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能力强化 / 初一 / 秋季
第 1 讲 有理数
例题练习题答案
100 ±0.5
例1 (1)一种巧克力的质量标识为“ 克”，则下列质量合格的是（ ）
A： 95克
B： 99.8克
C： 100.6克
D： 101克
(2)下列说法中，正确的是（ ）
A： 0是最小的整数
B： 1是最小的正整数
C： 1是最小的整数
D： 一个有理数不是正数就是负数
(3)把下列各数填在相应的横线上：
1 1 1
⋅
−16 + −0.45 π −1 −50 0.15
，0.04， ， ， ，0， ，88， ， ， ．
2 8 7
自然数：________________________________________；
正整数：________________________________________；
有理数：________________________________________；
非正数：________________________________________；
非负整数：______________________________________．
−2.5 3.5
例2 (1)大于 而小于 的整数共有_____个．
(2)数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整点，如果一条数轴
1cm 2013cm
的单位长度是 ，有一支长 的毛毛虫队伍在数轴上沿数轴爬动，则这支队伍爬动过程中，它所盖住的整点有多少个？
练2.1 (1)小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据下图，判定墨迹盖住部分的整数的和是______．
AB AB
(2)在单位长度是1厘米的数轴上随意画出一条长为1000厘米的线段 ，求线段 盖住的整点
的个数．
例3 下列说法正确的是（ ）
−1
A： 和为0，商为 的两个数必互为相反数
−1
B： 互为相反数的两个数和为0，商为
C： 若a表示有理数，则 −a 表示负数
D： 符号不同的两个数互为相反数
2 11
练3.1 (1) −(−2) −(−7) −(+1) −[−(− )] −(+ )
在 ， ， ， ， 中，负数有（ ）
3 5
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
(2)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把 −a ，b，0按照从小到大的顺序排列，正确
的是（ ）
−a < b < 0
A：
0 < −a < b
B：
b < 0 < −a
C：
0 < b < −a
D：
例4 有理数a，b在数轴上的位置如图，则下面的关系式中正确的有（ ）1 1 a
a−b > 0 a+b > 0 ab > 0 |a|−|b| > 0 > − > 0
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
a b b
2
A： 个
3
B： 个
4
C： 个
5
D： 个
练4.1 有理数a，b在数轴上位置如图，下列结论正确的有______________（填序号）．
a 1 1
a+b > 0 a+b < 0 a2b > 0 < 0 <
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
a−b a b
例5 若 |a−4| = 4 −a ，则a的取值范围是_________．
|x−3|+|y +2| = 0 3xy =
例6 (1)若 ，则 _________．
|m+1| |n −2| 3m+n
(2)若 和 互为相反数，求 的值．
|a| |b|
例7 ab ≠ 0 − =
若 ，则 （ ）
a b
A： 0
−2
B：
−2
C： 2或
−2
D： 2或 或0
|a| |b|
练7.1 ab ≠ 0 − =
若 ，则 ____________．
2a 2b
能力强化 / 初一 / 秋季
第 1 讲 有理数
自我巩固答案7
1 −2.5 + −3 −1
在 ， ， ，2，0，4，5， 中，负分数有（ ）
10
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 0个
2 1 1
2 −7 − −8
下列各数：3， ， ，5.6，0， ，15， ，非正数有（ ）
3 4 9
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
a b
3 如图， ， 两个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
a+b < 0
A：
ab < 0
B：
b−a < 0
C：
a
> 0
D：
b
−2015 2015 −2015 2015
4 在数轴上，表示 和 的两个点之间有（ ）个整数．（含 和 ）
A： 4028
B： 4029
C： 4030
D： 4031
5 下列说法中正确的是（ ）
A： 正数和负数互为相反数B： 数轴上，原点两旁的两个点所表示的数互为相反数
C： 除0以外的数都有相反数
D： 任何一个数都有相反数
6 下列说法错误的是（ ）
A： 一个正数的绝对值一定是正数
B： 一个负数的绝对值一定是正数
C： 任何数的绝对值都不是负数
D： 任何数的绝对值一定是正数
−(+a) = +(−2) a
7 若 ，则 的值是（ ）
1
A：
2
1
B： −
2
C： 2
−2
D：
a a −a
8 是有理数，它在数轴上的对应点的位置如图所示，把 ， ，0，1按照从小到大的顺序排列，
正确的是（ ）
0 < −a < a < 1
A：
−a < 0 < a < 1
B：
a < 0 < 1 < −a
C：
−a < 0 < 1 < a
D：
9 已知 |a|+|b| = |a+b| ，则a，b的关系是（ ）
A： a，b的绝对值相等
B： a，b异号
a+b
C： 的和是非负数D： a，b同号或其中至少一个为零
|a−2|+|b−3|+|c−4| = 0 a+2b+3c
10 已知 ，则 的值为（ ）
12
A：
16
B：
18
C：
20
D：
能力强化 / 初一 / 秋季
第 1 讲 有理数
课堂落实答案
1 下列说法中，正确的是（ ）
A： 有理数就是正数和负数的统称
B： 零不是自然数，但是正数
C： 一个有理数不是整数就是分数
D： 正分数、零、负分数统称分数
2 有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
b < 0 < a |b| < |a| ab > 0 a−b > a+b
① ；② ；③ ；④ ．
A： ①②
B： ①④
C： ②③
D： ③④
3 下列叙述中正确的有（ ）①表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等；②互为相反数的两个数和为0；③互为相反数
的两个数积为1；④任何数都不等于它的相反数．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
4 绝对值小于2020的整数有_______个．
|x−3| |y +7| 3x+y
5 若 与 互为相反数，求 的值．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 1 讲 有理数
精选精练
1 在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出
AB AB
一条长2020厘米的线段 ，则线段 盖住的整点至少有________个，至多有_________个．
A B C D a b c d
2 如图，点 ， ， ， 四个点在数轴上表示的数分别为 ， ， ， ，则下列结论中，错误的是
（ ）
a+b < 0
A：
c−b > 0
B：
ac > 0
C：
b
D： < 0
d
3 下列说法正确的是（ ）
A： 一个数的绝对值一定比0大B： 一个数的相反数一定比它本身小
C： 绝对值等于它本身的数一定是正数
D： 最小的正整数是1
a b a < 0 b > 0 |b| < |a| a b −a −b
4 已知 ， 为有理数，且 ， ， ，则 ， ， ， 的大小关系是（ ）
−b < a < b < −a
A：
−b < b < −a < a
B：
a < −b < b < −a
C：
−a < b < −b < a
D：
|a+2|+|b+3|+|c−4| = 0 2a−3b−5c
5 若 ，求 的值．
a b c
6 abc ≠ 0 + +
若 ，则 的所有可能值是____________________________．
|a| |b| |c|
能力强化 / 初一 / 秋季
第 2 讲 有理数运算
例题练习题答案
例1 计算：
11 1
0.75+(− )+0.125+(−4 )
（1） ；
4 8
1 1 1 1 2
2 −(+2 )−{−2 +[5 −(2 +3 )]}
（2） ．
3 2 4 2 3
练1.1 已知蜗牛从A点出发，在一条数轴上来回爬行，规定：向正半轴运动记作“+”，向负半轴运动记
− −5 −10 −8
作“ ”，从开始到结束爬行的各段路程（单位：cm）依次为：+7， ， ， ，+9，
−6
，+12，+4．
（1）若A点在数轴上表示的数为 −3 ，则蜗牛停在数轴上何处，请通过计算加以说明；
1
cm
（2）若蜗牛的爬行速度为每秒 ，请问蜗牛一共爬行了多少秒？
2
例2 计算：5 3
3 ×(− )÷(−1 )
（1） ；
6 4
5
×13 ÷5 ×(−8)
（2） ．
8
例3 (1)下列各式中，不相等的是（ ）
(−3)2 −32
A： 与
(−2)3 −23
B： 与
(−3)2 32
C： 与
D：
|−2|3
与
∣ ∣−23∣
∣
(2)当 a < 0 时 ， 下 列 结 论 ： ① a2 > 0 ； ② a2 = (−a)2 ； ③ −a3 = ∣ ∣a3∣ ∣ ； ④
−a2 = ∣ ∣−a2∣ ∣ |a|+a = 0
；⑤ ．其中一定正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
练3.1 对于任意有理数a，下列各式一定成立的是（ ）
a2 = (−a)2
A：
a3 = (−a)3
B：
−a2 = |a|2
C：
|a|3 = a3
D：
例4 计算：
2 1 2
(−2)5 ÷(−16 × )−(− ) ×(−34)
（1） ；
5 3
13 1 2 2
∣ ∣33 −(−3)3∣ ∣ ×2 − ÷( ) ×23
（2） ；
27 2 3
1
−14 − ×[2 −(−3)2]
（3） ；
6
−16 +16 ÷(−2)3 ×|−3 −1|
（4） ．
例5 计算：1 3 1
48 ×(− + − )
（1） ；
6 4 12
6 6 6
4 ×(−3 )−3 ×(−3 )+6 ×(−3 )
（2） ．
7 7 7
1 1 1 1 1 1 1 1
例6 = 1 − = − = − ⋯
观察式子的变形规律： ； ； ；
1 ×2 2 2 ×3 2 3 3 ×4 3 4
解答下列问题：
1
(1) 若n为正整数，请你猜测 = _____ ．
n(n +1)
1 1 1 1
(2) + + +⋯+
计算： ．
1 ×2 2 ×3 3 ×4 2019 ×2020
2 1 2 1 1 2 1 1
例7 = 1 − = − = −
已知： ， ， ．
1 ×3 3 3 ×5 3 5 5 ×7 5 7
2
(1) = _____
照上面算式，你能猜出 ；
2005 ×2007
(2)利用上面的规律计算：
1 1 1 1 1
+ + + +⋯+
．
1 ×4 4 ×7 7 ×10 10 ×13 301 ×304
能力强化 / 初一 / 秋季
第 2 讲 有理数运算
自我巩固答案
∣ 1∣ ∣ 1∣
1 ∣−1 ∣ −(−2.5)+1 −∣1 −2 ∣ =
计算： （ ）
∣ 2∣ ∣ 2∣
1
A： 2
2
3
B：
3.5
C：
D： 2
2 为了有效控制酒后驾驶，石家庄市某交警驾驶的汽车在一条南北方向的大街上巡逻，规定向北为
+3 −2 +1 +2
正，向南为负，已知从出发点开始所行驶的路程（单位：千米）为： ， ， ， ，−3 −1 +2
， ， ．
（1）若此时遇到紧急情况要求这辆汽车回到出发点，请问司机该如何行驶？
（2）当该辆汽车回到出发点时，一共行驶了多少千米？
3 计算：
3 5 2
0.6×(− )×(− )×(−2 )
（1） ；
4 6 3
2 8 1
(− )÷(− )÷(−0.25)÷
（2） ．
3 5 6
4 下列计算正确的是（ ）
2 2 4
A： ( ) =
5 5
1 2 8
B： (−1)2015 −( ) =
3 9
3 2 3 2 9
C： (− ) −( ) =
4 4 8
26 +26 = 27
D：
1 3 2
5 −12 ×(−3)2 +(− ) ×(−2)5 ÷ =
计算： （ ）
2 9
−4
A：
B： 4
−9
C：
D： 9
3 4
6
计算：
(−1)2018 +∣
∣
3 −(−2)2∣
∣
+( − )×12
．
4 3
11 7 3 13
7 ( − + − )×(−48)
计算： ．
12 6 4 24
15 15 15
8 −8 ×(− )+12 ×(− )−4 ×(− )
计算： ．
29 29 29
9 计 算 ：
1 1 1 1 1 99
( + + + +⋯⋯+ )÷[−(− )] =
（ ）
1 ×2 2 ×3 3 ×4 4 ×5 99 ×100 100100
A：
99
99
B：
100
−1
C：
D： 1
1 1 1 1
10 + + +⋯+
计算： ．
1 ×4 4 ×7 7 ×10 58 ×61
能力强化 / 初一 / 秋季
第 2 讲 有理数运算
课堂落实答案
1 计算：
1 10
(−1.75)−(+6 )−2.25+
（1） ；
3 3
5 7 5 3
(− − )÷4 −(− )
（2） ．
8 12 6 4
2 下列各组数中，数值相等的是（ ）
−12 (−1)2
A： 与
23 2 3
B： ( )
与
3 3
−(−2)9 −29
C： 与
(−3)5 −35
D： 与
1 3
3 (−1)2018 ÷2 +(− ) ×16 −|−2|
计算： ．
2
1 3 1 2 1 1
4 ( − + )×24 +36 ×( + − ) =
计算： （ ）
2 4 8 3 4 12
A： 24
B： 27C： 28
D： 32
1 1 1 1 1
5 + + + +⋯⋯+ =
计算 （ ）
1 ×2 2 ×3 3 ×4 4 ×5 99 ×100
1
A：
−1
B：
99
C：
100
98
D： −
99
能力强化 / 初一 / 秋季
第 2 讲 有理数运算
精选精练
1 计算：
(−61)−(−71)−|−8|
（1） ；
3 −[(−3)−(+12)]
（2） ．
2 检修组乘汽车，沿公路检修线路，约定向东为正，向西为负，某天自A地出发，到收工时，行走记
录为（单位：千米）：
−9 −2 −10 −3 −4
+8， ，+4，+7， ， ，+18， ，+7，+5， ．
回答下列问题：
（1）收工时在A地的哪边？距A地多少千米？
（2）若每千米耗油0.3升，问从A地出发到收工时，共耗油多少升？
3 如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：
(1)这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成__________个细胞；
(2)这样的一个细胞经过3小时后可分裂成__________个细胞；
(3)这样的一个细胞经过n(n为正整数)小时后可分裂成__________个细胞．2 3 2 ∣ 1 2∣
4 [(−1)3 + +12015 ×(−1)2016 −23 ×(− ) ]÷∣−4 ÷2 ×(− ) ∣
计算： ．
9 2 2
∣ ∣
1 1 1 1 1 1 1 1
5 = 1 − = − = −
观察下列等式： ， ， ．
1 ×2 2 2 ×3 2 3 3 ×4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + = 1 − + − + − = 1 − =
可得： ．
1 ×2 2 ×3 3 ×4 2 2 3 3 4 4 4
1
=
（1）猜想并写出： ________．
100 ×101
1 1 1 1
+ + +⋯+
（2）利用上述猜想计算： ．
1 ×2 2 ×3 3 ×4 100 ×101
1 1 1 1
+ + +⋯+
（3）探究并计算： ．
2 ×4 4 ×6 6 ×8 2018 ×2020
5 7 9 11 13 15 17 19
6 1 − + − + − + − +
计算： ．
6 12 20 30 42 56 72 90
能力强化 / 初一 / 秋季
第 3 讲 数轴与绝对值
例题练习题答案
例1 数轴上有A、B两点，点A表示的数是2，点B与点A之间的距离为4，则点B表示的数是________.
练1.1 (1)在数轴上A点表示3，B点表示 −2 ，那么A，B两点之间的距离是_____．
−3
(2)在数轴上与 距离等于4个单位长度的点表示的数是_____．
例2 (1)如图，数轴上线段AB的中点表示的数是_____．
(2)一条数轴由点A处对折，表示 −50 的点恰好与表示5的点重合，则点A表示的数是_____．
练2.1 (1)若数轴上点A表示6，点B表示 −2 ，则AB中点表示的数是（ ）
A： 2
−3
B：
C： 3−2
D：
−3
(2)在纸上画一个数轴，将纸对折后，若表示4的点与表示 的点恰好重合，则此时数轴上折痕
经过的点所表示的数是______．
(3)数轴上，表示数2， −6 的点分别为点B，A，已知点B是A，C的中点，则点C对应的数是
______．
例3 已知在纸面上有一数轴，折叠纸面：
−3 −4
（1）若表示3的点与表示 的点重合，则表示 的点与表示______的点重合；
−1
（2）若表示 的点与表示5的点重合，则表示6的点与表示______的点重合；
（3）在（1）的条件下，若重合的两点之间的距离为2016，则这两点表示的数分别为________，
________．
−3 −2016
练3.1 若数轴经过折叠，表示 的点与表示1的点重合，则表示 的点与表示_____的点重合．
a > 5 −|5 −a| =
例4 若 ，则 ________．
1 < a < 3 |1 −a|+|a−4| =
练4.1 若 ，则代数式 （ ）
A： 5
−3
B：
C： 3
2a−5
D：
a b |a−b|−2|a+b|
例5 有理数 ， 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）
a+3b
A：
−3a−b
B：
3a+b
C：
−a−3b
D：
m n |m−n|+|m+n|
练5.1 有理数 ， 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）2n
A：
−2n
B：
2m
C：
−2m
D：
|x−2|+|x−7|
例6 求 的最小值．
练6.1 已知 n = |x+5|+|x−2| ，则n的最小值为（ ）
A： 7
B： 3
C： 5
D： 8
能力强化 / 初一 / 秋季
第 3 讲 数轴与绝对值
自我巩固答案
a −5 2 a
1 如果数轴上表示数 和 的两点之间的距离是 ，那么 的值为（ ）
−3 7
A： 或
−7 −3
B： 或
3
C：
−7 3
D： 或
2 在数轴上距离原点2个单位长度的点所表示的数是（ ）
A： 2
−2
B：
−2
C： 2或−1
D： 1或
A 8 B −2 AB
3 若数轴上点 表示 ，点 表示 ，则 中点表示的数是（ ）
2
A：
−3
B：
3
C：
−2
D：
4 操作探究：
已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
(1) 操作一：
−2
折叠纸面，使表示2的点与表示 的点重合，则表示3的点与表示_____的点重合．
(2) 操作二：
−3
折叠纸面，使表示 的点与表示1的点重合，回答以下问题：
①表示3的点与表示_____的点重合；
②若数轴上A，B两点之间距离为7（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B
两点表示的数分别是：A：_____；B：_____．
1 < x < 2 |1 −x|+|x−2|
5 当 时，代数式 的值是（ ）
A： 1
−1
B：
C： 3
−3
D：
a b |a+b|+|a−b|
6 有理数 ， 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为________．
a b c |c−a|−|a−b|−|b+c|
7 有理数 ， ， 在数轴上位置如图，则 的值为________．a b
8 已知有理数 ， 在数轴上的位置如图所示，则下列代数式的值最大的是（ ）
a+b
A：
a−b
B：
|a+b|
C：
|a−b|
D：
9 已知 n = |x−6|+|x−3| ，则 n 的最小值为（ ）
3
A：
−3
B：
−6
C：
6
D：
10 求下列式子的最小值，并说明取得最小值时 x 的取值范围：
|x−2|+|x−1| |−x−5|+|−x+3|
（1） ； （2） ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 3 讲 数轴与绝对值
课堂落实答案
1 在数轴上与 −3 的距离等于 5 的点表示的数是（ ）
2
A：
−8
B：
2 −8
C： 或
D： 无法确定
2 若数轴上点 A 表示5，点 B 表示 −7 ，则 AB 中点表示的数是（ ）−2
A：
1
B：
−1
C：
−6
D：
−3 −2020
3 若数轴经过折叠，表示 的点与表示1的点重合，则表示 的点与表示_____的点重合．
4 实数a、b、c在数轴上位置如图，化简 |a|+|b−c| 的结果为______．
5 已知 n = |x+1|+|x−2| ，则n的最小值为（ ）
A： 7
B： 3
C： 5
D： 8
能力强化 / 初一 / 秋季
第 3 讲 数轴与绝对值
精选精练
1 如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且
MN = NP = PR = 1 ．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若
|a|+|b| = 3
，则原点是（ ）
A： M或N
B： M或R
C： N或P
D： P或R2 如图，在数轴上有三个点A，B，C，完成下列问题：
(1)将点B向右移动四个单位长度到点D，在数轴上表示出点D．
(2)在数轴上找到点E，使点E为CA的中点（E到A，C两点的距离相等），求出BE的长．
(3)若 O 为原点，取OC的中点M，将OC分为两段，记为第一次操作，取这两段OM、CM的中点
分别为 N 1、 N 2，将OC分为4段，记为第二次操作，再取这四段的中点将OC分为8段，记为
第三次操作，第五次操作后，OC之间共有多少个点？求出这些点所表示的数的和．
3 已知点
A
在数轴上对应的数为
a
，点
B
对应的数为
b
，且
|a+2|+(b−1)2 = 0
，
A
，
B
之间的
|AB| |AB| = |a−b|
距离记作 ，定义： ．
AB |AB| = 3
①线段 的长 ；
P x |PA|−|PB| = 2 x = 0.5
②设点 在数轴上对应的数为 ，当 时， ；
P A M N PA PB P A
③若点 在 的左侧， ， 分别是 ， 的中点，当 在 的 左 侧 移 动 时
|PM|+|PN|
的值不变；
|PN|−|PM|
④在③的条件下， 的值不变．
以上①②③④结论中正确的是_________（填上所有正确结论的序号）．
4 阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B
两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1， |AB| = |OB| = |b| = |a−b| ．
（1）当A，B两点都不在原点时，
① 如 图 2 ， 点 A ， B 都 在 原 点 的 右 边 ，
|AB| = |OB|−|OA| = |b|−|a| = b−a = |a−b|
；
② 如 图 3 ， 点 A ， B 都 在 原 点 的 左 边 ，
|AB| = |OB|−|OA| = |b|−|a| = −b+a = |a−b|
；
③ 如 图 4 ， 点 A ， B 在 原 点 的 两 边 ，
|AB| = |OB|+|OA| = |b|+|a| = −b+a = |a−b|
；
综上，数轴上A，B两点之间的距离 |AB| = |a−b| ．
（2）回答下列问题：
−2 −5
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示 和 的两点之间的距离是______，
−3
数轴上表示1和 的两点之间的距离是_____；②数轴上表示x和 −1 的两点A和B之间的距离是_____________，如果 |AB| = 2 ，那么x为
________________；
③当代数式 |x+1|+|x−2| 取最小值时，相应的x的取值范围是_______________________．
|5 −(−2)| −2 −2
5 同学们都知道， 表示5与 之差的绝对值，实际上也可理解为5与 两数在数轴上所
对应的两点之间的距离．
|5 −(−2)| =
（1）求 _______．
|x+5|+|x−2| = 7
（2）找出所有符合条件的整数，使得 成立．
x |x+5|+|x−2|+|x−4|
（3）找出符合条件的 ，使得 的和最小．
x
6 计算下列式子的最值，并说明取得最值时 的取值范围：
2|x+3|+|x−1| |4x+2|+|4x−1|
（1） （2）
能力强化 / 初一 / 秋季
第 4 讲 整式
例题练习题答案
( )
例1 下列说法正确的是
3
A： 单项式 − xy 的系数是 −3
4
2πa3
B： 单项式 的次数是4
x2y2 −2x2 +3
C： 多项式 是四次三项式
x2 −2x+6 x2 2x
D： 多项式 的项分别是 ， ，6
−3 +x x−y 6m+3
−−
练1.1 √x +2 t m3 +2m2 −m ( )
代数式 ， ， ， ， ， 中，多项式有
a 2 πA： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
1
例2 6x2y4 − y2zm+2 −6m+2
已知单项式 与 的次数相同，求 的值．
3
练2.1 若代数式 (a+2)x|a−1|y2 −3xy3 是关于x，y的五次二项式，则a的值为 ( )
−2
A：
−2
B： 或4
C： 4
D： 不确定
例3 对 2x3y2 −3x2y3 −5x4y +6xy4 −5 按x进行升幂排列．
练3.1 对 2x3y2 −3x2y3 −5x4y +6xy4 −5 按y进行降幂排列．
xa+1y3 2x3yb−1 ba
例4 如果单项式 与 是同类项，那么- =___．
5 7
练4.1 ax2yn+1 − axmy4 m−n =
若单项式 与 的差仍是单项式，则 （ ）
7 5
A： 5
−1
B：
C： 1
D： 4
例5 去括号：
a+(a−5b)
(1)
x+[−x−2(x−2)]
(2)
练5.1 去括号：5m+2(m−2n)
(1)
4x2 −[x−(x−1)+x2]
(2)
x3 −6x2 −7 3x2 +mx2 −5x+3 x
例6 如果多项式 与多项式 的和不含 的二次项，则常数
m =
_____．
2x2 +3x+2(x2 −2mx+1) x m =
练6.1 (1)若多项式 不含 的一次项，则 _____；
(2)已知 A = 2x2 +3xy −2x−1 ， B = x2 +xy −1 ，且 3A −6B 的值与x的取值无
y =
关，则常数 _____．
例7 互联网技术的广泛应用促进了快递行业的高速发展．小明打算给朋友快递一些重要物品，经了解
甲快递公司比较合适．甲快递公司规定：如果快递物品的重量不超过1千克，按每千克22元收费；
如果超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．设小明快递物品的重量为x(x > 1)
千克．
（1）用含有x的代数式表示小明应付的快递费；
（2）如果小明快递物品的重量为3千克，那么他应付快递费多少元？
x y
练7.1 制作一种如图所示的无盖长方体铁盒，已知底面是边长为 的正方形，铁盒的高度为 ．
(1)铁盒的体积可表示为________，铁盒的表面积可表示为________；
10 = 10 x y
(2)若铁盒的高度为 ，即____ （填“ ”或“ ”），则此时铁盒的体积可表示为
________，铁盒的表面积可表示为________．
例8 如图，点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两
点的距离是15个单位长度，已知点B的速度是点A的速度的4倍（速度单位：单位长度/秒）．
(1)求出点A，点B的速度，并在数轴上标出A，B两点从原点出发运动3秒时的位置；(2)若A，B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰
好处在点A、点B的正中间？
A B
练8.1 如图，动点 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点 也从原点出发向数轴正方向运动5秒
A B 1 : 3 /
后，两点相距20个单位长度．已知动点 ， 的速度比是 （速度单位：1个单位长度 秒）．
A B
(1)求两个动点运动的速度，并在数轴上标出 、 两点从原点出发运动5秒时的位置；
A B
(2)若 、 两点分别从（1）中标出的位置同时向数轴的负方向运动，问经过几秒原点恰好处在
两个动点的正中间？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 4 讲 整式
自我巩固答案
1
1 xa+1y3 a
已知单项式 的次数是5，那么 的值是（ ）
2
−1
A：
B： 4
−4
C：
D： 1
1
2 − x|m| +(m−2)x+1 x m
若多项式 是关于 的二次三项式，则 的值是（ ）
5
−2
A： 2或
B： 2
−2
C：
−4
D：
−3x5y3 2ym+5xn+3 mn
3 若 和 是同类项，则 的值为（ ）A： 2
−4
B：
C： 4
−2
D：
4 下列去括号正确的是（ ）
−(2x+5) = −2x+5
A：
1
B： − (4x−2) = −2x+2
2
1 2
C： (2m−3n) = m+n
3 3
2 2
D： −( m−2x) = − m+2x
3 3
5 化简：
(5a−3b)−3(a2 −2b)
（1） ；
1
3a2 −[5a−( a−3)+2a2]+4
（2） ．
2
1
6 多项式 x2 −3kxy −3y2 + xy −8 合并同类项后不含xy项，则k的值是（ ）
3
1
A：
3
1
B：
6
1
C：
9
D： 0
7 把多项式
−2a3b−6a5b2 +3a2b3 −27
按
a
的次数降幂排列．
8 已知多项式 3x2 +my −8 与多项式 −nx2 +2y +7 的差中，不含有 x 的二次项和y的一次项，
nm +mn
求 的值．
9 某校的初一学生在5名教师的带领下去公园秋游，公园的门票为每人30元．现有甲、乙两种优惠方
案，甲方案：带队教师免费，学生按8折收费；乙方案：师生都按7.5折收费．
(1)若有m名初一学生，甲、乙两种优惠方案分别应付门票费多少元？(2)若有50名初一学生，采用哪种方案更优惠？
(3)若有100名初一学生，采用哪种方案更优惠？
A B A B P
10 如图，已知数轴上有 ， 两点（点 在点 的左侧），且两点距离为8个单位长度，动点 从点
A t(t > 0)
出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 秒．
A B A
(1)图中如果点 ， 表示的数是互为相反数，那么点 表示的数是 ；
t = 3 A P
(2)当 秒时，点 与点 之间的距离是 个长度单位；
A −3 t P
(3)当点 表示的数是 时，用含 的代数式表示点 表示的数；
P A P B t
(4)若点 到点 的距离是点 到点 的距离的2倍，请直接写出 的值．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 4 讲 整式
课堂落实答案
1
1 x|n| −(n +2)x+7 x n
多项式 是关于 的二次三项式，则 的值是（ ）
2
A： 2
−2
B：
−2
C： 2或
D： 3
(2mn −m2 +n2)+(m2 −n2 +mn)
2 计算： ．
x 3x2 +ax+bx2 −8x−5 x a−2b
3 已知关于 的多项式 的值与 的取值无关，求 的值．
4 某住宅的平面结构示意图如图所示，图中标注了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：米）．该
a
住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用地砖的价格是 元/平方米，则买砖至a x y
少需用________元（用含 、 、 的代数式表示）．
A B −3 P A
5 已知数轴上两点 、 对应的数分别为 ，5，点 从点 出发以每秒1个单位长度的速度向右运
P A B
动，多少秒后点 到点 、点 的距离相等？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 4 讲 整式
精选精练
x|m+1| −(m−2)x+6 x m
1 多项式 是关于 的三次二项式，则 的值是_________．
2 下列各式由等号左边到右边变形错误的有（ ）
a−(b−c) = a−b−c
① ；
(x2 +y)−2(x−y2) = x2 +y −2x+y2
② ；
−(a+b)−(−x+y) = −a+b+x−y
③ ；
−3(x−y)+(a−b) = −3x−3y +a−b
④ ．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 计算：x2 −(3xy −4y2)−[xy −(x2 +5y2)]
（1） ；
7x2 −[−2x2 −3(−6x+8x2 −4)]
（2） ．
A = x2 +ax B = 2bx2 −4x−1 2A +B x
4 已知 ， ，且多项式 的值与字母 的取值无关，求
a b
， 的值．
5 某市区自今年1月起，居民生活用水开始实行阶梯式计量水价，该阶梯式计量水价分为三级（如下
表所示）：
/
月用水量（吨） 水价（元 吨）
第一级 20吨以下（含20吨） 1.6
第二级 20吨~30吨（含30吨） 2.4
第三级 30吨以上 3.2
例 ： 某 用 户 的 月 用 水 量 为 32 吨 ， 按 三 级 计 量 应 缴 的 水 费 为 ：
1.6×20 +2.4×10 +3.2×2 = 62.4
（元）．
（1）如果甲用户的月用水量为12吨，则甲应缴的水费为______元；
（2）如果乙用户应缴的水费为39.2元，则乙的月用水量为_______吨；
a a
（3）如果丙用户的月用水量为 吨，则丙用户该月应缴水费多少元？（用含 的代数式表示，并
化简）
6 已知点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且 |a+6|+(b−18)2 = 0 （规定：数轴上A，B
两点之间的距离记为AB）．
b−a
(1)求 的值；
(2)数轴上是否存在点C，使得 CA = 3CB ？若存在，请求出点C所表示的数；若不存在，请说
明理由；
(3)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每
秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P比Q先出发2秒．问点Q出发多少秒后，P，
Q相距4个单位长度？能力强化 / 初一 / 秋季
第 5 讲 整式化简求值
例题练习题答案
例1 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简 |a+b|−|b−c| 的结果是（ ）
a+c
A：
c−a
B：
−a−c
C：
a+2b−c
D：
练1.1 有 理 数 a 、 b 、 c 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 化 简
−2|a+b|+|b+c|−3|a−c|+2|c−b|
．
−3x2 +5x−0.5x2 +x−1 x = 2
例2 求代数式 的值，其中 ．
1
练2.1 2x3 +4x− x2 −(x+3x2 −2x3) x = −3
先化简，再求值： ，其中 ．
3
1 1 3 1
例3 x−2(x− y2)+(− x+ y2) x y
先 化 简 ， 再 求 值 ： ， 其 中 ， 满 足
2 3 2 3
|x−2|+(y +1)2 = 0
．
1 2
练3.1 |a+1|+(1 − b) = 0 A = 4a2 −ab+4b2 B = 3a2 −ab+3b2
已 知 ， ， ， 求
2
3A −2(A −B)
的值．
2 1
例4 3xa+1yb−1 x2y2 2a2b+3a2b− a2b
已知 与 是同类项，求 的值．
5 2
2
练4.1 −x2m−ny3 x5ym
若 单 项 式 与 单 项 式 可 以 合 并 ， 求 多 项 式
3
4m−2n +5(−m−n)−2(n −2m)
的值．
y2 +2y +7 4y2 +8y −5
例5 (1)若代数式 的值是6，则代数式 的值是________；2x−y = 2 2y −4x+5
(2)若 ，则 的值为________；
3
(3)若代数式 2x2 −3x+2 的值为7，则 x2 − x−1 的值是________；
2
x2 −2y −5 = 0 3(x2 −2xy)−(x2 −6xy)−4y
(4)先化简，再求值：已知 ，求 的值．
a−b = −4 c+d = 3 (3b+c)−(3a−d)
例6 (1)已知 ， ，则 的值是________；
cd
(2) a b c d |m| = 1 2(a+b)−
已知 与 互为相反数， 与 互为倒数， ，则 的值是_______；
m2
4a2 −4ab+2b2 −2(a2 −ab+3b2) a2 +ab = 5
(3)化 简 求 值 ： ， 其 中 ，
b2 +ab = 3
．
x = −1 ax3 +bx+1 = −2019 x = 1 ax3 +bx+1 =
例7 当 时， ，则当 时， ______．
x = 3 ax3 +bx+7 x = −3 ax3 +bx+7
练7.1 当 时，代数式 的值为5，则当 时，代数式 的值为
_______．
x x2 −2x−1 = 0 2x3 −7x2 +4x−2017 =
例8 若 满足 ，则 （ ）
−2017
A：
−2018
B：
−2019
C：
−2020
D：
x2 −x−1 = 0 −x3 +2x2 +2018
练8.1 已知： ，求 的值．
5
(x3 −3x−1)
例9 代 数 式 展 开 后 等 于
a x15 +a x14 +a x13 +a x12 +…+a x2 +a x+a
15 14 13 12 2 1 0．
a
（1）求 0的值；
a +a +a +…+a +a +a
（2）求 15 14 13 2 1 0的值．
能力强化 / 初一 / 秋季第 5 讲 整式化简求值
自我巩固答案
1 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，试化简 |a+c|+|a−b−c|−|b−a|+|b+c| ．
x = 3 y = −2 −2xy +4x2y +xy2 −x2y +6xy
2 已知 ， ，求 的值．
(a+2)2 +|b−1| = 0 a2b+3(ab−a2b)−2ab+ab2
3 若 ，计算 的值．
4 先 化 简 ， 再 求 值 ：
4x−3(x−2y2)+2(5x−y2)
， 其 中 x ， y 满 足
|x−6|+(y +2)2 = 0
．
x−3y = −2 5 −x+3y
5 已知 ，则 的值是（ ）
A： 7
B： 6
C： 3
−7
D：
a−b = 1 2a−2b−3
6 已知 ，则代数式 的值是（ ）
−1
A：
B： 1
−5
C：
D： 5
2x2 +3x+7 4x2 +6x−5
7 代数式 的值是6，则代数式 的值是（ ）
−7
A：
B： 7
C： 14
−14
D：x−2y = −3 5(x−2y)2 −3(x−2y)+40
8 已知 ，则 的值是（ ）
A： 5
B： 94
C： 45
−4
D：
a+b
9 若 a 、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是1，求 +(a+b+cd)m−|m| 的
m
值．
(x−1)7 a x7 +a x6 +a x5+⋯+a x2 +a x+a
10 二项式 的展开式为 7 6 5 2 1 0 ，
（1）求各项系数之和；
（2）求奇数项系数之和．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 5 讲 整式化简求值
课堂落实答案
1 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 |a−b|+|a−c|+|b−c| ．
1
2 |a−2|+(b+1)2 = 0 3a2b+ab2 −3a2b+5ab+ab2 −4ab+ a2b
已知 ，求 的值．
2
3x2ya −2xby 5a2b−[2ab2 +3(−ab+ab2)]
3 如果 与 是同类项，则 的值为________．
2x2 +6x−1 x2 +3x−7
4 代数式 的值为7，则代数式 的值为 ．
(x+1)5 = a x5 +a x4 +a x3 +a x2 +a x+a
5 已 知 5 4 3 2 1 0 ， 则
a +a +a −a −a −a =
4 2 0 5 3 1 ________．
能力强化 / 初一 / 秋季第 5 讲 整式化简求值
精选精练
a b c |a| = |b|
1 已知有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，化简
|a|−|a+b|−|c−a|+|c−b|+|ac|−|−2b|
．
|a−2| = 4 |b−5| (c+3)2 a > b (5a+4c+7b)+
2 已知 ， 与 互为相反数，且 ，求代数式
(5c−3b−6a)−(2a−b+c−abc)
的值．
8x2ay −3x4y2+b A = a2 +ab−2b2 B = 3a2 −ab−6b2
3 已知 与 是同类项，且 ， ，求
3A −B
的值．
a2 −ab= 26 ab−b2= −18 a2 −b2 a2 −2ab+b2
4 已知： ， ，求代数式 与 的值．
a+b+c = 0 a2 +b2 +c2 = 0 a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)
5 已知 ， ，求 的值．
(2x+1)5 = a x5 +a x4 +a x3 +a x2 +a x+a a +a
6 若 5 4 3 2 1 0，求 4 2的值．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 6 讲 定义新运算和找规律
例题练习题答案
1 1
例1 a b a⨂b = a( − )
定 义 新 运 算 ： 对 任 意 有 理 数 、 ， 都 有 ， 例 如
a b
1 1 1
3⨂4 = 3 ×( − ) = (−2)⨂5 ( )
，那么 的值是
3 4 4
3
A： −
5
3
B：
5
7
C： −
57
D：
5
∗ a b a∗ b = b2 −ab−3
练1.1 定义运算“ ”：对于任意有理数 和 ，规定 ．
2 ∗ 3 = 32 −2 ×3 −3 = 0
如： ．
−5 ∗ (−3)
(1)求 的值；
3
(2)若 (a−3)∗ (− ) = a−1 ，求 a 的值．
4
x = −1 y =
例2 根据如图所示的计算程序，若输入的值 ，则输出的值 ______．
练2.1 一台整式转化器原理如图，开始时输入关于 x 的整式 M ，当 M = x+1 时，第一次输出
3x+1
，继续下去，则第3次输出的结果是（ ）
7x+1
A：
15x+1
B：
31x+1
C：
15x+15
D：
例3 给出定义如下：
a b a+b = ab−1 a b (a,b)
若有理数 ， 满足等式 ，则我们称 ， 为一对“伴生有理数”，记为 ．
2 +3 = 2 ×3 −1 (2,3)
例如： ，则称2，3是一对“伴生有理数”，记为 ．
1 3
(1) ( −3) (7 )
判断 ， 是否为“伴生有理数”，请说明理由；
2 4
(4,m) m
(2)若 为“伴生有理数”，求 的值．
4 7
例4 下列是一组按一定规律组成的点阵图，第①个图由 个点组成，第②个图由 个点组成，第③个图
10 n
由 个点组成，则第 个图由（ ）个点组成．n +3
A：
2n +3
B：
4n −2
C：
3n +1
D：
练4.1 如图所示，在由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案中，第5个图形中阴
影小三角形的个数是________，第n个图形中阴影小三角形的个数是________．
(n,m) n m
练4.2 将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对 表示第 排,从左到右第 个数,如
(4,2) 9 58
表示 ,则表示 的有序数对是(___,___)
1 1 1 1 1 1
例5 − − −
按一定规律排列的一列数依次为 ， ， ， ， ， ，……，按此规律排列下
2 5 10 17 26 37
8
去，这列数中第 个数是________．
n
练5.1 如图所示，把黑色棋子按如图的规律摆放，那么第4个图摆放了________枚棋子．那么第 个图应
摆放的棋子数为________枚．
例6 拓展探索：有若干个数，第一个数记为 a 1，第二个数记为 a 2，第三个数记为 a 3，…，第n个数记
a a = −2
为 n，若 1 ，从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，如：
1 1 1
a = = = a =
2 1 −a 1 −(−2) 3 ，…如此计算，则 2019 ________．
11 2 3 4 5
练6.1 如图，给正五边形的顶点依次编号为 ， ， ， ， ，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时
针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在
3 3 3 → 4 → 5 → 1
编号为 的顶点上时，那么他应走 个边长，即从 为第一次“移位”，这时他到
1 1 → 2 2
达编号为 的顶点；然后从 为第二次“移位”．若小宇从编号为 的顶点开始，则第
2018
次“移位”后，他所处顶点的编号为（ ）
1
A：
2
B：
3
C：
4
D：
例7 把2020个正整数1，2，3，4，…，2020按如图的方式排列成一个表．
(1)如上图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另外三个数用含x
的式子从小到大依次表示为________，________，________．
(2)当（1）中被框住的4个数的和等于416时，x的值为多少？
(3)在（1）中能否框住4个数，使它们的和等于324？如果能，求出x的值；如果不能，请说出理
由．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 6 讲 定义新运算和找规律自我巩固答案
a b = (a−1)÷b 5 1 =
1 定义新运算为 △ ，则 △ （ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
a b a b = a+b+1
2 对自然数 ， ，规定 ※ ，(2※3)※4=（ ）
A： 9
B： 10
C： 11
D： 12
∣a b∣ ∣ 2 3∣
3 a b c d ∣ ∣ = ad +bc ∣ ∣ =
已知 ， ， ， 为实数，规定一种运算 ，则 （ ）
∣c d∣ ∣−2 4∣
A： 2
−
B： 4
−
C： 6
D： 8
a+1
4 aϕb = 5ϕ2
定义新运算为 ，则 的值为（ ）
b
1
A：
2
B：
3
C：
4
D：
5 根据如图所示的运算程序计算，当输出为4200时，输入的数值为（ ）A： 2
−
B： 2
C： 3
−
D： 3
x = 3
6 按下列程序来计算：如果 ，求应该输出的值．
7 观察下列图形：
16
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 个图形共有（ ）个★．
A： 45
B： 49
C： 60
D： 72
a+b+c =
8 在下面各正方形中的四个数都有一定的规律，按此规律得出 （ ）
A： 100
B： 110
C： 99
D： 88
9 有一列数1， −3 ，9， −27 ，81， −243 ……，求这列数的第n项．1 2 3 4
10 − −
有一列数 ， ， ， ……，那第6个数是多少？
2 5 10 17
能力强化 / 初一 / 秋季
第 6 讲 定义新运算和找规律
课堂落实答案
a △ b = (a+1)÷b 5 △ 2 =
1 定义新运算为 ，则 （ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
∣a b ∣ ∣2 4∣
2 a b c d ∣ ∣ = ad −bc ∣ ∣ = x x =
已知 、 、 、 为实数，规定一种运算 ，若 ，则 （ ）
∣c d∣ ∣−2 5∣
A： 6
B： 18
C： 16
D： 8
3 如图是一个运算程序，
−2
（1）当输入 时，求输出的数值是多少？
（2）当输入3时，求输出的数值是多少？
3 5 7 9
4 已知下列一组数：1， ， ， ， ……；用代数式表示第n个数，则第n个数是（ ）
4 9 16 25
2n −1
A：
3n −22n −1
B：
n2
2n +1
C：
3n −2
2n +1
D：
n2
a+b
5 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 的值为（ ）
A： 32
B： 33
C： 34
D： 35
能力强化 / 初一 / 秋季
第 6 讲 定义新运算和找规律
精选精练
1
a−b+c x+z −y −w
规定图形 表示运算 ，图形 表示运算 ．则
+ =
_________（直接写出答案）．
2 小明编制了一个计算程序，当输入任一个非负数时，显示屏的结果等于所输入数据的平方与1之
−1
差；而当输入一个负数时，显示屏的结果等于所输入数据的相反数，若小明开始输入数据 ，并
把每次计算的输出结果作为下一次的输入数据，那么计算机经过二十次运算后的输出结果是
（ ）
1
A：
−1
B：C： 0
D： 无法确定
a+b+c+d = 32
3 如图是一个数表，现用一个长方形在数表中任意框出4个数，则当 时，
a =
_____．
4 将正偶数按后面表格排成5列若干行后，根据图中的排列规律，2016应为（ ）
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
第4行 32 30 28 26
… … … … …
A： 第251行，第1列
B： 第251行，第2列
C： 第252行，第1列
D： 第252行，第2列
1 1 1 1 1 5
5 x f (x) = f (3)= = f ( ) = =
对于正数 规定 ，例如： ， ，
x+1 1 +3 4 5 1 + 1 6
5
f (2019)+f (2018)+…+f (2)+f (1)
则
1 1 1 1
+f ( )+f ( )+…+f ( )+f ( ) =
＿＿＿＿．
2 3 2018 20196 数学是一门充满乐趣的学科，某校七年级小凯同学所在的数学学习小组遇到一个富有挑战性的探
究问题，请你帮助他们完成整个探究过程；
【问题背景】
n
对于一个正整数 ，我们进行如下操作：
n m m m ×m
（1）将 拆分为两个正整数 1， 2的和，并计算乘积 1 2；
m m
（2）对于正整数 1， 2，分别重复此操作，得到另外两个乘积；
1
（3）重复上述过程，直至不能再拆分为止（即拆分到正整数 ）；
（4）将所有的乘积求和，并将所得的数值称为该正整数的“神秘值”．
n
请探究不同的拆分方式是否影响正整数 的“神秘值”，并说明理由．
【尝试探究】
（1）正整数1和2的“神秘值”分别是_______．
（2）为了研究一般的规律，小凯所在的学习小组通过讨论，决定再选择两个具体的正整数6和
7，重复上述过程．
探究结论：
如图1所示，是小凯选择的一种拆分方式，通过该拆分方法得到正整数6的“神秘值”为15．
请模仿小凯的计算方式，在图2中，选择另外一种拆分方式，给出计算正整数6的“神秘值”的过
程；对于
正整数7，请选择一种拆分方式，在图3中给出计算正整数7的“神秘值”的过程．
【结论猜想】n
结合上面的实践活动，进行更多的尝试后，小凯所在的学习小组猜测，正整数 的“神秘值”与其
拆分方法
n
无关．请帮助小凯，利用尝试成果，猜想正整数 的“神秘值”的表达式为_______．（用含字母
n
的代数
式表示，直接写出结果）
能力强化 / 初一 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 绝对值最小的有理数是（ ）
A： 1
B： 0
−1
C：
D： 不存在
2 一个点从数轴上原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，这时它表示的数
是（ ）
A： 2
−2
B：
C： 1
−1
D：
3 根据北京市统计局2015年3月发布的数据，2015年3月北京市工业销售产值累计4006.4亿元，将
4006.4用科学记数法表示应为( )
A： 0.40064×10 4
B： 4.0064×10 3C： 4.0064×10 4
D： 40.064×10 2
2x+3y = −5 4x+6y +3
4 已知 ，则 的值是（ ）
−7
A：
B： 7
−10
C：
D： 10
5 下列各数表示正数的是（ ）
(a−1)2
A：
|a+1|
B：
∣1∣
C： ∣ ∣
∣a∣
−(−a)
D：
3x2 −5x+2 2x2 −x+1
6 一个代数式与 的和是 ，则这个代数式是( )
5x2 −6x+3
A：
−x2 −4x−1
B：
x2 +4x+1
C：
−x2 +4x−1
D：
7 下列合并同类项，结果正确的是( )
x4 +x4 = x8
A：
5m−2m+4m = 7m
B：
15a+4a−11 = 18a
C：
−9xy −2xy +11xy = xy
D：
8 下列去括号正确的是（ ）−3a−(2b−c) = −3a+2b−c
A：
−3a−(2b−c) = −3a−2b−c
B：
−3a−(2b−c) = −3a+2b+c
C：
−3a−(2b−c) = −3a−2b+c
D：
9 如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是 a 、 b 、 c （均不为0），其中 AB =BC ，如果
|a| >|b| >|c|
，
那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）
A： 点A的左边
B： 点A与点B之间
C： 点B与点C之间
D： 点B与点C之间(靠近点C)，或者点C的右边
10 已知 n = |x+5|+|x−2| ，则n的最小值为（ ）
A： 7
B： 3
C： 5
D： 8
2
11 − −π −3.14
的相反数是____；比较大小: ______ ．
3
12π
12 − x2
单项式 的系数是______，次数是______．
5
2
13 − x2yn 6xmy3 m = n =
若 与 是同类项，则 ________， ________．
3
1 1
14 数轴上有A、B两个点，若A点所对应的数为 − ，AB的中点所对应的数为 ，则B点所对应的数
2 4
为_______________．
A = 3mx2 +4mx+x B = mx2 +3mx−3x A −3B x
15 若 ， ，且 与 无关，则m的值为
_________．16 若 3x2 −2x+b+(−x−bx+1) 中不存在x的一次项，则 b = __________．
17 若实数x、y满足 |x−5|+(y +4)2 = 0 ,则代数式 (x+y)2017 的值为__________.
18 用“ Δ ”定义新运算：对于任意有理数a，b，当 a ≤ b 时，都有 aΔb = a2b ；当 a > b 时，都有
2
aΔb = ab2 Δ (− )Δ(−3)
．那么2 6 =______， =______．
3
19 计算：
−19 +(−42)−|−8|+91
（1）
2 5 7 1
(− − + )÷
（2）
3 9 18 27
6 6 6
(−5)×(−3 )+(−7)×(−3 )+12 ×(−3 )
（3）
7 7 7
43 4 3 3 4
−(−2)2 −|−3|×(− )+(− ) ×(− )
（4）
3 3 2
∣ 1∣
20 若 a 、 b 满 足 (a−3)2 + ∣ ∣b+ 9∣ ∣ = 0 ， 求 代 数 式
3
3ab2 −[2a2b−2(ab− ab2)+2ab]
的值．
2
21 若m和n都不为零且互为相反数，x和y互为倒数，c的绝对值是2．
m 5 n x 100
(xy − ) +(c4 ÷ )−( ) (m+n)10
求 的值．
n m y
22 已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简： 2(a+b)−3|a−c|+2|c−b| ．
23 有10筐白菜，以每筐30千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．记录如下
表：
−0.5 −1 −2
与标准质量的差值（单位：千克） 1 2.5 2 1.5
筐数 2 2 1 1 1 1 2
（1）根据记录，10筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
（2）与标准重量比较，10筐白菜总计超过或不足多少千克？
a b (b > a)
（3）若这10筐白菜的进货价为每千克 元，售价为每千克 元 ，则出售这批白菜可获利多
a b
少元？（用含 、 的代数式表示）24 已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为 −10 ， −4 ，点A以每秒5个单位长度的速
度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列
问题:
(1)运动前线段AB的长为______； 运动1秒后线段AB的长为______；
(2)运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为________和________；
(3)求t为何值时，点A与点B恰好重合；
25 把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，
第3个数字是21，…，则第5个数字是______________．
a |b| ab
26 + = 0
已知 ，则 的值为__________.
|a| b |ab|
能力强化 / 初一 / 秋季
第 8 讲 一元一次方程综合
例题练习题答案
例1 根据等式的性质填空．
b = a 2b =
（1）若 ，则 ___________；a
a= −2
（2）若 ，则 =__________；
3
−3x = 5 x =
（3）若 ，则 __________；
x = y −3x+ = −3y +9
（4）若 ，则 _______ ．
x2m−1 +8 = 0 x m
例2 (1)若 是一个关于 的一元一次方程，则 等于____．
|a|−2
(a−3)x −7 = 0 x a
(2)若 是一个关于 的一元一次方程，则 等于____．
例3 解方程：
4x+3(2x−3) = 12 −(x−4)
（1） ；
2
2x− (x+3) = −x+3
（2） ；
3
2x−1 10x+1 2x+1 1
− = −2
（3） ．
3 6 4 4
练3.1 解方程：
1
(x−2)+1 = x
（1） ；
2
3x−7 5x+8
− = 1
（2） ．
4 2
例4 解方程：
0.04x+0.09 0.3+0.2x x−5
− =
（1）
0.05 0.3 2
4y −1.5 5y −0.8 0.12−0.1y
− = +3
（2）
0.5 0.2 0.01
0.1x−0.2 x+1
练4.1 − = 3
小明解一元一次方程 的过程如下：
0.02 0.5
10x−20 10x+10
− = 3
第一步：将原方程化为 ．
2 5
x−2 x+1 3
− =
第二步：将原方程化为 ．
2 5 10
第三步：去分母…
（1）第一步方程变形的依据是________；第二步方程变形的依据是________；第三步去分母的依据
是________；
（2）请把以上解方程的过程补充完整．
例5 小华同学在解方程 5x−1 =()x+11 时，把“ () ”处的数字看成了它的相反数，解得 x = 2 ，
x =
则该方程的正确解应为 _____．2a−2x = 5 x −2x +2x
练5.1 小慧在解方程 （ 为未知数）时，误将“ ”写成了“ ”，得到方程的解为
x = −5
，则原方程的解为（ ）
x = −3
A：
x = 3
B：
x = 5
C：
x = −5
D：
能力强化 / 初一 / 秋季
第 8 讲 一元一次方程综合
自我巩固答案
am = an
1 如果 ，那么下列等式不一定成立的是（ ）
am−3 = an −3
A：
5 +am = an +5
B：
m = n
C：
−2am = −2an
D：
x y
x = y ax = ay x = y
2 下列等式变形：①如果 ，那么 ；②如果 ，那么 = ；③如 果
a a
x y
ax = ay x = y x = y
，那么 ；④如果 = ，那么 ．其中正确的是（ ）
a a
A： ①④
B： ③④
C： ①②
D： ②③
3 下列等式变形正确的是（ ）
2
A： 3x+2 = 0 x =
若 ，则
31
B： 若 − y = −1 ，则 y = 2
2
ax = ay x = y
C： 若 ，则
x = y x−3 = 3 −y
D： 若 ，则
3(x−1)−2(x−2) = 5(x+1)
4 方程 去括号后得（ ）
3x−1 −2x−4 = 5x+5
A：
3x−3 −2x+4 = 5x+5
B：
3x−3 −2x+4 = 5x+1
C：
3x−3 −2x+2 = 5x+5
D：
2x−1 1 +3x
5 − = 4
解方程 ，去分母后得到的方程是（ ）
2 4
2(2x−1)−(1 +3x) = 4
A：
2(2x−1)−(1 +3x) = 16
B：
2(2x−1)−1 +3x = 16
C：
2(2x−1)−[1 −(−3x)] = 4
D：
6 下列过程中，去分母正确的是（ ）
x 1 −x
A： −1 = 2x−1 = 3 −3x
由 ，得
3 2
x−2 x
B： 由 − = −1 ，得 2x−2 −x = −4
2 4
y y
−1 = 2y −15 = 3y
C： 由 ，得
3 5
y +1 y
D： = +1 3(y +1) = 2y +6
由 ，得
2 3
(m−1)x|2m−3| = 6 x m
7 若 是关于 的一元一次方程，则 等于（ ）
1
A：
2
B：
1 2
C： 或
D： 任何数8 解方程：
2x−1 3 −x
= 1 −
（1） ；
4 8
2x−1 3x+2
+1 = −2
（2） ；
3 4
3 −x x+4
=
（3） ；
2 3
7x−1 5x+1
− = 2
（4） ．
3 2
9 解方程：
x+1 0.2x−1
− = 1
（1） ；
0.4 0.7
0.08y −0.03 2.5y −0.4 1.2−y
− = +3
（2） ．
0.01 0.1 0.1
5a−x = 13 x −x +x x = −2
10 小李在解方程 （ 为未知数）时，误将 看作 ，得方程的解为 ，则原
方程的解为（ ）
x = 0
A：
x = 1
B：
x = 2
C：
x = 3
D：
能力强化 / 初一 / 秋季
第 8 讲 一元一次方程综合
课堂落实答案
1 下列结论错误的是（ ）
a = b a−c = b−c
A： 若 ，则
a = b ax = bx
B： 若 ，则
x = 2 x2 = 2x
C： 若 ，则
ax = bx a = b
D： 若 ，则
ax = bx
2 已知 ，下列结论错误的是（ ）a = b
A：
ax+c = bx+c
B：
(a−b)x = 0
C：
ax bx
D： =
π π
3 −(x+2) = 1
3 解方程 ，下列去括号正确的是（ ）
3 −x+2 = 1
A：
3 +x+2 = 1
B：
3 +x−2 = 1
C：
3 −x−2 = 1
D：
4 先阅读下列解题过程，再回答问题：
3x+5 5x−2
2x− = 0.4−
解方程：
0.2 0.5
30x+5 50x−2
2x− = 0.4−
解：原方程可化为 ①
2 5
10x−150x−5 = 4 −100x+2
去分母，得 ，②
−40x = 11
合并同类项得 ，③
11
x = −
系数化成1，得 ④
40
问题：
(1)指出解题过程中的错误的步骤是（ ）
A： ①②
B： ①③
C： ②③
D： ③④
(2)请给出正确解法．
1
5 16 − x − +
小马虎在计算 时，不慎将“ ”看成了“ ”，计算的结果是17，那么正确的计算结果
3
应该是（ ）A： 15
B： 13
C： 7
−1
D：
能力强化 / 初一 / 秋季
第 8 讲 一元一次方程综合
精选精练
1 设x，y，c表示有理数，下列结论始终成立的是（ ）
x = y x+c = y −c
A： 若 ，则
x = y xc = yc
B： 若 ，则
x y
x = y =
C： 若 ，则
c c
x y
= 2x = 3y
D： 若 ，则
2c 3c
2 下列说法中，正确的是（ ）
ac = bc a = b
A： 若 ，则
a b
B： = a = b
若 ，则
c c
a2 = b2 a = b
C： 若 ，则
|a| = |b| a = b
D： 若 ，则
3 解方程：
3 4 1 1 3
[ ( x− )−8] = x+1
（1） ；
4 3 2 4 2
2 1 2 1
5[ ( x−1)− x] = − x−7
（2） ．
5 4 5 2
4 解方程：
2x−3(6 −x) = 3x−4(5 −x)
（1） ；2x+1 x−2
= −2
（2） ；
4 3
x−1 2x+1 x−1
+ − = 2
（3） ；
2 6 3
9y −1.8 5y −1.2 1.4 −2y
− = +5
（4） ．
0.6 0.2 0.1
5 解方程：
x 0.17−0.2x
− = 1
（1） ；
0.7 0.03
0.8x+0.3 0.04 +0.05x x−7
− =
（2） ．
0.5 0.03 2
11 +x − 11 +x
6 某同学在计算 的值时，误将“＋”看成了“ ”，计算结果为20，那么 的值应为
______．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 9 讲 一元一次方程应用（一）
例题练习题答案
例1 已知小明的课时费是每小时100元，底薪是20000元，余半仙的课时费是每小时2000元，底薪是
1
50000元．若小明和余半仙在某个月上课时间长度相同，而收入情况为小明是余半仙的 ．问这
10
个月小明上了多少小时的课？
练1.1 小明没有什么经济头脑，其日常开销主要由小红管理．一天小红看了看小明的钱包，说：“我如
400 11 500 9
果给你 元，我剩下的钱是你的 倍；我如果给你 元，我剩下的钱是你的 倍．”问小明实
际有多少钱？
例2 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写到“A、B两地相距180km，甲的速度是
50km/h，乙的速度是40km/h”时，李老师因有急事而离开教室．
(1)调皮的小强接着上来添上“甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，几小时相
遇？”小强的添法能解答吗？若能，请解出来；若不能，说说理由；
(2)数学科代表小娟上去添了“现甲从A向B出发48min后，乙同时从B向A出发，则乙出发后几小
时两人相遇？”请你就小娟的添法解答.练2.1 (1)某校七年级同学步行到崂山去旅游，1班同学组成前队，速度为4千米/时，2班同学组成后
队，速度为6千米/时，前队出发2小时后，后队才出发，当后队追上前队时，后队用了多少时
间？
A B 4
(2)某人从 地去 地，如果他以 千米/时的速度前进，正好在预定的时间内到达，他用这个速
20
度步行了全程的一半后，其余路程乘速度为 千米/时的公共汽车，结果比预定时间早到
27
分钟，求两地的路程．
例3 一艘轮船航行于两个码头之间，逆水需5小时，顺水需3小时．已知该船在静水中每小时航行12千
米，求水流速度和两码头间的距离．
例4 某工程交由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队单独完成需60天，乙工程队单独完成需40
天．若甲先做20天，剩余部分甲、乙合作，求总共需要多少天？
练4.1 一个工厂接受一项任务，需要在12天内完成，如果由第一车间单独做，正好按期完成；如果由第
二车间单独做，就要超过规定日期3天，如果由两个车间合作几天后，剩下的任务由第二车间单独
做，正好在规定日期完成，问两个车间合作了几天？
例5 一个四位数的首位数字是7，如果将首位数字移到末位，而原来的后三位每个数字均前移一位，那
么所得的新四位数比原四位数的一半多3，求原四位数．
练5.1 一个三位数，它的个位上的数比百位上的数的3倍大1，它的十位上的数比百位上的数的4倍小3．
如果把这个三位数的十位上的数和百位上的数对换，则得到的三位数比原来的三位数大270．求原
来的三位数．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 9 讲 一元一次方程应用（一）
自我巩固答案
1 A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了3瓶A种饮料和4瓶B种饮料，一共花了18元．如果设B种
饮料单价为x元/瓶，那么下面所列方程正确的是（ ）
3x+4(x−1) = 18
A：3(x+1)+4x = 18
B：
3x+4(x+1) = 18
C：
3(x−1)+4x = 18
D：
2 一根长100cm的木棍锯成两段，要使其中一段长比另一段长的2倍少5cm，应该在木棍的哪个位置
锯开？
3 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的
行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地，A、B两地间的路程是（ ）
A： 360km
B： 400km
C： 420km
D： 450km
4 一轮船航行于甲、乙两地之间，顺水航行用了3小时，逆水航行比顺水航行多用30分钟，已知轮船
在静水中的速度是26千米/小时，则两地之间的距离为（ ）千米
A： 45
B： 58
C： 71
D： 84
5 一艘轮船航行在A、B两地之间，已知该船在静水中每小时航行12千米，轮船顺水航行需用6小
时，逆水航行需用10小时，则水流速度和A、B两地间的距离分别为（ ）
A： 2千米/小时，50千米
B： 3千米/小时，30千米
C： 3千米/小时，90千米
D： 5千米/小时，100千米
6 粉刷一个房间甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，丙单独做12天完成．甲先单独做2天后有事
离开，接下来乙、丙共同完成，则乙、丙合作所需要的天数为（ ）天．A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
7 某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务，如果每天生产服装20套，那么就比订货任务少生
x
产100套，如果每天生产服装23套，那么就可超过订货任务20套，设这批服装的订货任务是 套，
根据题意，可列方程为（ ）
20x−100 = 23x+20
A：
20x+100 = 23x−20
B：
x−100 x+20
C： =
20 23
x+100 x−20
D： =
20 23
8 运一批货物，如果单独由一个车队完成，第一车队10天运完，第二车队15天运完，第三车队20天
运完，现在三个车队合运，第一车队因工作需要中途调走，结果任务完成共用了6天．问第一车队
实际工作了多少天？
9 一个两位数，十位上的数比个位上的数的3倍大1，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位
数是（ ）
A： 54
B： 72
C： 45
D： 62
10 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45后，恰好成为数字对调后组成的
两位数，则这个两位数是（ ）
A： 25
B： 16
C： 34D： 61
能力强化 / 初一 / 秋季
第 9 讲 一元一次方程应用（一）
课堂落实答案
1 某水泥厂有甲、乙两仓库，各有水泥若干袋，甲仓库中水泥的袋数是乙仓库的3倍，后来从甲仓库
运出450袋，从乙仓库运出50袋．这时两仓库剩余的袋数相等，则甲、乙仓库原有水泥（ ）
A： 600袋、200袋
B： 750袋、250袋
C： 900袋、300袋
D： 1200袋、400袋
312 3 8
2 盒子里有三种颜色的纽扣一共 个，其中红色纽扣的个数比蓝色的 倍还多 个，绿色纽扣的个
1
数比蓝色的少 个，则绿色的纽扣的个数为（ ）
60
A：
61
B：
80
C：
81
D：
600 10 4
3 两地相距 千米，甲乙两车分别从两地同时出发相向而行，甲车比乙车每小时多走 千米， 小
时后两车相遇，则乙车的速度是（ ）
70
A： 千米/小时
75
B： 千米/小时
80
C： 千米/小时
85
D： 千米/小时80 120
4 某地修一条公路，若甲工程队单独承包要 天完成，乙工程队单独承包要 天完成．现在由
甲、乙工程队合作承包，完成任务需要（ ）
48
A： 天
60
B： 天
80
C： 天
100
D： 天
18
5 若三个连续偶数的和为 ，则它们的积为（ ）
216
A：
49
B：
192
C：
480
D：
能力强化 / 初一 / 秋季
第 9 讲 一元一次方程应用（一）
精选精练
3
1 小明问王老师的年龄时，王老师说：“我像你这么大时，你才 岁；等你到了我这么大时，我就
45
岁了．”问王老师今年（ ）岁．
30
A：
31
B：
33
C：
35
D：
12
2 从少先队夏令营到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时 千米的速度下山，以
9 55
每小时 千米的速度通过平路，到学校共用了 分钟，回来时，通过平路时的速度不变，但以每
6 1 10
小时 千米的速度上山，回到营地共花去了 小时 分钟，问夏令营到学校有多少千米？70
3 某军舰在静水中的速度为 千米/时，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈
35 10
落入水中，发现时救生圈已距军舰 千米，若水流速度为 千米/时．
（1）求从救生圈落水到被发现用了多长时间？
140
（2）发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为 千米/时，军舰仍以原
速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少小时？
4 在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需
40 10 20
要 天完成；如果由乙工程队先单独做 天，那么剩下的工程还需要两队合做 天才能完成．
(1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
(2)求两队合做完成这项工程所需的天数．
6000 4
5 现有 米的公路需要翻修，由某个工程小队来施工．该工程小队施工 天后，调来了一辆重型
10 4 40
挖掘机，因此之后的 天，平均每天要比前 天的平均进度多翻修 米．若该工程小队完成工程
共用了两周时间，问挖掘机调来前，工程小队平均每天翻修多少米？
6 一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1．如果
把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求
这个三位数．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 10 讲 一元一次方程应用（二）
例题练习题答案
例1 某家商店因换季准备将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的五折出售将亏20元，而按标价
的八折出售将赚40元．问：
(1)每件服装的标价是多少？
(2)每件服装的成本是多少？
(3)为保证不亏本，最多能打几折？练1.1 某商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售，将赚
20元，这种商品的定价为多少元？
例2 将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗；如果每人3颗，那么就少12
颗．这个班共有多少名小朋友？这堆糖果有多少颗？
练2.1 某班图书柜里有书若干本，该班阅读兴趣小组有x人，若每人4本还余9本，若每人5本还差3本，依
题意列方程为______________．
例3 某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价200元，T恤每件定价40元，厂方在开展促销活动期
间，向客户提供两种优惠方案：
①买一件夹克送一件T恤；
②夹克和T恤都按定价的9折付款．
现某客户要到该服装厂购买夹克20件，T恤x件（x>20）．
（1）若该客户按方案①购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购
买，需付款_________元（用含x的代数式表示）；
（2）若x=40，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？
（3）问购买T恤多少件时，两种方案付款金额相同？
练3.1 某商场销售一种夹克和T恤，夹克每件定价100元，T恤每件定价50元，商场在开展促销活动期
间，向顾客提供两种优惠方案．
方案一：买一件夹克送一件T恤．
方案二：夹克和T恤均按定价的80%付款．
现有顾客要到该商场购买夹克30件，T恤x件（ x > 30 ）．
（1）若用方案一购买夹克需付款_________元，T恤需付款（用含x的式子表示）__________元；若
用方案二购买夹克需付款__________元，T恤需付款（用含x的式子表示）___________元；
（2）按方案一购买夹克和T恤共需付款_______元，按方案二购买夹克和T恤共需付款_______元，
通过计算说明，购买多少件时，两种方案付款一样多．
⋅
例4 在“五 一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸
爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．
练4.1 一次数学课上，老师要求学生根据图示张鑫与李亮的对话内容，展开如下活动：
活动1：仔细阅读对话内容．
活动2：根据对话内容，提出一些数学问题，并解答．
下面是学生提出的两个问题，请你列方程解答．
(1)如果张鑫没有办卡，她需要付多少钱？
(2)你认为买多少元钱的书办卡就便宜？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 10 讲 一元一次方程应用（二）自我巩固答案
1 互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品进价为200元，按标价的五折
销售，仍可获利10%，设这件商品的标价为x元，根据题意列出方程（ ）
0.5x−200 = 10%×200
A：
0.5x−200 = 10%×0.5x
B：
200 = (1 −10%)×0.5x
C：
0.5x = (1 −10%)×200
D：
2 把一些图书分给某些学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分5本，则还缺26本，若
设学生有x名，则图书的数量可表示为（ ）
3x+20
A：
3x−20
B：
5x−26
C：
3x+20 5x−26
D： 或
3 某种商品每件的进价为210元，按标价的8折销售时，利润率为15％，设这种商品的标价为每件x
元，根据题意列方程正确的是（ ）
210 −0.8x = 210 ×0.8
A：
0.8x = 210 ×0.15
B：
0.15x = 210 ×0.8
C：
0.8x−210 = 210 ×0.15
D：
4 假期张老师和王老师带学生乘车外出参加实践活动，甲车主说“每人8折”，乙车主说“学生9
折，老师减半”，已知甲、乙两车单人的票价相同．张老师计算了一下，不论坐谁的车，费用都
一样，则张老师和王老师带的学生人数为（ ）
A： 6名
B： 7名
C： 8名D： 9名
5 某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球
30 5
和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价 元，乒乓球每盒定价 元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一
9 5 ( 5 )
盒乒乓球，乙店全部按定价的 折优惠．该班需球拍 副，乒乓球若干盒 不小于 盒 ．当购买乒
乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
6 “某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问苹果
有多少个？”若设共有x个苹果，则列出的方程是（ ）
3x+1 = 4x−2
A：
3x−1 = 4x+2
B：
x−1 x+2
C： =
3 4
x+1 x−2
D： =
3 4
7 将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人3颗，那么就多11颗；如果每人4颗，那么就少14
颗．这个班共有多少名小朋友？这堆糖果有多少颗？
8 学校举办秋季田径运动会，八年级（1）班班委会为班上参加比赛的运动员购买了6箱饮料，如果
每人发2瓶，则剩余12瓶；如果每人发3瓶，则少18瓶．问该班有多少人参加比赛？每箱饮料有多
少瓶？
9 某地上网有两种收费方式，用户可以任选其中一种：
2.5 60
方式一，记时制： 元/小时；方式二，包月制： 元/月．此外，每一种上网方式都加收通信费
1
元/小时．
20
（1）某用户上网 小时，选用哪种上网方式比较合算？说明你的理由；
140
（2）某用户有 元钱用于上网（一个月），选用哪种方式比较合算？说明你的理由；
（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式．
10 甲乙两家批发商出售同样品牌的茶壶和茶杯，售价相同，茶壶每把28元，茶杯每只4元，两家都进
行优惠销售．甲店：买一送一大酬宾（买一把茶壶赠送茶杯一只）．乙店：全场9折优惠．
某茶具店需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．
x(x > 5)
(1)若购买茶杯 只，回答下列问题：①在甲店购买需付多少元；（用含x的代数式表示并化简）
②在乙店购买需付多少元；（用含x的代数式表示并化简）
(2)当茶具店需购买10只茶杯时，到哪家商店购买较便宜？试说明理由；
(3)试求出当茶具店购买多少只茶杯时，在两家商店购买所需付的款一样多？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 10 讲 一元一次方程应用（二）
课堂落实答案
1 一家商店一月份把某种商品按进货价提高60%出售，到三月份再声称以8折大甩卖，那么该商品三
月份的价格比进货价（ ）
A： 高12.8%
B： 低12.8%
C： 高28%
D： 高40%
2 一种商品售价为120元，由于购买的人多，商家便提价25%销售，但提价后，商品滞销，商家只好
x% x%
再降价 ，使商品恢复到原价，那么 为（ ）
A： 25
B： 20
C： 25%
D： 20%
60
3 七年级学生计划乘客车去春游，如果减少一辆客车，每辆车正好坐 人；如果增加一辆客车，每
45 60 x
辆车正好坐 人，若设每辆车正好坐 人时，需要 辆客车，则七年级的学生人数可表示为
（ ）
60(x−1)
A：45(x+2)
B：
45(x+1)
C：
60x 45(x+2)
D： 或
4 某班学生为灾区捐款若干，以平均每人20元计算，还多350元，以平均每人28元计算，还差10
元，若设某班学生捐款数为x元，则列方程为___________________．
5 请根据图中提供的信息，回答下列问题：
1
（ ）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？
2
（ ）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯．为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动．甲
4
商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买 个暖
15
瓶和 个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 10 讲 一元一次方程应用（二）
精选精练
1 甲乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％的利润定价，乙服装
按40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157
元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
2 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》采
用问题集的形式，全书共收集了246个问题，分为九章，其中的第八章叫“方程”章，方程一词就
源于这里．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物
价各几何？”译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，
那 么 差 4 钱 ． 问 有 多 少 人 ， 物 品 的 价 格 是 多 少 ？ ” 设 有 x 人 ， 可 列 方 程 为
___________________________________．3 请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦数不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲
了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为_____只，树为_____棵．
1.2
4 某文具店一支铅笔的售价为 元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在六一期间举行文具优惠售卖
活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖岀60支，卖得金额87
元，求卖出的铅笔和圆珠笔的数量．（列方程解决问题）
5 新华书店推出售书优惠方案：一次性购书不超过100元，不享受优惠；一次性购书超过100元但不
超过200元一律打九折；一次性购书200元以上一律打八折．
（1）如果小明一次性购书的原价为250元，那么他实际付款_________元；
（2）如果小华同学一次性购书付款162元，那么小华所购书的原价为多少元？
20 20 A B
6 某校计划购买 张书柜和一批书架（书架不少于 只），现从 、 两家超市了解到：同型号的
210 70 A
产品价格相同，书柜每张 元，书架每只 元， 超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书
B
架， 超市的优惠政策为所有商品八折．
（1）若在同一超市购买所有的产品，购买多少只书架时所付的费用相等？
A
（2）在（1）的基础上，若规定只能到其中一个超市购买所有物品，什么情况下到 超市购买合
算？
20 100 A B
（3）若学校想购买 张书柜和 只书架，分别求出在 超市和 超市购买所有产品所付的费
用；
20 100
（4）若学校想购买 张书柜和 只书架，且可到两家超市自由选购．你认为至少要准备多少货
款，请用计算说明．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 11 讲 一元一次方程高阶
例题练习题答案
2x−a x−a
例1 x − = x−1 3(x−2) = 4x−5 a
已知关于 的方程 与方程 的解相同，求 的
3 2
值．
1
练1.1 (x+3) = 0 6a(x+3) = 3a−2x a
如果方程 与方程 的解相同，求 的值．
24 −x x+a
例2 x 2(−2x+a) = 3x x− = a
关于 的方程 的解和方程 的解互为相反数，求 的
3 6
值．
练2.1 已知关于x的方程 x−2m+1 =0与 2 −m−x =0的解互为相反数，试求m的值．
x
例3 解关于 的方程：
ax = 2015 ax = 1 +x mx+4 = 3x−n
（1） ； （2） ； （3） ．
x ax−4 = 4x+b
练3.1 解关于 的方程： ．
1 6
例4 k (k− )x = 6 − x k
若 为整数，则使得方程 的解也是整数的 值有几个？
5 5
x 9x−3 = kx+14 k =
练4.1 已知关于 的方程 有整数解，那么满足条件的所有整数 ________．
例5 已知，如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为 −20 ，B点对应的数为100．
(1)请写出AB中点M对应的数．
(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A
点出发，以4单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应
的数是多少吗？
(3)若电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出
发，以4单位/秒的速度也向左运动.设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数
是多少吗？
练5.1 如图，已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数 −26 、 −10 、10，动点P从点A出发，以每
秒1个单位的速度向终点C移动，当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C
点运动，问当点Q从A点出发几秒钟时，点P和点Q相距2个单位长度？直接写出此时点Q在数轴上
表示的有理数．
能力强化 / 初一 / 秋季第 11 讲 一元一次方程高阶
自我巩固答案
1 1 1
1 (x+6) = 2 a(x+3) = a− x a
如果方程 与方程 的解相同，求 的值．
2 2 3
3 5 1 1.7−2x 0.8+x
2 [(a− )x+ ] = 1 −1 = a
方程 和方程 的解相同，求 的值．
2 2 2 0.3 0.6
x 3x−2m+1 = 0 2 −m = 2x
3 已知关于 的方程 与 的解互为相反数，试求这两个方程的解及
m
的值．
3
1
4 x 3(x−1) =3m−6 2x−5 −1 (m+ )
已知关于 的方程 与 ＝ 的解互为相反数，求 的值．
2
5 关于x的方程 x−2m = −3x+4 与 2 −m = x 的解互为相反数．
(1)求m的值；
(2)求这两个方程的解．
6 关于x的方程 3(x−2m) = 9 和关于y的方程 2y −m = 4 ．若两个方程的解互为相反数，求m
的值．
7 解方程：
a
x+1 = 9 (a−1)x−2 = 2015
（1） ； （2） ．
2
x ax+3 = 4x+1 a
8 关于 的方程 的解为非负整数，则整数 的值为（ ）
A： -3
B： 3
C： 1或2
D： 2或3
x−4 kx−1 1
9 − = x
已知方程 是关于 的一元一次方程．
6 3 3
k
（1）当方程有解时，求 的取值范围；k
（2）当 取什么整数值时，方程的解是正整数．
10 如图，在数轴上有两点A、B，对应的实数分别为 −5 ，3．
(1)若点A以每秒3个单位的速度沿数轴向正方向移动，点B不动，则多长时间两点相遇？
(2)若点A以每秒3个单位，点B以每秒1个单位的速度同时沿数轴运动．
问题1：若相向移动，A、B两点多长时间相遇？
问题2：若都沿数轴正方向移动，则多长时间两点到原点的距离相等？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 11 讲 一元一次方程高阶
课堂落实答案
1 已知关于x的方程 2x−7 = 3x+a 的解与方程 4x+2 = 7 −x 的解相同，求a的值．
x 2m+x = 1 3x−1 = 2x+1 m
2 若关于 的方程 和方程 的解互为相反数，则 的值为（ ）
1
A： −
2
3
B：
2
C： 0
−2
D：
3 关于x的方程 ax+3 = 4x+1 的解为正整数，则整数a的值为（ ）
A： 1
B： 3
C： 1或2
D： 2或3x −2ax+3 = 6x−b a b
4 关于 的方程 ，分别求出当 、 为何值时，原方程：
（1）有唯一解；
（2）有无数个解；
（3）无解．
5 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个
t(t > 0)
单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒．
(1)写出数轴上点B表示的数____，点P表示的数______（用含t的代数式表示）；
(2)动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H同时出发，问
点P运动多少秒时追上点H？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 11 讲 一元一次方程高阶
精选精练
1 −2x x+1 2x+1 6x−a a
1 若方程 + = 1 − 的解与关于x的方程 x+ = −3x 的解
6 3 4 3 6
a
相同，求 的值．
(4a+1)x a(3x−4)
2 x 3(x+4) = 2a+5 x =
若关于 的方程 的解与关于 的方程 的解相
4 3
a
同，求 的值．
1
3 x (1 −x) = 1 +k
已 知 关 于 的 方 程 的 解 与 方 程
2
3 2 k 3(x−1)
(x−1)− (3x+2) = − k
的解互为相反数，求 的值．
4 5 10 2
x kx+1 = 3x+2k
4 已知关于 的方程 ．
k
(1)当 满足什么条件时，方程有解？
k
(2)若方程有整数解，求正整数 的值．5 已知数轴上两点A、B对应的数分别是6， −8 ，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度
为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．
(1)若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？
(2)若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？
6 已知数轴上有两点M，N对应的数分别为 −2 ，4，点A为数轴上一动点，对应点的数为a．
(1)若点A到点M、点N的距离相等，则点A对应的数为___；
(2)数轴上是否存在点A，使点A到点M、点N的距离之和为9？若存在，请求出a的值；若不存
在，请说明理由；
(3)若点A在点M左边，请化简： |a+2|−|a−4| ；
(4)点A以每秒2个单位长度的速度从0（原点）向左运动，点M以每秒10个单位长度的速度向左
运动，点N以每秒40个单位长度的速度向左运动，问它们同时出发，几秒后点A到点M、点N
的距离相等？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 12 讲 线段计算
例题练习题答案
例1 下列说法正确的是（ ）
A： 线段AB和线段BA表示的不是同一条线段
B： 射线AB和射线BA表示的是同一条射线
1
C： 若点P是线段AB的中点，则 PA = AB
2
D： 线段AB叫做A、B两点间的距离练1.1 下列日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短
路程；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉
线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ）
A： ①④
B： ②③
C： ③
D： ④
A B C D
例2 如图，已知四个点 ， ， ， ．
AB CD AC
（1）作下列图形：①线段 ；②射线 ；③直线 ．
AC Q BQ+DQ
（2）在直线 上画出符合条件的点 ，使 最小，并说明理由．
例3 (1)一条直线上有4个点，那么它有____条线段，有____条射线；一条直线上有n个点，那么它有
____条线段，有____条射线．
(2)如图，图中有_______条直线，有______条射线，有_______条线段．
(3)2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，那么5条直线最
多有____个交点，n条直线最多有__________个交点．
例4 直线1上有A，B，C三点，已知 AB = 6 ， AC = 2BC ，则BC的长是__________．
练4.1 已知线段 AB = 10cm ，直线AB上有一点 C ， BC = 4cm ，点D是线段 AC 的中点，试求线段
AD
的长．1
例5 如图，已知，点C是线段AB的中点， AC = 6 ．点D在线段AB上，且 BD = AD ，求线段CD
2
的长．
AD 2
练5.1 如图，C、D是线段AB上的两点，D是AC中点，若BC＝2cm， = ，求AB长度．
BD 3
C D AB AC : CD : DB = 2 : 3 : 4 AB M
例6 已知 、 两点将线段 分为三部分：且 ．若 的中点为 ，
BD N MN = 5cm AB
的中点为 ，且 ，求 的长______________
AB P
练6.1 如图，将一根绳子对折后用线段 表示，现从 处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段
2
30cm AP = PB cm
为 ，若 ，则这条绳子的原长为________ ．
3
能力强化 / 初一 / 秋季
第 12 讲 线段计算
自我巩固答案
1 在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一
条直线上．
A： ①③
B： ②④
C： ①④
D： ②③
2 作图题：如图，已知平面上四点A，B，C，D．
（1）画直线AD；
（2）画射线BC，与直线AD相交于O；（3）连结AC，BD相交于点F．
3 下列说法正确的是（ ）
①直线L、M相交于点N；
②直线a、b相交于点M；
③直线ab、cd相交于点M；
④直线a、b相交于点m；
⑤直线AB、CD相交于点M；
A： ①②
B： ②③
C： ④⑤
D： ②⑤
4 如图所示，点A、B、C在直线l上，则下列说法正确的是（ ）
A： 图中有2条线段
B： 图中有6条射线
C： 点C在直线AB的延长线上
D： A、B两点之间的距离是线段AB
5 如图，点A、B、C、D、E、F在同一条直线上，则图中线段和射线的条数分别为（ ）
A： 10，10
B： 12，15
C： 15，12
D： 15，156 线段 AB = 5cm ， BC = 4cm ，那么A、C两点的距离是（ ）
A： 1cm
B： 9cm
C： 1cm或9cm
D： 以上答案都不对
7 如图：已知AB＝9cm，BD＝3cm，C为AB的中点，求线段DC的长．
C AB D AB AB = 3DB AB = 12 CD
8 如图，点 是 的中点， 是 上的一点， ，已知 ，则 的长是
（ ）
A： 6
B： 4
C： 3
D： 2
9 如图，点C是AB上一点，点D是AC的中点，若AB＝12，BD＝7，求CB的长．
5
10 如图，已知线段 AB ，点C在AB的延长线上，AC= BC ，D在AB的反向延长线上，
3
3
BD = DC
.
5
AB x BC = AD = x
（1）设线段 长为 ，则 _______； ________；（用含 的代数式表示）
AB = 12cm CD
（2）若 ，求线段 的长．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 12 讲 线段计算课堂落实答案
1 把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，理由是（ ）
A： 两点之间，直线最短
B： 线段比曲线短
C： 两点之间，线段最短
D： 两点确定一条直线
2 按要求画图：
（1）画直线AC；
（2）画线段AB；
（3）画射线BC．
3 “植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是
（ ）
A： 两点之间，线段最短
B： 两点确定一条直线
C： 直线可以向两边延长
D： 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
4 如图，图中线段、射线、直线的条数分别为（ ）
A： 5，4，1
B： 8，12，1
C： 5，12，3D： 8，10，3
5 已知线段 AB = 5cm ，点C在直线AB上，且 BC = 3cm ，则线段 AC = _________ cm ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 12 讲 线段计算
精选精练
1 如图，小明的家在A处，砖厂在B处，星期日小明到砖厂去搬砖，他想尽快的赶到砖厂，请你帮助
他选择一条最近的路线（ ）
A： A→C→D→B
B： A→C→F→B
C： A→C→E→F→B
D： A→C→M→B
2 如图，平面内有A、B、C、D四点，按照下列要求画图：
（1）顺次连接A、B、C、D四点，画出四边形ABCD；
（2）连接AC、BD相交于点O；
（3）分别延长线段AD、BC相交于点P；
（4）以点C为一个端点的线段有_________条；
（5）在线段BC上截取线段BM=AD+CD，保留作图痕迹．
3 将线段AB延长到C，再将线段AB反向延长到D，则新形成的图中共有线段（ ）A： 5条
B： 6条
C： 7条
D： 8条
4 下表反映了平面直线条数与它们最多交点个数的对应关系：
…
图形
…
直线条数 2 3 4
3 = 1 +2 6 = 1 +2 +3 …
最多交点个数 1
按此规律，20条直线相交，最多有_____个交点。
5 直线上有A，B，C三点，点M是线段AB的中点，点N是线段BC的一个三等分点，如果 AB = 6 ，
BC = 12 ，求线段MN的长度．
6 如图1，已知点A、C、F、E、B为直线上的点，且 AB = 12 ， CE = 6 ，F为AE的中点．
CF = 2 BE = CF = m BE =
（1）如图1，若 ，则 _________；若 ，则 _________．由此可猜测
BE与CF的数量关系是_________．
（2）当点E沿直线向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理
由．
（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得 BD = 7 ， 且
10DF
DF = 3DE
？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
CF能力强化 / 初一 / 秋季
第 13 讲 角度计算
例题练习题答案
例1 计算：
90∘ −36∘12′15′′ 32∘17′53′′+42∘42′7′′
（1） （2）
25∘12′35′′×5 53∘ ÷6
（3） （4） （结果用度分秒的形式表示）
∠AOC = ∠BOD = 90∘ ∠AOD = 3∠BOC ∠BOC
例2 如图，已知 ， ，求 的度数．
练2.1 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOF=3∠BOF，∠AOC=90°，那么∠COE=_____．
例3 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中， ∠A = 60∘ ，
∠D = 30∘ ∠E = ∠B = 45∘
； ）∠DCE = 40∘ ∠ACB
若 ，则 的度数为__________．
∠ACB = 128∘ ∠DCE
若 ，则 的度数为__________．
练3.1 如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角，下列角度中不能使用这一副特制的三
角板画出的是（ ）
A： 54°
B： 72°
C： 150°
D： 171°
∠COB = 2∠AOC OD ∠AOB ∠COD = 10∘ ∠AOB
例4 如图，已知 ， 平分 ， ，求 的度数．
练4.1 如图，点O在直线AB上，射线OC平分 ∠DOB ，若 ∠COB = 35∘ ，则 ∠AOD = _______．
∠AOC = 90∘ ∠BOD = 90∘ ∠3 = 24∘ ∠1 ∠2
例5 如图，已知 ， ， ，求： 、 的度数．O ∠BOC = 90∘ ∠1 = 56∘ ∠2
练5.1 如图，三条直线相交于点 ．若 ， ，则 等于（ ）
30∘
A：
34∘
B：
45∘
C：
56∘
D：
2
例6 1∘
一个角的余角比它的补角的 多 ，则这个角的度数为_____度．
9
30∘
练6.1 一个角补角比它的余角的2倍多 ，这个角的度数为_____．
例7 在同一平面内，若∠AOB＝
50∘
，∠AOC＝
40∘
，∠BOD＝
30∘
，则∠DOC的度数是_______
∘
．
∠AOB 48∘ ∠BOC 20∘ ∠AOC
练7.1 已知 ＝ ， ＝ ，则 ＝_________．
例8 已知 ∠AOB = 60∘ ，从点O引射线OC，使 ∠AOC = 40∘ ，作 ∠AOC 的角平分线OD．
(1)依题意画出图形；
∠BOD
(2)求 的度数．
练8.1 已知 ∠AOB ＝ 3∠BOC ，射线OD平分 ∠AOC ，若 ∠BOD ＝ 30∘ ，则 ∠BOC 的度数为
_________．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 13 讲 角度计算自我巩固答案
1 计算：
90∘ −78∘19′40′′
(1) ；
11∘23′26′′ ×3
(2) ．
∠AOB ∠BOC ∠COD = 2 1 3 ∠AOC +∠DOB = 150∘
2 如图，已知 ： ： ： ： ，且 ，求
∠AOD
的度数．
1
3 OC ∠AOB ∠BOD = ∠DOC ∠BOD = 10∘ ∠AOD
如图， 是 的平分线， ， ，则 的度数
4
为（ ）
50∘
A：
60∘
B：
70∘
C：
80∘
D：
∠AOC = ∠BOD ∠AOD = 120∘ ∠BOC = 70∘ ∠AOB
4 如图， ， ， ，求 的度数．
5 如图，已知 ∠AOC = 90∘ ， ∠COB = 50∘ ，OD平分 ∠AOB ，求 ∠COD 的度数？6 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分 ∠EOC ， ∠EOC = 100∘ ，则 ∠BOD 的度数是
（ ）
20∘
A：
40∘
B：
50∘
C：
80∘
D：
5:4
7 一个角和它的余角的比是 ，则这个角的补角是（ ）
130∘
A：
50∘
B：
80∘
C：
100∘
D：
∠α ∠α ∠β ∠α ∠γ ∠β ∠γ
8 已知 是锐角， 与 互补， 与 互余，则 与 的关系式为（ ）
∠β −∠γ = 90∘
A：
∠β +∠γ = 90∘
B：
∠β +∠γ = 80∘
C：
∠β −∠γ = 180∘
D：
∠AOB = 50∘ ∠COB = 30∘ ∠AOC
9 在同一平面内，已知 ， ，则 等于（ ）
80∘
A：20∘
B：
80∘ 20∘
C： 或
10∘
D：
10 已知 ∠AOB ＝ 70∘ ，以O端点作射线OC，使 ∠AOC ＝ 28∘ ，则 ∠BOC 的度数为（ ）
42∘
A：
98∘
B：
42∘ 98∘
C： 或
82∘
D：
能力强化 / 初一 / 秋季
第 13 讲 角度计算
课堂落实答案
1 计算：
85∘16′ −18∘47′ −(35∘22′ −26∘52′) =
（1） __________________；
360∘ ÷7 =
（2） __________________．（用度、分、秒表示）
∠AOC = ∠DOE = 90∘ ∠AOE = 65∘ ∠COD
2 如图， ．如果 ，那么 的度数是（ ）
90∘
A：
115∘
B：
120∘
C：
135∘
D：3 如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（ ）
∠AOD = ∠BOC
A：
∠AOE +∠BOD = 90∘
B：
∠AOC = ∠AOE
C：
∠AOD+∠BOD = 180∘
D：
∠AOB = 40∘ ∠BOC = 30∘ ∠AOC
4 若 ， ，则 的度数为__________.
4
5 ∠AOB = 27∘ ∠AOC = ∠BOC ∠AOC
已知 ， ，则 的度数为__________．
5
能力强化 / 初一 / 秋季
第 13 讲 角度计算
精选精练
1 如图，OE、OD、OC是 ∠AOB 的四等分线，根据图形回答：
∠3
（1）图中哪些角是 的3倍？
1
∠AOD
（2）图中哪些角是 的 ？
2
（3）射线OC是哪个角的三等分线？
∠AOB=80∘ ∠1
（4）若 ，求 的度数．
2 如图，已知 ∠AOB ＝ 40∘ ， ∠BOC ＝ 3∠AOB ，OD平分 ∠AOC ，求 ∠COD 的度数．
∠BOC 3∠ ∠AOB ∘
解：因为 ＝ _____， ＝_____ ．∠BOC ∘
所以 ＝_____ ．
∠AOC
所以 ＝_____+_____．
∘+ ∘
＝_____ _____ ．
∘
＝_____
因为OD平分 ∠AOC
1
∠COD = _____ ∘
所以 ＝_____ ．
2
ΔABC ∠C = 90∘ ∠C
3 如 图 ， 已 知 为 直 角 三 角 形 ， ， 若 沿 图 中 虚 线 剪 去 ， 则
∠1 +∠2 =
（ ）
90∘
A：
135∘
B：
270∘
C：
315∘
D：
4 如 图 ， ∠AOD = 90∘ ， ∠AOB : ∠BOC = 1 : 3 ， OD 平 分 ∠BOC ， 则
∠AOC =
______．
5 如 图 ， 已 知 O 为 直 线 AB 上 一 点 ， 射 线 OC平 分 ∠AOD ， ∠BOD = 3∠BOE ，
∠AOC = α ∠COE
，则 的度数为( )1
A： 120∘ − α
3
5
B： 240∘ − α
3
1 5
C： 120∘ − α 240∘ − α
或
3 3
5
D： α−60∘
3
6 从点O引出三条射线OA，OB，OC，已知 ∠AOB ＝ 30∘ ，在这三条射线中，当其中一条射线是另
∠AOC ∘
两条射线所组成角的平分线时，则 ＝_____
能力强化 / 初一 / 秋季
第 14 讲 线，角综合
例题练习题答案
例1 （1）如图，已知点C在线段AB上，且 AC = 6cm ， BC = 4cm ，点M，N分别是AC，BC的中
点，求线段MN的长度．
（2）如果 AC = acm ， BC = bcm ，其它条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简
洁的话表述你发现的规律．
（3）如果我们这样叙述它：“已知线段 AC = 6cm ， BC = 4cm ，点C在直线AB上，点M，
N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．
2
练1.1 如图，已知点C为AB上一点， AC = 15cm ， CB = AC ，若D，E分别为AC，AB的中点，
3
求DE的长．
例2 如图，已知原点为O的数轴上，点A表示的数为 −7 ，点B表示的数为5．(1)若数轴上点C到点A，点B的距离相等，求点C表示的数．
(2)若数轴上点D到点A，到点B的距离之比为 1 : 2 ，求点D表示的数；
(3)若一动点P从点A以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3
个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为t秒 (t > 0) ，PQ之间的距离为8个单位长
度时，求t的值．
例3 如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落在
A′
处，点E落在边
BA′
上的
E′ ∠CBD
处，则 的度数是（ ）
85∘
A：
90∘
B：
95∘
C：
100∘
D：
练3.1 如图，OM是 ∠AOC 的平分线，ON是 ∠BOC 的平分线．
∠AOB ∠BOC = 60∘ ∠MON
(1)如图1，当 是直角， 时， 的度数是多少？
∠AOB =α ∠BOC = 60∘ ∠MON α
(2)如图2，当 ， 时，猜想 与 的数量关系；
∠AOB =α ∠BOC =β ∠MON α β
(3)如图3，当 ， 时，猜想： 与 、 有数量关系吗？如果
有，指出结论并说明理由．例4 如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠AOC＝120°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶
点在点O处，一条直角边OP在射线OA上，将图①中的三角尺绕点O以每秒5°的速度按逆时针方向
旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为
__________．
EF MN O ∠MOE = 30∘ O
练4.1 如图，直线 与 相交于点 ， ，将一直角三角尺的直角顶点与 重合，直
OA MN OB ∠NOE O 3∘
角边 与 重合， 在 内部．操作：将三角尺绕点 以每秒 的速度沿顺时针方
t(s)
向旋转一周，设运动时间为 ．
t OB ∠NOE OA ∠MOE
(1)当 为何值时，直角边 恰好平分 ？此时 是否平分 ？请说明理由；
EF O 9∘
(2)若在三角尺转动的同时，直线 也绕点 以每秒 的速度顺时针方向旋转一周，当一方先
完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
t EF ∠AOB
①当 为何值时， 平分 ？
EF ∠NOB t
② 能否平分 ？若能请直接写出 的值；若不能，请说明理由．
能力强化 / 初一 / 秋季第 14 讲 线，角综合
课堂落实答案
1 如图，已知线段 AB = 10cm ，点C在线段AB上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，
那么线段MN的长为（ ）
6cm
A：
5cm
B：
4cm
C：
D： 不能确定
2 如图，点C是线段AB上一点，D为BC的中点，且 AB = 12cm ， BD = 5cm .若点E在直线AB
上，且 AE = 3cm ，则DE的长为（ ）
4cm
A：
15cm
B：
3cm 15cm
C： 或
4cm 10cm
D： 或
3 如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是 ∠AOB ， ∠BOD 的平分线，若
∠AOC = 28∘
，
∠COD = ∠BOE =
则 _____， _____．
4 如图：∠AOB＝80°，OC是∠AOB内的任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠COB，则∠DOE＝
（ ）A： 30°
B： 45°
C： 40°
D： 60°
5 如图，∠AOB是直角，∠AOC＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，则∠EOF的度数是（ ）
A： 150°
B： 75°
C： 45°
D： 30°
能力强化 / 初一 / 秋季
第 14 讲 线，角综合
自我巩固答案
1 如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式不正确的是（ ）
CD = AD−BC
A：
CD = AC −DB
B：1
C： CD = AB
3
1
D： CD = AB −DB
2
2 如图，已知C、D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若 AB=12 ，
CD=5
．
（1）求线段AC与DB的和；
（2）求线段MN的长．
AB = 8 M AB N AC C AB
3 如图，线段 ， 是线段 的中点， 是线段 的中点， 为线段 上一点，且
AC = 3.2 M N
，求 ， 两点间的距离．
4 如图，已知M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以 1cm/s ， 3cm/s 的速度沿
直线BA向左运动，运动方向如箭头所示．
（1）若 AB = 10cm ，当C、D运动 2s 时，求 AC +MD 的值；
（2）若C、D运动时，总有 MD=3AC ，直接填空： AM= _________AB；
MN
（3）在（2）的条件下，若N是直线AB上一点，且 AB −BN = MN ，求 的值．
AB
C AB AB = 20cm BC = 8cm P A 2cm s
5 如图， 是线段 上一点， ， ，点 从 出发，以 / 的速度沿
AB B Q B 1cm s BA A P
向右运动，终点为 ；点 从点 出发，以 / 的速度沿 向左运动，终点为 已知 、
Q P x
同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点 运动时间为 秒．
AC = cm
（1） _________ ；
x = s P Q
（2）当 _________ 时， 、 重合；
C P Q
（3）是否存在某一时刻，使得 、 、 这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？
x
若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，请说明理由．
6 如图，O是直线AB上的一点，过点O任意作射线OC，OD平分 ∠AOC ，OE平分 ∠BOC ，则
∠DOE
（ ）A： 一定是钝角
B： 一定是锐角
C： 一定是直角
D： 都有可能
7 已知：如图， ∠AOB 是直角， ∠AOC = 40∘ ，ON是 ∠AOC 的平分线，OM是 ∠BOC 的平
分线．
∠MON
(1)求 的大小；
∠AOC ∠MON
(2)当锐角 的大小发生改变时， 的大小是否发生改变？为什么？
8 把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到 ∠AOB′ = 70∘ ，则∠OGC＝（ ）．
A： 125°
B： 115°
C： 105°
D： 95°
9 如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压
平，如图②，若图②中∠AED＝n°，则∠BCE的度数为（ ）度．n
60 +
A：
2
60 +n
B：
n
30 +
C：
2
30 +n
D：
10 如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使 ∠BOC = 70∘ ，将一个直角三角形的直角顶点放
在点O处．（注： ∠DOE = 90∘ ）
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则 ∠COE = ____________；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分 ∠BOE ，求
∠COD
的度数；
（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在 ∠BOC 的内部，试猜想 ∠BOD 和
∠COE
有怎样的数量关系？并说明理由．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 14 讲 线，角综合
精选精练
1 如图，点C在线段AB上， AC = 8cm ， CB = 6cm ，点M、N分别是AC、BC的中点
(1)求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任意一点，满足 AC +CB = acm ，其他条件不变，你能猜出线段MN的
长度吗？并说明理由．
2 如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点．(1)若 AM = 1 ， BC = 4 ，求MN的长度．
(2)若 AB = 6 ，求MN的长度．
3 如图，点P在定长线段AB上，C点从P点出发，D点从B点出发分别以 1cm /秒、 2cm /秒的速度沿
直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），且C、D运动到任一时刻，总有
PD = 2AC ．如果在C、D运动过程中，M、N分别是CD、PB的中点，运动时间t秒时，恰好有
AB
3AC＝2MN，那么此时 的值是________．
CD
4 已知， ∠AOD ＝ 160∘ ，OB、OM、ON是 ∠AOD 内的射线．
（1）如图1，若OM平分 ∠AOB ，ON平分 ∠BOD ， ∠AOB ＝ 40∘ ，则 ∠BON ＝_____ ∘ ；
（2）如图1，若OM平分 ∠AOB ，ON平分 ∠BOD ，求 ∠MON 的度数；
（3）如图2，OC是 ∠AOD 内的射线，若 ∠BOC ＝ 20∘ ，OM平分 ∠AOC ，ON平分
∠BOD ，当射线OB在 ∠AOC 内时，求 ∠MON 的度数．
5 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠CBD＝66°，则∠ABE为（ ）
A： 20°
B： 24°
C： 40°
D： 50°
6 如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使 ∠AOC = 60∘ ，将一把直角三角尺的直角
顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中
∠MOB ∠MOB =
的度数， _______．
(2)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图3，使一边OM在 ∠BOC 的内部，且恰好平分
∠BOC ∠CON
，求 的度数．
(3)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在 ∠AOC 的内部，请探究 ∠AOM 与
∠NOC
之间的数量关系，并说明理由．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 3的相反数是（ ）
1
A： −
3
1
B：
3
−3
C：
D： 3
2 2019年全世界人口超过7500000000，7500000000用科学记数法表示为（ ）
7.5×108
A：
75 ×109
B：
7.5×109
C：7.5×1010
D：
−ab2
3 单项式 的系数是（ ）．
1
A：
−1
B：
2
C：
3
D：
4 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（ ）
A： 两点之间，射线最短
B： 两点确定一条直线
C： 两点之间，直线最短
D： 两点之间，线段最短
5x+7 x+17
5 3 − = −
解方程 ，去分母正确的是（ ）
2 4
12 −2(5x+7) = −(x+17)
A：
12 −2(5x+7) = −x+17
B：
3 −2(5x+7) = −(x+17)
C：
12 −10x+14 = −(x+17)
D：
x2 +xy = 3 y2 +2xy = 4 2x2 +8xy +3y2 =
6 已知 ， ，则 （ ）
A： 14
B： 17
C： 21
D： 18
∠A = 136.54∘
7 若 ，则它用度、分、秒表示为（ ）
136∘50′40′′
A：136∘32′40′′
B：
136∘50′24′′
C：
136∘32′24′′
D：
a b
8 有理数 、 在数轴上的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ）
b−a > 0
A：
−b > 0
B：
a > −b
C：
−ab < 0
D：
9 如图，AOB是一条直线， ∠AOC = 60∘ ，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中互
补的角有（ ）
A： 5对
B： 6对
C： 7对
D： 8对
10 若方程 3(2x−1) = 3x 的解与关于x的方程 6 −2a = 2(x+3) 的解相同，则a的值为
（ ）
A： 2
−2
B：
C： 1
−1
D：
|−x| = |−4| x =
11 已知 ，则 _____．x = 1 2kx−5 = 0 k =
12 若 是方程 的解，则 ___________．
13 如图，点C是线段AB上的点，M是AC的中点，N是BC中点，如果 AB = 8cm ，那么MN的长是
________．
14 若 |x+1| = 3 ，则x为____________．
∠BAC = 29∘ ∠EAD = ∘
15 将一副三角板如图摆放，若 ，则 __________ ．
|m+3|+(n −2)2 = 0 mn
16 若 ，则 的值为____________．
17 如图，AO⊥BO，垂足为O，射线OD平分∠AOC， ∠BOC = 20∘ ，则
∠AOD的度数为________．
9 16 25 36
18
一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据 ， ， ， ，…中得到了巴尔末公式，从而
5 12 21 32
打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n(n ≥ 1)
个数据是_____________．
1
19 11 −(−12)+(−15) −52 +2 ×(−3)2 +(−2)÷(− )
计算：（1） （2）
320 解方程：
3x+7 = 5x−3
（1） ；
x−3 2x−1
+ = x−1
（2） ．
2 3
21 先化简，再求值：
2
2x−(x−y2)+8(−3x+y2) x = −2 y =
，其中 ， ．
3
22 列方程解应用题．
春节期间，某超市出售的荔枝和芒果，单价分别为每千克26元和22元，李叔叔购买这两种水果共
30千克，共花了708元，请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？
AB 10cm C AB M AC N BC
23 已知线段 的长为 ， 是直线 上一动点， 是线段 的中点， 是线段 的中
.
点
C AB MN = cm
（1）若点 恰好为线段 上一点，则 ___________ ；
MN AB MN = AB
（2）猜想线段 与线段 长度的关系，即 ________ ，并说明理由．
24 已知 ∠AOB = 60∘ ，从点O引射线OC，使 ∠AOC = 40∘ ，作 ∠AOC 的角平分线OD．
（1）依题意画出图形；
∠BOD
（2）求 的度数．
25 已知关于x的方程2kx-6=3x+m，求当k，m满足什么条件时．
（1）方程有唯一解；
（2）方程有无数解；
（3）方程无解．
26 如图1， ∠AOB = α ， ∠COD = β ，OM、ON分别是 ∠AOC ， ∠BOD 的角平分线．
（1）若 ∠AOB = 50∘ ， ∠COD = 30∘ ，当 ∠COD 绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合
∠MON
时（如图2），则 的大小为__________；
（2）在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转 ∠COD ，当 ∠BOC = 10∘ 时（如图3），求
∠MON
的大小并说明理由；
（3）在 ∠COD 绕点O逆时针旋转过程中， ∠MON = ________________．（用含 α 、 β 的式子表
示）∣a b ∣ ∣1 2∣
27 ∣ ∣ = ad −bc ∣ ∣ = 1 ×4 −2 ×3 = −2
对于任意有理数，我们规定： ．例如 ．
∣c d∣ ∣3 4∣
∣2a 4 ∣
a = 3 ∣ ∣
（1）按照这个规定，当 时，请你计算： ；
∣3 5a∣
∣x+2 2x−1∣
∣ ∣ = 1 x
（2）按照这个规定，若 ，求 的值．
∣3 4 ∣
