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能力提高 / 初三 / 秋季
第 1 讲 一元二次方程的解法
例题练习题答案
x (k2 −1)x2 +2(k−1)x+2k+2 = 0 k
例1 (1)关于 的方程 ，当 ____时，方程为一元二次方
程．
x ax2 +bx+c = 0 −1 a+c
(2)已知关于 的一元二次方程 有一个根为1，有一个根为 ， 的值
为______．
m x (m−1)x|m|+1 +3x−2 = 0
练1.1 (1)当 ___________时，关于 的方程 是一元二次方程．
x (a−1)x2 +x+|a|−1 = 0 a
(2)已知关于 的一元二次方程 有一个根为0， 的值为
___________．
例2 (1)用直接开方法解方程：
x2 −9 = 0
① ；
4(x−2)2 −36 = 0
② ；
(2x−5)2 = (3x−1)2
③ ．
(2)用配方法解方程：
x2 +2x−1 = 0
① ；
−2x2 −5x+10 = 0
② ．
例3 用公式法解下列一元二次方程：
x2 −x−2 = 0
（1） ；
2x2 −5x−1 = 0
（2） ；
0.3y2 +y = 0.8
（3） ；
–
x2 −3√2x+3 = 0
（4） ．
例4 用因式分解法解方程：x2 −6x+5 = 0
(1)
x(x−4)+5(x−4) = 0
(2)
练4.1 用因式分解法解方程：
x2 +2x−15 = 0 2x2 −9x−5 = 0
（1） ；（2） .
练4.2 按要求解下列一元二次方程：
2x2 +4x−7 = 0
(1) （配方法）．
2x2 −3x+2 = 0
(2) （公式法）．
x2 −7x+10 = 0
(3) （用适当方法）．
5(x+1)2 = 7(x+1)
(4) （用适当方法）．
x x2 +(m−1)x−m = 0 m
例5 (1)求证：关于 的方程 （其中 是实数）一定有实数根．
m x x2 −2mx+6m−10 = 0
(2)求证：不论 为任何实数，关于 的方程 总有两个不相等的实
数根．
x 2x2 −3kx−1 = 0
练5.1 求证：关于 的方程 一定有两个不相等的实数根．
x x2 +(m+3)x+m+1 = 0 m
练5.2 已知关于 的一元二次方程 ．求证：无论 取何值，原方程总
有两个不相等的实数根．
x mx2 −(m+2)x+2 = 0 m
例6 已知关于 的方程 ．证明：不论 为何值时，方程总有实数根．
例7 已知关于x的一元二次方程 mx2 +2x−1 = 0 （ m 为常数）没有实数根，则m的取值范围是
_____．
x −2kx2 −4x−k = 1 k =
练7.1 (1)若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 __________．
x (m+2)x2 −3x+1 = 0 m
(2)已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为
（ ）
1
A： m < 且 m ≠ −2
41
B： m < − 且 m ≠ −2
4
1
C： m <
4
1
D： m < −
4
x 3x2 +4x+m = 2 m =
练7.2 (1)已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ______．
x k2x2 +2(k−1)x+1 = 0 k
(2)关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围为（ ）
1
A： k <
2
1
B： k ≤
2
1
C： k < 且 k ≠ 0
2
1
D： k ≤ 且 k ≠ 0
2
例8 当m为何值时，关于x的方程 (m2 −4)x2 +2(m+1)x+1 = 0 有实根．
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第 1 讲 一元二次方程的解法
自我巩固答案
–
1 关于x的一元二次方程 (a−√3)x2 +x+a2 −3 = 0 的一个根是0，则a的值为（ ）
–
−√3
A：
–
√3
B：
– –
√3 −√3
C： 或
1.5
D：
(x−2)2 = 9
2 一元二次方程 的两个根分别是（ ）
x = 1 x = −5
A： 1 ， 2
x = −1 x = −5
B： 1 ， 2x = 1 x = 5
C： 1 ， 2
x = −1 x = 5
D： 1 ， 2
3x2 −6x+1 = 0
3 用配方法解方程 ，则方程可变形为（ ）
1
A： (x−3)2 =
3
1
B： 3(x−1)2 =
3
(3x−1)2 = 1
C：
2
D： (x−1)2 =
3
4 下列用因式分解法解方程正确的是（ ）
(x−2)(x+1) = 0 x−2 = 0
A： ，∴
1 1
B： (x+ )(1 −x) = 0 x+ = 0 1 −x = 0
，∴ 或
2 2
(x+1)(x−1) = 2 x+1 = 1 x−1 = 2
C： ，∴ 或
(3 −x)(x+2) = 2 ×4 3 −x = 2 x+2 = 4
D： ，∴ 或
x2 +x−3 = 0
5 解方程： ．
k x2 −2017x+1 = 0 2k2 −4034k
6 已知 是 的一个不为0的根，不解方程，请求出 的值．
7 已知关于x的方程 kx2 +(1 −k)x−1 = 0 ，下列说法正确的是（ ）
k = 0
A： 当 时，方程无解
k = 1
B： 当 时，方程有一个实数解
k = −1
C： 当 时，方程有两个相等的实数解
k ≠ 0
D： 当 时，方程总有两个不相等的实数解
8 若关于x的一元二次方程 x2 +2x+k−1 = 0 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请你选取一个合适的k的值代入方程并求出这个方程的两根．
9 已知关于x的一元二次方程 2x2 −3x−m = 0 ．m = 1
(1)当 时，求方程的根；
(2)若方程有两个不相等的根，求m的取值范围．
10 关于x的一元二次方程 (m−1)x2 −2mx+m+1 = 0 ． (m ≠ 1)
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）求出该方程一个固定的根．
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第 1 讲 一元二次方程的解法
课堂落实答案
1 如果关于x的方程 (m+3)x2 −mx+1 = 0 是一元二次方程，则（ ）
m ≠ −3
A：
m ≠ 3
B：
m ≠ 0
C：
m ≠ −3 m ≠ 0
D： 且
2 用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
x2 −6x−5 = 0 (x−3)2 = 4
A： 方程 ，可化为
y2 −2y −2015 = 0 (y −1)2 = 2015
B： 方程 ，可化为
a2 +8a+9 = 0 (a+4)2 = 25
C： 方程 ，可化为
3 2 23
D： 2x2 −6x−7 = 0 (x− ) =
方程 ，可化为
2 4
–
x2 +2√2x−6 = 0
3 用公式法解方程 的结果是（ ）
x = x = 1
A： 1 2
–
x = 0 x = −2√2
B： 1 ， 2– –
x = √2 x = −3√2
C： 1 ， 2
– –
x = −√2 x = 3√2
D： 1 ， 2
4 下列方程没有实数根的是（ ）
3x2 −2x = 0
A：
3x2 +2 = 4x
B：
(1 −2x)2 −2 = 0
C：
– –
√2x2 −3x−√3 = 0
D：
5 求证：关于x的方程 2x2 +3(m−1)x+m2 −4m−7 = 0 对于任何实数m，永远有两个不
相等的实数根．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 1 讲 一元二次方程的解法
精选精练
ax2 −2 = 2x2
1 解方程： ．
2 解关于x的方程： x2 +x−2 +k(x2 +2x) = 0 ．
3 若实数a，b满足 (2a+2b)(2a+2b−2)−8 = 0 ，则 a+b = _____．
(x2 +y2 +1)(x2 +y2 +3) = 8 x2 +y2
4 已知 ，则 的值为（ ）
−5
A： 或1
B： 1
C： 5
−1
D： 5或
5 若关于x的一元二次方程 x2 −2x+kb+1 = 0 有两个不相等的实数根，则一次函数
y = kx+b
的大致图象可能是（ ）A：
B：
C：
D：
x x2 +2x+m = 0
6 若关于 的一元二次方程 有两个不等的实数根，化简
−−−−−−−−−−−
|2 −m|−√m2 −2m+1
.
能力提高 / 初三 / 秋季
第 2 讲 一元二次方程的应用
例题练习题答案
例1 为进一步发展基础教育，自2016年以来，某县加大了教育经费的投入，2016年该县投入教育经费
6000万元，2018年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相
同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该县投入教育经费
多少万元．2016 1.4
练1.1 我省 年的快递业务量为 亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业
2018 4.5 2017 2018 x
务迅猛发展， 年的快递业务量达到 亿件．设 年与 年这两年的平均增长率为 ，
则下列方程正确的是（ ）
1.4(1+ x) = 4.5
A：
1.4(1+ 2x) = 4.5
B：
1.4(1+ x)2 = 4.5
C：
1.4(1 +2x)+1.4(1 +2x)2 = 4.5
D：
4.84
练1.2 某钢铁厂今年1月份钢产量为4万吨，3月份钢产量为 万吨，每月的增长率相同，问2、3月份
平均每月的增长率是_______．
例2 为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平
均每次降价的百分率为_______%．
练2.1 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本
是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请你预测4月份该公司的生产成本．
例3 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．
为了促销，同时又要使消费者得到更多实惠，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西
瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要
想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
练3.1 将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个．已知这种商品每涨价1元，其销售量减少
10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（ ）
A： 60元
B： 80元
C： 60元或80元
D： 30元练3.2 商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当
的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种
冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（ ）元．
A： 100
B： 200
C： 300
D： 400
22 14
例4 如图，用长为 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 m），围成中间隔有一道篱笆的
BC 1
长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 上用其他材料做了宽为 m的两扇小门．
AB x x AD
（1）设花圃的一边 长为 m，请你用含 的代数式表示另一边 的长为________m；
45 2
（2）若此时花圃的面积刚好为 m ，求此时花圃的长与宽．
练4.1 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆
2
围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m ，设与墙垂直的
一边长为xm，则可以列出关于x的方程是（ ）
x(26 −2x) = 80
A：
x(24 −2x) = 80
B：
(x−1)(26 −2x) = 80
C：
x(25 −2x) = 80
D：12 x
练4.2 有 米长的木料，要做成一个窗框(如图)．设窗框横档的长度为 米，那么窗框的面积是（ ）
x(6 −x)
A： 平方米
x(12 −x)
B： 平方米
x(6 −3x)
C： 平方米
3
D： x(6 − x)
平方米
2
例5 某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了几个人？
60 24000
练5.1 某实验室需要培养一群有益菌，现有 个活体样本，经过两轮培养后，总和达到 个，其中
每个有益菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮培养中平均每个有益菌可分裂出多
少个有益菌？
例6 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他学生各赠送一件，全组共互赠了182件．如果
全组共有x名学生，则根据题意列出的方程是（ ）
x(x+1) = 182
A：
1
B： x(x+1) = 182 ×
2
x(x−1) = 182
C：
x(x−1) = 182 ×2
D：
练6.1 参加商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．设共有x家公
司参加商品交易会，则x满足的关系式为（ ）
1
A： x(x+1) = 45
2
1
B： x(x−1) = 45
2
x(x+1) = 45
C：
x(x−1) = 45
D：能力提高 / 初三 / 秋季
第 2 讲 一元二次方程的应用
自我巩固答案
7.2
1 某钢铁厂1月份生产某种钢材5万吨，3月份生产这种钢材 万吨，设平均每月增长的百分率为
x，则根据题意可列方程为（ ）
5(1 +x) = 7.2
A：
5(1 +x2) = 7.2
B：
5(1 +x)2 = 7.2
C：
7.2(1 +x)2 = 5
D：
49%
2 某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的 ，则平均每次的降价率为（ ）
30%
A：
40%
B：
50%
C：
51%
D：
3 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少
18m2
了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为 ，求原正方形空地的边长．设原正方形的空
地的边长为xm，则可列方程为（ ）
(x+1)(x+2) = 18
A：
x2 −3x+16 = 0
B：
(x−1)(x−2) = 18
C：x2 +3x+16 = 0
D：
4 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个
航空公司共有飞机场（ ）
A： 5个
B： 6个
C： 7个
D： 8个
5 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价
x（元）满足关系： P = 100 −2x ．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，
根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
(x−30)(100 −2x) = 200
A：
x(100 −2x) = 200
B：
(30 −x)(100 −2x) = 200
C：
(x+30)(2x−100) = 200
D：
6 元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组
共互送了90张贺卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为
（ ）
A： x（x﹣1）=90
B： x（x﹣1）=2×90
C： x（x﹣1）=90÷2
D： x（x+1）=90
7 某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏．调查表明，这种台灯的售价每
上涨1元，其销售量减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多
少元？这时应进台灯多少盏？
8 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支
的总数是91，每个支干长出多少小分支？9 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正
方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为
264cm2
，求剪掉的正方形纸片的边长．
10 东台市某楼盘准备以每平方米8000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，
购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格进行下调，经过两次下调后，决定以
每平方米6480元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率．
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
9.8
①打 折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米100元，请通过计算说明哪种方案更优
惠？
能力提高 / 初三 / 秋季
第 2 讲 一元二次方程的应用
课堂落实答案
1 某商场将每件进价为20元的玩具以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价
每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？如果设
每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（ ）
(30 +x)
A： 涨价后每件玩具的售价是 元
B： 涨价后每天少售出玩具的数量是10x件
(300 −10x)
C： 涨价后每天销售玩具的数量是 件
(30 +x)(300 −10x) = 3750
D： 可列方程为2 有4人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感，设每轮传染中平均每人传染了x个人，根
据题意可列方程为（ ）
4 +4(1 +x) = 100
A：
4(1 +x)2 = 100
B：
4 +x+4(1 +x) = 100
C：
2 ×4(1 +x) = 100
D：
3 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的
增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
50(1 +x)2 = 182
A：
50 +50(1 +x)+50(1 +x)2 = 182
B：
50(1 +2x) = 182
C：
50 +50(1 +x)+50(1 +2x)2 = 182
D：
4 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，
如果要使整个挂图的面积是
5400cm2
，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
x2 +130x−1400 = 0
A：
x2 +65x−350 = 0
B：
x2 −130x−1400 = 0
C：
x2 −65x−350 = 0
D：
5 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀
请多少个球队参加比赛？
能力提高 / 初三 / 秋季第 2 讲 一元二次方程的应用
精选精练
1 若两个连续整数的积为56，则这两个连续整数的和为（ ）
A： 15
−15
B：
±15
C：
−1
D：
2 某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得
的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．
3 子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心
所欲，不逾矩．”——《论语·第二章·为政篇》
列方程解决下面问题：
• • •
读诗词解题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
4 我市城建公司新建了一个购物中心，共有商铺30间，据调查分析，当每间的年租金为10万元时，
0.5
可全部租出，若每间的年租金每增加 万元，则少租出商铺一间，为统一管理，城建公司租出的
0.5
商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 万元．
(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为275万元？（收益=租金-各种费
用）
5 经市场调研发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．在每件降价幅度不超过18元
的情况下，若每件童装降价1元，则每天可多售出2件，设降价x元．(1)降价x元后，每件童装盈利是_____元，每天销售量是_____件；
(2)要想每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
(3)每天能盈利1800元吗？如果能，每件童装应降价多少元？如果不能，请说明理由．
6 将一条长为40cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
cm2
(1)要使这两个正方形的面积之和等于52 ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
cm2
(2)两个正方形的面积之和可能等于48 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理
由．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 3 讲 二次函数的图象与参数
例题练习题答案
2
例1 (1) y = ax2 y = x2 a
抛物线 与 的形状相同，则 的值为__________．
5
1
(2) y = − x2 +1
函数 的图象是__________，开口__________，对称轴是直线__________，顶点
3
坐标是__________，它的图象有最__________点，这个点的坐标为__________．
y = −2(x+3)2
(3)函数 的图象是__________，开口__________，对称轴是直线__________，顶
点坐标是__________，它的图象有最__________点，这个点的纵坐标是__________．
1
例2 y = − (x+1)2 −2
已知函数 ，函数图象的开口方向是_________，对称轴是直线_______，顶
2
点坐标为__________；当x__________时，y随x的增大而增大．
A(x ,y ) B(x ,y ) y = (x−1)2 +1 x > x > 1
练2.1 已知点 1 1 、 2 2 在二次函数 的图象上，若 1 2 ，则
y y
1__________ 2（填“>”、“<”或“=”）．
y = (x−1)2 +2
练2.2 (1)对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）A： 开口向下
(1,2)
B： 顶点坐标是
x = −1
C： 对称轴是直线
D： 与x轴有两个交点
y = 2x2 +12x+13
(2)函 数 的 图 象 是 __________ ， 开 口 __________ ， 对 称 轴 是 直 线
__________，顶点坐标是__________，它的图象有最__________点，这个点的坐标为
__________．
y = ax2 +bx+c
例3 (1)如果二次函数 的图象如图所示，那么（ ）
a < 0 b > 0 c > 0
A： ， ，
a > 0 b < 0 c > 0
B： ， ，
a > 0 b > 0 c < 0
C： ， ，
a < 0 b < 0 c < 0
D： ， ，
y = ax2 +bx+c
(2)二次函数 的图象经过原点和第一、二、三象限，则有（ ）
a > 0 b > 0 c = 0
A： ， ，
a > 0 b < 0 c = 0
B： ， ，
a < 0 b > 0 c = 0
C： ， ，
a < 0 b < 0 c = 0
D： ， ，
y = ax2 +bx+c x = −2
(3)如图是二次函数 的图象的一部分，对称轴是直线 ．
ab < 0 b2 −4ac > 0 9a−3b+c < 0 b−4a = 0
有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；
ax2 +bx = 0 x = 0 x = −4
⑤方程 的两个根为 1 ， 2 ．其中正确的结论有（ ）A： ①③④
B： ②④⑤
C： ①②⑤
D： ②③⑤
y = ax2 +bx+c
练3.1 如果二次函数 的图象如图所示，那么（ ）
a < 0 b > 0 c > 0
A： ， ，
a > 0 b < 0 c > 0
B： ， ，
a > 0 b > 0 c < 0
C： ， ，
a < 0 b < 0 c < 0
D： ， ，
练3.2 如图，二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与x轴的交点的横坐标分别为 −1 、3，则下列结论正确
的个数有（ ）
ac < 0 2a+b = 0 4a+2b+c > 0 ax2 +bx ≥ a+b
① ；② ；③ ；④ ．
A： 1
B： 2
C： 3D： 4
y = −x2 +2x+4
例4 (1)二次函数 的最大值为________．
y = ax2 +4x+a−1 2 a
(2)已知二次函数 的最小值为 ，则 的值为________．
y = (x−1)2 +3
练4.1 (1)函数 有最_______值，最_______值为_______．
y = x2 −m y m =
(2)对于抛物线 ，若 的最小值是1，则 ________．
y = ax2 +bx+c a : b : c = 1 : 2 : 3
练4.2 二次函数 中，已知 ，且函数的最小值为6，则函数的表
达式为______________．
1
例5 (1)已知 0 ≤ x ≤ ，那么函数 y = −2x2 +8x−6 的最大值为______．
2
y = x2 −2x−3 0 ≤ x ≤ 3 y
(2)在二次函数 中，当 时， 的最大值为______，最小值为
______．
y = x2 +2x+3 0 ≤ x ≤ 3 y
(3)在二次函数 中，当 时， 的最大值为______，最小值为
______．
3 ≤ x ≤ 6 y = x2 −4x+3
练5.1 (1)当 时，函数 的最小值为_________．
−3 ≤ x ≤ −1 y = −x2 +4x+5
(2)已知 ，则二次函数 的最大值为_________．
练5.2 (1)在二次函数 y = −2x2 −4x+1 中，当 −5 ≤ x ≤ 0 时，y的最大值为______，最小值为
______．
(2)在二次函数 y = x2 −5x+9 中，当 1 ≤ x ≤ 4 时，y的最大值为______，最小值为
______．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 3 讲 二次函数的图象与参数
自我巩固答案(−2,−1) y = 3x2
1 某抛物线的顶点坐标为 ，开口方向、形状与抛物线 相同，则此抛物线的解析
式是（ ）
y = 3(x+2)2 −1
A：
y = 3(x−2)2 −1
B：
y = −3(x+2)2 −1
C：
y = 3(x+2)2 +1
D：
y = 2x2 +3
2 关于二次函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A： 它的开口方向是向下
(2,3)
B： 它的顶点坐标是
C： 当 x = 0 时，y有最大值3
D： 它的对称轴是y轴
y = a(x−m)2 −n y = mx+n
3 二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象经过（ ）
A： 第一、二、三象限
B： 第一、二、四象限
C： 第二、三、四象限
D： 第一、三、四象限
y = −x2 +2x−3
4 对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A： 开口向上
(−1,−2)
B： 顶点坐标是
C： 抛物线与x轴有两个交点x = 1
D： 对称轴是直线
y = ax2 +bx+c
5 二次函数 的图象如图所示，则（ ）
a < 0 b > 0 c > 0
A： ， ，
a > 0 b < 0 c > 0
B： ， ，
a > 0 b > 0 c < 0
C： ， ，
a < 0 b < 0 c < 0
D： ， ，
y = ax2 +bx+c(a ≠ 0)
6 已知二次函数 的图象如图所示，给出以下结论：
a+b+c < 0 a−b+c < 0 b+2a < 0 abc > 0
① ；② ；③ ；④ ．其中所有正确结论的序
号是（ ）
A： ③④
B： ②③
C： ①④
D： ①②③
y = 2x−x2 +m m =
7 已知函数 的最大值为5，则 （ ）
A： 4
−4
B：
C： 2
−2
D：8 在函数 y = 2x2 +4x−5 中，当 −3 ≤ x ≤ −2 时，y的最大值是（ ）
1
A：
−7
B：
11
C：
5
D：
9 已知二次函数 y = x2 −2x+3 ，当 0 ≤ x ≤ 3 时，y的最大值为（ ）
A： 9
B： 6
C： 8
D： 7
−2 ≤ x ≤ 4 y = −(x−3)2 +8
10 当 时，求二次函数 的最大值与最小值．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 3 讲 二次函数的图象与参数
课堂落实答案
y = ax2 y = 2x2 a =
1 已知抛物线 与 的形状相同，则 （ ）
A： 2
−2
B：
±2
C：
1
D：
2
y = ax2 +bx+c
2 二次函数 的图象如图所示，则（ ）a < 0 b > 0 c > 0
A： ， ，
a > 0 b < 0 c > 0
B： ， ，
a > 0 b > 0 c < 0
C： ， ，
a < 0 b < 0 c < 0
D： ， ，
y = ax2 +bx+c a+b+c < 0
3 已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：（1） ；（2）
a−b+c > 0 abc > 0 b = 2a
；（3） ；（4） ．其中正确的结论有（ ）
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
4 在二次函数 y = −2x2 −4x+1 中，当 −1 ≤ x ≤ 2 时，y的最大值和最小值分别为（ ）
A： 5，1
−15
B： 3，
−11
C： 2，
−2
D： 3，
y = x2 +2x+1 −3 ≤ x ≤ 2
5 求 在 上的最大值与最小值．能力提高 / 初三 / 秋季
第 3 讲 二次函数的图象与参数
精选精练
1 若抛物线 y = (x−m)2 +(m+1) 的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
m > 1
A：
m > 0
B：
m > −1
C：
−1 < m < 0
D：
y = −(x+1)2 +3
2 对于抛物线 ，下列结论：
①抛物线的开口向下；
x = 1
②对称轴为直线 ；
(−1,3)
③顶点坐标为 ；
④ x > 1 时，y随x的增大而减小．
其中正确结论的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
y = ax2 +bx+c(a ≠ 0)
3 如图，已知二次函数 的图象如图所示，给出以下四个结论：①
abc = 0 a+b+c > 0 a > b 4ac−b2 < 0
；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有（ ）A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
y = ax2 +bx+c abc > 0
4 已 知 抛 物 线 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 下 列 结 论 ： ① ； ②
1
a+b+c = 2 a < b > 1
；③ ；④ ．其中正确的结论是（ ）
2
A： ①②
B： ②③
C： ③④
D： ②④
max{a,b} a ≥ b max{a,b} = a a < b
5 定 义 符 号 的 含 义 为 ： 当 时 ， ， 当 时 ，
max{a,b} = b max{1,−5} = 1 max{x2 +x−2,−x}
． 如 ： ， 则 的 最 小 值 是
________．
1 ≤ x ≤ m y = x2 −6x+7
6 小明在学习中遇到这样一个问题：若 ，求二次函数 的最大值．他
x = 1 x = 5 m
画图研究后发现， 和 时的函数值相等，于是他认为需要对 进行分类讨论．他的解
答过程如下：y = x2 −6x+7 x = 3
∵二次函数 的对称轴为直线 ，
x = 1 x = 5
∴由对称性可知， 和 时的函数值相等．
1 ≤ m ≤ 5 x = 1 y 2 m ≥ 5 x = m y
∴若 ，则 时 的最大值为 ；若 ，则 时 的最大值为
m2 −6m+7
．
请你参考小明的思路，解决下列问题：
−2 ≤ x ≤ 4 y = 2x2 +4x+1
（1）当 时，二次函数 的最大值为________；
p ≤ x ≤ 2 y = 2x2 +4x+1
（2）若 ，求二次函数 的最大值；
t ≤ x ≤ t+2 y = 2x2 +4x+1 31 t
（3）若 时，二次函数 的最大值为 ，则 的值为_______．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 4 讲 二次函数的应用
例题练习题答案
(−1,2) (3,2) (0,−1)
例1 已知二次函数经过 、 、 三个点，求二次函数的解析式．
练1.1 已知抛物线 y = 3x2 +bx+c 的图象过点 (1,10) ，与y轴交于点 (0,1) ．则这个二次函数的解析
式为__________．
(−1,−5) (0,−4) (1,1)
练1.2 已知二次函数的图象经过点 、 和 ，则这个二次函数的表达式为（ ）
y = −6x2 +3x+4
A：
y = −2x2 +3x−4
B：
y = x2 +2x−4
C：
y = 2x2 +3x−4
D：
例2 (1)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为 (−1,2) ，且图象过点 (1,−3) ．求这个二次函数
的解析式．
(2)已知二次函数在 x = 4 时有最小值 −3 ，且它的图象与x轴两交点之间的距离为6，求这个二次
函数的解析式．(−2,−3) (−3,−2)
练2.1 已知二次函数的图象的顶点坐标为 ，且图象过点 ，则这个二次函数的解析式
为______________．
y 4 x 8 x = −3
练2.2 已知二次函数 有最大值 ，且图象与 轴两交点间的距离是 ，对称轴为直线 ，则此二次
函数的解析式为______________．
y = ax2 +bx+c x A B A(−1,0) B(3,0) y
例3 (1)已知抛物线 与 轴交于 、 两点， ， ，与 轴交于
C (0,3)
点 ．求抛物线的解析式．
A(3,−2) B(1,0) x = 3
(2)已知二次函数的图象经过点 和 ，且对称轴是直线 ．求这个二次函
数的解析式．
A(2,0) B(−1,0) y C OC = 2
练3.1 已知抛物线过点 、 ，与 轴交于点 ，且 ．则这条抛物线的解析式为
（ ）
y = x2 −x−2
A：
y = −x2 +x+2
B：
y = x2 −x−2 y = −x2 +x+2
C： 或
y = −x2 −x−2 y = x2 +x+2
D： 或
例4 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成一个长方形的花圃．
设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）怎样围才能使长方形花圃的面积最大？最大值为多少？
练4.1 如图，有长为24m的护栏，一面利用墙（墙的最大可用长度为13m），围成中间隔有一道护栏的
矩形花园，设花园的宽AB为x（m），面积为S（
m2
）．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45
m2
的花园，AB的长是多少米？m2
（3）能围成面积比45 更大的花园吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．
练4.2 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤为一边（岸堤足够长），用总长为80 m的围网在水
库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x
m，矩形区域ABCD的面积为 y m2 ．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
例5 如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为
20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求该抛物线的解析式．
1 25
练5.1 y = − x2
如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为 ，当水面离桥顶的高度为 米时，水
3 3
面的宽度为多少米？AB = 8 CD = 4
练5.2 图中是抛物线形拱桥，当水面宽 米时，拱顶到水面的距离 米．如果水面上升1
米，那么水面宽度为_______________米．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 4 讲 二次函数的应用
自我巩固答案
(1,0) (2,0) (0,2)
1 已知二次函数的图象经过 、 和 三点，则该函数的解析式是（ ）
y = 2x2 +x+2
A：
y = x2 +3x+2
B：
y = x2 −2x+3
C：
y = x2 −3x+2
D：
(1,−6) (2,−8)
2 已知二次函数的图象的顶点坐标为 ，且经过点 ，则该二次函数的解析式为（ ）
y = 2(x−1)2 −6
A：
y = −2(x−1)2 −6
B：
y = −2(x+1)2 −6
C：
y = −2(x+1)2 +6
D：
3 已知二次函数y有最大值3，且图象与x轴两交点间的距离是6，对称轴为直线 x = −2 ，则此二次
函数的解析式为（ ）
1
A： y = (x+5)(x−1)
3
y = 3(x+5)(x−1)
B：1
C： y = − (x+5)(x−1)
3
y = −3(x+5)(x−1)
D：
4 一辆新汽车原价为20万元，如果每年折旧率为x，两年后这辆汽车的价钱为y万元，则y关于x的函
数关系式为（ ）
y = 20(1 +x)2
A：
y = 20(1 −x)2
B：
y = 20(1 +x)
C：
y = 20 +x2
D：
5 某商品现在的售价为每件20元，每星期可卖出400件．市场调查反映，该商品每降价1元，则每星
期可多卖出20件．设商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为
（ ）
y = 400(20 +2x)
A：
y = (20 −x)(400 +20x)
B：
y = 400(20 −x)
C：
y = 420(20 −x)
D：
6 以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地（如图），已知篱笆长为定值20．则这块场地面积的最大
值为（ ）
A： 30
100
B：
3
C： 36
D： 40
–
3√2
7
有一块直角边为 的等腰直角三角形木板，现要锯出一个矩形做办公桌面，设矩形的一边长为
2
x，如图所示，则矩形的最大面积为（ ）A： 1
9
B：
8
C： 2
5
D：
4
8 工艺商场按标价200元销售某种进价为155元的工艺品，每天可售出该工艺品100件．若每件工艺
品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．要使每天获得的利润最大，获得的最大利润是（ ）
元．
A： 4500
B： 4700
C： 4900
D： 5100
9 赵州桥的桥拱近似于抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为
1
y = − x2 ，当水面离桥拱顶的高度DO是2米时，水面宽度AB为（ ）
25
−10
A： 米
–
5√2
B： 米
C： 10米
–
10√2
D： 米
10 株洲五桥主桥的主孔为拱梁钢构组合体系，如图1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分均匀排
列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高（中柱）10米，于是他建立如图2的坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了，那么中柱右边第二根支柱的高度是多
少？
能力提高 / 初三 / 秋季
第 4 讲 二次函数的应用
课堂落实答案
1 已知抛物线 y = ax2 +bx+c 过 (1,−1) 、 (2,−4) 和 (0,4) 三点，那么a、b、c的值分别是
（ ）
a = −1 b = −6 c = 4
A： ， ，
a = 1 b = −6 c = −4
B： ， ，
a = −1 b = −6 c = −4
C： ， ，
a = 1 b = −6 c = 4
D： ， ，
2 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为 (1,−1) ，而且图象过点 (0,−3) ．则这个二次函数的
解析式为（ ）
y = −2(x−1)2 −1
A：
y = 2(x−1)2 −1
B：
y = −2(x+1)2 −1
C：
y = −2(x−1)2 +1
D：
x = 2 (3,1) (0,−5)
3 已知抛物线的对称轴是直线 ，且经过 和 ，则这个二次函数的解析式为（ ）
y = 2x2 +8x−5
A：y = −2x2 +5x−8
B：
y = −2x2 +8x−5
C：
y = 2x2 +5x−8
D：
4 以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地（如图），已知篱笆长为定值12，则这块场地面积的最大
值为（ ）
A： 8
B： 10
C： 12
D： 18
5 在体育测试时，九年级的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象
的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是 (0,2) ，铅球路线的最高处的坐标是
(6,5)
．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求OB的长．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 4 讲 二次函数的应用
精选精练
(2,4) (0,−4)
1 一个二次函数的图象的顶点坐标是 ，且过另一点 ，则这个二次函数的解析式为
（ ）y = −2(x+2)2 +4
A：
y = −2(x−2)2 +4
B：
y = 2(x+2)2 −4
C：
y = 2(x−2)2 −4
D：
2 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
y = −3(x−1)2 +3
A：
y = 3(x−1)2 +3
B：
y = −3(x+1)2 +3
C：
y = 3(x+1)2 +3
D：
40m/s 30∘
3 如图，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物
h t
线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）之间具有函数
h = 20t−5t2
关系 ．则下列叙述正确的是（ ）
15m
A： 小球的飞行高度不能达到
25m
B： 小球的飞行高度可以达到
4s
C： 小球从飞出到落地要用时
10m
D： 小球飞出1s时的飞行高度为
4 某超市购进一批牛肉销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这批牛肉32千克
的钱，现在可买33千克．
（1）现在实际购进这批牛肉每千克多少元？（2）若这批牛肉的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．求
y x
与 之间的函数关系式；
=
（3）这批牛肉的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润 销售收入
−
进货金额）
/kg /kg
5 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元 ，销售单价不低于120元 ，且
/kg
不高于180元 ，经销一段时间后得到如下数据：
x /kg …
销售单价 （元 ） 120 130 180
y kg …
每天销量 （ ） 100 95 70
y x
设 与 的关系是我们所学过的某一种函数关系．
y x x
（1）直接写出 与 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；
（2）当销售单价为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
6 如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路
h t
径、爆炸时的高度均相同．皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度 （米）与飞行时间 （秒）之间
的函数图象如图2所示．
h ) t )
（1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度 （米 随飞行时间 （秒 的函数表达式．
（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发
花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求．能力提高 / 初三 / 秋季
第 5 讲 二次函数与方程不等式
例题练习题答案
例1 (1)已知抛物线 y = ax2 +bx+c(a ≠ 0) 与x轴的两个交点的坐标分别是 (−3,0) 、 (2,0) ，
ax2 +bx+c = 0(a ≠ 0)
则方程 的解是___________________．
(2)已 知 抛 物 线 y = x2 −2023x+2024 与 x 轴 的 交 点 为 (m,0) 、 (n,0) ， 则
(m2 −2023m+2024)+(n2 −2023n +2024)
的值是（ ）
A： 0
B： 2023
C： 2024
D： 2025
y = ax2 +bx+c x A(−1,0) B(3,0)
练1.1 (1)如果二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，那么方程
ax2 +bx+c = 0
的根是_______________．
y = x2 −x−1 x (m,0) m2 −m+2019
(2)已知抛物线 与 轴的一个交点为 ，则代数式 的值
为（ ）
A： 2018
B： 2019
C： 2020
D： 2021
5
练1.2 已知方程 2x2 −3x−5 = 0 的两根为 x 1 = 2 、 x 2 = −1 ，则抛物线 y = 2x2 −3x−5 与x
轴的两个交点间的距离为___________．
例2 已知二次函数 y = x2 −2x+k 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2 −2x+k = 0
的解为（ ）A： 3
−1
B：
−2
C： 3，
−1
D： 3，
练2.1 已知二次函数 y = −x2 +4x+m 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
−x2 +4x+m = 0
的解是_________．
练2.2 已知二次函数 y = −x2 +2x+m 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
−x2 +2x+m = 0
的解为_________．
例3 抛物线 y = ax2 +bx+c(a < 0) 的图象如图所示，则关于x的不等式 ax2 +bx+c > 0 的
解集是（ ）x < 2
A：
x > −3
B：
−3 < x < 1
C：
x < −3 x > 1
D： 或
练3.1 二次函数 y = x2 −2x−3 的图象如图所示．当 y < 0 时，自变量x的取值范围是__________．
y = ax2 +bx+c ax2 +bx+c < 0
练3.2 如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式 的解集
是（ ）
−1 < x < 5
A：
x > 5
B：
x < −1 x > 5
C： 且
x < −1 x > 5
D： 或
例4 二次函数 y = kx2 −6x+3 的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ）
k < 3
A：k < 3 k ≠ 0
B： 且
k ≤ 3
C：
k ≤ 3 k ≠ 0
D： 且
练4.1 已知二次函数 y = x2 −2mx+m2 +3 （m是常数），该函数的图象与x轴的交点个数为
____________．
练4.2 抛物线 y = mx2 +(2m−1)x+m−1 与x轴交点的个数是（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 无法确定
y = −x+1 y = x2 −3x+1
例5 (1)判断直线 与抛物线 是否有交点，如果有交点，求出交点坐
标．
(2)当b为何值时，直线 y = 3x+b 与抛物线 y = x2 +2x−1 只有一个交点．
练5.1 二次函数 y = x2 +2x+b 与一次函数 y = x+1 有两个交点，则b的取值范围是（ ）
5
A： b > −
4
5
B： b < −
4
5
C： b >
4
5
D： b <
4
y = kx−1 y = 4x2 k =
练5.2 直线 与抛物线 有且只有一个交点，则 _______．
例6 在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 与直线 y = 2x+3 相交于A、B两点，已知点A的坐标是
(−1,1) ，求点B的坐标．
y = x2 −3x+2 y = −x+1
练6.1 二次函数 与一次函数 的交点坐标为（ ）
(−1,2)
A：(1,0)
B：
(1,2)
C：
(−1,6)
D：
能力提高 / 初三 / 秋季
第 5 讲 二次函数与方程不等式
自我巩固答案
1 已知抛物线 y = x2 −x−1 与x轴的交点为 (m,0) ，则代数式 m2 −m+2011 的值为
（ ）
A： 2009
B： 2012
C： 2011
D： 2010
y = ax2 +bx+c(a ≠ 0) (2,1) (4,1)
2 已 知 的 图 象 经 过 和 两 点 ， 则 方 程
ax2 +bx+c−1 = 0
的解是（ ）
x = x = 1
A： 1 2
x = 1 x = 2
B： 1 ， 2
x = 2 x = 4
C： 1 ， 2
D： 无法确定
3 已知抛物线 y = ax2 +bx+c 的图象如图所示，若 y > 0 ，则x的取值范围是（ ）x > 3
A：
3
B： < x < 3
4
3
C： x < −
2
3
D： − < x < 3
2
y = ax2 +bx+c x = −1
4 二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ．
abc > 0 4ac−b2 < 0 2a+b = 0 a−b+c > 2
有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的结论的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 抛物线 y = x2 −2x−3 与x轴的交点个数是（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 1个或2个
6 抛物线 y = ax2 +(2a+1)x+a+1 与x轴交点的个数是（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个D： 无法确定
y = x−1 y = 2x2 −x−2
7 一次函数 与二次函数 的交点个数是（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 1个或2个
D： 无交点
y = x−5 y = −x2 +2x−3
8 一次函数 与二次函数 的交点坐标是（ ）
(1,0) (−2,−7)
A： 、
(−1,−6) (2,−3)
B： 、
(0,−5)
C：
D： 没有交点
9 二次函数 y = x2 +3x−2 与一次函数 y = 2x+b 没有交点，则b的取值范围是（ ）
9
A： b ≤ −
4
9
B： b < −
4
9
C： b ≥ −
4
9
D： b > −
4
y = x2 −2x−3
10 已知抛物线 ．
（1）它与x轴的交点的坐标为__________；
（2）在坐标系中利用描点法画出它的图象．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 5 讲 二次函数与方程不等式
课堂落实答案1 已知抛物线 y = ax2 +bx+c(a ≠ 0) 与x轴的两个交点的坐标分别是 (−5,0) 、 (3,0) ，则方
ax2 +bx+c = 0(a ≠ 0)
程 的解是（ ）
x = 5 x = 3
A： 1 ， 2
x = −5 x = 3
B： 1 ， 2
x = −3 x = −5
C： 1 ， 2
x = 5 x = −3
D： 1 ， 2
2 已知抛物线 y = x2 −x−1 与x轴的一个交点为 (m,0) ，则代数式 m2 −m+2016 的值为
（ ）
A： 2014
B： 2015
C： 2016
D： 2017
3 若二次函数的解析式为 y = 2x2 −4x+3 ，则其函数图象与x轴交点的情况是（ ）
A： 没有交点
B： 有一个交点
C： 有两个交点
D： 以上都不对
y = x2 −3x+2 y = −x+5
4 二次函数 与一次函数 的交点坐标为（ ）
(−1,6) (1,2)
A： 或
(1,0) (3,2)
B： 或
(1,2) (2,3)
C： 或
(−1,6) (3,2)
D： 或
y = x2 +bx+c y = −2x+m A(−2,n) B(2,−3)
5 抛物线 与直线 相交于 、 两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
y = 2x+k k
（2）若 与抛物线没有交点，求 的取值范围．能力提高 / 初三 / 秋季
第 5 讲 二次函数与方程不等式
精选精练
y = x2 +bx+c b+c = 0
1 已知二次函数 ， ，写出它的图象一定经过的一个定点的坐标
_________．
2 已 知 抛 物 线 y = x2 +3x−4 与 x 轴 的 两 个 交 点 为 (x 1 ,0) 、 (x 2 ,0) ， 则
x 2 −3x +15 =
1 2 _________．
y = ax2 +bx+c A(−3,0) B(4,0) x
3 抛物线 经过点 、 两点，则关于 的一元二次方程
a(x−1)2 +c =b−bx
的解是____________．
4 二次函数 y = ax2 +(2a+3)x+(a+1) 的图象与x轴只有一个交点，则 a = _________．
y = x2 +bx x = 1 x
5 二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方程
x2 +bx−2t = 0 （t为实数）在 −1 < x ≤ 4 的范围内有解，则 t 的取值范围是__________．
6 在平面直角坐标系中，抛物线
y = (x−h)2 +k
的对称轴是直线
x = 1
．
x k
（1）若抛物线与 轴交于原点，求 的值；
−1 < x < 0 x k
（2）当 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，求 的取值范围．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 6 讲 垂径定理与圆周角定理例题练习题答案
例1 如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E ，若 AB = 10 ， CD = 8 ，求BE的长．
练1.1 如图， ∠C = 90∘ ，以AC为半径的⊙C与AB相交于点D，若 AC = 3 ， CB = 4 ，求BD的长．
练1.2 一个圆柱形输水管的横截面如图所示，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地
方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
3cm
A：
4cm
B：
5cm
C：
6cm
D：
例2 在⊙O中，P为圆内一点，过点P的最长的弦长为8cm，最短的弦长为4cm，则OP的长为（ ）
–
2√3cm
A：
–
2√2cm
B：
2cm
C：
1cm
D：P O OP = 2cm O 3cm P
练2.1 如图，已知 为⊙ 内一点，且 ，如果⊙ 的半径是 ，那么过 点的最短的弦
cm
等于________ ．
⊙O G OG = 5cm ⊙O 13cm G
练2.2 内有一定点 ， ， 的半径为 ，则过 点的所有弦中，长度为整数的弦
共有（ ）条．
2
A：
3
B：
4
C：
D： 无数
例3 (1)如图，⊙ O 的半径为 5 ，弦AB∥CD，且 AB = 6 ， CD = 8 ，过点 O 作OM⊥AB于点 M ，
MO的延长线交 CD 于点 N ，则 MN 的长是________；
(2)⊙ O 的 半 径 为 25cm ， AB 、 CD 是 ⊙ O 的 两 条 弦 ， AB∥CD， AB = 30cm ，
CD = 48cm AB CD
，则 与 之间的距离为________．
练3.1 在半径为 10cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为 16cm ，另一条弦长为 12cm ，则这两条
弦之间的距离为________．
–
练3.2 在半径为 1 的⊙ O 中，弦 AB 、 AC 的长分别为 1 和 √2 ，则 ∠BAC 的度数为________．A B C ⊙O ∠OAB = 50∘ ∠ACB =
例4 如图， ， ， 为 上三点， ， ________°．
AB ⊙O CD ⊙O ∠ACD = 30∘ ∠BAD =
练4.1 如图， 是 的直径， 是 的弦， ，则 _________°．
⌢
练4.2 如图， △ ABC 内接于⊙ O ， AC 是⊙ O 的直径， ∠ACB = 50∘ ，点 D 是 BAC 上一点，则
∠D = ∘
_____ ．
⌢
例5 如图，在 ⊙O 中， ∠AOB = 120∘ ， P 为 AB 上的一点，则 ∠APB 的度数是（ ）
100∘
A：
110∘
B：
120∘
C：
130∘
D：
练5.1 如图，点B、C、D在⊙ O 上，若 ∠BCD = 130∘ ，则 ∠BOD 的度数是（ ）50∘
A：
60∘
B：
80∘
C：
100∘
D：
练5.2 如图，⊙ O 的半径为 1 ， AB 是⊙ O 的一条弦，且 AB = 1 ，则弦 AB 所对的圆周角的度数为
__________．
O OD AB C AO O E EC
例6 如图，⊙ 的半径 垂直弦 于点 ，连接 并延长交⊙ 于点 ，连接 ．已知
AB = 8 CD = 2
， ．
OA
（1）求 的长度；
CE
（2）求 的长度．
AB O C AD ∠CAB O D
练6.1 如图， 为⊙ 的直径，点 为半圆上一点， 平分 ，交⊙ 于点 ．
（1）求证：OD∥AC；
AC = 8 AB = 10 AD
（2）若 ， ，求 的长．练6.2 如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm， ∠ACB 的平分线交⊙O于D，求BC、BD的
长．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 6 讲 垂径定理与圆周角定理
自我巩固答案
1 已知⊙O的半径为25，圆心O到点A的距离为7，则过点A且长度是整数的弦的条数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
2 如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是
（ ）3 ≤ OM ≤ 5
A：
4 ≤ OM ≤ 5
B：
3 < OM < 5
C：
4 < OM < 5
D：
3 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB = 10 ，水面宽 AB = 16 ，则圆心O到水面
OC =
的距离 （ ）
A： 4
B： 5
C： 6
D： 8
AB = 12 CD = 4
4 如图，圆弧形桥拱的跨度 米，拱高 米，则拱桥的半径为（ ）
A： 6.5米
B： 9米
C： 13米
D： 15米
5 ⊙O的半径为5cm，弦AB∥弦CD，且 AB = 8cm ， CD = 6cm ，则AB与CD之间的距离为
（ ）
A： 1cm
B： 7cmC： 3cm或4cm
D： 1cm或7cm
6 如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点 B(12,0) ，与y轴交于点 C (0,5) ，则⊙A的半径为
（ ）
A： 5
B： 6
C： 6.5
D： 7
7 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若 ∠BCD = 110∘ ，则 ∠BAD 的度数为（ ）
140∘
A：
110∘
B：
90∘
C：
70∘
D：
8 如图，CD是⊙O的直径，AE交⊙O于点B，且 AB = OC ， ∠A = 25∘ ，求 ∠EOD 的度数．9 已知⊙O的半径为25cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB∥CD， AB = 14 cm， CD = 48 cm，求
AB与CD之间的距离．
10 如图，△ABC内接于⊙O， ∠A = 45∘ ，⊙O的半径为5，求BC的长．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 6 讲 垂径定理与圆周角定理
课堂落实答案
⌢
1 如图， AB 是⊙O的弦，半径 OC⊥AB ， D 为圆周上一点，若 BC 的度数为 50∘ ，则 ∠ADC 的
度数为（ ）
20∘
A：
25∘
B：
30∘
C：
50∘
D：
2 过⊙O内一点P的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OP的长为（ ）
A： 9cm
−−
√41
B： cm
C： 6cmD： 3cm
3 已知⊙O的半径为5，P为⊙O内一点，且OP＝3，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A： 4条
B： 3条
C： 2条
D： 1条
4 如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCB = 40∘ ，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接
DP、BP，则 ∠BPD 的度数的取值范围是_____________．
5 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
∠B = 72∘ ∠CAD
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 AB = 13 ， AC = 12 ，求DE的长．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 6 讲 垂径定理与圆周角定理
精选精练
1 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的外接圆与y轴交于点 D(0,4) ， ∠ABO = 60∘ ，
∠BOA = 45∘ ，则OB的长为（ ）– –
2√6+2√2
A：
– –
√6+√2
B：
–
√3+1
C：
– –
√6+√3
D：
⌢
2 如图，在⊙O中，若点 C 是 AB 的中点， ∠A = 50∘ ，则 ∠BOC =（ ）
40∘
A：
45∘
B：
50∘
C：
60∘
D：
3 如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D、
E，若 AC = 2 cm，则⊙O的半径为（ ）
1
A： cm
2
B： cm–
√2
C： cm
4
D： cm
4 如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且 AB = CD = 8 ，则OP的长为（ ）
A： 3
B： 4
–
3√2
C：
–
4√2
D：
5 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
∠BCO = ∠D
（1）求证： ；
–
（2）若 CD = 4√2 ， AE = 2 ，求⊙O的半径．
6 如图，⊙O的半径为13cm，弦AB∥弦CD，两弦位于圆心O的两侧， AB = 24 cm，
CD = 10 cm，求AB与CD之间的距离．能力提高 / 初三 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
x x2 −2x−3 = 0
1 关于 的一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A： 1、2、3
B： 1、-2、-3
C： 1、-2、3
D： 1、2、-3
x2 +4x+a−1 = 0 a
2 一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
a < 5
A：
a > 5
B：
a ≤ 5
C：
a ≥ 5
D：
y = −4x2 +5
3 抛物线 的开口方向（ ）
A： 向下
B： 向上
C： 向左
D： 向右
x2 −4x+2 = 0
4 用配方法解方程： ，下列配方正确的是（ ）
(x−2)2 = 2
A：
(x+2)2 = 2
B：
(x−2)2 = −2
C：(x−2)2 = 6
D：
5 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A： 矩形
B： 直角三角形
C： 等边三角形
D： 正五边形
⊙O AB CD E ∠A = 22.5∘ OC = 4 CD
6 如图， 的直径 与弦 垂直，垂足为 ， ， ， 的长为（ ）
–
2√2
A：
4
B：
–
4√2
C：
8
D：
ΔABC O ∠OBC = 70∘ ∠A
7 如图， 是圆 的内接三角形，若 ，则 的度数是（ ）
A： 20°
B： 25°
C： 30°
D： 35°
1
8 y = − (x−3)2 −2
关于二次函数 的图象与性质，下列结论错误的是（ ）
2A： 抛物线开口方向向下
x = 3 −2
B： 当 时，函数有最大值
C： 当 x > 3 时，y随x的增大而减小
1
D： 抛物线可由 y = x2 经过平移得到
2
y = ax2 +bx+c x = 1
9 如图，二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，则下列结论中正确
的是（ ）
a < 0
A：
2a+b < 0
B：
4ac−b2 < 0
C：
a+b+c > 0
D：
10 将抛物线 y = x2 −1 向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A： 4
B： 6
C： 8
D： 10
11 方程
x2 +4x = 0
的解为_________．
12 抛物线
y = x2 +1
的顶点坐标是___________．
13 二次函数 y = kx2 −6x+3 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是___________．
14 如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若
PB = 3 PP′ =
，则 ________．15 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定
m2
的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_______ ．
m4 +m2 +1
16 设m是方程 x2 −3x+1 = 0 的一个实数根，则 = ______．
m2
17 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D在⊙O上， ∠ABD ＝ 25∘ ，则 ∠BAD ＝_____ ∘ ．
x2 +2x−1 = 0
18 解方程： ．
y = ax2 +bx+c x = 3 (0,1)
19 二次函数 的对称轴为 ，最小值为-2，且过 ，求此函数的解析
式．
L y = bx+c L y = ax2 A(m,4)
20 如图，直线 1： 与抛物线 2： 的两个交点坐标分别为 ，
B(1,1)
．
（1）求m的值；（2）过动点 P (n,0) 且垂直于x轴的直线与L ，L 的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，
1 2
请直接写出n的取值范围．
21 关于x的一元二次方程 (a+c)x2 +2bx+(a−c) = 0 ，其中a、b、c分别为△ABC三边的
长．
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22 如图，在下列正方形网格图中，等腰三角形ABC与等腰三角形A B C 的顶点均在格点上，且
1 1 1
△ABC与△A B C 关于某点中心对称，已知A，C ，C三点的坐标分别是(0,4)，(0,3)，(0,2)
1 1 1 1
(1)求对称中心的坐标；
(2)画出△ABC绕点B按顺时针旋转90°后的△A BC ，并写出点A的对应点A 的坐标．
2 2 2
23 如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且 ∠BAC = 90∘ ， ∠DAE = 90∘ ，B、C、D在同一条
直线上．
BD = CE
（1）求证： ；
（2）求∠ECD的度数．24 如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．
25 如图，抛物线 y = −x2 +bx+c 交x轴于点 A(−3,0) 和点B，交y轴于点 C (0,3) ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且 S
△AOP
= 4S △BOC，求点P的坐标；
（3）如图2，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大
值．
M(3,2) L : y = x2 −3x+c x A B
26 已知点 ，抛物线 与 轴从左到右的交点为 ， ．
L M(3,2) L
（1）若抛物线 经过点 ，求抛物线 的解析式和顶点坐标；
2OA = OB c
（2）当 时，求 的值；
y = x+b M y N
（3）直线 经过点 ，与 轴交于点 ，
N
①求点 的坐标；
MN L : y = x2 −3x+c c
②若线段 与抛物线 有唯一公共点，直接写出正整数 的值．
能力提高 / 初三 / 秋季第 8 讲 与圆有关的位置关系
例题练习题答案
例1 (1)⊙O的半径为 5cm ，点 A 到圆心 O 的距离 OA = 3cm ，则点 A 与⊙O的位置关系为（ ）
A
A： 点 在圆上
A
B： 点 在圆内
A
C： 点 在圆外
D： 无法确定
(2)在平面直角坐标系中，点M的坐标为 (2,0) ，⊙M的半径为4，那么点 P (−2,3) 与⊙M的位
置关系是（ ）
P
A： 点 在圆内
P
B： 点 在圆上
P
C： 点 在圆外
D： 无法确定
O 4cm A O OA = 4.5cm A O
练1.1 ⊙ 的半径为 ，点 到圆心 的距离 ，则点 与⊙ 的位置关系为（ ）
A
A： 点 在圆上
A
B： 点 在圆内
A
C： 点 在圆外
D： 无法确定
例2 (1)在Rt△ABC中， ∠C = 90∘ ， AC = 3 ， BC = 4 ，以点 C 为圆心， 2 为半径的圆与 AB 的
位置关系是（ ）
A： 相交
B： 相切C： 相离
D： 不能确定
O 3 M AB MO = 3 AB O
(2)已知⊙ 的半径为 ， 为直线 上一点，若 ，则直线 与⊙ 的位置关系为
（ ）
A： 相切
B： 相交
C： 相切或相离
D： 相切或相交
O 3 O l d l O d
练2.1 设⊙ 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，若直线 与⊙ 至少有一个公共点，则 应满足的条件
是（ ）
d = 3
A：
d ≤ 3
B：
d < 3
C：
d > 3
D：
例3 如图，PC为⊙O的切线，C为切点．PO的延长线、PO与⊙O分别交于点A、点B， ∠P = 30∘ ，
连接CO、AC、BC．求证：△ACB≌△PCO．
练3.1 如图，在△ABC中， AB = AC ， ∠B = 50∘ ，⊙A与BC相切于点D，与AB相交于点E，则
∠AED =
（ ）50∘
A：
60∘
B：
70∘
C：
80∘
D：
Rt ABC ∠C = 90∘ AC = BC C 2cm
练3.2 在 △ 中， ， ，若以点 为圆心，以 长为半径的圆与斜边
AB BC
相切，那么 的长等于（ ）
2cm
A：
–
2√2cm
B：
–
2√3cm
C：
4cm
D：
例4 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于P．
（1）若 ∠CAB = ∠P = 30∘ ，求证：PC是⊙O的切线；
（2）若 ∠COB = 2∠PCB ，求证：PC是⊙O的切线．
练4.1 如图，在△ABC中， ∠A = 90∘ ，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于 D ， E 为 AC 边的中点，求证：
DE O
是⊙ 的切线．
ABC AB ⊙O AC M MN//BC AB E
练4.2 如图，在△ 中，以 为直径的 交 于点 ，弦 交 于点 ，且
–
ME = 1 AM = 2 AE = √3 BC ⊙O
， ， ，求证： 是 的切线．ABCD CD O AD BC AB
例5 如图，已知以直角梯形 的腰 为直径的半圆 与梯形上底 、下底 以及腰 均
D C E O 2 AB 5
相切，切点分别是 、 、 ．若半圆 的半径为 ，梯形的腰 为 ，则该梯形的周长是
__________．
⊙C ∠AOB OA ⊙C P ∠AOB = 90∘
练5.1 如图， 与 的两边分别相切，其中 边与 相切于点 ．若 ，
OP = 6 OC
，则 的长为（ ）
A： 12
–
12√2
B：
–
6√2
C：
–
6√3
D：
练5.2 如图，PA、PB切⊙ O 于点A、B， PA = 10 ， CD 切⊙ O 于点 E ，交PA、PB于C、D两点，则
△PCD的周长是（ ）A： 10
B： 18
C： 20
D： 22
Rt ABC ∠C = 90∘ AC = 3 BC = 4 ABC r =
例6 如图，在 △ 中， ， ， ，则△ 的内切圆半径
__________．
练6.1 在Rt△ABC中， ∠C = 90∘ ， AB = 5 ，内切圆的半径为 1 ，则△ABC的周长为（ ）
15
A：
12
B：
13
C：
14
D：
能力提高 / 初三 / 秋季
第 8 讲 与圆有关的位置关系
自我巩固答案1 已知⊙O的半径为5cm，点P到⊙O上的点的最近距离是2，那么点P到⊙O上的点的最远距离是
（ ）
A： 7cm
B： 8cm
C： 7cm或12cm
D： 8cm或12cm
2 ⊙O与直线l有两个交点，且⊙O的半径为3，则圆心O到直线l的距离不可能是（ ）
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
3 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，圆心P的坐标为 (−3,0) ，将⊙P沿x轴正方向平
移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A： 1
B： 1或5
C： 3
D： 5
4 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A： 相离
B： 相切
C： 相交D： 无法判断
5 如图， ∠O = 30∘ ，C为OB上一点，且 OC = 6 ，以点C为圆心，4为半径的圆与OA的位置关系
是（ ）
A： 相离
B： 相交
C： 相切
D： 相交或相切
6 已知：如图，在△ABC中， AC = BC ，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点
E，交BC的延长线于点F．求证：
AD = BD
(1) ；
(2) DF 是⊙O的切线．
AB ⊙O C ⊙O P AB
7 已知：如图， 是 的直径，点 是 上一点，点 在 的延长线上，且
∘
∠A = ∠P = 30
．
PC ⊙O
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 BC ，若 AB = 4 ，求△PBC的面积．P ⊙O PA PB ⊙O A B CD ⊙O E PA
8 如图， 为 外一点， 、 分别切 于 、 ， 切 于点 ，分别交 、
PB 于点 C 、D，若 PA = 5 ，则△ PCD 的周长为（ ）
A： 5
B： 7
C： 8
D： 10
9 如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，若 AD = 20 ，则△ABC的周长为（ ）
A： 20
B： 30
C： 40
D： 50
10 如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果AC＝6，BC＝8，求内切圆⊙O的半径．能力提高 / 初三 / 秋季
第 8 讲 与圆有关的位置关系
课堂落实答案
1 一点到圆周上的点的最大距离是11，最小距离是3，则该圆的半径是（ ）
A： 4
B： 6
C： 7
D： 4或7
2 在Rt△ABC中， ∠C = 90∘ ， BC = 3cm ， AC = 4cm ，以点C为圆心，以2.5cm为半径画
圆，则⊙C与直线AB的关系是（ ）
A： 相交
B： 相切
C： 相离
D： 无法确定
3 下列命题中正确的是（ ）
A： 垂直于半径的直线是圆的切线
B： 经过半径外端的直线是圆的切线
C： 经过切点的直线是圆的切线
D： 圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
⊙O Rt ABC D E F ∠C = 90∘ AC = 12
4 如图， 是 △ 的内切圆， ， ， 分别为切点，且 ．已知 ，
BC = 5 OFCE
，则四边形 的面积为（ ）1
A：
15
B：
15
C：
2
4
D：
5 如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为_____．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 8 讲 与圆有关的位置关系
精选精练
1 在平面直角坐标系xOy中，若点 P (4,3) 在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
0 < r < 4
A：
3 < r < 4
B：
4 < r < 5
C：
r > 5
D：(2,3)
2 在平面直角坐标系中，以点 为圆心，2为半径的圆必定（ ）
A： 与x轴相离，与y轴相切
B： 与x轴，y轴都相离
C： 与x轴相切，与y轴相离
D： 与x轴，y轴都相切
3 如图，⊙O过正方形 ABCD 的顶点 A 、 B ，且与 CD 相切，若正方形 ABCD 的边长为 2 ，则
⊙O的半径为（ ）
1
A：
–
√5
B：
2
4
C：
3
5
D：
4
4 如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（ ）
AB = 4 AT = 3 BT = 5
A： ， ，
∠B = 45∘ AB = AT
B： ，
∠B = 55∘ ∠TAC = 55∘
C： ，
∠ATC = ∠B
D：5 如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是
⌢
ABC 上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若 ∠APB = 80∘ ，则 ∠ADC 的度数
是（ ）
15∘
A：
20∘
B：
25∘
C：
30∘
D：
6 如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若 ∠BOC = 140∘ ，则 ∠BIC 的度数为（ ）
110∘
A：
125∘
B：
130∘
C：
140∘
D：
能力提高 / 初三 / 秋季
第 9 讲 圆中的计算
例题练习题答案–
√3
例1 (1)已知正六边形的边心距为 ，则它外接圆的半径为（ ）
2
A：
4
B：
–
2√3
C：
–
4√3
D：
⊙O
(2) 的内接正三角形和外切正方形的边长之比是（ ）
–
√3 : 2
A：
1 : 1
B：
–
1 : √2
C：
– –
√2 : √3
D：
⌢
练1.1 如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是 EF 上一点，则∠BPD的度数是（ ）
A： 30°
B： 60°
C： 55°
D： 75°
练1.2 如图， ⊙O 是正方形 ABCD 与正六边形 AEFCGH 的外接圆．正方形 ABCD 与正六边形
AEFCGH
的边长之比为_____________．例2 (1)如图，半径为 1 的 ⊙O 与正五边形 ABCDE 相切于点 A 、 C ，则劣弧AC的长度为（ ）
3
A： π
5
3
B： π
4
4
C： π
5
2
D： π
3
30cm 80∘ A
(2)如图，半径为 的转动轮转过 时，传送带上的物体 平移的距离为________．
ABCD AB = CD AD//BC B BA
练2.1 如图，四边形 中， ， ，以点 为圆心， 为半径的圆弧与
⌢
BC E AECD AB = 3 AE
交于点 ，四边形 是平行四边形， ，则 的长为（ ）
π
A：
2
π
B：
3π
C：
2
3
D：
练2.2 如图，将半径为 1 、圆心角为 60∘ 的扇形纸片 AOB ，在直线上向右作无滑动的滚动至扇形
A′O′B′ O
处，则顶点 经过的路线总长为____________．C D AB O OA = 2
例3 (1)如图，已知 ， 是以 为直径的半圆周上的两点， 是圆心，半径 ，
∠COD = 120∘
，则图中阴影部分的面积等于___________．
O AB = 20 O B 45∘ O′ AB
(2)如图，半圆 的直径 ，将半圆 绕点 顺针旋转 得到半圆 ，与 交于点
P
．
AP
①求 的长；
π
②求图中阴影部分的面积（结果保留 ）．
练3.1 如图，圆的半径是6，空白部分的圆心角分别是60°与30°，则阴影部分的面积是（ ）
A： 9π
B： 27π
C： 6π
D： 3π3 90∘ ACB BC AB D
练3.2 如图，在半径为 ，圆心角为 的扇形 内，以 为直径作半圆交 于点 ，连接
CD
，则阴影部分的面积是（ ）
5π 3
A： −
9 2
9π 9
B： +
4 4
9π 9
C： −
4 4
9π 9
D： −
8 4
OB = 6cm OC = 8cm
例4 (1)如图，圆锥的底面半径 ，高 ．则这个圆锥的侧面积是（ ）
30cm2
A：
30πcm2
B：
60πcm2
C：
120cm2
D：
(2)现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不
计）．该圆锥底面圆的半径为__________cm．
练4.1 如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（ ）A： 15π
B： 24π
C： 20π
D： 10π
OAB 1
练4.2 如图，扇形 是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为 ，则这个圆锥的底面半径
为（ ）
1
A：
2
–
√2
B：
2
–
√2
C：
–
2√2
D：
ABCD ∠ABC = 120∘ AD = 1 BEF 1
例5 (1)如图所示，菱形 ， ， ，扇形 的半径为 ，圆心角为
60∘
，则图中阴影部分的面积是___________．
8cm AB CD
(2)如图，两个半圆如图放置，大半圆中长为 的弦 平行于直径 ，且与小半圆相切，
cm2
则图中阴影部分的面积为____________ ．
ABCD AD = 2 A D AD
练5.1 如图，在正方形 中，边长 ，分别以顶点 、 为圆心，线段 的长为半径画
E
弧交于点 ，则图中阴影部分的面积是（ ）2
A： π
3
4 –
B： π−√3
3
4 –
C： π−2√3
3
–
π−√3
D：
ABCD ⊙O ⊙O 2 AB BC CD DA
练5.2 如图，正方形 内接于 ， 的半径为 ，若分别以 ， ， ， 为折痕，
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
AB BC CD DA ( π)
将 ， ， ， 向内对折，则图中阴影部分的面积为___________． 结果保留
能力提高 / 初三 / 秋季
第 9 讲 圆中的计算
自我巩固答案
1 等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
–
1 : 2 : √3
A：
2 : 3 : 4
B：
–
1 : √3 : 2
C：
1 : 2 : 3
D：
2 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）1
A：
–
√3
B：
2
C：
–
2√3
D：
3 正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）
60∘
A：
120∘
B：
60∘ 120∘
C： 或
30∘ 150∘
D： 或
10πcm 60πcm2
4 一个扇形的弧长是 ，面积是 ，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
300∘
A：
150∘
B：
120∘
C：
75∘
D：
⌢
5 已知圆 O 的半径是3， A ， B ， C 三点在圆 O 上， ∠ACB = 60∘ ，则 AB 的长是（ ）
2π
A：
π
B：
3
C： π
2
1
D： π
2△ ABC CA = CB = 4 ∠ACB = 90∘ AB D
6 如图，在 中， ， ，以 中点 为圆心，作圆心角为
⌢
90∘ DEF C EF
的扇形 ，点 恰好在 上，则图中阴影部分的面积是（ ）
π −2
A：
π −1
B：
2π −4
C：
D： 不确定
7 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．
∠BAD
(1)仅用无刻度的直尺在图1中作出 的平分线，并说明理由；
(2)如图2，当 ∠BAD = 45∘ ， OC = 4 时，①连接BC，求 ∠ABC 的度数；②求扇 形
AOC
的面积（阴影部分）．
8 如图所示，点A、B、D都在⊙O上，BC是⊙O的切线， AD//BC ， ∠C = 30∘ ，
–
AD = 4√3
．
∠A
（1）求 的度数；
⌢
（2）求由线段BC、CD与 BD 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）9 如图，C、D是以AB为直径的半圆周的三等分点， CD = 8cm ，P是直径AB上的任意一点．
⌢
CD
（1）求 的长；
（2）求阴影部分的面积．
⌢
CD
(1)求 的长；
(2)求阴影部分的面积．
10 如图，△ABC中， AB = AC ，E在AC上，经过A、B、E三点的⊙O交BC于点D，且
⌢ ⌢
BD = DE
．
AB ⊙O
(1)求证： 为 的直径；
AB = 8 ∠BAC = 45∘
(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 9 讲 圆中的计算
课堂落实答案
ABC ⊙O ABC
1 如图，等边三角形 内接于半径为4的 ，则三角形 的边长为（ ）–
2√3
A：
4
B：
–
4√3
C：
6
D：
90∘ ABC A B C
2 如图，从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为 的扇形 ，使点 、 、 在圆周上，将剪下
−−
3√30cm
的扇形作为一个圆锥侧面，如果圆锥的高为 ，则这块圆形纸片的直径为（ ）
12cm
A：
20cm
B：
24cm
C：
28cm
D：
5cm 3cm
3 圆锥母线长 ，底面半径为 ，求它的侧面展开图的圆心角度数．
ABC AB = AC = 8 AB O BC D
4 如图，在等腰直角△ 中， ，以 为直径的半圆 交斜边 于 ．则阴
π
影部分的面积为（结果保留 ）（ ）
24 −4π
A：32 −4π
B：
32 −8π
C：
24 −2π
D：
ABCD B D a
5 在正方形 中，分别以 、 为圆心，以正方形的边长 为半径画弧，则图中阴影部分的面
积为（ ）
1
A：
πa2 −a2
2
1
B： a2 − πa2
2
1
C：
a2
2
1
D：
πa2
4
能力提高 / 初三 / 秋季
第 9 讲 圆中的计算
精选精练
1 如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
π +1
A：π +2
B：
π −1
C：
π −2
D：
⌢
2 如图，三个同心圆扇形的圆心角 ∠AOB 为 120∘ ，半径 OA 为 6cm ， C 、 D 是 AB 的三等分点，
cm2
则阴影部分的面积等于_____ ．
3 如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中
阴影部分的面积是__________．
4 已知：如图，⊙O的半径为2，正方形 ABCD 、 A′B′C′D′ 分别是⊙O的内接正方形和外切正方
S S
形．求两正方形的面积比 ： ．
内 外
5 如图，在 △ ABC 中， ∠ACB = 90∘ ， O 是边 AC 上一点，以 O 为圆心，OA为半径的圆分别交
AB ， AC 于点 E ， D ，在 BC 的延长线上取点F，使得 BF = EF ， EF 与 AC 交于点 G ．EF ⊙O
(1)试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
OA = 2 ∠A = 30∘
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
ABCD A C D O AB E DE CE
6 如图，在平行四边形 中，过 、 、 三点的圆 交 于点 ，连接 、 ，
∠BCE = ∠CDE
．
BC O
(1)求证：直线 为圆 的切线；
AD CE
(2)猜想 与 的数量关系，并说明理由；
BC = 2 ∠BCE = 30∘
(3)若 ， ，求阴影部分面积．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 10 讲 反比例函数初步
例题练习题答案
例1 (1)下面是一些关于x的函数，请找出所有的反比例函数，并在后面写出常数 k 是多少．
x
y =
① ；
3
1
y = −
② ；
x−1
xy = 1
③ ；
m2 +2
y =
④
x
π
y = −
⑤ ；
x
y = −3x−2
⑥ ；
y = (π−3.14)x−1
⑦ ；
3
y = +1
⑧ ．
x(2)若 y = (m−1)x|m|−2 是反比例函数，则m的值是______________．
练1.1 (1)下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
1
A： y = −
2x
1
B： y = −
x2
1
C： y = −
x+1
1
D： y = 1 −
x
(2)函数 y = (m2 −m)x−|m−1| 是反比例函数，则m满足的条件是___________________．
y x
练1.2 (1)下列关系式中，哪个表示 是 的反比例函数（ ）
3
A： y =
x2
x
y =
B：
2
1
C： y = +2
x
1
D： y = −
x
1 2
例2 (1) y = y =
在同一平面直角坐标系中画出下列反比例函数的图象：① ；② ； ③
x x
1
y = −
．
2x
b
(2) ab < 0 y = ax y =
若 ，则正比例函数 与反比例函数 在同一坐标系中的大致图象可能是
x
（ ）
m2 +1
练2.1 (1) y =
下列关于反比例函数 的图象的说法正确的是（ ）
x
A： 图象在第一、三象限B： 图象在第二、四象限
C： 图象在第一、二象限
D： 图象在第三、四象限
a
y = a ≠ 0 y = a(x+1) a ≠ 0
(2)函数 （ ）与 （ ）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
x
−(n −1)2
练2.2 (1)
y =
下列关于反比例函数 的图象的说法正确的是（ ）
x
A： 图象在第一、三象限
B： 图象在第二、四象限
C： 图象在第一、二象限
D： 图象在第三、四象限
−k
(2) y = kx+1 y = k ≠ 0
在同一直角坐标系中，函数 与 （ ）的图象大致是（ ）
x
k
例3 (2,3) y =
已知点 是反比例函数 图象上的点，求反比例函数的解析式．
x
k 1
练3.1 y = (−1, )
已知反比例函数 的图象经过点 ，则反比例函数的解析式为______________．
x 2
k
练3.2 y = (−2,−3)
已知反比例函数 的图象经过点 ，则反比例函数的解析式为______________．
x
4
例4 (1) y = − A A x y B C
反比例函数 的图象上一点 ，过 点分别作 轴、 轴的垂线，垂足为 、 ，求
x
ABOC
矩形 的面积．2 4
(2) 反比例函数 y = 与 y = 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交
x x
反比例函数于B、A两点，交 x 轴于点H，连结 OA 、 OB ，则△AOB的面积为____________．
3
练4.1 （1）反比例函数 y = 的图象上一点 A ，过A点分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为B、C，则
x
ABOC
矩形 的面积为_________．
2 5
（2）双曲线 y = − 与 y = − 在第二象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的线段分别
x x
交双曲线于B、A两点，连接OA、OB，则△ AOB 的面积为________．
2
练4.2 (1) 反比例函数 y = − 的图象经过点 A ，过点A作 AB⊥x 轴于点B，则 ΔAOB 的面积为
x
____．
5
(2) 如图，点A、B是反比例函数 y = 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若阴
x
S +S =
影部分面积为2，则 1 2 _________．
能力提高 / 初三 / 秋季第 10 讲 反比例函数初步
自我巩固答案
1 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
y = 2x
A：
2
B： y =
x2
3
C： y =
x
y = −x
D：
2 函数 y =
(m−1)xm2−2
是反比例函数，则m的值是（ ）
m = ±1
A：
m = 1
B：
–
m = ±√3
C：
m = −1
D：
a
y = y = −ax+1(a ≠ 0)
3 函数 和一次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
x
A：
B：
C：
D：m−1
4 反比例函数 y = 的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
x
m ≥ 1
A：
m ≤ 1
B：
m > 1
C：
m < 1
D：
1
5 y = − (x ,y ) (x ,y ) (x ,y )
在 反 比 例 函 数 x 的 图 象 上 有 三 点 1 1 、 2 2 、 3 3 ． 若
x > x > 0 > x
1 2 3，则下列各式正确的是（ ）
y > y > y
A： 3 1 2
y > y > y
B： 3 2 1
y > y > y
C： 1 2 3
y > y > y
D： 1 3 2
A(x,y) xy = 4
6 点 在某反比例函数的图象上， ，则此函数的表达式为（ ）
4
A： y =
x
8
B： y =
x
8
C： y = −
x
4
D： y = −
x
k
7 如图，点P、Q是反比例函数 y = 图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x
x
轴于点M，QB⊥y轴于点B，连结PB、QM，记 S ΔABP = S 1， S ΔQMN = S 2，则 S 1和 S 2的大
小关系为（ ）
S > S
A： 1 2S < S
B： 1 2
S = S
C： 1 2
D： 无法判定
k
8 如图，点A是双曲线 y = 在第二象限分支上的任意一点，点B、C、D分别是点A关于x轴、坐标
x
原点、y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为（ ）
−1
A：
B： 1
C： 2
−2
D：
9 如图，在平面直角坐标系中，一个正方形的中心在原点O处，且一组对边与y轴平行，点
k
A(2a,−5a) y =
是反比例函数 的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于
x
25，则k的值为（ ）
A： 5
−5
B：
C： 10
−10
D：
1
10 如图，A、B是函数 y = 的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴．
x
（1）已知A的坐标为 (1,1) ，写出点B的坐标，并求出此时△ABC的面积；点A的坐标为1
(2, ) ，写出点B的坐标，并求出此时△ABC的面积；
2
1
（2）已知点A的坐标为 (a, ) ，求出点B的坐标，并求出此时△ABC的面积．
a
能力提高 / 初三 / 秋季
第 10 讲 反比例函数初步
课堂落实答案
y = 2xm−5 m =
1 若 为反比例函数，则 （ ）
−4
A：
−5
B：
C： 4
D： 5
a
y = 2x+a y = a ≠ 0
2 在同一直角坐标系中，函数 与 （ ）的图象可能是（ ）
x
A：
B：C：
D：
1 −m
3 y = y x m
对于反比例函数 ，其图象在每个象限内 的值都随 值的增大而减小，则 的取值范
x
围是（ ）
m > 0
A：
m > 1
B：
m < 0
C：
m < 1
D：
M (−1,2)
4 已知反比例函数的图象过点 ，则此反比例函数的表达式为（ ）
2
A： y =
x
2
B： y = −
x
1
C： y =
2x
1
D： y = −
2x
5 如图所示，一个反比例函数的图象在第二象限内，点A是图象上的任意一点， AM⊥x 轴于M，O
S = 3
是原点，若 △AOM ，求该反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围．
能力提高 / 初三 / 秋季第 10 讲 反比例函数初步
精选精练
y = (m2 −m)xm2−3m+1
1 函数 是反比例函数，则（ ）
A： m≠0
B： m≠0且m≠1
C： m=2
D： m=1或2
a
y = ax−a y = a ≠ 0
2 函数 与 （ ）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
x
A：
B：
C：
D：
k
3 如图，反比例函数y= 的图象经过点M，则此反比例函数的解析式为（ ）
x1
A： y = −
2x
1
B： y =
2x
2
C： y = −
x
2
D： y =
x
k
4 如图，正比例函数 y = ax 的图象与反比例函数 y = 的图象相交于点A，B，若点A的坐标为
x
(−2,3) ，则点B的坐标为____________．
k
5 如图，A、B是双曲线 y = 上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的
x
面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
4
A：
3
8
B：
3
C： 3
D： 4k
6 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y = （ x > 0 ）的图象交矩形OABC的边AB于点
x
D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=______．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 11 讲 反比例函数综合
例题练习题答案
k 1
例1 y = y = ax+b A(2,2) B( ,n)
如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 、 ．
x 2
（1）求这两个函数解析式；
（2）将一次函数 y = ax+b 的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数
k
y = 的图象有且只有一个交点，求m的值．
x
1
练1.1 在平面直角坐标系中，直线 y = x+b 与反比例函数 y = − 只有一个公共点，则b的值是
x
（ ）
A： 1
±1
B：
±2
C：
D： 21
练1.2 直线 y = x+b 与反比例函数 y = − 最多只有一个公共点，则b的取值范围是_______．
x
k
例2 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点 A(2,5) 在反比例函数 y = 的图象上，一次函
x
数 y = x+b 的图象过点A，且与反比例函数图象的另一个交点为B．
（1）求k和b的值；
（2）设反比例函数值为 y 1，一次函数值为 y 2，求 y 1 > y 2时x的取值范围．
k
练2.1 如图，一次函数 y 1 = ax+b 与反比例函数 y 2 = x 的图象如图所示，当 y 1 < y 2时，x的取值范
围是（ ）
x < 2
A：
x > 5
B：
2 < x < 5
C：
0 < x < 2 x > 5
D： 或
k
练2.2 如图，一次函数 y = ax+b 和反比例函数 y = 的图象相交于A、B两点，使不等式
x
k
ax+b− > 0 成立的x的取值范围是（ ）
xx < −1 x > 4
A： 或
−1 < x < 4
B：
x < −1 0 < x < 4
C： 或
−1 < x < 0 x > 4
D： 或
k
例3 y = ax+b y = A(−3,2) B(2,n)
如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， ．
x
k
y =
（1）求反比例函数 的解析式；
x
y = ax+b
（2）求一次函数 的解析式；
k
ax+b− < 0
（3）观察图象，直接写出不等式 的解集．
x
1 4
练3.1 y = x y = (−4,−1) (4,1)
如图，直线 与反比例函数 相交于 和 两点，则不等式
4 x
1 4
x− > 0
的解集为（ ）
4 x
−4 < x < 0 x > 4
A： 或
x < −4 0 < x < 4
B： 或−4 < x < 4 x ≠ 0
C： 且
x < −4 x > 4
D： 或
k k
练3.2 y = −x−1 y = A B −x−1 <
如图，直线 交反比例函数 于 、 两点，则不等式 的解集为
x x
_____．
k
例4 y = y = 2x−1 (a,b)
已知反比例函数 和一次函数 ，其中一次函数的图象经过 、
2x
(a+k,b+k+2)
两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标；
k
> 2x−1
（3）根据函数图象，求不等式 的解集；
2x
（4）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使 ΔAOP 是等腰三角形？若存在，把符合条件的
点P的坐标求出来；若不存在，请说明理由．
练4.1 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点A的坐标为 (2,0) ，顶点B的坐标为
k
(0,1) ，顶点C在第一象限，若函数 y = (k > 0) 的图象经过点C，则k的值为____．
xk
练4.2 y = −2x y =
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象的一个交点
x
A(−1,n)
为 ．
k
y =
（1）求反比例函数 的解析式；
x
（2）若P是坐标轴上一点，且满足 PA = OA ，直接写出点P的坐标；
（3）若P是x轴上一点，且满足 ΔAPO 为等腰三角形，直接写出点P的坐标
例5 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = ax−a （a为常数）的图象与y轴相交于点A，
2
y = (x > 0) B(m,1)
与函数 的图象相交于点 ．
x
（1）求点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△PAB为直角三角形，请直接写出点P的坐标．
k
练5.1 如图，一次函数 y = x+2 的图象与反比例函数 y = 的图象交于A、B两点，且点A的坐标为
x
(1,m)
．k
y =
（1）求反比例函数 的表达式；
x
k
C (n,1) y = ΔAOC
（2）点 在反比例函数 的图象上，求 的面积；
x
（3）在x轴上是否存在点P，使得 ΔABP 是直角三角形，若存在，请求出所有点P的坐标，若不
存在，说明理由．
xOy y = kx+b A(0,−2) B(1,0)
练5.2 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过 ， 两点，
m
与反比例函数 y = (m ≠ 0) 的图象在第一象限内交于点M，若△OBM的面积是 2 ．
x
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P是 x 轴上一点，且满足△AMP是以AM为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐
标．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 11 讲 反比例函数综合
自我巩固答案
1 −k
1 函数 y = 与 y = 2x 的图象没有交点，则k的取值范围是（ ）
x
k < 0
A：
k < 1
B：k > 0
C：
k > 1
D：
k
2 在同一直角坐标系中，一次函数 y = 2x+1 与反比例函数 y = 的图象没有交点，则k的取值范
x
围是（ ）
k > 0
A：
k < 0
B：
1
C： k > −
8
1
D： k < −
8
k
3 已知直线 y = x+1 与反比例函数 y = 的图象的一个交点为 P (a,2) ，则ak的值为（ ）
x
A： 2
1
B：
2
−2
C：
1
D： −
2
4
4 y = −2x+6 y = (1,4) (2,2)
已知直线 1 与双曲线 2 x 在同一坐标系的交点坐标是 和 ，则当
y 1 > y 2时，x的取值范围是（ ）
x < 0 1 < x < 2
A： 或
x < 1
B：
0 < x < 1 x < 0
C： 或
x > 2
D：
k
5 如图，反比例函数 y = x 1 与正比例函数 y = k 2 x 的图象交于A，B两点，且点A的坐标为
(−2,4)
，
k
x 1 > k 2 x ，则x的取值范围是（ ）−2 < x < 0
A：
−2 < x < 2
B：
−2 < x < 0 x > 2
C： 或
x < −2 0 < x < 2
D： 或
k
6 一次函数 y 1 = ax+b(a ≠ 0) 与反比例函数 y 2 = x (k ≠ 0) 在同一平面直角坐标系xOy中的
图象如图所示，当 y 1 > y 2时，x的取值范围是（ ）
−1 < x < 3
A：
x < −1 0 < x < 3
B： 或
x < −1 x > 3
C： 或
−1 < x < 0 x > 3
D： 或
8
7 如图，已知一次函数 y = kx+b 的图象与反比例函数 y = − 的图象交于A、B两点，且点A的
x
横坐标和点B的纵坐标都是 −2 ，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．
k
8 如图，点A是反比例函数 y = (x > 0) 图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且
x
OB = OC ，若△ABC的面积等于6，则k的值为（ ）
A： 3
B： 6
C： 8
D： 12
2
9 在平面直角坐标系中，一次函数 y = x+1 与y轴交于点A，与反比例函数 y = (x > 0) 交于点
x
B，点C在y轴上，且使得△ABC是直角三角形，则点C的坐标是（ ）
(0,2)
A：
(0,3)
B：
(0,2) (0,3)
C： 或
D： 以上都不对
k
10 如图1，已知，点 A(−1,1) 绕原点O顺时针旋转90°后刚好落在反比例函数 y = 图象上点B
x
处，如图2，直线OB与反比例函数图象交于另一点C，在x轴上是否存在点D，使△DBC是等腰三角
形，符合条件的点D的坐标为（ ）– –
(−√7−1,0) (√7−1,0)
A： 或
– –
(−√7,0) (√7,0)
B： 或
– – – –
(−√7−1,0) (√7−1,0) (−√7+1,0) (√7+1,0)
C： 或 或 或
– –
(−√7+1,0) (√7+1,0)
D： 或
能力提高 / 初三 / 秋季
第 11 讲 反比例函数综合
课堂落实答案
3
1 y = y = x+2 A(a,b) a−b+ab
反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，则 的值是
x
（ ）
A： 1
−1
B：
C： 3
D： 2
k
2 y = kx+b y = (k ≠ 0)
在同一平面直角坐标系中，函数 1 与 2 x 的图象如图所示，则当
y 1 < y 2时，x的取值范围为（ ）x < −3
A：
x < −3 0 < x < 1
B： 或
−3 < x < 0 x > 1
C： 或
−3 < x < 1
D：
1 −k
3 已知函数 y = 的图象与直线 y = x+k+3 交点的横坐标为2，那么k的值是（ ）
x
−3
A：
−2
B：
−1
C：
D： 0
k
4 如图，直线 y = x−2 与y轴交于点A，与反比例函数 y = 的图象交于点B，过点B作BC⊥y轴
x
于点C，三角形ABC的面积为8，则反比例函数的解析式为（ ）
2
A： y =
x
4
B： y =
x
6
C： y =
x
8
D： y =
x
2
5 如图，反比例函数 y = 的图象与一次函数 y = kx+b 的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分
x
−2
别为1， ．
（1）求一次函数的解析式；
2
（2）对于反比例函数 y = ，当 y < −1 时，写出x的取值范围．
x能力提高 / 初三 / 秋季
第 11 讲 反比例函数综合
精选精练
2
1 如图，点A在双曲线 y = 上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于
x
M，则△AMC的周长为（ ）
–
4√5
A：
B： 3
–
2√5
C：
−−
√21
D：
m
A(−4,2) B(n,−4) y = kx+b y =
2 已知 、 两点是一次函数 和反比例函数 图象的两个交
x
点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
m
kx+b− > 0
（3）观察图象，直接写出不等式 的解集．
x
3 如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数
k
y = 图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知
x
B（1，3）．
k
（1） =______；
（2）试说明AE=BF；
21
（3）当四边形ABCD的面积为 时，求点P的坐标．
4
k
4 y = k x+b k ≠ 0 y = 2 k ≠ 0
如图，一次函数 1 （ 1 ）与反比例函数 x （ 2 ）的图象交于点
A(−1,2) B(m,−1)
， ．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0）（n>0），使△ABP为等腰三角形？若存在，求n的值；若不
存在，说明理由．
k
5 如图，已知双曲线 y = 经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，
x
过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．6 如图，在平面直角坐标系中，直线l： y = x+2 交x轴于点A，交y轴于点 A 1，点 A 2、 A 3，……
在直
线l上，点 B 1、 B 2、 B 3，……在x轴的正半轴上．若 △ A 1 OB 1， △ A 2 B 1 B 2，
△ A B B
3 2 3依次均为等腰直
角三角形，且直角顶点都在x轴上，则第2017个等腰直角三角形 A 2017 B 2016 B 2017顶点 B 2017的
横坐标
为___________．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 12 讲 相似经典模型
例题练习题答案
例1 如图，D、E是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为 S 1、 S 2、 S 3，则
S : S : S =
1 2 3 （ ）1 : 2 : 3
A：
1 : 2 : 4
B：
1 : 3 : 5
C：
2 : 3 : 4
D：
练1.1 下列说法正确的是（ ）
A： 所有的矩形都是相似图形
B： 有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
C： 对应角相等的两个多边形相似
D： 对应边成比例的两个多边形相似
AD
练1.2
如图，在矩形ABCD中，E、F分别为AD与BC的中点，且矩形ABCD∽矩形AEFB， 的值为
AB
（ ）
A： 2
5
B：
3
–
√2
C：
–
√3
D：
例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC．(1)求证：△ABD∽△DCB；
(2)如果AD=4，BC=9，求BD的长．
练2.1 如图，点P在△ABC的边AC上，下列条件中不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）
∠ABP = ∠C
A：
∠APB = ∠ABC
B：
AP AB
C： =
AB AC
AB AC
D： =
BP CB
2 5
练2.2 已知△ABC与△ A′B′C′ 的相似比为 ，△ A′B′C′ 与△A″B″C″的相似比为 ，则△ABC与△A″B″C″
3 4
的相似比为（ ）
5
A：
6
6
B：
5
5 6
C：
或
6 5
8
D：
15
△ ABC △ A B C
例3 如图， 与 1 1 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心坐标是（ ）(6,2)
A：
(6,1)
B：
(4,2)
C：
(2,6)
D：
练3.1 (1)如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面
4 : 9 OB′ : OB
积比是 ，则 为（ ）
2 : 3
A：
3 : 2
B：
4 : 5
C：
4 : 9
D：
(2)如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A、B、C的坐标分别是 (1,−1) 、 (2,1) 、 (1,1) ．
①作图：以点O为位似中心，在y轴的左侧把原来的四边形OABC放大两倍（不要求写出作图
过程）；②直接写出点A、B、C的对应点A′、B′、C′的坐标．
练3.2 在平面直角坐标系中，已知点E(−4,2) ，F(−2,−2) ，以原点O为位似中心，相似比为 2 : 1 ，把
△ EFO 缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
(−2,1)
A：
(−8,4)
B：
(−2,1) (2,−1)
C： 或
(−8,4) (8,−4)
D： 或
例4 (1)如图，在△ ABC 中， AB = 9 ， AC = 6 ， BC = 12 ，点M在边AB上， AM = 3 ，过点
M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为
____________．
(2)如图，在△ ABC 中， AB = 20 ， BC = 12 ，D是AC上一点，过点D作DE∥BC交AB于E，
作DF∥AB交BC于F，设四边形BEDF为菱形．
①求菱形的边长；②求菱形BEDF的面积与△ ABC 的面积之比．
练4.1 如图，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，下面的说法中正确的是（ ）
△ ABC △ DEF △ ABC △ DEF 1 : 2
① 与 是相似三角形；② 与 的相似比为 ；
△ ABC △ DEF 2 : 1 ∠BAC = ∠EDF
③ 与 的周长之比为 ；④ ．
A： ①②③
B： ②③④
C： ①②④
D： ①③④
BF CE 4
练4.2 如图，已知点D、E、F分别在 △ ABC 的边AB、AC、BC上，DF∥AC， = = ，则
CF AE 3
DE
=
____________．
BC
ABC BC = 120 AD = 80
例5 一块材料的形状是锐角三角形 ，边 mm，高 mm，把它加工成正方
形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
△ AEF △ ABC
（1） 求证： ∽ ；
（2） 求这个正方形零件的边长；（3） 如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
练5.1 如图，在 △ ABC 中，正方形 EFGH 的两个顶点E、F在BC上，另外两个顶点G、H分别在AC、
AB上， BC = 15 ，BC边上的高是10，则正方形的面积为（ ）
A： 6
B： 36
C： 12
D： 49
练5.2 如图，在 △ ABC 中，矩形DEFG的一边DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC
边上的高，AH与GF交于点K．若 AH = 32cm ， BC = 48cm ，矩形DEFG的周长为76cm，矩
形DEFG的面积为______________．
例6 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且AE=3ED，连接CE并延长交AB于F，则
BF : AB
=（ ）1 : 2
A：
1 : 3
B：
2 : 3
C：
2 : 5
D：
练6.1 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分 ∠DAB ，且
∠DAC = ∠DBC
，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A： △AOD∽△BOC
B： △AOB∽△DOC
CD=BC
C：
BC ⋅CD = AC ⋅OA
D：
练6.2 如图，点D是AB边的中点，AF∥BC， CG : GA = 3 : 1 ， BC = 8 ，则 AF = ______．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 12 讲 相似经典模型自我巩固答案
1 如图，正方形ABCD的边长为2， BE = CE ， MN = 1 ，线段MN的两端点在CD、AD上滑
动，当DM为（ ）时， △ ABE 与以D、M、N为顶点的三角形相似．
–
√5
A：
5
–
2√5
B：
5
– –
√5 2√5
C：
或
5 5
– –
2√5 3√5
D：
或
5 5
2 如图，在直角坐标系中， △ ABO 三个顶点及点P的坐标分别是O(0,0) 、A(4,2) 、B(2,4) 、P
(4,4) ，以点P为位似中心，画 △ DEF 与 △ ABO 位似，且相似比为1：2，请在网格中画出符合
条件的△DEF．
3 在 △ ABC 中，DE∥BC， AD : AB = 3 : 4 ， △ ABC 的面积等于48，则 △ ADE 的面积等
于（ ）A： 12
B： 24
C： 27
D： 36
4 如图，点D在△ABC的边AB上，连接CD，若 ∠ADC = ∠ACB ， BD = 1 ， AD = 2 ，则CA
的值为（ ）
A： 5
B： 4
C： 6
–
√6
D：
5 如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平
行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）
AD AE
A： =
BD EC
AF DF
B： =
AE BE
AE AF
C： =
EC FE
DE AF
D： =
BC FE
6 如图，在△ABC中，EFGH是正方形，E、F在BC边上，H、G分别在AB、AC边上， BC = a ，BC
边上的高为h，则正方形EFGH的边长为（ ）ah
A：
a+h
h2
B：
a
a2
C：
h
ah2
D：
(a+h)2
7 如图，AB∥CD，AD、BC相交于点O，点E、F分别是OA、OB的中点，若 OB = 4 ， OC = 3 ，
EF = 4 ，则CD的长为（ ）
8
A：
3
B： 4
C： 6
D： 8
△ ABC BE CD O S : S =
8 如图，在 中，两条中线 、 相交于点 ，则 △DOE △COB （ ）
1 : 4
A：
2 : 3
B：
1 : 3
C：1 : 2
D：
9 如图，□ABCD中，E、F是边BC的三等分点，AF交DE于点M，则 AM : AF 等于（ ）
3 : 2
A：
2 : 3
B：
3 : 4
C：
4 : 3
D：
10 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、AB中点，连接FC、AE，且AE与FC交于点M，AE
的延长线与DC的延长线交于点N．若AB=2， BF = 2ME ，线段AN的长为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
能力提高 / 初三 / 秋季
第 12 讲 相似经典模型
课堂落实答案4 ×4 1 ABC
1 下列 的正方形网格中，小正方形的边长均为 ，三角形的顶点都在格点上，则与△ 相
似的三角形所在的网格图形是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 如图，已知点E(−8,4) ，F(−4,−4) ，以点O为位似中心画三角形，使它与△EFO位似，且相似
1
比为 ，则点E的对应点的坐标为___________．
2
3 如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG模型．其中，G、F在BC边上，D、E分别在
AB、AC边上，AH⊥BC交DE于M，若 BC = 12 cm， AH = 8 cm，则正方形DEFG的边长是
（ ）24
A：
cm
5
B： 4cm
24
C：
cm
7
D： 5cm
4 如图，已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、
G，若 BE = 5 ， EF = 2 ，则FG的长为（ ）
11
A：
2
15
B：
2
21
C：
2
23
D：
2
5 如图， △ ABC 的两条中线 AD 和 BE 相交于点 G ，过点 E 作EF//BC交 AD 于点 F ， 则
FG : AG
是（ ）
1 : 4
A：1 : 3
B：
1 : 2
C：
2 : 3
D：
能力提高 / 初三 / 秋季
第 12 讲 相似经典模型
精选精练
1 如图，△ABC中， AB = 4 ， BC = 6 ，点D、点E分别是边AB、BC上的两个动点，若按照下列
条件，将△ABC沿DE剪开，剪下的△BDE与原三角形不相似的是（ ）
∠BDE = ∠C
A：
B： DE∥AC
AD = 3 BE = 2
C： ，
AD = 1 CE = 4
D： ，
2 如图，在 △ ABC 中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB=AD．
△ FDB △ ABC
（1）判断 与 是否相似，并说明理由；
（2）AF与DF相等吗？为什么？
3 如图，有一块三角形余料ABC， BC = 120 mm，高线 AD = 80 mm，要把它加工成一个矩形
零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB、AC边上，若满足 PM : PQ = 3 : 2 ，则PM
的长为（ ）A： 60mm
B： 20mm
160
C：
mm
13
240
D：
mm
13
4 如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∠EAF = ∠GAC
．
△ ADE △ ABC
（1）求证： ∽ ；
AF
（2）若AD=3，AB=5，求 的值．
AG
5 如图，点M是平行四边形ABCD边CD上的一点，BM的延长线交AD的延长线于点N，则图中相似
的三角形有（ ）
A： 3对
B： 2对
C： 1对
D： 0对ABCD E AE BD AE BD F
6 如图，在平行四边形 中， 为CD上一点，连接 、 ，且 、 交于点 ，
S : S = 4 : 25 DE : EC =
△DEF △ABF ，则 （ ）
2 : 5
A：
2 : 3
B：
3 : 5
C：
3 : 2
D：
能力提高 / 初三 / 秋季
第 13 讲 相似的应用
例题练习题答案
例1 如图，已知CD是△ABC的高，DE⊥CA，DF⊥CB，求证： △ CEF ∽△ CBA ．
–
练1.1 (1)如图，在Rt △ ABC 中， ∠C = 90∘ ， CD⊥AB 于点D，且 AD = 6 ， AC = 3√6 ，则
CB =
_____________．∠ACD = ∠B AC = 5 AD = 3 AB =
(2)如图，已知 ， ， ，则 ____________．
例2 已知，如图， △ ABC 中， AB = 2 ， BC = 4 ，D为BC边上一点， BD = 1 ．
△ ABD △ CBA
（1）求证： ∽ ；
DE AB AC E △ ABD
（2）在原图上作 ∥ 交 于点 ，请直接写出另一个与 相似的三角形，并求出
DE
的长．
练2.1 如图，在矩形ABCD中， DF : AF = 1 : 4 ，且 CF⊥BD 于G， DG = 3 ，则CG值为
___________．
练2.2 如图，在矩形ABCD中，F是AB的中点，且 CF⊥BD 于G， DG = 2 ，CG值为_____________，
CD值为_____________．
例3 在平面直角坐标系xOy中， △ AOB 的位置如图所示，已知 ∠AOB = 90∘ ， ∠A = 60∘ ，点A
的坐标为 (−2,1) ，求点B的坐标．练3.1 已知四边形ABCD， ∠ABC = ∠BCD = 90∘ ， AB = 1 ， CD = 4 ， BC = 5 ，在线段BC
上找一点P，使得 △ ABP 和 △ PCD 相似，则PB的长度为______________．
练3.2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC = 90∘ ，E是AB上一点，且DE⊥CE ． 若
AD = 1 ， BC = 2 ， CD = 3 ，则CE与DE的数量关系正确的是（ ）
–
CE = √3DE
A：
–
CE = √2DE
B：
CE = 3DE
C：
CE = 2DE
D：
例4 如图，已知等边△ ABC 的边长为8，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上， BD = 3 ，E为AC中
点，当△ BPD 与△ PCE 相似时，求BP的值．练4.1 如图，等边 △ ABC 中，边长为6，D是BC上的动点， ∠EDF = 60∘ ．
△ BDE △ CFD
（1）求证： ∽ ；
（2）当 BD = 1 ， FC = 3 时，求BE．
练4.2 如图，D为等边 △ ABC 边BC上一点， ∠ADE = 60∘ ，DE交AC于E，若 BD = 2 ，
CD = 3 CE =
，则 _________．
例5 如图，已知在 △ ABC 中， AB = AC = 6 ， BC = 5 ，D是AB上一点， BD = 2 ，E是BC上
一动点，连接DE，并作 ∠DEF = ∠B ，射线EF交线段AC于F．
△ DBE △ ECF
（1）求证： ∽ ；
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）连接DF，如果 △ DEF 与 △ DBE 相似，求FC的长．练5.1 如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足
∠DEF = ∠B ，且点D、F分别在边AB、AC上．
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分 ∠DFC ．
练5.2 如图，在正方形 ABCD 中，E为AB中点，G、F分别是AD、BC边上的点，若 AG+BF = 5 ，
∠GEF = 90∘ ，则GF的长为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
例6 学习投影后，小刚、小雯利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，在同一时间，
身高为1.6m的小刚（AB）的影子BC长是3m，而小雯（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测
HB = 6m
得 ．
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；(2)求路灯灯泡的垂直高度GH；
(3)如果小刚沿线段BH向小雯（点H）走去，当小刚走到BH中点 B 1处时，求其影子 B 1 C 1的
长．
练6.1 一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均
为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A： 第4张
B： 第5张
C： 第6张
D： 第7张
练6.2 小明用自制的直角三角形纸DEF测量树AB的高度，测量时，使直角边DF保持水平状态，DF延长线
交AB于点G；使斜边DE与点A在同一条直线上．测得边DF离地面的高度为1.8m，点D到AB的距离
等于9m（如图所示）．已知 DF = 45cm ， EF = 30cm ，那么树AB的高度等于
__________m．
能力提高 / 初三 / 秋季第 13 讲 相似的应用
自我巩固答案
1 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ACB = 90∘ ，CD⊥AB，垂足为D，且 AD : BD = 16 : 9 ，则
CD : AC =
（ ）
3 : 4
A：
3 : 5
B：
4 : 5
C：
2 : 3
D：
2 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠C = 90∘ ， CD⊥AB 于D， AD = 9 ， BD = 4 ，则
CD =
（ ）
6
A：
–
2√6
B：
8
C：
3
8
D：
3 如图，已知AB=AC，AD⊥AB．若 CD = 7 ， AB = 15 ，求BC的长．
–
4 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若 AG = √2 ，
–
BF = 2√2 ， ∠GEF = 90∘ ，则GF的长为（ ）2
A：
–
2√2
B：
3
C：
–
3√2
D：
5 如图，在四边形ABCD中， AB = 7 ， AD = 9 ， BC = 12 ，在线段BC上取一点E，连接DE，
作 EF⊥DE ，交AB于点F，若 AF = CE ，则CE的长为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
6 如图，已知点 A(0,4) ， B(4,1) ，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P的
坐标为（ ）
–
(√2,0)
A：
(2,0)
B：
–
(√3,0)
C：–
(2√2,0)
D：
AB BC DC BC E BC AE DE
7 如图， ⊥ ， ⊥ ， 是 上一点，使得 ⊥ ．
△ ABE △ ECD
⑴求证： ∽ ；
AB = 4 AE = BC = 5 CD
⑵若 ， ，求 的长；
⑶当 △ AED ∽ △ ECD 时，请写出线段AD、AB、CD之间的数量关系，并说明理由．
8 如图所示，Rt △ ABC 中， ∠BAC = 90∘ ， AB = AC = 2 ，点D在边BC上（不与B、C两点
重合），且 ∠ADE = 45∘ ，DE交AC于点E．若 BD = x ，则CE的长度为（ ）
–
2√2x
A：
–
2√2x−x2
B：
2
–
√2x
C：
2
x−x2
D：
2
9 如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE 高 1.2m ， 又 知
AB : BC ＝ 1 : 8 ，则建筑物CD的高是（ ）
A： 9.6m
B： 10.8mC： 12m
D： 14m
CD =
10 九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度 3m，标杆与旗
杆的水平距离 BD = 15m ，人的眼睛与地面的高度 EF = 1.6m ，人与标杆CD的水平距离
DF = 2m，求旗杆AB的高度．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 13 讲 相似的应用
课堂落实答案
1 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠C = 90∘ ， CD⊥AB 于点D，且 BD = 4 ， CD = 6 ，那么AD的
值为（ ）
A： 8
B： 9
C： 10
D： 12∠ACP = ∠B AC = 5 AP = 3 AB
2 如图，已知 ， ， ，求 的值．
3 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上， ∠EDF = ∠C = ∠B ， DE = 3 ，
BE = 4 DF = 5 CD =
， ，则 （ ）
24
A：
5
15
B：
4
20
C：
3
28
D：
5
4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， AD < BC ， AB = CD = 2 ， AD = 5 ，点P是AD上
一动点，
∠BPC = ∠A = ∠D AP =
若 ，则 （ ）
1
A：
4
B：
3
4
C：
1 4
D： 或5 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发
经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得 AB = 1.2 米，
BP = 1.8 PD = 12
米， 米，那么该古城墙的高度是（ ）
A： 6米
B： 8米
C： 18米
D： 24米
能力提高 / 初三 / 秋季
第 13 讲 相似的应用
精选精练
Rt △ ABC ∠BAC = 90∘ AD⊥BC BD = 9 CD = 16
1 如图，已知在 中， ， ， ， ，下列选
项结论中，此题数据不能验证结论的选项是（ ）
AB2 = BD⋅CD
A：
AB2 = BD⋅BC
B：
AC2 = CD⋅BC
C：
AD2 = BD⋅CD
D：
2 如图：已知，在 Rt △ ABC 中， CD⊥AB 于D．若AD、BD的长是关于x的方程
x2 −10x+m = 0 的两个根，且 S △ABC = 20 ，求m的值．3 如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若 AB = 12 ，
BM = 5 ，则DE的长为（ ）
A： 18
109
B：
5
96
C：
5
25
D：
3
4 如图，将矩形纸片 ABCD(AD > DC) 的一角沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落
点为E，折痕交AB边于点F，若 BE : EC = m : n ，则 AF : FB = _____．（用含有m、n
的代数式表示）．
AB DB B CD DB D AB = 6 CD = 4 BD = 14 DB
5 如图， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， ， ， ．则在 上
是否存在点 P ，使得△CDP与△ABP相似，如果存在，求出 DP 的长，如果不存在，说明理由．
6 如图，某公园有路灯AB，李彦在水平地面C处测得自己的影子CD的长为 1.2 米，继续笔直往前走3
米到达E处时，测得影子EF的长为 2.4 米，已知李彦的身高是 1.6 米，那么路灯AB的高度是多少？
能力提高 / 初三 / 秋季
第 14 讲 解三角形
例题练习题答案
Rt △ ABC ∠C = 90∘ AC = 3 BC = 4 tanB =
例1 (1)在 中， ， ， ， （ ）
3
A：
4
3
B：
5
4
C：
3
4
D：
5
1
(2)已知 sinA = ，则下列正确的是（ ）
2
–
√2
A： cosA =
2
–
√3
B： cosA =
2
tanA = 1
C：
–
tanA = √3
D：
练1.1 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠C = 90∘ ， AB = 13 ， BC = 12 ，则下列三角函数表示正确的是
（ ）12
A： sinA =
5
5
B： cosA =
13
12
C： tanA =
13
12
D： tanB =
5
1
练1.2 在Rt△ABC中， ∠C = 90∘ ， cosA = ，则 tanB 等于（ ）
2
–
√3
A：
–
√3
B：
2
–
√3
C：
3
–
2√3
D：
–
M M(√5,2) cosα
例2 (1)如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，那么 的值是（ ）
–
√5
A：
2
2
B：
3
–
2√5
C：
5
–
√5
D：
3
∠AOB sin∠AOB
(2)如图， 是放置在正方形网格中的一个角，则 的值是 ．练2.1 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点 (4,2) ，则 tanα 的值是（ ）
1
A：
2
–
√5
B：
–
√5
C：
5
D： 2
△ ABC A B C tanC
练2.2 如图，将 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点 ， ， 均在格点上，则 的
值是（ ）
A： 2
4
B：
3
C： 1
3
D：
4
– –
△ ABC ∠C = 90∘ AB = √6 BC = √3 ∠A
例3 在 中， ， ， ，则 的度数为（ ）
30∘
A：
45∘
B：60∘
C：
75∘
D：
– A
练3.1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2， BC = √3 ，则 sin = ________．
2
–
√2
–
练3.2 △ ABC sinA = tanB = √3
在 中，若 ， ，则这个三角形是（ ）
2
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 等腰三角形
例4 计算：
−1
– 1 –
tan60∘ −√8+( ) +|√3−2|
（1） ；
3
2sin30∘ +3cos60∘ −4tan45∘
（2） ．
−1
1 –
练4.1 ( ) +|−√3|−3tan30∘ +(3 −π)0
计算：
3
–
sin230∘+cos245∘ +√2sin60∘ ⋅tan45∘
练4.2 计算 =________．
3
例5 △ ABC ∠C = 90∘ AM BC sin∠CAM = tanB
如图，在 中， ， 是 边上的中线， ，求 的
5
值．
Rt △ ABC ∠ACB = 90∘ D BC ∠B = α ∠ADC = β
练5.1 如图， 中， ，点 是 边上一点．若 ， ，
AB
则 为（ ）
ADsinα
A：
sinβ
cosα
B：
cosβ
sinβ
C：
sinα
cosβ
D：
cosα
1
练5.2 如图，在△BAD中， ∠BAD = 90∘ ，延长斜边BD到点C，使 DC = BD ，连接AC，若
2
5
tanB = tan∠CAD
，则 的值=________．
3
– 2
例6 △ ABC ∠B = 45∘ AB = 2√2 tanC = BC AC
如图，已知在 中， ， ， ．求 和 的长．
3
–
1 √2 –
练6.1 AD △ ABC tanB = cosC = AC = √2 BC
如图， 是 的中线， ， ， ．求 的长．
5 2
3
练6.2 △ ABC ∠C = 90∘ AB = 10 sinB = D BC
如图，在 中， ， ， ，点 为边 的中点．
5
BC ∠BAD
（1）求 的长；（2）求 的正切值．–
A 65∘ 30√2km B 40∘
例7 (1)如图，一艘船由 港沿北偏东 方向航行 至 港，然后再沿北偏西 方向航行
C C A 20∘ A C km
至 港， 港在 港北偏东 方向，则 ， 两港之间的距离为（ ） ．
–
30 +30√3
A：
–
30 +10√3
B：
–
10 +30√3
C：
–
30√3
D：
(2)如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为
45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，则旗杆AB的高度为
________m．
练7.1 在一次综合社会实践活动中，小东同学从A处出发，要到A地北偏东
60∘
方向的C处，他先沿正东方
向走了200m到达B处，再沿北偏东
30∘
方向走，恰能到达目的地C，如图所示，可知B，C两地相
距________m．
AB D CD
练7.2 为了测量竖直旗杆 的高度，某综合实践小组在地面 处竖直放置标杆 ，并在地面上水平放
E B E D F
置一个平面镜 ，使得 ， ， 在同一水平线上，如图所示，该小组在标杆的 处通过平面镜
E A ∠AEB = ∠FED) F A 39.3∘
恰好观测到旗杆顶 （此时 ，在 处测得旗杆顶 的仰角为 ，平面
E 45∘ FD = 1.8 AB
镜 的俯角为 ， 米，问旗杆 的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数tan39.3∘ ≈ 0.82 tan84.3∘ ≈ 10.02
据： ， ）
AB B
例8 如图， 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端 出发，先沿水平方向向右行走20
C i = 1 : 0.75 CD D
米到达点 ，再经过一段坡度（或坡比）为 、坡长为10米的斜坡 到达点 ，然
E(A B C D E E
后再沿水平方向向右行走40米到达点 ， ， ， ， 均在同一平面内）．在 处测得建筑
A 24∘ AB
物顶端 的仰角为 ，求建筑物 的高度．（精确到百分位）（参考数据：
sin24∘ ≈ 0.41 cos24∘ ≈ 0.91 tan24∘ ≈ 0.45
， ， ）
AB
练8.1 如图，一架木梯 的长为2.8米，梯子靠在竖直的墙上，测得木梯与地面的夹角
∠ABC = 70∘ AC
，求这架木梯的顶端离地面的距离 是多少米？（结果精确到0.1，已知
sin70∘ ≈ 0.94 cos70∘ ≈ 0.34 tan70∘ ≈ 2.75 cos20∘ ≈ 0.94
， ， ， ．）
练8.2 重庆是一座美丽的山城，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教
学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角
∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．
4
（1）求斜坡AB的坡度i；（2）求DC的长．（参考数据： tan53∘ ≈ ， tan63.4∘ ≈ 2 ）
3能力提高 / 初三 / 秋季
第 14 讲 解三角形
课堂落实答案
3
1 在Rt △ ABC 中，∠C= 90∘ ，若 tanA = ，则 sinA 等于（ ）
4
4
A：
3
3
B：
4
5
C：
3
3
D：
5
1
2 cos30∘
的值是（ ）
3
1
A：
6
–
√2
B：
6
–
√3
C：
6
–
√3
D：
3
–
√2sin45∘ +tan60∘ ⋅tan30∘ −cos60∘
3 =_____.
1
4 △ ABC ∠C = 90∘ AB = 15 sinA = BC
如图在Rt 中， ， ， ，则 =（ ）
3
A： 4
B： 51
C：
5
1
D：
45
5 如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为
30∘
，已知地面上的这点与楼
的水平距离BC为 30m ，那么楼的高度AC为_____ m （结果保留根号）．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 14 讲 解三角形
自我巩固答案
Rt △ ABC ∠C = 90∘ AB = 5 BC = 4
1 如图，在 中， ， ， ，则下列三角函数表示正确的是
（ ）
3
A： tanA =
4
4
B： tanB =
3
3
C： sinA =
5
3
D： cosA =
5
5
2 Rt △ ABC ∠C = 90∘ cosA = sinA
在 中， ，若 ，则 的值为（ ）
13
5
A：
128
B：
13
2
C：
3
12
D：
13
3
3 A(t,2) OA x α tanα = t
点 在第二象限， 与 轴所夹的锐角为 ， ，则 的值为（ ）
2
4
A： −
3
−2
B：
C： 2
D： 3
A B C sin∠BAC
4 如图， 、 、 分别是小正方形的三个顶点，且每个小正方形的边长均为1，则 的
值为（ ）
1
A：
2
–
√2
B：
2
C： 1
–
√3
D：
–
∠A 3tanA −√3 = 0 ∠A
5 已知 是锐角，且满足 ，则 的大小为（ ）
30∘
A：
45∘
B：
60∘
C：
D： 无法确定
1 –
6 如图，在 △ ABC 中，AD是BC边上的高， tanC = ，AC= 3√5 ，AB=4，求 △ ABC 的周
2
长．–
△ ABC ∠B = 45∘ ∠C = 30∘ AB = 2√2 BC
7 如图所示， 中， ， ， ．求 的长．
8 如图， C 地在 B 地的正东方向，因有大山阻隔，由 B 地到 C 地需绕行 A 地，已知 A 地位于 B 地北偏
67∘ B 520km C A 30∘
东 方向，距离 地 ， 地位于 地南偏东 方向．若准备打通穿山隧道，建成两地
B C (sin67∘ ≈ 0.92 cos67∘ ≈ 0.39
直达高铁，求建成高铁后从 地前往 地的路程． ， ，
tan67∘ ≈ 2.36
，结果保留整数）
DA CB CB DA A CB B
9 如图，两座建筑物 与 ，其中 的高为120米，从 的顶点 测得 顶部 的仰角为
30∘
，
C 45∘ DC
测得其底部 的俯角为 ，则这两座建筑物的底部距离 为多少米？（结果保留根号）
10 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政
AB = 200
府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡 米，坡度为
–
1 : √3 AB AE AC = 20 AB CD
；将斜坡 的高度 降低 米后，斜坡 改造为斜坡 ，其坡度为
1 : 4 CD
．求斜坡 的长．（结果保留根号）能力提高 / 初三 / 秋季
第 14 讲 解三角形
精选精练
A B C D
1 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 、 、 、 都在这些小正方形的顶点上，
AB CD P tan∠APD
、 相交于点 ，则 的值是（ ）
A： 0.5
B： 1
C： 2
D： 2.5
cos21∘ +cos22∘ +cos23∘ +⋯+cos289∘
2 化简： ．
3 定义：如果三角形某一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．
–
√3
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求证：△ABC是“好玩三角形”；
2
（2）如图2，若等腰△DEF是“好玩三角形”，DF=EF，求腰和底的比值．
–
√2 1
4 △ ABC CD AB ∠B sinB = tanA =
如图，在 中， 是边 上的中线， 是锐角，且 ， ，
2 2
–
BC = 2√2 AB cos∠CDB
，求边 的长和 的值．5 为了方便学生在上下学期间安全过马路，南岸区政府决定在南开（融侨）中学校门口修建人行天
1)
桥（如图 ，其平面图如图2所示，初三（8）班的学生小刘想利用所学知识测量天桥顶棚距地面
A AB = 2m 30∘ AB
的高度．天桥入口 点有一台阶 ，其坡角为 ，在 上方有两段平层
BC = DE = 1.5m BC DE BC DE CD EF
，且 ， 与地面平行， ， 上方又紧接台阶 ， ，其长
i = 4 : 3 FG = 2m A G
度相等且坡度均为 ，顶棚距天桥距离 ，且小刘从入口 点测得顶棚顶端 的
37∘ G m
仰角为 ，请根据以上数据，帮小刘计算出顶端 点距地面高度为（ ） ．（结果保留一位
– 3 4 3
√3 ≈ 1.73 sin37∘ ≈ cos37∘ ≈ tan37∘ ≈ )
小数，参考数据： ， ， ，
5 5 4
A： 5.8 m
B： 5.0 m
C： 4.3 m
D： 3.9 m
A B
6 周末小明和同学们去“绿博园”的枫湖坐船，观赏风景；如图，小明正在 处的小船上， 处小
A B C A C 30∘
船上的游客发现点 在点 的正西方向上， 处小船上的游客发现点 在点 的南偏东 方向
C B 60∘ B C
上，已知点 在点 的北偏西 方向上，且 、 两地相距120米．
A C
（1）求出此时点 到点 的距离；
A AC C A′ B A′ 75∘
（2）若小明从 处沿 方向向 驶去，当到达点 时，测得点 在 的南偏东 的方向
:
上，求此时小明所乘坐的小船走的距离．（注 结果保留根号）能力提高 / 初三 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为 (−3,4) ，则点M与⊙O的位置关系
为（ ）
A： M在⊙O外
B： M在⊙O内
C： M在⊙O上
D： M在⊙O右上方
2 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，已知 ∠AOB = 100∘ ，那么 ∠ACB 的度数是（ ）
30∘
A：
40∘
B：
50∘
C：
60∘
D：
3 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
y = 2x+1
A：
y = (x−1)2 −x2
B：
y = 2x2 −7
C：
1
D： y = −
x2
4 AB、CD是⊙O的两条弦，交点为点P．若 PA = 2 ， PB = 6 ， PC = 3 ，则 PD = （ ）A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
EF
5 在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且 AE = 2ED ,EC交对角线BD于点F，则 等于
FC
（ ）
1
A：
3
1
B：
2
2
C：
3
3
D：
2
y = x2 −4x+1 y = a(x+m)2 +k
6 把二次函数 化成 的形式是（ ）
y = (x−2)2 +1
A：
y = (x−2)2 −1
B：
y = (x−2)2 +3
C：
y = (x−2)2 −3
D：
7 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若 ∠B = 20∘ ，则 ∠C 的大小等
于（ ）
20∘
A：
30∘
B：40∘
C：
50∘
D：
8 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD为直径，弦AC的长为3， ∠B = 60∘ ，则⊙O的半径为（ ）
A： 4
–
√3
B：
C： 3
–
2√3
D：
⌢
9 如图，C是以AB为直径的半圆弧上一点，已知 AC 所对的圆心角为120°，BC的弦心距与直径AB的
比为（ ）
–
√3 : 2
A：
–
√3 : 1
B：
–
√5 : 4
C：
–
√3 : 4
D：
10 在同一平面内，一次函数 y = mx+m 与二次函数 y 2 = −mx2 +2x+2 （m是常数，且
m ≠ 0
）的图象可能是（ ）
A：B：
C：
D：
11 如图，△ ABC 中，点 D 、 E 分别在边 AB 、 BC 上， DE ∥ AC ，若 DB = 4 ， AB = 6 ，
BE = 3 EC
，则 的长是_______________．
x = a x2 −x−2016 = 0 2a2 −2a−2016
12 若 是方程 的根，则代数式 的值为___________．
13 已知关于x的一元二次方程 x2 +2x+m = 0 有实数根，则m的取值范围是_________．
14 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若 AB = 8 ， AE = 1 ，则弦CD的长是_______．
15 如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且
∠ODA = 36∘ ，则∠ACB的度数为________．y = ax2 +bx+c(a ≠ 0) x = 1 x
16 如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为
(−1,0)
，其部分图象如图所示，下列结论：
4ac < b2
① ；
ax2 +bx+c = 0 x = −1 x = 3
②方程 的两个根是 1 ， 2 ；
3a+c > 0
③ ；
y > 0 x −1 ≤ x < 3
④当 时， 的取值范围是 ；
x < 0 y x
⑤当 时， 随 增大而增大；
其中结论正确有__________．
sin2 60∘ + cos2 60∘ − tan45∘ =
17 ___.
2x2 −5x+3 = 0
18 用因式分解法解方程： ．
19 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆外，AC，BC与半圆交于D点和E点．
（1）请只用无刻度的直尺作出△ABC的两条高线，并写出作法；
（2）若AC=AB，连接DE，求证：DE=BE．
20 已知二次函数 y = −x2 +2x+m 的图象与x轴有一个交点为 A(3,0) ，另一个交点为B，且与y
轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B、C的坐标．
A
21 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 ，再在河的这一边选定点
B C AB BC E EC BC BC AE
和 ，使 ⊥ ，然后，再选点 ，使 ⊥ ，用视线确定 和 的交点D．此时
BD = 60 DC = 30 EC = 25 AB
如果测得 米， 米， 米．求两岸间的大致距离 ．22 如图，△ABC中，PC平分 ∠ACB ， PB = PC ．
（1）求证：△APC∽△ACB；
（2）若 AP = 3 ， PC = 6 ，求AC的长．
23 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使 DC = CB ，延长DA与⊙O的另一个
交点为E，连接AC，CE．
∠B = ∠D
（1）求证： ；
（2）若 AB = 4 ， BC −AC = 2 ，求CE的长
24 如图，已知点E在△ABC的边AB上， ∠C = 90∘ ， ∠BAC 的平分线交BC于点D，且D在以AE为直
径的☉O上．
（1）求证：BC是☉O的切线；
（2）已知 ∠B = 30∘ ， CD = 4 ，求线段AB的长．
25 已知关于x的方程 x2 −(k+2)x+2k = 0 ．
（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边 a = 1 ，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．A(3,5) C O A C y
26 如图，在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点 对称，分别过点 、 作 轴的平行
k
y = (0 < k < 15) B D AD BC AD x
线，与反比例函数 的图象交于点 、 ，连结 、 ， 与 轴交
x
E(−2,0)
于点 ．
AD
（1）求直线 对应的函数关系式；
k
（2）求 的值；
（3）直接写出阴影部分图形的面积之和．
27 如图，在Rt△ABC中， AB = 3 ， AC = 4 ， ∠BAC = 90∘ ，AD⊥BC于点D，O为AC边中
OF
点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E，求 的值．
OE
