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能力强化 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
例题练习题答案
例1 (1)如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是（ ）
A： 6 < l < 15
B： 6 < l < 16
C： 11 < l < 13
D： 10 < l < 16
(2)已知等腰三角形的两边长分别为6cm和8cm，则它的第三边长度为____________．
练1.1 已知a，b，c为△ABC的三边长，化简|a−b−c|−|b−c−a|+|a+b−c|．
例2 如图，已知∠ACF = 115∘，∠ADE = 50∘，∠B = 35∘，求∠F与∠CED的度数．
练2.1 如 图 ， ∠A = 65∘ ， ∠ABD = 30∘ ， ∠ACB = 72∘ ， 且 CE 平 分 ∠ACB ， 则 ∠BEC =
_____________°．
例3 (1) 如图，已知∠1 = 35∘，∠2 = 76∘，∠3 = 65∘，则∠4的度数是__________∘．(2) 如图，∠1 = 112∘，∠2 = 136∘，则∠A = __________∘．
练3.1 (1) 如图，∠B = 65∘，∠C = 70∘，∠AED = 80∘，则∠ADE = （ ）
A： 40∘
B： 45∘
C： 50∘
D： 55∘
(2) 如图，已知∠1 = 48∘，∠2 = 56∘，则∠3+∠4的度数是_____________°．
例4 (1) 如图，∠A = 70∘，∠D = 40∘，∠C = 60∘，则∠B = （ ）A： 10∘
B： 20∘
C： 40∘
D： 30∘
(2)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小为____________°．
练4.1 如图，∠3 = 20∘,∠4 = 30∘,则∠1−∠2 = ( ).
A： 5∘
B： 10∘
C： 15∘
D： 20∘
练4.2 如图，已知∠α = 106∘，∠β = 80∘，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为（ ）度.
A： 160
B： 180
C： 186
D： 196例5 (1)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E = ______．
(2) 如图，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠A = 50∘，∠DBE = 150∘，则∠C 的大小为
______．
练5.1 (1)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（ ）
A： 90°
B： 180°
C： 360°
D： 270°
(2) 如图，BF是∠ABD的角平分线，CE是∠ACD的角平分线，BF与CE交于G，若∠BDC = 140∘
，∠BGC = 110∘，求∠A的度数．
例6 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B = 72∘，∠DAE = 16∘，则∠C = ________°练6.1 如图，△ABC 中，∠A = 40∘，∠B = 72∘，CE 平分∠ACB ，CD⊥AB 于D ，DF⊥CE ，则
∠CDF=_______°
能力强化 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
自我巩固答案
1 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A： 7cm
B： 9cm
C： 12cm或者9cm
D： 12cm
2 若三角形两边长为8和12，则第三边x的范围是（ ）
A： x > 4
B： x < 20
C： 16 < x < 24
D： 4 < x < 20
3 一个三角形的周长为奇数，其中的两边长为4和2013，满足条件的三角形有 个．4 如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A = 25∘，则∠D的度数为（ ）
A： 35∘
B： 25∘
C： 15∘
D： 45∘
5 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）
A： 180∘
B： 270∘
C： 360∘
D： 540∘
6 如图，点O是 △ ABC内一点，∠A = 80∘，∠1 = 15∘，∠2 = 40∘，则∠BOC等于（ ）
A： 95°
B： 120°
C： 135°
D： 无法确定7 如图， △ ABC中，∠A = 40∘，若沿图中虚线截去∠A，则∠CDE+∠DEB = （ ）
A： 140°
B： 220°
C： 280°
D： 360°
8 如图，在 △ ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B = 70∘，∠DAE = 10∘，求∠C的度数．
9 如图，BE⊥AC，CF⊥AB，BE与CF交于点G，若∠A = 75∘，则∠BGC的度数为_____________．
10 已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点
B、C．
（1）∠DBC+∠DCB = ______∘；
（2）过点A作直线MN//DE，若∠ACD = 20∘，试求∠CAM的大小．能力强化 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
课堂落实答案
1 下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（ ）
A： 1，1，2
B： 2，2，5
C： 3，3，5
D： 3，4，5
2 已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为（ ）
A： 2
B： 3
C： 5
D： 13
3 已知：如图，∠A = 32∘，∠B = 45∘，∠C = 38∘，则∠DFE等于（ ）
A： 120∘
B： 115∘
C： 110∘
D： 105∘4 如图，在△ABC中，∠C = 50 ∘ ，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（ ）
A： ∘
230
B： ∘
210
C： ∘
130
D： ∘
310
5 如图,在 △ ABC中,AD是角平分线,AE是高,已知∠ABC = 30 ∘ ,∠DAE = 10 ∘ ,那么∠C的度数为（ ）
A： ∘
72
B： ∘
60
C： ∘
50
D： ∘
70
能力强化 / 初二 / 秋季
第 1 讲 三角形的边与角
精选精练
1 已知：三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a ≤ b < c，如果b = 5，那么这样的三角形个数为
（ ）A： 6个
B： 10个
C： 15个
D： 21个
2 如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG//CE交AB于点G，∠ACD = 100∘ ，
∠AGF = 20∘，则∠B的度数是 ．
3 如图，∠ABD，∠ACD的角平分线相交于点P，若∠A = 65∘，∠D = 15∘，则∠P的度数为（ ）
A： 15∘
B： 20∘
C： 25∘
D： 30∘
4 如图，以下是五角星和它的变形．
（1）请求出五角星的五个角的和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．
（2）若图（b）中的点A向下移到BE上时，五个角的和有无变化？说明你的结论的正确性．
（3）如图（c）中在（b）中的点C向上移动到BD时，五个角的和
∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E有无变化？5 (1)如图1，∠FDC与∠ECD分别为 △ ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系为
_________．
(2) 如图2，在 △ ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系为
_________．
(3) 试探究：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论
探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
6 （1）如图1，∠1+∠2+∠3+∠4 = _________；
（2）如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E = ___________；
（3）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = ___________．
能力强化 / 初二 / 秋季第 2 讲 双角平分线角度计算模型
例题练习题答案
例1 (1) 如图， △ ABC的角平分线CD、BE相交于点O，∠A = 60∘，则∠DOE = （ ）
A： 80°
B： 100°
C： 120°
D： 140°
(2)已知： △ ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于G 、G 、G 、…、G ，试
1 2 3 n
−1
猜想∠BG C与∠A的关系（其中n ≥ 2且n为整数）．
n
−1
①如图1，当n = 2时，∠BG C = ________；
1
②如图2，当n = 3时，∠BG C = ________；
2
③如图3，猜想∠BG C = ________．
n
−1
练1.1 (1) 如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A = 70∘，则
∠BOC = ______∘．(2) 1 1
如图2，∠CBO = ∠ABC，∠BCO = ∠ACB，∠A = α，求∠BOC的度数（用α表示）．
3 3
例2 (1) 如图1，∠A BC、∠A CM的角平分线BA 、CA 相交于点A ．如果∠A = 68∘，那么∠A 的
1 1 2 2 2 1 2
度数是多少，试说明理由；
(2)如图2，∠A = 68∘ ，如果∠A BC、∠A CM的角平分线BA 、CA 相交于点A ，请直接写出
1 2 2 3 3 3
∠A 的度数；
3
(3)如图2，重复上述过程，∠A BC、∠A CM的角平分线BA 、 CA 相交于点 A 得到∠A
n n n n n n
﹣1 ﹣1
，设∠A = θ，请用θ表示∠A （直接写出答案）．
1 n练2.1 如图，在△AOC中，∠OAC=45°．
(1如) 图1，若点P为△AOC外部一点，OP平分∠AOC，CP平分△AOC的外角∠ACE，求∠P的大
小；
(2) 1 1
如图2，若OP、CP满足∠POC = ∠AOC，∠PCE = ∠ACE，猜想∠P的大小，并证明你的
n n
结论（用含n的式子表示）．
例3 1 1 1
如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠MBC = ∠DBC ， ∠MCB = ∠ECB ， ∠NBC = ∠ABC ，
2 2 2
1
∠NCB = ∠ACB，则∠M+∠N = __________∘．
2
练3.1 (1) 1 1
如图，在△ABC中，∠A = 60∘，∠FBC = ∠DBC，∠FCB = ∠ECB，∠F的度数为（ ）
3 3A： 100°
B： 110°
C： 120°
D： 130°
(2) 1 1
如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠A = 60∘ ， ∠MBC = ∠DBC ， ∠MCB = ∠ECB ，
2 2
1 1
∠NBC = ∠ABC，∠NCB = ∠ACB，则∠N = __________°，∠M = __________°．
2 2
例4 已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、
∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC = α．
(1) 当α = 40∘ 时，∠BPC = _____∘，∠BQC = _____∘；
(2)当α = _____∘时，BM∥CN；
(3) 如图②，当α = 120∘时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数．练4.1 (1) 1
如图所示，BP、CP分别平分∠FBC、∠ECB，求证：∠P = 90∘ − ∠A．
2
(2) 如图，在△ABC中，∠A = 60∘，外角∠DBC和∠BCE的角平分线交于点A ，则∠A =
1 1
________°；∠A BC、∠A CB的角平分线交于点A ……依次下去，则∠A = ________°．（结果
1 1 2 n
用含n的式子表示）
例5 如图，AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，∠B = 50∘，∠C = 46∘，求∠E的度数．练5.1 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠BAO与∠DCO的角平分线相交于点P ，∠BAP 与∠DCP
1 1 1
的角平分线交于点P ，∠BAP 与∠DCP 的角平分线交于点P ，如此继续下去，则∠P 与∠B、
2 2 2 3 n
∠D之间的数量关系为（ ）
A： 1
∠P = (∠B+∠D)
n
n
B： 1
∠P = (∠B+∠D)
n
2
C： 1
∠P = (∠B+∠D)
n
n
2
D： 没有等量关系
能力强化 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
自我巩固答案
1 如图，点O是△ABC内一点，∠A = 80 ∘ ，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等
于（ ）A： 140∘
B： 120∘
C： 130∘
D： 无法确定
2 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作PQ∥BC，交AB于点P，交AC于点Q，
若∠A = 60∘，则∠PEB+∠QEC = （ ）
A： 50∘
B： 60∘
C： 70∘
D： 80∘
3 如图，△ABC中，∠ABD = ∠DBE = ∠EBC，∠ACD = ∠DCE = ∠ECB，若∠BEC = 145∘，则
∠BDC的度数为（ ）
A： 80∘
B： 90∘C： 100∘
D： 110∘
4 如图，BP、CP分别为∠ABC和∠ACE的角平分线，若∠A = 45∘，则∠P的度数是（ ）
A： 20∘
B： 22.5∘
C： 25∘
D： 30∘
5 如图，在△ABC中，点P是△ABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点，若∠BPC = 70∘，则
∠BAC的度数为（ ）
A： 40∘
B： 45∘
C： 55∘
D： 60∘
6 1 1
如图，在△ABC中，∠A = 60∘，∠FBC = ∠DBC，∠FCB = ∠ECB，则∠F的度数为（ ）
4 4A： 110°
B： 100°
C： 120°
D： 130°
7 如图，∠ABC = ∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，
以下结论：①AD//BC；②∠ACB = 2∠ADB；③∠ADC = 90∘ −∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤
1
∠BDC = ∠BAC，其中正确的结论有（ ）
2
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
8 如图，已知△ABO中，∠AOB = 70∘，∠OAB的角平分线与△ABO的外角∠ABN的平分线所在的直
线交于点D，求∠ADB的大小．
9 我们知道，任何一个三角形三个内角的和是180∘，如图，△ABC中，
∠BAC+∠ABC+∠ACB = 180∘．
（1）请画出∠ABC和∠ACB的角平分线，交点是D；
（2）若∠BAC = x∘，请用含x的代数式表示出∠BDC的度数，并简单说明理由；（3）若∠BAC和∠BDC互补，求x的值．
10 如图，AD、BC相交于点F，AE、CE分别平分∠BAD，∠DCB，若∠B = 25∘，∠D = 35∘，则∠E
的度数为（ ）
A： 10∘
B： 20∘
C： 30∘
D： 40∘
能力强化 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
课堂落实答案
1 如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A = 40∘，则∠BOC = _____．
2 如图，△ABC中，∠A = 100∘，若BM、CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M = ___________°3 如图，∠MAN = 100∘，点B、C是射线AM、AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在
直线相交于点D，则∠BDC的大小是（ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 80∘
D： 随点B、C的移动而变化
4 在 △ ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交
点，若∠BOC = 120∘，则∠D = （ ）
A： 15∘
B： 20∘
C： 25∘
D： 30∘5 如图，E、D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，若∠F = 65∘
，∠D = 70∘，则∠B的大小是____________°．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 2 讲 双角平分线角度计算模型
精选精练
1 如图，△ABC的两条角平分线BD、CE交于O，且∠A = 60∘，则下列结论中正确的是（ ）
A： ∠BOC = 120 ∘
B： BC = BE+CD
C： OD = OE
D： OB = OC
2 (1) 在 △ ABC中，∠BAC = 100∘，若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求
∠BOC的大小；(2) 若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O、O ，如图2
1
所示，试求∠BOC的大小；
(3)如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于点O，O ，O ，⋯，如图3所
1 2
示，试探究∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC = 170∘时，是几等分线的交线所成的
角．
3 如图，在△ABC中，∠A = 80∘，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A ，得∠A ，∠A BC的
1 1 1
平分线与∠A CD的平分线交于点A ，得∠A ，...，∠A BC的平分线与∠A CD的平分线
1 2 2 2015 2015
交于点A ，得∠A CD，则∠A = （ ）
2016 2016 2016A： 80∘
2014
2
B： 80∘
2015
2
C： 80∘
2016
2
D： 80∘
2017
2
4 如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P ．
1
(1)若∠ABC = 80∘，∠ACB = 40∘，则∠P 的度数为___；
1
(2)若∠A = α，则∠P 的度数为______；（用含α的代数式表示）
1
(3)如图（乙），∠A = α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P ，∠P BC、∠P CD的平分线相交
1 1 1
于P ，∠P BC、∠P CD的平分线相交于P ……以此类推，则∠P 的度数为______（用n与α的
2 2 2 3 n
代数式表示）
5 已知BM、CN分别是△A BC的两个外角的角平分线，BA 、CA 分别是∠A BC和∠A CB的角平分
1 2 2 1 1
1
线，如图①；BA 、CA 分别是∠A BC和∠A CB的三等分线（即∠A BC = ∠A BC ，
3 3 1 1 3 1
31
∠A CB = ∠A CB），如图②；依此画图，BA 、CA 分别是∠A BC和∠A CB的n等分线（即
3 1 n n 1 1
3
1 1
∠A BC = ∠A BC，∠A CB = ∠A CB），n ≥ 2，且n为整数．
n 1 n 1
n n
（1）若∠A ＝70∘，求∠A 的度数；
1 2
（2）设∠A ＝α，请用α和n的代数式表示∠A 的大小，并写出表示的过程；
1 n
（3）当n ≥ 3时，请直接写出∠MBA +∠NCA 与∠A 的数量关系．
n n n
6 【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝36∘，∠ADC＝16∘，
求∠P的度数；
【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若
∠ABC＝36∘，∠ADC＝16∘，请猜想∠P的度数，并说明理由．
1 1
【拓展延伸】（4）在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP = ∠CAB，∠CDP = ∠CDB，试
3 3
问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：_______________（用α、β表示∠P，不必证明）．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形进阶例题练习题答案
例1 (1)如图，AB = CD，AD = CB，那么下列结论中错误的是（ ）
A： ∠A = ∠C
B： AB = AD
C： AD//BC
D： AB//CD
(2)已知：如图，∠B = ∠D，∠1 = ∠2，AB = AD．求证：AC = AE．
例2 已知，如图，点D在AB上，点E在AC上，∠B = ∠C，BE与CD相交于点O，AB = AC．求证：
OB = OC．
练2.1 在△ABC中，AB = AC，AB边上的高CE与AC边上的高BD相交于点F，求证：AF平分∠BAC．例3 如图所示，E、F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB = CD，
AE = CF，BD交AC于点M．
（1）试猜想DE与BF的关系，并证明你的结论；
（2）求证：MB = MD．
练3.1 如图，AC⊥BC于点C，AD⊥BD于点D，AD = AC，证明： △ CBE≌ △ DBE．
例4 如图，△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90∘，点D，E分别在AB，BC上，且AD = BE，BD = AC，过
E作EF⊥AB于F．求证：∠FED = ∠CED．
练4.1 如图，在Rt △ ABC中，∠B = 90∘，点E是AC的中点，AC = 2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点
D，作AF//BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：AF = DA．
例5 如图，∠ACB = 90∘，AC = BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E、D，AD = 25，DE = 17，则
BE = ________．
练5.1 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90∘，AE是过A点的一条直线，CE⊥AE于E，BD⊥AE于
D，DE = 4cm，CE = 2cm，则BD = _____cm．
例6 如图，在长方形ABCD中，AB = CD = 6cm，BC = 10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC
向点C运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)PC = __________cm；（用t的代数式表示）
(2)当t为何值时， △ ABP≌ △ DCP？
(3)点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这
样的v的值，使得△ABP与△PCQ全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．练6.1 如图，OA = 4，过点O作射线OM⊥OA，动点B从点O出发，沿射线OM以每秒1个单位长度的速度
运动，分别以OB、AB为直角边，以点B为直角顶点，在 △ OAB的外侧作等腰直角三角形OBF、
等腰直角三角形ABE，连接EF交射线OM于点P．设点B运动了t秒，在点B运动过程中，PB的长是
否发生变化？若发生变化，用含t的代数式表示PB的长；若不变，求出PB的长．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形进阶
自我巩固答案
1 如图，∠B = ∠D = 90∘，CB = CD，∠1 = 30∘，则∠2 = （ ）
A： 30∘
B： 40∘
C： 50∘
D： 60∘
2 如图，AB = BC，BD = EC，AB⊥BC，EC⊥BC，求证：AD⊥BE．3 如图，点E，F分别在∠CAB的边AC，AB上，若AB = AC，AE = AF，BE与CF交于点D．给出结
论：① △ ABE≌ △ ACF；②BD = DE；③ △ BDF≌ △ CDE；④点D在∠BAC的平分线上．
其中正确的结论有________（填写序号）．
4 如图，已知M在AB上，BC = BD，MC = MD，求证：AC = AD．
5 如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC = 90∘，AB = AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交
BM于E．求证：∠AMB = ∠DMC．
6 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， △ ABO≌ △ ADO，下列结论：①AC⊥BD；
②CB = CD；③ △ ABC≌ △ ADC；④DA = DC，其中正确结论的序号是（ ）A： ①②
B： ②③④
C： ①②③
D： ①②④
7 如图，已知：在 △ ABC中，∠BAC = 90∘，AB = AC，直线m经过点A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分
别为点D、E．若BD = 4，CE = 6，试求DE的长．
8 如图，AE⊥AB且AE = AB，BC⊥CD且BC = CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成
的图形的面积S是（ ）
A： 50
B： 62
C： 65
D： 68
9 如图所示，两根旗杆间相距12m，某人从B点沿BA走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗
杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90∘，且CM = DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度
为1m/s，求这个人运动了多长时间？10 （1）如图1，在 △ ABC中，∠ACB = 90∘，AC = BC，过点C在 △ ABC外作直线MN，AM⊥MN
于M，BN⊥MN于N．求证：MN = AM+BN；
（2）如图2，若过点C在 △ ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN
之间有什么关系？请说明理由．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形进阶
课堂落实答案
1 如图所示，在△ABC中，∠A = ∠B = 50∘，AK = BN，AM = BK，则∠MKN的度数是（ ）
A： 50∘
B： 60∘
C： 70∘
D： 100∘2 △ ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE = CD = BF，则 △ DEF为
________三角形．
3 已知：如图，AB = CD，BE = DF，AE = CF．求证：EO = FO．
4 已知，如图所示，AB = AC，BD = CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE = DF．
5 如图，有一个直角 △ ABC，∠C = 90∘，AC = 6，BC = 3，一条线段PQ = AB，P、Q两点分别在
AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP = ________时，才能使以点P、A、Q为顶点
的三角形与 △ ABC全等．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 3 讲 全等三角形进阶精选精练
1 如图，AD是 △ ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且DE = DF，连接BF、CE，下
列说法：
①CE = BF；② △ ABD和 △ ACD面积相等；③BF//CE；④ △ BDF≌ △ CDE．其中正确的有
（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF = AC，FD = CD．
求证：BE⊥AC．
3 在四边形ABDC中，AC = AB，DC = DB，∠CAB = 60∘，∠CDB = 120∘，E是AC上一点，F是AB
延长线上一点，且CE = BF．
(1)请判断：DE与DF相等吗？说出你的理由；
(2) 若点G在AB上，且∠EDG = 60∘，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系，并说明理由．4 如图，∠B = ∠C = 90∘，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）探究：线段AD、AB、CD之间有何数量关系？请证明你的结论．
5 已知正方形ABCD和等腰Rt △ BEF，BE = EF，∠BEF = 90∘，按图放置，使点E在BC上，取DF的
中点G，连接EG、CG．
（1）请添加一条辅助线，构造一个和 △ FEG全等的三角形，并证明它们全等；
（2）探索EG、CG的数量关系和位置关系，并证明．
6 (1) 如图1，在Rt △ ACB中，∠BAC = 90∘，AB = AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂
线，垂足为D、E．当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想BD、CE、DE三条线段有怎样的数
量关系，并说明理由；
(2)如图2，将（1）中的条件改为：在 △ ABC中，AB = AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有
∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的猜想是否成立？若
成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，∠BAC = 90∘，AB = 22，AC = 28．点P从B点出发沿B → A → C路径向终点C运动；
点Q从C点出发沿C → A → B路径向终点B运动．点P和点Q分别以每秒2和3个单位的速度同
时开始运动，有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作
PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时， △ PFA与 △ QAG全等？（直接写出结果即
可）
能力强化 / 初二 / 秋季
第 4 讲 等腰三角形综合
例题练习题答案
例1 如图，在△ABC中，AB = AC．
(1) 如图1，如果∠BAD = 30∘，AD是BC上的高，AD = AE，则∠EDC = __________．
(2) 如图2，如果∠BAD = 40∘，AD是BC上的高，AD = AE，则∠EDC = __________．
(3)通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：__________．(4)如图3，如果AD不是BC上的高，AD = AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明
理由．
练1.1 如图，CE平分∠ACB且CE⊥BD，∠DAB = ∠DBA，AC = 18，BD=8，求BC的长．
例2 如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足
为M，求证：M是BE的中点.
练2.1 如图，在△ABC中，AB = AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC = ∠E = 60∘．若
BE = 6cm，DE = 2cm，则BC的长为（ ）
A： 4cm
B： 6cm
C： 8cm
D： 12cm
练2.2 如图，在△ABC中，∠C = 60∘，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．
若∠AFB = 90∘，EF = 2，则BF长为( )A： 4
B： 6
C： 8
D： 10
例3 已知，如图，△ABC为等边三角形，AE = CD，AD、BE相交于点P．
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)若BQ⊥AD于Q，求∠PBQ的度数．
例4 如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在BC、AB、CA边的延长线上，且BE = AF = CD，求
证：△DEF是等边三角形．练4.1 如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．
例5 如图，在等腰Rt△ABC中，∠A = 90∘，AB = AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边
上的点，且DE⊥DF．求证：△DEF为等腰直角三角形．
练5.1 如图，∠ABC = 90∘，点D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD = DE，点F是AE的中点，FD与
AB相交于点M．
（1）求证：∠FMC = ∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 4 讲 等腰三角形综合
自我巩固答案
1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘，∠A = 52∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，
连接CD，则∠ADC的度数为( )A： 142∘
B： 132∘
C： 119∘
D： 109∘
2 如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 100∘，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD
、CE相交于点F，则∠CFA的度数是( )
A： 100∘
B： 105∘
C： 110∘
D： 120∘
3 下列条件不能得到等边三角形的是( )
A： 有一个内角是60∘的锐角三角形
B： 有一个内角是60∘的等腰三角形
C： 顶角和底角相等的等腰三角形
D： 腰和底边相等的等腰三角形
4 如图，△ABC是等边三角形，CB = CD，∠ABD = 12∘，则∠BAD的度数为( )A： 10∘
B： 15∘
C： 18∘
D： 20∘
5 如图，△ABC中，∠C = 90∘，∠A = 30∘，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD = 2，则AD
等于( )
A： 10
B： 8
C： 6
D： 4
6 如图，等边△ABC中，BD = CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（ ）
A： 45°
B： 60°
C： 55°
D： 75°7 如图，△ABC是等边三角形，AE = CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥DA于Q．
若PQ = 3，EP = 1，求AD的长．
8 如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N
．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB = 12cm，求CM的长．
9 如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF = 3AB，BD = 3BC ，
CE = 3CA，求证，ΔDEF是等边三角形．
10 如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC = 90∘，∠B = 45∘，O为BC中点，如果点M，N分别在线段
AB，AC上移动，设AM长为x，CN的长为y，且x，y满足等式|x−a|+(x−y) 2 = 0(a > 0)．
（1）求证：BM = AN．
（2）请你证明△OMN为等腰直角三角形．能力强化 / 初二 / 秋季
第 4 讲 等腰三角形综合
课堂落实答案
1 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点D，交BC于点E，∠B = ∠BAE，若
BC = 5，AC = 3，则AD的长为( )
A： 1
B： 1.5
C： 2
D： 2.5
2 已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC = 60∘，∠ECD = 40∘
，则∠ABE = ( )
A： 10∘B： 15∘
C： 20∘
D： 25∘
3 如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE = 3，则AB等于( )
A： 11
B： 12
C： 13
D： 14
4 已知，如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE = CD，连接AD、BE交于
点P，作BQ⊥AD，垂足为Q，则下列说法正确的是（ ）
A： BP = PQ
B： BP = 2PQ
C： AP = PE
D： AP = AB
5 如图，已知△ABC，AB=AC，∠A=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、
AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③△EPF是等腰直角三角形；1
④S = S ．上述结论始终正确的有（ ）
AEPF △ABC
2
A： ①②③
B： ①③
C： ①③④
D： ①②③④
能力强化 / 初二 / 秋季
第 4 讲 等腰三角形综合
精选精练
1 如图所示，∠AOB是一钢架，设∠AOB = α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，
FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管4根，则α的取值范围是
___________________．
2 如图，已知：∠MON = 30∘，点A ，A ，A ……在射线ON上，点B ，B ，B ……在射线OM上，
1 2 3 1 2 3
△A B A ，△A B A ，△A B A ……均为等边三角形，若OA = 1，则△A B A 的边长为( )
1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 7 7 8A： 64
B： 32
C： 16
D： 128
3 如图，在等边△ABC中，AB = 12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时
针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同
时停止运动，设运动时间为t(s)．
(1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
(2)当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM = AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动
的时间；若不存在，请说明理由．
4 如图，D是边长为4 cm的等边△ABC的边AB上的一点，作DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC
于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P．
(1)请说明△PQR是等边三角形的理由．
(2)若BD = 1.3 cm，则AE = ________cm（填空）．
(3)如图，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度．5 已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB = 90∘，F是AB的中点，直线l经过点C，分别
过点A，B作l的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE，
(1)如图1，当CE位于点F的右侧时，求证： △ ADC≌ △ CEB．
(2)如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED = BE−AD；
(3)如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED，AD，BE之间的数量关系，并证明你的猜想．
6 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别在直线AB、AC上运
动，且始终保持AE=CF．
（1）如图①，若点E、F分别在线段AB，AC上，求证：DE=DF且DE⊥DF；
（2）如图②，若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理
由．能力强化 / 初二 / 秋季
第 5 讲 角平分线全等模型与将军饮马模型
例题练习题答案
例1 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D = 180∘，求证：AE = AD+BE．
练1.1 如图，四边形ABDC中，∠D = ∠ABD = 90∘，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD = AC．
例2 如图，在△ABC中，∠B = 60∘，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，
AE = 3，CD = 2，求AC的长度．
练2.1 如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B = 2∠C．
求证：AB+BD = AC．练2.2 在△ABC中，AB > AC，P为∠BAC平分线AD上一点．求证：AB−AC ≥ PB−PC．
例3 如图所示，在 △ ABC中，∠ABC = 3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E．
1
求证：BE = (AC−AB)．(提示：延长BE交于AC点F)
2
练3.1 已知，在 △ ABC中，AB = AC，∠BAC = 90∘，如图，若CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD
的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．
例4 已知：如图，CD平分∠ACB，DE//BC，∠AED = 80∘，求∠EDC的度数．练4.1 如图，在△ABC中，BC = 5cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，
PE∥AC，求△PDE的周长．
例5 如图，在 △ ABC中，AB = 3，AC = 4，BC = 5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则
△ ABP周长的最小值是________．
练5.1 如图，在△ABC中，AB = AC，BC = 5，S = 15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于
△ABC
F，在EF上确定一点P使PB+PD最小，则这个最小值为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6练5.2 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD = 5，点F是AD边上的动点，
则BF+EF的最小值为（ ）
A： 7.5
B： 5
C： 4
D： 不能确定
例6 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，点M，N分别在BC，CD上，当△AMN的周长最小时，
∠MAN的度数为___．
练6.1 如图，∠AOB = 30∘，点P为∠AOB内一点，OP = 8．点M、N分别在OA，OB上．当△PMN周长
最小时，下列结论：①∠MPN等于120∘；②∠MPN等于100∘；③△PMN周长最小值为4；
④△PMN周长最小值为8，其中正确的是（ ）
A： ①③
B： ②③
C： ①④
D： ②④练6.2 在河中有A、B两岛（如下图），某班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲
岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？
能力强化 / 初二 / 秋季
第 5 讲 角平分线全等模型与将军饮马模型
自我巩固答案
1 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是
（ ）
A： PA = PB
B： PO平分∠APB
C： OA = OB
D： AB垂直平分OP
2 如图，∠B = ∠C = 90∘，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC = 110∘，则∠MAB =
（ ）A： 30∘
B： 35∘
C： 45∘
D： 60∘
3 如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB，AB = AD+2BE，则下列结论：①AB+AD = 2AE；
②∠DAB+∠DCB = 180∘；③CD = CB；④S −2S = S ．其中正确结论的个数
△ACE △BCE △ADC
是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
4 如图，在△ABC中，∠ABC = 60∘，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC = AE+CD．
5 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，∠DCB＝∠B．若AC＝10，AB＝25，求CD
的长．6 如图,CD是△ABC的角平分线,DE//BC.若∠A = 60 ∘ ,∠B = 80 ∘ ,则∠CDE的度数是（ ）
A： 30∘
B： 25∘
C： 45∘
D： 20∘
7 如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过O作DE∥BC，若BD+EC=5，则DE等于
（ ）
A： 7
B： 6
C： 5
D： 4
8 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若
AE = 2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A： 15∘
B： 22.5∘C： 30∘
D： 45∘
9 如图，△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．连接MB，若AB = 8cm
，△MBC的周长是14cm．
(1)求BC的长；
(2)在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，直接写出PB+CP的最小值；若不
存在，说明理由．
10 如图，四边形ABCD中，∠C = 50∘，∠B = ∠D = 90∘，E、F分别是BC、DC上的点，则当△AEF
的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A： 50°
B： 60°
C： 70°
D： 80°
能力强化 / 初二 / 秋季
第 5 讲 角平分线全等模型与将军饮马模型课堂落实答案
1 如图，在三角形ABC中，∠C = 90∘，AC = 4cm，AB = 7cm，AD平分∠BAC交BC于点D，
DE⊥AB于点E，则EB的长是（ ）
A： 3cm
B： 4cm
C： 5cm
D： 不能确定
2 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A = ∠ABD，若AC = 5，BC = 3，则BD的
长为（ ）
A： 1
B： 1.5
C： 2√2
D： 4
3 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点
E．若BD = 4，DE = 10，则线段EC的长为（ ）
A： 3B： 6
C： 7
D： 4
4 如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点．
若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A： 6
B： 8
C： 10
D： 12
5 如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，
∠OPM = 50∘，则∠AOB = （ ）
A： 40°
B： 45°
C： 50°
D： 55°
能力强化 / 初二 / 秋季
第 5 讲 角平分线全等模型与将军饮马模型精选精练
1 如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC = 180∘，给出
下列结论：
①PA = PC；②AB+BC = 2BD；③四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数
有（ ）
A： 3个
B： 2个
C： 1个
D： 0个
2 观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB = 2∠B．
（1）如图1，当∠C = 90∘，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB = AC+CD；
（2）如图2，当∠C ≠ 90∘，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？
不需要证明，请直接写出你的猜想；
（3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的
猜想，并对你的猜想给予证明．
3 已知，如图①△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、
F．
（1）图中有几个等腰三角形？且EF与BE、CF间有怎样的关系？（不证明）
（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图②，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它
们．另第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？若存在请给出证明．（3）若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作
OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图③，这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF间的关
系如何？为什么？（要证明你的结论）
4 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘，BC = 12，AC = 5，AB = 13，BD平分∠ABC，M、N分别为
BD、BC上的点，则CM+MN的最小值是________．
5 如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB = α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能
使PD+DC最小，此时∠PDC = __________．
6 如图，∠AOB = 30∘，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记
∠AMP = ∠1，∠ONQ = ∠2，当MP+PQ+QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是
（ ）
A： ∠1+∠2 = 90∘
B： 2∠2−∠1 = 30∘C： 2∠1+∠2 = 180∘
D： ∠1−∠2 = 90∘
能力强化 / 初二 / 秋季
第 6 讲 倍长中线与截长补短
例题练习题答案
例1 如图，点E是BC的中点，∠BAE = ∠CDE，延长DE到点F使得EF = DE，连接BF，则下列说法正确
的是____________．
①BF∥CD；
②△BFE≌△CDE；
③AB = BF；
④AE = BE．
练1.1 如图，将△ABC的中线AD延长至点E，使ED = AD，连接EC，则下列结论：①∠1 = ∠2； ②
AB = EC；③△ABC≌△ECD；④AB∥EC中正确的有（ ）个．
A： 1
B： 2C： 3
D： 4
例2 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，且AB = 6，AC = 4，下列长度可能是AD的长度的是
（ ）
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
例3 如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AB、AC上的两点，且∠EDF = 90∘．求证：BE+CF > EF
．
练3.1 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F．求证：
AF = EF．
例4 如图，∠BAC = ∠DAE = 90∘，M是BE的中点，AB = AC，AD = AE．求证：AM⊥CD．练4.1 如图，△ABC中，BD = DC = AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．
例5 如图，在△ABC中，AB+BD = AC，∠BAC的平分线AD交BC于D．
求证：∠B = 2∠C（用两种方法）．
练5.1 在△ABC中，∠BAC = 120∘，AD⊥BC，AB+BD = DC，则∠C的度数为（ ）
A： 20∘
B： 30∘
C： 40∘
D： 50∘
例6 五边形ABCDE中，AB = AE，BC+DE = CD，∠ABC+∠AED = 180∘．
求证：AD平分∠CDE．练6.1 如图，在四边形ABCD中，AB = AD，∠ABC+∠ADC = 180∘．E、F分别是边BC、边CD上的两
1
点，且BE+DF = EF，求证：∠EAF = ∠BAD．
2
例7 已知△ABC中，∠A = 60∘，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断线段BE、
CD、BC的数量关系，并加以说明．
练7.1 如图，在△ABC中，∠A = 100∘，∠ABC = 40∘，BD是∠ABC的平分线．延长BD到E，使DE = AD
，求证：BC = AB+CE．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 6 讲 倍长中线与截长补短自我巩固答案
1 如图，在△ABC中，AB = 7，BC边上的中线AD的长为5，则AC的长可能是（ ）
A： 3
B： 10
C： 17
D： 20
2 如图，在△ABC中，AB ≠ AC，D、E在BC上，且DE = EC，过D作DF∥AB交AE于点F，DF = AC，
∠EAC = 25∘，则∠EAB = （ ）
A： 15∘
B： 25∘
C： 30∘
D： 50∘
3 如图，在△ABC中，AB > AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB
于F，交CA的延长线于G，已知CG = 4，则BF的长为（ ）
A： 2B： 4
C： 6
D： 8
4 如图，在△ABC中，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE = 5，
CF = 3，则EF的长可能为（ ）
A： 1.9
B： 2
C： 5
D： 8
5 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，
如图所示，求证：EF = 2AD．
6 AD为△ABC的角平分线，AB+BD = AC，则∠B:∠C的值为（ ）
A： 2:1
B： 3:1
C： 4:1
D： 5:1
7 如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE = ∠CDE，∠DCE = ∠ECB，AD = 8，BC = 4，则
CD = （ ）A： 4
B： 6
C： 8
D： 12
8 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB = AC+CD，若∠BAC = n∘，则∠ABC的大小为
（ ）
A： 90∘ −n∘
3
B： 180∘ −n∘
3
C： 180∘ −n∘
2
D： n∘
3
9 如图，D是△ABC外一点，AB = AC = BD+CD，∠ABD = 60∘，求∠ACD的度数．10 CO是△ACE的高，点B在OE上，OB = OA，AC = BE．
（1）如图1，求证：∠A = 2∠E；
（2）如图2，CF是△ACE的角平分线．
①求证：AC+AF = CE；
②判断线段CE、EF、OF之间的数量关系，并给出证明．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 6 讲 倍长中线与截长补短
课堂落实答案
1 在△ABC中，AC = 5，中线AD = 7，则AB边的取值范围是（ ）
A： 1 < AB < 29
B： 4 < AB < 24
C： 5 < AB < 19
D： 9 < AB < 192 如图，△ABC中，BD = DC = AC，E是DC的中点，则下列说法正确的是（ ）
A： ∠BAD=∠EAD
B： ∠CAE=∠EAD
C： 1
∠BAD= ∠EAD
2
D： 2
∠CAE= ∠EAD
3
3 如图，在△ABC中，∠BAC = 60∘，AD是∠BAC的平分线，且AC = AB+BD，则∠ABC = （ ）
A： 40∘
B： 60∘
C： 80∘
D： 120∘
4 如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB = AD+2BE，下列结论正确的有（ ）
1
①AE = (AB+AD)；②∠DAB+∠DCB = 180∘；③CD = CB；④S −S = S ；
△ACE △BCE △ADC
2
⑤AD = AE．
A： 2个B： 3个
C： 4个
D： 5个
5 在△ABC中，∠B = 2∠C，点D在BC上，连接AD．
（1）如图1，若AD⊥BC，求证：CD = AB+BD；
（2）如图2，若AD平分∠BAC，求证：AC = AB+BD．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 6 讲 倍长中线与截长补短
精选精练
1 如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三
角形ACE与等腰直角三角形BCF，连接DE、DF、EF，则下列说法正确的是（ ）
A： CE = CF
B： EF = 2AE
C： AC = CF
D： △DEF是等腰直角三角形
2 如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+AC > AD+AE．3 阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在△ABC中，AB = 9，AC = 5，求BC边上的中线AD的取值范围．
（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长AD到Q，使得DQ = AD；
②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；
③利用三角形的三边关系可得4 < AQ < 14，则AD的取值范围是_______________．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，
把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中；
（2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；
（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB = AE，AC = AF，∠BAE = ∠FAC = 90∘，试
探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．
4 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC = 120∘，以D为顶点作一
个60∘角，使其两边分别交AB于点M、交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为（ ）
A： 3
B： 4.5C： 6
D： 无法确定
5 如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE = ∠CDE，∠DCE = ∠ECB．求证：CD = AD+BC．
6 （1）如图1，在四边形ABCD中，AB = AD，∠BAD = 120∘，∠B = ∠ADC = 90∘，E、F分别是
BC、CD上的点，且∠EAF = 60∘．探究图中线段BE、FE、FD之间的数量关系，请在横线上
直接写出结论_______________________．
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB = AD，∠B+∠ADC = 180∘．E、F分别是BC、CD上的
1
点，且∠EAF = ∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
2
能力强化 / 初二 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A：B：
C：
D：
2 若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为（ ）
A： 5cm
B： 8cm
C： 10cm
D： 17cm
3 如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是（ ）
A： ∠1+∠2 = ∠3+∠4
B： ∠1+∠2 = ∠4−∠3
C： ∠1+∠4 = ∠2+∠3
D： ∠1+∠4 = ∠2−∠3
4 如图，△ABC≌△EBD，∠E=50°，∠D=62°，则∠ABC的度数是（ ）
A： 68°B： 62°
C： 60°
D： 50°
5 如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD交于O，OB=OC，则图中全等三角形共有（ ）
A： 2对
B： 3对
C： 4对
D： 5对
6 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S =7，DE=2，AB=4，则AC长是
△ABC
（ ）
A： 3
B： 4
C： 6
D： 5
7 已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简|a−b+c|−|a−b−c|得（ ）
A： 2a−2b
B： 2a−2c
C： a−2bD： 0
8 如图，AD是△ABC的中线，点E、F在分别AD和AD的延长线上，且DE = DF，连接BF、CE．有下
列说法：①△BDF≌△CDE ②CE = BF③BF∥CE ④△ABD≌△ACD，其中正确的是（ ）
A： ①④
B： ①②③
C： ①③④
D： ①②③④
9 已知，如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘，CD是边AB上的高，∠A = 30∘，则线段AB与BD的数量
关系是（ ）
A： AB = 2BD
B： AB = 3BD
C： AB = 4BD
D： AB = 5BD
10 如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D ，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交
1 1 1
于点D ，依此类推，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点D ，则∠BD C的度数是（ ）
2 4 4 5 5A： 56°
B： 60°
C： 68°
D： 94°
11 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为________cm．
12 一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是______边形．
13 如图： △ ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个
适当的条件：_____________________，使 △ ABD ≌△ CBE．
14 如图，在△ABC中，∠A = 80∘，∠ABC与∠ACD的平分线交于点E，∠EBC与∠ECD的平分线相交
于点F，则∠BFC = ________．
15 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE平分∠BAC,∠B = 42 ∘ ,∠C = 70 ∘ ,则∠DAE = ___.
16 如图，等边△ABC中，AD是BC边上的高，AD=6，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB+PE
的最小值是___．17 如图所示，在△ABC中，∠BAC = 106∘，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在
BC上，则∠EAN = __________．
18 如图，在△ABC中，AB = AC，∠B = 36∘，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接
AD，作∠ADE = 36∘，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA
的度数为________．
19 如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C=70°，∠BED=64°，求∠BAC的度数．
20 如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D．求证：BC=DE．
21 如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3)，B(3,1)，C(−2, −2)．
（1）请在图中作出△ABC关于x轴对称图形△DEF，其中A、B、C的对应点分别是D、E、F，并直
接写出D、E、F的坐标．（2）求四边形ABED的面积．
22 如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，EC⊥BC，且EC = BD．
求证：△ADE是等边三角形．
23 如图，AD是ΔABC的中线，E、F分别是AB、AC上的两点，且∠EDF = 90∘．
求证：BE+CF > EF．
24 如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB = AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关
系呢？(1) 通 过 观 察 、 实 验 提 出 猜 想 :∠ACB 与 ∠ABC 的 数 量 关 系 ， 用 等 式 表 示
为:________________________．
(2)小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:如图2，延长AC到F，使CF = CD，连接DF．通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推
理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．
想法2:在AB上取一点E，使AE = AC，连接ED，通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，
就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．
请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中∠ACB与∠ABC的数量关系(一种方法即可)．
25 如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直
线BP的垂线段，垂足为点D，以线段AD为边做等边三角形ADE，点E在点D的右侧，连接DE、CE
．
（1）求证：BD = CE；
（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；
能力强化 / 初二 / 秋季
第 8 讲 手拉手模型
例题练习题答案
例1 已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点共线．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：DA−DB = DC．练1.1 如图，在△ABC中，D在AB上，且△CAD和△CBE都是等边三角形．
求证：（1）∠EDB = 60∘；（2）DE = CD+DB．
例2 如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．则下列结论：①AE = CD；②BF = BG；③HB⊥FG；
④∠AHC = 60∘；⑤△BFG是等边三角形．其中正确的有__________．
例3 （1）如图，已知△ABE与△AFC都是等腰直角三角形，CE，BF相交于点M，求证：EC⊥BF．
（2）如图，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE，CG．
求证：AE = CG．
练3.1 如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，且∠ACB = ∠DCE = 90∘．点A，D，E在同一直线
上，连接BE．
（1）求证：AD = BE；
（2）判断线段AE与BE的位置关系，并说明理由．
例4 如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5:6:7，若PA、PB、PC
为某三角形的三边长，则该三角形中三个内角的大小之比（从小到大）是（ ）A： 2:3:4
B： 3:4:5
C： 4:5:6
D： 以上结果都不对
练4.1 △ABC是等边三角形，且∠ADB = 60∘，则AD、BD、CD之间的数量关系为_______________．
例5 如图，在△ABC中，CA = CB，∠ACB = 90∘，D是△ABC内部一点，∠ADC = 135∘，将线段CD绕
点C逆时针旋转90∘得到线段CE，连接DE．
(1)①依题意补全图形；
②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案；
(2)在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM、AE和BE之间的数量关系，
并说明理由．
练5.1 已知△ABC为等腰直角三角形，B、D、E三点共线，AE⊥DE ，∠ADE=45∘．
求证：CD+AE = BE．
能力强化 / 初二 / 秋季第 8 讲 手拉手模型
自我巩固答案
1 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形
CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论错误的是
（ ）
A： PQ∥AE
B： AP = BQ
C： DE = DP
D： ∠AOB = 60∘
2 如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD = 65∘，则∠AEB的度数是（ ）
A： 125∘
B： 122∘
C： 120∘
D： 118∘
3 如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，点A，C，B共线，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，
有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM = CN；③AC = DN；④∠DAE = ∠DBC．其中正确的有（ ）
A： ②④
B： ①②③
C： ①②④
D： ①②③④
4 如图所示，已知△ABC，分别以AB、AC边作图：AE⊥AB，AD⊥AC，AE = AB，AD = AC，下列
结论：①△AEC≌△ABD；②EC = DB；③EC⊥DB；④MA平分∠EMD中，正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5 在△ABC中，∠ABC = 45∘，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论：①
∠FCD = 45∘；②AE = EC；③S :S = BD:CD；④若BF = 2EC，则△FDC周长等于AB
△ABF △AFC
的长．正确的是（ ）A： ①②
B： ①③
C： ①④
D： ①③④
6 如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB = 110∘，∠BOC = α．以OC为一边作等边三角形OCD，连
接AC、AD．当α = 150∘时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
7 如图，在△ABC中，AD⊥AB，AD = AB，AE⊥AC，AE = AC．求证：BE = CD．
8 如图，已知：在△ABC，△ADE中，∠BAC = ∠DAE = 90∘，AB = AC，AD = AE，点C、D、E三点
在同一条直线上，连接BD．图中的CE、BD有怎样的大小和位置关系？试证明你的结论．
9 如图，在 △ ABC中，AB = 1，BC = 2，以AC为边向外构造等边 △ ACD，则BD的最大值是
_________，最小值是_________．10 已知：三角形ABC中，∠A = 90∘，AB = AC，D为BC的中点，
(1)如图，E、F分别是AB、AC上的点，且BE = AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
(2)若E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE = AF，其他条件不变，那么，△DEF 是否仍为
等腰直角三角形？证明你的结论．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 8 讲 手拉手模型
课堂落实答案
1 如图，在直角△ABC中，∠B = 45∘，AB = AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，
DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE = CF；③
△ BDE≌ △ ADF；④BE+CF = EF，其中正确结论是（ ）
A： ①②④
B： ②③④C： ①②③
D： ①②③④
2 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
3 如图，已知C为线段AB上的一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和
CN交于E点．求证：△CEF是等边三角形．
4 如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时
针旋转60∘得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是__________．
5 如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC = 90∘，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交
BC于F，若S = 9，则AB的长为（ ）
四边形BFDEA： 3
B： 6
C： 9
D： 18
能力强化 / 初二 / 秋季
第 8 讲 手拉手模型
精选精练
1 问题情境：在课堂上，兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究，在Rt△ABC中，
∠ACB = 90∘，∠A = 30∘，点D是AB的中点，连接CD．
探索发现：（1）如图①，BC与BD的数量关系是___________；
猜想验证：（2）如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP
绕点D逆时针旋转60∘，得到线段DF，连接BF，请猜想BF、BP、BD三者之间的数量关系，并证明
你的结论；
拓展延伸：（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图象，
并直接写出BF、BP、BD三者之间的数量关系．
2 如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90∘，AC = 2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45∘的直角三角
板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数
量及位置关系，并证明你的猜想．3 已知，如图等腰△ABC，AB = AC，∠BAC = 120∘，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点
O是线段AD上一点，OP = OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO = 30∘；②∠APO = ∠DCO；
③△OPC是等边三角形；④AB = AO+AP．其中正确的是（ ）
A： ①③④
B： ①②③
C： ①③
D： ①②③④
4 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
①求证：DE平分∠BDC；
②若点M在DE上，且DC = DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；
③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．
5 如图，已知△ABC，AB = AC，∠BAC = 90∘，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别
交AB、AC于E、F，给出以下五个结论：①EF = CP；②CF = AE；③2PF = EF；④∠AEP+∠AFP = 180∘；⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），
1
S = S ．上述结论中始终正确的有（ ）
四边形AEPF △ABC
2
A： ①②④⑤
B： ①②⑤
C： ①③④⑤
D： ②④⑤
能力强化 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法与乘法公式
例题练习题答案
例1 (1) x x+3
已知2 = 3，则2 的值为__________．
(2) n 3n
已知2 = 5，则2 = ___________．
(3) 5 10
计算：(−0.125) ×4 ．
练1.1 (1) m n 2m+n
已知a = 3，a = 4，则a 的值为（ ）
A： 24
B： 10
C： 36D： 13
(2) m n 3m+10n
已知2 = a，32 = b，则2 = __________．
(3) 2
( )2015
2016 2017
计算： ×1.5 ×(−1) = __________．
3
例2
化简：
(
x 2
)3
÷x = ________．
例3 计算：
(1)( 2)( 2 3)
−2a 3ab −5ab ；
(2)(2x−y)(x−2y)−4(x−y)(x+2y)．
练3.1 计算：
[ ]
(1)(
2
) (
2
)2
3 2
a b ab +(2ab) +3a ；
(2) 2
(x−2y)(x+2y−1)+4y ．
例4 n+2 n−1 n−2
多项式mx −nx 除以单项式x ，得（ ）
A： 2n 2n−3
mx −nx
B： 4
mx −nx
C： 4 n−3
mx +nx
D： 4
mx +nx
练4.1 下列计算正确的是（ ）
A： ( 2 3 ) 2 2
−2a b ÷(−2ab) = a b
B： ( 2 )
3x y−6xy ÷6xy = 0.5xC： ( 5 2 4 3 ) 3 2 2
21x y −9x y ÷3x y = 7x −3xy
D： ( 2 )
3x y+xy ÷xy = 3x
练4.2 ( 3 2 2 2 )
计算： 9x y −6x y+3xy ÷(−3xy)
例5 ( 2 )( 4 )( 8 )
计算：(3+1) 3 +1 3 +1 3 +1 ．
练5.1 计算：
(1) ( 2 )( 4 )( 8 ) ( 1024 )
(2+1) 2 +1 2 +1 2 +1 ⋯ 2 +1 ；
(2) 2 4 16
3 2 +1 2 +1 2 +1
× × ×⋯× = __________．
2 2 4 16
2 2 2
例6 (1) 2 2
计算：①198 −396×202+202 ；
②(a+b−c)(−c−b+a)．
(2) 5
( )2
试用简便方法计算： 59 ．
6
练6.1 (1) 2 2
计算：①168 +618 −618×336；
1 1 1 1
( )( )
② x− y− z x+ y− z ．
3 2 3 2
(2) 1
( )2
2
简便计算：① 20 ； ②(97) ．
4
例7 (1) 2
多项式x −8x+k是一个完全平方式，则k = __________．
(2) 如果x 2 −(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为（ ）
A： −1
B： 1C： 1或−1
D： 1或−3
练7.1 (1) 2
多项式x −6x+m是一个完全平方式，则m = __________．
(2) 如果x 2 +mx+36是完全平方式，则m的值为（ ）
A： 12
B： 18
C： −12
D： 12或−12
例8 (1) 2
已知(x+y) −2x−2y+1 = 0，求x+y．
(2) 2 2 y
已知x +y +4x−6y+13 = 0，求x 的值．
练8.1 (1) 2
已知(x−y) +2x−2y+1 = 0，求y−x = __________．
(2) 2 2
已知a −8b+b +2a+17 = 0，求a−b的值．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法与乘法公式
自我巩固答案
1 a b a+2b
已知3 = 5，9 = 10，则3 = （ ）
A： −50
B： 50
C： 500
D： 以上都不对2 4
( )2017
2018 2019
计算： ×1.25 ×(−1) ．
5
3 9 4
( )( )
2 2
计算： − xy z+4yz 3x− yz ．
4 3
4 计算：
(1) ( 2 )
(x+1) x −x+1 = _______；
(2) ( 2 2 )
(2x+y) 4x −2xy+y = _______．
5 ( 2 )( 4 )( 8 ) ( 32 )
(2+1) 2 +1 2 +1 2 +1 … 2 +1 +1的个位数字为（ ）
A： 2
B： 4
C： 6
D： 8
6 2 2
计算(x+3y) −(3x+y) 的结果是（ ）
A： 2 2
8x −8y
B： 2 2
8y −8x
C： 2
8(x+y)
D： 2
8(x−y)
7 计算：(2a−b+3)(2a+b−3)．
8 计算：
(1) 2 2
800 −1600×798+798 ；
(2) 2
(197) ；(3) 2
1005 −1004×1006．
9 2
二次三项式4x −(k−3)x+9是完全平方式，则k的值是多少？
10 2
阅读材料：把形如ax +bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．
2 2 2
配方法的基本形式是完全平方公式的逆应用，即a ±2ab+b = (a±b) ．
1 3
2
2 2 2 2
例如：(x−1) +3、(x−2) +2x、( x−2) + x 是x −2x+4的三种不同形式的配方（即“余
2 4
项”分别是常数项、一次项、二次项）．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1) 2
比照上面的例子，写出x −4x+9三种不同形式的配方；
(2) 2 2
将a +ab+b 配方（至少两种不同形式）；
(3) 2 2 2
已知a +b +c −ab−3b−2c+4 = 0，求a+b+c的值．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法与乘法公式
课堂落实答案
1 x y 2x+y
若a = 3，a = 2，则a = __________．
2 计算：
(1)−(x+3y)(2x−y)；
(2) ( 2 )
(x+1) x +3x+2 ．
3 ( 2 )( 4 )( 8 )
计算(2+1) 2 +1 2 +1 2 +1 +1的值是（ ）
A： 1024B： 8
2 +1
C： 16
2 +1
D： 16
2
4 2
化简：(x+2) +(1−x)(2+x)−3．
5 若x 2 +mx+16是完全平方式，则m的值是________．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 9 讲 整式乘法与乘法公式
精选精练
1 a b
已知2a+3b = 3，求9 ⋅27 的值．
2 化简：(x−1)(2x+1)−2(x−5)(x+2)．
3 (1)阅读下文，寻找规律：
2
已知x ≠ 1时，(1−x)(1+x) = 1−x ，
( )
2 3
(1−x) 1+x+x = 1−x ，
( )
2 3 4
(1−x) 1+x+x +x = 1−x ，
⋯
观察上式，并猜想：
( )
2 3 4
(1−x) 1+x+x +x +x = ________．
( )
2 n
(1−x) 1+x+x +⋯+x = ________．
(2)通过以上规律，请你进行下面的探索：
①(a−b)(a+b) = _______．
( )
2 2
②(a−b) a +ab+b = _______．( )
3 2 2 3
③(a−b) a +a b+ab +b = _______．
(3) 2 2015 2016 2017
根据你的猜想，计算：1+2+2 +⋯+2 +2 +2 ．
4 ( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )
计算： 1− 1− 1− ⋯ 1− 1− ．
2 2 2 2 2
2 3 4 9 10
5 观察下列各式，用简便方法计算：
(1) 2 2
56.78 −46.78×56.78×2+46.78 ；
(2) 2
(40.25) ．
6 2
阅读材料：把形如ax +bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，
2 2 2
配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即：a ±2ab+b = (a±b) ．
根据阅读材料解决下面问题：
(1) 2 2
m +4m+4 = (__________) ；
(2) 无论n取何值，9n 2 −6n+1__________0（填“ < ” “ > ” “ ≤ ” “ ≥ ”或“=”）；
(3) 已知m，n是△ABC的两条边，且满足10m 2 +4n 2 +4 = 12mn+4m，若该三角形的第三边k的
长是奇数，求k的长．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式进阶
例题练习题答案
例1 (1)已知x+y = −6，xy = 8，求下列各式的值．（直接写出答案）
2 2
①x +y = __________；2
②(x−y) = __________；
③(x+2)(y+2) = __________；
2 2
④x −xy+y = __________；
4 4
⑤x +y = __________；
(2) 1 1
2
已知 +a = 3，求 +a 的值．
a 2
a
练1.1 (1) 2 2
已知a+2b = 5，ab = 6，求a +4b 的值．
(2) 1
2 2 2 2 4
已知a +b = 1，a−b = ，求a b 与(a+b) 的值．
2
(3)回答下列问题：
1 1 1
2 2
2
①填空：x + = (x+ ) −__________ = (x− ) +__________；
2 x x
x
1 1
2
②若a+ = 5，则a + = __________；
a 2
a
1
2 2
③若a −3a+1 = 0，求a + 的值．
2
a
例2 (1) 2 2 2
已知a +b = 13，(a−b) = 1，求下列各式的值．
①ab；②a+b．
(2)已知a+b = 3，ab = −2，求下列各式的值．
2 2
①a +b ；②a−b．
练2.1 (1)已知：a+b = 2，ab = 1．求：
①a−b；
2 2
②a −b +4b．
(2)已知a+2b = 3，ab = −2，求a−2b的值．例3 化简求值：
(1) 1
( )
2 2 3 2
a b−2ab −b ÷b−(a−b) ．其中a = −4，b = − ．
3
(2) 2
(x+2y) −(x+y)(2x−y)．其中x = −2，y = 3．
练3.1 先化简，再求值：
(1) 2
(2x+3)(2x−3)−4x(x−1)+(x−2) ，其中x = −2．
(2) (2x+1)(1−2x)−2(x+2)(x−4)+(2x−1) 2 ，其中x = −√3．
例4 (1) 2 2 2
先 化 简 ， 再 求 值 ： (x+2y)(x−2y)−(2x y−4x y )÷2xy ， 其 中 x ， y 满 足
2
(x−2y−5) + |5x−3y−11| = 0．
(2) 2 4 b
先化简，再求值：(2a+b) −2(a−b)(2a+b)，其中a = 4 = 16，且ab < 0．
练4.1 (1) 5 3 2 2
化 简 求 值 (2+a)(2−a)+a(a−5b)+3a b ÷(−a b) ， 其 中 已 知 a ， b 满 足 ：
1
2
|a+1| +(b− ) = 0．
2
(2) 2 2 2
先化简，再求值：[(x+3y) −(x−3y) −(3y+x)(x−3y)−9y ]÷(2x)，其中x，y 满 足
2 2
x −4x+y +2y+5 = 0．
例5 (1) 2 2
已知a −5 = 2a，代数式(a−2) +2(a+1)的值为（ ）
A： −11
B： −1
C： 1
D： 11
(2) 2 2 2
已知y −2xy−1 = 0，求代数式(x−2y) −(x−y)(x+y)−3y 的值．练5.1 (1) 2 2
先化简，再求值：(x−3) +2(x−2)(x+7)−(x+2)(x−2)，其中x +2x−3 = 0．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式进阶
自我巩固答案
1 2 2
若a+b = 3，a +b = 7−3ab，则ab等于（ ）
A： 2
B： 1
C： −2
D： −1
2 2 2
若p+q = 5，pq = 4，则2p +2q = （ ）
A： 25
B： 17
C： 50
D： 34
3 若a+b = 3，ab = 2，则a−b的值为（ ）
A： 1
B： −1
C： 1或−1
D： 1或−2
4 2 2 4 4
已知x+y = 4，xy = 2，试求：①x +y 的值；②x +y 的值．5 1
3 3
先化简，再求值：(n+m)(m−n)−(4m n−2mn )÷2mn，其中m = −2，n = − ．
2
6 先化简，再求值：y(2x−y)+(2x+y) 2 −4x 2 ．其中x = √2+1，y = √2−1．
7 2 2 2 2
化简求值：[(x +y )−(x−y) +2y(x−y)]÷(−2y)，其中|2x−1| +(y+3) = 0．
8 3 5
( )
2
先 化 简 ， 再 求 值 ： (x−3y) −(3y+2x)(3y−2x)+4x − x+ y ， 其 中 x 、 y 满 足
4 2
2
|x−2y| +(x+2) = 0．
9 2
若3x −5x+1 = 0，则5x(3x−2)−(3x+1)(3x−1) = （ ）
A： −1
B： 0
C： 1
D： −2
10 2 2
已知x +x−5 = 0，求代数式(x−1) −x(x−3)+(x+2)(x−2)的值．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式进阶
课堂落实答案
1 2 2
已知a+b = 5，ab = 12，则a +b 的值为（ ）
A： 1
B： 17
C： 23
D： 92 若a+b = 3，a−b = 1，则ab = __________．
3 1
当a = 时，代数式(a−4)(a−3)−a(a+2)的值为（ ）
3
A： 9
B： −9
C： 3
D： 1
3
4 2
已知2x−1 = 3，则代数式(x−3) +2x(3+x)−7的值为（ ）
A： 5
B： 12
C： 14
D： 20
5 2 2
已知x −4x−1 = 0，则代数式2x(x−3)−(x−1) +3的值为（ ）
A： 3
B： 2
C： 1
D： −1
能力强化 / 初二 / 秋季
第 10 讲 乘法公式进阶
精选精练1 2 2
已知(a−2017) +(2018−a) = 5，则(a−2017)(a−2018) = ________．
2 5
已知a+b = 3，ab = ，求下列式子的值：
4
2 2
（1）a +b ；
2
（2）(a−b) ；
2
（3）2−2b +6b．
3 a b a b
| | | |
对 于 任 何 实 数 ， 我 们 规 定 符 号 的 意 义 是 = ad−bc ． 例 如 ：
c d c d
1 2
| |
= 1×4−2×3 = −2，
3 4
−2 4 x+1 2x
| | | |
= (−2)×5−4×3 = −22．按照这个规定，当x = 2时， 的值是________．
3 5 x−1 2x−3
4 2
先 化 简 ， 再 求 值 ： [(x−2y) +(x−y)(x+y)−2(x−3y)(x−y)]÷y ， 其 中 x ， y 满 足
2
|x−3| +y +4y+4 = 0．
5 1
3 2
已知x− = 3，那么多项式x −x −7x+5的值是________．
x
6 1
2 2
阅读下列解答过程：已知：x ≠ 0，且满足x −3x = 1．求：x + 的值．
2
x
解： ∵ x 2 −3x = 1， ∴ x 2 −3x−1 = 0．
1 1
∴ x−3− = 0，即x− = 3．
x x
1 1
2
∴ x 2 + = (x− ) +2 = 3 2 +2 = 11．
2 x
x
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
2 2
已知a ≠ 0，且满足(2a+1)(1−2a)−(3−2a) +9a = 14a−7，2
1 a
2
求：（1）a + 的值；（2） 的值．
2 4 2
a 5a +a +5
能力强化 / 初二 / 秋季
第 11 讲 因式分解进阶
例题练习题答案
例1 (1) 2
将m (a−2)+m(a−2)分解因式的结果是_________________；
(2) 2
多项式x y(a−b)−xy(b−a)+y(a−b)提公因式后，另一个因式为（ ）
A： 2
x −x+1
B： 2
x +x+1
C： 2
x −x−1
D： 2
x +x−1
练1.1 (1)分解因式：x(x−3)−x+3 = _________________；
(2)分解因式：(2a+1)a−4a−2 = _________________．
例2 (1) 2 2
分解因式：a −4b = __________．
(2) 4
分解因式：16−a = __________．
(3) 2
分解因式(x−1) −9的结果是（ ）
A： (x+8)(x+1)
B： (x+2)(x−4)
C： (x−2)(x+4)D： (x−10)(x+8)
(4) 2 2
分解因式：2(a+2) −8a = ___________．
练2.1 (1) 2
分解因式：2x −8 = __________________；
(2) 4
分解因式：−81x +16 = __________________；
(3) 2 2
分解因式：(2x+3y) −(2x−y) = __________________；
(4) 2 2
分解因式：a (x−y)−b (x−y) = __________________．
例3 (1) 2
分解因式：2m −8m+8 = __________________；
(2) 2
把(x−1) −2(x−1)+1分解因式的结果是（ ）
A： (x−1)(x−2)
B： 2
x
C： 2
(x+1)
D： 2
(x−2)
(3) 4 2 2 4
分解因式：16m −8m n +n = __________________；
(4) 2 2
分解因式：32(x+1) −16(x+1)y+2y = __________________；
(5) 2 2 3
分解因式：2(x+1) y−4(x+1)y +2y = __________________．
练3.1 (1) 3 2
分解因式：a −2a +a = __________________；
(2) 2
分解因式：4+12(x−y)+9(x−y) =__________________；
(3) 4 3 2
分解因式：x −6x +9x = __________________；(4) 1
2 2
分解因式： x +2x(y−1)+2(y−1) = __________________；
2
(5) 3
3 2 2
分解因式： x +6x (y−1)+6x(y−1) = __________________．
2
例4 2 2
把多项式ac−bc+a −b 分解因式的结果是（ ）
A： (a−b)(a+b+c)
B： (a−b)(a+b−c)
C： (a+b)(a−b−c)
D： (a+b)(a−b+c)
练4.1 2 2
若多项式4x +2x−y −y分解因式，正确的分组方法是（ ）
A： ( 2 ) ( 2 )
4x −y + 2x−y
B： ( 2 2 )
4x −y +(2x−y)
C： 2 ( 2 )
4x + 2x−y −y
D： ( 2 ) ( 2 )
4x +2x − y +y
例5 2
分解因式：m −my+mx−yx = ．
练5.1 2 2
分解因式：b −2bc+c −1 = ．
例6 2
多项式x +7x−18因式分解的结果是（ ）
A： (x−1)(x+18)
B： (x+2)(x+9)
C： (x−3)(x+6)
D： (x−2)(x+9)练6.1 (1) 2
分解因式：x −5x−36 = _______．
(2) 2 2
分解因式：x −3xy−4y = _______．
例7 因式分解：
2
（1）6x −7x+2
2
（2）3x −8x−3
2
（3）12x −11x−15
2
（4）6x −12+x
练7.1 2
把多项式(x−y) −2(x−y)−8分解因式，正确的结果是（ ）
A： (x−y+4)(x−y+2)
B： (x−y−4)(x−y−2)
C： (x−y−4)(x−y+2)
D： (x−y+4)(x−y−2)
能力强化 / 初二 / 秋季
第 11 讲 因式分解进阶
自我巩固答案
1 下列各式从左到右，不是因式分解的是（ ）
A： 2
2x +4xy+1 = 2x(x+2y)+1
B： 2 2
m −n = (m+n)(m−n)
C： 2 2 2
x −8xy+16y = (x−4y)
D： 3ma+6mb+9mc = 3m(a+2b+3c)
2 把多项式(x+1)(x−2)+(x+1)提取公因式(x+1)后，余下的部分是（ ）A： x+1
B： 2x
C： 2
D： x−1
3 3m(a−b)−9n(b−a)的公因式是（ ）
A： 3(a−b)
B： m+n
C： 3(a+b)
D： 3m−9n
4 2 2
把多项式9a (2x−3y)+4b (3y−2x)分解因式的结果是（ ）
A： ( 2 2 )
(2x−3y) 9a +4b
B： ( 2 2 )
(2x−3y) 9a −4b
C： (2x−3y)(3a−2b)(3a+2b)
D： (3y−2x)(3a−2b)(3a+2b)
5 2 2
将多项式4x −y +4x−2y分解因式的结果为（ ）
A： (2x+y−2)(2x−y)
B： (2x−y−2)(2x−y)
C： (2x+y+2)(2x−y)
D： (2x−y+2)(−2x−y)
6 2
因式分解x +3xy−2x−6y的结果是（ ）
A： (x+3y)(x−2)
B： (x−3y)(x−2)C： (x+3y)(x+2)
D： (x+4m−3)(x+3)
7 2 2
用分组分解法把多项式4x −2x−y −y分解因式，正确的分组方法应该是（ ）
A： ( 2 ) ( 2 )
4x −y − 2x+y
B： ( 2 2 )
4x −y −(2x+y)
C： 2 ( 2 )
4x − 2x+y +y
D： ( 2 ) ( 2 )
4x −2x − y +y
8 因式分解：
2 2
（1）k +5k−6 （2）c −5c+4
2 2
（3）x +7x+12 （4）x −6−x
9 2
分解因式：3x +7x+4 = ．
10 3 2
分解因式：2x −6x +4x = ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 11 讲 因式分解进阶
课堂落实答案
1 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A： m(a−b) = am−bm
B： 2
x −4 = (x+2)(x−2)
C： 2
x+8x+16 = (x+4)D： 2
ax +bx+c = x(ax+b)+c
2 因式分解(a+b)(a+b−1)−3(a+b−1)的结果为____________．
3 将下列多项式因式分解后，结果不含因式x−1的是（ ）
A： 2
x −1
B： 2
x(x−2)+(2−x)
C： x(x−1)+1−x
D： 2
x −2x
4 2 2 2
分解因式x −m +4mn−4n 等于（ ）
A： (x+m+2n)(x−m+2n)
B： (x+m−2n)(x−m+2n)
C： (x−m−2n)(x−m+2n)
D： (x+m+2n)(x+m−2n)
5 分解因式：
2
（1）x −10x+16 = ________；
2
（2）3x −4x+1 = ________．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 11 讲 因式分解进阶
精选精练
1 判断下列由左到右的变形是不是因式分解．
( 1 ) 2
(x+1)(x−2) = x −x−2 （ ）( 2 ) 2 6 3 ( 3 )
−8a b = 2ab ⋅ −4ab （ ）
( 3 ) 2 2
25y −36x = (5y+6x)(5y−6x) （ ）
( 4 ) 2
12x −18x−5 = 6x(2x−3)−5 （ ）
( 5 ) 2 2 ( 2 )
x y z+xyz−xz = xz xy +y−1 （ ）
2 分解因式：
2 2 2 2 2 2
（1）a b−ab +a c−ac +b c+bc −3abc；
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
（2）a b −c +b c −a +c a −b ．
3 分解因式：
（1）4m(x−y)−5m(y−x)；
2
（2）17a(x−y) +34ax(y−x)；
4 2
（3）(x−y) −(y−x) ．
4 分解因式：
（1）2ax−10ay+5by−bx；
2
（2）6k −6mn+9km−4kn．
5 2 2
分解因式：2x +7xy−15y −3x+11y−2 = ．
6 2
甲乙两个同学分解因式x +ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)，乙看错了a，分解结
果为(x+1)(x+9)，则2a+b = ．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 12 讲 分式计算
例题练习题答案
例1 计算：2
x −1 1
（1） ⋅ ；
2 x+1
x −2x+1
2 2
x −4 x +2x
（2） ÷ ．
2 2−x
x −4x+4
练1.1 计算：
2 2
a ( c )2 bc
（1） × ÷ ；
−b −ab a
2
16−m m−4 m−2
（2） ÷ ⋅ ．
2 2m+8 m+2
16+8m+m
例2 x y
通分：（1） ， ；
4a(x+2) 6b(x+2)
a a−1
（2） ， ．
3−a 2
a −9
练2.1 a−1 1−a
通分： ， ．
2 2
(a+1) −4 2−4a+2a
例3 计算：
2 2
m+n 2m x +9x x −9
（1） + ； （2） + ．
m−n n−m 2 2
x +3x x +6x+9
练3.1 计算：
2
a
（1） −(a+1)；
a−1
2n m 4mn
（2） + + ．
m+2n 2n−m 2 2
4n −m例4 x+1 2x 1 1
( )2 ( )
计算： ⋅ − −
x x+1 x−1 x+1
练4.1 2
x y x 2y
( )2
计算： ⋅ − ÷ ．
2y 2x 2 x
y
例5 (1) 2
1 a −6a+9
先化简(1− )÷ ，然后a在−2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
a−2 2
a −4
(2) 2
m +4m+4 m+2
2
如果代数式m +2m = 1，那么 ÷ 的值为___________．
m 2
m
练5.1 1 1 2x+3xy−2y
已知 − = 3，求代数式 的值．
x y x−xy−y
能力强化 / 初二 / 秋季
第 12 讲 分式计算
自我巩固答案
1 下列计算错误的是（ ）
A： 3y x 1
⋅ =
2 3y x
x
B： 1
( )
2 2
a −b ⋅ = a−b
a+b
C： 2 1 2
÷ =
2 x−1 x+1
x −1D： 3b
2
− ÷2ab = −6b
a
2 2
(
x
)2
(x )3
(
x
)4
计算 − ⋅ ÷ 的结果是（ ）
y y y
A： 4
x
B： 4
x
2
y
C： 4
x
y
D： 4
−x
3 下列运算中，结果正确的有（ ）
2 2
1 1 2 a+3 1 a +b a−3 1
① + = ；② = ；③ = a+b；④ = ．
a b a+b 2 a+3 a+b 2 a−3
a +6a+9 a −9
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
4 约分：
2 2
2x(x−1) x +12xy+36y
（1） ； （2） ．
2 2 2
4xy (1−x) x −36y
5 2 2
2a+2b a −b
计算： ÷ ．
3ab 2
9a b6 x y
（1）通分： ， ；
ac bc
2x x
（2）通分： ， ．
2 2x+6
x −9
7 计算：
2 2
(
a
)2
( 2a )3 a a−a a−1 a+1
（1） ÷ − ⋅ ； （2） ÷ ⋅ ．
b 3b 12b 2 a 2
a −1 (a−1)
8 2
( 2 x+5 ) x +3x
化简： + ÷
x+2 2 x+2
x +4x+4
9 2
2x−1 x −1
( )
先化简，后求值： −1 ÷ ，其中x = 2018．
x x
10 2
a −3ab 1 1
( )
先化简，后求值： ÷ + ，其中a−3b−4 = 0．
2 2 a+b a−b
a −b
能力强化 / 初二 / 秋季
第 12 讲 分式计算
课堂落实答案
1 下列化简中正确的是（ ）
A： 6
x
3
= x
2
x
B： x+y
= 0
x−yC： x+y 1
=
2 x
x +xy
D： 2
2xy 1
=
2 2
4x y
2 2
m +mn mn
化简 ÷ 的结果是（ ）
m−n m−n
A： m+n
n
B： 2
m
m−n
C： m−n
n
D： 2
m
3 x 1
计算： − ．
2 2 2x−6y
x −9y
4 ( 2 )
(x+2) x −6x+9
先化简，再求值： ，其中x = 4．
2
x −4
5 1 1 −x+xy+y
已知 − = 5，求 的值．
x y 2x+7xy−2y
能力强化 / 初二 / 秋季
第 12 讲 分式计算精选精练
1 y x
通分： 与 ．
4a(x+2) 2
6(x +4x+4)
2 x −2x
计算： −1+ ．
x+3 2
x +2x−3
3 x ( 1 )
( )
化简： x− ÷ 1+ ．
x+1 2
x −1
4 2
x x +xy
已知 = 3，则 的值为（ ）
y 2
y
A： 12
B： 9
C： 6
D： 3
5 2 2
a −9 a−2 a−a
先化简 ÷ − ，然后在0，1，2，3中选择一个你认为合适的a值，代入求
2 2 2
a +6a+9 a +3a a −1
值．
6 ab 1 bc 1 ac 1 abc
已知 = ， = ， = ，求 的值．
a+b 3 b+c 4 a+c 5 ab+bc+ac
能力强化 / 初二 / 秋季
第 13 讲 分式方程及应用题
例题练习题答案例1 解方程：
2 3
（1） = ；
x−2 x
2−x 1
（2） +4 = ；
x−3 3−x
x 2
（3） − = 1；
x−1 2
x −1
3x x
（4） = −1．
2 x+3
x +6x+9
练1.1 解方程：
x−3 3
（1） +1 = ；
x−2 2−x
3 x x
（2） = − ．
2 x−1 x+2
x +x−2
例2 (1)一艘轮船在静水中的最大航速为35千米/时，当江水匀速流动时，这艘轮船以最大航速沿江顺
流航行120千米所用时间，与以最大航速沿江逆流航行90千米所用时间相同，求江水的流
速．
(2)列方程（组）解应用题：
德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶在高
速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行
驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
练2.1 (1)小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若
校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校
时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A： 5 1 5
+ =
x 6 2xB： 5 1 5
− =
x 6 2x
C： 5 5
+10 =
x 2x
D： 5 5
−10 =
x 2x
(2)船航行于相距32千米的两码头之间，逆水比顺水多用12小时，若水流速度比船在静水中的速
度少2千米/时，求水流速度及船在静水中的速度．
练2.2 港珠澳大桥由香港人工岛向西横跨伶仃洋，经过澳门，至珠海洪湾，总长55千米．一辆客车和一
辆轿车同时从香港人工岛出发沿港珠澳大桥行驶到达珠海洪湾，若轿车的行驶时间是客车行驶时
10
间的 ，轿车平均每小时比客车多行驶8千米，求这辆轿车从香港人工岛出发到珠海洪湾需要的时
11
间．
例3 (1)某帐篷厂接到在规定的时间内加工1500顶帐篷的任务，在加工了300顶帐篷后，厂家把工作
效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务．
①现在每天加工多少顶帐篷？
②加工这些帐篷实际共用多少天？
(2)甲、乙两人制作某种机械零件，已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用的时间与乙做84
个所用的时间相等，甲、乙两人每小时各做多少个零件?
练3.1 (1)某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若
由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数
的3倍．如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
①这项工程的规定时间是多少天？
②已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少
对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成．则该工程施工费用
是多少？(2)甲、乙两人合做一项工程，4小时后甲因另有工作离开，剩下的工作由乙独做6小时完成．已
知甲的工作效率是乙的工作效率的2倍，两人独做各需几小时？
例4 (1)某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式衬
衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元，这两次各购进这种衬衫多少
件？
(2)某服装店用8000元购进一批衬衫，以58元/件的价格出售，很快售完，然后又用17600元购
进同款衬衫，购进数量是第一次的2倍，购进的单价比上一次多4元，服装店仍按原售价58元/
件出售，并且全部售完．
①该服装店第一次购进衬衫多少件？
②将该服装店两次购进衬衫看作一笔生意，那么这笔生意是盈利还是亏损？盈利（或亏损）
多少元？
练4.1 (1)某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍
可盈利9%．
①求这款空调每台的进价
利润 售价−进价
（利润率 = = ）；
进价 进价
②在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，盈利多少元？
(2)近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室
内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万
元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．
①A种、B种设备每台各多少万元？
②根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，A种设备至少要
购买多少台？
能力强化 / 初二 / 秋季
第 13 讲 分式方程及应用题自我巩固答案
1 a 15
若x = 5是分式方程 − = 0的解，则（ ）
x−2 x
A： a = −5
B： a = 5
C： a = −9
D： a = 9
2 4 1
解方程： − = 0．
2 x−2
x −4
3 解方程：
2x 1 2 x 1
（1） = 1− ；（2） + = ．
x−1 1−x 3 3x−1 9x−3
4 2016特步欢乐跑⋅中国（重庆站）10公里锦标赛于5月8日上午在重庆巴南区巴滨路圆满举行，若
专业队员甲的速度是业余队员乙的速度的2.5倍，比赛开始后甲先出发5分钟，到达终点50分钟后
乙才到．若设乙的速度为x千米/小时，则根据题意可列方程为（ ）
A： 10 10
−50 = −5
x 2.5x
B： 10 50 10 5
+ = −
x 60 2.5x 60
C： 10 50 10 5
+ = +
x 60 2.5x 60
D： 10 50 10 5
− = −
x 60 2.5x 60
5 运动会上，初二（3）班啦啦队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费
30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（ ）
A： 40 30
− = 20
1.5x x
B： 40 30
− = 20
x 1.5x
C： 30 40
− = 20
x 1.5x
D： 30 40
− = 20
1.5x x
6 一艘轮船在静水中的最大航速为24千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行120千米，再以最大航
速返航．经过与顺流航行相等的时间，返航行程恰好比顺航行程的一半多20千米．求江水的流
速．
7 某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间
完成整个工程，当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，
要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，
结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
8 某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：若由两个工程队合做，12天
恰好完成；若两个队合做9天后，剩下的由甲队单独完成，还需5天时间，现需从这两个工程队中
选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队?为什么?
9 某幼儿园打算在六一儿童节给小朋友买礼物，计划用270元购买一定数量的棒棒糖，商店推出优
惠，购买达到一定数量之后，购买总金额打八折，此时，王老师发现，花480元可以买到计划数量
的2倍还多20个，那么棒棒糖的原来的单价是多少？
能力强化 / 初二 / 秋季第 13 讲 分式方程及应用题
课堂落实答案
1 1 2k
已知x = 1是分式方程 = 的解，则k = __________．
x+2 x
2 2 x+2
解方程： + = −1．
x+3 3−x
3 甲、乙两同学同时从学校出发，步行10千米到某博物馆，已知甲每小时比乙多走1千米，结果乙比
甲晚20分钟到达．设乙每小时走x千米，则所列方程正确的是（ ）
A： 10 10
− = 20
x+1 x
B： 10 10
− = 20
x x+1
C： 10 20 10
− =
x+1 60 x
D： 10 20 10
− =
x 60 x+1
4 某公司承担了制作500套校服的任务，原计划每天制作x套，实际平均每天比原计划多制作了12
套，因此提前4天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A： 500 500
− = 12
x x+4
B： 500 500
− = 12
x−5 x
C： 500 500
− = 4
x x+12D： 500 500
+12 =
x−4 x
5 某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20
瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列方程为（ ）
A： 420 420
− = 20
x x−0.5
B： 420 420
− = 20
x−0.5 x
C： 420 420
− = 0.5
x x−20
D： 420 420
− = 0.5
x−20 x
能力强化 / 初二 / 秋季
第 13 讲 分式方程及应用题
精选精练
1 2
2x+2 x+2 x −2
解分式方程： − = ．
x x−2 2
x −2x
2 动车的开通为江都市民的出行带来很多方便，从江都到南京，路程120公里，某趟动车的平均速度
比普通列车快50%，所需时间比普通列车少20分钟，求该动车的平均速度．
（1）根据题意填空：
120 120
①若小慧设____________为x公里/小时，列出尚不完整的方程： = +( )；
x 1.5x
120 120
②若小聪设____________为y小时，列出尚不完整的方程： = 1.5× ；
y ( )（2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程．
3 2017年9月21日，我国自主研发的中国标准动车组“复兴号”正式上线运营，运营速度世界第一
的桂冠，中国失而复得．现有甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海．已知
4
北京到上海的距离约1320千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的 倍，全程运行
3
时间比列车乙少1.5小时，求列车甲从北京到上海运行的时间．
4 某城镇在对一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲队工程款2万
元，付乙队工程款1.5万元，现有三种施工方案：（A）由甲队单独完成这项工程，恰好如期完
工；（B）由乙队单独完成这项工程，比规定工期多6天；（C）由甲乙两队 ，剩下的由乙
队单独做，也正好能如期完工．小聪同学设规定工期为x天，依题意列出方程：
1 1 x−5
5×( + )+ = 1．
x x+6 x+6
（1）请将（C）中被墨水污染的部分补充出来：__________________；
（2）你认为三种施工方案中，哪种方案既能如期完工，又节省工程款？说明你的理由．
5 在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工
作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y
天完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？
6 几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用350元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：
小芳：今天看演出，如果我们每人一张票，会差两张票的钱．
小明：过两天就是“儿童节”了，到时票价会打七折，我们每人一张票，还能剩35元钱呢！
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 14 讲 含参的分式方程例题练习题答案
例1 (1) 1 a−2
若x = 4是分式方程 −3 = 的根，则a的值为（ ）
x x
A： 9
B： −9
C： 13
D： −13
(2) x k
已知关于x的分式方程 −2 = 的解为正数，则k的取值范围为（ ）
x−1 1−x
A： −2 < k < 0
B： k > −2且k ≠ −1
C： k > −2
D： k < 2且k ≠ 1
练1.1 (1) ax 3
若关于x的方程 −1 = 的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ）
1+x x+1
A： 6
B： 0
C： 1
D： 9
(2) 2 m 3 1
已知关于x的分式方程 = 与分式方程 = 的解相同，求m 2 −2m的值．
x+4 x 2x x−1
例2 (1) 1 a−x
若分式方程 +1 = 有增根，则a的值是（ ）
x−3 x−3A： 4
B： 3
C： 2
D： 1
(2) m 1
m = ______时，方程 − = 1会出现增根．
x(x+1) x
练2.1 (1) mx−3
若分式方程 +1 = m有增根，则这个增根的值为（ ）
x+3
A： 1
B： 3
C： −3
D： 3或−3
(2) k 1
按照解分式方程的一般步骤解关于x的方程1− = 出现增根−1，则k =
x+1 (x+1)(1−x)
______．
例3 2 kx 3
关于x的分式方程 + = 会产生增根，则k = ______．
x−1 2 x+1
x −1
练3.1 ax+1 2
关于x的方程： − = 1．
x−1 1−x
（1）当a = 3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值．
例4 m 1−x
如果关于x的方程 +3 = 无解，试求m的值．
x−2 2−x练4.1 m 1−x
若 − = 0无解，则m的值是（ ）
x−3 3−x
A： 3
B： −3
C： −2
D： 2
例5 3−2x mx−2
（1）若关于x的方程 − = −1无解，求m的值．
x−3 3−x
2 mx 3
（2）若关于x的分式方程 + = 无解，求m的值．
x−2 2 x+2
x −4
练5.1 1 a 2
关于x的分式方程 − = 总无解，求a的值．
x−2 3−x 2
x −5x+6
例6 m+x−1 3m+1
已知，关于x的分式方程 − = 1．
x x+1
（1）当m = −1时，请判断这个方程是否有解并说明理由；
（2）若这个分式方程有实数解，求m的取值范围．
练6.1 2 ax 3
已知，关于x的方程 + = 有解，求a的取值范围．
x−3 2 x+3
x −9
能力强化 / 初二 / 秋季
第 14 讲 含参的分式方程
课堂落实答案1 2ax+3 3
关于x的方程 = 的解为x = 1，则a = （ ）
a−x 4
A： 1
B： 3
C： −1
D： −3
2 2x+m
关于x的分式方程 = 3的解是正数，则m可能是（ ）
x−2
A： −5
B： −6
C： −7
D： −8
3 m 3
已知关于x的分式方程 + = 1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
x−1 1−x
A： m > 2
B： m ≥ 2
C： m > 2且m ≠ 3
D： m ≥ 2且m ≠ 3
4 x m
若关于x的分式方程 −2 = 有增根，则m的值为__________．
x−3 x−3
5 2
x m x
若关于x的分式方程 − = 无解，则m = ________．
x−3 x+3 2
x −9能力强化 / 初二 / 秋季
第 14 讲 含参的分式方程
自我巩固答案
1 3x−a 1
已知关于x的分式方程 = 的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
x−3 3
A： a > 1
B： a ≥ 1且a ≠ 3
C： a ≥ 1且a ≠ 9
D： a ≤ 1
2 m 2x
如果解关于x的分式方程 − = 1时出现增根，那么m的值为（ ）
x−2 2−x
A： −2
B： 2
C： 4
D： −4
3 x+2 m
若关于x的方程 = 有增根，则m的值与增根x的值分别是（ ）
x−2 x−2
A： m = −4，x = 2
B： m = 4，x = 2
C： m = −4，x = −2
D： m = 4，x = −24 5 a 4
若方程 = + 有增根，则增根可能为（ ）
x−2 x x(x−2)
A： 0
B： 2
C： 0或2
D： 1
5 1 m
若解关于x的分式方程 +1 = 时会产生增根，则m的值为（ ）
x−1 1−x
A： m = 1
B： m = −1
C： m = 0
D： m = ±1
6 2x+m
已知关于x的方程 = 3，下列说法正确的有（ ）
x−2
①当m > −6时，方程的解是正数；②当m < −6时，方程的解是负数；③当m = −4时，方程无
解．
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
7 1
下列关于分式方程 +1 = 0的解的情况说法正确的为（ ）
x−1
A： 有解且x = 0
B： 有解且x = 1C： 有解且x = 2
D： 无解
8 x m
若关于x的分式方程 −1 = 无解，求m的值．
x−1 (x−1)(x+2)
9 1
从−3，−1， ，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使得关于x的不等式组
2
1
{
x a−2
(2x+7) ≥ 3
3 无解，且使关于x的分式方程 − = −1有整数解，求这5个数中所有满足
x−3 3−x
x−a < 0
条件的a的值之和．
10 1 2 k
若分式方程 + = 有解，求k的取值范围．
x x−1 2
x −x
能力强化 / 初二 / 秋季
第 14 讲 含参的分式方程
精选精练
1 x+m 3m
若关于x的分式方程 + = 3的解为正实数，求实数m的取值范围．
x−2 4−2x
2 x+1 1 1+k
若关于x的方程 − = 有增根，求增根和k的值．
2 3x 3x−3
x −x
3 m 1
关于x的分式方程 − = 0的解，下列说法正确的是（ ）
x x+1
A： 不论m取何值时，该方程总有解B： m
当m ≠ 1时该方程的解为x =
1−m
C： m
当m ≠ 1且m ≠ 0时，该方程的解为x =
1−m
D： 当m = 2时该方程的解为x = 2
4 m+x
若关于x的分式方程2m+ = 0无解，则m = （ ）
x−1
A： 1
B： 1
−
2
C： −1
D： 1
−1或−
2
5 x−3 m
若关于x的方程 = 无解，则m = _________．
x−2 2−x
6 阅读下列材料：
a 3
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程 + = 1
x−1 1−x
的解为正数，求a的取值范围？
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x = a−2．由题意可得a−2 > 0，所以a > 2，
问题解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证a ≠ 3才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明并完成下列问题：
2mx−1
（1）已知关于x的方程 = 1的解为负数，求m的取值范围；
x+23−2x 2−nx
（2）若关于x的分式方程 + = −1无解，直接写出n的取值范围．
x−3 3−x
能力强化 / 初二 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 正五边形的内角和为（ ）
A： 180∘
B： 360∘
C： 540∘
D： 720∘
2 如图，∠A = 54∘，∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，则∠BOC等于（ ）
A： 80∘
B： 117∘
C： 76∘
D： 115∘
3 已知∠BAD = ∠CAD，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
• • •A： AB = AC
B： BD = CD
C： ∠B = ∠C
D： ∠BDA = ∠CDA
4 下列因式分解正确的是（ ）
A： 2
x −4 = (x+2)(x−2)
B： 3 2 ( 2 )
x −6x +9x = x x −6x+9
C： 2
x −2x−3 = (x−1)(x+3)
D： 2 2
3x +4x+4 = x +4(x+1)
5 当x为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A： x+1
|x|
B： x+1
2
x
C： x+1
2
x +1
D： x+1
2
x −1
6 等腰三角形一底角为30°，底边上的高为4，则腰长为（ ）
A： 2
B： 4
C： 6
D： 87 2x−3
根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
4−x
A： 2x−3
−
x−4
B： 2x−3
−
4−x
C： 3−2x
4−x
D： 3−2x
−
x−4
8 2 2
若a+b = 3，ab = 1，则a +b = （ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
9 A、B两地相距36千米，一艘小船从A地匀速顺流航行至B地，又立即从B地匀速逆流返回A地，共
用去9小时．已知水流速度为3千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则求x时所列方
程正确的是（ ）
A： 36 36
+ = 9
x+3 x−3
B： 36 36
+ = 9
3+x 3−x
C： 36
+3 = 9
xD： 72 72
+ = 9
x+3 x−3
10 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C = 90∘，AC = 8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上
运动，且保持AD = CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，下列结论：
①△DFE始终是等腰直角三角形；
②DF长度的最小值为4；
③四边形CDFE的面积保持不变；
④△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
11 3
3xy 4y
计算 ⋅ = ______________．
2 2
2x 9xy
12 2
因式分解：x −8x+15 = _______________．
13 a ab
、 的最简公分母为______________．
2 2 2 2
a −b a +2ab+b
14 如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE = DB，则CE的长为
____________．15 2
x −9
若 的值为0，则x的值为__________．
2x−6
16 如图，在△ABC中，∠C = 90∘，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB = a，CD = b，则△ADB的面积
为______________．
17 ax+1
若关于x的分式方程 −1 = 0有增根，则a的值为__________．
x−1
18 计算：
a+b 2a
（1） + ；
a−b b−a
x−1 x
（2） − ．
x+2 x−3
19 化简求值：
(1) [ 2 2 2 ]
已知2x−y = 10，求 x +y −(x−y) +2y(x−y) ÷4y的值．
(2) ( 1 1 ) x+1
先化简，再求值： + ÷ ，其中x = 3．
2 2 x+2
x +4x+4 x +2x
20 解方程：1−x x+3
（1） + = −1；
x−2 2−x
2 3 14
（2） + = ．
2 2 2
x +3x 3x−x x −9
21 列分式方程解应用题：
甲、乙二人分别从相距36km的A、B两地同时相向而行，甲从A地出发1km后发现有物品遗忘在A
地，便立即返回，取了物品立即从A地向B地行进，这样甲、乙二人恰在AB中点相遇．如果甲每小
时比乙多走0.5km，求甲乙二人的速度各是多少？
22 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，∠DCB=∠B，若AC＝10，CD＝8，求AB的
长．
23 如图，已知等边△ABC，P为AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE，EC延长线交BP于M，连接
AM．
求证：（1）BP = CE；
（2）EM−PM = AM．
24 已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G(如图1)，求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M(如图2)，找出图中与BE相等的线
段，并证明．25 因式分解：
2 2 2
（1）a −4b +3c −4bc+4ac = _________________________；
4 2
（2）x −3x +9 = ____________________________________．
26 如图所示，已知△ABC中，AB = AC = BC = 10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形
的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点
时，M，N同时停止运动．
(1)M，N同时运动几秒后，M，N两点重合？
(2)M，N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
(3)M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M，N
运动的时间？
