2 +b2 +4c2 −ab−2bc−2ca)
（5） ； （6） ．
a+b = 4 ab = 1 (a−b)2 a3 +b3
2 若 ， ，计算：（1） ；（2） ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 10 讲 几何初步综合例题练习题答案
例1 已知点A、B、C在同一条直线上， AB : BC = 2 : 3 ， AC = 10 ，求AB和BC的长．
例2 如图，已知点A、B、C是数轴上的三点，点C对应的数为6， BC = 4 ， AB = 12 ．
（1）求点A、B对应的数；
（2）动点P、Q同时从A、C出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位长度的速度沿着数轴的
1
正方向运动．M为线段AP的中点，N在线段CQ上，且 CN = CQ ，设运动时间为t(t > 0) ．
3
①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）；
②t为何值时， OM = 2BN ．
∠AOB : ∠BOC = 2 : 3 ∠COA = 45∘ ∠AOB ∠BOC
例3 已知 ， ，求 和 的值．
∠AOB = 70∘
例4 如图1，已知 ．
（1）如图2，射线OC在 ∠AOB 的内部，OD平分 ∠AOC ，若 ∠BOD = 40∘ ，求 ∠BOC 的度
数；
1
∠BOD = 3∠BOC (∠BOC < 45∘) ∠AOD= ∠AOC
（2）若 ， ，请你画出图形，并求
2
∠BOC
出 的度数．
∠1 = ∠2 ∠3 = ∠4 ∠A +∠ABC = 180∘ ∠A = ∠5
例5 如图，下列条件中：① ，② ，③ ，④ ，
其中能判定
AB∥DC的条件有（ ）．
A： 1个B： 2个
C： 3个
D： 4个
例6 如图， ∠1 = ∠2 ，CF⊥AB，DE⊥AB，
求证：FG∥BC．
证明：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知）
∴_____∥_____（_____________________________）
∠1 = ∠BCF
∴ （_____________________________）
∠1 = ∠2
∵ （已知）
∴_____=_____（_______________）
∴FG∥BC（_____________________________）
例7 已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠B，AC∥DE，且B，C，D在一条直线上．求证：AE∥BD．
1
例8 如图所示，BP是 ∠ABC 的角平分线，CP是 ∠ACE 的角平分线，求证： ∠P = ∠A ．
2
1
例9 如图，BP、DP分别为∠ABC、∠ADC的平分线，求证： ∠P = (∠A +∠C) ．
21
例10 ∠P = 90∘ − ∠A
如图所示，BP、CP分别平分∠FBC、∠ECB，求证： ．
2
1 探究：
（1）如图1，若AB∥CD， 则 ∠B +∠D = ∠E ， 你 能 说 明 为 什 么 吗 ？ 反 之 ， 若
∠B +∠D = ∠E ， 直线AB与CD有什么位置关系？请证明；
（2）若点E移至图2所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明；
（3）若点E移至图3所示位置，情况又如何？
（4）在图4中，已知AB∥CD， ∠E +∠G 与 ∠B +∠F +∠D 有何关系？
（5）在图5中，已知AB∥CD，能得到什么结论？
思维突破 / 初一 / 秋季第 10 讲 几何初步综合
自我巩固答案
1 下面条件中，一定能得到互相垂直的是（ ）
A： 一对对顶角的平分线
B： 一对同位角的平分线
C： 一对同旁内角的平分线
D： 一对邻补角的平分线
2 如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
∠3 = ∠4
A：
∠1 = ∠5
B：
∠1 +∠4 = 180∘
C：
∠3 = ∠5
D：
3 下列语句中表述正确的个数有（ ）个．
①若 AP = 0.5AB ，则P是AB的中点；
②若 AP = 2PB ，则P是AB的中点；
③若 AB = PB ，则P是AB的中点；
④若 AP = PB = 0.5AB ，则P是AB的中点；
⑤A、B、C是直线 l 上三个点，那么直线AB、直线BC和直线CA表示的都是直线 l ；
⑥O、A、B三点顺次在同一条直线上，那么射线OA和射线AB是相同的射线．
A： 2
B： 3C： 4
D： 5
AB = 6 C AB D BC AD =
4 如图，已知 ， 为 的一个四等分点， 为 的中点，则 （ ）
4
A：
15
B：
4
17
C：
4
9
D：
2
5 在横线处依次填入数字，正确的一项是（ ）
∠BOD = 45∘ ∠AOE = 90∘
如图， ， ，那么图中所有不大于90°的角共有 个，它们的度数和
为____________．
360∘
A： 10；
360∘
B： 9；
450∘
C： 10；
315∘
D： 8；
6 如图，AB // CD， ∠1 = 50∘ ， ∠2 = 110∘ ，则 ∠3 = _______．∠ABD ∠BDC E BE CD F ∠1 +∠2 = 90∘
7 如图, 和 的平分线交于 , 交 于点 , .求证:
AB // CD
(1) ;
∠2 +∠3 = 90∘
(2) .
8 已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E， ∠1 = ∠2 ．求证：AD平
∠BAC
分 ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 10 讲 几何初步综合
课堂落实答案
5
1 已知线段AB的长为18，点C在直线AB上，且 AC = BC ，则线段BC为多长？
3
2 如图，从点O引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且 ∠AOB = 100∘ ，OF平分
∠BOC ∠AOE = ∠DOE ∠EOF = 140∘ ∠COD
， ， ，求 ．∠BAF = 46∘ ∠ACE = 136∘ CE⊥CD CD // AB
3 如图， ， ， ．问 吗？为什么？
思维突破 / 初一 / 秋季
第 11 讲 全等三角形（一）
例题练习题答案
例1
下列选项中，与右图中的图形全等的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例2 下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对
应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ）A： ①②③④
B： ①③④
C： ①②④
D： ②③④
例3 (1)已知图中的两个三角形全等，则 的度数是（ ）
A： 72°
B： 60°
C： 58°
D： 50°
(2)如图，已知△ABC≌△DEF，则DE+EF=（ ）
A： 11
B： 12
C： 13
D： 不能确定
例4 如图，已知△ABD≌△ACE，下列选项正确的是_____________．
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ．例5 已知：如图， AB = CB ， AD = CD ．求证：△ABD≌△CBD．
补全下列过程：
证明：在___________和____________中，
⎧⎪ AB = CB( )
⎨__________( )
∵
⎩⎪
BD = BD ( )
∴_________________________（ ）
例6 如图，A、D、C、F四点在一条直线上， ，且 AB = DE ， BC = EF ．求证：
△ABC≌△DEF．
例7 如图，AD、BE交于点C， EC = CB ， CD = CA ，求证：△ABC≌△DEC．
补全下列过程：
证明：在___________和___________中，⎧⎪ CA = CD (
已知
)
⎨__________ ( )
∵
⎩⎪
__________ ( )
∴△ABC≌△DEC（ ）
例8 如 图 ， AC 与 BD 相 交 于 点 E ， AE = AB −1 ， AE = DC ， AD = BE ，
∠ADC = ∠DEC
，
求CE的长．
例9 如图，DA⊥AB，EA⊥AC， AB = AD ， AC = AE ，BE、CD相交于O，
求证：（1） BE = CD ；（2）BE⊥CD．
例10 如图，在△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，交于点F，在直线AD上截 ，在直
线CE上截取 ，连接BM、BN、MN，判断BM和BN的数量和位置关系，并证明．∠ABC = 90∘ D AB AD = BC
1 如图,已知 , 是直线 上的点, .
A AF⊥AB AF = BD DC DF CF △CDF
(1)如图1,过点 作 ,并截取 ,连接 、 、 ,判断 的形状
并证明;
E BC CE = BD AE CD P ∠APD
(2)如图2, 是直线 上一点,且 ,直线 、 相交于点 , 的度数是一
个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.
思维突破 / 初一 / 秋季
第 11 讲 全等三角形（一）
自我巩固答案
1 下列说法不正确的是（ ）
A： 全等三角形的周长和面积都相等
B： 全等三角形的对应边相等
C： 周长和面积都相等的三角形全等
D： 全等三角形的对应角相等
2 如图所示，△ABD≌△ACE， AB = 8 ， BD = 7 ， AD = 6 ，则BE的长是（ ）
A： 1B： 2
C： 3
D： 4
3 如图，△ABC≌△DEC，不能得到的结论是（ ）
AB = DE
A：
∠A = ∠D
B：
BC = CD
C：
∠ACD = ∠BCE
D：
4 如图，已知 AE = AC ， AD = AB ， DE = BC ，求证：△ABC≌△ADE．
证明：在△ABC和△ADE中，
⎧AB = AD
⎨AC = AE
∵⎩
BC = DE
∴△ABC和△ADE ④
以上证明过程中，书写不规范的一步是（ ）
A： ①
B： ②
C： ③
D： ④
5 如图，AE∥DF， AE = DF ，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）．AB = CD
A：
EC = BF
B：
∠A = ∠D
C：
AB = BC
D：
6 如图，已知 AB = EF ， BC = DE ， AD = CF ，求证： AB // EF ．
7 如图，在直角△ABC中， ∠B = 90∘ ，ED⊥AC且D为AC中点．已知 ∠BAE = 16∘ ，求 ∠C 的度
数．
8 如 图 ， 已 知 △ ABC 和 △ ECD 中 ， AC = BC ， DC = EC ， 且 D 为 AB 上 一 点 ，
∠ACB = ∠DCE = 90∘ AE = BD
，求证： ．思维突破 / 初一 / 秋季
第 11 讲 全等三角形（一）
课堂落实答案
1 两个三角形全等说明这两个三角形（ ）
A： 形状、位置和大小都相同
B： 形状、大小都相同，位置可以不同
C： 形状相同，位置、大小可以不考虑
D： 大小相等，形状、位置可以不考虑
2 如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，如果 ∠D = 60∘ ， ∠ABC = 70∘ ，那么
∠BAC的度数为（ ）
70∘
A：
60∘
B：
50∘
C：
D： 不能确定
3 如图，点E，F在AC上， AB = CD ， DE = BF ， AE = CF ，则下列证明过程中，横
线处应填入（ ）
证明：在△ABF和△CDE中，⎧AB = CD
⎨_______
∵⎩
BF = DE
∴△ABF≌△CDE（SSS）．
CF = AE
A：
AF = CE
B：
CE = AF
C：
AE = CF
D：
4 如图，在△ABC中， AD = AE ， AB = AC ， BE = DC ，求证： ∠ADE = ∠AED ．
OA = OB OC = OD ∠O = 50∘ ∠D = 35∘ ∠AEC
5 如图， ， ， ， ，求 ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 12 讲 全等三角形（二）
例题练习题答案
例1 如图， ∠BDA = ∠BDC ，BD是∠ABC的角平分线．求证： △ ABD ≌ △ CBD ．补全下列过程：
证明：∵BD是∠ABC的角平分线
∴________=________（ ）
在△ABD和△_________中
⎧_____ = ∠BDC
（）
⎨BD = ______
⎩ （）
∠ABD = ______
（）
∴_________≌_________（ ）
例2 如图，D是AC上一点， AB = AD ，DE∥AB， ∠C = ∠E ．求证：△ABC≌△DAE．
例3 如图， ， ，求证：
(1)△ADC≌△AEB；
(2)△BMD≌△CME．
AC⊥BC BD⊥AD AC = BD △ ABC △ BAD
例4 如图， ， ， ．求证： ≌ ．
补全下列过程：
AC⊥BC BD⊥AD
证明：∵ ，
∴________与________是____________
在Rt△ABD和____________中
AB = ______
{ （）
BD = ______
（）
∴_________≌_________（ ）例5 如图，AC⊥BC，AD⊥BD， AD = BC ，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，求证： CE = DF ．
例6 如图，在已知两个条件的情况下，添加一个条件以证明△ABC≌△EDC，其中说法正确的是（ ）
AC = CE AB = DE BC = CD
A： 已知 ， ，再添加条件 即可使
用“SSS”证明△ABC≌△EDC
AC = CE AB = DE ∠ACB = ∠DCE
B： 已知 ， ，再添加条件
即可使用“SAS”证明△ABC≌△EDC
∠A = ∠E AB = DE ∠ACB = ∠DCE
C： 已知 ， ，再添加条件
即可使用“ASA”证明△ABC≌△EDC
∠A = ∠E AB = DE ∠B = ∠E
D： 已知 ， ，再添加条件 即可
使用“AAS”证明△ABC≌△EDC
例7 (1)如图，点D、E分别在AB、AC上，BE、CD相交于点O， AE = AD ，若要使△ABE≌△ACD，
则添加一个条件不能是（ ）AB = AC
A：
BE = CD
B：
∠B = ∠C
C：
∠ADC = ∠AEB
D：
(2)下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
AB = DE BC = EF ∠A = ∠D
A： ， ，
∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F
B： ， ，
AC = DF ∠B = ∠F AB = DE
C： ， ，
∠B = ∠E ∠C = ∠F AC = DF
D： ， ，
(3)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
AB = DC AC = DB
A： ，
AB = DC ∠ABC = ∠DCB
B： ，
BO = CO ∠A = ∠D
C： ，
AB = DC ∠DBC = ∠ACB
D： ，
例8 一块三角形玻璃板不慎被小明碰破，成了四片碎片（如图所示），聪明的小明经过仔细的考虑认
为只带其中两块碎片去玻璃店，就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃板．你认为下列四个答案
中可以的是（ ）
A： 带其中的任意两块去都可以
B： 带1、2或2、3去就可以了C： 带1、4或3、4去就可以了
D： 带1、2或2、4去就可以了
例9 (1)如图，在△ABC和△DEF中，AP、DQ分别为BC、EF边上的高， AB = DE ， ∠C = ∠F ，
AP = DQ ，若要证明△ABC≌△DEF，需要先使用________（填判定方法）证明
△____≌△____；再使用________（填判定方法）证明△ABC≌△DEF．
(2)如图，在△ABC和△DEF中，AP、DQ分别为角平分线，且 AP = DQ ， ∠C = ∠F ，
∠B = ∠E ，若要证明△ABC≌△DEF，需要先使用________（填判定方法）证明
△____≌△____；再使用________（填判定方法）证明△ABC≌△DEF．
(3)如图，在△ABC和△DEF中，AP、DQ分别为中线，且 AP = DQ ， AB = DE ，
BC = EF ，若要证明△ABC≌△DEF，需要先使用________（填判定方法）证明
△____≌△____；再使用________（填判定方法）证明△ABC≌△DEF．
BD = CD BF⊥AC CE⊥AB ∠BAC
例10 如图， ， ， ．求证：点D在 的平分线上．1 如图，已知CD，BE相交于A，M是BC的中点， ∠1 = ∠2 ， ∠3 = ∠4 ，求证： BD = CE ．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 12 讲 全等三角形（二）
自我巩固答案
AD = AE ∠BAC = ∠DAE ∠3 +∠AEC = 180∘ ∠1 = 25∘
1 如 图 ， ， ， ， ，
∠2 = 30∘ ∠3 =
，则 （ ）
55∘
A：
50∘
B：
45∘
C：
60∘
D：
2 如图，已知AB∥CD， ∠ABC = ∠CDA ，求证： AD = BC ．补全证明过程正确的是（ ）
证明：∵AB∥CD，
∠BAC = ∠DCA
∴ ．
在△ABC和△CDA中，
⎧________________
，
⎨ ∠ABC = ∠CDA
⎩ ，
________________
，∴△ABC≌△CDA（AAS），
AD = BC
∴ ．
∠BAC = ∠DCA ∠ABD = ∠CDB AC = CA
（ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） ； （ 4 ）
AB = CD
．
A： （2）（3）
B： （1）（4）
C： （2）（4）
D： （1）（3）
3 如图，在△ABC中， AB = AC ，AE是经过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于
D，CE⊥AE于E， AD = CE ，则∠BAC的度数是（ ）
45∘
A：
60∘
B：
90∘
C：
120∘
D：
4 下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A： 一条边对应相等
B： 任意两条边对应相等
C： 一个锐角对应相等
D： 两个锐角对应相等
5 如图，B、C、F、E四点在一条直线上， BF = CE ， ∠A = ∠D ， ∠1 = ∠2 ．
△ ABC △ DEF
求证： ≌ ．补全证明过程正确的是（ ）BF = CE
证明：∵ ，
BC = EF
∴ ．
在△ABC和△DEF中
⎧ ∠1 = ∠2
⎨∠A = ∠D
⎩
________
∴△ABC≌△CDA（_________）．
AD = BC
∴ ．
BF = CE BC = EF
（1） （2）
（3）ASA （4）AAS
A： （2）（3）
B： （1）（4）
C： （2）（4）
D： （1）（3）
6 如图， AB⊥BD 于点B， ED⊥BD 于点D，AE交BD于点C，且 BC = DC ．求 证
AB = ED
．
7 如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、
F．求证： ．8 如图，已知 DE⊥AC ， BF⊥AC ，垂足分别是E、F， AE = CF , DC // AB ．证明：
DE = BF
．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 12 讲 全等三角形（二）
课堂落实答案
1 如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且 AC = BD ，那么Rt△AEC≌Rt△BFD
的理由是
（ ）
A： SSS
B： AAS
C： SAS
D： HL2 如图， EF⊥BC 于点F， ED⊥AB 于点D交BC于点M， BD = EF ．求证： BM = ME ．
补全证明过程正确的是（ ）
证明：∵EF⊥BC，ED⊥AB
∴___________________
在△BDM和△EFM中
⎧∠BDM = ∠EFM
⎨∠BMD = ∠EMF
⎩
BD = EF
∴________________ （______）
BM = ME
∴
∠BDM = ∠EFM ∠BMD = ∠EMF
（1） （2）
（3）△BDM≌△MEF（4）△BDM≌△EFM
（5）ASA （6）AAS
A： （1）（3）（6）
B： （1）（4）（5）
C： （2）（4）（6）
D： （1）（4）（6）
∠ABD = ∠DCA EB = EC AC = BD
3 如图， ， ，求证： ．
4 如图，AB⊥BD，CD⊥BD， AD = BC ．求证：（1） AB = DC ；（2）AD∥BC．思维突破 / 初一 / 秋季
第 13 讲 全等三角形综合（一）
例题练习题答案
DM = EM ∠B = ∠C AB = AC
例1 如图， ， ，求证： ．
例2 如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且 BE = CF ，
求证：AD平分∠BAC．
∠1 = ∠2 ∠3 = ∠4
例3 如图， ， ，求证：
AB = CD
(1) ；(2)AD∥BC．
∠D = ∠E DN = EM AM = CN AB = BC
例4 如图， ， ， ．求证： ．
例5 如图，AD、EF、BC相交于点O，且 OA = OD ， BO = OC ， OE = OF ，求证：
△AEB≌△DFC．
例6 已知 AC 与BD相交于 E ， AE = DC ， AD = BE ， ∠ADC = ∠DEC ，求证：
（1）△ABE≌△CAD；
AB = CD+CE
（2） ．
例7 如图1， BE⊥AC ， DF⊥AC ， AB = CD 且 AB // CD ，连接BD交AC于G．
（1）求证：BD平分EF；
△ ABE
（2）如图2，若将 向左平移，其他条件不变，上题中结论是否仍然成立？请证明．例8 四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO．
△ ABC ∠ACB = 90∘ AC = BC MN C AD MN D
例9 在 中， ， ，直线 经过点 ，且 ⊥ 于 ，
BE MN E.
⊥ 于
MN C 1
（1）当直线 绕点 旋转到图 的位置时，
△ ADC △ CEB DE = AD+BE
求证：① ；② ；
MN C 2
（2）当直线 绕点 旋转到图 的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；
.
若不成立，请说明理由
例10 如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与
BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．
（1）求证：△DBN≌△DCM；
（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．C AB DA⊥AB EB⊥AB FC⊥AB DA = BC
1 如图，点 在线段 上， ， ， ，且 ，
EB = AC FC = AB ∠AFB = 51∘ ∠DFE
， ， ，求 的度数．
思维突破 / 初一 / 秋季
第 13 讲 全等三角形综合（一）
自我巩固答案
AD = AE
1 如图，在不添加任何辅助线的情况下，下列条件不能得到 的是（ ）
A： OA平分 ∠BAC ， ∠AOD = ∠AOE
B： OA平分 ∠BAC ， ∠B = ∠CC： OA平分 ∠BAC ， AB = AC
∠B = ∠C OB = OC
D： ，
AD = AE AB = AC BF = CF
2 如图， ， ，证明： ．下列思路正确的是（ ）
△ DBF △ ECF
A： 直接用“AAS”证明 ≌
△ ABE △ ACD △ DBF △ ECF
B： 先用“SAS”证明 ≌ ，再用“AAS”证明 ≌
△ ABE △ ACD DBF △ ECF
C： 先用“SAS”证明 ≌ ，再用“SAS”证明△ ≌
△ ABE △ ACD △ DBF △ ECF
D： 先用“AAS”证明 ≌ ，再用“ASA”证明 ≌
3 如图， AC = AD ，下列条件不能证明△BCE≌△BDE的是（ ）
CE = DE
A：
∠CAB = ∠DAB
B：
∠ACE = ∠ADE = 90∘
C：
∠AEC = ∠AED
D：
4 如图，AB∥EF∥DC， ∠ABC = 90∘ ， AB = DC ，求证： BE = CE ．
AD = AE ∠B = ∠C DF = FE
5 如图， ， ，证明： ．6 如图， AC = BD ，且M为AB中点， CM = DM ．求证： AD = BC ．
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第 13 讲 全等三角形综合（一）
课堂落实答案
1 如图，在Rt△ACD和Rt△BEC中， ∠C = 90∘ ，若 AD = BE ， DC = CE ， 证 明 ：
DO = OE
．则下列正确的证明方式是（ ）
①用“SAS”证明△ACD≌△BCE； ②用“HL”证明△ACD≌△BCE；
③用“AAS”证明△AOE≌△BOD；④用“ASA”证明△AOE≌△BOD
A： ②
B： 先②后③
C： 先①后③
D： 先④后②OC = OD AC = BD ∠AOP = ∠BOP
2 如图， ， ，求证： ．
3 如图， AB = AC ，AD⊥BC于点D， AD = AE ，AB平分∠DAE交DE于点F，请你写出图中所
有的全等三角形，并选取其中一对加以证明．
4 如图， ∠E = ∠F ， ∠1 = ∠2 ， AE = AF ，求证：△AMB≌△ANC．
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第 14 讲 全等三角形综合（二）
例题练习题答案
例1 如图，在Rt△ACB中， ∠C = 90∘ ，BD为∠ABC的平分线，且 CD = 2 ， AB = 8 ，则△ABD的
面积为__________．
例2 (1)如图，在△ABC中，O是 ∠ABC 与 ∠ACB 的平分线的交点．求证：点O在 ∠A 的平分线上．(2)如图，在△ABC中，∠BAC，∠MBC的平分线交于点D．求证：点D在 ∠NCB 的平分线上．
l l l
例3 如图，直线 1、 2、 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到
三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A： 1处
B： 2处
C： 3处
D： 4处
例4 如图，在 △ ABC 中，BD是 ∠ABC 的平分线，CD是 ∠ACE 的平分线， ∠BAC = 70∘ ，求
∠CAD
的度数．
例5 如图，已知AB∥CD，点O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC，且 OE = 2 ，则两条平
行线AB、CD间的距离是多少？例6 如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C=180°．
AB = AC ∠BAC = ∠BOC = ∠DAE
例7 如图， ， ，求证：
(1)△ABD≌△ACE；
(2)OA平分∠BOE．
例8 如图，△ABC中， ∠A = 60∘ ，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，P为BE、CD的交点，求证：
BD+CE = BC
．
例9 在△ABC中， ∠BAC = 90∘ ， AB = AC ，BE平分 ∠ABC ，与AC交于D， CE⊥BE ．求
1
CE = BD
证： ．
2例10 (1)如图，在△ABC中， AB > AC ，求证： ∠C > ∠B ．
(2)如图，在△ABC中， ∠C > ∠B ，求证： AB > AC ．
1 (1)如图，AB∥CD，EG⊥AB，P在EG上，PF⊥BD，且 PF = PG = PE ，求∠BPD的度数．
(2)如图，AB∥CD，EG⊥AB，P在EG上，PD平分∠BDC， ∠BPD = 90∘ ，且
GD+BE = BD PE = PG
，求证： ．
(3)如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证： AB = AC +BD ．思维突破 / 初一 / 秋季
第 14 讲 全等三角形综合（二）
自我巩固答案
1 如图，BP、CP分别为 ∠ABC 和 ∠ACE 的角平分线，若 ∠A = 45∘ ，则 ∠P 的度数是（ ）
20∘
A：
22.5∘
B：
25∘
C：
30∘
D：
2 如图，点P为定角 ∠AOB 的平分线上的一个定点，且 ∠MPN 与 ∠AOB 互补，若 ∠MPN 在绕
点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）
PM = PN OM +ON PMON
恒成立；（2） 的值不变；（3）四边形 的面积不变；
MN
（4） 的长不变，其中正确的个数为（ ）．
A： 4
B： 3C： 2
D： 1
ABCD AC ∠BAD C CE⊥AB E
3 如 图 ， 在 四 边 形 中 ， 平 分 ， 过 作 于 ， 并 且
1
AE = (AB +AD) ∠ABC +∠ADC
．则 的度数为（ ）
2
160∘
A：
180∘
B：
200∘
C：
220∘
D：
4 （4分）如图， ∠B = ∠C = 90∘ ，M为BC的中点，AM平分 ∠DAB ，求证：DM平分
∠ADC
．
5 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC
的延长线于G．求证：BF=CG．
6在 △ ABC 中 ， AD 是 ∠BAC 的 平 分 线 ， E 、 F 分 别 为 AB 、 AC 上 的 点 ， 且
∠EDF +∠EAF = 180∘ DE = DF
，求证 ．
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第 14 讲 全等三角形综合（二）
课堂落实答案
∠MON PA⊥ON PA = 2
1 如图，OP平分 ， 于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若 ，则PQ
的最小值为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
2 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角
形，则S ：S ：S 等于 ．
△ABO △BCO △CAO3 如图，已知 △ ABC 的周长是18cm， OB 、 OC 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB ， OD⊥BC 于点
D
，若
△ ABC 的面积为45cm2
，则
OD
=_____________．
4 如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且 CD = CA ，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点
F．求证： CE⊥CF ．
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第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 如图， DE ∥ BC ， ∠D : ∠DBC = 2 : 1 ， ∠1 = ∠2 ， ∠E 的度数 是（ ）
30∘
A：
45∘
B：
60∘
C：
30∘ 60∘
D： 或
2 如图，A在DE上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（ ）A： DC
B： BC
C： AB
D： AE＋AC
(a2 −1)(a+1)(a+b+1)
3 整式 展开并且合并同类项后，共有（ ）
A： 7项
B： 8项
C： 10项
D： 12项
4 下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是（ ）
(−a−b)(−b+a)
A：
(xy +z)(xy −z)
B：
(−2a−b)(2a+b)
C：
(0.5x−y)(−y −0.5x)
D：
△ ABC
5 根据下列条件，不能画出唯一 的是（ ）
A： ∠A=30°，AB=3，∠B=45°
B： ∠A=90°，AB=3，BC=5
C： AB=5，BC=3，AC=10
D： ∠A=30°，∠B=60°，BC=3△ ABC
6 如图,Rt 中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AC，AD=CD，若AB=2，则AC=（ ）
A： 8
B： 6
C： 2
D： 4
3
(a2 −2b) =
7 __________
8 已知 △ ABC 中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AB边上的高CE与∠ABC的角平分线BD交于点F，则
∠BFC=__________
9 如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，判断下列结论的正确性：
（1）∠1=∠2；……………………（ ）
（2）BE=CF; ……………………（ ）
△ ACN ≅△ ABM
（3） ;…………（ ）
（4）CD=DN……………………（ ）
a−b = 4 ab = 1 7a2 +7b2 −2ab
10 若 ， ，则 的值为__________．
(2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)+1=
11 计算： __________．
12 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，DE、AE分别为∠ADC、∠BAD的平分线交于BC边上的点
E,∠CED=40°，则∠AEB=__________13 已知 4x2 +4mx+36 是完全平方式，则m=__________
14 计算：
1 1
(2a+b)2 (− +3y)(− −3y)
（1） （2）
2 2
(x+3)2 −(x−3)2 (a+2b)(a2 −2ab+4b2)−(a+b)3
（3） （4）
15 如图，已知AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，求∠BCE的度数.
16 如图，BC的延长线交DA于F，交DE于G， ∠ACB = ∠AED = 105∘ ， ∠CAD = 15∘ ，
∠B = 30∘ ∠DGF = 60∘ AB = AD
， ， ．
△ ABC △ ADE
求证： ≌ ．
17 如图，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：∠DAE=∠CBE.
18 如图，∠BAC=90°，AB=AC，D点在AC上，E点在BA的延长线上，BD=CE，BD的延长线交CE于
F．证明：（1）AD=AE
（2）BF⊥CE．
19 如图，BD平分∠ABC，∠ABE+∠ADC=180°，DE⊥BC，求证：BE=AB+CE
20 已知数轴上两点A、B对应的数分别为 −1 ，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
(1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值．若不存在，
请说明理由？
(3)当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，
点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离
相等？
(a±b) = a2 ±2ab+b2
21 我们知道完全平方公式是指 这两个公式，有时候将公式逆用，可以解
决很多问题，例如已知
4a2-4a+1=0
，求a的值，利用完全平方公式可得，条件等价于
1
(2a−1)2 = 0 ，再利用完全平方的非负性，可得2a-1=0，即 a = ，请解决以下问题：
2
（1）已知a、b满足
4a2+4ab+2b2+2b+1=0
，求a、b的值；
（2）已知有理数x，y，z满足 x2 +y2 +z2 −2x+4y −6z +14 = 0 ，求x+y+z的值.
