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能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 二次根式的概念与性质
例题练习题答案
例1 判断下列根式是不是二次根式：
−−−
√−3
( 1 ) ；
−−−−
√|−3|
( 2 ) ；
−−−−−
( 3 )
√(−3)3
；
–
√38
( 4 ) ；
−−−
√−a
( 5 ) ；
−−−
−2
( 6 ) √
−3；
−−−−−−−
√−a2 −1
( 7 ) ；
−−−−−−−−−
√a2 +2a+1
( 8 ) .
−−−−−
例2 若二次根式 √3−x 有意义，则x的取值范围是________．
−−−−−
练2.1 若式子 √2x−4 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
x≠2
A：
x≥2
B：
x≤2
C：
x≠−2
D：
−−−−−
例3 已知实数m、n满足 |n−2|+√m+1=0 ，则 m+2n 的值为_____．
−−−−−
练3.1 若 √2x+1+(y+3)2 =0 ，则 x−y = ________．
−− −−−
例4 若√a 和 √−a 都有意义，则a应满足的条件是（ ）
a≥0
A：
a≤0
B：
a=0
C：
a≠0
D：
−− −−−
练4.1 若√x +√−x+4 =y ，则y的算术平方根为（ ）
A： 2
−2
B：
±2
C：D： 4
例5 计算：
−−−−−−−
1 2 − 1 − 2
√(− ) (√ )
（1） 5 ； （2） 2 ；
−−−−−− −− 2
√(3−π )2 (√a2)
（3） ； （4） ．
例6 化简下列各式：
−− −−−
√18 √320
（1） ； （2） ．
练6.1 化简下列各式：
−− −−
√32 √72
（1） ； （2） ．
例7 化简下列各式：
−−− −−
50 2
√ √
（1） 81； （2） 3；
−−−
12 1
√
（3） 7 ； （4） √5 –．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 二次根式的概念与性质
自我巩固答案
1 下列各式中不是二次根式的为（ ）
−−−−−
√ b2+1
A：
−−
B：
√a(a<0)
–
√0
C：
−−−−−−
D：
√(a−b)2
2 下列式子中二次根式的个数有（ ）
−−−−−−−
−−
1 −−− −−−−− 1 2
√ √−3 −√x2 +1 38 √(− )
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）
3 3
−−−−− −−−−−−−−−
√1−x(x>1) √x2 +2x+3
；（7） ．
2
A： 个
3
B： 个
4
C： 个
5
D： 个
−−−−−
3 若 √2a+3 在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）3
A： a≥−
2
3
B： a≤−
2
3
C： a>−
2
3
D： a<−
2
−−−−−
4 已知 √x−2y+|y−1|=0 ，则 x+y 的值是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
−− −−−
5 已知 y =√x +√−x+2 ，则 y =________ ．
−−−−
6 已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足
|a−6|+√b−8=0
，那么这个三角形的最大
边c的取值范围是（ ）
A： c＞8
8 ≤c<14
B：
C： 6＜c＜8
D： 2＜c＜14
−−−−−
7 若 a 、 b 为实数，且 √2a−1+|b+1|=0 ，则 a2 +b2015 的值是________．
8 下列属于最简二次根式的是（ ）
–
√8
A：
–
√5
B：
–
√4
C：
−−
1
D： √
3
9 下列根式是最简二次根式的是（ ）
1
A： –
√2
−−
√50
B：
−−
2
C： √
7
−−
√22
D：
10 在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的进行化简.−−
√45
(1)
−−
1
(2)√
3
–
√5
(3)
2
−−−
√0.5
(4)
−−−
4
(5)√1
5
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 二次根式的概念与性质
课堂落实答案
1 下列各式中① √ − 1 − 5 、② √ − b − 2 − − −− 4 、③ √ − x − 2 − + −− 1 − 6 、④ √ − x − 2 − + −− 6 − x − + −− 9 、⑤ √ − − − 1 − 2 − 1 ，一定是二
次根式的是____________．
−−−−
2 若实数 x 、 y 满足 |x−2|+√y+5 =0 ，则xy的值是（ ）
A： 10
B： 3
C： 7
−10
D：
−−−−
3 已知 √4−a+(b−5)2 =0 ，则 a+b 的算术平方根为（ ）
3
A：
−3
B：
9
C：
−3 3
D： 或
4 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
–
√8
A：
−−
√10
B：
−−
√12
C：
−−
√27
D：
5 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）−−−
√12a
A：
−−−
1
B： √1
3
–
√2
C：
−−−−−
√3m2n3
D：
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 二次根式的概念与性质
精选精练
1 下列各式中① √ −− a 、② √ − b − + −− 1 、③ √ − a − 2 、④ √ − a − 2 − + −− 3 、⑤ √ − x − 2 − − −− 1 、⑥ √ − x − 2 − + −− 2 − x − + −− 1 ，
一定是二次根式的有（ ）
1
A： 个
2
B： 个
3
C： 个
4
D： 个
−−−−−
2 已知 x 、 y 是实数，若 √3x+4+y2−6y+9 =0 ，则 3x−y 的值是（ ）
1
A：
4
−7
B：
−1
C：
7
D： −
4
−−−−
3 若 |3x−3| 和 √y−4 互为相反数，求 4x+3y 的平方根．
– −−−− −−−
4 若实数 a 、 b 、 c 满足 |a−√2|+√b−2=√c+√−c ，求 a 、 b 、 c ．
5 下列各式中，最简二次根式是（ ）
−−
√27
A：
−−−−−
√m5n2
B：
−−
1
C： √
2
–
√6
D：
6 把下列二次根式化为最简二次根式：
−−−
−−−− 9b2
√1200 √
（1） ； （2） 2a ．能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 二次根式的运算
例题练习题答案
例1 计算：
−−
−− 1
√20 ×√
（1） 2;
−−−− −−−−
−2√0.27×√0.03
（2） ;
−−
√14
（3） – ;
√2
−−−
−−− 1
√2.5÷√
（4） 20．
练1.1 下列选项计算不正确的是（ ）
– −− –
√6×√12 =6√2
A：
−−
−− 1
B： √18 ×√ =3
3
−− –
√36 ÷√9 =2
C：
−−
√21 –
D：
–
=√3
√7
例2 计算：
−− −− −−
2 7 3
−√ ×√ ×√
（1） 7 6 5；
−−
– 4 −−
2√5×√ ÷(−√15)
（2） 3 ．
练2.1 下列计算中，错误的是（ ）
– –
16÷2√2×√2 =8
A：
–
−− – – √6
B： √10 ÷3√5×√3 =
3
−−− −−− −−
2 1 – √15
C： √1 ÷√1 ×√5 =
3 4 3
−− – – –
√12 ×√5÷√3 =2√5
D：
–
例3 下列二次根式中，与 √5 是同类二次根式的是（ ）
−−
√25
A：
−−
1
B： √
5
−−
√10
C：
−−
√50
D：−−−− −−−−−
例4 若最简二次根式 3b√−1a+2 与 √4b−a 是同类二次根式，则 a= ______， b= _______．
−− −−−−−
练4.1 若 √75 与最简二次根式 √m+1 是同类二次根式，则m的值为（ ）
A： 7
B： 11
C： 2
D： 1
例5 计算：
−− –
√12 +√3
(1) ；
−−
– 1
(2)√8+√
8；
−− −−
√80 −√45
(3) ；
−− −−
√75 −√12
(4) ．
练5.1 计算：
−− –
√18 +4√2
(1) ；
−− –
√98 −√8
(2) ．
练5.2 下列计算正确的是（ ）
– – –
√2+√3 =√5
A：
– – –
2√2−√2 =√2
B：
−− –
√18 ÷√3 =3
C：
– – –
√2×(−√3)=√6
D：
例6 计算：
−− – −− −−
√50 +2√8−3√12 +√27
(1) ；
−−
−− 1 −−
(2)2√12 −6√ +3√48
3 ．
练6.1 计算：
−−
−− – 1
(1)√12 −√3+√
3；
−−
−− −− 1
(2)3√20 −√45 +√
5．能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 二次根式的运算
自我巩固答案
1 下列式子中，不正确的是（ ）
−− – –
√14 =√2×√7
A：
−− – –
√15 =√3×√5
B：
−− –
3 √3
C： √ =
–
8 √8
−− −− −−
5 2 3
D： √ =√ ×√
6 3 2
−−− −−−
2 5
2 −√1 ÷√
计算 3 72，结果正确的是（ ）
–
−3√6
A：
–
−3√2
B：
–
3√2
C：
–
−2√6
D：
3 下列计算中，错误的是（ ）
– –
18÷3√2×2√2 =12
A：
–
−− – −− 5√6
B： √20 ÷3√2×√15 =
3
−−− −−−
3 2 −−
C： √1 ÷√1 ×√10 =5
4 5
−− −− – −−
√24 ×√15 ÷√6 =2√15
D：
–
4 下列二次根式中，与 3√2 是同类二次根式的是（ ）
−−
3
A： √
2
–
√3
B：
–
√8
C：
−−
√12
D：
−−−−− −−−−−−
5 如果最简二次根式 √3a−8 与 √17−2a 能够合并，那么 a 的值为（ ）
2
A：
3
B：4
C：
5
D：
−−−−− −−−−−
6 若最简二次根式 √7a+b 与 b√+36a−b 是同类二次根式，则 a+b 的值为（ ）
A： 2
−2
B：
−1
C：
D： 1
−−
1 1 –
7 √ +(− √2)
化简 2 2 的结果是（ ）
1
A：
−1
B：
2
C：
0
D：
8 计算：
– −−
√5−√20
（1） ；
−− −−
√28+√63
（2） ．
9 计算：
−−
−− 1 1 −−
√27 −15√ + √48
（1） 3 4 ；
−− – –
(√50 −√8)+√2
（2） ．
−−
−− 1 −− –
10 √45 −3√ +√12 +√4
计算： 3 ．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 二次根式的运算
课堂落实答案
−− –
1 计算 √24 ×√3 的结果为（ ）
A： 6
–
6√2
B：
−−
√72
C：
–
3√8
D：−−− −−−
2 5
2 −√1 ÷√
计算 3 96的结果正确的是（ ）
–
−3√6
A：
–
−4√2
B：
–
4√2
C：
–
−2√6
D：
−−−− −−−−−
3 如果最简二次根式 √1+a 与 √4a−2 能合并，那么 a= _____．
−−
−− 2
4 √24 +9√
计算 3的结果是（ ）
–
5√6
A：
–
−√6
B：
4 –
C： − √6
3
4 –
D： √6
3
5 计算：
−−
−− – 1
√18 −√8+√
（1） 8；
−−
−− 1
√27 −6√
（2） ．
3
能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 二次根式的运算
精选精练
1 如果 ab>0 ， a+b<0 ，那么下面各式：
−− −− −− −− −−
a √a a b −− a
√ = √ ×√ =1 √ab ÷√ =−b
① b √b ，② b a ，③ b ，其中正确的是（ ）
A： ①②
B： ②③
C： ①③
D： ①②③
2 √ − 1 − 2 × √3 – ÷√3 – √ − 4 − 5 ÷√ − 6 − ×√ − 1 −− 2 ×(√ − 1 − ) 3
（1） 4 （2） 5 3 3
−−− −−−
b −−− a2
√ ÷√ab2 ×√ a>0 b>0
（3） 2a 2b （ ， ）
−−
3 下列各式中，与 √a 是同类二次根式的是（ ）−−
√2a
A：
−−−
√3a2
B：
−−
C：
2√a
−−
√a4
D：
4 下列运算正确的是（ ）
−− −− –
A：
√x +√2x =√3x
– –
3√3−2√3 =1
B：
– –
2+√5 =2√5
C：
−− −− −−
D：
m√x −n√x =(m−n)√x
5 下列计算错误的是（ ）
– –
3√2−√2 =3
A：
−− – –
√60 ÷√5 =2√3
B：
−−− −− −−
C：
√25a+√9a =8√a
−− – –
√14 ×√7 =7√2
D：
6 计算：
−−
– −− −− – 1 −− −− −−
√3+√27 −√12 2√8−6√ +√12 −(√18 −√27)
（1） ； （2） 3 ．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 勾股定理初步
例题练习题答案
例1 在 Rt△ABC 中， ∠C =90∘ ， a=8 ， c=17 ，则 b 的长是（ ）
A： 25
B： 12
C： 15
D： 13
练1.1 等腰三角形的底边长为24，底边上的高为5，它的腰长为（ ）
A： 10
B： 11
C： 12D： 13
练1.2 如图，在△ABC中， AD⊥BC 于点D， AB =17 ， BD=15 ， DC =6 ，则AC的长为
（ ）
A： 11
B： 10
C： 9
D： 8
例2 若一个直角三角形的两边长为12，13，则第三边长为（ ）
A： 5
B： 17
C： 5或17
−−−
√313
D： 5或
练2.1 直角三角形中两边长为8，15，第三边长为____________．
练2.2 直角三角形的三边长分别是5，4，x，则 x2 = ____________．
例3 下列选项中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，图中字母所代表的正方形
的面积为144的选项为（ ）
A：
B：
C：D：
练3.1 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面
积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（ ）
A： 9
B： 18
C： 27
D： 45
练3.2 如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中最大
的直角三角形两直角边长分别为2，3，则正方形A，B，C，D的面积之和为（ ）
A： 13
B： 26
C： 47
D： 94
例4 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
– –
√2 √2
A： 1， ，
B： 6，8，10
C： 4，5，9
D： 5，12，18
练4.1 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1） 3 ，4，5；（2） 5 ，12，13；（3） 8 ，15，17；
32 42 52
（4） ， ， ，其中能构成直角三角形的有（ ）
A： 4组
B： 3组C： 2组
D： 1组
练4.2 下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A： 3，4，5
B： 7，24，25
C： 8，15，17
D： 5，7，9
−−−−−−−−−−
例5 已知a，b，c是△ ABC 的三边长，且满足关系式 √ c2−a2 −b2 +|a−b|=0 ，则△ABC的形
状为__________．
−−−−−−
练5.1 △ABC的三边a，b，c满足 (a−13)2+|b−12|+√2c−10 =0 ，则△ABC为（ ）
A： 直角三角形
B： 等腰三角形
C： 等边三角形
D： 等腰直角三角形
练5.2 三角形的三边长为 a ， b ， c ，且满足 (a+b)2 =c2+2ab ，则这个三角形是（ ）
A： 等边三角形
B： 钝角三角形
C： 直角三角形
D： 锐角三角形
例6 在△ABC中，D是BC上一点， AB =10 ， BD=6 ， AD=8 ， AC =17 ，求△ABC的面积．
练6.1 如图， AD=13 ， BD=12 ， ∠C =90∘ ， AC =3 ， BC =4 ．则阴影部分的面积
=
_________．
练6.2 如图，四边形 ABCD 中， ∠B =90∘ ， ∠ACB =30∘ ， AB =2 ， CD=3 ， AD=5 ．
AC⊥CD
（1）求证： ；ABCD
（2）求四边形 的面积．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 勾股定理初步
自我巩固答案
1 一直角三角形两直角边长分别为3和4，则下列说法不正确的是 ( )
A： 斜边长是25
B： 斜边长是5
C： 面积是6
D： 周长是12
–
2 若直角三角形的两条边的长分别为 √3 和2，则该直角三角形第三边的长为 ( )
A： 1
–
√7
B：
C： 5
–
√7
D： 1或
3 若一直角三角形两边长分别为 12 和 5 ，则第三边长为（ ）
13
A：
−−−
13 √119
B： 或
13 15
C： 或
15
D：
4 若等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为（ ）
A： 6
B： 7
C： 9
D： 12
5 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正
方形A，B，C，D的边长分别是 3 ， 5 ， 2 ， 3 ，则最大正方形E的面积是（ ）A： 13
B： 26
C： 47
D： 89
6 如图，在锐角三角形ABC中，高 AD=12 ，边 AC =13 ， BC =14 ，求AB的长．
7 △ABC的三边分别为 a=1.2 cm， b=1.6 cm， c=2 cm，则 ∠C 是（ ）
A： 锐角
B： 直角
C： 钝角
D： 以上三种都有可能
– –
8 如果一个三角形的三边分别为1， √2 ， √3 ，则其面积为（ ）
–
√2
A：
–
√2
B：
2
–
√3
C：
2
–
√6
D：
2
−−−− –
9 已知三角形三边分别为 a ， b ， c ，且满足 |a−2|+√b−2+(c−2√2)2 =0 ，此三角形的形
状是（ ）
A： 直角三角形
B： 等腰直角三角形
C： 等边三角形
D： 钝角三角形
–
10 如图，在△ABC中， AB =4 ， BC =√5 ，点 D 在 AB 上，且 BD=1 ， CD=2 ．CD⊥AB
（1）求证： ；
AC
（2）求 的长．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 勾股定理初步
课堂落实答案
∘
1 在 Rt△ABC 中, ∠C =90 , AB =2 , BC =1 ,则 AC 的长为（ ）
1
A：
–
√3
B：
–
√5
C：
3
D：
2 已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为（ ）
A： 9
B： 12
C： 15
D： 18
3 已知直角三角形的两边长为3，4，则另一条边长是________．
4 如图中字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A： 4
B： 8
C： 16
D： 64
5 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）a=1.5 b=2 c=3
A： ， ，
a=7 b=24 c=25
B： ， ，
a=6 b=8 c=10
C： ， ，
a=3 b=4 c=5
D： ， ，
能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 勾股定理初步
精选精练
1 如图，以直角三角形 a ， b ， c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四
S +S =S
种情况的面积关系满足 1 2 3的图形个数为（ ）
1
A：
2
B：
3
C：
4
D：
2 如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为6，C的边长为
4，则正方形B的面积为__________．3 在直线上依次摆着 7 个正方形(如图)，已知倾斜放置的 3 个正方形的面积分别为 1 ， 4 ， 9 ，水平放置
4 S S S S S +S =
的 个正方形的面积分别是 1， 2， 3， 4，则 1 4 __________．
4 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB =90∘ ， AC =5 cm， BC =12 cm，其斜边上的高为（
）
6cm
A：
8.5cm
B：
60
C： cm
13
30
D： cm
13
5 如图，在△ ABC 中，点M是AC边上一个动点，若 AB =AC =10 ， BC =12 ，则BM的最小
值为（ ）
A： 25
B： 9.6
C： 10
D： 4.5
6 △ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）①
∠A =∠B−∠C a2 =(b+c)(b−c) ∠A :∠B :∠C =3 :4 :5
； ② ； ③ ； ④
a:b:c=5 :12 :13
．
A： 1个
B： 2个
C： 3个D： 4个
能力提高 / 初二 / 寒假
第 4 讲 勾股定理的应用
例题练习题答案
–
例1 一个直角三角形，斜边长为 4√5 cm，两条直角边的长相差4 cm，求这个直角三角形的两条直角
边的长，可设较长直角边为x cm，根据题意可列方程__________．
练1.1 已知Rt△ABC中， ∠C =90∘ ， a+c=16 cm， b=8 cm，则Rt△ABC的面积等于__________．
–
练1.2 若直角三角形的一条直角边和斜边的比为1：2，另一条直角边长为 3√3 ，则直角三角形的斜边长
为（ ）
A： 3
B： 6
–
6√3
C：
–
6√2
D：
例2 如图，四边形 ABDC 中， AB =8 ， AC =6 ， CD=24 ， BD=26 ， ∠BAC =90∘ ，
ABDC
则四边形 的面积是___________．
练2.1 如图，在四边形ABDC中， ∠A =90∘ ， AB =9 ， AC =12 ， BD=8 ， CD=17 ．求四
边形ABDC的面积．
练2.2 如图，已知某开发区有一块四边形空地 ABCD ，现计划在该空地上种植草皮，经测量
∠ADC =90∘ CD=6 AD=8 BC =24 AB =26
， m， m， m， m，若每平方米草皮需
200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？例3 如图，学校有一块长方形草地，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出了一
条“路”，他们仅仅少走了（ ）m路，却踩伤了花草．
A： 1
B： 2
C： 5
D： 12
练3.1 如图所示，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m．一只鸟从一棵树的树梢飞到
( )
另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行
8 m
A：
10 m
B：
12 m
C：
14 m
D：
例4 为了提高技术工人的技能技巧，某石油分公司举办了一期岗位培训班，培训结业时出了如下一道
题：有一油罐，其直径为6米，高8米，如图，将一长为12米的金属棒置于其中，假如金属棒在外
h h
面的长为 米，试问 的取值范围是（ ）
6 ≤h≤8
A：
4 ≤h≤6
B：
2 ≤h≤6
C：
2 ≤h≤4
D：
练4.1 如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯
h h
子外面的长度为 ，则 的取值范围是（ ）12cm≤h≤19cm
A：
12cm≤h≤13cm
B：
11cm≤h≤12cm
C：
5cm≤h≤12cm
D：
例5 如图所示，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路
程（π取3）是（ ）
A： 20cm
B： 10cm
C： 14cm
D： 无法确定
练5.1 已知长方体盒子的长、宽、高分别为6cm，3cm，2cm，如图所示，在顶点A处的蚂蚁要去吃顶点
B处的食物，那么这只蚂蚁所要爬行的最短路线长为多少？
练5.2 如图，长方体的长 BE =15 cm，宽 AB =10 cm，高 AD=20 cm，点M在CH上，且
CM =5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
能力提高 / 初二 / 寒假第 4 讲 勾股定理的应用
自我巩固答案
1 某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为（ ）
A： 8
B： 10
C： 15
D： 17
2 在Rt△ABC中， ∠C =90∘ ，若 c=10 cm， a:b=3 :4 ，则△ABC的周长为（ ）
A： 12 cm
B： 20 cm
C： 24 cm
D： 48 cm
3 如图，点P是平面坐标系中一点，则点P到原点的距离是（ ）
A： 3
–
√2
B：
–
√7
C：
−−
√53
D：
4 一棵大树在离地面6米高处断裂，树顶落在离树底部8米处，则大树断裂之前的高度为（ ）
A： 10
B： 16
C： 15
D： 14
5 一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明
（ ）
A： 没有危险B： 有危险
C： 可能有危险
D： 无法判断
6 将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯
子外面的长度hcm，则 h 的取值范围是（ ）
h≤17
A：
h≥8
B：
15 ≤h≤16
C：
7 ≤h≤16
D：
7 如图，在长、宽都为3cm，高为8cm的长方体纸盒的A处有一粒米粒，一只蚂蚁在B处去觅食，那
么它所行的最短路线的长是（ ）
–
(3√2+8)cm
A：
10cm
B：
−−
√82cm
C：
D： 无法确定
8 如图，有一块土地的形状如图所示， ∠B =∠D=90∘ ， AB =20 米， BC =15 米，
CD=7
米，计算这块土地的面积．
9 自2019年1月8日15时起，合肥市进入冰雪灾害天气．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的
顶端落在离树杆底部4米处，求这棵树折断之前的高度．10 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5
米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直
的，结果保留根号）
能力提高 / 初二 / 寒假
第 4 讲 勾股定理的应用
课堂落实答案
1 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A： 121
B： 120
C： 90
D： 不能确定
2 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆
折断之前的高度是________．
16
3 BC =12 P A BC
如图，圆柱的底面直径为 π ， ，动点 从 点出发，沿着圆柱的侧面移动到 的中
S ( )
点 ，则移动的最短距离为
A： 10
B： 12
C： 14
D： 20−−−
4 如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm，6cm和 √300 cm的长方体无盖盒子
中，则细木棒露在盒外面的最短长度是________cm．
5 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形 ABCD ），经测量，在四边形
−−
ABCD AB =6 BC =8 CD=12 DA =2√61 ∠B =90∘
中， m， m， m， m， ．四边形
ABCD
的面积是多少？
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第 4 讲 勾股定理的应用
精选精练
–
1 如图，在四边形ABCD中， AB =AD=4 ， ∠A =60∘ ， BC =4√5 ， CD=8 ．求
∠ADC
的度数．
2 如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以
每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C，B两岛相距
50海里，请你求出乙船的航行方向．
3 葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一
手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线螺旋前进的，难道植物也懂数学？
通过阅读以上信息，解决下列问题：(1) 如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30 cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40
cm，则它爬行一圈的路程是多少？
(2)如果树干的周长为80 cm，绕一圈爬行100 cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
4 如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm，4cm，12cm，插吸管处的出口到
相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在
3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围是
__________．
5 一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了2米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
6 一架梯子AC长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米到
A′
，那
么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
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第 5 讲 平行四边形
例题练习题答案
例1 平行四边形的一边长为6，周长为28，则这边的邻边长为（ ）A： 22
B： 16
C： 11
D： 8
练1.1 如图，将平行四边形 OABC 放置在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点，若点 C 的坐标是
(1,3) A (5,0) B
，点 的坐标是 ，则点 的坐标是______．
练1.2 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列式子中不一定成立的是（ ）
AB // CD
A：
OA =OC
B：
∠ABC +∠BCD=180∘
C：
AB =BC
D：
例2 如图，在□ABCD中， AD=8 ，AB=12，AE平分∠BAD，交DC边于点E，则CE的长为
_______________．
练2.1 如图，在平行四边形ABCD中， AD=9 ，CE平分∠BCD交AD边于点E，且 AE =5 ，则AB的长
为（ ）
A： 4
B： 5
C： 3
D： 6−−
练2.2 如图，在平行四边形 ABCD 中， AC⊥AB ，DE平分 ∠ADC ， AC =3 ， AD=√13 ，则
BE的长为（ ）
−−
√10
A：
−− −−
√13 −√10
B：
C： 2
−−
√13 −2
D：
例3 (1)□ABCD中， ∠A =100∘ ，则 ∠B+∠D 的度数是__________．
(2)□ABCD中，若 ∠C =∠B+∠D ，则 ∠A = ______________．
练3.1 如图，已知在□ABCD中， ∠A+∠C =140∘ ，则∠B的度数是（ ）
110∘
A：
120∘
B：
140∘
C：
160∘
D：
练3.2 已知□ABCD中， ∠B =4∠A ，则∠D =（ ）
18∘
A：
36∘
B：
72∘
C：
144∘
D：
例4 平行四边形的一边长是10，一条对角线长是6，则它的另一条对角线a的取值范围为（ ）
4 AB) ，点E是BC上一点，且 DE =DA ，AF⊥DE，垂足为点F，
AB =AF
求证： ．
9 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形， AB =4 ，求
BC的长．
1
10 如图， AC =BC ，D是AB中点，CE∥AB，CE= 2 AB，求证：四边形CDBE是矩形．能力提高 / 初二 / 寒假
第 6 讲 矩形
课堂落实答案
1 已知矩形一边的长为 5 ，另一边的长为 4 ，则它的对角线的长为（ ）
3
A：
−−
√41
B：
4
C：
−−
2√41
D：
2 如图，在矩形 ABCD 中，AC，BD交于点O， AB =3 ， ∠1 =60∘ ，则 AC = ____．
3 如图，在△ABC中， ∠ACB =90∘ ， ∠A =30∘ ，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，则
∠CPD=
（ ）
30∘
A：
45∘
B：
60∘
C：
75∘
D：
4 下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A： 对角线相等的四边形是矩形
B： 对角线互相平分的四边形是矩形
C： 矩形的对角线互相垂直且平分
D： 矩形的对角线相等且互相平分
5 如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：
（1）△ADE≌△CBF；
（2）四边形BFDE为矩形．能力提高 / 初二 / 寒假
第 6 讲 矩形
精选精练
1 如图，矩形 ABCD 中， DE⊥AC 于点 E ，且 ∠ADE :∠EDC =3 :2 ，则 ∠BDE 的度数为
（ ）
A： 36°
B： 18°
C： 27°
D： 9°
2 如图，在矩形ABCD中， BD=8 ，AE⊥BD，垂足为点E， ∠BAE =30∘ ，那么△ECD的面积是
（ ）
–
4√3
A：
–
9√3
B：
2
–
5√3
C：
–
6√3
D：
3 如图，在矩形 ABCD 中， O 为 AC 中点，EF过 O 点，且EF⊥AC，分别交 DC 于F，交 AB 于E，
1
点G是AE中点且 ∠AOG=30∘ ，则下列结论：① DC =3OG ；② OG= 2 BC ；③△OGE是
1
S = S
等边三角形；④ △AOE 6 矩形ABCD ．正确的个数为（ ）A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
4 如图，矩形ABCD中，AE平分 ∠BAD 交BC于E， ∠CAE =15∘ ，则下列结论：①△ODC是等边
BC =2AB ∠AOE =135∘ S =S
三角形；② ；③ ；④ △AOE △COE．其中正确的结论有
______________．
5 已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线
于点F，且 AF =DC ，连接CF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果 AB =AC ，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
6 如图，在△ABC中，点 O 在 AB 边上，过点 O 作 BC 的平行线交 ∠ABC 的平分线于点 D ，过点
B BE⊥BD OD E
作 交直线 于点 ．
OE =OD
(1)求证： ；
O AB BDAE
(2)当点 在 的什么位置时，四边形 是矩形？说明理由．
能力提高 / 初二 / 寒假第 7 讲 阶段自检
期末试卷答案
1 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
−−
1
A： √
2
−−
√17
B：
−−
√75
C：
−−−
√5a3
D：
2 下列三个长度的线段能组成直角三角形的是（ ）
– –
1 √2 √3
A： ， ，
– –
1 √3 √5
B： ， ，
2 4 6
C： ， ，
5 5 6
D： ， ，
3 如图，在平行四边形 ABCD 中， O 是对角线 AC 、 BD 的交点，下列结论错误的是（ ）
AB // CD
A：
AB =CD
B：
AC =BD
C：
OA =OC
D：
4 在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A： 两组邻边相等
B： 一组对边平行且另一组对边相等
C： 两组对边分别平行
D： 对角线互相垂直
−−−−−
5 如果 √3x+2 在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（ ）
2
A： x≠−
3
2
B： x<−
3
2
C： x≥−
33
D： x≥−
2
6 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是（ ）
∠ABC =90∘
A：
AC =BD
B：
OA =AB
C：
OA =OB
D：
−−−−
√a+1
7 式子 a−2 有意义，则实数a的取值范围是（ ）
a≥−1
A：
a≠2
B：
a≥−1 a≠2
C： 且
a>2
D：
8 如果一个直角三角形的两边分别是2、5，那么第三边的平方是（ ）
A： 21
B： 26
C： 29
D： 21或29
9 矩形的一个角的平分线分矩形的一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（ ）
cm2
A： 3
cm2
B： 4
cm2
C： 12
cm2 cm2
D： 4 或12
10 如图所示， △ABC 中， CD⊥AB 于D，若 AD=2BD ， AC =5 ， BC =4 ，则BD的长为
（ ）
–
√5
A：–
√3
B：
C： 1
1
D：
2
1
11 若式子 −−−−−有意义，则x的取值范围是______________．
√2x+3
12 直角三角形的三边长分别是5，4，x，则 x2 = ____________．
−−−− a
13 若实数a、b满足 (a+2)2+√b−4=0 ，则 = ________．
b
14 已知平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC的长为5，则 △ABC 的周长为______________
15 如图，矩形ABCD的对角线AC的长为6，
∠AOD=120∘
，则AB的长为__________________．
16 如图，数轴上点A所对应的数是___．
17 如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K，分别作矩形两边的平行线MN和PQ，则图中矩形
AMKP的面积a与矩形QCNK的面积b的大小关系是a______b．（填“>”、“<”或“=”）
18 如图，在平行四边形ABCD中， AB =13 ， AD=5 ， AC⊥BC ，则 BD= ________．
19 计算：
1 −1 – −−
(− ) +|−√3|−(π−2015)0+√27
（1） 3
−−
1 −− −−
√ ÷(−√12)×3√24
（2）
220 矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；
EG=FH
（2） ．
21 如图，四边形ABCD中， ∠B =90∘ ， AB =8 ， BC =6 ， CD=26 ， AD=24 ，求四边
形ABCD的面积．
22 如图，①路与②路公交车都是从体育馆到少年宫．
（1）比较①路和②路这两条线路的长短；
（2）小明坐出租车由体育馆去少年宫．假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米后每千米
为1.8元，用式子表示出租车的收费p（元）与行驶路程s（千米 s>3 ）之间的关系；
（3）若这段路程有4.5千米，小明身上有10元钱，请问够付车费吗？
23 如图，在 △ABC 中，D是边BC上一点，若 AB =10 ， BD=6 ， AD=8 ， AC =17 ，求
BC的长．
24 如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，
且 AF =BD ，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若 AB =AC ，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．25 如图，▱ ABCD 中，O是AB的中点， CO=DO ．
ABCD
(1)求证：▱ 是矩形．
AD=3 ∠COD=60∘ ABCD
(2)若 ， ，求▱ 的面积．
26 阅读材料1：
对于两个正实数a、b，由于 (√ −− a −√b)2 ≥0 ，所以 (√ −− a)2−2√ −− a√b+(√b)2 ≥0 ，
−− −− −−
a−2√ab +b≥0 a+b≥2√ab a=b a+b=2√ab
则 ，所以得到 ，并且当 时， ；
阅读材料2：
x2 +1 x2 1 1 1
x>0 = + =x+ x>0 >0
若 ，则 x x x x，因为 ，x ，所以由阅读材料1可得：
−−−−
1 1
x+ ≥2√x⋅ =2
x x ，
x2 +1 1
x= x=1
即 的最小值是2，只有 时，即 时取得最小值．
x x
根据以上阅读材料，请回答以下问题：
1
（1）比较大小： x2 +1 ______2x（其中 x≥1 ）； x+ x________ −2 （其中 x<−1 ）
x2 +3x+3 1
（2）已知代数式 x+1 变形为 x+n+ x+1，则常数n的值是_________；
−−
x+3+3√x
（3）当 x= _____时， √ − x − +1 有最小值，最小值为_______．（直接写出答案）
