文档内容
能力强化 / 初一 / 秋季
第 1 讲 有理数
例题练习题答案
例1 (1)【答案】B
(2)【答案】B
0 88
(3)【答案】自然数： ， ；
88
正整数： ；
1 1 1
˙
−16 0.04 + −0.45 0 −1 88 −50 0.15
有理数： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；
2 8 7
1
−16 −0.45 0 −1 −50
非正数： ， ， ， ， ；
8
0 88
非负整数： ， ．
例2 (1)【答案】6
−2.5 3.5 −2 −1
【解析】解：在 到 的整数有 ， ，0，1，2，3共6个．
(2)【答案】解：依题意得：
①当毛毛虫队伍起点在整点时覆盖2014个数，
②当毛毛虫队伍起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2013个数，
综上所述，它所覆盖的整点有2013或2014个．
−4
练2.1 (1)【答案】
AB
(2)【答案】若从整数开始覆盖，则长为1000厘米的线段 能覆盖1001个整点，
AB
若不是从整数开始覆盖，则长为1000厘米的线段 能覆盖1000个整点．
AB
综上所述：线段 能覆盖1000或1001个整点．
例3 【答案】A
练3.1 (1)【答案】C
2 11
【解析】−(+1) < 0 −[−(− )] < 0 −(+ ) < 0
， ，
3 5
(2)【答案】A
例4 【答案】B练4.1 【答案】①
a ⩽ 4
例5 【答案】
−18
例6 (1)【答案】
|m+1| |n −2|
(2)【答案】∵ 和 互为相反数
|m+1|+|n −2| = 0
∴
m+1 = 0 n −2 = 0
∴ ，
m = −1 n = 2
∴ ，
3m+n = 3 ×(−1)+2 = −1
∴
例7 【答案】D
−1
练7.1 【答案】0或1或
能力强化 / 初一 / 秋季
第 1 讲 有理数
自我巩固答案
1 【答案】A
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】D
6 【答案】D
7 【答案】C
8 【答案】C
9 【答案】D
10 【答案】D
能力强化 / 初一 / 秋季
第 1 讲 有理数课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】B
4 【答案】4039
|x−3| |y +7|
5 【答案】解：∵ 与 互为相反数，
|x−3|+|y +7| = 0
∴ ，
x = 3 y = −7
∴ ， ，
3x+y = 9 −7 = 2
∴ ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 1 讲 有理数
精选精练
1 【答案】2020；2021
2 【答案】C
3 【答案】D
【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数比它本身大，故此选项错误；
C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值等于其本身，故此选项错误；
D、最小的正整数是1，正确．
4 【答案】C
5 【答案】解：由题意，得：
a+2 = 0 b+3 = 0 c−4 = 0
， ， ，
a = −2 b = −3 c = 4
解得： ， ， ，
2a−3b−5c = 2 ×(−2)−3 ×(−3)−5 ×4 = −15
∴ ．
±1 ±3
6 【答案】 或
a b c
【解析】 a b c + + = 3
①当 ， ， 都是正数时， ；
|a| |b| |c|
a b c
a b c + + = −1 −3
②当 ， ， 都是负数时， ，所以和为 ；
|a| |b| |c|a b c
a b c −1
③当 ， ， 中有两个正数，一个负数时， 、 、 中有两个1，一个 ，所以和
|a| |b| |c|
为1．
a b c
a b c −1 +1
④当 ， ， 中有一个正数、两个负数时， 、 、 中有两个 ，一个 ，所以
|a| |b| |c|
−1
和为 ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 2 讲 有理数运算
例题练习题答案
1
例1 【答案】（1） −6 ；（2） 3
4
练1.1 【答案】解：(1)依题意得
-3+(+7)+(-5)+(-10)+(-8)+(+9)+(-6)+(+12)+(+4)=0，
∴蜗牛停在数轴上的原点；
1
(2)(|+7|+|-5|+|-10|+|-8|+|+9|+|+12|+|+4|+|-6|)÷ =122（秒）．
2
∴蜗牛一共爬行了122秒．
【解析】（1）首先根据题意列出算式，然后进行计算，根据计算结果即可做出判断；
（2）先求得总路程，然后用路程÷速度即可求得爬行的时间．
10
例2 【答案】 −13
（1） ；（2）
7
例3 (1)【答案】A
(2)【答案】D
练3.1 【答案】A
1
例4 【答案】 −9
（1）14；（2）125；（3） ；（4）
6
1 3 1
例5 【答案】 48 ×(− + − )
解：（1）
6 4 12
1 3 1
= − ×48 + ×48 − ×48
6 4 12
= −8 +36 −4
= −12 +36
= 24
．
6
= (−3 )×(4 −3 +6)
（2）原式
727
= − ×7
7
= −27
．
1 1 1
例6 (1)【答案】 = −
；
n(n +1) n n +1
1 1
−
故答案为： ；
n n +1
【解析】归纳总结得出拆项方法，写出即可；
1 1 1 1 1 1 2019
(2)【答案】 = 1 − + − +⋯+ − = 1 − =
原式
2 2 3 2019 2020 2020 2020
【解析】原式利用拆项法变形，计算即可求出值．
2 1 2 1 1 2 1 1
例7 (1)【答案】∵ = 1 − = − = −
， ， ，
1 ×3 3 3 ×5 3 5 5 ×7 5 7
2 1 1
= −
∴ ，
2005 ×2007 2005 2007
1 1
−
故答案： ；
2005 2007
【解析】根据规律进行变形；
1 1 1 1 1
(2)【答案】 + + + +⋯+
1 ×4 4 ×7 7 ×10 10 ×13 301 ×304
1
=
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
×(1 − + − + − + − +⋯+ − )
4 4 7 7 10 10 13 301 304
1 1
= ×(1 − )
3 304
101
=
．
304
1
【解析】
每个分数都提取 后，将括号内裂项相消后即可得．
3
能力强化 / 初一 / 秋季
第 2 讲 有理数运算
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】解：（1）∵3-2+1+2-3-1+2=2，
2-2=0，
答：此时遇到紧急情况要求这辆汽车回到出发点，司机该向南行驶2千米；3 +|−2|+1 +2 +|−3|+|−1|+2 +|−2| = 16
（2） （千米），
答：当该辆汽车回到出发点时，一共行驶了16千米．
−1 −10
3 【答案】（1） ；（2） ．
4 【答案】D
5 【答案】D
3 4
6 【答案】 = 1 +1 + ×12 − ×12
解：原式
4 3
= 2 +9 −16
= −5
【解析】根据有理数的运算法则即可求出答案；
7 【答案】2
15 15 15
8 【答案】 −8 ×(− )+12 ×(− )−4 ×(− )
解： ，
29 29 29
15
= (− )×(−8 +12 −4)
，
29
15
= (− )×0
，
29
= 0
9 【答案】D
20
10 【答案】
61
能力强化 / 初一 / 秋季
第 2 讲 有理数运算
课堂落实答案
1
1 【答案】（1） −7 ；（2） ．
2
2 【答案】D
1
3 【答案】 = 1 ÷2 +(− )×16 −2
解：原式
8
1
= −2 −2
2
7
= −
2
【解析】根据有理数混合运算顺序和运算法则计算可得．
4 【答案】B5 【答案】C
能力强化 / 初一 / 秋季
第 2 讲 有理数运算
精选精练
(−61)−(−71)−|−8|
1 【答案】解：(1)
=−61 +71 −8
=−69+71
=2．
3 −[(−3)−(+12)]
(2)
=3+15
=18．
2 【答案】解：(1)8-9+4+7-2-10+18-3+7+5-4=21．
答：收工时在A地的东边，距A地21千米．
(2)|+8|+|-9|+|+4|+|+7|+|-2|+|-10|+|+18|+|-3|+|+7|+|+5|+|-4|=77，
77×0.3=23.1(升)，
答：若每千米耗油0.3升，从A地出发到收工时，共耗油23.1升．
3 【答案】解：(1)第四个30分钟后可分裂成2 4 =16；
2×3 6
(2)经过3小时后可分裂成2 =2 =64；
(3)经过n(n为正整数)小时后可分裂成2
2n
．
320
4 【答案】−
9
1 1 1
5 【答案】 = −
解：(1) ；
100 ×101 100 101
1 1 1 1 1 1 1 1 100
−
(2)原式=1- + - + - +…+ =1- = ；
2 2 3 3 4 100 101 101 101
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(3)原式= ×( + + +…+ )= ×(1- + - +…+
4 1 ×2 2 ×3 3 ×4 1009 ×1010 4 2 2 3
1 1 1 1009 1009
× =
- )=
1009 1010 4 1010 4040
3
6 【答案】
5
5 7 9 11 13 15 17 19
【解析】1 − + − + − + − +
6 12 20 30 42 56 72 902 +3 3 +4 4 +5 5 +6 6 +7 7 +8 8 +9
= 1 − + − + − + −
2 ×3 3 ×4 4 ×5 5 ×6 6 ×7 7 ×8 8 ×9
9 +10
+
9 ×10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 1 −( + )+( + )−( + )+( + )−( + )
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
1 1 1 1 1 1
+( + )−( + )+( + )
7 8 8 9 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 1 − − + + − − + + − − + + − −
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9
1 1
+ +
9 10
1 1
= 1 − +
2 10
3
=
．
5
能力强化 / 初一 / 秋季
第 3 讲 数轴与绝对值
例题练习题答案
−2
例1 【答案】 或6
【解析】解：分为两种情况：①当点在表示2的点的左边时，数为2-4=-2；
②当点在表示2的点的右边时，数为2+4=6．
故答案为：-2或6．
练1.1 (1)【答案】5
【解析】
解：
从图中不难看出，在数轴上A点表示3，B点表示-2，那么A、B两点之间的距离是5．
故答案为：5
(2)【答案】-7或1
−2.5
例2 (1)【答案】
−22.5
(2)【答案】
练2.1 (1)【答案】A
1
(2)【答案】
2(3)【答案】10
例3 【答案】4
-2
-1008
1008
【解析】
练3.1 【答案】2014
【解析】解：因为-3表示的点与1表示的点重合，
所以折痕经过的点是-1，
则-1-（-2016）-1=-2+2016=2014，
故答案为：2014．
5 −a
例4 【答案】
练4.1 【答案】C
例5 【答案】A
练5.1 【答案】D
例6 【答案】5
【解析】当x＜2时，原代数式=9-2x①；
当2≤x≤7时，原代数式=5②；
当x＞7时，原代数式=2x-9③；
据以上可得①＞②，且③＞②；所以当2≤x≤7时，原代数式取得最小值为5．
练6.1 【答案】A
能力强化 / 初一 / 秋季
第 3 讲 数轴与绝对值
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
【解析】①在原点左边时，
∵距离原点2个单位长度，
−2
∴该点表示的数是 ；②在原点右边时，
∵距离原点2个单位长度，
∴该点表示的数是2．
−2
综上，距离原点2个单位长度的点所表示的数是 或2．
故选：C．
3 【答案】C
−2
4 (1)【答案】折叠纸面，使2表示的点与 表示的点重合，折叠位置为0点处，则3表示的点与
−3
表示的点重合．
−3
故答案为： ；
【解析】首先确定折叠位置，然后确定答案；
−3 −1
(2)【答案】①折叠纸面，使 表示的点与1表示的点重合，折叠位置为 点处，则3表示的点
−5
与数 表示的点重合；
−5
故答案为： ；
②∵数轴上A、B两点之间距离为7，折叠位置为 −1 点处，
A : −1 −3.5 = −4.5 B : −1 +3.5 = 2.5
∴ ， ，
−4.5 2.5
故答案为： ； ．
−1 −1
【解析】首先根据题意可得折叠位置为 点处，①3在 的右侧，距离4个单位，则与3重合
的点在 −1 的左侧，距离4个单位；②根据A、B两点之间距离为7可得距离折叠位置
3.5 个单位，进而可得A、B两点表示的数．
5 【答案】A
【解析】∵1＜x＜2，
∴1﹣x＜0，x﹣2＜0，
∴|1﹣x|＋|x﹣2|＝x﹣1＋2﹣x＝1．
−2b
6 【答案】
2b
7 【答案】
8 【答案】D
9 【答案】A
1 ≤ x ≤ 2
10 【答案】（1）当 时取最小值，最小值为1；
−5 ≤ x ≤ 3
（2）当 时取最小值，最小值为8．
能力强化 / 初一 / 秋季第 3 讲 数轴与绝对值
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】C
3 【答案】2018
−a−b+c
4 【答案】
5 【答案】B
能力强化 / 初一 / 秋季
第 3 讲 数轴与绝对值
精选精练
1 【答案】B
【解析】解：∵MN=NP=PR=1，
∴|MN|=|NP|=|PR|=1，
∴|MR|=3；
①当原点在N或P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=3，所以，原点不可能在N或P点；
②当原点在M、R时且|Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3；
综上所述，此原点应是在M或R点．
故选：B．
2 (1)【答案】如图所示
(2)【答案】如图所示，点E表示的数为：1，
∴点B表示的数为： −5 ，
BE = 1 −(−5) = 6
∴ ；3 = (21 +1)
(3)【答案】∵第一次操作：有 个点，
5 = (22 +1)
第二次操作，有 个点，
9 = (23 +1)
第三次操作，有 个点，
∴第五次操作后，OC之间共有 (25 +1) = 33 个点；
∵33个点除去0有32个数，
1 2 3 32
= 4 ×( + + +...+ ) = 66
∴这些点所表示的数的和 ．
32 32 32 32
3 【答案】①②④
4 【答案】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|=3，数轴上表示-2和-5的两点之间的距
离是|-2-(-5)|=3．数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-(-3)|=4．
②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x-(-1)|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1
或-3．③当代数式|x+1|十|x-2|取最小值时，∴x+1≥0，x-2≤0，∴-1≤x≤2．
|5 −(−2)| = |5 +2| = 7
5 【答案】解：（1） ；
x = −5 −4 −3 −2 −1 |x+5|+|x−2| = 7
（2）当 、 、 、 、 、0、1、2时， 成立；
x = 2 |x+5|+|x−2|+|x−4|
（3）由题意得：当 时， 的和最小，最小值为9．
1 1
6 【答案】（1）当 x = −3 时取最小值，最小值为4；（2）当 − ≤ x ≤ 时取最小值，最小值
2 4
为3；
能力强化 / 初一 / 秋季
第 4 讲 整式
例题练习题答案
例1 【答案】C
练1.1 【答案】B
2 +4 = 2 +(m+2)
例2 【答案】由题意得： ，
m = 2
∴ ，
−6m+2 = −6 ×2 +2 = −10
∴ ．
练2.1 【答案】C=−5 +6xy4 −3x2y3+2x3y2 −5x4y
例3 【答案】解：原式
6xy4 −3x2y3+2x3y2 −5x4y −5
练3.1 【答案】解：原式
例4 【答案】-16
【解析】解：由同类项的定义可知
a+1=3，解得a=2，
b-1=3，解得b=4，
ba
所以- =-16．
故答案为：-16．
练4.1 【答案】B
a+(a−5b)
例5 (1)【答案】
=2a−5b
x+[−x−2(x−2)]
(2)【答案】
= x+(−x−2x+4)
= x−x−2x+4
= −2x+4
5m+2(m−2n)
练5.1 (1)【答案】
=5m+2m−4n
= 7m−4n
4x2 −[x−(x−1)+x2]
(2)【答案】
=4x2 −(x−x+1 +x2)
= 4x2 −1 −x2
= 3x2 −1
3
例6 【答案】
3
练6.1 (1)【答案】
4
(2)【答案】2
例7 【答案】（1）∵如果快递物品的重量不超过1千克，按每千克22元收费；如果超过1千克，超过的
部分按每千克15元收费，
又∵小明快递物品的重量为x(x > 1)
千克，
22 +15(x−1) = (15x+7)
∴小明应付的快递费为： 元；
x = 3 15x+7 15x+7 = 15 ×3 +7 = 52
（2）将 代入 得： （元），
所以如果小明快递物品的重量为3千克，应付快递费52元．
x2y x2 +4xy
练7.1 (1)【答案】 ； ；
(2)【答案】y， 10x2 ， x2 +40x ．A t B 4t
例8 (1)【答案】解:设点 的速度为每秒 个单位,则点 的速度为每秒 个单位,由题意,得
3t+3 ×4t = 15
,
t = 1
解得, ,
∴ A 1 B 4
点 的速度为每秒 个单位长度,则点 的速度为每秒 个单位长度.
−3
数轴上表示A、B两点：A点位置在 ,B点位置在+12.
如图:
x AB
(2)【答案】解：设 秒时原点恰好在 , 的中间,由题意,得
3 +x = 12 −4x
,
x = 1.8
解得: .
∴ AB 1.8 A B
, 运动 秒时,原点就在点 ,点 的中间;
A x / B 3x /
练8.1 (1)【答案】解：设动点 的速度为 单位长度 秒，动点 的速度为 单位长度 秒，根据题意
得：
5(x+3x) = 20
，
x = 1
解得：
3x = 3
则
A / B /
答：动点 的速度为1单位长度 秒；动点 的速度为3单位长度 秒；
A B A −5 B +15
数轴上表示 、 两点： 点位置在 ， 点位置在 ，
画图如下：
．
y
(2)【答案】设经过 秒原点恰好处在两个动点的正中点，根据题意得：
15 −3y = 5 +y
，
y = 2.5
解得：
答：经过2.5秒原点恰好处在两个动点的正中点．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 4 讲 整式自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】C
1
【解析】∵ − x|m| +(m−2)x+1 x
多项式 是关于 的二次三项式，
5
∴ |m| = 2 m−2 ≠ 0
且 ，
m = −2
解得： ．
C
故选： ．
3 【答案】C
4 【答案】D
= 5a−3b−3a2 +6b
5 【答案】（1）原式
= −3a2 +5a+3b
；
1
= 3a2 −(5a− a+3 +2a2)+4
（2）原式
2
9
= 3a2 − a−3 −2a2 +4
2
9
= a2 − a+1
．
2
6 【答案】C
1
【解析】 = x2 +( −3k)xy −3y2 −8
原式 ，
3
因为不含xy项，
1
−3k = 0
故 ，
3
1
k =
解得： ．
9
故选：C．
−2a3b−6a5b2 +3a2b3 −27 a
7 【答案】解：多项式 按 的次数降幂排列为
−6a5b2 −2a3b+3a2b3 −27
．
3x2 +my −8 −(−nx2 +2y +7)
8 【答案】
= 3x2 +my −8 +nx2 −2y −7
= (3 +n)x2 +(m−2)y −15
，
由题意得： (3 +n)x2 +(m−2)y −15 中不含有 x 的二次项和y的一次项，
3 +n = 0 m−2 = 0
所以 ， ，
n = −3 m = 2
得： ， ，
nm +mn = (−3)2 +2 ×(−3) = 3
所以 ．
m×30 ⋅0.8 = 24m
9 (1)【答案】甲方案： ，(m+5)×30 ⋅0.75 = 22.5(m+5)
乙方案： ；
m = 50 24 ×50 = 1200
(2)【答案】当 时，甲方案的应付费用为： 元，
22.5×55 = 1237.5
乙方案的应付费用为： 元，
所以采用甲方案优惠；
m = 100 24 ×100 = 2400
(3)【答案】当 时，甲方案的应付费用为： 元，
22.5×105 = 2362.5
乙方案的应付费用为： 元，
所以采用乙方案优惠．
∵ A B A B
10 (1)【答案】解： 、 两点间的距离为8个单位长度，且点 、 表示的数是互为相反数，点
A B
在点 的左侧，
∴ A −4 B
点 表示的数是 ，点 表示的数是4．
−4
故答案为： ．
AP = 2t = 2 ×3 = 6
(2)【答案】 ．
故答案为：6．
∵ A −3 P A
(3)【答案】 点 表示的数为 ，动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀
速运动，
∴ AP = 2t
，
∴ P 2t−3
点 表示的数为 ．
A a B a+8
(4)【答案】设点 表示的数为 ，则点 表示的数为 ，
∴ t P a+2t
当运动时间为 秒时，点 表示的数为 ，
∴ AP = 2t BP = |(a+8)−(a+2t)| = |8 −2t|
， ．
∵ AP = 2BP
，
∴ 2t = 2|8 −2t| 2t = 16 −4t 2t = 4t−16
，即 或 ，
8
t = t = 8
解得： 或 ．
3
8
∴ P A P B t
当点 到点 的距离是点 到点 的距离的2倍时， 的值为 或8．
3
能力强化 / 初一 / 秋季
第 4 讲 整式课堂落实答案
1 【答案】A
1
x|n| −(n +2)x+7 x
【解析】∵多项式 是关于 的二次三项式，
2
|n| = 2 −(n +2) ≠ 0
∴ ， ，
n = ±2 n ≠ −2
∴ ，且 ，
n = 2
∴ ．
故选：A．
= 2mn −m2 +n2 +m2 −n2 +mn
2 【答案】原式
= 3mn
3x2 +ax+bx2 −8x−5 = (3 +b)x2 +(a−8)x−5
3 【答案】
∵ x 3x2 +ax+bx2 −8x−5 x
关于 的多项式 的值与 的取值无关，
∴ 3 +b = 0 a−8 = 0
， ，
b = −3 a = 8
解得： ， ，
a−2b = 8 −2 ×(−3) = 14
故 ．
11axy
4 【答案】
【解析】根据住宅的平面结构示意图，可知：
(4x−x−2x)×y = xy
卫生间的面积为： ；
x×(4y −2y) = 2xy
厨房的面积为： ；
2x×4y = 8xy
客厅的面积为： ；
xy +2xy +8xy = 11xy
因此需要地砖的面积应该是 ；
11axy
那么买砖需要 元．
11axy
故本题的答案为： ．
x P A B
5 【答案】设 秒后点 到点 、点 的距离相等，
则 x 秒后，点P在数轴上对应的数为 −3 +x ，且位于点 A 、点 B 之间
(−3 +x)−(−3) = 5 −(−3 +x)
根据题意，得： ，
x = 4
解得： ，
P A B
所以4秒后点 到点 、点 的距离相等．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 4 讲 整式精选精练
1 【答案】2
2 【答案】D
= x2 −3xy +4y2 −xy +x2 +5y2
3 【答案】（1）原式
= 2x2 −4xy +9y2
；
= 7x2 −(−2x2 +18x−24x2 +12)
（2）原式
= 33x2 −18x−12
．
∵ A = x2 +axB = 2bx2 −4x−1
4 【答案】 , ,
∴ 2A +B = 2(x2 +ax)+(2bx2 −4x−1)
= 2x2 +2ax+2bx2 −4x−1
= (2 +2b)x2 +(2a−4)x−1
,
2A +B x
∵多项式 的值与字母 的取值无关，
2 +2b = 02a−4 = 0 a = 2 b = −1
∴ , ,解得: , ．
5 【答案】（1）19.2；
（2）23；
0 < a ≤ 20 = 1.6a
（3）当 时，丙应缴交水费 （元）；
20 < a ≤ 30
当 时 ， 丙 应 缴 交 水 费
= 1.6×20 +2.4×(a−20)= 2.4a−16
（元）；
a > 30
当 时 ， 丙 应 缴 交 水 费
= 1.6×20 +2.4×10+3.2(a−30) = 3.2a−40
（元）．
12 ×1.6 = 19.2
【解析】（1）甲需缴交的水费为 （元）；
故答案为：19.2；
1.6×20 = 32
（2）若乙的月用水量为20吨，则乙应缴的水费为： （元），
若 乙 的 月 用 水 量 为 30 吨 ， 则 乙 应 缴 的 水 费 为 ：
1.6×20 +2.4×(30 −20) = 56
（元），
32 < 39.2 < 56
∵ ，
∴可设乙的月用水量为x吨（ 20 < x < 30 ），
1.6×20 +(x−20)×2.4 = 39.2
根据题意得： ，
x = 23
解得： ，
故答案为：23．
|a+6|+(b−18)2 = 0
6 (1)【答案】∵ ，
a+6 = 0 b−18 = 0
∴ ， ，a = −6 b = 18
∴ ， ，
b−a = 18 −(−6) = 24
∴ ；
【解析】根据非负数的性质求出a，b，根据有理数的减法法则计算；
(2)【答案】①当点C在点A，B之间时， CA +CB = AB ， CA = 3CB ，
3CB +CB = 24
∴ ，
CB = 6
解得： ，
点C在点B的左边，点B所表示的数是18，则点C所表示的数是12，
②当点C在点B的右边时， CA −CB = AB ， CA = 3CB ，
3CB −CB = 24
∴ ，
CB = 12
解得： ，
点C在点B的右边，点B所表示的数是18，则点C所表示的数是30，
则当点C所表示的数是12或30时，可以使得 CA = 3CB ；
【解析】分点C在点A，B之间和点C在点B的右边两种情况，列式计算即可；
(3)【答案】点P运动了 2 秒后，点P所表示的数为： −6 +1 ×2 = −4 ，
设点Q出发x秒后，P，Q相距4个单位长度．
①若动点P，Q还未相遇， 则 x+2x = 18 −(−4)−4 ，
x = 6
解得： ，
②若动点P，Q已经相遇，则 x+2x = 18 −(−4)+4 ，
26
x =
解得： ，
3
26
∴当点Q出发了6秒或 秒后，P，Q相距4个单位长度．
3
【解析】分点P，Q还未相遇，点P，Q相遇后两种情况，列出一元一次方程，解方程即可．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 5 讲 整式化简求值
例题练习题答案
例1 【答案】A
a < b < −1 < 0 0 < c < 1
练1.1 【答案】由图可知， ， ，
a+b < 0 b+c < 0 a−c < 0 c−b > 0
∴ ， ， ， ，
= 2(a+b)−(b+c)+3(a−c)+2(c−b)
∴原式= 2a+2b−b−c+3a−3c+2c−2b
= 5a−b−2c
．
−3x2 +5x−0.5x2 +x−1 = −3.5x2 +6x−1
例2 【答案】 ，
x = 2 −3.5x2 +6x−1 −3.5×22 +6 ×2 −1 = −3
将 代入 ，得 ．
10
练2.1 【答案】 = 4x3 − x2 +3x
原式 ，
3
x = −3
将 代 入 ， 得 原 式
10
= 4 ×(−3)3 − ×(−3)2 +3 ×(−3)= −108 −30 −9 = −147
．
3
x−2 = 0 y +1 = 0
例3 【答案】由题意得： ， ，
x = 2 y = −1
解得： ， ，
1 2 3 1
= x−2x+ y2 − x+ y2
原式
2 3 2 3
= −3x+y2
，
x = 2 y = −1 = −3 ×2 +1 = −5
将 ， 代入，原式 ．
1 2 3 1
【解析】 = x−2x+ y2 − x+ y2 = −3x+y2
原式 ，
2 3 2 3
∵ |x−2|+(y +1)2 = 0
，
∴ x = 2 y = −1
， ，
= −6 +1 = −5
则原式 ．
1
练3.1 【答案】由题意得 a+1 = 0 ， 1 − b = 0 ，
2
a = −1 b = 2
解得 ， ，
3A −2(A −B) = A +2B = 4a2 −ab+4b2 +2(3a2 −ab+3b2)
= 4a2 −ab+4b2 +6a2 −2ab+6b2
= 10a2 −3ab+10b2
a = −1 b = 2
将 ， 代入，
得
3A −2(A −B) = 10a2 −3ab+10b2 = 10 ×(−1)2 −3 ×(−1)×2 +10
．
×22 = 56
a+1 = 2 b−1 = 2
例4 【答案】由题意得： ， ．
a = 1 b = 3
解得： ， ．
a = 1 b = 3
∴当 ， 时
1
2a2b+3a2b− a2b
2
9
= a2b
2
27
=
2【解析】原式合并同类项得到最简结果，利用同类项的定义求出a与b的值，代入计算即可求出值．
2m−n = 5 m = 3
练4.1 【答案】由题意得： 且 ，
m = 3 n = 1
解得： ， ，
4m−2n +5(−m−n)−2(n −2m)
= 4m−2n −5m−5n −2n +4m
= 3m−9n
，
m = 3 n = 1 = 0
当 ， 时，原式 ．
−9
例5 (1)【答案】
(2)【答案】1
3
(3)【答案】
2
x2 −2y = 5
(4)【答案】由题意得 ，
= 3x2 −6xy −x2 +6xy −4y
原式
= 2x2 −4y
= 2(x2 −2y) = 10
．
例6 (1)【答案】15
−1
(2)【答案】
= 4a2 −4ab+2b2 −2a2 +2ab−6b2
(3)【答案】原式
= 2a2 −2ab−4b2
= 2(a2 −ab−2b2)
a2 +ab = 5 b2 +ab = 3
由题意得 ， ，
a2 −b2 = 2
∴ ，
a2 −b2 = 2 b2 +ab = 3
将 ， 代入，
= 2[(a2 −b2)−(ab+b2)] = 2 ×(2 −3) = −2
得原式 ．
例7 【答案】2021
练7.1 【答案】9
例8 【答案】D
x2 −x = 1
练8.1 【答案】由题意得 ，
=−x(x2 −x−x)+2018
∴原式
=−x(1 −x)+2018
= x2 −x+2018= 2019
x = 0 a = −1
例9 【答案】（1）令 ，得到 0 ；
x = 1 a +a +a +…+a +a +a = (−3)5 = −243
（2）令 ，得到 15 14 13 2 1 0 ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 5 讲 整式化简求值
自我巩固答案
1 【答案】根据有理数a、b、c在数轴上的位置得： c < b < 0 < a ，且 |a| < |b| < |c| ，
a+c < 0 a−b−c > 0 b−a < 0 b+c < 0
∴ ， ， ， ，
= −a−c+a−b−c+b−a−b−c= −a−b−3c
则原式 ．
−2xy +4x2y +xy2 −x2y +6xy
2 【答案】解：
= 3x2y +xy2 +4xy
= xy(3x+y +4)
∵ x = 3,y = −2
∴ = −6 ⋅11= −66
原式
a+2 = 0 b−1 = 0
3 【答案】由题意得 ， ，
a = −2 b = 1
解得 ， ，
= a2b+3ab−3a2b−2ab+ab2
原式
= −2a2b+ab+ab2
= ab(−2a+1 +b)
= −2 ×6
= −12
x−6 = 0 y +2 = 0
4 【答案】由题意得 ， ，
x = 6 y = −2
∴ ， ，
= 4x−3x+6y2 +10x−2y2
原式
= 11x+4y2
= 66 +16
= 82
5 【答案】A
x−3y = −2
【解析】∵ ，5 −x+3y = 5 −(−2) = 7
∴ ，
故选：A．
6 【答案】A
a−b = 1
【解析】∵ ，
2a−2b−3 = 2(a−b)−3 = 2 ×1 −3 = −1
∴ ．
故选：A．
7 【答案】A
2x2 +3x+7 = 6
【解析】∵ ，
2x2 +3x = −1
∴ ，
4x2 +6x−5
∴
= 2(2x2 +3x)−5
= 2 ×(−1)−5
= −2 −5
= −7
．
A
故答案为： ．
8 【答案】B
a+b = 0 cd = 1 m = 1 −1
9 【答案】根据题意得： ， ， 或 ，
m = 1 = 1 −1 = 0
当 时，原式 ；
m = −1 = −1 −1 = −2
当 时，原式 ．
【解析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可得到结果．
(x−1)7 x = 1
10 【答案】解：（1）在二项式 的展开式中，令 ，可得各项系数之和为0．
x = 1 a +a +a +⋯+a +a = 0
当 时， 7 6 5 1 0 ．
x = 1 a +a +a +⋯+a
（2）当 ，可得 0 1 2 7＝0①，
x = −1 a −a +a −⋯−a = (−1 −1)7= (−2)7 = −128
当 ，可得 0 1 2 7 ②，
128
− a +a +a +a = = 64
则① ②可求得奇数项系数之和 1 3 5 7 2 ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 5 讲 整式化简求值
课堂落实答案
1 【答案】由有理数a、b、c在数轴上的位置可知， a > 0 > b > c ，a−b > 0 a−c > 0 b−c > 0
∴ ， ， ，
a−b+a−c+b−c = 2a−2c
原式= ．
a−2 = 0 b+1 = 0
2 【答案】由题意得 ， ，
a = 2 b = −1
∴ ， ，
1
= (3a2b−3a2b+ a2b)+(ab2 +ab2)+(5ab−4ab)
原式
2
1
= a2b+2ab2 +ab
2
1
= ab( a+2b+1)
2
= −2 ×0
= 0
−4
3 【答案】
−3
4 【答案】
5 【答案】0
能力强化 / 初一 / 秋季
第 5 讲 整式化简求值
精选精练
a b c c < b < 0 < a |a| |b|
1 【答案】根据有理数 、 、 在数轴上的位置，可知 ，且 ＝ ，
a+b = 0 c−a < 0 c−b < 0 ac < 0 −2b > 0
所以 ， ， ， ， ，
|a|−|a+b|−|c−a|+|c−b|+|ac|−|−2b|
所以 ，
a−0 −(a−c)+(b−c)−ac+2b
＝ ，
＝
3b−ac．
|a−2| = 4 |b−5| (c+3)2 a b
2 【答案】∵ ， 与 互为相反数，且 ＞ ，
a = 6 b = 5 c = −3
∴ ， ， ，
(5a+4c+7b)+(5c−3b−6a)−(2a−b+c−abc)
= 5a+4c+7b+5c−3b−6a−2a+b−c+abc
= −3a+5b+8c+abc
，
a = 6 b = 5 c = −3
把 ， ， 代入得：
= −18 +25 −24 −90
原式
= −107
．2a = 4 2 +b = 1
3 【答案】由题意得 ， ，
a = 2 b = −1
∴ ， ，
3A −B = 3(a2 +ab−2b2)−(3a2 −ab−6b2)
= 3a2 +3ab−6b2 −3a2 +ab+6b2
= 4ab
= −8
a2 −b2= a2 −ab+ab−b2 = 26 +(−18) = 8
4 【答案】解： ．
a2 −2ab+b2= a2 −ab−(ab−b2) = 26 −(−18) = 44
．
a+b+c = 0
5 【答案】∵ ，
a+b = −c b+c = −a a+c = −b
∴ ， ， ，
a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)
∴
= −a2 −b2 −c2
= −(a2 +b2 +c2)
= 0
．
(2x+1)5 = a x5 +a x4+a x3 +a x2 +a x+a
6 【答案】∵ 5 4 3 2 1 0，
x = 1 243 = a +a +a +a +a +a
令 ，则 5 4 3 2 1 0①，
x = −1 −1 = −a +a −a +a −a +a
令 ，则 5 4 3 2 1 0②，
x = 0 1 = a
令 , 则 0 ,
242 = 2(a +a +a )
①+②得 4 2 0 ，
a +a +a = 121
∴ 4 2 0 ,
a +a = 120
∴ 4 2 ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 6 讲 定义新运算和找规律
例题练习题答案
例1 【答案】D
1 1
【解析】 (−2)⨂5 = −2 ×(− − )
解：
2 5
2
= 1 +
5
7
=
，
5D
故选： ．
练1.1 (1)【答案】解：由题意可知：
−5 ∗ (−3)
= (−3)2 −(−5)×(−3)−3
= 9 −15 −3
= −9
；
3
(2)【答案】 ∵ (a−3)∗ (− ) = a−1 ，
4
3 3
∴(− )2 −(a−3)×(− )−3 = a−1
，
4 4
9 3 9
−(− a+ ) = a−1 +3
，
16 4 4
9 3 9
+ a− = a−1 +3
，
16 4 4
3 9 9
a−a = −1 − +3
，
4 4 16
1 59
− a =
4 16
59
a = −
．
4
2
例2 【答案】
练2.1 【答案】B
x
【解析】 解：第一次输入M＝x+1得整式： (x+1 + )×2 +N = 3x+1 ，整理得
2
3x+2+N＝3x+1，故2+N＝1，解得N＝ −1 ，
x
(M + )×2 −1
∴运算原理为： ，
2
x
第二次输入M＝3x+1，运算得 (3x+1 + )×2 −1 = 7x+1 ，
2
x
第三次输入M＝7x+1，运算得 (7x+1 + )×2 −1 = 15x+1 ，
2
故第3次输出的结果是15x+1，
故选：B．
1 5 1 5
例3 (1)【答案】 ∵ −3 = − ×(−3)−1 = −
解： ， ，
2 2 2 2
1 1
∴ −3 = ×(−3)−1
，
2 2
1
∴ ( −3)
， 是“伴生有理数”，
2
3 31 3 17
∵ 7 + = 7 × −1 =
， ，
4 4 4 4
3 3
∴ 7 + ≠ 7 × −1
，
4 4
3
∴ (7, )
不是“伴生有理数”；
44 +m = 4m−1
(2)【答案】由题意得： ，
5
m =
解得 ．
3
5
m
故 的值 ．
3
例4 【答案】D
4 = 3 ×1 +1
【解析】解：∵第①个图中点的个数 ，
7 = 3 ×2 +1
第②个图中点的个数 ，
10 = 3 ×3 +1
第③个图中点的个数 ，
……
∴第n个图中点的个数为 3n +1 ．
练4.1 【答案】18
4n-2
【解析】解：观察图形，可知
2 = 1 ×4 −2
第1个图形中阴影小三角形的个数是 ，
6 = 2 ×4 −2
第2个图形中阴影小三角形的个数是 ，
10 = 3 ×4 −2
第3个图形中阴影小三角形的个数是 ，
…
第n个图形中阴影小三角形的个数是 4n −2 ．
4 ×5 −2 = 18
∴第5个图形中阴影小三角形的个数是 ．
11
练4.2 【答案】
3
1
例5 【答案】−
65
练5.1 【答案】24
n2 +2n
2 ×3 −3
【解析】解：第1个图形是 ，
3 ×4 −4
第2个图形是 ，
4 ×5 −5
第3个图形是 ，
…
5 ×6 −6 = 24
第4个图形是 颗黑色棋子．
n (n +1)(n +2)−(n +2) = n2 +2n
第 个图形需要黑色棋子的个数是 颗黑色棋
子，
n2 +2n
故答案为：24， ．3
例6 【答案】
2
a = −2
【解析】解：∵ 1 ，
1 1 1
a = = =
∴ 2 1 −a 1 −(−2) 3 ，
1
1 1 3
a = = =
3 1 −a 1 − 1 2 ，
2
3
1 1
a = = = −2
4 1 −a 1 − 3 ，
3
2
…
1 3
−2
数字 ， ， 三个不断循环出现，
3 2
2019 ÷3 = 673
∵ ，
3
a a
∴ 2019与 3相同是
2
．
练6.1 【答案】C
例7 (1)【答案】x；x＋1；x＋7；x＋8
(2)【答案】100
(3)【答案】不能，假设存在，则x＋x＋1＋x＋7＋x＋8＝324，
解之得x＝77，
∵77位于表中的第11行第7列的最后一个数，
∴不能否框住这样的4个数，
故x不存在．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 6 讲 定义新运算和找规律
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】C
5 【答案】D
6 【答案】 5137 【答案】B
【解析】观察发现，第1个图形★的个数是，1+3=4，
第2个图形★的个数是，1+3×2=7，
第3个图形★的个数是，1+3×3=10，
第4个图形★的个数是，1+3×4=13，
…
依此类推，第n个图形★的个数是，1+3×n=3n+1，
故当n=16时，3×16+1=49．
故选：B．
8 【答案】B
9 【答案】1， −3 ，9， −27 ，81， −243 …这列数的第n项为 (−3)n−1 ．
n 6
10 【答案】 第n个数为 (−1)n ，∴第6个数是 ．
n2 +1 37
能力强化 / 初一 / 秋季
第 6 讲 定义新运算和找规律
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】B
−2 −2 (−2)2 −2 =2 2
3 【答案】（1）当输入 时， 为偶数，输出 ，故答案为 ；
2 ×3 +3 = 9
（2）当输入3时，3为奇数，输出 ，故答案为9.
4 【答案】B
2 ×1 −1
1 =
【解析】∵ ；
12
3 2 ×2 −1
=
；
4 22
5 2 ×3 −1
=
；
9 32
2n −1
∴第n个数是：
n2
故选：B．
5 【答案】C
【解析】∵左边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，
上边的数为2，4，6，…，b = 2 ×6 −1 = 11
∴ ，
∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，
a = 11 +12 = 23
∴ ，
a+b = 23 +11 = 34
∴ ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 6 讲 定义新运算和找规律
精选精练
1 【答案】0
1 −2 +3 +4 +6 −5 −7 = 0
【解析】根据题意得： ．
故答案为：0．
2 【答案】C
12 −1 = 0
【解析】把1代入得： ；
02 −1 = −1
把0代入得： ；
−1 −(−1) = 1
把 代入得： ；
以此类推，
20 ÷3 = 6…2
∵ ，
0
∴计算机经过二十次运算后的输出结果是 ，
C
故选： ．
3 【答案】5
b = a+1 c = a+5 d = a+6
【解析】由图可知， ， ， ，
a+b+c+d = 32
∵ ，
a+(a+1)+(a+5)+(a+6) = 32
∴ ，
a = 5
解得 ．
5
故答案为： ．
4 【答案】C
2016 ÷2 = 1008
【解析】∵
∴2016是第1008个偶数，
而1008÷4=252，
∴第1008个偶数在第252行，偶数行的数从第4列开始向前面排，
∴第1008个偶数在第1列，
∴2016应在第252行第1列，
C
故选： ．
1
5 【答案】 2018
2
1 1 x
【解析】 f(x)+f( ) = + = 1
∵
x x+1 x+1
∴原式=
1 1 1
f(2019)+f( )+f(2018)+f( )+f(2017)+f( )+...
2019 2018 2017
1
+f(2)+f( )+f(1)
2
1 ×2018 +f(1)
=
1
2018 +
=
2
1
2018
= ，
2
1
2018
故答案为： ．
2
6 【答案】（1）根据“神秘值”的定义，1不能再分，
∴1的神秘值是1，
∵2可以分为1和1，
∴2的神秘值是1，
1 1
故答案为： ， ；
（2）如图所示：
结论猜想：
∵3的神秘值是3，4的神秘值是6，5的神秘值是10，6的神秘值是15，7的神秘值21，…，
n ×(n −1)
∴n的神秘值是 (n > 1) ．
2
【解析】（1）根据“神秘数”的定义，1不能在分，
∴ 1
的神秘数是1，
∵ 2
可以分为1和1，∴ 2
的神秘数是1；
（2）如图所示：
结论猜想：
∵ 3
的神秘数是3，4的神秘数是6，5的神秘数是10，6的神秘数是15，7的神秘数是21，
…
，
n ×(n −1)
∴ n (n > 1)
的神秘数是 ．
2
能力强化 / 初一 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】B
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】A
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】B
8 【答案】D
9 【答案】D10 【答案】A
2
11 【答案】
；<
3
2 2
【解析】−
的相反数是 ．
3 3
∵π＞3.14，
∴－π＜－3.14．
12π
12 【答案】−
，2
5
13 【答案】2
3
【解析】该题考查的是同类项的概念．
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项，
2
− x2yn 6xmy3
∵ 与 是同类项，
3
m = 2 n = 3
∴x、y项的指数分别相同，即 ，且 ，
14 【答案】1
15 【答案】2
(10 −5m)x
【解析】合并同类项的结果为 ，
10 −5m = 0 m = 2
由题意得 ，故
−3
16 【答案】
17 【答案】1
−6
18 【答案】24，
−22.5
19 【答案】解：（1）22；（2） ；（3）0；（4）48．
∣ 1∣
20 【答案】解：因为a、b满足 (a−3)2 +
∣
∣b+
9∣
∣ = 0
1
a = 3 b = −
所以 ， ．
9
3
3ab2 −[2a2b−2(ab− ab2)+2ab]
2
= 3ab2 −[2a2b−2ab+3ab2 +2ab]
= 3ab2 −2a2b−3ab2
= −2a2b
1
代入a、b的值，原式 = −2 ×32 ×(− ) = 2
9
m+n = 0 xy = 1 c = ±2
21 【答案】解：根据题意得 ， ， ，
m n
= −1 = −1
∴ ， ，
n m
x 100
= (1 +1)5 +[16 ÷(−1)]−( ) ×0
所以原式
y= 32 −16
= 16
= 2a+2b+3(a−c)+2(c−b)
22 【答案】解：原式
= 2a+2b+3a−3c+2c−2b
= 5a−c
2.5−(−2) = 4.5
23 【答案】解：（1） （千克）
答：最重的一筐比最轻的一筐重4.5千克．
1 ×2 +2.5×2 +2 +(−0.5)+1.5+(−1)+(−2)×2
（2）
= 2 +5 +2 −0.5+1.5−1 −4
= 5
（千克）
答：10筐白菜总计超过5千克．
305(b−a)
（3）出售这批白菜可获利： 元．
AB = −4 −(−10) = 6
24 【答案】解：(1) ，
运动1秒后，A表示 −5 ，B表示 −1 ，
AB = −1 +5 = 4
∴ ．
故答案为6，4
(2)运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为5t，3t，
故答案为5t，3t．
(5 −3)t = 6
(3)由题意: ，
t = 3
∴ ．
25 【答案】78
【解析】∵第一个数字为0，
第二个数字为0+6=6，
第三个数字为0+6+15=21，
第四个数字为0+6+15+24=45，
第五个数字为0+6+15+24+33=78.
−1
26 【答案】
a b
【解析】 + = 0
∵
|a| |b|
∴a、b异号，
∴ab＜0，
ab ab
∴ = =﹣1
|ab| −ab能力强化 / 初一 / 秋季
第 8 讲 一元一次方程综合
例题练习题答案
2a
例1 【答案】（1）
2
−
（2）
3
5
−
（3）
3
（4）9
1
例2 (1)【答案】
−3
(2)【答案】
a−3 x|a|−2 −7 = 0 x
【解析】解：∵（ ） 是一个关于 的一元一次方程，
a−3 ≠ 0
{
∴ ，
|a|−2 = 1
a = −3
解得， ，
−3
故答案为： ．
25
例3 【答案】（1） x =
11
15
x =
（2）
7
x = 1
（3）
【解析】解：
4x+6x−9 = 12 −x+4
（1）去括号得， ，
4x+6x+x = 12 +4 +9
移项得， ，
11x = 25
合并同类项得， ，
25
x =
系数化为1得， ；
11
6x−2(x+3) = 3(−x+3)
（2）去分母得， ，
6x−2x−6 = −3x+9
去括号得， ，
6x−2x+3x = 9 +6
移项得， ，
7x = 15
合并同类项得， ，
15
x =
系数化为1得， ；
74(2x−1)−2(10x+1) = 3(2x+1)−27
（3）去分母得， ，
8x−4 −20x−2 = 6x+3 −27
去括号得， ，
8x−20x−6x = 3 −27 +4 +2
移项得， ，
−18x = −18
合并同类项得， ，
x = 1
系数化为1得， ．
1
练3.1 【答案】 解：（1）去括号得： x−1 +1 = x
2
1
x−x = 1 −1
移项得：
2
1
− x = 0
合并同类项得：
2
x = 0
系数化为1得：
(3x−7)−2(5x+8) = 4
（2）去分母得：
3x−7 −10x−16 = 4
去括号得：
3x−10x = 4 +7 +16
移项得：
−7x = 27
合并同类项得：
27
x = −
系数化为1得：
7
(1) ,
例4 【答案】 整理 得
4x+9 3 +2x x−5
− =
5 3 2
,
去分母 得
6(4x+9)−10(3 +2x) = 15(x−5),
,
去括号 得
24x+54 −30 −20x = 15x−75,
,
移项 得
24x−20x−15x = −75 −54 +30,
, −11x = −99,
合并同类项 得
1, x = 9.
系数化为 得
(2) ,
整理 得
40y −15 50y −8
− = 12 −10y +3,
5 2
,
去分母 得
2(40y −15)−5(50y −8) = 10(12 −10y +3),
,
去括号 得
80y −30 −250y +40 = 120 −100y +30,
,
移项 得80y −250y +100y = 120 +30 +30 −40,
, −70y = 140,
合并同类项 得
1, y = −2.
系数化为 得
练4.1 【答案】解：（1）分数的基本性质；等式的基本性质；等式的基本性质；
5(x−2)−2(x+1)=3
（2）去分母得： ，
5x−10 −2x−2=3
去括号得： ，
5x−2x 10 +2 +3
移项得： ＝ ，
3x=15
合并得： ，
x=5
系数化为1，得： ．
例5 【答案】3
【解析】设（ ）处的数字为a，
x = 2 10 −1 = −a×2 +11
根据题意，把 代入方程得： ，
a = 1
解得： ，
∴“（ ）”处的数字是1，
5x−1 = x+11
即： ，
x = 3
解得： ．
x = 3
故该方程的正确解应为 ．
故答案为：3．
练5.1 【答案】C
x = −5 2a+2x = 5 2a−10 = 5
【解析】把 代入方程 得： ，
2a = 15
解得： ，
15 −2x = 5
则原方程是： ，
x = 5
解得： ．
故选：C．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 8 讲 一元一次方程综合
自我巩固答案
1 【答案】Cam = an am−3 = an −3
【解析】A、 ，根据等式的性质1，两边同时减去3，就得到 ，故此
选项正确；
am = an 5 +am = an +5
B、 ，根据等式的性质1，两边同时加上5，就得到 ，故此
选项正确；
m = 0 m = n
C、当 时， 不一定成立，故此选项错误．
−2 −2am = −2an
D、根据等式的性质2，两边同时乘以 ，即可得到 ，故此选项正确；
故选：C．
2 【答案】A
x = y a ax = ay
【解析】① ，等式两边同时乘以 得： ，即①正确，
x y
x = y a = 0
② ，若 ，则 和 无意义，即②错误，
a a
ax = ay a = 0 x y
③ ，若 ，则 不一定等于 ，即③错误，
x y
= a x = y
④ ，等式两边同时乘以 得： ，即④正确，
a a
即正确的是①④．
3 【答案】B
2
【解析】 3x+2 = 0 x = −
A、若 ，则 ，故A错误；
3
1
− y = −1 y = 2
B、若 ，则 ，故B正确；
2
a = 0 ax = ay x = y
C、当 时，由 不一定能得到 ，故C错误；
x = y x−3 = y −3
D、若 ，则 ，故D错误；
故选：B．
4 【答案】B
5 【答案】B
6 【答案】D
7 【答案】B
(m−1)x|2m−3|
【解析】∵ ＝6是一元一次方程，
|2m−3| m−1 ≠ 0
∴ ＝1， ，
解得：m＝2．
2(2x−1) = 8 −(3 −x)
8 【答案】解：（1）去分母得：
4x−2 = 8 −3 +x
去括号得：
4x−x = 8 −3 +2
移项得：
3x = 7
合并同类项得：
7
x =
系数化为1得：
3
4(2x−1)+12 = 3(3x+2)−24
（2）去分母得：8x−4 +12 = 9x+6 −24
去括号得：
8x−9x = 6 −24 +4 −12
移项得：
−x = −26
合并同类项得：
x = 26
系数化为1得：
3(3 −x) = 2(x+4)
（3）去分母得：
9 −3x = 2x+8
去括号得：
−3x−2x = 8 −9
移项得：
−5x = −1
合并同类项得：
1
x =
系数化为1得：
5
2(7x−1)−3(5x+1) = 12
（4）去分母得：
14x−2 −15x−3 = 12
去括号得：
14x−15x = 12 +2 +3
移项得：
−x = 17
合并同类项得：
x = −17
系数化为1得：
10x+10 2x−10
9 【答案】 − = 1
（1）化简得：
4 7
7(10x+10)−4(2x−10) = 28
去分母得：
70x+70 −8x+40 = 28
去括号得：
62x = −82
移项合并得：
41
x = −
系数化为1，得：
31
8y −3 −(25y −4) = 12 −10y +3
（2）化简得：
8y −3 −25y +4 = 12 −10y +3
去括号得：
7y = −14
移项合并得：
y = −2
系数化为1，得：
10 【答案】C
5a−2 = 13
【解析】由题意得， ，
a = 3
解得， ，
15 −x = 13
∴原方程为 ，
x = 2
解得， ；
故选：C．
能力强化 / 初一 / 秋季第 8 讲 一元一次方程综合
课堂落实答案
1 【答案】D
【解析】A、根据等式性质1，此结论正确；
B、符合等式的性质2，此结论正确；
C、符合等式的性质2，此结论正确；
x = 0
D、当 时，此等式不成立，此结论错误；
故选：D．
2 【答案】A
【解析】A、 ax = bx ，两边同时除以x，应说明 x ≠ 0 ，可得 a = b ，计算错误；
B、 ax = bx 两边同时加上c，等式仍然成立，故正确；
C、 ax = bx ，则 ax−bx = 0 ， (a−b)x = 0 ，计算正确；
ax bx
D、 ax = bx ，两边同时除以 π ， = ，计算正确；
π π
故选：A．
3 【答案】D
【解析】去括号，得
3 −x−2 = 1
．
4 (1)【答案】A
3x+5 5x−2
(2)【答案】 2x− = 0.4−
解：
0.2 0.5
30x+50 50x−20
2x− = 0.4−
原方程可化为： ，
2 5
20x−150x−250 4 −100x+40
去分母得： ＝ ，
−30x = 294
合并同类项得： ，
49
x = −
系数化成1，得： ．
5
5 【答案】A
1
【解析】 16 + x = 17
根据题意得： ，
3
x = 3
解得： ，
1
= 16 − x = 16 −1 = 15
则原式 ，
3
故选：A．
能力强化 / 初一 / 秋季第 8 讲 一元一次方程综合
精选精练
1 【答案】B
c ≠ 0
【解析】A、错误． 时，等式不成立；
B、正确、
c = 0
C、错误． 时，不成立；
x y
= 3x = 2y
D、错误．应该是：若 ，则 ；
2c 3c
故选：B．
2 【答案】B
【解析】A．若 ac = bc ，当 c ≠ 0 ，则 a = b ，故此选项错误；
a b
= a = b
B．若 ，则 ，正确；
c c
a2 = b2 |a| = |b|
C．若 ，则 ，故此选项错误；
|a| = |b| a = ±b
D．若 ，则 ，故此选项错误；
故选：B．
1 1 3
3 【答案】 解:（1）去括号得： x− −6 = x+1
2 4 2
1 3 1
x− x = 1 + +6
移项得：
2 2 4
29
−x =
合并同类项得：
4
29
x = −
系数化为1得：
4
1 1
x−2 −2x = − x−7
（2）去括号得：
2 2
1 1
x−2x+ x = −7 +2
移项得：
2 2
−x = −5
合并同类项得：
x = 5
系数化为1得：
2x−18 +3x = 3x−20 +4x
4 【答案】解：（1）去括号得：
2x = 2
合并移项得：
x = 1
系数化为1，得：
3(2x+1) = 4(x−2)−24
（2）去分母得：
6x+3 = 4x−8 −24
去括号得：
2x = −35
合并移项得：35
x = −
系数化为1，得：
2
3(x−1)+(2x+1)−2(x−1) = 12
（3）去分母得：
3x−3 +2x+1 −2x+2 = 12
去括号得：
3x = 12
合并移项得：
x = 4
系数化为1，得：
90y −18 50y −12 14 −20y
− = +5
（4）分母化成整数得：
6 2 1
(15y −3)−(25y −6) = (14 −20y)+5
化简，得：
15y −3 −25y +6 = 14 −20y +5
去括号得：
10y = 16
合并移项得：
y = 1.6
系数化为1，得：
10x 17 −20x
5 【答案】 − = 1
解：（1）化简得：
7 3
30x−7(17 −20x) = 21
去分母得：
30x−119 +140x = 21
去括号得：
170x = 140
合并移项得：
14
x =
系数化为1，得：
17
8x+3 4 +5x x−7
− =
（2）化简得：
5 3 2
6(8x+3)−10(4 +5x) = 15(x−7)
去分母得：
48x+18 −40 −50x = 15x−105
去括号得：
−17x = −83
合并移项得：
83
x =
系数化为1，得：
17
6 【答案】2
11 −x = 20
【解析】根据题意得： ，
x = −9
解得 ，
11 +x = 11 +(−9) = 2
则
故答案为：2
能力强化 / 初一 / 秋季
第 9 讲 一元一次方程应用（一）
例题练习题答案x
例1 【答案】解：设这个月小明上了 小时的课，根据题意，可列方程
1
100x+20000 = (2000x+50000)
10
x = 150
解得： ．
答：这个月小明上了150小时的课．
x
练1.1 【答案】解：设小明实际有 元，根据题意，可列方程
11(x+400)+400 = 9(x+500)+500
x = 100
解得：
答：小明实际有100元．
y
例2 (1)【答案】设 小时相遇，由题意得：
50y +40y = 180
，
y = 2
，
答：2小时相遇．
【解析】首先设y小时相遇，根据等量关系：甲的路程+乙的路程=总路程，可得方程：
50y +40y = 180
，解方程即可．
x
(2)【答案】解：设乙出发 小时相遇，由题意得：
48
50 ×( +x)+40x = 180
，
60
14
x =
解得： ，
9
14
答：乙出发后 小时两人相遇．
9
【解析】首先设乙出发x小时相遇，根据：甲的路程+乙的路程=总路程，可得方程
48
50 ×( +x)+40x = 180
，再解方程即可；
60
练2.1 (1)【答案】设当后队追上前队时，用了t小时，根据题意，
4 ×(t+2) = 6t t = 4
得： ，解得： ．
∴当后队追上前队时，后队用了4小时．
A,B x
(2)【答案】设 两地的距离为 千米，根据题意得：
x x x 27
= + + x = 4.5
，解得： ．
4 2 ×4 2 ×20 60
A,B 4.5
则 两地的距离为 千米.
x
例3 【答案】解：设水流的速度为 千米/小时，
(12 +x) (12 −x)
则顺水时的速度为 千米/小时，逆水时的速度为 千米/小时，
(12 +x)×3 = (12 −x)×5
根据题意得： ，x = 3
解得： .
(12 +3)×3 = 45
∴两码头间的距离为： （千米）
答：水流的速度为3千米/小时，两码头之间的距离为45千米．
x (x−20)
例4 【答案】解：设共需 天，则甲乙合作了 天．
1 1 1
20 × +(x−20)×( + ) = 1
可列方程：
60 60 40
x = 36
解得：
答：总共需要36天．
x (12 −x)
练4.1 【答案】解：设两个车间共合作了 天，则第二车间单独做了 天．
1 1 1
( + )x+ (12 −x) = 1
12 15 15
12
x =
5
12
答：两个车间共合作了 天．
5
x 10x+7
例5 【答案】解：设7后面的三位数是 ，则新的四位数是 ．
1
10x+7 = (7000 +x)+3
则 ，
2
x = 368
解得 ．
则原来的四位数是7368．
练5.1 【答案】解：设这个三位数百位上的数为x，则
100x+10(4x−3)+3x+1 = 100(4x−3)+10x+3x+1 −270
x = 2
解得 ．
所以原来的三位数为257．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 9 讲 一元一次方程应用（一）
自我巩固答案
1 【答案】D
【解析】设B种饮料单价为x元/瓶，则A种饮料单价为 (x−1) 元，
根据小峰买了3瓶A种饮料和4瓶B种饮料，一共花了18元，
3(x−1)+4x = 18
可得方程为： ．
故选：D．
x (2x−5)cm
2 【答案】解：设其中一段木棍长 cm，则另一段长 ，由题意，得：x+(2x−5) = 100
x = 35
解得：
2x−5 = 2 ×35 −5 = 65
∴
答：应该从木棍某一端的35cm或65cm处锯开．
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】C
6 【答案】B
7 【答案】C
x
【解析】解：设这批服装的订货任务是 套，根据题意，可列方程：
x−100 x+20
=
，
20 23
故选：C．
1 1
8 【答案】
解：设工程总量为1，则第一车队每天完成 ，第二车队每天完成 ，第三车队每天完
10 15
1
成 ．
20
x
设第一车队实际工作了 天，
根据题意，可列方程
1 1 1 1 1
( + + )x+( + )(6 −x) = 1
,
10 15 20 15 20
x = 3
解得 ，则第一车队实际工作了3天．
9 【答案】B
10 【答案】B
能力强化 / 初一 / 秋季
第 9 讲 一元一次方程应用（一）
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】A
5 【答案】C能力强化 / 初一 / 秋季
第 9 讲 一元一次方程应用（一）
精选精练
1 【答案】B
55 11
2 【答案】 x ( −x) ( −x)
解：设去时走平路用了 小时，则下坡用了 小时，即 小时；上
60 12
70 7
( −x) ( −x)
坡用了 小时，即 小时；
60 6
11 7
12( −x)=6( −x)
12 6
2
x =
解得：
3
11
12( −x)+9x = 9
所以，
12
9
答：夏令营到学校有 千米．
35 ÷70 = 0.5
3 【答案】解：（1） （小时）
答：从救生圈落水到被发现用了0.5小时
x
（2）设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用 小时，依题意有
35 35
x−0.5 = +( ×70 +35)÷(140 −70)
140 −10 +10 140 −10 +10
x = 1.5
解得：
答：从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用1.5小时
4 (1)【答案】解：设这项工程的工作总量为1，乙工程队每天能完成的工作量为x，
1
10x+(x+ )×20 = 1
根据题意得：
40
1
x =
解得： ，
60
则乙工程队单独完成工程需要60天．
60
答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为 天．
÷
【解析】本题的等量关系为：工作时间=工作总量 工作效率，根据题意可得出：甲队的总工
= 1
作量+乙队的总工作量 ，由此可列出方程求解．
y
(2)【答案】解：设两队合做完成这项工程所需的天数为 天，
1 1
( + )y = 1
根据题意得：
40 60
y = 24
解得：24
答：两队合做完成这项工程所需的天数为 天．
x
5 【答案】设挖掘机调来前，工程小队平均每天翻修 米，
4x+10(x+40) = 6000
根据题意，可列方程 ．
x = 400
解得：
答：挖掘机调来前，工程小队平均每天翻修400米
x (2x+1)
6 【答案】解：设这三个数的十位上的数为 ，则百位上的数为 ，个数上的数为
(3x−1)
，
由题意得：
100(2x+1)+10x+(3x−1)+99 = 100(3x−1)+10x+(2x+1)
x = 3
解得 ．
2x+1 = 2 ×3 +1 = 7
所以百位上的数为： ，
3x−1 = 3 ×3 −1 = 8
个位上的数为：
738
所以这个数是 ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 10 讲 一元一次方程应用（二）
例题练习题答案
x
例1 (1)【答案】设每件服装的标价是 元，依题意得
0.5x+20 = 0.8x−40
，
x = 200
解得： ．
答：每件服装的标价是200元；
【解析】设每件服装的标价是x元，则分别表示出售价，再根据成本不变建立方程求出其解即
可；
(2)【答案】由题意，得
200 ×0.5+20 = 120
（元）．
答：每件服装的成本是120元；
【解析】根据（1）的标价求出售价就可以求出成本；
y
(3)【答案】设打 折，根据题意得：
y
200 × = 120
，
10y = 6
解得： ．
答：至多能打6折．
y
【解析】设打 折就可以不亏本，根据（2）的结论建立方程求出其解即可．
练1.1 【答案】解：设这种商品的定价为x元，
0.75x+25 = 0.9x−20
根据题意，可列方程 ．
解得x=300
答：这种商品的定价为300元.
x
例2 【答案】解：设共有 位小朋友，
2x+8 = 3x−12
由题意得： ，
x = 20
解得： ，
2 ×20 +8 = 48
糖果数量： （颗）.
答：这个班共有20名小朋友，这堆糖果有48颗．
【解析】设小朋友人数为未知数，根据两种分法的糖果数量相同列方程，求解方程．
4x+9 = 5x−3
练2.1 【答案】
【解析】由题意可得，
4x+9 = 5x−3
，
4x+9 = 5x−3
故答案为： ．
例3 【答案】（1）（40x+3200）；（36x+3600）
（2）当x=40时，40x+3200=4800，36x+3600=5040，
∵4800<5040，∴按方案①购买较为合算.
（3）根据题意得：40x+3200=36x+3600，解得：x=100.
答：购买T恤100件时，两种方案付款金额相同.
(50x−1500) 40x
练3.1 【答案】（1）3000； ；2400； ；
(50x+1500) (40x+2400)
（2） ； ；90．
50x+1500 = 40x+2400 x = 90
解：令 ，解得 ．
例4 (1)【答案】设成人人数为x人，则学生人数为 (18 −x) 人．
40x+20(18 −x) = 600
则
x = 12
解得：
18 −12 = 6
故学生人数为 人，成人人数为12人．
(2)【答案】如果买团体票，按20人计算，
40 ×0.6×20 = 480
共需费用： （元）．480 < 600
由于 ，
所以，购团体票更省钱．
练4.1 (1)【答案】解：设如果张鑫没有办卡，她需要付x元，
20 +0.8x = x−12
则有： ，
0.2x = 32
整理方程得： ，
x = 160
解得： ，
答：如果张鑫没有办卡，她需要付160元；
【解析】设如果张鑫没有办卡，她需要付x元，根据关系式为：书的原价 −12 = 书的原价
×0.8+20
列出一元一次方程即可；
(2)【答案】解：设买y元的书办卡与不办卡的花费一样多，
y = 20 +0.8y
则有： ，
y = 100
解得 ．
所以当购买的书的总价多于100元时，办卡便宜，
答：我认为买多于100元钱的书办卡就便宜．
【解析】设买y元的书办卡与不办卡的花费一样多，根据题意得到 y = 20 +0.8y ，求出y即
可．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 10 讲 一元一次方程应用（二）
自我巩固答案
1 【答案】A
2 【答案】D
3 【答案】D
【解析】设这种商品的标价为每件x元，根据题意得：
0.8x−210 = 210 ×0.15
．
故选：D．
4 【答案】A
x
5 【答案】 解：设乒乓球买了 盒，
x x
根据题意得：（30×5+5 ）×90%＝30×5+5（ ﹣5），x
解得： ＝20.
答：当购买20盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样多．
6 【答案】C
x
【解析】∵设共有 个苹果，
x−1
∴每个小朋友分3个则剩1个时，小朋友的人数是： ，
3
x+2
若每个小朋友分4个则少2个时，小朋友的人数是： ，
4
x−1 x+2
=
∴ ，
3 4
故选：C．
7 【答案】解:设共有x位小朋友，
3x+11 = 4x−14
由题意得： ，
x = 25
解得： ．
3 ×25 +11 = 86
（颗）
答：这个班共有25名小朋友，这堆糖果有86颗．
8 【答案】设该班有x人参加比赛，依题意得：
2x+12 = 3x−18
,
x = 30
解得 ,
(2 ×30 +12)÷6 = 12
每箱饮料数量： （瓶）．
答：该班有30人参加比赛，每箱饮料有12瓶．
2.5×20 +1 ×20 = 70( )
9 【答案】解：（1）选方式一收费为： 元
60 +1 ×20 = 80( )
选方式二收费为： 元
70 < 80
，故应选方式一比较合算．
140 ÷(2.5+1) = 40( )
（2）选方式一上网时间为： 小时
(140 −60)÷1 = 80( )
选方式二上网时间为： 小时
80 > 40
，故应选方式二比较合算．
x
（3）设当用户一个月上网时间为 小时时，两种方式一样合算，
2.5 x+x = 60 +x
则可列方程：
x = 24
解得：
24
通过上述计算可知：若用户一个月上网时间等于 小时，选两种方式一样合算；
24 −
若用户一个月上网时间少于 小时，应选方式 比较合算；
24
若用户一个月上网时间多于 小时，应选方式二比较合算．
【解析】（1）（2）可以根据每种收费的方法分别算出需要的费用和上网时间就可以比较．（3）用户选择哪种方式是由上网的时间确定，时间不同，利用两种方式的费用就不同，
可以先求出用两种方式费用相同的时间，就可以确定怎样选择比较合适．
10 (1)【答案】解：
28 ×5 +4(x−5) = 4x+120
①由题意得：在甲店购买需付钱数为 (元)；
0.9×(28 ×5 +4x) = 3.6x+126
②在乙店购买需付钱数为 (元)．
(4x+120) (3.6x+126)
故答案为：在甲店购买需付 元；在乙店购买需付 元．
【解析】根据总价 = 单价 × 数量结合两店的优惠政策，即可用含x的代数式表示出到两商店购
买所付钱数；
x = 10 4x+120 = 160 3.6x+126 = 162
(2)【答案】当 时， ， ．
160 < 162
∵ ，
∴当茶具店需购买10只茶杯时，到甲商店购买较便宜．
x = 10
【解析】代入 求出在甲、乙两店购买所付钱数，比较后即可得出结论；
4x+120 = 3.6x+126
(3)【答案】根据题意得： ，
x = 15
解得： ．
答：当茶具店购买15只茶杯时，在两家商店购买所需付的款一样多．
【解析】根据在两家商店购买所付钱数相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出
结论．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 10 讲 一元一次方程应用（二）
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】D
60
【解析】由题意“如果减少一辆客车，每辆车正好坐 人，如果增加一辆客车，每辆正好坐
45
人”可得方程．
故选：D．
x−350 x+10
4 【答案】 =
20 28【解析】设某班学生捐款数为x元，根据题意，得
x−350 x+10
=
．
20 28
x−350 x+10
=
故答案为 ．
20 28
x (38 −x)
5 【答案】解：（1）设一个暖瓶 元，则一个水杯 元，
2x+3(38 −x) = 84
根据题意得： ．
x = 30
解得： ．
38 −30 = 8
一个水杯为： （元）．
30 8
故一个暖瓶 元，一个水杯 元；
(4 ×30 +15 ×8)×90% = 216
（2）若到甲商场购买，则所需的钱数为 （元）．
4 ×30 +(15 −4)×8 = 208
若到乙商场购买，则所需的钱数为 （元）．
208 < 216
因为 ．
所以到乙家商场购买更合算．
【解析】（1）等量关系为：2×暖瓶单价+3×（38-暖瓶单价）=84；
（2）甲商场付费：暖瓶和水杯总价之和×90%；乙商场付费：4×暖瓶单价+（15-4）×水
杯单价．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 10 讲 一元一次方程应用（二）
精选精练
1 【答案】设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为 (500 −x) 元，
90%(1 +50%)x+90%(1 +40%)(500 −x)−500 = 157
根据题意得： ，
x = 300 500 −x = 200
解得： ， ．
答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．
【解析】若设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为 (500 −x) 元．
−
根据公式：总利润=总售价 总进价，即可列出方程．
8x−3 = 7x+4
2 【答案】
【解析】由题意可得，
设有x人，可列方程为： 8x−3 = 7x+4 ．
8x−3 = 7x+4
故答案为： ．20
3 【答案】
5
【解析】
可设鸦有x只，树y棵．
则 ，
解得 ．
答：鸦有20只，树有5棵．
4 【答案】解：设铅笔卖出了x支，则圆珠笔卖出了 (60 −x) 支，
1.2x×0.8+2(60 −x)×0.9 = 87
根据题意，得： ，
x = 25
解得： ，
60 −x = 35
则 ，
答：铅笔卖出了25支，圆珠笔卖出了35支．
【解析】设铅笔卖出了x支，则圆珠笔卖出了 (60 −x) 支，根据“铅笔数量 × 铅笔的实际售价+圆
×
珠笔数量 圆珠笔的实际售价=销售额”列出方程求解可得．
250 ×0.8 = 200
5 【答案】解：（1）实际付款为： （元）．
x
（2）设原价为 元，
100 < x ≤ 200 0.9x = 162
若 ，则 ，
x = 180
解得： ；
x > 200 0.8x = 162
若 ，则 ，
x = 202.5
解得： ；
则原价为180元或202.5元．
【解析】（1）根据一次性购书超过200元，打八折，可得出实际付款；
（2）设原价为x，则分两种情况讨论，①100＜x≤200，②x＞200，列出方程，解出后判
断即可．
x
6 【答案】解：（1）设买 只书架时，到两家超市一样优惠．
根据题意得：
20 ×210 +70(x−20) = 0.8×(20 ×210 +70x)
x = 40
解得： ．
40
若在同一超市购买所有的产品，购买 只书架付出的钱数相等；
20 40 A
（2）根据实际问题，购买数量大于 只，小于 只书架选择到 超市购买合算；
20 100
（3）学校购买 张书柜和 只书架，A
到 超市付出的钱数为：
20 ×210 +70 ×(100 −20) = 9800
（元），
B
到 超市购买付出的钱数为：
0.8×(20 ×210 +70 ×100) = 8960
（元）；
A 20 20 B 80
（4）经分析：到 超市购买 个书柜和 个书架，到 超市购买 只书架，共需货
款：
20 ×210 +70 ×(100 −20)×0.8 = 8680
（元）．
【解析】（1）设买x只书架时，到两家超市一样优惠．根据题意得：
20×210+70（x﹣20）=0.8×（20×210+70x），
解得：x=40．
答：若在同一超市购买所有的产品，购买40只书架付出的钱数相等；
（2）根据实际问题，购买数量大于20只，小于40只书架选择到A超市购买合算；
（3）学校购买20张书柜和100只书架，
到A超市付出的钱数为：20×210+70（100﹣20）=9800元，
到B超市购买付出的钱数为：0.8×（20×210+70×100）=8960元；
（4）经分析：到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架，
共需货款：20×210+70（100﹣20）×0.8=8680元．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 11 讲 一元一次方程高阶
例题练习题答案
3(x−2) = 4x−5
例1 【答案】 ，
3x−6 = 4x−5
，
3x−4x = −5 +6
，
−x = 1
，
x = −1
，
2x−a x−a
x − = x−1 3(x−2) = 4x−5
∵关于 的方程 与方程 的解相同，
3 2
−2 −a −1 −a
x = −1 − = −1 −1
∴把 代入得：
3 2
2(−2 −a)−3(−1 −a) = −12
，−4 −2a+3 +3a = −12
，
a = −11
．
1
练1.1 【答案】解：解方程 (x+3) = 0
2
x = −3
得
x = −3 6a(x+3) = 3a−2x
把 代入 ，得：
0 = 3a+6
a = −2
解得：
2(−2x+a) = 3x
例2 【答案】解：对于方程
去括号得： −4x+2a ＝3x，
−4x−3x −2a
移项得： ＝ ，
−7x −2a
合并同类项得： ＝ ，
2a
x =
系数化为1得： ，
7
4 −x x+a
x− =
对于方程 ，
3 6
6x−2(4 −x) x+a
方程两边同时乘以6得： ＝ ，
6x−8 +2x x+a
去括号得： ＝ ，
6x+2x−x 8 +a
移项得： ＝ ，
7x 8 +a
合并同类项得： ＝ ，
8 +a
x =
系数化为1得： ，
7
根据题意得：
2a 8 +a
+ = 0
，
7 7
8
a = −
解得： ．
3
x−2m+1
练2.1 【答案】解： ＝0，
解得：x＝ 2m−1 ①；
2 −m−x
＝0，
解得：x＝ 2 −m ②，
2 −m+2m−1
①+②＝0，得： ＝0，
解得：m＝ −1 ．
2015
例3 【答案】 a ≠ 0 x =
（1）当 时， ；
a
a = 0
当 时，原方程无解．
1
a ≠ 1 x =
（2）当 时， ；
a−1
a = 1
当 时，原方程无解；n +4
m ≠ 3 x =
（3）当 时， ；
3 −m
m = 3 n = −4
当 且 时，原方程有无数多个解；
m = 3 n ≠ −4
当 且 时，原方程无解.
ax−4 = 4x+b
练3.1 【答案】解：∵
(a−4)x = 4 +b
∴
4 +b
a ≠ 4 x =
当 时，
a−4
a = 4 b = −4
当 且 时，原方程有无数多个解
a = 4 b ≠ −4
当 且 时，原方程无解
6
例4 【答案】 (k+1)x = 6 x =
解：原方程可化为： ，解得：
k+1
∵x为整数，且k也为整数，
k+1 = ±1 k+1 = ±2 k+1 = ±3 k+1 = ±6
∴ 、 、 、
∴k共有8个
±8 10 26
练4.1 【答案】 、 或
M
例5 (1)【答案】 点对应的数是40；
(2)【答案】设蚂蚁运动时间为t，
则P的位置为 100 −6t ，Q的位置为 −20 +4t ，
100 −6t=−20 +4t t=12
则 ，解得 ，
C的位置为 100 −72=28 ；
(3)【答案】设蚂蚁运动时间为m，
则P的位置为 100 −6m ，Q的位置为 −20 −4m ，
100 −6m=−20 −4m m=60
则 ，解得 ，
C的位置为 100 −360=−260 ．
练5.1 【答案】解：设此时点Q从A点出发t秒钟，由题可知：P比Q提前出发16秒，
P的位置为 −26 +(t+16) ，Q的位置为 −26 +3t ，
有两种情况：
（1）点Q追上点P之前相距2个单位长度．
−26 +(t+16)−(−26 +3t) = 2
依题意，得 ，
t = 7
解得， ．
此时点Q在数轴上表示的有理数为 −5 ；
（2）点Q追上点P之后相距2个单位长度．(−26 +3t)−[−26 +(t+16)] = 2
依题意，得
t = 9
解得， ．
此时点Q在数轴上表示的有理数为1．
综上所述，当点Q从A点出发7秒和9秒时，点P和点Q相距2个单位长度，此时点Q在数轴
−5
上表示的有理数分别为 和1．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 11 讲 一元一次方程高阶
自我巩固答案
1
1 【答案】解：解方程 (x+6) = 2
2
x = −2
得
1 1
x = −2 a(x+3) = a− x
把 代入 ，得：
2 3
1 2
a = a+
2 3
4
a =
解得：
3
1.7−2x 0.8+x
2 【答案】 −1 =
解：解方程
0.3 0.6
17 −20x 8 +10x
−1 =
分母化为整数可得：
3 6
2(17 −20x)−6 = 8 +10x
去分母，得： ，
34 −40x−6 = 8 +10x
去括号，得： ，
−50x = −20
移项、合并同类项，得： ，
2
x =
系数化为1，得：
5
2 3 5 1
x = [(a− )x+ ] = 1
根据题意，将 代入方程 ，得：
5 2 2 2
3 2 5 1
[ (a− )+ ] = 1
，
2 5 2 2
3 5 3
(a− )+ = 1
，
5 2 4
3 3 3
a− + = 1
，
5 2 4
3 7
a=
，
5 4
35
a = .
121.7− 2x 0.8+ x
【解析】先依据解方程的步骤求出方程 − 1 = 的解，将x的值代入方程
0.3 0.6
3 5 1
[(a− )x+ ] = 1
，求出a的值即可．
2 3 2
3x−2m+1 = 0
3 【答案】解： ，
2m−1
x =
解得： ，
3
2 −m = 2x
，
2 −m
x =
解得： ，
2
2m−1 2 −m
+ = 0
根据题意得： ，
3 2
4m−2 +6 −3m = 0
去分母得： ，
解得：m＝−4，
x = −3 x = 3
两方程的解分别为 ， ．
2x−5 = −1 x = 2
4 【答案】 的解为：
x 3(x−1) 3m−6 2x−5 −1
∵已知关于 的方程 ＝ 与 ＝ 的解互为相反数
3(x−1) 3m−6 x = −2
所以 ＝ 的解为：
3(−2 −1) = 3m−6
则
m = −1
∴
1 3 1 3 1
(m+ ) = (− ) = −
∴
2 2 8
1
5 (1)【答案】由 x−2m = −3x+4 得： x = m+1 ，
2
1
m+1 +2 −m = 0
依题意有： ，
2
m = 6
解得： ；
【解析】先求出第一个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式得到关于m的方程，再
根据一元一次方程的解法求解即可；
m = 6
(2)【答案】由 ，
1
x−2m = −3x+4 x = ×6 +1 = 3 +1 = 4
解得方程 的解为： ，
2
2 −m = x x = 2 −6 = −4
解得方程 的解为： ．
【解析】把m的值代入两个方程的解计算即可．
3(x−2m) = 9
6 【答案】解：∵ ，
x = 2m+3
∴ ，
2y −m
∴ ＝4，
m+4
y =
∴ ，
2∵关于x的方程 3(x−2m) = 9 和关于y的方程 2y −m = 4 的两个方程的解互为相
反数，
m+4
2m+3 + = 0
∴ ，
2
m = −2
解得：
(1) a = 0
7 【答案】 当 时，原方程无解；
16
a ≠ 0 x =
当 时，
a
2017
(2) a ≠ 1 x =
当 时，
a−1
a = 1
当 时，原方程无解．
8 【答案】D
x−4 kx−1 1
9 【答案】 − =
解：（1）
6 3 3
x−4 −2(kx−1) = 2
去分母，得 ，
x−4 −2kx+2 = 2
去括号，得 ，
(1 −2k)x = 4
移项、合并同类项，得 ，
1 −2k ≠ 0
因为方程有解，所以 ，
1
k ≠
∴ ；
2
（2）因为这个方程的解是正整数，
4
x =
即 是正整数，
1 −2k
1 −2k 4
所以 等于 的正约数，
1 −2k = 1 2 4
即 ， ， ，
1 −2k = 1 k = 0
当 时， ；
1
1 −2k = 2 k = − ( )
当 时， 舍去 ；
2
3
1 −2k = 4 k = − ( )
当 时， 舍去 ．
2
k = 0
故 ．
x−4 kx−1 1
【解析】 − =
（1）
6 3 3
x−4 −2(kx−1) = 2
去分母，得 ，
x−4 −2kx+2 = 2
去括号，得 ，
(1 −2k)x = 4
移项、合并同类项，得 ，
1 −2k ≠ 0
因为方程有解，所以 ，
1
∴k ≠
；
2
4
x =
（2）因为这个方程的解是正整数，即 是正整数，
1 −2k1 −2k 1 −2k = 1
所以 等于4的正约数，即 ，2，4，
1 −2k = 1 k = 0
当 时， ；
1
1 −2k = 2 k = −
当 时， （舍去）；
2
3
1 −2k = 4 k = −
当 时， （舍去）．
2
k = 0
故 ．
10 (1)【答案】解：由题意，得
3 −(−5) 8
=
，
3 3
8
答：B不动，则 秒两点相遇；
3
(2)【答案】解：A、B的距离为 3 −(−5) = 8 ，
问题1：设相向移动，A、B两点x秒相遇，
3x+x
由题意，得 ＝8，
x = 2
解得： ．
答：相向移动，A、B两点2秒相遇；
问题2：设y秒时，两点到原点的距离相等．由题意，得
当A、B位于原点两侧时， 5 −3y = 3 +y ，
y = 0.5
解得： ，
当A、B相遇时， 3y = 8 +y ，
y = 4
解得： ．
答：经过 0.5 秒或4秒后，A、B两点距原点的距离相等．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 11 讲 一元一次方程高阶
课堂落实答案
4x+2 = 7 −x
1 【答案】解： ，
5x = 5
，
x = 1
，
∵关于x的方程 2x−7 = 3x+a 的解与方程 4x+2 = 7 −x 的解相同，
x = 1 2x−7 = 3x+a 2 −7 = 3 +a
∴把 代入方程 得： ，a = −8
解得： ．
【解析】求出第二个方程的解，把x的值代入第一个方程，求出方程的解即可
2 【答案】B
3 【答案】D
a ≠ −3
4 【答案】（1）
a = −3 b = −3
（2） 且
a = −3 b ≠ −3
（3） 且
−6 8 −5t
5 (1)【答案】 ， ；
(2)【答案】H的位置为 −6 −3t ，P的位置为 8 −5t ,
−6 −3t=8 −5t
得方程， ，
t=7
解得， ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 11 讲 一元一次方程高阶
精选精练
1 −2x x+1 2x+1
1 【答案】 + = 1 −
解：∵
6 3 4
1
x =
∴
2
1 6x−a a
x = x+ = −3x
把 代入 得：
2 3 6
1 6 × 1 −a a 1
+ 2 = −3 ×
2 3 6 2
a = 6
解得
3(x+4) = 2a+5
2 【答案】解：∵
2a−7
x =
∴
3
(4a+1)x a(3x−4)
=
∵
4 3
16
x =− a
∴
3
(4a+1)x a(3x−4)
3(x+4) = 2a+5 x =
∵方程 的解与关于 的方程 的解相同
4 3
16 2a−7
− a
∴ =
3 3
7
a =
解得
181
3 【答案】解： (1 −x) = 1 +k
2
x = −1 −2k
解得：
3 2 k 3(x−1)
(x−1)− (3x+2) = −
4 5 10 2
61 +2k
x =
解得： ，
21
∵两个方程的解互为相反数，
61 +2k
−1 −2k+ = 0
∴ ，
21
k = 1
解得： ．
4 (1)【答案】∵
kx+1 = 3x+2k
，
k−3 x = 2k−1
∴（ ） ，
则当
k−3 ≠ 0
，即
k ≠ 3
时，方程有解；
(k−3)x = 2k−1 k ≠ 3
【解析】由方程变形为 ，据此可得 时方程有解；
2k−1 2k−6 +5 5
(2)【答案】 当k≠3时，x= = = 2 + ，
k−3 k−3 k−3
∵方程有整数解，
k−3 = 1 k−3 = −1 k−3 = 5 k−3 = −5
∴ 或 或 或 ，
k = 4 k = 2 k = 8 k = −2
解得： 或 或 或 ，
所以满足条件的正整数k的值为2或4或8．
5 (1)【答案】解：设经过x秒点M与点N相距54个单位．
2x+6x+14
依题意可列方程为： ＝54，
解方程，得x＝5．
答：经过5秒点M与点N相距54个单位．
(2)【答案】解：设经过t秒点P到点M，N的距离相等．
(2t+6)−t (6t−8)−t (2t+6)−t t−(6t−8)
＝ 或 ＝ ，
t+6 5t−8 t+6 8 −5t
＝ 或 ＝
7 1
t = t =
或 ，
2 3
7 1
答：经过 或 秒点P到点M，N的距离相等．
2 3
6 (1)【答案】1
a−(−2) 4 −a
【解析】根据题意得， ＝ ，
∴a＝1，
故答案为：1(2)【答案】存在，
∵点A到点M、点N的距离之和为9，
|a+2|+|a−4| = 9
∴ ，
a ≤ −a−2 +4 −a = 9 a = −3.5
当 −2时，原方程可化为： ，解得 ；
2 < a < 4 a+2 +4 −a = 9
当− 时，原方程可化为： ，则6＝9（舍）
x ≥ 4 a+2 +a−4 = 9 a = 5.5
当 时，原方程可化为： ，解得 ；
综上：点A对应的数为− 3.5 或 5.5 时，它到点M、点N的距离之和为9；
(3)【答案】∵点A在点M左边，
a < −2
∴ ，
|a+2|−|a−4| −a−2 −4 +a −6
∴ ＝ ＝ ；
(4)【答案】解：设同时出发x秒后点A到点M、点N的距离相等．
①点A在点M与点N之间，
根据题意，得
10x+2 −2x = 2x+4 −40x
1
x =
解得 ；
23
②点N追上点M时，根据题意得
40x−10x = 6
，
1
x =
解得 ，
5
1 1
答：同时出发 或 秒后点A到点M、点N的距离相等．
23 5
能力强化 / 初一 / 秋季
第 12 讲 线段计算
例题练习题答案
例1 【答案】C
【解析】解：A、线段AB和线段BA表示的是同一条线段，故A错误；
B、射线AB和射线BA表示的不是同一条射线，故错误；
C、由线段中点的定义可知C正确．
D、线段AB的长度叫做A、B两点间的距离，故D错误．故选：C．
练1.1 【答案】A
【解析】解：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，利用了两点确定一条直线，故①正确；
②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，利用“两点之间线段最短”故②错误；
③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩，利用了点到直线的距离，故③错误；
④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，利用了两点确定一条直
线，故④正确；
故选：A．
例2 【答案】
n(n −1)
例3 (1)【答案】 2n
6；8； ；
2
(2)【答案】1;9;12
n(n −1)
(3)【答案】
10；
2
例4 【答案】2或6
【解析】解：如图所示：当C点在B点左侧，
AB = 6 AC = 2BC
∵ ， ，
1
BC = AB = 2
∴ ，
3
当C点在B点右侧，
AB = 6 AC = 2BC
∵ ， ，
BC′ = AB = 6
∴ ，
综上所述：BC的长是2或6．
C AB
练4.1 【答案】如图，当点 在线段 上时，
AC = AB −BC = 10 −4 = 6cm∵ D AC
点 是 的中点，
1
∴AD = AC = 3cm
2
C AB
如图，当点 在线段 的延长线上时，
AC = AB +BC = 10 +4 = 14cm
∵ D AC
点 是 的中点，
1
∴AD = AC = 7cm
2
BD = x
例5 【答案】 设 ，
1
BD = AD
∵
2
AD = 2x
∴
AB = BD+AD = 3x
∴
∵点C是线段AB的中点， AC = 6
AB = 12
∴
x = 4 AD = 8
∴ ，
CD = AD−AC
∵
CD = 2
∴
AD = 2x BD = 3x
练5.1 【答案】解：设 ，则
∵D是AC中点
CD = 2x
∴
CB = 3x−2x = x
∴
x = 2
∴
AB = 5x = 10cm
∴
AD 2
【解析】∵ =
，
BD 3
∴ AD = 2x BD = 3x
设 ， ，
∵ D AC
是 中点，
∴ AD = CD = 2x
，
∵ BC = AB −AC = 2
，
∴ 2x+3x−4x = 2
，
x = 2
，
∴ AB = 5x = 10(cm)
．
例6 【答案】18cm练6.1 【答案】50或75
能力强化 / 初一 / 秋季
第 12 讲 线段计算
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】 ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解
释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成
线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事
实“两点确定一条直线”来解释．
2 【答案】解：（1）（2）（3）如图所示：
3 【答案】D
4 【答案】B
【解析】解：∵图中有3条线段，
∴选项A不正确；
∵图中有6条射线，
∴选项B正确；
∵点C在线段AB的延长线上，
∴选项C不正确；
∵A、B两点之间的距离是线段AB的长度，
∴选项D不正确．
故选：B．5 【答案】C
【解析】图中线段有15条：线段AB、线段AC、线段AD、线段AE、线段AF、线段BC、线段BD、
线段BE、线段BF、线段CD、线段CE、线段CF、线段DE，线段DF、线段EF；
以每个点为端点的射线有2条，共6个点，故射线有12条.
6 【答案】D
【解析】（1）当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨
论．
①点B在A、C之间时， AC = AB +BC = 5 +4 = 9cm ；
②点C在A、B之间时， AC = AB −BC = 5 −4 = 1cm ．
所以A、C两点间的距离是9cm或1cm．
（2）当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能；
故选：D．
7 【答案】解：∵AB=9 cm ，BD=3 cm ，
∴AD=AB－BD=6 cm ，
∵C为AB的中点，
1
∴AC= AB=4.5 cm ，
2
∴CD=AD－AC=1.5 cm ．
∵ AB = 9cm BD = 3cm
【解析】 ， ，
∴ AD = AB −BD = 6cm
，
∵ C AB
为 的中点，
1
∴ AC = AB = 4.5cm
，
2
∴ CD = AD−AC = 1.5cm
．
8 【答案】D
9 【答案】 ∵AB＝12，BD＝7，
∴AD＝AB﹣BD＝12﹣7＝5．
∵点D是AC的中点，
∴AC＝2AD＝2×5＝10．
∴CB＝AB﹣AC＝12﹣10＝2．
∵ AB = 12 BD = 7
【解析】 ， ，
∴ AD = AB −BD = 12 −7 = 5
．
∵ D AC
点 是 的中点，∴ AC = 2AD = 2 ×5 = 10
．
∴ CB = AB −AC = 12 −10 = 2
．
3 5
10 【答案】解：（1） BC = x ， AD = x ；
2 4
（2）由（1）易得：
5 3 15
CD = AD+AB +BC = ( +1 + )AB = AB,
4 2 4
15
AB = 12cm CD = ×12 = 45cm
若 ，则
4
能力强化 / 初一 / 秋季
第 12 讲 线段计算
课堂落实答案
1 【答案】C
【解析】弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．
2 【答案】解：如图，
【解析】利用直线，射线及线段的定义画图即可．
3 【答案】B
4 【答案】B
【解析】解：
图中的线段有：AB、AO、AC、BO、BC、OC、DO、EO，共有8条；
图中的射线有：AC、BC、OC、CH、CO、OB、BA、AK、OD、DM、OE、EN，共有
12条．图中的直线有：直线AC．共1条．
故选：B．
5 【答案】8或2
【解析】当点C在线段AB上时，则 AC +BC = AB ，所以 AC = 5cm−3cm = 2cm ；
当点C在线段AB的延长线上时，则 AC −BC = AB ，所以
AC = 5cm+3cm = 8cm
．
故答案为8或2．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 12 讲 线段计算
精选精练
1 【答案】B
2 【答案】解：（1）（2）（3）（5）如图所示：
（4）点C为一个端点的线段有AC，CD，CP，CB，CO，共5条，
故答案为：5．
【解析】（1）根据题意画图即可；
（2）连接AC、BD，交点记作O；
（3）延长AD、BC，两延长线的交点记作P；
（4）根据图形可得答案；
（5）利用圆规在线段BC上截取即可．
3 【答案】B
4 【答案】190
【解析】如图：2条直线相交有1个交点；
1 +2
3条直线相交有 个交点；
1 +2 +3
4条直线相交有 个交点；
1 +2 +3 +4
5条直线相交有 个交点；1 +2 +3 +4 +5
6条直线相交有 个交点；
…
n(n −1)
n条直线相交有 1 +2 +3 +…+n = 个交点；
2
20 ×19
= 190
∴20条直线相交有 个交点．
2
故答案为：190．
5 【答案】解：（1）点C在射线AB上，如：
点M是线段AB的中点，点N是线段BC的三等分点，
1 1 2
MB = AB = 3 BN = CB = 4 BN = BC = 8
， ，或 ，
2 3 3
MN = BM +BN = 3 +4 = 7 MN = BM +BN = 3 +8 = 11
，或 ；
（2）点C在射线BA上，如：
点M是线段AB的中点，点N是线段BC三等分点，
1 1 2
MB = AB = 3 BN = CB = 4 BN = BC = 8
， ，或 ，
2 3 3
MN = BN −BM = 4 −3 = 1 MN = BN −BM = 8 −3 = 5
，或 ．
2m BE = 2CF
6 【答案】（1）4， ， ．
（2）当点E沿直线向左运动至题图2的位置时， BE = 2CF 仍然成立，理由如下：
设 CF = a ， ∵ CE = 6 ， ∴ EF = 6 −a ， 又 F 为 AE 的 中 点 ， ∴
EF = AF = 6 −a
，
BE = AB −AF −EF = 12 −2(6 −a) = 2a
∴ ．
10DF 15
（3）存在满足题意的D，此时 = ，理由如下：
CF 2
1 5
AF = EF = x DF = 3DE DE = x AD = x BD = 7
设 ，∵ ，∴ ，∴ ，又 ，
2 2
AB = 12
，
5 3
AD = x = 5 x = 2 DF = x = 3 CF = 6 +1 −3 = 4
∴ ，解得 ，∴ ， ，∴
2 2
10DF 30 15
= =
CF 4 2
能力强化 / 初一 / 秋季
第 13 讲 角度计算例题练习题答案
90∘ −36∘12′15′′ = 53∘47′45′′
例1 【答案】（1）
32∘17′53′′+42∘42′7′′= 74∘59′60′′= 75∘
（2）
25∘12′35′′×5= 125∘60′175′′= 126∘2′55′′
（3）
53∘ ÷6 = 8∘50′
（4）
例2 【答案】解：∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD
=(90°-∠BOC)+∠BOC+（90°-∠BOC）
=180°-∠BOC=3∠BOC
故∠BOC=45°
练2.1 【答案】45°
∠ACB = 140∘ ∠DCE = 52∘
例3 【答案】 ;
练3.1 【答案】C
【解析】 解：A、54°＝90°﹣36°，则54°角能画出；
B、72°能画出；
C、150°不能写成36°、72°、45°、90°的和或差的形式，不能画出；
D、171°＝90°+45°+36°，则171°角能画出．
故选：C．
OD ∠AOB
例4 【答案】解：∵ 平分 ，
1
∠AOD = ∠BOD = ∠AOB
∴ ，
2
∠COB = ∠BOD+∠COD ∠AOC = ∠AOD−∠COD
∵ ， ，
∠COB = 2∠AOC
∠AOD+10∘ = 2(∠AOD−10∘)
∴
∠AOD = 30∘
∴
∠AOB = 60∘
∴ ．
练4.1 【答案】110°
∠AOC = 90∘ ∠BOD = 90∘ ∠3 = 24∘
例5 【答案】∵ ， ，
∠1 +∠2 = 90∘ ∠3 +∠2 = 90∘
∴ ， ．
∠1 = ∠3 = 24∘
∴ ，
∠2 = 90∘ −24∘ = 66∘
∴ ．
∠1 +∠2 = 90∘ ∠3 +∠2 = 90∘
【解析】先 根 据 垂 直 的 定 义 得 出 ， ． 故 可 得 出
∠1 = ∠3 = 24∘
，由此可得出结论．
练5.1 【答案】B∠BOC = 90∘ ∠1 = 56∘
【解析】∵ ， ，
∠AOC = ∠BOC = 90∘
∴ ，
∠2 = 180∘ −∠AOC −∠1 = 34∘
∴ ．
故选：B．
例6 【答案】63
x∘ (90 −x)∘ (180 −x)∘
【解析】设这个角为 ，则它的余角为 ，补角为 ．
2
90 −x = (180 −x)+1
根据题意有：
9
x = 63
解得 ，
故这个角的度数为63度．
30∘
练6.1 【答案】
x
【解析】解：设这个角为 ，
180∘ −x 2(90∘ −x)+30∘
由题意得 ＝ ，
x = 30∘
解得 ．
30∘
答：这个角的度数是 ．
例7 【答案】40或20或120或60
【解析】解：如图所示：
∠DOC ∠AOB −∠AOC +∠BOD 40∘
如图1， ＝ ＝ ，
∠DOC ∠BOD−(∠AOB −∠AOC) 20∘
如图2， ＝ ＝ ，
∠DOC ∠AOB +∠AOC +∠BOD 120∘
如图3， ＝ ＝ ，
∠DOC ∠AOB +∠AOC −∠BOD 60∘
如图4， ＝ ＝ ．
∠DOC
故 的度数是40°或20°或120°或60°．
故答案为：40或20或120或60．
28∘ 68∘
练7.1 【答案】 或
【解析】解：①当 ∠BOC 的一边OC在 ∠AOB 外部时，则 ∠AOC ＝ ∠AOB +∠BOC ＝
48∘ +20∘ 68∘
＝ ；
②当 ∠BOC 的一边OC在 ∠AOB 内部时，则 ∠AOC ＝ ∠AOB −∠BOC ＝
48∘ −20∘ 28∘
＝ ．28∘ 68∘
故答案为： 或 ．
∠AOC ∠AOB
例8 (1)【答案】分两种情况讨论：当 在 的外部时，如图1：
；
∠AOC ∠AOB
当 在 的内部时，如图2：
；
【解析】根据题意画出符合的两种情况；
(2)【答案】如图1，∵射线OD平分 ∠AOC ，
1
∠AOD = ∠AOC = 20∘
∴ ，
2
∠BOD = ∠AOB +∠AOD = 80∘
∴ ；
如图2，∵射线OD平分 ∠AOC ，
1
∠COD = ∠AOC = 20∘
∴ ，
2
∠BOD = ∠AOB −∠AOC +∠COD = 40∘
∴ ．
∠AOD
【解析】根据角平分线定义求出 ，即可求出答案．
15∘ 30∘
练8.1 【答案】 或
∠BOC ∠AOB
【解析】解：如图1，当 在 内部时，
∠AOB 3∠BOC
∵ ＝ ，
∴设 ∠BOC ＝x，则 ∠AOB ＝3x，
∴ ∠AOC ＝ ∠AOB −∠BOC ＝2x，
∵OD平分 ∠AOC ，
1
∴ ∠DOC = ∠AOC ＝x，
2∴ ∠BOD ＝ ∠DOC +∠BOC ＝2x，
∠BOD 30∘
∵ ＝ ，
∴2x＝
30∘
，
∴x＝
15∘
，
∠BOC 15∘
即 ＝ ；
∠BOC ∠AOB
如图2，当 在 外部时，
∠AOB 3∠BOC
∵ ＝ ，
∴设 ∠BOC ＝x，则 ∠AOB ＝3x，
∴ ∠AOC ＝ ∠AOB +∠BOC ＝4x，
∵OD平分 ∠AOC ，
1
∴ ∠DOC = ∠AOC ＝2x，
2
∴ ∠BOD ＝ ∠DOC −∠BOC ＝x，
∠BOD 30∘
∵ ＝ ，
∴x＝
30∘
，
∠BOC 30∘
即 ＝ ．
∠BOC 15∘ 30∘
∴ 的度数为： 或 ．
15∘ 30∘
故答案为： 或 ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 13 讲 角度计算
自我巩固答案
= 89∘59′60′′−78∘19′40′′= 11∘40′20′′
1 (1)【答案】原式 ．
【解析】根据度分秒的减法，相同单位相减，可得答案；34∘10′18′′
(2)【答案】 ．
【解析】根据度分秒的乘法，从小单位算起，满60时向上一单位进1，可得答案．
∠COB x∘ ∠AOB = 2x∘ ∠COD = 3x∘
2 【答案】解：设 为 ，则 ， ，根据题意得：
x+2x+x+3x = 150
，
150
x =
解得： ，
7
150∘ 900∘
∠AOD = 2x∘ +x∘ +3x∘ = 6x∘ = 6 × =
则 ．
7 7
3 【答案】C
∠AOB = AOC −∠BOC
4 【答案】解：∵ ，
∠DOC = ∠BOD−∠BOC
，
∠AOC = ∠BOD
，
∠AOB = ∠COD
∴ ，
∠AOB +∠BOC +∠COD = ∠AOD
∵ ，
1 1
∠AOB = (∠AOD−∠BOC) = (120∘ −70∘) = 25∘
∴
2 2
∠AOC = 90∘ ∠COB = 50∘
5 【答案】∵ ， ，
∠AOB = ∠AOC +∠COB = 140∘
∴ ，
∵OD平分 ∠AOB ，
1
∠AOD = ∠AOB = 70∘
∴ ，
2
∠COD = ∠AOC −∠AOD = 90∘ −70∘ = 20∘
∴ ．
【解析】先根据题意得出 ∠AOB 的度数，再由OD平分 ∠AOB 得出 ∠AOD 的度数，根据
∠COD = ∠AOC −∠AOD
即可得出结论．
6 【答案】C
【解析】∵ ∠EOC = 100∘ 且OA平分 ∠EOC ，
1
∠BOD = ∠AOC = ×100∘ = 50∘
∴ ．
2
故选：C．
7 【答案】A
8 【答案】A
∠α ∠β ∠α ∠γ
【解析】∵ 与 互补， 与 互余，
∠α +∠β = 180∘ ∠α +∠γ = 90∘
∴ ， ．
∠β −∠γ = 90∘
∴ ．
故选：A．
9 【答案】C【解析】解：①如图1，OC在 ∠AOB 内，
∠AOB 50∘ ∠COB 30∘
∵ ＝ ， ＝ ，
∠AOC ∠AOB −∠COB 50∘ −30∘ 20∘
∴ ＝ ＝ ＝ ；
②如图2，OC在 ∠AOB 外，
∠AOB 50∘ ∠COB 30∘
∵ ＝ ， ＝ ，
∠AOC ∠AOB +∠COB 50∘ +30∘ 80∘
∴ ＝ ＝ ＝ ；
∠AOC 20∘ 80∘
综上所述， 的度数是 或 ．
故选：C．
10 【答案】C
【解析】解：如图，当点C与点 C 1重合时，
∠BOC ∠AOB −∠AOC 70∘ −28∘ 42∘
＝ ＝ ＝ ；
当点C与点 C 2重合时，
∠BOC ∠AOB +∠AOC 70∘ +28∘ 98∘
＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 13 讲 角度计算
课堂落实答案
1 【答案】（1）
57∘59′
；（2）
51∘25′42.86′′
．
2 【答案】B
3 【答案】C
【解析】A、 ∠AOD 与 ∠BOC 是对顶角，所以 ∠AOD = ∠BOC ，此选项正确；B、由EO⊥CD知 ∠DOE = 90∘ ，所以 ∠AOE +∠BOD = 90∘ ，此选项正确；
C、 ∠AOC 与 ∠BOD 是对顶角，所以 ∠AOC = ∠BOD ，此选项错误；
D、 ∠AOD 与 ∠BOD 是邻补角，所以 ∠AOD+∠BOD = 180∘ ，此选项正确；
故选：C．
10∘ 70∘
4 【答案】 或
【解析】当OC在 ∠AOB 内时，如图1所示．
∠AOB = 40∘ ∠BOC = 30∘
∵ ， ，
∠AOC = ∠AOB −∠BOC = 10∘
∴ ；
当OC在 ∠AOB 外时，如图2所示．
∠AOB = 40∘ ∠BOC = 30∘
∵ ， ，
∠AOC = ∠AOB +∠BOC = 70∘
∴ ．
10∘ 70∘
故答案为： 或 ．
12∘ 108∘
5 【答案】 或
【解析】①当OC在 ∠AOB 的内部时，如图1所示，
4
∠AOB = 27∘ ∠AOC = ∠BOC
∵ ， ，
5
4
∠BOC = x ∠AOC = x
设 ，则 ，
5
4
x+ x = 27∘
，
5
x = 15∘
，
4
∠AOC = ×15∘ = 12∘
；
5
②当OC在 ∠AOB 的外部时，如图2所示，4
∠AOB = 27∘ ∠AOC = ∠BOC
∵ ， ，
5
4
∠BOC = x ∠AOC = x
设 ，则 ，
5
4
x− x= 27∘
，
5
x = 135∘
4
∠AOC = ×135∘ = 108∘
；
5
12∘ 108∘
故答案为： 或 ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 13 讲 角度计算
精选精练
∠COB ∠EOA
1 【答案】（1） ,
∠1∠2∠3∠4
（2） , , ,
∠EOA
（3）
1
∠1 = ∠AOB = 20∘
（4）
4
2 【答案】AOB，40，120， ∠BOC ， ∠AOB ，120，40，160， ∠AOC ，80．
∠BOC 3∠AOB ∠AOB 40∘
【解析】解：因为 ＝ ， ＝ ．
∠BOC 120∘
所以 ＝ ；
∠AOC ∠BOC +∠AOB
所以 ＝ ，
120∘ +40∘
＝
160∘
＝ ，
因为OD平分 ∠AOC
1
∠COD = ∠AOC 80∘
所以 ＝ ．
2
故答案为：AOB，40，120， ∠BOC ， ∠AOB ，120，40，160， ∠AOC ，80．
3 【答案】C∠C = 90∘
【解析】∵ ，
∠A +∠B = 90∘
∴ ．
∠A +∠B +∠1 +∠2 = 360∘
∵ ，
∠1 +∠2 = 360∘ −90∘ = 270∘
∴ ．
故选：C．
4 【答案】144°
∠AOB : ∠BOC = 1 : 3
【解析】∵ ，
∴设 ∠AOB 为x， ∠BOC 为3x，
∵OD平分 ∠BOC ，
1 3
∠BOD = ∠BOC = x
∴ ，
2 2
∠AOD = 90∘
∵ ，
3
x+ x = 90∘
∴ ，
2
x = 36∘
，
3x = 108∘
，
∠AOC = ∠AOB +∠BOC = 36∘ +108∘ = 144∘
∴
5 【答案】C
15 30
6 【答案】 或 或60
1
【解析】解：①当OC平分 ∠AOB 时， ∠AOC = ∠AOB ＝ 15∘ ；
2
②当OA平分 ∠BOC 时， ∠AOC ＝ ∠AOB ＝ 30∘ ；
③当OB平分 ∠AOC 时， ∠AOC ＝ 2∠AOB ＝ 60∘ ．15 30
故答案为： 或 或60．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 14 讲 线，角综合
例题练习题答案
例1 【答案】解：（1）∵ AC = 6cm ， BC = 4cm ，点M，N分别是AC，BC的中点，
1 1
MN = (AC +CB) = ×10 = 5cm
∴ ；
2 2
a+b
MN = cm
（2） ，直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；
2
（3）如图，有变化，会出现两种情况：
①当点C在线段AB上时，
1
MN = (AC +BC) = 5cm
；
2
②当点C在AB或BA的延长线上时，
1
MN = (AC −BC) = 1cm
．
2
练1.1 【答案】DE=5cm
例2 (1)【答案】∵C到A，B距离相等，∴点C表示的数为 5 −(5 +7)÷2 = −1 ；
(2)【答案】设D点表示的数为x，
①若D在AB之间时，依题意得 2(x+7) = 5 −x 解得， x = −3 ；
②若D在A左边时，依题意得 2(−7 −x) = 5 −x 解得， x = −19 ；
∴D表示的数 −3 或 −19 ；
PQ = 8 t+12 = 3t+8
(3)【答案】①相遇前 时，依题意得，
t = 2
解得， ；
PQ = 8 8 +t+12 = 3t
②相遇后 时，依题意得， ，t = 10
解得， ；
∴t的值为2或10．
例3 【答案】B
∠ABC = ∠A′BC ∠EBD = ∠E′BD
【解析】根据折叠的性质可得： ， ，
∠ABC +∠A′BC +∠E′BD+∠EBD = 180∘
∵ ，
2∠A′BC +2∠E′BD = 180∘
∴ ．
∠A′BC +∠E′BD = 90∘
∴ ．
∠CBD = 90∘
∴ ．
故选：B．
∠AOB = 90∘ ∠BOC = 60∘
练3.1 (1)【答案】如图1，∵ ， ，
∠AOC = 90∘ +60∘ = 150∘
∴ ，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1 1
∠MOC = ∠AOC = 75∘ ∠NOC = ∠BOC = 30∘
∴ ，
2 2
∠MON = ∠MOC −∠NOC = 45∘
∴ ．
【解析】求 出 ∠AOC 度 数 ， 求 出 ∠MOC 和 ∠NOC 的 度 数 ， 代 入
∠MON = ∠MOC −∠NOC
求出即可；
1
(2)【答案】如图2， ∠MON = α ，
2
∠AOB = α,∠BOC = 60∘
理由是：∵ ，
∠AOC = α+60∘
∴ ，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1 1 1
∠MOC = ∠AOC = α+30∘ ∠NOC = ∠BOC = 30∘
∴ ，
2 2 2
1 1
∠MON = ∠MOC −∠NOC = ( α+30∘)−30∘ = α
∴ ．
2 2
【解析】求 出 ∠AOC 度 数 ， 求 出 ∠MOC 和 ∠NOC 的 度 数 ， 代 入
∠MON = ∠MOC −∠NOC
求出即可；
1
(3)【答案】如图3， ∠MON = α ，与β的大小无关．
2
∠AOB = α∠BOC = β
理由：∵ ，
∠AOC = α+β
∴ ．
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
1 1
∠MOC = ∠AOC = α+β
∴ ，
2 2
1 1
∠NOC = ∠BOC = β
，
2 21 1
∠AON = ∠AOC −∠NOC = α+β − β = α+ β
∴ ．
2 2
1 1 1
∠MON = ∠MOC −∠NOC = α+β − β = α
∴
2 2 2
1
∠MON = α
即 ．
2
【解析】求 出 ∠AOC 度 数 ， 求 出 ∠MOC 和 ∠NOC 的 度 数 ， 代 入
∠MON = ∠MOC −∠NOC
求出即可；
例4 【答案】 解：如图1，∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∵OQ平分∠BOC，
1
∴∠BOQ＝ ∠BOC＝30°，
2
90∘ +30∘
∴t＝
5∘
＝24s；
如图2，∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∵OQ′平分∠BOC，
1
∴∠AOQ＝∠BOQ′＝ ∠BOC＝30°，
2
180∘ +90∘ +30∘
∴t＝
5∘
＝60s，
综上所述，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为24s或60s，
故答案为：24s或60s．
【解析】如图1，如图2，根据平角的定义得到∠BOC＝60°，根据角平分线定义得到结论．
OB ∠NOE
练4.1 (1)【答案】∵当直角边 恰好平分 时，1 1
∠NOB = ∠NOE = (180∘ −30∘) = 75∘
，
2 2
90∘ −3∘t = 75∘
∴ ，
t = 5
解得： ．
1
∠MOA = 3∘ ×5 = 15∘ = ∠MOE
此时 ，
2
OA ∠MOE
∴此时 平分 ．
OE ∠AOB
(2)【答案】① 平分 ，
30∘ +9∘ t−3∘ t = 90∘ ÷2
依题意有 ，
t = 2.5
解得 ；
OF ∠AOB
平分 ，
30∘ +9∘ t−3∘ t = 180∘ +90∘ ÷2
依题意有 ，
t = 32.5
解得 ．
t 2.5s 32.5s EF ∠AOB
故当 为 或 时， 平分
OB MN
② 在 上面 ，
180∘ −30∘ −9∘ t = (90∘ −3∘ t)÷2
依题意有 ，
t = 14
解得 ；
OB MN
在 下面 ，
9∘ t−(360∘ −30∘) = (3∘ t−90∘)÷2
依题意有 ，
t = 38
解得 ．
EF ∠NOB t 14s 38s
故 能平分 ， 的值为 或 ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 14 讲 线，角综合
课堂落实答案
1 【答案】B
【解析】∵M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，
1 1
MC = AC CN = BC
∴ ， ，
2 2
∴
1 1 1 1
MN = MC +CN = AC + BC = (AC +BC) = ×10 = 5cm
．
2 2 2 2
2 【答案】D【解析】∵D为BC的中点，BD＝5 cm ，
∴BC＝10 cm ，CD＝BD＝5 cm ，
∵AB＝12 cm ，
∴AC＝2 cm ，
如图1，
∵AE＝3 cm ，
∴CE＝1 cm ，
∴DE＝4 cm ，
如图2，
∵AE＝3 cm ，
∴DE＝AE+AC+CD＝3+2+5＝10 cm ，
故DE的长为4 cm 或10 cm ，
故选：D．
152∘ 62∘
3 【答案】 、
∠AOC +∠COD = 180∘ ∠AOC = 28∘
【解析】∵ ， ，
∠COD = 152∘
∴ ；
∵OC是 ∠AOB 的平分线， ∠AOC = 28∘ ，
∠AOB = 2∠AOC = 2 ×28∘ = 56∘
∴ ，
∠BOD = 180∘ −∠AOB = 180∘ −56∘ = 124∘
∴ ，
∵OE是 ∠BOD 的平分线，
1 1
∠BOE = ∠BOD = ×124∘ = 62∘
∴ ．
2 2
152∘ 62∘
故答案为： 、 ．
4 【答案】C
【解析】∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∠AOB＝80°，
1 1 1 1
∴∠DOE＝ ∠AOC+ ∠BOC＝ （∠AOC+∠BOC）＝ ∠AOB＝40°．
2 2 2 2
5 【答案】B
【解析】 ∵∠AOB是直角，OE平分∠AOB，
∴∠AOE＝45°，
∵∠AOC＝60°，OF平分∠AOC，∴∠AOF＝30°，
∴∠EOF＝45°+30°＝75°．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 14 讲 线，角综合
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】∵C是AB的中点，D是BC的中点
1 1
AC = BC = AB CD = BD = BC
∴ ，
2 2
CD = AD−AC
∵
CD = AD−BC
∴
故A正确
CD = BC −DB
∵
CD = AC −DB
∴
故B正确
1 1
AC = BC = AB CD = BD = BC
∵ ，
2 2
1 1 1
CD = AB − AB = AB
∴
2 4 4
故C错误
CD = BC −DB
∵
1
CD = AB −DB
∴
2
故D正确
故选：C．
2 【答案】（1）根据题意得，
AC+DB＝AB﹣CD＝12﹣5＝7；
（2）∵M、N分别为AC与BD的中点
1 1
∴MC＝ AC ， DN = BD ，
2 2
1 1
∴MC+DN＝ (AC +DB) = ×7 = 3.5 ，
2 2
∴MN＝MC+DN+CD＝3.5+5＝8.5．
M AB AB = 8
3 【答案】解：∵ 是 的中点， ，1
AM = AB = 4
∴ ，
2
AC = 3.2 N AC
∵ ， 是 的中点，
1
AN = AC = 1.6
∴ ，
2
MN = AM −AN = 4 −1.6 = 2.4
∴ ．
【解析】∵M是AB的中点，AB=8，
∴AM= AB=4，
∵AC=3.2，N是AC的中点，
∴AN= AC=1.6，
∴MN=AM﹣AN=4﹣1.6=2.4cm．
4 【答案】（1）当C、D运动 2s 时， CM = 2cm ， BD = 6cm ，
AC +MD = AB −CM −BD = 10 −2 −6 = 2(cm)
∴ ．
BD = 3CM MD = 3AC
（2）由题意知 ，又 ，
BM = BD+DM = 3(CM +AC) = 3AM
∴ ，
1
AB = BM +AM = 4AM AM = AB
∴ ，∴ ．
4
（3）①当点N在线段AB上时，
AB −BN = MN,AB −BN = AN
∵
MN = AN,AN +MN = AM,
∴
1
MN = AM,
∴
2
1
AM = AB,
∵
4
MN 1
=
∴
AB 8
②当点N在线段AB的延长线上时，
MN = MB +BN,
1
AM = AB,
∵
4
3 3
MB = AB,MN = AB +BN,
∴
4 4
AB −BN = MN,
∵
3
MN = AB +AB −MN,
∴
4
MN 7
=
∴
AB 8
12
5 【答案】（1）
20
（2）
3
32
4 7
（3）存在。 ， ，
51 AC = AB −BC = 20cm−8cm=12cm
【解析】（ ）
20
2 20 ÷(2 +1) = (s)
（ ）
3
3
（ ）存在，
C PQ
① 是线段 的中点，得
2x+20 −x = 2 ×12 x = 4
，解得 ；
P CQ
② 为线段 的中点，得
32
12 +20 −x = 2 ×12 x =
，解得 ；
5
Q PC
③ 为线段 的中点，得
2x+12 = 2 ×(20 −x) x = 7
，解得 ．
6 【答案】C
【解析】∵OD平分 ∠AOC ，OE平分 ∠BOC ，
∠AOD = ∠DOC ∠BOE = ∠COE
∴ ， ，
1
∠DOE = ×180∘ = 90∘
∴ ，
2
故选：C．
∠AOB ∠AOC = 40∘
7 (1)【答案】∵ 是直角，
∠AOB +∠AOC = 90∘ +40∘ = 130∘
∴
∵OM是 ∠BOC 的平分线，ON是 ∠AOC 的平分线，
1 1
∠MOC = ∠BOC = 65∘ ∠NOC = ∠AOC = 20∘
∴ ， ．
2 2
∠MON = ∠MOC −∠NOC = 65∘ −20∘ = 45∘
∴
∠AOB ∠AOC = 40∘
【解析】根 据 是 直 角 ， ， 可 得
∠AOB +∠AOC = 90∘ +40∘ = 130∘ ，再利用OM是 ∠BOC 的平分线，
ON是 ∠AOC 的平分线，即可求得答案．
∠AOC ∠MON
(2)【答案】当锐角 的大小发生改变时， 的大小不发生改变．
1 1
∠MON = ∠MOC −∠NOC = ∠BOC − ∠AOC
∵ ，
2 2
1 1
= (∠BOC −∠AOC) = ∠AOB
2 2
∠AOB
又∵ 是直角，不改变，
1
∠MON = ∠AOB = 45∘
∴ ．
2
∠MON = ∠MOC −∠NOC ∠AOB
【解析】根据 ，又利用 是直角，不改变，可得
1
∠MON = ∠AOB = 45∘
．
2
8 【答案】A【解析】 ∵四边形
OB′C′G
由四边形OBCG折叠而成，
∠AOB′=70∘
，
180∘ −∠AOB′ 180∘ −70∘
∠BOG= = = 55∘
∴
2 2
∵AB∥CD，
∠OGC=180∘ −55∘=125∘
∴ ．
9 【答案】C
【解析】折叠后的图形如下：
∠ABE=30∘
∵ ，
∠BEA′=∠BAE=60∘
∴ ，
A′D′ // BC
又∵ ，
∠BCE=∠CED′
∴ ，
∠CED′=∠CED
又∵ ，
∠BCE=∠CED′=∠CED
∴ ，
1
∠DEC= ∠DED′
又∵ ，
2
1
∠DEC = (180∘ −∠A′EA +∠AED)
∴
2
1
= (180∘ −120∘ +n∘)
2
n
∠BCE=(30 + )∘
∴
2
∠COE = ∠DOE −∠BOC =
10 【答案】（1）如图①，
90∘ −70∘ = 20∘
，故答案为：20°；
（2）如图②，∵OC平分∠EOB， ∠BOC = 70∘ ，
∠EOB = 2∠BOC = 140∘
∴ ，
∠DOE = 90∘
∵ ，
∠BOD = ∠BOE −∠DOE = 50∘
∴ ，
∠BOC = 70∘
∵ ，
∠COD = ∠BOC −∠BOD = 20∘
∴ ；
∠COE −∠BOD = 20∘
（3） ，
∵ ∠BOD+∠COD = ∠BOC = 70∘
理由是：如图③， ，
∠COE +∠COD = ∠DOE = 90∘
，∴ (∠COE +∠COD)−(∠BOD+∠COD) = 20∘
，
∠COE −∠BOD = 20∘
即 ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 14 讲 线，角综合
精选精练
1 (1)【答案】∵点M，N分别是AC，BC的中点， AC = 8 cm， CB = 6 cm，
1 1 1 1
CM = AC = ×8 = 4cm CN = BC = ×6 = 3cm
∴ ， ，
2 2 2 2
MN = CM +CN = 4 +3 = 7cm
∴ ；
【解析】根据线段中点的性质，可得CM、CN的长，根据线段的和差，可得答案；
(2)【答案】∵点M，N分别是AC，BC的中点，
1 1
CM = AC CN = BC
∴ ， ，
2 2
1 1 1 1
MN = CM +CN = AC + BC = (AC +BC) = AB
∴
2 2 2 2
1
= a(cm)
2
【解析】根据线段中点的性质，可得CM、CN的长，根据线段的和差，可得答案．
2 (1)【答案】∵N是BC的中点，M是AC的中点， AM = 1 ， BC = 4
CN = 2 AM = CM = 1
∴ ，
MN = MC +CN = 3
∴ ；
【解析】由已知可求得CN的长，从而不难求得MN的长度；
(2)【答案】∵M是AC的中点，N是BC的中点， AB = 6 ，
1
NM = MC +CN = AB = 3
∴ ．
2
【解析】由已知可得AB的长是NM的2倍，已知AB的长则不难求得MN的长度．
3 【答案】2
【解析】∵AC＝AP﹣PC，PD＝PB﹣BD，BD＝2PC，且C、D运动到任一时刻，总有PD＝2AC，
∴PB﹣2PC＝2（AP﹣PC），
∴PB＝2AP．
设AP＝x，则PB＝2x．当运动时间为t秒时，CP＝t，AC＝x﹣t，PD＝2x﹣2t，
∴CD＝2x﹣t．
∵M、N分别是CD、PB的中点，
1 1
∴ CM = CD = x− t ，PN＝x，
2 2
3
PM = CM −CP = x− t
∴ ，
2
3
MN = PN −PM = t
∴ ．
2
3
∵3AC＝2MN，即 3(x−t) = 2 × t ，
2
1
t = x
∴ ，
2
AB AP +PB x+2x
= = =2
∴ ．
CD CD 2x− 1x
2
∠AOD 160∘ ∠AOB 40∘
4 【答案】 解：（1）∵ ＝ ， ＝ ，
∠BOD 120∘
∴ ＝ ，
∵ON平分 ∠BOD ，
1
∠BON = ∠BOD 60∘
∴ ＝ ，
2
故答案为：60；
（2）∵ON平分 ∠BOD ，OM平分 ∠AOB ，
1 1
∠BON = ∠BOD ∠BOM = ∠AOB
∴ ， ，
2 2
∠MON ∠BON +∠BOM
∴ ＝
1 1 1
= ∠BOD+ ∠AOB = ∠AOD 80∘
＝ ；
2 2 2
（3）设 ∠AOB ＝x，则 ∠BOD ＝ 160∘ −x ，
∵OM平分 ∠AOC ，ON平分 ∠BOD ，
1 1
∠COM = ∠AOC = (x+20∘)
∴ ，
2 2
1 1
∠BON = ∠BOD = (160∘ −x)
，
2 2
∠MON
∴ ＝
1 1
∠COM +∠BON −∠BOC = (x+20∘)+ (160∘ −x)−20∘ 70∘
＝ ．
2 2
【解析】 （1）根据角平分线的定义即可得到结论；
∠BOM ∠BON ∠MON
（2）根据角平分线的定义求出 和 ，然后根据 ＝
∠BOM +∠BON
代入数据进行计算即可得解；
（3）设 ∠AOB ＝x，表示出 ∠BOD ＝ 160∘ −x ，根据角平分线的定义表示出
∠COM ∠BON ∠MON ∠COM +∠BON −∠BOC
和 ，然后根据 ＝ 列式计
算即可得解．5 【答案】B
∠ABE ∠A′BE ∠DBC = ∠DBC′
【解析】根据翻折的性质可知， ＝ ，
∠ABE +∠A′BE +∠DBC +∠DBC′ 180∘
又∵ ＝
∠ABE +∠DBC 90∘
∴ ＝
∠CBD 66∘
又 ＝
∠ABE 24∘
∴ ＝
30∘
6 (1)【答案】
∠AOC = 60∘
【解析】如图2，∵ ，
∠BON = ∠AOC = 60∘
∴ ，
∠MON = 90∘
∵ ，
∠BOM = ∠MON −∠BON = 30∘
∴ ．
30∘
故答案为 ．
∠AOC = 60∘
(2)【答案】∵ ，
∠BOC = 180∘ −∠AOC = 120∘
∴ ，
∵OM平分 ∠BOC ，
∠COM = ∠BOM = 60∘
∴ ，
∠MON = 90∘
∵ ，
∴ ∠CON = ∠MON +∠COM = 90∘ +60∘ = 150∘
．
∠AOM −∠NOC = 30∘
(3)【答案】 ，
∠MON = 90∘ ∠AOC = 60∘
理由是：∵ ， ，
∠AON = 90∘ −∠AOM ∠AON = 60∘ −∠NOC
∴ ， ，
90∘ −∠AOM = 60∘ −∠NOC
∴ ，
∠AOM −NOC = 30∘
∴ ，
∠AOM ∠NOC ∠AOM −NOC = 30∘
故 与 之间的数量关系为： ．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】C2 【答案】C
3 【答案】B
【解析】该题考查的是单项式的定义．
数或字母的乘积称为单项式，其中单独的数或字母也是单项式，单项式的系数指它的数字
因
数，单项式的次数指的是所有字母的指数之和，
−ab2 −1
本题中 的系数为 ，故答案选B．
4 【答案】D
5 【答案】A
6 【答案】D
7 【答案】D
8 【答案】A
b−a > 0
【解析】A、由大数减小数得正，得 ，故A正确；
b > 0 −b < 0
B、 ， ，故B错误；
|b| < |a| a < −b
C、由 ，得 ，故C错误；
ab ab < 0 −ab > 0
D、由 异号得， ， ，故D错误．
9 【答案】D
∠BOC = 180∘ −∠AOC = 180∘ −60∘ = 120∘
【解析】 ，
OD OE ∠AOC ∠BOC
∵ ， 分别是 和 的平分线，
∠AOD = ∠COD = 30∘ ∠COE = ∠BOE = 60∘
∴ ， ，
∠AOE = ∠BOC = 120∘ ∠DOE = 90∘ ∠DOB = 150∘
∴ ， ， ，
∠AOD+∠DOB = 180∘ ∠COD+∠DOB = 180∘
则 ， ，
∠AOC +∠BOC = 180∘ ∠COE +∠BOC = 180∘
， ，
∠BOE +∠BOC = 180∘ ∠AOE +∠BOE = 180∘
， ，
∠AOE +∠AOC = 180∘ ∠AOE +∠COE = 180∘
， ．
总之有8对互补的角．
10 【答案】D
±4
11 【答案】
|−x| = |−4|
【解析】∵ ，
x = ±4
∴ ，
±4
故答案为： ．
5
12 【答案】
213 【答案】4cm
−4
14 【答案】 或2
29
15 【答案】
16 【答案】9
35∘
17 【答案】
(n +2)2
18 【答案】
n(n +4)
−1
19 【答案】（1）8；（2） ．
3x+7 = 5x−3
20 【答案】（1）
3x−5x = −3 −7
移项，
−2x = −10
合并同类项，
x = 5
系数化为1，
x−3 2x−1
+ = x−1
（2）
2 3
3(x−3)+2(2x−1) = 6x−6
去分母，
3x−9 +4x−2 = 6x−6
去括号，
3x+4x−6x = −6 +9 +2
移项，
x = 5
合并同类项，
= −23x+9y2 = 50
21 【答案】化简：原式 ，代入得原式 ．
22 【答案】解：设购买了荔枝x千克，则购买芒果(30-x)千克．
根据题意列方程得：26x+22(30-x)=708，
解得：x=12，30-x=18．
答：购买了荔枝12千克，购买芒果18千克．
23 【答案】5；
1
2
分三种情况：
① 点 C 在 线 段 AB 上 时 ： 因 为 M 是 AC 中 点 ， N 是 BC 中 点 ， 所 以
AC BC AB
MN = + =
．
2 2 2
②点C在线段AB的延长线上，线段AC的长度大于BC的长度时：因为M是AC中点，N是BC
AC BC AB
MN = − =
中点，所以
2 2 2
③点C在线段BA的延长线上，线段BC的长度大于AC的长度时：因为M是AC中点，N是BC
BC AC AB
MN = − =
中点，所以
2 2 2
【解析】本题考查的是线段长度的计算．（1）若点C为线段AB上一点，
1 1
MN = MC +CN = (AC +CB) = AB = 5cm
那么 …..……..……..……..……..
2 2
……..……..2分
1
（2） ；……………………………………………………………………………………….3分
2
理由如下：
1
CM = AC
∵M是线段AC的中点，∴ ，
2
1
CN = BC
∵N是线段BC的中点，∴ ，
2
以下分三种情况讨论，
当C在线段AB上时，
1 1 1 1
MN = CM +CN = AC + BC = (AC +BC) = AB
；
2 2 2 2
……………………………………..4分
当C在线段AB的延长线上时，
1 1 1 1
MN = CM −CN = AC − BC = (AC −BC) = AB
；
2 2 2 2
…………………………………….5分
当C在线段BA的延长线上时，
1 1 1 1
MN = CN −CM = BC − AC = (BC −AC) = AB
；
2 2 2 2
1
MN = AB
综上： ．……………………………………………………………………………6分
2
24 【答案】（1）
∠AOC ∠AOB
（2）当 在 的外部时：
∵射线OD平分 ∠AOC ，
1
∠AOD = ∠AOC = 20∘
∴ ，
2
∠BOD = ∠AOB +∠AOD = 80∘
∴ ；
∠AOC ∠AOB
当 在 的内部时：
∵射线OD平分 ∠AOC ，
1
∠COD = ∠AOC = 20∘
∴ ，
2
∠BOD = ∠AOB −∠AOC +∠COD = 40∘
∴ ，∠BOD
∴ 为80°或者40°．
25 【答案】解：方程2kx-6=3x+m移项合并得：(2k-3)x=m+6，
3
(1)由方程有唯一解，得到2k-3≠0，即k≠ ；
2
(2)由方程有无数个解，得到2k-3=0，m+6=0，
3
解得：k= ，m=-6；
2
(3)由方程无解，得到2k-3=0，m+6≠0，
3
解得：k= ，m≠-6．
2
40∘
26 【答案】(1)
(2)∵ ∠BOD = ∠BOC +∠COD = 10∘ +30∘ = 40∘ ，ON平分 ∠BOD ，
1 1
∠BON = ∠BOD = ×40∘ = 20∘
∴ ．
2 2
∵ ∠AOC = ∠BOC +∠AOB = 10∘ +50∘ = 60∘ ，OM平分 ∠AOC ，
1 1
∠COM = ∠AOC = ×60∘ = 30∘
∴ ；
2 2
∠BOM = ∠COM −∠BOC = 30∘ −10∘ = 20∘
∴ ；
∠MON = ∠MOB +∠BON = 20∘ +20∘ = 40∘
∴ ．
α+β α+β
180∘ −
（3） 或 ．
2 2
提示：情况一：如图
∠MON = ∠MOC +∠BON −∠BOC
1 1
= ∠AOC + ∠BOD−∠BOC
2 2
1 1
= ∠AOB + ∠BOC
2 2
1 1
+ ∠COD+ ∠BOC −∠BOC
2 2
1 1
= ∠AOB + ∠COD
2 2
α+β
=
2情况二：当 ∠COD 在OA、OB的反向延长线形成的角的内部时，如图：
∠MON = ∠MOC +∠DON −∠COD
1 1
= ∠AOC + ∠BOD−∠COD
2 2
1
= (360∘ −∠AOB −∠BOC)
2
1
+ (∠BOC +∠COD)−∠COD
2
1 1
= 180∘ − ∠AOB − ∠COD
2 2
α+β
= 180∘ −
2
α+β
【解析】 ∠AOB ∠MON =
提示：（3）根据旋转角度进行分类讨论．当 为锐角时， ，
2
α+β
∠AOB ∠MON = 180∘ −
当 为钝角时， ．
2
a = 3
27 【答案】解：（1）当 时，
∣2a 4 ∣
∣ ∣
∣3 5a∣
= 2a×5a−3 ×4
= 10a2 −12
= 10 ×32 −12
= 90 −12
= 78
∣x+2 2x−1∣
∵∣ ∣ = 1
（2） ，
∣3 4 ∣
∴ 4(x+2)−3(2x−1) = 1
，
4x+8 −6x+3 = 1
去括号，可得： ，
2x = 10
移项，合并同类项，可得： ，
x = 5
解得 ．
