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2021/5/19 备授课-备课页
能力提高 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程初步
有
例题练习题答案
所
例1 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
权
A： 2
(x+1) = 2(x+1) 版
B： 1 1 习
育
+ −2 = 0
学
x 2 x 教 9
爱 9
代
5
C： 2
ax +bx+c = 0
6
时
风
D： x2+2x = x2−1
随
练1.1 判断下列方程是否是一元二次方程：
1 1
（1）x2 = ；（2）x2 = x2+x；（3）3x2+6x = 9；（4）y3+x = 2x2+y3 ；（5） = 1．
2 2
x
例2 将方程3x(x−1) = 5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并且写出其中的二次项系数、一次项系
数及常数项．
练2.1 2
将一元二次方程4x +7 = 3x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A： 4、3
B： 4x2 、−3x
有
C： 4、7
所
D： 4、−3
权
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 1/172权
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版
练2.2 2
将一元二次方程5x −3+x = 2x+1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
习
育
学
A： 5、−2
教 9
爱 9
B： 5x2 、−2x 代 5
6
时
C： 5、−4 风
随
D： 5、−1
例3 |a−1|
已知关于x的方程(a−3)x +(a+1)x−3 = 0是一元二次方程，求参数a的值．
练3.1 关于x的方程(m−2)x|m| +3mx+1 = 0是一元二次方程，则（ ）
A： m = ±2
B： m = 2
C： m = −2
D： m ≠ ±2
练3.2 |n+1|
已知关于x的方程nx +(n−1)x−3 = 0是一元二次方程，则n的值为__________．
例4 请使用直接开平方法解下列方程： 有
2 2 所
（1）x = 25；（2）4x = 9；
（3）(x−1)2 = 3； （4）(2x+3)2 = 49． 权
版
练4.1 请使用直接开平方法解下列方程：
习
育
1
2 2 学
（1）x = 12；（2） x = 5； 教 9
3
爱 9
代
5
1 1
( )2 ( )2
6
（3） x+ = 4；（4） 时x+3 = 16．
2 2 风
随
练4.2 2
方程x −2 = 0的解为（ ）
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A： 2
B： √2
C： 2与−2
D： √2与−√2
例5 (1) 2
一元二次方程x −6x−1 = 0配方后可变形为（ ）
A： (x+3)2 = 10
B： 2
(x+3) = 8 有
所
C： (x−3)2 = 10
权
D： 2
(x−3) = 8
版
(2) 2
利用配方法解一元二次方程2习x −8x−1 = 0时，应先将其变形为（ ）
育
学
教 9
A： (2x−4)2 = 17
爱 9
代
5
B： 2
(2x−4) = 15 6
时
风
C： 2(x−2)2 = 7
随
D： 2
2(x−2) = 9
(3)用配方法解方程：
2
①x +2x = 0；
②x2−4x−1 = 0；
1
2
③ x +2x−5 = 0；
3
④3x2−6x−15 = 0．
练5.1 2
用配方法解一元二次方程x +4x−3 = 0时，原方程可变形为（ ）
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A： 2
(x+2) = 1
有
B： (x+2)2 = 7 所
权
C： 2
(x+2) = 13
版
D： (x+2)2 = 19
习
育
练5.2
用配方法解一元二次方程x
2学−6x−10
= 0时，下列变形正确的为（ ）
教
9
爱 9
代
A： (x+3) 2 = 1 5
6
时
风
B： (x−3)2 = 1
随
C： 2
(x+3) = 19
D： (x−3)2 = 19
能力提高 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程初步
自我巩固答案
1 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A： 2
a(x+1) = 2(x+1)
有
B： 2 1
所
+ −2 = 0
x2 x
权
版
C： x2+2x = x2−1
习
育
D： 2
x +1 = 0
学
教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
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6
2 2 时 2
一元二次方程−2(x−1) = x+3化成一般形式风ax +bx+c = 0后，其中a = 2，则b、c的值是
（ ） 随
A： b = 3，c = 5
B： b = −3，c = 5
C： b = −3，c = −5
D： b = 3，c = −5
3 下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
2 1 √2
2 2 2
①x +3x = ； ②7x = 0； ③ x − = x；
x 5 2
④(x+3)2 = (x+2)(x−3)；⑤2x2−5y = 0； ⑥ax2+bx+c = 0．
A： 1个
有
B： 2个 所
C： 3个 权
版
D： 4个
习
4 |a|+1 育
关于x的方程(a−1)x −3x+2 = 0是一元二次方程，则（ ）
学
教 9
A： a ≠ ±1 爱 9
代
5
6
B： a = 1 时
风
C： a = −1
随
D： a = ±1
5 |a+2|
关于x的方程(a+4)x +3ax+1 = 0是一元二次方程，则（ ）
A： a = −4
B： a = 0，a = −4
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C： a = 0
D： a ≠ −2
6 2
一元二次方程(x−2) = 9的两个根分别是（ ）
A： x = 1，x = −5
1 2
有
B： x = −1，x = −5 所
1 2
权
C： x = 1，x = 5
1 2
版
D： x = −1，x = 5
1 2
习
育
7 2 学
一元二次方程x +8x+1 = 0配方后可变形为（ ）
教 9
爱 9
代
5
A： 2
(x+4) = 17
6
时
风
B： (x+4)2 = 15
随
C： 2
(x−4) = 17
D： (x−4)2 = 15
8 2
一元二次方程x +6x+5 = 0的根是（ ）
A： x = 1，x = 5
1 2
B： x = −1，x = 5
1 2
C： x = 1，x = −5
1 2
D： x = −1，x = −5
1 2
9 2
一元二次方程x −2x−1 = 0的两个实数根中较大的根是（ ）
有
A： 1+√2
所
B： 1−√2 权
版
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版
C： 1−√2
习
育
2
学
教 9
D： 1+√2 爱 9
代
5
2 6
时
风
10 2
解方程：2x −4x = 1．
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程初步
课堂落实答案
1 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A： x2+x+1 = 0
B： 2
ax +bx = 0
C： 1 有
2
x + = 0
所
x2
权
D： 3x2−2xy−5y2 = 0
版
2 将一元二次方程x(x−9) = −3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和
习
育
常数项分别是（ ）
学
教 9
爱 9
A： 9，3 代
5
6
B： 9，−3 时
风
C： −9，−3 随
D： −9，3
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3 m2+1
若方程(m−1)x −2x−m = 0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A： −1
B： 1
C： 5
D： −1或1
4 2
将方程2x −4x−3 = 0配方后所得的方程正确的是（ ）
A： (2x−1)2 = 0 有
所
B： 2
(2x−1) = 4
权
C： 2(x−1)2 = 1
版
D： 2
2(x−1) = 5 习
育
学
5 解下列一元二次方程： 教 9
爱 9
2 2
（1）x +10x+25 = 0；（2）x −代x−1 = 0．
5
6
时
风
能力提高 / 初三 / 暑假
随
第 1 讲 一元二次方程初步
精选精练
1 已知关于x的方程：（1）ax2+bx+c = 0；（2）x2−4x = 8+x2 ；（3）1+(x−1)(x+1) = 0；
( )
2 2
（4） k +1 x +kx+1 = 0中，一元二次方程的个数为（ ）个．
A： 1
B： 2
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C： 3
有
D： 4
所
2 将方程(x+1)(2x−3) = 1化成“ax 2 +bx+c =权0”的形式，其中a = 2，则b、c的值为（ ）
版
A： b = −1，c = −3
习
育
B： b = −5，c = −3
学
教
9
C： b = −1，c = −4爱 9
代
5
D： b = 5，c = −4 时 6
风
3 方程3x2−5x+2 = 0的一个根是a，则6a2−10a+2 = _____．
随
4 2 2
已知m是关于x的方程x −2x−3 = 0的一个根，则2m −4m = _____．
5 若A = 10a2+2b2−7a+6，B = a2+2b2+5a−1，则A−B的值是（ ）
A： 正数
B： 负数
C： 0
D： 可正可负
6 √
已知a为实数，则代数式 27−12a+2a2 的最小值为（ ）
A： 0 有
所
B： 3
权
C： 3√3
版
D： 9
习
育
学
教 9
能力提高 / 初三 / 暑假
爱 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 9/172爱 9
代
5
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6
时第 2 讲 一元二次方程的解法
风
随
例题练习题答案
例1 (1) 2
用公式法解一元二次方程3x −2x+3 = 0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是
（ ）
A： a = 3，b = 2，c = 3
B： a = −3，b = 2，c = 3
C： a = 3，b = 2，c = −3
D： a = 3，b = −2，c = 3
(2)用公式法解方程：
①x2+2x−8 = 0；②2x2+3x+1 = 0；
2 2 有
③2x −3x−9 = 0； ④2x +4x−7 = 0．
所
练1.1 (1) 用公式法解方程5x2−6 = −x时，a、b、c的值依次是（ ）
权
版
A： 5、−1、−6
习
育
B： 5、1、−6
学
教 9
C： 5、1、6
爱 9
代
5
D： 5、−1、6
6
时
风
(2) 2
用公式法解一元二次方程x −5x−7 = 0，其中较小的根是__________．
随
练1.2 (1) 2
用公式法解方程x −2 = −3x时，a、b、c的值依次是（ ）
A： 0、−2、−3
B： 1、3、−2
C： 1、−3、−2
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D： 1、−2、−3
(2) 2
一元二次方程x −x−1 = 0的两个实数根中较大的根是（ ）
A： 1+√5
B： 1+√5
有
2
所
C： 1−√5 权
版
2
习
D： −1+√5 育
学
教 9
2
爱 9
代
5
例2 用公式法解方程：x(2x+3) = 4x+6．
6
时
风
练2.1 2 2
用公式法解方程(x+2) = 6(x+2)−4时，b −4ac的值为（ ）
随
A： 52
B： 32
C： 20
D： −12
练2.2 方程x(x+2) = 3(x+2)的解是（ ）
A： 3和−2
B： 3
C： −2
D： 无解 有
所
例3 2
一元二次方程x = 2x的解为（ ）
权
版
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版
A： x = 2
习
育
B： x = −2
学
教 9
C： x 1 = 2，x 2 = 0 爱 9
代
5
6
D： x = −2，x = 0 时
1 2
风
练3.1 方程x(x+2) = 0的根是（ ） 随
A： x = 2
B： x = 0
C： x = 0，x = −2
1 2
D： x = 0，x = 2
1 2
练3.2 如果代数式x2+4x+4的值是16，则x的值是（
）
A： −2
B： 2√3，−2√3
C： 2，−6
有
D： 30，−34
所
权
例4 (1)下列用因式分解法解方程正确的是（ ）
版
A： x(x+2) = 0，∴x+2 = 0
习
育
B： (x+3)(x−1) = 1，学∴x+3 = 0或x−1 = 1
教 9
爱 9
C： (x−2)(x−3) = 2×3，∴x−2 = 2或x−3 = 3
代
5
6
D： (2x−2)(3x−4) = 0，时∴2x−2 = 0或3x−4 = 0
风
(2)请使用因式分解法解下列一元二次随方程：
2 2
①5x = 4x；②x −9 = 0；
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2 2
③x +2x+1 = 0；④x −x−2 = 0；
⑤3x2−x−4 = 0；⑥2(x+5)2 = x(x+5)．
练4.1 方程x(x−2) = 3x的解为（ ）
A： x = 5
B： x = 0，x = 5
1 2
C： x = 2，x = 0
1 2
D： x = 0，x = −5
1 2 有
练4.2 用因式分解法解下列方程： 所
（1）x2−2x−35 = 0；（2）2x2−x−15 = 0权 ；
（3）x+3−x(x+3) = 0；（4）x(x−4)版= 8−2x．
习
育
学
能力提高 / 初教三 / 暑假 9
爱 9
代
5
6
时
风
第 2 讲 一元二次方程的解法
随
自我巩固答案
1 2
用公式法解−x +3x = 1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（ ）
A： −1、3、−1
B： 1、−3、−1
C： −1、−3、−1
D： −1、3、1
2 一元二次方程3x2−2x−2 = 0的两个实数根中较大的根是（ ）
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A： 1+√7
有
B： 1−√7
所
C： 1−√7 权
版
3
习
D： 1+√7 育
学
教
3 9
爱 9
代
5
3 2
方程x +x−1 = 0的根是（ ）
6
时
风
A： 1+√5 1−√5
随
x = ，x =
1 2
2 2
B： −1+√5 −1−√5
x = ，x =
1 2
2 2
C： −1+√3 −1−√3
x = ，x =
1 2
2 2
D： 没有实数根
4 2
用公式法解方程4y = 12y+3，得到（ ）
A： −3±√6
y =
2
有
B： 3±√6 所
y =
权
2
版
C： 3±2√3
y = 习
育
2
学
教 9
爱 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 14/172爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
D： −3±2√3
风
y =
2 随
5 2
一元二次方程x −3x = 0的解为（ ）
A： x = 3，x = −3
1 2
B： x = −3，x = 0
1 2
C： x = 3，x = 0
1 2
D： x = x = 3
1 2
6 一元二次方程x(x−3) = 3−x的根是（ ）
A： −1
B： 3
有
C： −1和3 所
权
D： 1和2
版
7 一元二次方程x2−5x−6 = 0的根是（ ）
习
育
A： x = 1，x = 6 学
1 2
教 9
爱 9
B： x = 2，x = 3 代
1 2 5
6
时
C： x = 1，x = −6 风
1 2
随
D： x = −1，x = 6
1 2
8 关于x的方程x(x+6) = 16的解为（ ）
A： x = 2，x = 2
1 2
B： x = 8，x = −4
1 2
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C： x = −8，x = 2
1 2
D： x = 8，x = −2
1 2
9 2
方程2x +1 = 3x的两个根为（ ）
A： x 1 = 2，x 2 = 1 有
所
B： 1
x
1
= ，x
2
= 1
权
2
版
C： x = −2，x = 1
1 2
习
育
D： 1 学
教 9
x = − ，x = 1
1 2
2 爱 9
代
5
6
10 解下列一元二次方程： 时
风
（1）x2+3x+1 = 0；（2）(x−2)2 = 3x−6．
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
课堂落实答案
1 2
方程2x −3x−1 = 0用公式法求解，先确定a、b、c的值，正确的是（ ）
A： a = 2，b = −3，c = −1
B： a = −2，b = 3，c = 1
C： a = −2，b = −3，c = −1
有
D： a = 2，b = 3，c = −1 所
权
2 2
一元二次方程x +2x−2 = 0的解为（ ）
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 16/172权
2021/5/19 备授课-备课页
版
A： x = −1+√3，x = −1−√3
1 2
习
育
B： x
1
= √3+1，x
2
= √3−学1
教 9
爱 9
C： x = 1+√3，x = 1−√3 代
1 2 5
6
时
D： x = −2+2√3，x = −2−2√3 风
1 2
随
3 方程x2 = 4x的解是（ ）
A： x = 4
B： x = 0，x = 4
1 2
C： x = 0
D： x = 2，x = −2
1 2
4 2
一元二次方程x −4x+3 = 0的解是（ ）
A： x = 1
B： x = −1，x = −3
1 2
有
C： x = 3
所
D： x = 1，x = 3
1 2
权
5 解下列一元二次方程：
版
2
（1）2(x−3) = 3x(x−3)；（2）x −2x−2 = 0．
习
育
学
教 9
爱能力提高 / 初三 / 暑假 9
代
5
6
时
风
第 随2 讲 一元二次方程的解法
精选精练
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 17/1722021/5/19 备授课-备课页
1 解方程：
(1) 2
2x −7x+1 = 0；
(2)x(x−3)+x−3 = 0．
2 解方程：
(1) x2−2x = 0；
(2) 2
x −6x−1 = 0．
有
3 解下列关于x的一元二次方程： 所
权
(1) x2−10x+9 = 0；
版
(2) 2 习
x −3x−1 = 0．
育
学
教 9
4 用适当的方法解下列方程：
爱 9
代
5
6
(1)x(2x−5) = 4x−10；
时
风
(2) 2 随
2x +5x+1 = 0；
(3) x2+5x+7 = 3x+6．
5 2
解方程：2(x−2) = 338．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 3 讲 判别式
例题练习题答案
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例1 (1) 2
一元二次方程x +x−2 = 0的根的情况是（ ）
有
所
A： 有两个不相等的实数根
权
B： 有两个相等的实数根
版
C： 只有一个实数根
习
育
D： 没有实数根
学
教
9
(2) 一元二次方程x2+爱2x+1 = 0的根的情况是（ ） 9
代
5
6
时
A： 有两个不相等的实数根
风
B： 有两个相等的实数根 随
C： 只有一个实数根
D： 没有实数根
(3) 2
一元二次方程x −3x+3 = 0的根的情况是（ ）
A： 有两个不相等的实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 只有一个实数根
D： 没有实数根
(4) 已知a是实数，则关于x的一元二次方程x2+ax−4 = 0的根的情况是（ ）
有
A： 没有实数根
所
B： 有两个相等的实数根
权
C： 有两个不相等的实数根 版
D： 根据a的值来确定 习
育
学
教 9
练1.1 (1) 2
方程x −2x+3 = 0的根的情况是（ ）
爱 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 19/172爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
A： 有两个相等的实数根
风
B： 只有一个实数根 随
C： 没有实数根
D： 有两个不相等的实数根
(2) 2
一元二次方程4x −4x+1 = 0的根的情况是（ ）
A： 有两个不相等的实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 只有一个实数根
D： 没有实数根
(3) 已知a是实数，则关于x的一元二次方程x2+ax−1 = 0的根的情况是（ ）
有
A： 没有实数根
所
B： 有两个相等的实数根
权
C： 有两个不相等的实数根
版
D： 根据a的值来确定 习
育
学
(4) 2
关于x的方程x −(m+2)x−2 = 0的根教的情况是（ ）9
爱 9
代
5
A： 没有实数根
6
时
风
B： 有两个相等的实数根
随
C： 有两个不相等的实数根
D： 根据m的值来确定
练1.2 关于x的一元二次方程x2−mx+(m−2) = 0的根的情况是（ ）
A： 有两个不相等的实数根
B： 有两个相等的实数根
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C： 没有实数根
D： 无法确定
例2 2
已知关于x的方程x +x+a = 0，
（1）如果方程有两个不等的实数根，求a的范围；
（2）如果方程有两个相等的实数根，求a的范围； 有
（3）如果方程没有实数根，求a的范围．
所
权
版
练2.1 关于x的方程x2−2x+c = 0有两个相等的实数根，则c的值为（ ）
习
育
A： 1
学
教 9
B： −1 爱 9
代
5
6
C： 4 时
风
D： −4
随
练2.2 2
关于x的方程x −ax+a = 0有两个相等的实数根，则a的值为_______．
例3 (1) 若关于x的一元二次方程kx2−2x−1 = 0没有实数根，则k的取值范围是______．
(2) 2 2
若关于x的一元二次方程(m−2) x +(2m+1)x+1 = 0有解，求m的取值范围．
练3.1 2
已知关于x的一元二次方程mx +2x−1 = 0（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围
是__________．
练3.2 (1) 若关于x的一元二次方程x2−3x+k = 0没有实数根，则k的取值范围是________．
(2) 2 2
若关于x的一元二次方程m x +(2m+1)x+1 = 0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
有
例4 (1) 关于x的方程ax2+(2a−1)x+a−5 = 0有两个不同的实根，求实数a的取值范围．
所
权
(2) 2
已知关于x的方程mx +(m−2)x+2 = m有两个相等的实数根，求整数m的值．
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
练4.1 2
方程kx −3x+2 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
习
育
练4.2 (1) 关于x的方程ax2+(2a− 学 3)x+a+4 =教0有两个不同的实9数根，求实数a的取值范围．
爱 9
代
5
(2) 1
6
已知关于x的方程x2−2x时+ m+3 = 0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．
风
4
随
例5 (1) 求证：无论a取任何实数，关于x的一元二次方程x2+ax+a−1 = 0总有实数根．
(2) 2
已知关于x的方程(k+1)x +(3k−1)x+2k−2 = 0．求证：无论k取何值，此方程总有实数
根．
练5.1 (1) 2
求证：无论k取任何实数，关于x的一元二次方程2x +2kx+k = 1总有实数根．
(2) 关于x的方程(m−1)x2+2x+1 = 0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A： m ≤ 2
B： m < 2
C： m < 3且m ≠ 2
有
D： m ≤ 3且m ≠ 2
所
练5.2 2
求证：不论m为何值，关于x的方程x +(m+权4)x+2m−1 = 0一定有两个不相等的实数根．
版
习
能力提高 / 初三 / 育暑假
学
教 9
爱 9
代
5
第 3 讲 判别式
6
时
风
自我巩固答案
随
1 一元二次方程x2+x+5 = 0的根的情况是（ ）
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 22/1722021/5/19 备授课-备课页
A： 有两个不相等的实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 只有一个实数根
D： 没有实数根
2 2
关于x的方程x −(m+2)x+2 = 0的根的情况是（ ）
A： 没有实数根
B： 有两个相等的实数根
有
C： 有两个不相等的实数根
所
D： 根据m的值来确定
权
3 关于x的方程x2−10x+c = 5有两个相等版的实数根，则c的值为（ ）
习
A： 25 育
学
教 9
B： 30
爱 9
代
5
C： 20
6
时
风
D： 10
随
4 2
若关于x的一元二次方程kx −2x−1 = 0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A： −1
B： 1
C： 4
D： −4
5 若关于x的一元二次方程kx2−6x−3 = 0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A： k < −3
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 23/1722021/5/19 备授课-备课页
B： k < 3
有
C： k > 3
所
D： k > −3 权
版
6 2
关于x的方程kx +3x−1 = 0有两个实根，则实数k的取值范围是（ ）
习
育
A： 9
学
教
k ≤ − 9
4 爱 9
代
5
B： 9 6
时
k ≤ − 且k ≠ 0 风
4
随
C： 9
k ≥ −
4
D： 9
k ≥ − 且k ≠ 0
4
7 1
2
关于x的方程 ax +(a−1)x+a−3 = 0有两个不同的实根，则实数a的取值范围为（ ）
4
A： a < −1
B： a < 1
C： a > 1
有
D： a > −1且a ≠ 0
所
8 关于x的方程mx2−(m+2)x−2m = 0的根的情况是（ ）
权
版
A： 没有实数根
习
育
B： 有两个相等的实数根
学
教 9
C： 有两个不相等的实数根
爱 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 24/172爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
D： 根据m的值来确定
风
9 2 随
关于x的一元二次方程(m−2)x +2x+1 = 0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A： m ≤ 3
B： m < 3
C： m < 3且m ≠ 2
D： m ≤ 3且m ≠ 2
10 1
( )
2
已知关于x的方程x −(2k+1)x+4 k− = 0．求证：无论k取何值，此方程总有两个实数根．
2
能力提高 / 初三 / 暑假
有
所
第 3 讲 判别式
权
课堂落实答案
版
1 2
2x −5x+3 = 0方程的根的情况是（ ）
习
育
学
A： 有两个相等的实数根 教 9
爱 9
代
B： 有两个不相等的实数根 5
6
时
C： 无实数根 风
随
D： 两根异号
2 若关于x的一元二次方程x2+x−m = 0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A： 1
m ≥
4
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B： 1
m ≥ −
4
C： 1
m ≤
4
有
D： 1
m ≤ −
所
4
权
3 若关于x的一元二次方程kx2−2x−1 = 0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
版
习
A： k > −1
育
学
B： k > −1且k ≠ 0 教 9
爱 9
代
C： k < −1 5
6
时
风
D： k < −1或k = 0
随
4 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A： 2
x −2x+1 = 0
B： 2
x +2x−4 = 0
C： x2−2x−5 = 0
D： 2
x +2x+4 = 0
5 已知关于一元二次方程x2+4mx+4m2−1 = 0，试说明不论实数m取何值，方程总有两个不相等的
实数根．
能力提高 / 初三 / 暑假
有
所
第权 3 讲 判别式
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
精选精练
习
1 2 育
一元二次方程2x −6x−3 = 0的根的情况是（ ）
学
教 9
A： 有两个相等的实数爱根 9
代
5
6
B： 有两个不相等的实数根 时
风
C： 没有实数根
随
D： 无法确定
2 一元二次方程5x2−11x+4 = 0的根的情况是（ ）
A： 有两个相等的实数根
B： 有两个不相等的实数根
C： 只有一个实数根
D： 没有实数根
3 2
关于x的方程x +2kx+k−1 = 0的根的情况描述正确的是（ ）
A： k为任何实数，方程都没有实数根
有
B： k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
所
C： k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
权
D： 根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实
版
数根三种
习
育
4 已知关于x的方程x2+ax+a−2 = 0．
学
教 9
爱 9
(1)若该方程的一个根为1，求a的值代；
5
6
时
风
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
随
5 2
若关于x的一元二次方程(m−2)x +2x−1 = 0有实数根，求m的取值范围．
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能力提高 / 初三 / 暑假
第 4 讲 二次函数的初步认识
例题练习题答案
例1 (1) 2
若y = mx +nx−p（其中m、n、p是常数）为二次函数，则（ ）
A： m、n、p均不为0
有
B： m ≠ 0且n ≠ 0
所
C： m ≠ 0
权
D： m ≠ 0或p ≠ 0
版
(2) 习k2+k
当k为何值时，函数y = (k−1)x +1是二次函数？
育
学
教 9
练1.1 若关于x的函数y = (2−a)x2−x是二次函数，则a的取值范围是____________．
爱 9
代
5
6
练1.2 已知y = (m+2)xm 2 +2m+2+m 时 x+3是二次函数，则m的值为__________．
风
随
例2
(1) 2
关于函数y = x 的性质表达正确的一项是（ ）
A： 无论x为任何实数，y值总为正
B： 当x值增大时，y的值也增大
C： 它的图象关于y轴对称
D： 它的图象在第一、三象限内
(2) 1
2 2 2
关于y = x ，y = x ，y = 3x 的图象，下列说法中不正确的是（ ）
3
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A： 顶点相同
有
B： 对称轴相同
所
C： 图象形状相同 权
版
D： 最低点相同
习
(3) |m|−3 育
若二次函数y = (2−m)x 的图象开口向下，则m的值为______．
学
教
9
(4) 如图所示，在同一爱坐标系中，作出①y = a x2 ，②y9= a x2 ，③y = a x2 的图象，比较a 、a 、
代1 2 3 1 2
5
a 3 大小是________． 时 6
风
随
练2.1 1
2
下列关于函数y = x 的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点
2
(0,0)，其中正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
有
练2.2 下列抛物线中，开口最小的是（ ） 所
权
A： 1
y = − x2 版
5
习
育
B： 2
y = −3x
学
教 9
C： y = x2 爱 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 29/172爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
D： 2
y = 6x 风
随
例3 在同一直角坐标系中，画出y = x2+2，y = x2−2的图象，并思考这些二次函数的图象有什么共同
点和不同点？把下面的表格补充完整．
2 2
y = x +2 y = x −2
开口方向 有
所
对称轴
权
顶点坐标 版
习
育
增减性
学
教 9
最值 爱 9
代
5
6
时
练3.1 2 风
二次函数y = −3x −1的顶点坐标是_______________，对称轴是_______________；
随
当x__________时，y随x增大而减小；
当x__________时，y随x增大而增大；
当x = ________时，y有最____值，是______．
练3.2 4
2
二次函数y = x −1的顶点坐标是_______________；对称轴是_______________．当x__________时，y
3
随x增大而减小；当x__________时，y随x增大而增大；当x = ________时，y有最____值，是______．
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例4 2
对于二次函数y = −(x+1) ，下列结论：
①二次函数的图象开口向下；
②对称轴为直线x = 1；
③顶点坐标为(−1,0)；
④x > 1，y随x的增大而减小，
有
其中正确结论的个数是（ ）
所
A： 1
权
B： 2 版
习
C： 3 育
学
D： 4 教 9
爱 9
代
练4.1 1 5
2 6
对于二次函数y = (x−2) ，下时列结论：
2 风
①二次函数的图象开口向下； 随
②对称轴为直线x = 2；
③顶点坐标为(2,0)；
④x > 2，y随x的增大而增大，
其中正确结论的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
能力提高 / 初三 / 暑假
有
所
第 4 讲 权二次函数的初步认识
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
自我巩固答案
习
1 2 育
当m不为何值时，函数y = (m−2)x +4x−5（m是常数）是二次函数（ ）
学
教 9
A： −2 爱 9
代
5
6
B： 2 时
风
C： 3
随
D： −3
2 m2−6m−5
若y = (m+1)x 是二次函数，则m = （ ）
A： 7
B： −1
C： −1或7
D： 以上都不对
3 1
2
下列可能是二次函数y = − x 的图象的是（ ）
2
有
A：
所
权
版
习
B：
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 32/1722021/5/19 备授课-备课页
C：
D：
有
4 ( 2 ) 2
y = m +1 x 是关于x的二次函数，则此函数图象的开口方向是（ ）
所
权
A： 向上
版
B： 向下
习
育
C： 向上或向下
学
教 9
D： 无法确定 爱 9
代
5
5 2 6
抛物线y = −x 不具有的性质是时（ ）
风
A： 开口向下 随
B： 对称轴是y轴
C： 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
D： 顶点是原点
6 抛物线y = 2x2+3的顶点坐标是（ ）
A： (2,3)
B： (0,3)
C： (2, −3)
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D： (3,0)
有
7 2 2 2
抛物线y = 2x ，y = −2x ，y = 2x +1共有的性质是所（ ）
权
A： 开口向上
版
B： 对称轴都是y轴
习
育
C： 都有最高点
学
教
9
D： 顶点都是原点 爱 9
代
5
8 抛物线y = 2(x−3)2 的顶点坐标时是（ ） 6
风
A： (2,3) 随
B： (−3,0)
C： (2, −3)
D： (3,0)
9 在下列函数中，其图象对称轴为x = −2的是（ ）
A： 2
y = (x+2)
B： y = 2x2−2
C： 2
y = −2x −2
D： 2
y = 2(x−2)
有
10 1 1
所
在同一直角坐标系内，画出y = x2−3与y = x2 的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标．
3 3
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
风
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 4 讲 二次函数的初步认识
课堂落实答案
1 m2+2m+2
已知y = mx 是二次函数，则m的值为（ ） 有
所
A： 0，−2
权
B： 0，2
版
C： 0 习
育
D： −2 学
教 9
爱 9
2 二次函数y = (3.14−π)x2 的开口方向 代 是（ ） 5
6
时
风
A： 向上
随
B： 向下
C： 向左
D： 向右
3 1
二次函数y = − x2−3的顶点坐标是（ ）
2
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A： 1
( )
, −3
2
B： (−3,0)
C： (0, −3)
有
D： (0,3)
所
4 下列关于抛物线y = −x2+2的说法正确的是（ ）
权
版
A： 抛物线开口向上
习
B： 顶点坐标为(−1,2) 育
学
教 9
C： 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
爱 9
代
5
D： 抛物线与x轴有两个交点
6
时
风
5 2
对于抛物线y = (x−2) ，下列说法正确的是（ ）
随
A： 顶点坐标是(2,0)
B： 顶点坐标是(0,2)
C： 顶点坐标是(−2,0)
D： 顶点坐标是(0, −2)
能力提高 / 初三 / 暑假
第 4 讲 二次函数的初步认识
精选精练
有
1 ( ) （k2-3k+2）
如果函数y = k-3 x +kx+1是二次函数,那么k的值一定是___.
所
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
2 m2−m
若抛物线y = (m−1)x 开口向下，则m = _____．
习
育
学
3 二次函数y = mx 2 、y = nx 2 的图象如图所教示，则m n（9填“>”或“<”）．
1 2
爱 9
代
5
6
时
风
随
4 2
对于函数y = −2(x−m) 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A： 开口向下
B： 对称轴是x = m
C： 最大值为0
D： 与y轴不相交
5 如图，当ab > 0时，函数y = ax2 与函数y = bx+a的图象大致是（ ）
A：
有
所
权
B：
版
习
育
学
教 9
C： 爱 9
代
5
6
时
风
随
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D：
6 在同一坐标系中，一次函数y = −mx+n2 与二次函数y = x2+m的图象可能是（ ）
A：
有
B： 所
权
版
习
育
C：
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
D：
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 5 讲 二次函数的图象与性质
例题练习题答案
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例1 2
画出y = 2(x−1) +2的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点及增减性．
有
所
权
版
习
育
学
教
9
爱 9
代
5
6
练1.1 画出y = −(x−1)2+2的图象， 时 并指出它的开口方向、对称轴、顶点及增减性．
风
随
练1.2 2
二次函数y = 2(x+2) −1的图象是（ ）
A：
有
所
B：
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
C：
风
随
D：
例2 1
2
二次函数y = (x+2) −3的顶点坐标是_______________；对称轴是_______________．
3
有
当x__________时，y随x增大而减小；
所
当x__________时，y随x增大而增大；
权
当x = ________时，y有最____值，是______．
版
练2.1 二次函数y = −(x−2)2+5图象的顶点坐标是____________．
习
育
学
练2.2 对于抛物线y = −(x+8) 2 +3的图象说法：教①抛物线开口向9下；②对称轴是直线x = 8；③顶点坐标
爱 9
为(−8,3)；④x > 8时，y随x的增大而代减小，其中正确的有（ ）
5
6
时
风
A： 1个
随
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例3 函数y = 2x2−4x−1写成y = a(x−h)2+k的形式是_________，
2
抛物线y = 2x −4x−1的顶点坐标是_________，对称轴是_________．
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练3.1 2
抛物线y = x −4x+7的顶点坐标为（ ）
A： (−2,3)
B： (−2, −3)
C： (2, −3)
有
D： (2,3)
所
练3.2 抛物线y = x2+2x−1的顶点坐标是__________ 权 ．
版
例4 1
习
二次函数y = − x2+x+2， 育
4
学
教 9
写出抛物线的开口方向_________，该图象的对称轴是____________，
爱 9
代
5
顶点坐标是___________，当y随x的增大而增大时，求x的取值范围__________．
6
时
风
练4.1 已知二次函数y = 4x2+24x+26，
随
（1）写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标．
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）当x取何值时，函数y有最值？其最值是多少？
练4.2 2
二次函数y = x −4x+3的最小值为__________．
例5 2
二次函数y = ax +bx+c（a ≠ 0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A： 4ac−b2
有
< 0
4a
所
B： a > 0
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
C： c > 0
习
育
D： b
学
− < 0 教 9
2a 爱 9
代
5
练5.1 抛物线y = ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二 6 、三象限，那么下列结论成立的是（ ）
时
风
A： a > 0，b > 0，c = 0 随
B： a > 0，b < 0，c = 0
C： a < 0，b > 0，c = 0
D： a < 0，b < 0，c = 0
练5.2 2
二次函数y = −x +bx+c的图象如图所示，则一次函数y = bx+c的图象不经过第___象限．
能力提高 / 初三 / 暑假
有
所
第 5 讲 二次函数的图象与性质
权
版
自我巩固答案
1 2 习
抛物线y = −2(x−2) +1的顶点坐标是（ ）育
学
教 9
A： (−2, −1)
爱 9
代
5
B： (−2,1)
6
时
风
C： (2, −1)
随
D： (2,1)
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2 2
抛物线y = 2(x−3) +1的顶点坐标是（ ）
A： (3,1)
B： (3, −1)
C： (−3,1)
D： (−3, −1)
3 对于二次函数y = 2(x−1)2−3的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A： 开口向上
有
B： 对称轴为直线x = 1 所
权
C： 顶点坐标为(1, −3)
版
D： 最小值为3
习
育
4 2
已知二次函数y = 2(x−3) −2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为(3, −2)；③其图象
学
教 9
与y轴的交点坐标为(0, −2)；④当x ≤ 3时，y随x的增大而减小．其中正确的有（ ）
爱 9
代
5
A： 1个 6
时
风
B： 2个
随
C： 3个
D： 4个
5 抛物线一般式y = x2−4x+3化为顶点式正确的是（ ）
A： 2
y = (x−2) +5
B： 2
y = (x−2) −1
C： y = (x−2)2−3
D： 2
y = (x−2) +7
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6 2
抛物线y = 2x −12x+19的顶点坐标是（ ）
有
所
A： (3,1)
权
B： (3, −1)
版
C： (−3,1)
习
育
D： (−3, −1)
学
教
9
7 抛物线y = x2−kx+1的 爱 顶点在x轴上，则k的值为（ ）9
代
5
6
时
A： 2
风
B： −2 随
C： ±2
D： 以上都不对
8 1
用配方法把二次函数y = x2−4x+5化为y = a(x+m)2+k的形式，再指出该函数图象的开口方
2
向、对称轴和顶点坐标．
9 已知y = ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
有
A： ac > 0 所
权
B： b > 0
版
C： ab < 0
习
育
D： bc < 0
学
教 9
10 已知y = ax2+bx+c的爱图象如图所示，则y = ax−bc的图9象一定不经过（ ）
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
风
随
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
能力提高 / 初三 / 暑假
第 5 讲 二次函数的图象与性质
有
课堂落实答案
所
1 2
二次函数y = (x−1) +1的图象顶点坐标是（ ）
权
版
A： (1, −1)
习
育
B： (−1,1)
学
教 9
C： (1,1)
爱 9
代
5
D： (−1, −1)
6
时
风
2 2
对于抛物线y = (x−2) ，下列说法错误的是（ ）
随
A： 顶点坐标是(2,0)
B： 当x > 2时，y随x的增大而增大
C： 函数的对称轴为直线x = 2
D： 函数有最小值，最小值是2
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3 2
二次函数y = x +4x−5的图象的对称轴为直线（ ）
A： x = 4
B： x = −4
C： x = 2
有
D： x = −2
所
4 抛物线y = −x2+4x−6． 权
版
(1) 2
请把二次函数写成y = a(x+h) +k的形式；
习
育
学
(2)x取何值时，y随x的增大而减小？ 教 9
爱 9
代
5
5 已知二次函数y = ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象如图所6示，则下列结论中，正确的是（ ）
时
风
随
A： a < 0，b > 0，c > 0
B： a < 0，b > 0，c < 0
C： a < 0，b < 0，c > 0
D： a < 0，b < 0，c < 0
能力提高 / 初三 / 暑假
有
第 5 讲 二次函所数的图象与性质
权
精选精练
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
1 2
若二次函数y = (m−2)(x−m) +(m−3)的顶点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
习
育
学
A： m > 0且m ≠ 2
教 9
爱 9
B： m < 3且m ≠ 2 代 5
6
时
C： 0 < m < 3 风
随
D： 0 < m < 3且m ≠ 2
2 二次函数y = a(x+m)2+n的图象如图，则一次函数y = mx+n的图象经过（ ）象限．
A： 一、二、三
B： 一、二、四
C： 二、三、四
D： 一、三、四
有
3 2 所
如图，二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图所示，下列结论：①ac < 0，②b > 0，③
a−b+c > 0，其中正确的是（ ） 权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
A： ①②
随
B： ②③
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C： ①③
D： ①②③
4 2
已知抛物线y = ax +bx，当a > 0，b < 0时，它的图象经过（ ）
A： 一，二，三象限
B： 一，二，四象限
C： 一，三，四象限
D： 一，二，三，四象限
有
5 如图是二次函数y = ax2+bx+c的图象，则一次函数y = ax+bc的图象不经过（ ）
所
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
A： 第一象限 5
6
时
B： 第二象限 风
随
C： 第三象限
D： 第四象限
6 在同一平面直角坐标系中，一次函数y = ax+b和二次函数y = ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A：
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B：
有
所
权
版
C：
习
育
学
教
9
爱 9
代
5
6
时
风
D：
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 6 讲 二次函数求解析式与平移
例题练习题答案
例1 (1) 2
已知二次函数y = ax +4x−1，其图象过点(−1, −8)，求这个函数的解析式．
有
(2) 已知二次函数y = ax2+bx−3的图象经过点A(2 所 , −3)，B(−1,0)，求这个函数的解析式．
权
(3)已知一个二次函数图象经过(−1,10)、(2,7)和(1,4)三点，求这个函数的解析式．
版
练1.1 2 习
已知点(−2, −2)在抛物线y = −x −(m−1)x+2育m的图象上，则抛物线的解析式为_________，对称
学
轴为___________，顶点坐标为_________．教
9
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
练1.2 2 时
如图，抛物线y = −x +bx+c过点C(3,8)，风与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0,5)，求该二次
函数的解析式． 随
例2 (1) 已知二次函数y = 2(x−h)2+k，其图象的顶点为(2,3)，求这个二次函数的解析式．
(2) 2
已知二次函数y = a(x−3) +4，其图象过点(4,6)，求这个二次函数的解析式．
有
(3)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(−1,2)，且图象过点(1, −3)．求这个二次函数的解
析式． 所
权
练2.1 1
2 版
已知二次函数y = (x+h) +k，其图象的顶点为(4,5)，则这个二次函数的解析式为（ ）
3
习
育
A： 1 学
教 9
y = (x−4)2−5
爱 9
3 代
5
6
B： 1 时
风
2
y = (x+4) −5
3 随
C： 1
y = (x+4)2+5
3
D： 1
y = (x−4)2+5
3
练2.2 已知二次函数的顶点坐标为(−1, −3)，且其图象经过点(1,5)，求此二次函数的解析式．
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 50/1722021/5/19 备授课-备课页
例3 已知二次函数与x轴交于两点(−4,0)和(5,0)，且经过点(6,10)．求这个二次函数的解析式及顶点坐
标．
练3.1 2
已知抛物线y = ax +bx+c经过A(−3,0)，B(1,0)，C(0,3)，则该抛物线的解析式为
__________________．
有
练3.2 已知二次函数y = 2x2+bx+c与x轴的两个交点的坐标为(−3,0)和(4,0)．则此抛物线的解析式为
所
（ ）
权
A： 2 版
y = 2x −2x−24
习
B： y = x2−x−12 育
学
教 9
C： 2
y = 2x −x−12 爱 9
代
5
D： 2 6
y = 2x +2x−12 时
风
例4 已知二次函数当x = 3时有最大值1，且它的图象与x轴两交点之间的距离为2，则此二次函数的解析
随
式为______________________．
练4.1 已知二次函数当x = 4时有最小值−3，且它的图象与x轴两交点之间的距离为6，求这个二次函数的
解析式．
练4.2 已知二次函数当x = −1时有最小值−2，且它的图象与x轴两交点之间的距离为4，则此二次函数的
解析式为______________________．
例5 (1) 将抛物线y = (x−1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为
（ ）
A： 2
y = (x−2)
B： y = (x−2)2+6
有
C： 2 所
y = x +6
权
D： 2
y = x
版
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版
(2) 2
抛物线y = x +bx+c向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为
习
育
y = x2−2x−3，求b、c的值．
学
教 9
爱 9
练5.1 (1) 抛物线y = (x+2) 2 −1可以由抛代物线y = x 2 平移得到，下列平移方法中正确的是（ ）
5
6
时
风
A： 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
随
B： 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C： 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D： 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
(2) 把抛物线y = −2x2+4x+1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关
系式是（ ）
A： 2
y = −2(x−1) +6
B： 2
y = −2(x−1) −6
C： y = −2(x+1)2+6
D： 2
y = −2(x+1) −6
有
练5.2 已知将二次函数y = x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为
所
2
y = x −4x−5，则b、c的值为（ ） 权
版
A： b = 0，c = 6
习
育
B： b = 0，c = −5
学
教 9
C： b = 0，c = −6 爱 9
代
5
D： b = 0，c = 5 6
时
风
随
能力提高 / 初三 / 暑假
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第 6 讲 二次函数求解析式与平移
自我巩固答案
1 2
函数y = ax (a ≠ 0)的图象经过点(a,8)，则a的值为（ ）
A： ±2
B： −2
C： 2
D： 3
有
2 已知二次函数y = ax2+bx+10的图象经过点A(1,4)，B(2,0)，则该二次函数的解析式为（ ）
所
A： 2 权
y = 2x −12x+14
版
B： y = x2+7x−10
习
育
C： 2
y = x −7x−10 学
教 9
爱 9
D： 2
y = x −7x+10 代
5
6
3 若抛物线经过(0,1)，(−1,0)， 时 (1,0)三点，则此抛物线的解析式为（ ）
风
随
A： y = x2+1
B： 2
y = x −1
C： y = −x2+1
D： 2
y = −x −1
4 2
如果二次函数y = −x +bx+c的图象顶点为(1, −3)，则b和c的值为（ ）
A： b = 2，c = 4
B： b = 2，c = −4
C： b = −2，c = 4
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D： b = −2，c = −4
有
5 某抛物线的顶点坐标为(1, −2)，且经过(2,1)，则抛物线的解析式为（ ）
所
权
A： 2
y = 3x −6x−5
版
B： y = 3x2−6x+1
习
育
C： y = 3x 2 +6x+1 学
教
9
爱 9
D： y = 3x2+6x+5 代
5
6
时
6 一个二次函数的图象的顶点坐标为(3, −1)，与y轴的交点(0, −4)，这个二次函数的解析式是
风
（ ）
随
A： 1
y = x2−2x+4
3
B： 1
2
y = − x +2x−4
3
C： 1
2
y = − (x+3) −1
3
D： 2
y = −x +6x−12
7 已知二次函数y = 2x2+bx+c与x轴的两个交点的坐标为(−3,0)和(4,0)，则此抛物线的解析式为
（ ）
有
A： 2 所
y = 2x −2x−24
权
B： 2
y = x −x−12
版
C： y = 2x2−x−12
习
育
D： 2 学
y = 2x +2x−12 教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
8 已知二次函数与x轴交于两点 时 (−2,0)和(4,0)，且经过点(1,9)．求这个二次函数的解析式及顶点坐
风
标．
随
9 2
将抛物线y = x −4x−3向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A： y = (x+1)2−2
B： 2
y = (x−5) −2
C： y = (x−5)2−12
D： 2
y = (x+1) −12
10 2 2
抛物线y = x +mx+n可以由抛物线y = x 向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到，则mn的值
为（ ）
A： 6
有
B： 12
所
C： 54 权
版
D： 66
习
育
能 学 力提高 / 初三 / 暑假
教 9
爱 9
代
5
6
时
第 6 讲 二风次函数求解析式与平移
随
课堂落实答案
1 如果抛物线经过点(−1,12)，(0,5)和(2, −3)三点，则该二次函数的解析式为（ ）
A： y = x2−6x+5
B： 2
y = x +3x+5
C： y = x2−3x+5
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D： 2
y = x +x+12
2 已知抛物线y = −x2+bx+c的图象过点(2,1)，与y轴交于点(0, −3)．则这个二次函数的解析式为
（ ）
A： 2
y = x −4x−3
有
B： y = x2+4x−3 所
权
C： 2
y = −x +4x−3
版
D： 2
y = −x −4x−3
习
育
3 已知二次函数的图象经过点( 学 1,10)，顶点坐标为(−1, −2)，则此二次函数的解析式为（ ）
教 9
爱 9
A： y = 3(x−1)2−2 代 5
6
时
B： 2 风
y = 3(x+1) +2
随
C： y = 3(x+1)2−2
D： 2
y = −3(x+1) −2
4 已知二次函数与x轴交于两点(1,0)和(4,0)，且经过点(−2,4)，求此抛物线的解析式．
5 2
将二次函数y = x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是
（ ）
A： y = (x−1)2+2
B： 2
y = (x+1) +2
C： y = (x−1)2−2
D： 2 有
y = (x+1) −2
所
能力提高 / 初三 权/ 暑假
版
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版
习
育
学第 6 讲 二次函数求解析式与平移
教 9
爱 9
代
精5选精练
6
时
1 2
设抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)过点A(0 , 2)风、B(4 , 3)、C三点，其中点C在直线x = 2上，且点C到
抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物随线的函数解析式为______________________．
2 (1) 已知抛物线y = ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)．求抛物线的
解析式．
(2)已知二次函数的图象经过点A(3, −2)和B(1,0)，且对称轴是直线x = 3．求这个二次函数的解析
式．
3 (1) 已知二次函数y = x 2 +bx+c的图象经过点 ( 3+√3,2 ) 和 ( 3−√3,2 ) ，求二次函数的解析式．
(2) 1 1
( )
已知二次函数的图象经过原点及点 − , − ，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，
2 4
求该二次函数的解析式．
有
4 2
已知抛物线y = x +bx+c的对称轴为y轴，且过点C(0, −4)．
所
（1）求此抛物线的解析式；
权
（2）若点(−2,y )与(3,y )都在此抛物线上，则y ___y （填“ > ”、“ = ”或“ < ”）．
1 2 1 2
版
5 已知二次函数y = x 2 +bx+c的图象 习 经过点(4,3)，(3,0)．
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
(1)求b、c的值；
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(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在所给坐标系中画出该函数的图象；
(3) 2
该函数的图象经过怎样的平移得到y = x 的图象？
6 将抛物线y = −x2 向左平移3个单位，再向上平移4个单位．
(1)写出平移后的抛物线的函数关系式．
(2)若平移后的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点分别是B、C，求 △ ABC的面积．
能力提高 / 初三 / 暑假 有
所
权
第 7 讲 阶段自检A
版
习
期中试卷答案
育
1 2 学
一元二次方程2x −3x−1 = 0的二次项系数教、一次项系数、
9
常数项分别是（ ）
爱 9
代
5
A： 2,3,1
6
时
风
B： 2, −3,1
随
C： 2,3, −1
D： 2, −3, −1
2 一元二次方程3x2+4x+5 = 0的实根个数为（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 无数个
3 2
关于x的方程x −2x+c = 0有两个相等的实数根，则c的值为（ ）
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A： 1
有
B： −1
所
C： 4 权
版
D： −4
习
4 2 育
已知关于x的一元二次方程mx +4x+2 = 0有实数根，则m的取值范围是（ ）
学
教
9
A： m ≤ 2 爱 9
代
5
B： m < 2 时 6
风
C： m ≤ 2且m ≠ 0
随
D： m < 2且m ≠ 0
5 抛物线y = (x−2)2+1的顶点坐标是（ ）
A： (2,1)
B： (−2, −1)
C： (−2,1)
D： (2, −1)
6 2
关于二次函数y = 2x +3，下列说法中正确的是（ ）
A： 它的开口方向向下
有
B： 当x < −1时，y随着x的增大而减小
所
C： 它的顶点坐标是(2,3)
权
D： 当x = 0时，y有最大值3
版
7 将二次函数y = x2 的图象向上平移 习 1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
育
学
教 9
A： 2
y = x +1
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
B： 2
y = x −1 风
随
C： y = (x+1)2
D： 2
y = (x−1)
8 已知二次函数y = ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y = ax+b的图象是（ ）
A：
有
所
B：
权
版
习
育
C：
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
D：
随
9 2
已知二次函数y = −2x +4x−3，如果y随着x的增大而减小，那么x的取值范围是（ ）
A： x ≥ 1
B： x ≥ 0
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C： x ≥ −1
D： x ≥ −2
10 2
如图，已知二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)图象过点(−1,0)，顶点为(1,2)，则结论：①abc > 0；②
x = 1时，函数取最大值2；③4a+2b+c > 0；④2a+b = 0；⑤2c < 3b．其中正确的有（ ）
有
所
权
版
A： 1个
习
育
B： 2个 学
教 9
爱 9
C： 3个 代
5
6
D： 4个 时
风
11 方程(x−2)(x+1) = (x−2)的解为____随______．
12 2 2
关于x的一元二次方程(a−2)x +x+a −4 = 0的一个根为0，则a的值为__________．
13 若关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+1 = 0有实数根，则m的取值范围为___________．
14 2
若抛物线y = (m−1)xm −m 开口向下，则m = _____．
15 2
如图，已知二次函数y = x −4x−5与x轴交于A，B两点，则AB的长度为______．
有
16 已知二次函数y = f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x = 4，则f(1)________f(5)（填“>”或
所
“<”）．
权
版
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版
17 2
已知抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)的对称轴是x = 1，且经过点(3, −1)，则a−b+c = __________．
习
育
18 解方程： 学
教 9
（1）3x2+2x−1 = 0 爱 9
代
5
2 6
（2）x −x−5 = 0 时
风
19 已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k 随 −4 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
20 1 5
( ) ( )
（1）若二次函数y = ax2+bx+c过点 1, ， −2, − ，(3,5)，求二次函数的解析式．
3 3
2
（2）若二次函数y = ax +bx+c过(−3,0),(1,0)两点，与y轴的交点为(0,4)，求二次函数的解析
式．
21 已知二次函数y = x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标
为(0, −3)．
有
所
权
版
(1)求出b，c的值，并写出此二次习函数的解析式；
育
学
(2)根据图象，直接写出函数值y为正数时教，自变量x的取值9范围．
爱 9
代
5
22 已知关于x的方程x2−2(n−1)x+n2−2n = 0． 6
时
风
（1）求证：这个方程有两个不等实数根．
随
（2）设方程的两根x 、x ，若−2 ≤ x < x ≤ 4，求n的取值范围．
1 2 1 2
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23 2 2 2
已知a是方程x −2x−4 = 0的根，求代数式a(a+1) −a(a +a)−3a−2的值．
24 如图，抛物线y = ax2+2x+c经过点A(0,3)，B(−1,0)，请解答下列问题．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；
（3）写出把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位的函数解析式．
有
所
权
能力提高 / 初三 / 暑假
版
习
育
学
第 8教 讲 旋转与9中心对称
爱 9
代
5
例题练习题答案
6
时
风
例1 (1) 如图，把 △ ABC绕点C顺时针旋转35∘，得到 △ A′B′C，A′B′ 交AC于点D，若
随
∠A ′ DC = 90∘，则∠A的度数为（ ）
A： 45∘
B： 55∘
C： 65∘
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D： 75∘
有
(2) 如图，将 △ ABC绕点C按顺时针方向旋转至 △所A ′ B ′ C，使点A ′ 落在BC的延长线上．已知
∠A = 27∘，∠B = 40∘，则∠ACB ′ =（ 权 ）
版
习
育
学
教
9
爱 9
A： 46∘ 代
5
6
时
B： 45∘
风
C： 44∘ 随
D： 43∘
练1.1 如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20∘，B点落在B ′ 位置，点A落在A ′ 位置．若A ′ C⊥AB，
则∠B′A′C的度数是(
)
A： 50∘
有
B： 60∘
所
C： 70∘
权
D： 80∘
版
练1.2 如图，将△ABC绕点A按逆时针方向 习 旋转100∘，得到△AB C ，若点B 在线段BC的延长线上，则
育1 1 1
学
∠BB 1 C 1 的大小为（ ） 教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
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6
时
风
随
A： 70∘
B： 80∘
C： 84∘
D： 86∘
例2 (1)将点M(−4,0)绕着原点逆时针旋转45∘后得到点N，则点N的坐标是____________．
(2) 如图，若将 △ ABC绕点O逆时针旋转90∘，则顶点B有的对应点B 的坐标为（ ）
1
所
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
A： (−4,2)
随
B： (−2,4)
C： (4, −2)
D： (2, −4)
练2.1 将点P(1,1)绕原点顺时针旋转135∘后，得到的点的坐标是________________．
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练2.2 如图， △ ABC的顶点坐标分别为A(4,6)、B(5,2)、C(2,1)，如果将 △ ABC绕点C按逆时针方向旋
转90∘，得到 △ A ′ B ′ C，那么点A、B的对应点A ′ 、B ′ 的坐标分别是（ ）
有
所
权
版
A： (−3,3)、(−2,4) 习
育
学
B： (3, −3)、(1,4) 教 9
爱 9
C： (3, −3)、(−2,4) 代 5
6
时
D： (−3,3)、(1,4) 风
随
例3 (1)关于中心对称的两个图形，对应线段的关系是（ ）
A： 相等
B： 平行
C： 相等且平行
D： 相等且平行或相等且在同一直线上
(2)已知图形是中心对称图形，则对称中心是（ ）
有
A： 点C
所
B： 点D
权
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 66/172权
2021/5/19 备授课-备课页
版
C： 线段BC的中点
习
育
D： 线段FC的中点
学
教 9
(3)作三角形关于点成爱中心对称图形：已知△ABC和点O9，画出△DEF，使△DEF与△ABC关于O成中
代
5
心对称．
6
时
风
随
练3.1 (1)如图所示四个图形中，中心对称图形是（ ）
A： ①
B： ②
C： ③
D： ④
(2)在以下图形中，是中心对称图形的有（ ） 有
①圆 ②正方形 ③长方形 ④平行四边形 ⑤等所边三角形
权
A： 2个
版
B： 3个
习
育
C： 4个 学
教 9
爱 9
D： 5个
代
5
6
时
风
随
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 67/1722021/5/19 备授课-备课页
练3.2 △ABC的顶点和点S都在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC绕点S顺时针旋转90∘后得到的 △ A B C ；
1 1 1
（2）以S点为对称中心，画出与△ABC成中心对称的 △ A B C ．
2 2 2
有
例4 2010
已知P (a,3)和P (−4,b)关于原点对称，则(a+b) 的值为（ ）
1 2
所
A： −1 权
版
B： 2010
7
习
育
C： 2010
−7
学
教 9
D： 1 爱 9
代
5
6
练4.1 已知点P(−m,3)与点Q(2, −3n)时关于原点对称，则m、n的值分别是（ ）
风
A： −2、1 随
B： 2、1
C： −2、−1
D： 2、−1
练4.2 若在平面直角坐标系内A(m−1,6)，B(−2,n)两点关于原点对称，则m+n的值为（ ）
A： 9
B： −3
C： 3
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D： 5
有
例5 已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD、CE，且B、D、E三点共线．
所
权
版
习
育
学
（1）求证：BE = CE+AD； 教
9
爱 9
（2）求∠AEC的度数． 代
5
6
时
练5.1 如图，分别以AO和DO为边作等边三角形OA风B和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连
接BC．∠AEB的大小为_______________随_．
例6 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB = ∠ECD = 90∘，D为AB上一点．
有
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：AD2+BD2 = DE2 ． 所
权
练6.1 已知： △ ABC和 △ ADE都是直角三角形，且∠BAC = ∠DAE = 90∘，AB = AC，点D在线段BC
版
上，连接CE，BD⊥CE．若AD = 4，则AE = ______．
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
风
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 8 讲 旋转与中心对称
自我巩固答案
1 如图，已知钝角三角形ABC，将 △ ABC绕点A按逆时针方向旋转100∘得到 △ AB′C′ ，连接BB′ ，
若AC ′ //BB ′ ，则∠CAB ′ 的度数为（ ）
有
所
权
版
A： 50∘
习
育
B： 60∘ 学
教 9
爱 9
C： 70∘ 代
5
6
时
D： 80∘
风
随
2 如图，将Rt △ ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘，得到 △ A′B′C，连接AA′ ，若∠1 = 25∘，则
∠BAA ′ 的度数是（ ）
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有
A： 55∘
所
B： 60∘ 权
版
C： 65∘
习
育
D： 70∘
学
教 9
3 在平面直角坐标系中，爱点A的坐标为(−1,5)，以原点O为 9 中心，将点A顺时针旋转90∘得到点A′ ，则
代
5
点A ′ 的坐标为（ ） 6
时
风
A： (1,5) 随
B： (1, −5)
C： (5,1)
D： (5, −1)
4 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A(3,0)、B(0,4)，把线段AB绕点A旋转后得到线
段AB′ ，使点B的对应点B′ 落在x轴的正半轴上，则点B′
的坐标是（ ）
A： (5,0)
有
B： (8,0)
所
C： (0,5) 权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
D： (0,8)
习
育
5 如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕O点按逆时针旋转90∘后的图案应该是（ ）
学
教 9
爱 9
代
A． B． C．5 D．
6
时
风
6 下列图案中，可以看作是中心对称图形 随 的是（ ）
A：
B：
C：
D：
7 下列英语单词中，是中心对称图形的是（ ）
A： SOS
有
B： CEO
所
C： MBA 权
版
D： SAR
习
8 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成 育 中心对称，则这个点最有可能是（ ）
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
A： O
1
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B： O
2
C： O
3
D： O
4
9 若点P(m,2)与点Q(3,n)关于原点对称，则m、n的值分别为（ ）
A： −3、2
B： 3、−2
C： −3、−2
有
D： 3、2
所
10 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点D、 权 E、A在同一条直线上，且∠EBD = 62∘．求∠AEB的
度数． 版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 8 讲 旋转与中心对称
课堂落实答案
1 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50∘得到△ADE，其中点D恰好落在BC边上，则∠EDC等于（ ）
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有
所
权
版
A： 40∘ 习
育
学
B： 50∘ 教
9
爱 9
代
C： 60∘ 5
6
时
D： 65∘ 风
随
2 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将OA绕原点O按顺时针方向旋转180∘得到OA′
，则
′
点A 的坐标为（ ）
A： (−3,1)
B： (1, −3)
C： (1,3)
D： (3, −1) 有
所
3 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
权
A：
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
B：
风
随
C：
D：
4 已知点A(a,1)与点B(−4,b)关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A： 5
B： −5
C： 3
有
D： −3
所
5 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC = 90权∘，点D在BC上，将△ACD绕点A旋转至△ABF处．证
明：BF⊥BC． 版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
能力提高 / 初三 / 暑假
随
第 8 讲 旋转与中心对称
精选精练
1 如图，在Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘，∠ABC = 30∘，将△ABC绕点C顺时针旋转至 △ A′B′C，使
′
得点A 恰好落在AB上，则旋转角的度数为________．
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有
2 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得
所
到 △ A B C，画出 △ A B C．
1 1 1 1
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
3 如图，正方形OABC的两边OA、OC代分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以C为旋转中心，把
5
6
△CDB旋转90∘，则旋转后点D时的对应点D′
的坐标是_____．
风
随
4 如图，已知 △ ACE是等腰直角三角形，∠ACE = 90∘，B点为AE上一点， △ CAB经过逆时针旋转
后到达 △ CED的位置．问：
（1）旋转中心是哪个点？旋转了多少度？
（2）图中哪两个三角形全等？
（3）若∠ACB = 20∘，则∠CDE = _______，∠DEB = _______．
有
5 如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA = 2，P
所
B = √3，PC = 1，求∠BPC的度数和等边三角
形ABC的边长．
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
6 如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA = √5，PB = √2，PC = 1．
随
(1)求∠BPC的度数的大小；
(2)求正方形ABCD的边长．
能力提高 / 初三 / 暑假
有
第 9 讲 垂径定理
所
权例题练习题答案
版
例1 (1)下列说法正确的有_________________（填序号）；
习
①直径是弦； 育
学
②半圆是弧； 教 9
爱 9
③长度相等的两条弧是等弧；
代
5
④所对圆心角相等的两条弧是等弧； 6
时
风
⑤半径相等的两个圆是等圆（圆心不同）；
随
⑥两个半圆是等弧．
(2)下列结论错误的是（ ）
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A： 圆是轴对称图形
B： 圆是中心对称图形
C： 半圆不是弧
D： 顶点在圆心的角叫做圆心角
练1.1 有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不
一定是半圆．其中错误说法的个数是（ ）
A： 1
B： 2 有
所
C： 3
权
D： 4
版
练1.2 给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半
习
育
圆；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的有（ ）
学
教 9
A： 1个 爱 9
代
5
B： 2个 6
时
风
C： 3个
随
D： 4个
例2 (1)如图所示，MN为⊙O的弦，∠MON = 70∘，则∠N的度数为（ ）
A： 40∘
B： 50∘
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C： 55∘
有
D： 60∘
所
权
(2)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，若AB = 2DE，
版
∠E = 18∘，则∠C = ________，∠AOC = ________．
习
育
学
教
9
爱 9
代
5
6
时
练2.1 (1) 如图所示，MN为⊙O的弦，∠M = 55∘风，则∠MON的度数为（ ）
随
A： 50∘
B： 55∘
C： 60∘
D： 70∘
(2)如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE = OB，∠AOC = 87∘，则∠E =
________，∠C = ________．
有
所
权
版
习
育
练2.2 (1)如图所示，MN为⊙O的学直径，点P是圆上一点，连接OP，MP，已知∠P = 50∘，则∠PON的
教 9
度数为（ ） 爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
风
随
A： 80∘
B： 90∘
C： 100∘
D： 110∘
(2) 如图，CD是⊙O的直径，∠EOD = 84∘，AE交⊙O于点B，且AB = OC，则∠A的度数是
__________．
有
所
权
版
例3 如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于习点E，则下列结论不一定正确的是（ ）
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
A： CE = DE
B： AE = OE
C： ⌢ ⌢
BC = BD
D： △OCE≌△ODE
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练3.1 在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定
正确的是（ ）
有
所
权
A： AE = BE
版
B： ⌢ ⌢ 习
育
AC = BC
学
教 9
C： CE = EO 爱 9
代
5
6
D： ⌢ ⌢ 时
风
AD = BD
随
练3.2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A： CE = DE
B： ⌢ ⌢
BC=BD
C： ∠BAC = ∠BAD
D： OE = BE 有
所
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
例4 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB = 8，则CD的长是（ ）
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
练4.1 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB = 6cm，OD = 4cm，则DC的长为（ ）
A： 5cm 有
所
B： 2.5cm
权
C： 2cm
版
D： 1cm
习
育
练4.2 如图，⊙O的直径CD = 10，弦AB = 8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为（ ）
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
A： 5
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 82/1722021/5/19 备授课-备课页
B： 6
C： 7
D： 8
例5 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD = 12，BE = 2，则⊙O的直径为（ ）
有
A： 8
所
B： 10
权
C： 16
版
D： 20 习
育
学
练5.1 如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂教直，垂足为点C，
9
若AB = 8，CD = 3，则⊙O的半径为
爱 9
（ ）
代
5
6
时
风
随
A： 4
B： 5
C： 25
6
D： 19
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 83/1722021/5/19 备授课-备课页
练5.2 如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB = √6，则⊙O的半径为（ ）
有
所
权
版
习
育
学
教
9
A： √2
爱 9
代
5
B： 2√2
6
时
风
C： √2
随
2
D： √6
2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 9 讲 垂径定理
自我巩固答案
1 下列说法正确的是（ ）
有
A： 长度相等的两条弧是等弧
所
B： 能够完全重合的两条弧是等弧
权
C： 劣弧和劣弧是等弧
版
D： 弦是直径 习
育
2 下列说法中，正确的个数是（ 学 ）
教 9
①在同圆中，优弧一定爱比劣弧长；②同一条弦所对的两 9 条弧是等弧；③弧是半圆；④半圆是弧．
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 84/172爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
A： 1
风
B： 2 随
C： 3
D： 4
3 如图所示，AB为⊙O的弦，∠A = 60∘，则∠AOB的度数为（ ）
A： 40∘
B： 50∘
有
C： 55∘
所
D： 60∘ 权
版
4 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，若AB = 8，∠E = 24∘，
习
育
∠AOC = 72∘，则DE = （ ）
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 85/1722021/5/19 备授课-备课页
5 ⌢
如图，扇形OMN所在圆的直径是10，四边形PAOB是矩形，顶点P在MN上，且不与M、N重合，
⌢
2 2
点A、B分别在OM、ON上，当P点在MN上移动时，PA +PB 的值为（ ）
有
所
权
版
A： 5√2
习
育
B： 5 学
教 9
C： 25√3 爱 9
代
5
6
D： 25 时
风
6 如图所示，⊙O的半径为13，弦EF的长随度是24，ON⊥EF，垂足为N，则ON = （ ）
A： 5
B： 7
C： 9
D： 11
有
所
权
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 86/172权
2021/5/19 备授课-备课页
版
7 如图，⊙O的半径等于4，半径OC与弦AB互相平分，则AB的长为（ ）
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
A： 4√3
B： 3√3
C： 2√3
D： √3
8 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=8，BE=2，则CD=（ ）
有
A： 5
所
B： 8 权
C： 2√10 版
习
D： 4√5 育
学
教 9
9 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，OP是小圆的半径，AB是大圆的弦，OP⊥AB．若大圆的半
爱 9
代
径为2，小圆的半径为1，则AB的长为（ ） 5
6
时
风
随
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 87/1722021/5/19 备授课-备课页
A： 2√3
B： 2√2
C： √5
D： 2 有
所
10 如图，点A、B是⊙O上的两点，AB = 10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、
权
BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F．求线段EF的长．
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 9 讲 垂径定理
课堂落实答案
1 下列说法正确的是（ ）
A： 长度相等的两条弧是等弧
B： 优弧一定大于劣弧
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C： 不同的圆中不可能有相等的弦
有
D： 直径是弦且是同一个圆中最长的弦
所
2 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB权、CD的延长线交于点E，已知AB = 2DE，若△COD为
直角三角形，则∠E的度数为（ ）
版
习
育
学
教
9
爱 9
代
5
6
时
A： 20∘ 风
随
B： 22.5∘
C： 25∘
D： 30∘
3 如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（ ）
A： 6cm
B： 8cm
有
C： 10cm 所
D： 20cm 权
版
4 如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，且CD = 1，弦AB的长度
习
为（ ） 育
学
教 9
爱 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 89/172爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
风
随
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
5 ⌢
如图，已知AB是⊙O的弦，C是AB的中点，AB = 8，AC = 2√5，求⊙O的半径的长．
有
所
权
版
习
育
能力提高 / 初三 / 暑假
学
教 9
爱 9
代
5
第 9 6 讲 垂径定理
时
风
随精选精练
1 如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形（即矩形的4个顶点在扇形的圆弧或半径上），顶点P
⌢ ⌢
在MN上，且不与M、N重合，当P点在MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的
长度（ ）
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A： 不变 有
所
B： 变小
权
C： 变大
版
D： 不能确定
习
育
2 下列语句中正确的是（ ）
学
教 9
爱 9
A： 形状相同的两条弧是等弧 代
5
6
时
B： 平分弦的直径垂直于弦
风
C： 相等的圆心角所对的弧相等 随
D： 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
3 如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A： 2√3cm
B： 4√3cm
C： √3cm
D： √2cm 有
所
4 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE，若AB = 6，CD = 1，
权
则AE的长为（ ）
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
A： 3√3
随
B： 8
C： 12
D： 8√3
5 据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用
钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧在河面上，桥拱半径OC为13m，河面
宽AB为24m，则桥高CD为（ ）
有
A： 15m
所
B： 17m 权
版
C： 18m
习
D： 20m 育
学
6 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出 教 盒外，其截面如 9 图所示，已知EF = CD = 4cm，则球的
爱 9
代
半径为________cm． 5
6
时
风
随
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能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 圆周角定理
例题练习题答案
例1 (1) 如图，A、B均为⊙O上一点，若∠AOB = 80∘，则∠ACB = （ ）
有
所
权
版
习
A： 80∘ 育
学
教 9
B： 70∘
爱 9
代
5
C： 60∘ 6
时
风
D： 40∘
随
(2)如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B = 22∘，则∠A = ________；
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(3)如图所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD = 50∘，则∠DAB = _______
有
；
所
权
版
习
育
学
教
9
(4)如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点B(8,0)，与y轴交于点C(0,6)，则⊙A的半径为
爱 9
代
_________． 5
6
时
风
随
练1.1 (1) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B = 60∘，则∠ACO = _________；
(2)如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥OC，∠OAB = 25∘，则∠B = _________；
有
所
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
(3)如图所示，AB是⊙O的直径，弦DC与风AB相交于点E，若∠C = 40∘，则∠ABD = _______．
随
练1.2 (1) 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OCB = 60∘，则∠BAC = _________；
(2) ⌢
有
如图，在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的半圆交BC、AC于D、E，若DE的度数为40∘，则
所
∠A = _________．
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
例2 (1)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠B = 60∘，则∠ADC = ________．
随
(2)圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3:4:6，则∠D的度数为______．
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练2.1 (1)如图，已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOC = 150∘，则∠ABC = （ ）
有
A： 105∘
所
B： 120∘
权
C： 135∘
版
习
D： 150∘
育
学
(2) 已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOB 教 = 60∘，则∠ACB 9 = ________．
爱 9
代
5
练2.2 (1)圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数6之比为2:3:7，则∠D的度数为________．
时
风
(2)已知A、B、C为⊙O上三点，∠A随OC = 120∘，则∠ABC = ________．
例3 如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
练3.1 如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C = 45∘，AB = 2，求⊙O的半径．
有
所
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
练3.2 ⌢
习
如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧育AD上（不与A、D点重合）．若⊙O的半径为1，
学
则PA 2 +PB 2 +PC 2 +PD 2 的值为（ ） 教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
A： 2
B： 4
C： 6
D： 8
例4 (1) ⌢ ⌢
如图，在⊙O中，AB = AC，∠A = 40∘，则∠B的度数为___________；
有
所
(2)已知六边形ABCDEF是⊙O的内接六边形权，且AB = BC = CD，DE = EF = FA．
求证：∠BAF = ∠CDE = 120∘． 版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,112792263… 97/1722021/5/19 备授课-备课页
练4.1 ⌢ ⌢
如图，在⊙O中，AB = AC，∠AOB = 40∘，则∠ADC的度数是（ ）
A： 40∘
B： 30∘ 有
所
C： 20∘
权
D： 15∘
版
练4.2 如图，A、B、C、D为⊙O上的点习，DC = AB，则AD与BC的大小关系为_______．
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 圆周角定理
自我巩固答案
1 如图，OA、OB均为⊙O的半径，若∠OBA = 40∘，则∠ACB = （ ）
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有
所
权
版
A： 40∘
习
育
B： 50∘
学
教
9
C： 60∘ 爱 9
代
5
D： 80∘ 时 6
风
2 如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A = 40∘，则∠OBC = （ ）
随
A： 30∘
B： 40∘
C： 50∘
D： 60∘
有
3 如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD = 53∘，则∠BCD = （ ）
所
权
版
习
育
学
教 9
A： 37∘ 爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
B： 47∘
风
随
C： 45∘
D： 53∘
4 如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点B(12,0)，与y轴交于点C(0,5)，则⊙A的半径为（ ）
A： 5
B： 6
C： 6.5
有
D： 7 所
5 如图，在圆内接四边形ABCD中，∠D = 65∘， 权 则∠B = （ ）
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
A： 90∘ 6
时
风
B： 100∘
随
C： 115∘
D： 120∘
6 已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOC = 90∘，则∠ABC=（ ）
A： 45∘
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B： 90∘
C： 135∘
D： 45∘或135∘
7 如图，等边三角形ABC内接于半径为4的⊙O，则三角形ABC的边长为（ ）
有
所
权
版
习
A： 2√3 育
学
教 9
B： 4
爱 9
代
5
C： 4√3
6
时
风
D： 6
随
8 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘，∠A = 56∘，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一
⌢ ⌢
点，且CE = CD，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F = （ ）
A： 112∘
B： 108∘
C： 92∘
有
D： 124∘
所
权
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 101/172权
2021/5/19 备授课-备课页
版
9 ⌢
习
如图，BC为半圆的直径，点O是圆心，A、D为育半圆上的两点，若A为BAC的中点，则∠ADC =
学
（ ） 教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
A： 105°
B： 120°
C： 135°
D： 150°
10 ⌢
如图，AB是⊙O的直径，AP、BP交⊙O于C、D两点，若∠P = 75∘，求CD所对的圆心角的度数．
有
所
权
版
能力提高 / 初三 / 暑假
习
育
学
教 9
爱 第 10 讲 圆 9 周角定理
代
5
6
时
风课堂落实答案
随
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1 ⌢
如图，等边三角形ABC的外接圆为⊙O，点P在劣弧AC上（不与C点重合），则∠BPC = （ ）
A： 30∘
B： 45∘
有
所
C： 60∘
权
D： 75∘
版
2 如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点B(4,0)，与y轴交于点C(0,3)，则⊙A的直径为（ ）
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
A： 5
B： 6
C： 6.5
D： 7
3 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD = 110∘，则∠BCD = （ ）
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A： 110∘
有
B： 90∘
所
权
C： 70∘
版
D： 20∘
习
育
4 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
学
教
9
爱 9
代
5
6
时
风
随
A： AB = AD
B： BC = CD
C： ⌢ ⌢
AB = AD
D： ∠BCA = ∠DCA
5 如图，已知⊙O中，AB为直径，AB = 10，AC = 6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求线段BC，
AD，BD的长．
有
所
权
版
能力提习高 / 初三 / 暑假
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时第 10 讲 圆周角定理
风
随
精选精练
1 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若∠BAC = 35∘，∠ACB = 40∘ ，则∠ADC =
_________°．
2 如图，A，B，C是⊙O上的三点，且∠ABC = 70∘，则∠AOC的度数是（ ）
有
所
A： 35∘
权
版
B： 140∘
习
育
C： 70∘
学
教 9
D： 70∘或140∘ 爱 9
代
5
3 如图，OA、OB分别为 ⊙O的时半径，若CD⊥OA 6 ，CE⊥OB，垂足分别为D、E，∠P = 70∘，则
风
∠DCE的度数为（ ）
随
A： 70∘
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B： 60∘
C： 50∘
D： 40∘
4 如图，AB是 ⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB = 30∘，点E，F分别是AC，BC的中
有
点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为（ ）
所
权
版
习
育
学
教 9
A： 6 爱 9
代
5
B： 9 6
时
风
C： 10
随
D： 12
5 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB ≠ AC，∠ABC和∠ACB的角平分线分别交⊙O于点D，E
，且BD = CE，则∠A等于（ ）
A： 90∘
B： 60∘
有
C： 45∘ 所
权
D： 30∘
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 106/172权
2021/5/19 备授课-备课页
版
6 如图，已知A、B、C、D、E在⊙O上，且AB = BC = CD = DE，AB∥ED．
习
（1）求∠A、∠E的度数； 育
学
⌢ 教 9
爱 9
（2）连接CO并延长，交AE于G，交代AE于H，写出四条与直径CH有关的正确结论．（不必证明）
5
6
时
风
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 11 讲 平行与比例
例题练习题答案
例1 回答下列问题．
(1)不为0的四个实数a、b、c、d满足ab = cd，将其改写有成比例式为_______．
所
(2) x−y 2 x
权
如果 = ，那么 = _________．
y 3 y
版
(3) a c 1 a+c 习
育
已知 = = ，则 (b+d ≠ 0)的值为__________．
学
b d 3 b+d 教 9
爱 9
代
5
(4) a c e
6
如果 = = = k(b+d时+f ≠ 0)，且a+c+e = 3(b+d+f)，那么k = ____．
风
b d f
随
(5) b+c a+c a+b
已知： = = = k，则k = ________．
a b c
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练1.1 a b 2a+b
（1）若 = (a ≠ b)，则 = ______________．
4 5 a−b
3x+3y 3y+3z 3z+3x
（2）若 = = = m，则m的值为______________．
z x y
练1.2 完成下列各题．
(1) a 1 a
已知 = ，那么 的值为（ ）
b 3 a+b
有
A： 1
所
3
权
B： 2
版
3
习
育
C： 1 学
教 9
4 爱 9
代
5
6
D： 3 时
风
4
随
(2) c b a
已知 = = = k（a+b+c ≠ 0），则k = （ ）
a+b a+c b+c
A： 0
B： 1
C： 2
D： 1
2
例2 已知a、b、c、d是成比例线段，其中a = 2cm，b = 3cm，c = 4cm，则线段d的长是（ ）
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 108/1722021/5/19 备授课-备课页
A： 6cm
有
B： 5cm
所
C： 8 权
cm
3 版
习
D： 3 育
cm 学
8 教
9
爱 9
代
练2.1 下列线段中能成比例的是（ ） 5
6
时
风
A： 3cm，5cm，7cm，9cm
随
B： 2cm，5cm，6cm，8cm
C： 3cm，6cm，9cm，18cm
D： 1cm，3cm，4cm，7cm
练2.2 已知线段a = 4，b = 16，线段c是a、b的比例中项，那么c等于 （ ）
A： 10
B： 8
C： −8
D： ±8
例3 回答下列问题.
有
(1) AB 3
所
如图，l ∥l ∥l ，直线a、b与l 、l 、l 分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若 = ，
1 2 3 1 2 3
权 BC 5
DE = 6，则EF的长是（ ）
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 109/172爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
风
随
A： 18
5
B： 48
5
C： 10
D： 6
(2)如图，AD//BE//CF ，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，
有
AB 2
= ，DE=4，则EF的长为（ ） 所
BC 3
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
A： 8
随
3
B： 20
3
C： 6
D： 10
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 110/1722021/5/19 备授课-备课页
练3.1 已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（ ）
有
A： 3
所
B： 4
权
C： 5 版
习
D： 6
育
学
练3.2 如图，直线l
1
∥l
2
∥l
3
，直线AC分别交l
1
、教l
2
、l
3
于点A、B、9C，直线DF分别交l
1
、l
2
、l
3
于点D、
爱 9
DE
代
5
E、F，AC与DF相交于点H，且AH = 2，HB = 1，BC = 5，则 的值为（ ）
6
时 EF
风
随
A： 1
2
B： 2
C： 2
5
有
D： 3
所
5
权
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 111/172权
2021/5/19 备授课-备课页
版
例4 DE
习
如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD = 4，DB = 2，则 的值为_____．
育
BC
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
练4.1 BO 2
随
如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AB = 10，则CD = ______．
OC 3
练4.2 如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A： AD BC
=
DF CE
有
B： BC DF
所
=
CE AD
权
C： CD BC 版
=
EF BE 习
育
学
D： CD AD 教 9
=
爱 9
EF AF 代
5
6
时
风
随
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 112/1722021/5/19 备授课-备课页
例5 如图，△ ABC 中，点 D 、 E 分别在边 AB 和 AC 上， DE ∥ BC ，点 F 是 BC 上的点， AB = 6 ，
AD BF AE
EF = 2 ， = ，求 的值．
BD FC AC
练5.1 AD DE
如图，△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点， = ，连
BD EF
AE 2 AD
接FC，若 = ，求 的值．
有
AC 3 FC
所
权
版
习
育
练5.2 如图，AB∥GH∥CD，点H在 学 BC上，AC与BD交于点G，AB = 2，CD = 3，则GH的长为_______．
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 11 讲 平行与比例
自我巩固答案
1 a c
已知 = (a,b,c,d不为0)，则下列各式中错误的是（ ）
b d
A： ad = bc
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B： a d
有
=
c b
所
C： b d
权
=
a c 版
习
D： a+c b+d
育
=
学
a b 教
9
爱 9
代
2 a 3 a
5
若 = ，则 的值是（ ） 6
时
b 8 a+b
风
随
A： 8
11
B： 6
13
C： 3
11
D： 3
5
3 a b c d
如果 = = = = k，那么k = （ ）
b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c
有
A： −1 所
权
B： 1
版
2
习
育
C： 1
学
教 9
3
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
D： 1
风
或−1
3 随
4 已知线段d是线段a，b，c的第四比例项，其中a = 3cm，b = 4cm，c = 5cm，则d的值为（ ）
A： 20
cm
3
B： 6cm
C： 12
cm
5
D： 2 cm
5 如果a = 9，b = 4，且b是a和c的比例中项，那么c = （ ）
A： 4 有
9 所
权
B： 9
版
4
习
育
C： 16
学
教 9
9
爱 9
代
5
D： 9 6
时
风
13
随
6 如图，AB∥CD∥EF，若AC=5，CE=7，BD=4，则BF=（ ）
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A： 35
4
B： 28
5
有
C： 20
所
7
权
D： 48
版
5
习
育
7 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD = 2，BD = 4，那么下列条件能够判断DE//BC
学
教 9
的是（ ）
爱 9
代
5
6
时
风
随
A： AE 1
=
AC 2
B： DE 1
=
BC 4
C： AE 1
=
AC 3
D： DE 1
=
BC 2
8 如图，已知DE//BC，EF//AB，则下列比例式中错误的是有（ ）
所
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
A： AD AE
= 随
AB AD
B： CE AE
=
CF DE
C： AE AD
=
AC AB
D： AD DE
=
AB BC
9 如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO = 3，BO = 5，DC = 4，则AB长为（ ）
有
所
A： 6 权
版
B： 8
习
C： 20 育
学
教 9
3
爱 9
代
5
D： 15
6
时
风
4
随
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10 AF AE 2 DE
如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF∥BE， = = ，求 的值．
FE CE 3 BC
能力提高 / 初三 / 暑假
有
所
权
第 11 讲 平行与比例
版
课堂落实答案
习
育
1 x 1 x+y
学
若 = ，则 = （ ） 教 9
y 3 y
爱 9
代
5
6
A： 4 时
风
3
随
B： 1
4
C： 2
3
D： 4
1
2 已知a、b、c、d是成比例线段，其中a = 3cm，b = 4cm，c = 6cm，则d为（ ）
A： 8cm
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B： 19
有
cm
2
所
C： 4cm 权
D： 9 版
cm
习
2
育
学
3 已知线段a = 4，b = 2，a为b、c的比例中教项，则c为（ ）
9
爱 9
代
5
A： 2√2
6
时
风
B： 8
随
C： 4
D： 2
4 如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO:DO = 1:2，那么下列式子正确的是（ ）
A： BO:BC = 1:2
B： CD:AB = 2:1
C： CO:BC = 1:2
D： AD:DO = 3:1 有
所
5 如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD = 5，BD = 10，AE = 3，
权
求CE的长．
版
习
育
学
教 9
爱 9
能力提高 / 初三 / 暑假
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
风
随
第 11 讲 平行与比例
精选精练
1 已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为________．
2 a+4 b+3 c+8
已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 = = ，且a+b+c = 12，请你探索△ABC的形
3 2 4
状．
3 如图，已知AB∥CD∥EF，且BC = 2EC，则AF:AD = _________．
有
4 如图，在△ABC中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且AE = ED = DC，FE∥MD，
所
FE
权
MD∥BC，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么 的值为______．
BN
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
5 如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点M，交
随
DF 3
BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F， = ．
FC 2
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（1）若BD = 20，求BG的长；
CM
（2）求 的值．
CD
6 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长
分别交AD、BC于点M、N．求证：AM = DM． 有
所
权
版
习
育
学
教 9
爱能力提高 / 初三 / 暑假 9
代
5
6
时
风
第随 12 讲 相似三角形判定
例题练习题答案
例1 完成下列各题.
(1)下列两个图形一定相似的是____________（填序号）．
①两个菱形；②两个矩形；③两个正方形；④两个等腰梯形．
(2)下列图形中不一定是相似图形的是__________（填序号）．
①两个圆；②两个周长相等的长方形；③两个周长相等的正方形；④两个正五边形．
(3)如图，四边形ABCD和EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度x．
有
所
练1.1 (1)下列各组图形一定相似的是（ ）
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
A： 两个矩形
习
育
B： 两个等边三角形
学
教 9
C： 各有一个角是爱80°的两个等腰三角形 9
代
5
D： 任意两个菱形 6
时
风
(2)如图所示是两个相似四边形，边x的长为___________，边y的长为___________，∠α的大小为
随
___________．
练1.2 完成下列各题.
(1)下列各组中的两个图形一定相似的有（ ）
①两个等腰三角形；
②两个直角三角形；
③两个等腰直角三角形；
④两个等边三角形；
⑤两个矩形；
有
⑥两个菱形；
所
⑦两个正方形；
权
⑧两个等腰梯形；
版
⑨两个圆．
习
育
A： 3组
学
教 9
B： 4组 爱 9
代
5
C： 5组 6
时
风
D： 6组
随
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(2) ′ ′ ′ ′ ′ ′
已知四边形ABCD和四边形A B C D 是相似的图形，并且点A与点A 、点B与点B 、点C与点
C′ 、点D与点D′ 分别是对应顶点，已知BC = 4，CD = 3.6，A′B′ = 3.3，B′C′ = 3，
∠B = 75∘，∠C = 105∘，∠D = 95∘，求AB = ___________，C ′ D ′ = ___________， ∠A ′ 的度
数为___________．
例2 (1)下列各组条件中，一定能推得△ABC和△DEF相似的是（ ）
A： ∠A = ∠E且∠D = ∠F
B： ∠A = ∠B且∠D = ∠F
有
C： AB EF
∠A = ∠E且 =
所
AC ED
权
D： AB DF
∠A = ∠E且 = 版
BC ED
习
育
(2) 如图，△ABC中，∠A =学36∘，AB = AC，BD平分∠ABC交AC于点D．
教 9
求证：△BDC∽△A 爱 BC． 9
代
5
6
时
风
随
练2.1 回答下列问题.
(1)在△ABC和△DEF中，AB = AC,DE = DF,根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是（ ）
A： AB AC
=
DE DF
B： AB BC
=
DE EF
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C： ∠A = ∠E
有
D： ∠B = ∠D
所
(2)如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠AC权D = ∠B．求证：△ADC∽△ACB．
版
习
育
学
教
9
练2.2 完成下列各题. 爱 9
代
5
6
时
(1) AB BC BC AC
风
在△ABC和△A′B′C′ 中，有下列条件：① = ；② = ；③∠A = ∠A′ ；
随A ′ B ′ B ′ C ′ B ′ C ′ A ′ C ′
④∠C = ∠C ′ ，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC和△A ′ B ′ C ′ 相似的共有
（ ）
A： 1组
B： 2组
C： 3组
D： 4组
(2)如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD = ∠EAC，∠C = ∠E．
求证：△ABC∽△ADE．
有
所
权
版
例3 如图，点D是△ABC的边AC上的一点，AB2 = AC⋅AD．
习
育
求证：△ADB∽△ABC．
学
教 9
爱 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 124/172爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
风
随
练3.1 已知：如图，AB⋅AD = AC⋅AE，求证：△ABC∽△AED．
例4 AD 1
如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且 = ，AE = EB．
AC 3
求证：△AED∽△CBD．
有
所
权
练4.1 如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点C在线段B版D上运动，当ED = 2，BC = 6，AB = 3，DC = 1时，求
证：△ABC与△CDE相似． 习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
练4.2 如图，已知△ABC，则下列4个三角形随中，与△ABC相似的是（ ）
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A：
B：
有
所
C： 权
版
D： 习
育
学
教 9
爱 9
代
5
例5 如图，在△ABC中，已知AB = AC，点D、E、B、6C在同一条直线上，且AB 2 = BD⋅CE．
时
风
求证：△ABD∽△ECA．
随
练5.1 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
A：
有
B：
所
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
C：
习
育
学
教 9
D： 爱 9
代
5
6
时
风
练5.2 如图，点D、E、F分别为△ABC的三边中点，试说明△ABC∽△EFD．
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 12 讲 相似三角形判定
自我巩固答案
1 下列说法中，一定正确的是（ ）
有
A： 有一个内角相等的两个等腰三角形相似
所
B： 底角为45°的两个等腰梯形相似 权
C： 任意两个菱形相似 版
习
D： 两个等腰直角三角形必相似 育
学
2 如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2 教 ，EF⊥BC．若四 9 边形EFDC与四边形BEFA相似而不全
爱 9
等，则CE＝（ ） 代 5
6
时
风
随
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A： 3
B： 3.5
C： 4
D： 4.5
3 巡警小王在犯罪现场发现一只脚印，他把随身携带的一张百元钞票放在脚印旁进行拍照，照片送
到刑事科，他们测得照片中的脚印和钞票的长度分别为5cm和3.1cm，一张百元钞票的实际长度大
约为15.5cm，请问脚印的实际长度为 _____cm．
4 AD AE
有
如图，D、E分别是AB、AC上的点，在下列条件中：（1）∠AED = ∠B；（2） = ；（3）
AC AB
所
DE AD
权
= ，其中能判定△ADE与△ACB相似的是（ ）
CB AC
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
A： （1）（2）
6
时
风
B： （1）（3）
随
C： （1）（2）（3）
D： （2）（3）
5 如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的
是（ ）
A： ∠B=∠C
B： ∠ADC=∠AEB
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 128/1722021/5/19 备授课-备课页
C： BE=CD，AB=AC
有
D： AD：AC=AE：AB
所
6 已知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其权边长和角的度数如图上标注，则对图（1）、（2）
中的两个三角形，下列说法正确的是（ ）
版
习
育
学
教
9
爱 9
代
5
6
时
风
A： 都相似
随
B： 都不相似
C： 只有（1）相似
D： 只有（2）相似
7
如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（ ）
A： AC AB
=
CD BC
B： CD BC
=
有
AD AC
所
C： AC2 = AD⋅AB
权
D： 2
CD = AD⋅BD
版
8 在 △ ABC和 △ A′B′C′中，若∠A 习 = 68∘，∠B = 40∘，∠A′ = 68∘，∠C′ = 72∘，则这两个三角形
育
学
（ ）
教 9
爱 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 129/172爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
A： 面积相等
风
B： 相似 随
C： 全等
D： 不能确定
9 有一个三角形三边分别为a = 3，b = 4，c = 5，另一个三角形a′ = 8，b′ = 6，c′ = 10，则这两个三
角形（ ）
A： 都是直角三角形，但不相似
B： 都是直角三角形，也相似
C： 都是钝角三角形，也相似
D： 都是锐角三角形，也相似
10 如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC = ∠B．点E在AD边上，CD = CE．
有
求证：△ABD∽△CAE．
所
权
版
习
育
学
教 9
能力提高 / 初三 / 暑假
爱 9
代
5
6
时
风
第 12 讲 相似三角形判定
随
课堂落实答案
1 如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A： 87°
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B： 60°
C： 75°
D： 120°
2 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
若四边形ABCD与四边形A B C D 相似，AB与A B ，AD与A D 分别是对应边，AB = 8cm，
有
A′B′ = 6 cm，AD = 5cm，则A′D′ 等于（ ）
所
A： 15 权
cm
2 版
习
B： 15 育
cm 学
4 教 9
爱 9
代
C： 20 5
6
cm
时
3 风
随
D： 48
cm
5
3 如图，△ABC中，AB = 4，BC = 6，点D、点E分别是边AB、BC上的两个动点，若按照下列条件，
将△ABC沿DE剪开，剪下的△BDE与原三角形不相似的是（ ）
A： ∠BDE = ∠C
B： DE∥AC
C： AD = 3，BE = 2
有
D： AD = 1，CE = 4
所
4 P是△ABC边AB上一点(AB > AC)，下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是( )
权
版
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版
A： ∠ACP = ∠B
习
育
B： ∠APC = ∠ACB
学
教 9
C： AC AP 爱 9
代
= 5
AB AC 6
时
风
D： PC AC
随
=
BC AB
5 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD = 90∘，对角线BD⊥DC．
求证：△ABD∽△DCB．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 12 讲 相似三角形判定
有
精选精练
所
1 如图，矩形ABCD中，AB = 4，点E、F分别在AD、BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形
权
DEFC，且相似比为1:2，求AD的长．
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
2 两个相似六边形的相似比为3:5，它们周长的差是624cm，那么较大的六边形周长为（ ）
时
风
A： 40cm
随
B： 50cm
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C： 60cm
D： 70cm
3 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，
那么x的值（ ）
A： 只有1个
有
B： 可以有2个 所
权
C： 可以有3个
版
D： 有无数个
习
育
4 李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来
学
教 9
吗？证明步骤正确的顺序是（ ）
爱 9
代
已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边A5B、AC、BC上，且DE∥BC，DF∥AC，
6
求证：△ADE∽△DBF． 时
风
随
证明：①又∵DF∥AC，
②∵DE∥BC，
③∴∠A = ∠BDF，
④∴∠ADE = ∠B，
∴△ADE∽△DBF．
A： ③②④①
B： ②④①③
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C： ③①④②
有
D： ②③④①
所
5 下列结论中正确的是（ ） 权
版
A： 有两条边长是3和4的两个直角三角形相似
习
育
B： 一个角对应相等的两个等腰三角形相似
学
教
9
C： 两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似
爱 9
代
5
D： 有一个角为60°的两个等腰三角形相似
6
时
风
6 如图，△ABC与△AEF中，AB = AE，BC = EF，∠B = ∠E，AB交EF于D．
随
求证：△ADE∽△FDB．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 13 讲 相似三角形的性质与应用
例题练习题答案
有
例1 (1) ′ ′ ′
已知ΔABC∽ΔA B C ，且相似比为3，则下列结论正确的是（ ）
所
A： AB是A′B′ 的3倍 权
版
B： ′ ′
A B 是AB的3倍
习
育
C： ∠A是∠A ′ 的3倍
学
教 9
D： ∠A′ 是∠A的爱3倍 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
(2)如图，ΔABC中，点D在线段BC上，且ΔABC∽ΔDBA，则下列结论一定正确的是（ ）
风
随
A： AB2 = BC⋅BD
B： 2
AB = AC⋅BD
C： AB⋅AD = BC⋅BD
D： AB⋅AC = AD⋅BD
(3)如图，ΔABC∽ΔAED，∠ADE = 80∘，∠A = 60∘，则∠B等于（ ）
有
所
权
版
A： 40∘
习
育
B： 60∘
学
教 9
C： 80∘ 爱 9
代
5
D： 100∘
时
6
风
(4)如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么这两个三角形的相似比为________．
随
(5)已知，ΔABC∽ΔDEF，ΔABC与ΔDEF的面积之比为1:2，当BC = 1时，对应边EF的长为
________．
练1.1
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(1)如图，△ABC∽△AB'C'，∠A = 35∘，∠B = 72∘，则∠AC'B'的度数为（ ）
有
A： 63°
所
B： 72°
权
C： 73°
版
D： 83° 习
育
学
(2)已知△ABC∽△DEF，∠A = ∠D，AB教= 2 cm，AC = 4
9
cm，DE = 3 cm，且DE < DF，则DF的
爱 9
长为（ ）
代
5
6
时
A： 1 cm 风
随
B： 1.5 cm
C： 6 cm
D： 6 cm或1.5 cm
练1.2 (1)已知△ABC∽△DEF，其相似比为4：9，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A： 2：3
B： 3：2
C： 16：81
D： 81：16
(2)△ABC与△DEF相似，且周长之比为3：4，则△ABC与△DEF的相似比为（ ）
有
A： 3：4
所
B： 4：3 权
版
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版
C： 9：16
习
育
D： 16：9
学
教 9
例2 如图，在矩形ABCD中爱，已知AD > AB．在边AD上取点9E，连接CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的
代
5
延长线交于点F．
6
时
风
随
（1）求证： △ AEF∽ △ DCE；
（2）若AB = 4，AE = 6，AD = 14，求线段AF的长．
练2.1 如图，已知 △ ABC中，AB = 20，BC = 14，AC = 12， △ ADE与 △ ACB相似，∠AED = ∠B，
DE = 5．求AD、AE的长．
有
练2.2 如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC = 4.8，CD = 1.6，BC = 9.3．
所
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
（1）求CE的长； 时
风
（2）求证：BC⊥AD．
随
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例3 如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB = 4，AD = 2，∠DAC = ∠B，如果△ABD的面积为18，则
△ACD的面积为_____．
练3.1 如图，已知△ABC中，AB = 5，AC = 3，点D在边AB上，且∠ACD = ∠B，则线段AD的长为
_____．
有
所
练3.2 如图，∠BAD = ∠C，AB = 6，BD = 4，则CD的长为_____．
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
例4 如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD = 20m，CE = 40m，AD = 100m，BE = 20m，
6
时
DE = 45m，求A、B两地间的距离． 风
随
练4.1 如图，甲、乙两盏路灯底部间的距离是25米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部4米处时，发现
自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.6米，那么路灯甲的高为_____米．
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练4.2 路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌，有一天，小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端
有
A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如
所
图），已知BC = 5米，正方形边长为3米，DE = 4米，则此时电线杆的高度是（ ）
权
版
习
育
学
教
A： 8米 9
爱 9
代
5
B： 7.8米
6
时
风
C： 6米
随
D： 7.875米
例5 回答下列问题.
(1) 1
已知△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比为 ，则△ABC与△DEF的周长之比
4
是（ ）
A： 1
2
B： 1
4
C： 1 有
所
8
权
D： 1
版
16
习
育
(2)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4, −4)．在y
学
教 9
轴右侧，以O为位似中心，画出△A B C ，使它与
爱 1 1 1 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 139/172爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
△ABC的相似比为1:2；根据位似作图，△ABC内一点M(a,b)的对应点的坐标是________．
风
随
练5.1 如图， △ A′B′C′是 △ ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若 △ A′B′C′的面积与 △ ABC
的面积比是4:9，则OB′:OB为（ ）
A： 2：3
有
B： 3：2
所
C： 4：5 权
D： 4：9 版
习
练5.2 如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A、B、育C的坐标分别是(1, −1)、(2,1)、(1,1)．
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
(1)作图：以点O为位似中心在y轴的左侧把原来的四边形OABC放大两倍（不要求写出作图过
程）；
(2) ′ ′ ′
直接写出点A、B、C对应点A 、B 、C 的坐标．
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能力提高 / 初三 / 暑假
第 13 讲 相似三角形的性质与应用
自我巩固答案
有
1 已知△ABC的三边长分别为√2,√6,2,△A′B′C′ 的两边长分别是1和√3,如果△ABC与△A′B′C′ 相似,
所
那么△A ′ B ′ C ′ 的第三边长应该是（ ）
权
版
A： √2
习
育
B： √2
学
教 9
2
爱 9
代
5
C： √6 6
时
风
2
随
D： √3
3
2 如图，△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线，若AD = 5，
CD = 3，DE = 4，则BF的长为（ ）
A： 32
3
B： 16
有
3
所
权
版
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版
C： 10
习
育
3
学
教 9
D： 8 爱 9
代
5
3
6
时
风
3 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接EC交对角线BD于点F，则S ：S
△DEF △BCF
随
等于（ ）
A： 1：2
B： 1：4
C： 1：9
D： 4：9
4 如图，AB∥CD，AD，BC相交于点O，点E，F分别是OA，OB的中点，若OB = 4，OC = 3，
EF = 4，则CD的长为（ ）
有
所
权
版
A： 8
习
3 育
学
教 9
B： 4
爱 9
代
5
C： 6
6
时
风
D： 8
随
5 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发
经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB = 1.2米，
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BP = 1.8米，PD = 12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A： 6米
B： 8米
C： 18米 有
所
D： 24米
权
6 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD = 3m，标杆与旗
版
杆的水平距离BD = 15m，人的眼睛与地面的高度EF = 1.6m，人与标杆CD的水平距离DF = 2m，
习
E、C、A三点共线，则旗杆AB的高度为________育_．
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
7 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且
1
相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为（ ）
3
A： (2,2)
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B： (3,2)
有
C： (3,1)
所
D： (4,2) 权
版
8
如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A
′
B
′
C
′
．已知OB = 3OB
′，则△A ′
B
′
C
′
与△ABC的
习
面积比为（ ） 育
学
教
9
爱 9
代
5
6
时
风
随
A： 1：3
B： 1：4
C： 1：8
D： 1：9
9 如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D
（1）求证：△EAC∽△ECB；
（2）若DF=AF，求AC：BC的值．
有
所
10 权 ′ ′ ′
如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A B C 是关于点O为位似中心的位似图
版
形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
风
随
(1)画出位似中心点0；
(2) 求出△ABC与△A′B′C′
的位似比．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 13 讲 相似三角形的性质与应用
课堂落实有答案
1 如图所示，若 △ ABC ∽△ DEF ，则∠E的度数为（所 ）
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
A： 28∘ 5
6
时
风
B： 32∘
随
C： 42∘
D： 52∘
2 如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB:DE = 1:2，那么下列等式一定成立的是（ ）
A： BC:DE = 1:2
B： △ ABC的面积:△ DEF的面积 = 1:2
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C： ∠A的度数:∠D的度数 = 1:2
D： △ ABC的周长:△ DEF的周长 = 1:2
3 在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，CD = 2，AB = 5，则S :S =
ΔBOC ΔADC
（ ）
有
所
权
版
A： 2:5
习
育
B： 5:2
学
教 9
C： 2:7
爱 9
代
5
D： 5:7
6
时
风
4 如图，在Rt△ABC中，AB = 3cm，BC = 4cm，沿直角边BC所在的直线向右平移3cm，得到
随
2
△DEF，DE交AC于G，则所得到的△GEC的面积是（ ）cm ．
A： 1
2
B： 1
C： 3
4
D： 3
有
8
所
5 如图△ABC与△DEF是位似图形，位似比是1:2，已知DE = 4，则AB的长是（ ）
权
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 146/172权
2021/5/19 备授课-备课页
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
A： 2 6
时
风
B： 4
随
C： 8
D： 1
能力提高 / 初三 / 暑假
第 13 讲 相似三角形的性质与应用
精选精练
1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘，BC = 3，AC = 4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，
则CE的长为（ ）
有
所
权
版
A： 3
习
2 育
学
教 9
B： 7
爱 9
代
5
6
6
时
风
C： 25
随
6
D： 2
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2 1 1
如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD = BC，CE = AC，BE、AD相交
3 3
于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE = 60∘；②DE⊥AC；③CE2 = DF⋅DA；④
AF⋅BE = AE⋅AC，正确的结论有（ ）
A： 4个
有
B： 3个
所
C： 2个 权
版
D： 1个
习
3 数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵育树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
学
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C教处放置一块镜子，9小明站在BC的延长线上，当小明在镜
爱 9
子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD = 2米，小明的眼睛E到地面的距离
代
5
ED = 1.5米； 6
时
风
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又
随
刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH = 3米；
③计算树的高度AB．
请帮数学实践小组计算出树的高度AB．
4 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水
平地面上，有一部分落在楼房的墙上．测得落在地面上影长BD = 9.6米，留在墙上的影长CD = 2
米，则旗杆的高度（ ）
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有
所
权
版
习
育
学
A： 9米 教 9
爱 9
代
B： 9.6米 5
6
时
C： 10米 风
随
D： 10.2米
5 4
如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 ，则AB:DE =
9
__________．
6 如图，在8×8的网格图中，△ABC三个顶点坐标分别为A(0,2)、B(−1,0)、C(2, −1)．
有
所
权
(1)以O为位似中心，将 △ ABC放大为 △ A B C ，使得 △ A B C 与 △ ABC的位似比为2:1，
1 1 1 1 1 1
版
请在网格图中画出 △ A B C ；
1 1 1
习
育
学
(2)直接写出（1）中点A 、B 、C 的坐标．
1 1 1 教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
能力提高 / 初三 / 暑假
风
随
第 14 讲 锐角三角函数
例题练习题答案
例1 (1)如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘，分别求出图1、图2中sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB
的值．
(2) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘，若BC = 1，AC = 2，则s 有 inA的值为（ ）
所
A： √5
权
5
版
B： 2√5 习
育
学
5
教 9
爱 9
C： 1 代 5
6
时
2
风
D： 2 随
(3) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘，若a = 3b，求sinB、cosB、tanB的值．
(4) 3
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘，BC = 9，sinA = ，求cosA、tanB、AB的值．
5
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练1.1 (1) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘，AC = 4，AB = 5，则tanA的值是（ ）
有
A： 2 所
3 权
版
B： 3
习
5 育
学
教 9
C： 3
爱 9
代
5
4
6
时
风
D： 4
随
5
(2) 如图，在△ABC中，∠C = 90∘，AB = 13，BC = 5，求sinB和tanB的值．
练1.2 (1)在△ABC中，∠C = 90∘，若AB = 3，BC = 1，则sinA的值为（ ）
A： 1
3 有
所
B： 2√2
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
C： 2√2
习
育
3
学
教 9
D： 3 爱 9
代
5
(2) 64
时
在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘，AC = 3，风tanB = ，求AB的值．
3
随
例2 (1)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上．则cos∠A
的值为（ ）
A： 2√5
5
B： 2
C： √5 有
所
5
权
D： 1
版
2
习
育
(2)在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为__________．
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
练2.1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么tanα的值是（ ）
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A： 3
5
有
B： 4
所
5
权
C： 3
版
4
习
育
D： 4
学
教 9
3 爱 9
代
5
练2.2 在正方形网格中，∠AOB如图放置．则tan∠AOB6的值为（ ）
时
风
随
A： 2
B： 1
2
C： √5
5
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D： 2√5
有
5
所
权
例3 (1)下列三角函数值错误的是（ ）
版
A： 1
习
sin30∘ = 育
2
学
教
9
B： √3爱 9
代
sin60∘ = 5
2 6
时
风
C： tan45∘ = 1
随
D： cos60∘ = √3
(2) √2
已知α为锐角，如果sinα = ，那么α等于（ ）
2
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 不确定
(3) √2
在△ABC中，若cosA = ，tanB = √3，则这个三角形一定是（ ）
有
2
所
A： 直角三角形
权
B： 等腰三角形
版
C： 钝角三角形 习
育
学
D： 锐角三角形 教 9
爱 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 154/172爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
(4) 1
风
已知sinA = ，∠A为锐角，则cos2A的值为_______．
2 随
练3.1 (1)tan60∘的值是（ ）
A： √3
3
B： √2
2
C： 1
D： √3
(2)已知tanA = 1，那么锐角∠A等于（ ）
有
A： 30∘
所
B： 45∘ 权
版
C： 60∘
习
育
D： 75∘
学
教 9
练3.2 (1)4cos60°的值为（ 爱 ） 9
代
5
6
时
A： 1 风
2 随
B： 2
C： √2
3
D： 2√3
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(2) 1 √3
在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA = ，cosB = ，则△ABC是（ ）
2 2
A： 直角三角形
B： 钝角三角形
有
C： 锐角三角形
所
D： 等边三角形
权
(3) √版3
已知α为锐角，若sin
( α−10∘)
= ，则α为（ ）
习
2
育
学
教 9
A： 30°
爱 9
代
5
B： 40°
6
时
风
C： 60°
随
D： 70°
例4 √2 √3
| | ( )2
在△ABC中，若 sinA− + −cosB = 0，∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数．
2 2
练4.1 在△ABC中，若 (√3tanA−3 )2 + | 2cosB−√3 | = 0，则△ABC为（ ）
A： 直角三角形
B： 等边三角形
C： 含60°的任意三角形
D： 顶角为钝角的等腰三角形
练4.2 在△ABC中，若(tanA−1) 2 + | 2cosB−√2 | = 0，则这个三角有形是（ ）
所
A： 等腰直角三角形
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
B： 等边三角形
习
育
C： 含60°的任意三角形
学
教 9
D： 顶角为钝角的等腰爱三角形 9
代
5
例5 计算： 6
时
风
（1）2sin60∘ +2cos60∘；
随
（2）cos 2 30∘ +sin 2 45∘ −tan 2 45∘；
2sin30∘
（3） ；
2cos30∘ −1
（4）√3cos30∘ +2 −1 −√2sin45∘ − (√3−1 )0 ．
练5.1 计算2sin30∘ −sin245∘ +tan30∘的结果是（ ）
A： 1
+3√3
2
B： 1 √3
+
2 3
有
C： √3+√2
所
D： 1−√3+√2 权
练5.2 1 1 2 版
( )0 ( )−1
| |
计算 − + ⋅ − tan45∘ −√3 的结果是（ ）
习
2 3 √3 育
学
教 9
A： 1+√3 爱 9
代
5
B： 2+√3 6
时
风
C： 1+2√3
随
D： 2+2√3
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能力提高 / 初三 / 暑假
第 14 讲 锐角三角函数
课堂落实答案
1 5
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘，BC = 5，sinA = ，则cosA = （ ）
13
有
所
权
A： 12
版
13
习
育
B： 5 学
教 9
13 爱 9
代
5
6
C： 5
时
风
12
随
D： 12
5
2 如图，每个小正方形的边长为1，点A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为（ ）
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A： √3
有
2
所
B： √2 权
2 版
习
C： √3 育
学
教
3 9
爱 9
代
D： 不能确定 5
6
时
3 √2 风
已知∠A为锐角，且cosA= ，那么∠A等于（ ）
随
2
A： 15∘
B： 30∘
C： 45∘
D： 60∘
4 1 √3
| | ( )2
在△ABC中，若 sinA− + cosB− = 0，则∠C = （ ）
2 2
A： 30∘
B： 60∘ 有
所
C： 90∘
权
D： 120∘
版
5 计算：2cos 2 45∘ +sin30∘ −√3⋅ta习n60∘．
育
学
教 9
爱 9
能力提高代 / 初三 / 暑假
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
风
随
第 14 讲 锐角三角函数
自我巩固答案
1 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式中，正确的是（ ）
A： b
sinA =
c
B： c
cosB =
a
C： a
tanA =
b
D： b 有
cotB =
所
a
权
2 如图，△ABC中，∠C=90°，则∠A的余弦值为（ ）
版
习
育
学
教 9
爱 9
A： 8 代
5
6
17 时
风
B： 8 随
15
C： 15
17
D： 15
8
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3 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为
（ ）
有
所
A： 3
权
5
版
B： 4
习
育
3 学
教 9
爱 9
C： √10
代
5
6
5 时
风
D： 3
随
4
4 1
如果∠α是锐角，且cosα = ，那么sin 2 α的值是（ ）
2
A： √3
2
B： 1
4
C： 1
2
有
D： 3
所
4
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
5 已知sin 2 9∘ = a，sin81∘ = b，则sin9∘ = （ ）
习
育
学
A： √a
教 9
爱 9
B： √b 代 5
6
时
C： a 风
2 随
D： b
2
6 1
已知在Rt△ABC中，∠C = 90∘，若sinA = ，则cosA等于（ ）
2
A： √3
2
B： √2
2
C： 1
有
2 所
权
D： 1
版
7 下列三角函数值错误的是（ ）
习
育
A： √2
学
cos45∘ = 教 9
2 爱 9
代
5
B： √3
时
6
风
tan30∘ =
3
随
C： tan45∘ = 1
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D： 1
sin60∘ =
2
8 √3
已知tanA = ，∠A为锐角，则cos2A的值为（ ）
3
A： √2
2
B： √3
有
3
所
C： 1
权
D： 1
版
2
习
育
9 在△ABC中，若(2cosA−1)学 2+ | √3−tanB | = 0，则△ABC一定是（ ）
教 9
爱 9
代
A： 直角三角形 5
6
时
风
B： 等腰三角形
随
C： 等边三角形
D： 等腰直角三角形
10 计算：
1
( )−1
（1） + | 1−√2 | −2cos45∘；
3
√2
（2） sin45∘ +√12sin60∘ −2tan45∘．
2
能力提高 / 初三 / 暑假
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有
第 14 讲 所 锐角三角函数
权
精选精练
版
1 √3
习
已知 < cosA < sin80∘，则锐角A的取值范围育是（ ）
2
学
教
9
爱 9
A： 60∘ < ∠A < 80∘ 代
5
6
时
B： 30∘ < ∠A < 80∘
风
C： 10∘ < ∠A < 60∘ 随
D： 10∘ < ∠A < 30∘
2 如图，过∠MAN的边AM上的一点B（不与点A重合）作BC⊥AN于点C，过点C作CD⊥AM于点
D，则下列线段的比等于tanA的是（ ）
A： CD
AC
有
B： BD
所
BC
权
C： BD 版
习
CD
育
学
D： CD 教 9
爱 9
代
BC 5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
3 在Rt△ABC中，∠C = 90∘，AB 时 = 4，AC = 1风，则cosA的值为（ ）
随
A： 1
4
B： √15
4
C： √15
15
D： 4√17
17
4 DE 2
如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC， = ，则sinA的值为（ ）
BC 5
有
所
权
版
习
育
学
A： 2 教 9
爱 9
5 代
5
6
时
B： √21 风
5 随
C： √21
2
D： 3
5
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5 c a
在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若∠B = 60∘，则 + 的值为（ ）
a+b c+b
有
A： 1 所
权
2
版
B： √2
习
育
2
学
教 9
C： 1
爱 9
代
5
D： √2
6
时
风
6 1
计算：sin30∘ +cos245∘ + tan260∘ = 随 ___________．
3
能力提高 / 初三 / 暑假
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 下列说法，正确的是（ ）
A： 弦是直径
B： 弧是半圆
有
C： 半圆是弧
所
D： 过圆心的线段是直径
权
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 166/172权
2021/5/19 备授课-备课页
版
2 半径为5的圆的一条弦的长不可能是（ ）
习
育
A： 3 学
教 9
爱 9
B： 5
代
5
6
C： 10 时
风
D： 12 随
3 如图所示，MN是⊙O的弦，∠N = 50∘，则∠MON的度数为（ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 80∘
D： 100∘
4 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠AOB = 100∘，那有么∠ACB的度数是（ ）
所
权
版
习
育
学
教 9
A： 30∘ 爱 9
代
5
6
B： 40∘ 时
风
C： 50∘ 随
D： 60∘
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,11279226… 167/1722021/5/19 备授课-备课页
5 y 3 x+y
若 = ，则 的值为（ ）
x 4 x
A： 1
B： 4
7
C： 4
5
D： 7 有
所
4
权
6 已知线段a = 1，c = 5，线段b是线段a、c的比例中项，线段b的值为（ ）
版
A： 2.5
习
育
B： √5 学
教 9
爱 9
C： ±2.5 代
5
6
时
D： ±√5
风
7 二次函数y = ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象 随 如图所示，下列结论正确的是（ ）
A： a < 0
B： 2
b −4ac < 0
C： 当−1 < x < 3时，y > 0
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D： b
有
− = 1
2a
所
8 如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上权，且AD为∠BAC的角平分线．若∠ABE = ∠C，
AE:ED = 2:1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（ ）
版
习
育
学
教
9
爱 9
代
5
6
时
风
A： 1：6
随
B： 1：9
C： 2：13
D： 2：15
9 1
若∠A是锐角，且sin∠A = ，则∠A = __________．
2
10 如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB = 4，OC = 1，则OB的长是_________．
11 如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AB = 3，若BO:BD = 1:3，则CD等于_______．
有
所
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
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6
12 如图，△ABC是⊙O的内接三角 时 形，AD是⊙风O的直径，∠ABC = 50∘，则∠CAD = ______．
随
13 二次函数y = 2x2+4x−3的顶点坐标是____________．
14 已知点A（4，y
1
），B（√2，y
2
），C（−2，y
3
）都在二次函数y=(x−2) 2 −1的图象上，则y1、
y 、y 的大小关系是________．
2 3
15 计算：
（1）sin30∘ +cos60∘ − | tan60∘ −1 | ；
（2）tan 2 45∘ +sin45∘ ⋅cos60∘ −√2． 有
所
16 解一元二次方程：(x−2)(x+3) = 6．
权
17 如图，CD是⊙O的弦，点A、B在CD所在版的直线上，且OA = OB．求证：AC = BD．
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
18 ⌢
如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D为AC上一点，∠ABC = ∠BDC = 60∘，AC = 3cm，求△ABC的
周长．
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有
19 如图，DE∥BC，AD = 4，BD = 8，DE = 5，求线段所BC的长．
权
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
20 如图，在△ABC中，D为AB上一点，且∠ACD = ∠B．
6
时
（1）求证：△ADC∽△ACB； 风
（2）若AD = 2，BD = 3，求AC的长．
随
21 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC = BC = DC．
（1）若∠CBD = 39∘，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1 = ∠2．
有
所
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
22 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且
习
∠AFE = ∠B． 育
学
（1）求证：△ADF∽△DEC； 教 9
爱 9
（2）若AB = 8，AD = 6√3，AF = 4代√3，求AE的长．
5
6
时
风
随
23 如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长．
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