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能力强化 / 初一 / 春季
第 1 讲 平行线的性质与判定综合
例题练习题答案
例1 如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A： ∠DAC=∠BCA
B：
∠DCB+∠ABC=180∘
C： ∠ABD=∠BDC
D： ∠BAC=∠ACD
练1.1 如图，直线EF分别交CD、AB于M、N，且∠EMD=65°，∠MNB=115°，则下列结论正确的是
（ ）
A：∠A=∠C
B：∠E=∠F
C：AE∥FC
D：AB∥DC
例2 根据图形填空：
（1）已知BE//CG，可以得到 ∠1+_____=______
，
理由是：两直线平行，同旁内角互补；
（2）已知EF//BC，可以得到 ∠2=
_____，理由是________________________________________；
∠1=∠4
（3）已知_________，可以得到 ，理由是_______________________________．
练2.1 AB//CD， ∠1=58∘ ，FG平分 ∠EFD ，则 ∠FGB 的度数为__________．
例3 如图，把长方形纸片ABCD沿EF对折，若 ∠1=40∘ ，则 ∠AEF = __________．
练3.1 如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C分别落在 D′ 、
C′ ∠EFG=55∘ ∠1 ∠2
的位置上，若 ，求 、 的度数．
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例4 如图，AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD//BE．
解：∵AB//CD（已知）
∴∠4=∠___________（ ）
∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠__________（ ）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠CAF =∠2+∠CAF（ ）
即∠________=∠________（ ）
∴∠3=∠__________
∴AD//BE（ ）
练4.1 如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，DE∥FB．求证：AB∥DC．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵BF、DE分别平分 ∠ABC 与 ∠ADC ,
1 1
∠1= ∠ABC ∠2= ∠ADC
∴ 2 ， 2 .（____________________）
∠ABC=∠ADC
∵ ,
∴_______________.
∵DE∥FB,
∠1=∠3
∴ ,（__________________________）
∠2=
∴ ________,(等量代换)
∴AB∥DC.（__________________________）
例5 如图，AE∥DF， ∠B+∠1=90∘ ， BE⊥FD 于G．求证：AB∥CD．
练5.1 已知: 如图， AB∥EF，且 ∠1+∠2=∠3 .
求证：EF∥CD．
例6 如图， ∠ABE+∠DEB=180∘ ， ∠1=∠2 ．求证： ∠F =∠G ．
∠ABE+∠DEB=180∘
证明：∵ （ ）
AC//DE
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
∠CBE=∠DEB
∴ （ ）
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∠1=∠2
又∵ （ ）
∠CBE−∠1=∠DEB−∠2
∴ （ ）
∠FBE=
即 ________（ ）
//GE
∴________ （ ）
∠F =∠G
∴ （ ）
练6.1 如图，已知 ∠A=180∘−∠ABC ， BD⊥CD 于 D ， EF⊥CD 于 F ．
（1）求证：AD∥BC；
∠1=42∘ ∠2
（2）若 ，求 的度数．
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第 1 讲 平行线的性质与判定综合
自我巩固答案
1 下列说法正确的是（ ）
A：无公共点的两条线段是平行线
B：无公共点的两条直线是平行线
C：无公共点的两条射线是平行线
D：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线是平行线
2 如图，下列判断正确的是（ ）
A：若∠1=∠2,则AD//BC
B：若∠1=∠2,则AB//CD
C：若∠A=∠3,则AD//BC
D：若∠A+∠ADC=180∘ ,则AD//BC
3 如图，下列条件中：① ∠B+∠BCD= 180°；② ∠1=∠2 ；③ ∠3=∠4 ；④ ∠B=∠5 ，
能判定AB∥CD的条件为（ ）
A：①②③④
B：①②④
C：①③④
D：①②③
4 如图， ∠1=57∘ ，则 ∠2 的度数为（ ）
A：
120∘
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B：
123∘
C：
130∘
D：
147∘
5 将一个矩形纸片按如图所示折叠，若 ∠1=40∘ ，则 ∠2 的度数是（ ）
A：
40∘
B：
50∘
C：
60∘
D：
70∘
6 如图，将一块含有 30∘ 角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果 ∠2=65∘ ，那
∠1
么 的度数为（ ）
A：
35∘
B：
55∘
C：
65∘
D：
25∘
7 已知：如图，点E、F分别在直线AB、CD上，点G、H在两直线之间，线段EF与GH相交于点O，且
∠AEF+∠CFE=180∘ ∠AEF−∠1=∠2
有 ， ，则在图中相等的角共有（ ）
A：5对
B：6对
C：7对
D：8对
8 如图，若 ∠1=∠2 ， DE//BC ，则：① FG//DC ，② ∠AED=∠ACB ，③CD平分
∠ACB ∠1+∠B=90∘ ∠BFG=∠BDC
，④ ，⑤ ，其中正确的结论是（ ）
A：①②③
B：①②⑤
C：①③④
D：③④
9 阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上， ∠1=∠2 ， ∠3=∠4 ．
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∠A=∠F
求证： ．
∠1=∠2
证明：∵ （已知）
∠2=∠DGF(
____________________）
∠1=∠DGF
∴ （等量代换）
∴_____∥_____（____________________）
∠3+∠ =180∘(
∴ _____ ____________________）
∠3=∠4
又∵ （已知）
∠4+∠C=180∘
∴ （等量代换）
∴_____∥_____（____________________）
∠A=∠F(
∴ ____________________）
10 已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB， ∠1=∠2 ．求证：EF∥CD．
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第 1 讲 平行线的性质与判定综合
课堂落实答案
1 下列说法中错误的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种；
④相交的两条直线叫做平行线．
A：1个
B：2个
C：3个
D：4个
2 如图，把一块含有
45∘
角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果
∠1=20∘
，那么
∠2
的度数是______．
3 小明同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图所示的两条平行线m、n上，测得 ∠α=120∘ ，
∠β
则 的度数是（ ）
A：45°
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B：55°
C：65°
D：75°
4 如图，填推理过程的理由：
已知：∠1+∠2=180°，求证：a∥b．
证明：∵∠1=∠3（ ）
∠1+∠2=180°（ ）
∴∠3+∠2=180°（ ）
∴a∥b（ ）
5 如图，已知 ∠A=∠C ，BE平分 ∠ABD ，DF平分 ∠BDC ．说明 ∠1=∠2 的理由．
∠A=∠C
因为 （已知）
所以AB∥DC（ ）
∠ABD=∠CDB
所以 （ ）
因为BE平分 ∠ABD （已知）
1
∠1= ∠ABD
所以 2 （ ）
1
∠2= ∠BDC
同理 2
∠1=∠2
所以 （ ）
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第 1 讲 平行线的性质与判定综合
精选精练
1 如图，潜望镜中的两个镜片都是与水平面成
45∘
角放置的，这样的设计就可以保证下面人的视线和
上面的光线是平行的，请解释说明其中的道理．
2 如图，A、B、C三点在一条直线上， ∠ABD=∠ACF ， ∠FCD=20∘ ， ∠F =60∘ ，
∠ADC=80∘
，找出图中的平行直线，并说明理由．
3 将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26∘ ，则∠ACD=_________．
4 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐
角相等．
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m a b b b
（1）如图，一束光线 射到平面镜上，被 反射到平面镜 上，又被 镜反射，若被 反射出的光线
n m ∠1=50∘ ∠2= ∘ ∠3= ∘
与光线 平行，且 ，则 _____ ， _____ ；
∠1=55∘ ∠3= ∘ ∠1=40∘ ∠3= ∘
（2）在（1）中，若 ，则 _____ ，若 ，则 _____ ；
a b ∠3= ∘
（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜 、 的夹角 _____ 时，可以使任何射到平面镜
a m a b m n
上的光线 ，经过平面镜 、 的两次反射后，入射光线 与反射光线 平行，请说明理由．
5 如图，已知 AB ∥ DE ， ∠ABC=72∘ ， ∠CDE=140∘ ，则 ∠BCD 的值为_______．
6 已知：BC∥OA， ∠B=∠A=100∘ ，试回答下列问题：
（1）如图①，OB与AC平行吗？为什么？
（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足 ∠FOC=∠AOC ，并且OE平分 ∠BOF ．求
∠EOC
的度数．
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么 ∠OCB 与 ∠OFB 之间的关系并说明理
由．
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第 2 讲 平行线模型
例题练习题答案
例1 直角三角板和直尺如图放置，若 ∠1=20∘ ，则 ∠2 的度数为（ ）
A：
60∘
B：
50∘
C：
40∘
D：
30∘
练1.1 如图，直线a∥b，将一个直角三角板按如图所示的位置摆放，若 ∠1=58∘ ，则 ∠2 的度数为
（ ）
A：30°
B：32°
C：42°
D：58°
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例2 如图，把一副三角板放在桌面上，若两直角顶点重合，两条斜边平行，则 ∠1 与 ∠2 的差是 ( )
A：45∘
B：30∘
C：25∘
D：20∘
练2.1 如图所示AB∥CD，AD与BC相交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1=30∘ ，
∠2=40∘ ，则∠BEF =（ ）
A：
70∘
B：
40∘
C：
35∘
D：
30∘
例3 （1）如图甲， AB ∥ CD ， ∠2 与 ∠1+∠3 的关系是什么？并写出推理过程；
AB CD ∠2+∠4 ∠1+∠3+∠5
（2）如图乙， ∥ ，直接写出 与 的数量关系；
AB CD ∠2+∠4+∠6 ∠1+∠3+∠5+∠7
（3）如图丙， ∥ ，试问 与 还有类似的数量关系
吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．
练3.1 如图，AB∥CD，则下列等式成立的是（ ）
A： ∠B+∠F+∠D=∠E+∠G
B： ∠E+∠F+∠G=∠B+∠D
C： ∠F+∠G+∠D=∠B+∠E
D： ∠B+∠E+∠F =∠G+∠D
例4 如图，直线 AE//BF ， ∠1=110∘ ， ∠2=130∘ ，则 ∠3 的度数为__________．
练4.1 如图，已知a∥b， ∠2=90∘ ， ∠1=140∘ ，则 ∠3= （ ）
A：
110∘
B：
120∘
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C：
130∘
D：
140∘
例5 （1）如图1， MA 1 //NA 2 ，则 ∠A 1 +∠A 2 = ________度．
MA //NA ∠A +∠A +∠A =
如图2， 1 3 ，则 1 2 3 ________度．
MA //NA ∠A +∠A +∠A +∠A =
如图3， 1 4 ，则 1 2 3 4 ________度．
MA //NA ∠A +∠A +∠A +∠A +∠A =
如图4， 1 5，则 1 2 3 4 5 ________度．从上述结论
中你发现了什么规律？请在图2，图3，图4中选一个证明你的结论．
MA //NA ∠A +∠A +∠A +⋯+∠A =
（2）如图5， 1 n，则 1 2 3 n ________度．
练5.1 如图，AB∥CD．
∠A+∠C= ∘
（1）在图（1）中， _________ ；
（2）在图（2）中，过点P作PE∥AB，试求 ∠A+∠APC+∠C 的度数；
（3）如图（3），过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB，求 ∠A+∠AEF+∠EFC+∠C 的度
数．
例6 已知 AB ∥ DE ， ∠ABC=80∘ ， ∠CDE=140∘ ．请你探索出一种（只需一种）添加辅助线
∠BCD ∠BCD
求出 度数的方法，并求出 的度数．
练6.1 如图，已知 AB//CD ， ∠B=30∘ ， ∠D=120∘ ．
∠E=60∘ ∠F =
（1）若 ，则 ______；
∠E ∠F
（2）请探索 与 之间满足的数量关系，说明理由．
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第 2 讲 平行线模型
自我巩固答案
1 如图，AB∥CD， ∠B=23∘ ， ∠D=42∘ ，则 ∠E= （ ）
A：23∘
B：42∘
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C：
65∘
D：
19∘
2 如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上.若 a//b ， ∠1=35∘ ，则 ∠2 的度数为
（ ）
A：35∘
B：15∘
C：10∘
D：5∘
3 如图，l∥m，等边△ABC（每个角都是60°）的顶点A、B分别在直线l、m上， ∠1=25∘ ，则
∠2=
（ ）
A：
35∘
B：
45∘
C：
55∘
D：
75∘
4 如图1，直线 a ∥ b ， ∠P =100∘ ， ∠1=55∘ ，求 ∠2 的度数．现提供下面的解法，请填空，并在
括号里标注理由．
P c a
解：如图2，过点 作直线 平行于直线 ，
∵a c
∥ （已知）
∴∠1=
________
∵a b
又 ∥ （已知）
∴c b
∥ （__________________）
∴∠2=
∴∠1+∠2=∠3+∠4
（__________________）
∠3+∠4=∠APB=100∘
而 （已知）
∴∠1+∠2=100∘
（等量代换）
∵∠1=55∘
∴∠2= ∘− ∘ = ∘
______ ______ ______
5 如图所示， l 1∥ l 2，AB⊥ l 1， ∠ABC=130∘ ，那么 ∠α 的度数为（ ）
A：60∘
B：50∘
C：40∘
D：30∘
6 如图，已知 a ∥ b ，则 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= （ ）
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A：
630∘
B：
720∘
C：
800∘
D：
900∘
7 若 AD//BE ，且 ∠ACB=90∘ ， ∠CBE=30∘ ，则 ∠CAD 的度数为（ ）
A：30∘
B：40∘
C：50∘
D：60∘
8 如图， BC//DE ，若 ∠A=35∘ ， ∠C=24∘ ，则∠E等于（ ）
A：
24∘
B：
59∘
C：
60∘
D：
69∘
9 已知直线a∥b，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则∠1的度数是（ ）
A：45∘
B：60∘
C：75∘
D：80∘
10 如图①， AB//CD ，点E在直线 AB 与 CD 之间，连接AE，CE．
∠A+∠C=∠E
（1）证明： ；
E ∠A+∠E+∠C=360∘
（2）当点 在如图②的位置时，证明： ；
（3）如图③，点E，F，G在直线 AB 与 CD 之间，连接AE，EF，FG，CG，若 ∠EFG=28∘ ，
∠A+∠E+∠G+∠C= ∘
则 _________ ．
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第 2 讲 平行线模型
课堂落实答案
1 如图，已知直线a∥b，∠1=34°，∠2=66°，则∠3等于（ ）
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A：112°
B：100°
C：130°
D：120°
2 如图，已知AB∥CD，∠A=120°，∠C=100°，那么∠APC的度数为（ ）
A：100°
B：120°
C：140°
D：150°
3 已知：如图1， AB ∥ CD ，点 E 、 F 分别为 AB 、 CD 上一点．
AB CD M M EF ME MF
（1）在 、 之间有一点 （点 不在线段 上），连接 、 ，试探究
∠AEM ∠EMF ∠MFC
、 、 之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应
的数量关系，选其中一个进行证明．
AB CD M N ME MN NF
（2）如图2，在 、 之间有两点 、 ，连接 、 、 ，请选择一个图形写出
∠AEM ∠EMN ∠MNF ∠NFC
、 、 、 存在的数量关系（不需证明）．
4 如图，已知 AB//CO ，那么 ∠1,∠2,∠3 之间的关系是（ ）
A： ∠1+∠2=∠3
B： ∠1+∠3=∠2
C：
∠1+∠2+∠3=180∘
D：
∠1+∠2−∠3=180∘
5 如图所示， AB//CD ， ∠ABE=66∘ ， ∠D=54∘ ，则∠E的度数为_________．
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第 2 讲 平行线模型
精选精练
1 已知：如图，AB∥CD， ∠1=∠2 ．求证： ∠E=∠F ．
2 阅读材料（1） , 并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3） .
（1）如图1，AB∥CD，E为图形内一点，连接 BE 、 DE 得到 ∠BED, 求证：
∠E=∠B+∠D.
悦悦是这样做的：
过点 E 作EF∥AB．则有 ∠BEF =∠B.
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠FED=∠D
∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D
∠BED=∠B+∠D
即
2, ∠BEF ∠EFD G, ∠G
（2）如图 画出 和 的平分线，两线交于点 猜想 的度数，并证明你的猜想.
3,EG EG ∠BEF ∠1=∠2 ∠EFD
（3）如图 1和 2为 内满足 的两条线，分别与 的平分线交于点
G G ∠FG E+∠G =180∘.
1和 2，求证： 1 2
3 如图（a），木杆EB与FC平行，两木杆的一端B、C用一橡皮筋连接．
（1）在图（a）中， ∠B 与 ∠C 有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（b）的形状，则 ∠A ， ∠B ， ∠C 之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（c）的形状，则 ∠A ， ∠B ， ∠C 之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（d）的形状，则 ∠A ， ∠B ， ∠C 之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（e）的形状，则 ∠A ， ∠B ， ∠C 之间有何关系？
4 如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，
∠DAB+∠ABC+∠BCE=360∘
．
AD//CE
（1）求证： ．
（2）如图2，作 ∠BCF =∠BCG ，CF与∠BAH的平分线交于点F．若 2∠B−∠F =90∘ ，
求∠BAH的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是AB上一点，Q是GE上任一点，QR平分∠PQG，
PM//QR ，PN平分∠APQ，下列结论：
① ∠APQ+∠NPM 的值不变，②∠NPM的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出
正确的结论并求其值．
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5 如图，若AB∥CD， ∠α=150∘ ， ∠β=80∘ ，则 ∠γ= （ ）
A：40∘
B：50∘
C：60∘
D：30∘
6 如图，已知AB∥CD∥EF，则 x 、 y 、 z 三者之间的关系是（ ）
A：x+y+z=180∘
B：x+y−z=180∘
C：y−x−z=0∘
D：y−x−2z=0∘
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第 3 讲 平行线的综合探究
例题练习题答案
例1 把命题"等角的补角相等"改写成"如果…那么…"的形式是___.
练1.1 "两条直线被第三条直线所截,同位角相等"的条件是___,结论是___.
例2 下列语句是真命题的有（ ）
①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离;
②内错角相等;
③两点之间线段最短;
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
⑤在同一平面内,若两条直线都与第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行.
A： 2 个
B： 3 个
C： 4 个
D： 5 个
练2.1 下列命题是假命题的是（ ）
A：对顶角相等
B：两直线平行，同位角相等
C：两直线平行，内错角相等
D：两直线平行，同旁内角相等
例3 2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，…，由此猜想，8条直
线最多有（ ）个交点．
A：32
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B：16
C：28
D：40
练3.1 平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若在平面内的不同的n个点最多
可确定15条直线，则n的值为（ ）
A：4
B：5
C：6
D：7
例4 (1)两条直线相交可以形成2对对顶角，那么同一平面内4条直线最多可以形成对顶角（ ）
A：8对
B：10对
C：12对
D：16对
(2)如图，直线AB、CD相交于点O，作射线OE，则图中邻补角有（ ）
A：4对
B：6对
C：7对
D：8对
练4.1 三条直线AB、CD、EF相交于同一点O，则图中对顶角有（ ）
A：6对
B：5对
C：4对
D：3对
例5 如图所示，同位角的对数是______，内错角的对数是______，同旁内角的对数是________．
练5.1 如图所示，与∠C构成同旁内角的角有_______个．
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例6 已知： E ， F 分别为 AB ， CD 上任意一点． M ， N 为 AB 和 CD 之间任意两点．连接 EM ，
MN NF ∠AEM=∠DFN=a ∠EMN=∠MNF =b
， ， ， ．
a=b ME//NF AB//CD
（1）如图1，若 ，求证： ， ；
a≠b
（2）当 时
AB//CD
①如图2，求证： ；
E N EP NP EP MN Q NP P
②如图3，分别过点 ，点 引射线 ， ． 交 于 ，交 于 ，
1 1
∠PEM= ∠AEM ∠MNP = ∠FNP ∠BEP ∠NFD
2 ， 2 ． 和 两角的角平分线交于点
I ∠P =∠I a b b a)
．当 时， 和 的数量关系为：_______（用含有 的式子表示 ．
练6.1 如图，已知 BE 平分 ∠ABD ， DE 平分 ∠BDC ，且 BE⊥DE ．
AB//CD
（1）求证： ；
BF DF ∠EBD ∠BDE F ∠BFD=150∘
（2）射线 、 分别在 、 内部交于点 ，且 ，当
∠ABE:∠EBF =3:2 ∠BDF ∠EDC
时，试探究 与 的数量关系；（补全图形，并说明
理由）
H BA B DK ∠BDH ∠EDK
（3） 为射线 上一动点（不与点 重合）， 平分 ，直接写出 与
∠DHB
的数量关系：___________．
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第 3 讲 平行线的综合探究
自我巩固答案
1 命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ）
A：垂直
B：两条直线
C：同一条直线
D：两条直线垂直于同一条直线
2 下面四个命题中,真命题是（ ）
A：相等的两个角是对顶角
B：和等于90∘
的两个角互为补角
C：如果∠1+∠2=90∘ ,那么∠1、∠2互为余角
D：一个角的补角一定大于这个角
3 对于命题"如果∠1+∠2=90∘ ,那么∠1≠∠2",能说明它是假命题的反例是（ ）
A：∠1=50∘ ,∠2=40∘
B：∠1=50∘ ,∠2=50∘
C：∠1=40∘ ,∠2=40∘
D：∠1=45∘ ,∠2=45∘
4 同一平面内互不重合的三条直线的交点的个数（ ）
A：可能是 0 个， 1 个， 2 个
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B：可能是 0 个， 2 个， 3 个
C：可能是 0 个， 1 个， 2 个或 3 个
D：可能是 1 个或 3 个
5 如图所示，图中能与∠C构成同旁内角的角有（ ）
A：2个
B：3个
C：4个
D：5个
6 如图，与∠1互为同旁内角的角共有（ ）个．
A：1
B：2
C：3
D：4
7 如图，2条直线相交所组成的角中，互为对顶角的角有2对：∠AOD和∠COB，∠AOC和∠BOD．
（1）3条直线相交于一点所组成的角中，互为对顶角的角有_________对；
（2）4条直线相交于一点所组成的角中，互为对顶角的角有_________对；
（3）n条直线相交于一点所组成的角中，互为对顶角的角有_________对．
8 （1）如图 1 中，三条直线 a 、 b 、l 1两两相交，则图中共有_______对同旁内角；
（2）如图 2 中，若l 2只与直线 a 、 b 有交点，则图中共有_______对同旁内角；
（3）如图3中，若从l 2到l n（n为正整数且 n≥2 ）都只与直线 a 、 b 有交点，则图中共有________
对同旁内角．
9 已知，射线CB∥射线OA， ∠C=∠BAO=100∘ ，试回答下列问题：
（1）如图①，求证：OC∥AB；
（2）若点E、F在线段BC上，且满足 ∠EOB=∠AOB ，并且OF平分 ∠BOC ，
∠AOB=30∘ ∠EOF
①如图②，若 ，则 的度数等于多少（直接写出答案即可）；
②若平行移动AB，当 ∠BOC=6∠EOF 时，求 ∠ABO 的度数．
10 如图，
∠DAB+∠ABC+∠BCE=360∘
．
AD//CE
（1）求证： ；
∠BCF =∠BCG CF ∠BAH F
（2）在（1）的条件下，如图，作 ， 与 的平分线交于点 ，若
∠F 2∠B ∠BAH
的余角等于 的补角，求 的度数．
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能力强化 / 初一 / 春季
第 3 讲 平行线的综合探究
课堂落实答案
1 如果∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,那么∠1与∠3也互余,此命题是___命题(填"真"或"假")
2 图中对顶角有（ ）对．
A：3
B：4
C：5
D：6
3 如图，与 ∠4 是同旁内角的是（ ）
A： ∠1
B： ∠2
C： ∠3
D： ∠5
4 在同一平面内有三条直线，若其中只有两条直线平行，则这三条直线交点的个数为（ ）
A：0个
B：1个
C：2个
D：3个
5 如图，已知 ∠A=∠ABC ， ∠DBC=∠D ，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上．
（1）试说明CD∥AB的理由；
（2）CD是∠ACE的角平分线吗？为什么？
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第 3 讲 平行线的综合探究
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精选精练
1 先指出下列命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其逆命题真假．
a2 =b2 a=b
（1）如果 ，那么 ．
（2）两直线平行，同位角相等．
2 如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画 ∠ACD=∠A ，且点A与D在直线BC的同一侧，
再延长BC至点E，在所作的图形中， ∠A 与________是内错角； ∠B 与________是同位角；
∠ACB
与________是同旁内角．
3 一条直线可以把一个平面分成两部分，两条直线可以把一个平面分成四部分，那么三条直线最多
可以把一个平面分成几部分？四条直线呢？你能发现什么规律？
4 回答下列问题：
AB CD EF O
（1）三条直线 ， ， 相交于一点 （如图1），图形中共有几对对顶角（平角除外）？
多少对邻补角？
AB CD EF GH O
（2）四条直线 ， ， ， 相交于点 （如图2），图形中共有几对对顶角（平角除
外）？多少对邻补角？
m a a a …a a O
（3） 条直线 1， 2， 3， m−1， m相交于点 ，则图中一共有几对对顶角（平角除
外）？多少对邻补角？
5 读图
1~
图4，回答下列问题．
（1）请你写出图1、图2、图3和图4中分别有几对同旁内角？
n(n
（2）观察图形，请写出图 是正整数）中有几对同旁内角？
6 如图，已知 AM//BN ， ∠A=60∘ ，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC、BD分
别平分 ∠ABP 和 ∠PBN ，分别交射线AM于点C，D．
(1)∵AM∥BN，∴ ∠ACB=∠ _____；
(2) 求 ∠ABN 、 ∠CBD 的度数；
AM//BN
解：∵ ，
∠ABN+∠A=180∘
∴ ，
∠A=60∘
∵ ，
∠ABN=
∴ ______，
∠ABP+∠PBN=120∘
∴ ，
∵BC平分 ∠ABP ，BD平分 ∠PBN ，
∠ABP =2∠CBP ∠PBN=
∴ 、 ______，（______）
2∠CBP+2∠DBP =120∘
∴ ，
∠CBD=∠CBP+∠DBP =
∴ ______．
(3) 【操作】
当点P运动时， ∠APB 与 ∠ADB 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出
它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
(4) 【探究】
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当点P运动到使 ∠ACB=∠ABD 时， ∠ABC 的度数是______．
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第 4 讲 实数化简与运算
例题练习题答案
例1 (1)一个正数的平方根为 2x+1 和 x−7 ，则这个正数为（ ）
A：5
B：10
C：25
D： ±25
−−−−−−−−−
(2)已知√x+2y−7+|x−1|=0
．
①求x与y的值；
x+y
②求 的平方根．
−−−−− −−−−− 1 1
(3)已知 b=3√3a−2−2√2−3a+2 ，求a + b的平方根．
练1.1 (1)如果a有平方根，那么a一定是（ ）
A：正数
B：0
C：非负数
D：非正数
(2)若两个不相同的数 2m−4 与 3m−1 是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A： −3
B： −1
C：1
D： −3 或1
−−−− y
(3)已知实数x，y满足 |x−4|+√y−8=0 ，则x的平方根是（ ）
A：2
B： −2
–
C： ±√2
–
D： √2
−−−−
125
例2 (1)27的立方根是__________， √3
8
=__________．
(2)√
−
6
−
4
的立方根是__________，
√3−
5
−
1
−
2
的立方根为__________．
(3)若 (x+5)3 =27 ，则 x= __________；若 8(x−2)3+1=0 ，则 x= __________．
练2.1
若√3−
3
−
−
−−
2
−
x
与√3−
x
−−
+
−−
5 的值互为相反数，求 1−√
−
2x
−
的值．
例3 下列说法中，正确的是 ( )
A：带根号的数不一定都是无理数
B： −1 是1的算术平方根
−−
C： √25=±5
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D：
a2
一定没有平方根
练3.1 下列实数中，有理数是 ( )
–
A： √2
B：
√35 –
π
C： 4
D：3.14159
−− −−
例4 已知 7+√17 的整数部分是m， 13-√17 的整数部分为n，则 m+n= __________．
–
练4.1 若 √7 的整数部分是a，小数部分是b，计算2 a+b 的值为_________．
−−−−−
例5 （1） √ − 0 − . − 0 − 4+√3 − − −− 2 − 7+√(−2)2 （2）| −√2 – |+| √2 – −√3 – |
−−
练5.1 √ − 5 − 2 +√3 − − −− 2 − 7− 2 √ 9 |1−√2 – |+|√2 – −√3 – |
（1） 3 4 （2）
例6 观察：√
−
6
−
.1
−
3
− 7≈2.477，√3−
6
−
.1
−
3
−
7≈1.8308，填空：①√
−
6
−
13
−
.
−
7≈________； ② 若
√3−
x
−
≈0.18308，则x=________．
−−−− −−−− −−−−−−
练6.1 若√25.36≈5.036，√253.6≈15.925，则√253600≈_______.
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第 4 讲 实数化简与运算
自我巩固答案
−−
√36
1
4 的算术平方根是（ ）
A：18
–
√6
B：−
2
–
√6
C：
2
–
√6
D：±
2
−−−−−−−−
2 若 √(2a−1)2=1−2a ，则（ ）
1
A：a<
2
1
B：a≤
2
1
C：a>
2
1
D：a≥
2
−−−− −−−−
3 若a、b为实数，且 b=√a−1+√1−a+4 ，则 a+b 的值为（ ）
A： ±1
B：3
C：4
D：5
−−
4 下列命题：①9的平方根是3；② √16 的平方根是 ±2 ；③ −0.003 没有立方根；④ −3 是27的负的
立方根；⑤若一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数是0．其中正确命题的个数是（ ）
A：1
B：2
C：3
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D：4
5 下列结论正确的是（ ）
−−−−−
A：√(−2)2 =−2
−−−−−
B：√3(−2)3 =−2
−−−−−
C：． √(±2)2 =±2
−−
D： √323 =±2
6 在 (√2 – )0 ， √38 – ，0， √9 – ， √34 – ， 0.010010001… ， π 2， −0.333… ， √5 – ， 3.1415 中，无理
数有（ ）
A：2个
B：3个
C：4个
D：5个
−−
7 若 m<√140 ，则点P在（ ）
A：第一象限或第二象限
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B：第一象限或第三象限
C：第一象限或第四象限
D：第二象限或第四象限
练2.1 已知点 P(|x|,y) ，则点P一定（ ）
A：在第一象限
B：在第一或第四象限
C：在y轴右侧
D：不在y轴左侧
例3 点 (−3,5) 到x轴的距离是__________，到y轴的距离是__________．
练3.1 平面直角坐标系中点 B(a,b) ，那么点 B 到 x 轴的距离是（ ）
A： b
B： a
C： |a|
D： |b|
例4 若点P在 x 轴的下方， y 轴的左侧，到每条坐标轴的距离都是3，则点P的坐标为（ ）
A： (3,3)
B： (−3,3)
C： (−3,−3)
D： (3,−3)
练4.1 若x轴上的点P到y轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A： (2,0)
B： (0,2)
C： (2,0) 或 (−2,0)
D： (0,2) 或 (0,−2)
例5 (1)已知点 M(3,−2) ，将它先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点N，则
点N的坐标为________．将点P向下平移5个单位长度，再向左平移1个单位长度后的坐标为
(−2,−3) ，则点P的坐标是________．
(2)已知点A的坐标为 (3,−2) ，现保持点A不动，将平面直角坐标系向左平移3个单位长度，向上
平移4个单位长度，平移后点A的坐标为________．
(3)线段CD是由线段AB平移得到的，若点 A(−1,4) 的对应点为 C(4,7) ，则点 B(−4,−1) 的
对应点D的坐标为________．
(4)点A、B的坐标分别为 (1,0) 、 (0,2) ，若将线段AB平移至 A 1 B 1，且点 A 1、 B 1的坐标分别
(2,a) (b,3) a+b=
为 、 ，则 ________．
(5)如图，已知△ABC的各顶点坐标为 A(4,6) 、 B(5,2) 、 C(2,1) ，将△ABC平移得到
△A B C P(x,y) P′(x+4,y−2)
1 1 1，三角形某一边上一点 的对应点为 ，求出
△A B C △A B C
1 1 1各个顶点的坐标，并画出 1 1 1．
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练5.1 如图，已知平面直角坐标系中， A(−2,−1) 、 B(4,−1) ．
(1)将A、B分别向左平移1个单位后，分别到达D、E两点，试写出D、E的坐标．
(2)若 C(3,2) ，在图中画出△DEC．
例6 (1)已知： A(−4,−5) 、 B(−2,0) 、 C(4,0) ，求△ABC的面积．
(2)如图，小方格的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，请在方格纸上建立平面直角坐标系，并
计算△ABC的面积．
(3)在平面直角坐标系中，点 A(0,−1) 、点 B(0,−4) ，已知点C在x轴上，若△ABC的面积为
9，求点C的坐标．
练6.1 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，点A、B、
C均在格点上．
(1)请直接写出点A、B、C的坐标；
(2)若平移线段AB，使B移动到C的位置，请在图中画出A移动后的位置D，依次连接B、C、D、
A，并求出四边形ABCD的面积．
例7 在平面直角坐标系中，点A、B、O的坐标分别为 (1,0) 、 (0,1) 、 (0,0) ．电子蛙从 P 1 (1,1) 出
发，依次以A、B、O为对称中心跳跃，即第一步跳到 P 1关于A的对称点 P 2，第二步跳到 P 2关于B
的对称点 P 3，第三步跳到 P 3关于O的对称点 P 4，依此类推．试写出点 P 2、 P 7、 P 100的坐标．
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练7.1 在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点A出发，沿着 A—B—C—D—A 循环爬行，其
中A点的坐标为 (1,−1) ，B点坐标为 (−1,−1) ，C点坐标为 (−1,3) ，D点坐标为 (1,3) ，当蚂蚁
爬了2017个单位长度时，它所处的位置的坐标为（ ）
A： (1,0)
B： (0,−1)
C： (−1,−1)
D： (−1,0)
能力强化 / 初一 / 春季
第 5 讲 平面直角坐标系
自我巩固答案
1 已知点P（ 3m−6 ， m+1 ），试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P在x轴上；
(3)点P的纵坐标比横坐标大5；
(4)点P在过点A（ −1 ，2），且与x轴平行的直线上．
2 已知点A的坐标为 (1,−1) ，将平面直角坐标系先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长
度，在新坐标系中原来的点A的坐标是（ ）
A： (4,−6)
B： (4,4)
C： (−2,4)
D： (−2,−6)
3 在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为 A(−1,−1) ， B(1,2) ，平移线段
AB，得到线段 A′B′ ，已知 A′ 的坐标为 (3,−1) ，则点 B′ 的坐标为（ ）
A： (4,2)
B： (5,2)
C： (6,2)
D： (5,3)
4 线段CD是由线段AB平移得到，点 A(−1,4) 的对应点为 C(−4,7) ，则 D(−4,1) 的对应点B的坐
标为
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（ ）
A： (2,9)
B： (5,3)
C： (1,4)
D： (−1,−2)
5 在平面直角坐标系中，将点 A(x,y) 向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点
B(−3,2) 重合，则点A的坐标是（ ）
A： (2,5)
B： (−8,5)
C： (−8,−1)
D： (2,−1)
6 请完成以下题目：
(1)在平面直角坐标系中，描出下列 3 个点: A(−1,0) 、 B(3,−1) 、 C(4,3) ；
(2)顺次连接 A 、 B 、 C ，组成△ABC，求△ABC的面积．
7 如图所示，△ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为 A(1,2) 、 B(4,3) 、 C(3,1) ．
（1） △A 1 B 1 C 1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出
△A 1 B 1 C 1三个顶点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
8 如图，A、B两点的坐标分别为(2,3)、(4,1)，
（1）求△ABO的面积；
（2）把△ABO向下平移3个单位后得到一个新△O′A′B′ ，求△O′A′B′
的三个顶点的坐标．
9 如图，在平面直角坐标系上有个点P(1,0)，点P第1次向上跳运1个单位至点P 1 (1,1)紧接着第2
次向左跳动2个单位至点P
2
(−1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳运3个单位，第5次又
向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第2016次跳动至点
P 2016的坐标是( )
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A： (505,1008)
B： (−505,1008)
C： (504,1007)
D： (−504.1007)
10 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，排列顺序为 (1,0) → (2,0) →
(2,1) (1,1) (1,2) (2,2)… 2017
→ → → ，根据这个规律，则第 个点的横坐标为（ ）
A：44
B：45
C：46
D：47
能力强化 / 初一 / 春季
第 5 讲 平面直角坐标系
课堂落实答案
1 在平面直角坐标系中，点 A(−2,4) 到x轴的距离为________．
2 (1)在平面直角坐标系中，若点 P 的坐标为 (−3,2) ，则点 P 所在的象限是（ ）
A：第一象限
B：第二象限
C：第三象限
D：第四象限
(2)已知点 P(x,|y|) ，则点 P 一定（ ）
A：在第一象限
B：在第一或第四象限
C：在 x 轴上方
D：不在 x 轴下方
(3)若点 P(3a−9,1−a) 是坐标平面上的任一点，且点 P 的纵坐标是横坐标的相反数，则 P 点
的坐标为________．
3 已知点 A(−1,0) 和点 B(1,2) ，将线段AB平移至 A′B′ ，点 A′ 与点A对应，若点 A′ 的坐标为
(1,−5) B′
，则点 的坐标为（ ）
A： (3,0)
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B： (3,−3)
C： (3,−1)
D： (−1,3)
4 如图，网格中的小正方形边长为 1 ，则图中的△ABC的面积等于_______．
5 一只跳蚤在第一象限及 x 轴、 y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到 (0,1) ，然后接着按图中
(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…
箭头所示方向跳动，即 ，且每秒跳动一个单位，那
35
么第 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A： (4,0)
B： (5,0)
C： (0,5)
D： (5,5)
能力强化 / 初一 / 春季
第 5 讲 平面直角坐标系
精选精练
1 坐标平面内有一点A，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的3倍．若点A在第二象
限，则点A坐标为（ ）
A： (−9,3)
B： (−3,1)
C： (−3,9)
D： (−1,3)
2 如图，先将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到 △A 1 B 1 C 1．
(1)画出经过两次平移后的图形，并写出 A 1、 B 1、 C 1的坐标；
(2)已知△ABC内部一点P的坐标为 (a,b) ，若点P随△ABC一起平移，请写出平移后点P的对应点
P
1的坐标；
(3)求△ABC的面积．
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3 在平面直角坐标系中， A(1,2) 、 B(3,1) 、 C(−2,−1) ．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△ A 1 B 1 C 1；
A B C A B C
（2）写出△ABC关于x轴对称的△ 2 2 2的各点坐标 2___， 2___， 2___；
（3）求△ABC的面积．
4 已知： A(0,1) 、 B(2,0) 、 C(4,3)
（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
5 在平面直角坐标系xOy中，对于点 P(x,y) ，我们把点 P′(−y+1,x+1) 叫做点P伴随点．已知
A A A A A A … A
点 1的伴随点为 2，点 2的伴随点为 3，点 3的伴随点为 4， ，这样依次得到点 1、
A A … A … A (3,1) A A
2、 3、 、 n、 ．若点 1的坐标为 ，则点 3的坐标为__________，点 2014的坐
标为__________；若点 A 1的坐标为 (a,b) ，对于任意的正整数n，点 A n均在x轴上方，则a、b应满
足的条件为__________．
6 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边 △OA 1 A 2的一条边 OA 2在x轴的正半轴上，O为坐
标原点；将 △OA 1 A 2沿x轴正方向依次向右移动4个单位，得 △A 3 A 4 A 5， △A 6 A 7 A 8，
… A
，则点 99的坐标是_____．
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第 6 讲 二元一次方程组技巧运算
例题练习题答案
例1 用代入消元法解方程组：
m−n=2
（1）{ 2m+3n=14；
5x+2y=25
{
（2） 3x+4y=15．
练1.1 用代入消元法解方程组：
⎧ 2 1
3x−y=2 x− y=1
（1） { 8(x+y)+x=17； （2）⎩ ⎨ 3 6 ．
5x+2y=3
例2 解二元一次方程组：
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x+y=7
{
（1） 2x−y=2；
2x+3y=3
{
（2） 3x−2y=11；
x−y=2
{x y
（3） + =9；
3 2
⎧4(x+1)+3(y−2)=7
（4）⎩ ⎨x + 2y−1 =1 ．
4 3
练2.1
(1)若|2x+y−2|+(x+2y−10)2=0，则x=______，y=______．
b
(2)在等式 y=kx+b 中，当 x=0 时， y=2 ；当 x=3 时， y=3 ，则k = ______．
2x−y=−3
例3 已知x、y是二元一次方程组 { x+4y=3 的解，则 x+y= _______．
12x+23y=1234
练3.1 { x+y= 10x−y=
已知方程组 34x+45y=5678，则 _______， _______．
mx+3ny=1 5x−ny=n−2
例4 若两个关于x，y的二元一次方程组 { 3x−y=6 与 { 2x+y=4 有相同的解，则
mn的值为_____．
3x−y=5 ax−by=8
练4.1 已知：关于x，y的方程组 { 4ax+5by+22=0与 { x+3y=−5的解相同，求a，b的值．
2kx+(k−1)y=3
例5 若方程组 { 4x+3y=1 ， 的解x和y互为相反数，则k的值为________．
x+y=4m
练5.1 若方程组{ x−y=2m的解满足 3x−4y=2 ，求m的值．
x+ay=5 x=2
例6 (1) { a {
甲、乙两人解同一个方程组： bx−y=1，甲看错了系数 ，解得 y=5；乙看错了
x=3
b {
系数 ，解得 y=1，则方程组正确的解是_______．
ax+by=2 x=1
(2)小刚和小明解同一个关于x，y的方程组{ cx−3y=5，小刚正确地解得{ y=−1，而
x=2
c { a+2b+3c=
小明把 抄错了，解得 y=6，则 _______．
ax+5y=15 x=−3
练6.1
已知方程组
{
4x−by=−2
①
②
，由于甲看错了方程①中的
a
，得到方程组的解为
{
y=−1；
x=5
乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为{ ，试求出a、b的值．
y=2
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第 6 讲 二元一次方程组技巧运算
自我巩固答案
x=2
1 若关于x，y的二元一次方程 kx+3y=5 的一组解是 { y=1，则k的值是（ ）
A：1
B： −1
C：0
D：2
x−y=3
2 {
二元一次方程组 3x−y=1的解为（ ）
x=−1
A：{
y=−4
x=1
B：{
y=−4
x=−1
C：{
y=4
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x=1
D：{
y=4
3 已知 2ay+5b3x 与 b2−4ya2x 是同类项，那么x，y的值是（ ）
x=−1
A：{
y=2
x=2
B：{
y=−1
⎧x=0
C：
⎨ 3
⎩y=−
5
x=7
D：{
y=0
4 写出二元一次方程 2x+3y=15 的所有正整数解．
x
5 { 9 +2=y
解方程组 ．
2(x−8)−y=−1
6 解下列方程组：
2(2x+1)=y+2
{
（1） 2(y+2)−3(2x+1)=3；
−1x+ 3y=1
（2） { 2 4 ．
−2x+y=−8
x−6=0 ax−by=−4
7 已知关于x，y的二元一次方程组 { y+2=0 ， 与 { bx+ay=8 ， 有相同的解，则a，b的值
为（ ）
a=−1
A：{ ，
b=1
a=1
B：{ ，
b=1
a=1
C：{ ，
b=−1
a=−1
D：{ ，
b=−1
x+y=2a
8 如果二元一次方程组 { x−y=4a的解是方程 3x−5y=28 的一个解，那么a的值是（ ）
A：1
B：2
C：3
D：4
x+y=5k
9 若关于x，y的二元一次方程组 { x−y=9k的解也是二元一次方程 2x+3y=6 的解，则k的值
为（ ）
3
A：−
4
3
B：
4
4
C：
3
4
D：−
3
3x+ay=13 x=6
10 { a {
（1）小明、小红两人解同一个方程组： bx−3y=9 ，小明看错了系数 ，解出 y=7，
x=1
b {
小红看错了系数 ，解出 y=5，则方程组正确的解是_______．
ax+by=−16 x=8
{ { c
（2）已知方程组 cx+20y=−224的解应为 y=−10，小明解题时过于紧张，又把 抄
x=12
{ a2+b2+c2=
错了，因此得到的解是 y=−13，则 _______．
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第 6 讲 二元一次方程组技巧运算
课堂落实答案
1 若方程 xm−3−3yn−2=3 是关于x、y的二元一次方程，则 m+n= （ ）
A：5
B：6
C：7
D：8
23x+22y=47
2 {
方程组 22x+23y=43 的解为（ ）
x=1
A：{
y=1
x=3
B：{
y=−1
x=2
C：{
y=1
x=−1
D：{
y=3
3 解下列方程组：
5(x−1)=2(y+3)
{
（1） 2(x+1)=3(y−3)；
x + y =13
{2 3
（2） x − y =3 ．
3 4
x+2y=k
4 已知方程组{ 的解满足x+y=2，则k的算术平方根为（ ）
2x+y=2
A：4
B： −2
C： −4
D：2
x=1 ax+by=2
5 若方程组 { y=5和 { ax−by=4有相同解，则a，b的值为（ ）
a=3
A：{
b=−1
5
a=3
B：{
b= 1
5
a=3
C：{
b=−5
a=3
D：{
b=5
能力强化 / 初一 / 春季
第 6 讲 二元一次方程组技巧运算
精选精练
x=3
1 {
试写出一个以 y=−1为解的二元一次方程组_______．
x=2 ax+b=7
2 { { a−b
已知 y=1是二元一次方程组 ax−by=1的解，则 的值为（ ）
A：3
B：2
C：1
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D： −1
x=m x+2y=5
3 { { m−n
已知 y=n 是二元一次方程组 2x+y=7的解，则 的值是（ ）
A：2
B： −2
C：0
D： −1
x+py=0 x=1
4 x y { { y p
关于 ， 的方程组 x+y=3 的解是 y=▲，其中 的值被盖住了，不过仍能求出 ，则
p
的值是（ ）
1
A：−
2
1
B：
2
1
C：−
4
1
D：
4
5 {
2x−y=●，
{
x=
◆，
小强同学解方程组 3x+y=8 时，求得方程组的解为 y=−1 由于不慎，将一些墨水滴
，
到了作业本上，刚好遮住了●处和◆处的数，那么●处和◆处表示的数应该是（ ）
A：7，3
B：3， −1
C：7， −1
D：8， −1
x+2y−6=0
6 已知关于x、y的方程组 { x−2y+mx+5=0．
x+2y−6=0
（1）请直接写出方程 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足 x+y=0 ，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程 x−2y+mx+5=0 总有一个固定的解，请直接写出这个解．
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第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 2的平方根是（ ）
A：4
–
B： √2
–
C： −√2
–
D： ±√2
2 在实数：3.14159，√3− 6 − 4，√5 – ，4.2˙1˙ ，π， 2 7 2 中，无理数的个数是（ ）
A：1个
B：2个
C：3个
D：4个
3 下列计算正确的是（ ）
−−
A： ±√16=4
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B：
√3−
6
−
4=4
–
C： √4=±2
D：
√3−
2
−
7=±3
4 已知点P位于第二象限，且距离x轴4个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点P的坐标是（ ）
A： (−3,4)
B： (3,−4)
C： (−4,3)
D： (4,−3)
5 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到 a//b 的是（ ）
A： ∠1=∠2
B： ∠2=∠4
C： ∠3=∠4
D：
∠1+∠4=180∘
–
6 在平面直角坐标系中，点 P(−√3,0) 在（ ）
A：x轴的正半轴上
B：x轴的负半轴上
C：y轴的正半轴上
D：y轴的负半轴上
7 在我们常见的英文字母中，存在着同位角、内错角、同旁内角的现象．在下列几个字母中，不含
同旁内角现象的字母是（ ）
A：E
B：F
C：N
D：H
8 将线段AB在坐标系中作平移，已知 A(−1,2) ， B(1,1) ，将线段AB平移后，其两个端点的坐标
A′(−2,1) B′(0,0)
变为 ， ，则它平移的情况是（ ）
A：向上平移了1个单位长度，向左平移了1个单位长度
B：向下平移了1个单位长度，向左平移了1个单位长度
C：向下平移了1个单位长度，向右平移了1个单位长度
D：向上平移了1个单位长度，向右平移了1个单位长度
9 如图， AB//CD ， ∠1=50∘ ， ∠2=160∘ ，则 ∠3= （ ）
A：40∘
B：30∘
C：50∘
D：20∘
10 如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A(2,0)同时出发，沿矩
形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2
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个单位/秒匀速运动，两物体运动后的第2016次相遇地点的坐标是（ ）
A： (2,0)
B： (−1,1)
C： (−2,1)
D： (−1,−1)
11 如图，直线a，b被直线c所截．若 a//b ， ∠1=30∘ ，则 ∠2= ______ ∘
12 一个正数x的平方根是 2a−3 与 5−a ，则 a= __________．
13 若 a+2 是一个数的算术平方根，则 a 的取值范围是_________．
14 已知点 M(3a−8,a−1) 在第二、四象限角平分线上，则点 M 的坐标为__________．
15 小明与余爷爷准备去云南省春游，在地图上设定的临沧市位置点的坐标为 (−1,0) ，昆明市位置点
(1,1)
的坐标为 ．如图请帮助小明确定终点香格里拉位置点的坐标为_________．
16 若方程(m−2)x|m|−1+(n+1)y=1是关于x、y的二元一次方程，则m__________，
n___________．
17 如图，AB//DE，AD//BC，请写出图中所有与△ABD面积相等的三角形：
_________________________________．
18 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移
A (0,1) A (1,1) A (1,0) A (2,0) A
动，每移动一个单位，得到点 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，…那么 6的坐标为
___________；点 A 4n+1（n为自然数）的坐标为___________．
−−−−− −−
19 √3 7 −1 √ 1 +√ − 0 − .5 − 2−√2 – +|√3 – −√2 – |
计算（1） 8 （2） 4
20 用代入消元法解下列方程组：
⎧x=6y+4,
x=y+1,
（1）⎩ ⎨x − y = 1 （2） { 2x+y=8
6 2 3； ；
2x+y=6, x=y+3,
{ {
（3） y=3x+1 ； （4） 3x−8y=14 ．
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21 如图， EF//CD ， ∠1=∠2 ，求证： ∠CGD+∠BCA=180∘ ．
EF//CD
证明：∵ （ 已知 ）
∠1=∠_______
∴ （ ）
∠1=∠2
∵ （ 已知 ）
∠2=∠_______
∴ （ ）
∴___________ （ ）
∠CGD+∠BCA=180∘
∴ （ ）
22 如图， ∠1=∠2 ， ∠3=∠B ， AC//DE ，且 B 、 C 、 D 在一条直线上．求证：
AE//BD
．
23 已知： A(4,0) ， B(3,y) ，点C在x轴上， AC=5 ．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）若 S ΔABC =10 ，求点B的坐标．
24 如图， ∠2=90∘ ， AB//CD ，试探究 ∠1 、 ∠3 、 ∠4 之间的数量关系．
−−−−−−−−−
25 已知实数x、y满足关系式 √4x−y2+1+∣∣y2−9∣∣=0 ．
（1）求x，y的值；
−−−−
（2）判断√xy+6
是有理数还是无理数？并说明理由．
−− −−
26 已知 5+√11 的小数部分是m， 2−√11 的小数部分为n，求 n−m 的值．（注：向下取整．
−3.4 −4 −3.4−(−4)=0.6
例： 的整数部分为 ，小数部分为 ）
27 在平面直角坐标系中，如图1，将线段AB平移至线段CD，连接AC、BD．
（1）直接写出图中相等的线段，平行的线段；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知一定点M(1,0)，两个动点E(a,2a+1)、
F(b,−2b+3)，请你探索是否存在两个动点E、F，使线段EF平行于线段OM且等于线段OM．
若存在，求以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由．
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第 8 讲 二元一次方程组的应用
例题练习题答案
例1 某年级学生共有247人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题
意的是（ ）
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x+y=247
A：{
2y=x−2
x+y=247
B：{
2x=y+2
x+y=247
C：{
y=2x+2
x+y=247
D：{
2y=x+2
练1.1 为保护生态环境，陕西省某县响应国家“退耕还林”号召，将某一部分耕地改为林地，改变后，
180 25%
林地面积和耕地面积共有 平方千米，耕地面积是林地面积的 ，为求改变后林地面积和耕
x y
地面积各多少平方千米．设改变后耕地面积为 平方千米，林地面积为 平方千米，根据题意，列
出如下四个方程组，其中正确的是（ ）
x+y=180
A：{
y=0.25x
x+y=180
B：{
x=0.25y
x+y=180
C：{
x−y=0.25
x+y=180
D：{
y−x=0.25
例2 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时平均每小时行驶20千
1
7
米，下坡时平均每小时行驶35千米，该汽车从甲地开往乙地需9小时，从乙地开往甲地需 2小
时．问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地需行驶多少千米的上坡路？
练2.1 甲、乙两人相距42千米，若两人同时相向而行，可在6小时后相遇；而若两人同时同向而行，乙可
在14小时后追上甲，设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，列出的二元一次方程组为
_________________________．
例3 某商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件时，与将标
价降低35元销售该工艺品12件时所获得的利润相等，则该工艺品每件进价和标价分别是多少元？
练3.1 2019年 3 月 8 日河北新闻网报道，随着“三八”妇女节的到来，石家庄女性消费市场格外热闹，花
样繁多的促销让利活动吸引了不少女性朋友．某商家决定对A、B两种商品打折促销，“三八”妇
女节当天 A 商品打八折，B商品打九折，打折前买 6 件A商品和 5 件B商品需要 580 元，买 3 件A商品
和 2 件B商品需要 280 元．
(1)求打折后买 10 件A商品和 4 件B商品比打折前便宜多少钱？
(2)已知打折前售出 4 件A商品和 3 件B商品的利润是 135 元，打折后售出 5 件A商品和 4 件B商品的
利润是 82 元，求A、B两种商品的进价．
练3.2 某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，他们的进价和售价如下表：
= ×
（总利润 单件利润 销售量）
商品价格 A B
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1350 1200
(1)该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？
(2)商场第2次以原价购进A，B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次
的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动
获得利润等于72000元，则B种商品是打几折销售的？
例4 某车间共有75名工人生产A、B两种工件，已知一名工人每天可生产A种工件15件或B种工件20
件，但要安装一台机械时，同时需A种工件1件，B种工件2件，才能配套，当车间如何分配工人生
产才能保证连续安装机械时，两种工件恰好配套？
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练4.1 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身25个，或40个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套盒．
现有36张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套？
例5 用四个完全一样的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是121，
x y(x>y)
小正方形的面积是9，若用 、 表示长方形的长和宽，则下列关系中不正确的是（ ）
A：x+y=11
B：x2+y2=180
C：x﹣y=3
D：x•y=28
练5.1 小明在拼图时，发现 8 个一样大小的长方形如图 1 那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见
2
了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图 那样的正方形．中间恰好是边长为
2mm的小正方形！请你求出这些长方形的长和宽？
能力强化 / 初一 / 春季
第 8 讲 二元一次方程组的应用
自我巩固答案
1 现有两辆汽车从相距120 km的A，B两地同时出发匀速行驶，如果两辆车的行驶方向相同，那么6
1.2
h后，速度快的汽车追上速度慢的汽车，如果两辆车相向行驶，那么 h后两车相遇，则速度快
的汽车和速度慢的汽车的速度分别为（ ）
A：60 km/h；40 km/h
B：80 km/h；60 km/h
C：40 km/h；20 km/h
D：80 km/h；40 km/h
2 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头
盒，现有l20张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，使盒身与盒底配套，得方程组（ ）
x+y=120
A：{ ，
40y=16x
x+y=120
B：{ ，
40y=32x
x+y=120
C：{ ，
40y=20x
x+y=120
D：{ ，
20y=40x
3 买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支．若设买钢笔 x 支，铅笔 y 支，根据
题意，可得方程组（ ）
x+y=30
A：{
y=2x+3
x+y=30
B：{
y=2x−3
x+y=30
C：{
x=2y+3
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x+y=30
D：{
x=2y−3
4 小明在学习之余去买文具，打算购买 5 支单价相同的签字笔和 3 本单价相同的笔记本，期间他与售
货员对话如下：
5 3
小明：您好，我要买 支签字笔和 本笔记本．
52
售货员：好的，那你应该付 元．
44
小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付 元．
1
请你判断在单价没有弄反的情况下，购买 支签字笔和1本笔记本应付（ ）
A： 10 元
B： 11 元
C： 12 元
D： 13 元
5 如图， 10 块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为 x 厘米和 y 厘米，则依
题意列方程组正确的是（ ）
x+2y=75
A：{ ，
y=3x
2x+y=75
B：{ ，
x=3y
2x+y=75
C：{ ，
y=3x
x+2y=75
D：{ ，
x=3y
6 如图，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A：400 cm2
B：500 cm2
C：600 cm2
D：4000 cm2
7 从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，
平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需90分钟，从乙地到甲地需102分
钟，则甲地到乙地全程是多少千米？
8 某天，一蔬菜经营户用90元钱按批发价从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角共50kg，然后在市场上
按零售价出售，西红柿和豆角当天的批发价和零售价如下表所示：
品名 西红柿 豆角
批发价（单位：元/kg） 2.0 1.5
零售价（单位：元/kg） 2.9 2.6
如果西红柿和豆角全部以零售价售出，他当天卖这些西红柿和豆角赚了多少元钱？
9 某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
单价
成本价（元/箱） 销售价（元/箱）
类别
甲 24 36
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乙 33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
10 某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个．两个甲种部件和三
个乙种部件配成一套，问各安排多少人加工甲、乙两种部件才能使每天加工的甲、乙两种部件刚
好配套？
能力强化 / 初一 / 春季
第 8 讲 二元一次方程组的应用
课堂落实答案
1
1 学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前3路段为平路，其余路段为坡路，已知汽车在平路上
60km/h 30km/h
行驶的速度为 ，在坡路上行驶的速度为 ．汽车从学校到自然保护区一共行驶了
6.5h
，则汽车在平路和坡路上各行驶（ ）
A： 1.3h ； 5.2h
B： 1.4h ； 1.3h
C： 1.3h ； 5.3h
D： 1.2h ； 5.3h
2 甲、乙两人相距42km，若相向而行，则需2小时相遇；若同向而行，乙要14小时才能追上甲，则
甲、乙二人每小时各走（ ）
A：12km；9km
B：11km； 10km
C：10km； 11km
D：9km；12km
3 某公司去年的利润（总产值 − 总支出）为200万元．今年总产值比去年增加了 20\% ，总支出比去
年减少了 10\% ，今年的利润为780万元．如果去年的总产值x万元、总支出y万元，则下列方程组
正确的是（ ）
x−y=200
A：{ ，
(1+20%)x−(1−10%)y=780
x−y=200
B：{ ，
(1−20%)x−(1+10%)y=780
x−y=200
C：{ ，
20%x−10%y=780
x−y=200
D：{ ，
(1−20%)x−(1−10%)y=780
4 某车间有56名工人生产螺栓和螺母，每人每天可生产螺栓16个或螺母24个，问怎样分配工人才能
1:2 x y
使每天生产的螺栓和螺母按 配套？设生产螺栓为 人，生产螺母为 人，则方程组可列为
（ ）
x+y=56
A：{ ，
2×16x=24y
x+y=56
B：{ ，
2×24y=16x
x+y=56
C：{ ，
2×16y=24x
x+y=56
D：{ ，
24x=16y
5 某工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而
总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．
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能力强化 / 初一 / 春季
第 8 讲 二元一次方程组的应用
精选精练
1 甲、乙二人跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑
4秒钟就能追上乙，若设甲、乙每秒钟分别跑x，y米，则可列方程组为（ ）
5x=5y+10
A：{ ，
4x−2=4y
5x+10=5y
B：{ ，
4x−4y=2
5(x−y)=10
C：{ ，
4(x−y)=2x
5x−5y=10
D：{ ，
4(x−y)=2y
2 如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是 4 m2 ，广告
30 m2
牌所占的面积是 （厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部
2 m2 x m2 y m2
分的面积多 ．设矩形面积是 ，三角形面积是 ，则根据题意，可列出二元一次方程
组为（ ）
x+y−4=30
A：{
(x−4)−(y−4)=2
x+y=26
B：{
(x−4)−(y−4)=2
x+y−4=30
C：{
(y−4)−(x−4)=2
x−y+4=30
D：{
x−y=2
3 如图所示，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边
形，求白皮、黑皮各多少块？
4 利用二元一次方程组解应用题．
1
1
甲、乙两地相距160km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地以各自的速度匀速相向而行， 3小
时后相遇，相遇后，拖拉机以其原速度继续前进，汽车在相遇处停留1小时后掉头以其原速返回，
汽车再次出发半小时追上拖拉机，这时，汽车、拖拉机各自走了多少路程？
5 小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均
按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如表所示：
购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元
第一次购物 6 5 1140
第二次购物 3 7 1110
第三次购物 9 8 1062
(1)在这三次购物中，第_____次购物打了折扣；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
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6 某大学食堂共有7个大餐厅和3个小餐厅，经过测试，同时开放3个大餐厅和2个小餐厅，可供3160
名学生就餐；同时开放2个大餐厅和3个小餐厅，可供2640名学生就餐．
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅可分别供多少名学生就餐？
（2）若10个餐厅同时开放，能否供全校的6500名学生就餐？请说明理由．
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 一元一次不等式
例题练习题答案
例1 (1)下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A： 2x0
3 1
D：− ≤ x−1
x 2
(2)若(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式，求m的值．
练1.1 (1)下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A：x2+3x>1
y
B：x−
3
<0
1 1
C： − ≤0
x 5
x 1 x−1
D： + >
2 3 3
(2)关于x的不等式 (m−2)xm2−3 >1 是一元一次不等式，则 m= ________．
x+2 x−3
例2 解不等式 3 >1− 2 时，去分母后结果正确的为（ ）
A：2(x+2)>1−3(x−3)
B：2x+4>6−3x−9
C：2x+4>6−3x+3
D：2(x+2)>6−3(x−3)
1+x 2x+1
练2.1 下面是小芳同学解不等式 2 − 3 ≤1 的过程，其中从前一步化简出错的步骤共有
（ ）
3(1+x)−2(2x+1)≤1
①去分母，得 ；
3+3x−4x+1≤1
②去括号，得 ；
3x−4x≤1−3−1
③移项，得 ；
−x≤−3
④合并同类项，得 ；
x≤3
⑤系数化为1，得 ．
A：1个
B：2个
C：3个
D：4个
例3 解下列不等式：
3(1−x)≥2x+9 2(x+5)≤3(x−5)
（1） ；（2） ；
x+3 2x−5 2x−1 5x+2
< −1 − >−1
（3） 5 3 ；（4） 4 6 ．
练3.1 解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
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2x−1 9x+2
x−3(x−1)<8−x − ≤1
（1） ；（2） 3 6 ．
例4 不等式 2(x−1)−3x≤0 的负整数解为________．
x−2 x+2
练4.1 (1)x 的值适合不等式 3 +1≤ 4 ，且 x 是正整数，则 x 的值是（ ）
A：0，1
B：0，1，2
C：1，2
D：1
x−1 2 2x+3
(2)解不等式 2 − 5 >x− 5 ，把解集在数轴上表示出来，并写出它的最大整数
解．
例5 (1)解关于x的不等式：
x+1 x−a
2(x+1)
① ；② 3 2 ．
(2)若不等式 3(x+1)3−m 的解集为 x>5 ，则 m 的值为______；
2x−a
(2)若不等式
3
≥4x+6的解集为x≤−4，则a的值为__________．
例6 (1)若不等式 (a+1)x>a+1 的解集是 x<1 ，那么 a 满足（ ）
A： a<0
B： a>−1
C： a<−1
D： a<1
4
(2)如果关于 x 的不等式 ax<4 的解集为 x> a，写出一个满足条件的 a 的值：____．
练6.1 (1)若关于 x 的不等式 (m+3)x>2m+6 的解集为 x<2 ，则 m 的取值范围是______．
2
(2)如果关于 x 的不等式 (1−k)x>2 的解集为 x< 1−k，则 k 的值可以是（ ）
A：1
B： −1
C：3
D： −3
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 一元一次不等式
自我巩固答案
1 下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个．
x x
x>−3 xy≥1 x2 <3 − ≤1
① ；② ；③ ；④2 3 ；
x+1
⑤ x >1．
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A：1
B：2
C：3
D：4
2
2 已知3 (m+4)x|m|−3+6>0 是关于 x 的一元一次不等式，则 m 的值为（ ）
A：4
B： ±4
C：3
D： ±3
3 解不等式：
4x+5>2(x+1)
（1） ；
4(x−1)+3≤3x
（2） ；
x+4 1−x
2− >
（3） 2 3 ；
y+1 2y−5
− ≥1
（4） 6 4 ．
4 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
2x−1 3x+2
2(4x−1)≥5x−8 ≤ −1
（1） ；（2） 3 4 ．
5 不等式 4(x+1)≤24 的最大整数解是（ ）
A：4
B：5
C：6
D：8
x+3
6 不等式 2 −3≥2(x−3) 的非负整数解有（ ）
A：4个
B：3个
C：2个
D：1个
7 关于 x 的不等式 3x−2a≤−2 的解集如图所示，则 a 的值为（ ）
1
A：−
2
1
B：
2
C： −1
D： 1
1
8 已知不等式3 (x−m)>2−m ，若其解集为 x>3 ，求 m 的值．
9 若 (a−1)x1 ，那么a的取值范围是（ ）
A： a>0
B： a<0
C： a<1
D： a>1
10 若 (a+5)x<2a+10 的解集为 x>2 ，那么a的取值范围是（ ）
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A： a>5
B： a<5
C： a<−5
D： a>−5
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 一元一次不等式
课堂落实答案
1 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A： x+y≥1
1
B：x− ≥2
x
C： x−3>0
x
D： x+ 2 =3
2+x 2x−1
2 解不等式 2 ≥ 3 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
3 不等式 3(x−2)≤5−x 的非负整数解有（ ）
A：1个
B：2个
C：3个
D：4个
1
4 已知不等式 3x− 2 a≤0 的解集为 x≤5 ，则 a 的值为________．
1
5 关于 x 的不等式 (3−2a)x<1 的解集是 x> 3−2a，则 a 的取值范围是________．
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 一元一次不等式
精选精练
1 下列式子中，是一元一次不等式的有（ ）
1
x2+x<1 +2>0 x−3>y+4 2x+3<8
（1） ，（2）x ，（3） ，（4） ．
A：1个
B：2个
C：3个
D：4个
x+9 1−2x 3x−1
2 解不等式： 6 − 3 ≤1+ 2 ．
1 x−2
3 小马虎解不等式2 − 3 >1 出现了错误，解答过程如下：
3−2(x−2)>1
不等式两边都乘以6，得 （第一步）
3−2x+4>1
去括号，得 （第二步）
−2x>−6
移项，合并同类项，得 （第三步）
x<3
解得 （第四步）
（1）小马虎的解答过程是从第______步开始出错的，出错的原因是______________________．
（2）请写出此题正确的解答过程．
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4 已知关于 x 的不等式 2x−m+1>0 的最小整数解为2，则实数 m 的取值范围是（ ）
A： 3≤m<5
B： 31 ，则 a 的值是________．
m+3
6 已知一元一次不等式 mx−3>2x+m ，若它的解集是 x< m−2，求 m 的取值范围．
能力强化 / 初一 / 春季
第 10 讲 一元一次不等式组
例题练习题答案
x>1
例1 (1)不等式组 { x≥2的解集是（ ）
A： x≥2
B： x>1
C： 13
练1.1 (1)不等式组 { x<4的解集是（ ）
A： x>3
B： x<4
C： 3−3
C：{
x≤−1
x>−3
D：{
x≥−1
例2 解不等式组 并将解集在数轴上表示出来．
−2x<6
(1){
3(x+1)≤2x+5
3x−1≥x+1
(2){
2x−1< 5x+1
2
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2(x+1)>x
练2.1 {
解不等式组 1−2x≥ x+7并在数轴上表示它的解集．
2
⎧3x+10>0
例3
不等式组⎩
⎨16
x−10<4x的最小整数解为（ ）
3
A： −2
B： −3
C： −4
D：7
2x−1<3
练3.1 {
不等式组 −x ≤1 的整数解有（ ）个.
2
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例4 解下列不等式组：
−2−3x
−1< <1 4≤1−3x≤7
（1） 4 ； （2） ．
练4.1 代数式 2x−1 的值小于1，但不小于 −1 ，x的取值范围为___________．
x+8<4x−1,
例5 若关于x的不等式组 { x>m 的解集是 x>3 ，则m的取值范围是________．
x+9<5x+1
练5.1 不等式组{ 的解集是x>2，则m的取值范围是（ ）
x>m+1
A： m≤2
B： m≥2
C： m≥1
D： m≤1
x−a>2
例6 若关于x的不等式组 { b−2x>0的解集为 −1b b
练6.1 若关于x的不等式组 { 2x−a<2b+4的解集为 2−2 x>0 x2+10
1 { ， { ， { ， { ，
有下列不等式组：① x<3
；
② x+2>4
；
③ x2+2>4
；
④ x<−7
；
⑤
x+1>0
{ ，
y−1<0.其中一元一次不等式组的个数有（ ）
A：2个
B：3个
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C：4个
D：5个
3x−1>2
2 { ，
不等式组 8−4x≤0的解集在数轴上表示为（ ）
A：
B：
C：
D：
3 不等式组 −2≤x+1<1 的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
2x+1≤3
4 不等式组{ x>−3 ， 的解在数轴上表示正确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
5 (1)解不等式组：
2x−1≥x+1
{ ，
① x+8<4x−1
；
x−3<0
{ ，
② 2(x+1)≤x+3
；
2x−5<0
③{
x−2(x+
，
1)<0
；
⎧ 1
x−13x+3.
1−3x 2x−7
(2)解不等式组： 5 <2≤1− 3 ．
1
6 不等式组− 2 <1−2x<3的解是（ ）
3
A：−1−1
5x−2<3x+4
7 (1)解不等式组： {
3x+3≥x−1.
，①
②
解：解不等式①得：________；解不等式②得：________；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以，这个不等式组的解集是_____________；整数解为_____________．
(2)
⎧x+2(1−2x)≥−4
，
解不等式组⎩ ⎨ x−1< 3+5x 并写出它的所有整数解．
2 ，
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(3)
⎧4(x+1)≤7x+10
，
解不等式组⎩ ⎨ x−5< x−8 并写出它的所有非负整数解．
3 ，
x>m−1
8 关于x的不等式组{ x>m+2 ， 的解集为x>−1，则m的值是（ ）
A： −3
B： −2
C：0
D：1
⎧ 1
9 (x+2)−3>0
不等式组⎩ ⎨ 2 的解集是 x>4 ，那么m的取值范围是（ ）
x>m
A：m≤4
B：m＜4
C：m≥4
D：m＞4
3x−1>4(x−1)
10 关于x的不等式组 { ， 的解集为 x<3 ，那么m的取值范围为（ ）
x3
C：m<3
D：m≥3
能力强化 / 初一 / 春季
第 10 讲 一元一次不等式组
课堂落实答案
3x+1>4
1 { ，
不等式组 2x−1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
x−1≤0
2 { ，
不等式组 2x+4>0的解集在数轴上表示为（ ）
A：
B：
C：
D：
⎧ 1
3 x+1≥3
不等式组⎩ ⎨ 2 ， 的最大整数解为（ ）
x−2(x−3)>0
A：8
B：6
C：5
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D：4
2x−1<3
4 若不等式组 { x0
A：{ ，
x+1≤0
x−3≤0
B：{ ，
x+1>0
x−3<0
C：{ ，
x+1≥0
x−3≥0
D：{ ，
x+1<0
1 3
2 不等式组 x−2< 2 x+1≤2+ 2 x 的最大整数解为（ ）
A： −1
B：0
C：5
D：6
3
⎧⎪x+2>0
不等式组⎩ ⎨
⎪
x−4≥0的解集是_____．
x−6≤0
4 等腰三角形的周长为20，则腰长 x 的取值范围是_____________．
2x−b≥0,
5 若关于x的不等式组 { x+a≤0 的解集为 3≤x≤4 ，则不等式 ax+b<0 的解集为
________．
x−a>−1
6 x { x 0≤x≤4
已知关于 的不等式组 x−a≤2 的解集中任意一个 的值均不在 的范围内，则
a
的取值范围是（ ）
A： a>5 或 a<−2
B： −2≤a≤5
C： −20 ， y>0 ，求a的取值范围．
x+y=1−a
练2.1 已知方程组 { x−y=3a+5的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：
−3m
A： m>2
B： m<2
C： m≥2
D： m≤2
1+x>a
(2)若不等式组{ 无解，则a的取值范围是___________．
2x−4<0
x−3m<0
练4.1 (1)若关于x的一元一次不等式组 { x+2m>7无解，则m的取值范围为（ ）
7
A：m≤
5
7
B：m>
5
7
C：m>−
5
7
D：m≤−
5
t−2(t−1)≤3
(2) 关于x的方程 3x+m=7 的解是正整数，且关于t的不等式组 { 2m+2+t ≥t 有解，
3
则符合条件的整数m的值的和为（ ）
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A：4
B：5
C：3
D： −2
例5 若关于x的不等式 30 的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ）
A： 4≤m<7
B： 4−1的整数解有5个，则a的取值范围是_____．
能力强化 / 初一 / 春季
第 11 讲 含参不等式
自我巩固答案
3x−2y=3t+2
1 x y { A=x−2y −12016
B：a<2016
C：a>505
D：a<505
2x+y=1+3m
3 已知关于x，y的方程组 { x+2y=1−m的解x，y满足 x+y<1 ，且m为正数，求m的取
值范围．
x+y=2a+7
4 已知关于x，y的方程组 { x−2y=4a−3．
(1)若 a=2 ，求方程组的解；
(2)若方程组的解x，y满足 x>y ，求a的取值范围并化简 |8a+11|−|10a+1 ． |
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x−m≥0
5 若关于x的不等式组 { 5−2x≥0有解，则m的取值范围是？
x−m<0
6 关于x的不等式组 { 3x−1>2(x−1)无解，那么m的取值范围为（ ）
A： m≤−1
B： m<−1
C： −1k 无解，则 k 的取值范围是（ ）
A： k≤2
B： k<1
C： k≥2
D： 1≤k<2
x−a≥0
(2)已知关于 x 的不等式组 { 5−2x>1 只有四个整数解，则实数 a 的取值范围是_______．
(3)定义 [x] 表示不大于x的最大整数，即x的整数部分．例如 [4.7]=4 ．
[π]= [2]= [−1.4]=
①根据定义， ________， ________， _________；
②比较x、 x+1 、 [x] 、 [x]+1 的大小关系，按照从小到大的顺序用不等号连接的结果为
_________________；
1 1
[3x− ]=2x+
③解方程： 2 4．
−1(x−a)>0
8 若整数a使关于x的方程 x+2a=1 的解为负数，且使关于x的不等式组 { x− 2 1≥ 2x+1 无
3
解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A：5
B：7
C：9
D：10
x+3y=3−2k
9 关于x，y的方程组 { 3x+y=1+k 的解满足 x+y>0 ，且关于x的不等式组
x−2(x−1)≤3
{ 2k+x ≥x 有解，则符合条件的整数k的值的和为（ ）
3
A：2
B：3
C：4
D：5
x−a>0
10 已知关于x的不等式组 { 3x+4<13有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A： a>−1
B： −1≤a<0
C： −1y>0 ，求a的取值范围．
2x−1<3
2 若不等式组 { x
3
5
D：m⩾
3
x≤m+1
4 若关于x的不等式组 { x+4≥3(m+1)无解，则m的取值范围是__________．
5 已知关于x的不等式 a≤x0
2 如果关于x的不等式组 { 8x−b<0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b
(a,b)
的有序数对 共有_______个．
3 阅读以下材料：
对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最
−1+2+3 4
−1 = = −1 =−1 −1
小的数．例如：M{ ，2，3} 3 3；min{ ，2，3} ；min{ ，2，
a(a≤−1),
a} ={
−1(a>−1).
解决下列问题：
（1）填空：如果min{2， 2x+2 ， 4−2x } =2 ，则x的取值范围为________．
（2）如果M{2， x+1 ，2x} = min{2， x+1 ，2x}，求x．
4 社会主义核心价值观“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚
信、友善”体现了社会主义核心价值理念．我们用“核心符号” [x] 来表示不大于x的最大整数（如
[1.5]=1 ， [−1.5]=−2 ，我们把满足 [x]=a （a为常数）的x取值范围叫做x的核心范围)(如
[x]=3 的x的核心范围为 3≤x<4 , [x]=−1 的x的核心范围为 −1≤x<0 ）．
(1)请直接写出 [2.6] 的值和 [x]=1 的x的核心范围；
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x>[−1.2],
(2)已知关于x的不等式 {
x0
例题：对于 ，这类不等式我们可以通过下面的解题思路来分析：
x−2>0, x−2<0,
{ {
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得① x−4>0，② x−4<0，从而
将陌生的高次不等式化为学过的一元一次不等式组，分别去解两个不等式组即可求得原不等式的
解集，即：
x>4 x<2
解不等式组①得 ，解不等式组②得 ，
(x−2)(x−4)>0 x>4 x<2
所以， 的解集为 或 ．
请利用上述解题思想解决下面的问题：
(1)请直接写出 (x−2)(x−4)<0 的解集；
m
(2)对于n >0 ，请根据除法法则化为我们学过的不等式（组）；
x+3
(3)求不等式x−1 >0 的解集．
6 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
x2−4>0
例题：解一元二次不等式 ．
x2−4=(x+2)(x−2)
解：∵ ，
x2−4>0 (x+2)(x−2)>0
∴ 可化为 ．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
x+2>0, x+2<0,
得①{ x−2>0，②{ x−2<0，
x>2
解不等式组①，得 ，
x<−2
解不等式组②，得 ．
x2−4>0 x>2 x<−2
∴ 的解集为 或 ，
x2−4>0 x>2 x<−2
即一元二次不等式 的解集为 或 ．
x2−16>0
（1）一元二次不等式 的解集为____________；
x−1
>0
（2）分式不等式x−3 的解集为_________________．
能力强化 / 初一 / 春季
第 12 讲 不等式（组）的应用
例题练习题答案
例1 在一次奥运知识竞赛中，共有25道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对
得4分，不选或错选扣2分，如果得分不低于60分才能得奖，那么要得奖至少应答对多少道题？
练1.1 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场扣一分．某队预计在2018-2019
赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛，假设这个队在将要举行的比赛中胜x
场，要达到目标，x应满足的关系式是（ ）
A： 3x+(32−x)≥48
B： 3x−(32−x)≥48
C： 3x−(32−x)≤48
D： 3x≥48
例2 小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下；若每户每月用水不超过5立方米，则
每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用
水量至少是多少？
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练2.1 某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：
一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度）
0400
0.78
七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过200元，直接写出李叔家七月份最多可用电
的度数是（ ）
A：100
B：396
C：397
D：400
例3 某市出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元付费，不足1千米
按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路为x千米，则x应满足的关系式为（ ）
A： 14.6−1.2<5+1.2(x−3)≤14.6
B： 14.6−1.2≤5+1.2(x−3)<14.6
C： 5+1.2(x−3)=14.6−1.2
D： 5+1.2(x−3)=14.6
练3.1 某出租车收费标准是：起步价6元（即行驶距离不超过3千米需付6元车费），超过3千米后，每增
1.4
加1千米加收 元（不足1千米按1千米计算），某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费
17.2 元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，则x的最大值是（ ）
A：13
B：11
C：9
D：7
例4 八年级某班的部分同学带着树苗去植树，若平均每人植树7棵，则还剩9棵；若平均每人植树9棵，
则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x，下列各项能反映出同学人数与种植树木的数
量之间关系的是（ ）
A： 7x+9−9(x−1)>0
B： 7x+9−9(x−1)<8
C： 0<7x+9−9(x−1)<8
D： 0≤7x+9−9(x−1)≤8
练4.1 若干名学生住宿舍，每间住4人，2人无处住；每间住6人，空一间还有一间不空也不满，问多少学
生多少宿舍？设有x间宿舍，则可列不等式（组）为__________．
例5 “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书
馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需
1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：采购的文学名著价格都一样，采购的动漫书
价格都一样）.
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不
超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
练5.1 某工厂计划招聘A、B两个工种的工人120人，已知A、B两个工种的工人的月工资分别为800元和
1000元，若要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，且该工厂每月支付的工人工资不超过
112400元，那么该工厂有几种招聘工人的方案（ ）
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A：1
B：2
C：3
D：4
例6 某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共40件，
生产A、B两种产品用料情况如下表：
需要用甲原料 需要用乙原料
一件A种产品 7kg 4kg
一件B种产品 3kg 10kg
若设生产A产品x件，求x的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案．
练6.1 某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10
辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．
(1)请你帮助学校设计所有可行的租车方案；
(2)如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，请问哪种可行方案使租车费用最
省？
能力强化 / 初一 / 春季
第 12 讲 不等式（组）的应用
自我巩固答案
1 某公司经营甲、乙两种商品，甲种商品每件进价10万元，乙种商品每件进价6万元，现准备购进
甲、乙两种商品共7件，所用资金不低于54万元，不高于62万元，该公司共有进货方案（ ）
A：2种
B：3种
C：4种
D：5种
2 某公司经营A，B两种商品，A种商品每件进价9万元，B种商品每件进价5万元，现准备购进A，B
两种商品共20件，所用资金不低于145万元，不高于160万元，该公司共有进货方案（ ）
A：2种
B：3种
C：4种
D：5种
3 某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足
（ ）
A： n≤m
100m
B：n≤
100+m
m
C： n≤ 100+m
100m
D：n≤
100−m
4 某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小英得分不低于90分．设她
答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
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A：10x−5(20−x)⩾90
B：10x−5(20−x)>90
C：10x−(20−x)⩾90
D：10x−(20−x)>90
5 某市区现行出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千
1 5
米后，每增加1千米，加收 ． 元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共
付车费11元，那么甲地到乙地路程的最大值是（ ）
A：5千米
B：7千米
C：8千米
D：9千米
6 周末，小明带200元去图书大厦，下表记录了他全天的所有支出，其中小零食支出的金额不小心被
涂黑了，如果每包小零食的售价为15元，那么小明可能剩下多少元？（ ）
支出 早餐 购买书籍 公交车票 小零食
金额（元） 20 140 5
A：5
B：10
C：15
D：30
7 一群学生去露营，如果每顶帐篷住4名学生，则还有19名学生需要露宿田野，如果大家挤一挤，每
6名学生住一顶帐篷，则有一顶帐篷里不空也不满．请问一共带了多少帐篷？一共多少学生？
8 某中学准备购进A，B两种教学用具共40件，A种每件价格比B种每件价格贵8元，同时购进2件A种
教学用具和3件B种教学用具恰好用去116元．
（1）求A，B两种教学用具的单价各是多少元？
（2）学校准备用不少于880元且不多于900元的金额购买A，B两种教学用具，问A种教学用
具最多能购买多少件？
9 为了更好改善河流的水质，治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其
中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购
买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 240 200
（1）求a，b的值；
（2）治污公司经预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方
案；
（3）在（2）的条件下，若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司
设计一种最省钱的购买方案．
10 某公司有A、B两种客车，它们的载客量和租金如下表，星星中学根据实际情况，计划用A、B型车
共5辆，同时送七年级师生到校基地参加社会实践活动．
A B
载客量（人/辆） 40 20
租金（元/辆） 200 150
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(1)若要保证租金费用不超过980元，请问该学校有哪几种租车方案？
(2)在（1）的条件下，若七年级师生共有150人，问哪种租车方案最省钱？
能力强化 / 初一 / 春季
第 12 讲 不等式（组）的应用
课堂落实答案
1 x 的4倍与2的和是负数用不等式表示为_________．
2 a的2倍与3的差不小于5，用不等式表示为 ．
3 某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就
超过了原来20天的产量．若设原来每天最多能生产x辆，则关于x的不等式为（ ）
A： 15x>20(x+6)
B： 15(x+6)≥20x
C： 15x>20(x−6)
D： 15(x+6)>20x
4 某种笔记本原售价是每本6元，凡一次购买两本或以上可享受优惠价格，第1种：两本按原价，其
余按七折优惠；第2种：全部按原价的八折优惠，若在购买数量相同的情况下，要使第1种比第2种
更优惠，则至少购买笔记本（ ）本．
A：7
B：6
C：5
D：4
5 某次知识竞赛，共有20道题，每小题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过85分，
他至少要答对（ ）道题．
A：11
B：12
C：13
D：14
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第 12 讲 不等式（组）的应用
精选精练
1 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但
要保证利润率不低于5%，则至多可打 折．
2 某公司经营甲、乙两种商品，甲种商品每件进价10万元，乙种商品每件进价6万元，现准备购进
甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于170万元，不高于180万元，该公司共有进货方案（ ）
A：2种
B：3种
C：4种
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D：5种
3 元旦联欢会上，班级为同学们买了一批小礼物，如果每个人分3个，还多5个；如果每个人分4个，
就会有一个人能分到但分不到4个，若已知班级学生的人数是奇数，试问这些小礼物共有多少个？
4 小明和小新同时上学，从家到学校的距离都是2km，他们走路的速度是6km/h，跑步的速度为
10km/h，请你根据以上信息，设计一个可以用一元一次不等式解决的问题，并给出解决方案．
5 黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每人60
元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座
车每人10元．公司职工正好坐满每辆车，且加上门票总费用不超过5000元，问公司租用的四座车
和十一座车各多少辆？
6 (1)去年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材
48000m2和B种板材24000m2的任务．
①如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60m2或B种板材40m2，请
问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
②某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知搭建一
间甲板房和一间乙板房所需要板材及安置人数如下表所示，问这400间板房最多能安置多少灾
民？
板房 A种板材（m2） B种板材（m2） 安置人数(人)
甲型 108 61 12
乙型 156 51 10
(2)玉柴一分厂计划一个月（按30天计）内生产柴油机500台．
①若只生产一种型号柴油机，并且每天生产量相同，按原先的生产速度，不能完成任务；如
果每天比原先多生产1台，就能提前完成任务，问原先每天生产多少台？
②若生产甲、乙两种型号柴油机，并且根据市场供求情况确定：乙型号产量不超过甲型号的3
倍，已知：甲型号出厂价2万元，乙型号出厂价5万元，求总产量W最大是多少万元？
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第 13 讲 数据统计
例题练习题答案
例1 (1)为了解某校初一 400 名学生的体重情况，从中抽查了 50 名学生的体重进行统计分析，这个问
题中的总体是指（ ）
A：初一 400 名学生
B：被抽取的 50 名学生
C：初一 400 名学生的体重情况
D：被抽取的 50 名学生的体重
(2)为了检查一批零件的长度，从中取 50 个进行检测，在这个问题中个体是（ ）
A：零件长度的全体
B： 50
C： 50 个零件
D：每个零件的长度
(3)每年的4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情
况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（ ）
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A：500名学生
B：所抽取的 50 名学生对“世界读书日”的知晓情况
C： 50 名学生
D：每一名学生对“世界读书日”的知晓情况
(4)学校以年级为单位开展广播操比赛，全年级有13个班级，每个班级有50名学生，规定每班抽
25名学生参加比赛，这时样本容量是（ ）
A：13
B：50
C：650
D：325
练1.1 为检测某型号电池的使用寿命，从中抽取10块电池进行测试，在这个问题中，所抽取的10块电池
的使用寿命是（ ）
A：总体
B：个体
C：总体的一个样本
D：样本容量
例2 吴京导演的《战狼2》票房已经突破50亿，其中的一句“犯我中华者，虽远必诛”更是传遍大江南
北！为估计单县8000名九年级学生看过《战狼2》的人数，随机抽取400名九年级学生，发现其中
有150名学生看过，由此估计全县九年级学生中有_____名学生看过《战狼2》．
练2.1 为了估计某鱼塘里鱼的条数，先捕捞30条鱼，给它们分别做上标记，然后放回鱼塘中，待有标记
的鱼完全混合于鱼群后，第二次捕捞出80条鱼，发现其中2条有标记，从而估计这个鱼塘中有
_____条鱼．
例3 (1)如图是甲、乙两公司近年销售收入情况的折线统计图，根据统计图得出下列结论，其中正确
的是（ ）
A：甲公司近年的销售收入增长速度比乙公司快
B：乙公司近年的销售收入增长速度比甲公司快
C：甲、乙两公司近年的销售收入增长速度一样快
D：不能确定甲、乙两公司近年销售收入增长速度的快慢
(2)如图，这是某地 2014 年和 2015 年粮食作物产量的条形统计图，请你根据此图判断下列说法
合理的是（ ）
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A： 2015 年三类农作物的产量比 2014 年都有增加
B：玉米产量和杂粮产量增长率相当
C： 2014 年杂粮产量是玉米产量的约七分之一
D： 2014 年和 2015 年的小麦产量基本持平
练3.1 (1)如图为某产品产量增长情况统计图，下列说法正确的是( )
A：产量持续增长
B：产量有增有减
C：开始产量不变
D：条件不足，无法判断
(2)2019年1月10日，绿色和平发布了全国74个城市 PM2.5 浓度年均值排名和相应的最大日均
值，其中浙江省六个地区的浓度如图(舟山的最大日均值条形图缺损)，以下说法中错误的是
（ ）
A：这6个地区中，最大日均值最高的是绍兴
B：杭州的年均值约是舟山的2倍
C：舟山的最大日均值不一定低于丽水的最大日均值
D：这6个地区中，低于国家环境空气质量标准规定的年均值35微克每立方米的地区只有舟
山
例4 某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样的方法，从阅读、运动、娱乐、其它四
个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图
1，图2），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次研究中，一共调查了多少名学生？
(2)“其它”在扇形图中所对应的圆心角是多少度？
(3)补全折线统计图．
练4.1 为了解某地区30万电视观众对新闻、动画、娱乐三类节目的喜爱情况，按照老年人、成年人、青
少年各年龄段实际人口3∶5∶2的比例，随机抽取一定数量的观众进行调查，得到如下统计图：
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（1）上面所用的调查方法是______(填“全面调查”或“抽样调查”)；
（2）写出折线统计图中A、B所代表的值；
A：_________ B：__________
（3）求该地区喜爱娱乐节目的成年人的人数．
例5 为了解上一次八年级数学测验成绩情况，随机抽取了40名学生的成绩进行统计分析，这40名学生
的成绩数据（单位：分）如下：
55 62 67 53 58 83 87 64 68 85
60 94 81 98 51 83 78 77 66 71
91 72 63 75 88 73 52 71 79 63
74 67 78 61 97 76 72 77 79 71
(1)将样本数据适当分组，制作频数分布表：
分 组
频 数
(2)根据频数分布表，绘制频数分布直方图：
(3)从图可以看出，这40名学生的成绩都分布在什么范围内？分数在哪个范围的人数最多？
练5.1 小龙在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的家庭收入情况．他从中随
机调查了40户居民家庭收入情况（收入取整数，单位：元），并绘制了如下的频数分布表和频数
分布直方图．
分组 频数 百分比
600≤x<800
2 5%
800≤x<1000
6 15%
1000≤x<1200
_____ 45%
_________ 9 22.5%
_________ _____ ______
1600≤x<1800
2
合计 40 100%
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根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布表．
(2)补全频数分布直方图．
(3)请你估计该居民小区家庭属于中等收入（大于等于1000不足1600元）的大约有多少户？
例6 某校七年级共有800名学生，准备调查他们对“低碳”知识的了解程度．
(1)在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案：
方案一：调查七年级部分女生；
方案二：调查七年级部分男生；
方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生．
请问其中最具有代表性的一个方案是_____；
(2)团委采用了最具有代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图（如图
1、图2所示），请你根据图中信息，将两个统计图补充完整；
(3)在扇形统计图中，“比较了解”所在扇形的圆心角的度数是_____；
(4)请你估计该校七年级约有_____名学生比较了解“低碳”知识．
练6.1 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动．对社区部分捐款户数
进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐
款户数的比为1：5．请结合图中相关数据回答下列问题．
捐款分组统计表
组别 捐款额（x）元
A 10≤x<100
B 100≤x<200
C 200≤x<300
D 300≤x<400
E x≥400
请结合以上信息解答下列问题．
(1)A组捐款户数为________，本次调查样本的容量________；
(2)C组捐款户数为________，请补全“捐款户数直方图”；
(3)若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是多少？
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能力强化 / 初一 / 春季
第 13 讲 数据统计
课堂落实答案
1 下列调查中，不适合采用抽样调查的是（ ）
A：了解全国中小学生的睡眠时间
B：了解全国初中生的兴趣爱好
C：了解江苏省中学教师的健康状况
D：了解航天飞机各零部件的质量
2 新泰市2019级四年制学生人数约为 1.33 万名，从中抽取300名学生的八年级上学期期中考试数学
成绩进行分析，在本次调查中，样本指的是（ ）
A：300名考生的数学成绩
B：300
C： 1.33 万名考生的数学成绩
D：300名考生
3 蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82，56，69，86，
112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是（ ）
A：折线统计图
B：频数分布直方图
C：条形统计图
D：扇形统计图
4 超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市顾客在收银台排队付款的等
待时间，并绘制成如下的频数分布直方图（图中等待时间6分钟到7分钟表示大于或等于6分钟而小
于7分钟，其它类同）．这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为（ ）
A：5
B：7
C：16
D：33
5 某校七年级的赵明同学为了了解本年级上学期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分），
随机抽取部分学生的成绩做了统计分析，绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图：
49.5 59.5 59.5 69.5 69.5 79.5 79.5 89.5 89.5 100.5
分组 ～ ～ ～ ～ ～ 合计
a n
频数 2 20 16 4
4 16 m 32 b 1
占调 ％ ％ ％
查
总
人
数
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的
百
分
比
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）分布表中 a= _____，b=______， m= ______， n= _____（直接填结果）；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩为80分及以上者为优秀，已知该年级共有学生600人，请你估计一下这次考试优秀人
数约为多少？
能力强化 / 初一 / 春季
第 14 讲 期末复习
例题练习题答案
例1 如图， AB//CD ， EG 、 EM 、 FM 分别平分 ∠AEF 、 ∠BEF 、 ∠EFD ，则下列结论正确
( )
的有
∠DFE=∠AEF
① ；
∠EMF =90∘
② ；
EG//FM
③ ；
∠AEF =∠EGC
④ ．
A：1个
B：2个
C：3个
D：4个
例2 如图，下列推理所注理由正确的是 ( )
A： ∵DE//BC ， ∴∠1=∠C （同位角相等，两直线平行）
B： ∵∠2=∠3 ， ∴DE//BC （两直线平行，内错角相等）
C： ∵DE//BC ， ∴∠2=∠3 （两直线平行，内错角相等）
D： ∵∠DEC+∠C=180∘ ， ∴DE//BC （两直线平行，同旁内角互补）
例3 (1)在实数： −(−3.14159) ， 1.010010001… （相邻两个1之间依次多一个 0) ，
−(−1)2013 −|− 3 | 4.2˙1˙ π 22
， 4， ，3， 7 中，无理数有 个．
(2)下列说法正确的有（ ）
①实数中，只有0的绝对值和相反数相等；
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②绝对值最小的实数是零；
③数轴上的点都表示有理数；
–
√2
④最小的正无理数是 ；
⑤有理数与无理数的和与积都是无理数；
⑥有理数经过加减乘除乘方运算不可能得到无理数；
⑦无理数经过加减乘除乘方运算不可能得到有理数．
A：①③
B：④⑥
C：③⑥
D：②⑥
−−
例4 若 √15 的整数部分为a，小数部分为b．
(1)求a，b的值．
−−
(2)求
a2+b−√15
的值
例5 如图所示，平面直角坐标系中，每一个小方格代表一个单位长度．
（1） A 点坐标为________，B点坐标为________，C点坐标为________；
D(5,−6) E(−7,−3)
（2）在图中标出 、 ；
△ABC
（3）求 的面积．
例6 如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．
(1)已知点 A 在第四象限,且到 x 轴距离为 1 ,到 y 轴距离为 5 ,求点 A 的坐标;
(2)在(1)的条件下,已知点 B(a+1,−2a+10) ,且点 B 在第一、三象限的角平分线上,判断
△OAB
的形状.
x+ay=5 x=2
例7 (1) { a {
甲、乙两人解同一个方程组： bx−y=1，甲看错了系数 ，解得 y=5；乙看错了
x=3
b {
系数 ，解得 y=1，则方程组正确的解是___________．
ax+by=2 x=1
(2)小刚和小明解同一个关于 x 、 y 的方程组 { cx−3y=5，小刚正确地解得 { y=−1，而
x=2
c { a+2b+3c=
小明把 抄错了，解得 y=6，则 ___________．
2x+5y=−26 mx+ny=−8
例8
已知关于
x
、
y
的方程组
{
mx−ny=−4 与
{
3x−5y=36 的解相同.
(1)求 m 、 n 的值.
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(2)求m＋36n的算术平方根.
例9 学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能
力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
/
汽车运载量（吨 辆） 5 8 10
/
汽车运费（元 辆） 400 500 600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几
辆？
（2）若该学校决定用甲、乙、丙三种汽车共15辆同时参与运送，你能求出参与运送的三种汽车车
辆数吗？（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送）
例10 某旅行社暑假期间面向学生推出“西溪湿地一日游”活动，甲、乙两所学校参加该活动，收费标
准如下：
m 0200
人数 （人）
/
收费标准（元 人） 90 85 75
已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校
分别组团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费18000元．
（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？
（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？
a b
（3）现从甲校抽调 人，从乙校抽调 人，去参加体验活动．甲校每位成员必须参加5个项目，乙
n
校每位成员必须参加4个项目，他们一共参加了420次项目体验活动，是否存在一个正整数 ，使
b a n
得 是 的正整数倍？若存在，请求出这个 ，若不存在，请说明理由．
2x+1 x+5
例11 题目： 3 − 2 ≥□
学生：老师，小聪把这道题后面的部分擦掉了．
x
老师：哦，如果我告诉你这道题的正确答案是 ≥7，且后面□是一个常数项，你能把这个常数项补
上吗？
学生：我知道了．
根据以上的信息，请你求出□中的数．
x+2y=1
例12 已知关于x、y的方程组 { x−2y=m．
(1)求这个方程组的解；
(2)当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1，y不小于 −1 ．
x−y=3
例13 已知关于x、y的方程组 { 2x+y=6a的解满足不等式 x+y<3 ，实数a的取值范围为
（ ）
A： a<0
B： a<1
C： 01
例14 今年湖南石门的橘子又是大丰收，为了争取利润最大化，老张决定从石门运橘子到山东，再从山
东运苹果到石门，已知甲车一次可以运12吨，每箱苹果的重量是橘子重量的两倍．
（1）若该车每次运输都刚好装满12吨，每次所运的橘子比苹果多400箱，每箱橘子多少千克？
（2）老张要从石门运102吨橘子到山东，现用甲、乙两种汽车共6辆，且乙车一次可以运20吨．
①至少需要用几辆乙车？
②若甲车每辆的运输费为3500元，乙车每辆的运输费为5000元，运这些橘子到山东至少需要多少
运费？
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例15 国家环保局统一规定，空气质量分为5级．当空气污染指数达0-50时为1级，质量为优；51-100时
为2级，质量为良；101-200时为3级，轻度污染；201-300时为4级，中度污染；300以上时为5
级，重度污染．某城市随机抽取了2019年某些天的空气质量检测结果，并整理绘制成如图两幅不
完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：
(1)本次调查共抽取了________天的空气质量检测结果进行统计；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中 3 级空气质量所对应的圆心角为_______°；
(4)如果空气污染达到中度污染或者以上，将不适宜进行户外活动，根据目前的统计，请你估计
2019年该城市有多少天不适宜开展户外活动．（2019年共365天）
能力强化 / 初一 / 春季
第 14 讲 期末复习
自我巩固答案
1 下列说法中，正确的说法有几个 ( )
①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直；
a b c a⊥b b⊥c a⊥c
② ， ， 是直线，若 ， ，则 ；
P m P
③过直线外一点 向直线 作垂线段，这条垂线段就是点 到直线的距离；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
A：1个
B：2个
C：3个
D：4个
2 如图，已知DC∥FP， ∠1=∠2∠FED=28∘∠AGF =80∘FH 平分 ∠EFG ．
(1)说明：DC∥AB；
(2)求∠PFH的度数．
3 有下列说法: ①任何无理数都是无限小数; ②有理数与数轴上的点一一对应; ③在数轴上,原点两旁
π −−
的两个点所表示的数都是互为相反数; ④3是分数,它是有理数. ⑤√81的算术平方根是9. 其中正
确的个数是（ ）
A：1
B：2
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C：3
D：4
4 已知点 P(a−1,a+3) 位于二、四象限的角平分线上，则 a 的值为（ ）
A：−1
B：0
C：1
D：2
x−m>0
5 x { m ( )
关于 的不等式组 2x−3≥3(x−2)恰有五个整数解，那么 的取值范围为
A： −2≤m<−1
B： −20解集为 2−2的解集表示在数轴上，正确的表示方法是（ ）
A：
B：
C：
D：
x<6
10 若关于x的不等式组 { x≥a有解，则 a 的取值范围是（ ）
A： a<6
B： a≤6
C： a>6
D： a≥6
11 如图，直线a，b被直线c所截，a∥b， ∠1=∠2 ，若 ∠3=40∘ ，则 ∠4= _____________°．
12 将 π+1 、 √
−
2
−
7 、
√3−
5
−
0 、 |√
−
1
−
2
−
0−4| 用“ < ”连接的结果为____________________________．
13 若点 P(2m−1,3−m) 在第四象限，则m的取值范围是______________．
14 若 (x+2y−1)2+√ − 3 − x − − −− y −− + −− 2=0 ，则 x+y= __________．
x+1
15 不等式 2 +a≥3 的解集为 x≥1 ，则 a= ___________．
⎧ x+1 x−1
16 <
不等式组⎩ ⎨ 3 2 的整数解有_________个．
x≤10
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x>1
17 若关于x的不等式组 { x≤a仅有4个整数解，则a的取值范围是__________．
18 一个机器人从平面直角坐标系原点出发，按下列程序运动：第一次先沿x轴正方向前进3步，再沿y
轴正方向前进3步到达 A 1 (3,3) 点：第二次运动是由 A 1点先沿x轴的负方向前进2步，再沿y轴负
方向前进2步到达 A 2 (1,1) 点；第三次运动是由 A 2点先沿x轴正方向前进3步，再沿y轴正方向前
进3步到达点 A 3；第四次运动是由 A 3点先沿x轴的负方向前进2步，再沿y轴负方向前进2步到达
A
4点；……，以后的运动按上述程序交替进行．己知该机器人每秒走1步，且每步的距离为1个单
位．
A k=
（1）若第30秒时它到达点 k，则 _________；
A A
（2）该机器人到达点 99时，一共运动了_____秒， 99的坐标是_________．
19 解下列二元一次方程组：
x
⎧⎪ +3(y−1)=8
3x−y=2 2
（1）{ 2x+3y=10 （2） ⎩ ⎨ ⎪2(x−2)+ y =5
3
20 解下列一元一次不等式组：
⎧ x+1 x
3x−1<2x+5 ≤ +1
（1） { 2x≥3 （2）⎩ ⎨ 4 3
2(x−1)≤3
21 如图，直线AB，CD被直线EF，GH所截，且 ∠1=∠2 ．
∠3+∠4=180∘
求证： ．
请将以下推理过程补充完整：
证明：∵直线AB，CD被直线EF所截
∠2=∠5
∴ （___________________）
∠1=∠2
又∵ （___________________）
∠1=∠5
∴ （___________________）
∴______∥_______ （___________________）
∠3+∠4=180∘
∴ （___________________）
22 列方程（组）、不等式（组）解应用题：
班委会决定，选购圆珠笔、钢笔共22支作为奖品．已知圆珠笔每支5元，钢笔每支6元．
（1）若购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？
（2）若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种
选购方案．
23 列方程（组）、不等式（组）解应用题：
在一次知识竞赛中，甲、乙两人进入了“必答题”环节．规则是：两人轮流答题，每人都要回答
20个题，每个题回答正确得m分，回答错误或放弃回答扣n分．当甲、乙两人恰好都答完12个题
时，甲答对了9个题，得分为39分；乙答对了10个题，得分为46分．
（1）求m和n的值；
（2）规定此环节得分不低于60分能晋级，甲在剩下的比赛中至少还要答对多少个题才能顺利晋
级？
24 如图，A、B、C和D、E、F分别在同一直线上，且 ∠FGE=∠BHC ， ∠A=∠D ．求证：
∠F =∠C
.
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25 某校为了解学生的安全意识情况, 在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查, 根据调查结果, 把
学生的安全意识分成“淡薄”“一般”“较强”“很强”四个层次, 并绘制成如下两幅尚不完整的
统计图:
根据以上信息, 解答下列问题:
(1)这次调查一共抽取了______名学生. 在扇形统计图中, “淡薄”所在的扇形对应的圆心角的度数
是______, 其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是______;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)该校有2400名学生, 现要对安全意识为“淡薄”“一般”的学生强化安全教育, 根据调查结果,
估计全校需要强化安全教育的学生约有多少名?
26 若 (a−2b+3c+4)2+(2a−3b+4c−5)2 ≤0 ，则 6a−10b+14c−3= ________．
27 定义 [x] 表示不大于x的最大整数，例如 [3.5]=3 ， [2]=2 ， [−1.2]=−2 ．
x x−1 [x]
（1）将 、 、 按照从小到大的顺序用不等号连接：_______________；
1
[2x+1]=3x+
（2）利用（1）中的结论，方程 2的解为___________________．
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