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能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式的化简求值
例题练习题答案
例1 (1)已知s = √3t−7+√7−3t−5，则st的值为（ ）
A： −35
B： 35
C： 35
−
3
D： 35
3
(2) 已知实数a、b、c满足2|a−1|+√2a−b+(c+b) 2 = 0，求2a+b−c的值．
(3) 已知实数x满足|2015−x|+√x−2016 = x，求x−2015 2 的值．
练1.1 √2m+n+ | m 2 −9 |
若 = 0，求3m+6n的立方根．
√3−m
练1.2 已知实数x满足|2017−x|+√x−2019 = x，求x−2017 2 的值.
例2 √
2
实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ (a−b) 的结果是（ ）
A： −2a+b
B： 2a−b
C： −bD： b
练2.1 化简： √ x 2 −6x+9− ( √3−x )2 =（ ）
A： 2x−6
B： 0
C： 6−2x
D： 2x+6
例3 1
√
2 3
若ab < 0，化简二次根式 −a b 的结果是（ ）
a
A： b√b
B： −b√b
C： b√−b
D： −b√−b
√
练3.1 1
化简二次根式(a−2) 的结果是（ ）
2−a
A： √2−a
B： −√2−a
C： √a−2
D： −√a−2
例4 计算：
√
(1) 1
√48÷√3− ×√12+√24；
2
(2) 2 ( )( )
(3+√5) − 4+√7 4−√7 ；( )( )
(3) √3+1 3−√3 ；
√ √
(4) a 1 2a
( )
√
2
3a ÷ −3 × ．
2 2 3
练4.1 计算：
√3 √3
（1）√12× ÷√3+ ；
4 2
√ √
b 1
√
2
（2） ÷ ab ×a+ (a > 0，b > 0)．
2a 2b
练4.2 计算：
√
(1) 1 1
( )
3√18+ √50−4 ÷√32；
5 2
√ √
(2) 4 x 1
√25x+9 −2x 2 ⋅ ．
5 9 3
x
例5 把下列各式分母有理化：
7+4√3 a√b−b√a a−b
（1） ； （2） ； （3） ．
2+√3 √ab √a−√b
练5.1 阅读下面问题：
( )
1 1× √2−1
= = √2−1；
( )( )
√2+1 √2+1 √2−1
( )
1 1× √3−√2
= = √3−√2；
( )( )
√3+√2 √3+√2 √3−√2
( )
1 1× √5−2
= = √5−2，根据以上解法，试求：
( )( )
√5+2 √5+2 √5−2(1) 1
的值；
√7+√6
(2) 1
（n为正整数）的值；
√n+1+√n
(3) 1 1 1 1 1
+ + +⋯+ + 的值．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
练5.2 4 4 4 4
化简： + + +…+ .
√2+2 2+√6 √6+√8 √2n+√2n+2
例6 (1) 若a = 3−√10，则代数式a 2 −6a+9的值是________．
(2) 1 x+1 x−1
当x = √2−1时，求代数式 ÷ − 的值．
x−2 2 x+1
x −4x+4
(3) 1 1
若0 < a < 1，a+ = 6，则代数式√a− 的值为（ ）
a √a
A： ±2
B： −2
C： ±4
D： 4
练6.1 (1) 1 1 y x
已知x =
(√7+√5 )
，y =
(√7−√5 )
，求x
2
+y
2
与 + 的值．
2 2 x y
(2) 2 √ 2
a −1 a −2a+1 1
先化简，再求值： − ，其中a = ．
a−1 2 2+√3
a −a
√ √√ √
(3) 1 x x
已知√x+ = 2，那么 − 的值等于________．
√x 2 2
x +3x+1 x +9x+1
例7 先阅读下列的解答过程，然后作答．
有这样一类题目：将 √ a±2√b化简，若你能找到两个数m和n，使m 2 +n 2 = a且mn = √b，则
a±2√b可变为m 2 +n 2 ±2mn，即变成(m±n) 2 ，从而使得 √ a±2√b化简．
例如：5+2√6 = 3+2+2√6 = (√3 )2 + (√2 )2 +2√2⋅√3 = (√3+√2 )2 ，
√
∴ √ 5+2√6 = ( √3+√2 )2 = √3+√2．
请仿照上例解下列问题：
（1） √ 4+2√3 （2） √ 10−4√6．
练7.1 化简：
（1） √ 8−2√15； （2） √ 16+6√7．
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式的化简求值
自我巩固答案
1 3
已知y = √x−24+√24−x−8，求√x−5y的值．
2 √ √ √
2 2 2
实数a、b在数轴上的位置如图，化简 a − b − (a−b) ．
√
3 y
已知xy > 0，化简二次根式x − 的正确结果是（ ）
2
x
A： −√−y
B： −√yC： √−y
D： √y
4 计算：
(1) √12+√27
；
√3
(2) ( )2
2√2−√3 ；
√
(3) 1
√48+6 −√75；
3
√
(4) 1
( )
2√12−3 ×√6−3√27．
3
5 计算：
√ √
2 1 b 3 b
( )
√ √
（1） +√18−4 ； （2） ab 5 ⋅ − a 3 b ÷3 (a > 0，b > 0)．
√2−1 2 a 2 a
6 1 √3+2
2 2
已知x = ，y = ，求x −xy+y 的值．
√2+1 2−√3
7 2 2 2 2
a −b ( a +b )
先化简,再求值 ÷ 1− ,其中a = 2+√3,b = 2−√3.
2 2 2ab
a b+ab
√
8 1
2 2
如果x −3x+1 = 0，求 x + −2的值．
2
x
9 1 1 1
计算： + +⋯+ ．
1+√2 √2+√3 √2015+√201610 化简 √ 12−2√35的结果为（ ）
A： √7+√5
B： √5−√7
C： √7−√5
2
D： √7−√5
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式的化简求值
课堂落实答案
√ √
1 1 1
若y = x− + −x−6，则xy = _____．
2 2
2 √
3
化简二次根式 −a 的正确结果是（ ）
A： a√−a
B： a√a
C： −a√−a
D： −a√a
√
3 1
将a 根号外的部分移到根号内，正确的是（ ）
a
A： √a
B： −√a
C： √−aD： −√−a
4 计算
(1) ( 2√3−1 )2 + (√3+2 )(√3−2 ) ；
√
(2) 1
( )
√6−2√15 ×√3−6 ．
2
5 1 1
若√x+ = √6，且x ≥ 1，则√x− = __________．
√x √x
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式的化简求值
精选精练
1 1
√ √
2 2
若y = x −4+ 4−x + +2，则x−y的值为__________．
2−x
2 a
化简： √ 2a 3 + √ a 2 − √ 2ab 2 − ( √a )2 ．
b
√ √
3 1 b a
已知a+b = 2，ab = ，求 + 的值．
2 a b
4 (√7+√3 )( 10−2√21 )
化简： = __________．
√7−√3
5 阅读材料回答问题．
（1）观察探索：
√ √ √ √ √ √√ √ √ √ √ √
2 8 4×2 2 2 2
2− = = = 2 ，即 2− = 2 ；
5 5 5 5 5 5
√ √ √ √ √ √
3 27 9×3 3 3 3
3− = = = 3 ，即 3− = 3 ．
10 10 10 10 10 10
√
5
（2）大胆猜想： 5− 等于多少？
26
（3）灵活运用：再举一个例子并通过计算验证，猜想并写出一般表达式．
6 观察下列各式及验证过程：
√ √ √ √ √ √
1 1 1 2 1 1 1 2 1 2
− = ，验证： − = = = ；
2 3 2 3 2 3 2×3 2 2 3
2 ×3
√ √ √ √ √ √
1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 3
( ) ( )
× − = ，验证： × − = = = ；
2 3 4 3 8 2 3 4 2×3×4 2 3 8
2×3 ×4
√ √ √ √ √ √
1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 4
( ) ( )
× − = ，验证： × − = = = ．
3 4 5 4 15 3 4 5 3×4×5 2 4 15
3×4 ×5
√
1 1 1
( )
（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 × − 的变形结果并进行验
4 5 6
证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n ≥ 2）表示的等式．
能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 勾股定理的应用
例题练习题答案
例1 (1)若a = 4，b = 5，∠C = 90∘，则c = ____________；
(2) 若a+b = 2+2√2，a:b = 1:√2，∠C = 90∘，则c = ____________；(3)若直角三角形的两边长为5、12，则第三边的长为___________．
练1.1 如图，在四边形ABCD中，∠DAB = ∠BCD = 90∘，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方
形，若S +S = 100，S = 36，则S = （ ）
1 4 3 2
A： 136
B： 64
C： 50
D： 81
例2 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正
确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
练2.1 有四个三角形，分别满足下列条件：
①一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；
③三边长分别为9，40，41；
④三边之比为8：15：17．
其中，能构成直角三角形的个数有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例3 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C 的面
积依次为2、4、3，则正方形D的面积为( )
A： 9
B： 8
C： 27
D： 45
练3.1 如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中最大
的直角三角形两直角边长分别为2，3，则正方形A，B，C，D的面积之和为（ ）
A： 13
B： 26
C： 47D： 94
例4 (1) 在Rt△ABC中，30∘所对的直角边是√3，则另一条直角边的长是（ ）
A： 4
B： 4√3
C： 3
D： 6√3
(2)如图，在 △ ABC、 △ ADE中，C、E两点分别在AD、AB上，且BC与DE相交于F点，若
∠A = 90∘，∠B = ∠D = 30∘，AC = AE = 1，则四边形AEFC的周长为（ ）
A： 2√2
B： 2√3
C： 2+√2
D： 2+√3
(3) 如图，△ABC中，∠B = 45∘，∠A = 105∘，AB = 2，求BC的长．
练4.1 (1) 如图所示，在△ABC中，AB = AC，∠A = 120∘，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么
BE:EA = _________．(2) 在△ABC中，∠C = 90∘，∠B = 15∘，点D在AB上，DE是AB的中垂线，BE = 8cm，AE =
______，AC = __________．
例5 如图，四边形ABCD中，已知AB = √6，BC = 5−√3，CD = 6，∠ABC = 135∘和∠BCD = 120∘，
那么AD的长为___________．
练5.1 (1) 把两个同样大小的含45∘角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直
角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一条直线上，若AB = √2，则CD的长
为（ ）
A： √2+1
B： √2−1
C： √3−1
D： √3
(2) 在四边形ABCD中，AB = 4，CD = 2，∠C = 135∘，∠B = ∠D = 90∘，求四边形ABCD的面
积．
例6 野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60∘方向前进了3千米，第二小组向南偏东30∘方
向前进了3千米，经观察、联系，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为( )
A： 南偏西15 ∘ ，3√2千米
B： 北偏东15 ∘ ，3√2千米
C： 南偏西15 ∘ ，3千米
D： 南偏西45 ∘ ，3√2千米练6.1 如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海，“远洋”号，“长峰”号两艘轮船同时离
开港P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，
它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60∘
方向航行，那么“长峰”号航行的方向是 ．
例7 一个长方形抽屉长12厘米，宽9厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗
细）可以是( )
A： 15厘米
B： 13厘米
C： 9厘米
D： 8厘米
练7.1 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部
的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和
小圆孔的大小忽略不计）范围是( )
A： 12 ⩽ b ⩽ 13
B： 12 ⩽ b ⩽ 15
C： 13 ⩽ b ⩽ 16D： 15 ⩽ b ⩽ 16
例8 如图，ABCD是长方形地面，长AB = 10m，宽AD = 5m，中间竖有一堵砖墙高MN = 1m．一只蚂蚱
从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m．
练8.1 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个
相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短
路程为 dm．
能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 勾股定理的应用
自我巩固答案
1 已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB = 3，则图中阴影部
分的面积为（ ）
A： 9
B： 3C： 9
4
D： 9
2
2 √
2 2
已知：a，b，c为一个直角三角形的三边长，且有 (a−3) +(b−2) = 0，求直角三角形的斜边
长．
3 如图，∠B为直角，BC长为2，AB长为3，正方形AGHF的面积为36，正方形CDEF的面积为49，
求△AFC的面积．
4 三角形的两边长分别为2，7，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是（ ）
A： √53
B： 3√5
C： √53或3√5
D： √47或3√5
5 如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形
A、B、C、E的面积分别为4、2、3、12，则正方形D的面积为（ ）
A： 4B： 5
C： 2
D： 3
6 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若
正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（ ）
A： 13
B： 26
C： 47
D： 89
7 如图，在△ABC中，∠ABC = 90∘，AB = CB，点E在BC上，∠CAE = 15∘，AE = 6，则EB的长度
为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
8 如图，在△ABC中，∠A = 45∘，∠B = 30∘，CD⊥AB，垂足为D，AD = 1，则BD的长为（ ）A： √2
B： 2
C： √3
D： 3
9 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON = 30∘，公路PQ上A处距O点240米．如果火车行
驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶
时，A处受噪音影响的时间为( )
A： 16秒
B： 18秒
C： 20秒
D： 22秒
10 2
如图，长方体的底面积为30cm ，长、宽、高的比为3:2:1，则：
（1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？
（2）长方体的表面积和体积分别是多少？
（3）若一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到顶点B，直接写出从点A爬行到点B的最短路程
是 cm．能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 勾股定理的应用
课堂落实答案
1 如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线
段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段，并写出这两条线段的长
度．
2 一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A： 4
B： 8
C： 10
D： 12
3 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正
方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是( )
A： 18
B： 114
C： 194
D： 3244 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘，∠A = 30∘，AC = 2，则AB = （ ）
A： 4
B： 2√3
3
C： 4√3
3
D： √3
3
5 如图，开口玻璃罐的长、宽、高分别为16，6和6，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂
蚁
正好在罐外长方形ABCD的中心H处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（ ）
A： √145
B： √205
C： √277
D： 17
能力强化 / 初二 / 春季第 2 讲 勾股定理的应用
精选精练
1 已知|x−6|+(y−8) 2 +z 2 −20z+100 = 0，若三角形的边长分别为x，y，z，则该三角形最长边上
的高为___________．
2 观察图，每个小正方形的边长均为1，求：图中阴影正方形的面积是多少？它的边长是多少？
3 ( )2
已知：整式A＝ n 2 −1 +(2n) 2 ，整式B > 0；
尝试：化简整式A；
发现：A＝B 2 ，求整式B；
( )2
联想：由上可知，B 2 = n 2 −1 +(2n) 2 ，当n>1时，n 2 −1，2n，B为直角三角形的三边长．
如图所示：
填写下表中B的值：
直角三角形三边 n2 ﹣1 2n B
勾股数组Ⅰ ／ 8 __________
勾股数组Ⅱ 35 ／ __________
4 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘，AB = 8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为
S ，S ，则S +S 的值等于___________．
1 2 1 25 在△ABC中，高AD、BE所在直线交于H点，若BH = AC，则∠ABC的值为（ ）
A： 45∘
B： 135∘
C： 60∘
D： 45∘或135∘
6 1
棱长分别为7cm，6cm两个正方体如图放置，点P在E F 上，且E P = E F ，一只蚂蚁如果要沿
1 1 1 1 1
3
着长
方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是_______．
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合
例题练习题答案
例1 已知：如图，四边形ABDC，AB = 4，AC = 3，CD = 12，BD = 13，∠BAC = 90∘，则四边形
ABDC的面积是 ．练1.1 如图，在四边形ABCD中，AB = AD = 4，∠A = 60∘，BC = 4√5，CD = 8，求∠ADC的度数．
例2 如图所示，MN为我国领海线，MN以左为我国领海，以右为公海．上午9时50分我国缉私艇A发
现在其正东方向有一走私艇C正以每小时16海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其6海
里，正在MN上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是10海里，缉私艇B测得C与其
距离为8海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国领海？
练2.1 如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点，若AB = AC = 10，BC = 12，则BM的最小值为（ ）
A： 25
B： 9.6
C： 10
D： 4.5
例3 如图，已知荷叶高出水面0.6m，一阵风吹来，荷叶紧贴水面，这时它偏离原来的水平距离为1.2m
，求荷叶的高度．练3.1 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m
后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
例4 在长方形ABCD中，AB = 16，BC = 8，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，
那么AF的长为（ ）
A： 10
B： 8
C： 6
D： 4
练4.1 长方形纸片ABCD中，AD = 4，AB = 10，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，DF的
长为__________．例5 ( ) ( ) √ 2 2
在平面直角坐标系中，若A x ,y ，B x ,y ，则AB = (x −x ) +(y −y )
1 1 2 2 1 2 1 2
(1)点P(−2,7)，Q(3, −5)，求PQ的长．
(2) √ 2 √ 2
利用两点间距离公式求 x +4+ (3−x) +36+1的最小值．
练5.1 如图，AD⊥AB，BC⊥AB，且AD = 2，BC = 3，AB = 12，P是线段AB上的一个动点，连接PD，
PC．
(1)设AP = x，用二次根式表示线段PD，PC的长；
(2)设y = PD+PC，求当点P在线段AB上运动时，y的最小值；
(3) √ 2 √ 2
利用（2）的结论，试求代数式 x +9+ (24−x) +16的最小值．
例6 已知Rt△ABC，AB = AC，∠BAC = 90∘，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以
AD为边作Rt△ADE，AD = AE，连接CE．
(1)如图①，当点D在边BC上时，
①请写出BD和CE之间的数量关系为_____，位置关系为_____；
②线段CE+CD = _____AC ；(2)尝试探究
如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中AC、CE、CD之间存在的数量
关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸
如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC = 4，CE = 2，求线段CD的长．
练6.1 如图，已知CA = CB，CF = CE，∠ACB = ∠FCE = 90∘，
且A、F、E三点共线，AE与CB交于点D．
(1) 2 2 2
求证：AF +AE = AB
(2)若AC = √17，BE = 3，则CE = _____．能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合
自我巩固答案
1 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AD = BC = 8，AB = 10，CD = 6，则四边形ABCD的面积是
（ ）
A： 16√15
B： 16√5
C： 32√15
D： 16√17
2 如图，这是一块农家菜地的平面图，其中BD = 4m，CD = 3m，AB = 13m，AC = 12m，
∠BDC = 90∘，则这块地的面积为（ ）
A： 2
24m
B： 2
30m
C： 2
36m
D： 2
42m3 两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则
乙杯中的液面与图中点P的距离是（ ）
A： 2cm
B： 4√3cm
C： 6cm
D： 8cm
4 如图，一场大风后，一棵大树在高于地面1米处折断，大树顶部落在距离大树底部3米处的地面
上，那么树高是（ ）
A： 4m
B： √10m
C：
(√10+1 )
m
( )
D： √10+3 m
5 小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m
，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A： 2m
B： 2.5m
C： 2.25m
D： 3m6 校园内有两棵树，相距8米，一棵树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一
棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）
A： 8米
B： 9米
C： 10米
D： 11米
7 如图，P是线段AB上一动点，且AB = 4，CA⊥AB，BD⊥AB，CA = 1，BD = 2，PA = a，PB = b
√ √
，若M = a 2 +1+ b 2 +4，则M的最小值为（ ）
A： 5
B： 4
C： 3
D： 2
8 如图所示，已知△ABC，分别以AB，AC边作图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE = AB，AF = AC，下列结
论：①△AEC≌△ABF；②EC = FB；③EC⊥FB；④MA平分∠EMF，正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个9 如图，在△ABC中，AB = 1，AC = 2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，连接AB′，并
有AB ′ = 3，则∠A′的度数为（ ）
A： 125°
B： 130°
C： 135°
D： 140°
10 已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为腰作等腰Rt△ADE，
∠DAE=90°．连接CE．
（1）如图，求证：△ACE≌△ABD；
（2）点D运动时，∠BCE的度数是否发生变化？若不变化，求它的度数；若变化，说明理由；
（3）若AC=√8，当CD=1时，请直接写出DE的长．
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合
课堂落实答案
1 一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，木板的面积为_____．2 如图，在Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘，CD⊥AB于点D，CD = 2，AB = 6.设AC = x，BC = y，则代
2
数式(x+y) −3xy+2的值是_________．
3 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知
红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是（ ）
A： 1米
B： 1.5米
C： 2米
D： 2.5米
4 √ √
2 2
代数式 x +4+ (12−x) +9的最小值为( )
A： 12
B： 13
C： 14
D： 11
5 如图， △ ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将 △ ABP绕点A逆时针旋转后，能与 △ ACP ′ 重
′
合，如果AP = 3，那么PP = _________．能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合
精选精练
1 如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上
的G点，并且折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE = 5，则GE的长为_____．
2 如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，AC = 6，BC = 8，
∠CAE:∠BAE = 1:2．
（1）求∠B的度数；
（2）求△ACE的周长；
（3）求CE的长．
3 在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB＝BC＝2CD＝4，P是线段BC上的动点，
连结AP，DP．
（1）设BP＝x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，求x＝2时，AP+DP的值；
（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．
√ √
2 2
（3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式 x +4+ (12−x) +9的最小值．4 √ √
2 2 2 2
已知a > 0，b > 0，且a+b = 7，则代数式 x +a + (11−x) +b 的最小值为_____．
5 （1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB = AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段
AD绕点A逆时针旋转90∘得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是________，位置关系是
________；
（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB = AC，AD = AE，将△ADE绕点A旋转，使
点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD、BD、CD之间的等量关系，并证明．
6 （1）问题发现：如图1，在△ABC中，∠BAC = 90∘，AB = AC，点D是BC的中点，以点D为顶点
作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE和AF的数量关系是
__________．
（2）类比探究：如图2，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α(0∘ < α ≤ 360∘)，则
（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
能力强化 / 初二 / 春季第 4 讲 平行四边形与矩形进阶
例题练习题答案
例1 (1) 如图，平行四边形ABCD中，∠C = 108∘，BE平分∠ABC，则∠ABE等于（ ）
A： 18°
B： 36°
C： 72°
D： 108°
(2)平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC，BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周
长大2cm，则CD=_________cm．
练1.1 如图，在平行四边形ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC = 2，平行四边形ABCD
的周长是14，则DM等于（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例2 如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO = BO，E、F分别是OC、OD中点．求证：四边形AFBE
是平行四边形．练2.1 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形．
例3 (1) 如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE = 15∘，则下列结论：
①△ODC是等边三角形；
②BC = 2AB；
③∠AOE = 135∘；
④S = S ，
ΔAOE ΔCOE
其中正确的结论有_________________．
(2)如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC = 4，BC = 3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于
E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为__________．练3.1 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M
， 连 接 DE 、 BO ． 若 ∠COB = 60∘ ， FO = FC ， 则 下 列 结 论 ： ① FB 垂 直 平 分 OC；
②△EOB≌△CMB；③DE = EF；④S :S = 2:3．其中正确结论的个数是（ ）
△AOE △BCM
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
例4 如图，在矩形ABCD中， AD = 5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，EC = 2，则ΔAEF的面积为
_________．
练4.1 ' '
如图,矩形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C处,BC交AD于点E,AD = 8,AB = 4,则DE的长为___.
例5 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO = CO，BO = DO，在不添加任何辅
助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件：____________________（填上你认
为正确的一个答案即可）．练5.1 已知:如图,D是 △ ABC的边AB上一点,CN//AB,DN交AC于点M,MA = MC.
(1)求证:AD = CN;
(2)若∠AMD = 2∠MCD,求证:四边形ADCN是矩形.
例6 如图， △ ABC中，AB = AC，AD、AE分别是∠BAC及其外角∠CAF的平分线，CE⊥AE．求证：
AB = DE．
练6.1 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF = BE，连接AF、BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF = 3，BF = 4，DF = 5，求证：AF平分∠DAB．
能力强化 / 初二 / 春季
第 4 讲 平行四边形与矩形进阶
自我巩固答案1 在平行四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C = 2:3:2，则∠D = （ ）
A： 36∘
B： 108∘
C： 72∘
D： 60∘
2 如图，在□ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠2 = 112∘，则∠1 = （ ）
A： 22∘
B： 18∘
C： 108∘
D： 118∘
3 如图，在□ABCD中，AB = BD，点E在BD上，CE = CB．如果∠A = 70∘，那么∠DCE等于（ ）
A： 20∘
B： 25∘
C： 30∘
D： 35∘
4 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F为对角线BD上的点，BE＝DF，求证：四边形AFCE是平行
四边形．5 在四边形ABCD中，已知AD∥BC，再从①AD = BC；②AB = CD；③AB∥CD；④AB = AD中选择
一个能判定四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A： 1种
B： 2种
C： 3种
D： 4种
6 如图，在矩形ABCD中，AD = 8，CD = 4，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C ′ 处，BC ′ 交
AD于点E，则△BDE的面积为（ ）
A： 12
B： 20
C： 10
D： 6
7 在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是
（ ）
A： AB=CD，AD=BC，AC=BD
B： AO=CO，BO=DO，∠A=90°
C： ∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD
D： ∠A=∠B=90°，AC=BD8 一个矩形被分成4个不同的三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积
2
是21cm ，则该矩形的面积为（ ）
A： 2
60 cm
B： 2
70 cm
C： 2
120 cm
D： 2
140 cm
9 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若
∠EAC = 2∠CAD，则∠BAE的度数为（ ）
A： ∘
20
B： ∘
22.5
C： ∘
27.5
D： ∘
30
10 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE = CG，AH = CF
．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB = AD，且AH = AE，求证：四边形EFGH是矩形．能力强化 / 初二 / 春季
第 4 讲 平行四边形与矩形进阶
课堂落实答案
1 如果平行四边形的一边长是14，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A： 16和12
B： 16和18
C： 18或10
D： 36或6
2 如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线
上，求证：AE = CF．
3 在四边形ABCD中，AB = CD=4cm，BC=8cm，则下列哪个条件成立时可以使该四边形为平行四边
形（ ）
A： AD=4cm
B： AD=8cm
C： AD=2cm
D： AD=6cm4 如图.矩形纸片ABCD中,已知AD = 8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且
EF = 3.则AB的长为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
5 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当BC = 2AB，求∠BEC的大小．
能力强化 / 初二 / 春季
第 4 讲 平行四边形与矩形进阶
精选精练
1 如图，点E，F在平行四边形ABCD的对角线BD上，BE = DF，若平行四边形ABCD的面积是
20cm 2 ，△ABE的面积是3cm 2 ，则平行四边形AECF的面积是________cm 2 ．2 从□ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，其中E、F、G、H分别为垂足．证明：
EF = GH
3 E为△ABC中AC边上一点，ED∥AB交BC于点D，F为AB边上一点，AF = DE，延长FD到点G，使
DG = FD，连接AG，求证：DE，AG互相平分．
4 在矩形纸片ABCD中，AB = 6，BC = 8．
(1) 如图①，将矩形纸片沿AN折叠，点B落在对角线AC上的点E处，求BN的长；
(2) 如图②，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于
点F，且AG = GE，求BM的长；
5 如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE = ED，P是对角线BD上任意一点，PG⊥AD，PF⊥BE
，垂足分别为F、G．求证：PF+PG = AB．
6 如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线
于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO = FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 菱形、正方形进阶
例题练习题答案
例1 (1)菱形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，AC = 8，BD = 6，则菱形ABCD的周长
=_______，面积=_______．
(2) 如图，菱形ABCD的边长为a，∠ABC = 60∘，则关于菱形ABCD，以下结论正确的有
____________．
①较短的对角线长为a；
②较长的对角线长为√3a；
③周长为4a；
√3
2
④面积为 a ；
2
⑤若点E为BC的中点，将AB沿AE折叠，AB与AC重合．练1.1 如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B = 90∘，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相
交于点E、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB = 6，BC = 8，求EF的长．
例2 (1)如图，菱形ABCD中，点E在边BC上，AE与BD相交于点F．求证：∠AEB＝∠DCF．
(2)如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，点E在AD上，且AE = 2，点P是对角线BD上的
一个动点，则PE+PA的最小值是___________．
练2.1 如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD = 16，点P、Q分别是BD、AB上的动点，则AP+PQ的
最小值为（ ）
A： 12
B： 11
C： 9.6
D： 4.8例3 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上一点，延长AD至F使DF=BE，连接CF．
（1）求证：∠BCE=∠DCF；
（2）过点E作EG∥CF，过点F作FG∥CE，问四边形CEGF是什么特殊的四边形，并证明．
练3.1 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F．求证：OE=OF．
例4 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E、H分别在BC、AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；
(2)如图2，在正方形ABCD中，点H、E、G、F分别在AB、BC、CD、DA上，若EF⊥HG于点
O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．(3)已知，如图3，在（2）的条件下，若BC = 4，点E为BC的中点，DF = 3AF，连接FH、HE、
EG、GF．求四边形HEGF的面积．
练4.1 如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，
HA = EB = FC = GD，连接EG，FH，交点为O．
（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边
形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA = EB = FC = GD = 1cm，则图3中阴影部分的面积为
2
______________cm ．
例5 (1) 如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF = 25∘，则∠AED的
度数为（ ）
A： 60∘
B： 65∘
C： 70∘
D： 75∘(2)如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给
出下列五个结论：
①AP = EF；
②AP⊥EF；
③∠PFE = ∠BAP；
④PD = EC；
2 2 2
⑤PB +PD = 2PA ，
正确的有____________．
练5.1 (1)如图，已知P是正方形ABCD内的一点，且△ABP为等边三角形，那么∠DCP = ___________．
(2)如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．
①求证：△BCP≌△DCP；
②求证：∠DPE=∠ABC；
③把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE =
_______．
例6 边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）若点F在边BC上（如图）；
①求证：CE=EF；②若BC=2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请直接写出DE的长．
练6.1 正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，
AE．
（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 菱形、正方形进阶
自我巩固答案
1 如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A = ∠EDF = 60∘，有下列结论：①AE = BF；
②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE = ∠BEF，其中结论正确的个数是
（ ）
A： 3
B： 4C： 1
D： 2
2 如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE = CF，求证：□ABCD是菱形．
3 如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD = 120∘，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，求
EF+BF的最小值．
4 如图，在正方形ABCD中，AB = 2，点E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO = （ ）
A： √5
5
B： 4√5
5
C： 3√5
5
D： 2√5
55 如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA = AE交CB的延长线于点F，若AB = 4，则四边
形AFCE的面积是（ ）
A： 4
B： 8
C： 16
D： 无法计算
6 如图，正方形ABCD中，CE = MN，∠MCE = 35∘，则∠ANM = （ ）
A： 35∘
B： 45∘
C： 55∘
D： 65∘
7 已知，如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，
A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的对角线长为4，求两个正方形重叠部分的面积．8 如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于（ ）
A： 20∘
B： 30∘
C： 35∘
D： 40∘
9 如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，
FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （ ）
A： 1
B： 1
2C： 1
3
D： 1
4
10 如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA
上，且D的坐标为(2,0)，P是OB上的一动点，则PD+PA的最小值是（ ）
A： 2√10
B： √10
C： 4
D： 6
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 菱形、正方形进阶
课堂落实答案
1 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC = 60∘，则对角线AC的长是________．
2 如图，已知菱形ABCD的周长为16，∠ABC = 60∘，点E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，
则EP+AP的最小值为（ ）A： 2
B： 2√3
C： 4
D： 4√3
3 如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，EF，GH都过点O，分别交AD，BC于E，F，交
CD，AB于G，H，EF⊥GH，求证：四边形EHFG是正方形．
4 如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，
∠PCD=（ ）
A： ∘
60
B： 90°
C： 45°
D： 75°5 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的任意点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，已
知正方形边长为5，求EF的最小值．
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 菱形、正方形进阶
精选精练
1 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接
BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①2OG=AB；
②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S 四边形ODGF＞S △ABF；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形.
其中正确的是（ ）
A： ①④
B： ①③④
C： ①②③
D： ②③④2 如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF，∠CFE的角平分线交于点G，∠BEF，
∠DFE的角平分线交于点H．
（1）如果过点G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过点H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点
P，Q，得到四边形MNQP，求证：MNQP是菱形．
（2）在（1）的条件下，连接GH交EF于点K，则MEKG是什么四边形？并证明．
3 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE = 1，AF = 2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最
小值为 ．
4 如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE = PB．
（1）求证：PE = PD；
（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．
5 感知：如图1，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A，B重合），连接DE，过点A作
AF⊥DE，交BC于点F，易证：DE=AF．（不需要证明）
探究：如图2，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、CD上的点（点E、F不与正方形的顶点重
合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、H，垂足为O．若E为AB中点，DF=1，AB=
4，求GH的长．
应用：如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BE=CF，BF、AE相交于点G．若AB
=3，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，则△ABG的面积为________，则△ABG
的周长为________．6 如图①，正方形ABCD中，点E、F都在AD边上，且AE＝FD，分别连接BE、FC，对角线BD交
FC于点P，连接AP，交BE于点G；
（1）试判断AP与BE的位置关系；
（2）如图②，再过点P作PH⊥AP，交BC于点H，连接AH，分别交BE、BD于点N，M，请直接
写出图②中有哪些等腰三角形．
能力强化 / 初二 / 春季
第 6 讲 正方形高级技巧
例题练习题答案
例1 在Rt△AEB中，∠AEB = 90∘，以斜边AB为边向Rt△AEB外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角
线交于点O，试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明．练1.1 将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积
1
的 ，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的____________．
8
例2 如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在
射线AC上移动，另一边交DC于Q．
(1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜
想．
练2.1 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE
，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）猜想：如图1，线段OE与线段OF的数量关系为________；
（2）拓展：如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其
他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图2给出证明；如果不成立，请说明理
由．例3 如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM = AD+MC；
（2）若AD = 4，求AM的长．
练3.1 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F，求证：
1
EF+ AC = AB．
2
例4 (1)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D、B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点
F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（ ）
A： 1
B： 5
C： 7
D： 12(2)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(2,3)，则C点坐
标是________．
练4.1 (1)过正方形ABCD的顶点B作直线l，分别过A、C作l的垂线，垂足为E、F，若AE = 3，CF = 1，
则AB = （ ）
A： 1
B： 2
C： √10
D： 4
(2)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，
OA = 4，OB = 2，点C，D在第一象限．C点的坐标为____________，D的坐标为
_____________．
例5 如图1，在正方形ABCD中，P是CD上的一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，
垂足为E、F．（1）求证：BE = EF+DF；
（2）如图2，若点P是DC延长线上的一个动点，请探索BE、DF、EF三条线段之间的数量关系，并
说明理由；
（3）如图3，若点P是CD延长线上的一个动点，请探索BE、DF、EF三条线段之间的数量关系．
练5.1 如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E、F．已知
2 2
AD = 4，则AE +CF = ___．
例6 如图，正方形ABCD的边长为1，点P是边BC上任意一点（可以与B、C重合），分别过B、C、D作
射线AP的垂线，垂足分别为E、F、G，求BE+CF+DG的最小值．
练6.1 如图，矩形纸片ABCD中，已知AB = 5，AD = 4，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中剪裁出的一
个正方形．
（1）试求∠BNE+∠CFE的度数；
（2）试求BN+CF的值；
（3）试求点E到BC的距离；
（4）写出EM的最大值和最小值．能力强化 / 初二 / 春季
第 6 讲 正方形高级技巧
自我巩固答案
1 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC = 2AE，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD
上，且∠MEN = 90∘，若正方形ABCD的边长为6，则四边形EMCN的面积为（ ）
A： 9
B： 12
C： 16
D： 32
2 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE = CF．连接AE、BF．下列结论错误的
是（ ）
A： AE = BFB： AE⊥BF
C： ∠DAE = ∠BFC
D： ∠AEB+∠BFC = 120∘
3 如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以C为中心，把△CDB
旋转90∘，则旋转后点D的对应点D ′ 的坐标是（ ）
A： (2,10)
B： (−2,0)
C： (2,10)或(−2,0)
D： (10,2)或(−2,0)
4 如图，四边形ABCD中，AB = BC，∠ABC = ∠CDA = 90∘，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面
积为25，则BE = （ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 55 点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，
得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A： 75°
B： 60°
C： 45°
D： 30°
6 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B，C重
合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段
之间的关系．
7 如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE = BF = CG = DH = 5，则四边形EFGH的面
积是（ ）
A： 30
B： 34C： 36
D： 40
8 如图，直线l过等腰直角三角形ABC的顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是
（ ）
A： 5
B： √5
C： √11
D： √13
9 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和
EFGH都是正方形，如果AB = 10，AH = 6，那么EF等于（ ）
A： 8
B： 6
C： 4
D： 2
10 如图，E是正方形ABCD的边BC上的一个动点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在
射线EP上截取线段EF，使得EF = AE，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．
（1）求证：FG = BE；
（2）探究点F是否在∠DCG的平分线上，并说明你的理由．能力强化 / 初二 / 春季
第 6 讲 正方形高级技巧
课堂落实答案
1 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C(0,4)，D是OA中点，将ΔCDO以C为
旋转中心逆时针旋转90∘，写出此时点D的对应点的坐标________．
2 如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE = CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形
的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角的度数是（ ）
A： 45°
B： 120°
C： 60°
D： 90°3 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC = 2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别
交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A： 4
2
a
9
B： 1
2
a
4
C： 5
2
a
9
D： 2
2
a
3
4 如图，在4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．图中阴影是个正方形，顶点均在格点上，
则这个正方形的边长是__________．
5 过正方形ABCD的顶点B作直线l，分别过A、C作l的垂线，垂足为E、F，若AE = 5，CF = 2，则
AB = （ ）
A： 2
B： 3C： √29
D： 5
能力强化 / 初二 / 春季
第 6 讲 正方形高级技巧
精选精练
1 如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP
绕O点旋转，这两个正方形重叠部分的面积为_______．
2 如图，正方形ABCD与正方形DEFG共点于D，连接AG、CE，则∠COH = （ ）
A： 60∘
B： 75∘
C： 90∘
D： 105∘
3 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB = 4√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作
EF⊥DE交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
4 如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，AE⊥直线l于点E，若EB = 4，则△EBC的面积为
__________．
5 请完成下题：
(1)如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC = 90∘，AB = AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，
CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE = BD+CE．
(2)如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB = AC，D、A、E三点都在直线m上，并
且有∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE = BD+CE是否成
立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．6 如图1，四边形ABCD是正方形，E是BC边的中点，∠AEF = 90∘，EF交正方形外角平分线CF于F
点，则有AE = EF．
（1）如图2，若点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），上述其它条件不变，上述结论还
成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图3，若点E在CB的延长线上时，上述其它条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请证
明；若不成立，请说明理由．
能力强化 / 初二 / 春季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 1
的化简结果是（ ）
√18
A： √18
18
B： 1
3√2
C： √3
6
D： √2
6
2 在Rt △ ABC中，∠C = 90∘，∠A = 30∘，AC = 2√3，则AB = （ ）A： 4
B： 2
C： 4√3
D： 2√3
3 √ √
2 2
若0 < x < 1，则 x + (x−1) 的化简结果为（ ）
A： 2x−1
B： 1−2x
C： 1
D： −1
4 一个等腰直角三角形的斜边中线长为4，则这个三角形的面积为（ ）
A： 4
B： 8
C： 16
D： 32
5 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A： 对角相等
B： 对边相等
C： 对角线相等
D： 对角线互相平分
6 平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(−3,0)，
B(0,2)，C(3,0)，D(0, −2)，则四边形ABCD是（ ）
A： 矩形
B： 菱形C： 正方形
D： 平行四边形
7 菱形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，AB = 5，AO = 4，则BD = （ ）
A： 6
B： 8
C： 10
D： 2√41
8 如果平行四边形ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC的长是（ ）．
A： 5cm
B： 15cm
C： 6cm
D： 16cm
9 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若
△ CED的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A： 6
B： 12
C： 18
D： 24
10 将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A ，A ，…，An分别是正方形对角线的
1 2
交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）A： 1
2
cm
4
B： n−1
2
cm
4
C： n
2
cm
4
D： 1
( )n
2
cm
4
11 1
化简 的结果为_____________．
√3−2
12 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB = 6cm，则AC = _____cm．
13 边长为2的等边三角形的面积为_____________．
14 在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为__________．
15 如图，在菱形ABCD中，AC = 8，BD = 6，则菱形BC边上的高DE的长是__________．
16 如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且
EF⊥BE，则AD的长为____________．17 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD = 120∘，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则
EF+BF的最小值是_______．
18 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF，给出下
列五个结论：
①AP = EF；
②AP⊥EF；
③∠PFE = ∠BAP；
④PD = EC；
2 2 2
⑤PB +PD = 2PA ，
正确的有____________．
√
19 1
（1）√48÷ ×√12+√24
2
（2）(√5+√2) 2 −(√5−√2) 2
20 E为 △ ABC 中AC边上一点，ED∥AB交BC于点D，F为AB边上一点，AF = DE，延长FD到点G，使
DG = FD，连接AG，求证：DE、AG互相平分．21 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB = DF，
AC = DE，BE = FC．
（1）求证： △ ABC ≅△ DFE ；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
22 已知实数x满足|2017−x|+√x−2019 = x，求x−2017 2 的值．
23 如图，矩形ABCD和矩形BFDE中，AB = BF = 4，AM = 3．
（1）求证：四边形BNDM为菱形．
（2）求BD的长度．
24 已知：如图，在 △ ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE//BC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证： △ ABD ≅△ CAE
（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．25 如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF = EC，连接AF．
（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD = AF+2DM．
26 阅读理解题：
学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
( )2
3+2√2 = 1+√2 ，我们来进行以下的探索：
设a+b√2 = ( m+n√2 )2 （其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b√2 = m 2 +2n 2 +2mn√2，∴
a = m+2n 2 ，b = 2mn，这样就得出了把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n都为正整数时，若a−b√5 = ( m−n√5 )2 ，用含m，n的式子分别表示a，b，
得a = ________，b = ________；
（ 2 ） 利 用 上 述 方 法 ， 找 一 组 正 整 数 a ， b ， m ， n 填 空 ： ________-________
2
√5 = (________−________√5) ；
（3）a−4√5 = ( m−n√5 )2 且a，m，n都为正整数，求a的值．
能力强化 / 初二 / 春季第 8 讲 中点问题专题
例题练习题答案
例1 已知如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE、AF交于点O．现有以下结论：①
1
DE∥BC；② OD = OE；③ AO = FO；④ S = S ．
△ADE △ABC
4
其中正确结论的个数为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
练1.1 已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：四边形DEFG是平行四边形．
例2 如图， △ ABC中，AB = 4，AC = 3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，
交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）A： 1
2
B： 1
C： 7
2
D： 7
练2.1 如图， △ ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的
平分线垂直于AD，垂足为P．若BC = 10，则PQ的长是（ ）
A： 1.5
B： 2
C： 3
D： 4
例3 已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．
求证：GF = GC．
练3.1 已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，∠ACB = ∠CED = 90∘，F是AD的中点，连结EF．
（1）如图1，若D在BC上，直接写出EF和BD的数量关系和位置关系；
（2）将图1中△CDE绕点C旋转至图2中的位置，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请
证明你的结论；
（3）如图3，若BC = 5，CD = 3，M是AB的中点，在△CDE旋转的过程中，求EM长度的最大值．例4 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝6，
求线段DE的长．
练4.1 如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下
滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）
A： 不变
B： 变小
C： 变大
D： 无法判断
例5 如图，在△ABC中，\angle B=2\angle C，AD\bot BC于D，M为BC的中点．求证：
DM=\frac{1}{2}AB．练5.1 如图，以△ABC的AB，AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，其中，P是BC中点，且使\angle
ABD=\angle ACE=\alpha ．
(1)求证：DP=EP；
(2)求∠DPE的度数．
例6 如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形{{A}_{1}}
{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}，顺次连接正方形{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}四边的中点得到第
二个正方形{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}…，以此类推，则第六个正方形{{A}_{6}}{{B}_{6}}
{{C}_{6}}{{D}_{6}}周长是_____________．
练6.1 如图，菱形ABCD的对角线长分别为a、b，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形{{A}_{1}}
{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}，然后再以矩形{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}的中点为顶点作菱形
{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}} ， … ， 如 此 下 去 ， 得 到 四 边 形 {{A}_{2016}}{{B}_{2016}}
{{C}_{2016}}{{D}_{2016}}的面积用含a，b的代数式表示为___________．例7 如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，\angle
ABD=20{}^\circ ，\angle BDC=70{}^\circ ，则\angle NMP的度数为（ ）
A： 50°
B： 25°
C： 15°
D： 20°
练7.1 在菱形ABCD中，\angle A=60{}^\circ ，以D为顶点作等边三角形DEF，连接EC，点N，P分别为
EC，BC的中点，连接NP．
(1)如图1，若点E在DP上，EF与CD交于点M，连接MN，CE=3，求MN的长；
(2)如图2，若M为EF中点，求证：MN=PN；
(3)如图3，若四边形ABCD为平行四边形，且\angle A=\angle DBC\ne 60{}^\circ ，以D为顶
点作三角形DEF，满足DE=DF且\angle EDF=\angle ABD，M，N，P仍分别为EF，EC，BC
的中点，请探究∠ABD与∠MNP的和是否为一个定值，并证明你的结论．能力强化 / 初二 / 春季
第 8 讲 中点问题专题
自我巩固答案
1 如图，在\vartriangle ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是\vartriangle ABC三边
的中点，则\vartriangle DEF的周长为（ ）
A： 9
B： 10
C： 11
D： 12
2 如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各
值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；
③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A： ②③B： ②⑤
C： ①③④
D： ④⑤
3 如图，已知□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若
AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF的长是（ ）厘米．
A： 6
B： 9
C： 12
D： 3
4 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，连接MN分别交
BD，AC于点P，Q，且∠FPQ=∠FQP，若BD=9，则AC=__________．
5 如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：EF＝\frac{1}
{2}AB．
6 如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）求证：DC=BE；（2）若\angle AEC=66{}^\circ ，求\angle BCE的度数．
7 如图，△ABC中，\angle C=20{}^\circ ，\angle CAB=120{}^\circ ，AD\bot AC，交BC于点
D．求证：CD=2AB．
8 如图，已知在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
证明：四边形EFGH是平行四边形．
9 已知：如图，四边形ABCD中，AC\bot BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，判
断EG与FH的数量关系并加以证明．
10 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，
猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．能力强化 / 初二 / 春季
第 8 讲 中点问题专题
课堂落实答案
1 如图，等腰直角\vartriangle ABC中，AD为底边上的高，E、F分别为AC、CD的中点，若
CD=8，则EF=（ ）
A： 2\sqrt{2}
B： 4
C： 4\sqrt{2}
D： 8
2 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE
的周长是__________cm．
3 如图，△ABC中，AB=10，AC=7，AD平分\angle BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD
于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为_____．4 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则
M，C两点间的距离为 km．
5 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应
具备的条件是________．
能力强化 / 初二 / 春季
第 8 讲 中点问题专题
精选精练
1 已知△ACD与△AGF都为等腰直角三角形，∠GAF=∠CAD=90°．连接GD、CF，N为线段GD的中
点，连接AN．
(1)求证：2AN=CF；(2)求证：AN⊥CF．
2 如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD、AG⊥CE，垂足分别为F、G，连
接FG，延长AF、AG，与直线BC分别相交于M、N．
（1）证明：FG=\frac{1}{2}\left( AB+BC+AC \right)；
（2）如图2，BD、CE分别是△ABC的内角平分线；如图3，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC
的外角平分线，则在图2，图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？写出你的
猜想，并对其中一种情况说明理由．
3 直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，
Rt△ABC中，\angle C=90{}^\circ ，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB．请你利
用该定理和以前学过的知识解决下列问题：
如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a
于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；(1)求证：PM=PN；
(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还
成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
(3)如图4，\angle BAC=90{}^\circ ，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE=AC，
EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．
4 已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中
点．
(1)说明：MB＝MC；
(2)设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB
＝MC是否还能成立？并证明其结论．
5 如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩
形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_____．
6 如图，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延
长，与BA的延长线交于点G，若\angle EFC=60{}^\circ ，连接GD，判断△AGD的形状并证明．能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 一次函数
例题练习题答案
例1 下列关系式中，y是x的函数的是________________．（填序号）
①y=3x-1； ②y=\frac{{{x}^{2}}}{5}； ③\left| y \right|=2x； ④y=2\left| x \right|；
⑤{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5； ⑥y=\frac{3}{{{x}^{2}}}．
练1.1 下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是( )
A： y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B： y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号
C： y：圆的面积，x：这个圆的直径
D： y：一个正数的平方根，x：这个正数
例2 某批发市场对外批发某品牌的玩具，其价格与件数的关系如图所示，请你根据图中描述判断：下
列说法中错误的是（ ）
A： 当件数不超过30件时，每件价格为60元
B： 当件数在30到60之间时，每件价格随件数增加而减少C： 当件数为50件时，每件价格为55元
D： 当件数不少于60件时，每件价格都是45元
练2.1 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度
y之间的关系用图象描述大致是（ ）
A：
B：
C：
D：
例3 已知关于x的函数y=\left( m+3 \right){{x}^{\left| m \right|-3}}+2n-6是正比例函数，则
mn=_____．
练3.1 如果函数y=\left( a+2 \right){{x}^{\left| a+1 \right|}}是正比例函数，那么（ ）
A： a=0或a=-2
B： a=2
C： a=-2
D： a=0
例4 已知函数y=\left( m-2 \right)x+{{m}^{2}}-4（m为常数），
(1)当m取何值时，y是x的正比例函数？(2)当m取何值时，y是x的一次函数？
练4.1 当m、n为何值时，函数y=\left( m-3 \right){{x}^{\left| m \right|-2}}+n-2，
（1）是一次函数？
（2）是正比例函数？
例5 已知正比例函数y=kx\left( k<0 \right)图象上的两点A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)、B\left(
{{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)，且{{x}_{1}}<{{x}_{2}}，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A： {{y}_{1}}+{{y}_{2}}>0
B： {{y}_{1}}+{{y}_{2}}<0
C： {{y}_{1}}-{{y}_{2}}>0
D： {{y}_{1}}-{{y}_{2}}<0
练5.1 若正比例函数y=\left( 1-2m \right)x的图象经过点A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)和点B\left(
{{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)，当{{x}_{1}}<{{x}_{2}}时，{{y}_{1}}>{{y}_{2}}，则m的取值范围是（ ）
A： m<0
B： m>0
C： m<\frac{1}{2}
D： m>\frac{1}{2}
例6 如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为y=ax、y=bx、y=cx，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A： a>b>c
B： c>b>a
C： b>a>cD： b>c>a
练6.1 如图，正比例函数y=kx、y=mx、y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数
k，m，n的大小关系是___________．
例7 已知一次函数y=\left( m+2 \right)x+\left( 1-m \right)，若y值随x值的增大而减小，且此函数图
象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是（ ）
A： m>-2
B： m<1
C： m<-2
D： m<1且m\ne -2
练7.1 给出下列函数：①y=2x；②y=-2x；③y=2x-1；④y=-2x+1，其中y随着x的增大而增大的是
（ ）
A： ①②
B： ③④
C： ①③
D： ②④
例8 在平面直角坐标系中，已知一次函数y=\left( k-2 \right)x-b的图象大致如图所示，则下列结论正
确的是（ ）
A： k>2，b>0B： k>2，b<0
C： k<2，b>0
D： k<2，b<0
练8.1 函数y=kx+\left| k \right|\left( k\ne 0 \right)在直角坐标系中的图象可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
例9 (1)若 点 M\left( -7,m \right) 、 N\left( -8,n \right) 都 在 函 数 y=-\left( {{k}^{2}}+2k+4
\right)x+1（k为常数）的图象上，则m和n的大小关系是（ ）
A： m>n
B： m{{y}_{2}}，则{{x}_{1}}与{{x}_{2}}的大小关系是（ ）
A： {{x}_{1}}<{{x}_{2}}
B： {{x}_{1}}>{{x}_{2}}
C： {{x}_{1}}={{x}_{2}}
D： 无法确定
例10 已知一次函数y=\left( 3m-7 \right)x+m-1，
(1)当m为何值时，函数图象经过原点？
(2)若图象不经过三象限，求m的取值范围；
(3)若图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，求整数m的值．
练10.1 已知一次函数y=\left( m-3 \right)x+m-8，y随x的增大而增大，
(1)求m的取值范围；
(2)如果这个一次函数又是正比例函数，求m的值；
(3)如果这个一次函数的图象经过第一、三、四象限，试写一个m的值，不写理由．
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 一次函数
自我巩固答案1 匀速地向一个容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h（cm）随时间t（s）的
变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状是图中的（ ）
A：
B：
C：
D：
2 一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速
同时驶往甲地，两车之间的距离s\left( \text{km} \right)与慢车行驶时间t\left( \text{h} \right)之
间的函数图象如图所示，则下列说法中：①甲、乙两地之间的距离为560km；②快车速度是慢车
速度的1.5倍；③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；④相遇时，快车距甲地320km．正确的
是（ ）
A： ①②
B： ①③
C： ①④
D： ①③④3 若一次函数y=\left( a+3 \right)x+\left( \left| a \right|-3 \right)为正比例函数，则a的值为
（ ）
A： \pm 3
B： -3
C： 3
D： 任意实数
4 若 y=\left( a+1 \right){{x}^{{{a}^{2}}}}+\left( b-2 \right) 是 正 比 例 函 数 ， 则 {{\left( a-b
\right)}^{2019}}的值为_______．
5 已知正比例函数y=\left( m-3 \right)x的图象经过第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A： m\ge 3
B： m>3
C： m\le 3
D： m<3
6 若正比例函数y=\left( 1-4m \right)x的图象y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A： m>\frac{1}{4}
B： m<\frac{1}{4}
C： m>0
D： m<0
7 正比例函数y=kx\left( k\ne 0 \right)的函数值y随x的增大而增大，则y=kx-k的图象大致是（ ）
A：B：
C：
D：
8 已知函数y=\left( m+2 \right)x-2，要使函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A： m\ge -2
B： m>-2
C： m\le -2
D： m<-2
9 点P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),点P_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)是一次函数y=-4x+3图象上的两个点,且
x_{1}< x_{2},则y_{1}与y_{2}的大小关系是（ ）
A： y_{1}>y_{2}
B： y_{1}>y_{2}>0
C： y_{1}< y_{2}
D： y_{1}=y_{2}
10 已知一次函数y=\left( a+8 \right)x+\left( 6-b \right)，
(1)a、b为何值时，y随x的增大而增大？
(2)a、b为何值时，图象过第一、二、四象限？
(3)a、b为何值时，图象与y轴的交点在x轴上方？(4)a、b为何值时，图象过原点？
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 一次函数
课堂落实答案
1 下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 若函数y=\left( k-1 \right)x+b+2是正比例函数，则（ ）
A： k\ne -1，b=-2
B： k\ne 1，b=-2
C： k=1，b=-2
D： k\ne 1，b=2
3 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）A： y=-\frac{1-x}{2}
B： y=-\frac{2}{x}
C： y=-\frac{x}{2}
D： y={{x}^{2}}+1
4 正比例函数y=3x\left( x\ge 0 \right)的大致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：
5 如果函数y=kx+2的图象不经过第三象限，那么k的取值范围是（ ）
A： k>0
B： k\ge 0
C： k<0
D： k\le 0
能力强化 / 初二 / 春季第 9 讲 一次函数
精选精练
1 如图，正方形ABCD中，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为对角线BD，点P，Q以
同样的速度分别从A，B两点同时出发匀速前进，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之
停止．设点P的运动路程为x，PQ的长为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为（ ）
A：
B：
C：
D：
2 当m=_______时，函数y=-\left( m+2 \right){{x}^{4{{m}^{2}}+1}}+6x-9是关于x的一次函数．
3 在同一坐标系中，如图所示，正比例函数y={{k}_{1}}x，y={{k}_{2}}x，y={{k}_{3}}x，y={{k}_{4}}x
的图象分别为{{l}_{1}}，{{l}_{2}}，{{l}_{3}}，{{l}_{4}}，则{{k}_{1}}，{{k}_{2}}，{{k}_{3}}，{{k}_{4}}的
大小关系是（ ）A： {{k}_{1}}<{{k}_{2}}<{{k}_{3}}<{{k}_{4}}
B： {{k}_{2}}<{{k}_{1}}<{{k}_{4}}<{{k}_{3}}
C： {{k}_{1}}<{{k}_{2}}<{{k}_{4}}<{{k}_{3}}
D： {{k}_{2}}<{{k}_{1}}<{{k}_{3}}<{{k}_{4}}
4 若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则函数y=-3kx-b的图象可能为（ ）
A：
B：
C：
D：5 若式子\sqrt{k-1}有意义，则一次函数y=\left( k-1 \right)x+1-k的图象可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
6 已知函数y=\left( 5m-2 \right)x+2m+1，
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若这个函数是一次函数，且y随x的增大而增大，求m的取值范围；
(3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第一象限，求m的取值范围．
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数解析式与图象变换
例题练习题答案
例1 (1)若点A\left( 2,4 \right)在函数y=kx-2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A： \left( 1,1 \right)B： \left( -1,1 \right)
C： \left( -2,-2 \right)
D： \left( 2,-2 \right)
(2)如果函数y=ax+b的图象经过\left( -1,8 \right)、\left( 2,-1 \right)两点，那么它也必经过点
（ ）
A： \left( 1,-2 \right)
B： \left( 3,4 \right)
C： \left( 1,2 \right)
D： \left( -3,4 \right)
练1.1 已知正比例函数y=kx图象经过点\left( 3,-6 \right)，求：
(1)这个函数的解析式；
(2)判断点A\left( 4,-2 \right)是否在这个函数图象上；
(3)图象上两点B\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right) 、 C\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)， 如 果
{{x}_{1}}>{{x}_{2}}，比较{{y}_{1}}，{{y}_{2}}的大小．
例2 (1)已知某一次函数的图象经过A\left( 1,3 \right)、B\left( 0,2 \right)两点，求该一次函数的解
析式．
(2)已知一次函数y=kx+b的图象经过A\left( -2,-1 \right)、B\left( 1,3 \right)两点，求该一次函
数的解析式．
练2.1 (1)已知y=kx+b，当x=2时，y=-2；当x=0时，y=-6，则该函数解析式为（ ）
A： y=2x-6
B： y=-6x+2
C： y=-2x+6
D： y=-2x-6
(2)一次函数y=kx+b，经过\left( 1,1 \right)、\left( 2,-4 \right)，则k与b的值为（ ）A： \left\{ \begin{matrix} k=3 \\ b=-2 \\ \end{matrix} \right.
B： \left\{ \begin{matrix} k=-3 \\ b=4 \\ \end{matrix} \right.
C： \left\{ \begin{matrix} k=-5 \\ b=6 \\ \end{matrix} \right.
D： \left\{ \begin{matrix} k=6 \\ b=-5 \\ \end{matrix} \right.
例3 如图，直线{{l}_{1}}的解析式为y=-3x+3，且{{l}_{1}}与x轴交于点D，直线{{l}_{2}}经过点A、B，直
线{{l}_{1}}、{{l}_{2}}交于点C，且A点坐标为\left( 4,0 \right)．
(1)求点D的坐标；
(2)求直线{{l}_{2}}的解析式；
(3)求C点的坐标．
练3.1 如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A\left( m,2 \right)，一次函数图
象经过点B\left( -2,-1 \right)，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
(1)求一次函数解析式；
(2)求C点的坐标．
例4 (1)对于直线：y=2x-1，①求向下平移4个单位后的解析式；
②求向右平移2个单位后的解析式；
③求先向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的解析式．
(2)若直线y=kx+b的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位，平移后的直线的函数解析式
为y=2x+5，求k、b．
(3)若一次函数y=kx+b的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，平移后的图象与原图象
重合，你能确定k、b的值吗？
练4.1 (1)对于直线：y=-3x+2，
①将该直线向左平移1个单位后得到直线的解析式为_________________；
②将该直线向上平移5个单位后得到直线的解析式为_________________；
③将该直线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到直线的解析式为_________．
(2)若直线y=mx+n的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的直线的函数解析
式为y=3x-2，则m=_______，n=_______．
(3)若一次函数y=kx+1的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，平移后的图象与原图象
重合，则k=_______．
例5 (1)求一次函数y=x-1的图象关于x轴对称的函数解析式；
(2)求一次函数y=3x-1的图象关于y轴对称的函数解析式；
(3)求一次函数y=-2x-1的图象关于原点对称的函数解析式．
练5.1 (1)一次函数y=-2x+3的图象关于x轴对称直线的函数解析式为________________；
(2)一次函数y=-x+2的图象关于y轴对称直线的函数解析式为_______________；
(3)一次函数y=x-3的图象关于原点对称直线的函数解析式为_______________．
能力强化 / 初二 / 春季第 10 讲 一次函数解析式与图象变换
自我巩固答案
1 关于函数y=-2x+1，下列结论正确的是（ ）
A： 图象必经过点\left( -2,1 \right)
B： y随x的增大而增大
C： 当x>\frac{1}{2}时，y<0
D： 图象不经过第一象限
2 已知一次函数y=-5x+m的图象经过点\left( -2,7 \right)，则下列点在函数图象上的是（ ）
A： \left( 0,-2 \right)
B： \left( 1,8 \right)
C： \left( -3,12 \right)
D： \left( -1,1 \right)
3 已知一次函数图象经过点\left( -2,\text{7} \right)、\left( 2,-\text{1} \right)．
（1）求这个一次函数解析式；
（2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标．
4 已知，在平面直角坐标系中，直线y=2x+3与直线y=-2x-1交于点C．
（1）求两直线与y轴交点A、B的坐标；
（2）求点C的坐标；
5 已知一次函数y=kx+b的图象平行于直线y=-3x，且经过点\left( 2,-3 \right)．
(1)求这个一次函数的解析式；(2)当y=6时，求x的值．
6 对于直线：y=\text{3}x，
（1）求向左平移2个单位后的解析式；
（2）求向上平移2个单位后的解析式；
（3）求先向右平移3个单位，再向上平移5个单位后的解析式．
7 直线{{l}_{1}}与坐标轴分别交于点A\left( 0,3 \right)、B\left( -4,0 \right)．
（1）求直线{{l}_{1}}的解析式；
（2）若直线{{l}_{1}}关于y轴对称的图形为{{l}_{2}}，求{{l}_{2}}的解析式．
8 若函数y=kx+b的图象向上平移2个单位，再向右平移1个单位，平移后的直线的函数解析式为
y=x+\text{3}，求k、b的值；
9 如图，已知直线AB经过点A\left( 0,4 \right)、B\left( 2,0 \right)．
(1)求直线AB的函数解析式；
(2)将直线AB向下平移2个单位得到直线CD，使CD与y轴交于点C，与x轴交于点D，求四边形
ABDC的面积．
10 一次函数y=kx+b的图象，如图所示．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）如果这个一次函数的图象向上平移m个单位得到的图象恰与它向右平移n个单位得到的图象
完全相同，求m、n之间的等式关系．能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数解析式与图象变换
课堂落实答案
1 如图，请在图中获取信息，完成以下问题：
（1）当x=0时，y=___；当y=0时，x=___；
（2）求直线对应的函数表达式．
2 一次函数y=-3x+5交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
A： \left( 0,5 \right)
B： \left( 5,0 \right)
C： \left( \frac{5}{3},0 \right)
D： \left( 0,\frac{5}{3} \right)
3 若把一次函数y=2x-3，向下平移3个单位长度，得到的图象解析式是（ ）
A： y=2x
B： y=2x-6C： y=5x-3
D： y=-x-3
4 一次函数y=-2x+3的图象关于原点对称的直线的函数解析式为（ ）
A： y=-2x-3
B： y=2x-3
C： y=2x+3
D： y=-x+3
5 如图，函数y=-2x+3与y=-\frac{1}{2}x+m的图象交于P\left( n,-2 \right)．
（1）求出m、n的值；
（2）写出P点的坐标．
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数解析式与图象变换
精选精练
1 已知y-3与4x-2成正比例，且当x=1时，y=5．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求当x=-2时的函数值．
2 已知一次函数的图象经过A\left( -2,-3 \right)、B\left( 1,3 \right)两点．
(1)求这个一次函数的解析式；(2)试判断点P\left( -1,1 \right)是否在这个一次函数的图象上；
(3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积．
3 已知一次函数y=2x-5m的图象与x轴的交点在A\left( -1,0 \right)与B\left( 4,0 \right)之间（包括
A、B两点），求m的取值范围．
4 如图，直线{{l}_{1}}的解析式为y=3x-3，且{{l}_{1}}与x轴交于点D，直线{{l}_{2}}经过点A、B，直线
{{l}_{1}}、{{l}_{2}}交于点C，且A点坐标为\left( 4,0 \right)．
(1)求点D的坐标；
(2)求直线{{l}_{2}}的解析式；
(3)求C点的坐标．
5 (1)如右图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax；②y=bx；③y=cx，将a、b、c从
小到大排列并用“<”连接为_________________；
(2)把直线y=-x+3向上平移m个单位长度后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范
围是（ ）
A： 11
D： m<4
6 (1)一次函数y=-x+\text{7}的图象关于x轴对称的函数解析式为________________；
(2)一次函数y=-\text{4}x-3的图象关于y轴对称的函数解析式为_______________；
(3)一次函数y=2x+\text{1}的图象关于原点对称的函数解析式为________________．
能力强化 / 初二 / 春季
第 11 讲 一次函数的应用
例题练习题答案
例1 一次函数y=kx+b\left( k\ne 0 \right)的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b>2的解集应是
_______________．
练1.1 如图，已知一次函数{{y}_{1}}=-x+b的图象与y轴交于点A\left( 0,4 \right)，{{y}_{2}}=kx-2的图象
与x轴交于点B\left( 1,0 \right)，那么使{{y}_{1}}>{{y}_{2}}成立的自变量x的取值范围是_________．
例2 (1)如图，已知函数y=ax-2和y=-x+n的图象交于点P，则不等式ax-2\ge -x+n的解集为
_____________．(2)已知直线y=kx+b经过\left( -2,-1 \right)，\left( -3,0 \right)两点，则不等式组\frac{1}
{2}x0 \\ -bx+1\ge 0 \\
\end{array} \right.的解集是（ ）
A： x<\frac{1}{3}
B： -\frac{1}{3}-x+m>0的整
数解可能是（ ）
A： 1
B： -1
C： -2
D： -3
3 (1)如图为一次函数y=kx+b的图象，则①kx+b=0的解为___________；
②不等式kx+b\ge 0的解集为___________；
③不等式kx+b<0的解集为___________；
④不等式kx+b\ge 3的解集为____________．
(2)如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b>ax+3的解集为
__________．
(3) 如图，直线{{y}_{1}}=kx+b过点A\left( 0,2 \right)，且与直线{{y}_{2}}=mx交于点P\left(
1,m \right)，则不等式组mx>kx+b>mx-2的解集是（ ）
A： 1kx+4的解集是（ ）
A： x>-2B： x>0
C： x>1
D： x<1
2 已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB面积为（ ）
A： 8
B： 6
C： 4
D： 2
3 如果直线y=x+m与两坐标轴围成的三角形面积等于2，则m的值是____．
4 甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留）前往终点B地，甲、乙两车之间的距离
y（千米）与甲车行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出4个信息：
①甲车速度为60千米/小时；
②A、B两地相距240千米；
③乙车行驶2小时追上甲车；
④乙车由A地到B地共用\frac{8}{3}小时．
上述信息正确的有（ ）个．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 45 某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙
厂直接按印刷数量收取印刷费．甲，乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数
关系图象分别如图中甲，乙所示，下列四种说法：
①甲厂的制版费为1千元；
②当印制证书超过2千个时，乙厂的印刷费用为0.2元/个；
③当印制证书8千个时，选择乙厂节省费用，节省费用500元；
④甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下．每个证书最少降低
0.0625元．
其中正确的个数是（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
能力强化 / 初二 / 春季
第 11 讲 一次函数的应用
精选精练
1 已知直线{{y}_{1}}=kx+1（k<0）与直线{{y}_{2}}=nx（n>0）的交点坐标为\left( \frac{1}
{3},\frac{1}{3}n \right)，则不等式组nx-3{{s}_{\unicode{0x4E59}}}^{2}
B： \overline{{{x}_{\unicode{0x7532}}}}<\overline{{{x}_{\unicode{0x4E59}}}} ，
{{s}_{\unicode{0x7532}}}^{2}<{{s}_{\unicode{0x4E59}}}^{2}
C： \overline{{{x}_{\unicode{0x7532}}}}>\overline{{{x}_{\unicode{0x4E59}}}} ，
{{s}_{\unicode{0x7532}}}^{2}>{{s}_{\unicode{0x4E59}}}^{2}
D： \overline{{{x}_{\unicode{0x7532}}}}=\overline{{{x}_{\unicode{0x4E59}}}} ，
{{s}_{\unicode{0x7532}}}^{2}<{{s}_{\unicode{0x4E59}}}^{2}
例6 为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的
次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．
根据上述信息，解答下列各题：(1)该班级女生人数是_____，女生收看“两会”新闻次数的中位数是_____；
(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百
分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指
数”比女生低5\% ，试求该班级男生人数；
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量
（如表）．
统计量 平均数（次） 中位数（次） 众数（次） 方差 ……
该班级男生 3 3 4 2 ……
根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两
会”新闻次数的波动大小．
练6.1 某校八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图：
（1）根据上图求出下表所缺数据：
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5 ______ ______
乙班 ______ 8 10 1.6
（2）根据上表中的平均数、中位数和方差你认为哪班的成绩较好？并说明你的理由．
例7 一组数据的方差为{{s}^{2}}，如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的3倍，那么所得到的一
组新数据的方差为（ ）
A： \frac{{{s}^{2}}}{3}
B： {{s}^{2}}C： 3{{s}^{2}}
D： 9{{s}^{2}}
练7.1 已知数据{{x}_{1}}，{{x}_{2}}\ldots {{x}_{10}}的平均数x=20，方差{{x}^{2}}=0.015．
\left( 1 \right) 求3{{x}_{1}}，3{{x}_{2}}\ldots 3{{x}_{10}}的平均数和方差；
\left( 2 \right) 求4{{x}_{1}}-2，4{{x}_{2}}-2\ldots 4{{x}_{10}}-2的平均数和方差；
\left( 3 \right) 由\left( 1 \right)\left( 2 \right)得出的结果，你能发现什么规律？
能力强化 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析
课堂落实答案
1 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为80分、85分、90分，若依次按
照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ）
A： 255分
B： 84.5分
C： 85.5分
D： 86.5分
2 某校五人参加孔子学院志愿者选拔考试，已知这5人的平均考试成绩为91分，有2人得92分，1人
得83分，1人得94分，由这5人得分所组成的一组数据的中位数是（ ）
A： 91
B： 92
C： 93
D： 94
3 鞋店卖鞋时，商家主要关注鞋尺码的（ ）
A： 平均数B： 众数
C： 中位数
D： 都可以
4 省运动会举行射击比赛，我市射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在选拔赛中，每人
射击10次，计算他们10次成绩的平均数和方差如下表，请你根据表中数据选一人参加比赛，最适
合的人选是_________．
甲 乙 丙 丁
平均数 9.2 9.0 9.0 9.2
方差 2.0 1.8 1.5 1.3
5 在一次射击训练中，某位选手五次射击的环数分别为5，8，7，6，9，则这位选手五次射击环数
的方差为_____．
能力强化 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析
自我巩固答案
1 某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据108输入为18，那么由此求出的平均
数与实际平均数的差是（ ）
A： 3.5
B： 3
C： 0.5
D： -3
2 若数据m，2，5，7，1，4，n的平均数为4，则m，n的平均数为（ ）
A： 7.5B： 5.5
C： 2.5
D： 4.5
3 某班40名学生的一次体育测验成绩统计如下：
成绩（分） 60 70 80 90 100
人数 7 x 12 y 3
如果已知该班平均成绩为76分，则x，y的值分别为（ ）
A．14，4B．13，5 C．12，6 D．11，7
A： 14，4
B： 13，5
C： 12，6
D： 11，7
4 有一批种子共有98颗，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……，如表是不同
发芽天数的种子数的记录：
发芽天数 1 2 3 4 5 6 7
种子数 8 26 22 24 12 4 2
统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ）
A： 2
B： 3
C： 3.5
D： 4
5 七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，下表是从七
年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况：
节水量（{{\text{m}}^{\text{3}}}） 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5家庭数（个） 1 2 2 4 1
那么这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A： 0.4和0.34
B： 0.4和0.3
C： 0.25和0.34
D： 0.25和0.3
6 2016年欧洲杯足球赛中，某国家足球队首发上场的11名队员身高如表：
身高（\text{cm}） 176 178 180 182 186 188 192
人数 1 2 3 2 1 1 1
则这11名队员身高的众数和中位数分别是（ ）（单位：\text{cm}）
A： 180，182
B： 180，180
C： 182，182
D： 3，2
7 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别
是S_{\unicode{0x7532}}^{2}=1.8，S_{\unicode{0x4E59}}^{2}=0.7，则成绩比较稳定的是
（ ）
A： 甲稳定
B： 乙稳定
C： 一样稳定
D： 无法比较
8 已知一组数据为：4，5，6，8，13，则这组数据的方差是（ ）
A： 6
B： 10C： 10.16
D： 8
9 下表是小红和小明五次数学考试的成绩，小红成绩平均数为95，小明成绩平均数为95，请你分析
一下他们的成绩，并说明谁的数学水平更稳定．
小红 90 95 100 96 94
小明 98 97 95 93 92
10 甲、乙两人参加理化实验操作测试，学校进行了6次模拟测试，成绩如表所示：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均分 众数
甲 7 9 9 9 10 10 9 9
乙 7 8 9 10 10 10
（1）根据图表信息，补全表格；
（2）已知甲成绩的方差等于1，请计算乙成绩的方差；
（3）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好些？
能力强化 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析
精选精练
1 已知a，b，c的平均值为5，且X，Y，Z的平均值为7，则2a+3X，2b+3Y，2c+3Z的平均值
为（ ）
A： 31
B： \frac{31}{3}
C： \frac{93}{5}
D： 172 设一组数据{{x}_{1}}，{{x}_{2}}，\cdots ，{{x}_{n}}的平均数是m，求下列各组数据的平均数：
（1）{{x}_{1}}+3，{{x}_{2}}+3，\cdots ，{{x}_{n}}+3；
（2）2{{x}_{1}}-3，2{{x}_{2}}-3，\cdots ，2{{x}_{n}}-3．
3 我市某中学举行“中国梦\cdot 校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选
手
组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩，如图所示．
(1) 根据图示填写下表：
平均数 中位数 众数
初中部 _____ 85 _____
高中部 85 _____ 100
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好？
4 某校为了解初三学生的身体状况，抽取了一部分同学，测量他们的身高，根据测量数据整理成下
表：
身高h/\text{m} 频数 频率
h<1.60 5 0.1
1.60\le h<1.65 12 0.24
1.65\le h<1.70
1.70\le h<1.75 15 0.3
h\ge 1.75 0.14完成上表后回答：这组数据的中位数所在的范围是（ ）
A： 1.60\le h<1.65
B： 1.65\le h<1.70
C： 1.70\le h<1.75
D： h\ge 1.75
5 已知数据{{x}_{1}}，{{x}_{2}}，\cdots ，{{x}_{n}}的方差是s_{1}^{2}，且{{x}_{1}}-a，{{x}_{2}}-a，
\cdots ，{{x}_{n}}-a的方差是s_{2}^{2}，则（ ）
A： s_{1}^{2}>s_{2}^{2}
B： s_{1}^{2}\text{2}
C： k>0
D： k<0
7 用图象法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象如图所
示，则所解的二元一次方程组是（ ）
A： \left\{ \begin{align} & x+y-2=0 \\ & 3x-2y-1=0 \\ \end{align} \right.
B： \left\{ \begin{align} & 2x-y-1=0 \\ & 3x-2y-1=0 \\ \end{align} \right.
C： \left\{ \begin{align} & 2x-y-1=0 \\ & 3x+2y-5=0 \\ \end{align} \right.
D： \left\{ \begin{align} & x+y-2=0 \\ & 2x-y-1=0 \\ \end{align} \right.
8 如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶{{A}_{1}}、{{A}_{2}}、{{A}_{3}}、{{A}_{4}}、{{A}_{5}}爬行，那
么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象大致是（ ）A：
B：
C：
D：
9 广宇、承义两名同学分别进行5次射击训练，训练成绩（单位：环）如表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
广宇 9 8 7 7 9
承义 6 8 10 8 8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（ ）
A： 广宇训练成绩的平均数大于承义训练成绩平均数
B： 广宇训练成绩的中位数与承义训练成绩中位数不同
C： 广宇训练成绩的众数与承义训练成绩众数相同
D： 广宇训练成绩比承义训练成绩更加稳定
10 如图，正方形ABCD的边长为\sqrt{2}，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且
CE=CO，则BE的长度为（ ）A： \sqrt{3}
B： \frac{\sqrt{10}}{2}
C： \sqrt{5}
D： 2\sqrt{5}
11 若\frac{1}{\sqrt{x-1}}有意义，则x的取值范围是___________．
12 若\Delta ABC得三边a，b，c满足(a-b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0，则\Delta ABC的形状为
________．
13 已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO=4，BO=3，则菱形的面积等于___________．
14 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知
AD=4cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm 2 ，对角线AC长为________cm．
15 一次函数经过点\left( -5,3 \right)，且与直线y=-x-1平行，则此一次函数的解析式为
_____________．
16 小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果
小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为__________km．17 一只蚂蚁从长为\quantity{4}{cm}、宽为\quantity{3}{cm},高是\quantity{5}{cm}的长方体纸箱的A点
沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路线的长是___\unit{cm}.
18 如图，将直线y=-x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A\left( 2,-4 \right)，且与y轴交于点B，在x
轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为__________．
19 计算：
（1）\left( \sqrt{18}-\sqrt{12} \right)\left( 3\sqrt{2}+2\sqrt{3} \right)
（2）\frac{1}{2-\sqrt{3}}+\left( \sqrt{15}+\sqrt{20} \right)\div \sqrt{5}
20 如图，菱形ABCD中，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）证明：四边形AECF是矩形；
（2）若AB=8，求菱形的面积．
21 如图，直线y=kx+b经过点A\left( 5,0 \right)，B\left( 1,4 \right)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y=2x-4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x-4\ge kx+b的解集．22 建立一次函数关系解决问题：甲、乙两校为了绿化校园，甲校计划购买A种树苗，A种树苗每棵24
元；乙校计划购买B种树苗，B种树苗每棵18元．两校共购买了35棵树苗．若购进B种树苗的数量
少于A种树苗的数量，请给出一种两校总费用最少的方案，并求出该方案所需的总费用．
23 某中学开展知识竞赛活动，1班和2班各选出5名选手参加初赛，两个班的选手的初赛成绩如下（单
位：分）：
1班初赛成绩 85 80 75 85 100
2班初赛成绩 80 100 85 80 80
（1）根据所给信息将下面的表格补充完整；
平均数 中位数 众数 方差
1班初赛成绩 85 70
2班初赛成绩 85 80
（2）根据问题（1）中的数据，判断哪个班的初赛成绩较为稳定，并说明理由．
24 如图，已知一次函数y=-\frac{1}{2}x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A．B．（1）求点A，B的坐标．
（2）点M为一次函数y=x+3的图象上一点，若△ABM与△ABO的面积相等，求点M的坐标．
（3）点Q为y轴上的一点，若△ABQ为等腰三角形，不用写过程，请直接写出点Q的坐标．
25 如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且\angle EPB=90{}^\circ
，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．
26 已知一次函数y＝kx-2k+1\left( k\ne 0 \right)，回答下列问题：
（1）若此函数的图象过原点，求k的值；
（2）无论k取何值，该函数图象总经过一个定点，请你求出这个定点的坐标．
27 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AB\parallel x轴，点A的坐
标为(5,3)，已知直线l:y=\frac{1}{2}x-2．
（1）将直线l向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值；
（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边BC交于点E，求\Delta ABE的面积．
