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2021/1/13 备授课-备课页
思维突破 / 初一 / 春季
第 1 讲 二次根式（一）
例题练习题答案
例1 x是怎样的实数时，下列式子有意义？
−−−−− −−−−−
−−−−− −− √3−2x √4−x
①
√x+5
；②
√x2
；③ ；④ −−−−−．
x−1 √2x+1
例2 化简下列式子：
−− 2 −−−−−−−−
2 –
(3√ ) √(2−√5)2
① ；② ．
3
−−−−−−−−− −−−−−−−−− −−−−−−−−−
例3 设a，b，c为△ABC的三边，化简：
√(a+b+c)2+√(a+b−c)2+√(a−b−c)2−
−−−−−−−−−
√(c−a−b)2
．
−−−− −−−−
例4 ①已知
√2−a+√a−2 = c−5
，求
c+2a
的平方根；
−−−−−−−
√b−1001+|b−1000| = b b−10002
②已知 ，求 的算术平方根．
例5 把下列二次根式化简为最简二次根式：
−− −− −−− −−−
√18 √63 √121 √169
① ；② ；③ ；④ ；
−−−− −−−
−−− −−− 24 50
√120 √150 √1 √
⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；
25 81
−−−− −−−
1 2 −−−− −−−
√1 √4 √0.48 √1.2
⑨ ；⑩ ；⑪ ；⑫ ．
24 7
例6 化简下列二次根式：
−−−
−−− −−−− 1
√6a2 a > 0 √x2y3 x < 0 a√−
① （ ）；② （ ）；③ ．
a
例7 计算：
−− −−−
3 −− – 75
√ ×√21 3√3×2√
① ；② ；
7 12
−− −−
−− −−−− 2 4
√27 ÷√0.03 8√ ÷4√
③ ；④ ；
7 7
−−−
– 1 – – 3 – 1 −−
√2× ×√3×√6 √1 ×2√3×(− √10)
⑤ ；⑥ ；
3 5 2
−−− −− −− −−
1 −−−− 2√12 ×√18 1
4×√3 ÷√0.49 ÷√
⑦ ；⑧ – ．
2 √3 6
–
√8
例8 化简下列二次根式，并选出 的同类根式：
−−− −−−
– 2 −− −− 27
2√3 √ √18 √32 √
； ； ； ； ；
25 4
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– 4 −− −−−− −−−− −−−−
2√6 √12 √1.44 10√0.08 √1.25
； ； ； ； ．
3
例9 计算：
−− −−
√32 −√18
① ；
−− −− −−
4√63 +5√56 −4√28
② ；
−−
1 −−− −−
3√ +4√150 +√24
③ ；
6
−−−
−−− −−− 1 −−
5√0.2+4√125 +9√ −√75
④ ．
27
例10 计算：
– – –
(√2−√6)×2√3
① ；
– –
4(√6+√3)
−−
√12 ×
② ；
3
– 4 −−−−−
√8− +√(−1)2
③ – ；
√2
−− −− −− –
(5√48 −6√27 +4√15)÷√3
④ ．
例11 比较下列各数的大小：
−−−−−
–
−3 √3 (−4)3 −3.5 −2√3
① 和 ；② 和 ；
−−− −−−− – −−
√200 √33000 4 3√2 √360
③ 和 ；④ ， 和 ．
−−−−−−−−
1 已知a，b，c满足： |2a−4|+|b+2|+√(a−3)b2+a2 +c2 = 2+2ac ，则 a−b+c
的值是多少？
思维突破 / 初一 / 春季
第 1 讲 二次根式（一）
自我巩固答案
1 计算：
−−−−−−−−
−−
−√45 27 132 −122
√
① −− ；② ；
2√20 5 27
– – −− −− −− −−
30÷√3×√2 √12 −(√75 +√48 −√27)
③ ；④ ；
−− −− −−− – – −− −− –
(√45 −√20 +√125)÷√5 (3√2+√48)(√18 −4√3)
⑤ ；⑥ ．
思维突破 / 初一 / 春季
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第 1 讲 二次根式（一）
课堂落实答案
1 计算：
– –
3√6×2√3
① ；
−−
−− 3 −−−
√12 ×√ ÷√2.4
② ；
4
−− −− −− −−
√27 −√12 +√45 −√80
③ ；
3 −− −− −−− −−−
√72 +√75 −(√162 +√147)
④ ．
2
−− −− –
2 ①
(√32 −√24)×2√3
；
−− −− −− −− −− −−
1 1 1 1 1 1
√ ×√ +√ ×√ −√ ×√
② ．
2 3 3 4 4 6
思维突破 / 初一 / 春季
第 2 讲 二次根式（二）
例题练习题答案
例1 计算：
1 19 1
① – ；② –；③ –；
√5−2 −5−√6 2−√3
– – –
2 3+2√2 3√5−2√3
④ – –；⑤ –；⑥ – –．
√5−√3 3−2√2 3√5+2√3
例2 计算：
−−
1 1 1
+(−2)2 ×√ −
① – – ；
1+√2 4 √2−1
−− 1 1
√15 ÷( + )
② – – ；
√3 √5
–
√8 – –
−√6(√2+1)
③ – – ；
√3−√2
11 3
+
④ – – ．
√5−4 √5−2
例3 计算：
– –
7+4√3 2√2
① – ；② – –；
2+√3 1+√2+√3
– – – –
√3+√5+4 √2+√3
③ – – ；④ −− −− −− −−．
(√3+2)(2+√5) √10 +√14 +√15 +√21
例4 把下列二次根式化简为最简二次根式：
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– – – –
√7+√3 √7−√3
x = y = x2 +xy+y2
① – –， – –，求 的值．
√7−√3 √7+√3
–
3+√5
x = x3 −2x2 −x−5
② ，求 的值．
2
1 1 1 1
例5 计算： – + – – + – – +……+ −−−− −−−−．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √1120+√1121
−−−−− −− −−−−− −−
√x+1−√x √x+1+√x
例6 +
化简： −−−−− −− −−−−− −−．
√x+1+√x √x+1−√x
−−−−− −−−−−
n+2+√n2 −4 n+2−√n2 −4 –
例7 + n = √6
先化简，再求值： −−−−− −−−−−，其中 ．
n+2−√n2 −4 n+2+√n2 −4
– –
√3−1 √3+1
例8 x = y = x4 +y4
已知 – ， – ，求 的值．
√3+1 √3−1
例9 化简下列复合二次根式：
−−−−−−− −−−−−−−− −−−−−−−−−
– −− −−
√3−2√2 √7−2√10 √23+2√42
① ；② ；③ ；
−−−−−−−− −−−−−−−− −−−−−−−−−
– – −−
√10−4√6 √16+6√7 √23−4√15
④ ；⑤ ；⑥ ．
例10 化简下列复合二次根式：
−−−−−−− −−−−−−
−− –
√4+√15 √2−√3
① ；② ；
−−−−−−−− −−−−−−−−
– –
√14−3√3 √14+5√3
③ ；④ ．
例11 化简下列复合二次根式：
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
–
√10+8√3+2√2
① ；
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
– – −−
√13+2√5+2√7+2√35
② ．
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−
x x2
例12 −−
已知： x+1 = 3√x ，求√ −√ 的值．
x2 +3x+1 x4 −11x2 +1
1 先观察下列各式，再回答问题．
−−−−−−−−−− −−−−−−−−−− −−−−−−−−−−
1 1 1 1 1 1 1 1 1
√1+ + = 1 √1+ + = 1 √1+ + = 1
， ， ．
12 22 2 22 32 6 32 42 12
−−−−−−−−−−
1 1
(1) √1+ +
根据上面三个等式提供的信息，请猜想 的结果，不用验证；
42 52
−−−−−−−−−−−−−−−
1 1
(2) 计算√1+ + （n为正整数）．
n2 (n+1)2
思维突破 / 初一 / 春季
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第 2 讲 二次根式（二）
自我巩固答案
1 计算：
−−
1 −1 – −−−−− – −− 1 −−
(− ) +(π −√3)0 +√(−2)2 −|−6| 3√2×(2√12 −4√ +3√48)
① ；② ；
2 8
– – −− −−
3√3 2√5 – 1 −− 1 4 −− –
( − )÷√2 (5√ +√20 − √ +√45)×√5
③ – – – ；④ ；
√5−√2 √3+1 5 2 5
– – – –
10 4 √2 √5 √3 √2
( − )× − −
⑤ – – ；⑥ – – – –．
√5 √5−1 2 √3+1 √5−√2 2−√3
1 – –
2 已知 x = – –， y = √3+√2 ，求 3x2 −5xy+3y2 ．
√3+√2
3 化简：
√ − 9 − x − 2 − − −− 6 − x − + −− 1−(√ − 3 − x − − −− 5)2
．
4 化简：
−−−−−−− −−−−−−−−−
– −−
√7−4√3 √10+3√11
① ；② ．
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第 2 讲 二次根式（二）
课堂落实答案
1 计算：
–
6 3 2 √2 −−
− − −√56
① −− −− – –；② – – ；
4−√10 √10 −√7 3+√7 3√3−2√7
– – –
– – – – – – √5 √3 2+√3
√6÷(√3+√2)+(√3+√2)÷√6 − −
③ ；④ – – – –．
√3+1 √5−√3 2−√3
– –
x = √5+3 y = √5−3 x3 −10xy−y3
2 已知 ， ，求 的值．
3 化简：
−−−−−−−− −−−−−−−−−
– –
√11−6√2 √54−20√2
① ；② ．
思维突破 / 初一 / 春季
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第 3 讲 代数式综合
例题练习题答案
例1 把下列代数式配方：
x2 +4x−3 2x2 +8x+5
① ；② ；
1 1
5x2 +5x+1 − x4 −2x2 +
③ ；④ ．
3 4
例2 利用配方法解下列方程：
–
x2 −4x−7 = 0 2x2 −2√2x+1 = 0
① ；② ．
1 1 −−−−−
例3 x y z |x−y|+z2 −z+ +√2y+z = 0 (x+y+z)2
若实数 ， ， 满足 ，求 的值．
2 4
−−−−− −−−−− 1 −−−−−−−−−
例4 x y y < √x−1+√1−x+ |1−2y|+√y2 −2y+1
若 ， 为实数，且 ，化简： ．
2
例5 实数
a
，
b
，
x
，
y
满足
y+|√ − x − −√3 – | = 1−a2
，
|x−3| =y−1−b2
，求
2x+y +2a+b
的
值．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
例6 若 √4x2 +y2 +4xy+16x+8y+16 = 2x−2y+2xy−1−x2 −y2 ，求 3x−2y 的
值．
例7 化简求值：
1
(1)1−(x2 −1)+2(x2 −2x− ) x = −2
，其中 ；
2
1120
(2)2x2y−[x2y+2(x2y−xy)]+y x2 = 2x+1 y =
，其中 ， ．
1121
例8 化简求值：
(−3x2 −4y)−(2x2 −5y+6)+(x2 −5y−1) x y
，其中 和 满足
|x−y+1|+(x−5)2 = 0
．
例9 求代数式的值：
4 2
(1) a+b = 5 ab = 3 2×[ (a+b)2 −3ab] −2
已知 ， ，求代数式 的值；
5
(a+5)2 +|b−4| = 0 (a+b)2005+(a+b)2004 +⋯+
(2)已知 ，求代数式
(a+b)2 +(a+b)
的值．
−−−−
1+√1121
例10 x = (4x3 −1124x−1121) 1121
当 时，求多项式 的值．
2
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–
√3−1
1 x = x4 −5x3 +6x2 −5x+4
已知 – ，求 的值．
√3+1
思维突破 / 初一 / 春季
第 3 讲 代数式综合
自我巩固答案
−−−−−
1 ①已知
a
，
b
为实数，且
√2a−1+|b+1| = 0
，则
a−2 +b−1121
的值是________；
1 −−−−− −−−−− x
x y y = +√4x−1 +√1−4x
②已知 ， 为实数，且 ，则 的值是________；
3 y
−−
√a +√b
a2 +b2 −4a−2b+5 = 0
③已知 ，则 −−−−−−−−−−的值是________；
√3b−2√a
x y z x+y = 2 z2 = xy−1 x3 +y2 −z =
④已知实数 ， ， 满足 ， ，则 ________．
2 把下列代数式配方：
x2 −6x+2 =
① ________；
2x2 +3x+2 =
② ________．
–
a b c ABC a2 +b2 +c2 +100 = 10(a+b+√2c)
3 设 ， ， 为△ 的三边，且满足 ．试判断该三
角形的形状．
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第 3 讲 代数式综合
课堂落实答案
x2 −12x+7
1 ①对 配方，得__________________；
−−−−−−−−−−−
√x2 +10x+25 = x > −5
② ________，其中 ．
1 −−−−− −−−−−
2 x y y = +√8x−1 +√1−8x 3x+2y =
①已知 ， 为实数，且 ，则 ______；
2
|2a−b| (b−1)2 (a+b)4
②已知 是 的相反数，那么 的值等于______．
a b c d ad−bc = 1 a2 +b2 +c2 +d2 −ab+cd = 1 abcd
3 设 ， ， ， 均为实数，且 ， ，求 的
值．
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思维突破 / 初一 / 春季
第 4 讲 特殊的等腰三角形
例题练习题答案
例1 (1)如图所示，已知等边△ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2015个这样的三角形镶嵌而成
的四边形的周长是（ ）
A： 2015
B： 2016
C： 2017
D： 2018
2cm
(2)下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为 时，这个六边
cm
形的周长为___________ ．
例2 (1)如图，△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且 CG = CD ， DF = DE ，
∠E =
则 ______°；
(2)如图，△ABC中， AB = AC ，△DEF为等边三角形，则 α ， β ， γ 之间的关系为
_____________．
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例3 如图，△ABC为等边三角形， ∠BAD = ∠CBE = ∠ACF ．
(1)求∠EDF的度数；
(2)求证：△DEF为等边三角形．
例4 如图，△ABC为等边三角形， AP = CR = BQ ．求证：△DEF为等边三角形．
例5 如图，在等腰△ACD中， AC = AD ，B是CD中点， AB = BE ， CE = BC ．求证：△ACD是
等边三角形．
Rt △ ABC ∠C = 90∘ ∠A = 30∘ AB = 4cm BC =
例6 (1)在 中， ， ，若 ，则 _____________；
(2)若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角等于____________°．
例7 在△ABC中， AB = AC ， ∠C = 30∘ ，DA⊥BA于点A， BC = 15 ，求AD的长．
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例8 已知：△ABC中， AB = AC ， ∠BAC = 120∘ ，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E．求证：
BE = 3AE
．
例9 如图， ∠BAC = 30∘ ，点D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于F．
(1)求证：△AFD为等腰三角形；
(2)若 DF = 10 ，求DE的长．
例10 如图，△ABC中，两条高AD与BE相交于H，且 BH = AC ．求证： ∠BCH = ∠ABC ．
例11 如图，等边△ABC和等腰直角△BCD中，点E是AC的中点，AD与BE交于点F．求证：
CD = 2AF
．
例12 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．求证：
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BD = CE
(1) ；
(2)BD⊥CE．
C AE A E AE ABC
例13 如图， 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），在 同侧作正三角形 和正三角形
CDE AD BC P BE CD Q PQ
， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ．求证：
BQ = AP
(1) ；
CPQ
(2)△ 是等边三角形．
1 如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为边BC，CA上的点，且 AE = CD ．已知AD交BE于点
P， BQ⊥AD 于Q， PQ = 3 ， PE = 1 ．求：
∠DPE
(1) 的度数；
(2)AD的长．
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第 4 讲 特殊的等腰三角形
自我巩固答案
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1 如图，在△ABC中， ∠BAC = 90∘ ， ∠B = 30∘ ，CD是角平分线， AD = 5 ，求BD．
2 如图， ∠A = 60∘ ，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H， HD = 1 ， HE = 3 ．
求BD和CE的长．
3 如图，B，C，E三点共线，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E， AB = CE ， BC = DE ．判断
△ACD的形状，并证明．
4 如图，△BCE和△ACD分别是以BE，AD为斜边的直角三角形，且 BE = AD ，△CDE是等边三角
形．求证：△ABC是等边三角形．
5 如图，△ABC中， ∠B = 60∘ ，延长BC到D，延长BA到E， AE = BD ，连接CE，DE，若
CE = DE ．求证：△ABC是等边三角形．
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第 4 讲 特殊的等腰三角形
课堂落实答案
1 已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且 AD = BE = CF ．求证：△DEF是
等边三角形．
2 如图，在△ABC中，高AD，BE交于H点，若 BH = AC ，求∠ABC的度数．
3 如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，EC⊥BC，且 EC = BD ．求证：△ADE是等边三角
形．
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第 5 讲 巧添辅助线（一）
例题练习题答案
例1 如图，在 △ ABC 中， AB = AC ， ∠BAC = 120∘ ，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足
为E，且 DE = 2 ．求CD的长度．
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例2 如图，已知 AB = AC ， ∠B = ∠C ．求证：AO平分 ∠BAC ．
例3 在△ABC中，P为BC上一点， PR⊥AB 于R， PS⊥AC 于S， AQ = PQ ， PR = PS ．求证：
AS = AR
(1) ；
(2)PQ∥AR．
例4 如图，AD平分∠BAC， BD = CD ．求证： AB = AC ．
例5 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥CE，垂足为E．求证： ∠ACE = ∠B+∠ECD ．
∠ABC = 3∠C ∠BAE = ∠CAE BE⊥AE AC −AB = 2BE
例6 已知 ， ， ．求证： ．
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例7 在△ABC中， ∠BAC = 90∘ ， AB = AC ，BE平分 ∠ABC ，与 AC 交于D， CE⊥BE ．求
1
CE = BD
证： ．
2
例8 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB交AB于点F，
EG⊥AC交AC于点G．求证： BF = CG ．
例9 如图，在△ABC中， AB = AC ，D是AB上一点，延长AC到E，使 CE = BD ，DE交BC于F．求
DF = FE
证： ．
例10 如图，点E是等边三角形ABC内一点，且 EA = EB ， △ ABC 外一点D满足 BD = AC ，BE平
分 ∠DBC ．求∠BDE的大小．
1 (1)如图， AB = AE ， BC = ED ， ∠B = ∠E ，AM⊥CD于M．求证： CM = DM ．
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(2)如图， BC = ED ， ∠B = ∠E ， ∠C = ∠D ，AM⊥CD于M．求证： CM = DM ．
∠BAM = ∠EAM ∠C = ∠D AB = AE BC = DE
(3)如图， ， ， ， ．求证：
CM = DM
．
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第 5 讲 巧添辅助线（一）
自我巩固答案
AB = DC ∠A = ∠D ∠B = ∠C
1 如图， ， ，求证： ．
2 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AB上一点，DG垂直平分CE， DC = BE ．求证：
∠ABC = 2∠BCE
．
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思维突破 / 初一 / 春季
第 5 讲 巧添辅助线（一）
课堂落实答案
1 如图，点D，E分别在AB，AC上， BD = CE ， CD = BE ．求证： AB = AC ．
2 如图，△ABC中，AD平分 ∠BAC ，BE⊥AD于O， ∠C = 2∠CBE ．求证：
AB+BD = AC
．
BD = CD ∠B = ∠C AB = AC
3 如图，已知 ， ．求证： ．
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第 6 讲 巧添辅助线（二）
例题练习题答案
例1 如图，△ABC中， AB = 3 ， AC = 5 ，求中线AD长度的取值范围．
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例2 如图，E是AD的中点，B在线段CE上，且 AB = CD ．求证： ∠ABE = ∠DCE ．
例3 如 图 ， 在 △ABC 中 ， AD 为 ∠BAC 的 平 分 线 ， M 为 BC 中 点 ， AD∥ME ． 求 证 ：
1
BE = CF = (AB+AC)
．
2
例4 如图，在△ABC中，BE，CF是高，D为BC中点．求证： DF = DE ．
例5 如图，在△ABC中， ∠B = 90∘ ， AB = CB ，D为AC中点，E，F分别为AB，BC上一点，
∠EDF = 90∘ DE = DF
．求证： ．
例6 如图， ∠EDA = ∠EAB = ∠BCD = 90∘ ， AE = AB ，M是BE的中点．求证：△MDC是
等腰直角三角形．
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例7 (1)如图，△ABC是等边三角形， ∠BDC = 120∘ ．求证： AD = BD+CD ．
(2)如图，△ABC是等边三角形， ∠ADB = 60∘ ．求证： AD = BD+CD ．
例8 如图，在△ABC中， ∠BAC = 12∘ ，AD是∠BAC的平分线，过A作AM⊥DA交直线BC于点M，
且 BM = BA+AC ．求∠ABC和∠ACB的角度．
ABC AB = AC D ABC ∠ABD = ∠ACD =
例9 如图，△ 中， ， 为△ 外一点，且 60°，求证：
CD = AB−BD
．
例10 已知，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，顶角 ∠BDC = 120∘ ，以D为顶点作一个 60∘ 的
角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN．
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BM +CN = MN
(1)如图1所示，证明： ；
(2)如图2所示，此时线段BM、CN、MN三者之间满足什么样的关系？证明你的结论．
∠BAC = 100∘ AB = AC BE ∠ABC AE+BE = BC
1 如图， ， ， 平分 ．求证： ．
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第 6 讲 巧添辅助线（二）
自我巩固答案
1 如图，锐角△ABC中，BD，CE是两条高，F，G分别是BC，DE的中点．求证：FG垂直平分DE．
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2 如图，AD为△ABC的中线， BE = AC ．求证： AF = EF ．
3 在△ABC中， ∠A = 60∘ ，BD，CE分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB ．BD，CE交于点O，试判断BE，
CD，BC的数量关系，并加以证明．
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第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
−−
a b c a+|a+b|−√c2
1 实数 ， ， 在数轴上的对应点如图，则 可以化简为（ ）
−b−c
A：
c−b
B：
2(a−b+c)
C：
2a+b+c
D：
−−−−−−
−a−2
2 a√
化简二次根式 的结果是（ ）
a2
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−−−−−−
√−a−2
A：
−−−−−−
−√−a−2
B：
−−−−
√a−2
C：
−−−−
−√a−2
D：
−−−−
b < 0 √ −ab3
3 若 ，化简 的结果是（ ）
−−
−b√ab
A：
−−−−
b√−ab
B：
−−−−
−b√−ab
C：
−−
b√ab
D：
1 –
4 已知 a = –， b = √3−2 ，则 a ， b 的关系是（ ）
2+√3
a = b
A：
a = −b
B：
1
C： a =
b
ab = −1
D：
5 如图，在△ ABC 中， ∠BAC = 60∘ ，AD是∠BAC的平分线，且 AC = AB+BD ，
∠ABC =
（ ）
40∘
A：
60∘
B：
80∘
C：
120∘
D：
6 如图，△ ABC 是边长为3的等边三角形，△ BDC 是等腰三角形，且 ∠BDC = 120∘ ，以D为顶
点做一个60°的角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△ AMN 的周长为
（ ）
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A： 3
B： 4.5
C： 6
D： 无法确定
– −− −−−
7 请将 6 ， 3+√2 ， √32 ， √3220 按从小到大排列：________________________．
−−−− −−−−− −−−−− −−−−− −−−−−−−−
8 √3 (−1)+√(−2)2 +√3 (−3)3 +√(−4)2 +⋯+√(−2014)2 = ________．
9 如图，点E是BC的中点， ∠BAE = ∠CDE ，延长DE到点F，使得 EF = DE ，连接BF，则下
列说法正确的是__________．
BF CD BFE CDE AB = BF AE = BE
① ∥ ；②△ ≌△ ；③ ；④ ．
10 如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上， EF = DE+BF ，则
∠EAF =
_____________．
11 计算：
−−−−−−−−−−
−− −− – −−− –
√45 +√18 −√8+√125 −√3⋅√(−16)(−36)
① ；② ；
−− −−− −−−
6 2 2 3
③ – −−；④
√ ÷√1 +2√1
．
3√2+√15 3 3 5
−−
√10 −3
12 x =
已知 ，求下列各式的值：
2
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1
4x− x2 +3x+1
① ；② ．
x
ABC ∠C = 90∘ ∠B = 45∘ AD ∠BAC BC D
13 如图，△ 中， ， ， 平分 ，交 于点 ，求证：
AB = AC +CD
．
ABCD BC > BA AD = DC BD ∠ABC
14 如图，在四边形 中， ， ， 平分 ．求 证 ：
∠A+∠B = 180∘
．
15 如图，点 D ， E 三等分△ ABC 的边 BC ．求证： AB+AC > AD+AE ．
ABC AB = 4 AC = 3 AD AE C
16 如图，△ 中， ， ， 、 分别是其角平分线和中线，过点 作
CG⊥AD F AB G EF EF
于 ，交 于 ，连接 ，求线段 的长．
a b c a+b+c = 1
17 已知： ， ， 为正实数，且 ．
a2 a
(1)比较大小： ____ ；
−−−−− −−−−− −−−−−
√3a+1+√3b+1+√3c+1
(2)试判断 与4的大小关系，并说明理由．
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第 8 讲 勾股定理（一）
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例题练习题答案
例1 （商高证法）利用下图证明勾股定理．
例2 （欧几里得证法）利用下图证明勾股定理．
Rt △ ABC
例3 在 中，
(1)若 ∠C = 90∘ ， BC = 5 ， AC = 12 ，求AB之长；
(2)若 ∠C = 90∘ ， AC = 7 ， AB = 8 ，求BC之长；
(3)若 AB = 3 ， BC = 4 ，求AC之长．
例4 (1)边长为1的正三角形面积为________________；
(2)边长为2的正六边形面积为________________．
例5 如图所示的长方体，三边长分别为 3cm ， 4cm ， 5cm ，一只蚂蚁沿表面爬行，求从点A到点G爬
行的最短路程．
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例6 如图，长方形ABCD中，已知 AB = 8cm ， BC = 10cm ，将AD沿直线AF折叠，使点D落在BC
上的点E处．求CE，CF的长．
例7 印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
请用学过的数学知识回答这个问题．
例8 已知△ABC中， AB = 13 ， BC = 14 ， AC = 15 ，求△ABC面积．
例9 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角
形三边的线段是（ ）
A： CD，EF，GH
B： AB，EF，GH
C： AB，CD，GH
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D： AB，CD，EF
例10 如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中 ∠B = 90∘ ， AB = 3m ， BC = 4m ，
CD = 12m AD = 13m
， ，求这块草坪的面积．
a b c
例11 判断由线段 ， ， 组成的三角形是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形：
a = 20 b = 21 c = 29
(1) ， ， ；
a = 5 b = 6 c = 7
(2) ， ， ；
(3) a = 2n+3 ， b = 3n+4 ， c = 4n+5 （n为自然数）．
例12 若△ABC是钝角三角形，且 a = 3 ， b = 4 ，则 c 的取值范围是________________．
例13 如图，P为正方形ABCD内一点， PA = PB = 10 ，且P点到CD边的距离也等于10，求正方形
ABCD的面积．
−− −− −−
1 已知三角形的三边长分别为 √10 ， √29 ， √61 ，求三角形的面积．
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第 8 讲 勾股定理（一）
自我巩固答案
1 已知 a ， b ， c 是△ABC的三条边，则下列哪项可以得出△ABC是直角三角形（ ）
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a = 2 b = 3 c = 4
A： ， ，
– –
a = √2 b = √3 c = 3
B： ， ，
a = 15 b = 25 c = 20
C： ， ，
– –
a = √3 b = √3 c = 3
D： ， ，
2 在△ABC中， AB = 3 ， BC = 4 ， AC = 5 ，AD为角平分线，求BD的长度．
3 如图，在四边形ABCD中，已知 AB = BC = 2 ， CD = 3 ， DA = 1 ，且 ∠ABC = 90°，则
它的面积是多少？
4 如图，点A处有一所中学，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会
受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；如果受到影
响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？
–
5 已知△ABC， AB = 6 ， AC = 3√2 ，BC边上的高 AD = 3 ，求BC的长度．
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第 8 讲 勾股定理（一）
课堂落实答案
Rt △ ABC ∠C = 90∘
1 在 中， ，
a = 6 b = 8 c =
① ， ，则 _______；
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a = 5 b = 12 c =
② ， ，则 _______；
a = 8 b = 15 c =
③ ， ，则 _______；
a = 7 b = 24 c =
④ ， ，则 _______．
AD = 4cm CD = 3cm AD⊥DC AB = 13cm BC = 12cm
2 如图， ， ， ， ， ，求四边形
ABCD的面积．
35cm 49cm
3 已知直角三角形的一条直角边等于 ，另外两条边的和为 ，求斜边长．
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第 9 讲 勾股定理（二）
例题练习题答案
例1 证明：在△ABC中，
∠A < 90∘ AB2 +AC2 > BC2
(1)若 ，则 ；
∠A > 90∘ AB2 +AC2 < BC2
(2)若 ，则 ．
例2 在 △ ABC 中， ∠C = 90∘ ，D、E分别是边BC、AC上的一点．
AD2 +BE2 = AB2 +DE2
(1)求证： ；
5
(2) 若D、E分别是边BC、AC的中点，求证： AD2 +BE2 = AB2 ．
4
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例3 在△ABC中， ∠C = 90∘ ，D为AB的中点，E，F分别在AC，BC上，且 DE⊥DF ，求证：
AE2 +BF2 = EF2
．
例4 △ABC中，AO是BC边上的中线，求证：
AB2 +AC2 =2(AO2 +BO2)
．
例5 如图，在△ABC中， AB = AC ， P 是直线 BC 上的一点．
(1)若点P在线段BC上，求证： AB2 = AP2 +BP ⋅PC ；
(2)若点P在线段BC外，求证： AB2 = AP2 −BP ⋅PC ．
例6 已知：AD，BE，CF分别是锐角△ABC的三条边上的高，H为三条高的交点，求 证 ：
AE2 +CD2 +BF2= AF2+BD2 +CE2
．
例7 在 △ ABC 中，D是BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，若 ∠EDF = 90∘ ，且
BE2 +CF2 = EF2 ∠BAC = 90∘
，求证： ．
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例8 四边形ABCD中， ∠A = ∠B = 90∘ ，点E为AB中点， AB = BC = 4 ， CD = 5 ，
DA = 1 DE⊥CE
，利用勾股逆定理证明： ．
例9 如图，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形， ∠ABC =∠DBE = 90∘ ，点D在AC上．
∠DCE
(1)求 的度数；
(2)当 AB = 4 ， AD : CD = 1 : 3 时，求DE的长．
例10 已知△ABC是等边三角形，点P是△ABC内一点， PD⊥AB 于D， PE⊥BC 于E， PF⊥CA 于
F．求证：
AD2 +BE2 +CF2 = BD2 +CE2 +AF2
(1) ；
AD+BE+CF = BD+CE+AF
(2) ．
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第 9 讲 勾股定理（二）
自我巩固答案
1 (1)一个三角形的三边长为28，25，17，则这个三角形的面积为__________；
48m2 10m
(2)张大爷家承包了一个长方形鱼池，已知其面积为 ，其对角线长为 ，则这个长方形
鱼池的周长是_______．
2 在△ABC中，D为BC上一点，且 AB = AD ，求证： AC2 −AB2 = BC ⋅DC ．
3 如图，已知点P是矩形ABCD内的一点，求证： PA2 +PC2 = PB2 +PD2 ．
4 已知△ABC中，AD为BC边上的高，且 AD2 = BD⋅CD ，求证：△ABC是直角三角形．
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第 9 讲 勾股定理（二）
课堂落实答案
1 (1)在△ABC中， AB = 5 ， BC = 12 ， CA = 13 ，则△ABC的面积为___________；
(2)下面几组数据中，能作为直角三角形三边长的有：______________．
– – –
√3 √4 √5
① ， ， ； ②3，4，5；
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③20，21，29； ④2015，2016，2847．
2 在△ABC中， ∠A = 90∘ ， AB = AC ，D为BC边上一点，求证： BD2 +CD2 = 2AD2 ．
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第 10 讲 平行四边形
例题练习题答案
例1 如图，过□ABCD的顶点D向对边BC所在直线作垂线段，垂足为E，且 DE = 12 ．
(1)若 AB = 20 ， BE = 3CE ，求AD的长度；
(2)若 AD−AB = 2 ， BE = 2CD−6 ，求□ABCD的边长．
例2 如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC和BD的交点，过O作 OE⊥BD 交BC于点E，若
△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为_________．
例3 如图，平行四边形ABCD对角线交点为O．
(1)若 ∠BAC = 44∘ ， AC = CD ，求□ABCD各内角的度数；
(2)若 ∠DAC = 58∘ ， ∠ABD = 32∘ ， BO = BC ，求□ABCD各内角的度数．
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例4 如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且 ∠BAE = ∠DCF ，求证：
BE = DF
．
例5 如图，平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E，求证： BE = CF ．
例6 如图，E，F分别是平行四边形ABCD的AD，BC边上的点，且 AE = CF ．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若点M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形．
例7 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点
E，F，求证：四边形AECF是平行四边形．
例8 如图，点 E ， F 是平行四边形 ABCD 对角线上的两点，且 BE = DF ，求证：四边形AECF为平
行四边形．
例9 如图，△ACD，△ABE，△BCF均为直线 BC 同侧的等边三角形，证明：四边形 ADFE 为平行四边
形．
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例10 如图，已知等边三角形ABC，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，点D，E，F分别在
AB，BC，CA上，求证： PD+PE+PF = AB ．
1 如图，平行四边形ABCD中，M是AD上的点，N是CD上的点，且 AN = CM ，AN与CM交于点
O，证明：BO平分 ∠AOC ．
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第 10 讲 平行四边形
自我巩固答案
1 平行四边形ABCD的周长为40，对角线交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8，求这个平行四
边形的各边长．
2 如图， AD // BC ， ED // BF ，且 AF = CE ，求证：四边形ABCD是平行四边形．
3 如图，平行四边形ABCD中， AD = 2AB ，且 EA = AB = BF ，CE交AD于M，DF交BC于
N，求证：CE⊥DF．
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ABCD E F AD BC AE = CF AF BE
4 如图，在平行四边形 中，点 ， 在 ， 上，且 ， 与 交于点
M CE DF N EMFN
， 与 交于点 ，求证：四边形 是平行四边形．
思维突破 / 初一 / 春季
第 10 讲 平行四边形
课堂落实答案
1 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， DB = CD ， ∠C = 70∘ ， AE⊥BD 于 点 E ， 则
∠DAE =
_________．
2 平行四边形的一条边长为8，一条对角线长为6，它的另一条对角线长m的取值范围是________．
3 在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，EF与AC相交于O，求证： AO = CO ．
4 在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，且 AF = CE ，求证：四边形BEDF是平行四
边形．
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思维突破 / 初一 / 春季
第 11 讲 矩形和菱形
例题练习题答案
例1 下列说法正确的是__________________．
①矩形的两条对角线相等；
②矩形有四条对称轴；
③矩形被对角线剖分成四个面积相等的等腰三角形；
④四个角相等的四边形是矩形；
⑤四条边相等的四边形是矩形．
例2 如图，E，F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且 AE = DF ，求证： BE = CF ．
例3 如图，矩形ABCD中， AC = 8 ，DE⊥AC， ∠ADE = 3∠ADO ．试求：
∠DOE
(1) 的度数；
DE
(2) 的长度．
例4 如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形， AC = 4 ， BC = 3 ，P为AB上一动点，且PE⊥AC于
E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为________．
例5 如图，平行四边形ABCD的四个内角的角平分线分别交于E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩
形．
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例6 下列说法正确的是__________________．
①菱形的两条对角线相等；
②菱形有四条对称轴；
③菱形被对角线剖分成全等四个直角三角形；
④对角线相互垂直平分的四边形是菱形；
⑤四条边相等的四边形是菱形．
例7 (1)已知菱形两条对角线的长度分别为6和8，则菱形的边长为______________；
(2)已知菱形两条对角线的长度分别为10和30，则菱形的面积为____________；
(3)已知菱形一条对角线为24，边长为13，则菱形的面积为________________．
例8 如图，菱形ABCD中，F是AB上一点，DF交AC于E，求证： ∠AFD = ∠CBE ．
例9 过平行四边形ABCD的对角线交点O，作互相垂直的两条直线EG，FH与□ABCD各边分别交于E，
F，G，H，求证：四边形EFGH是菱形．
例10 如图，矩形纸片ABCD中， AB = 8cm ，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于
25
F，若 AF = cm ，AD的长为_________．
4
例11 如图，矩形ABCD和BFDE全等．求证：四边形BMDN是菱形．
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例12 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB， AB = a ．
∠ABC
(1)求 的度数；
(2)求对角线AC的长度；
(3)求菱形ABCD的面积．
1 如图，在菱形ABCD中，F为BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，
∠1 = ∠2
．
(1)若 CE = 1 ，求BC的长；
AM = DF +ME
(2)求证： ．
2 如图，在矩形 ABCD 中， CE⊥BD 于 E ， AF 平分 ∠BAD ，分别交 EC ，BD于 F ，G，求
CF = BD
证： ．
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第 11 讲 矩形和菱形
自我巩固答案
120∘
1 若矩形对角线相交所成钝角为 ，较短的边长为4cm，则对角线的长为（ ）
A： 2cm
B： 4cm
C： 6cm
D： 8cm
2 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为____________．
3 如图，矩形ABCD的对角线相交于O点，AE⊥BD，垂足为E，若 ∠DAE = 3∠BAE ，则
∠EAC =
________．
4 如图，菱形ABCD中，DE⊥AB于E， ∠ABC = 2∠A ，且 DE = 5 cm，则 AB = _________．
5 如图，在△ABC中， AB = AC ，M是 BC 的中点，分别作 MD⊥AB 于点D， ME⊥AC 于点
E， DF⊥AC 于点 F ， EG⊥AB 于点G， DF ， EG 相交于点点P，求证：四边形 DMEP 是菱
形．
6 如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点， ∠MAD = ∠MDA ，求证：四边形ABCD是矩
形．
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第 11 讲 矩形和菱形
课堂落实答案
1 菱形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点， AB = 5 ， AO = 4 ，则 BD = ___________．
2 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的点，且 AE = AF ，求证： CE = CF ．
3 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O， BE // AC 交DC的延长线于点E．
BD = BE
(1)求证： ；
(2)若 ∠DBC = 30∘ ， BO = 4 ，求四边形ABEC的面积．
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第 12 讲 正方形
例题练习题答案
例1 下列说法正确的是__________________．
①正方形的两条对角线垂直且相等；
②正方形有四条对称轴；
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③正方形被对角线剖分成四个全等的等腰直角三角形；
45∘
④正方形对角线与边的夹角均为 ；
⑤四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
例2 如图，正方形ABCD，△ABE是等边三角形，则 ∠AED = ___________．
例3 如图，在正方形ABCD中， ∠DAF = 25∘ ，AF交对角线BD于E点，则
∠BEC =
_____________．
例4 已知：E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，F为边CD上一点，且 CE = CF ，求证：
DE = BF DE⊥BF
， ．
例5 已知O是正方形ABCD对角线交点，E是BO上一点， DF⊥AE 于F，交AC于G，求证：
△ADE≌△DCG．
例6 如图，四边形ABCD是正方形，E，F，G，H分别是BC，CD，DA，AB上的点．
EG⊥FH EG = FH
(1)若 ，证明： ；
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EG = FH EG⊥FH
(2)若 ，则结论 是否成立？说明理由．
例7 如图，已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上．
∠EAF = 45∘ EF = BE+DF
(1)若 ，证明： ；
EF = BE+DF ∠EAF = 45∘
(2)若 ，证明： ．
例8 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M，N分别是AD，BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直
线折叠，使点A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M，N分别是AD，BC边的中点，
A′M ∠EBA
试求 的长度及 ．
例9 如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若
GF的长为13cm，求线段AF的长．
DN +BM
例10 如图，正方形ABCD中，M是BC上任意一点，AN是∠DAM的平分线交DC于N，求
AM
的值．
1 如图，四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是菱形，且B，E，F共线，求证： ∠BAF = 15∘ ．
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第 12 讲 正方形
自我巩固答案
1 如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F，求证：
△ADE≌△ABF．
ABCD G BC G B C AE⊥DG E
2 四边形 是正方形， 为 上任意一点（点 与 ， 不重合）， 于 ，
CF // AE DG F AE = FC +EF
交 于 ，求证： ．
3 如图，在正方形 ABCD 中，点P， P 1为正方形内的两点，且 PB = PD ， P 1 B = AB ，
∠CBP = ∠P BP ∠BP P
1 ，求 1 的大小．
4 已知E，F分别是正方形ABCD边BC，CD上的点，AE，AF分别与对角线BD相交于点M，N，若
∠EAF = 50∘ ∠CME+∠CNF
，求 的度数．
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第 12 讲 正方形
课堂落实答案
1 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F，已知
AE = 4 ， CF = 3 ，则EF的值是（ ）
A： 7
B： 5
C： 4
D： 3
ABCD AB ABE CE BD F
2 如图，四边形 为正方形，以 为边向正方形外作正△ ， 与 相交于点 ，
∠AFD =
则 _________．
3 E 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点， AE 交 BC 延长线于点F，H是 FG 中点，证明：
EC⊥CH
．
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思维突破 / 初一 / 春季
第 13 讲 梯形
例题练习题答案
例1 下列语句中错误的是（ ）
A： 只有一组对边平行的四边形是梯形
B： 有一组对边平行而另一组对边不相等的四边形是梯形
C： 有一组对边平行的四边形是梯形
D： 一组对边平行且不相等的四边形是梯形
例2 证明：
(1)等腰梯形同一底边上的两个角相等；
(2)同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形．
例3 证明：
(1)等腰梯形的两条对角线相等；
(2)对角线相等的梯形是等腰梯形．
例4 梯形ABCD中， AD // BC ， AB = CD = AD = 2 ， ∠B = 60∘ ，则下底BC的长为
_______．
例5 在梯形ABCD中，AB∥CD， ∠A = 60∘ ， ∠B = 30∘ ， AD = CD = 6 ，则AB的长为
__________．
ABCD AD // BC ∠ABC = 90∘ ∠C = 45∘ BE⊥CD E
例6 如图，在梯形 中， ， ， ， 于点 ，
–
AD = 1 CD = 2√2 BE
， ，则 的长为___________．
例7 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， BD = CD ， ∠BDC = 90∘ ， AD = 3 ， BC = 8 ，则AB
的长为_______．
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例8 如图，等腰梯形ABCD中， AC = BC +AD ，则 ∠ACB = __________．
例9 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD， AC = 5 ， BD = 12 ，则梯形ABCD的面积是
_________．
ABCD AB // CD ∠D = 90∘ M BC BC = 2CD
例10 如图，梯形 中， ， ， 是 的中点， ，
∠DAM = 50∘ ∠AMC =
，则 __________．
例11 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上， AE = BE ，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若
AD = 2.7 ， AF = 4 ， AB = 6 ，则CE的长_________．
例12 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB = 8 ， AD = 3 ， CD = 6 ，并且 ∠B+∠C = 90∘ ，
S
求该梯形的面积 梯形ABCD ．
例13 如图，四边形ABCD是矩形， AB = 4 ， AD = 3 ，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接
DE，四边形ACED是什么图形？为什么？试求它的周长和面积．
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1 已知一个梯形的四条边的长分别为1，2，3，4，求此梯形的面积．
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第 13 讲 梯形
自我巩固答案
1 如图，在梯形ABCD中， AD // BC ， AB = DC = AD = 2 ， BC = 4 ，求 ∠B 的度数及
AC的长．
2 在梯形ABCD中， AB // CD ，AC⊥BD，求证： AC2 +BD2 = (AB+CD)2 ．
3 如图，在直角梯形ABCD中， AB // CD ，AD⊥DC， AB = BC ，且AE⊥BC．
AD = AE
(1)求证： ；
(2)若 AD = 8 ， DC = 4 ，求AB的长．
4 用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积是多少？
思维突破 / 初一 / 春季
第 13 讲 梯形
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课堂落实答案
1 如 图 ， 梯 形 ABCD 中 ， AB // CD ， ∠D = 2∠B ， AD = 3 ， AB = 5 ， 则
CD =_________．
2 在□ABCD中，AC是一条对角线， ∠B = ∠CAD ，延长BC至点E，使 CE = BC ，连接DE．
(1)求证：四边形ABED是等腰梯形；
(2)若 AB = AD = 4 ，求梯形ABED的面积．
3 如图，在△ABC中， AB = AC ，BD，CE分别为 ∠ABC 和 ∠ACB 的角平分线，求证：四边形
EBCD为等腰梯形．
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第 14 讲 中位线
例题练习题答案
1
例1 如图，已知D，E分别是 △ ABC 的边AB和AC上的中点，证明： DE ∥ BC ，且 DE = BC ．
2
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1
例2 如图，已知E是△ABC的边AC的中点，D在AB上，DE∥BC，证明： DE = BC ，且
2
AD = DB
．
例3 如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点G，点M，N分别是GB，GC的中点，求证：四边形DMNE
是平行四边形．
例4 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，E、F分别为AB、DC的中点，证明：EF∥AD 且
1
EF = (AD+BC)
．
2
例5 如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若 EF = 3 ，则
梯形ABCD的周长为__________．
例6 在等腰△ABC中， AB = AC ，延长BC到D，使得 CD = BC ，DF⊥BD交BA的延长线于F，交
AC的延长线于E，求证： BF = 2CE ．
例7 如图，平行四边形ABCD中，E在DA的延长线上，F在CB的延长线上， AE = BF ，且AF与BE交
于点G，CE与DF交于点H，证明： BC = 2GH ．
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例8 如图，在平行四边形ABCD中， ∠ACD = 60∘ ，P是平行四边形外的一点，△ABP是等边三角
形，求证：AC平分PD．
例9 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别为AD，BC的中点，G，H分别为BD，AC的中点．求
证：
(1)E，G，H，F四点共线；
CD−AB
(2)GH =
．
2
例10 如图，在 △ ABC 中，已知∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点O，AG⊥BE于点G， AH⊥CF 于
点H．
GH // BC
(1)求证： ；
(2)若 AB = 9 厘米， AC = 14 厘米， BC = 18 厘米，求GH．
1 如图，在五边形ABCDE中， ∠ABC = ∠AED = 90∘ ， ∠BAC = ∠EAD ，F为CD的中
BF = EF
点，求证： ．
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思维突破 / 初一 / 春季
第 14 讲 中位线
自我巩固答案
1
1 已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F为BC上一点， EF = BC ， ∠EFC = 36∘ ，
2
∠EDF
求 ．
2 在△ABC中， ∠ABC = 90∘ ，D、E分别是AC、AB边的中点，点F在CB的延长线上，
∠BEF = ∠A ，证明：四边形DEFB是平行四边形．
3 如图，梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB⊥BC ，M是DC的中点，证明： AM = BM ．
4 已知四边形ABCD的对角线 AC = BD ，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF分别交AC，BD于
M，N，求证： ∠AMN = ∠BNM ．
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思维突破 / 初一 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 如图，在□ABCD中， AD = 8 ， AB = 6 ，DE平分 ∠ADC 交BC边于点E，则 BE 等于（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
2 矩形 ABCD 中， AB = 2BC ， E 为线段 CD 上一点，且 AE = AB ，则 ∠BEC = （ ）
30∘
A：
45∘
B：
60∘
C：
75∘
D：
3 如图，将两个大小、形状完全相同的△ ABC 和△ A′B′C′ 拼在一起，其中点 A′ 与点A重合，点 C′
AB B′C ∠ACB = ∠AC′B′ = 90∘ AC = BC = 3 B′C
落在边 上，连接 ．若 ， ，则 的长为
（ ）
–
3√3
A：
6
B：
–
3√2
C：
−−
√21
D：
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4 如图，四边形ABCD中， AD // BC ， ∠ABC +∠DCB = 90∘ ，且 BC = 2AD ，以AB、
BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为 S 1、 S 2、 S 3，若 S 1 = 3 ， S 3 = 9 ，则 S 2的值为
（ ）
A： 12
B： 18
C： 24
D： 48
5 下面哪条不能判定一个四边形是平行四边形（ ）
A： 两条对角线均能平分四边形面积
B： 两条对角线均能平分四边形周长
C： 一组对边平行，另一组对边相等
D： 一组对角相等且这组对角顶点连接的对角线平分另一条对角线
6 已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P，Q分别在AB，AC上，且 PM⊥QM ，当 BP = 4 ，
QC = 3 时，PQ的长度为（ ）
A： 5
B： 4
−−
√17
C：
−−
√34
D：
7 如图，已知△ABC中， AB = AC ，AD平分 ∠BAC ，E是AC的中点，若 AB = 6 ，则DE的长为
________．
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8 如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在 C′ 处， BC′ 交AD于E， AD = 8 ， AB = 4 ，则
△BED的面积是________．
9 如图，在△ ABC 中， AB = BC = 8 ， AO = BO ，点M是射线CO上的一个动点，
∠AOC = 60∘ ，当△ ABM 为直角三角形时，AM的长为__________．
10 如图，AC是四边形ABCD的对角线， ∠B = 90∘ ， ∠ADC = ∠ACB+45∘ ，
–
BC = AB+√3 ，若 AC = CD ，则边AD的长为_____________．
11 已知：如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O， DE // AC ， CE // BD ，证明：四边形
OCED是菱形．
12 如图 1 ，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM
⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
OE = OF
(1)证明： ；
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(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则
OE = OF
结论“ ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
13 如图，在边长为4的菱形ABCD中， BD = 4 ，E，F分别是AD，CD上的动点（包含端点），且
AE+CF = 4 ，连接BE，EF，FB．
(1)探究BE与BF的数量关系，并证明；
(2)求EF的最大值与最小值．
1
14 在△ABC中， ∠ACB = 90∘ ， AC = BC ，以BC为底作等腰直角三角形BCD，E是CD的中
2
AE⊥EB
点，求证： ．
15 已知锐角△ ABC 中，AD为高，且 AB+CD = AC +BD ，求证： AB = AC ．
16 如图，P为正方形ABCD内的一点，画□PAHD，□PBEA，□PCFB，□PDGC，请证明：以E，F，
G，H为顶点的四边形是正方形．
17 如图， ∠C = 90∘ ， AM = CM ， MP⊥AB 于点P，求证： BP2 = AP2 +BC2 ．
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