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能力强化 / 初三 / 秋季
第 1 讲 一元二次方程的应用
例题练习题答案
(x−3)2 = 5
例1 把一元二次方程 化为一般形式为_____，二次项为_____，一次项系数为_____，常数
项为_____．
例2 若方程
(m−1)xm2+1
−2x−m = 0 是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
−1
A：
B： 1
C： 5
−1
D： 或1
3
例3 x = 2 x2 −2a = 0 2a−1
已知 是方程 的一个解，则 的值是（ ）
2
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
练3.1 若关于x的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 一个根是1，且a、b满足等式
−−−− −−−−
b = √a−3 +√3 −a +3 c =
，则 _____．
例4 若 2n(n ≠ 0) 是关于x的方程 x2 −2mx+2n = 0 的根，则 m−n 的值为_____．
例5 按要求解下列一元二次方程：
2x2 +4x−7 = 0
(1) （配方法）．
2x2 −3x+2 = 0
(2) （公式法）．x2 −7x+10 = 0
(3) （用适当方法）．
5(x+1)2 = 7(x+1)
(4) （用适当方法）．
2016 1.4
例6 (1)我省 年的快递业务量为 亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快
2018 4.5 2017 2018
递业务迅猛发展， 年的快递业务量达到 亿件．设 年与 年这两年的平均增
x
长率为 ，则下列方程正确的是（ ）
1.4(1 +x) = 4.5
A：
1.4(1 +2x) = 4.5
B：
1.4(1 +x)2 = 4.5
C：
1.4(1 +x)+1.4(1 +x)2 = 4.5
D：
(2)市人民政府为了解决群众看病难的问题，决定下调某种药品的价格，经连续两次降价后，由
200 128
毎盒 元调至 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少?
10
练6.1 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润 万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获
36.4 3 3 x
利 万元，已知2月份和 月份利润的月增长率相同．设2， 月份利润的月增长率为 ，那么
x
满足的方程为( )
10(1 +x)2 = 36.4
A：
10 +10(1 +x)2 = 36.4
B：
10 +10(1 +x)+10(1 +2x) = 36.4
C：
10 +10(1 +x)+10(1 +x)2 = 36.4
D：
例7 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．
为了促销，同时又要使消费者得到更多实惠，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西
瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要
想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
2 4
练7.1 水果店张阿姨以每斤 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤 元的价格出售，每天可售出
100 0.1 20
斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 元，每天可多售出 斤，为保证每天至少
260
售出 斤，张阿姨决定降价销售．
x ( x )
（1）若将这种水果每斤的售价降低 元，则每天的销售量是______斤 用含 的代数式表示 ；300
（2）销售这种水果要想每天盈利 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？此时的利润率是多
少？
5 4 ( )
例8 (1)如图，一块长 米宽 米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹 图中阴影部分 ，已
17
知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 ．
80
①求配色条纹的宽度；
200 100
②如果地毯配色条纹部分每平方米造价 元，其余部分每平方米造价 元，求地毯的总造
价．
4cm
(2)将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为 的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子
400cm3
的容积是 ，求原铁皮的边长．
20 30
练8.1 如图，在宽为 米、长为 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地
551
面积需要 平方米，则修建的路宽应为多少米？
例9 某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了几个人？
4
例10 (1)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排 天，每天安排
7 x x
场比赛．设比赛组织者应邀请 支队参赛，则 满足的关系式为（ ）
1
A： x(x+1) = 28
2
1
B： x(x−1) = 28
2
x(x+1) = 28
C：
x(x−1) = 28
D：
(2)元旦节，班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计
90 x
出全组共互送了 张贺卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为 人，则可列方程为（ ）
x(x−1) = 90
A：
x(x−1) = 2 ×90
B：
x(x−1) = 90 ÷2
C：
x(x+1) = 90
D：
182
练10.1 某生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他学生各赠送一件，全组共互赠了 件，如
x
果全组有 名学生，则根据题意列出的方程是（ ）
x(x+1) = 182
A：
x(x−1) = 182
B：
x(x−1) = 182 ×2
C：
x(x+1) = 182 ×2
D：
能力强化 / 初三 / 秋季
第 1 讲 一元二次方程的应用
自我巩固答案
–
1 关于x的一元二次方程 (a−√3)x2 +x+a2 −3 = 0 的一个根是0，则a的值为（ ）
–
−√3
A：
–
√3
B：
– –
√3 −√3
C： 或
1.5
D：
k x2 −2017x+1 = 0 2k2 −4034k
2 已知 是 的一个不为0的根，不解方程，请求出 的值．
3x2 −6x+1 = 0
3 用配方法解方程 ，则方程可变形为（ ）
1
A： (x−3)2 =
31
B： 3(x−1)2 =
3
(3x−1)2 = 1
C：
2
D： (x−1)2 =
3
x2 +x−3 = 0
4 解方程： ．
7.2
5 某钢铁厂1月份生产某种钢材5万吨，3月份生产这种钢材 万吨，设平均每月增长的百分率为
x，则根据题意可列方程为（ ）
5(1 +x) = 7.2
A：
5(1 +x2) = 7.2
B：
5(1 +x)2 = 7.2
C：
7.2(1 +x)2 = 5
D：
6 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少
18m2
了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为 ，求原正方形空地的边长．设原正方形的空
地的边长为xm，则可列方程为（ ）
(x+1)(x+2) = 18
A：
x2 −3x+16 = 0
B：
(x−1)(x−2) = 18
C：
x2 +3x+16 = 0
D：
7 参加商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．设共有x家公
司参加商品交易会，则x满足的关系式为（ ）
1
A： x(x+1) = 45
21
B： x(x−1) = 45
2
x(x+1) = 45
C：
x(x−1) = 45
D：
8 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，若每盆植
入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少
0.5
元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
9 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建
筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分
80m2
别为多少时，猪舍面积为 ？
10 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支
的总数是91，每个支干长出多少小分支？
能力强化 / 初三 / 秋季
第 1 讲 一元二次方程的应用
课堂落实答案
1 如果关于x的方程 (m+3)x2 −mx+1 = 0 是一元二次方程，则（ ）
m ≠ −3
A：
m ≠ 3
B：
m ≠ 0
C：
m ≠ −3 m ≠ 0
D： 且
2 用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）x2 −6x−5 = 0 (x−3)2 = 4
A： 方程 ，可化为
y2 −2y −2015 = 0 (y −1)2 = 2015
B： 方程 ，可化为
a2 +8a+9 = 0 (a+4)2 = 25
C： 方程 ，可化为
3 2 23
D： 2x2 −6x−7 = 0 (x− ) =
方程 ，可化为
2 4
3 有4人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感，设每轮传染中平均每人传染了x个人，根
据题意可列方程为（ ）
4 +4(1 +x) = 100
A：
4(1 +x)2 = 100
B：
4 +x+4(1 +x) = 100
C：
2 ×4(1 +x) = 100
D：
4 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，
如果要使整个挂图的面积是
5400cm2
，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
x2 +130x−1400 = 0
A：
x2 +65x−350 = 0
B：
x2 −130x−1400 = 0
C：
x2 −65x−350 = 0
D：
5 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀
请多少个球队参加比赛？
能力强化 / 初三 / 秋季第 1 讲 一元二次方程的应用
精选精练
ax2 −2 = 2x2
1 解方程： ．
x2 +x−2 +k(x2 +2x) = 0
2 解方程： ．
3 若两个连续整数的积为56，则这两个连续整数的和为（ ）
A： 15
−15
B：
±15
C：
−1
D：
4 某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得
的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．
5 子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心
所欲，不逾矩．”——《论语·第二章·为政篇》
列方程解决下面问题：
• • •
读诗词解题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
6 某商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．由于换季问题，需要尽快减少库存，该
• •
商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2
件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
能力强化 / 初三 / 秋季
第 2 讲 判别式与韦达定理例题练习题答案
例1 关于x的方程 2x2 −kx−3 = 0 的根的情况是（ ）
A： 有两个相等的实数根
B： 有两个不相等的实数根
C： 无实数根
D： 两根同号
例2 求证：关于x的方程 2x2 +3(m−1)x+m2 −4m−7 = 0 对于任何实数m，永远有两个不
相等的实数根．
练2.1 已知关于x的一元二次方程 x2 −(k+1)x−6 = 0 ．
(1)求证：对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
例3 已知关于x的方程 (k+1)x2 +(3k−1)x+2k−2 = 0 ．证明：不论k为何值时，方程总有
实数根．
例4 已知关于x的一元二次方程 mx2 +4x+1 = 0 （ m 为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值
范围是_____．
练4.1 若关于x的一元二次方程 kx2 −2x−1 = 0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
k > −1
A：
k > −1 k ≠ 0
B： 且
k < 1
C：
k < 1 k ≠ 0
D： 且
例5 已知关于x的一元二次方程 x2 −4x+2m = 0 有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．练5.1 已知关于x的一元二次方程 (m−1)x2 −(m+1)x+2 = 0 ，其中 m ≠ 1 ．
（1）求证：此方程总有实根；
（2）如果该方程的根均为正整数，求整数m的值．
x2 −6x+8 = 0
例6 等腰三角形的底和腰是方程 的两根，则这个三角形的周长为_____．
x2 −9x+20 = 0
练6.1 已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程 的一个根，求这个等腰三角形的腰
长．
x x
x x x2 +6x+3 = 0 2 + 1
例7 已知 1， 2是方程 的两实数根，则
x x
的值为_____．
1 2
练7.1 已知关于x的一元二次方程 x2 +(m+3)x+m+1 = 0 的两个实数根为 x 1， x 2，若
x
1
2 +x
2
2 = 4 ，则m的值为_____．
练7.2 已知关于x的一元二次方程 x2 −(m+6)x+3m+9 = 0 的两个实数根为 x 1， x 2，若
n = x 2 +x 2 −9 P (m,n) A(−1,4)
1 2 ，判断动点 所形成的函数图象是否经过点 ，并说明理
由．
x4 −5x2 +4 = 0
例8 【问题背景】解方程： ．
分析：这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们可以借助“换元法”将高次方程“降
次”，进而解得未知数的值．
x2 = y x4 = y2 y2 −5y +4 = 0 y = 1
解：设 ，那么 ，于是原方程可变为 ，解得 1 ，
y = 4
2 ．
y = 1 x2 = 1 x = ±1 y = 4 x2 = 4 x = ±2
当 1 时， ， ；当 2 时， ， ；
x = 1 x = −1 x = 2 x = −2
原方程有四个根： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ．
2
(x2 +x) −4(x2 +x)−12 = 0
【触类旁通】参照例题解方程： ；
【解决问题】已知实数x，y满足 (2x+2y +3)(2x+2y −3) = 27 ，求 x+y 的值；
(x2 +4x+3)(x2 +4x+5)+1 =
【拓展迁移】分解因式： _____．
练8.1 若实数a，b满足 (2a+2b)(2a+2b−2)−8 = 0 ，则 a+b = _____．
能力强化 / 初三 / 秋季第 2 讲 判别式与韦达定理
自我巩固答案
5x2 −11x+4 = 0
1 一元二次方程 的根的情况是（ ）
A： 有两个相等的实数根
B： 有两个不相等的实数根
C： 只有一个实数根
D： 没有实数根
2 如果
a、b、c是△ABC的三边长，且方程 x2 −2cx+a2 +b2 = 0
有两个相等的实数根，那么这
个三角形是（ ）
A： 等腰三角形
B： 等边三角形
C： 不等边三角形
D： 直角三角形
3 已知关于x的方程 kx2 +(1 −k)x−1 = 0 ，下列说法正确的是（ ）
k = 0
A： 当 时，方程无解
k = 1
B： 当 时，方程有一个实数解
k = −1
C： 当 时，方程有两个相等的实数解
k ≠ 0
D： 当 时，方程总有两个不相等的实数解
4 已知关于x的方程 x2 −2x−2n = 0 有两个不相等的实数根，若 n < 5 ，且方程的两个实数根
都是整数，则n的值为（ ）
n = 2
A：
n = 0 n = 1.5 n = 4
B： 或 或
n = 4
C：
n = 0 n = 1.5 n = 2
D： 或 或5 若关于x的一元二次方程 x2 +2x+k−1 = 0 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请你选取一个合适的k的值代入方程并求出这个方程的两根．
2
6 已知关于x的方程 kx2 −x− = 0(k ≠ 0) ．
k
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．
x2 −10x+21 = 0
7 一元二次方程 的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形
的周长为（ ）
A： 13
B： 17
C： 13或17
D： 不能确定
8 关于x的一元二次方程 x2 −mx+2m−1 = 0 的两个实数根分别是 x 1、 x 2，且
x 2 +x 2 = 7 (x −x )2
1 2 ，则 1 2 的值是（ ）
A： 1
B： 12
C： 13
D： 25
ax2 +bx+c = 0(a ≠ 0) a+b+c = 0
9 定义：如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方
ax2 +bx+c = 0(a ≠ 0)
程为“凤凰”方程．已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数
根，则下列结论正确的是（ ）
a = c
A：
a = b
B：
b = c
C：a = b = c
D：
10 已知关于x的一元二次方程 x2 +(4m+1)x+2m−1 = 0 ．
(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
1 1 1
(2)若方程的两根为 x 1、 x 2且满足
x
+
x
= −
2
，求m的值．
1 2
能力强化 / 初三 / 秋季
第 2 讲 判别式与韦达定理
课堂落实答案
1
1 关于x的方程 ax2 +(a−1)x+a−3 = 0 有两个不同的实根，则实数a的取值范围为
4
（ ）
a < −1
A：
a < 1
B：
a > 1
C：
a > −1 a ≠ 0
D： 且
2 下列方程没有实数根的是（ ）
3x2 −2x = 0
A：
3x2 +2 = 4x
B：
(1 −2x)2 −2 = 0
C：
– –
√2x2 −3x−√3 = 0
D：
mx2 −(m+2)x+2 = 0
3 已知关于x的一元二次方程 ．
①证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
②m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
x +x = −7 x x = 8 x x
4 已知 1 2 ， 1 2 ，则 1， 2是下列哪个方程的两个实数根（ ）x2 −7x−8 = 0
A：
x2 −7x+8 = 0
B：
x2 +7x+8 = 0
C：
x2 +7x−8 = 0
D：
(x2 +y2 +1)(x2 +y2 +3) = 8 x2 +y2
5 已知 ，则 的值为（ ）
−5
A： 或1
B： 1
C： 5
−1
D： 5或
能力强化 / 初三 / 秋季
第 2 讲 判别式与韦达定理
精选精练
1 若关于x的一元二次方程 x2 −2x+kb+1 = 0 有两个不相等的实数根，则一次函数
y = kx+b
的大致图象可能是（ ）
A：
B：
C：D：
2 已知关于x的一元二次方程 mx2 −3(m+1)x+2m+3 = 0
(1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，当该方程的根都是整数，且 |x| < 4 时，求m的整数值．
3 已知关于x的一元二次方程 x2 −(2m+1)x+m(m+1) = 0 ．
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且 BC = 8 ，当△ABC为等腰三角形
时，求m的值．
4 已知关于x的一元二次方程 x2 +(2m−1)x+m2 −4 = 0
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
−−
(2)若边长为 √39 的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
5 已知关于x的一元二次方程 x2 −(2k+1)x+k2 +k = 0
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若 x 1， x 2是上述方程的两个实数根，且满足 x 1 2 +x 2 2 = 5 ，请求出k的值及相应的实数
根．
6 如果关于x的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 （ a ≠ 0 ）有两个实数根，且其中一个根为另一个
x2 −6x+8 = 0
根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程 的两个根
x2 −6x+8 = 0
是2和4，则方程 就是“倍根方程”．
x2 −3x+c = 0 c =
(1)若一元二次方程 是“倍根方程”，则 _____；
(x−2)(mx−n) = 0(m ≠ 0) 4m2 −5mn +n2
(2)若 是“倍根方程”，求代数式 的
值；(3)若关于x的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a ≠ 0) 是“倍根方程”，求a，b，c之间的关
系．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 3 讲 二次函数的应用题
例题练习题答案
2
例1 (1) y = ax2 y = x2 a
抛物线 与 的形状相同，则 的值为__________．
5
1
(2) y = − x2 +1
函数 的图象是__________，开口__________，对称轴是直线__________，顶点
3
坐标是__________，它的图象有最__________点，这个点的坐标为__________．
y = −2(x+3)2
(3)函数 的图象是__________，开口__________，对称轴是直线__________，顶
点坐标是__________，它的图象有最__________点，这个点的纵坐标是__________．
y = (x−1)2 +2
练1.1 (1)对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A： 开口向下
(1,2)
B： 顶点坐标是
x = −1
C： 对称轴是直线
D： 与x轴有两个交点
y = 2x2 +12x+13
(2)函 数 的 图 象 是 __________ ， 开 口 __________ ， 对 称 轴 是 直 线
__________，顶点坐标是__________，它的图象有最__________点，这个点的坐标为
__________．
1 5
例2 (1) y = ax2 +bx+c (1, ) (−2,− ) (3,5)
若二次函数 过点 、 、 ，求二次函数的解析
3 3
式．
(2) 若二次函数 y = ax2 +bx+c 过 (−3,0) 、 (1,0) 两点，与y轴的交点为 (0,4) ，求二
次函数的解析式．1 9
练2.1 (1) ( ,− ) y = ax2 +bx+c M (2,0)
已知顶点为 的抛物线 过点 ，求抛物线的解析式．
2 4
(1,0) (0,3) x = 2
(2) 抛物线过点 、 ，且对称轴为直线 ，求其解析式．
例3 二次函数
y =ax2+bx+c(a ≠ 0)
图象上的部分点的坐标
(x,y)
对应值列表如下：
x … −3 −2 −1 0 1 …
y … −3 −2 −3 −6 −11 …
则该函数图象的对称轴是（ ）
x = −3
A： 直线
x = −2
B： 直线
x = −1
C： 直线
x = 0
D： 直线
y = ax2 +bx+c A(−3,0) x = −1 a+b+c =
练3.1 抛物线 经过点 ，对称轴是直线 ，则 _____．
例4 某农场要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠着长为25米的墙，另外三边用木栏围成，
木栏长40米．问养鸡场的面积能达到220平方米吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，
请说明理由．
练4.1 如图，有长为24m的护栏，一面利用墙（墙的最大可用长度为13m），围成中间隔有一道护栏的
矩形花园，设花园的宽AB为x（m），面积为S（
m2
）．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45
m2
的花园，AB的长是多少米？
m2
（3）能围成面积比45 更大的花园吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．
例5 某超市购进一批牛肉销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这批牛肉32千克
的钱，现在可买33千克．
（1）现在实际购进这批牛肉每千克多少元？（2）若这批牛肉的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．求
y x
与 之间的函数关系式；
=
（3）这批牛肉的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润 销售收入
−
进货金额）
100 130 80
练5.1 某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为 元，售价为 元，每星期可卖出 件．商
5 20
家决定降价促销，根据市场调查，每降价 元，每星期可多卖出 件．
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多
少？
例6 如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路
h t
径、爆炸时的高度均相同．皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度 （米）与飞行时间 （秒）之间
的函数图象如图2所示．
h ) t )
（1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度 （米 随飞行时间 （秒 的函数表达式．
（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发
花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
OP P
练6.1 某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子 ，柱子顶端 处装
P ( ) ( )
上喷头，由 处向外喷出的水流 在各个方向上 沿形状相同的抛物线路径落下 如图所示 ．若已
OP = 3 A 4 OP 1
知 米，喷出的水流的最高点 距水平面的高度是 米，离柱子 的距离为 米．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
能力强化 / 初三 / 秋季
第 3 讲 二次函数的应用题
自我巩固答案
y = 3x2 −6x+1
1 将二次函数 化成顶点式是（ ）
y = 3(x−3)2 −26
A：
y = 3(x−3)2 −8
B：
y = 3(x−1)2 −2
C：
y = 3(x−1)2
D：
y = −x2 +2x+4
2 二次函数 的最大值为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
2
3 若二次函数y=ax +bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（ ）
x −7 −6 −5 −4 −3 −2
y −27 −13 −3 3 5 3A： 5
B： ﹣3
C： ﹣13
D： ﹣27
y = x2 +mx+n (2,4) y = 2x+1
4 已知二次函数 的图象经过点 ，且其顶点在直线 上，则它的
解析式为（ ）
y = x2 −x+2
A：
y = x2 −2x+3
B：
y = x2 −2x+5
C：
y = x2 −2x+4
D：
A(−2,y ) B(1,y ) C(3,y ) y = 2x2 +4x−1 y y
5 若点 1 ， 2 ， 3 在二次函数 的图象上，则 1， 2，
y
3的大小关系是（ ）
y < y < y
A： 1 2 3
y < y < y
B： 2 3 1
y < y < y
C： 3 2 1
y < y < y
D： 2 1 3
6 某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价
x（元/件）之间的函数关系式为 y = −4x+440 ，要获得最大利润，该商品的售价应定为
（ ）元．
A： 60
B： 70
C： 80
D： 90
7 某商人将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销
量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价（为偶数）提高（ ）元．A： 8或10
B： 12
C： 8
D： 10
8 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在
柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一
平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式
是 y = −x2 +2x+3 ，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m
处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能
使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
9 如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100
米，则拱门的最大高度为（ ）米．
A： 100B： 150
C： 200
D： 300
10 某商店经营一种小商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时平均每天销售量是500件，
而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．
（1）设每件商品定价为x元时，销售量为y件，求出y与x的函数关系式；
（2）商店如何定价才能使每天销售这种小商品的利润最大？并求出这个最大利润．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 3 讲 二次函数的应用题
课堂落实答案
y = (x-4)2+7
1 对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
(4,7)
A： 顶点坐标是
B： 当 x > 4 时，y随x的增大而增大
x = 4
C： 函数的对称轴为直线
D： 函数有最大值，最大值是4
2 若对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点 (2,3) 且抛物线经过点 (3,1) ，则抛物线解析式是（ ）
y = −2x2 +8x+3
A：
y = −2x−2 −8x+3
B：
y = −2x2 +8x−5
C：
y = −2x−2 −8x+2
D：
3 某商店对于某个商品的销售量与获利做了统计，得到下表：
销售量（件） 100 200 300
获利（万元） 7 9 9若获利是销售量的二次函数，那么，该商店获利的最大值是（ ）
A： 9万元
B： 9.25万元
C： 9.5万元
D： 10万元
4 一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可以卖出300件，为提高利益，对该T恤
进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖10件，则销售单件定为（ ）元时，每
周的销售利润最大．
A： 45
B： 55
C： 60
D： 65
AB = 4 CD = 2
5 图中是抛物线形拱桥，当水面宽 米时，拱顶到水面的距离 米．如果水面下降
1
米，那么水面宽度为多少米？
能力强化 / 初三 / 秋季
第 3 讲 二次函数的应用题
精选精练
y = ax2 +bx+c abc = 0
1 二次函数 的图象如图所示，给出以下四个结论：① ； ②
a+b+c > 0
；
a > b 4ac−b2 < 0
③ ；④ ，其中正确的结论有________________．2 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 y = x2 −2x+2 上运动．过点A作AC⊥x轴于点
C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____．
x = 2m+n +2 x = m+2n x2 +4x+6
3 已 知 当 和 时 ， 多 项 式 的 值 相 等 ， 且
m−n +2 ≠ 0 x = 3(m+n +1) x2 +4x+6
，则当 时，多项式 的值等于_____．
4 在平面直角坐标系中，点A是抛物线 y = a(x−3)2 +k 与y轴的交点，点B是这条抛物线上的
另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为_____．
5 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40
元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天
可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每
天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
6 如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴
上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y = at2 +5t+c
，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已
知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球
直接射入球门？
能力强化 / 初三 / 秋季
第 4 讲 二次函数的交点问题
例题练习题答案
例1 (1)已知抛物线 y = ax2 +bx+c(a ≠ 0) 与x轴的两个交点的坐标分别是 (−3,0) 、 (2,0) ，
ax2 +bx+c = 0(a ≠ 0)
则方程 的解是___________________．
(2)已 知 抛 物 线 y = x2 −2023x+2024 与 x 轴 的 交 点 为 (m,0) 、 (n,0) ， 则
(m2 −2023m+2024)+(n2 −2023n +2024)
的值是（ ）
A： 0
B： 2023
C： 2024
D： 2025
y = ax2 +bx+c x A(−1,0) B(3,0)
练1.1 (1)如果二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，那么方程
ax2 +bx+c = 0
的根是_______________．
y = x2 −x−1 x (m,0) m2 −m+2019
(2)已知抛物线 与 轴的一个交点为 ，则代数式 的值
为（ ）A： 2018
B： 2019
C： 2020
D： 2021
ax2 +bx+c = 0
例2 小颖用几何画板软件探索方程 的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一
x = −4.5 x =
个近似根为 1 ，则方程的另一个近似根为 2 _________（精确到0.1）．
练2.1 已知二次函数 y = −x2 +4x+m 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
−x2 +4x+m = 0
的解是_________．
例3 (1)已知抛物线 y = x2 +bx+c 的部分图象如图所示，若 y > 0 ，则x的取值范围是（ ）−1 < x < 4
A：
−1 < x < 3
B：
x < −1 x > 4
C： 或
x < −1 x > 3
D： 或
y = ax2 +bx+c(a ≠ 0)
(2)二次函数 的图象如图所示，则下列说法：
a > 0 2a+b = 0
① ； ② ；
a+b+c > 0 −1 < x < 3 y > 0
③ ； ④当 时， ；
c > 0 4a−2b+c > 0
⑤ ； ⑥ ；
4a+2b+c > 0 b > 0
⑦ ； ⑧ ；
2a−b > 0 b = a+c
⑨ ； ⑩ ．
其中正确的序号有_________________________．
练3.1 抛物线 y = ax2 +bx+c(a < 0) 如图所示，则关于x的不等式 ax2 +bx+c > 0 的解集是
（ ）
x < 2
A：
x > −3
B：
−3 < x < 1
C：
x < −3 x > 1
D： 或
例4 如图，已知二次函数 y 1 = ax2 +bx+c(a ≠ 0) 与一次函数 y 2 = kx+m(k ≠ 0) 的图象相
交于点 A(−2,4) 、 B(8,2) ，则关于x的不等式 ax2 +(b−k)x+c−m < 0 的解集是（ ）
A： -2≤x≤8
B： 2＜x＜4
C： -2＜x＜8
D： -2＜x＜4
练4.1 如图，抛物线 y 1 = −x2 +4x 和直线 y 2 = 2x ，当 y 1 < y 2时，x的取值范围是（ ）
A： 0＜x＜2
B： x＜0或x＞2
C： x＜0或x＞4
D： 0＜x＜4
例5 (1)抛物线 y = x2 −5x+6 与x轴交于A、B两点，则AB的长为___________．
(2)若函数 y = mx2 +6x+1 的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A： 0
B： 9
C： 0或9
±3
D：练5.1 (1)抛物线 y = x2 −x−6 与x轴的交点坐标为（ ）
(3,0)
A：
(−2,0)
B：
(0,−6)
C：
(3,0) (−2,0)
D： 和
(2)关于x的二次函数 y = 2mx2 +(8m+1)x+8m 的图象与x轴有交点，则m的取值范围
是（ ）
1
A： m < −
16
1
B： m ≥ − m ≠ 0
且
16
1
C： m > − m ≠ 0
且
16
1
D： m = −
16
y = −x+1 y = x2 −3x+1
例6 (1)判断直线 与抛物线 是否有交点，如果有交点，求出交点坐
标．
(2)当b为何值时，直线 y = 3x+b 与抛物线 y = x2 +2x−1 只有一个交点．
y = x2 +3x+1 y = 2x+3
练6.1 (1)二次函数 与一次函数 的交点坐标为______________．
(2)若二次函数 y = x2 +3x−2 与一次函数 y = 2x+b 没有交点，则b的取值范围是
___________．
1
例7 y = x− x A x
如图，一次函数 与 轴的交点 恰好是二次函数与 轴的其中一个交点，已知二次函
2
x = 1 y (0,1)
数图象的对称轴为直线 ，与 轴的交点为 ．
（1）求二次函数的解析式；
C BC ABC
（2）设该二次函数与一次函数的另一个交点为 点，连接 ，求三角形 的面积．y = x2 −4x−5 y = x+1 A B A
练7.1 已知二次函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点（点 在点
B C
的左侧）， 为抛物线的顶点．
A B C
（1）求点 、 、 的坐标．
（2）求△ABC的面积．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 4 讲 二次函数的交点问题
自我巩固答案
1 已知抛物线 y = x2 −2x−1 与x轴的一个交点为 (m,0) ，则代数式 2m2 −4m+2017 的值
为（ ）
A： 2017
B： 2018
C： 2019
D： 2020
y = ax2 +bx+c(a ≠ 0) (2,1) (4,1)
2 已 知 的 图 象 经 过 和 两 点 ， 则 方 程
ax2 +bx+c−1 = 0
的解是（ ）
x = x = 1
A： 1 2x = 1 x = 2
B： 1 ， 2
x = 2 x = 4
C： 1 ， 2
D： 无法确定
3 已知抛物线 y = ax2 +bx+c 的图象如图所示，若 y > 0 ，则x的取值范围是（ ）
x > 3
A：
3
B： < x < 3
4
3
C： x < −
2
3
D： − < x < 3
2
y = ax2 +bx+c x = −1
4 二次函数 的图象如图所示 ， 对称轴是直线 ， 有以下结论 ：①
abc > 0 4ac−b2 < 0 2a+b = 0 a−b+c > 2
；② ；③ ；④ ．其中正确的结论的个数
是（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
y = ax2 +bx+c y = kx+b 4 −2
5 二次函数 1 与一次函数 2 的交点的横坐标分别为 和 ，当
y > y x
1 2时， 的取值范围为（ ）x > 4 x < −2
A： 或
−2 < x < 4
B：
x < 4
C：
x > −2
D：
y = ax2 +bx+c(a ≠ 0)
6 二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
ax2 +bx+c = 0
(1)写出方程 的两个根；
ax2 +bx+c > 0
(2)写出不等式 的解集；
(3)若方程 ax2 +bx+c = k 有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
7 二次函数 y = −x2 +2x+3 的图象与x轴交于A，B两点，则 AB = （ ）
1
A：
2
B：
3
C：
4
D：
8 抛物线 y = mx2 +(2m−1)x+m−1 与x轴交点的个数是（ ）A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 无法确定
9 一次函数y=x-5与二次函数y=-x²+2x-3的交点坐标是( )
A： （1,0）、（-2，-7）
B： （-1，-6）、（2，-3）
C： （0，-5）
D： 没有交点
10 二次函数 y = x2 +3x−2 与一次函数 y = 2x+b 只有一个交点，则b的值为（ ）
9
A： −
4
9
B：
4
3
C： −
2
3
D：
2
能力强化 / 初三 / 秋季
第 4 讲 二次函数的交点问题
课堂落实答案
1 已知抛物线 y = x2 −x−1 与x轴的一个交点为 (m,0) ，则代数式 m2 −m+2016 的值为
（ ）
A： 2014
B： 2015
C： 2016D： 2017
2 如图，以 (1,−4) 为顶点的二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二
ax2 +bx+c = 0
次方程 的正数解的范围是（ ）
2 < x < 3
A：
3 < x < 4
B：
4 < x < 5
C：
5 < x < 6
D：
y = ax2 +bx+c b < 0 c > 0 a+c < b
3 二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ ；
b2 −4ac > 0
④ ，其中正确的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
4 若二次函数的解析式为 y = 2x2 −4x+3 ，则其函数图象与x轴交点的情况是（ ）
A： 没有交点
B： 有一个交点
C： 有两个交点D： 以上都不对
y = x2 +bx+c y = −2x+m A(−2,n) B(2,−3)
5 抛物线 与直线 相交于 、 两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若 y = 2x+b 与抛物线没有交点，求b的取值范围．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 4 讲 二次函数的交点问题
精选精练
y = x2 +bx+c b+c = 0
1 已知二次函数 ， ，写出它的图象一定经过的一个定点的坐标
_________．
2 已 知 抛 物 线 y = x2 +3x−4 与 x 轴 的 两 个 交 点 为 (x 1 ,0) 、 (x 2 ,0) ， 则
x 2 −3x +15 =
1 2 _________．
y = x2 +bx+c y = x
3 二次函数 与直线 的图象如图所示，有以下结论：
b2 −4c > 0 3b+c+6 = 0 x2 +bx+c > 1 x < 1
① ； ② ； ③ 当 时 ， ； ④ 当
1 < x < 3 x2 +(b−1)x+c < 0
时， ．
其中正确结论的编号是____________．
4 已知二次函数 y = (x−2a)2 +(a−1) （a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛
a = −1 a = 0 a = 1 a = 2
物线系”．如图分别是当 ， ， ， 时二次函数的图象．它们的顶点在y =
一条直线上，这条直线的解析式是 _______________．
x x2 −2(k+1)x+k2 −2k−3 = 0
5 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
k
（1）求 的取值范围；
k y = x2 −2(k+1)x+k2 −2k−3
（2）当 取最小的整数时，求抛物线 的顶点坐标以及它
x
与 轴的交
点坐标；
x x x
（3）将（2）中求得的抛物线在 轴下方的部分沿 轴翻折到 轴上方，图象的其余部分不变，得
到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线 y = x+m 有三个不同公共点时m的
值．
xOy y = 2x2 +mx+n A(0,−2) B(3,4)
6 平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
B C D A B
（2）设点 关于原点的对称点为 ，点 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 ， 之间的部
G A B CD G D
分为图象 （包含 ， 两点）．若直线 与图象 有公共点，结合函数图象，求点 纵坐标
t
的取值范围．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 5 讲 二次函数综合
例题练习题答案
y = ax2 +bx+c A(−1,0) B(3,0) C(0,−3) M
例1 如图，已知抛物线 ，过 、 、 ， 为顶点．
(1)求抛物线的解析式．
l C M x E AEC BCM
(2)若直线 经过点 、 两点，且与 轴交于点 ．△ 的面积与△ 的面积是否相
等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由．y = ax2 +bx+c a ≠ 0 x A(−1,0) B(5,0) y
练1.1 如图，已知抛物线 ( )交 轴于 、 两点，与 轴交于
C (0,2)
点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为抛物线的顶点，连接 BC 、 CM 、 BM ，求△BCM的面积．
A(1,4) y B(0,3) x C D
例2 如图，已知抛物线的顶点为 ，抛物线与 轴交于点 ，与 轴交于 、 两
点．
(1)求此抛物线的解析式；
C D BCD
(2)求 、 两点坐标及△ 的面积；
1
P x S = S P
(3)若点 在 轴上方的抛物线上，满足 ΔPCD 2 ΔBCD，求点 的坐标．
x A(−1,0) B(4,0) y C (0,3)
练2.1 如图，已知抛物线与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．(1)
求抛物线的解析式；
(2) x P PAB ABC
在 轴下方的抛物线上是否存在一点 ，使△ 的面积等于△ 的面积？若存在，
P
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
例3 如图，抛物线 y = x2 −2x−3 与 x 轴交于 A 、 B 两点（ A 点在 B 点的左侧），直线 l 与抛物线交
A C C 2
于 、 两点，其中 点的横坐标为 ．
A B AC
（1）求 、 两点的坐标及直线 的函数表达式；
P AC P y E PE
（2） 是线段 上的一个动点，过 点作 轴的平行线交抛物线于 点，求线段 长度的最
大值．
y = −x2 +bx+c x A B A B A
练3.1 如图，抛物线 与 轴交于 、 两点(点 在点 的左侧)，点 的坐标为
(−1,0) y C (0,3) BC P x P PM⊥x
，与 轴交于点 ，作直线 ．动点 在 轴上运动，过点 作 轴，交
M BC N P m
抛物线于点 ，交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．
(1) BC
求抛物线的解析式和直线 的解析式；
(2) P OB MN
当点 在线段 上运动时，求线段 长度的最大值．A(−1,0) B(3,0) C (0,3)
例4 如图，已知抛物线经过点 、 、 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N点，若点M的横坐
标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，当m为何值时，△BNC的面积最大．
练4.1 已知：如图，抛物线 y = ax2 +3ax+c （ a > 0 ）与y轴交于 C 点，与 x 轴交于 A 、 B 两点，
A B B (1,0) OC = 3BO
点在 点左侧．点 的坐标为 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
D AC ABCD
（2）若点 是线段 下方抛物线上的动点，求四边形 面积的最大值．
能力强化 / 初三 / 秋季第 5 讲 二次函数综合
自我巩固答案
1 如图，抛物线 y = −x2 +2x+3 的顶点为A，与y轴的交点为B，与x轴交于C、D两点，则三角
形ABD的面积为( )
A： 3
B： 4
C： 6
D： 8
2 如图，直线 y = −x+5 与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线 y = −x2 +4x+5 经过点B，
与x轴负半轴相交于点A ，点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的
面积为S，则S与m的函数关系式为( )
5 25
A： S = − m2 + m(0 < m < 5)
2 2
5 25
B： S = m2 + m(0 < m < 5)
2 2
5 25
C： S = − m2 − m(0 < m < 5)
2 2
5 25
D： S = m2 − m(0 < m < 5)
2 2–
3 如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为 (−1,0) 、 (0,-√3) ，点B在x轴上．已知二次
– –
√3 2√3 –
函数 y = x2 − x−√3 的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线 x = 1 ．点D
3 3
为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点D与B、C不重合），过点D作y轴的平行线交BC
于点E，设点D的横坐标为m， DE = n ，则n与m的函数关系式为( )
–
√3 –
A： n = m2-√3m(0 < m < 3)
3
– –
√3 √3
B： n = - m2 + m(0 < m < 3)
3 3
–
√3 –
C： n = − m2 +√3m(0 < m < 3)
3
– –
√3 √3
D： n = m2 + m(0 < m < 3)
3 3
4 已知抛物线 y = x2 −2x−3 与x轴交于点A (−1,0) 、B (3,0) ，与y轴交于点C(0,−3) ，若在
B、C连线的下方抛物线上存在一点Q，使得△QBC的面积是△ABC的面积的一半，则点Q的坐标为
（ ）
(1,−4)
A：
(2,−3)
B：
(1,−4) (2,−3)
C： 或
D： 以上均不对5
5 如图，抛物线 y = x2 −3x+ 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方
4
抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E，当线段DE的长度最大时，点D的坐
标为（ ）
5
A： ( ,0)
2
3
B： ( ,−1)
2
5 15
C： ( ,− )
4 16
3
D： (2,− )
4
1
6 如图，抛物线 y = − x2 −x+4 与x轴分别交于点A(−4,0) ，B(2,0) ，与y轴交于点C
2
(0,4) ，E是抛物线上位于直线AC上方的一点，当△ACE的面积最大时，点E的坐标为( )
(−2,4)
A：
9
B： (−2, )
2
(−2,3)
C：
7
D： (−2, )
2
7 如图，已知抛物线 y = x2 +bx+c 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线 y = 2x−8 经
过B，C两点，点D是线段BC上一动点，过点D作x轴的垂线交抛物线于点M，线段DM长度的最大值为( )
A： 4
B： 6
C： 8
D： 10
8 如图，抛物线 y = x2 +3x 过原点O和B(−4,4) ，D是直线OB下方抛物线上的一动点，连接
OD，BD，在点D运动过程中，当△OBD面积最大时，△OBD的最大面积为( )
A： 4
B： 6
C： 8
D： 10
9 已知抛物线 y = ax2 +bx+c 交x轴于A(4,0) ，C(−1,0) 两点，交y轴于点B(0,3) ．点P是抛
物线（在点A与点B之间的部分）上的点，则△ABP的面积最大值为( )
A： 4
B： 6C： 8
D： 10
1
10 如图，在直角坐标系中，抛物线 y = x2 −mx+n 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且
3
1
对称轴是直线 x = 1 ．直线 y = x−1 与抛物线 y = x2 −mx+n 相交于C，D两点．点P是
3
抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）在抛物线的CBD段上是否存在点P，使△CDP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，说明理由．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 5 讲 二次函数综合
课堂落实答案
1 抛物线 y = x2 −2x−3 与x轴交于A 、B两点，交y轴于点E，若直线 y = x+1 与抛物线交于
A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，则△DEF的面积为（ ）
A： 6
B： 8
C： 10
D： 12
2 抛物线 y = x2 −2x−3 与x轴交于A 、B两点，抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑
动到什么位置时，满足 S ΔPAB = 8 ，此时P点的坐标为（ ）
–
(1 +2√2,4)
A：–
(1 −2√2,4)
B：
– –
(1 −2√2,4) (1 +2√2,4) (1,−4)
C： 或 或
– –
(1 −2√2,4) (1 +2√2,4) (1,4)
D： 或 或
3 抛物线 y = x2 −2x 过点A(−1,3) ，与x轴的一交点C为 (2,0) ，点M是线段AC上的一个动点，
过点M作直线MN平行于y轴，交抛物线于点N，则线段MN长度的最大值为（ ）
9
A：
4
B： 3
11
C：
4
D： 4
4 如图，抛物线 y = −x2 −2x+3 与x轴交于A 、B两点，与y轴交于C点，抛物线在第二象限内
是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，则△PBC的面积最大值为（ ）
27
A：
4
27
B：
8
C： 27
D： 以上均不对
5 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y = −x2 +bx+c 与x轴交于A、B两点（A在B的左
侧），与y轴交于C点，直线 y = −x+3 经过B，C 两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，使四边形PCOB的面积最大？如果存在，求出
最大面积．能力强化 / 初三 / 秋季
第 5 讲 二次函数综合
精选精练
y = x2 −4x+3
1 已知二次函数 ．
（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
（2）求函数图象与x轴的交点A、B的坐标，及△ABC的面积．
2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = x2 +bx+c 经过点 (−1,8) 并与x轴交于点A、B两
点，且点B坐标为 (3,0) ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．
b 4ac−b2
y = ax2 +bx+c a ≠ 0 (− , )
注：抛物线 （ ）的顶点坐标是 ．
2a 4a
3 如图，抛物线 y = −x2 −2x+3 交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，
C的坐标分别为 (−3,0) ， (0,3) ，对称轴直线 x = −1 交x轴于点E，点D为顶点，点K是直线AC
下方的抛物线上一点，且 S ΔKAC = S ΔDAC，则点K的坐标是( )−− −−
−3 +√17 −1 +√17
A： ( , )
2 2
−− −−
3 −√17 1 −√17
B： ( , )
2 2
−− −− −− −−
−3 +√17 −1 +√17 −3 −√17 −1 −√17
C： ( , ) ( , )
或
2 2 2 2
−− −− −− −−
3 −√17 1 −√17 3 +√17 1 +√17
D： ( , ) ( , )
或
2 2 2 2
4 已知：二次函数 y = x2 +bx+c 的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为 (−3,0) ，与y轴
交于点C，点D(−2,−3)
在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出 PA +PD 的最小值；
（3）若抛物线上有一动点P，使△ABP的面积为6，求P点坐标．
5 如图所示，二次函数
y = −2x2 +4x+m 的图象与x轴的一个交点为A(3,0)
，另一个交点为
B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值及点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上有一点D(x,y) （不与C点重合），使 S ΔABD =S ΔABC，请求出D点的坐
标．6 如图，已知抛物线 y = −x2 +mx+3 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为
3
(3,0) ，抛物线与直线 y = − x+3 交于C、D两点．连接BD、AD．
2
（1）求m的值．
（2）抛物线上有一点P，满足 S
ΔABP
= 4S ΔABD，求点P的坐标．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 6 讲 旋转综合
例题练习题答案
例1 如图①，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点， AB = AC ， AD = AE ，然后将△ADE绕
点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD、CE分别延长至M、N，使
1 1
DM = BD EN = CE
， ，得到图③，请解答下列问题：
2 2
(1)在图②中，BD与CE的数量关系是_____；
(2)在图③中，猜想AM与AN的数量关系， ∠MAN 与 ∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想．练1.1 在△ABC中， AB = AC ，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作
△ADE，使 AD = AE ， ∠DAE = ∠BAC ，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，如果 ∠BAC = 90∘ ，则 ∠BCE = _____度；
∠BAC = α ∠BCE = β
(2)设 ， ，
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
练1.2 (1)如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：
BD = CE
；
(2)如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
填空：∠AEB的度数为_______；
线段BE与AD之间的数量关系是___________．
(3)拓展探究：
如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∠ACB = ∠DCE = 90∘ ，点A、D、E在同
一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
例2 如图，在等边 △ ABC 中，点D是线段BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E．连
接CE并延长，交射线AD于点F．
∠BAF = α α ∠BCF
(1)设 ，用 表示 的度数；
(2)用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．
练2.1 已知：四边形ABCD中， ∠ABC = 120∘ ， ∠ADC = 60∘ ， AD = CD ，对角线AC、BD相
交于点O，且BD平分 ∠ABC ，过点A作AH⊥BD，垂足为H．
∠ADB = ∠ACB
（1）求证： ；
（2）判断线段BH、DH、BC之间的数量关系，并证明．
–
例3 如图，P是等边△ABC内的一点，且 PA = 4 ， PB = 2√3 ， PC = 2 ，求：
∠BPC ∠APB
（1） 、 的度数；
（2）△ABC的面积．练3.1 如图，点P是正△ABC内一点，且 PA = 6 ， PB = 8 ， PC = 10 ，求 S △PAB +S △PAC 的
值．
–
例4 如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠A = 90∘ ，P是△ABC内一点， PA = √2 ， PB = 2 ，
–
PC = 2√2 ∠APB = AB =
，那么 _______， ________．
练4.1 已知△ABC是等腰三角形， AB = AC ．
(1)特殊情形：如图1，当 DE // BC 时，有DB_____EC；（填“>”“<”或“=”）
(2)发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转 α （ 0∘ < α < 180∘ ）到图2的位置，则
（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点， ∠ACB = 90∘ ，且 PB = 1 ，
PC = 2 PA = 3 ∠BPC
， ，求 的度数．
例5 (1)如图1，四边形ABCD中， ∠BAD = ∠ADC =∠CBA = 90∘ ， AB = AD ，点E、F
分别在四边形ABCD的边BC、CD上， ∠EAF = 45∘ ，点G在CD的 延 长 线 上 ，BE = DG ，连接AG，求证： EF = BE +FD ；
(2)如图2，四边形ABCD中， ∠BAD ≠ 90∘ ， AB = AD ， ∠B +∠D = 180∘ ，点E、F分
别在边BC、CD上，则当 ∠BAD = 2∠EAF 时，仍有 EF = BE +FD 成立吗？说明理
由；
(3)如图3，四边形ABCD中， ∠BAD ≠ 90∘ ， AB = AD ，AC平分 ∠BCD ，AE⊥BC于E，
AF⊥CD交CD延长线于F，若 BC = 9 ， CD = 4 ，则 CE = _____．（不需证明）
练5.1
(1)探究发现：如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点， ∠DCE = 30∘ ，
∠DCF = 60∘ CF = CD
且 ．∠EAF
①求 的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由；
(2)类比探究：如图2，△ABC为等腰直角三角形， ∠ACB = 90∘ ，点D为AB边上的一点，
∠DCE = 45∘ ， CF = CD ，CF⊥CD，请直接写出下列结果：
∠EAF
① 的度数；
②线段AE，ED，DB之间的数量关系．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 6 讲 旋转综合
自我巩固答案
1 如图，在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，有下列说法：
①△ABE≌△DBC；② AE = DC ；③AE与DC的夹角为30°；④△AGB≌△DFB，其中正确的有
（ ）个．
A： 1
B： 2
3
C：
4
D：
2 如图， △ BCM 中， ∠BMC = 120∘ ，以BC为边向三角形外作等边 △ ABC ，把 △ ABM 绕
着点A按逆时针方向旋转 60∘ 到 △ ACN 的位置， BM = 2 ， MC = 3 ，则AM的长为（ ）A： 2
B： 3
C： 5
D： 6
3 如图，已知 AF = AB ， ∠FAB = 60∘ ， AE = AC ， ∠EAC = 60∘ ，CF和BE交于O点，
则下列结论：
① CF = BE ；② ∠AMO = ∠ANO ；③OA平分∠FOE；④ ∠COB = 120∘ ，其中正确的
有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
4 如图，在△ABC中， ∠ABC 为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边，在AD的右侧作等
腰直角三角形ADE， ∠DAE = 90∘ ， AD = AE ．
AB = AC ∠BAC = 90∘
(1)如果 ， ．
①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为__________，数量关系为
__________；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；(2)如图3，如果 AB ≠ AC ， ∠BAC ≠ 90∘ ，点D在线段BC上运动．探究：当 ∠ACB 等于
多少度时，CE⊥BC？请说明理由．
5 如图，点O是等边△ABC内任一点，连接OA，OB，OC， ∠AOB = 150∘ ， ∠BOC = 120∘ ，
将△BOC绕点C旋转 60∘ 得到△ADC，则 ∠DAO 的度数是（ ）
60∘
A：
90∘
B：
100∘
C：
D： 无法确定
6 如图，P是正三角形ABC内的一点，且 PA = 6 ， PB = 8 ， PC = 10 ．若将△PAC绕点A逆时
△ P′AB ∠APB
针旋转后，得到 ，则 的度数是（ ）
120∘
A：
135∘
B：
150∘
C：
105∘
D：
7 如图，点P是正△ABC内一点，且 PA = 3 ， PB = 4 ， PC = 5 ，求 S △PAB +S △PAC的值．8 如图，在 Rt △ ABC 中， AB = AC ，D、E是斜边BC上两点，且 ∠DAE = 45∘ ，将△ABE绕
点 A顺 时 针 旋 转 90° 后 ， 得 到△ACF， 连 接 DF ， 下 列 结 论 中 ： ① ∠DAF = 45∘ ；
②△ABE≌△ACD；③AD平分∠EDF；④ BE2 +DC2 = DE2 ，正确的有________（填序号）．
△ ABC AB = AC ∠BAC = 120∘ ∠DAE = 60∘ BD = 5
9 如 图 ， 中 ， ， ， ， ，
CE = 8 ，则DE的长为________．
10
(1)如图①，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3、4、5， 则
∠APB = _________ ∘ ，由于PA、PB、PC不在同一三角形中，为了解决本题，我们可以将
△ABP绕点A逆时针旋转
60∘
到△ACP′处，连接PP′，此时，△ACP′≌__________，就可以利用全
∠APB
等的知识，进而将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出 的度数；
(2)请你利用第（1）题的解答方法解答：如图②，△ABC中， ∠CAB = 90∘ ， AB = AC ，
D、E为BC上的点，且 ∠DAE = 45∘ ，求证： BD2 +EC2 = DE2 ；
(3)如图③，在△ABC中， ∠CAB = 120∘ ， AB = AC ， ∠EAD = 60∘ ，
–
BC = 3 +√3 ，若以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形时，求BE的长．
能力强化 / 初三 / 秋季第 6 讲 旋转综合
课堂落实答案
1 如 图 ， △ABD 与 △AEC 都 是 等 边 三 角 形 ， 若 ∠BAC = 80∘ ， ∠ADC = 15∘ ， 则
∠AEB =
（ ）
15∘
A：
25∘
B：
35∘
C：
45∘
D：
2 已知， △ ABC 和 △ DBE 均为等腰直角三角形，且 ∠ABC = ∠DBE = 90∘ ，AD与EC交于
点O，则 ∠AOC 的度数是（ ）
35∘
A：
45∘
B：
55∘
C：
90∘
D：
3 如 图 ， P 为 等 边 △ ABC 内 一 点 ， 且 PC = 10 ， PB = 5 ， ∠APB = 150∘ ， 则
PA =
（ ）A： 5
–
5√2
B：
–
5√3
C：
D： 10
4 如图，P是等边△ABC内的一点，且 PA = 5 ， PB = 4 ， PC = 3 ．则 ∠BPC 的度数为（ ）
A： 150°
B： 135°
C： 120°
D： 105°
5 如图，正方形ABCD中有一点P，使得 PA = 1 ， PB = 2 ， PC = 3 ．
（1）求∠APB的度数；
（2）求正方形的边长．
能力强化 / 初三 / 秋季第 6 讲 旋转综合
精选精练
1 如图1，在Rt△ABC中， ∠ACB = 90∘ ，E是AC边上任意一点（点E与点A、C不重合），以CE为
一直角边作Rt△ECD， ∠ECD = 90∘ ，连接BE，AD．
（1）若Rt△ABC和Rt△ECD是等腰直角三角形，
①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转30°，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若
成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）若 CA = 8 ， CB = 6 ， CE = 3 ， CD = 4 ，Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，如图
3，连接BD，AE，计算
BD2 +AE2
的值．
△ABC △CDE △EHK A D K
2 已知：如图， 、 、 都是等边三角形，且 、 、 共 线 ，
AD = DK △HBD
，求证： 也是等边三角形．
3 （1）如图1所示，线段AC上有点P，分别以AP、CP为边，在直线AC的同侧作等边 △ ABP 与
△ CDP ，连接AD与BC，可以得到 △ ADP 和 △ BCP 全等_______（填“成立”或者“不成
立”）；
（2）如图2所示，已知：在 △ ABC 中， BC = a ， AC = b ，以AB为边作等边三角形ABD．
探究下列问题：如图，当 ∠ACB 变化，且点D与点C位于直线AB两侧时，求CD的最大值及相应
∠ACB
的 的度数．4 如图，D为等边三角形ABC内的一点， DA = 5 ， DB = 4 ， DC = 3 ，将线段AD以点A为旋转
60∘ AD′
中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论：
①点D与点 D′ 的距离为5；② ∠ADC = 150∘ ；③ △ ACD′ 可以由△ABD绕点A逆时针旋转
–
25√3
60∘ 得到；④点D到 CD′ 的距离为3；⑤ S 四边形ABCD′ = 6 +
2
，其中正确的有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
5 如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知
∠AOB = 110∘
．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当 α = 150∘ 时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
6 已知在四边形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的一点．(1)如图1：当四边形ABCD是正方形时，作出将△ADF绕点A顺时针旋转90度后的图形
△ ABM ，并判断点M、B、C三点是否在同一条直线上：______（填“是”或“否”）；
(2)如图1：当四边形ABCD是正方形时，且 ∠EAF = 45∘ ，请直接写出线段EF、BE、DF三者
之间的数量关系：________________；
AB = AD ∠B = ∠D = 90∘ ∠EAF ∠BAD
(3)如图2：当 ， ， 是 的一半，问：（2）中的
数量关系是否还存在，并说明理由；
(4)在（3）的条件下，将点E平移到BC的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF、BE、DF的
关系．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
x x2 −2x−3 = 0
1 关于 的一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A： 1、2、3
B： 1、-2、-3
C： 1、-2、3
D： 1、2、-3
2 下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A： 圆
B： 等腰三角形C： 平行四边形
D： 梯形
x2 +4x+a−1 = 0 a
3 一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
a < 5
A：
a > 5
B：
a ≤ 5
C：
a ≥ 5
D：
y = −4x2 +5
4 抛物线 的开口方向（ ）
A： 向下
B： 向上
C： 向左
D： 向右
y = ax2 +bx+a2 −3 a b a
5 若二次函数 （ 、 为常数）的图象如图．则 的值为（ ）
A： 1
–
√3
B：
C：
–
−√3
D：
−3
6 在一次酒会上每两个人只碰杯一次，如果一共碰杯45次，则参加酒会的人数为（ ）
A： 9B： 10
C： 11
D： 12
7 如图，△ABC≌△ADE，点 D 落在 BC 上，且 ∠B = 55∘ ，则 ∠EDC 的度数等于（ ）
50∘
A：
60∘
B：
70∘
C：
80∘
D：
y = ax2 −2x+1 y = ax+a a a ≠ 0
8 函数 和 ( 是常数，且 )在同一直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A：
B：C：
D：
9 “流浪地球”一上映就获得追捧，第一天票房约8亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，上映
三天后累计票房收入达 29.12 亿元，若把增长率记作x，则方程可以记为（ ）
8(1 +x) = 29.12
A：
8(1 +x)2 = 29.12
B：
8 +8(1 +x)+8(1 +x)2 = 29.12
C：
8 +8(1 +x)2 = 29.12
D：
10 如图，二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与x轴的交点的横坐标分别为 −1 、3，则下列结论正确
的个数有（ ）
ac < 0 2a+b = 0 4a+2b+c > 0 ax2 +bx ≥ a+b
① ；② ；③ ；④ ．
A： 1B： 2
C： 3
D： 4
x2 +4x = 0
11 方程 的解为_________．
y = x2 +1
12 抛物线 的顶点坐标是___________．
y = ax2 +bx+c x = 1 a < 0
13 抛物线 的部分图象如图所示，直线 为对称轴，以下结论① ，②
b > 0 2a+b = 0 3a+c < 0
，③ ，④ 正确的有____________．（填序号）
x x x2 −2(k+1)x+k2 +2 = 0
14 设 1 、 2 是 方 程 的 两 个 实 数 根 ， 且
(x
1
+1)(x
2
+1) = 8 ，则k的值是_________．
15 关于x的一元二次方程 ax2 +4x−2 = 0 有两个不相等的实数根，则a的取值范围为_________．
1 1
16 y = − x2 +x+4 (2,4) − x2 +x+4 = 4
已知二次函数 的图象经过点 ，则方程 的解为
2 2
____________________．
x2 +2x−1 = 0
17 解方程： ．
y = x2 +mx+3 x = −2
18 已知抛物线 的对称轴为 ，求该抛物线的顶点坐标．
19 在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的
A (0,2) B
一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处 点的坐标是 ，铅球路线的最高处 点的坐标
(6,5)
是 ．求这个二次函数的解析式．20 化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不
高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）
x = 60 y = 80 x = 50 y = 100
的一次函数，且当 时， ； 时， ．在销售过程中，每天还要支付
其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
21 关于x的一元二次方程 (a+c)x2 +2bx+(a−c) = 0 ，其中a、b、c分别为△ABC三边的
长．
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22 如图，抛物线 y = −x2 +bx+c 交x轴于点 A(−3,0) 和点B，交y轴于点 C (0,3) ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且 S
△AOP
= 4S △BOC，求点P的坐标；
（3）如图2，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大
值．
Rt △ OAB ∠OAB = 90∘ ∠ABO = 30∘ OB = 4
23 已 知 ： 在 中 ， ， ， 斜 边 ， 将
Rt △ OAB O 60∘ BC
绕点 顺时针旋转 ，连接 ．
AC OP⊥AC P △ AOC OP
（1）如图1，连接 ，作 ，垂足为 ，求 的面积和线段 的长；M OC N OB O
（2）如图2，点 是线段 的中点，点 是线段 上的动点（不与点 重合），求
△ CMN
周长的最小值．
y = ax2 +bx+c(a ≠ 0) x = −1 x
24 如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线与 轴交于
A B y C A(1,0) C (0,3)
、 两点，与 轴交于 点，其中 ， ．
y = mx+n B C BC
（1）若直线 经过 、 两点，求直线 和抛物成的解析式；
x = −1 M M A C
（2）在抛物线的对称轴 上找一点 ，使点 到点 的距离与到点 的距离之和最小，
M
求出点 的坐标；
P x = −1 BPC P
（3）设点 为抛物线的对称轴 上的一个动点，求使△ 为直角三角形的点 的坐
标．
