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能力强化 / 初二 / 暑假
第 1 讲 三角形的边
例题练习题答案
例1 (1) 已知 △ ABC的三边a，b，c满足(a−b) 2 = 0，则 △ ABC的形状是（ ）
A： 钝角三角形
B： 直角三角形
C： 等腰三角形
D： 以上都不对
(2)图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 以上都有可能
例2 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A： 4 cm，5 cm，9 cm
B： 8 cm，8 cm，15 cm
C： 5 cm，5 cm，10 cm
D： 6 cm，7 cm，14 cm
练2.1 已知三角形的三边长分别为4、a、8，那么a的取值范围是（ ）A： 0 < a < 8
B： 4 < a < 12
C： 1 < a < 12
D： 4 < a < 6
例3 设a，b，c是△ABC的三边长，化简|a−b−c|+|b−c−a|−|c+a−b|的结果为_________．
练3.1 设a，b，c是△ABC的三边长，化简|a+b+c|−|a−b−c|−|a−b+c|−|a+b−c|的结果是（ ）
A： 0
B： 2a+2b+2c
C： 4a
D： 2b−2c
例4 关于三角形有下列说法：①三条角平分线必交于一点；②中线、角平分线、高都是线段；③三条
高必在三角形内，其中正确的是（ ）
A： ①②
B： ①③
C： ②③
D： ①②③
例5 如图，AD、BE分别是 △ ABC的高，AD = 4，BC = 5，BE = 3，则AC的长为（ ）
A： 20
3
B： 5
C： 4D： 3
练5.1 如图， △ ABC是直角三角形，∠BAC = 90∘，AD、AE分别是 的高和中线，AB = 6cm，
AC = 8cm，BC = 10cm．
(1)求AD的长；
(2)求△AEC的面积．
例6 如图，在 △ ABC中，AD是BC边上的中线， △ ADC的周长比 △ ABD的周长多5cm，AB与AC的
和为13cm，求AC的长．
练6.1 如图，已知S = 8cm 2 ，AD是中线，DE是 △ ADC的中线，则三角形ADE的面积为（ ）
△ABC
A： 2
6cm
B： 2
4cm
C： 2
3cm
D： 2
2cm
例7 如图，AE是△ABD的角平分线，AF是△ACD的角平分线，则下列结论不正确的是（ ）A： 1
∠EAF = ∠CAB
2
B： 1
∠DAF = ∠DAC
2
C： 1
∠DAF = ∠EAF
2
D： 1
∠EAD = ∠BAD
2
例8 如图所示，AD、CF是 △ ABC的角平分线，∠BAC = 60∘，∠CBE = 25∘，求∠DAC和∠ABC的度
数．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 1 讲 三角形的边
自我巩固答案
1 下面这个三角形被遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是（ ）A： 一个锐角，一个钝角
B： 两个锐角
C： 一个是锐角，一个直角
D： 一个直角，一个钝角
2 已知 △ ABC的三边a，b，c满足(a−b)(a−c) = 0，则 △ ABC的形状是（ ）
A： 钝角三角形
B： 直角三角形
C： 等腰三角形
D： 锐角三角形
3 有四根长度分别为9、12、16、25的木条，从中取三根搭三角形，有几种选法？为什么？
4 设a，b，c是 △ ABC的三边长，化简|c−a+b|+|b−c−a|−|a+c−b|的结果为（ ）
A： a+b−c
B： b+c−a
C： a+c−b
D： a−b−c
5 如图所示，BE，CD是 △ ABC的角平分线，∠ACD = 60∘，∠EBC = 15∘，求∠ABC，∠ACB的度
数．
6 如图，如果把 △ ABC沿AD折叠，使点C落在边AB上的点E处，那么折痕（线段AD）是 △ ABC的
（ ）A： 中线
B： 角平分线
C： 高
D： 既是中线，又是角平分线
7 如图，在△ABC中，∠ACB > 90∘，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D，E，F，△ABC中
BC边上的高是（ ）
A： FC
B： BE
C： AD
D： AE
8 如图，在 △ ABC中，BC边上的高是（ ）
A： CE
B： DA
C： CFD： BD
9 如图，AD，BE分别是 △ ABC的高，AD = 3，BC = 6，AC = 5，求BE的长．
10 如图所示，CD是 △ ABC的中线，AC = 9 cm，BC = 3 cm，那么 △ ACD和 △ BCD的周长差是
___________cm．
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第 1 讲 三角形的边
课堂落实答案
1 在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是（ ）
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 以上都有可能
2 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A： 5，6，10
B： 5，6，11
C： 3，4，8D： 4a，4a，8a(a > 0)
3 如图，在直角 △ ABC中，∠ACB = 90∘，BC = 3，AC = 4，AB = 5，CD⊥AB，则CD的长为
_______．
4 一个三角形的三条角平分线的交点在（ ）
A： 三角形内
B： 三角形外
C： 三角形的某边上
D： 以上三种情形都有可能
5 如图，AD是 △ ABC的中线，已知 △ ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则 △ ACD的周长为
________cm．
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第 1 讲 三角形的边
精选精练
1 如图，在 △ ABC中，∠ACB = 90∘，点D，E是BC上两点，连接AD，AE，则图中钝角三角形共有
（ ）A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 已知a，b，c是△ABC的三边长，化简|a−b+c|−2|c−a−b|+3|a+b+c|．
3 若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，则此三角形是（ ）
A： 锐角三角形
B： 钝角三角形
C： 不能确定
D： 直角三角形
4 一个锐角三角形的残片如图所示，若不恢复这个残角，你能否作出AB边上的高所在的直线？试说
明具体作法及理由．
5 如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S = 4 cm 2 ，则阴
△ABC
影部分的面积等于（ ）
A： 2
2cm
B： 2
1cm
C： 1
2
cm
2D： 1
2
cm
4
6 下列说法正确的是（ ）
A： 三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
B： 直角三角形只有一条高
C： 三角形的角平分线其实就是角的平分线
D： 三角形的三条高至少有一条在三角形内
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第 2 讲 三角形的角
例题练习题答案
例1 如图，在△ABC中，∠ABC = 50∘，∠ACB = 70∘，AD平分∠BAC．过点D作DE⊥AB于点E，则
∠ADE = _______．
练1.1 如图，∠A = 65∘，∠ABD = 30∘，∠ACB = 72∘，且CE平分∠ACB，则∠BEC = _____________．
例2 已知 △ ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A = 30∘，∠C = 2∠B，求∠B的度数．
练2.1 在 △ ABC中，∠A = 55∘，∠C = 4∠B，求∠B、∠C的度数．练2.2 在 △ ABC中，∠A−2∠B = 70∘，∠C = 20∘，求∠A、∠B的度数．
例3 如图， △ ABC中，∠A = 70∘，∠B = 60∘，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于（ ）
A： 100∘
B： 120∘
C： 130∘
D： 150∘
练3.1 如图，a，b两片木条放在地面上，∠1，∠2分别为两片木条与地面的夹角，∠3是两片木条间的夹
角，若∠2 = 120∘，∠3 = 100∘，则∠1的度数为（ ）
A： 38∘
B： 40∘
C： 42∘
D： 45∘
例4 如图，AB//CD，∠A = 35∘，∠F = 40∘，则∠C = （ ）
A： 65∘
B： 70∘C： 75∘
D： 80∘
练4.1 如图，a//b，∠1 = 110∘，∠3 = 50∘，则∠2 = __________∘．
例5 如图，∠ACD是 △ ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A = 60∘，∠B = 40∘，则∠ECD等于
（ ）
A： 40∘
B： 45∘
C： 50∘
D： 55∘
练5.1 如图，AD是 △ ABC的外角平分线，∠B = 30∘，∠DAE = 65∘，则∠ACD等于_____度．
例6 (1)下列说法正确的有（ ）
①由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形；②各边都相等的多边形是正多边形；
③各角都相等的多边形一定是正多边形
A： 0个
B： 1个C： 2个
D： 3个
(2)如图，下列图形不是凸多边形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
(3)下列说法不正确的是（ ）
A： 正多边形的各边都相等
B： 各边都相等的多边形是正多边形
C： 正三角形就是等边三角形
D： 六条边都相等且六个角都相等的六边形是正六边形
练6.1 下面关于正多边形的说法正确的是（ ）
A： 各条边相等的多边形是正多边形
B： 各个内角相等的多边形是正多边形
C： 各条对角线相等的多边形是正多边形
D： 各条边相等，各个角相等的多边形是正多边形
练6.2 下列图形中，是正多边形的是（ ）
A： 等腰三角形
B： 长方形
C： 正方形
D： 五边都相等的五边形例7 如图，在四边形ABCD中，如果∠A+∠B+∠C = 240∘，那么∠D的度数为（ ）
A： 120∘
B： 110∘
C： 100∘
D： 90∘
练7.1 如图，已知 △ ABC中，∠C = 90∘，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2 = （ ）
A： 90∘
B： 135∘
C： 270∘
D： 315∘
例8 一个多边形的内角和是720∘，这个多边形的边数是（ ）
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
练8.1 (1)一个多边形内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（ ）A： 4
B： 5
C： 6
D： 8
(2) 一个多边形的每一个外角都是40∘，则这个多边形的边数是__________．
例9 八边形剪掉一个角后的图形是______________边形．
练9.1 六边形剪掉一个角后的图形是______________边形．
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第 2 讲 三角形的角
自我巩固答案
1 如图，AD是△ABC的角平分线，已知∠C = 80∘，∠B = 40∘，则∠ADC的度数为（ ）
A： 50∘
B： 60∘
C： 70∘
D： 80∘2 如图，在△ABC中，∠A = 45∘，∠C = 75∘，BD是△ABC的角平分线，则∠BDC的度数为（ ）
A： 60∘
B： 70∘
C： 75∘
D： 105∘
3 在△ABC中，∠B−∠A＝15∘，∠C−∠B＝60∘，则∠C＝_____．
4 如图，在 △ ABC中，D是CA延长线上一点，∠B = 40∘，∠BAD = 76∘，则∠C的度数为（ ）
A： 36°
B： 116°
C： 26°
D： 104°
5 如图，点D在 △ ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A = 80∘，∠B = 40∘，则∠ACE的大小
是（ ）
A： 30∘B： 40∘
C： 50∘
D： 60∘
6 一个多边形被剪去一个角后得到一个九边形，则原来该多边形是_________边形．
7 下列图中不是凸多边形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
8 下列说法中错误的有__________________（填写序号）．
①各边都相等的多边形是正多边形
②多边形的各边相等
③由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形
④四边形剪掉一个角后，变为三角形
9 一个正多边形的内角和为720∘，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A： 60∘
B： 72∘C： 90∘
D： 108∘
10 一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形？有多少条对角线？
能力强化 / 初二 / 暑假
第 2 讲 三角形的角
课堂落实答案
1 如图， △ ABC中，DE//BC，∠B = 72∘，∠AED = 40∘，则∠A = （ ）
A： 72°
B： 70°
C： 68°
D： 60°
2 如图，BD是 △ ABC的角平分线，DE//BC，交AB于点E，∠A = 45∘，∠BDC = 72∘，求∠BED的
度数．
3 如图，∠1的度数为_______．4 下列属于正多边形的特征的有（ ）
①各边相等；
②各个内角相等；
③各个外角相等；
④各条对角线相等．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5 已知一个多边形的内角和是900∘，则这个多边形是（ ）
A： 五边形
B： 六边形
C： 七边形
D： 八边形
能力强化 / 初二 / 暑假
第 2 讲 三角形的角
精选精练
1 1 1
在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C，则△ABC是（ ）
3 4
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 以上都有可能2 如图，已知∠ACF = 115∘，∠ADE = 50∘，∠B = 35∘，求∠F与∠CED的度数．
3 如图，求证：∠BDC = ∠A+∠B+∠C．
4 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形
状不可能是（ ）
A： 六边形
B： 五边形
C： 四边形
D： 三角形
5 有两个每个内角都相等的多边形，它们的边数之比为1:2，且第二个多边形的内角比第一个多边形
的内角大15∘，求这两个多边形的边数．
6 在四边形ABCD中，∠D = 60∘，∠B比∠A大20∘，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 3 讲 全等三角形（一）
例题练习题答案
例1 下列四个图形中，全等的图形是（ ）A： ①和②
B： ①和③
C： ②和③
D： ③和④
练1.1 对于两个图形：
①两个图形的周长相等；
②两个图形的面积相等；
③两个图形的周长和面积都相等；
④两个图形的所有对应角都相等；
⑤两个周长相等的圆；
⑥两个面积相等的正方形．
其中能获得这两个图形全等的结论有（ ）
A： 1个
B： ．2个
C： 3个
D： 4个
例2 △ABC≌△DEF，下列结论中不正确的是（ ）
A： AB = DE
B： BE = CF
C： BC = EF
D： AC = DE练2.1 如图所示，△ACB≌△BDA，点A与点B、点C与点D是对应顶点，如果∠DAB = 50∘，∠DBA = 40∘
，那么∠DAC的度数为（ ）
A： 50∘
B： 40∘
C： 10∘
D： 5∘
例3 如图，△ABC≌△BAD，如果AB=6cm，BD=4cm，AD=5cm，那么BC的长是（ ）
A： 4cm
B： 5cm
C： 6cm
D： 无法确定
练3.1 如图，若△ABD≌△EBC，且AB = 3，BC = 5，则DE的长为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5例4 如图，AB = DC，AF = DE，BF = CE．求证：△ABF≌△DCE．
练4.1 如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB = DE，AC = DF，BE = CF，请将下面说明
△ABC≌△DEF的过程和理由补充完整．
证明：∵BE = CF（______），
∴BE+EC = CF+EC，
即BC = EF．
在△ABC和△DEF中，
AB = ______ (_______)，
{
______ = DF(________)，
BC = ______，
∴△ABC≌△DEF（______）．
例5 如图，AB = DC，AC = BD，求证：△ABC≌△DCB．
例6 已知：如图，OA = OC，OB = OD，试说明：△AOB≌△COD．
练6.1 如图，AD = BC，∠DAB = ∠CBA，证明：△ABD≌△BAC．例7 如图，已知：OA = OB，OC = OD，求证：△AOD≌△BOC．
练7.1 如图，点E、F在BC上，BE = FC，AB = DC，∠B = ∠C．求证：∠A = ∠D．
例8 如图，AB∥ED，点F、C在AD上，AB=DE，AF=DC，试说明BF=CE．
练8.1 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB = CD，AE∥FD，且AE = DF．求证：∠E = ∠F
．
能力强化 / 初二 / 暑假第 3 讲 全等三角形（一）
自我巩固答案
1 下列图形中是全等图形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 下列说法正确的是（ ）
A： 两个面积相等的图形一定是全等图形
B： 两个长方形是全等图形
C： 两个全等图形形状一定相同
D： 两个正方形一定是全等图形
3 若△ABC≌△DEF，∠A = 80∘，∠B = 40∘，那么∠F的度数是（ ）
A： 80∘
B： 40∘
C： 60∘
D： 120∘
4 如图，已知， △ ABC≌ △ DEB，点E在AB上，若DE=8，BC=5，线段AE的长为（ ）A： 3
B： 5
C： 6
D： 4
5 如图，已知 △ ABC≌ △ AEF，则对于结论①AC = AF，②∠FAB = ∠EAB，③EF = BC，
④∠EAB = ∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
6 如图，已知AC=FD，BC=ED，点B、D、C、E在一条直线上，要利用“SSS”证明△ABC≌
△FED，还需添加条件是（ ）
A： AB = EF
B： ∠A = ∠F
C： EC = BDD： AB//EF
7 如图，C是AB的中点，AD = CE，CD = BE．求证：△DCA≌△EBC．
8 如图，AB=AC，BD=CD，补全下列证明△ABD≌△ACD的过程．
证明：在△ABD和________中，
AB = (已知)
_
{
BD = (已知)
_
AD = (公共边)
_
∴ △ ABD≌ △ ACD（_______）
9 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一
个条件是（ ）
A： ∠BCA=∠F
B： ∠B=∠E
C： BC∥EFD： ∠A=∠EDF
10 已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF = CE，AC = DF，且∠ACB = ∠DFE．求证：
AB = DE．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 3 讲 全等三角形（一）
课堂落实答案
1 下列图形中与已知图形全等的是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 面积相等的两个三角形（ ）
A： 必定全等
B： 必定不全等
C： 不一定全等D： 以上答案都不对
3 如图，△ABC≌△EDF，AF = 20，EC = 8，则AE等于__________．
4 如图，△ABC中，AB = AC，BE = EC，直接使用“SSS”可判定（ ）
A： △ABD≌△ACD
B： △ABE≌△ACE
C： △BED≌△CED
D： △ABE≌△EDC
5 如图，AC、BD相交于点O，OA = OD，用“SAS”证△ABO≌△DCO还需（ ）
A： AB = DC
B： ∠A = ∠D
C： OB = OC
D： ∠AOB = ∠DOC
能力强化 / 初二 / 暑假第 3 讲 全等三角形（一）
精选精练
1 全等形是指（ ）
A： 形状相同的两个图形
B： 面积相同的两个图形
C： 两个等腰三角形
D： 能够完全重合的两个平面图形
2 如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x = _____．
3 已知△ABC≌△DEF，BC = EF = 6cm，△ABC的面积为18cm 2 ，则EF边上的高的长是_____cm．
4 如图，已知AB=AC，AE=AD，点B、D、E、C在同一条直线上，要利用“SSS”推理得出
△ABE≌△ACD，下列还可以添加的条件是________．
①BD=DE；②BD=CE；③DE=EC；④BE=CD．
5 如图所示，BD=CE，添加一个条件，使∠ABE=∠ACD（利用“SSS”判定），并给予证明．
6 如图，OP平分∠AOB，且OA = OB．
（1）写出图中四对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）；
（2）从（1）中任选一个结论进行证明．能力强化 / 初二 / 暑假
第 4 讲 全等三角形（二）
例题练习题答案
例1 如图，点E，F在BC上，BF = CE，∠AFB = ∠DEC，∠B = ∠C．
求证：△ABF≌△DCE．
练1.1 如图，已知AB与CD相交于点O，∠C = ∠B，CO = BO，求证：△AOC≌△DOB．
练1.2 如图，AB//CD，∠AEB = ∠DFC，BF = CE，求证：△ABE≌△DCF．
例2 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB//CD，AE = DF，∠A = ∠D．求
证：△ABE≌△DCF．练2.1 如图，D在AB上，E在AC上，且∠B = ∠C，AD = AE，求证：△ABE≌△ACD．
练2.2 如图，AB = AE，∠1 = ∠2，∠C = ∠D．求证：△ABC≌△AED．
例3 如图，已知∠A = ∠D = 90∘，BD与AC相交于点O，且BD = AC．
求证：△ABC≌△DCB．
练3.1 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD = BC．求证：△ABD≌△CDB．
练3.2 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB = AD，求证：△ABC≌△ADC．例4 下列说法正确的有( )个．
①两条边对应相等的两个直角三角形全等；
②有一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等；
③一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全等；
④面积相等的两个直角三角形全等．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
练4.1 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( )
A： 两条直角边对应相等
B： 斜边和一锐角对应相等
C： 斜边和一直角边对应相等
D： 两个锐角对应相等
能力强化 / 初二 / 暑假
第 4 讲 全等三角形（二）
自我巩固答案
1 小明给小红出了这样一道题：如下图，由AB = AC，∠B = ∠C，便可知道△ABD≌△ACE．这是根
据什么理由得到的？小红想了想，马上得出了正确的答案．你认为小红说的理由是（ ）
A： SSSB： SSA
C： ASA
D： SAS
2 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为AB延长线上一点，连接DE交BC于点F，BF = CF，则
可使得△BEF≌△CDF的依据可能是（ ）
A： SAS
B： SSA
C： SSS
D： AAS
3 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1，2，3，4），你认为将其中的哪
一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ ）去．
A： 第1块
B： 第2块
C： 第3块
D： 第4块
4 如图，BC = DE，∠B = ∠D，∠E = ∠C．求证：△ABC≌△ADE．5 如图，A在DE上，且AC = CE，∠ACB = ∠ECD，∠B = ∠D．求证：△ACB≌△ECD．
6 如图，在△ABC中，∠C=90∘，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DE=CB，过点M作ME∥BC交
AB于点E．求证：△ABC≌△MED．
7 如图，C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，若要用HL证明△ADC≌△BEC，需要添加的条件是
（ ）
A： AD = BE
B： ∠D = ∠E
C： CD = CED： ∠ACD = ∠BCE
8 能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A： 斜边相等
B： 一锐角对应相等
C： 两锐角对应相等
D： 两直角边对应相等
9 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，BC=AD．求证：△ABC≌△BAD．
10 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD = BC．求证：（1）AB = DC；（2）AD∥BC．
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第 4 讲 全等三角形（二）
课堂落实答案
1 如图所示，AB∥CD，点C是BE的中点，直接应用“ASA”定理证明△ABC≌△DCE还需要的条件是
（ ）A： AB = CD
B： ∠ACB = ∠E
C： ∠A = ∠D
D： AC = DE
2 如图，∠B = ∠C，增加哪个条件可以让△ABD≌△ACE？（ ）
A： BD = AD
B： BD = CE
C： ∠1 = ∠2
D： 以上答案都不对
3 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样
的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A： ①
B： ②
C： ③
D： ①和②
4 如图，BE、CD是△ABC的高，且BD=CE，判定△BCD≌△CBE的依据是“__________”．5 如图，BE = CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条
件是（ ）
A： AE = DF
B： ∠A = ∠D
C： ∠B = ∠C
D： AB = DC
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第 4 讲 全等三角形（二）
精选精练
1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=CE，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．△BEC与△CDA全等
吗？为什么？
2 如图，在△ABC中，AE=BE，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，且与AD交于点F．求证：
△BEC≌△AEF．3 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘，AC = BC，AE是BC边的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，
过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．
(1)试证明：AE = CD；
(2)若AC = 12cm，求线段BD的长度．
4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F．求证：
△ADE≌△BFE．
5 如图，有一个直角三角形ABC，∠C = 90∘，AC = 10，BC = 5，一条线段PQ = AB，P、Q两点分
别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP = __________时，才能使 △ ABC与 △ QPA全
等．6 如图，四边形AECD中，BE=DF，CE⊥AB，CF⊥AD，CB = CD，
试说明：△ACE≌△ACF．
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第 5 讲 全等与角平分线
例题练习题答案
例1 如图，已知AE = CF，∠AFD = ∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是
（ ）
A： ∠A = ∠C
B： AD = CB
C： BE = DF
D： AD//BC
练1.1 如图，E是AC上一点，AB = CE，AB//CD，AC = CD．求证：BC = ED．练1.2 如图所示，在 △ ABC中，AB = AC，∠1 = ∠2，AD⊥CD于点D，AE⊥BE于点E，BE，CD交于点
O．
求证：BE = CD．
例2 如图，在Rt △ ABC中，∠C = 90∘，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD = n，AB = m，则
△ ABD的面积是（ ）
A： 1
mn
3
B： 1
mn
2
C： mn
D： 2mn
练2.1 如图，AD是 △ ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S = 18，DE = 3，AB = 8，则
△ ABC
AC的长是（ ）A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
练2.2 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA = 2，则PQ的最小值
为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例3 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE、CF相交于点D，AD平分∠BAC．求证：
AB = AC．
练3.1 如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB = 6，若S = 12，求DF的
△ABD
长．例4 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF．求证：AD平分
∠BAC．
练4.1 如图，∠AOB = 70∘，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC = QD，则∠CQO = _______．
例5 如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D．求证：CD平分∠ACB．
练5.1 如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离
相等，则凉亭的位置应选在（ ）
A： △ABC三条中线的交点
B： △ABC三边的垂直平分线的交点
C： △ABC三条角平分线的交点
D： △ABC三条高所在直线的交点
练5.2 如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，有下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在
∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．
其中正确的是（ ）
A： ①②③
B： ①②③④
C： ④
D： ②③
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第 5 讲 全等与角平分线
自我巩固答案
1 如图，AB = DB，∠1 = ∠2，添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE（ ）
A： BC = BE
B： ∠A = ∠D
C： ∠ACB = ∠DEB
D： AC = DE
2 如图，AD是 △ ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且DE = DF，连接BF、CE，下
列说法：①CE = BF；② △ ABD和 △ ACD面积相等；③BF//CE；④ △ BDF≌ △ CDE．其中正确的有
（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 如图，AD = AE，BD = CE，∠ADB = ∠AEC = 100∘，∠BAE = 70∘，下列结论错误的是（ ）
A： △ ABE ≌△ ACD
B： △ ABD ≌△ ACE
C： ∠DAE = 40∘
D： ∠C = 30∘
4 如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠M = ∠N，AM = BN，请你添加一个条件，使得
△ ACM≌ △ BDN，并给出证明．
（1）你添加的条件是：________________．
（2）证明：5 在下列条件中，不能说明 △ ABC≌ △ A ′ B ′ C ′ 的是（ ）
A： ∠C = ∠C ′ ，AC = A ′ C ′ ，BC = B ′ C ′
B： ∠B = ∠B ′ ，∠C = ∠C ′ ，AB = A ′ B ′
C： ∠A = ∠A ′ ，AB = A ′ B ′ ，BC = B ′ C ′
D： ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB = A B ，BC = B C ，AC = A C
6 已知△ABC内一点P，如果点P到AB、AC两边的距离相等，则点P（ ）
A： 在BC边的垂直平分线上
B： 在BC边的高上
C： 在BC边所对角的平分线上
D： 在BC边的中线上
7 如图，在△ABC中，∠C = 90∘，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论中，
①AD平分∠CDE；
②∠BAC = ∠BDE；
③DE平分∠ADB；
④BE+AC = AB．
一定成立的结论有___________．（填序号）
8 如图，AD是 △ ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，AC = 3，DE = 2，AB = 4，则S
△ACB
等于（ ）
A： 7B： 10
C： 13
D： 14
9 如图，在四边形ABCD中，∠A = 90∘，AD = 3，BC = 5，对角线BD平分∠ABC，则 △ BCD的面
积为__________．
10 如图，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交于点F，CD = BE，求证：点F在∠A的平分线
上．
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第 5 讲 全等与角平分线
课堂落实答案
1 如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A： BD=CD
B： AB=AC
C： ∠B=∠C
D： ∠BAD=∠CAD2 如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A = ∠B，只需补充一个条件_____， 则 有
△ AOC≌ △ BOD．
3 如图所示，在Rt△ABC中，∠A = 90∘，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AD = 3，BD = 5，则点D
到BC的距离是（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
4 如图，已知在 △ ABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC
于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为____________．
5 如图，O是 △ ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离相等，即OF = OD = OE，若
∠BAC = 100∘，则∠BOC等于（ ）A： 140∘
B： 145∘
C： 150∘
D： 155∘
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第 5 讲 全等与角平分线
精选精练
1 如图，点E、A、C在同一直线上，AB//CD，∠B = ∠E，AC = CD，求证：
（1）∠BAC = ∠ECD；
（2）BC = ED．
2 如图，∠ABC = ∠C，点E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD = CE，连接DE交BC于F，过
E作EG⊥BC于G．试说明线段BF、FG、CG之间的数量关系．3 如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，有下列结论：①OB = OC；②点O到AB、AC的距离相
等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中正确的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
4 如图所示，已知 △ ABC的面积是36，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且
OD = 4，则 △ ABC的周长是_____．
5 如图，在 △ ABC中，∠ACB = 90∘，点D在AB上，点E在 △ BCD的内部，DE平分∠BDC，且
BE = CE．
（1）求证：BD = CD；
（2）求证：点D在线段AB的中点．
6 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF．(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．
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第 6 讲 轴对称
例题练习题答案
例1 下列图形中，为轴对称图形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
练1.1 下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A：
B：C：
D：
例2 下面给出的每幅图形中的两个图案成轴对称的是（ ）
A：
B：
C：
D：
练2.1 下面给出的每幅图形中的两个图案成轴对称的是（ ）
A：
B：
C：
D：
例3 如图，在Rt△ACB中，∠ACB = 90∘，∠A = 25∘，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落
在AC边上的B′处，则∠ADB ′ 等于（ ）
A： 25°
B： 30°C： 35°
D： 40°
练3.1 如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B ′ 、D ′ 点处，若测得∠AOB ′ = 70∘，
则∠B ′ OG的度数为____________．
例4 △ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为A(0, −3)，B(−4,3)，C(4,5)．
（1）在直角坐标系中画出△ABC．
′ ′ ′ ′ ′ ′
（2）以y轴为对称轴，作△ABC的轴对称图形△ABC，并写出△ABC各个顶点的坐标．
练4.1 如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A（4，
4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．
（1）画出“基本图形”关于y轴对称的四边形A B C D ，并写出A ，B ，C ，D 的坐标．A
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（_____，_____），B （_____，_____），C （_____，_____），
1 1
D （_____，_____）；
1
（2）画出“基本图形”关于x轴对称的四边形A B C D ；
2 2 2 2
（3）画出四边形A B C D ，使画出的三个图形与原“基本图形”组成的整体图案是关于坐标轴
3 3 3 3
（x轴或y轴）对称的图形．例5 如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC = 8cm，AB = 10cm，则△EBC的周长为（ ）
A： 16cm
B： 28cm
C： 26cm
D： 18cm
练5.1 如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为
____________．
练5.2 如图，在△ABC中，BC = 12，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，则△ADE的
周长等于（ ）
A： 12
B： 13C： 14
D： 15
例6 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA = OC．求证：点O在线段BC的垂直平分线上．
练6.1 在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A： 三条角平分线的交点
B： 三条高线的交点
C： 三条中线的交点
D： 三条边垂直平分线的交点
练6.2 如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．
求证：（1）OC = OD；
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
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第 6 讲 轴对称
自我巩固答案
1 随着生活水平的不断提高，在我们这个城市私家车越来越普及，在下面的汽车标志图案中，属于
轴对称图形的有（ ）A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的
图形是（ ）
A：
B：
C：
D：
3 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，求∠B′的度数及AB，A′C′，BC的长度．
4 如图，作出四边形ABDC关于直线l的轴对称图形．5 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘，AC = 3，BC = 4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则
△ACD的周长是（ ）
A： 7
B： 8
C： 9
D： 10
6 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．
7 在△ABC中，∠C = 90∘，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于D，E，若∠CAE = ∠B+30∘，
求∠AEC的度数．
8 三角形纸片上有一点P，量得PA = 3cm，PB = 3cm，则点P一定（ ）
A： 是边AB的中点
B： 在边AB的中线上
C： 在边AB的高上
D： 在边AB的垂直平分线上
9 如图，已知∠ABC = ∠ACB，AD平分∠BAC，点P在直线AD上，求证：PB = PC．10 如图，已知△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD与BE交于点F，且CD = BE．
(1)判断∠ABC与∠ACB的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
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第 6 讲 轴对称
课堂落实答案
1 在下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A：
B：
C：D：
2 如图，阴影三角形与__________号三角形成轴对称．
3 △ ABC与 △ A ′ B ′ C ′ 关于直线l对称，则∠B的度数为__________．
4 如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC = 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则
△BEC的周长为（ ）
A： 13
B： 14
C： 15
D： 16
5 如图，AC = AD，BC = BD，则有（ ）
A： AB垂直平分CDB： CD垂直平分AB
C： AB与CD互相垂直平分
D： CD平分∠ACB
能力强化 / 初二 / 暑假
第 6 讲 轴对称
精选精练
1 下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
2 试找出如图所示的每个正多边形对称轴的条数，并填入表格中．
正多边形的边数 3 4 5 6 7 8
对称轴的条数 _____ _____ _____ _____ _____ _____
根据上表，请你就一个正n边形对称轴的条数作一个猜想，写出猜想的结果．（不用证明）
3 下列说法中错误的是（ ）
A： 两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴
B： 关于某直线对称的两个图形全等C： 面积相等的两个四边形对称
D： 平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称
4 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角
形） △ ABC的顶点A、C的坐标分别为(−4,3)、(−1,1)．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2) 请作出△ABC关于y轴对称的△A ′ B ′ C ′ ；
(3) ′
写出点B 的坐标：_____；
(4)△ABC的面积为_____．
5 如图∠BAC = 130∘ ，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A： 50∘
B： 75∘
C： 80∘
D： 105∘
6 如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：AD垂直平分
EF．能力强化 / 初二 / 暑假
第 7 讲 阶段自检
期中试卷答案
1 下列银行标志中是轴对称图形的有（ ）
A： ①②③
B： ②③④
C： ①③④
D： ①②④
2 若三角形的两条边长分别为3、8，则第三条边长不可能是（ ）
A： 6
B： 8
C： 10
D： 12
3 △ABC中，∠A = 40∘，∠B = 2∠A，则∠C = （ ）
A： 40∘B： 60∘
C： 80∘
D： 100∘
4 △ABC中，∠A:∠B:∠C = 1:2:3，则△ABC是（ ）
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 等腰三角形
5 下列说法正确的是（ ）
A： 全等三角形的周长和面积分别相等
B： 全等三角形是指形状相同的两个三角形
C： 全等三角形是指面积相等的两个三角形
D： 所有的等边三角形都是全等三角形
6 如图，EA∥DF，AE = DF，要使△AEC≌△DFB，只要添加条件（ ）
A： AB = CD
B： EC = BF
C： ∠A = ∠D
D： AB = BC
7 在△ABC和△DEF中，若∠A = ∠D = 90∘，AB = DE，AC = DF，则判定△ABC≌△DEF的类型是
（ ）A： HL
B： SSS
C： SAS
D： ASA
8 如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省
事的办法是（ ）
A： 带①去
B： 带②去
C： 带③去
D： 带①和②去
9 如图，在△ABC中，AC = 16，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC = 10，那么△BCD的周长是
（ ）
A： 16
B： 10
C： 26
D： 32
10 将一个矩形纸条按如图方式折叠，若∠AGM−∠FEC = 18∘，则∠GEF = （ ）A： 48∘
B： 50∘
C： 52∘
D： 54∘
11 如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE的大小是 度．
12 设△ABC的三边长为a、b、c，化简|a−b−c|+|b−c−a| = ______________．
13 AD是△ABC的中线，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为__________．
14 △ABC中，∠A = 40∘，∠B−∠C = 20∘，则∠B = __________．
15 如图，△ABD≌△BAC，则∠BAD的对应角是__________．
16 如图1，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E，与BC交于点D，∠C = 28∘，∠BAD = 34∘，
则△ABC是__________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．17 如图2，在△ABC中，AB = AC，AD是△ABC的对称轴，点E是AD上的任一点，若△ABC的面积为12
2
cm ，则图中阴影部分的面积是__________．
18 如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P 、P ，连接P P 交OA于
2 1 1 2
N，交OB于M，P P = 15，则△PMN的周长为__________．
1 2
19 若△ABC的三边分别为a、b、c，且满足|a−5|+√2b−16 = 0．
（1）求第三边c的取值范围；（2）若第三边取值为整数，则符合要求的三角形有多少个？
20 如图，ΔABC中，∠A = 40∘，∠A < ∠B < 90∘，CD、CE分别是角平分线和高．若∠DCE = 10∘
，求∠ACB的度数．21 如图，∠B = ∠DEF，BE = CF，∠A = ∠D．求证：△ABC≌△DEF．
22 如图，在△ABC中，AB = CB，∠ABC = 90∘，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE = CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE = 30∘，求∠CFA的度数．
23 如图，请你画出与△ABC关于直线l成轴对称的图形△A ′ B ′ C ′ ，并回答问题：若∠A = 40∘，
∠C = 110∘，则∠B ′ = __________．（要求：不写画法，保留画图痕迹，写明结论的依据）
结论依据：_____________________________________________．
24 如图，在△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，交于点F，在直线AD上截AN = BC，在直线
CE上截取CM = AB，连接BM、BN、MN，判断BM和BN的数量和位置关系，并证明．25 已知将一个图形沿某条直线折叠，所得的图形与原图形是全等的．如图①，将长方形纸片ABCD沿
过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点A ′ 处，折痕为BE；再沿过点E的直线折叠，使点D落在
BE上的点D ′ 处，折痕为EF，如图②；再展平纸片，如图③，则图③中∠1 = __________．
26 △ABC中，∠A = x，△ABC的最大角比最小角大18∘，则x的取值范围是___________．
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第 8 讲 等腰三角形
例题练习题答案
例1 完成下列各题.
(1)若等腰三角形的两条边长分别是7和5，则第三条边的长是（ ）
A： 5
B： 7
C： 7或5D： 无法确定
(2)若等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为9cm，则它的周长为_________．
(3)若等腰三角形的周长是13，一条边长为5，另外两条边长为（ ）
A： 5，3
B： 4，4
C： 4，3
D： 4，4或5，3
练1.1 （1）若等腰三角形一个底角为80°，则它的顶角的度数为___________；
（2）若等腰三角形一个角为100°，则它的另外两个角为_____________；
（3）若等腰三角形一个角为80°，则它的另外两个角为______________．
例2 如图，在△ABC中，AC = BC，△ABC的外角∠ACE = 100∘，则∠A = ______度．
练2.1 如图所示，AB = AC，D，E分别是边BC和AC上的点，且AD = AE，若∠EDC = 30∘，则∠BAD =
（ ）
A： 50∘
B： 60∘
C： 70∘
D： 80∘例3 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40∘，则此等腰三角形的顶角度数为
_____．
练3.1 一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12和30两部分，则这个等腰三角形的腰长
为__________．
例4 如图，已知AD⊥BC于点D，AE⊥CE于点E，∠ACE = ∠B，AD = AE，求证：D是BC的中点．
练4.1 如图，已知AB = AC，AD⊥BC，垂足为点D，∠BAC = 100∘，BC = 8cm．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求BD的长度．
例5 如图所示，△ABC中，AB = AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD = AE，连接DE．求证：
DE⊥BC．
练5.1 如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，求证：
DE=DF．例6 在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A： ∠A = 30∘，∠B = 50∘
B： ∠A = 30∘，∠B = 60∘
C： ∠A = 40∘，∠B = 90∘
D： ∠A = 50∘，∠B = 80∘
练6.1 在△ABC中，其中两个内角如下，则不能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A： ∠A = 30∘，∠B = 120∘
B： ∠A = 30∘，∠B = 75∘
C： ∠A = 50∘，∠B = 65∘
D： ∠A = 50∘，∠B = 70∘
例7 如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36∘，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，则图中的
等腰三角形有（ ）
A： 5个
B： 4个
C： 3个D： 2个
练7.1 在 △ ABC中，∠ABC = 60∘，∠C = 45∘，AD是BC边上的高，∠ABC的角平分线BE交AD于点F，
则图中共有等腰三角形（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
例8 如图，已知△ABC中，BC边上有D，E两点，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4．求证：△ABC是等腰三角形．
练8.1 如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90∘，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点
F．求证：CE = CF．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 8 讲 等腰三角形
自我巩固答案1 若等腰三角形的周长为17，一边长为4，则另两边长为（ ）
A： 4，8
B： 6.5，6.5
C： 4，3
D： 4，8或6.5，6.5
2 若等腰三角形的两条边长分别是12和8，则第三条边的长是（ ）
A： 12
B： 8
C： 12或8
D： 无法确定
3 若等腰三角形一个角为112∘，则它的另外两个角为（ ）
A： 34∘，34∘
B： 112∘，34∘
C： 112∘，68∘
D： 68∘，34∘
4 如图，△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，垂足为点E，若∠CBE = 20∘，则
∠BAC的度数为（ ）
A： 20°
B： 30°C： 40°
D： 60°
5 如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，∠B = 40∘，则∠BAD = （ ）
A： 100∘
B： 80∘
C： 50∘
D： 40∘
6 如图，在△ABC中，AB = AC，过A点作AD∥BC，若∠BAD = 110∘，则∠BAC的大小为（ ）
A： 30°
B： 40°
C： 50°
D： 70°
7 如图，在等腰△ABC中，顶角∠A = 44∘，BD平分底角∠ABC交AC于点D，E是BC延长线上一点，
且CD = CE，则∠E的度数为（ ）A： 22∘
B： 44∘
C： 34∘
D： 68∘
8 已知，如图在等腰三角形ABC中，PE = 3，BC = 8，P为BC的中点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点
E，则PD = （ ）
A： 3
B： 4
C： 8
D： 7
9 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A： a = 3，b = 3，c = 4
B： a:b:c = 2:3:4
C： ∠B = 50∘，∠C = 80∘
D： ∠A:∠B:∠C = 1:1:2
10 如图，在△ABC中，∠A = 55∘，∠B = 70∘，则△ABC是什么三角形？能力强化 / 初二 / 暑假
第 8 讲 等腰三角形
课堂落实答案
1 若等腰三角形的两条边长分别是9和6，则第三条边的长是（ ）
A： 9
B： 6
C： 9或6
D： 无法确定
2 若等腰三角形的一个内角度数为62°，则它的另外两个内角的度数为______________．
3 如图，在△ABC中，点D在BC上，AB = AD = DC，∠B = 80∘，则∠C的度数为（ ）
A： ∘
30
B： ∘
40
C： ∘
45
D： ∘
60
4 如图，在△ABC中，AB = AC，D为BC中点，∠BAD = 35∘，则∠C的度数为（ ）A： 35°
B： 45°
C： 55°
D： 60°
5 把两个全等的含30°角的直角三角板，按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三角形有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
能力强化 / 初二 / 暑假
第 8 讲 等腰三角形
精选精练
1 如图，△ABC中，AB = AC，D在AC上，E在AB上，且AD = DE = EB，BD = BC，那么∠A =
__________．
2 如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP = PQ = QC = AP = AQ，求∠ABC的度数．3 如图，在△ABC中，AB = AC．
(1) 如图1，如果∠BAD = 30∘，AD是BC上的高，AD = AE，则∠EDC = __________．
(2)如图2，如果∠BAD = 40∘，AD是BC上的高，AD = AE，则∠EDC = __________．
(3)通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：__________．
(4)如图3，如果AD不是BC上的高，AD = AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明
理由．
4 已知：如图，在△ABC中，AB > AC，∠B = 45∘，点D是BC边上一点，且AD = AC，过点C作
CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
（1）若∠CAD = α，求：
①∠BCA的大小；
②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）
（2）求证：AC = FC．
5 如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，
△AMN的周长为12，求BC的长．6 如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF//BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B = 40∘，求∠AGC的度数．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 9 讲 特殊的等腰三角形与直角三角形
例题练习题答案
例1 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG = CD，DF = DE，则
∠E = _______°．
练1.1 如图，D是等边△ABC中AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE = DB，△ABC的周长是9，则
∠E = _______°，CE = _______．
例2 如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，点E在AC上，AE = AD，则∠EDC = _______．练2.1 如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD = AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求
∠E的度数．
例3 如图，点D在线段BC上， ∠B = ∠C = ∠ADE = 60∘，AB = DC．
求证：△ADE为等边三角形．
练3.1 如图，AB = AC，∠BAC = 120∘，AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
练3.2 如图，AC与BD相交于点O，若OA = OB，∠A = 60∘，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形．
例4 如图，△ABC中，∠ACB = 90∘，CD是△ABC的高，∠A = 30∘，AB = 4，求BD的长．A： √3
2
B： 2
C： √3
D： 1
练4.1 已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 120∘，D为BC中点，DE⊥AB于点E．求
1
证：AE = AB．
4
练4.2 如图，已知∠AOB = 60∘，点P在边OA上，OP = 24，点M、N在边OB上，PM = PN，若NM = 6，
则OM等于（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
例5 (1)如图，等腰直角三角形ABC中，AD为底边上的高，过D作DE⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，
若EF = 2，则BD = _____________．(2)如图，D，E，F分别为等腰直角三角形ABC三边上一点，∠EDF = 45∘，∠BED = 73∘，则
∠DFC = _____________．
练5.1 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90∘，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别
交AB、AC于点E、F．给出以下五个结论：
（1）AE = CF；
（2）∠APE = ∠CPF；
（3）三角形EPF是等腰直角三角形；
1
（4）S = S ；
四边形AEPF △ABC
2
（5）EF = AP．
其中正确的有_____个．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 9 讲 特殊的等腰三角形与直角三角形
自我巩固答案1 在三角形中，任何一个角的平分线都垂直于这个角所对的边，则此三角形是（ ）
A： 等腰三角形
B： 钝角三角形
C： 直角三角形
D： 等边三角形
2 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于
（ ）
A： 15°
B： 30°
C： 45°
D： 60°
3 如图，若△ABC是等边三角形，AB = 6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE = CD，则
BE = （ ）
A： 7
B： 8
C： 9
D： 104 如图， △ ABC为等边三角形，AD = AC，则∠BDC = （ ）
A： 110°
B： 120°
C： 150°
D： 165°
5 如图，在等腰△ACD中，AC = AD，B是CD中点，AB = BE，CE = BC．求证：△ACD是等边三角
形．
6 如图，若∠B = 30∘，∠C = 90∘，AC = 20m，则AB = （ ）
A： 25m
B： 30m
C： 20√3mD： 40m
7 如图，在等边三角形ABC中，AB = 2，点D为BC的中点，DE//AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，
交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有（ ）
A： 3条
B： 4条
C： 5条
D： 6条
8 已知：△ABC中，AB = AC，∠C = 30∘，AB⊥AE，DE⊥AC．
（1）求证：AE = EC；
（2）若DE = 2，求BC的长．
9 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE＝AF，
如果∠AED=62°，那么∠DBF＝（ ）
A： 62°
B： 38°
C： 28°
D： 26°10 如图，D、E、F分别为等腰直角△ABC三边上一点，∠EFD = 30∘，∠FDC = 50∘，则∠AFE =
（ ）
A： 45∘
B： 55∘
C： 65∘
D： 75∘
能力强化 / 初二 / 暑假
第 9 讲 特殊的等腰三角形与直角三角形
课堂落实答案
1 如图，△ABC中，∠B = 60∘，AB = AC，BC = 3，则△ABC的周长为（ ）
A： 9
B： 8
C： 6
D： 12
2 给出下面的几种三角形：①外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有一个角为
60°且一边上的高也是这边的中线的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A： 0个B： 1个
C： 2个
D： 3个
3 如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE = CD，连接DE，则∠CDE的度数
为（ ）
A： 15°
B： 30°
C： 45°
D： 60°
4 如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠ACB = 1:2:3，CD⊥AB于点D，若AB = 4，则DB的长为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB = 90∘，AC = BC，D为AB中点，DE⊥DF．写出图中所有全
等三角形，分别为_________________________________________．（用“≌”符号表示）能力强化 / 初二 / 暑假
第 9 讲 特殊的等腰三角形与直角三角形
精选精练
1 如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE = BD，连接CE、DE．求
证：EC = ED．
2 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE = BD，求证：
△ADE为等边三角形．
3 已知，如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE = CD，连接AD、BE交于
点P，作BQ⊥AD，垂足为Q，则下列说法正确的是（ ）A： BP = PQ
B： BP = 2PQ
C： AP = PE
D： AP = AB
4 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是
CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作
PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
(1) 当∠BQD = 30∘时，求AP的长；
(2)证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
(3)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理
由．
5 如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
已知∠AOB = 110∘．(1)求证：△COD是等边三角形；
(2) 当α = 150∘时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
6 已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD = CE；
（2）猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理
由．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 10 讲 整式乘法
例题练习题答案
例1 计算：
2 5
（1）a ⋅a = ________．
1 1
( )5 ( )2
（2） × = _______．
2 2
13 12
（3）(−5) ×(−5) = _______．2 6
（4）(x−y) ⋅(y−x) = ________．
练1.1 2 3 6 3
（1）m ⋅m 的结果是_______；a ⋅a 的结果是_______．
3 3 6 4
（2）(−2) ⋅(−2) 的结果是_______；(m−n) ⋅(m−n) 的结果是_______．
例2 计算：
( )2
3
（1） 8 ；
( )m
3
（2） a ；
[ ]3
2
（3） (−a) ；
[
3
]3
（4） (2x+y) ．
例3 计算：
3
（1）(2x) ；
3
（2）(−2x) ；
2
( )2
3
（3） xy ；
3
[ ]3
2
（4） −2(x+y) ．
例4 计算：
15 13
（1）3 ÷3 ；
14 2
（2）y ÷y ；
4 4
( )7 ( )4
（3） − ÷ − ；
3 3
5
（4）(−a) ÷(−a)；
(
2
)3 (
2
)2
（5） a ÷ −a ；
10n 2n
（6）a ÷a ．
例5 计算：3
( )
2
（1）(−12ab)⋅ a b ；
4
1
2 2
（2）xy ⋅ x yz；
2
1
( )
2
（3） a b ⋅(−2ab)．
4
练5.1 计算：
( )
2 2
（1） −2x y ⋅3xy ；
( ) ( )
2 2
（2） −3a b ⋅ −ab ；
3
（3）3a ⋅(−2a)．
例6 一个长方形工件的两边分别为4m2n和3mn2 （其中m，n均为正数），则它的面积是（ ）
A： 7m2n2
B： 6m2n2
C： 12m3n3
D： 6m3n3
练6.1 3 2
卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×10 米/秒，则卫星运行6×10 秒
所走的路程约为_______米．（结果用科学记数法表示）
例7 计算：
1
( )
2 2
（1）6ab 2a b− ab ；
3
1
2
（2） x y(2x+4y)；
2
( )
2 2
（3）2m n m +n−1 ；
2 3
( )
（4）− ab 9ab− a+6b ．
3 2练7.1 计算：
1
（1） x(x−2y+1)；
2
1
( )
2 4
（2）−6mn ⋅ −2+ mn ．
3
例8 计算：
（1）(3x+2)(2x−1)； （2）(2x−8y)(x−3y)；
( )
2
（3）(2m−n)(3m−4n)； （4）(x−1) x +x+1
练8.1 计算：
（1）(−7m+8n)(−8n−7m)； （2）(x+3y)(3y−x)．
例9 计算图中阴影部分的面积．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 10 讲 整式乘法
自我巩固答案
1 下面的计算不正确的是（ ）
A： 3 3 3
5a −a = 4aB： m n m+n
2 ⋅3 = 6
C： m n m+n
2 ⋅2 = 2
D： 2 ( 3 ) 5
−a ⋅ −a = a
2 5 6
(m−n) ⋅(m−n) 的结果是__________．
3 下列计算结果正确的是（ ）
A： 2 3 5
x +x = x
B： (
3
)3
6
x = x
C： 2 2
x⋅x = x
D： 2 3
x⋅(−2x) = 4x
4 4
(−2xy) 的计算结果是（ ）
A： 4 4
−2x y
B： 4 4
8x y
C： 4 4
16x y
D： 4
16xy
5 下列运算正确的是（ ）
A： 2 3 6
x ⋅x = x
B： 3 2
x ÷x = x
C： 6 3 2
x ÷x = x
D： (
3
)2
5
x = x
6 计算：
11 5
（1）−a ÷a ；3 2
（2）(y−x) ÷(x−y) ．
7 下列计算正确的是（ ）
A： ( 2 ) 3
6x ⋅(3xy) = 9x y
B： ( 2 ) 2 3
2ab ⋅(−3ab) = −a b
C： ( 2 ) 3 2
−3yx ⋅(−3xy) = 9x y
D： 2 ( 2 ) 3 3
(mn) ⋅ −m n = −m n
8 计算：
( )2 ( )3
2 2
（1） −2a b ⋅ −2a b ；
( )
2 2 3
（2）(−x) ⋅ 6x −2x⋅(−3x) ；
1
2
（3）− a ⋅(−9ab)；
3
3
( )
( )
n+2 3 n−1
（4） 4x y − x y ．
8
9 如图所示，长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB = 2a，BC = 3b，且E为AB边的中
1
点，CF = BC，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积．
3
10 9 5
( )( )
2 2
计算： − xyz +4yz 3x− y z ．
5 3
能力强化 / 初二 / 暑假第 10 讲 整式乘法
课堂落实答案
1 下列计算正确的是（ ）
A： 5 5 5
t ⋅t = 2t
B： 4 2 6
t +t = t
C： 3 4 12
t ⋅t = t
D： 2 3 5
t ⋅t = t
2 ( )3
n−1
计算 −x 等于（ ）
A： 3n−1
x
B： 3n−1
−x
C： 3n−3
x
D： 3n−3
−x
3 在下列计算中，正确的是（ ）
A： (
2
)3
6
ab = ab
B： 3 3 3
(3xy) = 9x y
C： (
2
)2
4
−2a = −4a
D： 2 2
(−2z) = 4z
4 6 4
计算x ÷(−x) 的结果等于__________．
5 2 ( 2 )
计算(−6ab) ⋅ 3a b 的结果是（ ）
A： 4 3
18a bB： 4 3
−36a b
C： 4 3
−108a b
D： 4 3
108a b
能力强化 / 初二 / 暑假
第 10 讲 整式乘法
精选精练
1 a b
已知a+b = 3，求7 ⋅7 的值．
2 12
下列计算结果是10 的是（ ）
A： (
2
)3
10
B： (
3
)7
10
C： (
2
)6
10
D： 2 6
10 ⋅10
3 y 2y
若3 = 5，则3 = __________．
4 计算：
1
( )100
100
（1） ×(−3) = ____．
3
2015 2016
（2）(−0.125) ×(8) = ____．
5 5x 3y 3
若5x−3y−1 = 0，则2 ÷2 ÷2 = ____________．
6 如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各有若干张，如果要拼一个长为(a+2b)，宽为
(a+b)的大长方形（不重叠无缝隙），求需要A，B，C类卡片各多少张？并请用这些卡片拼出符合条件的长方形（画出示意图，并标明卡片类型即可）．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 11 讲 乘法公式
例题练习题答案
例1 下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A： (2a+b)(2b−a)
B： 1 1
( )( )
x+1 − x−1
2 2
C： (3x−y)(−3x+y)
D： (−m−n)(−m+n)
例2 计算：
（1）(m+3n)(m−3n)； （2）(−x+5)(−x−5)．
练2.1 计算：
（1）(3x+4y)(3x−4y)； （2）(−4m+n)(−4m−n)．
例3 用平方差公式计算：
（1）(4+x)(x−4)；
1 1 1 1
( )( )
2 4 2 4
（2） x − y − x − y ．
3 5 3 5
练3.1 计算：
（1）(−1−2x)(2x−1)；1 1
( )( )
（2） 2x− − −2x ．
5 5
例4 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据甲、乙两个图形的面积关系能得到的数学
公式是____________________．
练4.1 乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_________（写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是
__________，面积是________________________（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式____________________（用式子表达）．
例5 计算：
2 2
（1）(a+2b) ； （2）(a−2b) ；
2 2
（3）(−x−y) ； （4）(−x+y) ．
练5.1 计算：
2 2
（1）( 3a+ b) ； （2）(x−2y) ；2 2
（3）(−3+2a) ； （4）(y−2x) ．
例6 图（1）是一个长为2a，宽为2b(a > b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四
块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
（ ）
A： ab
B： 2
(a−b)
C： 2
(a+b)
D： 2 2
a −b
练6.1 图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状
拼成一个正方形．
（1）图b中，大正方形的边长是________；阴影部分小正方形的边长是_______．
（2）观察图b，写出(m+n) 2 ，(m−n) 2 ，mn之间的一个等量关系，并说明理由．
练6.2 图（1）是边长为(a+b)的正方形，将图（1）中的阴影部分拼成图（2）的形状，由此能验证的式
子是（ ）A： 2 2
(a+b)(a−b) = a −b
B： 2 ( 2 2 )
(a+b) − a +b = 2ab
C： 2 2 2
(a−b) +2ab = a +b
D： 2 2
(a+b) −(a−b) = 4ab
能力强化 / 初二 / 暑假
第 11 讲 乘法公式
自我巩固答案
1 下列能用平方差公式计算的式子是（ ）
A： (a−b)(b−a)
B： (−x+1)(x−1)
C： (−a−1)(a+1)
D： (−x−y)(−x+y)
2 下列运用平方差公式计算错误的是（ ）
A： 2 2
(a+b)(a−b) = a −b
B： 2
(x+1)(x−1) = x −1
C： 2 2
(−a+b)(−a−b) = a −bD： 2
(2x+1)(2x−1) = 2x −1
3 下列计算中，正确的是（ ）
A： 2 2
(a−b)(a−b) = a −b
B： 2
(x+2)(x−2) = x −2
C： 2
(7x+1)(7x−1) = 7x −1
D： 2
(−3x+2)(−3x−2) = 9x −4
4 下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A： (x−y)(−y−x)
B： ( 2 2 )( 2 2 )
x −y x +y
C： (a+b−c)(−c−b+a)
D： (−x+y)(x−y)
5 计算：
（1）(4x+3)(4x−3) = ____________．
（2）(−x+5y)(5y+x) = ____________．
（3）(mn+p)(p−mn) = ____________．
1 1
( )( )
2 2
（4） 3x − +3x = ____________．
3 3
6 2 2
计算a −(b−1) 结果正确的是（ ）
A： 2 2
a −b −2b+1
B： 2 2
a −b −2b−1
C： 2 2
a −b +2b−1
D： 2 2
a −b +2b+1
7 计算：2
（1）(4a+3b) ；
2
（2）(−5+3a) ；
2
（3）(2x+4y) ．
8 计算:
2
（1）(2a+3b) ；
1
( )2
（2） 2x+ y ．
5
2
（3）(3m−5n) ；
1 1
( )2
（4） x− y ．
2 3
9 2
化简：4(a−b) −(2a+b)(−b+2a)．
10 小明同学用四张长为x、宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图（任意两张相
邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
求：（1）图中小正方形的边长．
（2）通过计算小正方形面积，可推出(x+y) 2 ，xy，(x−y) 2 三者之间的等量关系式为
______________．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 11 讲 乘法公式
课堂落实答案
1 下列式子可利用平方差公式计算的是（ ）A： (a−3b)(−a+3b)
B： (−4b−3a)(−3a+4b)
C： (a+b)(−a−b)
D： (a−2b)(a+3b)
2 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．
根据图形能验证的等式为（ ）
A： 2 2 2
a −b = (a−b)
B： 2 2
a −b = (a+b)(a−b)
C： 2 2 2
(a−b) = a −2ab+b
D： 2 2 2
(a+b) = a +2ab+b
3 下列选项中，利用平方差公式变形错误的是（ ）
A： 2
(2x+4)(2x−4) = 4x −16
B： ( 2 )( 2 ) 4 2 2
ab+c c −ab = c −a b
C： 2
(2a−6)(2a+6) = 2a −36
D： ( 2 )( 2 ) 4
4x −5 5+4x = 16x −25
4 1
( )2
计算： y− = （ ）
2
A： 1
2
y −y+
4B： 1
2
y +y+
4
C： y 1
2
y − +
2 4
D： y 1
2
y + +
2 4
5 如图，将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写
出一个代数恒等式是（ ）
A： 2 2 2
a +2ab+b = (a+b)
B： 2 2 2
a −2ab+b = (a−b)
C： 2 2
4ab = (a+b) −(a−b)
D： 2 2
(a+b)(a−b) = a −b
能力强化 / 初二 / 暑假
第 11 讲 乘法公式
精选精练
1 如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1中的阴影部分拼成一个如图2的
长方形，比较图1与图2中的阴影部分的面积，你能得到的公式是___________________．2 2 2
( )( )
计算： − m+n − m−n = ____________．
3 3
3 计算：(x−y+9)(x+y−9) = ____________．
4 计算：
2
（1）(3x+9) ；
2
（2）(3x−2y) ；
2
（3）(−xyz−2) ；
2
（4）(3x+2y+4) ．
5 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到
2 2 2
(m+n) = m +2mn+n ，请解答下列问题：
写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________．
6 现有足够多的正方形和长方形的卡片，如图1所示，请运用拼图的方法，选取相应种类和数量的卡
片，按要求回答下列问题．
（1）根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：__________________________；
（2）若要拼成一个长为2a+3b，宽为3a+b的长方形，则需要甲卡片_____张，乙卡片_____张，丙
卡片_____张．能力强化 / 初二 / 暑假
第 12 讲 因式分解
例题练习题答案
例1 (1)判断下列由左到右的变形是不是因式分解．
2
①(x+1)(x−2) = x −x−2 （ ）
( )
2 6 3 3
②−8a b = 2ab ⋅ −4ab （ ）
3 2 2
③4x −16x = 4x (x−4) （ ）
1
( )
2 2
④2x +2x = 2x 1+ （ ）
x
(2) 若x 2 +px+q = (x+3)(x−5)，则p，q的值分别为（ ）
A： 15，2
B： −2，−15
C： 15，−2
D： 2，−15
练1.1 (1)下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A： 2(a−b) = 2a−2b
B： 2
m −1 = (m+1)(m−1)
C： 2
x −2x+1 = x(x−2)+1
D： ( 2 )
a(a−b)(b+1) = a −ab (b+1)
(2) 2
如果多项式mx −nx−2能因式分解为(3x+2)(x+p)，那么下列结论正确的是（ ）
A： m = 6
B： n = 1
C： p = −2
D： mnp = 3
例2 (1) 3 2 2 2 3
多项式15m n +5m n−20m n 的公因式是（ ）
A： 5mn
B： 2 2
5m n
C： 2
5m n
D： 2
5mn
(2) 3 2 2 2
将多项式−6a b −3a b 因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A： 2 2
−3a b
B： −3ab
C： 2
−3a b
D： 3 3
−3a b
练2.1 (1) 2
多项式xy(x−y)与y(x−y) 的公因式是________．
(2)将3x(a−b)−9y(b−a)因式分解，应提的公因式是（ ）A： 3x−9y
B： 3x+9y
C： a−b
D： 3(a−b)
例3 分解因式：
2 2
（1）12x y−15xy ；（2）6x(x−2)+3(x−2)．
练3.1 分解因式：
1
2
（1） m a+ma；（2）(x+2)x−x−2．
5
例4 分解因式：
2 2
（1）−x +4y = ___________________．
2
（2）64−a = ________________．
2
（3）9m −1 = ___________________．
2
（4）9x −4 = ___________________．
练4.1 分解因式：
1
2
（1）4− x ；
9
16 1
2 2
（2） x − y ．
25 4
例5 2
因式分解(a−1) −9的结果是（ ）
A： (a+2)(a−4)
B： (a+8)(a+1)
C： (a−2)(a+4)
D： (a+2)(a−10)练5.1 (1) 2 2
分解因式(2x+2) −x 的结果是（ ）
A： ( 2 )
2 x +4x+3
B： ( 2 )
2 x +2x+3
C： (2x+3)(x+1)
D： (3x+2)(x+2)
(2) 2 2
将(x+2y) −(x−2y) 分解因式的结果是（ ）
A： 2
−8x
B： −8x(x−2y)
C： 16(x+y)
D： 8xy
例6 分解因式：
2 4 2
（1）2ax −2ay （2）(a+b)−a (a+b)
练6.1 分解因式：
4 4 4
（1）16−a ；（2）a −b ．
例7 分解因式：
2 2 2 2
（1）a −2ab+b （2）a b −6ab+9
2
（3）1+2(2x−3y)+(2x−3y)
练7.1 用完全平方公式分解因式：
2 2 2
（1）x +2xy+y （2）m −10m+25
2
（3）4(x+y) +25−20(x+y)
例8 因式分解：
(1) 2
2x −4x+2(2)( )2
2 2
x +4 −16x
练8.1 (1) 2 2
分解因式：9x (a−b)+y (b−a)．
(2) 3 2 2 3
若a+b = 4，ab = −6，求代数式a b+2a b +ab 的值．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 12 讲 因式分解
自我巩固答案
1 下列各式从左到右，不是因式分解的是（ ）
A： 2
x +xy+1 = x(x+y)+1
B： 2 2
a −b = (a+b)(a−b)
C： 2 2 2
x −4xy+4y = (x−2y)
D： ma+mb+mc = m(a+b+c)
2 把多项式(m+1)(m−1)+(m−1)提取公因式(m−1)后，余下的部分是（ ）
A： m+1
B： 2m
C： 2
D： m+2
3 5m(a−b)−10n(b−a)的公因式是（ ）
A： 5(a−b)
B： m+n
C： 5(a+b)D： 5m−10n
4 2
分解因式(x+1) −16的结果是（ ）
A： (x+5)(x+3)
B： (x+5)(x−3)
C： (x−5)(x+3)
D： (x−5)(x−3)
5 3 2
将多项式x −xy 分解因式，结果正确的是( )
A： 2 2
x(x −y )
B： 2
x(x−y)
C： 2
x(x+y)
D： x(x+y)(x−y)
6 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x 4 −(cid:0) = ( x 2 +4 ) (x+2)(x−▴)中的两个数字弄污了，则式
子中的(cid:0)，▴对应的一组数字可以是（ ）
A： 8，1
B： 16，2
C： 24，3
D： 64，8
7 2 2
把4x −20xy+25y 进行因式分解，结果为（ ）
A： 2
(x−5y)
B： 2
(2x−5y)
C： 2
(3x−5y)
D： 2
(4x−5y)8 3 2
把8a −8a +2a进行因式分解，结果正确的是（ ）
A： ( 2 )
2a 4a +4a+1
B： 2
8a (a−1)
C： 2
2a(2a−1)
D： 2
2a(2a+1)
9 分解因式：
( )
2 2 2 2
（1）(2m−n) −169(m+n) ； （2）8 x −2y −x(7x+y)+xy．
10 分解因式：
2 2 2
（1）3ax −6axy+3ay ； （2）−4abx +4abx−ab.
能力强化 / 初二 / 暑假
第 12 讲 因式分解
课堂落实答案
1 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A： ax−bx = x(a−b)
B： 1 1 1
( )( )
2
x − = x+ x−
2 x x
x
C： x+4x+4 = (x+2)
D： ax+bx+c = x(a+b)+c
2 把多项式(1+x)(1−x)−(x−1)提取公因式(1−x)后，余下的因式是（ ）
A： x+1
B： x+2C： −(x+1)
D： x
3 因式分解(a+b)(a+b−1)−a−b+1的结果为____________．
4 因式分解：
2 2 2 2
（1）2am −2an ； （2）(m+n) −4(m−n) ．
5 2 2
因式分解：a −10ab+25b ．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 12 讲 因式分解
精选精练
1 判断下列由左到右的变形是不是因式分解．
2
（1）(x+1)(x−3) = x −2x−3 （ ）
( )
2 6 3 3
（2）−15a b = 3ab ⋅ −5ab （ ）
2 2
（3）9y −16x = (3y+4x)(3y−4x) （ ）
2
（4）6x −12x−5 = 6x(x−2)−5 （ ）
1
( )
2 2
（5）x y +xy−x = xy xy+1− （ ）
y
2 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
2 2 3
1+x+x(x+1)+x(x+1) = (1+x)[1+x+x(x+1)] = (1+x) (1+x) = (1+x)
（1）上述分解因式的方法是________，共应用了_______次．
2 2014
（2）若分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1) +…+x(x+1) ，则需应用上述方法_________次．
2 n
（3）分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1) +…+x(x+1) （n为正整数）的结果是________．
3 因式分解：
2
（1）3a(x−y)−5b(y−x)； （2）10a(x−y) +5ax(y−x)；3 2 2 2
（3）(x−y) −(y−x) ； （4）5a(a−2b) −10b(2b−a) ．
4 2 2
分解因式：9(a−b) −(a+b) = ___________．
5 ( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )
利用因式分解计算： 1− 1− 1− ⋯ 1− 1− ⋯ 1− ．
2 2 2 2 2 2
2 3 4 9 10 n
6 2 2
因式分解：x −2xy+y +4(x−y)+4．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 13 讲 分式的概念与性质
例题练习题答案
例1 (1) a+1
2
2 1 x +1 3xy 3 1 2
在 ， ， ， ， ，a+ ， 中，属于分式的有（ ）
n 5 2 π x+y m x
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
(2) 2+x
若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
2
x −4
A： x ≠ 2
B： x ≠ ±2
C： x ≠ −2D： x ≥ −2
(3) 2
x −4
在分式 中，当x = _______时，分式没有意义．
(2−x)(x+1)
练1.1 (1)下列代数式中，属于分式的是___________（填序号）；
2 2
x 2 1 5 x −1 m −1 3m+2
2 2
①−3x；② ；③ x y−7xy ；④− x；⑤ ；⑥ ；⑦− ；⑧ ．
y 3 8 y+3 x−1 π 0.5
(2) x−2
要使分式 有意义，x的取值应该满足（ ）
(x+1)(x−2)
A： x ≠ −1
B： x ≠ 2
C： x ≠ −1或x ≠ 2
D： x ≠ −1且x ≠ 2
(3) x
若分式 无意义，则x的值是（ ）
|x|−1
A： 0
B： 1
C： −1
D： ±1
例2 (1) 2
x −1
分式 的值为零，则x的值为（ ）
x+1
A： −1
B： 0
C： ±1D： 1
(2) |x|−3
如果分式 的值为1，则x的取值范围是（ ）
x−3
A： x ≥ 0
B： x > 3
C： x ≠ 3
D： x ≥ 0且x ≠ 3
(3) 2x+1
若分式 的值为正，则x的取值范围是（ ）
2
x +3
A： 1
x >
2
B： 1
x > −
2
C： x ≠ 0
D： 1
x > − 且x ≠ 0
2
(4) x
分式 的值为负数时，x的取值范围是（ ）
x−1
A： x > 0或x > 1
B： x < 0且x > 1
C： x > 1或x < 0
D： 0 < x < 1
(5) 6
若分式 的值是正整数，则m可取的整数有（ ）
m−2A： 4个
B： 5个
C： 6个
D： 10个
练2.1 (1)当x = 2时，下列分式的值为0的是（ ）
A： x−2
2
x −4
B： x+2
x
C： x−2
x−3
D： x
x−2
(2) |a|−1
整数a为（ ）时， 的值是−1．
a+1
A： 任意整数
B： 任意负整数
C： 任意不等于−1的负整数
D： 不等于−1的非正整数
(3) 2
2x
若分式− 的值为正数，则x的取值范围是（ ）
3x−1
A： 1
x <
3
B： x > 0C： 1
0 < x <
3
D： 1
x < 且x ≠ 0
3
(4) 1−b
若分式 的值为负数，则b应满足（ ）
2
2b +1
A： b < 0
B： b ≥ 1
C： b < 1
D： b > 1
(5) 4x+7
能使分式 的值为整数的整数x有（ ）个．
2x−3
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例3 (1)下列各式中，正确的是（ ）
A： −3x 3x
− =
5y −5y
B： a+b −a+b
− =
c c
C： −a−b a−b
=
c −cD： a a
− =
b−a a−b
(2) 1 2
x− y
2 3
不改变分式 的值，将分子和分母中各项的系数化为整数，得到_______；
1 1
x+ y
3 4
(3) x+y
将分式 中x、y的值均变为原来的2倍，则分式的值（ ）
2 2
x +y
A： 1
缩小为原来的
2
B： 扩大为原来的2倍
C： 不变
D： 不能确定
练3.1 (1)下列各式中变形不正确的是（ ）
A： 2 2
= −
−3x 3x
B： −a a
=
−6b 6b
C： 3x 3x
= −
−4y 4y
D： 5n −5n
− =
3m −3m(2) 0.2x−1
不改变分式 的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，则所得结果为
0.4x+3
（ ）
A： 2x−1
4x+3
B： x−5
2x+15
C： 2x−1
4x+30
D： 2x−10
x+3
(3) 2x−3y
如果把分式 中的x和y都缩小为原来的一半，则分式的值（ ）
12xy
A： 1
缩小为原来的
4
B： 1
缩小为原来的
2
C： 不变
D： 扩大到原来的2倍
例4 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A： 0.3a+b 3a+b
=
a+0.4b a+4b
B： 2
a −4 a+2
=
2 a−2
(a−2)C： −a+b a+b
= −
c c
D： a ac
=
2b 2bc
练4.1 下列各式从左到右的变形正确的是( )
A： 2 2
a −0.2a a −2a
=
2 3 2 3
a −0.3a a −3a
B： x+1 x−1
− =
x−y x−y
C： 6a+1
= 2a+1
3
D： x−y y−x
=
1−x x−1
例5 把下列分式化简为最简分式：
3 4 3
ab c −35a b c
（1） ； （2） ；
2 2 4
abc 21a b d
2
a+b+c x −4
（3） ；（4） ．
ma+mb+mc 2
2x +8x+8
练5.1 约分：
3 5 2
12a b c 4m (m−1)
（1） ； （2） ；
2 10 6mn(1−m)
18a b c
4 2 3 3 3 3
−12x y −4x y a b
（3） ； （4） ；
5 6 3 8 2
27x y −3x y a b+ab2 2
a −4a+4 x −2x+1
（5） ； （6） ．
4−a 2 (x 2 +1) 2 −4x 2
能力强化 / 初二 / 暑假
第 13 讲 分式的概念与性质
自我巩固答案
1 2 3
1 2xy 3a b 5 x y 10
在式子 、 、 、 、 + 、9x+ 中，属于分式的有（ ）
y π 4 6+x 7 8 y
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
2 下列判断错误的是（ ）
A： a+3
当a = −3时，分式 有意义
2
a −9
B： 2
当a ≠ 0时，分式 有意义
a
C： 1 2a+1
当a = − 时，分式 的值为0
2 a
D： 2a−1
当a = 1时，分式 的值为1
a
3 2
x −9
若分式 的值为0，则x的值为（ ）
(x−1)(x−3)A： 3
B： 3或−3
C： −3
D： 0
4 |x−2|
如果 = −1，则x的取值范围是（ ）
x−2
A： x > 2
B： x ≤ 2
C： x ≥ 2
D： x < 2
5 2
3x y
如果把分式 中x和y的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
x+y
A： 扩大为原来的2倍
B： 1
缩小为原来的
2
C： 1
缩小为原来的
4
D： 扩大为原来的4倍
6 下列式子中，错误的是（ ）
A： −n+m n−m
= −
m m
B： 0.5+b 5+10b
=
0.2a−0.3b 2a−3bC： y y+1
=
x x+1
D： 2
y (a +1)y
=
x 2
(a +1)x
7 下列各式错误的有( )
−a−b a+b −a−b a+b −a−b a+b −a−b −a−b
① = − ；② = ；③ = ；④ = −
c−d −c+d c+d c+d c−d −c−d c−d c+d
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
8 2 2
x −y
化简 的结果为（ ）
2
x +xy
A： y
−
x
B： −y
C： x+y
x
D： x−y
x
9 约分：
2 3 2
12x y (x−a) x(x+y)
（1） ； （2） ； （3） ．
3 2 3 2
−9x y (x−a) (x+y)
10 约分：(1) 2a(a−1)
；
2
8ab (1−a)
(2) 2 2
a −4ab+4b
．
2 2
a −4b
能力强化 / 初二 / 暑假
第 13 讲 分式的概念与性质
课堂落实答案
1 1
如果分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
x+1
A： x ≠ −1
B： x > −1
C： 全体实数
D： x = −1
2 当x = 1时，下列分式中值为0的是（ ）
A： 1
x−1
B： 2x−2
x−2
C： x−3
x+1
D： |x| −1
x−13 下列各式中，变形正确的是（ ）
A： 2
a a
=
ab b
B： 2
a a
=
b 2
b
C： a a+1
=
b b+1
D： 2 2
x +y
= x+y
x+y
4 2
a +3a
化简 的结果是（ ）
a+3
A： −3
B： 3
C： −a
D： a
5 2
m −3m
化简 的结果是（ ）
2
9−m
A： m
m+3
B： m
−
m+3
C： m
m−3D： m
3−m
能力强化 / 初二 / 暑假
第 13 讲 分式的概念与性质
精选精练
1 下列判断错误的是( )
A： 2 x+1
当x ≠ 时，分式 有意义
3 3x−2
B： ab
当a ≠ b时，分式 有意义
2 2
a −b
C： 1 2x+1
当x = − 时，分式 的值为0
2 4x
D： 2 2
x −y
当x ≠ y时，分式 有意义
y−x
2 |x|−1
若分式 的值为0，则x等于（ ）
(x+3)(x−1)
A： 1
B： 1或−3
C： −1或1
D： −1
3 2x−1
若分式 的值是正整数，则整数x的值为________．
x−24 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数，并且结果为最简分式：
(1) 1 1
x− y
3 5
；
1
2x+ y
6
(2) 1
0.2x− y
2
；
1 1
x+
3 4
(3) 0.8x−0.78y
；
0.5x+0.4y
(4) a
−0.4b
2
．
3
0.6a+ b
4
5 下列分式中，不能再约分的分式有（ ）
2 2 2 2
12x y x−y x +y y−2x a −2a+1
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
3c 2 2 2(x+y) 2x−y 2
x −y 1−a
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
6 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐
分式”．2 2
x−1 a−2b x+y a −b
（1）下列分式：① ；② ；③ ；④ ．其中是“和谐分式”的是
2 2 2 2 2 2
x −1 a −b x −y (a+b)
_______（填写序号即可）；
x−1
（2）若a为正整数，且 为“和谐分式”，请写出a的值．
2
x +ax+4
能力强化 / 初二 / 暑假
第 14 讲 分式计算
例题练习题答案
例1 计算：
4x y
（1） ⋅ ；
3y 3
2x
3 2 2
ab 5a b
（2） ÷ ．
2 4cd
2c
例2 计算：
a+2 1
（1） ⋅ ；
a−2 2
a +2a
2
a−1 a −1
（2） ÷ ．
2 2
a −4a+4 a −4
练2.1 计算：
2 2
a+2 a −4a+4 x−1 x −2x+1
（1） ⋅ ； （2） ÷ ．
2 a+2 x−2 2
a −2a x −4
例3 计算：2 2 2
ab (−3a b ) −3
( )
（1） ÷ ⋅ ；
2 4cd 2d
2c
2x 3 x
（2） ÷ ⋅ ．
5x−3 2 5x+3
25x −9
练3.1 3 2 3 2
x −3x x −9x x −4x+4
计算： ÷ ⋅ ．
(x−2)(x−3) 2 2x
x +6x+9
例4 通分：
(1) 2
c a
与− ；
2 4 3
a b bc
(2) 1 x
与 ．
2 4−2x
x −4
练4.1 y x
通分： 与 ．
4a(x+2) 2
6(x +4x+4)
例5 计算：
2 2
2a +3 −a −4
（1） + ；
a+1 a+1
2 2
a b 2ab
（2） − + ．
2 2 2 2 2 2
a −b b −a a −b
练5.1 计算：
2 2
(a+b) (a−b)
（1） + ；
2ab 2ab
b 2a+c b−c
（2） + + ．
a−b+c b−a−c a+c−b例6 计算：
2
2b
（1）a−b+ ；
a+b
1 6 x+1
（2） − − ．
x−5 2 10+2x
x −25
练6.1 4x x
计算： − ．
2 x−2
x −4
能力强化 / 初二 / 暑假
第 14 讲 分式计算
课堂落实答案
1 2
2b a
计算 ⋅ 的结果为（ ）
a 2
4b c
A： a
2bc
B： a
bc
C： 2
a
2bc
D： a
2
2b
2 2
a −9 a−3
化简 ÷ 的结果为_____．
2a−4 2−a3 x+1 1
化简 − 的结果为__________．
x x
4 1 1
计算 + 的正确结果是（ ）
x+1 1−x
A： 0
B： 2x
2
1−x
C： 2
2
1−x
D： 2
2
x −1
5 4
计算 +1的结果为（ ）
x−5
A： x+1
x−5
B： x−1
x−5
C： 5
x−5
D： 4
x−4
能力强化 / 初二 / 暑假第 14 讲 分式计算
自我巩固答案
1 2
2x+2y 10ab
化简 ⋅ 的结果是（ ）
2 2 2
5a b x −y
A： 4b
x−y
B： 4b
a(x−y)
C： 4b
a(x+y)
D： 4a
b(x−y)
2 a+1 a+1
化简 ÷ 的结果是（ ）
2 2
a −a a −2a+1
A： a+1
a
B： a
a−1
C： 1
a−1
D： a−1
a
3 下列计算错误的是（ ）A： 3y x 1
⋅ =
2 3y x
x
B： 1
( )
2 2
a −b ⋅ = a−b
a+b
C： 2 1 2
÷ =
2 x−1 x+1
x −1
D： 3b
2
− ÷2ab = −6b
a
4 计算：
2x−6 (x+3)(x−2)
（1） ⋅ ÷(x+3)；
2 12−4x
4−4x+x
2 2 2
x −y 2(x−y)
（2） ÷ ．
xy 2
xy−y
5 y x 1
对分式 ， ， 通分时，最简公分母为（ ）
2x 2 4xy
3y
A： 2 3
24x y
B： 2 2
12x y
C： 24xy
D： 2
12xy
6 x−2 x+2
化简 − 的结果是（ ）
x+2 x−2
A： −8x
2
x −4B： −8x
2
x +4
C： 8x
2
x −4
D： 2
2x +8
2
x −4
7 a 4
化简 − 的结果是（ ）
a−2 2
a −2a
A： a+2
B： a
a+2
C： a
D： a+2
a
8 下列运算正确的是（ ）
A： a b a+b
+ =
m m 2m
B： a a
− = 0
x−y y−x
C： 1 2
1+ =
a a
D： x y
+ = 1
x+y x+y9 2x 1
计算 + 的结果为（ ）
2 3−x
x −9
A： 1
x−3
B： 1
x+3
C： 1
3−x
D： 3x+3
2
x −9
10 计算：
2
1 1−x
( )
（1） −1 + ；
x+2 x+2
2
x
（2） −x+1．
x+1
能力强化 / 初二 / 暑假
第 14 讲 分式计算
精选精练
1 1 1
( )
化简 − ÷ 的结果是（ ）
x 2
x +x
A： −x−1
B： −x+1C： 1
−
x+1
D： 1
x+1
2 2 2
x −y x+5y
计算： ⋅ ．
2 2 2 2
x +10xy+25y x −2xy+y
3 1 1
若 +M = ，则M为（ ）
1−x x−1
A： 0
B： 2
1−x
C： −2x
（1−x）（x−1）
D： 2
x−1
4 1 6 x−1
计算： + − ．
x−3 2 6+2x
9−x
5 a b 1 1
已知a、b为实数且满足a ≠ −1，b ≠ −1，设M = + ，N = + ，则下列两个
a+1 b+1 a+1 b+1
结论（ ）
①ab = 1时，M = N，ab > 1时，M > N；ab < 1时，M < N；
②若a+b = 0，则M⋅N ≤ 0．
A： ①②都对
B： ①对②错C： ①错②对
D： ①②都错
6 1 1 2 4
计算： + + + ．
1−x 1+x 2 4
1+x 1+x
能力强化 / 初二 / 暑假
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 下列图案是轴对称图形的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角的度数是（ ）
A： 40°
B： 70°
C： 40°或70°
D： 以上都不对
3 等腰三角形两边长分别为3cm和7cm，则这个三角形的周长是（ ）
A： 13cm
B： 17cmC： 13cm或17cm
D： 以上都不对
4 下列计算结果正确的是（ ）
A： 3 5 15
a ⋅a = a
B： 2 2
(2a−3) = 4a −9
C： 8 2 4
a ÷a = a
D： (
2
)3
3 6
−2ab = −8a b
5 2 2
下列运算结果是x −25y 的是（ ）
A： 2
(x+5y)
B： (x+5y)(5y−x)
C： (x+5y)(x−5y)
D： (x−5y)(5y−x)
6 下列计算正确的是（ ）
A： 2
(2x+1)(2x−1) = 4x −1
B： 2
(x+3)(x−3) = x −3
C： 2 2
(x−6) = x −36
D： 2 2
(2x+3) = 4x +6x+9
7 下列各式属于正确的因式分解的是（ ）
A： 1 1
2 2 2
a +a+ = a +2a+1 = (a+1)
2 2
B： 2
4x +16x+1 = 4x(x+4)+1
C： 2 3 ( 2) 2
a−2a +a = a 1−2a+a = a(a−1)D： 3 ( 2 )
x −x = x x −1
8 2 2
下列各式中与2ab−a −b 相等的是（ ）
A： 2
−(a−b)
B： 2
−(a+b)
C： 2
(−a−b)
D： 2
(−a+b)
9 当x为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A： x+1
|x|
B： x+1
2
x
C： x+1
2
x +1
D： x+1
2
x −1
10 如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，连接AF，那么
下列结论正确的是（ ）
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；
1
②∠BFC = 90∘ + ∠BAC；
2
③△ADE的周长为AB+AC；④AF平分∠BAC．
A： ①③④
B： ①②③④
C： ①②
D： ②③④
11 2 6
计算：a ⋅a = __________．
12 n n n
若x = 5，y = 3，则(xy) = __________．
13 (2x+3)(3−2x) = __________．
14 ( 2 )( 4 )( 8 )
计算：(2−1)(2+1) 2 +1 2 +1 2 +1 +1 = __________．
15 若(2x−3y) 2 = 4x 2 +kxy+9y 2 ，则k的值是__________．
16 3 2
将x −xy 分解因式的结果为_________________________．
17 2 2
a −b
分式a+b− 的化简结果为__________．
a−b
18 在平面直角坐标系中，点A(0,4)、B(2,0)，请你在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则
符合条件的点P共有__________个．
19 计算：
2 ( 3 )3
（1）3xy ⋅ −2x y ；
（2）a(3a−2b)；
（3）(2x+1)(x−2)；
2
（4）(5−3x) ．
20 因式分解：
2 2
（1）a(a−b) −b(a−b) ；2
（2）x −4x+4；
2
（3）x y−2xy+y；
( )
2
（4）ab−bc+ c −ac ．
21 ( 2 ) 2
先化简，再求值： x +3x (x−3)−x(x−2) ，其中x = −1．
22 2 2 2 2
已知(x+y) = 5，(x−y) = 1，求x +y 和xy的值．
23 2
x −25
已知分式 ．
(|x|−3)(x+5)
（1）当x取何值时，分式无意义？（2）当x取何值时，分式值为0？
24 如图，C是AE上一点，∠B = ∠DAE，BC∥DE，BC = AE．求证：AB = AD．
25 如图，在△ABC中，高AD、BE交于H点，若BH = AC．
（1）求证：DC = DH；（2）求∠ABC的度数．
26 △ABC中，AB = AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B 的度数为____________．
27 2 2 2 2
已知三项的完全平方公式是(x+y+z) = x +y +z +2xy+2yz+2zx，利用该公式解决下面问
2 2 2 2 2 2 2 2 2
题：已知a+b+c = 0，a +b +c = 1，则ab+bc+ca = ___________；a b +b c +c a =
__________．
