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能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
例题练习题答案
例1 (1)如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是（ ）
6 < l < 15
A：
6 < l < 16
B：
11 < l < 13
C：
10 < l < 16
D：
6cm 8cm
(2)已知等腰三角形的两边长分别为 和 ，则它的第三边长度为____________．
练1.1 已知a，b，c为△ABC的三边长，化简 |a−b−c|−|b−c−a|+|a+b−c| ．
例2 如图，BD是△ABC的中线， AB = 8 ， BC = 6 ，则△ABD和△BCD的周长的差是______．
ΔABC AD BC ΔABD 5cm2 ΔADC
练2.1 在 中， 为三角形 边上的中线，已知 的面积为 ， 的面积为
ΔABC
________， 的面积为________．
练2.2 如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且 S △ABC = 4 cm2 ，则
阴影部分的面积等于（ ）2cm2
A：
1cm2
B：
1
C：
cm2
2
1
D：
cm2
4
例3 在△ABC中， ∠C = 40∘ ， ∠A −∠B = 20∘ ，则 ∠A = __________．
练3.1 如图，在△ABC中，AD⊥BC， ∠1 = ∠B ， ∠C = 65∘ ，则 ∠BAC 的度数为______．
∠ACF = 115∘ ∠ADE = 50∘ ∠B = 35∘ ∠F ∠CED
例4 如图，已知 ， ， ，求 与 的度数．
练4.1 如图， ∠A = 65∘ ， ∠ABD = 30∘ ， ∠ACB = 72∘ ，且 CE 平分 ∠ACB ，则 ∠BEC
=
_____________°．
∠1 = 35∘ ∠2 = 76∘ ∠3 = 65∘ ∠4 ∘
例5 (1)如图，已知 ， ， ，则 的度数是__________ ．
∠1 = 112∘ ∠2 = 136∘ ∠A = ∘
(2)如图， ， ，则 __________ ．∠B = 65∘ ∠C = 70∘ ∠AED = 80∘ ∠ADE =
练5.1 (1)如图， ， ， ，则 （ ）
40∘
A：
45∘
B：
50∘
C：
55∘
D：
∠1 = 48∘ ∠2 = 56∘ ∠3 +∠4
(2)如图，已知 ， ，则 的度数是_____________°．
∠A = 70∘ ∠D = 40∘ ∠C = 60∘ ∠B =
例6 (1)如图， ， ， ，则 （ ）
10∘
A：
20∘
B：
40∘
C：
30∘
D：
∠A +∠B +∠C +∠D+∠E +∠F
(2)如图， 的大小为____________°．∠3 = 20∘ ∠4 = 30∘ ∠1 −∠2 =
练6.1 如图， ， ，则 ________．
∠α = 106∘ ∠β = 80∘ ∠A +∠B +∠C +∠D
练6.2 如图，已知 ， ，则 的度数为（ ）度.
A： 160
B： 180
C： 186
D： 196
∠A +∠B +∠C +∠D+∠E = ______
例7 (1)如图， ．
(2)如图，DC平分 ∠ADB ，EC平分 ∠AEB ，若 ∠A = 50∘ ， ∠DBE = 150∘ ，则 ∠C 的大
小为______．
∠A +∠B +∠C +∠D+∠E
练7.1 (1)如图， 等于（ ）A： 90°
B： 180°
C： 360°
D： 270°
BF ∠ABD CE ∠ACD BF CE G
(2)如图， 是 的角平分线， 是 的角平分线， 与 交于 ，若
∠BDC = 140∘ ∠BGC = 110∘ ∠A
， ，求 的度数．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
自我巩固答案
1 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A： 7cm
B： 9cm
C： 12cm或者9cm
D： 12cm
x
2 若三角形两边长为8和12，则第三边 的范围是（ ）
x > 4
A：x < 20
B：
16 < x < 24
C：
4 < x < 20
D：
3 一个三角形的周长为奇数，其中的两边长为4和2013，满足条件的三角形有 个．
4 如图，已知 S △ABC = 8cm2 ，AD是中线，DE是 △ ADC 的中线，则三角形ADE的面积为
（ ）
6cm2
A：
4cm2
B：
3cm2
C：
2cm2
D：
5 如图，在△ABC中， ∠A = 45∘ ， ∠C = 75∘ ，BD是△ABC的角平分线，则 ∠BDC 的度数为
（ ）
60∘
A：
70∘
B：
75∘
C：
105∘
D：
△ ABC ∠A = 40∘ ∠A ∠CDE +∠DEB =
6 如图， 中， ，若沿图中虚线截去 ，则 （ ）A： 140°
B： 220°
C： 280°
D： 360°
7 如图，点O是 △ ABC 内一点， ∠A = 80∘ ， ∠1 = 15∘ ， ∠2 = 40∘ ，则 ∠BOC 等于
（ ）
A： 95°
B： 120°
C： 135°
D： 无法确定
8 如图，BE⊥AC，CF⊥AB，BE与CF交于点G，若 ∠A = 75∘ ，则 ∠BGC 的度数为______．
∠A = 27∘ ∠B = 45∘ ∠C = 38∘
9 如图， ， ， ，求：
∠BEF
（1） 的度数；
∠DFE
（2） 的度数．10 如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高， ∠BAC = 60∘ ， ∠BCE = 40∘ ，求
∠ADB
的度数．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
课堂落实答案
1 下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（ ）
A： 1，1，2
B： 2，2，5
C： 3，3，5
D： 3，4，5
2x 13 x
2 已知三角形三边长分别为 , , ,若 为正整数,则这样的三角形个数为（ ）
2
A：
3
B：
5
C：
13
D：3 如图，在△ABC中， ∠A = 50∘ ，O是△ABC内一点，且 ∠ABO = 20∘ ， ∠ACO = 30∘ ，求
∠BOC
的度数．
ABC ∠C = 50∘ ∠C ∠1 +∠2
4 如图，在△ 中， ，按图中虚线将 剪去后， 等于（ ）
230∘
A：
210∘
B：
130∘
C：
310∘
D：
∠A = 32∘ ∠B = 45∘ ∠C = 38∘ ∠DFE
5 已知：如图， ， ， ，则 等于（ ）
120∘
A：
115∘
B：
110∘
C：
105∘
D：
能力提高 / 初二 / 秋季第 1 讲 三角形的边与角
精选精练
1 已知a，b，c是△ABC的三边，且a= 4，b=6.若三角形的周长是小于18的偶数.
(1)求c边的长.
(2)判断△ABC的形状.
2 如图，CE平分 ∠ACD ，F为CA延长线上一点， FG // CE 交AB于点G， ∠ACD = 100∘ ，
∠AGF = 20∘ ∠B
，则 的度数是 ．
1
3 如图，P是△ABC内一点，试说明PA＋PB＋PC＞ （AB＋BC＋AC）.
2
CE △ ABC ∠ACD CE BA E ∠B = 40∘
4 如图， 是 的外角 的平分线，且 交 的延长线于点 ， ，
∠E = 30∘ ∠BAC
，求 的度数．
5 如图，将 △ ABC 纸片沿 DE 折叠，使点A落在四边形BCDE内点 A′ 的位置，已知 ∠A = 30∘ ，
∠1 = 20∘ ∠2
，求 的度数．6 如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，AD是高，AE是角平分线，求∠EAD的度数．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
例题练习题答案
例1 (1)如图，小明将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新
720∘ ( )
多边形的内角和为 ，则对应的图形是
A：
B：
C：
D：
( )
(2)一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的
360∘
A： 内角和增加
360∘
B： 外角和增加180∘
C： 内角和增加
D： 对角线增加一条
540∘ ( )
练1.1 内角和为 的多边形是
A： 三角形
B： 四边形
C： 五边形
D： 六边形
n 144∘
例2 (1)若一个 边形的每个内角为 ，则这个是正（ ）边形．
A： 五
B： 七
C： 九
D： 十
(2)一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A： 八
B： 九
C： 十
D： 十二
540∘
(3)一个多边形的内角和比外角和多 ，这个多边形为（ ）
A： 五边形
B： 六边形
C： 七边形
D： 八边形
例3 如图，△ABC中，OA、OB、OC为角平分线，若 ∠BOC = 125∘ ，则 ∠BAO 的度数是（ ）30∘
A：
35∘
B：
40∘
C：
50∘
D：
练3.1 如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，若 ∠A = 52∘ ，则 ∠1 +∠2 的度数为
_____．
练3.2 如图，在△ABC中， ∠B 、 ∠C 的平分线 BE ， CD 相交于点 F ．
∠ABC = 40∘ ∠A = 60∘ ∠BFD
若 ， ，求 的度数．
∠A BC ∠A CM BA CA A ∠A = 68∘
例4 (1)如图1， 1 、 1 的角平分线 2、 2相交于点 2．如果 1 ，
∠A
那么 2的度数是多少，试说明理由；
∠A BC ∠A CM BA CA
(2)如图2，在（1）的条件下，如果 2 、 2 的角平分线 3、 3相交于点
A ∠A
3，请直接写出 3的度数．练4.1 如图，在△ABC中，CD、BE是外角平分线，BD、CE是内角平分线，BE、CE交于点E，BD、CD交
于点D，试探索 ∠A 、 ∠D 、 ∠E 的关系．
练4.2 如图，BP是 ΔABC 中 ∠ABC 的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果 ∠ABP = 20∘ ，
∠ACP = 50∘ ∠A +∠P =
，则 _______．
例5 如图，在△ABC中， ∠B = 48∘ ，三角形的外角 ∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点E， ∠AEC 等
于（ ）
56∘
A：
66∘
B：
76∘
C：
D： 无法确定
1 1
练5.1 如图，在△ABC中， ∠MBC = ∠DBC ， ∠MCB = ∠ECB ，
2 2
1 1
∠NBC = ∠ABC ∠NCB = ∠ACB ∠M +∠N =
， ，则 __________°．
2 21 1
练5.2 如图，在△ABC中， ∠A = 60∘ ， ∠FBC = ∠DBC ， ∠FCB = ∠ECB ， ∠F 的度数
3 3
为（ ）
100∘
A：
110∘
B：
120∘
C：
130∘
D：
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
自我巩固答案
( )
1 正十边形的外角和的度数为
1440∘
A：
720∘
B：
360∘
C：
180∘
D：
( )
2 已知一个正多边形的一个内角为150度，则它的边数为A： 12
B： 8
C： 9
D： 7
36∘ ( )
3 一个正多边形的外角等于 ，则这个正多边形的内角和是
1440∘
A：
1080∘
B：
900∘
C：
720∘
D：
1 : 3 ( )
4 一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为 ，那么这个多边形的边数为
A： 8
B： 9
C： 10
D： 12
n n ( )
5 若 边形的内角和等于外角和的3倍，则边数 为
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
6 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=115°，则∠A的度数是（ ）
A： 50°B： 57.5°
C： 60°
D： 65°
7 在△ABC中， ∠ABC 和 ∠ACB 的角平分线交于点E，过点E作PQ∥BC，交AB于点P，交AC于点
Q，若 ∠A = 60∘ ，则 ∠PEB +∠QEC = （ ）
50∘
A：
60∘
B：
70∘
C：
80∘
D：
8 在△ABC中， ∠ABC 的平分线BD与 ∠ACB 的外角平分线CD交于点D，如果 ∠ABD = 20∘ ，
∠ACD = 55∘ ∠A +∠D =
，那么 （ ）
95∘
A：
100∘
B：
105∘
C：
110∘
D：
9 如图，在△ABC中， ∠ABC 、 ∠ACB 的平分线BE，CD相交于点F，
（1）∠ABC=42°，∠A=60°，求∠BFC的度数；（2）直接写出∠A与∠BFC的数量关系．
10 如图，在△ABC中， ∠C = 90∘ ，外角 ∠EAB ， ∠ABF 的平分线AD、BD相交于点D，求 ∠D 的
度数．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
课堂落实答案
( )
1 如图，足球图片中的一块白色皮块的内角和是
180∘
A：
360∘
B：
540∘
C：
720∘
D：
2 若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是 ( )
A： 12
B： 10C： 8
D： 11
156∘
3 若一个多边形的每一个内角都等于 ，则这个多边形的边数是_____
4 如图，点O是△ABC内一点， ∠A = 80∘ ，BO、CO分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的角平分线，则
∠BOC
等于（ ）
140∘
A：
120∘
B：
130∘
C：
D： 无法确定
5 如图， ∠MAN = 100∘ ，点B、C是射线AM、AN上的动点， ∠ACB 的平分线和 ∠MBC 的平
分线所在直线相交于点D，则 ∠BDC 的大小（ ）
40∘
A：
50∘
B：
80∘
C：
D： 随点B、C的移动而变化
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型精选精练
ABCDE ∠A : ∠B : ∠C : ∠D : ∠E = 2 : 3 : 4 : 4 : 5 ∠B
1 在五边形 中， ，则 的度数是
( )
60∘
A：
90∘
B：
120∘
C：
150∘
D：
∠1 ∠2 ∠3 ABCDE CD AE F
2 如图， ， ， 是五边形 的三个外角，边 ， 的延长线交于点 ，如果
∠1 +∠2 +∠3 = 225∘ ∠DFE ( )
，则 的度数是
35∘
A：
45∘
B：
55∘
C：
65∘
D：
180∘ ( )
3 如果一个多边形的内角和比外角和多 ，那么这个多边形是
A： 四边形
B： 五边形
C： 六边形
D： 七边形
4 已知△ABC中， ∠ABC 的n等分线与 ∠ACB 的n等分线相交于 G 1， G 2， G 3， ...,G n−1，试
∠BG C
猜想 n−1
与 ∠A 的关系．（其中 n ≥ 2 且n为整数）
n = 2 ∠BG C =
①如图1，当 时， 1 ________；
n = 3 ∠BG C =
②如图2，当 时， 2 ________；∠BG C =
③如图3，猜想 n−1 _____________．
5 如图，在四边形ABCD中， ∠F 为四边形ABCD的内角 ∠ABC 的角平分线及外角 ∠DCE 的角平
分线所在
∠A = α ∠D = β
的直线构成的锐角，设 ， ．
α+β > 180∘ α β ∠F
（1）如图1， ，试用 、 表示 ；
α+β < 180∘ ∠F α β ∠F
（2）如图2， ，请在图中画出 ，并试用 、 表示 ；
∠F α β ∠F
（3）一定存在 吗？如果不一定，指出 、 满足什么条件时，不存在 ．
6 如图，△ABC的 ∠ABC ， ∠ACB 的外角的平分线交于点P．
∠ABC = 50∘ ∠A = 70∘ ∠P =
（1）若 ， ，则 _______°．
∠ABC = 48∘ ∠A = 70∘ ∠P =
（2）若 ， ，则 _______°．
∠A = 68∘ ∠P =
（3）若 ，则 _______°．
∠P ∠A
（4）根据以上计算，试写出 与 的数量关系：________．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形例题练习题答案
AB = CD AE = DF CE = FB AE // DF
例1 如图： ， ， ．求证： ．
练1.1 如图，已知线段AB、CD相交于点O，AD、CB的延长线交于点E， OA = OC ， EA = EC ，求
∠A = ∠C
证： ．
例2 如图，在△ABC中，已知： AD = AE ， AB = AC ， ∠BAD = ∠CAE ．
求证：△AEB≌△ADC．（需要写清楚证明过程）
AE = CF DE⊥AC BF⊥AC E F DE = BF
练2.1 已知：如图， ， ， ，垂足分别为 ， ， ．求证：
AB // CD
．
∠A = ∠B AE = BE D AC ∠1 = ∠2 AE BD O
例3 如图， ， ，点 在 边上， ， 和 相交于点 ．
△ AEC △ BED
求证： ≌ ．练3.1 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中 ∠BAE =∠BCE =∠ACD = 90∘ ， 且
BC = CE △ ABC △ DEC
，求证： ≌ ．
例4 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上， AE = CF ， ∠B = ∠D ，
AD // BC AD = BC
．求证： ．
AB // CD E CD BE AD F EF = BF
练4.1 如图， ， 是 上一点， 交 于点 ， ．
AF = DF
求证： ．
练4.2 如图， △ ABC 和 △ DEF 在直线AE的同侧，点E、C、D、A在同一条直线上， AB // DF ，
ED = AB ∠E = ∠CPD BC = EF
， ．试说明： ．
例5 使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A： 一锐角对应相等B： 一条直角边和一个锐角对应相等
C： 一条边对应相等
D： 两锐角对应相等
练5.1 下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（ ）
A： 斜边和一直角边对应相等
B： 一直角边和一角对应相等
C： 两条直角边对应相等
D： 斜边和一锐角对应相等
例6 如图所示，E、F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若 AB = CD ，
AE = CF ，BD交AC于点M．求证： Rt △ ABF ≌ Rt △ CDE ．
练6.1 如图，在 △ ABC 中， AB = AC ，AE是经过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，
BD⊥AE 于D， CE⊥AE 于E， AD = CE ，则 ∠BAC 的度数是（ ）
45∘
A：
60∘
B：
90∘
C：
120∘
D：能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形
自我巩固答案
AB = CD AD = CB △ ABC △ CDA
1 已知：如图， ， ．求证： ≌ ．
AB = DC AC = DB ∠1 = ∠2
2 如图，已知 ， ．求证： ．
3 如图，△ABC中， ∠ACB = 90∘ ， AC = BC ，AE是BC边上的中线，过C作 CF⊥AE ，垂足
为F，过B作 BD⊥BC 交CF的延长线于D．
AE = CD
(1)求证： ；
(2)若 AC = 12 cm，求BD的长．
4 已知，如图，A、F、C、D四点在同一直线上， AF = CD ， AB // DE ，且 AB = DE ．
求证：△ABC≌△DEF．5 如图，已知 DE⊥AC ， BF⊥AC ，垂足分别是点E、F， AE = CF ， DC // AB ，证明：
DE = BF
．
∠1 = ∠2 ∠3 = ∠4 AB = CD
6 如图， ， ，求证： ．
7 在 △ ABC 和 △ EMN 中，已知 ∠A = 50∘ ， ∠B = 60∘ ， ∠E = 70∘ ， ∠M = 60∘ ，
AC = EN
，则这两个三角形（ ）
A： 一定全等
B： 一定不全等
C： 不一定全等
D： 以上都不对
8 如图， AB = AC ， ∠BAC = ∠BOC = ∠DAE ，求证： BD = CE ．
9 如图，BE⊥CD， BE = DE ， BC = DA ，求证：
（1）△BEC≌△DEA；
（2）DF⊥BC．△ ABC AB = BC ∠ABC = 90∘ F AB E BC
10 如图， 中， ， ， 为 延长线上一点，点 在 上，且
AE = CF
．
△ ABE △ CBF
(1)求证： ≌ ；
∠CAE = 25∘ ∠ACF
(2)若 ，求 的度数．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形
课堂落实答案
1 如图， AB = AC ， BD = DC ， ∠BAC = 36∘ ，则∠BAD的度数是_____ ∘ ．
2 如图，线段AC、BD相交于点O， OA = OC ， OB = OD ．求证： △ OAB ≌ △ OCD ．
3 如 图 ， ∠CAB = ∠DBA ， ∠ABC = ∠DAB ， AC、 BD相 交 于 点 E ， 便 可 知 道
△ABD≌△BAC．这是根据（ ）得到的．
A： SSSB： SSA
C： ASA
D： SAS
4 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， 已 知 ∠1 = ∠2 ， BE = CD ， AB = 5 ， AE = 2 ， 则
CE =
__________．
5 已知，如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC，DF相交于点G， AB⊥BE ，垂足为B，
DE⊥BE ，垂足为E，且 AC = DF ， BF = CE ．
GF = GC
求证： ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形
精选精练
1 如图， △ ABC 中， AB = AC ，D为BC的中点，以下结论：（1） △ ABD ≌ △ ACD ；
（2） AD⊥BC ；（3） ∠B = ∠C ；（4）AD是 △ ABC 的角平分线．其中正确的有（ ）A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 如图，在△ABC和△ADE中， AB = AD ， AC = AE ， ∠1 = ∠2 ．
ABC ADE
（1）求证：△ ≌△ ；
（2）找出图中与∠1、∠2相等的角（直接写出结论，不需证明）．
AD // BC ∠A = 90∘ BC = BD CE⊥BD E
3 如图，已知 ， ， ， ，垂足为 ．
△ ABD △ ECB
（1）求证： ≌ ；
∠DBC = 50∘ ∠DCE
（2）若 ，求 的度数．
4 已知：如图，在 △ ABC 中， ∠C = 90∘ ， DB⊥AB ， DB = AB ，过点D作 DE⊥BC 于点
E．
DE = AC +CE
求证： ．
5 如图， AB // CD ，E、F分别为AB、CD上的点，且 EC // BF ，连接AD，分别与EC、BF相
交于点G、H，若 AB = CD ，求证： AG = DH ．Rt △ ABC ∠C = 90∘ AD ∠CAB CB D DE⊥AB E
6 如图，在 中， ， 平分 ，交 于点 ， 于点 ．
△ ACD △ AED
(1)求证： ≌ ；
AC = 5 △ DEB 8 △ ABC
(2)若 ， 的周长为 ，求 的周长．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 全等三角形综合
例题练习题答案
例1 如图所示，已知∠C=∠D=90°，AB=AE，增加下列一个条件（1）AC=AD，（2）BC=ED，（3）
∠B=∠E，（4）∠1=∠2，其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个BC // EF AC // DF △ ABC △ DEF
练1.1 如图， ， ，添加下列一个条件后，仍无法判断 ≌ 的是
（ ）
BC = EF
A：
AC = DF
B：
AD = BE
C：
∠C = ∠F
D：
例2 如图， AB = CD ，AB∥CD，判定△ABC≌△CDA的依据是（ ）
A： SSS
B： SAS
C： ASA
D： HL
练2.1 如图，在∠AOB的两边上，分别取 OM = ON ，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为
P，画射线OP，则OP平分 ∠AOB 的依据是（ ）
A： SSS
B： SAS
C： AASD： HL
例3 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠C = 90∘ ，BD是 ∠ABC 的平分线，交AC于D，若 CD = n ，
AB = m △ ABD
，则 的面积是（ ）
1
A： mn
3
1
B： mn
2
C： mn
D： 2mn
OP ∠MON PA⊥ON A Q OM PA = 2
练3.1 如图， 平分 ， 于点 ，点 是射线 上的一个动点．若 ，则
PQ
的最小值为（ ）
1
A：
2
B：
3
C：
4
D：
例4 如图，在 △ ABC 中， ∠B = 42∘ ， AD⊥BC 于点D，点E是BD上一点， EF⊥AB 于点F，若
ED = EF ∠AEC
，则 的度数为（ ）
60∘
A：62∘
B：
64∘
C：
66∘
D：
练4.1 如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O， BO = CO ．求证：AO平分
∠BAC
．
例5 如图，已知：在 △ ABC 中， ∠BAC = 90∘ ， AB = AC ，直线m经过点A， BD⊥m ，
CE⊥m ，垂足分别为点D、E．若 BD = 4 ， CE = 6 ，则 DE =（ ）
A： 6
B： 8
C： 10
D： 12
练5.1 如图，大树AB与大树CD相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时
他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且 EA = ED ，已知大树AB的高为
5m，小华行走的速度为1m/s，小华行走到点E的时间是（ ）
A： 13s
B： 8sC： 6s
D： 5s
例6 如图， ∠ACB = 90∘ ， AC = BC ， BE⊥CE ， AD⊥CE ，垂足分别为E、D ，
AD = 25 DE = 17 BE = ________
， ，则 ．
练6.1 如图，在△ABC中， AB = AC ， ∠BAC = 90∘ ，AE是过A点的一条直线， CE⊥AE 于E，
BD⊥AE 于D， DE = 4cm ， CE = 2cm ，则 BD = _____ cm ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 全等三角形综合
自我巩固答案
∠B = ∠DEF AB = DE △ ABC △ DEF
1 如图， ， ，要证明 ≌ ，
(1)若以“ASA”为依据，需添加的条件是_______________________；
(2)若以“SAS”为依据，需添加的条件是_______________________．△ ABC △ DEC AB = DE
2 如 图 ， 在 和 中 ， 已 知 ， 还 需 添 加 两 个 条 件 才 能 使
△ ABC △ DEC
≌ ，不能添加的一组条件是（ ）
BC = EC ∠B = ∠E
A： ，
BC = EC AC = DC
B： ，
BC = DC ∠A = ∠D
C： ，
∠B = ∠E ∠A = ∠D
D： ，
3 如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线l上取两点C、D，使
CD = BC ， 再 在 过 D的 l 的 垂 线 上 取 点 E ， 使 A 、 C 、 E 在 一 条 直 线 上 ， 这 时
△ ACB ≌ △ ECD ， DE = AB ． 测 得 DE 的 长 就 是 A 、 B 的 距 离 ， 这 里 判 断
△ ACB △ ECD
≌ 的理由是（ ）
A： SAS
B： ASA
C： AAS
D： SSS
4 如图， △ ABC 中，CD是AB边上的高线，BE平分 ∠ABC ，交CD于点E， BC = 8 ，
DE = 3 △ BCE
，则 的面积等于（ ）
A： 11B： 8
C： 12
D： 3
5 已知 △ ABC 中， AB = 10 ， BC = 15 ， CA = 20 ，点O是 △ ABC 内角平分线的交点，则
△ ABO △ BCO △ CAO
、 、 的面积比是（ ）
A： 1：1：1
B： 1：2：3
C： 2：3：4
D： 3：4：5
6 如图， BD⊥AM 于点D， CE⊥AN 于点E，BD、CE交于点F， CD = BE ，求证：点F在
∠A
的平分线上．
7 已知：如图，在直角三角形ABC中， ∠C = 90∘ ，点D、F分别在边CB和AC上， DE⊥AB ，垂
足为E，且 BD = DF ， BE = CF ．
(1)求证：AD平分 ∠BAC ；
∠CAB = 40∘ ∠FDC
(2)当 时，求 的度数．AC = CD ∠B = ∠E = 90∘ AC⊥CD
8 如图所示， ， ， ，则不正确的结论是（ ）
AC = BC +CE
A：
∠A = ∠2
B：
C： △ABC≌△CED
∠A ∠D
D： 与 互余
9 如图所示，两根旗杆间相距12m，某人从B点沿BA走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗
杆的顶点C和D，两次视线的夹角为 90∘ ，且 CM = DM ，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动
速度为1m/s，求这个人运动了多长时间？
10 （1）如图1，在 △ ABC 中， ∠ACB = 90∘ ， AC = BC ，过点C在 △ ABC 外作直线MN，
AM⊥MN 于M， BN⊥MN 于N．求证： MN = AM +BN ；
（2）如图2，若过点C在 △ ABC 内作直线MN， AM⊥MN 于M， BN⊥MN 于N，则AM、
BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
能力提高 / 初二 / 秋季第 4 讲 全等三角形综合
课堂落实答案
1 如图所示，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他
根据的定理是（ ）
A： ASA
B： SAS
C： AAS
D： SSS
2 如图，在△ABC中， AB = AC ，AD是高，能直接判断△ABD≌△ACD的依据是（ ）
A： SSS
B： SAS
C： HL
D： ASA
3 如图，AD是 △ ABC 中 ∠BAC 的角平分线， DE⊥AB 于点E， AC = 3 ， DE = 2 ，
AB = 4 S
，则 △ACB等于（ ）
A： 7B： 10
C： 13
D： 14
4 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A： 三条中线的交点
B： 三条高的交点
C： 三条边的垂直平分线的交点
D： 三条角平分线的交点
AB BD ED BD AC CE ∠A = 35∘ ∠E = ∘
5 如图， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，已知 ，则 _____________ ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 全等三角形综合
精选精练
∠1 = ∠2 △ ABC △ ADE
1 如图， ，要证明 ≌ ，还需补充的条件是（ ）
AB = AD AC = AE
A： ，
AB = AD BC = DE
B： ，AB = DE BC = AE
C： ，
AC = AE BC = DE
D： ，
∠CAD = ∠DAB
2 如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则证明 的全等判定依据是
____________．
3 如图， OE = OF ， CE = CF ，点D在OC上， DE⊥OA 于点E， DF⊥OB 于点F．则下列
结论错误的是（ ）
DE = DF
A：
B： OC平分∠ECF
CE = OE
C：
D： △DEO≌△DFO
4 如图，直线a，b，c表示三条互相交叉的公路．现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距
离相等，则可供选择的地址有（ ）处．
A： 1
B： 2
C： 3D： 4
AE⊥AB AE = AB BC⊥CD BC = CD
5 如图， 且 ， 且 ，请按照图中所标注的数据，计算图
中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A： 50
B： 62
C： 65
D： 68
6 (1)如图1，已知：在 △ ABC 中， ∠BAC = 90∘ ， AB = AC ，直线m经过点A ，
BD⊥m ， CE⊥m ，垂足分别为点D、E．证明： DE = BD+CE ；
(2)如图2，将（1）中的条件改为：在 △ ABC 中， AB = AC ，D、A、E三点都在直线m
上，并且有 ∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α ，其中α为任意锐角或钝角．请问结论
DE = BD+CE
是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 5 讲 轴对称例题练习题答案
例1 在平面直角坐标系中，点 P (−2,3) 关于y轴的对称点在（ ）
A： 第四象限
B： 第三象限
C： 第二象限
D： 第一象限
练1.1 若点 M (a,−3) 与点 N (−2,b) 关于x轴对称，则 a = _________， b = _________．
A(−1,5) B(−1,0) C (−4,3)
例2 如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．
（1）求出△ABC的面积；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△ A 1 B 1 C 1；
A B C
（3）写出点 1， 1， 1的坐标．
ABC AB > AC B C BC
例3 如图，在△ 中， ，分别以点 和点 为圆心，大于 一半的长为半径作圆
M N MN AB D CD AB = 7 AC = 5
弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 交 于点 ，连接 ．若 ， ，
ACD
则△ 的周长为（ ）
A： 10
B： 12C： 17
D： 19
例4 如图，在△ABC中， AB = AC ， ∠A = 40∘ ，AB的垂直平分线l交AC于点D，求 ∠CBD 的度
数．
练4.1 如图，在Rt△ABC中， ∠B = 90∘ ，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知
∠BAE = 10∘ ∠C
，求 的度数．
例5 如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使
超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A： AC，BC两边高线的交点处
B： AC，BC两边中线的交点处
C： AC，BC两边垂直平分线的交点处
D： ∠A，∠B两内角平分线的交点处
练5.1 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
求证：AD垂直平分EF．例6 已知：如图 ∠BAC 的角平分线与BC的垂直平分线交与点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，
F．求证： BE = CF ．
例7 如图，直线 m 是△ABC中 BC 边的垂直平分线，点 P 是直线 m 上的一动点．若 AB = 6 ，
AC = 4 BC = 7 PA +PC
， ，则 的最小值是_________．
ABC ∠BAC = 90∘ AB = 3 AC = 4 BC = 5 EF BC
练7.1 如图，在△ 中， ， ， ， ， 垂直平分 ，
P EF ABP
点 为直线 上的任一点，则△ 周长的最小值是___________．
能力提高 / 初二 / 秋季第 5 讲 轴对称
自我巩固答案
1 在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (−2,3) ，点B的坐标为 (−2,−3) ，那么点A和点B的位置关
系是（ ）
A： 关于x轴对称
B： 关于y轴对称
C： 关于原点对称
D： 关于坐标轴和原点都不对称
2 已知点 P 1 (a−1,4) 和 P 2 (2,b) 关于x轴对称，则 (a+b)2013 的值为（ ）
72013
A：
−1
B：
C： 1
(−3)2013
D：
3 如图，△ABO关于x轴对称，若点A的坐标为 (3,1) ，则点B的坐标为（ ）
(1,3)
A：
(−1,3)
B：
(3,−1)
C：
(−1,−3)
D：
4 如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐
标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）A： A点
B： B点
C： C点
D： D点
5 如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为13，△ABC的周长为19，则AE的长为
（ ）
A： 3
B： 6
C： 2
D： 1.5
6 如图， DE⊥AC ，垂足为E， CE = AE ．若 AB = 12cm ， BC = 10cm ，则△ BCD 的周
长是（ ）
22cm
A：
16cm
B：23cm
C：
25cm
D：
7 如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，DB为∠ADE的角平分线．若
∠A = 58∘ ，则∠ABD的度数为（ ）
58∘
A：
59∘
B：
61∘
C：
62∘
D：
8 如图， ∠C = 90∘ ，DE垂直平分AB， DC = DE ，则∠ADC的度数为（ ）
40∘
A：
50∘
B：
60∘
C：
70∘
D：
9 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且 AC = BD ，若点A
到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A： 750米
B： 1000米C： 1500米
D： 2000米
10 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△ A 1 B 1 C 1；
（2）在DE上画出点P，使 PB 1 +PC 1的值最小．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 5 讲 轴对称
课堂落实答案
P (−2,1) x
1 点 关于 轴对称的点的坐标为（ ）
(2,−1)
A：
(−2,1)
B：
(2,1)
C：
(−2,−1)
D：
2 已知点 P (−2,1) 关于y轴的对称点为 Q(m,n) ，则 m−n 的值是（ ）
A： 1
−1
B：
C： 3
−3
D：3 如图，在△ABC中， AB = AC ， AB = 8 ， AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D ，交 AC 于点
E ，△BEC的周长为 13 ，则 BC = （ ）
A： 5
B： 6
C： 7
D： 8
1
4 如图，在△ABC中， ∠B = 75∘ ， ∠C = 30∘ ，分别以点A和点C为圆心，大于 AC 的长为半径
2
画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为_______．
5 如图，在 △ ABC 中， AB = 3 ， AC = 4 ， BC = 5 ，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动
△ ABP
点，则 周长的最小值是________．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 5 讲 轴对称精选精练
−−−−
1 若 √a−3 +(b+2)2 = 0 ，则点 M (a,b) 关于y轴的对称点的坐标为_________．
2 如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标
为 (4,1) ，则点B的坐标为（ ）
(−2,1)
A：
(−3,1)
B：
(−2,−1)
C：
(2,1)
D：
3 如图，在正方形网格上有一个△ABC，A，B，C均为小正方形的顶点．
（1）画△ABC关于直线a的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求所画出的对称图形的面积．
4 如图，点P在 ∠AOB 内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长为15，求
MN的长．5 如图，MP、NQ分别垂直平分AB、AC且 BC = 6 cm，则△APQ的周长为（ ）cm．
A： 12
B： 6
C： 8
D： 无法确定
6 如图，点P为∠MON内一点，分别在OM与ON上找点A、B，使△ABP的周长最小．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 等腰三角形综合
例题练习题答案
例1 如图，在△ABC中， AB = AC．(1)如图1，如果 ∠BAD = 30∘ ，AD是BC上的高， AD = AE ，则 ∠EDC = __________．
(2)如图2，如果 ∠BAD = 40∘ ，AD是BC上的高， AD = AE ，则 ∠EDC = __________．
∠BAD ∠EDC
(3)通过以上两题，你发现 与 之间有什么关系？请用式子表示：__________．
(4)如图3，如果AD不是BC上的高， AD = AE ，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并
说明理由．
练1.1 如图，CE平分 ∠ACB 且CE⊥BD， ∠DAB = ∠DBA ， AC = 18 ， BD=8 ，求BC的长．
CD ∠ACB DE // BC ∠AED = 80∘ ∠EDC
例2 已知：如图， 平分 ， ， ，求 的度数．
练2.1 如图，在△ABC中， BC = 5 cm，BP，CP分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的角平分线，且PD∥AB，
PE∥AC，求△PDE的周长．
例3 如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，点E在AC上， AE = AD ，则 ∠EDC = _______．练3.1 如图，D是等边△ABC中AC边上的中点，点E在BC的延长线上， DE = DB ，△ABC的周长是9，
∠E = CE =
则 _______°， _______．
练3.2 如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，点E在AC的延长线上且 ∠E = 30∘ ．若
AD = 2 DE =
，则 ____．
例4 下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A： 有两个内角是60°的三角形
B： 有两边相等且是轴对称图形的三角形
C： 三边都相等的三角形
D： 有一个角是60°且是轴对称图形的三角形
AB = AC ∠BAC = 120∘ AD⊥AC AE⊥AB
练4.1 如图， ， ， ， ．
∠C
（1）求 的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
练4.2 如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形．例5 (1)如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DE∥AB，过点 E 作EF⊥DE，交
BC的延长线于点F．
①求∠F的度数；
②若 CD = 2 ，求DF的长．
(2)已知：如图，在等腰三角形ABC中， AB = AC ， ∠BAC = 120∘ ，D为BC中点，
1
DE⊥AB于点E．求证： AE = AB ．
4
∠AOB = 60∘ P OA OP = 24 M N OB
练5.1 如图，已知 ，点 在边 上， ，点 、 在边 上，
PM = PN NM = 6 OM
，若 ，则 等于（ ）
A： 6
B： 7C： 8
D： 9
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 等腰三角形综合
自我巩固答案
1 如图，在等腰△ABC中， AB = AC ，若点D为BC的中点，则点D到AB，AC的距离相等．请说明
理由．
2 如图，在△ABC中， AB = AC ， ∠A = 36∘ ，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，则图
中的等腰三角形有（ ）
A： 5个
B： 4个
C： 3个
D： 2个
3 如图，△ABC中，点D为AB上一点，点E为BC上一点，且 AC = CD = BD = BE ，
∠A = 60∘ ∠CDE
，则 的度数为（ ）45∘
A：
50∘
B：
51∘
C：
52∘
D：
4 已知：在△ABC中， ∠ACB = 90∘ ，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线
于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q， AQ = MN ．求证：
（1）△APM是等腰三角形；
PC = AN
（2） ．
5 如图， ∠ABC = 50∘ ，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足
DF = DE ，则∠DFB的度数为（ ）
25∘
A：
130∘
B：
50∘ 130∘
C： 或
25∘ 130∘
D： 或
6如图， ∠ABC 的平分线BF与 ∠ACG 的平分线CF相交于点F，过点F作FD∥BC交AC于E，交AB于
点D，若 BD = 8 ， DE = 3 ，求CE的长．
7 如图，若△ABC是等边三角形， AB = 6 ，BD是 ∠ABC 的平分线，延长BC到E ， 使
CE = CD BE =
，则 （ ）
A： 7
B： 8
C： 9
D： 10
8 有下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A： ①②③
B： ①②④
C： ①③
D： ①②③④
9 如图，△ABC为等边三角形，BD平分 ∠ABC ，DE∥BC．
（1）求证：△ADE是等边三角形；AE = EB
（2）求证： ．
10 已知：△ABC中， AB = AC ， ∠C = 30∘ ， AB⊥AE ， DE⊥AC ．
AE = EC
（1）求证： ；
（2）若 DE = 2 ，求BC的长．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 等腰三角形综合
课堂落实答案
11 2
1 等腰三角形的周长为 cm，其中一边长为 cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
4.5cm
A：
2cm
B：
2cm 4.5cm
C： 或
5.5cm
D：
2 如图，在Rt△ABC中， ∠BAC = 90∘ ，过顶点A的直线DE∥BC， ∠ABC ， ∠ACB 的平分线分
别交DE于点E，D，若 AC = 3 ， AB = 4 ，则DE的长为（ ）A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
3 如图，△ABC中， ∠B = 60∘ ， AB = AC ， BC = 3 ，则△ABC的周长为（ ）
A： 9
B： 8
C： 6
D： 12
4 给出下面的几种三角形：①外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有一个角为
60°且一边上的高也是这边的中线的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
5 如图，在△ABC中， ∠A : ∠B : ∠ACB = 1 : 2 : 3 ， CD⊥AB 于点D，若 AB = 4 ，则DB
的长为（ ）
A： 1B： 2
C： 3
D： 4
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 等腰三角形综合
精选精练
1 如图所示，在 △ ABC 中， AB = AC ， ∠A = 36∘ ，BD、CE分别为 ∠ABC 与 ∠ACB 的角
平分线且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）
A： 6个
B： 7个
C： 8个
D： 9个
2 如图，在△ABC中， ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于
点N，若 BM +CN = 9 ，则线段MN的长为（ ）
A： 6
B： 7C： 8
D： 9
3 如图，AD是 ∠EAC 的平分线，AD∥BC， ∠B = 30∘ ，则 ∠C 的度数为（ ）
50∘
A：
40∘
B：
30∘
C：
20∘
D：
AB = AC DB = DC ∠ABC 60∘ BE = 3cm AB = ______cm
4 如图， ， ，若 为 ， ，则 ．
△ ABC AB = 9cm P C CB B 2cm/s
5 如图，在等边 中， ，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移
Q B BA A 5cm/s P Q
动，点 从点 出发沿 边向点 以 速度移动． 、 两点同时出发，它们移动的时间
t
为 秒．
t BP BQ
(1)你能用 表示 和 的长度吗？请你表示出来．
△ PBQ
(2)请问几秒后， 为等边三角形？
P Q C B △ ABC
(3) 若 、 两点分别从 、 两点同时出发，并且都按顺时针方向沿 三边运动，请
P Q △ ABC
问经过几秒后点 与点 第一次在 的哪条边上相遇？6 如图，OP平分 ∠AOB ， ∠AOP = 15∘ ，PC∥OA， PD⊥OA 于点D， PC = 4 ， 则
PD =
_______．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为（ ）
A： 5cm
B： 8cm
C： 10cm
D： 17cm3 如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是（ ）
∠1 +∠2 = ∠3 +∠4
A：
∠1 +∠2 = ∠4 −∠3
B：
∠1 +∠4 = ∠2 +∠3
C：
∠1 +∠4 = ∠2 −∠3
D：
4 如图，△ABC≌△EBD，∠E=50°，∠D=62°，则∠ABC的度数是（ ）
A： 68°
B： 62°
C： 60°
D： 50°
5 如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD交于O，OB=OC，则图中全等三角形共有（ ）
A： 2对
B： 3对
C： 4对D： 5对
S
6 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E， △ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是
（ ）
A： 3
B： 4
C： 6
D： 5
7 已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简 |a−b+c|−|a−b−c| 得（ ）
2a−2b
A：
2a−2c
B：
a−2b
C：
D： 0
8 已知，如图，在△ABC中， ∠ACB = 90∘ ，CD是边AB上的高， ∠A = 30∘ ，则线段AB与BD的
数量关系是（ ）
AB = 2BD
A：
AB = 3BD
B：
AB = 4BD
C：
AB = 5BD
D：D E F △ ABC AD = BE = CF △ DEF
9 如图， ， ， 分别是等边 各边上的点，且 ，则 的形状
是（ ）
A： 等边三角形
B： 腰和底边不相等的等腰三角形
C： 直角三角形
D： 不等边三角形
10 如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，
∠BGC=110°，则∠A为（ ）
A： 70°
B： 75°
C： 80°
D： 85°
4cm 9cm
11 一个等腰三角形的两边长分别为 和 ，则它的周长为________cm．
12 一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是______边形．
13 如图： △ ABC 中， AD⊥BC ， CE⊥AB ，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添
△ ABD △ CBE
加一个适当的条件：_____________________，使 ≌ ．14 如图所示，CD是 △ ABC 的中线， AC = 9 cm ， BC = 3 cm ，那么 △ ACD 和 △ BCD 的
周长差是_______cm．
15 如图，在△ABC中， ∠A = 80∘ ， ∠ABC 与 ∠ACD 的平分线交于点E， ∠EBC 与 ∠ECD 的平
分线相交于点F，则 ∠BFC = ________．
16 如图，等边△ABC中，AD是BC边上的高，AD=6，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB+PE
的最小值是___．
17 如图所示，在△ ABC 中， ∠BAC = 106∘ ，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、
M在BC上，则 ∠EAN = __________．ΔABC AB = BC ∠B = 120∘ AB AB
18 如图，在等腰 中， ， ，线段 的垂直平分线分别交 、
AC D E AC = 12 DE =
于点 、 ，若 ，则 ________．
19 如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C=70°，∠BED=64°，求∠BAC的度数．
20 如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．
ΔABC AB = AC AB MN AC AB D E
21 已知 中， ，线段 的垂直平分线 分别交 、 于点 、 ，若
ΔDBC 25cm BC = 10cm ΔABC
的周长为 ， ，求 的周长．
22 如图，已知△ABC的三个顶点分别为 A(2,3) ， B(3,1) ， C (−2,−2) ．
（1）请在图中作出△ABC关于x轴对称图形△DEF，其中A、B、C的对应点分别是D、E、F，并直
接写出D、E、F的坐标．
（2）求四边形ABED的面积．23 如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，EC⊥BC，且 EC = BD ．
求证：△ADE是等边三角形．
Rt △ ABC ∠ABC = 90∘ D BC BD = AB B
24 如图，在 中， ，点 在 的延长线上，且 ．过点 作
BE⊥AC BD DE E
，与 的垂线 交于点 ．
ABC BDE
（1）求证：△ ≌△ ；
AB DE CD
（2）请找出线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
ΔABC D BC E AC DE = DA 1)
25 在等边 中，点 在 边上，点 在 的延长线上， （如图 ．
∠DAC = 40∘ ∠BAD = ∘ ∠EDC = ∘
(1)若 ， ， ．∠BAD ∠EDC
(2)猜想 与 的大小关系，并说明理由．
E BC M DM AM
(3)点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， ．
①依题意将图2补全；
D DA = AM
②小姚通过观察，实验提出猜想：在点 运动的过程中，始终有 ，小姚把这个
猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
DA = AM ΔADM
想法1：要证明 ，只需证 是等边三角形；
想法2：连接 CM ，只需证明△ABD≌△ACM即可．
DA = AM
请你参考上面的想法，帮助小姚证明 （一种方法即可）．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 幂运算
例题练习题答案
9m = 2 9n = 5 9m+n =
例1 已知 ， ，则 ____________．
11m = 3 11n = 2 11m+n =
练1.1 若 ， ，则 （ ）
A： 12
B： 7
C： 6
D： 5
a > 0 ax = 2 ay = 3 ax+y
练1.2 若 ，且 ， ，则 的值等于__________．
cn = 5 c2n
例2 若 ，那么 的结果等于_________．
bn = 2 b3n
练2.1 若 ，那么 的结果等于_________．
x3n = 3 x6n =
练2.2 如果 ，那么 _________．
例3 已知 72n = b ，则 492n = ____________．（结果用b表示）ax = −2 ay = 3 a3x+2y =
练3.1 已知 ， ，则 _________．
1
练3.2 2m = 32n = 2 23m+10n
已知 ， ，求 的值．
2
5n = a 4n = b 20n =
例4 (1)如果 ， ，那么 ________．
1 2016
(2) 22017 ×(− )
式子 的结果是（ ）
2
1
A：
2
−2
B：
C： 2
1
D： −
2
(0.25)2005 ×(−4)2006 =
练4.1 计算 ____________．
2017
2
练4.2 ( ) ×(−1.5)2018
计算 的结果是（ ）
3
3
A： −
2
3
B：
2
2
C： −
3
2
D：
3
例5 在下列计算中，正确的是（ ）
3
(ab2) = ab6
A：
(3xy)3 = 9x3y3
B：
2
(−2a2) = −4a4
C：
(−2z)2 = 4z2
D：
练5.1 下列运算正确的是（ ）
a2a3 = a6
A：(ab)2 = a2b2
B：
(a3)2 = a5
C：
a8 ÷ a2 = a4
D：
am = 2 an = 8 am−n
例6 若 ， ，则 =____________．
3 5
(a4) ÷(a2) = 64 a < 0 a =
练6.1 如果 ，且 ，那么 ____________．
a > 0 ax = 3 ay = 2 a2x−y
例7 若 ，且 ， ，则 的值为（ ）
A： 3
B： 4
9
C：
2
D： 7
2021m = 6 2021n=4 20212m−n
练7.1 若 ， ，则 的值是____________．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 幂运算
自我巩固答案
1 下列计算正确的是（ ）
a2 ⋅a3 = a6
A：
a6 ÷a3 = a2
B：
4x2 −3x2 = 1
C：
3
(−2a2) = −8a6
D：
2 下列计算正确的是（ ）
2
(a5) = a10
A：x16 ÷x4 = x4
B：
2a2 +3a2 = 6a4
C：
b3 ⋅b3 = 2b3
D：
4
−(−3a2b3)
3 计算 的结果是（ ）
81a8b12
A：
12a6b7
B：
−12a6b7
C：
−81a8b12
D：
2
(am+nbmb2n) = a8b16
4 如果 ，则m、n的值是（ ）
m = 4 n = 0
A： ，
m = 0 n = 4
B： ，
m = 0 n = −4
C： ，
m = −4 n = 0
D： ，
x2n = 4 x6n
5 如果 ，求 的值．
am = 2 an = 8 a2m+n
6 若 ， ，求 的值．
(0.5)2012 ×(−2)2013
7 计算： ．
4 2017
8 ( ) ×1.252018 ×(−1)2019
计算： ．
5
xm = 6 xn = 3 x2m−n
9 已知 ， ，则 的值为（ ）
A： 9
3
B：
4
C： 12
4
D：
32m = 3 2n = 5 24m−2n
10 已知 ， ，求 的值．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 幂运算
课堂落实答案
4x = 5 4y = 3 4x+y
1 已知 ， ，则 的值是______．
3
(−2a2) =
2 化简： ______．
3 已知实数a，b满足 a+b = 2 ， a−b = 5 ，则 (a+b)3 ⋅(a−b)3 的值是______．
3a = 5 9b = 10 3a+2b =
4 已知 ， ，则 （ ）
−50
A：
B： 50
C： 500
D： 以上都不对
10m = 3 10n = 5 102m−n =
5 已知 ， ，则 （ ）
9
A：
5
8
B：
5
7
C：
5
2
D：
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 幂运算精选精练
3m = 6 3n = 2 3m−n
1 如果 ， ，那么 为__________．
(−0.125)5 ×410 =
2 计算： ____________．
1 12 8 11
3 (3 ) ×( ) ×(−2)3
计算： ．
8 25
2a+3b = 3 9a ⋅27b
4 已知 ，求 的值．
a > 0 ax = 2 ay = 3 a2x−3y a3x+2y
5 若 且 ， ，则 的值为__________， 的值为__________．
xn = 5 yn = 4 (xy)2n
6 （1）已知 ， ，求 的值；
1 11
am+n = 36 am = 4 ( ) ⋅a11n
（2）已知 ， ，求 ．
9
能力提高 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法
例题练习题答案
例1 计算：
3x2 ⋅5x3
(1) ；
4y ⋅(−2xy2)
(2) ；
(−3x)2 ⋅4x2
(3) ；
(−2a)3 ⋅(−3a)2
(4) ．
3
(−2ab)(3a2b2)
练1.1 计算 ，下列结果正确的是（ ）
−6a3b3
A：
54a7b7
B：
−6a7b7
C：−54a7b7
D：
2
x3y2 ⋅(−xy3)
练1.2 计算 的结果是（ ）
x5y10
A：
x5y7
B：
−x5y10
C：
x5y8
D：
例2 去括号正确的是（ ）
−(2a+b−c) = 2a+b−c
A：
−2(2a+b−3c) = −2a−2b+6c
B：
−(a−b+c) = −ab+c
C：
−(a−b−c) = −a+b+c
D：
练2.1 计算：
1
(1) x(x−2y +1) ；
2
1
(2)−6mn2 ⋅(−2 + mn4)
．
3
练2.2 计算：
(−2x)⋅(−3x2 −xy2) =
(1) __________________；
(−2x)⋅(3x2 −xy2 −3) =
(2) __________________；
2x2y ⋅(x−3xy2) =
(3) __________________；
(−5a2)⋅(−2a3 +3a2 −4a) =
(4) __________________．
例3 计算：
(2x−1)(3x+2) =
(1) ______________________；(2x−1)(3x−2) =
(2) ______________________；
(2x+1)(x−3) =
(3) _______________________；
(−2x+1)(3x−2) =
(4) _____________________．
练3.1 计算：
(2a−5)(a+3)
(1) ；
(x−3)(3x+2)
(2) ；
(xm+2yn)(3xm −yn)
(3) ；
(a−b)(a+2b)−a(a+b)+(3b)2
(4) ．
(x+2)(x−1) = x2 +mx+n m+n =
例4 若 ，则 （ ）
1
A：
−2
B：
−1
C：
2
D：
(x+3)(x+n) = x2 +mx−15 m
练4.1 若 ，则 的值为（ ）
−5
A：
−2
B：
5
C：
2
D：
练4.2 如果 (x+m) 与 (x+3) 的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
−3
A：
B： 3
C： 0D： 1
x6 ÷(−5x2)
例5 计算 的结果是（ ）
−5x4
A：
1
B： − x4
5
1
C： − x3
5
5x3
D：
2
(a4b) ÷a2
练5.1 计算 的结果是（ ）
a2b2
A：
a6b2
B：
a7b2
C：
a8b2
D：
mxn+2 −nxn−1 xn−2
例6 多项式 除以单项式 ，得（ ）
mx2n −nx2n−3
A：
mx4 −nx
B：
mx4 +nxn−3
C：
mx4 +nx
D：
练6.1 下列计算正确的是（ ）
(−2a2b3)÷(−2ab) = a2b2
A：
(3x2y −6xy)÷6xy = 0.5x
B：
(21x5y2 −9x4y3)÷3x3y2 = 7x2 −3xy
C：
(3x2y +xy)÷xy = 3x
D：
(9x3y2 −6x2y +3xy2)÷(−3xy)
练6.2 计算：
1
例7 (x−1)(x−2)+x(x+3) x =
先化简，再求值： ，其中 ．
31 1 1
练7.1 (x−2)(3x2 −1)−12x( x2 − x−3) x =
先化简，再求值： ，其中 ．
4 2 7
1
练7.2 (a2b−2ab2 −b3)÷b−(a+b)(a−b) a = b = −1
先化简，再求值： ，其中 ， ．
2
能力提高 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法
自我巩固答案
(−6ab)2 ⋅(3a2b)
1 计算 的结果是（ ）
18a4b3
A：
−36a4b3
B：
−108a4b3
C：
108a4b3
D：
2 下列运算正确的是（ ）
−2(3x−1) = −6x−1
A：
−2(3x−1) = −6x+1
B：
−2(3x−1) = −6x−2
C：
−2(3x−1) = −6x+2
D：
2
(x3) (x2 +2x+1)
3 计算 的结果是（ ）
x4 +2x3 +x2
A：
x5 +2x4 +x3
B：
x8 +2x7 +x6
C：
x8 +2x4 +x3
D：
4 计算：3 2 21
(1) mn( m2n − n2m)
；
7 3 4
3 2 4
(2)(− xy)⋅( x2y −4xy2 + y)
；
2 3 3
1
(3)6mn2 ⋅(2 − mn4)
；
3
2x(x+y +1)
(4) ．
5 计算：
7 2
(1) mn( mn +n2)
；
2 7
(−x3y2)⋅(−2xy −3x2y2)
(2) ；
(3x+5)(2x−3)
(3) ；
(3x−2)(x2 −5x)
(4) ．
6 计算：
(9m2 +6m3n −12m4)÷(−3m2)
(1) ；
(10m3n −m2n2 +5mn2 −5mn)÷5mn
(2) ．
(x−2)(x+1) = x2 +ax+b a+b =
7 若 ，则 （ ）
−1
A：
B： 2
C： 3
−3
D：
8 若 (x+n) 与 (x+2) 的乘积中不含x的一次项，则n的值为（ ）
−3
A：
B： 3−2
C：
D： 1
x2 −px−q = (x+4)(x−7) p−q
9 如果 ，那么 等于（ ）
−25
A：
B： 25
−31
C：
D： 31
x(x−1)+2x(x+1)−(3x−1)(2x−5) x = 2
10 先化简，再求值： ，其中 ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法
课堂落实答案
1
1 (−3x2y)⋅( xy2) =
计算： ___________．
3
2 下列选项计算不正确的是（ ）
3 2 8 4
A： mn( m2n − n2m) = m3n − m2n3
2 3 9 3
3 2 4
B： (− xy2)⋅( x2y − xy2) = −x3y3 +2x2y4
2 3 3
1
C： 8mn2 ⋅(3 − mn4) = 24mn2 −2m2n6
4
2x2 (x+y +1) = 2x3 +2x2y +2x2
D：
3 若 (x+2)(x−a) = x2 +bx−10 ，则b的值为（ ）
−3
A：
B： 3−5
C：
D： 5
(4a3b−6a2b2 +12ab3)÷(−2ab)
4 计算： ．
(a2b−2ab−a3)÷a+(a−1)(a+b) a = 0.5 b = −1
5 先化简，再求值： ，其中， ， ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法
精选精练
1
3
1 ( p2q)(−2pq)(−2pq2)
计算 ，下列结果正确的是（ ）
4
4p6q8
A：
−4p6q8
B：
4p4q8
C：
4p6q7
D：
2 下列选项计算错误的是（ ）
−4mn(−2mn +n2m) = 8m2n2 −4m2n3
A：
3 2 1 1
B： (− x2y3)⋅(− x2y3 − x3y2) = x4y6 + x5y5
2 3 3 2
1
C： 4m2n3 ⋅(3 − mn4) = 12m2n3 −m3n6
4
x2 (2x+xy −11) = 2x3 +x3y −11x2
D：
3 若 2x3 −ax2 −5x+5 = (2x2 +ax−1)(x−b)+3 ，其中a、b为整数，则 a+b 的值
为（ ）
−4
A：
−2
B：C： 0
D： 4
x2 +5x+8 = a(x+1)2 +b(x+1)+c a = b =
4 若 ，则 ____________， ____________ ，
c =
____________．
1 3
5 已知 (x2 +mx+n)(x2 −3x+2) 中不含 x3 项和x项，求 mnnm ÷ m2n 的值．
2 5
[(x−y)(x+5y)−(x+2y)(x−2y)]÷y 6 −4x+y = 0
6 先化简，再求值： ，其中 ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式
例题练习题答案
(a+7)(a−7)=
例1 计算： __________．
(2x+5)(2x−5)−(x+1)(x−4) =
练1.1 化简： __________．
(x−ay)(x+ay) = x2 −16y2 a =
练1.2 若 ，则 __________．
(2x+1)(−2x+1)
例2 的计算结果是（ ）
4x2 +1
A：
1 −4x2
B：
4x2 −1
C：
−4x2 −1
D：
练2.1 下列多项式的乘法中，可用平方差公式计算的是（ ）
(a−b)(−a+b)
A：
(x2 −y)(y2 −x)
B：
1 1
C： ( a+b)(b− a)
2 2(a+b)(−a−b)
D：
练2.2 下列计算中，运算正确的是（ ）
(a−2b)(a−2b) = a2 −4b2
A：
(x+7)(x−7) = x2 −7
B：
(2x+3)(2x−3) = 2x2 −9
C：
(−5x+3)(−5x−3) = 25x2 −9
D：
20202 −2019 ×2021 =
例3 (1)计算： __________．
2020
(2) =
计算： __________．
2019 ×2021 +1
2019 ×2017 −20182 =
练3.1 (1)计算 __________．
1992 −198 ×202 ( )
(2)化简 的结果是
A： 395
−395
B：
C： 3
D： 403
1 1 1 1 1
例4 2(1 + )(1 + )(1 + )(1 + )+ =
计算： __________．
2 22 24 28 214
2
1
例5 (x+ ) =
计算： （ ）
3
2 1
A： x2 − x+
3 9
1
B： x2 +x+
4
x 1
C： x2 − +
2 9
2x 1
D： x2 + +
3 9
练5.1 计算：(4m+5n)2
(1) ；
(−5 +a)2
(2) ；
(x+5y)2
(3) ．
(x+y +z)(x+y −z)
例6 计算： ．
(a+b−c)(−c−b+a)
练6.1 计算： ．
1 2 1 2
练6.2 (x− y − z)(x+ y − z) =
计算： __________．
3 3 3 3
20202 −4040 ×2019 +20192
例7 (1) 的结果是__________．
10.52
(2)将 变形正确的是（ ）
10.52 = 102 +0.52
A：
10.52 = (11 +0.5)(11 −0.5)
B：
10.52 = 102 +2 ×10 ×0.5+0.52
C：
10.52 = 112 +11 ×0.5+0.52
D：
10.12 −2 ×10.1×0.1+0.01 =
练7.1 (1) ______________；
1202 −40 ×120 +202 =
(2)计算： （ ）
A： 10000
B： 1200
C： 800
D： 22500
a+b = 3 a2 +b2 = 6 ab =
例8 (1)已知 ， ，则 __________；
1 1
(2) a+ = 3 a2 + =
若 ，则 __________．
a a2
a+b = −5 ab = 6 a2 +b2 =
练8.1 (1)已知 ， ，则 __________；1 1
(2) x− = 6 x2 +
已知 ，求 的值为__________．
x x2
(a+b)2 = 2019 (a−b)2 = 2015 ab =
例9 已知 ， ，则 __________．
7
练9.1 m−n = 3 mn = m+n =
若 ， ，则 __________．
4
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式
自我巩固答案
1 计算：
(3x+2)(3x−2)
(1) ；
(b+2a)(2a−b)
(2) ．
(−2x+1)(−2x−1)
2 的计算结果是（ ）
4x2 +1
A：
1 −4x2
B：
4x2 −1
C：
−4x2 −1
D：
20102 −2009 ×2011 =
3 计算： ________．
(a−3b)(a+3b)−(−a−2b)(a−2b)
4 计算： ．
1
5 (3 +1)(32 +1)(34 +1)+ =
利用平方差计算 ________．
2
6 下列计算正确的是（ ）
(−x−y)2 = −x2 −2xy −y2
A：
(4x+1)2 = 16x2 +8x+1
B：(2x−3)2 = 4x2 +12x−9
C：
(a+2b)2 = a2 +2ab+4b2
D：
(2a−b+3)(2a+b−3)
7 计算： ．
1 2
8 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 (x+ ) 2ab
运用完全平方公式 计算 ，则公式中的 是（ ）
2
1
A： x
2
x
B：
2x
C：
4x
D：
a+b = 8 ab = 3 a2 +b2 =
9 已知 ， ，则 ___________．
1 1
10 m− = 5 m2 +
已知 ，求 的值为________．
m m2
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式
课堂落实答案
(3a+1)(3a−1) =
1 计算： __________．
1998 ×2002 =
2 计算 （ ）
A： 400016
B： 4000004
C： 399996
D： 3999996
y2 −16y +m m =
3 是完全平方式，则 ________．
x+y = 5 xy = 6 x2 +y2
4 已知 ， ，则 的值是（ ）1
A：
13
B：
17
C：
25
D：
1 1
5 a+ = 5 a2 +
已知 ，则 的值是________．
a a2
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式
精选精练
(2a+2b+1)(2a+2b−1) = 63 a+b =
1 如果 ，则 ___________．
2 1 1 1 1 1 1 1
2 A = − (1 + )(1 + )(1 + )(1 + )(1 + )(1 + )(1 + )
若 ，则
3 31 32 34 38 316 332 364
1
…(1 + )+1
n
32
A
的值是（ ）
A： 0
B： 1
1
C：
2n
32
1
D：
n+1
32
3 阅读材料后解决问题：
(2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)
小明遇到下面一个问题：计算 ．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公
式解决问题，具体解法如下：(2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)
= (2 −1)(2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)
= (22 −1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)
= (24 −1)(24 +1)(28 +1)
= (28 −1)(28 +1)
= 216 −1
(6 +1)(62 +1)(64 +1)(68 +1) =
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算： __________．
2x2 −2xy +y2 +4x+25
4 多项式 的最小值为__________．
m n (m+n −1)2 = (m−1)2 +(n −1)2 m⋅n =
5 若正实数 ， 满足等式 ，则 __________．
ax2 +bx+c
6 阅读材料：把形如 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方
a2 ±2ab+b2 = (a±b)2
法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆应用，即 ．
1 2 3
(x−1)2 +3 (x−2)2 +2x ( x−2) + x2 x2 −2x+4
例如： 、 、 是 的三种不同形式
2 4
的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）．
请根据阅读材料解决下列问题：
x2 −4x+9
(1)比照上面的例子，写出 三种不同形式的配方；
a2 +ab+b2
(2)将 配方（至少两种不同形式）；
a2 +b2 +c2 −ab−3b−2c+4 = 0 a+b+c
(3)已知 ，求 的值．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 提公因式法及平方差公式
例题练习题答案
例1 (1)下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
x2 +2x+3 = (x+1)2 +2
A：
(x+y)(x−y) = x2 −y2
B：x2 −xy +y2 = (x−y)2
C：
2x−2y = 2(x−y)
D：
(2)若 x2 +mx+n = (x+4)(x−5) ，则m，n的值分别为（ ）
−20 −1
A： ，
−1 −20
B： ，
20 −1
C： ，
1 −20
D： ，
练1.1 (1)下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
3(a−b) = 3a−3b
A：
n2 −1 = (n +1)(n −1)
B：
x2+2x+1 = x(x+2)+1
C：
a(a−b)(b+1) = (a2 −ab)(b+1)
D：
(2)若 x2 +ax+b = (x+3)(x−7) ，则a，b的值分别为（ ）
−21 −4
A： ，
−4 −21
B： ，
21 −4
C： ，
4 −21
D： ，
x3 −4x2y =
例2 (1)分解因式： __________．
−3(x−2y)+4(x−2y)
(2)计算 的结果是（ ）
x−2y
A：
−x−2y
B：
x+2y
C：
−x+2y
D：m2 (a−2)+m(a−2)
练2.1 (1)将 分解因式的结果是_________________；
x2y(a−b)−xy(b−a)+y(a−b)
(2)多项式 提公因式后，另一个因式为（ ）
x2 −x+1
A：
x2 +x+1
B：
x2 −x−1
C：
x2 +x−1
D：
−6(x−y)2 −3y(y −x)2
练2.2 (1)把 分解因式，结果是（ ）
−3(x−y)2(2 +y)
A：
−(x−y)2(6 −3y)
B：
3(x−y)2(y +2)
C：
3(x−y)2(y −2)
D：
3x(a−b)−6y(b−a) = ________
(2)因式分解： ．
x(x−2)+x−2 =
例3 (1)因式分解： _________．
(4a−3)a+4a−3 =
(2)因式分解： _________．
x(x−3)−x+3 =
练3.1 (1)分解因式： _________________；
(2a+1)a−4a−2 =
(2)分解因式： _________________．
(x+2)x−x−2 =
练3.2 (1)分解因式： _________________；
x2 −2x+(x−2) =
(2)分解因式： _________________．
a−b = 4 ab = 6 ab2 −a2b ( )
例4 (1)如果 ， ，那么 的值是
−24
A：
−10
B：
C： 24D： 2
a b a2b+ab2 ( )
(2)长和宽分别是 ， 的长方形的周长为10，面积为6，则 的值为
A： 15
B： 16
C： 30
D： 60
x+y = 3 xy = 2 x2y +xy2 =
练4.1 (1)已知 ， ，则 ．
a b
(2)已知一个长方形的长和宽分别为 ， ，如果它的周长为10，面积为5，则代数式
a2b+ab2
的值为 ．
a2 −4b2 =
例5 (1)分解因式： __________；
16 −a2 =
(2)分解因式： __________；
6x2 −24 =
(3)分解因式： __________；
16b4x4 −81c4y4 =
(4)分解因式： __________．
−3x2 +12 =
练5.1 (1)分解因式： ___________；
−81x2 +16
(2)分解因式： =___________；
2x2 −8 =
(3)分解因式： ___________；
16a4 −81b4 =
(4)分解因式： ___________．
(x−1)2 −9
例6 (1)分解因式 的结果是（ ）
(x+8)(x+1)
A：
(x+2)(x−4)
B：
(x−2)(x+4)
C：
(x−10)(x+8)
D：2(a+2)2 −8a2 =
(2)分解因式： ___________；
(a+b)2 −(a+2b)2 =
(3)分解因式： ___________；
a2 (m−n)−b2(m−n) =
(4)分解因式： ___________．
(2x+3y)2 −(2x−y)2 =
练6.1 (1)分解因式： ____________；
(3a+2b)2 −(2a+3b)2 =
(2)分解因式： ___________；
a2 (x2 −y2)−b2(x2 −y2) =
(3)分解因式： ___________．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 提公因式法及平方差公式
自我巩固答案
1 下列的变形，是因式分解的是（ ）
x2 −9 +6x = (x+3)(x−3)+6x
A：
(x+5)(x−2) = x2 +3x−1
B：
6ab = 2a⋅3b
C：
x2 −8x+16 = (x−4)2
D：
2 各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ）
x2 −1 = (x+1)(x−1)
① ；
x(x−y)−y(x−y) = (x−y)2
② ；
(x+1)2(x−1)2 = x4 −1
③ ；
a2 −4ab+4b2 = (a−2b)2
④ ．
A： 1个
B： 2个
C： 3个D： 4个
3 x2 +ax+b = (x+4)(x−9) ，则a，b的值分别为（ ）
−5 −36
A： ，
−36 −5
B： ，
5 −36
C： ，
36 −5
D： ，
4 下列因式分解，正确的是（ ）
3(x−2)−2x(2 −x) = (x−2)(3 −2x)
A：
3(x−2)−2x(2 −x) = (x−2)(−3 −2x)
B：
3(x−2)−2x(2 −x) = x(x−2)
C：
3(x−2)−2x(x−2) = (x−2)(3 −2x)
D：
b2(x−3)+b(x−3)
5 分解因式 的正确结果是（ ）
(x−3)(b2 +b)
A：
b(x−3)(b+1)
B：
(x−3)(b2 −b)
C：
b(x−3)(b−1)
D：
a+b = 3 ab = 5 ab2+a2b ( )
6 如果 ， ，那么 的值是
15
A：
−12
B：
C： 45
D： 30
m2 −9b2 =
7 分解因式： __________．
(x+1)2 −16
8 分解因式 的结果是（ ）(x+5)(x+3)
A：
(x+5)(x−3)
B：
(x−5)(x+3)
C：
(x−5)(x−3)
D：
(2x+y)2 −(x+2y)2 =
9 分解因式： __________．
a(m2 −n2)−b(m2 −n2) =
10 分解因式： __________．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 提公因式法及平方差公式
课堂落实答案
1 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
(x+ 3)(x+ 2) = x2 + 5x+ 6
A：
4x2 − 9+ 6x = (2x+ 3)(2x− 3) + 6x
B：
x2 + 10x+ 25 = (x+ 5)2
C：
10a2b = 2a25b
D：
−4(x−y)2 −2y(x−y)2
2 分解因式，结果是（ ）
−2(x−y)2 (2 +y)
A：
−(x−y)2 (4 −2y)
B：
2(x−y)2 (y +2)
C：
−(x−y)2 (4 +2y)
D：
xy = −3 x+y = 2 x2y +xy2
3 已知 ， ，则代数式 的值是__________．
m2 −25b2 =
4 分解因式： __________．(3x+2y)2 −(4x+3y)2 =
5 分解因式： __________．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 提公因式法及平方差公式
精选精练
1 下列从左到右的变形：
10x2y = 2xy ⋅5x
（1） ；
a2 −b2 = (a−b)(a+b)
（2） ；
a2 −2a+1 = (a−1)2
（3） ；
1
x2 +x+1 = x(x+1 + )
（4） ，
x
其中是因式分解的个数是（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
2 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1 +x+x(x+1)+x(x+1)2= (1 +x)[1 +x+x(x+1)]= (1 +x)2
(1 +x) = (1 +x)3
（1）上述因式分解的方法是__________法，共应用了__________次；
1 +x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2012
（2）若把 分解因式，则需要应用上述
方法________次，分解因式后的结果是__________；
1 +x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
（3）请用以上的方法分解因式： （其中
n为正整数），必须有具体过程．
1 −a−a(1 −a)−a(1 −a)2 −a(1 −a)3 −⋯
3 计算
−a(1 −a)2013 −[(1 −a)2014 −3]
的结果为（ ）
A： 3B： 1
(1 −a)2015
C：
(1 −a)2015 +3
D：
4 利用因式分解计算：
1 1 1 1 1 1
(1 − )(1 − )(1 − )⋯(1 − )(1 − )⋯(1 − )
．
22 32 42 92 102 n2
9(m+n)2 −16(m−n)2
5 计算： ．
6 已知x、y满足 (x+y)2 = 5 ， (x−y)2 = 41 ；求 4xy 的值．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 完全平方公式及配方
例题练习题答案
例1 (1)下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
x2 +2x−1
A：
1
B： x2 −x+
4
x2 +xy +y2
C：
9 +x2 −3x
D：
(2)下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
x2
x2 −2x−1 −x+1 −a2 −b2 −a2 +b2 x2 −4xy +4y2
① ；② ；③ ；④ ；⑤
4
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个x2 +4y2 −4xy =
(3)分解因式： _____________．
(x−1)2 −2(x−1)+1
(4)分解因式 的结果是（ ）
(x−1)(x−2)
A：
x2
B：
(x+1)2
C：
(x−2)2
D：
x2 −2x+1
练1.1 (1)分解因式 的最终结果是（ ）
x(x−2)+1
A：
(x+1)(x−2)
B：
(x−1)2
C：
(x+1)2
D：
x2 −6xy +9y2 =
(2)分解因式： ___________；
x2 +6ax+9a2 =
(3)分解因式： ___________；
4 +12(x−y)+9(x−y)2 =
(4)分解因式： __________．
2a2 +8a+8 =
例2 (1)分解因式： ___________；
xm2 −4xm+4x =
(2)分解因式： ___________；
32(x+1)2 −16(x+1)y +2y2 =
(3)分解因式： __________；
2(x+1)2y −4(x+1)y2 +2y3 =
(4)分解因式： __________．
2m2 −8m+8 =
练2.1 (1)分解因式： __________；
x3 −6x2 +9x =
(2)分解因式： __________；
1
(3)分解因式： x2 +2x(y −1)+2(y −1)2 = __________；
23
(4)分解因式： x3 +6x2 (y −1)+6x(y −1)2 = __________．
2
x4 −8x2 +16 =
例3 (1)分解因式： ___________；
x4 −2x2y2 +y4 =
(2)分解因式： ___________；
16m4 −8m2n2 +n4 =
(3)分解因式： ___________．
x4 −18x2 +81=
练3.1 (1)分解因式： ___________；
a4 −2a2b2 +b4 =
(2)分解因式： ___________；
x4 −18x2y2 +81y4 =
(3)分解因式： ___________．
x2 −8x+k k =
例4 (1)多项式 是一个完全平方式，则 __________．
(2)如果 x2 −(m+1)x+1 是完全平方式，则m的值为（ ）
−1
A：
B： 1
−1
C： 1或
−3
D： 1或
x2 −6x+m m =
练4.1 (1)多项式 是一个完全平方式，则 __________．
(2)如果 x2 +mx+36 是完全平方式，则m的值为（ ）
A： 12
B： 18
−12
C：
−12
D： 12或
4x2 +kxy +9y2 k
例5 (1)若 是一个完全平方式，则 的值为__________；
x2 +2(m−1)x+36 m =
(2)若 是完全平方式，则 __________16x2 +(k+3)xy +9y2 k
练5.1 (1)若 是一个完全平方式，则 的值为__________；
3mx2 +36x+4 m =
(2)若 是完全平方式，则 __________．
(x+y)2 −2x−2y +1 = 0 x+y
例6 (1)已知 ，求 ．
x2 +y2 +4x−6y +13 = 0 xy
(2)已知 ，求 的值．
(x−y)2 +2x−2y +1 = 0 y −x =
练6.1 (1)已知 ，求 __________；
9x2 +12xy = −5y2 −6y −9 yx =
(2)已知 ，则 __________．
x2 +7x−18 ( )
例7 多项式 因式分解的结果是
(x−1)(x+18)
A：
(x+2)(x+9)
B：
(x−3)(x+6)
C：
(x−2)(x+9)
D：
x2 −5x−36 =
练7.1 (1)分解因式： _______．
x2 −3xy −4y2 =
(2)分解因式： _______．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 完全平方公式及配方
自我巩固答案
1 下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
x2 +2x+2
A：
1
B： x2 −x+
4
x2 +3xy +y2
C：9 +x2 −3x
D：
(x+2)2 −2(x+2)+1
2 分解因式 的结果是（ ）
(x−1)(x+1)
A：
(x+1)2
B：
(x−1)2
C：
(x−2)2
D：
x2 +81y2 −18xy =
3 分解因式： __________．
4 +16(a+b)+16(a+b)2 =
4 分解因式： __________．
xya2 −4xya+4xy =
5 分解因式： ___________．
64m4 −32m2n2 +4n4 =
6 分解因式： ___________．
x2 −kx+4 k ( )
7 若多项式 是一个完全平方式，则 的值是
A： 2
B： 4
±2
C：
±4
D：
1 −6y +my2 y m
8 已知 是关于 的完全平方式，则 的值为（ ）
A： 9
±9
B：
C： 36
±36
D：
16y2 +(m+5)y +1 m
9 已知 是完全平方式，则常数 的值是___________．
10 因式分解：k2 +5k−6 c2 −5c+4
（1） （2）
x2 +7x+12 x2 −6 −x
（3） （4）
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 完全平方公式及配方
课堂落实答案
( )
1 下列因式分解正确的是
x2 −9 = (x+9)(x−9)
A：
9x2 −4y2 = (9x+4y)(9x−4y)
B：
1 1 2
C： x2 −x+ = (x− )
4 4
−x2 −4xy −4y2 = −(x+2y)2
D：
4(a+b)2 −16(a+b)+16 =
2 分解因式： ______________．
4x2 −mx+4 m ( )
3 若 是一个完全平方式，则 的值是
A： 4
−4
B：
±4
C：
±8
D：
4x2 +1 (a+b)2
4 下列各项中，加上 ，能成为 的形式的是（ ）
A： 4
−2x
B：
4x4
C：16x4
D：
x2 −2x−15
5 分解因式 正确的是（ ）
(x−5)(x+3)
A：
(x−5)(x−3)
B：
(x+5)(x−3)
C：
(x+5)(x+3)
D：
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 完全平方公式及配方
精选精练
(x+y)2 −2(x2 −y2)+(x−y)2
1 因式分解 的结果为（ ）
4(x−y)2
A：
4x2
B：
4(x+y)2
C：
4y2
D：
(x+y)2 +4(x−y)2 −4(x2 −y2)
2 放学时，王老师布置了一道分解因式题： ，小明思考了
半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说
了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．
3 先阅读材料，再回答问题：
(a−b)2 −2(a−b)+1
分解因式： ．
a−b = M = M2 −2M +1 = (M −1)2
解：设 ，则原式
a−b = M = (a−b−1)2
再将 还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问
题：
(x+y)(x+y −4)+4
（1）分解因式： ；a (a−1)(a−2)(a−3)(a−4)+1
（2）若 为正整数，则 为整数的平方，试说明理由．
x2 +mx+9 = (ax+b)2 m
4 如果代数式 ，那么 的值为________．
(x−1)(x+2)(x−3)(x+4)+a a
5 若 是一个完全平方式，求 的值．
6 因式分解：
6x2 −7x+2
（1）
3x2 −8x−3
（2）
12x2 −11x−15
（3）
6x2 −12 +x
（4）
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 分式计算
例题练习题答案
例1 计算：
a+2 1
⋅
（1） ；
a−2 a2 +2a
a−1 a2 −1
÷
（2） ．
a2 −4a+4 a2 −4
x2 −1 1
练1.1 ⋅
计算： ．
x2 −2x+1 x+1
x2 −4 x2 +2x
练1.2 ÷
计算： ．
x2 −4x+4 2 −x
例2 填空：
y 3
(− ) =
（1） __________；
3x2
2
a2
( ) =
（2） __________．
3b3c
练2.1 填空：
4
a2
( ) =
（1） __________；
−b3
33
−3x2
( ) =
（2） __________．
2y2z
(3a)2c −3c 3
例3 (−2abc)2 ÷ ⋅( )
计算： ．
b3 b
练3.1 计算：
b 2 ax 8a
( ) ÷(− )⋅
（1） ；
2ax 3b b3
a 2 3ac 2b2
(− ) ÷ ⋅
（2） ．
b 4b 3a
例4 通分：
c a2
(1) −
与 ；
a2b4 bc3
1 x
(2)
与 ．
x2 −4 4 −2x
x+1 x
练4.1
与 的通分结果为____________________．
3x 3x+6
2x x
练4.2
通分： 与 ．
x2 −9 2x+6
例5 计算：
2a 10
−
（1） ；
a−5 a−5
2x x
−
（2） ．
x−1 1 −x
练5.1 计算：
a+3 a−2
−
（1） ；
a+2 a+2
3x 3y
+
（2） ．
x−y y −x
例6 计算：
a 1
−
（1） ；
a2 −25b2 2a−10b
2b2
a−b+
（2） ．
a+b
4x x
练6.1 −
计算： ．
x2 −4 x−2a2
练6.2 a+1 −
计算： ．
a−1
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 分式计算
自我巩固答案
1 下列计算错误的是（ ）
3y x 1
A： ⋅ =
x2 3y x
1
B： (a2 −b2)⋅ = a−b
a+b
2 1 2
C： ÷ =
x2 −1 x−1 x+1
3b
D： − ÷2ab = −6b2
a
x 2 x2 3 x 4
2
(− ) ⋅( ) ÷( )
计算 的结果是（ ）
y y y
x4
A：
x4
B：
y2
x4
C：
y
−x4
D：
2a+2b a2 −b2
3
÷
计算： ．
3ab 9a2b
−a 2 2a2 2 a
4
( ) ÷( ) ⋅
计算： ．
b 5b 5b
x 1 1
5
通分： ， ， ．
2x+2 x2 +x x2 −1
6 下列计算正确的是（ ）1 1 1
A： + =
2a 2b 2(a+b)
1 1
B： + = 0
a−b b−a
c c+1 1
C： − =
a a a
b b 2b
D： + =
a c ac
a2 1 −2a
7 −
化简 的结果为（ ）
a−1 1 −a
a+1
A：
a−1
a−1
B：
C： a
D： 1
a 3 2
8 − +
计算 的结果是（ ）
a−5 a−5 5 −a
A： 1
−1
B：
a−1
C：
a−5
a+5
D：
a−5
a 4
9 −
化简 的结果是（ ）
a−2 a2 −2a
a+2
A：
a
B：
a+2
a
C：
a+2
D：
a
10 化简：
a 1
−
（1） ；
a2 −16b2 3a+12b
2a+4
+1
（2） ．
a2 −4能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 分式计算
课堂落实答案
m2 +mn mn
1 ÷
化简 的结果是（ ）
m−n m−n
m+n
A：
n
m2
B：
m−n
m−n
C：
n
m2
D：
b 3
2 (− )
计算 的结果是（ ）
2a
b3
A： −
2a3
b3
B： −
6a3
b3
C： −
8a3
b3
D：
8a3
a2 1
3 −
化简： =__________．
a−1 a−1
1 a+b
4
通分： ， ．
3(a+b)2 2a2 −2b2
x 1
5 −
计算： ．
x2 −9y2 2x−6y
能力提高 / 初二 / 秋季第 13 讲 分式计算
精选精练
1 计算：
2y x3
⋅
（1） ；
3x2 4y2
x−y
(xy −x2)÷
（2） ．
xy
2 计算：
m2 −6m+9 m−2
⋅
（1） ；
m2 −4 3 −m
x3 +4x2 +4x x2 +2x
÷
（2） ．
x2 −1 x−1
y x
3 通分： 与 ．
4a(x+2) 6(x2 +4x+4)
4 计算：
2a2 +3 −a2 −4
+
（1） ；
a+1 a+1
a2 b2 2ab
− +
（2） ．
a2 −b2 b2 −a2 a2 −b2
1 6 x+1
5 − −
计算： ．
x−5 x2 −25 10 +2x
2a−1 1 −a2
6 (a− )÷
化简： ．
a a2 +a
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 分式的化简求值及分式方程
例题练习题答案
x+2 x2 +4x+4
例1 ( +x+2)÷ x = −1
先化简，再求值： ，其中 ．
x−2 x−2
4 2 −a
练1.1 2a2 +4a−1 = 0 (a− )÷
如果 ，那么代数式 的值是____________．
a a2例2 下列方程中是分式方程的是（ ）
2x
A： −3x = 1
3
x−1
B： 2x− = 1
2
x
−2x = 0
C：
2
1
D： −2 = 0
x−1
2 a+6
例3 x = 2 = a
是分式方程 的解，则 的值是（ ）
x−1 x+1
−1
A：
B： 0
C： 1
D： 3
ax 2 6
练3.1 x − = 1 = 2 a =
若关于 的分式方程 的解与方程 的解相同，则 _______．
a+1 x−1 x
x−8 1
例4 − = 8
解分式方程 ，可知方程（ ）
x−7 7 −x
x = 7
A： 解为
x = 8
B： 解为
x = 15
C： 解为
D： 无解
x 3
练4.1 − = 3
解分式方程： ．
x−1 1 −x
2 1 x−2 16
例5 − = 0 − = 1
解方程：（1） ；（2） ．
x−2 x x+2 x2 −4
练5.1 解下列分式方程：
1 1
+ = 1
（1） ；
x−3 6 −2x
5 3 6
+ =
（2）
x+1 x−1 x2 −1
例6(1)小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若
校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校
时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（ ）
5 1 5
A： + =
x 6 2x
5 1 5
B： − =
x 6 2x
5 5
C： +10 =
x 2x
5 5
D： −10 =
x 2x
(2)某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽
2.5
车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的 倍，求两种车的速度各
是多少？
练6.1 船航行于相距32千米的两码头之间，逆水比顺水多用12小时，若水流速度比船在静水中的速度少
2千米/时，求水流速度及船在静水中的速度．
120 100
例7 甲、乙两人加工一批零件,甲完成 个与乙完成 个所用的时间相同,已知甲比乙每天多完成
4 x
个.设甲每天完成 个零件,依题意下面所列方程正确的是（ ）
120 100
A： =
x x− 4
120 100
B： =
x x+ 4
120 100
C： =
x− 4 x
120 100
D： =
x+ 4 x
练7.1 甲、乙两个施工队共同完成某区域绿化改造工程，乙队先单独做3天后，再由两队合作7天完成全
部工程，已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的2倍，求甲、乙
两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
能力提高 / 初二 / 秋季第 14 讲 分式的化简求值及分式方程
课堂落实答案
2 x+5 x2 +3x
1 ( + )÷ x = −1
先化简，再求值： ，其中 ．
x+2 x2 +4x+4 x+2
2 下列方程不是分式方程的是（ ）
x−3
A： = 1
x
x 1
B： + = 1
x+1 x−1
3 4
C： + = 2
x y
1 x−2
D： − = x
2 3
a−2 1
3 x = 4 = a
若 是分式方程 的根，则 的值为（ ）
x x−3
A： 6
−6
B：
C： 4
−4
D：
x−4 3
4 + = 2
解分式方程： ．
x+1 x+1
A B A B A
5 用 ， 两种型号的机器加工运动服， 型机器比 型机器每小时多加工20套， 型机器加工
B
1600套运动服所用时间比 型机器加工1080套运动服所用时间多2小时，求两种型号的机器每小
B x
时分别加工多少套运动服．如果设 型机器每小时加工 套运动服，则所列方程正确的是（ ）
1600 1080
A： = +2
x−20 x
1600 1080
B： = −2
x+20 x
1600 1080
C： = +2
x+20 x
1600 1080
D： +2 =
x−20 x能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 分式的化简求值及分式方程
自我巩固答案
x 1
1 (x− )÷(1 + ) −1 0 1 2
先化简： ，然后在 ， ， ， 四个数中选一个你认为合
x+1 x2 −1
适的数代入求值．
2 下列关于x的方程中，属于分式方程的有（ ）
1 x 1 x x2
− x3 +3x = 0 +b = 1 −1 = 2 + = 6
① ；② ；③ ；④ ．
2 b2 x2 x 4
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
1 a−2
3 x = 4 −3 = a
若 是分式方程 的根，则 的值为（ ）
x x
A： 9
−9
B：
C： 13
−13
D：
2 3
4 x + = 0 x = 4 a
关于 的分式方程 的解为 ，则常数 的值为（ ）
x x−a
A： 1
B： 2
C： 4
D： 102x 3x+2
5 +3 =
解方程： ．
x−2 x−2
2 −y 1
6 1 − =
解分式方程： ．
y −3 3 −y
2 2x 1
7 − =
解分式方程： ．
x+1 1 −x2 x−1
8 货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车
x
的速度各为多少？设货车的速度为 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
25 35
A： =
x x−20
25 35
B： =
x−20 x
25 35
C： =
x x+20
25 35
D： =
x+20 x
9 一艘轮船在静水中的最大航速为24千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行120千米，再以最大航
速返航．经过与顺流航行相等的时间，返航行程恰好比顺航行程的一半多20千米．求江水的流
速．
10 某县城要铺一条自来水管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程
10m 350m 250m
队每天多铺 ，且甲工程队铺设 所用的天数与乙工程队铺设 所用的天数相同．
甲、乙两个工程队每天各能铺设多少米管道？
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 分式的化简求值及分式方程
精选精练
1 a2 −6a+9
1 (1 − )÷ −2
（1）先化简 ，然后在 ，0，1，2，3中选择一个合适的数代
a−2 a2 −4
入并求值．
m2 +4m+4 m+2
m2 +2m = 1 ÷
（2）如果 ，那么 的值为________．
m m23
2 a b ⊗ a⊗b =
对于实数 、 ，定义一种新运算“ ”： ，等式右边是通常的四则运算．若
a2 −ab
(−3)⊗x = 2 ⊗x x
，则 的值为（ ）
−2
A：
−1
B：
C： 1
D： 2
3x+6 ≥ 0 2x+1 3
3 { =
解不等式组 ，并判断分式方程 的解是不是该不等式组的解？
4 −2x > 0 3 −x 2
4 阅读下面材料，解答后面的问题．
x−1 4x
− = 0
解方程： ．
x x−1
x−1 4
y = y − = 0
解：设 ，则原方程化为： ，
x y
y y2 −4 = 0 y = ±2
方程两边同时乘以 得： ，解得： ，
4
y = ±2 y − = 0
经检验： 都是方程 的解，
y
x−1 x−1
∴ y = 2 = 2 x = −1 y = −2 = −2
当 时， ，解得： ；当 时， ，解得：
x x
1
x =
，
3
1
x = −1 x =
经检验： 或 都是原分式方程的解，
3
1
∴ x = −1 x =
原分式方程的解为 或 ．
3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
x−1 4x+4 x−1
− = 0 y =
问题：（1）若在方程 中，设 ，则原方程可化为：
x+1 x−1 x+1
________；
x−1 3
− −1 = 0
（2）模仿上述换元法解方程： ．
x+2 x−1
5 一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，现有两块小麦田面积均为10公顷，第
2
一块由一台收割机和100个农民同时开始收割，收割了 小时后收割机转入第二块进行收割，而第
5
一块仍由这100人继续收割，结果两块地同时收割完．若收割机中间转移所用的时间忽略不计，且
每个农民的工作效率相同，这台收割机每小时收割多少公顷小麦？
6 几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用350元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：
小芳：今天看演出，如果我们每人一张票，会差两张票的钱．小明：过两天就是“儿童节”了，到时票价会打七折，我们每人一张票，还能剩35元钱呢！
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 正五边形的内角和为（ ）
180∘
A：
360∘
B：
540∘
C：
720∘
D：
2 如图， ∠A = 54∘ ，∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，则∠BOC等于（ ）
80∘
A：
117∘
B：
76∘
C：
115∘
D：
3 如图，已知 ∠ABC = ∠DCB ，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）∠A = ∠D
A：
∠ACB = ∠DBC
B：
AC = DB
C：
AB = DC
D：
4 下列因式分解正确的是（ ）
x2 −4 = (x+2)(x−2)
A：
x3 −6x2 +9x = x(x2 −6x+9)
B：
x2 −2x−3 = (x−1)(x+3)
C：
x2 +4x+4 = x2 +4(x+1)
D： 3
x2 −9
5
分式 的值为零，則x的值为（ ）
x−3
x = 3
A：
x = −3
B：
x ≠ 3
C：
D： 不能确定
6 下列计算正确的是（ ）
a2 ∙ a5 = a10
A：
a3 +a3 = a6
B：
2
(a3) = a6
C：
(2a)3 = 6a3
D：
2x−3
7
根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
4 −x
2x−3
A： −
x−4
2x−3
B： −
4 −x
3 −2x
C：
4 −x3 −2x
D： −
x−4
a+b = 3 ab = 1 a2 +b2 =
8 若 ， ，则 （ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
9 A、B两地相距36千米，一艘小船从A地匀速顺流航行至B地，又立即从B地匀速逆流返回A地，共
用去9小时．已知水流速度为3千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则求x时所列方
程正确的是（ ）
36 36
A： + = 9
x+3 x−3
36 36
B： + = 9
3 +x 3 −x
36
C： +3 = 9
x
72 72
D： + = 9
x+3 x−3
10 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E， S △ABC = 10 ， DE = 2 ， AC = 6 ，则AB
长是（ ）
A： 5
B： 4
C： 3
D： 2
3xy 4y3
11 ⋅ =
计算 ______________．
2x2 9xy2
x2 −8x+15 =
12 因式分解： _______________．a ab
13
、 的最简公分母为______________．
a2 −b2 a2 +2ab+b2
14 如图，在四边形ABCD中， ∠A = 90∘ ， ∠D = 40∘ ，则 ∠B +∠C 为____________．
15 如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若 DE = DB ，则CE的
长为____________．
x2 −9
16
若 的值为0，则x的值为__________．
2x−6
17 如图，在△ABC中， ∠C = 90∘ ，BD平分∠CBA交AC于点D．若 AB = a ， CD = b ，则△ADB
的面积为______________．
ax+1
18 若关于x的分式方程 −1 = 0 有增根，则 a 的值为__________．
x−1
19 计算：
a+b 2a
+
（1） ；
a−b b−a
x−1 x
−
（2） ．
x+2 x−3
2
20 (x+2y)2 −x(x−2y) x = y = 5
（1）先化简，再求值； ，其中 ， ；
3
5 2a−4
(a+2 + )⋅
（2）计算 ．
2 −a a−321 解方程：
x+1 2
− = 4
（1） ；
x+5 5 +x
2 4x 3
− =
（2） ．
x−2 x2 −4 x+2
22 列分式方程解应用题：
甲、乙二人分别从相距36km的A、B两地同时相向而行，甲从A地出发1km后发现有物品遗忘在A
地，便立即返回，取了物品立即从A地向B地行进，这样甲、乙二人恰在AB中点相遇．如果甲每小
时比乙多走0.5km，求甲乙二人的速度各是多少？
23 如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证:△AEC≌△BED；
（2）若∠1=40°，求∠BDE的度数．
ABC AD BC AD ADE
24 如图，在等边三角形 中， 为 边上的中线，以 为一边作等边三角形 ，
DE AC F
与 交于点 ．
AC DE
（1）试探究线段 与线段 的位置关系，并说明理由；
CE CE BC
（2）连线 ，试探究线段 与 的数量关系，并说明理由．
25 如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB， AD = BC ，BD平分∠ABC．
AD = DC
（1）求证： ；
（2）如图2，在上述条件下，若 ∠A = ∠ABC = 60∘ ，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，
垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．26 一个三角形可被剖成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36度，求原三角形最大内角的所有
可能值为：__________________．
x4 +2x2 −3
27 将多项式 分解因式为__________________．
