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2021/1/13 备授课-备课页
能力提高 / 初一 / 春季
第 1 讲 平行线的判定
例题练习题答案
例1 如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列语句
不正确的是（ ）
A： 线段PB的长是点P到直线a的距离
B： PA，PB，PC三条线段中，PB最短
C： 线段AC的长是点A到直线PC的距离
D： 线段PC的长是点C到直线PA的距离
练1.1 若点P为直线l外一定点，点A为直线l上一定点，且PA = 2，点P到直线l的距离为d，则d的取值范
围为（ ）
A： 0 < d < 2
B： d = 2或d > 2
C： 0 < d < 2或d = 0
D： 0 < d < 2或d = 2
例2 如图，O为直线AB上一点，OE平分∠BOC，OD⊥OE于点O，若∠BOC = 80∘，则∠AOD的度数是
（ ）
A： 70°
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B： 50°
C： 40°
D： 35°
练2.1 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OB平分∠DOF，若∠EOF = 115∘，则∠COF的度数
是（ ）
A： 120∘
B： 130∘
C： 100∘
D： 110∘
例3 如图所示，有下列五种说法：
①∠1和∠4是同位角；②∠3和∠5是内错角；③∠2和∠6是同旁内角；④∠5和∠2是同位角；⑤
∠1和∠3是同旁内角．其中正确的是（ ）
A： ①②③
B： ①②③④
C： ①②③④⑤
D： ①②④⑤
练3.1 如图，下列结论正确的是（ ）
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A： ∠5与∠2是对顶角
B： ∠1与∠3是同位角
C： ∠2与∠3是同旁内角
D： ∠1与∠2是同旁内角
例4 如图所示，下列推理中正确的数目有（ ）
①因为∠1 = ∠4，所以BC//AD；
②因为∠2 = ∠3，所以AB//CD；
③因为∠BCD+∠ADC = 180∘，所以AD//BC；
④因为∠1+∠2+∠C = 180∘，所以BC//AD．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
练4.1 如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定BD//AC的是（ ）
A： ∠1 = ∠2
B： ∠3 = ∠4
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C： ∠5 = ∠C
D： ∠C+∠BDC = 180∘
例5 已知，如图，AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1 = ∠2．
求证：BE//CF．（请你在横线上填入合适的推理及理由）
证明：
∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知），
∴∠______ = ∠______ = 90∘（____________________），
∵∠1 = ∠2（已知），
∴∠ABC−∠1 = ∠BCD−∠2（__________________），
即∠______ = ∠______，
∴BE//CF（____________________________）．
练5.1 如图，∠ABC = ∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1 = ∠3．
求证：AB//DC．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，
1 1
∴∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ADC（________________________），
2 2
∵∠ABC = ∠ADC，
∴∠________ = ∠________，
∵∠1 = ∠3，
∴∠2 = ________（__________________），
∴________∥________（___________________________________）．
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例6 如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2 = 90∘．试判断AD与BC的位置关系，并说明
理由．
练6.1 如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠ABE = ∠C，求证：BE//AC．
练6.2 如图，已知AD平分∠BAC，E，A，C在同一直线上，∠DAC = ∠EFA，延长EF交BC于G，证明：
EG//AD．
能力提高 / 初一 / 春季
第 1 讲 平行线的判定
自我巩固答案
1 如图，OA⊥OB，∠BOC = 30∘，OD平分∠AOC，则∠BOD的大小是（ ）
A： 20∘
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B： 30∘
C： 40∘
D： 60∘
2 如图，∠AOB = ∠COD = 90∘，∠COB = 58∘，则∠DOA的度数是（ ）
A： 102∘
B： 112∘
C： 122∘
D： 142∘
3 如图，图中∠1与∠2是同位角的是（ ）
A： (2)(3)
B： (2)(3)(4)
C： (1)(2)(4)
D： (3)(4)
4 如图所示，对于下列各组角的位置，判断错误的是（ ）
A： ∠C和∠CFG是同旁内角
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B： ∠CGF和∠AFG是内错角
C： ∠BGF和∠A是同旁内角
D： ∠BGF和∠AFD是同位角
5 如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断BD∥AE的是（ ）
A： ∠1 = ∠2
B： ∠2 = ∠3
C： ∠A = ∠DCE
D： ∠3 = ∠4
6 如图，能判定EB//AC的条件是（ ）
A： ∠C = ∠ABE
B： ∠BAC = ∠EBD
C： ∠ABC = ∠BAE
D： ∠BAC = ∠ABE
7 如图，已知BE平分∠ABC，E点在线段AD上，∠ABE = ∠AEB，AD与BC平行吗？为什么？
解：因为BE平分∠ABC（已知），
所以∠ABE = ∠EBC（_____________________），
因为∠ABE = ∠AEB（_______），
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所以∠______ = ∠_______（_______________），
所以AD//BC（_______________________________）．
8 如图，已知∠1 = 50∘，∠2 = 65∘，CD平分∠ECF，则CD//FG．请说明理由．
解：∵∠1 = 50∘（_______），
∴∠ECF = 180∘ −∠1 = _________°，
∵CD平分∠ECF，
∴∠DCB = ______∠ECB = _______∘（_____________），
∵∠2 = 65∘，
∴∠DCB = ∠2（________________），
∴CD//FG（_________________________________）．
9 如图，AB和CD相交于点O，∠C = ∠COA，∠D = ∠BOD．
求证：AC//BD．
10 如图，∠EBC+∠EFA = 180∘，求证：AD//BC．
能力提高 / 初一 / 春季
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第 1 讲 平行线的判定
课堂落实答案
1 如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，若∠COD = 52∘，则∠AOD的度数是（ ）
A： 38∘
B： 128∘
C： 142∘
D： 150∘
2 如图，已知AB⊥BC，垂足为B，AB = 3，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是
（ ）
A： 2.5
B： 3
C： 4
D： 5
3 下列四个图形中，∠1和∠2是内错角的是（ ）
A：
B：
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C：
D：
4 如图，下列条件中能判定AB//CD的是（ ）
A： ∠3 = ∠5
B： ∠2 = ∠4
C： ∠1+∠5 = 180∘
D： ∠3 = ∠4
5 如图，已知∠1 = ∠3，∠2+∠3 = 180∘，请说明AB与DE平行的理由．
解：将∠2的邻补角记作∠4，
则∠2+∠4 = 180∘（_________________），
因为∠2+∠3 = 180∘（_______），
所以∠3 = ∠4（_____________），
因为_____________（已知），
所以∠1 = ∠4（_____________），
所以AB//DE（___________________________）．
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能力提高 / 初一 / 春季
第 1 讲 平行线的判定
精选精练
1 如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC，OE⊥OC．若∠BOC:∠COD = 4:3，则∠DOE度数是
（ ）
A： 30∘
B： 36∘
C： 40∘
D： 54∘
2 下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A：
B：
C：
D：
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3 如图，能与α构成同位角的有（ ）
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
4 如图所示，内错角共有_________对．
5 如图：∠ABC = ∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF = ∠F，那么EC与DF平行吗？为
什么？请完成下面的解题过程．
解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
1 1
∴∠DBC = ∠_________，∠ECB = ∠________（_________________），
2 2
∵∠ABC = ∠ACB（已知），
∴∠________ = ∠___________（___________________），
∵∠_______ = ∠________（已知），
∴∠F = ∠________，
∴EC//DF（_________________________________）．
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6 如图，已知∠AED = 60∘，∠2 = 30∘，EF平分∠AED，可以判断EF//BD吗？为什么？
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第 2 讲 平行线的性质判定综合
例题练习题答案
例1 已知：如图，AB∥CD，∠1 = ∠B．求证：CD是∠BCE的平分线．
证明：∵AB∥CD（ ），
∴∠2 = ______（ ），
∵∠1 = ∠B（ ），
∴______ = ______（ ），
∴CD是∠BCE的平分线．
练1.1 如图，已知：CD平分∠ACB，AC//DE，CD//EF．求证：EF平分∠DEB．
证明：∵CD平分∠ACB（已知），
∴∠DCA = ∠DCE（角平分线的定义），
∵AC//DE（已知），
∴∠DCA = ________（_________________________），
∴∠DCE = ∠CDE（等量代换），
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∵CD//EF（已知），
∴______ = ∠CDE（_________________________），
∠DCE = ∠BEF（_________________________），
∴______ = ______（等量代换），
∴EF平分∠DEB．
例2 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C分别落在点D ′ ，C ′ 处，若∠1 = 56∘，则
∠EFC的度数是（ ）
A： 110∘
B： 118∘
C： 120∘
D： 124∘
练2.1 ′ ′
如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D ，C 的位
置上，若∠EFG = 55∘，则∠1 = ____∘，∠2 = ____∘．
例3 如图，∠1 = ∠2，且∠3 = 108∘，则∠4的度数为（ ）
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A： 72∘
B： 62∘
C： 82∘
D： 80∘
练3.1 如图，∠B = ∠C，∠ADE = α，则∠A = （ ）
A： 180∘ −α
B： 90∘ +α
C： 2α
D： α
练3.2 如图，已知∠1 = ∠2，∠B = 45∘，则∠DCE = ________．
例4 已知：如图，AB//CD，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1 = ∠A．求
证：FE//OC．
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练4.1 如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠AEF+∠CFE = 180∘，FG平分∠DFE，交AB于点G，
∠1 = 58∘，求∠2的度数．
练4.2 如图，已知AB//CF，∠ABC = 85∘，∠CDE = 150∘，∠BCD = 55∘．求证：CF//DE．
例5 把 命 题 “ 等 角 的 补 角 相 等 ” 改 写 成 “ 如 果 …… 那 么 ……” 的 形 式 是
_______________________________________．
练5.1 “两条直线被第三条直线所截，同位角相等”的条件是________________________，结论是
__________________________．
练5.2 命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式是（ ）
A： 如果是同角的余角，那么相等
B： 如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等
C： 如果两个角是同角，那么这两个角是余角
D： 如果两个角互余，那么这两个角相等
例6 下列语句是真命题的有（ ）
①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；
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②内错角相等；
③两点之间线段最短；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
练6.1 下列命题是假命题的是（ ）
A： 对顶角相等
B： 两直线平行，同位角相等
C： 两直线平行，内错角相等
D： 两直线平行，同旁内角相等
练6.2 下列命题中，是假命题的是（ ）
A： 互补的两个角不能都是锐角
B： 所有的直角都相等
C： 乘积是1的两个数互为倒数
D： 若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
能力提高 / 初一 / 春季
第 2 讲 平行线的性质判定综合
自我巩固答案
1 如图，直线AB，CD相交于点E，DF//AB．若∠AEC = 100∘，则∠D等于（ ）
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A： 70∘
B： 80∘
C： 90∘
D： 100∘
2 如图，把一张上下两边平行的纸条沿EF折叠，若∠1 = 84∘，则∠2的度数为（ ）
A： 106∘
B： 132∘
C： 84∘
D： 127∘
3 如图，∠1 = 57∘，则∠2的度数为（ ）
A： 120∘
B： 123∘
C： 130∘
D： 147∘
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4 如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1 = 80∘，∠2 = 100∘，∠3 = 85∘，则∠4的度数是
（ ）
A： 80∘
B： 85∘
C： 95∘
D： 100∘
5 如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB = ∠EHF， ∠C = ∠D，则∠A与∠F的大小
关系是（ ）
A： ∠A+∠F = 90∘
B： ∠A > ∠F
C： ∠A < ∠F
D： ∠A = ∠F
6 如图，a//b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，且BA⊥CA，点D在线段BC上，连接AD，且AC
平分∠DAF．证明：∠3 = ∠5．
证明： ∵ BA⊥CA（已知），
∴ ∠BAC = ∠2+∠3 = 90∘（_________________），
∵ ∠1+∠BAC+∠4 = 180∘（平角的定义），
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∴ ∠1+∠4 = 180∘ −∠BAC = 180∘ −90∘ = 90∘，
∵ AC平分∠DAF（已知），
∴ ∠1 = _______（__________________），
∴ ∠3 = ∠4（__________________），
∵ a//b（已知），
∴ ∠4 = ∠5（____________________________），
∴ ∠3 = ∠5（__________________）．
7 如图，点D，E，F分别是 △ ABC三边上的点，DF//AC，∠BFD = ∠CED，请写出∠B与∠CDE之
间的数量关系，并说明理由．
8 如图，EF//AD，∠1 = ∠2，∠BAG = 60∘，求∠G的度数．
9 命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ）
A： 垂直
B： 两条直线
C： 同一条直线
D： 两条直线垂直于同一条直线
10 下列命题中，是真命题的是（ ）
A： 两直线平行，同旁内相等
B： 一条直线有且只有一条垂线
C： 对顶角相等
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D： 这朵花真美
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第 2 讲 平行线的性质判定综合
课堂落实答案
1 如图，AB//CD，AE//CF，∠A = 50∘，则∠C = （ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 60∘
D： 70∘
2 如图：一张宽度相等的纸条折叠后，若∠ABC = 120∘，则∠1的度数是（ ）
A： 80∘
B： 70∘
C： 60∘
D： 50∘
3 完成下列推理过程：
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如图，点D，E，F分别是 △ ABC的边AC，BC，AB上的点，DF//BC，DE//AB．
求证：∠FDE = ∠B．
证明： ∵ DF//BC，
∴ ∠FDE = ___________（ ），
∵ DE//AB，
∴ ∠B = ___________（ ），
∴ ∠FDE = ∠B．
4 如图，直线a，b被直线c，d所截，∠1 = 110∘，∠2 = 70∘，∠3 = 60∘，则∠4的大小是（ ）
A： 60∘
B： 70∘
C： 110∘
D： 120∘
5 下列语句是命题的是（ ）
A： 画线段AB
B： 请不要作弊
C： 内错角相等
D： 垂线段最短吗
能力提高 / 初一 / 春季
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第 2 讲 平行线的性质判定综合
精选精练
1 如图a是长方形纸带，∠DEF = 20∘，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE
的度数是（ ）
A： 110∘
B： 120∘
C： 140∘
D： 150∘
2 如图，AB//DE，那么∠BCD = （ ）
A： 180∘ +∠1−∠2
B： ∠1+∠2
C： ∠2−∠1
D： 180∘ +∠2−2∠1
3 完成下面的证明：如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．求证：∠EGF = 90∘．
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证明：∵AB∥GH（已知），
∴∠1 = ∠3（_________________________________），
又∵CD∥GH（已知），
∴__________（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴∠BEF+__________ = 180∘（_________________________________），
∵EG平分∠BEF（已知），
1
∴∠1 = __________（__________________），
2
又∵FG平分∠EFD（已知），
1
∴∠2 = ∠EFD（_____________________），
2
1
∴∠1+∠2 = （__________+∠EFD），
2
∴∠1+∠2 = 90∘，
∴∠3+∠4 = 90∘（____________），
即∠EGF = 90∘．
4 如图，EF//AD，∠1 = ∠2．
（1）若∠B = 55∘，求∠BDG的度数；
（2）若AD平分∠BAC，直接写出∠DGC与∠FEA的数量关系．
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5 下列语句中，不是命题的是（ ）
A： 两点之间线段最短
B： 连接A、B两点
C： 平行于同一直线的两直线平行
D： 相等的角都是直角
6 下列命题中，属于真命题的是（ ）
A： 两个锐角之和为钝角
B： 同位角相等
C： 钝角大于它的补角
D： 相等的两个角是对顶角
能力提高 / 初一 / 春季
第 3 讲 实数（一）
例题练习题答案
例1 (1)√81的平方根是________；
√
(2) 1
的算术平方根是________．
16
练1.1 (1)√49的平方根是________；
(2)√9的算术平方根是________．
例2 一个正数x的平方根是2a−3和5−a，则a = ______，这个正数x = ______．
练2.1 如果一个数的平方根是a+6和2a−15，则这个数为__________．
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例3 (1)已知√a−2与√2a−b−3互为相反数，求a+b的值；
(2)已知y = √5−x+√x−5−5，则x的值是______，y的值是______．
练3.1 若√a+b−1+|b+1| = 0，则(b+a) 2016 的值为（ ）
A： −1
B： 1
C： 2016
5
D： 2016
−5
练3.2 已知y = √3−x−√x−3+2，则x y 的值为（ ）
A： 8
B： ±8
C： ±9
D： 9
例4 比较大小：3________√10（填“＞”“＜”或“＝”）．
练4.1 8
比较大小： ________√7（填“＞”“＜”或“＝”）．
3
例5 求下列数在哪两个连续的整数之间．
(1)____<√26<____；
(2)____<2+√5<_____．
练5.1 估算√13−1的值在（ ）
A： 1和2之间
B： 2和3之间
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C： 3和4之间
D： 4和5之间
练5.2 估算√38−1的值在（ ）
A： 6和7之间
B： 5和6之间
C： 4和5之间
D： 7和8之间
例6 如图，在数轴上表示√15的点可能是（ ）
A： 点P
B： 点Q
C： 点M
D： 点N
练6.1 如图，在数轴上表示√7+1的点可能是（ ）
A： 点P
B： 点Q
C： 点R
D： 点S
例7 若√13的整数部分为a，小数部分为b，求a 2 +b−√13的值．
练7.1 若√5+2的整数部分为x，小数部分为y，则x 2 +y的值为________．
能力提高 / 初一 / 春季
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第 3 讲 实数（一）
自我巩固答案
1 4
的平方根是（ ）
25
A： 2
5
B： 16
625
C： 2
±
5
D： 16
±
625
2 √25的平方根是（ ）
A： ±5
B： 5
C： ±√5
D： √5
3 2
(−4) 的算术平方根是（ ）
A： 4
B： ±4
C： 2
D： ±2
4 若某数的平方根是a+3和2a−15，则这个数是（ ）
A： 49
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B： 4
C： 18
D： 3
√ √
5 1 y
若 x−3+ 2+ = 0，则x+y = ( )
2 3
A： −10
B： 0
C： 2
D： 10
6 若b = √a−1+√1−a+4，则a+b的值为（ ）
A： ±1
B： 3
C： 4
D： 5
7 若m < √14 < n，且m、n为连续的正整数，则n+m的值为（ ）
A： 5
B： 7
C： 9
D： 11
8 估算√27−2的值（ ）
A： 在1到2之间
B： 在2到3之间
C： 在3到4之间
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D： 在4到5之间
9 如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A： √5
B： √7
C： √10
D： √17
10 已知m是√15的整数部分，n是√10的小数部分，则m 2 −n的值是（ ）
A： 6−√10
B： 6
C： 12−√10
D： 13
能力提高 / 初一 / 春季
第 3 讲 实数（一）
课堂落实答案
1 √36的平方根是（ ）
A： 6
B： ±6
C： √6
D： ±√6
2 如果一个正数的平方根为2a+1和3a−11，则a = （ ）
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A： ±1
B： 1
C： 2
D： 9
3 已知√x−2+√y+8 = 0，则x+y的值为（ ）
A： 10
B： −10
C： −6
D： 不能确定
4 如图，在数轴上表示√8的点可能是（ ）
A： 点P
B： 点Q
C： 点M
D： 点N
5 设4+√5的整数部分是a，小数部分是b，则a和b的值为（ ）
A： 4，√5
B： 6，√5−2
C： 4，√5−2
D： 6，√5
能力提高 / 初一 / 春季
第 3 讲 实数（一）
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精选精练
1 下列语句正确的是（ ）
A： 10的平方根是100
B： 100的平方根是10
C： −2是−4的平方根
D： 4 2
的平方根是±
9 3
2 若2m−4与3m−1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A： −3
B： −1
C： 1
D： −3或1
3 xy
若√x+6+(y−1) 2 +|z−3| = 0，求 的值．
z
4 1 1
已知b = 3√3a−2−2√2−3a+2，求 + 的平方根．
a b
5 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，则所表示的数与5−√11最接近的是（ ）
A： 点A
B： 点B
C： 点C
D： 点D
6 若a是√10−1的整数部分，b是5+√5的小数部分，则a (√5−b ) 的值为（ ）
A： 6
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B： 4
C： 9
D： 3√5
能力提高 / 初一 / 春季
第 4 讲 实数（二）
例题练习题答案
例1 (1)求下列各数的立方根：
27
①216；② ；③−0.001．
8
(2) 3
若(x−1) = 64，则x = _____．
练1.1 3
解方程：2(x−1) = 16．
练1.2 3
解方程：(x−2) = −125．
例2 3 3
若√2(x+3)的值与√3(1−x)的值互为相反数，则x = _______．
练2.1 3 3
若√x−5与√4x+1互为相反数，则x = ________．
例3 下列式子成立的是（ ）
A： √ 2
(−2) = −2
B： √25 = ±5
C： 3 3
√−5 = √5
D： √3
3
(−8) = −8
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练3.1 在下列式子中，正确的是（ ）
A： √3
3
(−3) = 3
B： √ 2
(−7) = −7
C： √9 = ±3
D： ±√25 = ±5
练3.2 在下列各式中，正确的是（ ）
A： 3
√−0.064 = −0.4
B： √3
3
(−2) = 2
C： √ 2
(±2) = ±2
D：
( )2
(
3
)3
−√2 + √2 = 0
例4 下列说法正确的是（ ）
A： 立方根是它本身的数只能是0和1
B： 立方根与平方根相等的数只能是0和1
C： 算术平方根是它本身的数只能是0和1
D： 平方根是它本身的数只能是0和1
练4.1 有一个数的平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）
A： −1
B： 1
C： 0
D： ±1
例5
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(1) 1
3
在实数3.14159，−√8，0.131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）， −π，√25，−
7
中，无理数有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
(2)下列说法不正确的是（ ）
A： 实数包括正实数、零、负实数
B： 正整数和负整数统称为整数
C： 无理数一定是无限小数
D： 2是4的平方根
练5.1 下列说法正确的是（ ）
A： 无限小数是无理数
B： 无理数的相反数不一定是无理数
C： 有理数都是有限小数
D： 开不尽方的数都是无理数
例6 计算：√ 3 −8−√3+ (√5 )2 + | 1−√3 | ．
练6.1 3 √
计算：|√3−2| + √−8+ (−2) 2 − | −2|．
能力提高 / 初一 / 春季
第 4 讲 实数（二）
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自我巩固答案
1 下列计算正确的是（ ）
A： √25 = ±5
B： √ 2
(−3) = −3
C： 3
√125 = ±5
D： 3
√−27 = −3
2 若x满足(x+3) 3 = 27，则x = （ ）
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
3 3 3
若√m−4+ √10+2m = 0，则m的值为（ ）
A： −2
B： 2
C： 4
D： −4
4 计算：
√3 √3
3 3
（1） 100 ； （2） (−1) ；
√
( 2)
3
3 ( )3
3
（3） ； （4） √−6 ．
3
5 3 3 √3 √
有下列式子：①√−5 = − √5；② 5 3 = 5；③ (−13) 2 = −13；④√36 = ±6．其中正确的有
（ ）
A： 1个
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B： 2个
C： 3个
D： 4个
6 下列说法中，正确的是（ ）
A： 1 1
的立方根是±
27 3
B： 立方根等于它本身的数是1
C： 负数没有立方根
D： 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
7 π
3
在实数√−9，3.1415926，0.123123123…， ，√4，0.2020020002…（相邻两个2之间依次多一
2
个0）中，无理数有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
8 有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方
根；④−√17是17的平方根．其中正确的有（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
9 3
计算：−√16+ √27+ |2−√5|；
10 计算：|−3|+ √ 3 125+ √ (−4) 2 − | 1−√3 | ．
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能力提高 / 初一 / 春季
第 4 讲 实数（二）
课堂落实答案
1 下列计算不正确的是（ ）
A： √4 = ±2
B： √ (−9) 2 = √81 = 9
C： 3
√0.064 = 0.4
D： 3
√−216 = −6
2 3
方程(x+2) = −27的解是x = _______．
3 3 3
若√3x−9与√x+1互为相反数，则x = _______．
4 1
3
有下列各数：√10，√−8，π， ，3.14，0.808008…（相邻两个8之间依次多一个0），其中无理
7
数有（ ）
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
5 计算： | 1−√2 | − √ 3 64−√2
能力提高 / 初一 / 春季
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第 4 讲 实数（二）
精选精练
1 1 1 1
有下列说法：①−64的立方根是4；②49的算术平方根是±7；③ 的立方根是 ；④ 的平方根是
27 3 16
1
．其中正确的说法有（ ）
4
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 下列等式正确的是（ ）
√
A： 49 7
= ±
144 12
√
B： 27 3
3
− − = −
8 2
C： √−9 = −3
D： √3
2
(−8) = 4
3 求下列各式中的x的值．
1
3 3
（1）(x+1) = −8； （2） (x−3) = −25．
5
4 3 3
已知√2a−3+ √7−3a = 0，求a+3的平方根．
5 有下列说法：
①实数和数轴上的点是一一对应的；
②无理数是开方开不尽的数；
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③负数没有立方根；
④16的平方根是±4，用式子表示是√16 = ±4；
⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．
其中错误的有（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
6
计算： ( −√2 )2 + | 3−√2 | +
(
√ 3 −3
)3
．
能力提高 / 初一 / 春季
第 5 讲 平面直角坐标系（一）
例题练习题答案
例1 某市几个旅游景点的大致位置示意图如图所示，如果用(1, −1)表示“新宁莨山”的位置，用(2,4)
表示“隆回花瑶”的位置，请在图中画出平面直角坐标系，并写出“城市南山”的坐标．
练1.1 如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点(2,2)，“炮”位于点(−1,2)，写
出“兵”所在位置的坐标．
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练1.2 天安门广场周围的景点分布示意图的一部分如图所示，若表示“王府井”的点的坐标为(4,1)，表
示“人民大会堂”的点的坐标为(0, −1)，则表示“天安门”的点的坐标为（ ）
A： (0,0)
B： (−1,0)
C： (1,0)
D： (1,1)
例2 (1) 2
在平面直角坐标系中，点(−1,m +1)一定在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
(2)若点P(x,y)的坐标满足xy = 0，则点P（ ）
A： 在x轴上
B： 在y轴上
C： 是坐标原点
D： 在x轴上或在y轴上
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练2.1 已知点P(x,y)，且满足xy > 0，则点P在（ ）
A： 第一象限或第二象限
B： 第一象限或第三象限
C： 第一象限或第四象限
D： 第二象限或第四象限
练2.2 若点A(m,n)在第二象限，那么点B(−m,|n|)在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
例3 若点P在x轴的下方，y轴的左侧，到每条坐标轴的距离都是3，则点P的坐标为（ ）
A： (3,3)
B： (3, −3)
C： (−3, −3)
D： (−3,3)
练3.1 已知点P位于y轴的右侧且位于x轴下方，到x轴、y轴的距离分别是4个单位长度、3个单位长度，则
点P的坐标为（ ）
A： (3, −4)
B： (−3,4)
C： (4, −3)
D： (−4,3)
练3.2 若x轴上的点P到y轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A： (2,0)
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B： (0,2)
C： (2,0)或(−2,0)
D： (0,2)或(0, −2)
例4 在平面直角坐标系中，将点P(x,y)先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点
P ′ (1,2)，则点P的坐标为（ ）
A： (2,6)
B： (−3,5)
C： (−3,1)
D： (5, −1)
练4.1 将点A先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到B(−2,5)，则点A的坐标为
________．
例5 如图，将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A B C ．
1 1 1
（1）写出点A ，B ，C 的坐标；
1 1 1
（2）画出△A B C ．
1 1 1
练5.1 如图，△ABC的顶点坐标分别是A(4,3)，B(3,1)，C(1,2)，若将△ABC向左移动3个单位长度，向下
移动2个单位长度得到△A B C ，则A ，B ，C 对应的坐标分别为（ ）
1 1 1 1 1 1
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A： (7,5)，(6,3)，(4,4)
B： (7,1)，(6, −1)，(4,0)
C： (1,1)，(0, −1)，(−2,0)
D： (1,5)，(0,3)，(−2,4)
例6 (1)线段CD是由线段AB平移得到的．点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，则点B(−4, −1)的对应点D
的坐标为（ ）
A： (2,9)
B： (5,3)
C： (1,2)
D： (−9, −4)
(2)如图，A，B的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段AB平移至A B ，则a+b的值为（ ）
1 1
A： 2
B： 3
C： 4
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D： 5
练6.1 如图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的．在左边的图案中，
左、右眼睛的坐标分别是(−4,2)，(−2,2)；右边的图案中左眼的坐标是(3,4)，则右图案中右眼的
坐标是________．
例7 已知点P(3, −2)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为（ ）
A： (−3,2)
B： (−3, −2)
C： (3,2)
D： (3, −2)
练7.1 点M(1,2)关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A： (−1,2)
B： (−1, −2)
C： (1, −2)
D： (2, −1)
练7.2 已知点P(−2,3)关于y轴的对称点为Q(a,b)，则a+b的值是（ ）
A： 1
B： −1
C： 5
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D： −5
能力提高 / 初一 / 春季
第 5 讲 平面直角坐标系（一）
自我巩固答案
1 如图，在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了标志点A(3,3)，B(5,1)，则“宝藏”所在地点C
的坐标为（ ）
A： (6,4)
B： (3,3)
C： (6,5)
D： (3,4)
2 若点P(m,n)在第二象限，则点Q(−m, −n)在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
3 如果P(m+3,2m+4)在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A： (−2,0)
B： (0, −2)
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C： (1,0)
D： (0,1)
4 坐标平面内有一点A，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的3倍．若点A在第二象
限，则点A的坐标为（ ）
A： (−9,3)
B： (−3,1)
C： (−3,9)
D： (−1,3)
5 点P在x轴上，且到y轴的距离为4，则点P的坐标是（ ）
A： (0,4)
B： (4,0)
C： (0, −4)或(0,4)
D： (4,0)或(−4,0)
6 点A(−3, −5)向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为（ ）
A： (1, −8)
B： (1, −2)
C： (−6, −1)
D： (0, −1)
7 已知点A的坐标为(1, −1)，将平面直角坐标系先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长
度，在新坐标系中点A的坐标为（ ）
A： (4, −6)
B： (4,4)
C： (−2,4)
D： (−2, −6)
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8 线段MN是由线段EF经过平移得到的，若点E(−1,3)的对应点为M(2,5)，则点F(−3, −2)的对应点N
的坐标是（ ）
A： (−1,0)
B： (−6,0)
C： (0, −4)
D： (0,0)
9 在平面直角坐标系中，点A(2,5)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ）
A： (−5, −2)
B： (−2, −5)
C： (−2,5)
D： (2, −5)
10 如图，A，B两点的坐标分别为(2,3)，(4,1)，将△ABO向下平移3个单位长度后得到△O ′ A ′ B ′ ，写
′ ′ ′
出△O A B 三个顶点的坐标．
能力提高 / 初一 / 春季
第 5 讲 平面直角坐标系（一）
课堂落实答案
1 田媛同学画的一张脸如图所示，若用(1,4)表示左眼A的位置，则右眼B的位置可表示为（ ）
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A： (5,6)
B： (6,5)
C： (5,4)
D： (6,6)
2 ( 2 )
在平面直角坐标系中，点P x +2, −3 所在的象限是（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
3 在平面直角坐标系中，点A(−2,4)到x轴的距离为________．
4 在平面直角坐标系中，将点(2,3)向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的点的
坐标是（ ）
A： (−2,3)
B： (−1,2)
C： (0,4)
D： (4,4)
5 在平面直角坐标系中，点P(−2,1)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A： (−2, −1)
B： (2,1)
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C： (2, −1)
D： (−2,1)
能力提高 / 初一 / 春季
第 5 讲 平面直角坐标系（一）
精选精练
1 利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图如图所示．若这个坐标系分别以正东、
正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0, −1)，表示九龙壁的点的坐标为(4,1)
，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（ ）
A： 景仁宫(4,2)
B： 养心殿(−2,3)
C： 保和殿(1,0)
D： 武英殿(−3.5, −4)
2 ( √ )
若点M的坐标为 |b|+2, −a 2 ，则下列说法正确的是（ ）
A： 点M在x轴正半轴上
B： 点M在x轴负半轴上
C： 点M在y轴正半轴上
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D： 点M在y轴负半轴上
3 已知点P(2−a,3a+6)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为（ ）
A： (3,3)
B： (6, −6)
C： (3,3)或(6, −6)
D： (3, −3)
4 如图，线段AB两端点的坐标分别为A(−1,0)，B(1,1)，把线段AB平移到CD位置，若线段CD两端点
的坐标分别为C(1,a)，D(b,4)，则a+b的值为（ ）
A： 7
B： 6
C： 5
D： 4
5 如图，把图1中的△ABC经过一定的变换得到图2中的△A ′ B ′ C ′ ，如果图1中△ABC上点P的坐标为(a,b)
′
，那么这个点在图2中的对应点P的坐标为（ ）
A： (a−2,b−3)
B： (a−3,b−2)
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C： (a+3,b+2)
D： (a+2,b+3)
6 若点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A： -5
B： -3
C： 3
D： 1
能力提高 / 初一 / 春季
第 6 讲 平面直角坐标系（二）
例题练习题答案
例1 (1)已知点P(−2,3)，Q(n,3)，且PQ = 6，则n = __________；
(2)线段AB = 5，AB∥x轴，若点A的坐标为(−1,3)，则点B的坐标为__________；
(3)在平面直角坐标系中，如果AB∥y轴，点A的坐标为(−3,4)，A，B之间的距离为5，那么点B的
坐标为__________．
练1.1 (1)若点M(3, −2)与点N(x,y)在同一条平行于x轴的直线上，且MN = 1，则点N的坐标为（ ）
A： (4, −2)
B： (3, −1)
C： (3, −1)或(3, −3)
D： (4, −2)或(2, −2)
(2)在平面直角坐标系中，点A(−m,5)和点B(−m, −3)之间的距离为_____．
练1.2 (1)如图，在直角梯形ABCD中，若AD = 5，点A的坐标为(−3,7)，则点D的坐标为__________；
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(2)在平面直角坐标系中，已知线段AB∥x轴，点A的坐标是(−1,4)，且AB = 4，则点B的坐标是
（ ）
A： (−5,4)
B： (3,4)
C： (−1,0)
D： (−5,4)或(3,4)
例2 (1)如图，在平面直角坐标系中，已知A(−4, −5)，B(−2,0)，C(4,0)，求△ABC的面积；
(2)如图，小方格的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，请在方格纸上建立平面直角坐标系，并
计算△ABC的面积；
(3)在平面直角坐标系中，已知点A(0, −1)，点B(0, −4)，点C在x轴上，若△ABC的面积为9，求
点C的坐标．
练2.1 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，点A，B，C均在
格点上．
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（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）连接AB，若平移线段AB，使B移动到C的位置，请在图中画出A移动后的位置D，依次连接
B，C，D，A，并求出四边形ABCD的面积．
练2.2 在平面直角坐标系中，△ABC的各个顶点的坐标分别为A(−4, −2)，B(4, −2)，C(2,2)，则△ABC的
面积为（ ）
A： 8
B： 16
C： 32
D： 64
例3 在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点A出发，沿着A—B—C—D—A循环爬行，其中点
A的坐标为(1, −1)，点B的坐标为(−1, −1)，点C的坐标为(−1,3)，点D的坐标为(1,3)，当蚂蚁爬了
2017个单位长度时，它所处的位置的坐标为（ ）
A： (1,0)
B： (0, −1)
C： (−1, −1)
D： (−1,0)
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练3.1 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接
着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，……，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动
点P的坐标是（ ）
A： (2018,0)
B： (2017,1)
C： (2019,1)
D： (2019,2)
练3.2 一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0,1)，然后接着按图中箭
头所示方向跳动（即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…），且每秒跳动一个单位长度，那么第29秒时
跳蚤所在位置的坐标是__________．
能力提高 / 初一 / 春季
第 6 讲 平面直角坐标系（二）
自我巩固答案
1 在x轴上，且到原点的距离为2的点的坐标是（ ）
A： (2,0)
B： (−2,0)
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C： (2,0)或(−2,0)
D： (0,2)
2 已知点A(−4,3)和点B(−8,3)，则A，B相距（ ）
A： 4个单位长度
B： 12个单位长度
C： 10个单位长度
D： 8个单位长度
3 若点A的坐标是(2, −1)，AB = 4，且AB平行于y轴，则点B的坐标为（ ）
A： (2, −5)
B： (6, −1)或(−2, −1)
C： (2,3)
D： (2,3)或(2, −5)
4 在平面直角坐标系中，第二象限内的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，已知线段PQ∥y轴且
PQ = 5，则点Q的坐标是（ ）
A： (−3,7)或(−3, −3)
B： (−3,3)或(−7,3)
C： (−2,2)或(−8,2)
D： (−2,8)或(−2, −2)
5 已知点A(m+1, −2)和点B(3,n−1)，若直线AB∥x轴，且AB = 4，则m+n的值为（ ）
A： −3
B： 5
C： 7或−5
D： 5或−3
6 在平面直角坐标系中，若AB∥y轴，AB = 3，点A的坐标为(−2,3)，则点B的坐标为（ ）
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A： (−2,6)
B： (1,3)
C： (−2,6)或(−2,0)
D： (1,3)或(−5,3)
7 已知线段AB平行于x轴，点A的坐标是(1,2)，若AB = 3，则点B的坐标是（ ）
A： (1,5)
B： (1, −2)或(1,5)
C： (4,2)
D： (−2,2)或(4,2)
8 请完成以下题目：
（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：A(−1,0)，B(3, −1)，C(4,3)；
（2）顺次连接点A，B，C，得到△ABC，求△ABC的面积．
9 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(1,0)，点P第1次向上跳动1个单位长度至点P (1,1)，紧
1
接着第2次向左跳动2个单位长度至点P (−1,1)，第3次向上跳动1个单位长度，第4次向右跳动3个单
2
位长度，第5次又向上跳动1个单位长度，第6次向左跳动4个单位长度，…，依此规律跳动下去，点
P第2016次跳动至点P ，点P 的坐标是（ ）
2016 2016
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A： (505,1008)
B： (−505,1008)
C： (504,1007)
D： (−504,1007)
10 一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0,1)，然后按图中箭头所
示方向跳动，即(0,0) → (0,1) → (1,1) → (1,0) → …，且每秒跳动一个单位长度，那么第35秒时
跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A： (4,0)
B： (5,0)
C： (0,5)
D： (5,5)
能力提高 / 初一 / 春季
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第 6 讲 平面直角坐标系（二）
课堂落实答案
1 在平面直角坐标系中，若点M(−2,3)与点N(−2,y)之间的距离是5，那么y的值是（ ）
A： −2
B： 8
C： 2或8
D： −2或8
2 已知A、B两点的坐标是A(5,a)、B(b,4)，若AB平行于x轴，且AB = 3，则a+b的值为（ ）
A： −1
B： 9
C： 12
D： 6或12
3 在平面直角坐标系中，若点M(1,3)与点N(x,3)之间的距离是4，则x的值是_______．
4 如图，网格中的小正方形边长为1，则图中的△ABC的面积等于_______．
5 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次运
动到点(2,0)，第3次运动到点(3, −1)，…，按照这样的运动规律，点P第17次运动到点（ ）
A： (17,1)
B： (17,0)
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C： (17, −1)
D： (18,0)
能力提高 / 初一 / 春季
第 6 讲 平面直角坐标系（二）
精选精练
1 3
( )
如图，四边形ABCD是长方形，AB = 3，AD = 4，已知A − , −1 ，则点C的坐标是（ ）
2
A： 3
( )
−3,
2
B： 3
( )
, −3
2
C： 3
( )
3,
2
D： 3
( )
,3
2
2 已知点M(3, −2)与点M ′ (x,y)在同一条平行于x轴的直线上，且M ′ 到y轴的距离等于4，那么点M ′ 的
坐标是（ ）
A： (4,2) 或(−4,2)
B： (4, −2) 或(−4, −2)
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C： (4, −2) 或(−5, −2)
D： (4, −2) 或(−1, −2)
3 已知M(3, −2)与点N(x,y)在同一条平行于x轴的直线上，线段MN的长度为4，那么点N的坐标是
（ ）
A： (4,2)或(4, −2)
B： (7, −2)或(−1, −2)
C： (7, −2)或(−4, −2)
D： (4, −2)或(−1, −2)
4 如图，已知A(0,1)，B(2,0)，C(4,3)，
（1）在平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
5 在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)，我们把点P ′ (−y+1,x+1)叫做点P的伴随点．已知点A 的伴
1
随点为A ，点A 的伴随点为A ，点A 的伴随点为A ，…，这样依次得到点A ，A ，A ，…，A ．
2 2 3 3 4 1 2 3 n
若点A 的坐标为(3,1)，则点A 的坐标为________，点A 的坐标为________．
1 3 2014
6 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形OA A 的一条边OA 在x轴的正半轴上，O为坐
1 2 2
标原点；将△OA A 沿x轴正方向依次向右移动4个单位长度（即A A = A A = 2…），得到△
1 2 2 3 5 6
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A A A ，△A A A …，则顶点A 的坐标是________．
3 4 5 6 7 8 99
能力提高 / 初一 / 春季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，OE⊥AB，∠AOC = 35∘，则∠EOD的度
数是________．
能力提高 / 初一 / 春季
第 8 讲 二元一次方程组
例题练习题答案
例1 x = −1， 3x+2y = m，
{ {
已知 是二元一次方程组 的解，则m−n的值是（ ）
y = 1 nx−y = 1
A： 1
B： −2
C： 3
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D： −4
练1.1 2x+y = a， x = 5，
{ {
关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a+b的值为（ ）
x−y = 3 y = b，
A： 14
B： 10
C： 9
D： 8
例2 用代入消元法解方程组：
x = 3y+1，
{
（1）
2x−y = 17；
3x−y = 7，
{
（2）
x+3y = −1．
练2.1 用代入消元法解方程组：
x+y = 1，
{
（1）
3x−2y = 5；
3a+b = 5，
{
（2）
3a+5b = 13．
例3 用加减消元法解方程组：
x+y = 2，
{
（1）
2x−y = 4；
3x+4y = 2，
{
（2）
2x−y = 5.
练3.1 用加减消元法解方程组：
2x+y = 5，
{
（1）
4x+3y = 7；
2x−y = 1，
{
（2）
3x+2y = 5.
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157926&lessonIds=1127830858,1127830859,1127830860,1127830861,11278… 63/1212021/1/13 备授课-备课页
例4 3x−2y = 4， ①
{
用加减法解方程组 下列解法正确的是（ ）
2x+3y = 3， ②
A： ①×2−②×3，消去y
B： ①×3+②×2，消去y
C： ①×3+②×2，消去x
D： ①×3−②×2，消去x
练4.1 2a+b = 7，①
{
解方程组 的下列解法中，不正确的是（ ）
a−b = 2 ②
A： 代入法消去a，由②得a = b+2
B： 代入法消去b，由①得b = 7−2a
C： 加减法消去a，①−②×2得2b = 3
D： 加减法消去b，①+②得3a = 9
例5 用加减消元法解方程组：
7x−2y = 13， ①
{
（1）
3x−5y = −11；②
4x−3y = −7， ①
{
（2）
5x+4y = 30. ②
练5.1 用加减消元法解方程组：
3x−2y = 7，
{
（1）
2x+3y = 9；
2x−5y = −3，
{
（2）
5x−2y = −18.
例6 2x+y
{
−2y = 0，
用适当方法解方程组： 3
2(2x+y)−5 = 7y．
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练6.1 2x+3(x+y) = −2，
{
①
x x+y
用加减消元法解方程组：
②
− = 1.
3 6
能力提高 / 初一 / 春季
第 8 讲 二元一次方程组
自我巩固答案
1 x = −1， 3x+2y = m，
{ {
已知 是二元一次方程组 的解，则m−n的值是（ ）
y = 2 nx−y = 1
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
2 对于方程2x−7y−5 = 0，用含y的代数式表示x，应是（ ）
A： x = 5+7y
B： 5+7y
x =
2
C： 2x−5
y =
7
D： y = 2x−5
3 y = 1−x，
{
用代入消元法解方程组 时，代入正确的是（ ）
x−2y = 4
A： x−2−x = 4
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B： x−2−2x = 4
C： x−2+2x = 4
D： x−2+x = 4
4 x+y = 6，
{
二元一次方程组 的解是（ ）
x = 2y
A： x = 5，
{
y = 1
B： x = 4，
{
y = 2
C： x = −5，
{
y = −1
D： x = −4，
{
y = −2
5 x−3y = 1，
{
解方程组：
y = x−1.
6 x−y = 3，
{
二元一次方程组 的解为（ ）
3x−y = 1
A： x = −1，
{
y = −4
B： x = 1，
{
y = −4
C： x = −1，
{
y = 4
D： x = 1，
{
y = 4
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157926&lessonIds=1127830858,1127830859,1127830860,1127830861,11278… 66/1212021/1/13 备授课-备课页
7 7x−6y = 14， ①
{
已知方程组 方程①×2+②×3所得结果正确的是（ ）
3x+4y = 6， ②
A： 10x−2y = 20
B： 7y = 21
C： 7x = 63
D： 23x = 46
8 x−y = 4，
{
解方程组
3x+y = 16.
9 2x−y = −3，①
{
解方程组：
4x+5y = 1. ②
10 解方程组：
3x−6y = 11，
{
（1）
x+3y = 2；
3x−2y = 6，
{
（2）
2x+3y = 17.
能力提高 / 初一 / 春季
第 8 讲 二元一次方程组
课堂落实答案
1 x = 2， 2x+(m−1)y = 2，
{ {
2018
已知 是方程组 的解，则(m+n) 的值为（ ）
y = 1 nx+y = 1
A： −1
B： 0
C： 1
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D： −2
2 已知方程2x+3y−1 = 0，用含y的代数式表示x，则x = ________．
3 3x−y = 7，
{
在方程组 中，代入消元可得（ ）
x = y−1
A： 3y−1−y = 7
B： y−1−y = 7
C： 3y−3 = 7
D： 3y−3−y = 7
4 x+y = 3，
{
二元一次方程组 的解是（ ）
2x = 4
A： x = 3，
{
y = 0
B： x = 1，
{
y = 2
C： x = 5，
{
y = −2
D： x = 2，
{
y = 1
5 2x−3y = 7， ①
{
用加减消元法解二元一次方程组 由①−②可得的方程为（ ）
5x−3y = −2，②
A： 3x = 5
B： −3x = 9
C： −3x−6y = 9
D： 3x−6y = 5
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能力提高 / 初一 / 春季
第 8 讲 二元一次方程组
精选精练
1 2x+y = 4，
{
方程组 的解是（ ）
x−y = −1
A： x = 1，
{
y = 2
B： x = −3，
{
y = −2
C： x = 2，
{
y = 0
D： x = 3，
{
y = −1
2 在二元一次方程5x−3y = 16中，若x，y互为相反数，求x与y的值．
3 3
{
{ a = 2， ax+by = 5，
若 是二元一次方程组 2 的解，则x+2y的算术平方根为（ ）
b = 1
ax−by = 2
A： 3
B： 3，−3
C： √3
D： √3，−√3
4 2x−3y = 4， x = −1， 2(a+b)−3(a−b) = 4，
{ { {
若方程组 的解是 则方程组 的解是（ ）
5x−3y = 1 y = −2， 5(a+b)−3(a−b) = 1
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A： 3
{a = − ，
2
1
b = −
2
B： 3
{a = − ，
2
1
b =
2
C： 3
{a = ，
2
1
b = −
2
D： 1
{a = ，
2
3
b = −
2
5 对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b = am−bn，若3⊕(−5) = −15，4⊕(−7) = −28，则(−1)⊕2的
值为（ ）
A： −13
B： 13
C： 2
D： −2
6 解下列方程组：
x−3y = −4，
{
（1） x+1
+y = 1；
2
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x+y x−y
{
+ = 1，
（2） 2 3
(x+y)−2(x−y) = 10.
能力提高 / 初一 / 春季
第 9 讲 二元一次方程组的应用
例题练习题答案
例1 2 2
已知|2x+y−3|+(x−3y−5) = 0，则x = ______．
练1.1 2
若|x+y+1|与(x−y−2) 互为相反数，则3x−y的值为（ ）
A： −1
B： 3
C： −3
D： 0
例2 (1) b
在等式y = kx+b中，当x = 0时，y = 2；当x = 3时，y = 3，则 = _____．
k
(2) m−n 2 4 2m+n
若−2x y 与3x y 是同类项，则2m−6n的平方根是_________．
练2.1 在等式y = kx+b中，当x = 0时，y = −1；当x = −1时，y = 0，则这个等式是（ ）
A： y = −x−1
B： y = −x
C： y = −x+1
D： y = x+1
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例3 某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意
的是（ ）
A： x+y = 246，
{
2y = x−2
B： x+y = 246，
{
2x = y+2
C： x+y = 246，
{
y = 2x+2
D： x+y = 246，
{
2y = x+2
练3.1 买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的
桶数的75%，设买甲种水x桶，乙种水y桶，则所列方程组中正确的是（ ）
A： 8x+6y = 250，
{
y = 0.75x
B： 8x+6y = 250，
{
x = 0.75y
C： 6x+8y = 250，
{
y = 0.75x
D： 6x+8y = 250，
{
x = 0.75y
练3.2 1
父子二人并排垂直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的 ，儿子露出水面的高
3
1
度是他自身身高的 ，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则
7
可列方程组为（ ）
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A： x+y = 3.2，
{
1 1
( ) ( )
1+ x = 1+ y
7 3
B： x+y = 3.2，
{
1 1
( ) ( )
1− x = 1− y
7 3
C： x+y = 3.2，
{
1 1
x = y
3 7
D： x+y = 3.2，
{
1 1
( ) ( )
1− x = 1− y
3 7
例4 甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出
发1小时追及乙，那么在乙出发后经4小时两人相遇，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/
时，乙的速度为y千米/时，则可列方程组为（ ）
A： 2x−2y = 18，
{
5x+4y = 18
B： 2x+2y = 18，
{
5x−4y = 18
C： 2x+2y = 18，
{
5x = 4y−18
D： 2x+2y = 18，
{
5x+4y = 18
练4.1 甲、乙两人相距6千米，若两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时同向出发4小时甲追上乙，求
甲、乙两人的平均速度各是多少？
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例5 4
小颖家离学校1.2千米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了 小时．假设小
15
颖走上坡路的平均速度是3千米/时，走下坡路的平均速度是5千米/时．求上坡路与下坡路各是多
少米？若设上坡路为x千米，下坡路为y千米，可列方程组为__________________．
练5.1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时平均每小时行驶20千
1
米，下坡时平均每小时行驶35千米，该汽车从甲地开往乙地需9小时，从乙地开往甲地需7 小
2
时．问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地需行驶多少千米的上坡路？
例6 甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小
时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则列出关于x，y的方程组是
_____________________．
练6.1 一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为x千米/
时，水流速度为y千米/时，则x = _________，y = _________．
能力提高 / 初一 / 春季
第 9 讲 二元一次方程组的应用
自我巩固答案
1 已知2a y+5 b 3x 与b 2−4y a 2x 是同类项，那么x，y的值是（ ）
A： x = −1，
{
y = 2
B： x = 2，
{
y = −1
C： x = 0，
{
3
y = −
5
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157926&lessonIds=1127830858,1127830859,1127830860,1127830861,11278… 74/1212021/1/13 备授课-备课页
D： x = 7，
{
y = 0
2 若|x−3y−1|+|x−y−1| = 0，试求x，y的值．
3 鸿运旅行社组织了197人到香格里拉和九寨沟旅游，到香格里拉的人数x比到九寨沟的人数y的2倍
多5人，则下面所列的方程组中符合题意的是（ ）
A： x = 2y−5，
{
x+y = 197
B： 2y = x+5，
{
x+y = 197
C： x = 2y+5，
{
x+y = 197
D： x = 2(y+5)，
{
x+y = 197
4 小明在学习之余去买文具，打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售
货员对话如下：
小明：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本．
售货员：好的，那你应该付52元．
小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元．
请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付（ ）
A： 10元
B： 11元
C： 12元
D： 13元
5 小明从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每
分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．请问小明
家离学校多远？若设小明从家里到学校的平路是x米，下坡路y米，根据题意列方程组为（ ）
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157926&lessonIds=1127830858,1127830859,1127830860,1127830861,11278… 75/1212021/1/13 备授课-备课页
A： x y
{ + = 15，
60 80
y x
+ = 10
40 60
B： x y
{ + = 10，
60 80
y x
+ = 15
40 60
C： x y
{ + = 10，
60 80
y x
+ = 15
80 40
D： x y
{ + = 10，
40 80
y x
+ = 15
40 60
6 学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，去时以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬
坡，共用了6.5h；返程时汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，共用了6h，问
平路和坡路各有多远( )
A： 150km，120km
B： 120km，150km
C： 150km，180km
D： 120km，180km
7 现有两辆汽车从相距120 km的A，B两地同时出发匀速行驶，如果两辆车的行驶方向相同，那么6
h后，速度快的汽车追上速度慢的汽车，如果两辆车相向行驶，那么1.2 h后两车相遇，则速度快的
汽车和速度慢的汽车的速度分别为（ ）
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157926&lessonIds=1127830858,1127830859,1127830860,1127830861,11278… 76/1212021/1/13 备授课-备课页
A： 60 km/h；40 km/h
B： 80 km/h；60 km/h
C： 40 km/h；20 km/h
D： 80 km/h；40 km/h
8 一汽艇顺流航行36千米与逆流航行24千米的时间都是3小时，如果设汽艇在静水中的速度为每小
时x千米，水流速度为每小时y千米，那么下面所列方程组正确的是（ ）
A： 3(x−y) = 36，
{
3(x+y) = 24
B： 3(x−y) = 24，
{
3(x+y) = 36
C： x−y = 36，
{
x+y = 24
D： 3x = 36，
{
3y = 24
9 甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2min相遇一
次，如果同时同地出发，同向而行，每隔10min相遇一次，已知甲比乙跑得快，环形跑道每圈400
米，甲、乙二人每分钟各跑多少米？
10 从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，
平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需90分钟，从乙地到甲地需102分
钟，则甲地到乙地全程是多少千米？
能力提高 / 初一 / 春季
第 9 讲 二元一次方程组的应用
课堂落实答案
1 2
已知(3x+2y−7) +|6x−2y−11| = 0，则x = ______，y = ______．
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2 1
甲、乙两条绳共长17m，如果甲绳减去 ，乙绳增加1m，两条绳长相等，求甲、乙两条绳各长多
5
少米．若设甲绳长x（m），乙绳长y（m），则可列方程组（ ）
A： x+y = 17，
{
1
x− = y+1
5
B： x+y = 17，
{
1
x+ = y−1
5
C： x+y = 17，
{
1
x− x = y+1
5
D： x+y = 17，
{
1
x+ x = y−1
5
3 李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的
平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．若他骑车
和步行的时间分别为x，y分钟，则列出的方程是（ ）
A： 1
{
x+y = ，
4
250x+80y = 2900
B： { x+y = 15，
80x+250y = 2900
C： 1
{
x+y = ，
4
80x+250y = 2900
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=157926&lessonIds=1127830858,1127830859,1127830860,1127830861,11278… 78/1212021/1/13 备授课-备课页
D： x+y = 15，
{
250x+80y = 2900
4 甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4
小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行20千米．设大客车每小时行x千米，小轿车每小时
行y千米，则可列方程组为（ ）
A： x−y = 20，
{
6x+4y = 880
B： y−x = 20，
{
4x+6y = 880
C： y−x = 880，
{
6y+4x = 20
D： y−x = 20，
{
4y+6x = 880
5 甲、乙两人相距42km，若相向而行，则需2小时相遇，若同向而行，乙要14时才能追上甲，则
甲、乙二人每小时各走（ ）
A： 12km；9km
B： 11km； 10km
C： 10km； 11km
D： 9km；12km
能力提高 / 初一 / 春季
第 9 讲 二元一次方程组的应用
精选精练
1 4 2
已知|2x+3y−3|+(x−3y−5) = 0，则x = _______．
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2 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每位男孩看到蓝色与红色
的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人
吗？
3 甲、乙二人跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑
4秒钟就能追上乙，若设甲、乙每秒钟分别跑x，y米，则可列方程组为（ ）
A： 5x = 5y+10，
{
4x−2 = 4y
B： 5x+10 = 5y，
{
4x−4y = 2
C： 5(x−y) = 10，
{
4(x−y) = 2x
D： 5x−5y = 10，
{
4(x−y) = 2y
4 一条船顺流航行，每小时行20 km，逆流航行，每小时行16 km，则船在静水的速度为_____km/h
．
5 利用二元一次方程组解应用题．
1
甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地以各自的速度匀速相向而行，1 小
3
时后相遇，相遇后，拖拉机以其原速度继续前进，汽车在相遇处停留1小时后掉头以其原速返回，
汽车再次出发半小时追上拖拉机，这时，汽车、拖拉机各自走了多少千米？
6 一列火车从北京出发到达广州大约需要15小时.火车出发后先按原来的时速匀速行驶8小时后到达武
汉,由于2009年12月世界时速最高铁路武广高铁正式投入运营,现在从武汉到广州火车的平均时速是
原来的2倍还多50公里,所需时间也比原来缩短了4个小时.求火车从北京到武汉的平均时速和提速后
武汉到广州的平均时速.
能力提高 / 初一 / 春季
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第 10 讲 二元一次方程组综合
例题练习题答案
例1 用四个完全一样的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是121，
小正方形的面积是9，若用x，y(x > y)表示长方形的长和宽，则下列关系中不正确的是（ ）
A： x+y = 11
B： 2 2
x +y = 180
C： x−y = 3
D： x⋅y = 28
练1.1 如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每个长方形地砖的面积是（ ）
A： 200 cm 2
B： 300 cm 2
C： 600 cm 2
D： 2400 cm 2
练1.2 在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积
2
是________cm ．
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例2 某家具厂有22名工人，每名工人每天可加工3张桌子或10把椅子，1张桌子与4把椅子配成一套，
现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余，若设安排x名工人加工桌子，y名工人加工
椅子，则列出的方程组为____________．
练2.1 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身25个，或40个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套盒．
现有36张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套？
练2.2 某车间共有75名工人生产A，B两种工件，已知一名工人每天可生产A种工件15件或B种工件20
件，但要安装一台机械时，同时需A种工件1件，B种工件2件，才能配套，当车间如何分配工人生
产才能保证连续安装机械时，两种工件恰好配套？
例3 mx+3ny = 1， 5x−ny = n−2，
{ {
若两个关于x，y的二元一次方程组 与 有相同的解，则mn的值
3x−y = 6 4x+2y = 8
为_____．
练3.1 3x−y = 5， ax−by = 8，
{ {
已知：关于x，y的方程组 与 的解相同，求a，b的值．
4ax+5by+22 = 0 x+3y = −5
例4 2kx+(k−1)y = 3，
{
若方程组 的解x和y互为相反数，则k的值为________．
4x+3y = 1
练4.1 x+2y = m，
{
已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x−y = 3，则m的值为______．
2x+y = 4
练4.2 2x−y−4m = 0，
{
若方程组 中的y值是x值的3倍，则m的值为（ ）
14x−3y = 20
A： 1
B： −1
C： 0
D： 2
例5
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(1) x+ay = 5， x = 2，
{ {
甲、乙两人解同一个方程组： 甲看错了系数a，解得 乙看错了系数b，
bx−y = 1， y = 5；
x = 3，
{
解得 则方程组正确的解是_______．
y = 1，
(2) ax+by = 2， x = 1，
{ {
小刚和小明解同一个关于x，y的方程组 小刚正确地解得 而小明把c
cx−3y = 5， y = −1，
x = 2，
{
抄错了，解得 则a+2b+3c = _______．
y = 6，
练5.1 ax+5y = 15， ① x = −3，
{ {
已知方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 乙看
4x−by = −2， ② y = −1；
x = 5，
{
错了方程②中的b，得到方程组的解为 试求出a，b的值．
y = 2，
能力提高 / 初一 / 春季
第 10 讲 二元一次方程组综合
自我巩固答案
1 如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题
意列方程组正确的是（ ）
A： x+2y = 75，
{
y = 3x
B： 2x+y = 75，
{
x = 3y
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C： 2x+y = 75，
{
y = 3x
D： x+2y = 75，
{
x = 3y
2 如图，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A： 400 cm 2
B： 500 cm 2
C： 600 cm 2
D： 4000 cm 2
3 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头
盒，现有l20张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，使盒身与盒底配套，得方程组（ ）
A： x+y = 120，
{
40y = 16x
B： x+y = 120，
{
40y = 32x
C： x+y = 120，
{
40y = 20x
D： x+y = 120，
{
20y = 40x
4 我校初一某班学生到铁山坪农田劳动实践，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教
师安排他们与女生一起抬土，两人用一根扁担抬一筐土；其余男生全部用一根扁担，两只筐独自
挑土，这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生共有多少人（ ）
A： 21
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B： 32
C： 53
D： 35
5 八年级（1）班课外手工制作小组30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机
翅，一个飞机模型要一个机身配两个机翅，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名
学生做机身，多少名学生做机翅？
6 某车间有技术工人85人，平均每人每天可加工甲种部件16个或乙种部件10个．两个甲种部件和三
个乙种部件配成一套，问各安排多少人加工甲、乙部件才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配
套？
7 2x+3y = k，
{
已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值为（ ）
x+2y = −1
A： 1
B： −1
C： 0
D： 2
8 x−6 = 0， ax−by = −4，
{ {
已知关于x，y的二元一次方程组 与 有相同的解，则a，b的值为
y+2 = 0 bx+ay = 8
（ ）
A： a = −1，
{
b = 1
B： a = 1，
{
b = 1
C： a = 1，
{
b = −1
D： a = −1，
{
b = −1
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9 x+ay = 2， x = 1，
{ {
甲、乙两人解同一个方程组： 甲看错了系数a，解得 乙看错了系数b，解
bx−y = 3， y = −1；
x = −1，
{
得 则a+b = （ ）
y = 1，
A： 3
B： 5
C： 7
D： 9
10 ax+y = 8， x = −3，
{ {
解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到解为 乙看错了方
x−by = 7 y = 5；
x = −1，
{
程组中的b，得到解为 而丙则根据这两个错误结果，得出了正确的答案，正确答案应当
y = 10，
是（ ）
A： x = 3，
{
y = 2
B： x = 2，
{
y = 3
C： x = 3，
{
y = −2
D： x = −3，
{
y = 2
能力提高 / 初一 / 春季
第 10 讲 二元一次方程组综合
课堂落实答案
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1 如图，宽为m(10 < m < 20)的长方形图案由8个相同的小长方形拼成，若小长方形的边长为整数，
则m的值为________．
2 某车间有56名工人生产螺栓和螺母，每人每天可生产螺栓16个或螺母24个，问怎样分配工人才能
使每天生产的螺栓和螺母按1:2配套？设生产螺栓为x人，生产螺母为y人，则方程组可列为
（ ）
A：
{
x+y = 56，
2×16x = 24y
B：
{
x+y = 56，
2×24y = 16x
C：
{
x+y = 56，
2×16y = 24x
D：
{
x+y = 56，
24x = 16y
3 玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件一个与乙种玩具零
件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零
件x天，乙种玩具零件y天，则有（ ）
A： { x+y = 60，
24x = 12y
B： { x+y = 60，
12x = 24y
C： { x+y = 60，
2×24x = 12y
D： { x+y = 60，
24x = 2×12y
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4 2x+3y = m，
{
若方程组 的解满足x+y = 10，则m = ________．
3x+2y = m+2
5 ax+by = 2， x = 3， x = −2，
{ { {
解方程组 时，正确的解是 由于看错了系数c得到的解是 则
cx−7y = 8 y = −2， y = 2，
a+b+c的值是（ ）
A： 5
B： 6
C： 7
D： 无法确定
能力提高 / 初一 / 春季
第 10 讲 二元一次方程组综合
精选精练
1 如图所示，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边
形，求白皮、黑皮各多少块？
2 某公司去年的利润（总产值 − 总支出）为200万元．今年总产值比去年增加了20\%，总支出比去
年减少了10\%，今年的利润为780万元．如果去年的总产值x万元、总支出y万元，则下列方程组正
确的是（ ）
A： { x−y = 200，
(1+20%)x−(1−10%)y = 780
B： { x−y = 200，
(1−20%)x−(1+10%)y = 780
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C： x−y = 200，
{
20%x−10%y = 780
D： x−y = 200，
{
(1−20%)x−(1−10%)y = 780
3 某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，他们的进价和售价如下表：
（总利润 = 单件利润×销售量）
商品价格 A B
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1350 1200
(1)该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？
(2)商场第2次以原价购进A，B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次
的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动
获得利润等于72000元，则B种商品是打几折销售的？
4 x−y = k+2，
{
方程组 的解适合方程x+y = 3，则k值为（ ）
x+3y = k
A： 2
B： −2
C： 1
D： 1
−
2
5 2x+3y = 7， ax+by−5 = 0，
{ {
已知关于x，y的二元一次方程组 与 有相同的解，则a =
2ax+by = 9 5x−3y = 7
_______，b = ________．
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6 2x−y = ●， x = ◆，
{ {
小强同学解方程组 时，求得方程组的解为 由于不慎，将一些墨水滴到了
3x+y = 8 y = −1，
作业本上，刚好遮住了●处和◆处的数，那么●处和◆处表示的数应该是（ ）
A： 7，3
B： 3，−1
C： 7，−1
D： 8，−1
能力提高 / 初一 / 春季
第 11 讲 不等式初步
例题练习题答案
例1 下列数学表达式中：①−8 < 0，②4a+3b > 0，③a = 3，④a+2 > b+3，不等式有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
练1.1 2
有下列式子：①−3 < 0，②4x+3y > 0，③x = 3，④x −y+1，⑤x ≠ 5，⑥x−3 < y+2，其中是
不等式的有______________（填序号）．
例2 (1)下列选项中是不等式2x+1 > 3的解的是（ ）
A： −4
B： −2
C： 0
D： 2
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(2)在数轴上表示下列不等式的解集：
①x > 2.5；②x < −2.5； ③x ≥ 3．
练2.1 (1)下列数中哪些是不等式3x−5 ≥ 0的解：−1，0，1，2，3，4；
(2)不等式的解集在数轴上表示如下图所示，则该不等式可能是___________．
例3 若a < b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A： a−1 < b−1
B： a b
>
3 3
C： −a < −b
D： ac < bc
练3.1 已知a > b，用“ > ”或“ < ”填空：
（1）a−5____b−5； （2）−3a____−3b；
（3）3a−2____3b−2；（4）5−4a____5−4b．
练3.2 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x > a”“x < a”“x ≥ a”或“x ≤ a”的形式：
(1)x+2 > 3；
(2)2x ≤ 5；
(3)−3x ≥ 6；
(4)x+3 ≥ 2x．
例4 4
已知关于x的不等式ax > 4可变形为x < ，则a的取值范围是________．
a
练4.1 若x < y，且(a+5)x < (a+5)y，则a的取值范围是（ ）
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A： a > −5
B： a > 0
C： a < −5
D： a > 5
例5 若(m+1)x |m| +2 > 0是关于x的一元一次不等式，求m的值．
练5.1 1
|m|−3
已知 (m+4)x +6 > 0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
2
A： 4
B： ±4
C： 3
D： ±3
练5.2 2
关于x的不等式(m−2)x m −3 > 1是一元一次不等式，则m = ________．
例6 (1)解下列不等式：
x+3 2x−5
①3(1−x) ≥ 2x+9；② < −1．
5 3
(2)解不等式x−3(x−1) < 8−x，并把解集在数轴上表示出来．
练6.1 (1)解下列不等式：
2x−1 5x+2
①2(x+5) ≤ 3(x−5)；② − > −1．
4 6
(2) 2x−1 9x+2
解不等式 − ≤ 1，并把解集在数轴上表示出来．
3 6
练6.2 1+x 2x+1
解不等式： − < 1．
2 3
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例7 不等式4x−6 ≥ 7x−1的最大整数解是_________．
练7.1 (1)不等式5(x−2) ≤ 7+2x的正整数解共有（ ）
A： 3个
B： 4个
C： 5个
D： 6个
(2)不等式5x > 3(x−2)+2的负整数解为________．
练7.2 2x−1
解不等式x−1 < ，并写出它的所有非负整数解．
3
能力提高 / 初一 / 春季
第 11 讲 不等式初步
自我巩固答案
1 下列各式中，不是不等式的是（ ）
A： 2x ≠ 1
B： 2
3x −2x+1
C： −3 < 0
D： 3x−2 ≥ 1
2 不等式的解集x ≥ −1在数轴上表示为（ ）
A：
B：
C：
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D：
3 有下列不等式的变形：①若a > b，则a−3 > b−3；②若a > b，则−3a > −3b；③若a > b，则
( ) ( )
2 2
m +1 a > m +1 b；④若a > b且m ≠ 0，则−ma < −mb．其中正确的结论有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
4 已知m < n，利用不等式的性质比较−2m−1与−2n−1的大小．
5 2
|m|−3
已知 (m+4)x −5 > 0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
3
A： 4
B： ±4
C： 3
D： ±3
6 解不等式：
（1）4x+5 > 2(x+1)；
（2）4(x−1)+3 ≤ 3x．
7 解不等式2(4x−1) ≥ 5x−8，并把它的解集在数轴上表示出来．
8 解不等式：
x+4 1−x
（1）2− > ；
2 3
y+1 2y−5
（2） − ≥ 1．
6 4
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9 2x−1 3x+2
解不等式 ≤ −1，并把解集表示在数轴上．
3 4
10 x+3
不等式 −3 ≥ 2(x−3)的非负整数解有（ ）
2
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
能力提高 / 初一 / 春季
第 11 讲 不等式初步
课堂落实答案
1 有下列数学表达式：
2
①3 > 0；②4x+5 > 0；③x = 3；④x +x；⑤x ≠ −4；⑥x+2 < x+1．
其中是不等式的有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
2 图中表示的不等式的解集是_________．
3 如果a < b，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A： 2
a < ab
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B： 2
ab < b
C： 2 2
a < b
D： a−2b < −b
4 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A： x+y ≥ 1
B： 1
x− ≥ 2
x
C： x−3 > 0
D： x
x+ = 3
2
5 2+x 2x−1
解不等式 ≥ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
2 3
能力提高 / 初一 / 春季
第 11 讲 不等式初步
精选精练
1 1 1
若a > b，则4− a____4− b（填“ > ”“ < ”或“ = ”）．
5 5
2 （1）①如果a−b < 0，那么a___b；②如果a−b = 0，那么a___b；③如果a−b > 0，那么a__b；
（2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来；
2 2
（3）用（1）的方法你能否比较3x −3x+7与4x −3x+7的大小？如果能，请写出比较过程．
3 x+9 1−2x 3x−1
解不等式： − ≤ 1+ ．
6 3 2
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4 1 x−2
小马虎解不等式 − > 1出现了错误，解答过程如下：
2 3
不等式两边都乘以6，得3−2(x−2) > 1（第一步）
去括号，得3−2x+4 > 1（第二步）
移项，合并同类项，得−2x > −6（第三步）
解得x < 3（第四步）
（1）小马虎的解答过程是从第______步开始出错的，出错的原因是______________________．
（2）请写出此题正确的解答过程．
5 2x+1 1−x
解不等式： −1 > ，并把它的解集表示在数轴上．
3 2
6 2x+5
求不等式4(x−1)− ≥ −14的负整数解．
2
能力提高 / 初一 / 春季
第 12 讲 一元一次不等式组
例题练习题答案
例1 (1) x > 1
{
不等式组 的解集是（ ）
x ≥ 2
A： x ≥ 2
B： x > 1
C： 1 < x ≤ 2
D： 无解
(2) x ≥ −1
{
不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
x < 2
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练1.1 (1) x > 3
{
不等式组 的解集是（ ）
x < 4
A： x > 3
B： x < 4
C： 3 < x < 4
D： 无解
(2) x ≤ 2
{
请在数轴上表示不等式组 的解集．
x < 4
(3)不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能是（ ）
A： x < −3，
{
x ≤ −1
B： x < −3，
{
x ≥ −1
C： x > −3，
{
x ≤ −1
D： x > −3，
{
x ≥ −1
例2 解不等式组并将解集在数轴上表示出来．
(1) −2x < 6，
{
3(x+1) ≤ 2x+5；
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(2) 3x−1 ≥ x+1，
{
5x+1
2x−1 < .
2
练2.1 2(x+1) > x，
{
解不等式组 x+7 并在数轴上表示它的解集．
1−2x ≥ ，
2
练2.2 x+3 < 4，
{
解不等式组 x+2 x+3 并把解集表示在数轴上．
> ，
2 3
例3 3x+10 > 0，
{
16
不等式组 的最小整数解为（ ）
x−10 < 4x
3
A： −2
B： −3
C： −4
D： 7
练3.1 2x−1 < 3，
{
不等式组 x 的整数解有（ ）
− ≤ 1
2
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
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练3.2 3x+2 ≤ 2(x+3),
{
2x−1 x
解不等式组 ，并写出不等式组的整数解．
>
3 2
例4 解下列不等式组：
−2−3x
（1）−1 < < 1； （2）4 ≤ 1−3x ≤ 7．
4
练4.1 不等式组−3 ≤ 5−2x < 3的正整数解是__________．
练4.2 代数式2x−1的值小于1，但不小于−1，x的取值范围为___________．
例5 x+8 < 4x−1,
{
若关于x的不等式组 的解集是x > 3，则m的取值范围是________．
x > m
练5.1 x+9 < 5x+1，
{
不等式组 的解集是x > 2，则m的取值范围是（ ）
x > m+1
A： m ≤ 2
B： m ≥ 2
C： m ≥ 1
D： m ≤ 1
练5.2 x−a > b， b
{
若关于x的不等式组 的解集为2 < x < 5，求 的值．
2x−a < 2b+4 a
能力提高 / 初一 / 春季
第 12 讲 一元一次不等式组
自我巩固答案
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1 x > −2， x > 0， {x 2 +1 < x， x+3 > 0， x+1 > 0，
{ { { {
有下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤
x < 3； x+2 > 4； x 2 +2 > 4； x < −7； y−1 < 0.
其中一元一次不等式组的个数有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
2 3x−1 > 2，
{
不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
8−4x ≤ 0
A：
B：
C：
D：
3 不等式组−2 ≤ x+1 < 1的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
4 2x+1 ≤ 3，
{
不等式组 的解在数轴上表示正确的是（ ）
x > −3
A：
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B：
C：
D：
5 (1)解不等式组：
2x−1 ≥ x+1，
{
①
x+8 < 4x−1；
x−3 < 0，
{
②
2(x+1) ≤ x+3；
2x−5 < 0，
{
③
x−2(x+1) < 0；
1
{
x−1 < x，
④ 2
2x−4 > 3x+3.
(2) 1−3x 2x−7
解不等式组： < 2 ≤ 1− ．
5 3
6 1
不等式组− < 1−2x < 3的解是（ ）
2
A： 3
−1 < x <
4
B： 3
x <
4
C： x < −1
D： x > −1
7
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(1) 5x−2 < 3x+4， ①
{
解不等式组：
3x+3 ≥ x−1. ②
解：解不等式①得：________；解不等式②得：________；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以，这个不等式组的解集是_____________；整数解为_____________．
(2) x+2(1−2x) ≥ −4，
{
3+5x
解不等式组 并写出它的所有整数解．
x−1 < ，
2
(3) 4(x+1) ≤ 7x+10，
{
x−8
解不等式组 并写出它的所有非负整数解．
x−5 < ，
3
8 x > m−1，
{
关于x的不等式组 的解集为x > −1，则m的值是（ ）
x > m+2
A： −3
B： −2
C： 0
D： 1
9 1
{
(x+2)−3 > 0
不等式组 2 的解集是x > 4，那么m的取值范围是（ ）
x > m
A： m≤4
B： m＜4
C： m≥4
D： m＞4
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10 3x−1 > 4(x−1)，
{
关于x的不等式组 的解集为x < 3，那么m的取值范围为（ ）
x < m
A： m = 3
B： m > 3
C： m < 3
D： m ≥ 3
能力提高 / 初一 / 春季
第 12 讲 一元一次不等式组
课堂落实答案
1 3x+1 > 4，
{
不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
2x−1 ≤ 3
A：
B：
C：
D：
2 x−1 ≤ 0，
{
不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
2x+4 > 0
A：
B：
C：
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D：
3 1
{
x+1 ≥ 3，
不等式组 2 的最大整数解为（ ）
x−2(x−3) > 0
A： 8
B： 6
C： 5
D： 4
4 2x−1 < 3，
{
若不等式组 的解集是x < 2，则a的取值范围是（ ）
x < a
A： a < 2
B： a ≤ 2
C： a ≥ 2
D： 无法确定
5 x−a ≥ b−1，
{
已知关于x的不等式组 的解集为1 ≤ x < 3，试求a，b的值．
2x+a < 2b
能力提高 / 初一 / 春季
第 12 讲 一元一次不等式组
精选精练
1 某同学在解不等式组的过程中，画的数轴除不完整外，没有其它问题．他解的不等式组可能是
（ ）
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A： x−3 > 0，
{
x+1 ≤ 0
B： x−3 ≤ 0，
{
x+1 > 0
C： x−3 < 0，
{
x+1 ≥ 0
D： x−3 ≥ 0，
{
x+1 < 0
2 1 3
不等式组x−2 < x+1 ≤ 2+ x的最大整数解为（ ）
2 2
A： −1
B： 0
C： 5
D： 6
3 x+2 > 0
{
不等式组 x−4 ≥ 0的解集是_____．
x−6 ≤ 0
4 等腰三角形的周长为20，则腰长x的取值范围是_____________．
5 2x−b ≥ 0,
{
若关于x的不等式组 的解集为3 ≤ x ≤ 4，则不等式ax+b < 0的解集为________．
x+a ≤ 0
6 x−a > −1
{
已知关于x的不等式组 的解集中任意一个x的值均不在0 ≤ x ≤ 4的范围内，则a的取值
x−a ≤ 2
范围是（ ）
A： a > 5或a < −2
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B： −2 ≤ a ≤ 5
C： −2 < a < 5
D： a ≥ 5或a < −2
能力提高 / 初一 / 春季
第 13 讲 不等式（组）的应用
例题练习题答案
例1 小颖同学准备用26元买笔和笔记本，已知一支笔2元，一本笔记本3元，他买了5本笔记本，最多
还能买多少支笔？设他还能买x支笔，则列出的不等式为（ ）
A： 2x+3×5 ≤ 26
B： 2x+3×5 ≥ 26
C： 3x+2×5 ≤ 26
D： 3x+2×5 ≥ 26
练1.1 一辆匀速行驶的汽车在8点20分的时候距离某地60 km，若汽车需要在9点以前经过某地，设汽车
在这段路上的速度为x（km/h），则列式表示正确的是（ ）
A： x > 60
B： 40x > 60
C： 20x < 60
D： 2
x > 60
3
例2 在一次奥运知识竞赛中，共有25道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对
得4分，不选或错选扣2分，如果得分不低于60分才能得奖，那么要得奖至少应答对多少道题？
练2.1 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场扣一分．某队预计在某赛季全部
32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛，假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到
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目标，x应满足的关系式是（ ）
A： 3x+(32−x) ≥ 48
B： 3x−(32−x) ≥ 48
C： 3x−(32−x) ≤ 48
D： 3x ≥ 48
练2.2 小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里每天
至少要读多少页？设以后几天里每天要读x页，所列不等式为_______________．
例3 小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则
每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用
水量至少是多少？
练3.1 某出租车收费标准是：起步价6元（即行驶距离不超过3千米需付6元车费），超过3千米后，每增
加1千米加收1.4元（不足1千米按1千米计算），某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费17.2元，
设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，则x的最大值是（ ）
A： 13
B： 11
C： 9
D： 7
练3.2 商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原
价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．如果用27元钱，最多可以购买该商品的件数是
_____．
例4 用每分钟可抽30 t水的抽水机来抽污水管道内的污水，若积存的污水超过1200 t而不足1500 t，则
将污水抽完所用时间x的取值范围是（ ）
A： 40 < x ≤ 50
B： 40 ≤ x < 50
C： 40 < x < 50
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D： 40 ≤ x ≤ 50
练4.1 某公司经营甲、乙两种商品，甲种商品每件进价10万元，乙种商品每件进价6万元，现准备购进
甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于170万元，不高于180万元，该公司共有进货方案（ ）
A： 2种
B： 3种
C： 4种
D： 5种
练4.2 现有A，B两种商品，A产品每件20元，B产品每件50元．如果小亮准备购买A，B两种商品共10
件，总费用不超过350元，但不低于290元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
例5 “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书
馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需
1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：采购的文学名著价格都一样，采购的动漫书
价格都一样）.
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不
超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
练5.1 某工厂计划招聘A，B两个工种的工人120人，已知A，B两个工种的工人的月工资分别为800元和
1000元，若要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，且该工厂每月支付的工人工资不超过
112400元，那么该工厂有几种招聘工人的方案（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
练5.2 某商店欲购进甲、乙两种商品，甲商品的单价是40元，乙商品的单价是80元，该商店决定用不少
于6710元且不超过6810元的资金购进这两种商品共100件，则该商店有（ ）种进货方案．
A： 1
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B： 2
C： 3
D： 4
能力提高 / 初一 / 春季
第 13 讲 不等式（组）的应用
自我巩固答案
1 某公司经营甲、乙两种商品，甲种商品每件进价10万元，乙种商品每件进价6万元，现准备购进
甲、乙两种商品共7件，所用资金不低于54万元，不高于62万元，该公司共有进货方案（ ）
A： 2种
B： 3种
C： 4种
D： 5种
2 某公司经营A，B两种商品，A种商品每件进价9万元，B种商品每件进价5万元，现准备购进A，B
两种商品共20件，所用资金不低于145万元，不高于160万元，该公司共有进货方案（ ）
A： 2种
B： 3种
C： 4种
D： 5种
3 某商店为了促销一种定价为5元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过4件，则按
原价付款；若一次性购买4件以上，则超过部分按原价的八折付款．如果小莹有42元钱，那么她最
多可以购买该商品（ ）
A： 9件
B： 11件
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C： 10件
D： 12件
4 某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小英得分不低于90分．设她
答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A： 10x−5(20−x) ⩾ 90
B： 10x−5(20−x) > 90
C： 10x−(20−x) ⩾ 90
D： 10x−(20−x) > 90
5 某种商品的进价为80元，标价为100元，后由于该商品积压，商店准备打折销售，要保证利润率
不低于12.5%，该种商品最多可打（ ）
A： 九折
B： 八折
C： 七折
D： 六折
6 周末，小明带200元去图书大厦，下表记录了他全天的所有支出，其中小零食支出的金额不小心被
涂黑了，如果每包小零食的售价为15元，那么小明可能剩下多少元？（ ）
支出 早餐 购买书籍 公交车票 小零食
金额（元） 20 140 5
A： 5
B： 10
C： 15
D： 30
7 为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒
乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应
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该买多少个球拍？
8 某文具批发商有水彩笔144支，油画棒102支，计划将其装入甲、乙两种套装小礼盒，甲种每盒装
有水彩笔10支，油画棒6支，乙种每盒装有水彩笔8支，油画棒8支，两种套装礼盒共装15盒．设
装x盒甲种礼盒，写出x应满足的不等式组．
9 某商店欲购进甲、乙两种商品，甲商品的单价是5元，乙商品的单价是10元，该商店决定用不少于
750元且不超过760元购进这两种商品共100件．请你帮助该商场设计相应的进货方案．
10 某中学准备购进A，B两种教学用具共40件，A种每件价格比B种每件价格贵8元，同时购进2件A种
教学用具和3件B种教学用具恰好用去116元．
（1）求A，B两种教学用具的单价各是多少元？
（2）学校准备用不少于880元且不多于900元的金额购买A，B两种教学用具，问A种教学用
具最多能购买多少件？
能力提高 / 初一 / 春季
第 13 讲 不等式（组）的应用
课堂落实答案
1 x的4倍与2的和是负数用不等式表示为_________．
2 a的2倍与3的差不小于5，用不等式表示为 ．
3 某种笔记本原售价是每本6元，凡一次购买两本或以上可享受优惠价格，第1种：两本按原价，其
余按七折优惠；第2种：全部按原价的八折优惠，若在购买数量相同的情况下，要使第1种比第2种
更优惠，则至少购买笔记本（ ）本．
A： 7
B： 6
C： 5
D： 4
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4 某次知识竞赛，共有20道题，每小题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过85分，
他至少要答对（ ）道题．
A： 11
B： 12
C： 13
D： 14
5 某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就
超过了原来20天的产量．若设原来每天最多能生产x辆，则关于x的不等式为（ ）
A： 15x > 20(x+6)
B： 15(x+6) ≥ 20x
C： 15x > 20(x−6)
D： 15(x+6) > 20x
能力提高 / 初一 / 春季
第 13 讲 不等式（组）的应用
精选精练
1 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但
要保证利润率不低于5%，则至多可打 折．
2 小明和小新同时上学，从家到学校的距离都是2km，他们走路的速度是6km/h，跑步的速度为
10km/h，请你根据以上信息，设计一个可以用一元一次不等式解决的问题，并给出解决方案．
3 某市出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元付费，不足1千米
按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路为x千米，则x应满足的关系式为（ ）
A： 14.6−1.2 < 5+1.2(x−3) ≤ 14.6
B： 14.6−1.2 ≤ 5+1.2(x−3) < 14.6
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C： 5+1.2(x−3) = 14.6−1.2
D： 5+1.2(x−3) = 14.6
4 某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：
一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度）
0 < x ≤ 200 0.48
200 < x ≤ 400 0.53
x > 400 0.78
七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过200元，直接写出李叔家七月份最多可用电
的度数是（ ）
A： 100
B： 396
C： 397
D： 400
5 若干名学生住宿舍，每间住4人，2人无处住；每间住6人，空一间还有一间不空也不满，问多少学
生多少宿舍？设有x间宿舍，则可列不等式（组）为__________．
6 元旦联欢会上，班级为同学们买了一批小礼物，如果每个人分3个，还多5个；如果每个人分4个，
就会有一个人能分到但分不到4个，若已知班级学生的人数是奇数，试问这些小礼物共有多少个？
能力提高 / 初一 / 春季
第 14 讲 数据统计
例题练习题答案
例1 (1)为了解某校初一400名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，这个问题
中的总体是指（ ）
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A： 初一400名学生
B： 被抽取的50名学生
C： 初一400名学生的体重情况
D： 被抽取的50名学生的体重
(2)为了检查一批零件的长度，从中取50个进行检测，在这个问题中个体是（ ）
A： 零件长度的全体
B： 50
C： 50个零件
D： 每个零件的长度
(3)每年的4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情
况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（ ）
A： 500名学生
B： 所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况
C： 50名学生
D： 每一名学生对“世界读书日”的知晓情况
(4)学校以年级为单位开展广播操比赛，全年级有13个班级，每个班级有50名学生，规定每班抽
25名学生参加比赛，这时样本容量是（ ）
A： 13
B： 50
C： 650
D： 325
练1.1 为检测某型号电池的使用寿命，从中抽取10块电池进行测试，在这个问题中，所抽取的10块电池
的使用寿命是（ ）
A： 总体
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B： 个体
C： 总体的一个样本
D： 样本容量
例2 质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机柚取100件进行检测，检
测出次品5件，由此估计这一批产品中的次品件数是_____．
练2.1 吴京导演的《战狼2》票房已经突破50亿，其中的一句“犯我中华者，虽远必诛”更是传遍大江南
北！为估计单县8000名九年级学生看过《战狼2》的人数，随机抽取400名九年级学生，发现其中
有150名学生看过，由此估计全县九年级学生中有_____名学生看过《战狼2》．
例3 如图是甲、乙两公司近年销售收入情况的折线统计图，根据统计图得出下列结论，其中正确的是
（ ）
A： 甲公司近年的销售收入增长速度比乙公司快
B： 乙公司近年的销售收入增长速度比甲公司快
C： 甲、乙两公司近年的销售收入增长速度一样快
D： 不能确定甲、乙两公司近年销售收入增长速度的快慢
练3.1 如图为某产品产量增长情况统计图，下列说法正确的是( )
A： 产量持续增长
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B： 产量有增有减
C： 开始产量不变
D： 条件不足，无法判断
例4 为了解学生的选课情况，学校研究小组随机抽取若干人进行调查分析，根据收集整理的数据绘制
成不完整的条形统计图和扇形统计图，课程类别代码如下：
A：文学类课程 B：益智类课程 C：艺术类课程
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该小组采用的调查方式是____________，被调查的样本容量是___________；
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）若全校有1280名学生，选择艺术类课程的学生大约有多少人？
练4.1 某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，
发现学生成绩分别为70分、80分、90分、100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图
表：
乙校成绩统计表
分数（分） 人数（人）
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70 7
80
90 1
100 8
（1）在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为__________；
（2）请你将图②补充完整；
（3）乙校80分的同学有多少人？
练4.2 为了解某地区30万电视观众对新闻、动画、娱乐三类节目的喜爱情况，按照老年人、成年人、青
少年各年龄段实际人口3∶5∶2的比例，随机抽取一定数量的观众进行调查，得到如下统计图：
（1）上面所用的调查方法是______(填“全面调查”或“抽样调查”)；
（2）写出折线统计图中A、B所代表的值；
A：_________ B：__________
（3）求该地区喜爱娱乐节目的成年人的人数．
例5 为了解上一次八年级数学测验成绩情况，随机抽取了40名学生的成绩进行统计分析，这40名学生
的成绩数据（单位：分）如下：
55 62 67 53 58 83 87 64 68 85
60 94 81 98 51 83 78 77 66 71
91 72 63 75 88 73 52 71 79 63
74 67 78 61 97 76 72 77 79 71
(1)将样本数据适当分组，制作频数分布表：
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分 组
频 数
(2)根据频数分布表，绘制频数分布直方图：
(3)从图可以看出，这40名学生的成绩都分布在什么范围内？分数在哪个范围的人数最多？
练5.1 为了了解本校七年级学生的身体素质情况，体育老师随机抽取了本校50名七年级学生进行一分钟
跳绳次数测试，测试所得样本数据（单位：次）如下：
88 90 92 96 99 102 106 108 110 112
113 115 115 117 118 120 120 123 125 127
130 132 134 134 134 135 136 137 138 138
139 141 142 142 143 144 145 146 148 149
150 152 153 157 160 162 162 165 168 172
(1) 记跳绳次数为x，补全下面的样本频数分布表与频数分布直方图：
组别 次数（x） 频数（人数）
1 80≤x<100 5
2 100≤x＜120
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3 120≤x＜140
4 140≤x＜160
5 160≤x＜180
(2)若该年级有300名学生，请根据样本数据估计该校七年级学生中一分钟跳绳次数不低于120次
的学生大约有多少人？
例6 某汽车交易市场为了解二手轿车的交易情况，将本市场去年成交的二手轿车的全部数据，以二手
轿车交易前的使用时间为标准分为A、B、C、D、E五类，并根据这些数据由甲，乙两人分别绘制
了下面的两幅统计图(图都不完整)．
请根据以上信息，解答下列问题:
(1)该汽车交易市场去年共交易二手轿车____________辆．
(2)把这幅条形统计图补充完整．(画图后请标注相应的数据)
(3)在扇形统计图中，D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为________度．
练6.1 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动．对社区部分捐款户数
进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐
款户数的比为1：5．请结合图中相关数据回答下列问题．
捐款分组统计表
组别 捐款额（x）元
A 10 ≤ x < 100
B 100 ≤ x < 200
C 200 ≤ x < 300
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D 300 ≤ x < 400
E x ≥ 400
请结合以上信息解答下列问题．
(1)A组捐款户数为________，本次调查样本的容量________；
(2)C组捐款户数为________，请补全“捐款户数直方图”；
(3)若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是多少？
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