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思维突破 / 初一 / 暑假
第 1 讲 有理数的概念与加减
例题练习题答案
例1 判断下列说法是否正确：
( 1 ) 向东走5m和向东走3m不是一对具有相反意义的量；
( 2 ) 负数就是在一个数前面加上负号；
( 3 ) 正数、0、负数构成有理数；
( 4 ) 无限小数不是有理数；
( 5 ) 一个有理数不是整数就是分数．
例2 按要求选择下列各数：
1 1 9
8，3，0，−1.5， ，−0.037，+0.62，−3，3 ，− ，
4 2 8
+2，−7．
(1)属于整数的有______________；
(2)属于分数的有______________；
(3)属于正数的有______________；
(4)属于负数的有______________；
(5)属于正整数的有______________；
(6)属于负整数的有______________；
(7)属于正分数的有______________；
(8)属于负分数的有______________；
(9)属于非正数的有______________；(10)属于非负数的有______________；
(11)属于非负整数的有______________；
(12)属于非正整数的有______________．
例3 1 3
画一条数轴，在数轴上表示1、−2、 、− ，并把它们用“ < ”连接起来．
2 2
例4 (1)在数轴上与原点距离为3个单位长度的点有__________个，它们分别表示有理数__________；
(2)已知数轴上的点A到原点的距离是2，那么数轴上到点A的距离为3的点有__________个，它们
分别表示有理数___________________．
例5 点A、B分别是数−4、−1在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到A ′ B ′ ，且线段A ′ B ′ 的中
′
点对应的数是3，则点A 对应的数是___________________．
例6 下列说法正确的是_______________________．（多选）
A．符号不同的两个数是相反数；
B．互为相反数的两个数必是一个正数，一个负数；
C．只要有原点、单位长度、正方向的线就是数轴；
D．和为零的两个数互为相反数；
E．数轴上右边的数一定比左边的数大；
F．数轴上两点之间的距离即这两点对应的数的绝对值之差；
G．−a(a ≤ 0)的相反数是一个非正数；
H．互为相反数的数在数轴上的点一定在原点两侧；
I．数轴上长度为a的线段，最多能盖住的整数点的个数为不超过a的最大整数．
例7 请去掉下列式子中的括号：
（1）−[+(−a)]；
（2）−[−(−a)]；
（3）−(a+b−c)；
（4）−[(−x)−(y−z)]．
例8 (1)计算：−|−(−2)| = _______，||π −3| −1| = _________；(2)若|x| = 2，那么x的值为_________；
(3)−|x|+2有最_______（填“大”或“小”）值为__________；
(4)已知|a+4|和|b−3|互为相反数，则a−2b+3 = __________．
例9 已知|a+4|+|b−3| = 0，求a、b的值．
例10 计算：
（1）−19+8；
5 7
( )
（2） + − ；
6 3
（3）−39−24；
13 8
（4） − ；
7 3
（5）(+3.41)−(−0.59)；
5 3
( ) ( )
（6） −12 − −9 ；
7 7
（7）−205+37−149+90；
（8）−7.2−(−3.9)−8.4+12；
2 1 5
（9）−14 +3 −2 ；
3 4 6
（10）(+4.7)−(−8.9)−(+7.5)+(−6)；
（11）−{⋯−{+{⋯+{+[+(+3)]}}}}+4.7−(−3.3)+(−7)．
⏟
11个“−”和9个“+”
1 可怜的颜瑞瑞被困在了数轴上，只能学跳蚤在数轴上不停地跳来跳去，他一开始在数轴上的某点
K ，第一步从K 向左跳1个单位长度到K ，第二步由K 向右跳2个单位长度到K ，第三步由K 向
0 0 1 1 2 2
左跳3个单位长度到K ，第四步由K 向右跳4个单位长度到K ，⋯，按以上规律跳了100步时，颜
3 3 4
瑞瑞落在数轴上的点K 所表示的数恰是2016，试求他的初始位置K 所表示的数．
100 0思维突破 / 初一 / 暑假
第 1 讲 有理数的概念与加减
自我巩固答案
1 大于−2.5，小于1.5的整数共有（ ）
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
2 最大的负整数是（ ）
A： −2
B： −1
C： 0
D： 1
3 数轴上，点A到原点的距离等于3，A、B两点的距离为4，点B表示的数为（ ）
A： 7或1
B： −7或−1
C： ±7或±1
D： 7或−1
4 下列选项中，结果一定是非负数的为（ ）
A： |−a|−1
B： +a+1
C： −|a|D： 2
a +|b|
5 下列说法错误的是（ ）
A： 所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B： 数轴上离原点越远的点，表示数越大
C： 数轴上的原点表示0
D： 在数轴原点左边离原点越远，数就越小
6 −|−a|−5有最__________值，值为__________．横线处填入的应为（ ）
A： 大，5
B： 小，5
C： 大，−5
D： 小，−5
7 2
计算：(−5)−(−7)−5 = （ ）
3
A： 2
7
3
B： 2
−3
3
C： 2
12
3
D： 2
−7
3
8 5 3 1
( ) ( ) ( )
计算： −4 +(−7.75)+ −1 + −2 = （ ）
8 8 4
A： −10B： −12
C： −13
D： −16
9 已知|x| = 3，|y| = 2，|x−y| = y−x，则y−x = （ ）
A： 1
B： 5
C： 1或5
D： −1
10 （1）a−b的相反数是__________，−a−b的相反数是__________；
（2）一个数的绝对值大于它本身，则这个数一定是__________；
（3）绝对值大于1且不大于5的所有负整数之和为__________；
（4）若有理数a的绝对值的相反数是−5，则a的值是__________．
11 在数轴上画出下列各数，并把它们从大到小排列起来．
−|−2|、−π 、0、−4.5、−(−3)．
12 已知|a+1|与|b−2|互为相反数，求a−b的值．
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第 1 讲 有理数的概念与加减
课堂落实答案
1 判断：
( 1 ) −a一定是负数；
( 2 ) 0没有相反数；
( 3 ) 相反数最小的有理数是0；
( 4 ) 绝对值最小的有理数是0；( 5 ) 已知甲数的绝对值大于乙数的绝对值，则甲数大于乙数；
( 6 ) 两个不同的有理数的绝对值的和一定大于零．
2 填空：____________的相反数等于它本身，____________的绝对值等于它本身．
3 数轴上表示数字3的点向左移动5个单位长度，再向右移动8个单位长度，移动后的点所表示的数为
____________．
4 已知|x+2|+|y−1| = 0，求x−y = ________．
5 2
在−2、+3.5、0、− 、−0.7、11中，负分数有________个．
3
6 6
不超过− 的最大整数是________．
5
7 计算：(+12)−(−18) = ____________．
8 7 4 7
( ) ( )
计算：−6 + +4 − −3 = ____________．
9 15 9
9 3 2 2 1
( ) ( ) ( )
计算： + − + + + − = ____________．
5 3 5 3
10 在−a与a之间（不包含−a和a）有2019个整数，求整数a的值．
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第 2 讲 有理数的乘除与混合运算
例题练习题答案
例1 计算：3 4
( )
（1） × −5 ；
7 9
4
( )
（2）(−0.8)× − ×15；
5
2 3
( )
（3） ÷ − ；
3 4
1
( )
（4） −1 ÷(−12)÷(−4)；
5
7 20 9 15
( ) ( )
（5） − × × − ÷ ；
24 3 14 4
（6）(−2015)×2.105÷201.5×0÷(−20.15)．
例2 计算：
2 2 3 1
( ) ( ) ( )
（1） −2 ÷ × −3 ÷ −4 ；
3 3 4 2
（2）[(−3)×(−14)−25]×[−8−12×(−6)]；
（3）(−8−1)×[3−(−7.2)]÷(−2.5+3)；
3
（4） ÷ (2−3.2)×3−[(−2)×(−3.5)−3] ．
5
例3 填空：
(1) 4
3 =_______；
(2) 4
(−3) =_______；
(3) 4
−3 =_______；
(4) 4
−(−3) =_______；
(5) 3
2
=_______；
3(6) 2
( )3
=_______；
3
(7) 2
=_______；
3
3
(8) 3
−2
=_______；
3
(9) 2
(−2) =_______；
(10) 3
(−2) =_______；
(11) 2
−2 =_______．
例4 2 4 3 4 5
已知(a+2) +(c−3) = −|b|，求a −b +c 的值．
例5 比较大小：
33 44 12 9 50 80
（1）4 和3 ；（2）9 和16 ；（3）40 和10 ．
例6 计算：
2016
（1）1−(−1) ；
2
2 3
( )2
（2）− × − ；
3 2
（3）−8×(−5)−63；
（4）−4−(−1)+(−6)÷2；
（5）−3−[−2−(−8)×0.125]；
2 2 3
（6）−2 ×(−2)−(−2) ×(0−2) ；
2
（7）5×(−6)−(−4) ÷(−8)；
4 2 3
（8）−2 +(3−7) − |2×(−1) |．
例7 计算：1 1 2 2
( )2 ( )
（1） − + × − | −2| ；
2 2 3 3
1
2016
（2）−1 −(1−0.5)× ；
3
1 6 1
( ) ( )
（3）2 × − ÷ −2 ；
4 7 2
3 2 2
( )3
2
（4）(−3) − × −6÷ | − | ．
2 9 3
例8 2 2 3 3 n n
计算：S = 1+(−1)+1 +(−1) +1 +(−1) +⋯+1 +(−1) ．
例9 小明喜欢做发财的美梦！有一天他做梦，梦到自己买彩票，中了4万亿元！但是他在梦里都数不清
了，所以机智的用科学记数法来表示，那么应该表示为______________元．
例10 (1)2.070412保留两个有效数字是______________，保留三个有效数字是______________，保留四
个有效数字是______________；
(2)中国2013年的GDP总产值为588019亿元，588019亿用科学记数法表示应是（ ）（结果保
留2个有效数字）
A： 12
5.88×10
B： 13
5.8×10
C： 13
5.9×10
D： 12
5.9×10
1 x
已知x+y、x−y、xy、 均为有理数，如果它们中恰有三个数相等，求x、y的值．
y
思维突破 / 初一 / 暑假第 2 讲 有理数的乘除与混合运算
自我巩固答案
1 3.05万是精确到（ ）位的近似数．
A： 百分
B： 万
C： 千
D： 百
2 海洋的总面积约为360000000平方公里，用科学记数法表示为（ ）平方公里．
A： 8
3.6×10
B： 7
36×10
C： 9
0.36×10
D： 7
3.6×10
3 1 1 1
( )
计算：60÷ − + = （ ）
4 6 3
A： 22
B： 25
C： 60
D： 144
4 2 3 4 5
若a b c d > 0，则（ ）
A： abcd > 0
B： 2 5 4
a b c d > 0
C： 5 4 3 2
a b c d > 0
D： 4 6 7 10
a b c d > 05 2 4 2
计算：−4 +(−2) −3 = （ ）
A： −1
B： −9
C： 1
D： 9
6 下列计算中正确的有（ ）个．
1 1 1 1
( )
2
①(−2) = −4；②−|−5| = 5；③ − ×(−12) = − ×12+ ×12 = 2；
3 2 3 2
1 1 3 2 1 2 1 3 1 1
( )
④(−3)÷(−2)× = 3；⑤ ÷ − = × − × = − = 0．
2 10 2 3 10 3 10 2 15 15
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
7 1
[ ]
201 2
计算：−1 −(1−0.5)× × 1−(−3) = （ ）
3
A： 8
−
3
B： 7
−
3
C： 1
3
D： 2
3
8 计算：5 1 2 1
[( ) ( ) ( )]
（1）−7 − −6 ÷ +3 − −3 ；
6 9 3 2
{ [1 1 ] }
( )3
2 5
（2） 3− − −1 ×(−9) ×(−1) ；
9 3
3 4 1 2
[ ( )]2 [( ) ]3
（3） 1− × 1− ÷ 1−1 × ；
5 9 2 3
1 1 1
( ) | |
2 2016
（4） − ×5 ÷ − +(−1) ．
3 5 3
9 2 1000 999
已知(x+2) + |y+1| = 0，试求(x+3) +y 的值．
10 a
设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1、a+b、a的形式，又可分别表示为0、 、b的形
b
2016 2017
式，求a +b 的值．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 2 讲 有理数的乘除与混合运算
课堂落实答案
1 判断题：
( 1 ) 2 2
( )2 ( )2
− − − = 0；
3 3
( 2 ) 10
某次购物节上全国人民的总购物额为971亿元，用科学记数法表示971亿为9.71×10 ；
( 3 ) 3.1415926近似到万分位是3.14159．
2 对于任意实数a，下列各式一定成立的是（ ）
A： 2 2
a = (−a)
B： 3 3
a = (−a)C： 2 2
−a = |a|
D： 3 3
|a| = a
3 下列说法正确的是（ ）
A： 近似数1.60和近似数1.6的有效数字一样
B： 近似数1.60和近似数1.6的精确度一样
C： 近似数250万和2500000的精确度一样
D： 近似数8.4万和0.8万的精确度一样
4 100 4
计算：(−1) ×5+(−2) ÷4 = （ ）
A： −1
B： 9
C： 3
D： −7
5 3 7 7 7
( ) ( )
计算： 1 − − ÷ − = ____________．
4 8 12 8
6 2 3 3 3
计算：−2 ÷(−2)+(−2) ×(0−2) ÷(−2) = ____________．
7 2 8
( ) ( )
( )
2
计算： − ÷ − ÷ −0.5 = ____________．
3 5
8 5 1 3
计算：8× + +(−6)÷ = ____________．
4 4 8
9 1 1
( )2 ( )
3
计算：−2× − +|−(−2)| − − = ____________．
2 2
10 3 [ 2 ]
( )2
2
计算：− × −3 × − −2 = ____________．
2 311 在−3、−2、−1、4、5中选取三个不同的数字，并把选取的三个数字相乘，所得乘积的最大值记为
a，最小值记为b，求a÷b的值．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 3 讲 有理数计算综合
例题练习题答案
例1 计算：
（1）36.54+22−82+63.46；
3 1 12 5 12
( ) ( )
（2）− − − − −1 +(−2.25)− −8 ；
8 2 19 8 19
1 1 1 1
| | | | ( ) ( )
（3） −4 −|−0.125|− −3 − −6 + −5 ；
8 3 7 7
1 1 1 1 1 1 1 1 1
| | | | | | | | | |
（4） −1 + − + − +⋯+ − + − ．
2 3 2 4 3 9 8 10 9
例2 计算：
1
（1）49×7× ；
7
3 7 3 10
( ) ( )
（2）− × − × −1 × ；
4 4 5 63
1 3 2 4 3 5 2014 2016 2015 2017
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
（3） − × × − × × − × ×⋯× − × × − × ．
2 2 3 3 4 4 2015 2015 2016 2016
例3 计算：
7 3 5
[ ]
（1） − + − −(−1) ×(−36)；
12 4 6
1 1 1 1
[( ) ( ) ( )] ( )
（2） + − − − + ÷ − ；
7 3 5 10524 4 3 1 33
[ ]
（3） − + − ÷(−24)+ − ；
5 3 4 18 32
1 1 1 7 2 1 7
| ( )| ( )
（4） 31 ÷ − − − − +7 × − ．
2 6 9 21 63 5 6
例4 计算：
（1）17.48×37+17.48×19+17.48×44；
4 5 3 5 5 3
( ) ( )
（2） × + − × + × −1 ；
5 13 5 13 13 5
2 2 1 5
（3）−1.4× +0.54× + ×(−1.4)+ ×0.54．
3 7 3 7
例5 计算：
（1）11+192+1993+19994+199995；
2 2 2 2 2
（2）9 +99 +999 +9999 +99999 +1；
5 5 5 5 5
2013 1006
（3）2015× −1006× ．
2014 1007
例6 计算：
2
（1）2017×2015−2016 ；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
（2） + + + × + + + − + + + + × + + ．
8 9 10 11 9 10 11 12 8 9 10 11 12 9 10 11
例7 计算：
（1）3+6+9+⋯+96+99；
（2）7+10+13+⋯+67．
例8 计算：
1 1 1 1
（1） + + +⋯+ ；
1×3 3×5 5×7 99×1011 1 1
（2）1+ + +⋯+ ；
1+2 1+2+3 1+2+3+⋯+100
1 1 1 1
（3） + + +⋯+ ．
1×2×3 2×3×4 3×4×5 48×49×50
例9 计算：
（1）1×2+2×3+3×4+⋯+99×100；
（2）1×2×3+2×3×4+⋯+98×99×100．
例10 计算：
1 1 1
（1） + +⋯+ ；
3 2 n
3 3
2 3 10
（2）1−2+2 −2 +⋯+2 ．
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
计算：1×2 +2×2 +3×2 +4×2 +5×2 +6×2 + 7×2 +8×2 +9×2 +10×2 ．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 3 讲 有理数计算综合
自我巩固答案
1 1 1
( )
计算：12÷ − = （ ）
3 2
A： 2
B： 72
C： −2
D： −72
2 1 1 7
( )
计算： − + ×24 = （ ）
3 2 12A： 8
B： 9
C： 10
D： 11
3 计算：3.54×11+35.4×8.9 = （ ）
A： 354
B： 346.92
C： 350.46
D： 357.54
4 1
( )
计算：(−36.35)+(−7.25)+26.35+ +7 = （ ）
4
A： 17
B： 10
C： −4
D： −10
5 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
计算： −1 × −1 × −1 ×⋯× −1 × −1 = （ ）
2019 2018 2017 999 998
A： 997
2020
B： 997
2019
C： 997
2018D： 997
2017
6 1 1 1 1 1
计算： + + + +⋯+ = （ ）
1×2 2×3 3×4 4×5 99×100
A： 1
B： −1
C： 99
100
D： 98
−
99
7 计算：1+3+5+⋯+2017 = ____________．
8 若有10个互不相等的正有理数，每9个数的和都是“分母为22的既约真分数”（分子与分母无公
约数的真分数），则这10个正有理数的和为（ ）
A： 1
2
B： 11
18
C： 7
6
D： 5
9
9 计算：
（1）19+199+1999+19999+199999；
2 3 4 10
（2）5−5 +5 −5 +⋯−5 ．10 1 1 1 1 1
在数学活动中，小明为了求 + + + +⋯+ 的值（结果用n表示），设计了如图所示的
2 2 3 4 n
2 2 2 2
几何图形．
1 1 1 1 1
（1）请你利用这个几何图形求 + + + +⋯+ 的值；
2 2 3 4 n
2 2 2 2
1 1 1 1 1
（2）请你利用下图，再设计一个能求 + + + +⋯+ 的值的几何图形．
2 2 3 4 n
2 2 2 2
思维突破 / 初一 / 暑假
第 3 讲 有理数计算综合
课堂落实答案
1 1 2 5 1
( ) ( ) ( )
计算： + − + + + − = （ ）
6 3 6 3
A： 1
1
3
B： 1
3
C： 0
D： 4
−
52 1 1 1
( )
计算： − + ÷ = （ ）
15 9 45
A： −8
B： 6
C： 3
D： 2
3 若A = 12345678×98765，B = 12345679×98763，则A与B的大小关系为（ ）
A： A > B
B： A < B
C： A = B
D： 无法判断
4 6 2 6
( ) ( )
计算：−5 − −3 + +2 = ______________________．
17 5 17
5 3 1 7 3
( )
计算： − × ×3 = ______________________．
4 2 6 7
6 计算：1+3+5+⋯+97+99 = ______________________．
7 1 1 1
计算： + +⋯+ ．
3×5 5×7 99×101
8 小明最近很烦恼，因为双11期间，小红迷恋上了购物，第一天小红花了1元，第二天花了2元，第
三天花了4元，第四天花了8元，⋯，依次类推，小红购物整整两周，若小明日薪为2500元，请问
小明这两周的收入能否够小红这两周购物的花销？
思维突破 / 初一 / 暑假第 4 讲 整式的加减
例题练习题答案
例1 判断下列说法是否正确：
( 1 ) 2
代数式：2 x厘米，符合书写规范；
3
( 2 ) 代数式：aab×(−1)，符合书写规范；
( 3 ) π +1 是单项式；
( 4 ) x y 4
+ + 不是整式；
2 3 z
( 5 ) 0不是整式；
( 6 ) 整式abc没有系数．
例2 下列代数式中哪些是单项式？写出它们的系数和次数；哪些是多项式？写出它们的次数和项数．
3 2
y 4π r ah 7π xy
2 2 2 6
2x+1，−a b， ， ， ，−π r h ，2(ab+bc+ca)，− ，−2 a ，13．
x 3 π 12
例3 (1) 多项式3x 2 yz−1−6y2x 5 +4x 3 y是_____次_____项式，其中最高次项是________，最高次项的次
数是_____，常数项是________，四次项是_______________，各项系数的总和是________；
(2)只含字母x的二次三项式的一次项系数是−3，二次项系数是3，常数项是−5，则这个二次三项
式是______________________；
(3) 若多项式(a−4)x 3 −x b +x−b是关于x的二次三项式，则a−b = ___________．
例4 将多项式x 2 y 2 +4xy 3 −4x 3 y+2y 4 分别按x的降幂、升幂，y的降幂、升幂进行排序．
例5 判断下列说法是否正确：
( 1 ) ab是同类项；
( 2 ) 若两个单项式的次数、元数和系数均相同，则它们是同类项；
( 3 ) 两个完全一样的整式是同类项；
( 4 ) 两个单项式的和一定为多项式；( 5 ) 若A和B都是4次多项式，则A+B一定是4次多项式．
例6 合并同类项：
（1）x+7x−5x；
1 2
（2） y− y+2y；
3 3
2 2 2 2 2 2
（3）7a b−3a b +7+8a b −3−7ab ；
x+3
（4） +1−x．
3
例7 (1) 7
2 m n 3
若−3x y 与− x y 是同类项，则m = _________，n = _________；
11
(2) 1
若关于x、y的代数式x 2 −3kxy−3y 2 − xy−1中不含xy项，则k = _________；
3
(3) 1 2
5 2m n n+1
若两个单项式 x b 与− x b 的和是一个单项式，那么m = _________，n = _________，则
4 3
这两个单项式的和为_________．
例8 化简：
( )
2 2 2 2
（1）−ab − a b−3ab +2a b ；
（2）(8a−7b)−(4a−4b)；
( ) ( )
2 2 2 2
（3） 5a −4ab+2b −2 3a −2ab−2b ；
（4）5a−2b+(−3)[2a−(−b+ab)]；
2 1 3 1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
（5） x −3xy− y − x +6xy− y −3 x − xy+ y ．
5 4 10 2 2 8
例9 2 2
（1）某多项式与2x −x+2的和为3x −2x+1，试求这个多项式；
2 2
（2）已知A = 5a −2ab+6，B = 7ab−8a −7，求3A−2B．
例10 （1）若关于x的多项式2x 3 −6x 2 +x−3与2x 3 +2mx 2 −4x+π 的和不含二次项，则m等于多少？( ) ( )
（2）如果关于x的多项式 8x 2 +6ax+14 − 8x 2 +6x+5 化简后恒为一个常数，求a的值．
1 （1）一个二元三次多项式最多能有多少项？
（2）如果一个多项式的每一项次数都相等，我们就称这个多项式为“齐次多项式”．例如
3 2 2 2
a+b+c就是一个齐次多项式，x +x y+xy 也是一个齐次多项式，但是x +xy+1不是一个齐次
多项式．那么一个三元三次齐次多项式最多能有多少项？
思维突破 / 初一 / 暑假
第 4 讲 整式的加减
自我巩固答案
1 填空：a+b+c = a−(____________)．
2 小明开超市，四月份亏损a万元，五、六月份平均每月比上月的亏损高x%，那么这三个月小明一共
亏损（ ）万元．
A： a(1−x%)
B： 2
a(1+x%)
C： 2
a+a(1+x%)+a(1+x%)
D： 2
a+a(1−x%)+a(1−x%)
3 下列各组式子中，是同类项的是（ ）
A： 1
mn与−π mn
4
B： 5ab与5abc
C： 2 2
2x y与2a b
D： 3 3
a 与54 下列去括号的结果正确的是（ ）
A： −(a−b) = −b+a
B： 2a−3(b−a) = −3b−a
C： 2(a+b)−3(a−b) = −a+5b
D： −[−(a−b)+2(b−a)] = a−b
5 m 4 2 m+n n
若−2a b 与5a b 可以合并成一项，则m = ____________．
6 7x 2 − ( −2x 2 ) +(−6x)+8x 2 −4的计算结果按照x的升幂排序为（ ）
A： 2
−4−6x+13x
B： 2
−4−6x+17x
C： 2
−4+6x+13x
D： 2
4−6x+13x
7 ( 2 ) ( 2 )
计算：3 4x −7x−3 −2 −5x −3x+4 = （ ）
A： 2
22x −27x−1
B： 2
2x −27x−1
C： 2
22x −15x−17
D： 2
2x −15x−17
8 若关于x、y的多项式−3x 2 −2xy−2mx 2 +nxy+x的化简结果不含二次项，则m、n的值分别是
（ ）
A： 3
− 、2
2
B： 0、2C： 3
、−2
2
D： 3
− 、−2
2
9 计算：
( ) [ ( )]
2 2 2 2
（1）x − 3xy−4y − xy− x +5y ；
[ ( )]
2 2 2
（2）7x − −2x −3 −6x+8x −4 ．
10 把多项式10x 3 −7x 2 y+4xy 2 +2y 3 −5写成两个多项式的差，使被减式不含字母y．
11 小明在一次测验中计算一个多项式加上9xy−4yz−3xz时，误认为减去此式，计算出错误的结果为
−4xy+5yz−2xz，试求出正确答案．
12 2 2 [ 2 ( 2 )]
已知A = x −xy，B = −(−3xy)−x ，C = − 2x +(−xy)− +y ，计算：A−B+C．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 4 讲 整式的加减
课堂落实答案
1 2
π a b
单项式− 的系数和次数分别是（ ）
7
A： 1
− ，4
7
B： 1
− ，2
7
C： π
− ，2
7D： π
− ，3
7
2 3 2 3 2
多项式12−2a b−3a b −5ab 的最高次项的系数是（ ）
A： 12
B： −2
C： −3
D： −5
3 2 2 2 2
下列各组式子中：①4xyz和7xy；②0.5xy 和0.5x y；③m n和nm ，其中是同类项的是（ ）
A： ①
B： ②
C： ③
D： ①②
4 下列合并同类项正确的是（ ）
A： 2x+3x = 6x
B： 2 2 2
−3x y+y x = −2x y
C： −2+π −1 =π −3
D： 2 3
m +m = m
5 多项式−(x−y)+(xy−1) 去括号正确的是（ ）
A： −x+y+xy−1
B： −x−y+xy−1
C： x+y+xy−1
D： −x+y−xy+1
6 计算：18m−5n−[20m−(3n−6)] = （ ）A： −2m−8n+6
B： −2m−2n−6
C： −2m−8n−6
D： 28m−8n−6
7 下列式子最后结果是整式并且书写规范的是_____________．
2
1 x y
2
① ；② ；③x⋅3+ ；④x −x+π −1 ；⑤−1×xyz．
x 3 4
8 计算：214a−47a−53a = _____________．
9 ( 3 2 ) 3
填空：− a −a +(a−1) = −a −(__________)．
10 1
( )
( )
计算并把结果按x降幂排列：−5x 2 +3 x− x 2 −2 −12x 2 +4x +2 = ____________．
3
11 2 [ 2 ( 2 )]
计算：7x − −2x + −6x+8x +4 ．
12 整式A = 3x 2 +5x−2与另一个整式B的和是−x 2 −2x+4，求整式A−2B的表达式．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 5 讲 整式的化简求值
例题练习题答案
例1 先化简，再求值：
( ) ( )
2 3 3 2
（1） x −2x +1 − −1+2x +2x ，其中x = −2；
1 1
2 2 2 2
（2）9a −12ab+4b −4a −12ab−9b ，其中a = ，b = − ；
2 22 2 2 2
（3）已知代数式A = 2a+3b，B = 2b−3a，a = x y−xy ，b = 2xy +x y，当x = 1，y = −1时，
求2A−B的值．
例2 1
( ) ( ) ( )
3 2 2 3 2 3 2 3 3
有一道题：“计算 2x −3x y−2xy − x −2xy +y + 3x y−x −y 的值，其中x = ，
2
1 1 1
y = −1”．在计算时，小明错把“x = ”写成“x = − ”；小寒错把“x = ”写成“x = 2”，
2 2 2
但他们俩的运算结果都是正确的，你能探究其中的原因吗？
例3 2
（1）已知−2(a+5) 和−3|2b+a−3|互为相反数，求代数式
2015 2014 2
(a+b) +(a+b) +⋯+(a+b) +(a+b)的值；
( ) [ ]
2 2 2 2 2 2
（2）若多项式2mx −x +5x+8− 7x −3y+5x 的值与x 无关，求m − 2m −(5m−4)+m 的
值；
[ ( )]
m 2 3 n 2 2 2 2 2
（3）若3a bc 和−2a b c 可以合并，求3m n− 2mn −2 m n+2mn 的值．
例4 (1) 2
若a+b = 2，ab = −1，则代数式(a+b) −2ab−2a−2b+1的值是______________；
(2) a−b 2(a−b) 4(a+b)
若 = 2，则 + −1的值为______________；
a+b a+b a−b
(3) 3
当x = −1时，代数式2ax −3bx+8的值为18，则9b−6a+2 = ______________．
例5 2
2 2
（1）若2x +5x−8 = ，求6x +15x−26的值；
3
2 3 2
（2）若x +x−1 = 0，求x +2x 的值．
例6 1
2
（1）若a+b = ，a+c = 2，求代数式(a+c) −3(b−c)−1的值；
2
2 2 2 2
（2）若x +xy = −2，y +xy = 5，求代数式2x +5xy+3y 的值．
例7 2a+3ab−2b
已知a−b = 5ab，且ab ≠ 0，求代数式 的值．
a−b−2ab例8 a b c 2a−3c+b
（1）已知 = = ≠ 0，求 的值；
2 3 4 a−2b−3c
2 2
2 3 4 2a −3bc+b
（2）已知 = = ，求 的值．
a b c 2 2
a −2bc−3c
例9 2 2
b a a +ab+b
若a、b满足 + = 2，则 的值为_________________．
a b 2 2
a +4ab+b
例10 7 7 6
已知恒等式(3x−1) = a x +a x + ⋅ ⋅ ⋅ +a x+a ．
7 6 1 0
（1）求a 的值；
0
（2）求a +a +a +a 的值．
7 5 3 1
1 如图，图中字母均为有理数，各行、各列以及两条对角线上三个数之和都相等，试计算
2 2
(b−c+g−3) −(b−c−d+2e+f−8) 的值．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 5 讲 整式的化简求值
自我巩固答案
1 2
当x = −1时，整式x −10x+9的值是（ ）
A： 0
B： 20
C： 18
D： −22 1
若a和 互为倒数，b和3互为相反数，则多项式2(2a−b)−(2b−a)的值是_________．
3
3 2 2
已知a −2b−1 = 0，则多项式2a −4b+2的值等于（ ）
A： 1
B： 4
C： −1
D： −4
4 已知y = x−1，则x−y+1 = （ ）
A： 2
B： −1
C： 1
D： 0
5 1 2 3 2a+3b−4c
已知 = = ，则代数式 的值为（ ）
a b c a+2b+3c
A： 2
7
B： 2
−
7
C： 7
2
D： 7
−
2
6 若a = 2，b = 20，c = 200，则(a+b+c)+(a−b+c)+(b−a+c)的值是_________．7 5 3 5 3
已知当x = −2时，代数式ax +bx +1的值是6，那么当x = 2时，代数式ax +bx +1的值为
（ ）
A： −5
B： 5
C： −4
D： 4
8 2 2 2 2
已知m +2mn = 13，3mn+2n = 21，则2m +13mn+6n −44的值为（ ）
A： 77
B： 66
C： 5
D： 45
9 已知关于x、y、z的方程x+y+z = 5，4x+y−2z = 2，则代数式3x−3z+1的值是（ ）
A： −2
B： 2
C： −6
D： 8
10 x−2y+z 1
2
已知|x+2|+|y−3| = 0，且 +5 = y+x+z，求z −9的值．
2 2
11 ( 2 2 ) ( 2 2 ) 2 2 [ 2 ]
若多项式 2mx −x +3x+1 − 5x −4y +3x 的值与x 无关，求2m − 3m +(4m−5)+m 的
值．
12 若a−b = 2004，b−c = −2005，c−d = 2007，求(a−c)(b−d)−[a−(b+c)+d]的值．
13 5 2 3 4 5
若(2−x) = a +a x+a x +a x +a x +a x ，求：
0 1 2 3 4 5
（1）a 的值；
0（2）a +a +a +a +a 的值；
1 2 3 4 5
（3）a +a +a 的值．
1 3 5
思维突破 / 初一 / 暑假
第 5 讲 整式的化简求值
课堂落实答案
1 2 2 2
当a = −5时，多项式a +2a−2a −a+a −1的值为（ ）
A： 29
B： −6
C： 14
D： 24
2 2
已知|x|+(y−1) = 0，则−2(x−y)+x−3y = （ ）
A： −4
B： −3
C： −2
D： −1
3 已知a−b = 5，c+b = 3，则(b+c)−(a−b)的值等于（ ）
A： −2
B： 2
C： 6
D： 8
4 3 3
当x = 1时，代数式mx +nx+1的值为100，则当x = −1时，代数式mx +nx+1的值为（ ）A： −98
B： −99
C： −100
D： 98
5 ( 2 ) ( 2 )
已知|x−2|+|y+1| = 0，则2 xy−5xy − 3xy −xy = ____________．
6 3
2 2
已知a+2b = 2，则− a−3b −2 = ____________．
2
7 a b c a+2b−3c
已知 = = ≠ 0，则 = ____________．
3 4 5 3a−b+2c
8 已知a+2b = 3，b−c = 7，则2a+3c+b = ____________．
9 2 2
已知A = a +b，B = −2a −b，求2A−B的值，其中a = −2，b = 1．
10 4 2 2 ( 2 ) 2
已知(2a−1) 与|b−2|互为相反数，求多项式−2a b+2ab −(−2ab)+(−2ab)− −a b +a b的值．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 6 讲 定义新运算与找规律
例题练习题答案
例1 (1)若A∗B表示A+3B，则5∗7=__________；
(2) a
定义新运算为aΔb = (b−1) ÷b−a，则2Δ(3Δ4) = __________；
(3)已知a、b是任意有理数，我们规定：a⊕b = a+b−1，a⊗b = ab−2，那么
(6⊕8)⊕(3⊗5) = __________；
(4)运算∗按右表定义，如3∗2 = 1，那么(2∗4)∗(1∗3)的值为（ ）* 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 3 1 4 2
3 2 1 3 4
4 4 3 2 1
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例2 定义对x的运算f(x) = x 2 −3x+3，计算：
(1)f(1) = __________，f[f(1)+f(2)] = __________；
(2) 1 2 3 2 2015
记f (x) = f(x)，f (x) = f(f(x))，f (x) = f(f(f(x)))，依次类推，则f (1) = __________，f (0) =
__________．
例3 （1）定义一种新运算“⊕”：S = a⊕b，其运算原理如图1所示的程序框图，则式子
5⊕4−3⊕6 = ___________；
（2）执行如图2所示的程序，其结果是___________．例4 按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出
的结果为12，⋯，请你探索第2015次输出的结果为______________．
例5 （1）观察数列：2，4，6，8，10，12，⋯，则第n项为__________；
（2）观察数列：12，17，22，27，32，37，42，47，⋯，则第n项为__________；
（3）观察数列：2，−4，8，−16，32，−64，⋯，则第n项为__________；
（4）观察数列：1，−2，3，−4，5，−6，⋯，则第n项为__________；
（5）观察数列：2，4，2，4，2，4，2，4，⋯，则第n项为__________；
2 5 8 11
a a a a
（6）观察代数式：− ， ，− ， ，⋯，则第n项为__________；
b 4 9 16
2b 3b 4b
2 2 3 3 4 4
（7）观察等式： ×2 = +2， ×3 = +3， ×4 = +4，⋯，则第n个等式为__________．
1 1 2 2 3 3
例6 (1)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，
10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，⋯，这样的数称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A： 15
B： 25
C： 55
D： 1225
(2)小明在地摊上买了个长条型链子，其外形由边长为1公分的正六边形排列而成．如图表示此链
子任一段花纹，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻，观察规律，试讨论：
①若链子上有n个黑色六边形，则此链子共有____________个白色六边形；
②若链子上有350个黑色六边形，则此链子共有___________个白色六边形．
例7 正方形ABCD内部有若干个点，用这些点及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一
些三角形（互相不重叠）：
（1）填写下表：
正方形ABCD内点的个数 1 2 3 4 ⋯ n
割成的三角形的个数 4 6 ______ ______ ⋯ ______
（2）原正方形能否被分割成2016个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不
能，请说明理由．例8 1
（1）有若干个数，第1个记为a ，第2个记为a ，⋯，第n个记为a ，若a = ，从第2个数起，每
1 2 n 1
2
个数都等于1与前面那个数的差的倒数，试计算a = ______，a = ______，a = ______，a =
2 3 4 2010
______，a = ______，a = ______；
2012 2013
| | | |
（2）已知数列a ，a ，⋯，满足下列条件：a = 0，a = − a +1 ，a = − a +2 ，
1 2 1 2 1 3 2
| |
a = − a +3 ，⋯，则a = ______，a = ______．
4 3 2015 2016
例9
(1)依次排列4个数：2，11，8，9，对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差排
在这两个数之间得到一串新的数：2，9，11，−3，8，1，9，这称为一次操作，做二次操作
后得到一串新的数：2，7，9，2，11，−14，−3，11，8，−7，1，8，9，⋯，这样下去，
第一百次操作后得到的一串数的和是（ ）
A： 737
B： 700
C： 723
D： 730
{ }
(2)如果一个序列 a 满足a = 1，a = a +2n，那么a 是（ ）
i 1 n+1 n 100
A： 9901
B： 9902
C： 10101
D： 10102
例10 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了
(a+b) n （n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
0
例如：(a+b) = 1，它只有一项，系数为1；1
(a+b) = a+b，它有两项，系数分别为1、1，系数和为2；
2 2 2
(a+b) = a +2ab+b ，它有三项，系数分别为1、2、1，系数和为4；
⋯
根据以上规律，解答下列问题：
4
（1）(a+b) 展开式共有_______项，系数分别为___________________，系数和为________；
6
（2）(a+b) 展开式共有_______项，系数分别为___________________，系数和为________；
n
（3）(a+b) 展开式共有_______项，系数和为________．
1 （1）请将55⋯5写成关于n的表达式；
⏟
n个5
（2）求数列5，55，555，⋯，55⋯5的前n项和S n．
⏟
n个5
思维突破 / 初一 / 暑假
第 6 讲 定义新运算与找规律
自我巩固答案
1 a+3b
定义新运算a⊗b = ，已知4⊗x = 5，则x = （ ）
2
A： 0
B： 2
C： 4
D： 6
2 若a 2 b，2a 4 b 3 ，3a 6 b 5 ，4a 8 b 7 ，⋯，则第n项为（ ）A： 2n 2n+1
na b
B： 2n−1 2n
na b
C： 2n 2n−1
na b
D： 2n−1 2n+1
na b
3 若取一个自然数n
1
= 4，第一步：计算n
2
+1得a
1
；第二步：计算a
1
各位数字和得n
2
，计算n
2
+1得
1 2
a 2 ；第三步：计算a 2 各位数字和得n 3 ，计算n 2 +1得a 3 ；⋯，依次类推，则a 2018 的值为（ ）
3
A： 17
B： 26
C： 65
D： 122
4 如图，互相全等的平行四边形按一定的规律排列，第1个图形中一共有1个平行四边形，第2个图形
中一共有5个平行四边形，第3个图形中一共有11个平行四边形，那么第10个图形中一共有（ ）
个平行四边形．
A： 54
B： 110
C： 19
D： 109
5 大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如2 3 = 3+5，3 3 = 7+9+11，
4 3 = 13+15+17+19，⋯，若m 3 分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（ ）
A： 43
B： 44C： 45
D： 46
6 如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0、1、2、3，先让圆周上数字0
所对应的点与数轴上的数−1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的
数−2017将与圆周上的数字_____________重合．
7 a b 2 3 2 4
| | | | | |
我们定义： = ad−bc，例如 = 2×5−3×4 = −2，那么 = −2时，x =
c d 4 5 (1−x) 5
_______________．
8 定义一种变换ζ，对于一个由5个数组成的数列S ，将其中的每个数换成该数在S 中出现的次数，
1 1
可得到一个新数列S ，如数列S 是(4,2,3,4,2)，经过ζ变换得到新数列S 为(2,2,1,2,2)，若数列S
2 1 2 1
可以由任意5个数组成，则下列数列可作为S 的是（ ）
2
A： (1,2,1,2,2)
B： (2,2,2,3,3)
C： (1,1,2,2,3)
D： (1,2,1,1,2)
9 已知一个周长为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点
向外作小等边三角形（如图所示）．
（1）当n = 8时，共向外作出了________个小等边三角形；
（2）当n = k时，共向外作出了________个小等边三角形，这些小等边三角形的周长和是
________．（用含k的式子表示）
10 2
定义一种新运算aΔb = ab +2ab+a．
（1）求(−2)Δ3的值；a+1 1
( ) ( )
（2）若 Δ3 Δ − = 8，求a的值；
2 2
1
( )
（3）若2Δx = m， x Δ3 = n（其中x为有理数），试比较m、n的大小．
4
思维突破 / 初一 / 暑假
第 6 讲 定义新运算与找规律
课堂落实答案
1 定义新运算a∗b = a(a−b)，则3∗4 = （ ）
A： 12
B： −3
C： 3
D： 4
2 有一串彩色的珠子，按白黄蓝的顺序重复排列，其中有一部分放在盒子里，如图所示，则这串珠
子被放在盒子里的颗数可能是（ ）
A： 2013
B： 2014
C： 2015
D： 2016
3 搭建如图1所示的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3所示的方式串起来，依次类
推，则串7顶这样的帐篷需要（ ）根钢管．A： 83
B： 82
C： 80
D： 81
4 如图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a、b是某行的前两个数，当a = 7时，b的值为
（ ）
A： 20
B： 21
C： 22
D： 23
5 ab
定义新运算a⊕b = ，则2⊕10⊕10 = _________．
a+b
6 已知2，−4，8，−16，32，−64，⋯，则第7个数为_________，第n个数为_________．
7 如图是按照一定规律画的树形图，经观察可发现图2比图1多2个“树枝”，图3比图2多4个“树
枝”，⋯，按此规律，图6比图4多_________个“树枝”．8 找规律：
2×2 = 4，2+2 = 4；
3 1 3 1
×3 = 4 ， +3 = 4 ；
2 2 2 2
4 1 4 1
×4 = 5 ， +4 = 5 ；
3 3 3 3
5 1 5 1
×5 = 6 ， +5 = 6 ；
4 4 4 4
⋯
猜想第n个式子的规律是：___________________________．（n为正整数）
9 如图所示的程序输出结果为________________．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 7 讲 一元一次方程
例题练习题答案例1 下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式？
1
4x−3，1+5+7 = 13， y−7 = 2，2x = 3x+1，6y−4，x+y = 5．
2
例2 根据等式的性质填空：
（1）如果a = b，那么a+2 = b+__________；
（2）如果a+c = b+c，那么a = __________；
（3）如果a = 4−b，那么__________ = a+b；
（4）如果3x−5 = 9，那么3x = 9+__________；
（5）如果2x+3 = 4y，那么2x−__________+3 = 0；
（6）如果6x = 8y+3，那么8y−6x = __________；
（7）如果4x+6 = 8y，那么2x+6 = __________；（用含y的式子表示）
1
（8）如果 x = y+2，那么x = __________．（用含y的式子表示）
2
例3 (1)运用等式的性质进行变形，下列变形正确的是______________；（填序号）
①如果a = b，那么a+c = b−c；
2
②如果a = 3a，那么a = 3；
a b
③如果a = b，那么 = ；
c c
a b
④如果 = ，那么a = b；
c c
⑤如果a+c = b−d，那么a−b = c+d．
(2)下列方程变形正确的是（ ）
A： 方程3(x+1)−(1−x) = 2(x−1)变形得3x+3−1−x = 2x−2
B： 方程2(3y−4)+7(4−y) = 4y变形得6y−4+28−y = 4y
C： x−1 2x+3
方程 − = 0变形得3(x−1)−2(2+3x) = 6
2 3D： 2x−1
方程 = 1−3(2x−1)变形得2x−1 = 3−9(2x−1)
3
例4 3
（1）已知−4是关于x的方程 kx−6 = 0的解，则k 2015 = ______________；
2
（2）已知关于a的方程xa 2 +3a−4x+3 = (a−3) 5 的解是1，则x = ______________．
例5 2
下列各式：①2x−3y = 6；②x −4x−3 = 0；
3
③2(x+3) = 5−3x；④ +1 = 0；⑤3x−4(2−5x)，其中是一元一次方程的有______________．
x
（填序号）
例6 （1）若关于x的方程(b−2)x 3a−2 +6 = 0是一元一次方程，则a、b应满足什么条件？
（2）若关于x的方程(a−3)x |a|−2 = 6是一元一次方程，则a的值为多少？
例7 解下列关于x的一元一次方程：
（1）7x+6 = 16−3x；
（2）3−4x = 2x+9；
2 1
（3） x−1 = x− ；
3 2
（4）5(x+8)−5 = 6(2x−7)；
4 8
（5） (x−2)− = 2(−x+3)．
5 3
例8 解下列关于x的一元一次方程：
2x+1 3x−2
（1）x− = 1− ；
12 4
2−3x 2x−5
（2）1− = 3− ；
4 6
（3）2[2(2x+1)+2]+3 = 3(3x+3)+2；
3 8 2(x−1) 2
[ ]
（4） x− = (6x−9)．
4 3 3 3例9 解下列关于x的一元一次方程：
0.7x−0.3 0.1x+0.4
（1） − = −0.5；
0.6 0.2
0.1x 0.9−0.3x
（2） − = 1．
0.3 0.7
例10 解下列关于x的一元一次方程：
1 1 1
{ [ ] }
（1） (x−2)+3 −4 = 1；
2 3 4
1 1 1 1
{ [ ( ) ] }
（2） x+1 +1 +1 +1 = 3．
2 2 2 2
1 x−2 x x+2
方程 + + = 6的解为_____________．
2012 2013 2014
思维突破 / 初一 / 暑假
第 7 讲 一元一次方程
自我巩固答案
1 下列各式中：①2x−5 = 1；②8−7 = 1；③x+y；④x = 0，其中是方程的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 若a = b，则下列式子正确的有（ ）
1 1 3 3 a b
①a−2 = b−2；② a = b；③− a = − b；④5a−1 = 5b−1；⑤ = ．
3 2 4 4 c cA： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 1
已知方程3y 9−2m + = 0是关于y的一元一次方程，则m = _______________．
2
4 x−3 1+2x
方程 = 去分母后得（ ）
2 6
A： 3x−3 = 1+2x
B： 3x−9 = 1+2x
C： 3x−3 = 2+2x
D： 3x−12 = 2+4x
5 下列各种变形中，正确的是（ ）
A： 由3+2x = 2得：2x = 5
B： 由6x = 2x−1得：6x−2x = −1
C： 3
由3x = 4得：x =
4
D： x x−2
由 −1 = 得：3x−1 = 2(x−2)
2 3
6 x
若2+ 与3(1+x)的值相等，则x的值为（ ）
3
A： 3
−
8B： 8
−
3
C： 8
3
D： 3
8
7 3x+1 2x−2
若 的值比 的值小1，则x的值为（ ）
2 3
A： 4
−
5
B： 8
−
5
C： 13
−
5
D： 0
8 x−6 x m
若方程 = −6的解也是关于x的方程 + = x+8的解，则m = _______________．
2 2 3
9 解下列方程：
x−1 x+3
（1）x− = 5− ；
2 5
1 x+1
（2） (4x−3)−1 = +3；
2 3
2 5 1 1
[ ( ) ]
（3） x− −5 −3 = 2x；
5 2 6 2
0.3x+0.8 0.02x+0.03
（4） − = 1．
0.5 0.0310 2
已知关于x的方程3x−2 = 4−x的解也是关于x的方程mx−1 = x+2的解，求m +2m+3的值．
11 x−13 x−11 x−8
方程 + + = 3的解为x = _______________．
3 5 8
思维突破 / 初一 / 暑假
第 7 讲 一元一次方程
课堂落实答案
1 判断下列各式是否为一元一次方程：
( 1 ) 3−2 = 1；
( 2 ) 3x+y = 2y+x；
( 3 ) 2x−4 = 0；
( 4 ) 2
x−4 = x ．
2 下列式子不是等式的是（ ）
A： 2x = 3
B： x+1 = a
C： x+1 = x
D： x+1 > x
3 下列说法错误的是（ ）
A： 若a = b，则2a = 2b
B： 若a = b，则3a+1 = 3b+1
C： 若ac = bc，则a = b
D： 若a = b，则ac = bc
4 方程3x−5 = 7+2x移项后得（ ）A： 3x−2x = 7+5
B： 3x+2x = 7−5
C： 3x+2x = 7+5
D： 3x−2x = 7−5
5 方程3(x−1)−2(x−2) = 5(x+1)去括号后得（ ）
A： 3x−1−2x−4 = 5x+5
B： 3x−3−2x+4 = 5x+5
C： 3x−3−2x+4 = 5x+1
D： 3x−3−2x+2 = 5x+5
6 若关于x的方程2(x−1)−a = 0的解是3，则a = _________．
7 1
方程 x−3 = 2+3x的解是x = _________．
2
8 解下列方程：
1 x−1
（1） = −1；
3 2
2x+1 2(2x+1) 5(2x+1)
（2） + + +4 = 0．
2 3 6
思维突破 / 初一 / 暑假
第 8 讲 二元一次方程组
例题练习题答案
例1 (1)下列方程是二元一次方程的是（ ）
A： 2x+3y = zB： 4
+y = 5
x
C： 1
2
x +y = 0
2
D： 1
y = (x+8)
2
(2) x = 2
{
若 是方程3x−ky = 10的解，则k的值是（ ）
y = 1
A： 7
−
2
B： 4
C： −4
D： 16
例2 若x 3m−2 −2y n−1 = 5是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．
例3
(1)下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A：
{
x = 4
y = 7
B： {x 2 = 9
y = 2x
C：
{
x+y = 8
2
x −y = 4D： 2x+y = 1
{
1
= −1
y
(2) x = −1 x+ay = −1
{ {
已知 是关于x、y的方程组 的解，则a+b = ______．
y = 2 bx−y = 2
例4 已知二元一次方程3x+2y = 10．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）写出方程的三个解；
（3）写出该方程的正整数解．
例5 用代入消元法解下列方程组：
5y−x = 0
{
（1） ；
3x+2y = 17
4x+2y = 1
{
（2） ；
3x+y = 3
2x+3y = −1
{
（3） ．
3x−2y = 5
例6 用加减消元法解下列方程组：
x+y = 35
{
（1） ；
x−y = 21
2x+3y = 5
{
（2） ；
2y−2x = 5
3x+2y = 10
{
（3） ．
4x+5y = 12
例7 用适当的方法解下列方程组：
7x+4y = 4
{
（1） ；
5x+3y = 8x y+1
{
− = 1
（2） 2 3 ；
3x+2y = 1
x+4y = 14
{
x−3 y−3 1
（3） ；
− =
4 3 12
1.2x−2.4y = 4.8
{
（4） ．
1.3y+3.5x = 5.7
例8 解下列方程组：
3(x+y)−2(2x−y) = 3
{
（1） ；
4(2x−y)−3(x+y) = −11
378x+451y = 8217
{
（2） ．
383x+446y = 8227
例9 解下列方程组：
x+y = 1
{
（1） 3y+z = 2 ；
5z+2x = 12
5x+6y−8z = 12
{
（2） x+4y−z = −1 ．
2x+3y−4z = 5
例10 解下列方程组：
x+y = 2
{
（1） y+z = 7；
x+z = 5
2x +x +x = 7
{ 1 2 3
x +2x +x = 8
（2） 1 2 3 ．
x +x +2x = 9
1 2 31 x +x = x +x = x +x = ⋯ = x +x = 1
{ 1 2 2 3 3 4 2014 2015
解方程组： ．
x +x +x +⋯+x = 2015
1 2 3 2015
思维突破 / 初一 / 暑假
第 8 讲 二元一次方程组
自我巩固答案
1 x = 1
{
若关于x、y的方程ax−3y = 2的一个解是 ，则a的值是_____________．
y = 1
2 x−2y = −5
{
方程组 的解是（ ）
x+2y = 11
A： x = 3
{
y = 4
B： x = 3
{
y = −4
C： x = −3
{
y = 4
D： x = −3
{
y = −4
3 方程3x+y = 7的正整数解的个数是（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个4 如果|x+y−1|和(2x+y−3) 2 互为相反数，那么x、y的值为（ ）
A： x = 1
{
y = 2
B： x = −1
{
y = −2
C： x = 2
{
y = −1
D： x = −2
{
y = −1
5 x = −1 x = 2
{ {
已知 和 都是方程y = ax+b的解，则a = _________，b = _________．
y = 0 y = 3
6 x−y = a
{
若方程组 的解也是方程3x−5y−7 = 0的解，则a = _____________．
x+y = 3a
7 x−a−b x−b−c x−c−a
若a、b、c是正数，则关于x的方程 + + = 3的解为（ ）
c a b
A： x = a+b−c
B： x = a+b+c
C： x = a−b−c
D： x = −a−b−c
8 x+y = 1
{
已知方程组 y+z = 2，则2015(x+y+z) = _____________．
z+x = 3
9 解下列方程组：
3x−5y = 6
{
（1） ；
x+4y = −1577x+23y = 177
{
（2） ；
23x+77y = 123
x+1 2y−3
{ + = 2
5 6
（3） ；
x+1 2y−3
− = 0
5 6
x y z
{
= =
（4） 3 4 5 ．
x+y+z = 24
10 2x +x +x +x +x = 6
1 2 3 4 5
{
x +2x +x +x +x = 12
1 2 3 4 5
x +x +2x +x +x = 24
若x ∼ x 满足方程组： 1 2 3 4 5 ，求3x +2x 的值．
1 5 4 5
x +x +x +2x +x = 48
1 2 3 4 5
x +x +x +x +2x = 96
1 2 3 4 5
11 x+2y = −4k
{
已知方程组 的解满足x+y = 3，求k的值．
2x−5y = 19k
思维突破 / 初一 / 暑假
第 8 讲 二元一次方程组
课堂落实答案
1 任何一个二元一次方程都有（ ）
A： 一个解
B： 两个解
C： 三个解D： 无数多个解
2 y = 1−x
{
用代入法解方程组 时，代入正确的是（ ）
x−2y = 4
A： x−2+2x = 4
B： x−2−2x = 4
C： x−2−x = 4
D： x−2+x = 4
3 x y
{ + = 4
2 3
二元一次方程组 的解为（ ）
x
+y = 5
3
A： x = 4
{
y = 0
B： x = 6
{
y = 3
C： x = 3
{
y = 4
D： 3
{x =
2
9
y =
2
4 x = k+5
{
若方程组 中x与y的值相等，则k等于（ ）
y = 7−k
A： 1或−1
B： 1C： 5
D： −5
5 已知a+b = 16，b+c = 12，c+a = 10，则a+b+c = _________．
6 2
若|x+y+2|+(2x−y−1) = 0，则x = _________，y = __________．
7 解下列方程组：
2x−y = 5
{
（1） ；
7x−3y = 20
x = y+z
{
（2） x+y+z = 10．
3x−y = 9
8 已知x = 1是关于x的一元一次方程ax−1 = 2(x−b)的解，y = 1是关于y的一元一次方程
b(y−3) = 2(1−a)的解，在y = ax 2 +bx−3中，求当x = −3时，y的值．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 9 讲 方程进阶
例题练习题答案
例1 解关于x的方程：
（1）|x−1| = 2；
（2）|x+2| = 5−4|x+2|；
（3）|2015x+2015| = 40300；
（4）3|x+2|+2 = 0．
例2 解方程：
（1）|2x−1| = |3x+2|；
（2）2|x−1| = 3|x+3|．例3 解方程：
（1）x+3x+5x+⋯+2017x = 2018；
x x x
（2） + +⋯+ = 2016．
1×3 3×5 2015×2017
例4 解方程组：
|x|+x+y = 10
{
（1） ；
x+|y|−y = 12
|2x+y|+|x| = 4
{
（2） ．
|3x|+|y+2x| = 9
例5 x+y
= 5
{
xy
x+z
解方程组： = 3．
xz
y+z
= 4
yz
例6 2 2 2
已知(x−y+1) +|2x+y−7| = 0，求x −3xy+2y 的值．
例7 3x+ay = 13 x = 6
{ {
（1）小瑞、小明两人解同一个方程组： ，小瑞看错了系数a，解出 ；小明看
bx−3y = 9 y = 7
x = 1
{
错了系数b，解出 ，则方程组正确的解是______________；
y = 5
ax+by = −16 x = 8
{ {
（2）已知方程组 的解应为 ，小明解题时过于紧张，把c抄错了，因
cx+20y = −224 y = −10
x = 12
{
2 2 2
此得到的解是 ，则a +b +c = ______________．
y = −13
例8 2x+3y = 7 ax+by−5 = 0
{ {
已知关于x、y的二元一次方程组 与 有相同的解，求a和b的值．
2ax+by = 9 5x−3y = 7例9 x−ay = 1
{
已知关于x、y的二元一次方程组 的解是整数，求整数a的值．
2x+y = 3
例10 2ka x−bx
若a、b为定值，关于x的一元一次方程 − = 2，无论k为何值时，它的解总是1，求a和b
3 6
的值．
1 x−20 x−18 x−16 x−14 x−12
解方程： + + + + = 5．
3 5 7 9 11
思维突破 / 初一 / 暑假
第 9 讲 方程进阶
自我巩固答案
1 若|x−1| = 3，则x的值为（ ）
A： −2
B： 0
C： 4或−2
D： 0或4
2 若关于x的方程(k−999)x = 6−2016x的解为整数，则整数k的值共有__________种．
3 若|3x−2y+1|+(2x+4y−9) 2 = 0，则x和y的值分别为（ ）
A： 7 29
、
8 16
B： 7 7
、
4 8C： 7 5
、
8 6
D： 5 29
、
8 16
4 2x−y−4m = 0
{
若方程组 中的y值是x值的3倍，则m的值为（ ）
14x−3y = 20
A： 1
B： −1
C： 0
D： 2
5 已知2x−p = −6，3x+q = −3，且4p−3q = −1，则x的值为（ ）
A： −2
B： 2
C： −3
D： 3
6 ab 1 bc 1 ca 1 abc
已知三个数a、b、c满足 = ， = ， = ，则 的值为（ ）
a+b 3 b+c 4 c+a 5 ab+bc+ca
A： 1
6
B： 1
12
C： 2
15D： 1
20
7 x x x x
方程 + + +⋯+ = 2017的解是（ ）
1×2 2×3 3×4 2017×2018
A： 2016
B： 2017
C： 2018
D： 2019
8 2xy 4
{ =
x+y 3
方程组 的解为x = _________，y = __________．
xy 1
=
2x+y 2
9 解方程（组）：
（1）|4x|−x = |x|+2；
1 2 3
+ + = 0
{
x y z
1 6 5
（2） − − = −8．
x y z
3 2 2
+ + = −1
x y z
10 ax+by = 26 x = 4 x = 7
{ { {
小明解方程组 得到正确的解是 ，小红由于把c写错而得到的解是 ，
cx+y = 6 y = −2 y = 3
求a，b，c的值．
11 5x+y = 3 x−2y = 5
{ {
已知方程组 与 有相同的解，求m、n的值．
mx+5y = 4 5x+ny = 1思维突破 / 初一 / 暑假
第 9 讲 方程进阶
课堂落实答案
1 若关于x的方程(k−1)x+6 = 1−5x的解为正整数，则k的整数值为（ ）
A： 5和9
B： 5和−9
C： −5和−9
D： −5和9
2 方程|x−1|+|x+2| = 4的解为（ ）
A： 3
2
B： 3 5
和−
2 2
C： 3 5
和
2 2
D： 5
2
3 2x−3y = −5 nx+2my = 4
{ {
已知方程组 与 有相同的解，则m、n的值分别为（ ）
mx+ny = 13 3x+y = 9
A： 1、5
B： 1、−5
C： −1、−5
D： −1、54 1
| |
已知关于x的方程mx+2 = 2(m−x)的解满足 x− −1 = 0，则m的值是（ ）
2
A： 2
10或
5
B： 2
10或−
5
C： 2
−10或
5
D： 2
−10或−
5
5 x+ay = 11 x = 3 x = 1
{ { {
解方程组 ，若看错系数a，解得 ；若看错系数b，解得 ，则a =
bx−2y = 7 y = 1 y = 3
__________，b = __________．
6 |x|+|y| = 7
{
解关于x、y的方程组： ．
2|x|−3|y| = −1
7 x−ay = 1
{
若关于x、y的二元一次方程组 的解是整数，求所有满足要求的整数a的值．
3x+y = 10
思维突破 / 初一 / 暑假
第 10 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 下列各式结果为正数的是（ ）
A： 2
−(−2)B： 3
(−2)
C： −| −2|
D： −(−2)
2 有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
A： a−|b| < 0
B： b−c > 0
C： a+b > 0
D： a > |b| > c
3 已知|a| = 5，|b| = 3，且|a−b| = b−a，那么a+b = （ ）
A： −2
B： −2或−8
C： −8
D： −2或2
4 2 m+1 1+n+m 2
若5a b 与4a b 是同类项，则代数式m+2n的值是（ ）
A： 1
B： −1
C： 3
D： 4
5 x+2 a
若关于x的方程 − = 1的解为x = 3，则a = （ ）
3 2
A： 3
B： 2C： 4
3
D： 2
3
6 2006−x 2008−x 2010−x 2012−x
方程 + = + 的解（ ）
2005 2007 2009 2011
A： 是一个大于1000的数
B： 是一个两位的自然数
C： 是最小的正整数
D： 不是一个整数
7 1
2 2
多项式−2x y− x −1次数最高的项的系数是______________，二次项系数是______________．
3
8 计算17.48×37+174.8×1.9+8.74×88的结果是______________．
9 若ab < 0，且a < b，化简|a|+|b|+|a−b| = ______________．
10 1 2
2
若|2a+3|+(b−1) = 0，则1− (a+b)+ab− (a−b) = ______________．
3 5
11 1
点A、B分别是数2、 在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向左移动到线段A ′ B ′ ，若线段A ′ B ′ 的
2
′
中心点对应的数是−2，则点A 对应的数是______________．
12 2 2
已知A = 2x −3，B = −3x+1，C = 5x −x，且2B+C = A−D，则D = ______________．
13 现定义两种运算“⊕”、“⊗”，对于任意两个整数a、b，若a⊕b = a+b−1 ，
a⊗b = ab−1，则(6⊕8)⊗5 = ______________．14 ax+y = 8 x = −3
{ {
解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到解为 ；乙看错了方程
x−by = 7 y = 5
x = −1
{
组中的b，得到解为 ，而机智的丙则根据这两个错误结果，得出了正确的答案，正确答
y = 10
案应当是______________．
15 计算：
（1）12−(−18)+(−7)−15；
5 1
( ) ( )
（2）(−3)× − ÷ −1 ．
6 4
16 计算：
2 4 1 5
（1）−18× +0.25× + ×(−1.8)+ ×25；
3 7 3 7
2
2 ( 2 ) ( 4 )
( )2
（2）−11.35× − −1.05× − +7.7× − ．
3 9 2
3
17 计算：
（1）3(2x+1)−(3−x)；
( ) ( )
2 2 2 2
（2） x y−2xy +3xy−1 +2 −xy −3x y+2 ．
18 解下列方程（组）：
（1）2x−(x+10) = 6x；
3x+2 1−5x
（2） + = 1；
4 2
2x+y = 7
{
（3） ；
3x−y = 3
x y−1
{ + = 1
2 3
（4） ．
x−1 y
+ = 3
3 219 2
已知−m+2n = 5，求代数式5(m−2n) +6n−3m−60的值．
20 d
( )
已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x = 3(a−1)−(a−2b)，y = c 2 d+d 2 − +c−2 ，求
c
2x−y 3x+2y
代数式 − 的值．
3 6
21 已知数轴上的两点A、B对应的数分别为−1、3，点P为数轴上的一个动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请直接写出x的值；若不
存在，请说明理由；
（3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点O向左运动时，点A从起始点以每分钟5个单位长度
的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问：若它们同时出发，则几分钟后
点P到点A、点B的距离相等？
22 (1) 1 2 3 4 5 6
在 、 、 、 、 、 之前添加“+”或者“−”，使得所得式子的运算结果为1，则不同
7 7 7 7 7 7
的添加方式共有_________种；
(2) 若p、q都是质数，关于x的方程px+5q = 97的解为最小的正整数，则q p −p−q = _________．
23 3x+4y = −5
{
5x+6y = −9
若关于x和y的方程组 有解，求m 2 +n 2 的值．
(n−8m)x−8y = 10
5x+(10m+2n)y = −9
思维突破 / 初一 / 暑假
第 11 讲 不等式
例题练习题答案
例1 下列式子是不等式的是（ ）①x ≠ 0；②5 ≤ 8；③a < 2；④a ≥ b．
A： ①②③④
B： ③④
C： ①②③
D： ①③④
例2 利用不等式的基本性质，在“ > 、 < 、 ≥ 、 ≤ ”中选取适当的符号填空：
（1）若a < b，则2a−1______2b−1；
（2）若a ≤ b，则3−4a______3−4b；
2 2
（3）若m ≥ n，则− m+3______− n+3；
3 3
3
（4）若− x+1 > 7，则x______−4．
2
例3 下列式子变形正确的是（ ）
A： 若a > b，则ac > bc
B： 若a > b，则−a > −b
C： 2 2
若a > b，则ac > bc
D： 2 2
若ac > bc ，则a > b
例4 用不等式表示下列数量关系，并用数轴表示出来．
（1）x不小于3；（2）x大于−2；（3）x大于−1且x不大于0；（4）x是非正数．
例5 (1)下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A： 2x−1 < 2
B： −1 < 2
C： 3x−2y ≤ 1
D： 2
y +3 > 5(2)下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A： 3 1
− ≤ x−1
x 2
B： x 1
− ≠ (x−1)
π 2
C： 2
x +2x+1 > 0
D： 2x < y
例6 如果(m+1)x |m+2| −7 > 5m是一个关于x的一元一次不等式，求它的所有非负整数解．
例7 解下列不等式，并在数轴上表示出它们的解集：
（1）3x+2 < 2x−8；
（2）3−2x ≥ 9+4x；
（3）2(2x+3) ≤ 5(x+1)；
（4）19−3(x+7) ≤ 0．
例8 解下列不等式：
x+5 3x+2
（1） −1 < ；
2 2
3x−2 9−2x 5x+1
（2） − ≤ ；
3 3 2
3(x+1) x−1
（3） +2 > 3− ；
8 4
0.4x+0.9 0.03+0.02x x−5
（4） − > ．
0.5 0.03 2
例9 判断下列说法是否正确：
( 1 ) 如果a > b，m > n，那么a+m > b+n；
( 2 ) 如果a > b，m > n，那么a−m > b−n；
( 3 ) 如果a > b，c > d，那么a−2d > b−3c；( 4 ) 2 2
如果a > b，那么a > b ；
( 5 ) 如果a、b同号且a > b，那么
1 1
< ；
a b
( 6 ) 如果a > b > 0，m > n > 0，那么am > bn；
( 7 ) 2 2
c c
若有理数a、b、c满足a < b < 0，则 > ．
a b
例10 2 2
（1）试比较x +2x+3与x +2x−1的大小；
（2）如果a > 5，试比较a−7与8−2a的大小．
1 要使不等式⋯ < a 7 < a 5 < a 3 < a < a 2 < a 4 < a 6 < ⋯成立，试求有理数a的取值范围．
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第 11 讲 不等式
自我巩固答案
1 若a < b < 0，则下列不等式成立的是（ ）
A： 1 1
<
a b
B： |a| < |b|
C： 2
ab < b
D： 2
a > ab
2 若不等式(a−2)x |a|−1 > 1是关于x的一元一次不等式，则a的值为（ ）
A： 2
B： 1C： −2
D： ±2
3 若a > 0，b < 0，a+b > 0，则a、−a、b、−b的大小关系是（ ）
A： −a < b < −b < a
B： −a < −b < b < a
C： −b < a < −a < b
D： −b < −a < a < b
4 不等式−2x < 6的负整数解有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 无数个
5 不等式4(x−2) > 2(x+1)+1的最简形式是（ ）
A： 2x > 11
B： 2x+5
C： 6x > 11
D： 6x−5 > 0
6 不等式3(x+2) > 2(2x−1)的解集为（ ）
A： x < 8
B： x < 7
C： x < 6
D： x < 57 x−1
不等式3x+3 > 的解集为（ ）
2
A： 7
x >
5
B： 7
x < −
5
C： 7
x > −
5
D： 7
x <
5
8 若A = 2x−1，B = −x+5，当x > 2时，A、B的大小关系为（ ）
A： A > B
B： A < B
C： A = B
D： 无法判断
9 x+1 x−a
若关于x的方程 − = 1的解为负数，则a的取值范围是（ ）
3 2
A： 4
a >
3
B： 4
a <
3
C： 4
a ≥
3D： 4
a ≤
3
10 解不等式：
（1）3(x−2)+4(x+3) > 2(x−5)；
x−1 x+1
（2） − ≤ 1；
4 3
（3）0.5(x−1)−0.3(x+1) ≥ 0.1；
1 1 x
[ ]
（4） (x−1)+1 − ≤ 1．
2 3 4
11 2x−a
若关于x的不等式 > x+1和2(x−1) > 3x的解集相同，则a = （ ）
3
A： 1
B： −1
C： 2
D： −2
12 已知关于x的一元一次不等式ax+3 > x+1的解集为x < 1，求关于y的一元一次不等式
ay+1
< y−1的解集．
3
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第 11 讲 不等式
课堂落实答案
1 下列说法中，错误的是（ ）
A： 如果a < b，那么a−1 < b−1B： 1 1
如果a > b，那么 a > b
2 2
C： 如果a < b，那么−2a > −2b
D： 2 2
如果a > b，那么a > b
2 若由x < y可得到ax > ay，则a应满足的条件是（ ）
A： a > 0
B： a < 0
C： a ≥ 0
D： a ≤ 0
3 下列式子中是一元一次不等式的有（ ）个．
3
①3(x+1) > 2y；② −1 > 0；③2x+1 > x+2；④4x+1 = 1．
x
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
4 2x−1 3x+1 5
不等式 < − 的解集在数轴上表示为（ ）
3 2 2
A：
B：
C：
D：
5 1 2 3 4
在数字 、 、 、 中，是不等式10x > 7的解的有_________________个．
2 3 4 56 1
不等式x+3 > x的负整数解是_________________．
2
7 已知a < 0，且|a|x ≤ a，则|2x−6|−|x−2|的最小值为_________________．
8 解下列不等式：
（1）2x+2 ≥ 6x−3(x−1)；
3 x−5
（2）x+ > 1− ．
4 2
9 4 2 2 4 2 2 4 2 2
若M = x +6x −y +3，N = 2x −3y +3x +6，R = x −3x −y +4，证明：M+R > N．
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第 12 讲 不等式组
例题练习题答案
例1 下列不等式组中，一元一次不等式组有（ ）
x < −2 x−2y < 3
{ {
① ；② ；
x > 4 2x < −3
x > 0 x+3 > 0
{ {
③ ；④ ．
x+2 > 0 x < −10
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例2 (1) 1−x ≥ 0
{
不等式组 的整数解是（ ）
2x−1 > −3A： −1，0
B： −1，1
C： 0，1
D： 无解
(2)设a < b，那么解集是a < x < b的不等式组是（ ）
A： x−a > 0
{
x−b > 0
B： x−a < 0
{
x−b < 0
C： x−a > 0
{
x−b < 0
D： x−a < 0
{
x−b > 0
例3 (1) 若有理数a、b小于零，并且使(a−b) 3 < 0，则下列结论中，正确的是（ ）
A： 1 1
<
a b
B： −a < −b
C： |a| > |b|
D： 2 4
a > b
(2)若y是正数，且x+y < 0，则下列结论中，错误的是（ ）
A： 3
x y > 0
B： x+|y| < 0
C： |x|+y > 0
D： 2
x−y < 0例4 x ≤ 2
{
把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的表示方法是（ ）
x > −1
A：
B：
C：
D：
例5 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
2x−1 ≥ 0
{
（1） ；
4−x < 0
−3x ≥ 0
{
（2） ；
−4x+7 > −1
1
{
x−1 < x
（3） 2 ；
2x−4 > 3x+3
（4）−5 < 6−2x < 3．
例6 解下列不等式组：
2x−5 < 3x
{
x−2 ≥ 0
{
x−2 x
（1） ；（2） ；
5x+1 < 2(x+1) ≤
2 3
x−3(x−2) ≥ 4 3x+1 > 5(x−1)
{ {
（3） 1+2x ；（4） 4 6−5x ；
> x−1 x−6 ≥
3 3 3
7 2−3x
{2(x+1) > x+
2 3
（5） ；
x−5
≤ 3x−1
2x−3 > 1−x
{
5−x
x−5 >
（6） 2 ．
x
x−4 ≤
2
例7 x−y = 2m
{
（1）已知方程组 ，若方程组的解为非负数，则整数m的值为_______________；
2x+y = 5
x+2y = k
{
（2）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y ≥ 1，则k的取值范围是
2x+y = k−2
_______________．
例8 解下列不等式：
（1）|x−2| ≤ 4；（2）|2x−1| > 5．
例9 解下列不等式：
（1）(x+4)(x−1) < 0；
（2）(2x−1)(3x+2) ≥ 0．
例10 解下列不等式：
x+4 3
（1） ≤ 0；（2） > 2；
x−2 2x+3
(x−1)(x+1) (2x+3)(3x−1)
（3） ≤ 0；（4） > 0．
2 2
x (4x+3)
1 已知非负数x、y、z满足x+2y−3z = 1，x+y−z = 2，求S = x+y+z的取值范围．
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第 12 讲 不等式组自我巩固答案
1 下列各式中是一元一次不等式组的是（ ）
A： x > 2
{
x < −3
B： a−1 < 0
{
b+2 > 0
C： 3x−2 > 0
{
(x−2)(x+3) > 0
D： 3x−2 > 0
{
1
x+1 >
x
2 下列说法正确的是（ ）
A： x > 3
{
的解集是5 < x < 3
x > 5
B： x > −2
{
的解集是−3 < x < −2
x < −3
C： x ≥ 2
{
的解集是x = 2
x ≤ 2
D： x < −3
{
的解集是x ≠ −3
x > −3
3 x ≥ −1
{
不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
x < 2
A：
B：
C：D：
4 4x < 6+x
{
不等式组 的解集是（ ）
x+3 > 2
A： x < −1或x > 2
B： x < 2
C： x > −1
D： −1 < x < 2
5 1
不等式− < 1−2x < 3的解集是（ ）
2
A： 3
−1 < x <
4
B： 3
x <
4
C： x < −1
D： x > −1
6 若关于x的方程2x+k−1 = 0的解是正数，则k的取值范围是（ ）
A： k > 1
B： k < 1
C： k > −1
D： k < −1
7 不等式|x+3| > 3的解集是（ ）
A： −6 < x < 0
B： x > 0或x < −6
C： x > 6或x < 0D： x > −6或x < 6
8 2x+1 > 0
{
一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是（ ）
x−5 ≤ 0
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
9 2x−1
{
> −3
若a是关于x的不等式组 3 的解，化简|2a+8|−|a−1| = ___________．
x+2 ≤ 3
10 解下列不等式组：
3(x+2) x
{ < +8
2 3
（1） ；
x x−1
≤
2 3
5(x−1)−1 < 2x+5
{
（2） ．
x−4 < 3(x+1)
11 定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6] = 3，[0.6] = 0，[−3.6] = −4．
(1)计算：[2.5] = __________，[−π −1] = ___________；
(2)对于任意实数x，下列式子中错误的是（ ）
A： [x] = x（x为整数）
B： 0 ≤ x−[x] < 1
C： [x+y] ≤ [x]+[y]
D： [n+x] = n+[x]（n为整数）(3)用“ < ”或“ ≤ ”连接x、x−1、[x]、[x+1]：_______________________．
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第 12 讲 不等式组
课堂落实答案
1 下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A： x+2y > 6
{
x−2y > 1
B： 1
{
+3x > 2
x
x < 6
C： 2
{3x +2 < 3
x+6 > 2
D： x+5 < 3
{
3x < 8
5x−5 < x+2
2 x+4 > 3
{
不等式组 的解集是（ ）
2x ≤ 4
A： 1 < x ≤ 2
B： −1 < x ≤ 2
C： x > −1
D： −1 < x ≤ 4
3 下列不等式组中，解集是2 < x < 3的不等式组是（ ）A： x > 3
{
x > 2
B： x > 3
{
x < 2
C： x < 3
{
x > 2
D： x < 3
{
x < 2
4 1 5
不等式− < x < 的整数解有（ ）
3 2
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5 x ≤ 2
{
不等式组 的解集是__________________．
2x > 1
6 不等式|2x+1| ≤ 3的解集是____________________．
7 不等式(x−2)(x+5) > 0的解集是__________________．
8 x
不等式 < 0的解集是____________________．
x−1
9 3x−2 < 8
{
解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
2x−1 > 2
10 x−y = m−5
{
若关于x、y的二元一次方程组 中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围．
x+y = 3m+3思维突破 / 初一 / 暑假
第 13 讲 解应用题
例题练习题答案
例1 （1）小明和小丽到文化用品商店帮同学们购买文具，小明买了3支笔和2个圆规，共花了19元，
小丽买了5支笔和4个圆规，共花了35元，求每支笔的价格．
可以设_____________为x，则可以列出一元一次方程__________________．
（2）小明没有什么经济头脑，其日常开销主要由他妈妈管理．一天，小明的妈妈看了看小明的钱
包，说：“我如果给你400元，我剩下的钱是你的11倍；我如果给你500元，我剩下的钱是你的9
倍．”问小明实际有多少钱？
①若设小明实际有x元，则可以列出一元一次方程__________________；
②若设小明实际有x元，小明妈妈实际有y元，则可以列出二元一次方程组__________________．
例2 某商店将彩电的进价提高40%作为售价，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍
获利270元，求彩电的进价．
例3 某商店将某种碳酸饮料每瓶价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶价格下调了5%，已知调价前买
这两种饮料各一瓶需要花费7元，而调价后购买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共需花费17.5元，
问这两种饮料在调价前每瓶多少元？
例4 甲、乙两人在环形跑道上训练，他们从同一地点同时出发，背向而行．两人相遇后立即调头，继
续前进．一开始甲的速度是每分钟160米，乙的速度是每分钟120米，调头后甲的速度提高了一
半，乙的速度提高了三分之一．若跑道长500米，则甲、乙两人第一次相遇地点与第二次相遇地点
相距多远？
例5 甲、乙两车同时分别从A、B两地出发，相向而行，在A、B两地之间往返行驶，甲车到达B地后，
在B地停留了2个小时，然后返回A地；乙车到达A地后，马上返回B地；两车在返回的途中又相遇
了，相遇的地点距离B地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千
米．请问：A、B两地相距多少千米？
例6 某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情
况：（1）求A、B两种型号电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再购买这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇
最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标，若能，请给出
相应的采购方案；若不能，请说明理由．
例7 某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能
的公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，
B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购
买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少
于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？总费用最少是多少？
例8 2
一个长方形如图所示，恰好分成六个小正方形，其中最小的正方形面积为1cm ，求这个长方形的
面积．
例9 在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，尺寸如图所示，试求图中阴影部分的总面
积．例10 一个四位数的首位数字是7，如果把首位上的数字移动到个位上，那么所得的新四位数比原四位数
的一半多3，求原四位数．
1 学校早晨6:00开门，晚上6:40关门．有一名学生问老师现在的时间，老师说：“从开校门到现在
1 1
的时间的 ，加上现在到关校门的时间的 ，就是现在的时间（按十二小时制表示）．”问现在是
3 4
几点？
思维突破 / 初一 / 暑假
第 13 讲 解应用题
自我巩固答案
1 某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产了10个，用了12小时不但完成了任务，
而且还多生产了60个．设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为（ ）
A： 13x = 12(x+10)+60
B： 12(x+10) = 13x+60
C： x x+60
− = 10
13 12
D： x+60 x
− = 10
x 13
2 足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个足球队踢了14场比赛，负了5
场，共得了19分，那么这个队胜了的场数是（ ）场．
A： 3
B： 4
C： 5
D： 63 甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时后两人相遇．设
甲、乙两人每小时分别走x千米、y千米，则可列出的方程组是（ ）
A： 10x−10y = 50
{
2x+2y = 50
B： 10x+10y = 50
{
2x+2y = 50
C： 10y−10x = 50
{
2x+2y = 50
D： 10y−10x = 50
{
2x−2y = 50
4 若日历表中某数上方的数与它左边的数的和为28，则这个数是____________．
5 现用190张铁皮做盒子，每张铁皮能做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒
子．若用x张铁皮做盒身、y张铁皮做盒底，则可列方程组是（ ）
A： x+y = 190
{
2×8x = 22y
B： x+y = 190
{
2×22y = 8x
C： 2y+x = 190
{
8x = 22y
D： 2y+x = 190
{
2×8x = 22y
6 某商店将一件商品的进价提高20%后，又降价20%，最后以96元出售，则该商店卖出这件商品的
盈亏情况是（ ）
A： 不亏不赚
B： 亏4元
C： 赚6元D： 亏24元
7 把一些图书分给某班学生，如果每人分4本，则剩余12本；如果每人分5本，则还缺30本，则该班
有____________位学生．
8 一艘游轮从A地顺流而下开往B地，每小时行驶28千米，返回A地时用了6小时．已知水速是每小时
4千米，则A、B两地相距____________千米．
9 自来水公司按如下规定收取水费：每月用水不超过10吨，按每吨1.5元收费；每月用水超过10吨，
超过部分按每吨2元收费．小明家9月份的水费是22.8元，那么小明家9月份用水多少吨？
10 有48支队伍共520名运动员参加篮球、排球比赛．其中每支篮球队10人，每支排球队12人，若每
名运动员只能参加一项比赛，则篮球、排球队各有多少支？
11 某服装店购进一批时尚衬衫，分为甲、乙两种款式，用14200元恰好购进100件，已知甲种款式衬
衫进价为130元/件，且甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少30元．
（1）求甲、乙两种款式的衬衫各购进多少件？
（2）商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款式全部售完，乙款式剩余一半，商店
决定对乙款式按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批衬衫商店共获利多少元？
思维突破 / 初一 / 暑假
第 13 讲 解应用题
课堂落实答案
1 服装店销售某款服装，每件服装的标价是300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款
服装每件的标价比进价多（ ）
A： 60元
B： 80元
C： 120元
D： 180元2 已知一个两位数，它的十位数字x比个位数字y大1，若对调个位与十位上的数字，则得到的新数比
原数小9，求这个两位数．下列所列的方程组正确的是（ ）
A： x−y = 1
{
(x−y)−(y−x) = 9
B： x = y+1
{
10x+y = y+x+9
C： x = y+1
{
10x+y = 10y+x−9
D： x = y+1
{
10x+y = 10y+x+9
3 一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，则完成
这项工程共需（ ）天．
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
4 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米/小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小
时，设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意，可列方程____________________．
5 某中学实行小班教学，若每间教室安排20名学生，则缺3间教室；若每间教室安排24名学生，则
多出一间教室．问这所中学有多少间教室？有多少名学生？
若设这所中学共有教室x间，学生y名，则列出的二元一次方程组为____________________．
6 甲、乙两人练习跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，甲比乙晚出发3
分钟，结果两人同时到达终点，则甲所跑的路程为____________________米．
7 某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生
产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套？（一个螺栓配两个螺母）8 学校计划购买甲、乙两种图书作为奖品，若购买2本甲和3本乙需要90元；若购买3本甲和5本乙需
要145元．
（1）求甲、乙两种图书的售价分别为多少元？
（2）若学校计划共购买这两种图书50本，且总花费不能超过800元，则最多可购买乙种图书多少
本？
思维突破 / 初一 / 暑假
第 14 讲 图形认识初步
例题练习题答案
例1 写出下列各几何体的名字，然后说明哪些可以由平面图形的平移得到？哪些可以由平面图形的旋
转得到？
例2 (1)给出以下四种说法：
①矩形绕着它的一条边旋转一周，形成圆柱；
②梯形绕着它的下底旋转一周，形成圆柱；
③直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，形成圆锥；
④三角形绕其任意一边旋转一周，形成圆锥．
其中说法正确的是（ ）
A： ①②
B： ①③
C： ②③
D： ②④
(2)汽车的雨刮器摆动就能刮去挡风玻璃上的雨滴，这说明了____________；长方形纸片绕它的一
边旋转形成了一个圆柱体，这说明了____________；流星划过天际留下美丽的痕迹，这说明了_____________．
例3 （1）两个一样大的正方体拼成一个长方体，该长方体的表面积为10，则一个正方体的体积为
____________；
（2）一个长方形的长为4cm，宽为2cm，以它的长边为轴把长方形旋转一周，所得的柱体的表面
积为____________，体积为___________；（用π表示）
（3）圆锥底面半径为3，高为4；正方体的棱长为3，则体积较大的几何体是__________．（填“圆
锥”或“正方体”）
例4 (1)如图，下面四个图形均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（ ）
A：
B：
C：
D：
(2)下列展开图拼合成正方体后相对面的和的最大值分别为：
(3)如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ ）A：
B：
C：
D：
(4)下列四个图形中是某个长方体的展开图的个数有（ ）个．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例5 (1)如图是用4个正方体搭成的立体图形，从左面看，它应是下列图形中的（方格大小一致）
（ ）A：
B：
C：
D：
(2)用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到的是 ，从上面看到的是 ，则
从右面看到的是（ ）
A：
B：
C：
D：
例6 (1)下列说法正确的是_____________________；
①线段AB可表示为线段BA；
②射线AB可表示为射线BA；
③线段AB和射线AB都是直线AB的一部分；
④延长直线AB；
⑤延长线段AB；
⑥延长射线AB；
⑦直线比射线长，射线比线段长；
⑧直线AB可表示为直线BA．
(2)工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线．这种做法用
几何知识解释应是（ ）
A： 两点之间，线段最短
B： 两点之间，直线最短C： 两点确定一条直线
D： 三个点不能在同一直线
例7 (1)点C在线段AB上，现有4个等式：
1
①AC = BC；②BC = AB；
2
1
③AB = 2AC；④ AB = 2CB．
2
其中能表示点C是线段AB的中点的有____________；（填序号）
(2)已知线段AB = 6cm，若M是AB的三等分点，N是线段AM的中点，则线段MN的长度是
（ ）
A： 1cm
B： 2cm
C： 1.5cm
D： 1cm或2cm
例8 (1)下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A：
B：
C：D：
(2)对下列角度进行转换或计算：
①32.43∘ = ______°______′______″；
②65∘43 ′ 12 ″ = ____________∘；
③51∘49 ′ +24∘21 ′ = ____________；
④39∘41 ′ −24∘45 ′ = ____________；
⑤22∘30 ′ 16 ″ ×6 = ____________；
⑥176∘12 ′ ÷3 = ____________．
(3)两个锐角的和（ ）
A： 一定是锐角
B： 一定是直角
C： 一定是钝角
D： 可能是钝角、直角或锐角
例9 (1) 已知∠AOB（小于180∘），下列说法：
①∠AOP = ∠BOP；
1
②∠AOP = ∠AOB；
2
③∠AOB = ∠AOP+∠BOP；
1
④∠AOP = ∠BOP = ∠AOB．
2
其中能说明射线OP一定是∠AOB的角平分线的有（ ）
A： ①②
B： ①③④
C： ①④D： ④
(2) 1
如图，OC是∠AOD的角平分线，∠AOB = ∠BOD，∠AOB = 20∘，则∠BOC的度数是
2
（ ）
A： 5∘
B： 10∘
C： 15∘
D： 20∘
例10 (1) 若∠A = 34∘，则∠A的余角的度数为______°；若∠α的补角为76°28′，则∠α = ______°；
(2)若一个角的余角比这个角的补角的一半小40°，则这个角为______°；
(3)如图所示，点A、O、B在一条直线上，∠AOE = ∠DOF，若∠1 = ∠2，则图中互余的角共有
（ ）
A： 5对
B： 4对
C： 3对
D： 2对
(4)一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是（ ）A： 平角
B： 直角
C： 钝角
D： 锐角
1 如图，点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，点E是线段AD的中点，若EC = 8，求线段DB的
长．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 14 讲 图形认识初步
自我巩固答案
1 下列展开图中，不是正方体展开图的是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 如图，下面说法中错误的是（ ）
A： 点B在直线MC上
B： 点A在直线BC外C： 点C在线段MB上
D： 点M在线段BC上
3 用度、分、秒表示91.34∘为（ ）
A： 91∘20 ′ 24 ″
B： 91∘34 ′
C： 91∘20 ′ 4 ″
D： 91∘3 ′ 4 ″
4 如图，已知线段AB = 8，C为线段AB的一个四等分点，D为线段BC的中点，则线段AD =
________．
5 如图，甲从A点出发向北偏东70∘方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15∘方向走到点C，则
∠BAC的度数是（ ）
A： 85∘
B： 160∘
C： 125∘
D： 105∘
6 若一个角与它的补角之差是20∘，则这个角的大小是_________°．
7 如图，OB平分∠AOC，且∠2:∠3:∠4 = 3:5:4，则∠2 = ________∘，∠3 = ________°．8 下列语句中表述正确的是_____________________．
①若AP = 0.5AB，则P是AB的中点；
②若AP = 2PB，则P是AB的中点；
③若AB = PB，则P是AB的中点；
④若AP = PB = 0.5AB，则P是AB的中点；
⑤若A、B、C是直线l上的三个点，那么直线AB、直线BC和直线CA表示的都是直线l；
⑥若O、A、B三点顺次在同一条直线上，那么射线OA和射线AB是相同的射线．
9 如图，从点O引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB = 100∘，OF平分∠BOC，
∠AOE = ∠DOE，∠EOF = 140∘，求∠COD的度数．
10 如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，
AD = 10cm，设点B运动时间为t秒（0 ≤ t ≤ 10）．
（1）当t = 2时，①AB = _____cm；②求线段CD的长度；
（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长度；
（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，
请说明理由．
思维突破 / 初一 / 暑假第 14 讲 图形认识初步
课堂落实答案
1 将如图所示的直角三角形ABC绕直角边AB所在直线旋转一周得到一个几何体，从上面看这个几何
体得到的平面图形是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 下列各直线的表示方法中，正确的是（ ）
A： 直线A
B： 直线AB
C： 直线ab
D： 直线Ab
3 已知∠1 = 40∘，则∠1的余角度数是（ ）
A： 150∘
B： 140∘
C： 50∘D： 60∘
4 5
已知线段AB的长为18，点C在线段AB上，且AC = BC，则线段BC的长为（ ）
3
A： 27
B： 25
C： 27
4
D： 26
5 若圆柱体的底面半径为2，高为3，则圆柱体的体积为___________．（用π 表示）
6 下列四个生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；
③从A地到B地，架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可用定理“两点之间，线段最短”来解释的现象有_______________．
7 如图，B、C是线段AD上两点，且AB:BC:CD = 2:4:3，M是线段AD的中点，CD = 6cm，则线段
MC的长为_______cm．
8 线段b和线段c的长度如图所示，利用尺规作图作出长度为2c−b的线段，保留作图痕迹．
9 如图，A、O、B三点在一条直线上，OM是∠AOC的角平分线，∠MON = 90∘，若∠1:∠2 = 1:2
，求∠1的度数．思维突破 / 初一 / 暑假
第 15 讲 相交线与平行线
例题练习题答案
例1 (1)平面上三条不同的直线两两相交，且不相交于同一点，能构成__________组对顶角，平面上三
条不同的直线相交于一点，能构成__________组对顶角；
(2)下列说法正确的有（ ）
①相等的角是对顶角；
②相等且互补的两个角是直角；
③不相等的两个角不是对顶角；
④一个角的两个邻补角是对顶角；
⑤若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
⑥如果两个角有一组公共边，且它们的和是180∘，则这两个角互为邻补角．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例2 (1) 如图，已知直线AB、CD交于点O，若∠AOC = 2α，∠BOD = 7α−100∘，则∠AOD =
（ ）
A： 100∘
B： 120∘C： 130∘
D： 140∘
(2)如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OF平分∠BOD，∠COB−∠AOE = 90∘，则∠AOF =
__________．
例3 如图所示，请填空：
（1）直线AE与直线BD相交于点________；
（2）BE⊥________，点E是________；
（3）点B到直线AD的距离是线段________的长度，点D到直线AB的距离是线段________的长度；
（4）过点D有且只有________条直线和直线AC垂直．
例4 (1)如图，是一个马路上的人行横道线示意图，请你根据图示判断，在过马路时三条线路AC、
AB、AD中最短的是（ ）
A： AC
B： AB
C： AD
D： 不确定
(2)下列说法正确的有（ ）
①有且只有一条直线垂直于已知直线；②互相垂直的两条线段一定相交；
③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
④若直线c外一点A与直线c上所有点的连线中最短的线段长是3cm，则点A到直线c的距离是
3cm．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例5 如图，∠5和∠7是__________；∠4和∠6是__________；
∠1和∠5是__________；∠2和∠6是__________；
∠1和∠3是__________；∠5和∠6是__________．
例6 (1)下列图形中，∠1和∠2是同位角的是_________；
(2)下图一共有_________对内错角；
(3)如图，标有角号的7个角中共有_________对内错角，_________对同位角，_________对同旁内
角．例7 下列说法中正确的是__________．（填序号）
①平面上的两条不同直线的关系是相交、垂直和平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面上，不相交的两条不同直线一定平行；
⑤三条直线两两相交，总共有三个交点；
⑥两条不相交的直线不一定是平行线；
⑦若直线a∥b，b∥c，则a∥c；
⑧同位角相等．
例8 如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：
①∠1 = ∠2；②∠3 = ∠6；
③∠4+∠7 = 180∘；④∠5+∠8 = 180∘．
其中能判断a//b的是（ ）
A： ①③
B： ②④
C： ①③④
D： ①②③④
例9 (1) 如图，把一块含有45∘角的直角三角板的两个顶点放在长方形纸片的对边上，如果∠1 = 20∘
，那么∠2 = （ ）A： 15∘
B： 20∘
C： 25∘
D： 30∘
(2)如图，AC//BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的角平分线，那么∠ABO与∠BAO之间的大
小关系一定为（ ）
A： 互余
B： 相等
C： 不等
D： 互补
(3) 如图，AB//CD，∠1 = 58∘，FG平分∠EFD，则∠FGB = （ ）
A： 122∘
B： 116∘
C： 97∘
D： 151∘
(4) 如图，AB//CD，∠B = 65∘，CM平分∠BCE，∠MCN = 90∘，则∠DCN = __________．例10 如图，已知AB//CD，AB//EF，EG平分∠BED，∠B = 45∘，∠D = 30∘，求∠GEF的大小．
1 平面上有7条不同的直线，其中任何三条直线都不共点．
（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；
（2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；
（3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6、21、15？
思维突破 / 初一 / 暑假
第 15 讲 相交线与平行线
自我巩固答案
1 如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1+∠2 = 110∘，则∠BOC = （ ）
A： 130∘
B： 125∘
C： 140∘
D： 145∘
2 下列说法错误的是（ ）A： 对顶角相等
B： 邻补角互补
C： 垂直的两条线夹角为90∘
D： 同旁内角互补
3 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，则∠1与∠2的数量关系是（ ）
A： 相等
B： 互余
C： 互补
D： 无法判断
4 如图，CD//AB，DE与AB交于点F，若∠BFE = 50∘，则∠D的度数为（ ）
A： 150∘
B： 130∘
C： 120∘
D： 50∘
5 如图，下列条件中不能判定AB//CD的是（ ）A： ∠3 = ∠5
B： ∠1 = ∠5
C： ∠1+∠4 = 180∘
D： ∠3 = ∠4
6 下列条件中，能得到互相垂直的是（ ）
A： 一对对顶角的平分线
B： 一对同位角的平分线
C： 一对同旁内角的平分线
D： 一对邻补角的平分线
7 如图，在不添加任何辅助线的情况下填空．
（1）和∠C构成同位角的有________；
（2）图中一共有________组对顶角，________组同旁内角；
（3）∠BED和________是直线________和直线________被直线________所截形成的内错角．
8 如图，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，DE//BC，∠ABC+∠ACB = 115∘，求∠BFC的度数．
9 如图，BF∥CD，AB⊥BE，∠BEC的角平分线EA与BF交于A，AC平分∠EAF，求∠ACE的度数．思维突破 / 初一 / 暑假
第 15 讲 相交线与平行线
课堂落实答案
1 如图，直线a、b相交于点O，若∠1 = 50∘，则∠2等于（ ）
A： 50∘
B： 40∘
C： 140∘
D： 130∘
2 下列描述错误的是（ ）
A： 对顶角相等
B： 两直线平行，同旁内角相等
C： 两直线平行，内错角相等
D： 两直线平行，同位角相等
3 同一平面内，直线l与两条平行线a、b的位置关系是（ ）
A： l与a、b都平行或相交B： l可能与a平行，与b相交
C： l与a、b一定都相交
D： l与a、b一定都平行
4 如图，下列说法中正确的有（ ）
①∠1与∠2是同旁内角；
②∠1与∠ACE是内错角；
③∠B与∠4是同位角；
④∠1与∠3是内错角．
A： ①③④
B： ③④
C： ①②③
D： ①②③④
5 如图，下列条件中，不能判定直线a平行于直线b的是（ ）
A： ∠3 = ∠5
B： ∠2 = ∠6
C： ∠1 = ∠2
D： ∠4+∠6 = 180∘
6 如图，点B、A、E在一条直线上，则∠1 = _____或∠2 = _____，都可以判定AD//BC．7 如图，CD//AB．
（1）若∠EFB = 45∘，则由“两直线平行，同位角相等”可得____________；
（2）若∠CGF = 130∘，则由“________________________”可得∠AFG = 50∘．
8 2
如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC，且∠COE = ∠AOC，求
5
∠DOF的度数．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 16 讲 平行线综合
例题练习题答案
例1 如图，已知∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角，∠1 = ∠2，求证：∠3 = ∠4．
证明：∵∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角（ ）
∴∠1 = ∠3，∠2 = ∠4 （ ）
∵∠1 = ∠2 （ ）∴∠3 = ∠4 （ ）
例2 如图，∠ABE+∠DEB = 180∘，∠1 = ∠2，求证：∠F = ∠G．
证明：∵∠ABE+∠DEB = 180∘ （ ）
∴AC//DE （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠CBE = ∠DEB （ ）
又∵∠1 = ∠2 （ ）
∴∠CBE−∠1 = ∠DEB−∠2 （ ）
即∠FBE = ________ （ ）
∴________//GE （ ）
∴∠F = ∠G （ ）
例3 如图，∠ABC = ∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且BF//DE，求证：AB//CD．
证明：∵∠ABC = ∠ADC （ ）
1 1
∴ ∠ABC = ∠ADC （ ）
2 2
∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC （ 已知 ）
1 1
∴∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ADC （ ）
2 2
∴∠______ = ∠______ （ ）
∵BF//DE （ ）
∴∠1 = ∠3 （ ）
∴∠2 = ∠______ （ 等量代换 ）
∴______//______ （ ）例4
证明：∵∠1 = ∠2 （ 已知 ）
且∠1 = ∠3 （ ）
∴∠______ = ∠______ （ ）
∴__________________ （ ）
∴∠A = ∠DBC （ ）
∵∠A = ∠D （ 已知 ）
∴∠______ = ∠______ （ ）
∴AC//DF （ ）
例5 如图，已知AB//CD，证明：∠B−∠D = ∠BED．
证明：如图，过E点作直线EF//AB
∵AB//CD，且EF//AB （ ）
∴EF//________ （ ）
∵_______//AB （ ）
∴∠B = ∠BEF （ ）
∵EF//CD （ ）
∴∠D = ________ （ ）
∴∠B−∠D = ∠BEF−∠DEF （ ）
即____________________ （ ）
例6 如图，已知∠B = ∠C，∠ADE = 110∘，求∠A的度数．例7 如图，已知AB//CD，MN截AB、CD于点E、F，且EG//FH，证明∠1 = ∠2．
例8 如图，已知∠1+∠2 = 180∘，∠3 = ∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
例9 如图，点A在射线BG上，∠1 = ∠2，∠1+∠3 = 180∘，∠EAB = ∠BCD，求证：EF//CD．
例10 如图，已知AB//CD，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：AD//BE．
1 如图，AF//CD，∠A = ∠D，∠B = ∠E，试判断BC和EF的位置关系．思维突破 / 初一 / 暑假
第 16 讲 平行线综合
自我巩固答案
1 如图，AB//CD，BC//DE，则∠B+∠D = ________∘．
2 如图，AD//BE，∠1 = ∠2，则和∠A相等的所有角为（ ）
A： ∠E
B： ∠3
C： ∠E、∠3
D： ∠1+∠2
3 如图，∠1 = 70∘，∠2 = 70∘，∠3 = 88∘，则∠4 = ________∘．
4 如图，AB//EF，AB//CD，若∠EFB = 130∘，∠C = 65∘，则∠FBC = _________°．5 如图，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1 = ∠F = 30∘，那么与∠FCD相等的角有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
6 如图，已知∠BAP+∠APD = 180∘，∠1 = ∠2，求证：AE//FP．
证明：∵________________（ ）
∴AB//PD（ ）
∴∠BAP = ∠APC（ ）
又∵∠1 = ∠2（ ）
∴∠BAP−∠1 = ∠APC−∠2（ ）
即∠EAP = ∠FPA
∴________________（ ）
7 如图，∠AED = ∠ACB，∠DEB = ∠GFC，BE⊥AC，求证：FG⊥AC．思维突破 / 初一 / 暑假
第 16 讲 平行线综合
课堂落实答案
1 如图，直线a、b、c、d，已知c⊥a，c⊥b，直线b、c、d交于一点，若∠1 = 50∘，则∠2 =
（ ）
A： 60∘
B： 50∘
C： 40∘
D： 30∘
2 如图，∠B = ∠C，∠ADE = α，则∠A = （ ）
A： 180∘ −α
B： 90∘ +α
C： 2α
D： α
3 如图，∠1+∠2 = 180∘，∠3 = 75∘，则∠4的度数是（ ）A： 75∘
B： 45∘
C： 105∘
D： 135∘
4 如图，点D在直线AE上，且∠CDE = ∠A = ∠C，有以下三个结论：①AB//CD；②AD//BC；③
∠B = ∠CDA，则正确的结论是（ ）
A： ①②③
B： ①②
C： ①
D： ②③
5 如图，∠1 = ∠2 = ∠4，则下列结论正确的有________________．（填序号）
①∠3 = ∠5；②∠4 = ∠6；③AD//BC；④AB//CD．
6 如图，AB//CD，∠B = 100∘，EF平分∠BED，则∠DEF的度数为___________°．7 如图，AB//CD，直线EF分别与AB、CD交于点G、H，GM⊥EF，HN⊥EF交AB于点N，
∠1 = 50∘．
（1）∠2 = _________∘；
（2）HN与GM的位置关系为_________；
（3）∠HNG = _________∘．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 17 讲 三角形与多边形
例题练习题答案
例1 (1)下列说法中正确的是__________；（填序号）
①三条线段首尾顺次相接所组成的图形就是三角形；
②以三角形的顶点为端点，且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；
③三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形；
④三角形的三条高交于一点；
⑤三角形的高就是底边的垂线．
(2)如图，在 △ ABC中，CD⊥AB，BE平分∠ABC，CD、BE相交于点F．
①图中有几个直角三角形？几个锐角三角形？几个钝角三角形？请把它们分别表示出来；
②△ABC的三个内角分别是什么？请表示出来；
③CD是哪些三角形的高？
④BF是哪些三角形的边？
⑤BF是哪些三角形的角平分线？线段BE又是一条什么线段？例2 （1）若三角形三个内角的度数比为3:2:5，则三个内角的度数分别为________________；
（2）在 △ ABC中，若∠B−∠A = 15∘，∠C−∠B = 60∘，则∠A = _________，∠B =
_________，∠C = _________；
（3）三角形外角中最少有_________个钝角，最多有_________个锐角．
例3 在 △ ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠EAD = 10∘，∠C = 70∘，求∠B的度数．
例4 如图，已知AB//CD，∠A = 60∘，∠C = 25∘，求∠E的度数．
例5 （1）判断下列长度的线段能否组成三角形：
2 2 2
①6、8、10；②2a、2a、3a（a > 0）；③a +1、a +2、a +3（a ≠ 0）．
（2）如果下列每组中的三条线段都能构成三角形，请写出相应的未知数的取值范围．
①5、7、x；②x、2x、2x+1．
例6 p p
对于任意三角形，设其周长为p，最长边为c，求证： ≤ c < ．
3 2
例7 (1)下列说法中，错误的是（ ）
A： 除三角形外的多边形都有对角线
B： 任意四边形的内角和等于外角和C： 过n边形的一个顶点有(n−3)条对角线
D： (n+1)边形的内角和比n边形的内角和大360∘
(2)若一个多边形的内角和是720度，则它是______边形；
(3)若一个多边形有9条对角线，则它是________边形，它的内角和是________度；
(4)若一个多边形的每一个内角都等于150度，则这个多边形的内角和是________度；
(5)若一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是________边形；
(6)若一个n边形除一个内角外，其余各个内角的和为1680度，则这个多边形的边数是________，
这个内角是________度．
例8 若两个多边形边数之比为1:2，内角和之比为3:8，试求这两个多边形的边数和内角和．
例9 张小寒和同学们做游戏，规定从某点向前走20米，然后向左拐20∘再向前走20米；再左拐20∘后继
续向前走20米，如此下去，直到回到出发点，请问张小寒共走了多远？
例10 如图，在四边形ABCD中，∠A = 140∘，∠D = 80∘，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求
出∠BEC的度数．
1 已知三角形有一个内角是 ( 180∘ −x ) ，而且这个三角形的最大角与最小角之差是24∘，求x的取值
范围．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 17 讲 三角形与多边形自我巩固答案
1 若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边不可能为（ ）
A： 5cm
B： 8cm
C： 10cm
D： 17cm
2 三角形的三条高所在直线的交点一定在（ ）
A： 三角形的内部
B： 三角形的外部
C： 三角形的内部或外部
D： 以上答案都不对
3 如果一个三角形的三个内角的度数之比为2:3:5，那么这个三角形是（ ）
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 无法判断
4 如果一个多边形的每一个内角都等于140∘，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线有（ ）
条．
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
5 若三角形三边长分别是6、2a−2、8，则a的取值范围是（ ）
A： 1 < a < 2B： 1
< a < 2
2
C： 2 < a < 8
D： 1 < a < 4
6 在 △ ABC中，∠A = 60∘，∠B的外角比∠C的外角大20∘，则 △ ABC的最大内角的度数为
________°．
7 如图，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2 = 80∘，则∠B = _________°．
8 下列说法中错误的有__________________．（填写序号）
①各边都相等的多边形是正多边形；
②所有的凸四边形都只有两条对角线；
③各个内角都相等的多边形是正多边形；
④多边形的外角度数与边数无关；
⑤正十二边形与普通十二边形的内角和度数相同，但外角和度数不同．
9 若三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ）
A： 5个
B： 4个
C： 3个
D： 2个
10 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）A： 180∘
B： 360∘
C： 540∘
D： 720∘
11 如图所示，在 △ ABC中，∠B = ∠C，∠BAD = 40∘，并且∠ADE = ∠AED，求∠CDE的度数．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 17 讲 三角形与多边形
课堂落实答案
1 已知三角形中两条较短的边长为5cm和7cm，则最长边的长度可能为（ ）
A： 6cm
B： 8cm
C： 14cm
D： 15cm
2 一定能把三角形的面积平分的三角形中的线段是（ ）
A： 中线
B： 高线
C： 角平分线
D： 三种都可以
3 在 △ ABC中，∠A = 35∘，∠B = 45∘，则∠C的度数是（ ）A： 35∘
B： 45∘
C： 80∘
D： 100∘
4 若一个多边形的每个内角均为108∘，则这个多边形是（ ）
A： 七边形
B： 六边形
C： 五边形
D： 四边形
5 若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足√a−9+(b−2) 2 = 0，则第三边c的取值范围是
________________．
6 在 △ ABC中，∠A−∠C = 25∘，∠B−∠A = 10∘，则∠B = ___________°．
7 从十边形的一个顶点出发可以连____________条对角线；十边形一共有____________条对角线．
8 如图，D是△ABC的BC边上的一点，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，∠BAC = 63∘，求∠CAD的度数．
9 一个等腰三角形的周长是40cm，若它的一条边长为10cm，求它的另外两条边长．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 18 讲 角度计算（一）例题练习题答案
例1 (1) 如图，a//b，若∠1 = 50∘，∠2 = 30∘，则∠3 = ___________；
(2) 如图，l//m，若∠1 = 115∘，∠2 = 95∘，则∠3 = （ ）
A： 120∘
B： 130∘
C： 140∘
D： 150∘
例2 (1) 如图，a//b，若∠1 = 125∘，∠2 = 115∘，则∠3 = ___________；
(2) 如图，AB//CD，∠ABE和∠CDE的角平分线相交于点F，若∠E = 60∘，则∠BFD =
___________．
例3 如图，∠BFE = ∠FEC，∠ABF = ∠DCE，求证：AB//CD．例4 如图，AB//DE，∠ABC = 70∘，∠CDE = 147∘，求∠C的度数．
例5 （1）如图1，MA //NA ，则∠A +∠A = ________度；
1 2 1 2
如图2，MA //NA ，则∠A +∠A +∠A = ________度；
1 3 1 2 3
如图3，MA //NA ，则∠A +∠A +∠A +∠A = ________度；
1 4 1 2 3 4
如图4，MA //NA ，则∠A +∠A +∠A +∠A +∠A = ________度．
1 5 1 2 3 4 5
从上述结论中你发现了什么规律？请在图1、图2、图3、图4中选一个证明你的结论；
（2）如图5，MA //NA ，则∠A +∠A +∠A +⋯+∠A = ________度．
1 n 1 2 3 n
例6 (1) 如图，∠1 = 112∘，∠2 = 136∘，则∠A = __________；
(2)在△ABC中，∠A:∠B:∠C = 3:4:5，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BD、CE相交于点
H，则∠BHC = __________．
例7 (1)如图，∠1+∠2+∠3+∠4 = _________；(2)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E = ___________；
(3)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = ____________．
例8 如图，AE⊥AB，AD⊥BC，CF⊥AB，DE⊥AE，证明：∠FCB = ∠D．
例9 （1）如图1，把 △ ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A、∠AEB、∠ADC之
间有一种数量关系始终保持不变，是_____________；
（2）如图2，把 △ ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A、∠AEB、∠ADC之
间有一种数量关系始终保持不变，是_____________．
例10 如图，以下是五角星和它的变形．（1）如图（a），请求出五角星的五个角的度数和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；
（2）如图（b），当点A向下移到BE边上时，五个角的度数和有无变化？说明你的结论的正确
性；
（3）如图（c），将（b）中的点C向上移动到BD边上时，五个角的度数和
∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E有无变化？
1 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是两组对边延长线的交点，EG、FG分别平分∠BEC、∠DFC
，若∠ADC = 60∘，∠ABC = 80∘，试求∠EGF的度数．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 18 讲 角度计算（一）
自我巩固答案
1 如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A = 25∘，则∠D的度数为（ ）
A： 35∘B： 25∘
C： 15∘
D： 45∘
2 如图，AB//CD，∠A = ∠C = 60∘，∠E = ∠F，则∠E = （ ）
A： 20∘
B： 30∘
C： 40∘
D： 45∘
3 如图，∠C = 38∘，∠A = 37∘，∠CDB = 108∘，则∠B的度数是（ ）
A： 33∘
B： 23∘
C： 27∘
D： 37∘
4 如图，将一个正三角形剪去一个角后，∠1+∠2 = （ ）
A： 120∘B： 300∘
C： 240∘
D： 360∘
5 如图，AB//CD，∠1 = 50∘，∠2 = 110∘，则∠3 = ___________∘．
6 如图，∠A = 28∘，∠BFC = 84∘，∠B = ∠C，则∠BDC = ___________∘．
7 如图，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A = 50∘，则
∠BPC = ___________∘．
8 如图，AB//CD，∠1 = 45∘，∠3 = 78∘，∠4 = 62∘，则∠2 = ___________∘．
9 如图，AB//CD，∠BED = 75∘，∠BFD = 35∘，若∠EBF = x，∠EDF = y，x > y，求3x−2y的取
值范围．思维突破 / 初一 / 暑假
第 18 讲 角度计算（一）
课堂落实答案
1 如图，a//b，若∠1 = 55∘，∠2 = 26∘，则∠3 = （ ）
A： 71∘
B： 39∘
C： 29∘
D： 81∘
2 如图，∠A = 50∘，∠B = ∠D = 30∘，则∠BCD的度数是（ ）
A： 70∘
B： 80∘
C： 110∘D： 130∘
3 如图，a//b，若∠3 = 127∘，∠1 = 141∘，则∠2 = （ ）
A： 82∘
B： 92∘
C： 102∘
D： 112∘
4 如图，在 △ ABC中，∠C = 90∘，D、E分别是AC、BC边上的点，则图中∠1+∠2 = （ ）
A： 270°
B： 180°
C： 120°
D： 90°
5 如图，∠A = 60∘，∠D = 55∘，则∠C−∠B = __________∘．
6 如图，在直角 △ ABC中，∠ACB = 90∘ ，∠A = 35∘ ，CD⊥AB交AB于点D，则∠DCB =
__________∘．7 两张长方形纸片如图摆放，其中一张长方形纸片的顶点恰好落在另一张的一边上，则∠1+∠2 =
__________∘．
8 如图，已知∠B = 60∘，∠C = 20∘，∠1 = 120∘，则∠A = __________∘．
9 如图，∠1 = 50∘，∠2 = 95∘，∠3 = 45∘，证明：AB//EF．
思维突破 / 初一 / 暑假
第 19 讲 角度计算（二）
例题练习题答案
例1 (1) 如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB = 40∘，
∠COE = 60∘，则∠BOD的度数为（ ）A： 50∘
B： 60∘
C： 65∘
D： 70∘
(2)如图，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，如果
∠MON = α，∠BOC = β，那么表示∠AOD大小的代数式是（ ）
A： 2α−β
B： α−β
C： α+β
D： 以上都不正确
例2 (1) 如图，在△ABC中，∠A = 34∘，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BE、CF相交于点
I，则∠BIC = ________；(2) 如图，BP、CP分别为∠ABC和∠ACE的角平分线，若∠A = 50∘，∠ABC = 70∘，
∠ACB = 60∘，则∠P = ________；
(3)如图，∠ABC = ∠ACB，AD、BD、CD分别平分 △ ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角
∠ACF，以下结论：
①AD//BC；②∠ACB = 2∠ADB；
③∠ADC = 90∘ −∠ABD；④BD平分∠ADC；
1
⑤∠BDC = ∠BAC．
2
其中正确的结论有（ ）
A： 5个
B： 4个
C： 3个
D： 2个
例3 已知，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOB = 120∘，∠BOC = 30∘，则∠MON = _______；
（2）如图1，若∠AOB = 120∘，∠BOC = β，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不
能，试说明理由；
（3）如图2，若∠AOB = α，∠BOC = β，是否仍能求出∠MON的度数？若能，求出∠MON的度
数；若不能，试说明理由．（用含α或β的式子表示）例4 已知 △ ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于点G 1 ，G 2 ，G 3 ，⋯，G n－1 ，试猜
想：∠BG C与∠A的关系．（其中n ≥ 2且n为整数）
n−1
（1）如图1，当n = 2时，∠BG C = __________；
1
（2）如图2，当n = 3时，∠BG C = __________；
2
（3）如图3，猜想：∠BG C = __________．
n−1
例5 (1)如图，在 △ ABC中，∠A = α，∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点A ，得∠A ；
1 1
∠A BC的角平分线与∠A CD的角平分线交于点A ，得∠A ；⋯；∠A BC的角平分线与
1 1 2 2 2014
∠A CD的角平分线交于点A ，得∠A ，则∠A = _________∘；
2014 2015 2015 2015
(2) 如图，在 △ ABC中，∠A = 60∘，外角∠DBC和∠BCE的角平分线交于点A ，则∠A =
1 1
_________∘，∠A BC、∠A CB的角平分线交于点A ，⋯，依次下去，则∠A = _________∘．
1 1 2 n
（结果用含n的式子表示）例6 如图，直线DF与 △ ABC的边AB交于点D，与BC交于点E，与AC的延长线交于点F，若∠ABC与
∠ADF的角平分线相交于点G，∠ACB的角平分线与∠AFD的角平分线相交于点H，求证：
∠G = ∠H．
例7 （1）如图①，∠BAD的角平分线AE与∠BCD的角平分线CE交于点E，AB//CD，∠D = 40∘，
∠B = 30∘，求∠E的大小；
（2）如图②，∠BAD的角平分线AE与∠BCD的角平分线CE交于点E，∠E与∠D、∠B之间是否仍
存在某种等量关系？若存在，请写出你的结论，并证明；若不存在，请说明理由．
例8 (1) 如图，∠A = 105∘，∠B = 48∘，∠E = 73∘，∠BCD = 77∘，求∠D的度数；(2)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = _____________．
例9 如图，在四边形ABCD中，∠A = 140∘，∠D = 80∘，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求
出∠BEC的度数．
例10 如图是风筝形和镖形两种不同的砖，下图是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成，请仔细观察
这个美丽的图案，求出风筝形砖的四个内角各是多少度？
1 如图，凸六边形ABCDEF，以直线PQ为对称轴将六边形的两个顶点折叠，得到A、B的对称点A ′ 、
B ′ ，已知A ′ G//AF，B ′ G//BC，∠C+∠D+∠E+∠F = 480∘，求∠G的度数．思维突破 / 初一 / 暑假
第 19 讲 角度计算（二）
自我巩固答案
1 如图，BP、CP分别为∠ABC和∠ACE的角平分线，若∠A = 45∘，则∠P的度数是（ ）
A： 20∘
B： 22.5∘
C： 25∘
D： 30∘
2 如图， △ ABC中，OA、OB、OC为角平分线，若∠BOC = 130∘，则∠BAO的度数是（ ）
A： 30∘
B： 35∘
C： 40∘
D： 50∘
3 如图，在 △ ABC中，点P是 △ ABC的外角∠DBC、∠BCE的角平分线的交点，若∠BPC = 70∘，
则∠BAC = ______∘．4 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）
A： 180∘
B： 270∘
C： 360∘
D： 540∘
5 如图，截去正方形ABCD的∠A、∠C后，∠1+∠2+∠3+∠4 = _________∘．
6 如图，∠ABD、∠ACD的角平分线相交于点P，若∠A = 65∘，∠D = 15∘，则∠P的度数为
________°．
7 如图， △ ABC中，∠ABD = ∠DBE = ∠EBC，∠ACD = ∠DCE = ∠ECB，若∠BEC = 145∘，求
∠BDC的度数．思维突破 / 初一 / 暑假
第 19 讲 角度计算（二）
课堂落实答案
1 如图，CF平分∠BCD，∠FCB = 40∘，CF⊥CE，则∠ACE = （ ）
A： 40∘
B： 45∘
C： 50∘
D： 55∘
2 如图， △ ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若∠BPC = 35∘，则∠A = （ ）
A： 70∘
B： 80∘
C： 55∘
D： 65∘3 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = （ ）
A： 180∘
B： 360∘
C： 540∘
D： 720∘
4 1 1
如图，∠A = 60∘，∠ABO = ∠ABC，∠ACO = ∠ACB，则∠BOC = （ ）
3 3
A： 120∘
B： 110∘
C： 100∘
D： 90∘
5 1 1
如图，∠A = 30∘，∠DBO = ∠DBC，∠ECO = ∠ECB，则∠BOC = （ ）
2 2A： 80∘
B： 85∘
C： 70∘
D： 75∘
6 如果仅限于用一种正多边形镶嵌平面，那么除了正方形外，请再写出两种能够完成目标的正多边
形名称．答：____________________．
7 如图，点E和点D分别在 △ ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，若
∠B = 70∘，∠D = 40∘，则∠F = __________°．
8 如图，把 △ ABC纸片沿DE折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部，探究∠A、∠1、∠2的数量关
系．
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第 20 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 已知a < b，则下列四个不等式中不正确的是（ ）A： 3a < 3b
B： 2−a < 2−b
C： a+3 < b+3
D： −3a > −3b
2 已知某不等式的解集为x > 2，那么它的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
3 从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A： 圆柱
B： 圆锥
C： 棱锥
D： 球
4 已知线段AB = 6cm，若M是AB的三等分点，N是AM的中点，则线段MN的长度为（ ）
A： 1cm
B： 2cm
C： 1.5cm
D： 1cm或2cm
5 如图，AB∥CD，EG⊥AB于点G，∠1 = 50∘，则∠E = （ ）A： 40∘
B： 50∘
C： 60∘
D： 130∘
6 若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得同旁内角（ ）
A： 8对
B： 12对
C： 16对
D： 20对
7 五边形的内角和为___________．
8 一个三角形的三边长度分别为8、3、x，则x的取值范围是___________．
9 一个n边形的内角和等于它的外角和的10倍，则n = ___________．
10 如图是一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则这个几何体由___________个正方体组成．
11 如图，四边形ABCD中，∠A+∠B = 200∘，∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则∠COD的度
数是___________．12 如图，若∠A = 53∘，则∠B+∠C+∠D+∠E = ____________．
13 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是
___________．
14 已知不等式3 < x < a只有3个整数解，则a的取值范围是___________．
15 解不等式（组）：
3x+2 1−5x
（1） + < 1；
4 2
3x−7 > 5
{
（2） ．
4−2(x−5) ≥ 3
16 如图，已知∠BOC = 2∠AOB，OD平分∠AOC，若∠BOD = 20∘，求∠AOB的度数．
17 如图，线段AC上依次有D、B、E三点，其中点B为线段AC的中点，AD = BE，若DE = 4，求线段
AC的长，请补全下列解答过程．
解：∵D、B、E三点依次在线段AC上
∴DE = _________+BE
∵AD = BE∴DE = DB+_________ = AB
∵DE = 4
∴AB = 4
∵_________
∴AC = 2AB = _________
18 某班级学生去露营，如果每顶帐篷住4名学生，那么还有19名学生需要露宿田野，如果大家挤一
挤，每6名学生住一顶帐篷，那么有一顶帐篷里不空也不满，请问一共带了多少顶帐篷？一共多少
名学生？
19 如图，已知∠CFE+∠BDC = 180∘，∠DEF = ∠B，求证：∠AED = ∠ACB．
20 如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC:∠BOC = 1:2，将一直角三角板的直
角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，图1中的三角板OMN绕
点O按逆时针方向一直旋转．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角
板旋转的角度为__________度（设旋转角度不超过360∘）；
（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试
探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，初始位置如图1所示，当直角三角板的直角边ON所
在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．
21 (1)给定平面上n个点，已知1，2，4，8，16，32都是其中两点之间的距离，那么点数n的最小
可能值是（ ）
A： 4B： 5
C： 6
D： 7
(2)如图， △ ABE和 △ ADC是 △ ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若
∠BAC:∠ABC:∠ACB = 28:5:3，则∠DGE = _____________．
(3) 一个机器人按照如下方式运动：沿着某一方向前进10米，然后向左转α度（0 < α < 180），
再前进10米，再向左转α度，⋯，若该机器人运动了50米后，回到了出发点，则α的值为
_____________．
