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能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式进阶
例题练习题答案
例1 1
使式子 +√x+2成立的x的取值范围是（ ）
x2−4
A： x ≥ −2
B： x > −2
C： x > −2，且x ≠ 2
D： x ≥ −2，且x ≠ 2
√
练1.1 1
二次根式 中，字母a的取值范围是（ ）
1−a
A： a ≠ 1
B： a ≤ 1
C： a < 1
D： a > 1
练1.2 √x−1
若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
x−2
A： x > 1且x ≠ 2
B： x ≥ 1
C： x ≠ 2
D： x ≥ 1且x ≠ 2
例2 3
已知y = √x−24+√24−x−8，求√x−5y的值．
练2.1 已知a、b、c满足2|a−1|+√2a−b+(c+b)2 = 0，求2a+b−c的值．
练2.2 若y = √x−3+√3−x+4，则x+y = __________．例3
如果实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简
√
a2b2 = ________．
练3.1 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ √ (a−b)2 的结果是（ ）
A： −2a+b
B： 2a−b
C： −b
D： b
例4 计算：
√
1
（1）√48÷√3− ×√12+√24；
2
（2）(3+√5) 2 − ( 4+√7 )( 4−√7 ) ；
( )( )
（3） √3+1 3−√3 ；
练4.1 计算：
√
1
（1）√18× (√2−√6 ) −3 ；
3
（2） ( 2√2−1 )2 +√32．
练4.2 计算：
√3 √3
（1）√12× ÷√3+ ；
4 2
√ √
b 1
√
（2） ÷ ab2×a+ (a > 0，b > 0)．
2a 2b
例5 把下列各式分母有理化：
1 1
（1） ；（2） ；
√12 2+√3
1 7+4√3
（3） ；（4） ；
2√3−3√2 2+√3a√b−b√a a−b
（5） ；（6） ．
√ab √a−√b
练5.1 (1)把下列各式分母有理化：
1 1
① ； ② ．
3√2 √54
(2) 2
已知a = √3+1，b = ，则a与b的关系为（ ）
√3−1
A： ab = 1
B： a = −b
C： ab = −1
D： a = b
例6 阅读下面问题：
1 1×
(√2−1 )
= = √2−1；
√2+1 (√2+1 )(√2−1 )
1 1×
(√3−√2 )
= = √3−√2；
√3+√2 (√3+√2 )(√3−√2 )
1 1×
(√5−2 )
= = √5−2，根据以上解法，试求：
( )( )
√5+2 √5+2 √5−2
(1) 1
的值；
√7+√6
(2) 1
（n为正整数）的值；
√n+1+√n
(3) 1 1 1 1 1
+ + +⋯+ + 的值．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
练6.1 4 4 4 4
化简： + + +…+ .
√2+2 2+√6 √6+√8 √2n+√2n+2能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式进阶
自我巩固答案
1 已知s = √3t−7+√7−3t−5，则st的值为（ ）
A： −35
B： 35
C： 35
−
3
D： 35
3
2 若√2x+1+|y+3| = 0，则 √ (x+y)2 的值为（ ）
A： 5
2
B： 5
−
2
C： 7
2
D： 7
−
2
3 实数a、b在数轴上的位置如图，化简 √ a2− √ b2− √ (a−b)2 ．
4 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A： √0.2b
B： √12a−12bC： √ x2−y2
D： √ 5ab2
5 如果最简二次根式√3a−8与√17−2a能够合并，那么a的值为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
6 下列计算错误的是（ ）
A： √14×√7 = 7√2
B： √60÷√30 = √2
C： √9a+√25a = 8√a
D： 3√2−√2 = 3
7 计算：
(1) √12+√27
；
√3
(2)( 2√2−√3 )2 ；
√
(3) 1
√48+6 −√75；
3
√
(4) 1
( )
2√12−3 ×√6−3√27．
3
8 若a = 2√2+3，b = 2√2−3，则下列等式成立的是（ ）
A： ab = 1
B： ab = −1
C： a = bD： a = −b
9 若√3 = a，√30 = b，则√0.9 = （ ）
A： a
10b
B： b
10a
C： ab
10
D： a+b
10
10 √a−√b
若(a−3)2+√b−2 = 0，则 的值为（ ）
√a+√b
A： 5−2√6
B： √6
C： 5+√6
D： 3−√6
能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式进阶
课堂落实答案
√ √
1 1 1
若y = x− + −x−6，则xy = _____．
2 2
√
2 b
如果 是二次根式，那么a，b应满足（ ）
a
A： a > 0，b > 0B： a，b同号
C： a > 0，b ≥ 0
D： b
≥ 0
a
√
3 x
√
在二次根式√72， 5a3 ，√3，√9， 中，最简二次根式的个数有（ ）
2
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
4 1
分母有理化 的结果为（ ）
4+√15
A： 4−√15
B： 4+√15
C： √15−4
D： 4−√15
2
5 计算
(1)( )2 ( )( )
2√3−1 + √3+2 √3−2 ；
√
(2) 1
( )
√6−2√15 ×√3−6 ．
2
能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式进阶
精选精练1 1
√ √
若y = x2−4+ 4−x2+ +2，则x−y的值为__________．
2−x
2 已知实数x满足|2015−x|+√x−2016 = x，求x−20152 的值．
3 已知实数x满足|2017−x|+√x−2019 = x，求x−20172 的值.
4 (1) 1 1 y x
已知x = ( √7+√5 ) ，y = ( √7−√5 ) ，求x2+y2 与 + 的值．
2 2 x y
√ √
(2) 1 x x
已知√x+ = 2，那么 − 的值等于________．
√x x2+3x+1 x2+9x+1
5 1
化简： = ____．
√
y− y2−1
6 (√7+√3 )( 10−2√21 )
化简： = __________．
√7−√3
能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 勾股定理
例题练习题答案
例1 (1)若a = 4，b = 5，∠C = 90∘，则c = ____________；
(2) 若a+b = 2+2√2，a:b = 1:√2，∠C = 90∘，则c = ____________；
(3)若直角三角形的两边长为5，12，则第三边的长为___________．
练1.1 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）
A： 12
B： 7+√7C： 12或7+√7
D： 以上都不对
例2 如图，已知正方形A，C的面积分别是25，169，则正方形B的面积为（ ）
A： 12
B： 13
C： 144
D： 194
练2.1 如图，在四边形ABCD中，∠DAB = ∠BCD = 90∘，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方
形，若S +S = 100，S = 36，则S = （ ）
1 4 3 2
A： 136
B： 64
C： 50
D： 81
练2.2 已知直角三角形的三边长为6，8，x，则以x为边长的正方形的面积为_________．
例3 如图，Rt △ ABC中，AB = 9，BC = 6，∠B = 90∘，将 △ ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，
折痕为MN，则线段BN的长为( )
A： 4
B： 3C： 2
D： 5
练3.1 如图，将直角三角形ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC = 6，AB = 10，则DB =
_______．
例4 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正
确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
练4.1 有四个三角形，分别满足下列条件：
①一个内角等于另外两个内角之和；
②三个内角之比为3:4:5；
③三边长分别为9，40，41；
④三边之比为8:15:17．其中，能构成直角三角形的个数有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个D： 4个
练4.2 如图，∠ADC = 90∘，AD = 4m，CD = 3m，AB = 13m，BC = 12m．
（1）试判断以点A，B，C为顶点的三角形的形状，并说明理由；
（2）求该图的面积．
例5 若ABC的三边满足(c−a)(c+a)−b2 = 0，则下列结论正确的是（ ）
A： △ABC是直角三角形且∠C为直角
B： △ABC是直角三角形且∠B为直角
C： △ABC是直角三角形且∠A为直角
D： △ABC不是直角三角形
练5.1 若 △ ABC的三边a，b，c满足条件(a−b)(a2+b2−c2) = 0，则△ABC为（ ）
A： 等腰三角形
B： 直角三角形
C： 等腰三角形或直角三角形
D： 等腰直角三角形
例6 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是________三角形．
练6.1 如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成三角形不是直角
三角形的是（ ）A： △ABD
B： △ADC
C： △BCD
D： △ABC
能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 勾股定理
自我巩固答案
1 已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB = 3，则图中阴影部
分的面积为（ ）
A： 9
B： 3
C： 9
4
D： 9
2
2 已知：a，b，c为一个直角三角形的三边长，且有 √ (a−3)2+(b−2)2 = 0，求直角三角形的斜边
长．
3 如图，∠B为直角，BC长为2，AB长为3，正方形AGHF的面积为36，正方形CDEF的面积为49，
求△AFC的面积．4 三角形的两边长分别为2，7，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是（ ）
A： √53
B： 3√5
C： √53或3√5
D： √47或3√5
5 如图，四边形ABCD中，AB = 4，BC = 2√10，CD = 2√2，AD = 4，∠A = 90∘，则∠ADC的度数
为（ ）
A： 120∘
B： 105∘
C： 135∘
D： 125∘
6 如图，A，B，C三点在边长为1的正方形网格的格点上，则∠BAC的度数为（ ）
A： 30∘
B： 45∘C： 50∘
D： 60∘
7 如果一个三角形的三边分别为1，√2，√3，则其面积为（ ）
A： √2
B： √2
2
C： √3
2
D： √6
2
8 下列各组数中是勾股数的一组是（ ）
A： 7，24，25
B： 4，6，9
C： 0.3，0.4，0.5
D： 1 1
4，7 ，8
2 2
9 一直角三角形三边长分别为a，a，c，那么由an，an，cn（n为自然数）为三边组成的三角形一定
是（ ）
A： 等腰三角形
B： 等腰直角三角形
C： 钝角三角形
D： 直角三角形
10 如图，梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在边DC中点E处，
若BC = DC = 2，则线段AB的长为( )A： 2
B： √3
C： 2√2
D： √5
能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 勾股定理
课堂落实答案
1 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A： 4
B： 8
C： 16
D： 64
2 一直角三角形的斜边长比一直角边长大2,另一直角边长为6,则斜边长为（ ）
A： 4
B： 8
C： 10
D： 12
3 下列几组数中，是勾股数的有（ ）
2 7
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④ 、2、 ．
3 3
A： 1组
B： 2组
C： 3组D： 4组
4 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A： 三内角之比为1:2:3
B： 三边长的平方之比为1:2:3
C： 三边长之比为3:4:5
D： 三内角之比为3:4:5
5 如图，在Rt△ABC中，∠B = 90∘，AB = 6，BC = 8，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点
B′ 重合，AE为折痕，则EB′ = ________．
能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 勾股定理
精选精练
1 已知|x−6|+(y−8)2+z2−20z+100 = 0，若三角形的边长分别为x，y，z，则该三角形最长边上
的高为___________．
2 观察图，每个小正方形的边长均为1，求：图中阴影正方形的面积是多少？它的边长是多少？
3 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘，AB = 8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为
S ，S ，则S +S 的值等于___________．
1 2 1 24 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，EF为折痕，∠BAE = 30∘，AB = √3，折叠后，点
C
落在AD边的C 处，并且点B落在EC 边上的B 处，则BC的长为_______．
1 1 1
5 如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，AC = 6，BC = 8，
∠CAE:∠BAE = 1:2．
（1）求∠B的度数；
（2）求△ACE的周长；
（3）求CE的长．
6 已知：整式A＝ ( n2−1 )2 +(2n)2 ，整式B > 0；
尝试：化简整式A；
发现：A＝B2 ，求整式B；
联想：由上可知，B2= ( n2−1 )2 +(2n)2 ，当n>1时，n2−1，2n，B为直角三角形的三边长．
如图所示：
填写下表中B的值：
直角三角形三边 n2−1 2n B
勾股数组Ⅰ 8勾股数组Ⅱ 35
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合应用
例题练习题答案
例1 (1) 在Rt △ ABC中，∠C = 90∘，∠A = 30∘，BC = 6，那么AB = ．
(2) 如图，在 △ ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B = 60∘，∠C = 45∘．
①求∠BAC的度数；
②若AB = 4，求BC的长．
练1.1 (1)在Rt△ABC中，30∘所对的直角边是√3，则另一条直角边的长是（ ）
A： 4
B： 4√3
C： 3
D： 6√3
(2) 如图，△ABC中，∠B = 45∘，∠A = 105∘，AB = 2，则BC =________．练1.2 (1) 如图所示，在△ABC中，AB = AC，∠A = 120∘，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么
BE:EA = _________．
(2) 在△ABC中，∠C = 90∘，∠B = 15∘，点D在AB上，DE是AB的中垂线，BE = 8cm，AE =
______，AC = __________．
例2 在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的
池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，
则这棵树高_______米．
练2.1 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m，当他把绳子的下端拉开5 m
后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
练2.2 如图，已知荷叶高出水面0.6m，一阵风吹来，荷叶紧贴水面，这时它偏离原来的水平距离为1.2
m，求荷叶的高度．例3 一个长方形抽屉长12厘米，宽9厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗
细）可以是（ ）
A： 15厘米
B： 13厘米
C： 9厘米
D： 8厘米
练3.1 如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯
子外面的长度至少为（ ）
A： 1厘米
B： 2厘米
C： 3厘米
D： 4厘米
练3.2 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部
的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和
小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A： 12 ≤ b ≤ 13
B： 12 ≤ b ≤ 15
C： 13 ≤ b ≤ 16
D： 15 ≤ b ≤ 16例4 如图，长方体的长，宽均为1，高为2，已知蚂蚁从长方体的一个顶点A出发，沿着表面爬行到点
B，求蚂蚁爬行的最短路程是_________．
练4.1 如图，一个长方体纸盒，它的长，宽，高分别为8cm，4cm，5cm，在盒顶点处A处有一只壁虎，它
发现盒内其对顶角顶点B处有一只苍蝇，于是壁虎向点B爬行，则这只壁虎由A点爬行至点B的最短
路径为 ．
练4.2 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两个
相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短
路程为 dm．
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合应用
自我巩固答案
1 如图，线段AB绕点A逆时针旋转60∘得到线段AC，BD⊥AC于点D．若CD = 1，则线段BD的长
为（ ）
A： √2
B： √3C： 1
D： 2
2 如图，∠AOB = 30∘，OP平分∠AOB，PC∥OA，PD⊥OA，若PC = 4，PD的长为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
3 如图，在矩形ABCD中，AB = 2BC，在CD上取一点E，使AE = AB，则∠EBC的度数为（ ）
A： 10∘
B： 15∘
C： 30∘
D： 45∘
4 如图，在△ABC中，∠ABC = 90∘，AB = CB，点E在BC上，∠CAE = 15∘，AE = 6，则EB的长度
为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4D： 5
5 如图，在△ABC中，∠A = 45∘，∠B = 30∘，CD⊥AB，垂足为D，AD = 1，则BD的长为（ ）
A： √2
B： 2
C： √3
D： 3
6 小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5
m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A： 2m
B： 2.5m
C： 2.25m
D： 3m
7 校园内有两棵树，相距8米，一棵树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一
棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）
A： 8米
B： 9米
C： 10米
D： 11米
8 6
如图，一圆柱高8cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，爬行最短路程是( )
π
A： 6cmB： 8cm
C： 10cm
D： 12cm
9 如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C′ ，已知AB = 1cm，则爬行路线最
短为( )
A： 3cm
B： (1+√2)cm
C： √5cm
D： √3cm
10 如图，长方体的底面积为30cm2 ，长、宽、高的比为3:2:1，则：
（1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？
（2）长方体的表面积和体积分别是多少？
（3）若一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到顶点B，直接写出从点A爬行到点B的最短路程
是 cm．
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合应用
课堂落实答案
1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘，∠A = 30∘，AC = 2，则AB = （ ）A： 4
B： 2√3
3
C： 4√3
3
D： √3
3
2 某校在一块如图所示的三角形空地上种草皮以美化环境，已知AB = 20m，BC = 30m，∠B = 150∘
，
并且这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要 元．
3 16
如图，圆柱的底面直径为 ，BC = 12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，
π
则移动的最短距离为（ ）
A： 10
B： 12
C： 14
D： 20
4 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知
红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是（ ）A： 1米
B： 1.5米
C： 2米
D： 2.5米
5 如图，开口玻璃罐的长、宽、高分别为16，6和6，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂
蚁
正好在罐外长方形ABCD的中心H处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（ ）
A： √145
B： √205
C： √277
D： 17
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合应用
精选精练
1 在△ABC中，高AD、BE所在直线交于H点，若BH = AC，则∠ABC的值为（ ）
A： 45∘
B： 135∘
C： 60∘
D： 45∘或135∘
2 数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度的时候发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到
地面还多2米，当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触到地面，且绳子处于绷直状态．根据以上数据，计算旗杆的高度和升旗用的绳子的长度．
3 如图所示的正方体中，Q，R，S是棱PB上的点，一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体的侧面爬行，经
过PB上一点，爬行到C点，若此蚂蚁所爬行的路线最短，那么P，Q，R，S四个点中，它最有可能
经过的点是（ ）
A： P
B： Q
C： R
D： S
4 1
棱长分别为7cm，6cm两个正方体如图放置，点P在E F 上，且E P = E F ，一只蚂蚁如果要沿
1 1 1 1 1
3
着长
方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是_______．
5 如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使
线绳经过ABFE，BCGF，EFGH，CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为 dm．
6 仔细阅读，解答下列问题
（1）有一长方体的食物包装纸盒如图1，已知长方体的底面长为12，宽为9，高为5，一只蚂蚁
想从底面A处爬到B处去吃食物，请问：蚂蚁爬行的最短距离是多少？
（2）如图2，圆柱形容器的高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3米的点B处有
一只蚊子，此处一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿0.3米与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉
到蚊子的最短路程是多少？（容器厚度忽略不计）．
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 平行四边形进阶
例题练习题答案
例1 如图，平行四边形ABCD中，∠C = 108∘，BE平分∠ABC，则∠ABE等于（ ）
A： 18°
B： 36°
C： 72°
D： 108°练1.1 如图，在平行四边形ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC = 2，平行四边形ABCD
的周长是14，则DM等于（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例2 平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC，BD相交于点O，若 △ BOC的周长比 △ AOB的周长
大2cm，则CD = _________cm．
练2.1 如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB ≠ AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则
△ ABE的周长为_____cm．
练2.2 如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积
是平行四边形ABCD面积的（ ）
A： 1
5
B： 1
4
C： 1
3
D： 1
2
例3 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB = DF，AC = DE，BE = FC．（1）求证： △ ABC≌ △ DFE；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形．
练3.1 已知，如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO = BO，E，F分别是OC，OD中点．求证：四边形
AFBE是平行四边形．
例4 已知：在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD和BC上，点G，H在AC上，且AE = CF，AH = CG
．
求证：四边形EGFH是平行四边形．
练4.1 如图，平行四边形ABCD中，分别过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接CE，
AF．
求证：四边形AECF是平行四边形．
例5 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘，AC = 5，BC = 12．若D，E分别为边AC，BC的中点，则DE的
长为( )
A： 5B： 5.5
C： 6
D： 6.5
练5.1 已知△ABC中，D为BC上的一点，E，F，H，G分别是AC，CD，DB，AB的中点，EF+AD = 6
cm，则GH的长度是_______．
练5.2 已知△ABC的三边AB = 3，BC = 6，AC = 7，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形DBCE的周长
为（ ）
A： 9
B： 19
C： 14
D： 11
例6 如图，任意做一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，那么这个新
的四边形是平行四边形吗？请证明你的结论．
练6.1 如图，在四边形ABCD中，AB = 3，BC = 5，∠A = 130∘，∠D = 100∘，AD = CD．若点E，F分
别是边AD，CD的中点，则EF的长是（ ）
A： √2
B： √3C： 2
D： √5
练6.2 如图，在 △ ABC中，D是AB上一点，AD = AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若
BD = 10，则EF的长为（ ）
A： 8
B： 10
C： 5
D： 4
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 平行四边形进阶
自我巩固答案
1 在平行四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C = 2:3:2，则∠D = （ ）
A： 36°
B： 108°
C： 72°
D： 60°
2 如图，在□ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠2 = 108∘，则∠1 = （ ）
A： 18°
B： 22°
C： 108°D： 118°
3 如图，在平行四边形ABCD中，AB = 6，AD = 9，∠BAD的平分线交DC的延长线于点E，CE的
长为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 2.5
4 如图所示，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB:AD = 3:2，那么□ABCD的周长为（ ）
A： 16
B： 24
C： 40
D： 80
5 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线分别交BC，AD于点
E，F．若∠ABC = 30∘，AB = 6，BC = 10，则图中阴影部分的面积为（ ）
A： 30
B： 15
C： 15
2
D： 1
6 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）A： 一组对边平行，另一组对边相等
B： 一组对边平行且相等
C： 两组对边分别平行
D： 对角线互相平分
7 在四边形ABCD中，已知∠A = ∠C，再从①∠B = ∠C；②AD∥BC；③AB∥CD；④AC = BD中选
择一个能判定四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A： 1种
B： 2种
C： 3种
D： 4种
8 已知BD垂直平分AC，∠BCD = ∠ADF，AF⊥AC，求证：四边形ABDF是平行四边形．
9 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD = 12，则 △ DOE
的周长为多少？
10 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O且AC = BD，M、N分别为AD、BC的中点，连接
MN交AC、BD于点E、F．
求证：OE = OF．
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第 4 讲 平行四边形进阶课堂落实答案
1 如图，在□ABCD中，∠AEB = 36∘，BE平分∠ABC，则∠C等于（ ）
A： 36°
B： 72°
C： 108°
D： 144°
2 如果平行四边形的一边长是14，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A： 16和12
B： 16和18
C： 18或10
D： 36或6
3 如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于E，F，若平行四边形的面积
是12，则 △ AOE与 △ DOF的面积和为（ ）
A： 4
B： 3
C： 2
D： 6
4 如图，在□ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求
证：AE = CF．5 如图，A、B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA、CB，
分别延长到点M、N，使AM = AC，BN = BC，测得MN = 200m，则A、B间的距离为_______m．
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 平行四边形进阶
精选精练
1 如图，在□ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B = 40∘，则∠MCN = （ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 60∘
D： 70∘
2 如图，点E，F在平行四边形ABCD的对角线BD上，BE = DF，若平行四边形ABCD的面积是
20cm 2 ，△ABE的面积是3cm 2 ，则平行四边形AECF的面积是________cm 2 ．
3 E为△ABC中AC边上一点，ED∥AB交BC于点D，F为AB边上一点，AF = DE，延长FD到点G，使
DG = FD，连接AG，求证：DE，AG互相平分．4 已知，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E，F分别在AC，AB两边上，且AE = BF，
EG∥AB交AD于点G，求证：BG = EF．
5 如图1，□ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点
O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形
AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）．
6 已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．
求证：GF = GC．
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 矩形进阶
例题练习题答案例1 将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条
边上，若∠1 = 47∘，则∠2的度数为________．
练1.1 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB = 6cm
，BC = 8cm，则 △ AEF的周长=_____cm．
练1.2 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE = BD，连接AE，若∠ADB = 36∘，则∠E = ______．
例2 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若AB = AO = 2，则矩形的面积为_________．
练2.1 如图，在矩形ABCD中，AD = 6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，DE = 3BE．求
AE的长（ ）
A： 2√3
B： 3
C： 3√3
D： 3√3
2例3 如图所示，在四边形ABCD中，∠BCD = 90∘ ，AB⊥BD于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，
则AE与CE的大小关系是（ ）
A： AE = CE
B： AE > CE
C： AE < CE
D： AE = 2CE
练3.1 如图，AB⊥AF，EF⊥AF，BE与AF交于点C，点D是BC的中点，∠AEB = 2∠B．若BC = 8，
EF = √7，则AF的长是（ ）
A： √6
B： √7
C： 3
D： 5
例4 如图，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若 △ AFD的周长为9， △ ECF的
周长为3，则矩形ABCD的周长为________．
练4.1 如图，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上
的点F处．求EF的长．练4.2 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′ 处，BC′ 交AD于E，AD = 8，AB = 4，则DE
的长为________．
例5 如图，□ABCD各内角的角平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
练5.1 如图，将□ABCD的边AB延长至点E，使AB = BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)连接BD，若∠BOD = 2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
练5.2 如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点O是AC的中点，延长DO到点E，使OE = OD，连接
AE、CE．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若AB = 17，BC = 16，求四边形ADCE的面积．例6 如图， △ ABC是等腰直角三角形，∠C = 90∘ ，AC = BC = 4，点P是AB上的一个动点（点P与点A
，B不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连接EF．
（1）求证：四边形PECF是矩形．
（2）根据矩形的性质，直接写出线段EF的最小值： ．
练6.1 如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC = 4，BC = 3，P为AB上一动点，E，F分别在AC，
BC边上，且四边形PECF是矩形，则线段EF长度的最小值为__________．
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 矩形进阶
自我巩固答案
1 一个矩形被分成4个不同的三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积
是21cm2
，则该矩形的面积为（ ）
A： 60cm2
B： 70cm2
C： 120cm2
D： 140cm2
2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若
∠EAC = 2∠CAD，则∠BAE的度数为（ ）A： 20∘
B： 22.5∘
C： 27.5∘
D： 30∘
3 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90∘后，得到矩形AB′C′D′ ，连接CC′ 、B′D′
，若
CC′ = 8，那么B′D′ 的长是（ ）
A： 6
B： 4√2
C： 5
D： 8
4 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC = 120∘，BO = 4，则矩形的边BC的长是
（ ）
A： 6
B： 8
C： 6√3
D： 4√3
5 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC = 4，则四边形CODE的
周长（ ）A： 4
B： 6
C： 8
D： 10
6 如图， △ ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC = 12，BC = 5，P为AB上一动点，且PE⊥AC 于
E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为（ ）
A： 12
5
B： 13
C： 60
13
D： 17
7 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE = AD，连接EB，EC，DB，添加一
个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A： AB = BE
B： BE⊥DC
C： ∠ADB = 90∘D： CE⊥DE
8 如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由．
(1)若AB = 4，BC = 8，求AF的长．
(2)若对折使C在AD上，AB＝6，BC＝10，求AE，DF的长．
9 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE = CG，AH = CF
．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB = AD，且AH = AE，求证：四边形EFGH是矩形．
10 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF = BE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形DEBF是矩形；
(2)若AF平分∠DAB，AE = 3，BF = 4，求ABCD的面积．
能力提高 / 初二 / 春季第 5 讲 矩形进阶
课堂落实答案
1 下列说法错误的是（ ）
A： 矩形的对角线互相平分
B： 矩形的对角线相等
C： 有一个角是直角的四边形是矩形
D： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD = 60∘，AD = 3，则BD的长为（ ）
A： 5
B： 6
C： 7
D： 8
3 四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC = BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形
的是（ ）
A： AB = CD
B： 对角线互相平分
C： 对角线互相垂直
D： AB//CD
4 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，
AB = 4，BC = 6，则图中阴影部分的面积为_______．
5 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE = BC，AE = AB，AE，DC相交于点
O，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD = 120∘，AC = 4，求对角线CD的长．
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 矩形进阶
精选精练
1 如图，在矩形ABCD中，BC = 8，CD = 6，将 △ BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′ 处，BC′ 交
AD于点E，则 △ BDE的面积为（ ）
A： 75
4
B： 21
C： 21
4
D： 24
2 如图所示，在矩形ABCD中，AB = 3，BD = 5，P是AD上的一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，
则PE+PF的值为_____________．3 如图所示，长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB = 2a，BC = 3b，且E为AB边的中
1
点，CF = BC，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积．
3
4 如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE = ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD
，垂足分别为F，G．求证：PF+PG = AB．
5 如图，矩形ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上，且CH = AG，CF = AE．
(1)求证:△AGE ≅ △CHF;
(2)若AB = 8,AD = 4,且GH恰好平分∠FGE,求CF的长.
6 在 △ ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠BCA的平分线于点E，交
∠DCA的平分线于点F．
(1)求证:EO = FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
能力提高 / 初二 / 春季第 6 讲 菱形
例题练习题答案
例1 菱形的对角线不一定具有的性质是（ ）
A： 互相平分
B： 互相垂直
C： 每一条对角线平分一组对角
D： 相等
练1.1 如图，对菱形ABCD的叙述正确的是（ ）
A： AC = BD
B： ∠OAB = ∠OBA
C： AC⊥BD
D： 有4条对称轴
例2 (1)如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD的周长为
32．则OH的长等于（ ）
A： 8
B： 4
C： 7
D： 16
(2)如图，已知菱形ABCD，AC = 6，BD = 8，则菱形的边长等于（ ）A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
练2.1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC = 12，BD = 16，则这个菱形的周长为______．
例3 已知，如图菱形ABCD的边长为13 cm，对角线BD长为10 cm．
(1)求对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积．
练3.1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO = 3，∠ABC = 60∘，则菱形ABCD的面积是
______．
例4 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD = 90∘；
③AB = BC；
④AC = BD．
A： ①③
B： ②③
C： ③④
D： ①②
练4.1 如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB = OD，请你添加一个适当的条件
________，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）
例5 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB = 5，AC = 6，BD = 8．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．
练5.1 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE = DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB = 5，AC = 6，求四边形ABCD的面积．
练5.2 已知：如图，AF∥DE，AC平分∠BAD交DE于点C，DB平分∠ADC交AF于点B，连接BC．求证：
四边形ABCD是菱形．例6 (1)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD = 120∘，点E是AD的中点，点F是BD上的一动点，则
CF+EF的最小值是_________．
(2) 如图，在菱形ABCD中，∠ABC = 120∘，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，
若AB = 2，则PB+PE的最小值是________．
练6.1 如图，在边长是5的菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，BE = 2，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小
值是（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
练6.2 如图，已知菱形ABCD的周长为16，∠ABC = 60∘，点E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，
则EP+AP的最小值为（ ）A： 2
B： 2√3
C： 4
D： 4√3
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 菱形
自我巩固答案
1 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A： 内角和等于360∘
B： 对角相等
C： 对边平行且相等
D： 对角线互相垂直
2 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE//DC交BC于点E，AD = 6cm，则OE
的长为（ ）
A： 6cm
B： 4cm
C： 3cm
D： 2cm3 如图，菱形ABCD中，对角线AC = 20，BD = 8，则此菱形的面积为（ ）
A： 75
B： 80
C： 90
D： 70
4 如图，菱形ABCD的周长是52，对角线AC，BD相交于点O，若BD = 10，则菱形ABCD的面积是
（ ）
A： 120
B： 240
C： 60
D： 100
5 如果菱形的边长是a，一个内角是60∘，那么菱形较短的对角线长等于（ ）
A： 1
a
2
B： √3
a
2
C： a
D： √3a
6 如图，在 △ ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE = DF．下列
条件使四边形BECF为菱形的是（ ）A： BE⊥CE
B： BE//CF
C： BE = CF
D： AB = AC
7 如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．若AD平分∠BAC．试判断四边形AEDF
的形状，并给出证明．
8 如图，已知在△ADE中，∠ADE = 90∘，点B是AE的中点，过点D作DC//AE，DC = AB，连接
BD，CE．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）若AD = 8，BD = 6，求菱形BDCE的面积．
9 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB长是3，
则PM+PB的最小值为___．10 如图，菱形ABCD的对角线AC = 12，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，
则PD+PE的最小值为（ ）
A： 4
B： 4√2
C： 2√10
D： 6
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 菱形
课堂落实答案
1 一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（ ）
A： 40
B： 20
C： 10
D： 25
2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC = 8，BD = 6，点E是CD上一点，连
接OE，若OE = CE，则OE的长是（ ）
A： 2
B： 5
2C： 3
D： 4
3 从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（ ）
A： AC⊥BD
B： AC = BD
C： AB = BC
D： AD = CD
4 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE//BD，BE//AC．求证：四边
形AEBO是菱形．
5 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，点M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB
的最小值是9，则AB的长是（ ）
A： 6√3
B： 3√3
C： 9
D： 4.5
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 菱形
精选精练1 如图，菱形ABCD中，对角线AC = 16cm，BD = 12cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE
的长．
2 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD与BC相交于点E，EF∥AB与AD相交于点F．求证：四
边形ABEF是菱形．
3 如图，在△ABC中，∠ABC = 90∘，点D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行
线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG = BD，连接BG，DF．
（1）证明：四边形BDFG是菱形；
（2）若AC = 10，CF = 6，求线段AG的长度．
4 定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC，BD
相交于点O且AC垂直平分BD．
（1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质
性质1：________；性质2：________．
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．
5 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE = 1，AF = 2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP 的最
小值为（ ）A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
6 如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一动点，已知菱形边长为
5，对角线AC长为6，则 △ PMN周长的最小值是（ ）
A： 11
B： 10
C： 9
D： 8
能力提高 / 初二 / 春季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 1
的化简结果是（ ）
√18A： √18
18
B： 1
3√2
C： √3
6
D： √2
6
2 在Rt △ ABC中，∠C = 90∘，∠A = 30∘，AC = 2√3，则AB = （ ）
A： 4
B： 2
C： 4√3
D： 2√3
3 若0 < x < 1，则 √ x2+ √ (x−1)2 的化简结果为（ ）
A： 2x−1
B： 1−2x
C： 1
D： −1
4 一个等腰直角三角形的斜边中线长为4，则这个三角形的面积为（ ）
A： 4
B： 8
C： 16
D： 32
5 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A： 对角相等
B： 对边相等C： 对角线相等
D： 对角线互相平分
6 平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(−3,0)，
B(0,2)，C(3,0)，D(0, −2)，则四边形ABCD是（ ）
A： 矩形
B： 菱形
C： 正方形
D： 平行四边形
7 菱形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，AB = 5，AO = 4，则BD = （ ）
A： 6
B： 8
C： 10
D： 2√41
8 如图，矩形ABCD，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，∠BAE = 20∘，则∠EAO = （ ）．
A： 30∘
B： 40∘
C： 50∘
D： 60∘
9 如果平行四边形ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC的长是（ ）．
A： 5cm
B： 15cm
C： 6cm
D： 16cm
10如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若
△ CED的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A： 6
B： 12
C： 18
D： 24
11 如果最简二次根式√1+a与√4a−2能合并，那么a = _____．
12 在平面直角坐标系中，点A(−1,0)与点B(0,2)的距离是_______．
13 边长为2的等边三角形的面积为_____________．
14 在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为__________．
15 如图，在菱形ABCD中，AC = 8，BD = 6，则菱形BC边上的高DE的长是__________．
16 如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，E是CD的中点，且OE = 2，则菱形ABCD的周长等于
__________．
17 如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且
EF⊥BE，则AD的长为____________．
18 如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE
于点F，则BF的长为__________．19 计算：
√18−√10
（1）√12+3√3 （2） +√5
√2
20 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB = DF，
AC = DE，BE = FC．
（1）求证： △ ABC ≅△ DFE ；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
21 E为 △ ABC 中AC边上一点，ED∥AB交BC于点D，F为AB边上一点，AF = DE，延长FD到点G，使
DG = FD，连接AG，求证：DE、AG互相平分．
22 如 图 ， 将 长 方 形 ABCD 沿 对 角 线 折 叠 ， 使 点 C 落 在 点 C′ 处 ,BC′ 交 AD 于 E ， 若
AB = 4，BC = 8，BE = DE，求△BDE的面积．23 如图，矩形ABCD和矩形BFDE中，AB = BF = 4，AM = 3．
（1）求证：四边形BNDM为菱形．
（2）求BD的长度．
24 已知：如图，在 △ ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE//BC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证： △ ABD ≅△ CAE
（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．
25 如图，在 △ ABC中，∠BAC = 90∘， AD⊥BC，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AD于点G，交AB
于点E， EF⊥BC，垂足为F．求证：四边形AEFG是菱形．
26 （1）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5 、√17 、√10，求这个三角形的面积．
如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出
边长符合要求的格点三角形ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，这样不需要求△ABC的
高，而借用网格就能就算出它的面积．
请你将△ABC的面积直接填写在横线上______________．
（2）思维拓展：已知△ABC三边的长分别为√13a 、2√2a 、√17a，求这个三角形的面积．我们把
上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出
相应的△ABC，并求出它的面积．能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 正方形
例题练习题答案
例1 (1)正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A： 四边相等
B： 对角线相等
C： 两组对边分别平行
D： 一条对角线平分一组对角
(2)正方形的一条对角线之长为3，则此正方形的边长是（ ）
A： 3√2
2
B： 3
C： 3√2
D： 3
2
练1.1 正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A： 四个角都是直角
B： 对角线互相平分
C： 对角线互相垂直
D： 对角线相等练1.2 如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA = AE交CB的延长线于
点F，若AB = 4，则四边形AFCE的面积是（ ）
A： 4
B： 8
C： 16
D： 无法计算
例2 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE = AC，若AE交CD于点F，则∠AFC =
________∘．
练2.1 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE = AC，则∠BCE的度数
是___________．
练2.2 如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，
若BE = 2，则CF长为（ ）
A： 1
B： 2C： 2√2
D： 1.5
例3 (1)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相等且互相平分，再添加一个条件，使得四边形
ABCD是正方形，可添加的条件是_________．（写出一个条件即可）
(2)下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）
A： 对角线互相垂直且相等的四边形
B： 一条对角线平分一组对角的矩形
C： 对角线相等的菱形
D： 对角线互相垂直的矩形
练3.1 如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正
方形，则这个条件是_________．（只填一个条件即可，答案不唯一）
例4 如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，
垂足为点E
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
练4.1 如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边
三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若∠AED = 2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
例5 如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，
且PE = PB．
（1）求证： △ BCP △ DCP；
（2）求证：∠DPE = ∠ABC．
练5.1 如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．
若∠BCF = 25∘，则∠AED的度数为（ ）
A： 60∘
B： 65∘
C： 70∘
D： 75∘
练5.2 如图，正方形ABCD中有一点P，边长为4，且△PBC是等边三角形，
则∠APD = ________，S = ________．
ΔAPD例6 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值
为（ ）
A： 6
B： 8
C： 12
D： 10
练6.1 如图，E是正方形ABCD一边CD的中点，动点P在对角线AC上移动，若AB=2，则△PED的周长的最
小值为_________．
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 正方形
自我巩固答案
1 下列关于正方形的说法，错误的有（ ）
①正方形是轴对称图形；
②正方形有两条对称轴；
③正方形的对角线平分一组内角；④正方形的对角线互相垂直平分．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（ ）
A： 10∘
B： 15∘
C： 20∘
D： 12.5∘
3 如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE = 3，则线段BE的长为______．
4 如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且AC = EC，求∠DAE的度数．
5 如图，已知正方形ABCD边长为2，E是BC边上一点，将此正方形的一个角∠DCE沿直线DE折叠，
使C点恰好落在对角线BD上，则BE的长等于____________．6 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB = BC；②∠ABC = 90∘；③AC = BD
；④AC⊥BD中，再选两个作为补充，使平行四边形ABCD变为正方形．下面四种组合，错误的
是（ ）
A： ①②
B： ①③
C： ②③
D： ②④
7 如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断
中，不正确的是（ ）
A： 四边形AEDF是平行四边形
B： 如果AD = EF，那么四边形AEDF是矩形
C： 如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形
D： 如果AD⊥BC且AB = AC，那么四边形AEDF是正方形
8 如图，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA = ∠CGF；
（2）当AH = DG时，求证：菱形EFGH为正方形．9 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE为等边三角形，DE，AC相交于点F，连接BF，则 ∠BGE =
（ ）
A： 65∘
B： 70∘
C： 75∘
D： 80∘
10 如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA
上，且D的坐标为(2,0)，P是OB上的一动点，则PD+PA的最小值是（ ）
A： 2√10
B： √10
C： 4
D： 6
能力提高 / 初二 / 春季第 8 讲 正方形
课堂落实答案
1 矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ）
A： 对角线相等
B： 对角线互相平分
C： 对角线互相垂直
D： 对角线平分对角
2 如图，菱形ABCD中，∠B = 60∘，AB = 4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A： 14
B： 15
C： 16
D： 17
3 如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF = 45∘．求证：矩形ABCD是
正方形．
4 如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，
∠PCD=（ ）A： 60∘
B： 90°
C： 45°
D： 75°
5 如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA = PE，PE交CD
于点F．
（1）证明：PC = PE；
（2）求∠CPE的度数．
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 正方形
精选精练
1 如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且AE⊥AF，AF = 20
，则BE的长为______．
2 如图，正方形ABCD的面积为64， △ BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G，连接
CG，则CG等于（ ）A： 4√2
B： 6
C： 3√2
D： 4
3 如图，四边形ABCD 和 CEFG都是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH = CE = BK．求
证：四边形AKFH是正方形．
4 如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一
点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A： 2
B： 3
C： 2√3
D： √3
5 如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB．
（1）求证：PE=PD；
（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．6 如图，正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连
接EO，AE．
（1）若∠PBC=α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 函数初步
例题练习题答案
例1 （1）圆的面积公式S =π r2 中，__________是常量，__________是变量；
（2）关系式m = (n−2)×180∘（m为多边形的内角和，n为边数），________是常量，__________
是变量；
（3）以固定的速度v 向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球的运动时间t(s)之间的关系式是
0
h = v t−4.9t2 ．在这个关系式中，常量、变量分别为（ ）
0
A．4.9是常量，t、h是变量 B．v 是常量，t、h是变量
0
C．v 、−4.9是常量，t、h是变量 D．4.9是常量，v 、t、h是变量
0 0
练1.1 如果用总长为120m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m 2 ）、周长为C（m）、
一边长为a（m），那么S、C、a中是变量的是（ ）
A： S和C
B： S和a
C： C和a
D： S、C、a
练1.2 1
在三角形的面积公式S = ah中，a = 2cm，其中常量是（ ）
2A： a
B： h
C： 1
2
D： 1
和a
2
例2 下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A：
B：
C：
D：
练2.1 下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A：
B：C：
D：
例3 (1)下列关系式中，y是x的函数的是________________．
①y = 12x；②y = 2x2 ；③y2 = x；④y = |x|；
⑤x2+y2 = 1；⑥y = 3x；⑦|2y| = x；⑧y = −2x+1．
(2)下面每个选项中给出某个变化过程中的两个变量x、y的数值，其中y不是x的函数的是（ ）
A：
x 1 1 3 3
y −1 −2 −3 −4
B：
x 1 2 3 4
y −1 −2 −3 −4
C：
x 1 2 3 4
y π √2 0 22016
D：
x 1 2 3 4
y 2 2 2 2
练3.1 |x| 3
下列关系式中，①y = 5x−4；②y = 5x2 ；③y2 = −3x；④y = ；⑤x2−y2 = 3；⑥y = 4− ；y
4 x
不是x的函数的有（ ）个．
A： 1B： 2
C： 3
D： 4
例4 已知等腰三角形的周长为10cm，腰长为xcm，底边长为ycm．
（1）以腰长x为自变量，写出y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
（2）当y = 3时，求x的值．
练4.1 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）之间的
函数解析式是___________，t的取值范围为_________．
练4.2 已知函数解析式为y = |x−1|+2，
(1)求自变量等于5时的函数值；
(2)求函数值等于5时的自变量的值．
例5 （1）画出函数y = −x的图象；
3 3 3 3
( ) ( )
（2）判断点A − , 、B(0,0)、C , − 是否在函数y = −x的图象上．
2 2 2 2
练5.1 在平面直角坐标系中画出函数y = 2x−4的图象，并判断点A(−3, −2)、B(3,2)是否在函数y = 2x−4
的图象上．例6 某人骑车沿直线旅行，先前进了akm，休息了一段时间，又原路返回了bkm（b < a），再前进
ckm，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是（ ）
A：
B：
C：
D：
练6.1 为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行
改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按
时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y与时间x的函数关系的大
致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：练6.2 一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的距离s（千
米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A： 甲、乙两地相距300千米
B： 相遇时快车行驶了100千米
C： 慢车行驶速度为50千米/小时
D： 快车出发后3小时到达乙地
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 函数初步
自我巩固答案
1 市政府推广太阳能热水器加热饮用水，在利用太阳能热水器加热水的过程中，热水器中水的温度
随阳光所晒时间而变化，则下列说法正确的是（ ）
A： 在这一变化过程中，只有一个变量
B： 水的温度是常量
C： 只有阳光所晒的时间是变量
D： 阳光所晒的时间和水的温度是变量
2 在圆的周长C = 2π R 中，常量与变量分别是（ ）
A： 2是常量，C、π 、R是变量
B： 2π 是常量，C、R是变量
C： C、2是常量，R是变量
D： 2是常量，C、R是变量
3 下列四个选项中，y不是关于x的函数的是（ ）
A： |y| = x−1B： 2
y =
x
C： y = 2x−7
D： y = x2
4 下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）
A：
B：
C：
D：
5 √x
函数y= 中的自变量x的取值范围是（ ）
x+1
A： x ≥ 0
B： x ≠ −1
C： x＞0
D： x ≥ 0且x ≠ −1
6 1
当x = 2时，函数y = x+1的值是（ ）
2
A： 3
B： 2
C： 1D： 0
7 已知长方形周长为18，设其中一边长为x，另一边长为y．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围．
8 小华从家里出发前往宁波体育馆观看演唱会，先匀速步行到轻轨车站，等了一会儿，小华搭乘轻
轨至体育馆观看演出，演出结束后，小华搭乘邻居王叔叔的车顺利到家．其中x表示小华从家出发
后所用时间，y表示小华离家的距离，下列各图能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：
9 某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车
站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y(公里)和所用
的时间x(分)之间的函数关系．下列说法错误的是（ ）
A： 小强从家到公共汽车站步行了2公里
B： 小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C： 公共汽车的平均速度是30公里/小时
D： 小强乘公共汽车用了20分钟10 在同一平面直角坐标系内画出下列函数的图象：
2
①y = − x；
3
1
②y = x−2；
2
1
③y = − x+1．
2
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 函数初步
课堂落实答案
1 一本笔记本4.5元，买x本共付y元，则4.5和y分别是（ ）
A： 常量，常量
B： 变量，变量
C： 变量，常量
D： 常量，变量
2 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（ ）
A：B：
C：
D：
3 √x−3
在函数y = 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−3
A： x > 3
B： x ≥ 3
C： x ≠ −3
D： x > −3且x ≠ 0
4 1
变量x与y之间的函数关系是y = x2−1，则自变量x = −2时的函数值为_____．
2
5 匀速地向如图所示的一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，能大致反映水面高度h随时
间t变化的图象是（ ）
A：B：
C：
D：
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 函数初步
精选精练
1 学校计划买100个乒乓球，买的乒乓球的总费用W（元）与单价n（元/个）的关系式W = 100n中（
）
A： 100是常量，W、n是变量
B： 100、W是常量，n是变量
C： 100、n是常量，W是变量
D： 无法确定
2 下列变量之间的关系：
（1）三角形面积与它的底边（高为定值）；
（2）x−y = 3中的x与y；
（3）圆的面积与圆的半径；
（4）y = |x|中的x与y．其中是函数关系的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个3 1
已知函数y = (−x+3)+1，当x = ______时，函数值为1．
2
4 √x−1
函数y = 自变量x的取值范围是（ ）
x−3
A： x ≥ 1且x ≠ 3
B： x ≥ 1
C： x ≠ 3
D： x > 1且x ≠ 3
5 匀速地向一个容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h（cm）随时间t（s）的
变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状是图中的（ ）
A：
B：
C：
D：
6 一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速
同时驶往甲地，两车之间的距离s（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，则下列
说法中：①甲、乙两地之间的距离为560km；②快车速度是慢车速度的1.5倍；③快车到达甲地
时，慢车距离甲地60km；④相遇时，快车距甲地320km．正确的是（ ）A： ①②
B： ①③
C： ①④
D： ①③④
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数的图象与性质
例题练习题答案
例1 2
若函数y = (m−2)xm −3 是正比例函数，则m的值是_____．
练1.1 若y = (m−2)x+ ( m2−4 ) 是正比例函数，则m的值是（ ）
A： 2
B： −2
C： ±2
D： 任意实数
例2 下列关于正比例函数y = 3x的说法中，正确的是（ ）
A： 当x = 3时,y = 1
B： 它的图象是一条过原点的直线
C： y随x的增大而减小
D： 它的图象经过第二、四象限
练2.1 下列四个函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A： y = 3x
B： y = 1+2x
C： y = 1−2x
D： y = −1+x
例3 y = (3−π )x 的图象经过第_______象限，y的值随x值的增大而_______．练3.1 如果正比例函数y = (k−3)x的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是________．
例4 函数y = (3−m)x2|m|−5+(m−5)是一次函数，则m = （ ）
A： ±3
B： 3
C： ±2
D： −3
练4.1 若函数y = (6+3m)x+4n−4是关于x的一次函数，则m，n满足的条件是______；若是正比例函
数，则m，n满足的条件是________．
例5 下列函数中，y随x增大而减小的是（ ）
A： y = x+1
B： y = 0.5x
C： y = 3x−2
D： y = −2x+1
练5.1 对于一次函数y＝（k-3）x＋2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（ ）
A： k＜0
B： k＞0
C： k＜3
D： k＞3
例6 (1)已知一次函数y = −3x+2，它的图象不经过第_____象限．
(2)一次函数y = (a+5)x+6−3a经过第一、二、四象限，a的取值范围为________．
练6.1 (1)一次函数y = kx+b(k ≠ 0)在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ）A： k > 0，b > 0
B： k < 0，b < 0
C： k < 0，b > 0
D： k > 0，b < 0
(2)直线y = kx+b(k ≠ 0)经过第二、三、四象限，则k_____0，b_____0．
( ) ( )
例7 已 知 一 次 函 数 y = −2x+b 图 象 上 两 点 −1,y ， 3,y ， 则 y ______y
1 2 1 2
（填“>”“<”或“＝”）
( ) ( )
练7.1 已知P −3,y ，P 2,y 是一次函数y = 2x+b的图象上的两个点，则y ，y 的大小关系是
1 1 2 2 1 2
y ___y ．
1 2
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数的图象与性质
自我巩固答案
1 下列图象中，表示正比例函数图象的是（ ）
A：
B：
C：D：
2 关于函数y = 2x，下列结论正确的是（ ）
A： 图象经过第一、三象限
B： 图象经过第二、四象限
C： 图象经过第一、二、三象限
D： 图象经过第一、二、四象限
3 1
下列函数①y=π x ，②y=2x−1，③y = ，④y=2−1−x，⑤y=x2−1中，是一次函数的有（ ）
x
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
4 2
如果y=(m−1)x2−m +3是一次函数，那么m的值是（ ）
A： 1
B： −1
C： ±1
D： ±√2
5 下列一次函数中，y随着x增大而减小的是（ ）
A： y＝3x
B： y＝3x−2
C： y＝3+2x
D： y＝−3x−2
6 给出下列函数：①y = 2x；②y = −2x；③y = 2x−1；④y = −2x+1，其中y随着x的增大而增大的
是（ ）A： ①②
B： ③④
C： ①③
D： ②④
7 若一次函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象如图所示，则k、b的取值范围是（ ）
A： k > 0，b > 0
B： k > 0，b < 0
C： k < 0，b > 0
D： k < 0，b < 0
8 一次函数y = (k−3)x+2，若y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
9 一次函数y = −(m−1)x−3，若y随着x的增大而减小，则m的值可以是（ ）
A： −1
B： 0
C： 1
D： 2
10 1
( ) ( )
已知P −1,y ，P −2,y 是一次函数y = x−1的图象上的两点，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 1 2 1 2
3
A： y > y
1 2
B：y < y
1 2
C： y = y
1 2
D： 以上都不对
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数的图象与性质
课堂落实答案
1 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A： 1
y = − x
2
B： y = −2x−2
C： y = 2(x−2)
D： 2
y =
x
2 函数y = 3x的图象经过（ ）
A： 第一、三象限
B： 第二、四象限
C： 第一、二象限
D： 第三、四象限
3 下列函数中，一次函数为（ ）
A： y = x3
B： y = −2x+1
C： 2
y =
x
D： y = 2x2+14 已知直线y = kx+b(k ≠ 0)经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A： k > 0，b > 0
B： k < 0，b < 0
C： k > 0，b < 0
D： k < 0，b > 0
5 1
( ) ( )
已知点 −2,y ， 1,y 在直线y = − x+b上，则y y （填“>”、“<”或“=”）．
1 2 1_____ 2
3
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数的图象与性质
精选精练
1 当m = _____时，函数y＝(2m−1)x3m−2 是正比例函数．
2 2
若y = (a+1)xa +(b−2)是正比例函数，则(a−b)2015 的值是_______．
3 1
作出y = x的图象，并判断点P(−2,3)、Q(4,2)是否为图象上的点．
2
4 2x−4
函数y = 是一次函数吗？如果是，请写出k，b的值；如果不是，试说明理由．
4
5 已知，一次函数y = ax−b的图象如图所示，则（ ）
A： a > 0，b > 0
B： a > 0，b < 0
C： a < 0，b > 0
D： a < 0，b < 06 如图，四个一次函数y = ax，y = bx，y = cx+1，y = dx−3的图象如图所示，则a、b、c、d的大小
关系是（ ）
A： b > a > d > c
B： a > b > c > d
C： a > b > d > c
D： b > a > c > d
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 一次函数的解析式与平移
例题练习题答案
例1 下面哪个点不在函数y = −2x+3的图象上（ ）
A： (−5,13)
B： (0.5,2)
C： (3,0)
D： (1,1)
练1.1 1
下面哪个点在函数y = x−1的图象上（ ）
3
A： (3,1)
B： (−3,1)
C： (−3,0)
D： (3,0)练1.2 下面哪个点在函数y = 2x+4的图象上（ ）
A： (2,1)
B： (−2,1)
C： (2,0)
D： (−2,0)
例2 已知一次函数y = 3x−1的图象过点(n,2)，求n的值．
练2.1 已知一次函数y = −2x−4的图象过点(a,0)和点(−1,b)，求a，b的值．
例3 (1)一次函数y = −2x+2的图象与x轴的交点坐标为______________．
(2)已知一次函数y = −x+3；
①求一次函数与x轴、y轴交点坐标；
②画出一次函数y = −x+3的图象；
③求出一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积．
练3.1 4
函数y = − x−4的图象交x轴于A，交y轴于B，则AB两点间的距离为______．
3
练3.2 一次函数y = 2x+2的图象与x轴的交点坐标是( )
A： (0,2)
B： (0, −2)
C： (−1,0)
D： (1,0)
例4 一次函数y = 2x−3与y = −x+1的图象的交点坐标为________．
练4.1 1
一次函数y = x−4和y = −3x+3的图象的交点坐标是________________．
2
例5 已知：一次函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象经过M(0,2)，N(1,4)两点，求该一次函数的函数表达式．
练5.1 若一次函数y = kx−3k+6的图象过原点，则k = ______，一次函数的解析式为________．
练5.2 一次函数图象经过(3,1)，(2,0)两点．（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求当x = 6时，y的值．
例6 (1)对于直线：y = −3x+2，
①将该直线向左平移1个单位后得到直线的解析式为_________________；
②将该直线向上平移5个单位后得到直线的解析式为_________________；
③将该直线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到直线的解析式为_________．
(2)若直线y = mx+n的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的直线的函数解析
式为y = 3x−2，则m = _______，n = _______．
(3)若一次函数y = kx+1的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，平移后的图象与原图象
重合，则k = _______．
练6.1 对于直线：y = 2x−1，
①向下平移4个单位后的解析式为_________________；
②向右平移2个单位后的解析式为_________________；
③先向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的解析式为________________．
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 一次函数的解析式与平移
自我巩固答案
1 下列给出的四个点中，在函数y = 2x−3图象上的是（ ）
A： (1, −1)
B： (0, −2)
C： (2, −1)
D： (−1,6)
2 5
如果点M(3,m)在直线y = − x+2上，则m的值是__________．
3
3 若点A(2,4)在函数y = kx−2的图象上，则下列各点在函数图象上的是（ ）
A： (0, −2)B： 3
( )
,0
2
C： (8,20)
D： 1 1
( )
,
2 2
4 一次函数y = −2x+3的图象与y轴的交点坐标是__________．
5 已知点A(2,0)在函数y = kx+3的图象上．
(1)求该函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
6 如图，在平面直角坐标系中，存在直线y = 2x和直线y = −x+3．
1 2
(1)直接写出直线y = −x+3与坐标轴的交点坐标：_____________、_____________；
2
(2)求出直线y = 2x和直线y = −x+3的交点坐标．
1 2
7 已知一次函数的图象过点(0,3)和(−2,0)，那么直线必过点（ ）
A： (4,6)
B： (−4, −3)
C： (6,9)
D： (−6,6)
8 如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y = 2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式
是（ ）A： y = 2x+3
B： y = x−3
C： y = 2x﹣3
D： y = −x+3
9 对于直线：y = 3x，
（1）求向左平移2个单位后的解析式；
（2）求向上平移2个单位后的解析式；
（3）求先向右平移3个单位，再向上平移5个单位后的解析式．
10 若函数y = kx+b的图象向上平移2个单位，再向右平移1个单位，平移后的直线的函数解析式为
y = x+3，求k，b的值．
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 一次函数的解析式与平移
课堂落实答案
1 函数y = −3x+m的图象过点M（−1,4），那么m的值是_______．
2 一次函数y = 2x−4的图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B．
A、B两点的坐标分别为A（____，____）、B（____，____）．
3 一次函数y = 2−5x和y = 2x−5的图象的交点坐标是________________．
4 一次函数图象过点(0, −3)和(2,0)，则其表达式为（ ）
A： y = −2x+3
B： 3
y = x−3
2C： y = −3x+2
D： 2
y = − x+2
3
5 若把一次函数y = 2x−3，向下平移3个单位长度，得到图象解析式是（ ）
A： y = 2x
B： y = 2x−6
C： y = 5x−3
D： y = −x−3
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 一次函数的解析式与平移
精选精练
1 一次函数y = −kx+3的图象经过点(−1,4)．
（1）求这个函数表达式；
（2）判断(9, −6)是否在此函数的图象上．
2 1
一次函数y = − x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点．
2
(1)画出该函数的图象；
(2)求A、B两点的坐标；
(3)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
3 已知一次函数y = −2x+1与y = x+2交于点(m,n)，则m+n = （ ）
A： 2
B： 2
3
C： 1D： 4
3
4 在直角坐标系内，一次函数y = kx+b（k ≠ 0）的图象经过三点A(2,0)，B(0,2)，C(m,3)．求这个一
次函数解析式并求m的值．
5 已知一次函数y = kx+b(k ≠ 0)，当−1 ≤ x ≤ 3时，2 ≤ y ≤ 4，求一次函数解析式．
6 （1）一次函数y = −x+7的图象关于x轴对称直线的函数解析式为________________；
（2）一次函数y = −4x−3的图象关于y轴的对称直线的函数解析式为_______________；
（3）一次函数y = 2x+1的图象关于原点对称直线的函数解析式为_______________．
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 一次函数进阶
例题练习题答案
例1 1
( )
直线y = kx+b(k ≠ 0)与x轴的交点坐标是 − ,0 ，则关于x的一元一次方程kx+b = 0的解是
2
______．
练1.1 如图所示，直线y = kx+b(k ≠ 0)与y轴交于点(0,3)，则关于x的方程kx+b = 3的解为x = （ ）
A： −5
B： −4
C： 0
D： 1
例2 (1)已知直线y = 3x+b与y = ax−2的交点的横坐标为−2，则关于x的方程3x+b = ax−2的解为
x = _____．(2)如图$$已知函数y = ax+b和y = kx的图象交于点P则根据图象可得关于xy的二元一次方程组
y = ax+b
{
的解是（ ）
y = kx
A： { x = −2
y = −4
B： { x = −4
y = −2
C： { x = 2
y = −4
D： { x = −4
y = 2
练2.1
{
y = k
1
x+b
1 x = −2
{
已知方程组 的解是 ，则一次函数y = k x+b 与y = k x+b 的
1 1 2 2
y = k x+b y = 3
2 2
交点坐标是____．
练2.2 x−2y = 4
{
用图象法解方程组 时，下图中正确的是（ ）
2x+y = 4
A：
B：C：
D：
例3 如图为一次函数y = mx+n的图象，则不等式mx+n ≤ 0的解集为（ ）
A： x ≥ 0
B： x ≤ 0
C： x ≥ −1
D： x ≤ −1
练3.1 一次函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b > 2的解集应是 ．
例4 如图，一次函数y = kx+b与y = −x+5的图象的交点坐标为(2,3)，则关于x的不等式
−x+5 > kx+b的解集为________．
练4.1 如图，已知一次函数y = −x+b的图象与y轴交于点A(0,4)，y = kx−2的图象与
1 2
x轴交于点B(1,0)，那么使y > y 成立的自变量x的取值范围是_________．
1 2例5 如图，在平面直角坐标系中，存在直线y = 2x和直线y = −x+3．
1 2
(1)直接写出直线y = −x+3与坐标轴的交点坐标：_____________、_____________；
2
(2)求出直线y = 2x和直线y = −x+3的交点坐标；
1 2
(3)结合图象，直接写出0 < y < y 的解集：______________．
2 1
练5.1 如图，直线y = kx+b经过点A(5,0)，B(1,4)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线y = 2x−4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
(3)根据图象，写出关于x的不等式2x−4 ≥ kx+b的解集．
例6 已知，在平面直角坐标系中，直线y = 2x+3与直线y = −2x−1交于点C．(1)求两直线与y轴交点A、B的坐标；
(2)求点C的坐标；
(3)求△ABC的面积.．
练6.1 2
如图，直线y = x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
3
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BC与x轴相交于点C，若△ABC的面积是16，求点C的坐标．
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 一次函数进阶
自我巩固答案
1 一次函数y = −2x+3的图象和y = kx−b的图象相交于点A(m,1)，则关于x，y的二元一次方程组
2x+y = 3
{
的解为（ ）
kx−y = b
A： { x = −1
y = 5
B： { x = 2
y = −1C：
{
x = 1
y = 1
D：
{
x = 2
y = 3
2 用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如
图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A：
{
x+y−2 = 0
3x−2y−1 = 0
B：
{
2x−y−1 = 0
3x−2y−1 = 0
C：
{
2x−y−1 = 0
3x+2y−5 = 0
D：
{
x+y−2 = 0
2x−y−1 = 0
3 若函数y = kx+b的图象如图所示，那么当y > 0时，x的取值范围是（ ）
A： x > 1
B： x > 2
C： x < 1
D： x < 2
4 如图，直线y = x+b与y = kx−1相交于点P，点P的横坐标为−1，则关于x的不等式x+b > kx−1
1 2
的解集在数轴上表示正确的是（ ）A：
B：
C：
D：
5 如图，直线y = −x+c与直线y = ax+b的交点坐标为(3, −1)，关于x的不等式−x+c ≥ ax+b的解
集为（ ）
A： x ≥ −1
B： x ≤ −1
C： x ≥ 3
D： x ≤ 3
6 如图，直线y = −x+m与y = nx+4n的交点的横坐标为−2，则关于x的不等式组nx+4n >
−x+m > 0的整数解可能是（ ）
A： 1
B： −1C： −2
D： −3
7 已知一次函数y = kx+b与函数y = −2x的图象平行，且与x轴的交点A的横坐标为2．
1
(1)求一次函数y = kx+b的表达式；
1
(2) 在给定的网格中，画出一次函数y = x+1的图象，并求出一次函数y = kx+b与y = x+1图
2 1
象的交点坐标；
(3)根据图象直接写出，当x取何值时，y > y ．
1 2
8 画出函数y = 2x+4的图象，利用图象求解下列问题：
(1)求方程2x+4 = 0的解；
(2)求不等式2x+4 < 0的解集；
(3)若−2 ≤ y ≤ 6，求x的取值范围．
9 如图，在平面直角坐标系中，直线y = −2x+10与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过
点A和点C(−2,8)，且与x轴交于点D．(1)求直线AD的解析式；
(2)求△ABD的面积．
10 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线l 经过点A(−6,0)，它与y轴交于 点B，
1
点B在y轴正半轴上，且OA = 2OB．
（1）求直线l 的函数解析式；
1
（2）若直线l 也经过点A(−6,0)，且与y轴交于点C，如果△ABC的面积为6，求C点的坐标．
2
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 一次函数进阶
课堂落实答案
1 已知直线l ：y = −3x+b与直线l ：y = −kx+1在同一平面直角坐标系中的图象交于点(1, −2)，
1 2
3x+y = b
{
那么方程组 的解是（ ）
kx+y = 1
A：
{
x = 1
y = −2
B：
{
x = 1
y = 2C：
{
x = −1
y = −2
D：
{
x = −1
y = 2
2 如图，一次函数y = x+b与一次函数y = kx+4的图象交于点P1,3，则关于x的不等式
1 2
x+b > kx+4的解集是（ ）
A： x > −2
B： x > 0
C： x > 1
D： x < 1
3 y = kx+b
{
如图所示为函数y = kx+b与y = mx+n的图象，则方程组 的解是__________．
y = mx+n
4 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y = x+3分别与x轴，直线y = −2x交于点A，B，则
△ AOB的面积为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 6
5 已知一次函数y = kx+b的图象过点A(0,3)和点B(3,0)，且与正比例函数y = 2x的图象交于 点P．
1 2
（1）求函数y的解析式和点P的坐标；
（2）画出两个函数的图象，并直接写出当y > y 时x的取值范围；
1 2（3）若点Q是x轴上一点，且△PQB的面积为8，求点Q的坐标．
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 一次函数进阶
精选精练
1 如图，函数y = mx和y = kx+b的图象相交于点P(1,m)，则不等式组−b < kx−b < mx的解集为 ．
2 如图，已知一次函数y = kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点(2,0)，点(0,3)．有下列结论：①关于x
的方程kx+b = 0的解为x = 2；②关于x的方程kx+b = 3的解为x = 0；③当x > 2时，y < 0；④
当x < 0时，y < 3．其中正确的是（ ）
A： ①②③
B： ①③④
C： ②③④
D： ①②④3 定义：点A(x,y)为平面直角坐标系内的点，若满足x = y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M(1,1)
，N(−2, −2)都是“平衡点”．当−1x3时，直线y = 2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是
（ ）
A： 0 ≤ m ≤ 1
B： −1 ≤ m ≤ 0
C： −3 ≤ m ≤ 3
D： −3 ≤ m ≤ 1
4 (1)如图为一次函数y = kx+b的图象，则
①kx+b = 0的解为___________；
②不等式kx+b ≥ 0的解集为___________；
③不等式kx+b < 0的解集为___________；
④不等式kx+b ≥ 3的解集为____________．
(2)如图，已知函数y = x+b和y = ax+3的图象交点为P，则不等式x+b > ax+3的解集为
__________．
(3) 如图，直线y = kx+b过点A(0,2)，且与直线y = mx交于点P(1,m)，则不等式组
1 2
mx > kx+b > mx−2的解集是（ ）A： 1 < x < 2
B： 0 < x < 2
C： 0 < x < 1
D： 1 < x
5 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = kx+b的图象经过点A(−2,6)，且与x轴相交于点B，与正
比例函数y = 3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k，b的值；
1
（2）若点D在y轴负半轴上，且满足S = S ，求点D的坐标．
△COD △BOC
3
6 如图，直线y = kx+6与x轴，y轴分别相交于点E，F，点E的坐标为(−8,0)，点A的坐标为(−6,0)
，点P是直线EF上的一个动点．
（1）求k的值．
（2）点P在第二象限内的直线EF上运动时，写出OPA的面积S与x的函数表达式，并写出自变量
x的取值范围．
（3）探究，当点P在直线EF上运动时，OPA的面积可能是15吗？若能，请求出点P的坐标；若
不能，说明理由．
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 一次函数综合例题练习题答案
例1 如图所示为某汽车行驶的路程s(km)与时间t(min)的函数关系图，观察图中所提供的信息解答下列问
题：
（1）汽车在前9 min内的平均速度是多少？
（2）汽车中途停了多长时间？
（3）当16 ≤ t ≤ 30时，求s与t的函数关系式？
练1.1 小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t
(min)之间的函数关系．下列说法错误的是( )
A： 他离家8km共用了30min
B： 他等公交车时间为6min
C： 他步行的速度是100m/min
D： 公交车的速度是350m/min
例2 小明和小红沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校到图书馆的路程是4千米，小明骑
自行车，小红步行，当小明从原路回到学校时，小红刚好到达图书馆，图中折线O−A−B−C和线
段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图
象回答下列问题：
（1）小明在图书馆查阅资料的时间为________分钟，小明返回学校的速度为_______千米/分钟；
（2）请求出小红离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系；（3）当小明与小红迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
练2.1 在某次全民健身越野赛中，甲，乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图
所示．下列四种说法：
①起跑后1小时内甲在乙的前面；
②第1小时两人都跑了10千米；
③甲比乙先到达终点；
④两人都跑了20千米．
其中正确的是（ ）
A： ①②③④
B： ①②③
C： ①②④
D： ②③④
练2.2 甲，乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个进程中，甲，乙两车离开A城的距离y（km）与甲
车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题：
（1）A，B两城相距多少千米？
（2）分别求甲，乙两车离开A城的距离y与t的关系式．（3）乙车出发后几小时追上甲车？
例3 为迎接国家对城乡教育均衡化验收，在今年暑假东明县学校准备添置一批电脑，现有如下方案：
方案1：到商家直接购买，每台需要4000元；
方案2：学校买零部件组装，每台需要3000元，另外需要支付安装工工资等其他费用合计4000
元．设学校需要电脑x台，方案1与方案2的费用分别为y ，y 元．
1 2
(1)分别写出y ，y 的函数解析式；
1 2
(2)当学校添置多少台电脑时，两种方案的费用相同？
(3)若学校需要部署电脑50台，那么采用哪一种方案较省钱？说说你的理由．
练3.1 某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付
费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y （元），选择方式二的总费用
1
为y （元）．
2
（1）请分别写出y ，y 与x之间的函数表达式；
1 2
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱？
练3.2 甲，乙两个仓库向A，B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需
70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和运费如下表：（表中运费“元/吨·千
米”表示每吨水泥运送1千米所需要人民币）．
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲库 乙库 甲库 乙库
A地 20 15 12 12
B地 25 20 10 8设甲库运往A地水泥x吨，总运费w元．
(1)写出w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最小？
(2)如果要求运送的水泥数是10吨的整数倍，且运费不能超过38000元，则总共有几种运送方
案？
例4 如图，△A 1 B 1 A 2 ，△A 2 B 2 A 3 ，△A 3 B 3 A 4 ，…，△A n B n A n+1 都是等腰直角三角形，其中点A 1 ，
A
2
，…，A n，在x轴上，点B
1
，B
2
，…，B n在直线y＝x上，已知OA
1
＝1，则OA
2019
的长是
．
练4.1 √3
如图，直线l：y = x+1分别交x轴，y轴于点A和点A ，过点A 作A B ⊥l，交
1 1 1 1
3
x轴于点B ，过点B 作B A ⊥x轴，交直线l于点A ；过点A 作A B ⊥l，交x轴于点B ，过点B 作
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
B A ⊥x轴，交直线l于点A ，依此规律…，若图中阴影△A OB 的面积为S ，阴影△A B B 的面
2 3 3 1 1 1 2 1 2
积为S ，阴影△A B B 的面积为S ，…，则S = ．
2 3 2 3 3 n
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 一次函数综合
自我巩固答案
1 某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了
学校．图中描述了他上学的途中离家距离s（米）与离家时间t（分）之间的函数关系．下列说
法中正确的个数是（ ）（1）修车时间为15分；
（2）学校离家的距离为2000米；
（3）到达学校时共用时间20分；
（4）自行车发生故障时离家距离为1000米．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 某校八年级同学到距学校8千米的某地参加社会实践活动，一部分同学步行，另一部分同学骑自行
车，沿相同路线前往，如图，a，b分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千
米）与所用时间x（分钟）之间的函数图象．则下列判断错误的是（ ）
A： 骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟
B： 骑车的同学和步行的同学同时到达目的地
C： 步行的速度是7.5千米/小时
D： 骑车的同学从出发到追上步行的同学用了18分钟
3 如图，l ，l 分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
A B(1)B出发时与A相距_____千米．
(2)走了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是_____小时．
(3)B出发后_____小时与A相遇．
(4)求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．（写出计算过程）
(5)请通过计算说明：若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，何时与A相遇？
4 小凡与小光从学校出发到距学校5千米的图书馆看书，途中小凡从路边超市买了一些学习用品，如
图反应了他们两人离开学校的路程s（千米）与时间t（分钟）的关系，请根据图象提供的信息回答
问题：
(1)l 和l 哪一条是描述小凡的运动过程，说说你的理由；
1 2
(2)小凡和小光谁先出发，先出发了多少分钟？
(3)小凡与小光谁先到达图书馆，先到了多少分钟？
(4)小凡与小光从学校到图书馆的平均速度各是多少千米/小时？（不包括中间停留的时间）
5 某工程队要招聘甲，乙两种工种的工人150人，甲，乙两种工种的工人的月工资分别为600元和
1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，设招聘甲种工种工人是x人，所
聘工人共需付月工资y元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）甲乙两种工种各招聘多少人时，可使每月所付的工资最少？是多少元？
6 A市和B市分别有库存的某联合收割机12台和6台，现决定开往C市10台和D市8台，已知从A市开往C
市，D市的油料费分别为每台400元和800元，从B市开往C市和D市的油料费分别为每台300元和500
元．
(1)设B市运往C市的联合收割机为x台,求运费w关于x的函数关系式.
(2)若总运费不超过9000元,问有几种调运方案?(3)求出总运费最低的调运方案,并求出最低运费.
7 有甲，乙两家通讯公司，甲公司每月通话（不区分通话地点）的收费标准如图所示，乙公司每月
通话收费标准如表所示．
（1）观察图象，求甲公司用户月通话时间不超过400分钟时应付的话费金额；
（2）求出甲公司的用户通话时间超过400分钟后，通话费用y（元）与通话时间t（分）之间的
函数关系式（写出计算过程）；
（3）王先生由于工作需要，从4月份开始经常去外市出差，估计每月各种通话时间的比例是：
本市接听时间:本市通话时间:外市通话时间=2:1:1．设王先生每月的各种通话时间总和为
t（分），通话费用为y（元），你认为t不少于多少时间时，乙通讯公司比甲公司更合算？
请说明理由．
月租费 本市接听费 本市拨打费 外市通话费
50元 0元/月 0.10元/分 0.90元/分
8 如图直线y = √3x，点A (1,0)，过A 作x轴的垂线交直线于点B ，以原点O为圆心，以OB 长为半
1 1 1 1
径画弧交x轴于点A ；再过点A 作x轴的垂线交直线于点B ，以原点O为圆心，OB 长为半径画
2 2 2 2
弧交x轴于点A ，按此做法进行下去，则A 的坐标（ ）
3 6
A： (8,0)
B： (16,0)
C： (32,0)D： (64,0)
9 √3
如图，直线y = x，点A 坐标为(1,0)，过点A 作x轴的垂线交直线于点B ，以原O为圆心，OB
1 1 1 1
3
长为半径画弧交x轴于点A ；再过点A 作x轴的垂线交直线于点B ，以原点O为圆心，OB 长为
2 2 2 2
半径画弧交x轴于点A
3
，…，按此做法进行下去，点A n的横坐标为（ ）
A： 2√3
( )n−1
3
B： 2√3
( )n
3
C： √3
( )n
2
3
D：
(
√3
)n−1
2
3
10 如图，已知直线l：y = x+2交x轴于点A，交y轴于点A ，点A ，A ，…，在直线l上，点B ，B ，
1 2 3 1 2
B ，…，在x轴的正半轴上，若△A OB ，△A B B ，△A B B ，…，均为等腰直角三角形，直
3 1 1 2 1 2 3 2 3
角顶点都在x轴上，求△A B B 的面积．
2019 2018 2019
能力提高 / 初二 / 春季第 13 讲 一次函数综合
课堂落实答案
1 明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程S（单位：千米）与
时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速
度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为（ ）
A： 12分
B： 10分
C： 16分
D： 14分
2 甲，乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留）前往终点B地，甲，乙两车之间的距离
y（千米）与甲车行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出4个信息：
①甲车速度为60千米/小时；
②A，B两地相距240千米；
③乙车行驶2小时追上甲车；
8
④乙车由A地到B地共用 小时．
3
上述信息正确的有（ ）个．
A： 1B： 2
C： 3
D： 4
3 某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙
厂直接按印刷数量收取印刷费．甲，乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数
关系图象分别如图中甲，乙所示，下列四种说法：
①甲厂的制版费为1千元；
②当印制证书超过2千个时，乙厂的印刷费用为0.2元/个；
③当印制证书8千个时，选择乙厂节省费用，节省费用500元；
④甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下．每个证书最少降低
0.0625元．
其中正确的个数是（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
4 如图，直线y = x+2与y轴相交于点A ，过点A 作x轴的平行线交直线y = 0.5x+1于点B ，过点B
0 0 1 1
作y轴的平行线交直线y = x+2于点A ，再过点A 作x轴的平行线交直线y = 0.5x+1于点B ，过
1 1 2
点B 作y轴的平行线交直线y = x+2于点A ，…，依此类推，得到直线y = x+2上的点A ，
2 2 1
A ，…，与直线y = 0.5x+1上的点B ，B ，B ，…，则A B 的长为（ ）
2 1 2 3 7 8A： 64
B： 128
C： 256
D： 512
5 1
( )
如图，在平面直角坐标系中，过点A 0, − 做y轴的垂线，交直线y = −x于点B ，再过点B 作
1 1 1
3
直线y = −x的垂线，交y轴于点A ，再过点A 作y轴的垂线，交直线y = −x于点B ，…，则点
2 2 2
B 的坐标为 ．
2017
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 一次函数综合
精选精练
1 某森林公园从正门到侧门有一条公路供游客运动，甲徒步从正门出发匀速走向侧门，出发一段时
间开始休息，休息了0.6小时后仍按原速继续行走．乙与甲同时出发，骑自行车从侧门匀速前往正
门，到达正门后休息0.2小时，然后按原路原速匀速返回侧门．图中折线分别表示甲、乙到侧门的
路程y(km)与甲出发时间x（h）之间的函数关系图象．根据图象信息解答下列问题．(1)求甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式；
(2)求甲、乙第一次相遇的时间；
(3)直接写出乙回到侧门时，甲到侧门的路程．
2 小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的邮局办事．小明出发的同时，他的爸爸以
每分钟96米的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留了2分钟后沿原路按原速返
回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为s （米），小明爸爸与家之间的距离
1
为s （米），图中折线OABD，线段EF分别表示s ，s 与t之间的函数关系的图象．
2 1 2
(1)求s 与t之间的函数表达式；
2
(2)小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？
3 随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已
不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式（如表格，图象所示）：
设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为y ，y ．
A B
超时费
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h
（元/min）
A 7 25 0.01B m n p
(1)如图是y 与x之间的函数关系图象，请根据图象填空：m = ___，n = ___．
B
(2)写出y 与x之间的函数关系式．
A
(3)若某同学每月上网学习时间为70小时，那么选择哪种方式上网学习合算，为什么？
4 √3 √3
如图，四条直线l ：y = x，l ：y = √3x，l ：y = −√3x，l ：y = − x，OA = 1，过点
1 1 2 2 3 3 4 4 1
3 3
A 作A A ⊥x轴交l 于点A ，再过点A 作A A ⊥l ，交l 于点A ，再过点A 作A A ⊥l 交y轴于点
1 1 2 1 2 2 2 3 1 2 3 3 3 4 2
A ，…，则点A 的坐标为________．
4 2020
5 如图，在平面直角坐标系中，四边形OA B C ，A A B C ，A A B C ，…，都是菱形，点A ，A
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 1 2
√3 √3
，A ，…，都在x轴上，点C ，C ，C ，…，都在直线y = x+ 上，且
3 1 2 3
3 3
∠C OA = ∠C A A = ∠C A A = ⋯ = 60∘，OA = 1，则点C 的坐标是________．
1 1 2 1 2 3 2 3 1 6
6
对于平面直角坐标系中任意两点P
(
x ,y
)
，P
(
x ,y
)
，我们将
√ (
x −x
)2+ √ (
y −y
)2
叫做
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
( )
P ，P 两点之间的“直角距离”，记作d P ,P ．
1 2 1 2
(1)已知点A(a+1,0)，B(1, −a)，满足d(A,B)1，则a = ；( )
(2)点P n x n ,y n （其中，n = 1，2，3，…）在函数y = x图象上，且x n = √n（其中，n = 1，2，
3，…）即P 1 ，P 2 ，P 3 ，…，P n…为函数y = x图象上的点，相邻两个点P n，P n+1 （n = 1，
( ) ( )
2，3，…）之间的直角距离为d P ,P ，令a = d P ,P ，得到一列数a ，a ，a ，
n n+1 n n n+1 1 2 3
…，a ，…，则a +a +⋯+a = ．
n 3 4 2014
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析
例题练习题答案
例1 8名学生在一次数学测试中的成绩分别为80，82，79，69，74，78，x，81，这组成绩的平均数
是78，则x的值为（ ）
A： 76
B： 74
C： 75
D： 81
练1.1 一组数据1，3，4，8，x的平均数为x，则x的值是_______．
例2 某大学自主招生考试只考数学和物理．计算综合得分时，按数学占60%，物理占40%计算．已知孔
明数学得分为95分，综合得分为93分，那么孔明物理得分是_____分．
练2.1 某公司招聘职员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，面试中包括形体和口才，笔试中包括
专业水平和创新能力考察，他们的成绩（百分制）如下表：
面试 笔试
候选人
形体 口才 专业水平 创新能力
甲 86 90 96 92
乙 92 88 95 93
（1）若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创新能力按照4:6:5:5的比
确定，请计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？（2）若公司根据经营性质和岗位要求认为：面试成绩中形体占15%，口才占20%，笔试成绩中专
业水平占40%，创新能力占25%，那么你认为该公司应该录取谁？
例3 某商场一天中售出李宁牌运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示，
鞋的尺码(单位：厘米) 23.5 24 24.5 25 26
销售量(单位：双) 1 2 2 5 1
则这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A： 25，25
B： 24.5，25
C： 26，25
D： 25，24.5
练3.1 本市5月份某一周每天的最高气温统计如下表：
温度/℃ 22 24 26 29
天数 2 1 3 1
则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）
A： 24，25
B： 25，26
C： 26，24
D： 26，25
例4 某体育器材厂生产一批铅球，其重量如下：
重量/kg 2.93 2.96 3 3.02 3.03
数量/个 4 12 10 8 6
则这组数据的中位数、众数、平均数分别是多少千克？
练4.1 我国是世界上严重缺水的国家之一，某校为了组织“节约用水从我做起”活动，随机调查了本校
120名同学家庭节水措施情况和月人均用水量，如图1、图2是根据调查结果做出的统计图的一部
分．请根据信息解答下列问题：(1)图1中淘米水浇花所在的扇形的圆心角度数为____________________________________；
(2)补全图2；
(3)求120名同学家庭月人均用水量的中位数和众数；
(4)如果全校学生家庭总人数为3000人，根据这120名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家
庭月用水总量是多少吨？
例5 若甲、乙两个街舞团的人数相同，平均身高相同，通过计算身高的方差发现身高更整齐的街舞团
是甲，那么s2 ______s2 （填“>”或“<”）．
甲 乙
练5.1 某次跳绳比赛中，统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如下表：
班级 参加人数 平均次数 中位数 方差
甲 45 135 149 180
乙 45 135 151 130
下列三个命题：
（1）甲班平均成绩低于乙班平均成绩；
（2）甲班成绩的波动比乙班成绩的波动大；
（3）甲班成绩优秀人数少于乙班成绩优秀人数（跳绳次数 ≥ 150次为优秀）．
其中正确的命题是_____．（只填序号）例6 一组数据的方差为s2
，如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的3倍，那么所得到的一组新数
据的方差为（ ）
A： s2
3
B： s2
C： 3s2
D： 9s2
练6.1 若一组数据x +1，x +1，x +1，……，x +1的平均数为18，方差为2，则数据x +2，x +2，
1 2 3 n 1 2
x +2，……，x +2的平均数和方差分别是（ ）
3 n
A： 18，2
B： 19，3
C： 19，2
D： 20，4
练6.2 若一组数据x ，x ，x ，x ，x 的方差是3，则2x −3，2x −3，2x −3，2x −3，2x −3的方差
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
是（ ）
A： 3
B： 6
C： 9
D： 12
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析
课堂落实答案
1 某校规定：学生的平时作业、期中练习、期末考试三项成绩分别按40%，20%，40%的比例计入
学期总评成绩，小路的平时作业、期中练习、期末考试的数学成绩依次为90分、92分、85分，小
路这学期总评成绩是_____．2 某校五人参加孔子学院志愿者选拔考试，已知这5人的平均考试成绩为91分，有2人得92分，1人
得83分，1人得94分，由这5人得分所组成的一组数据的中位数是（ ）
A： 91
B： 92
C： 93
D： 94
3 鞋店卖鞋时，商家主要关注鞋尺码的（ ）
A： 平均数
B： 众数
C： 中位数
D： 都可以
4 甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.2 9.2 9.2 9.2
方差（环 2 ） 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（ ）
A： 甲
B： 乙
C： 丙
D： 丁
5 在一次射击训练中，某位选手五次射击的环数分别为5，8，7，6，9，则这位选手五次射击环数
的方差为_____．
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析自我巩固答案
1 某班学生每周课外阅读时间的统计结果如下表：则这些学生每周课外阅读的平均时间为（ ）
时间/小时 3 4 5 6 7
人数 2 5 15 11 7
A： 4.5 小时
B： 5小时
C： 5.4 小时
D： 5.5 小时
2 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，然后再按演讲
内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%的比例计算选手的综合成绩．某选手的演讲内
容、演讲能力、演讲效果成绩依次为85、95、95，则该选手的综合成绩为（ ）
A： 92
B： 88
C： 90
D： 95
3 某班40名学生的一次体育测验成绩统计如下：
成绩（分） 60 70 80 90 100
人数 7 x 12 y 3
如果已知该班平均成绩为76分，则x，y的值分别为（ ）
A．14，4B．13，5 C．12，6 D．11，7
A： 14，4
B： 13，5
C： 12，6
D： 11，7
4 有一批种子共有98颗，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……，如表是不同
发芽天数的种子数的记录：
发芽天数 1 2 3 4 5 6 7种子数 8 26 22 24 12 4 2
统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ）
A： 2
B： 3
C： 3.5
D： 4
5 七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，下表是从七
年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况：
节水量（m3 ） 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数（个） 1 2 2 4 1
那么这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A： 0.4和0.34
B： 0.4和0.3
C： 0.25和0.34
D： 0.25和0.3
6 2016年欧洲杯足球赛中，某国家足球队首发上场的11名队员身高如表：
身高（cm） 176 178 180 182 186 188 192
人数 1 2 3 2 1 1 1
则这11名队员身高的众数和中位数分别是（ ）（单位：cm）
A： 180，182
B： 180，180
C： 182，182
D： 3，2
7 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别
是S 2 = 1.8，S 2 = 0.7，则成绩比较稳定的是（ ）
甲 乙
A： 甲稳定B： 乙稳定
C： 一样稳定
D： 无法比较
8 某体校要从四名射击选手中选拔一名参加省体育运动会，选拔赛中每名选手连续射靶10次，他们
ˉ
各自的平均成绩x及其方差s2
如下表所示：
甲 乙 丙 丁
ˉ
8.3 8.6 8.6 7.6
x
s2 0.43 0.56 0.94 1.92
如果要选出一名成绩高且发挥稳定的选手参赛，则应选择的选手是（ ）
A： 甲
B： 乙
C： 丙
D： 丁
9 已知一组数据为：4，5，6，8，13，则这组数据的方差是（ ）
A： 6
B： 10
C： 10.16
D： 8
10 甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天出次品的数量如下表：
甲 0 1 2 0 2
乙 2 1 0 1 1
关于以上数据的平均数、中位数、众数和方差，说法不正确的是（ ）
A： 甲、乙的平均数相等
B： 甲、乙的众数不相等
C： 甲、乙的中位数相等D： 甲的方差小于乙的方差
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析
精选精练
1 已知a，b，c的平均值为5，且X，Y，Z的平均值为7，则2a+3X，2b+3Y，2c+3Z的平均值
为（ ）
A： 31
B： 31
3
C： 93
5
D： 17
2 某校为了提高初中学生学习数学的兴趣，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙两个小组进入决
赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，
甲、乙两个小组各项得分如下表：
小组 研究报告 小组展示 答辩
甲 91 80 78
乙 79 83 90
（1）计算各小组的平均成绩，哪个小组的成绩较高？
（2）如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%，计算各小组的成绩，哪个小
组的
成绩较高？
3 设一组数据x ，x ，⋯，x 的平均数是m，求下列各组数据的平均数：
1 2 n
（1）x +3，x +3，⋯，x +3；
1 2 n
（2）2x −3，2x −3，⋯，2x −3．
1 2 n
4 某公司员工的月工资统计如下：月工资/元 5000 4000 2000 1000 800 500
人数 1 2 5 10 28 4
（1）写出该表中的平均数、中位数、众数；
（2）根据以上三个数据，哪个更能反映该公司员工工资的实际水平？
5 我市某中学举行“中国梦⋅校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手
组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩，如图所示．
(1) 根据图示填写下表：
平均数 中位数 众数
初中部 _____ 85 _____
高中部 85 _____ 100
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好？
6 已知数据x
1
，x
2
，⋯，x
n
的方差是s2，且x
1
−a，x
2
−a，⋯，x
n
−a的方差是s2，则（ ）
1 2
A： s
2
> s
2
1 2
B： s
2
< s
2
1 2
C： s
2
= s
2
1 2
D： s 2与s 2无法比较
1 2
能力提高 / 初二 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案1 化简√40的结果是（ ）
A： 20
B： 2√10
C： 2√5
D： 4√10
2 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘，∠A = 30∘，AB+BC = 12 cm，则AB等于（ ）
A： 6 cm
B： 7 cm
C： 8 cm
D： 9 cm
3 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是
（ ）
A： AB = CD
B： BC∥AD
C： ∠A = ∠C
D： BC = AD
4 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE = DF，AE与BF相交于点O，则下
列结论错误的是（ ）A： AE = BF
B： AE⊥BF
C： AO = OE
D： S = S
ΔAOB 四边形DEOF
5 下列关于x的函数，是一次函数的是（ ）
A： y = 2x+1
B： 1
y =
x
C： y = x2
D： 1
y = x+
x
6 函数y = −3x+2的图象经过第（ ）象限
A： 一、二、三
B： 一、二、四
C： 一、三、四
D： 二、三、四
7 已知正比例函数y = kx(k ≠ 0)，当x = −1时，y = 2，则它的大致图象是（ ）
A：
B：
C：D：
8 用图象法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象如图所
示，则所解的二元一次方程组是（ ）
A：
{
x+y−2 = 0
3x−2y−1 = 0
B：
{
2x−y−1 = 0
3x−2y−1 = 0
C：
{
2x−y−1 = 0
3x+2y−5 = 0
D：
{
x+y−2 = 0
2x−y−1 = 0
9 如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A 、A 、A 、A 、A 爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变
1 2 3 4 5
化的图象大致是（ ）
A：
B：
C：D：
10 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB = 3√2 ，E为OC上一点，OE = 1，连接
BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（ ）
A： 3√10
5
B： 2√2
C： 3√5
4
D： 3√2
2
11 1
若 有意义，则x的取值范围是___________．
√x−1
12 已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO = 4，BO = 3，则菱形的面积等于___________．
13 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知
AD = 4cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm 2 ，对角线AC长为________cm．
14 y = 2x+4与x轴的交点为___________．
15 一次函数经过点(−5,3)，且与直线y = −x−1平行，则此一次函数的解析式为_____________．
16 一次函数y = 2x+4与坐标轴围成的三角形面积是_____．17 如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S ，S ，S ，且S = 4，S = 12，则
1 2 3 1 2
S = _____．
3
18 如图，将直线y = −x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A(2, −4)，且与y轴交于点B，在x轴上存
在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为__________．
19 计算：
( )( )
（1） √18−√12 3√2+2√3
1
( )
（2） + √15+√20 ÷√5
2−√3
20 如图，菱形ABCD中，AB = AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）证明：四边形AECF是矩形；
（2）若AB = 8，求菱形的面积．
21 如图，在四边形ABCD中，∠ABC = 90∘，AC = AD，M、N分别为AC、CD的中点，连接BM、
MN、BN．求证：BM = MN22 近年来，越来越多的人们加入到全民健身的热潮中来．“健步走”作为一项行走速度和运动量介
于散步和竞走之间的步行运动，因其不易发生运动伤害，不受年龄、时间和场地限制的优点而受
到人们的喜爱．随着信息技术的发展，很多手机APP可以记录人们每天健步走的步数，为大家的健
身做好记录．
小明的爸爸妈妈都是健步走爱好者，一般情况下，他们每天都会坚持健步走．小明为了给爸爸妈
妈颁发4月份“运动达人”奖章，进行了抽样调查，从4月份随机抽取10天，记录爸爸妈妈运动步
数（千步）如下：
爸爸 12 10 11 15 14 13 14 11 14 12
妈妈 11 14 15 2 11 11 14 15 14 14
根据以上信息，整理分析数据如下所示：
平均数 中位数 众数
爸爸 12.6 12.5 b
妈妈 a 14 14
（1）写出表格中a，b的值；
（2）你认为小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给谁，并说明理由．
23 如图，直线y = kx+b经过点A(5,0)，B(1,4)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y = 2x−4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x−4 ≥ kx+b的解集．24 建立一次函数关系解决问题：甲、乙两校为了绿化校园，甲校计划购买A种树苗，A种树苗每棵24
元；乙校计划购买B种树苗，B种树苗每棵18元．两校共购买了35棵树苗．若购进B种树苗的数量
少于A种树苗的数量，请给出一种两校总费用最少的方案，并求出该方案所需的总费用．
25 如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB = 90∘，
PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM = BN．
26 若直线y = (m−2)x+m+1不经过第三象限，则m的取值范围是______________．
27 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AB//x轴，点A的坐标为(5,3)
1
，已知直线l:y = x−2．
2
（1）将直线l向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值；
（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边BC交于点E，求ΔABE的面积．
