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能力提高 / 初二 / 暑假
第 1 讲 三角形的边
例题练习题答案
例1 (1) 已知 △ ABC的三边a，b，c满足(a−b) 2 = 0，则 △ ABC的形状是（ ）
A： 钝角三角形
B： 直角三角形
C： 等腰三角形
D： 以上都不对
(2)图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 以上都有可能
例2 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A： 4 cm，5 cm，9 cm
B： 8 cm，8 cm，15 cm
C： 5 cm，5 cm，10 cm
D： 6 cm，7 cm，14 cm
练2.1 下列数据，能作为三角形三边长度的是（ ）
A： 1，2，3B： 3，4，5
C： 2 2 2
3 ，4 ，5
D： 10，14，27
例3 已知三角形的三边长分别为4、a、8，那么a的取值范围是（ ）
A： 0 < a < 8
B： 4 < a < 12
C： 1 < a < 12
D： 4 < a < 6
练3.1 若三角形两边长为8和12，则第三边x的范围是_____________，周长c的范围是______________．
例4 如图，在 △ ABC中，BC边上的高为（ ）
A： BF
B： CF
C： BD
D： AE
练4.1 下列四个图形中，线段BE是 △ ABC的高的是（ ）
A：B：
C：
D：
例5 如图，在 △ ABC中，AD是BC边上的中线， △ ADC的周长比 △ ABD的周长多5cm，AB与AC的
和为13cm，求AC的长．
练5.1 如图，已知S = 8cm 2 ，AD是中线，DE是 △ ADC的中线，则三角形ADE的面积为（ ）
△ABC
A： 2
6cm
B： 2
4cm
C： 2
3cm
D： 2
2cm例6 如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，则AE是（ ）的角
平分线．
A： △ABE
B： △ACE
C： △ABC和△ABE
D： △ABC和△ADF
例7 如图所示，AD，BE，CF是 △ ABC的角平分线，∠ACD = 50∘，则下列说法正确的是（ ）
A： ∠FCA = 30∘
B： ∠EBC = ∠FCB
C： 若∠ABE = 25∘，则∠ACD = ∠ABC
D： 若∠BAC = 40∘，则∠ACF = ∠DAC
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第 1 讲 三角形的边
自我巩固答案
1 下面这个三角形被遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是（ ）A： 一个锐角，一个钝角
B： 两个锐角
C： 一个是锐角，一个直角
D： 一个直角，一个钝角
2 已知 △ ABC的三边a，b，c满足(a−b)(a−c) = 0，则 △ ABC的形状是（ ）
A： 钝角三角形
B： 直角三角形
C： 等腰三角形
D： 锐角三角形
3 一个三角形有两条边相等，周长为18cm，一边长为4cm，求其它两边长．
4 三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是___________．
5 三角形的角平分线是一条（ ）
A： 直线
B： 线段
C： 射线
D： 以上三种情形都有可能
6 如图所示，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，下列结论中错误的是（ ）A： BD是△ABC的角平分线
B： CE是△BCD的角平分线
C： 1
∠3 = ∠ACB
2
D： CE是△ABC的角平分线
7 如图，AD是 △ ABC的一条中线，CE是 △ ACD的一条中线，S = 1，则S = （ ）
△AEC △ABC
A： 2
B： 3
C： 4
D： 无法计算
8 如图，在 △ ABC中，BC边上的高是（ ）
A： CE
B： DA
C： CF
D： BD
9 对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（ ）
A： 锐角三角形有三条高
B： 钝角三角形有两条高在三角形的外部C： 直角三角形只有一条高
D： 锐角三角形的三条高都在三角形的内部
10 如图所示，CD是 △ ABC的中线，AC = 9 cm，BC = 3 cm，那么 △ ACD和 △ BCD的周长差是
___________cm．
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第 1 讲 三角形的边
课堂落实答案
1 在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是（ ）
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 以上都有可能
2 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A： 5，6，10
B： 5，6，11
C： 3，4，8
D： 4a，4a，8a(a > 0)
3 下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）A：
B：
C：
D：
4 一个三角形的三条角平分线的交点在（ ）
A： 三角形内
B： 三角形外
C： 三角形的某边上
D： 以上三种情形都有可能
5 如图，AD是 △ ABC的中线，已知 △ ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则 △ ACD的周长为
________cm．
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第 1 讲 三角形的边
精选精练1 一个三角形至少有（ ）
A： 一个锐角
B： 两个锐角
C： 一个钝角
D： 一个直角
2 有四根长度分别为9、12、16、25的木条，从中取三根搭三角形，有几种选法？为什么？
3 一个三角形的三边长分别是xcm、(x+2)cm、(x+5)cm．它的周长不超过37cm．求x的取值范围．
4 若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，则此三角形是（ ）
A： 锐角三角形
B： 钝角三角形
C： 不能确定
D： 直角三角形
5 如图所示，在 △ ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S = 4 cm 2 ，则
△ABC
阴影部分的面积等于（ ）
A： 2
2cm
B： 2
1cm
C： 1
2
cm
2
D： 1
2
cm
46 下列说法正确的是（ ）
A： 三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
B： 直角三角形只有一条高
C： 三角形的角平分线其实就是角的平分线
D： 三角形的三条高至少有一条在三角形内
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第 2 讲 三角形的角
例题练习题答案
例1 如图，在△ABC中，∠ABC = 50∘，∠ACB = 70∘，AD平分∠BAC．过点D作DE⊥AB于点E，则
∠ADE = _______．
练1.1 如图，∠A = 65∘，∠ABD = 30∘，∠ACB = 72∘，且CE平分∠ACB，则∠BEC = _____________．
例2 在下列条件中：
①∠A+∠B = ∠C；②∠A:∠B:∠C = 2:3:4；
③∠A = 90∘ +∠B；④∠A = ∠B−∠C；
⑤∠A+∠B > ∠C，
能确定 △ ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A： 1B： 3
C： 2
D： 4
练2.1 下列条件：
①∠A+∠B = ∠C；②∠A:∠B:∠C = 1:2:3；
1 1
③∠A = ∠B = ∠C；④∠A = ∠B = 2∠C；
2 3
⑤∠A = 2∠B = 3∠C，
其中能确定 △ ABC为直角三角形的条件有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
例3 如图， △ ABC中，∠A = 70∘，∠B = 60∘，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于（ ）
A： 100∘
B： 120∘
C： 130∘
D： 150∘
练3.1 如图，a，b两片木条放在地面上，∠1，∠2分别为两片木条与地面的夹角，∠3是两片木条间的夹
角，若∠2 = 120∘，∠3 = 100∘，则∠1的度数为（ ）A： 38∘
B： 40∘
C： 42∘
D： 45∘
例4 一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A： ∘
75
B： ∘
60
C： ∘
65
D： ∘
55
练4.1 如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C = 90∘，∠B = 45∘
，∠E = 30∘，则∠BFD的度数是（ ）
A： 15°
B： 25°
C： 30°
D： 10°
例5 (1)下列说法正确的有（ ）①由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形；②各边都相等的多边形是正多边形；
③各角都相等的多边形一定是正多边形．
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
(2)如图，下列图形不是凸多边形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
练5.1 下列图形中，是正多边形的是（ ）
A： 等腰三角形
B： 长方形
C： 正方形
D： 五边都相等的五边形
例6 从七边形的一个顶点出发，能引出___________条对角线，它们将七边形分成___________个三角形．
例7 一个多边形的内角和是720∘，这个多边形的边数是（ ）
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7例8 (1)一个多边形内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（ ）
A： 4
B： 5
C： 6
D： 8
(2) 一个多边形的每一个外角都是40∘，则这个多边形的边数是__________．
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第 2 讲 三角形的角
自我巩固答案
1 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A = 80∘，∠ACB = 66∘，那么∠BDC的度数是（ ）
A： 113∘
B： 123∘
C： 112∘
D： 103∘
2 如图，在△ABC中，∠A = 45∘，∠C = 75∘，BD是△ABC的角平分线，则∠BDC的度数为（ ）A： 60∘
B： 70∘
C： 75∘
D： 105∘
3 一个三角形三个内角的度数之比是2：3：5，则这个三角形一定是（ ）
A： 直角三角形
B： 等腰三角形
C： 钝角三角形
D： 锐角三角形
4 如图，在 △ ABC中，D是CA延长线上一点，∠B = 40∘，∠BAD = 76∘，则∠C的度数为（ ）
A： 36°
B： 116°
C： 26°
D： 104°
5 如图，BE、CF是 △ ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠ABE = 40∘，则∠BHC为（ ）
A： 160°B： 150°
C： 140°
D： 130°
6 将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ）
A： 105∘
B： 120∘
C： 100∘
D： 90∘
7 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A： 105∘
B： 120∘
C： 100∘
D： 90∘
8 下列图中不是凸多边形的是（ ）
A：B：
C：
D：
9 下列说法中错误的有__________________（填写序号）．
①各边、各角都相等的多边形是正多边形；
②多边形的各边相等；
③由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形；
④多边形的各条对角线都相等．
10 一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形？经过它的一个顶点可以引出多少条对角线？
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第 2 讲 三角形的角
课堂落实答案
1 如图，AD是△ABC的角平分线，已知∠C = 80∘，∠B = 40∘，则∠ADC的度数为（ ）
A： 50∘
B： 60∘C： 70∘
D： 80∘
2 已知在 △ ABC中，∠A = 40∘，∠B = 50∘，则 △ ABC为（ ）
A： 锐角三角形
B： 钝角三角形
C： 直角三角形
D： 以上都有可能
3 如图，∠1的度数为_______．
4 下列属于正多边形的特征的有（ ）
①各边相等；
②各个内角相等；
③各个外角相等；
④各条对角线相等．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5 已知一个多边形的内角和是900∘，则这个多边形是（ ）
A： 五边形
B： 六边形
C： 七边形
D： 八边形能力提高 / 初二 / 暑假
第 2 讲 三角形的角
精选精练
1 1 1
在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C，则△ABC是（ ）
3 4
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 以上都有可能
2 如图，已知∠ACF = 115∘，∠ADE = 50∘，∠B = 35∘，求∠F与∠CED的度数．
3 如图，∠A = 32∘，∠B = 45∘，∠C = 38∘，则∠DFE = （ ）
A： 120∘
B： 115∘
C： 110∘
D： 105∘4 将一副直角三角板如图放置，使含30∘角的三角板的短直角边和含45∘角的三角板的一条直角边重
合，则∠1的度数为（ ）
A： 75∘
B： 60∘
C： 45∘
D： 30∘
5 如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，若∠1+∠2+∠3+∠4 = 225∘，ED//AB
，则∠1的度数为（ ）
A： 55∘
B： 45∘
C： 35∘
D： 25∘
6 在四边形ABCD中，∠D = 60∘，∠B比∠A大20∘，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
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第 3 讲 全等三角形（一）例题练习题答案
例1 下列四个图形中，全等的图形是（ ）
A： ①和②
B： ①和③
C： ②和③
D： ③和④
练1.1 对于两个图形：
①两个图形的周长相等；
②两个图形的面积相等；
③两个图形的周长和面积都相等；
④两个图形的所有对应角都相等；
⑤两个周长相等的圆；
⑥两个面积相等的正方形．
其中能获得这两个图形全等的结论有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例2 △ABC≌△DEF，下列结论中不正确的是（ ）
A： AB = DE
B： BE = CFC： BC = EF
D： AC = DE
练2.1 如图所示，△ACB≌△BDA，点A与点B、点C与点D是对应顶点，如果∠DAB = 50∘，∠DBA = 40∘
，那么∠DAC的度数为（ ）
A： 50∘
B： 40∘
C： 10∘
D： 5∘
例3 如图，△ABC≌△BAD，如果AB=6cm，BD=4cm，AD=5cm，那么BC的长是（ ）
A： 4cm
B： 5cm
C： 6cm
D： 无法确定
练3.1 如图，若△ABD≌△EBC，且AB = 3，BC = 5，则DE的长为（ ）
A： 2
B： 3C： 4
D： 5
例4 如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB = DE，AC = DF，BE = CF，请将下面说明
△ABC≌△DEF的过程和理由补充完整．
证明：∵BE = CF（______），
∴BE+EC = CF+EC，
即BC = EF．
在△ABC和△DEF中，
AB = ______ (_______)，
{
______ = DF(________)，
BC = ______，
∴△ABC≌△DEF（______）．
练4.1 如图，AB = AC，BD = CE，AD = AE． 求证：△ABD≌△ACE．
练4.2 如图，AB = DC，AC = BD，求证：△ABC≌△DCB．
例5 已知：如图，OA = OC，OB = OD，试说明：△AOB≌△COD．练5.1 如图，AD = BC，∠DAB = ∠CBA，证明：△ABD≌△BAC．
例6 如图，已知：OA = OB，OC = OD，求证：△AOD≌△BOC．
练6.1 如图，点E、F在BC上，BE = FC，AB = DC，∠B = ∠C．求证：∠A = ∠D．
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第 3 讲 全等三角形（一）
自我巩固答案
1 下列图形中是全等图形的是（ ）
A：
B：
C：D：
2 下列说法正确的是（ ）
A： 两个面积相等的图形一定是全等图形
B： 两个长方形是全等图形
C： 两个全等图形形状一定相同
D： 两个正方形一定是全等图形
3 若△ABC≌△DEF，∠A = 80∘，∠B = 40∘，那么∠F的度数是（ ）
A： 80∘
B： 40∘
C： 60∘
D： 120∘
4 如图，已知， △ ABC≌ △ DEB，点E在AB上，若DE=8，BC=5，线段AE的长为（ ）
A： 3
B： 5
C： 6
D： 4
5 如图，已知 △ ABC≌ △ AEF，则对于结论①AC = AF，②∠FAB = ∠EAB，③EF = BC，
④∠EAB = ∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
6 如图，已知AC=FD，BC=ED，点B、D、C、E在一条直线上，要利用“SSS”证明△ABC≌
△FED，还需添加条件是（ ）
A： AB = EF
B： ∠A = ∠F
C： EC = BD
D： AB//EF
7 如图，C是AB的中点，AD = CE，CD = BE．求证：△DCA≌△EBC．
8 如图，AB=AC，BD=CD，补全下列证明△ABD≌△ACD的过程．证明：在△ABD和________中，
AB = (已知)
_
{
BD = (已知)
_
AD = (公共边)
_
∴ △ ABD≌ △ ACD（_______）
9 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一
个条件是（ ）
A： ∠BCA=∠F
B： ∠B=∠E
C： BC∥EF
D： ∠A=∠EDF
10 已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF = CE，AC = DF，且∠ACB = ∠DFE．求证：
AB = DE．能力提高 / 初二 / 暑假
第 3 讲 全等三角形（一）
课堂落实答案
1 下列图形中与已知图形全等的是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 面积相等的两个三角形（ ）
A： 必定全等
B： 必定不全等
C： 不一定全等
D： 以上答案都不对
3 如图，△ABC≌△EDF，AF = 20，EC = 8，则AE等于__________．
4 如图，△ABC中，AB = AC，BE = EC，直接使用“SSS”可判定（ ）A： △ABD≌△ACD
B： △ABE≌△ACE
C： △BED≌△CED
D： △ABE≌△EDC
5 如图，AC、BD相交于点O，OA = OD，用“SAS”证△ABO≌△DCO还需（ ）
A： AB = DC
B： ∠A = ∠D
C： OB = OC
D： ∠AOB = ∠DOC
能力提高 / 初二 / 暑假
第 3 讲 全等三角形（一）
精选精练
1 全等形是指（ ）
A： 形状相同的两个图形
B： 面积相同的两个图形C： 两个等腰三角形
D： 能够完全重合的两个平面图形
2 如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x = _____．
3 如果△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是90cm，AB=30cm，DF=30cm，那么BC的长等于_____cm.
4 如图，已知AB=AC，AE=AD，点B、D、E、C在同一条直线上，要利用“SSS”推理得出
△ABE≌△ACD，下列还可以添加的条件是________．
①BD=DE；②BD=CE；③DE=EC；④BE=CD．
5 如图所示，BD=CE，添加一个条件，使∠ABE=∠ACD（利用“SSS”判定），并给予证明．
6 如图，OP平分∠AOB，且OA = OB．
（1）写出图中四对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）；
（2）从（1）中任选一个结论进行证明．能力提高 / 初二 / 暑假
第 4 讲 全等三角形（二）
例题练习题答案
例1 如图，点E，F在BC上，BF = CE，∠AFB = ∠DEC，∠B = ∠C．
求证：△ABF≌△DCE．
练1.1 如图，已知AB与CD相交于点O，∠C = ∠B，CO = BO，求证：△AOC≌△DOB．
练1.2 如图，AB//CD，∠AEB = ∠DFC，BF = CE，求证：△ABE≌△DCF．
例2 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB//CD，AE = DF，∠A = ∠D．求
证：△ABE≌△DCF．
练2.1 如图，D在AB上，E在AC上，且∠B = ∠C，AD = AE，求证：△ABE≌△ACD．练2.2 如图，AB = AE，∠1 = ∠2，∠C = ∠D．求证：△ABC≌△AED．
例3 如图，已知∠A = ∠D = 90∘，BD与AC相交于点O，且BD = AC．
求证：△ABC≌△DCB．
练3.1 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD = BC．求证：△ABD≌△CDB．
练3.2 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB = AD，求证：△ABC≌△ADC．
例4 下列说法正确的有( )个．
①两条边对应相等的两个直角三角形全等；
②有一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等；
③一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全等；④面积相等的两个直角三角形全等．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
练4.1 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( )
A： 两条直角边对应相等
B： 斜边和一锐角对应相等
C： 斜边和一直角边对应相等
D： 两个锐角对应相等
能力提高 / 初二 / 暑假
第 4 讲 全等三角形（二）
自我巩固答案
1 小明给小红出了这样一道题：如下图，由AB = AC，∠B = ∠C，便可知道△ABD≌△ACE．这是根
据什么理由得到的？小红想了想，马上得出了正确的答案．你认为小红说的理由是（ ）
A： SSS
B： SSA
C： ASA
D： SAS2 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为AB延长线上一点，连接DE交BC于点F，BF = CF，则
可使得△BEF≌△CDF的依据可能是（ ）
A： SAS
B： SSA
C： SSS
D： AAS
3 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1，2，3，4），你认为将其中的哪
一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ ）去．
A： 第1块
B： 第2块
C： 第3块
D： 第4块
4 如图，BC = DE，∠B = ∠D，∠E = ∠C．求证：△ABC≌△ADE．
5 如图，A在DE上，且AC = CE，∠ACB = ∠ECD，∠B = ∠D．求证：△ACB≌△ECD．6 如图，在△ABC中，∠C=90∘，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DE=CB，过点M作ME∥BC交
AB于点E．求证：△ABC≌△MED．
7 如图，C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，若要用HL证明△ADC≌△BEC，需要添加的条件是
（ ）
A： AD = BE
B： ∠D = ∠E
C： CD = CE
D： ∠ACD = ∠BCE
8 能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A： 斜边相等
B： 一锐角对应相等
C： 两锐角对应相等D： 两直角边对应相等
9 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，BC=AD．求证：△ABC≌△BAD．
10 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD = BC．求证：（1）AB = DC；（2）AD∥BC．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 4 讲 全等三角形（二）
课堂落实答案
1 如图所示，AB∥CD，点C是BE的中点，直接应用“ASA”定理证明△ABC≌△DCE还需要的条件是
（ ）
A： AB = CD
B： ∠ACB = ∠E
C： ∠A = ∠D
D： AC = DE
2 如图，∠B = ∠C，增加哪个条件可以让△ABD≌△ACE？（ ）A： BD = AD
B： BD = CE
C： ∠1 = ∠2
D： 以上答案都不对
3 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样
的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A： ①
B： ②
C： ③
D： ①和②
4 如图，BE、CD是△ABC的高，且BD=CE，判定△BCD≌△CBE的依据是“__________”．
5 如图，BE = CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条
件是（ ）A： AE = DF
B： ∠A = ∠D
C： ∠B = ∠C
D： AB = DC
能力提高 / 初二 / 暑假
第 4 讲 全等三角形（二）
精选精练
1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=CE，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．△BEC与△CDA全等
吗？为什么？
2 如图，在△ABC中，AE=BE，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，且与AD交于点F．求证：
△BEC≌△AEF．3 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘，D是AC上的一点，且AD = BC，DE⊥AC于点D，∠EAB = 90∘
，求证：AB = AE．
4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F．求证：
△ADE≌△BFE．
5 如图，AB=AC，AE=AD，AE⊥EC于点E，AD⊥DB于点D．求证：△AEC≌△ADB．
6 如图，四边形AECD中，BE=DF，CE⊥AB，CF⊥AD，CB = CD，
试说明：△ACE≌△ACF．能力提高 / 初二 / 暑假
第 5 讲 全等与角平分线
例题练习题答案
例1 如图，已知AE = CF，∠AFD = ∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是
（ ）
A： ∠A = ∠C
B： AD = CB
C： BE = DF
D： AD//BC
练1.1 如图，已知AB//CD，∠ABC = ∠CDA，求证：AD = BC．
练1.2 如图，E是AC上一点，AB = CE，AB//CD，AC = CD．求证：BC = ED．例2 如图，在Rt △ ABC中，∠C = 90∘，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD = n，AB = m，则
△ ABD的面积是（ ）
A： 1
mn
3
B： 1
mn
2
C： mn
D： 2mn
练2.1 如图，AD是 △ ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S = 18，DE = 3，AB = 8，则
△ ABC
AC的长是（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
练2.2 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA = 2，则PQ的最小值
为（ ）A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例3 如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB = 6，若S = 12，求DF的
△ABD
长．
例4 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF．求证：AD平分
∠BAC．
练4.1 如图，∠AOB = 70∘，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC = QD，则∠CQO = _______．
例5 如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D．求证：CD平分∠ACB．练5.1 如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离
相等，则凉亭的位置应选在（ ）
A： △ABC三条中线的交点
B： △ABC三边的垂直平分线的交点
C： △ABC三条角平分线的交点
D： △ABC三条高所在直线的交点
练5.2 如图，直线a，b，c表示三条互相交叉的公路．现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距
离相等，则可供选择的地址有（ ）处．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
能力提高 / 初二 / 暑假
第 5 讲 全等与角平分线自我巩固答案
1 如图，AB = DB，∠1 = ∠2，添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE（ ）
A： BC = BE
B： ∠A = ∠D
C： ∠ACB = ∠DEB
D： AC = DE
2 如图，AD是 △ ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且DE = DF，连接BF、CE，下
列说法：
①CE = BF；② △ ABD和 △ ACD面积相等；③BF//CE；④ △ BDF≌ △ CDE．其中正确的有
（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 在下列条件中，不能说明 △ ABC≌ △ A ′ B ′ C ′ 的是（ ）
A： ∠C = ∠C ′ ，AC = A ′ C ′ ，BC = B ′ C ′
B： ∠B = ∠B ′ ，∠C = ∠C ′ ，AB = A ′ B ′
C： ∠A = ∠A ′ ，AB = A ′ B ′ ，BC = B ′ C ′D： ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB = A B ，BC = B C ，AC = A C
4 如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠M = ∠N，AM = BN，请你添加一个条件，使得
△ ACM≌ △ BDN，并给出证明．
（1）你添加的条件是：________________．
（2）证明：
5 已知△ABC内一点P，如果点P到AB、AC两边的距离相等，则点P（ ）
A： 在BC边的垂直平分线上
B： 在BC边的高上
C： 在BC边所对角的平分线上
D： 在BC边的中线上
6 如图，在△ABC中，∠C = 90∘，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论中，
①AD平分∠CDE；
②∠BAC = ∠BDE；
③DE平分∠ADB；
④BE+AC = AB．
一定成立的结论有___________．（填序号）
7 如图，AD是 △ ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，AC = 3，DE = 2，AB = 4，则S
△ACB
等于（ ）A： 7
B： 10
C： 13
D： 14
8 如图，在 △ ABC中，∠C = 90∘，BD是角平分线，交AC于点D，DE⊥AB，垂足为点E ，
AD = 3DE．AD和DC是什么数量关系？为什么？
9 如图，在四边形ABCD中，∠A = 90∘，AD = 3，BC = 5，对角线BD平分∠ABC，则 △ BCD的面
积为__________．
10 如图，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交于点F，CD = BE，求证：点F在∠A的平分线
上．
能力提高 / 初二 / 暑假第 5 讲 全等与角平分线
课堂落实答案
1 如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A： BD=CD
B： AB=AC
C： ∠B=∠C
D： ∠BAD=∠CAD
2 如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A = ∠B，只需补充一个条件_____， 则 有
△ AOC≌ △ BOD．
3 如图所示，在Rt△ABC中，∠A = 90∘，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AD = 3，BD = 5，则点D
到BC的距离是（ ）
A： 3
B： 4
C： 5D： 6
4 如图，已知在 △ ABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC
于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为____________．
5 如图，O是 △ ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离相等，即OF = OD = OE，若
∠BAC = 100∘，则∠BOC等于（ ）
A： 140∘
B： 145∘
C： 150∘
D： 155∘
能力提高 / 初二 / 暑假
第 5 讲 全等与角平分线
精选精练
1 (1)一块三角形玻璃板不慎被小明碰破，成了四片碎片（如图所示），聪明的小明经过仔细的考
虑认为只带其中两块碎片去玻璃店，就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃板．你认为下列四个答案中可以的是（ ）
A： 带其中的任意两块去都可以
B： 带1、2或2、3去就可以了
C： 带1、4或3、4去就可以了
D： 带1、2或2、4去就可以了
(2)如图，给出下列四组条件：①AB = DE，BC = EF，AC = DF；②AB = DE，∠B = ∠E，
BC = EF；③∠B = ∠E，BC = EF，∠C = ∠F；④AB = DE，AC = DF，∠B = ∠E．其中，
能使 △ ABC≌ △ DEF的条件共有（ ）
A： 1组
B： 2组
C： 3组
D： 4组
2 如图： △ ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当
的条件：_________________，使 △ ABD≌ △ CBE．
3 如图，AD//BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB，垂足为E．
若PE = 3，则两条平行线AD与BC间的距离为（ ）A： 3
B： 5
C： 6
D： 不能确定
4 如图， △ ABC的三边AB、BC、AC的长分别为12、18、24，O是 △ ABC三条角平分线的交点，
则S :S :S = （ ）
△OAB △OBC △OAC
A： 1:1:1
B： 1:2:3
C： 2:3:4
D： 3:4:5
5 如图，∠B = ∠C = 90∘，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD = 35∘，则∠MAB的度数是
（ ）
A： ∘
35
B： ∘
45
C： ∘
55
D： ∘
65
能力提高 / 初二 / 暑假第 6 讲 轴对称
例题练习题答案
例1 下列图形中，为轴对称图形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
练1.1 下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
例2 下面给出的每幅图形中的两个图案成轴对称的是（ ）
A：
B：
C：D：
练2.1 下面给出的每幅图形中的两个图案成轴对称的是（ ）
A：
B：
C：
D：
例3 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=100°，∠C′=50°，则∠B的度数是___．
练3.1 如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B ′ 、D ′ 点处，若测得∠AOB ′ = 70∘，
则∠B ′ OG的度数为____________．
例4 △ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为A(0, −3)，B(−4,3)，C(4,5)．
（1）在直角坐标系中画出△ABC．
′ ′ ′ ′ ′ ′
（2）以y轴为对称轴，作△ABC的轴对称图形△ABC，并写出△ABC各个顶点的坐标．练4.1 如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A（4，
4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．
（1）画出“基本图形”关于y轴对称的四边形A B C D ，并写出A ，B ，C ，D 的坐标．A
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（_____，_____），B （_____，_____），C （_____，_____），
1 1
D （_____，_____）；
1
（2）画出“基本图形”关于x轴对称的四边形A B C D ；
2 2 2 2
（3）画出四边形A B C D ，使画出的三个图形与原“基本图形”组成的整体图案是关于坐标轴
3 3 3 3
（x轴或y轴）对称的图形．
例5 如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC = 8cm，AB = 10cm，则△EBC的周长为（ ）
A： 16cm
B： 28cm
C： 26cm
D： 18cm
练5.1 如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为
____________．例6 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA = OC．求证：点O在线段BC的垂直平分线上．
练6.1 在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A： 三条角平分线的交点
B： 三条高线的交点
C： 三条中线的交点
D： 三条边垂直平分线的交点
练6.2 如图，AB = AD，BC = CD，AC、BD相交于点E，则下列结论中错误的是（ ）
A： BE = DE
B： BD⊥AC
C： ∠ACD = ∠ACB
D： BC = BD
能力提高 / 初二 / 暑假
第 6 讲 轴对称
自我巩固答案
1 随着生活水平的不断提高，在我们这个城市私家车越来越普及，在下面的汽车标志图案中，属于
轴对称图形的有（ ）A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的
图形是（ ）
A：
B：
C：
D：
3 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，求∠B′的度数及AB，A′C′，BC的长度．
4 如图，作出四边形ABDC关于直线l的轴对称图形．5 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘，AC = 3，BC = 4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则
△ACD的周长是（ ）
A： 7
B： 8
C： 9
D： 10
6 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．
7 在△ABC中，∠C = 90∘，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E，若∠CAE = ∠B+30∘，
求∠AEC．
8 三角形纸片上有一点P，量得PA = 3cm，PB = 3cm，则点P一定（ ）
A： 是边AB的中点
B： 在边AB的中线上
C： 在边AB的高上
D： 在边AB的垂直平分线上
9 如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点A），临建楼（图中的点B）和图书馆
（图中的点C）进行装修，装修工人小明需要放置一批装修物资，使得装修物资到点A，点B和点C
的距离相等，则装修物资应该放置在（ ）A： AC、BC两边高线的交点处
B： 在AC、BC两边中线的交点处
C： 在∠A、∠B两内角平分线的交点处
D： 在AC、BC两边垂直平分线的交点处
10 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB = AD，请你添加一个边或角的条件，使得
AC⊥BD．
（1）添加的条件是_______；
（2）根据已知及添加的条件证明：AC⊥BD．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 6 讲 轴对称
课堂落实答案
1 在下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A：B：
C：
D：
2 如图，阴影三角形与__________号三角形成轴对称．
3 △ ABC与 △ A ′ B ′ C ′ 关于直线l对称，则∠B的度数为__________．
4 如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC = 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则
△BEC的周长为（ ）
A： 13
B： 14
C： 15
D： 16
5 如图，AC = AD，BC = BD，则有（ ）A： AB垂直平分CD
B： CD垂直平分AB
C： AB与CD互相垂直平分
D： CD平分∠ACB
能力提高 / 初二 / 暑假
第 6 讲 轴对称
精选精练
1 下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
2 试找出如图所示的每个正多边形对称轴的条数，并填入表格中．
正多边形的边数 3 4 5 6 7 8
对称轴的条数 _____ _____ _____ _____ _____ _____根据上表，请你就一个正n边形对称轴的条数作一个猜想，写出猜想的结果．（不用证明）
3 下列说法中错误的是（ ）
A： 两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴
B： 关于某直线对称的两个图形全等
C： 面积相等的两个四边形对称
D： 平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称
4 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角
形） △ ABC的顶点A、C的坐标分别为(−4,3)、(−1,1)．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2) 请作出△ABC关于y轴对称的△A ′ B ′ C ′ ；
(3) ′
写出点B 的坐标：_____；
(4)△ABC的面积为_____．
5 如图在△ABC中，BC = 8，AB、AC的垂直平分线与BC分别交于E、F两点，则△AEF的周长为
（ ）
A： 2
B： 4C： 8
D： 不能确定
6 如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：AD垂直平分
EF．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 下列银行标志中是轴对称图形的有（ ）
A： ①②③
B： ②③④
C： ①③④
D： ①②④
2 若三角形的两条边长分别为3、8，则第三条边长不可能是（ ）
A： 6
B： 8C： 10
D： 12
3 △ABC中，∠A = 40∘，∠B = 2∠A，则∠C = （ ）
A： 40∘
B： 60∘
C： 80∘
D： 100∘
4 △ABC中，∠A:∠B:∠C = 1:2:3，则△ABC是（ ）
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 等腰三角形
5 下列说法正确的是（ ）
A： 全等三角形的周长和面积分别相等
B： 全等三角形是指形状相同的两个三角形
C： 全等三角形是指面积相等的两个三角形
D： 所有的等边三角形都是全等三角形
6 如图，EA∥DF，AE = DF，要使△AEC≌△DFB，只要添加条件（ ）
A： AB = CD
B： EC = BFC： ∠A = ∠D
D： AB = BC
7 在△ABC和△DEF中，若∠A = ∠D = 90∘，AB = DE，AC = DF，则判定△ABC≌△DEF的类型是
（ ）
A： HL
B： SSS
C： SAS
D： ASA
8 如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省
事的办法是（ ）
A： 带①去
B： 带②去
C： 带③去
D： 带①和②去
9 如图，在△ABC中，AC = 16，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC = 10，那么△BCD的周长是
（ ）
A： 16
B： 10
C： 26D： 32
10 将一个矩形纸条按如图方式折叠，若∠AGM−∠FEC = 18∘，则∠GEF = （ ）
A： 48∘
B： 50∘
C： 52∘
D： 54∘
11 如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE的大小是 度．
12 设△ABC的三边长为a、b、c，化简|a−b−c|+|b−c−a| = ______________．
13 AD是△ABC的中线，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为__________．
14 △ABC中，∠A = 40∘，∠B−∠C = 20∘，则∠B = __________．
15 如图，△ABD≌△BAC，则∠BAD的对应角是__________．
16 如图1，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E，与BC交于点D，∠C = 28∘，∠BAD = 34∘，
则△ABC是__________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．17 以下描述，不能判定△ABC≌△DEF的是________________．
①∠A = ∠D，∠B = ∠E，AC = DF； ②∠A = ∠D，AB = DE，BC = EF；
③AB = DE，AC = DF，BC = EF； ④∠A = ∠D，∠C = ∠E，AC = EF．
18 如图，ΔABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC = 7，DE = 4，则ΔBCE的
面积等于________．
19 若△ABC的三边分别为a、b、c，且满足|a−5|+√2b−16 = 0．
（1）求第三边c的取值范围；（2）若第三边取值为整数，则符合要求的三角形有多少个？
20 如图，ΔABC中，∠A = 40∘，∠A < ∠B < 90∘，CD、CE分别是角平分线和高．若∠DCE = 10∘
，求∠ACB的度数．
21 如图，∠B = ∠DEF，BE = CF，∠A = ∠D．求证：△ABC≌△DEF．22 如图，AB//ED，点F、点C在AD上，AB = DE，AF = DC．求证：BC = EF．
23 如图，AD是BC上的中线，且DF = DE．求证：BE∥CF．
24 如图，请你画出与△ABC关于直线l成轴对称的图形△A ′ B ′ C ′ ，并回答问题：若∠A = 40∘，
∠C = 110∘，则∠B ′ = __________．（要求：不写画法，保留画图痕迹，写明结论的依据）
结论依据：_____________________________________________．
25 如图，在△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，交于点F，在直线AD上截AN = BC，在直线
CE上截取CM = AB，连接BM、BN、MN，判断BM和BN的数量和位置关系，并证明．
26 已知将一个图形沿某条直线折叠，所得的图形与原图形是全等的．如图①，将长方形纸片ABCD沿
过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点A ′ 处，折痕为BE；再沿过点E的直线折叠，使点D落在
BE上的点D ′ 处，折痕为EF，如图②；再展平纸片，如图③，则图③中∠1 = __________．27 如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B
运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度
为 cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 8 讲 等腰三角形
例题练习题答案
例1 完成下列各题.
(1)若等腰三角形的两条边长分别是7和5，则第三条边的长是（ ）
A： 5
B： 7
C： 7或5
D： 无法确定
(2)若等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为9cm，则它的周长为_________．(3)若等腰三角形的周长是13，一条边长为5，另外两条边长为（ ）
A： 5，3
B： 4，4
C： 4，3
D： 4，4或5，3
练1.1 （1）若等腰三角形一个底角为80°，则它的顶角的度数为___________；
（2）若等腰三角形一个角为100°，则它的另外两个角为_____________；
（3）若等腰三角形一个角为80°，则它的另外两个角为______________．
例2 如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36∘，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，
则∠ABD = _______．
练2.1 如图，在△ABC中，AC = BC，△ABC的外角∠ACE = 100∘，则∠A = ______度．
练2.2 如图所示，AB = AC，D，E分别是边BC和AC上的点，且AD = AE，若∠EDC = 30∘，则∠BAD =
（ ）
A： 50∘B： 60∘
C： 70∘
D： 80∘
例3 如图，已知AD⊥BC于D，AE⊥CE于E，∠ACE = ∠B，AD = AE，求证：D是BC的中点．
练3.1 如图，已知AB = AC，AD⊥BC，垂足为点D，∠BAC = 100∘，BC = 8cm．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求BD的长度．
练3.2 如图，在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE = ∠BAD．
例4 在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A： ∠A = 30∘，∠B = 50∘
B： ∠A = 30∘，∠B = 60∘
C： ∠A = 40∘，∠B = 90∘D： ∠A = 50∘，∠B = 80∘
练4.1 在△ABC中，其中两个内角如下，则不能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A： ∠A = 30∘，∠B = 120∘
B： ∠A = 30∘，∠B = 75∘
C： ∠A = 50∘，∠B = 65∘
D： ∠A = 50∘，∠B = 70∘
例5 如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36∘，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，则图中的
等腰三角形有（ ）
A： 5个
B： 4个
C： 3个
D： 2个
练5.1 在 △ ABC中，∠ABC = 60∘，∠C = 45∘，AD是BC边上的高，∠ABC的角平分线BE交AD于点F，
则图中共有等腰三角形（ ）
A： 2个
B： 3个C： 4个
D： 5个
例6 如图，已知△ABC中，BC边上有D，E两点，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4．求证：△ABC是等腰三角形．
练6.1 如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90∘，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点
F．求证：CE = CF．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 8 讲 等腰三角形
自我巩固答案
1 若等腰三角形的周长为17，一边长为4，则另两边长为（ ）
A： 4，8
B： 6.5，6.5
C： 4，3
D： 4，8或6.5，6.5
2 若等腰三角形的两条边长分别是12和8，则第三条边的长是（ ）
A： 12
B： 8C： 12或8
D： 无法确定
3 若等腰三角形一个角为112∘，则它的另外两个角为（ ）
A： 34∘，34∘
B： 112∘，34∘
C： 112∘，68∘
D： 68∘，34∘
4 如图，△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，垂足为点E，若∠CBE = 20∘，则
∠BAC的度数为（ ）
A： 20°
B： 30°
C： 40°
D： 60°
5 如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，∠B = 40∘，则∠BAD = （ ）
A： 100∘
B： 80∘
C： 50∘D： 40∘
6 如图，在△ABC中，AB = AC，过A点作AD∥BC，若∠BAD = 110∘，则∠BAC的大小为（ ）
A： 30°
B： 40°
C： 50°
D： 70°
7 如图，在等腰△ABC中，顶角∠A = 44∘，BD平分底角∠ABC交AC于点D，E是BC延长线上一点，
且CD = CE，则∠E的度数为（ ）
A： 22∘
B： 44∘
C： 34∘
D： 68∘
8 如图所示，共有等腰三角形（ ）
A： 4个B： 5个
C： 3个
D： 2个
9 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A： a = 3，b = 3，c = 4
B： a:b:c = 2:3:4
C： ∠B = 50∘，∠C = 80∘
D： ∠A:∠B:∠C = 1:1:2
10 如图，在△ABC中，∠A = 55∘，∠B = 70∘，则△ABC是什么三角形？
能力提高 / 初二 / 暑假
第 8 讲 等腰三角形
课堂落实答案
1 若等腰三角形的两条边长分别是9和6，则第三条边的长是（ ）
A： 9
B： 6
C： 9或6
D： 无法确定
2 若等腰三角形的一个内角度数为62°，则它的另外两个内角的度数为______________．3 如图，在△ABC中，点D在BC上，AB = AD = DC，∠B = 80∘，则∠C的度数为（ ）
A： ∘
30
B： ∘
40
C： ∘
45
D： ∘
60
4 如图，在△ABC中，AB = AC，D为BC中点，∠BAD = 35∘，则∠C的度数为（ ）
A： 35°
B： 45°
C： 55°
D： 60°
5 把两个全等的含30°角的直角三角板，按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三角形有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个能力提高 / 初二 / 暑假
第 8 讲 等腰三角形
精选精练
1 如图，△ABC中，AB = AC，D在AC上，E在AB上，且AD = DE = EB，BD = BC，那么∠A =
__________．
2 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40∘，则此等腰三角形的顶角度数为
_____．
3 一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12和30两部分，则这个等腰三角形的腰长
为_____．
4 如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP = PQ = QC = AP = AQ，求∠ABC的度数．
5 如图，在△ABC中，AB = AC．
(1) 如图1，如果∠BAD = 30∘，AD是BC上的高，AD = AE，则∠EDC = __________．(2) 如图2，如果∠BAD = 40∘，AD是BC上的高，AD = AE，则∠EDC = __________．
(3)通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：__________．
(4)如图3，如果AD不是BC上的高，AD = AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明
理由．
6 如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF//BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B = 40∘，求∠AGC的度数．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 9 讲 幂运算
例题练习题答案
例1 计算：
1 1
( )5 ( )2
2 5
①a ⋅a = ________； ② × = _______；
2 2
7 6 2 6
③11 ×(−11) = _______； ④(x−y) ⋅(y−x) = ________．
练1.1 计算：
(1) 5 11
m ⋅m ；
(2) 6 4
(m−n) ⋅(m−n) ；
(3) 2 5
a⋅a ⋅a ；
(4) 4 5
10×10 ×10 ；(5) 5 6
(−2) ×2 ；
(6) 3 3
(−2) ⋅(−2) ．
例2 计算：
( )5
2
（1） 3 ；
[ ]3
3
（2） (2x+y) ；
[ ]4
9
（3） (−b) ．
练2.1 计算：
(1)(
3
)8
2 ；
(2)( )2
n
b ；
(3) ( )4
2
− a ；
(4)( )4
2
−a ．
例3 ( )4
6 2
计算：a ⋅ a = （ ）
A： 12
a
B： 36
a
C： 14
a
D： 48
a
练3.1 计算：
( )2
2 2
（1） x ⋅x ；
[ ]2 ( )3
3 2
（2） (−x) ⋅ x ．例4 计算：
1
( )3
( )4
3 3 2
（1） 3m n ； （2） − a b ；
3
[
2
]3 (
2 2 4
)3
（3） −(a+b) ； （4）− 2 a b ．
练4.1 计算：
(1) 3
(2x) ；
(2) 2
( )2
3
xy ；
3
(3)( )3
2
−2a ；
(4)( )3
3
−2×10 ；
(5)[ ]4
3
−2(x+y) ．
例5 计算：
10 2 17 5
（1）a ÷a ； （2）n ÷n ；
2017 2016 7 4
（3）(−a) ÷a ； （4）(x−3y) ÷(3y−x) ．
练5.1 下列计算错误的是（ ）
A： 3 2 4
a ÷a⋅a = a
B： 4 ( 2 )
a ÷ a⋅a = a
C： 8 7
(−1.5) ÷(−1.5) = −1.5
D： 8 7
−1.5 ÷(−1.5) = −1.5
练5.2 计算：
11 3
（1）(a−b) ÷(a−b) ；11 3
（2）(2a−b) ÷(b−2a) ．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 9 讲 幂运算
自我巩固答案
1 下面的计算不正确的是（ ）
A： 3 3 3
5a −a = 4a
B： m n m+n
2 ⋅3 = 6
C： m n m+n
2 ⋅2 = 2
D： 2 ( 3 ) 5
−a ⋅ −a = a
2 3 5 8
计算a ⋅(−a) −a 的结果等于（ ）
A： 16
−2a
B： 8
−2a
C： 16
−a
D： 0
3 下列计算结果正确的是（ ）
A： 2 3 5
x +x = x
B： (
3
)3
6
x = x
C： 2 2
x⋅x = x
D： 2 3
x⋅(−2x) = 4x
4 12
下列计算结果是10 的是（ ）( )3 ( )7 ( )6
2 3 2 2 6
A． 10 B． 10 C． 10 D．10 ⋅10
5 4
(−2xy) 的计算结果是（ ）
A： 4 4
−2x y
B： 4 4
8x y
C： 4 4
16x y
D： 4
16xy
6 计算：
( )2
3
（1） 3 ；
( )n
2
（2） a ．
7 下列运算正确的是（ ）
A： 2 3 6
x ⋅x = x
B： 3 2
x ÷x = x
C： 6 3 2
x ÷x = x
D： ( 3 )2 5
x = x
8 8 5 3
已知a = 81，a = 27，则a 的值是__________．
9 计算：
11 5
（1）−a ÷a ；
3 2
（2）(y−x) ÷(x−y) ．
10 计算：
(1) 15 13
3 ÷3 ；
(2) 14 2
y ÷y ；(3) 4 4
( )7 ( )4
− ÷ − ．
3 3
能力提高 / 初二 / 暑假
第 9 讲 幂运算
课堂落实答案
1 下列计算正确的是（ ）
A： 5 5 5
t ⋅t = 2t
B： 4 2 6
t +t = t
C： 3 4 12
t ⋅t = t
D： 2 3 5
t ⋅t = t
2 (
n−1
)3
计算 −x 等于（ ）
A： 3n−1
x
B： 3n−1
−x
C： 3n−3
x
D： 3n−3
−x
3 下列计算正确的是（ ）
A： 2 3 6
a ⋅a = a
B： 2 2 4
a +a = a
C： (
3
)2
6
−a = aD： (
2
)2
4
a b = a b
4 在下列计算中，正确的是（ ）
A： (
2
)3
6
ab = ab
B： 3 3 3
(3xy) = 9x y
C： (
2
)2
4
−2a = −4a
D： 2 2
(−2z) = 4z
5 6 4
计算x ÷(−x) 的结果等于__________．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 9 讲 幂运算
精选精练
1 计算：
(1) 3 m−1 2 m−2 3 m−3
x ⋅x +x ⋅x −3x ⋅x ；
(2) 6 5 3
(a−b+c) ⋅(b−a−c) ⋅(a−b+c) ．
2 m 3−m m+2 7
已知b ⋅b ⋅b = b ，则m = _______．
3 计算：
(
2
)m+1
（1） 6x ；
( )4
n+2
（2） −x ．
4 计算：
( )4
2 5
（1） −x y ；[ ]7
3
（2） −(x−y) ．
5 计算：
(1) 10n 2n
a ÷a ；
(2) 5
(−a) ÷(−a)；
(3)( )3 ( )2
2 2
a ÷ −a ．
6 4m+3n 2n+8m 8
已知4 ÷(−2) = 2 ，则n = _______．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 10 讲 整式乘法
例题练习题答案
例1 计算：
3
( )
2
（1）(−12ab)⋅ a b ；
4
1
2 2
（2）xy ⋅ x yz；
2
1
( )
2
（3） a b ⋅(−2ab)．
4
练1.1 计算：
( )
2 2
（1） −2x y ⋅3xy ；
( ) ( )
2 2
（2） −3a b ⋅ −ab ；
3
（3）3a ⋅(−2a)．例2 ( )2 ( )
3 2
计算： −3a ⋅ −2a = __________．
练2.1 计算：
1
( )2
( )3
2 2
（1）(−8ab)⋅ a b ； （2）(−2ab)⋅ −a b ．
2
例3 计算：
1 1
( )
2 2 2
（1）6ab 2a b− ab ； （2） x y(2x+4y)；
3 2
( )
2 2
（3）2m n m +n−1 ．
练3.1 计算：
1
( )
2
（1）3x⋅ 2x y−3x ； （2） x(x−2y+1)．
2
例4 计算：
（1）(−3a)⋅(4b−2ab) （2）(−2ab)⋅(9ab−3a+6b)．
练4.1 计算：
( )
2
（1）(−4m)⋅(2m+3n) （2） −3m n ⋅(1+2n−4m)．
例5 计算：
（1）(x−1)(x−2) ； （2）(3x+2)(2x−1)；
（3）(x−4y)(x−3y)； （4）(2m−n)(3m−4n)．
练5.1 计算：
（1）(m+2)(m−1)； （2）(2m+3)(3m−2)；
（3）(4y−1)(5−y)； （4）(x+3y)(3y−x)．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 10 讲 整式乘法自我巩固答案
1 ( 2 ) 3
计算 −3x ⋅2x 的结果是( )
A： 6
−5x
B： 6
−6x
C： 5
−5x
D： 5
−6x
2 下列计算正确的是（ ）
A： ( 2 ) 3
6x ⋅(3xy) = 9x y
B： ( 2 ) 2 3
2ab ⋅(−3ab) = −a b
C： ( 2 ) 3 2
−3yx ⋅(−3xy) = 9x y
D： 2 ( 2 ) 3 3
(mn) ⋅ −m n = −m n
3 2 ( 2 )
2x y x−3xy = ( )
A： 3 3 3
2x y−3x y
B： 2 3 3
2xy −6x y
C： 3 3 3
2x y−6x y
D： 2 3 3
2x y+6x y
4 计算：
( )2 ( )3
2 2
（1） −2a b ⋅ −2a b ；
( )
2 2 3
（2）(−x) ⋅ 6x −2x⋅(−3x) ；
1
2
（3）− a ⋅(−9ab)；
33
( )
( )
n+2 3 n−1
（4） 4x y − x y ．
8
5 1
( )
3
计算6mn ⋅ 3− mn 的结果是（ ）
4
A： 3
2 4 3
18m n − mn
2
B： 3
2 4 3
18m n + mn
2
C： 3
3 2 4
18mn − m n
2
D： 3
3 2 4
18mn + m n
2
6 计算：
1 1
( )
2 4
（1） x(4x−2y) （2）−6mn ⋅ −2+ mn
2 3
7 ( 2 )
计算(−2x+1) −3x 的结果是（ ）
A： 3
6x +1
B： 3
6x −3
C： 3 2
6x −3x
D： 3 2
6x +3x
8 2
下列算式计算结果为x −4x−12的是（ ）
A： (x+2)(x−6)
B： (x−2)(x+6)C： (x+3)(x−4)
D： (x−3)(x+4)
9 2
若(x+2)(x−1) = x +mx+n，则m+n = （ ）
A： 1
B： −2
C： −1
D： 2
10 计算：
7 2
( )
2
（1） mn mn+n
2 7
( ) ( )
3 2 2 2
（2） −x y ⋅ −2xy−3x y
（3）(3x+5)(2x−3)
( )
2
（4）(3x−2) x −5x
能力提高 / 初二 / 暑假
第 10 讲 整式乘法
课堂落实答案
1 3 ( 2 )
计算：2x ⋅ −x = __________．
2 2 ( 2 )
计算(−6ab) ⋅ 3a b 的结果是（ ）
A： 4 3
18a b
B： 4 3
−36a b
C： 4 3
−108a bD： 4 3
108a b
3 计算：x(x−2) = __________
4 计算：(−2x)⋅(x−3) = __________．
5 计算：
（1）−(3x+y)(x−y)； （2）(x+1)(x+1)．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 10 讲 整式乘法
精选精练
1 2 3
3 2
计算：(−3a ) ⋅(−2a ) = ____________．
2 m−1 3 n m+n m−1 3 n m+n
已知代数式−3x y 与2x y 是同类项，则−3x y 与2x y 的积是_________．
3 ( 2 2 )
计算： 2x −3xy+4y ⋅(−xy) = _________________．
4 ( 2 )
计算(−3x)⋅ 2x −5x−1 的结果是（ ）
A： 2 2
−6x −15x −3x
B： 3 2
−6x +15x +3x
C： 3 2
−6x +15x
D： 3 2
−6x +15x −1
5 如图所示，长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB = 2a，BC = 3b，且E为AB边的中
1
点，CF = BC，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积．
36 9 5
( )( )
2 2
计算： − xyz +4yz 3x− y z ．
5 3
能力提高 / 初二 / 暑假
第 11 讲 乘法公式
例题练习题答案
例1 计算：
1 1
( )( )
（1）(2m−3n)(2m+3n)； （2） − x+5 − x−5 ．
4 4
练1.1 计算：
（1）(3x−4y)(3x+4y)； （2）(−4m+n)(−4m−n)．
例2 计算：
（1）(−1−2x)(2x−1)；
1 1
( )( )
（2） 2x− − −2x ．
5 5
练2.1 计算：
1 1
( )( )
（1） 1+ a −1+ a ； （2）(−y−2x)(2x−y)．
5 5
例3 如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a > b），把剩下的部分拼成一个梯
形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的公式是（ ）A： 2 2
a +b = (a+b)(a−b)
B： 2 2
a −b = (a+b)(a−b)
C： 2 2 2
(a+b) = a +2ab+b
D： 2 2 2
(a−b) = a −2ab+b
练3.1 在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a > b）．把余下的部分剪拼成一个矩形（如
图）．通过计算图形中阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A： 2 2
a −b = (a+b)(a−b)
B： 2 2 2
(a+b) = a +2ab+b
C： 2
a −ab = a(a−b)
D： 2 2 2
(a−b) = a −2ab+b
例4 计算：
2 2
（1）(3a+b) ； （2）(x−2y) ；
2 2
（3）(−3+2a) ； （4）(−y−2x) ．
练4.1 计算：
1 1
( )2 ( )2
（1） x+ y ； （2） x−y ；
2 3
2 2
（3）(−2x+5y) ； （4）(−4x−3y) ．
例5 2
计算：(2a+1) −(2a+5)(2a−5)．练5.1 2
计算：(x+2) −(x+1)(x−1)．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 11 讲 乘法公式
自我巩固答案
1 计算(1+2c)(1−2c)的结果是（ ）
A： 2
4c −1
B： 2
1−4c
C： 2
4c −4c+1
D： 2
1+4c+4c
2 下列算式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A： (2a+b)(2b−a)
B： 1 1
( )( )
x+1 − x−1
2 2
C： (3x−y)(−3x+y)
D： (−m−n)(−m+n)
3 下列运算中，正确的是（ ）
A： 2 2
(−a−2b)(a+2b) = a −4b
B： 2 2
(−a+2b)(a−2b) = −a −2b
C： 2 2
(a+2b)(a−2b) = −a −2b
D： 2 2
(−a−2b)(−a+2b) = a −4b4 如图，在边长为a的正方形的右下角，剪去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个平行
四边形，这一过程可以验证一个关于a，b的等式，则这个等式是（ ）
A： 2 2 2
(a−b) = a −2ab+b
B： 2
a +ab = a(a+b)
C： 2 2 2
(a+b) = a +2ab+b
D： 2 2
a −b = (a+b)(a−b)
5 计算：
1 1
( )( )
（1） − x+4 − x−4 ； （2）(−x−5y)(−5y+x)．
3 3
6 下列计算中，正确的是（ ）
A： 2 2 2
(a+b) = a +b
B： 1 1
( )2
2
a− = a −a+
2 4
C： 2 2 2
(a−b) = a +2ab−b
D： 2 2 2
(2a+b) = 2a +2ab+b
7 计算：
1
( )2
2
（1）(2a+3b) ； （2） 2x− y ．
5
8 计算：
1 1
( )2
2
（1）(−5+3a) ； （2） − x− y ．
2 39 2
计算：(2x−1) −(2x+3)(2x−3)．
10 2
计算：4(a−b) −(2a+b)(−b+2a)．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 11 讲 乘法公式
课堂落实答案
1 计算：(a+7)(a−7)=__________．
2 运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A： 2 2
(a+b)(a−b) = a −b
B： 2
(x+1)(x−1) = x −1
C： 2 2
(−a+b)(−a−b) = a −b
D： 2
(2x+1)(2x−1) = 2x −1
3 下列能用平方差公式计算的式子是（ ）
A： (a−b)(b−a)
B： (−x+1)(x−1)
C： (−a−1)(a+1)
D： (−x−y)(−x+y)
4 2
计算(a−2) 的结果是（ ）
A： 2
a −4
B： 2
a −2a+4
C： 2
a −4a+4D： 2
a +4
5 下列变形中，错误的是（ ）
2 2 2
①(b−4c) = b −16c ；
2 2 2 2
②(a−2bc) = a +4abc+4b c ；
2 2 2
③(x+y) = x +xy+y ；
2 2 2
④(4m−n) = 16m −8mn+n ．
A： ①②③
B： ①②④
C： ①③④
D： ②③④
能力提高 / 初二 / 暑假
第 11 讲 乘法公式
精选精练
1 2 2
( )( )
计算： − m+n − m−n = ____________．
3 3
2 下列选项中，利用平方差公式变形错误的是（ ）
A： 2
(2x+4)(2x−4) = 4x −16
B： ( 2 )( 2 ) 4 2 2
ab+c c −ab = c −a b
C： 2
(2a−6)(2a+6) = 2a −36
D： ( 2 )( 2 ) 4
4x −5 5+4x = 16x −25
3 ( 4 )( 2 )
计算 x +1 x +1 (x+1)(x−1)的结果是（ ）A： 8
x +1
B： 8
x −1
C： 8
(x+1)
D： 8
(x−1)
4 计算：
2 2
（1）(−xyz−2) ； （2）(3x+2y+4) ．
5 计算：
2 2 2
（1）99.8 −0.2 ； （2）501 ．
6 计算：(x−y+9)(x+y−9) = ____________．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 12 讲 因式分解（一）
例题练习题答案
例1 (1)判断下列由左到右的变形是不是因式分解．
2
(x+1)(x−2) = x −x−2 （ ）
( )
2 6 3 3
−8a b = 2ab ⋅ −4ab （ ）
3 2 2
4x −16x = 4x (x−4) （ ）
1
( )
2 2
2x +2x = 2x 1+ （ ）
x
(2) 如果2x 2 −mx可以因式分解为2x(x+2)，那么m是（ ）
A： 2
B： −2C： 4
D： −4
练1.1 下列等式中，由左到右的变形是分解因式的是（ ）
A： 2
a(a−b) = a −ab
B： 2 2
a −2a+2 = (a−1) +1
C： 2 2 2
4x y+3x = x (4y+3)
D： 1
( )
2
4x −2x+1 = x 4x−2+
x
练1.2 若x−2和x+3是多项式x 2 +mx+n仅有的两个因式，则mn的值为（ ）
A： 1
B： −1
C： −6
D： 6
例2 (1) 3 2 2 2 3
多项式15m n +5m n−20m n 的公因式是（ ）
A： 5mn
B： 2 2
5m n
C： 2
5m n
D： 2
5mn
(2) 3 2 2 2
将多项式−6a b −3a b 因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A： 2 2
−3a b
B： −3ab
C： 2
−3a bD： 3 3
−3a b
练2.1 (1) 2 2
把多项式−4x yz+2xy −2xy分解因式，应提的公因式是（ ）
A： −xy
B： −2xy
C： 2
−2x y
D： 2
2xy
(2) 2 3 2 2 2 3 3
把多项式−8a b c+16a b c −24a bc 分解因式，应提的公因式是（ ）
A： 2
−8a bc
B： 2 2 3
2a b c
C： −4abc
D： 3 3 3
24a b c
例3 多项式2(m+n)与4x(m+n)的公因式是（ ）
A： m+n
B： 2(m+n)
C： x(m+n)
D： 2x(m+n)
练3.1 2
多项式xy(x−y)与y(x−y) 的公因式是________．
练3.2 (1)将3x(a−b)−9y(b−a)因式分解，应提的公因式是（ ）
A： 3x−9y
B： 3x+9y
C： a−b
D： 3(a−b)(2)在m(a−x)(x−b)−mn(a−x)(b−x)中，公因式是（ ）
A： m
B： m(a−x)
C： m(a−x)(b−x)
D： (a−x)(b−x)
例4 2 2
分解因式：12x y−15xy ．
练4.1 1
2
分解因式： m a+ma．
5
例5 分解因式：
(1)6x(x−2)+3(x−2)；
(2)(x+2)x−x−2．
练5.1 分解因式：
(1) 1
2 2
(a+b) c+(a+b)c ；
2
(2)(1−a)mn+a−1．
练5.2 3 2
把(x−a) −(x−a) 分解因式的结果为（ ）
A： 2
(x−a) (x−a+1)
B： 2
(x−a) (x−a+1)
C： 2
(x−a) (x+a)
D： 2
(a−x) (x−a−1)
例6(1) 2 2 2 2
多项式x y(a−b) −xy(b−a) +y(a−b) 提公因式后，另一个因式为（ ）
A： 2
x −x+1
B： 2
x +x+1
C： 2
x −x−1
D： 2
x +x−1
(2) 3 2
因式分解：6(x−y) −4(y−x) ．
练6.1 2 2
把−6(x−y) −3y(y−x) 分解因式，结果是（ ）
A： 2
−3(x−y) (2+y)
B： 2
−(x−y) (6−3y)
C： 2
3(x−y) (y+2)
D： 2
3(x−y) (y−2)
能力提高 / 初二 / 暑假
第 12 讲 因式分解（一）
自我巩固答案
1 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A： 2
x −9+6x = (x+3)(x−3)+6x
B： 2
(x+5)(x−2) = x +3x−10
C： 2 2
x −8x+16 = (x−4)
D： 6ab = 2a⋅3b
2 各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ）2
①x −1 = (x+1)(x−1)；
2
②x(x−y)−y(x−y) = (x−y) ；
2 2 4
③(x+1) (x−1) = x −1；
2 2 2
④a −4ab+4b = (a−2b) ．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 多项式(x+2)(2x−1)−(x+2)可以因式分解成2(x+m)(x+n)，则m−n的值是（ ）
A： 0
B： 4
C： 3或−3
D： 1
4 2
将2x a−6xab+2x分解因式，下面是四位同学分解的结果，其中正确的是（ ）
①2x(xa−3ab)；②2xa(x−3b+1)；③2x(xa−3ab+1)；④2x(−xa+3ab−1)．
A： ①
B： ②
C： ③
D： ④
5 下列因式分解，正确的是（ ）
A： 3(x−2)−2x(2−x) = (x−2)(3−2x)
B： 3(x−2)−2x(2−x) = (x−2)(−3−2x)
C： 3(x−2)−2x(2−x) = x(x−2)
D： 3(x−2)−2x(x−2) = (x−2)(3−2x)6 2
分解因式b (x−3)+b(x−3)的正确结果是（ ）
A： ( 2 )
(x−3) b +b
B： b(x−3)(b+1)
C： ( 2 )
(x−3) b −b
D： b(x−3)(b−1)
7 5m(a−b)−10n(b−a)的公因式是（ ）
A： 5(a−b)
B： m+n
C： 5(a+b)
D： 5m−10n
8 1
2 2
将− a b−ab 提公因式后，另一个因式是（ ）
2
A： a+2b
B： −a+2b
C： −a−b
D： a−2b
9 3 2 2
因式分解：3x y−6x y+3xy ．
10 如图，边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，求a 3 b 2 +a 2 b 3 的值．
能力提高 / 初二 / 暑假第 12 讲 因式分解（一）
课堂落实答案
1 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A： 2
(x+3)(x+2) = x +5x+6
B： 2
4x −9+6x = (2x+3)(2x−3)+6x
C： 2 2
x +10x+25 = (x+5)
D： 2 2
10a b = 2a ⋅5b
2 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A： 2 2
x y+xy = xy(x+y)
B： 2
x −4x+4 = x(x−4)+4
C： 1
( )
y+1 = y 1+
y
D： 2
(x−1)(x−2) = x −3x+2
3 下列多项式能因式分解的是（ ）
A： 2 2
x +y
B： 2 2
x y−xy
C： 2 2
x +xy+y
D： 2
x +4x−4
4 2 2
−4(x−y) −2y(x−y) 分解因式，结果是（ ）
A： 2
−2(x−y) (2+y)
B： 2
−(x−y) (4−2y)
C： 2
2(x−y) (y+2)D： 2
−(x−y) (4+2y)
5 2
把多项式m (a−2)+m(2−a)分解因式正确的是（ ）
A： ( 2 )
(a−2) m +m
B： m(a−2)(m+1)
C： m(a−2)(m−1)
D： ( 2 )
(2−a) m +m
能力提高 / 初二 / 暑假
第 12 讲 因式分解（一）
精选精练
1 下列从左到右的变形：
2 2 2 2 2
（1）10x y = 2xy⋅5x；（2）a −b = (a−b)(a+b)；（3）a −2a+1 = (a−1) ； （ 4 ）
1
( )
2
x +x+1 = x x+1+ ．
x
其中是因式分解的个数是（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
2 2
若x−3y = 5，则x −3xy−15y = ______．
3 因式分解：
2
（1）3a(x−y)−5b(y−x)； （2）10a(x−y) +5ax(y−x)．
4 因式分解(a+b)(a+b−1)−a−b+1的结果为____________．5 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
2 2 3
1+x+x(x+1)+x(x+1) = (1+x)[1+x+x(x+1)] = (1+x) (1+x) = (1+x)
（1）上述因式分解的方法是__________法，共应用了__________次；
2 2012
（2）若把1+x+x(x+1)+x(x+1) +…+x(x+1) 分解因式，则需要应用上述方法________
次，分解因式后的结果是__________；
（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1) 2 +…+x(x+1) n （其中n为正整数），
必须有具体过程．
6 因式分解：
（1）2a(x−5y)+b(5y−x)； （2）3k(2k+3m)−2n(3m+2k)．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 13 讲 因式分解（二）
例题练习题答案
例1 分解因式：
2 2
（1）−x +4y = ___________________．
2
（2）64−a = ________________．
2
（3）9m −1 = ___________________．
2
（4）9x −4 = ___________________．
练1.1 分解因式：
1
2
（1）4− x ；
9
16 1
2 2
（2） x − y ．
25 4
例2 2
因式分解(a−1) −9的结果是（ ）
A： (a+2)(a−4)B： (a+8)(a+1)
C： (a−2)(a+4)
D： (a+2)(a−10)
练2.1 (1) 2 2
分解因式(2x+2) −x 的结果是（ ）
A： ( 2 )
2 x +4x+3
B： ( 2 )
2 x +2x+3
C： (2x+3)(x+1)
D： (3x+2)(x+2)
(2) 2 2
将(x+2y) −(x−2y) 分解因式的结果是（ ）
A： 2
−8x
B： −8x(x−2y)
C： 16(x+y)
D： 8xy
练2.2 分解因式：
2 2
（1）(x+p) −(x+q) ；
2 2
（2）(2x+y) −(x+2y) ．
例3 分解因式：
2 4 2
（1）2ax −2ay （2）(a+b)−a (a+b)
练3.1 分解因式：
4 4 4
（1）16−a ；（2）a −b ．
例4 (1) 2 2
用简便方法计算：100 −99 = _______．
(2) 2
用简便方法计算：99 −1 = _______．例5 分解因式：
2 2
（1）x −18x+81； （2）16x +24x+9．
练5.1 分解因式：
2 2 2 2
（1）a −2ab+b ； （2）a b −6ab+9．
例6 2
分解因式(x−1) −2(x−1)+1的结果是（ ）
A： (x−1)(x−2)
B： 2
x
C： 2
(x−2)
D： 2
(x+1)
练6.1 分解因式：
2 2
（1）4(x+y) +25−20(x+y)； （2）(x+4) +8(x+4)+16．
例7 因式分解：
(1) 2
2x −4x+2
(2)( )2
2 2
x +4 −16x
练7.1 (1) 2 2
分解因式：9x (a−b)+y (b−a)．
(2) 3 2 2 3
若a+b = 4，ab = −6，求代数式a b+2a b +ab 的值．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 13 讲 因式分解（二）
自我巩固答案1 2
多项式x −4因式分解的结果是（ ）
A： 2
(x+2)
B： 2
(x−2)
C： (x+2)(x−2)
D： (x+4)(x−4)
2 2
分解因式(x+1) −16的结果是（ ）
A： (x+5)(x+3)
B： (x+5)(x−3)
C： (x−5)(x+3)
D： (x−5)(x−3)
3 2 2
若x+y = 3，x−y = 1，则x −y 的值为( )
A： 1
B： 2
C： 3
D： −3
4 3 2
将多项式x −xy 分解因式，结果正确的是( )
A： 2 2
x(x −y )
B： 2
x(x−y)
C： 2
x(x+y)
D： x(x+y)(x−y)
5 2 2
把4x −20xy+25y 进行因式分解，结果为（ ）
A： 2
(x−5y)B： 2
(2x−5y)
C： 2
(3x−5y)
D： 2
(4x−5y)
6 3 2
把8a −8a +2a进行因式分解，结果正确的是（ ）
A： ( 2 )
2a 4a +4a+1
B： 2
8a (a−1)
C： 2
2a(2a−1)
D： 2
2a(2a+1)
7 3 2 2 3
已知a+b = 3，ab = 2，求代数式a b+2a b +ab 的值为（ ）
A： 6
B： 18
C： 28
D： 50
8 分解因式：
2 2 2
（1）x −14xy+49y ； （2）16(x−y) −24(x−y)+9.
9 分解因式：
( )
2 2 2 2
（1）(2m−n) −169(m+n) ； （2）8 x −2y −x(7x+y)+xy．
10 分解因式：
2 2 2
（1）3ax −6axy+3ay ； （2）−4abx +4abx−ab.
能力提高 / 初二 / 暑假第 13 讲 因式分解（二）
课堂落实答案
1 2 2
将(x+3) −(x−1) 分解因式的结果是( )
A： 4(2x+2)
B： 8x+8
C： 8(x+1)
D： 4(x+1)
2 因式分解：
2 2 2 2
（1）2am −2an ； （2）(m+n) −4(m−n) ．
3 2
因式分解：4a +4a+1 = ____________．
4 2 2
因式分解：a −10ab+25b ．
5 3 2
因式分解：x −4x +4x = ________．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 13 讲 因式分解（二）
精选精练
1 2 2
分解因式：9(a−b) −(a+b) = ___________．
2 ( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )
利用因式分解计算： 1− 1− 1− ⋯ 1− 1− ⋯ 1− ．
2 2 2 2 2 2
2 3 4 9 10 n
3 因式分解：
2 2 3
（1）6xy −9x y−y ；
（2）(p−4)(p+1)+3p．4 若|a+2|+a 2 −4ab+4b 2 = 0，求a，b的值．
5 3 2 2
分解因式：a +2a (b−c)+a(b−c) .
6 2 2
因式分解：x −2xy+y +4(x−y)+4．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 14 讲 分式
例题练习题答案
例1 (1) 2 3
1 2xy 3a b 5 x y 10
在式子 ， ， ， ， + ，9x+ 中，属于分式的有（ ）
y π 4 6+x 7 8 y
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
(2) x
若分式 无意义，则x的值为___________；
|x|−1
(3)下列各式中，x满足什么条件时，分式的值为0？
2x+1 |x|−9
① ； ② ．
3x−1 x+9
练1.1 (1) x−2
使分式 有意义，x的取值应该满足（ ）
(x+1)(x−2)
A： x ≠ −1
B： x ≠ 2C： x ≠ −1或x ≠ 2
D： x ≠ −1且x ≠ 2
(2) x−3
若分式 的值为0，则x的值为___________．
2x−3
练1.2 (1) x+3
若分式 无意义，则x的值为___________；
2
x −9
(2) 2
x −1
若分式 的值为0，则x的值为（ ）
x−1
A： 1
B： −1
C： 0
D： ±1
例2 若x，y的值均扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？
x+y xy x−y
（1） ； （2） ； （3） ．
x−y x−y 2 2
x +y
练2.1 x+y
将分式 中x，y的值均变为原来的2倍，则分式的值（ ）
2 2
x +y
A： 1
缩小为原来的
2
B： 扩大为原来的2倍
C： 不变
D： 不能确定
练2.2 若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A： x
x−y
B： 2x
2
y
C： 2
x
y
D： 3
3x
2
2y
例3 0.3x+0.2y
不改变分式 的值，将分子和分母中各项的系数化为整数，得到__________．
0.4y+2
练3.1 0.5x−1
不改变分式 的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，所得结果正确的为（ ）
0.3x+2
A： 5x−1
3x+2
B： 5x−10
3x+20
C： 2x−1
3x+2
D： x−2
3x+20
例4 下列各式中，变形正确的是（ ）
A： −3x 3x
− =
5y −5yB： a+b −a+b
− =
c c
C： −a−b a−b
=
c −c
D： a a
− =
b−a a−b
练4.1 1
分式 可变形为（ ）
3−x
A： 1
3+x
B： 1
−
3+x
C： 1
x−3
D： 1
−
x−3
练4.2 不改变分式的值，将下列分式的分子，分母的首项符号都变为正号，并按未知数的降幂排列．
2
−1+x
（1） = ___________；
2
−1−x
2
−x −x+1
（2） = ___________．
2
−x +x−1
例5 约分：
2 3 2
12x y (x−a) x(x+y)
（1） ； （2） ； （3） ．
3 2 3 2
−9x y (x−a) (x+y)例6 约分：
2 2
a +3ab x −9
（1） ； （2） ．
2 2
3b +ab x +6x+9
练6.1 约分：
2 2 2
a −36 x −2xy+y
（1） ； （2） ．
2a+12 2 2
x −y
练6.2 2 2 2 2 2
1 3a+1 x +y a −b (a+b)
在分式 ， ， ， ， 中，最简分式的个数是（ ）
2a 3a 2 2 a−b a+b
x −y
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
能力提高 / 初二 / 暑假
第 14 讲 分式
课堂落实答案
1 下列式子是分式的是（ ）
A： x
2019
B： 2019
x
C： x
2019πD： x+y
2019
2 2x
如果分式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
x+5
A： x ≠ 0
B： x ≤ −5
C： x ≥ −5
D： x ≠ −5
3 2
x −4
当x = _________时，分式 的值为0．
x−2
4 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A： 0.3a+b 3a+b
=
a+0.4b a+4b
B： 2
a −4 a+2
=
2 a−2
(a−2)
C： −a+b a+b
= −
c c
D： a ac
=
2b 2bc
5 xy
如果分式 中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
2x+3y
A： 扩大为原来的2倍
B： 1
缩小为原来的
2C： 扩大为原来的4倍
D： 不变
能力提高 / 初二 / 暑假
第 14 讲 分式
自我巩固答案
1 2
2 1 x +1 3xy 3 1
， ， ， ， ，a+ 中属于分式的有（ ）
n 5 2 π x+y m
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
2 (1) x−2
当分式 有意义时，x的取值范围是（ ）
3x+6
A： x ≠ 2
B： x ≠ −2
C： 1
x ≠
2
D： 1
x ≠ −
2
(2) x+1
若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
x−1
A： x > 1B： x < 1
C： x ≠ 1
D： x ≠ 0
3 下列判断错误的是（ ）
A： 2 x+1
当x ≠ 时，分式 有意义
3 3x−2
B： ab
当a ≠ b时，分式 有意义
2 2
a −b
C： 1 2x+1
当x = − 时，分式 的值为0
2 4x
D： 2 2
x −y
当x ≠ y时，分式 有意义
y−x
4 x+2
若分式 的值为零，则（ ）
x−3
A： x = 3
B： x = −2
C： x = 2
D： x = −3
5 2
x −1
若分式 的值为0，则x的值为（ ）
x
A： −1
B： 1
C： ±1
D： 06 根据分式的基本性质，完成下列各等式．
2
1 ( ) xy ( )
（1） = (b ≠ 0)； （2） = ；
a ab 2 x
x y
2
3a 6ab x y ( )
（3） = (b ≠ 0)； （4） = ；
a+b ( ) 2 y
xy
( ) 2 2m ( )
( )
（5）3x−2 = x ≠ − ； （6） = ．
3x+2 3 m−n 2
(n−m)
7 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ）
A： 1
x− y
2 2x−y
=
1 x+2y
x+y
2
B： 0.2a+b 2a+b
=
a+0.2b a+2b
C： x+1 x−1
− =
x−y x−y
D： a+b a−b
=
a−b a+b
8 ab
如果把分式 中的a和b都扩大为原来的2倍，那么分式的值一定（ ）
a+b
A： 是原来的2倍
B： 是原来的4倍
C： 1
是原来的
2
D： 不变9 2
x
把分式 中的x和y都扩大为原来的3倍，分式的值（ ）
2x+y
A： 不变
B： 扩大为原来的3倍
C： 1
缩小为原来的
3
D： 扩大为原来的9倍
10 0.3x+y
不改变分式的值，把分式 中分子和分母的系数化为整数．
0.02x−0.1y
能力提高 / 初二 / 暑假
第 14 讲 分式
精选精练
1 下列判断错误的是（ ）
A： 2
a −2a
代数式 是分式
a
B： 1 x+2
当x = 时，分式 没有意义
2 2x−1
C： 1 2a+1
当a = − 时，分式 有意义
2 a
D： x+3
当x = −3时，分式 的值为0
2x+62 2
使式子 有意义的x的取值范围是 ．
2x+1
3 |x|−1
若分式 的值为0，则x等于（ ）
(x+3)(x−1)
A： 1
B： 1或−3
C： −1或1
D： −1
4 2
x −16
当x = ________时，分式 的值为零．
(x+3)(x−4)
5 1 1
x− y
5 7
不改变分式 的值，将分子和分母中各项的系数化为整数，得到______________．
1
x−0.2y
2
6 阅读材料：
2
x 1 x
已知 = ，求 的值．
2 3 4
x +1 x +1
2
x 1 x +1 1
解：由 = 得 = 3，则有x+ = 3，
2 3 x x
x +1
4
x +1 1 1
2
2 2
由此可得 = x + = (x+ ) −2 = 3 −2 = 7；
2 2 x
x x
2
x 1
所以 = ．
4 7
x +1
请理解上述材料，并求解如下问题：2
x x
已知 = a（a ≠ 0），用含a的代数式表示 的值．
2 4 2
x +x+1 x +x +1
能力提高 / 初二 / 暑假
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 下列图案是轴对称图形的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 下列因式分解正确的是（ ）
A： 2
(x+2)(x−2) = x −4
B： 2 2
x −2x+1 = (x−1)
C： 2 2
a −2a+2 = (a−1) +1
D： 2
4a −8a = 2a(2a−4)
3 △ABC的两边长度为4和7，第三边长度为整数，则第三边长的取值有（ ）种．
A： 4
B： 5
C： 6D： 7
4 等腰三角形两边长分别为3cm和7cm，则这个三角形的周长是（ ）
A： 13cm
B： 17cm
C： 13cm或17cm
D： 以上都不对
5 如图，在△ABC中，AC = 16，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC = 10，那么△BCD的周长是
（ ）
A： 16
B： 10
C： 26
D： 32
6 如图，已知∠EAC = ∠BAD，AC = AD，增加下列条件：①AB = AE；②BC = DE；③∠C = ∠D
；④∠B = ∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个D： 4个
7 下列计算结果正确的是（ ）
A： 3 5 15
a ⋅a = a
B： 2 2
(2a−3) = 4a −9
C： 8 2 4
a ÷a = a
D： (
2
)3
3 6
−2ab = −8a b
8 2 2
下列运算结果是x −25y 的是（ ）
A： 2
(x+5y)
B： (x+5y)(5y−x)
C： (x+5y)(x−5y)
D： (x−5y)(5y−x)
9 下列计算正确的是（ ）
A： 2
(2x+1)(2x−1) = 4x −1
B： 2
(x+3)(x−3) = x −3
C： 2 2
(x−6) = x −36
D： 2 2
(2x+3) = 4x +6x+9
10 如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，连接AF，那么
下列结论正确的是（ ）
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；1
②∠BFC = 90∘ + ∠BAC；
2
③△ADE的周长为AB+AC；
④AF平分∠BAC．
A： ①③④
B： ①②③④
C： ①②
D： ②③④
11 若a、b、c是三角形的三边长，化简：|a+2b−c|−|−a+b−c| = ___________．
12 2
若分式 的值不存在，则x的值为________．
x+1
13 n n n
若x = 5，y = 3，则(xy) = __________．
14 (2x+3)(3−2x) = __________．
15 ( 2 )( 4 )( 8 )
计算：(2−1)(2+1) 2 +1 2 +1 2 +1 +1 = __________．
16 若(2x−3y) 2 = 4x 2 +kxy+9y 2 ，则k的值是__________．
17 如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P 、P ，连接P P 交OA于
2 1 1 2
N，交OB于M，P P = 15，则△PMN的周长为__________．
1 218 在平面直角坐标系中，点A(0,4)、B(2,0)，请你在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则
符合条件的点P共有__________个．
19 计算：
( )3
2 3
（1）3xy ⋅ −2x y
（2）a(3a−2b)
（3）(2x+1)(x−2)
2
（4）(m+2n)
2
（5）(5−3x)
（6）(2x−3y)(2x+3y)
20 把下列分式化简为最简分式：
3 4 3
ab c −35a b c
（1） ； （2） ；
2 2 4
abc 21a b d
2
a+b+c x −4
（3） ；（4） ．
ma+mb+mc 2
2x +8x+8
21 2 2 2 2
已知(x+y) = 5，(x−y) = 1，求x +y 和xy的值．
22 如图，C是AE上一点，∠B = ∠DAE，BC∥DE，BC = AE．求证：AB = AD．
23 如图，在△ABC中，高AD、BE交于H点，若BH = AC．
求证：DC = DH．24 如图， △ ABC中，∠C = 90∘，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，点F在AC上，BD = DF，求
证：CF = BE．
25 已知一个多项式ab+a+b+1可以写成(a+1)(b+1)的形式．现在按下面规则扩充新数：已有a和b
两个数，可按规则c = ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一
个新数，．．．．每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．
（1）按上述规则操作三次得到扩充的最大新数为_________；
（2）能否通过上述规则扩充得到新数5183？___________（填“能”或者“不能”）．
26 2 2 2 2
已知三项的完全平方公式是(x+y+z) = x +y +z +2xy+2yz+2zx，利用该公式解决下面问
2 2 2 2 2 2 2 2 2
题：已知a+b+c = 0，a +b +c = 1，则ab+bc+ca = ___________；a b +b c +c a =
__________．
